Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων"

Transcript

1 Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 12: Ψηφιακά Φίλτρα FIR Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1

2 Ψηφιακά Φίλτρα FIR Εισαγωγή στα Ψηφιακά Φίλτρα Έλεγχος απολαβής (κέρδους) φίλτρου Φίλτρα ελάχιστης, μέγιστης, μικτής και γραμμικής φάσης Ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων Προδιαγραφές πραγματικών ψηφιακών φίλτρων Στάδια υλοποίησης ψηφιακών φίλτρων Φίλτρα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης (FIR) Περιγραφή FIR φίλτρων στα πεδία χρόνου και συχνότητας FIR Φίλτρο σαν Γραμμή Καθυστέρησης Τύποι FIR Φίλτρων Γραμμικής Φάσης Μέθοδοι Σχεδίασης FIR Φίλτρων Μέθοδος Παραθύρων Μέθοδος Δειγματοληψίας στη Συχνότητα Μέθοδος Βέλτιστης Σχεδίασης (Ισοκυματική Μέθοδος) Δομές Υλοποίησης FIR Φίλτρων Ευθεία μορφή Μορφή καταρράκτη Μορφή πλέγματος (Lattice) 2

3 Εισαγωγή στα Ψηφιακά Φίλτρα Έλεγχος απολαβής (κέρδους) φίλτρου Φίλτρα ελάχιστης, μέγιστης, μικτής και γραμμικής φάσης Ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων Προδιαγραφές πραγματικών ψηφιακών φίλτρων 3

4 Εισαγωγή στα Ψηφιακά Φίλτρα Αν στην είσοδο ενός ΓΑΚΜ συστήματος με κρουστική απόκριση h[n] εφαρμοστεί μία μιγαδική εκθετική ακολουθία x n = Αe jnω 0, < n < +, ψηφιακής συχνότητας ω 0, τότε η έξοδος υπολογίζεται από τη συνέλιξη: y n = Α e jnω 0 + k= h k e jω 0k Η συνάρτηση H e jω ονομάζεται απόκριση συχνότητας και υπολογίζεται από τον DTFT της κρουστικής απόκρισης: + H e jω = h[k] e jωk k= Η απόκριση συχνότητας μπορεί να γραφεί σε πολική μορφή (μέτρο, φάση) ως: H e jω = H e jω e jφ H(ω) Τα διαγράμματά τους (συνήθως εκφρασμένα σε db) είναι τα φάσματα πλάτους (μέτρου) και φάσης, αντίστοιχα. 4

5 Εισαγωγή στα Ψηφιακά Φίλτρα Αν η κρουστική απόκριση είναι πραγματική ακολουθία τότε το πραγματικό μέρος και το πλάτος της απόκρισης συχνότητας του φίλτρου, εμφανίζουν άρτια συμμετρία: H R e jω = H R e jω και H R e jω = H R e jω Το φανταστικό μέρος, η φάση και η καθυστέρηση ομάδας εμφανίζουν περιττή συμμετρία: H I e jω = H I e jω, φ H ω = φ H ω και τ H ω = τ H ω Ένα ψηφιακό φίλτρο για να είναι πρακτικά υλοποιήσιμο πρέπει να είναι ευσταθές και προφανώς αιτιατό. Τα πρακτικά ψηφιακά φίλτρα είναι επίσης επιθυμητό να είναι γραμμικά και αμετάβλητα κατά τη μετατόπιση (ΓΑΚΜ). 5

6 Έλεγχος Απολαβής (Κέρδους) Φίλτρου Αν H e jω 0 > 1 τότε το φίλτρο προκαλεί ενίσχυση του σήματος εισόδου. Αν H e jω 0 < 1, τότε συμβαίνει εξασθένιση του σήματος εισόδου. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται φιλτράρισμα του σήματος εισόδου και μπορεί να οδηγήσει στην παραγωγή μίας εξόδου με επιθυμητά φασματικά χαρακτηριστικά. Ερώτημα: Με ποιόν τρόπο σχεδιασμού του ψηφιακού φίλτρου μπορεί να προσδιοριστεί κατάλληλα το πλάτος της απόκρισης συχνότητας σε δεδομένη συχνότητα ω 0 ώστε να προκύπτει είτε ενίσχυση είτε εξασθένιση του σήματος εισόδου στη συχνότητα αυτή; Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου μπορεί να γραφεί: H e jω = M m=0 b[m]e jmω N k=0 a[k]e jkω M = b[0] e j(n M)ω m=1(e jω z m ) N (e jω p k k=1 ) όπου z m είναι τα μηδενικά (zeros) και p k είναι οι πόλοι (poles) της απόκρισης συχνότητας. 6

7 Έλεγχος Απολαβής (Κέρδους) Φίλτρου Η απόκριση μέτρου μπορεί να εκφραστεί ως το πηλίκο του αθροίσματος των αποστάσεων των μηδενικών από τον μοναδιαίο κύκλο προς το άθροισμα των αποστάσεων των πόλων από τον μοναδιαίο κύκλο, για κάθε τιμή της ψηφιακής συχνότητας. Λαμβάνοντας επίσης υπόψη ότι ένα αιτιατό ΓΑΚΜ σύστημα είναι ευσταθές όταν και μόνο όταν όλοι οι πόλοι του βρίσκονται μέσα στον μοναδιαίο κύκλο, καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως για μία συγκεκριμένη συχνότητα ω 0 : Αν είναι επιθυμητή η ενίσχυση του σήματος εισόδου, τότε τοποθετούμε έναν πόλο πολύ κοντά στον μοναδιαίο κύκλο (και φυσικά εντός αυτού) σε γωνία ίση με τη συχνότητα ω 0. Αν είναι επιθυμητή η εξασθένιση του σήματος εισόδου, τότε τοποθετούμε ένα μηδενικό πολύ κοντά στον μοναδιαίο κύκλο σε γωνία ίση με τη συχνότητα ω 0. Σε κάθε περίπτωση, επιβάλλεται όλοι οι πόλοι του φίλτρου να βρίσκονται μέσα στον μοναδιαίο κύκλο, ώστε το φίλτρο να παραμένει ευσταθές. 7

