CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

Transcript

1 Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat. distribuit numai cu permisiunea autorului. El poate fi 11.1 Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Vom presupune că (X, K) este spaţiu vectorial. Definiţie Spunem că aplicaţia <, >: X X K este un produs scalar pe X dacă are următoarele proprietăţi i) < x, y >= < y, x > oricare ar fi x, y X; ii) < x + y, z >=< x, z > + < y, z > oricare ar fi x, y, z X; iii) < αx, y >= α < x, y > oricare ar fi α K şi x, y X; iv) < x, x > 0 oricare ar fi x X şi < x, x >= 0 dacă şi numai dacă x = 0 X. Definiţie Spaţiul vectorial (X, K) înzestrat cu un produs scalar <, > se numeşte spaţiu liniar euclidian. Remarcă Dacă K = R atunci i) devine < x, y >=< y, x > oricare ar fi x, y X iar cuplul (X, <, >) se numeşte spaţiu vectorial euclidian real. Exemplul Dacă X = R n, K = R, x = (x 1,..., x n ) T şi y = (y 1,..., y n ) T numit produsul scalar standard sau canonic. atunci < x, y >= n Σ i=1 x i y i este Exemplul Dacă X = C [a, b] = {f : [a, b] R f este continuă} atunci < f, g >= b f (x) g (x) dx este a un produs scalar. Teoremă Dacă (X, K) spaţiu vectorial real sau complex cu dim K X = n N şi <, >: X X K este produs scalar pe X atunci i) < 0 X, x >=< x, 0 X >= 0 oricare ar fi x X; ii) < x, y + z >=< x, y > + < x, z > oricare ar fi x, y, z X; iii) dacă K = C avem < x, αy >= α < x, y > oricare ar fi α C şi x, y X; iv) dacă K = R avem < x, αy >= α < x, y > oricare ar fi α R şi x, y X. Astfel că: Remarcă Dacă K = C iar <, >: X X K este produs scalar (numit produs scalar complex) atunci <, > este liniar în prima variabilă şi conjugat liniar în a doua variabilă iar cuplul (X, <, >) se numeşte spaţiu vectorial euclidian complex sau simplu spaţiu unitar. 11-1

2 CURS 11: ALGEBRĂ 11-2 Definiţie Produsul scalar complex se mai numeşte funcţională sesquiliniară hermitică. Remarcă Produsul scalar real este o funcţională biliniară însă produsul scalar complex nu. Definiţie Fie (X, <, >) spaţiu vectorial euclidian real. Scalarul x = < x, x > se numeşte lungimea (modulul, norma) vectorului x X. Remarcă Notăm că x = 0 dacă şi numai dacă x = 0 X Vectori ortogonali. Baze ortogonale. Baze ortonormate. Teorema lui Pitagora. Inegalitatea Cauchy-Buniakovsky-Schwarz. Inegalitatea triunghiului. Procedeul de ortogonalizare Gram- Schmidt Definiţie Fie (X, <, >) spaţiu vectorial euclidian. Următoarele sunt acceptate ca atare: i) vectorii x, y X se numesc ortogonali, notăm x y, dacă < x, y >= 0, ii) subspaţiul vectorial Y X se numeşte familie ortogonală dacă vectorii săi sunt ortogonali doi câte doi, adică < x, y >= 0 x, y Y cu x y, iii) subspaţiul vectorial Y X se numeşte familie ortonormată dacă este ortogonală şi fiecare element al său are norma egală cu unitatea, iv) o bază care are calităţile de la ii), iii) mai sus se numeşte bază ortogonală, respectiv bază ortonormată, v) x X se numeşte ortogonal pe Y, notăm y Y, dacă < x, y >= 0 y Y. Mulţimea Y = {x X < x, y >= 0 y Y }, o numim complementul ortogonal al lui Y în X (în raport cu <, >), vi) subspaţiile vectoriale Y 1, Y 2 X ai căror vectori sunt relativ ortogonali, adică y 1 Y 1 şi y 2 Y 2 avem < y 1, y 2 >= 0, spunem ca sunt subspaţii vectoriale ortogonale. Definiţie Fie (X, <, >) un spaţiu vectorial euclidian şi y X cu y 0 fixat. Proiecţia ortogonală a lui x X pe y X, notată, pr y x, este definită prin iar numărul se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei lui x pe y. pr y x = < x, y > < y, y > y < x, y > < y, y > Remarcă Vectorul x pr y x este ortogonal pe pr y x. Teoremă (Teorema lui Pitagora) Fie (X, <, >) spaţiu vectorial euclidian complex. Dacă < x, y >= 0 atunci x + y 2 = x 2 + y 2. Demonstraţie. Observăm că pentru că < x, y >=< y, x >= 0. x + y 2 = < x + y, x + y >=< x, x + y > + < y, x + y > = < x, x > + < y, y > + < x, y > + < y, x >= x 2 + y 2