8 Φίλτρα Ελάχιστης και Μέγιστης Φάσης Η θέση των μηδενικών του φίλτρου επηρεάζει τη φάση της απόκρισης συχνότητας. Συγκεκριμένα, το σύστημα είναι: Ελάχιστης φάσης όταν όλα τα μηδενικά βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου. Μέγιστης φάσης όταν όλα τα μηδενικά βρίσκονται εκτός του μοναδιαίου κύκλου. Μικτής φάσης όταν ορισμένα μηδενικά βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου και τα υπόλοιπα εκτός αυτού. Για παράδειγμα, το φίλτρο με συνάρτηση μεταφοράς: H(z) = (z 0.2)(z + 0.4) (z + 0.5)(z 0.7) είναι ελάχιστης φάσης, επειδή οι θέσεις των μηδενικών z 1 = 0.2 και z 2 = 0.4 βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου. 8

9 Φίλτρα Γραμμικής Φάσης Τα ψηφιακά φίλτρα έχουν γραμμική φάση, όταν η απόκριση συχνότητας μπορεί να γραφεί ως: H e jω = A e jω e jaω, a R όπου A e jω είναι μία πραγματική συνάρτηση της συχνότητας ω. Για τη φάση της απόκρισης συχνότητας H e jω ισχύει: φ Η ω = αω όταν A ejω 0 αω + π όταν A e jω < 0 Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για την επίτευξη γραμμικής φάσης είναι η συμμετρία των συντελεστών της κρουστικής απόκρισης. Στα φίλτρα γραμμικής φάσης η καθυστέρηση ομάδας είναι σταθερή. Άρα όλες οι συχνότητες του σήματος εισόδου υφίστανται την ίδια καθυστέρηση κατά τη διέλευσή τους από το ψηφιακό φίλτρο και έτσι δεν αλλοιώνεται η δομή του σήματος. H γραμμική φάση είναι ένα σημαντικό εγγενές χαρακτηριστικό στα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response, FIR). 9

10 Ιδανικά Φίλτρα Επιλογής Συχνοτήτων Ζώνη διέλευσης (pass zone): η περιοχή συχνοτήτων στην οποία H e jω = 1. Ζώνη αποκοπής (stop zone): η περιοχή συχνοτήτων στην οποία H e jω = 0. Συχνότητες αποκοπής (cut-off frequencies): οι οριακές συχνότητες που σημειώνουν τα άκρα της ζώνης διέλευσης και αποκοπής. 10

11 Ιδανικά Φίλτρα Επιλογής Συχνοτήτων Ιδανικό Βαθυπερατό Φίλτρο (Low Pass Filter, LPF): H e jω = 1, 0 ω ω c 0, ω c < ω < π Ιδανικό Υψιπερατό Φίλτρο (High Pass Filter, HPF): H e jω = 1, ω c < ω < π 0, 0 ω ω c Ιδανικό Ζωνοπερατό Φίλτρο (Band Pass Filter, BPF): H e jω = 1, ω 1 ω ω 2 0, 0 < ω < ω 1 και ω 2 < ω < π Ιδανικό Ζωνοφρακτικό Φίλτρο (Band Stop Filter, BSF): H e jω = 1, 0 < ω < ω 1 και ω 2 < ω < π 0, ω 1 ω ω 2 Προσοχή! Τα ιδανικά φίλτρα [FIR, IIR] είναι μη-αιτιατά, άρα μη-υλοποιήσιμα. 11

12 Προδιαγραφές Πραγματικών Ψηφιακών Φίλτρων Αποδεχόμενοι αποκλίσεις από την ιδανική απόκριση, φτιάχνουμε πραγματικά φίλτρα. Για παράδειγμα για τον σχεδιασμό πραγματικού βαθυπερατό φίλτρου θέτουμε: 1 δ p < H e jω 1 + δ p 0 ω < ω p (ζώνη διέλευσης) H e jω δ s ω s ω < π (ζώνη αποκοπής) Απόλυτες προδιαγραφές: ω p : συχνότητα αποκοπής στη ζώνη διέλευσης ω s : συχνότητα αποκοπής στη ζώνη αποκοπής δ p απόκλιση στη ζώνη διέλευσης δ s : απόκλιση στη ζώνη αποκοπής [ω p, ω s ] : ζώνη μετάβασης 12

13 Προδιαγραφές Πραγματικών Ψηφιακών Φίλτρων Σχετικές προδιαγραφές: R p : κυμάτωση στη ζώνη διέλευσης (passband ripple): R p = 20log 10 1 δ p 1 + δ p (db) A s : εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής (stopband attenuation): A s = 20log 10 δ s 1 + δ p (db) Ν: τάξη φίλτρου, είναι το μέγιστο αποδεκτό πλήθος συντελεστών h[n]. 13

14 Στάδια Υλοποίησης Ψηφιακών Φίλτρων 1. Καθορισμός των προδιαγραφών του φίλτρου 2. Υπολογισμός των συντελεστών του φίλτρου 3. Καθορισμός της δομής πραγματοποίησης 4. Ανάλυση σφαλμάτων λόγω του πεπερασμένου μήκους των συντελεστών 5. Υλοποίηση με λογισμικό ή υλικό 14

15 Φίλτρα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης Finite Impulse Response (FIR) Filters 15

16 Περιγραφή FIR φίλτρων στο πεδίο του χρόνου Περιγράφονται στο πεδίο του χρόνου από την κρουστική απόκριση: Μ 1 h n = b m δ n m m=0 Και από τη ΓΕΔΣΣ: y n = Μ 1 m=0 b m x n m Μ 1 = h m x n m m=0 Η τάξη του φίλτρου είναι ίση με το μήκος Μ της κρουστικής απόκρισης. Το πλήθος των δειγμάτων εισόδου που πρέπει να αποθηκεύονται για τον υπολογισμό ενός δείγματος εξόδου καθορίζει την τάξη του φίλτρου. Για κάθε ένα δείγμα εξόδου απαιτούνται Μ πολλαπλασιασμοί και Μ + 1 προσθέσεις. 16

17 FIR φίλτρο σαν «γραμμή καθυστέρησης» Θεωρούμε ένα FIR φίλτρο σαν μία γραμμή καθυστέρησης (delay line), στην οποία ολισθαίνουν τα δείγματα του σήματος εισόδου x[n] και από τους συντελεστές h[n] που πολλαπλασιάζονται με καθυστερήσεις x[n m]. Τα αποτελέσματα των πολλαπλασιασμών προστίθενται για να δώσουν την τελική έξοδο του φίλτρου y[n]. Π.χ. φίλτρο 10 ης τάξης θα αποθηκεύσει δέκα εισερχόμενα δείγματα που προηγούνται του τρέχοντος δείγματος. Όλα τα ένδεκα δείγματα θα επηρεάσουν το δείγμα εξόδου του FIR φίλτρου. 17