3 CURS 11: ALGEBRĂ 11-3 Teoremă (Inegalitatea Cauchy-Buniakovsky-Schwarz) Fie (X, <, >) spaţiu vectorial euclidian complex. Are loc < x, y > x y pentru orice x, y X. Demonstraţie. Rezultatul este clar dacă x = 0 X sau y = 0 X, altfel presupunem x = 0 respectiv y = 0 şi punem ( z = y 2 (x pr y x) = y 2 x < x, y > ) < y, y > y = y 2 x < x, y > y. Observăm că 0 < z, z >=< y 2 x < x, y > y, y 2 x < x, y > y > = y 4 < x, x > < x, y > y 2 < y, x > y 2 < x, y > < x, y >< x, y > + < x, y > < x, y > < y, y > = y 2 ( x 2 y 2 < x, y > 2 < x, y > 2 + < x, y > 2) = y 2 ( x 2 y 2 < x, y > 2) de unde rezultă inegalitatea. Remarcă (Inegalitatea triunghiului) Fie (X, <, >) spaţiu vectorial euclidian complex. Pentru orice x, y X are loc x + y x + y. Demonstraţie. Observăm că unde am folosit faptul că x + y 2 =< x + y, x + y > x x y + y 2 = ( x + y ) 2 < x, y > + < y, x >=< x, y > +< x, y > = 2Re (< x, y >) 2 < x, y > C. B. S. 2 ( x + y ). Remarcă Dacă (X, <, >) este spaţiu vectorial euclidian real atunci 1 < x, y > / x y 1 şi deci există θ [0, π] astfel încât cos θ = <x,y> x y. Numim θ unghiul dintre x şi y. Definiţie Fie (X, <, >) un spaţiu vectorial euclidian real finit dimensional, Y subspaţiu în X şi {u 1,..., u p } o bază ortogonală în Y. Proiecţia ortogonală a lui x X, x 0 pe Y, notată pr Y x (sau proi Y x), este definită prin pr Y x = < x, u 1 > < u 1, u 1 > u < x, u p > < u p, u p > u p. În fapt, pr Y x = {x 0 X x x 0 Y }. Teoremă Dacă (X, <, >) este spaţiu vectorial euclidian atunci orice submulţime ortogonală formată din elemente nenule este liniar independentă. Dacă dim K X = n N, atunci orice submulţime ortogonală care conţine n elemente nenule este o bază a lui X. Teoremă (Gram-Schmidt) Dacă (X, <, >) este spaţiu vectorial euclidian finit dimensional iar B 1 = {v 1, v 2,..., v n } este o bază în X atunci i) există o bază ortogonală B 2 = {w 1, w 2,..., w n } în X; ii) există o bază ortonormată B 3 = {y 1, y 2,..., y n } în X. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt Fie (X, <, >) spaţiu vectorial euclidian finit dimensional şi B 1 = {v 1, v 2,..., v n } bază în X.