18 Περιγραφή FIR φίλτρων στο πεδίο της συχνότητας Συνάρτηση μεταφοράς: Απόκριση συχνότητας: Πλεονεκτήματα FIR φίλτρων: M 1 H z = b m z m m=0 M 1 H e jω = h m e jωm m=0 Πάντα ευσταθή, ακόμα και μετά την αποκοπή δεκαδικών ψηφίων των συντελεστών τους. Πάντα γραμμικής φάσης. Απλά στη σχεδίαση, υλοποιούνται με απλούς υπολογισμούς. Βρίσκουν πολλές πρακτικές εφαρμογές Μειονεκτήματα των FIR φίλτρων : Υλοποιούνται με περισσότερους υπολογισμούς, επομένως χρειάζονται περισσότερους υπολογιστικούς πόρους. Ορισμένες αποκρίσεις, δεν είναι δυνατό να εφαρμοστούν με φίλτρα FIR. 18

19 Τύποι FIR Φίλτρων Γραμμικής Φάσης Τύπος 1: Τάξη Ν περιττή και η h[n] συμμετρική ως προς το σημείο (N 1)/2. Τύπος 2: Τάξη Ν άρτια και h[n] συμμετρική ως προς κεντρικό σημείο που δεν συμπίπτει με κάποια τιμή της h[n]. Τύπος 3: Τάξη Ν περιττή και h[n] αντισυμμετρική ως προς το σημείο (N 1)/2. Τύπος 4: Τάξη Ν άρτια και h[n] αντισυμμετρική ως προς κεντρικό σημείο που δεν συμπίπτει με κάποια τιμή της h[n]. 19

20 Μέθοδοι Σχεδίασης FIR Φίλτρων Μέθοδος Παραθύρων Μέθοδος Δειγματοληψίας Συχνότητας Βέλτιστη Μέθοδος (Ισοκυματικό Φίλτρο) 20

21 Μέθοδοι Σχεδίασης FIR Φίλτρων Σχεδιασμός φίλτρου = υπολογισμός των συντελεστών h[n] ώστε το φίλτρο να πληροί τις επιθυμητές προδιαγραφές μέτρου και φάσης. Μέθοδοι σχεδιασμού FIR φίλτρων : Μέθοδος παραθύρων (windows method) - Λόγω της απλότητας και της αποτελεσματικότητάς της, είναι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη. Μέθοδος δειγματοληψίας στη συχνότητα (frequency sampling method) - Εύκολη στην κατανόηση και στη χρήση, αλλά παράγει φίλτρα με χαμηλή εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής. Μέθοδος βέλτιστης σχεδίασης (optimal method) - Δίνει την καλύτερη δυνατή απόκριση συχνότητας για συγκεκριμένο πλήθος συντελεστών. Όλες οι μέθοδοι μπορούν να παράξουν FIR φίλτρα γραμμικής φάσης. Ο υπολογισμός της τάξης του φίλτρου προκύπτει από επαναληπτική διαδικασία. Αν η ζώνη μετάβασης του σχεδιασμένου φίλτρου είναι: ευρύτερη από ότι χρειάζεται, τότε αυξάνεται η τάξη του φίλτρου. στενότερη από την απαιτούμενη, τότε μειώνεται η τάξη του φίλτρου ώστε να εξοικονομηθούν πόροι υλικού ή/και λογισμικού. 21

22 Μέθοδος Παραθύρων 22

23 Σχεδίαση Φίλτρων FIR Γραμμικής Φάσης με χρήση Παραθύρων Έστω ο σχεδιασμός ενός ιδανικού βαθυπερατού FIR φίλτρου με απόκριση συχνότητας: H d e jω = e jαω, ω < ω c 0, ω c < ω π Η κρουστική απόκριση h d [n] του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου είναι: h d n = F 1 H d e jω = = sin ω c n a π(n a) Περιορίζουμε την γενικά άπειρου μήκους απόκριση h d [n] με ένα παράθυρο w n : h[n] = h d [n] w[n] Το παράθυρο πρέπει να είναι συμμετρικό (δηλ. w[n] = w[n n]), για να έχουμε γραμμική φάση. Μετατοπίζουμε χρονικά την h[n] κατά n 0 = (N 1)/2 δείγματα, ώστε το φίλτρο να γίνει αιτιατό. Η απόκριση συχνότητας του φίλτρου είναι: H e jω = 1 2π H d e jω W e jω = 1 2π π π H d e jθ W e j(ω θ) dθ 23

24 Κοινά χρησιμοποιούμενες συναρτήσεις Παραθύρου Ορθογώνιο : w n = 1 0 n < N 0 αλλού Hamming: w[n] = 2πn cos, 0 n < N N 0 αλλού Hanning: w[n] = 2πn cos N, 0 n < N 0 αλλού Blackman: w[n] = 2πn cos cos 4πn, 0 n < N N N 0 αλλού 24

25 Επιπτώσεις του παραθύρου στα χαρακτηριστικά του φίλτρου To εύρος (Δ) κύριου λοβού της W e jω καθορίζει το εύρος της ζώνης μετάβασης (επιλεκτικότητα φίλτρου, selectivity) στην απόκριση συχνότητας H d e jω. Το πλάτος κορυφής (Α) του πλευρικού λοβού της W e jω καθορίζει την κυμάτωση (ripple) στην απόκριση συχνότητας H d e jω. Ιδανικό παράθυρο είναι αυτό που εξασφαλίζει: Εύρος κύριου λοβού, όσο το δυνατό πιο στενό. Πλάτος πλευρικών λοβών όσο το δυνατό πιο περιορισμένο. DTFT τυπικής συνάρτησης παραθύρου 25

26 Απόκριση συχνότητας κοινά χρησιμοποιούμενων συναρτήσεων παραθύρου Απόκριση συχνότητας παραθύρων: (α) σε γραμμική, (β) σε ημιλογαριθμική κλίμακα 26

27 Σύγκριση χαρακτηριστικών παραθύρων Τύπος Παραθύρου Κανονικοποιημένο εύρος κύριου λοβού Δ (Ν=20) Ζώνη Μετάβασης (Ν=20) Ελάχιστη εξασθένιση ζώνης αποκοπής παραθύρου Ελάχιστη εξασθένιση ζώνης αποκοπής φίλτρου Ορθογώνιο 0.1π 0.041π 13 db 21 db Bartlett 0.2π 0.11π 26 db 26 db Hanning 0.21π 0.12π 31 db 44 db Hamming 0.23π 0.14π 41 db 53 db Blackman 0.32π 0.2π 58 db 75 db 27