4 CURS 11: ALGEBRĂ 11-4 Etapa 1. Folosim B 1 pentru a defini n vectori astfel w 1 = v 1 w 2 = v 2 pr w1 v 2 = v 2 < v 2, w 1 > < w 1, w 1 > w 1 w 3 = v 3 pr w1 v 3 pr w2 v 3 = v 3 < v 3, w 1 > < w 1, w 1 > w 1 < v 3, w 2 > < w 2, w 2 > w 2... w n = v n pr w1 v n... pr wn 1 v n = v n < v n, w 1 > < w 1, w 1 > w 1 < v n, w 2 > < w 2, w 2 > w 2... < v n, w n 1 > < w n 1, w n 1 > w n 1. Etapa 2. Mulţimea B 2 = {w 1, w 2,..., w n } este bază ortogonală în X. Etapa 3. Împărţind fiecare vector din B 2 prin lungimea sa obţinem o bază ortonormată pentru X : { B 3 = y 1 = w 1 w 1, y 2 = w 2 w 2,..., y n = w } n. w n 11.3 Noţiunea de distanţă, punct fix, contracţie. Teorema de punct fix Fie X φ şi X X = {(x, y) x X, y X }. Definiţie Aplicaţia (funcţia) d : X X R + se numeşte distanţă (sau metrică) pe X, dacă: M1) d (x, y) = 0 x = y; M2) d (x, y) = d (y, x) x, y X (simetria); M3) d (x, y) d (x, z) + d (z, y) x, y, z X (inegalitatea triunghiului). Exemplul Spaţiul metric R n. Funcţia d E : R n R n R + definită prin d E (x, y) = N (x k y k ) 2 (metrica euclidiană) k=1 unde x = (x 1,..., x n ) T şi y = (y 1,..., y n ) T sunt elemente arbitrare din R n este metrică pe R n. Definiţie Fie d o distanţă pe X. Perechea ordonată (X, d) se numeşte spaţiu metric Convergenţa în spaţii metrice Fie (X, d) spaţiu metric. Definiţie Se numeşte şir de puncte în X aplicaţia f : N k X unde N k = {n N n k, k N}. Punând f (n) = x n, unde x n X, şirul se notează prin (x n ) n k sau (x n ) sau simplu x n. Presupunem k = 0 în continuare. Definiţie Spunem că şirul de puncte (x n ) din spaţiul metric (X, d) are limita x X dacă în afara oricărei vecinătăţi V x V x0 se află un număr finit de termeni ai şirului său, altfel spus, dacă mulţimea valorilor lui n N pentru care x n / V x este finită. Se scrie lim n x n = x sau x n d x pentru n sau xn d n x.

5 CURS 11: ALGEBRĂ 11-5 Teoremă Şirul de puncte (x n ) n, x n (X, d) este convergent la x X şirul de numere reale nenegative (d (x n, x)) n este convergent la zero Şiruri fundamentale Fie (X, d) spaţiu metric şi (x n ) n N şir de puncte din X. Definiţie (x n ) n N se numeşte şir fundamental, sau şir Cauchy dacă d (x n+p, x n ) n 0 p N. Propoziţie Se poate demonstra cȧ: i) Orice şir convergent este un şir Cauchy. ii) iii) Orice şir Cauchy este mărginit. Orice şir Cauchy care conţine un subşir convergent este el însuşi convergent. Definiţie Un spaţiu metric (X, d) se numeşte complet dacă orice şir Cauchy de elemente din X este convergent. Remarcă Într-un spaţiu metric complet şirurile convergente sunt precis şirurile Cauchy. Remarcă Spaţiul metric (R p, d) unde d este metrica Euclidiană este spaţiu metric complet Principiul contracţiei Fie spaţiile metrice (X, d) şi (Y, σ), A X o submulţime nevidă a lui X, f : A Y funcţie şi a A punct oarecare al mulţimii A. Definiţie Spunem că funcţia f : A Y este continuă în punctul a A dacă pentru orice (x n ), x n A cu d (x n, a) n 0 = σ (f (x n ), f (a)) n 0. Remarcă Orice distanţă este o funcţie continuă. Fie (X, d) spaţiu metric. Definiţie Spunem că funcţia f : X X este contracţie pe (X, d) dacă există α (0, 1) astfel încât d (f (x), f (y)) αd (x, y) pentru orice x, y X. Definiţie Elementul x X se numeşte punct fix pentru aplicaţia (operatorul) f dacă f (x) = x. Un rezultat fundamental în teoria spaţiilor metrice este principiul contracţiei dat de Teoremă (Teorema de punct fix a lui Banach) Dacă (X, d) este un spaţiu metric complet şi f : X X este o contracţie cu constanta α (0, 1) atunci i) f este continuă pe X; ii) x 0 X şirul (x n ) n al aproximaţiilor succesive x n+1 = f (x n ), n, converge la punctul x care este unicul punct fix al lui f; iii) eroarea aproximării d (x n, x ) αn 1 α d (x 0, f (x 0 )) n N.