28 Σύγκριση χαρακτηριστικών παραθύρων Ορθογώνιο παράθυρο: πολύ χαμηλή εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής (13 db). Δεν προτιμάται για τη σχεδίαση FIR φίλτρων. Ομοίως και το τριγωνικό. Ωστόσο, όταν δεν απαιτούνται υψηλές εξασθενήσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί, διότι παρέχει έναν εύκολο τρόπο υπολογισμού των συντελεστών του. Hanning: έχει εντονότερη εξασθένιση από το τριγωνικό, ενώ για τις ίδιες απαιτήσεις εξασθένισης έχει στενότερη περιοχή μετάβασης, το οποίο θεωρείται πλεονέκτημά του. Hamming: εξασφαλίζει ελάχιστη εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής 53 db, η οποία είναι επαρκής για τις περισσότερες εφαρμογές. Η ζώνη μετάβασης είναι κάπως μεγαλύτερη από του Hanning. Πολύ δημοφιλές. Blackman: μαζί με τα παράθυρα Kaiser και Hamming είναι τα πιο δημοφιλή παράθυρα. Η υψηλή εξασθένιση του σχεδιαζόμενου φίλτρου (~75 db), κάνει αυτό το παράθυρο κατάλληλο για σχεδόν όλες τις εφαρμογές. Σε όλες τις περιπτώσεις η αύξηση της τάξης του φίλτρου μειώνει το εύρος της ζώνης μετάβασης, αλλά δεν επηρεάζει την εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής. 28

29 Μέθοδος Δειγματοληψίας στη Συχνότητα 29

30 Μέθοδος Δειγματοληψίας στη Συχνότητα Η επιθυμητή απόκριση συχνότητας H d e jω του ιδανικού φίλτρου υπόκειται σε δειγματοληψία σε Ν ισαπέχουσες συχνότητες στην περιοχή συχνοτήτων [0, 2π], δηλαδή: ω k = 2π N k, k = 0,1,, N 1 και παράγεται η ακολουθία H[k]: H[k] = H d (e j2πk/n ), k = 0,1,, N 1 H ακολουθία H[k] συνιστά έναν μετασχηματισμό DFT N-σημείων, από την οποία μπορεί να προκύψει η κρουστική απόκριση του προσεγγιστικού φίλτρου. Η απόκριση συχνότητας H e jω του προσεγγιστικού φίλτρου προκύπτει με παρεμβολή στα δείγματα της ακολουθίας H k και δίνεται από τη σχέση: H e jω = 1 e jωn N N 1 k=0 H k 1 e jω e j2πk/n Αντίστοιχα, η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου είναι: N 1 H z = h n z n n=0 = 1 z N N N 1 k=0 H k 1 z 1 e j2πk/n 30

31 Μέθοδος Δειγματοληψίας στη Συχνότητα Αν είναι επιθυμητό το φίλτρο να διαθέτει γραμμική φάση, τότε η ακολουθία H[k] πρέπει να έχει συζυγή συμμετρία: Ν: περιττό: H k = H N k, k = 1,2,, N 1 Ν: άρτιο: H k = H N k, H N 2 = 0, k = 1,2,, N 2 1 Η προσεγγιστική κρουστική απόκριση h[n] του FIR φίλτρου τάξης Ν 1 προκύπτει με αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier: h[n] = 1 N N 1 k=0 H k e j2πnk/n, 0 n < N 1 Η κρουστική απόκριση h[n] για Ν άρτιο, (για n = 0,1,, N 1) δίνεται από: h n = H 0 N + 1 N N/2 1 k= k H k cos πk(1 + 2n) N Για Ν περιττό αντικαθιστούμε το άνω όριο του αθροίσματος με (N 1)/2. Η προσεγγιστική κρουστική απόκριση h[n] συνδέεται με την ιδανική κρουστική απόκριση h d [n] : h[n] = h d [n + kn], 0 n < N 1 k= 31

32 Μέθοδος Δειγματοληψίας στη Συχνότητα Η παραπάνω διαδικασία έχει τα ακόλουθα αποτελέσματα: Στις συχνότητες για τις οποίες λαμβάνονται τα δείγματα της H d e jω, η διαφορά μεταξύ των H d e jω και H e jω είναι μηδενική, επομένως στις συγκεκριμένες συχνότητες το σφάλμα προσέγγισης της μεθόδου είναι μηδενικό. Στις υπόλοιπες συχνότητες το σφάλμα προσέγγισης εξαρτάται από το σχήμα της H d e jω και γίνεται μεγαλύτερο όταν η H d e jω έχει έντονες μεταβολές. Το σφάλμα προσέγγισης είναι μεγαλύτερο στα όρια μεταξύ των ζωνών διέλευσης και αποκοπής του φίλτρου. Η μέθοδος δειγματοληψίας στη συχνότητα δεν διαθέτει έναν εγγενή μηχανισμό ελέγχου του σφάλματος στις συχνότητες που παρεμβάλλονται μεταξύ των δειγμάτων. Έλεγχος του σφάλματος μπορεί να επιτευχθεί με την προσθήκη ενός ή περισσότερων δειγμάτων στις περιοχές μετάβασης και στην εφαρμογή ενός επαναληπτικού αλγορίθμου που μεγιστοποιεί την εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής ή ελαχιστοποιεί την κυμάτωση στη ζώνη διέλευσης. 32

33 Άσκηση 1 Να σχεδιαστεί ένα βαθυπερατό φίλτρο (LPF) με γραμμική φάση, συχνότητα αποκοπής ω c = 0.4π και μήκος Ν = 10 συντελεστές. Απάντηση: Διαιρούμε την περιοχή συχνοτήτων [0, 2π] σε Ν=10 ισομεγέθη τμήματα με βάση τη σχέση ω k = (2π/10)k = 0.2πk, k = 0,1,, 9. k = 0, ω 0 = 0, Η 0 = 1 k = 1, ω 1 = 0.2π, Η 1 = 1 k = 2, ω 2 = 0.4π, Η 2 = 1 k = 3, ω 3 = 0.6π, Η 3 = 0 k = 4, ω 4 = 0.8π, Η 4 = 0 k = 5, ω 5 = π, Η 5 = 0 k = 6, ω 6 = 1.2π, Η 6 = 0 k = 7, ω 7 = 1.4π, Η 7 = 0 k = 8, ω 8 = 1.6π, Η 8 = 1 k = 9, ω 9 = 1.8π, Η 9 = 1 Υπολογίζουμε την κρουστική απόκριση h[n] του προσεγγιστικού φίλτρου, για 0 n < 9 : h n = 1 N N 1 k=0 H k e j2πnk/n = k=0 H k e j2πnk/10 = e0 + 1e j2πn/10 + 1e j4πn/10 + 1e j16πn/10 + 1e j18πn/10 33

34 Άσκηση 1 Με κώδικα Matlab λαμβάνουμε την δειγματοληπτημένη απόκριση συχνότητας και την κρουστική απόκριση του προσεγγιστικού φίλτρου: (α) Δειγματοληπτημένη απόκριση συχνότητας (διάστημα [0,2π]) (β) Κρουστική απόκριση προσεγγιστικού φίλτρου 34

35 Άσκηση 1 Με κώδικα Matlab λαμβάνουμε την απόκριση συχνότητας του προσεγγιστικού φίλτρου FIR Διαπιστώνουμε φτωχή απόδοση της σχεδίασης, καθώς εμφανίζεται σημαντική κυμάτωση στη ζώνη διέλευσης ενώ η εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής είναι μόλις ~10 db. Βελτιώνουμε την απόδοση της μεθόδου αυξάνοντας την τάξη του φίλτρου. Ωστόσο και για μεγάλες τιμές της τάξης εξακολουθεί να παραμένει κυμάτωση στη ζώνη διέλευσης και μικρή εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής. Μια βελτίωση της μεθόδου βασίζεται στην προσθήκη δειγμάτων στη ζώνη μετάβασης. 35

36 Μέθοδος Άριστης Σχεδίασης (Ισοκυματική Μέθοδος) 36

37 Ισοκυματική Μέθοδος Οι μέθοδοι παραθύρων και δειγματοληψίας συχνότητας δεν παράγουν βέλτιστα φίλτρα, επειδή: Δεν προσφέρουν δυνατότητα ελέγχου της κυμάτωσης στη ζώνη διέλευσης και στη ζώνη αποκοπής. Παρουσιάζουν ασάφεια στον καθορισμό των συχνοτήτων αποκοπής των ζωνών διέλευσης και αποκοπής. Παρουσιάζουν αδυναμία για την ομοιόμορφη κατανομή του σφάλματος μεταξύ της ιδανικής και της προσεγγιστικής απόκρισης συχνότητας σε όλες τις ζώνες συχνοτήτων. Για να ελεγχθεί η κυμάτωση, υπερκτιμούνται οι προδιαγραφές του φίλτρου, ωστόσο η κυμάτωση εξακολουθεί να είναι ανομοιόμορφη στις ζώνες διέλευσης και αποκοπής. Η απαίτηση για σταθερή και ελεγχόμενη κυμάτωση στις ζώνες διέλευσης και αποκοπής οδηγεί στον ορισμό του ισοκυματικού φίλτρου (equiripple filter). Το ισοκυματικό φίλτρο θεωρείται το βέλτιστο FIR φίλτρο, επειδή επιτυγχάνει τις καλύτερες δυνατές προδιαγραφές στην απόκριση συχνότητας με το μικρότερο πλήθος συντελεστών. 37

38 Ισοκυματική Μέθοδος Η απόκριση συχνότητας ενός FIR φίλτρου γραμμικής φάσης γράφεται: H e jω = A e jω e jαω Αν το φίλτρο είναι τύπου 1, η απόκριση πλάτους μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο Chebyshev, τάξης L του cosω: A e jω L = α k cos(kω) k=0 L = α k cosω k k=0 Αν Α d e jω και Α e jω είναι οι αποκρίσεις πλάτους του ιδανικού και του προσεγγιστικού φίλτρου, ορίζουμε το μεταξύ τους σφάλμα: E e jω = W e jω A d e jω A e jω W e jω μία θετική συνάρτηση στάθμισης, την οποία μπορούμε να ορίσουμε κατάλληλα ώστε να ελέγξουμε την κυμάτωση είτε στη ζώνη διέλευσης είτε στη ζώνη αποκοπής. Αλγόριθμος Parks McClellan: επιλογή των κατάλληλων συντελεστών a(k) του φίλτρου ώστε να ελαχιστοποιηθεί η μέγιστη απόλυτη τιμή του σφάλματος E e jω κατά μήκος ενός συνόλου συχνοτήτων (ακροτάτων) στη ζώνη διέλευσης και στη ζώνη αποκοπής, αλλά όχι στη ζώνη μετάβασης (περιοχή αδιαφορίας). Μαθηματική διατύπωση: min α[k] max ω S E ejω όπουs 0, ω p [ω s, π] 38

39 Αλγόριθμος Parks McClellan 1. Επιλέγουμε ένα αρχικό σύνολο L + 2 ακρότατων συχνοτήτων (extrema). 2. Υπολογίζουμε το μέγιστο σταθμισμένο σφάλμα (ε) λύνοντας το σύστημα: 3. Εκτιμούμε τη συνάρτηση σφάλματος E e jω σε όλο το σύνολο συχνοτήτων S, με παρεμβολή Lagrange στις ακρότατες συχνότητες. 4. Βρίσκουμε τα L + 2 τοπικά μέγιστα της συνάρτησης E e jω για όλο το σύνολο S και κατόπιν υπολογίζουμε το μέγιστο σταθμισμένο σφάλμα max ω S E ejω. 5. Αν το θεώρημα εναλλαγής ικανοποιείται, δηλαδή max ω S E ejω < ε, τότε η επίλυση ολοκληρώθηκε και από το τρέχον σύνολο ακρότατων συχνοτήτων βρίσκουμε τους συντελεστές h[n] του φίλτρου με αντίστροφο DΤFT στη συνάρτηση H e jω. 6. Αν το θεώρημα εναλλαγής δεν ικανοποιείται, δηλαδή max ω S ejω > ε, τότε προσθέτουμε νέες συχνότητες στα σημεία που η συνάρτηση E e jω έχει τοπικά μέγιστα και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία από το βήμα 2. 39

40 Ισοκυματική Μέθοδος Ο αλγόριθμος κρατά σταθερές τις ποσότητες Ν, ω p και ω s με σκοπό να ελέγχει τα όρια των ζωνών και επιτρέπει τη μεταβολή των δ p και δ s. Ο σχεδιαστής μπορεί να γνωρίζει εκ των προτέρων το πλήθος των συντελεστών που απαιτούνται. Με τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης Park - McClellan: Υποθέτουμε ότι τα ακρότατα συχνοτήτων (extrema) είναι ομοιόμορφα τοποθετημένα στις ζώνες διέλευσης και αποκοπής. Εκτελούμε πολυωνυμική παρεμβολή και επαναπροσδιορίζουμε τις θέσεις των τοπικών ακρότατων. Μετακινούμε τα ακρότατα σε νέες θέσεις και επαναλαμβάνουμε μέχρι τα ακρότατα να σταματήσουν να μετακινούνται. 40

41 Προσδιορισμός τάξης φίλτρου Ο προσδιορισμός της κατάλληλης τάξης Ν του FIR φίλτρου είναι το αρχικό βήμα για τον σχεδιασμό του φίλτρου. Για FIR φίλτρα γραμμικής φάσης έχουν προταθεί διάφοροι εμπειρικοί τύποι. Ο απλούστερος είναι ο τύπος Kaiser: N = 20 log 10 δ p δ s ω s ω p 1 Στη βιβλιογραφία αναφέρονται και άλλοι προσεγγιστικοί τύποι υπολογισμού της τάξης. Κατά την έναρξη του αλγόριθμου Parks - McClellan δίνεται μία αρχική τιμή στην τάξη του φίλτρου, η οποία στη συνέχεια ενδέχεται να αλλάξει καθώς η τάξη συνδέεται αντιστρόφως ανάλογα με το μέγιστο σταθμισμένο σφάλμα. 41

42 Δομές Υλοποίησης FIR Φίλτρων Ευθεία μορφή Μορφή καταρράκτη Μορφή πλέγματος (Lattice) 42

43 Δομές υλοποίησης FIR φίλτρων Είναι σχηματικά διαγράμματα για τους διαφορετικούς αλλά ισοδύναμους τρόπους που μπορεί να οργανωθεί η συνάρτηση μεταφοράς H(z). Ευθεία Μορφή: Προκύπτει από την άμεση εφαρμογή της ΓΕΔΣΣ σε διάγραμμα βαθμίδων. Μορφή Καταρράκτη: Η συνάρτηση μεταφοράς παραγοντοποιείται σε μικρότερα τμήματα δεύτερης τάξης. Κάθε τμήμα υλοποιείται σε ευθεία μορφή και το συνολικό σύστημα προκύπτει από τη συνένωση των επιμέρους τμημάτων. Γραμμικής φάσης: Όταν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί κάποιες ιδιότητες συμμετρίας τότε η φάση του συστήματος είναι γραμμική. Λόγω της συμμετρίας μειώνεται το πλήθος των απαιτούμενων υπολογισμών. Δειγματοληψίας συχνότητας: Βασίζεται στον υπολογισμό DFT H[k] της κρουστικής απόκρισης. 43

44 Ευθεία Μορφή Για φίλτρο τάξης Μ + 1 και με συνάρτηση μεταφοράς H z = M m=0 b m z m το πλήθος υπολογισμών στην ευθεία μορφή, είναι: Πολλαπλασιασμοί: M + 1 για κάθε δείγμα εξόδου Προσθέσεις: M για κάθε δείγμα εξόδου Καθυστερήσεις: M Αν υπάρχουν συμμετρίες στην κρουστική απόκριση, το πλήθος των πράξεων μπορεί να μειωθεί. Δομή FIR συστήματος σε ευθεία μορφή 44

45 Άσκηση 2 (α) Να σχεδιαστεί η ευθεία μορφή του FIR συστήματος με κρουστική απόκριση: h[n] = an, 0 n 5 0, αλλού Απάντηση: (α) Η κρουστική απόκριση γράφεται: h n = α n u n n n 6 = δ 0 + aδ 1 + a 2 δ 2 + a 3 δ 3 + a 4 δ 4 + a 5 δ 5 από την οποία προκύπτει ότι το διάγραμμα βαθμίδων ευθείας μορφής είναι: Δομή FIR συστήματος σε ευθεία μορφή (Ν=6) 45

46 Άσκηση 2 (β) Να υπολογιστεί το πλήθος των πολλαπλασιασμών και των προσθέσεων που απαιτούνται για τον υπολογισμό κάθε δείγματος εξόδου καθώς και το πλήθος των καταχωρητών καθυστέρησης. Απάντηση: (β) Από το διάγραμμα βαθμίδων προκύπτει ότι το πλήθος υπολογισμών στην ευθεία μορφή είναι: Πολλαπλασιασμοί: 6 για κάθε δείγμα εξόδου Προσθέσεις: 5 για κάθε δείγμα εξόδου Καθυστερήσεις: 5 46

47 Μορφή Καταρράκτη Αν η κρουστική απόκριση h[n] είναι πραγματική ακολουθία τότε η συνάρτηση μεταφοράς H z μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο παραγόντων δεύτερης τάξης με πραγματικούς συντελεστές. Συγκεκριμένα και για N άρτιο, έχουμε: Ν/2 H z = b B k, 1 z 1 + B k, 2 z 2 k=1 όπου B k, 1, B k, 2 είναι πραγματικοί αριθμοί που αναπαριστούν τους συντελεστές των παραγόντων δεύτερης τάξης. Δομή FIR συστήματος σε μορφή καταρράκτη (Ν=4) 47

48 Μορφή Γραμμικής Φάσης Βασιζόμενοι σε ιδιότητες συμμετρίας της κρουστικής απόκρισης, απλοποιούμε τη μορφή του διαγράμματος βαθμίδων. Η κρουστική απόκριση μπορεί να είναι είτε συμμετρική είτε αντισυμμετρική, δηλαδή: h n = h[n n] ή h n = h[n n] Για συμμετρική κρουστική απόκριση και Ν άρτιο (φίλτρο τύπου Ι), η έξοδος είναι: (Μ/2) 1 y n = m=0 h m x n m + x n Ν + m + h N x n N 2 2 H σχέση αυτή υλοποιείται με το 50% των πράξεων της ευθείας μορφής. Ανάλογα ισχύουν και τα φίλτρα τύπου ΙΙ, ΙΙΙ και IV. Δομή FIR συστήματος σε φίλτρο τύπου Ι 48

49 Φίλτρο Πλέγματος FIR (Lattice FIR) Τα φίλτρα πλέγματος (lattice filters) είναι πολύ δημοφιλή επειδή: επιτυγχάνουν τις ίδιες επιδόσεις σε σχέση με τα IIR και FIR φίλτρα, αλλά με μικρότερο πλήθος συντελεστών, έχουν δυνατότητα αρθρωτής συνδεσμολογίας, είναι ευσταθή και παρουσιάζουν χαμηλή ευαισθησία στον κβαντισμό των συντελεστών τους. Χρησιμοποιούνται ευρέως στην ψηφιακή ανάλυση και σύνθεση ομιλίας, καθώς το χαμηλό πλήθος συντελεστών τους επιτρέπει την πραγματικού χρόνου υλοποίηση σύνθετων διαδικασιών. Χωρίζονται σε: Τύπου FIR Μόνο πόλων (all-pole) Πόλων και μηδενικών IIR 49

50 Φίλτρο Πλέγματος FIR (Lattice FIR) Ένα FIR φίλτρο πλέγματος μήκους M ή τάξης M-1 δημιουργείται από μία σειριακή συνδεσμολογία Μ-1 στοιχειωδών τετραπόλων (βαθμίδων). Μεταξύ των εισόδων - εξόδων ενός τετραπόλου ισχύουν οι ΓΕΔΣΣ: f m n = f m 1 n + K m g m 1 [n 1], m = 1,2,..., M 1 g m n = g m 1 n 1 + K m f m 1 [n], m = 1,2,..., M 1 Οι συντελεστές K m, m = 1,2,..., M 1 ονομάζονται συντελεστές ανάκλασης και προσδιορίζουν το φίλτρο πλέγματος. 50

51 Φίλτρο Πλέγματος FIR (Lattice FIR) Φίλτρο πλέγματος μήκους Μ M 1 Αν η συνάρτηση μεταφοράς FIR φίλτρου σε ευθεία μορφή είναι: H z = m=0 b m τότε οι συντελεστές του φίλτρου πλέγματος K m, m = 1,2,..., M 1 ως προς τους γνωστούς συντελεστές της ευθείας μορφής b m, m = 1,2,..., M 1 δίνονται από τις σχέσεις: Κ 0 = b 0 Κ Μ 1 = α Μ 1 Μ 1 = b Μ 1 b 0 Κ m = α m m, m = M 2,, 1 z m 51

52 Άσκηση 3 Οι συντελεστές ανάκλασης ενός φίλτρου πλέγματος FIR δεύτερης τάξης είναι K 1 = 1/4 και Κ 2 = 1/8. Να βρεθούν οι συναρτήσεις μεταφοράς πρώτης A 1 z και δεύτερης τάξης A 2 z, οι οποίες συνδέουν την είσοδο x[n] με τις f 1 [n] και f 2 [n], αντίστοιχα. Απάντηση: Για να υπολογίσουμε την A 1 z θέτουμε m = 1 στη σχέση A m z = A m 1 z + K m z m A m 1 (z 1 ) και βρίσκουμε: A 1 z = A 0 z + K 1 z 1 A 0 z 1 (1) Η αρχική συνθήκη είναι A 0 z = 1, επομένως και A 0 z 1 = 1. Άρα η σχέση 1 υπολογίζεται σε: Από τη σχέση 2 βρίσκουμε ότι: A 1 z = z 1 (2) A 1 z 1 = z (3) Ομοίως, για την A 2 z θέτουμε m = 2 στη σχέση 8.96 και έχουμε: A 2 z = A 1 z + K 2 z 2 A 1 z 1 4 Αντικαθιστούμε τις σχέσεις 2 και 3 στη σχέση 4 και βρίσκουμε: A 2 z = z z z = z z 2 52

53 Άσκηση 4 Να βρεθούν οι συντελεστές ανάκλασης του FIR φίλτρου δεύτερης τάξης με συνάρτηση μεταφοράς A 2 z = z 2. Απάντηση: Θέτουμε m = 2 στη σχέση A m z A 2 z = A 1 z + K 2 z 2 A 1 z 1 1 Το A 1 z βρίσκεται θέτοντας m = 1 στην ίδια σχέση: = A m 1 z + K m z m A m 1 (z 1 ) και έχουμε: A 1 z = A 0 z + K 1 z 1 A 0 z 1 (2) Επειδή A 0 z = 1 και A 0 z 1 = 1, η σχέση 1 γράφεται: Από τη σχέση 2 βρίσκουμε ότι: A 1 z = 1 + Κ 1 z 1 (3) A 1 z 1 = 1 + Κ 1 z (4) Αντικαθιστούμε τις σχέσεις 2, 3 και 4 στη σχέση 1 και βρίσκουμε: A 2 z = 1 + Κ 1 z 1 + K 2 z K 1 z = 1 + K 1 + K 1 K 2 z 1 + K 2 z 2 (5) Εξισώνουμε τους αντίστοιχους συντελεστές της δοθείσας συνάρτησης μεταφοράς Α 2 (z) και της σχέσης 5 και βρίσκουμε: K 2 = 1 2, Κ 1 = 0 53

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Η έννοια της Απόκρισης Συχνότητας Ιδιότητες της Απόκρισης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων

Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης Finite Impulse Response (FIR) filters y(n) = M k= bk x(n k) / 68 παράδειγμα (εισαγωγικό) y(n) = 9 x(n k ) k= 2/ 68 Βασικές κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 5

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 Α. Σχεδίαση Ψηφιακών Φίλτρων Β. Φίλτρα FIR Σχετικές εντολές του Matlab: fir, sinc, freqz, boxcar, triang, hanning, hamming, blackman, impz, zplane, kaiser. Α. ΣΧΕΔΙΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 19: Φίλτρα (IV) Σχεδιασμός φίλτρων FIR Είδαμε ότι για φίλτρα IIR συνήθως σχεδιάζουμε ένα φίλτρο ΣΧ και μετασχηματίζουμε Για φίλτρα FIR θα δούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων

Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων Κεφάλαιο 6 Σχεδιασμός FIR φίλτρων Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης Finite Impulse Response (FIR) filters y(n) = M k= bk x(n k) / 8 παράδειγμα (εισαγωγικό) y(n) = 9 k = x(n k ) 2 / 8 Βασικές κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

10-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα

10-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα -Μαρτ-9 ΗΜΥ 49. Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα . Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Είδη παραθύρων Bartlett τριγωνικό: n, n Blacman: πn 4πn.4.5cos +.8cos, n < . Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 3 Hamming:

Διαβάστε περισσότερα

20-Μαρ-2009 ΗΜΥ Φίλτρα απόκρισης πεπερασμένου παλμού (FIR)

20-Μαρ-2009 ΗΜΥ Φίλτρα απόκρισης πεπερασμένου παλμού (FIR) ΗΜΥ 429 14. Φίλτρα απόκρισης πεπερασμένου παλμού (FIR) 1 Γενικά βήματα για σχεδιασμό φίλτρων (1) Προσδιορισμός χαρακτηριστικών του φίλτρου: Χαρακτηριστικά σήματος (π.χ. μέγιστη συχνότητα) Χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Γραμμικά Φίλτρα 1. Ιδανικά Γραμμικά Φίλτρα Ιδανικό Κατωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ανωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ζωνοδιαβατό

Διαβάστε περισσότερα

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου Σχεδίαση φίλτρων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Προσεγγίσεις εύρεσης του αντίστροφου ΜΖ Τυπικά ο i-zt γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 10: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT)

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 13: Ψηφιακά Φίλτρα IIR Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ψηφιακά Φίλτρα IIR Εισαγωγή στα Φίλτρα Άπειρης Κρουστικής Απόκρισης (IIR) Σχεδίαση IIR Φίλτρων Γενική

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 11: Εφαρμογές DFT Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Υπολογισμός Γραμμικής Συνέλιξης

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Το ζεύγος εξισώσεων που ορίζουν το

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου ΜΑΘΗΜΑ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ 6. Εισαγωγή Τα φίλτρα είναι µια ειδική κατηγορία ΓΧΑ συστηµάτων τα οποία τροποποιούν συγκεκριµένες συχνότητες του σήµατος εισόδου σε σχέση µε κάποιες άλλες. Η σχεδίαση ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1) Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 7: Μετατροπή Σήματος από Αναλογική Μορφή σε Ψηφιακή Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετατροπή Αναλογικού Σήματος σε Ψηφιακό Είδη Δειγματοληψίας: Ιδανική

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 13: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (Ι) Περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων Έχουμε δει τις παρακάτω πλήρεις περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων: 1. Κρυστική απόκριση (impulse

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φίλτρων µε τηµέθοδο των παραθύρων

Σχεδιασµός Φίλτρων µε τηµέθοδο των παραθύρων Σχεδιασµός Φίλτρων µε τηµέθοδο των παραθύρων (ή µέθοδο Μετ/σµού. Fourier) Νοέµβριος 25 ΨΕΣ Βασίζεται στον αντίστροφο µετ/σµό Fourier (IDTFT). ηλ. δίνεται η µορφή της απόκρισης συχνότητας Η(ω) και ζητείται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του μαθήματος

Παρουσίαση του μαθήματος Παρουσίαση του μαθήματος Εργαστήριο 1 Ενότητες Μαθήματος 1. Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΙΚΟΝΑ Τι είναι ψηφιακή εικόνα. Τι σημαίνει Επεξεργασία εικόνας. Ανάλυση εικόνας σε συχνότητα ( Μετασχηματισμός Fourier σε εικόνα)

Διαβάστε περισσότερα

1) Να σχεδιαστούν στο matlab οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω ακολουθιών στο διάστημα, χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις delta και step.

1) Να σχεδιαστούν στο matlab οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω ακολουθιών στο διάστημα, χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις delta και step. 1) Να σχεδιαστούν στο matlab οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω ακολουθιών στο διάστημα, χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις delta και step. Α) Β) Ε) F) G) H) Ι) 2) Αν το διακριτό σήμα x(n) είναι όπως στην

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων

Ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 9 με Μετασχηματισμούς Κεφ. 5 (εκτός 5.7.4 και 5.3 μόνο από διάλεξη) Ένα ΓΧΑ σύστημα καθορίζεται πλήρως από Κρουστική απόκριση (impulse response)

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός FIR φίλτρων

Σχεδιασµός FIR φίλτρων Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 88 Σχεδιασµός FIR φίλτρων 6. Εισαγωγή FIR φίλτρα είναι ψηφιακά φίλτρα πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response). ηλ εφαρµογή της κρουστικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας Ο Μετασχηματισμός Fourier Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 1: Σήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Σήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή Διαφορές Αναλογικής Ψηφιακής Επεξεργασίας Παραγωγή Ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6) Ασκήσεις με το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 8 Οκτωβρίου 015 1. Εστω το

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 17: Φίλτρα (II)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 17: Φίλτρα (II) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 17: Φίλτρα (II) Φίλτρα Bu*erworth, Chebyshev και ελλειπτικά φίλτρα Είναι οι πιο δημοφιλείς τεχνικές σχεδιασμού φίλτρων συνεχούς χρόνου (Appendix

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Εφαρμογές της Ανάλυσης Fourier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι.

Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΞ. ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΧΕΙΜ. 00 - ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Για τα παρακάτω συστήματα εισόδου εξόδου α. y ( 3x( x( n ) β. y ( x( n ) / γ. y ( x( x( n ) δ. y( x( n ) Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας-Φίλτρα Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας,

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι. ΙΑΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΔΙΑΛΕΞΗ 5α. Σημειώσεις μαθήματος: E mail:

Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι. ΙΑΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΔΙΑΛΕΞΗ 5α. Σημειώσεις μαθήματος: E mail: Ιατρικά Ηλεκτρονικά Δρ. Π. Ασβεστάς Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας Τ.Ε Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/courses/tio127/ E mail: pasv@teiath.gr 2 1 Περιοδικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

FFT. Θα επικεντρωθούμε στο ΔΜΦ αλλά όλα ισχύουν και για τον

FFT. Θα επικεντρωθούμε στο ΔΜΦ αλλά όλα ισχύουν και για τον University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 5 και Ανάλυση με (Κεφ. 9.0-9.5, 10.0-10.2) ΟΔΜΦ Ο αντίστροφος ΔΜΦ Θα επικεντρωθούμε στο ΔΜΦ αλλά όλα ισχύουν και για τον αντίστροφο ΔΜΦ

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ.

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ. Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM / x X x X x X x 3 x DFT X 3 X x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7 / DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 5 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst215

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 10 Κεφ. 7.0-7.2 Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες Σχεδιασμός Φίλτρου Καθορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2.

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Το φέρον σε ένα σύστημα DSB διαμόρφωσης είναι c t A t μηνύματος είναι το m( t) sin c( t) sin c ( t) ( ) cos 4 c και το σήμα. Το διαμορφωμένο σήμα διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT. Σ.

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT. Σ. Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRASFORM x x x IDFT X X X x 3 x 4 DFT X 3 X 4 x 5 X 5 x 6 X 6 x 7 X 7 DFT - Ορισμοί αναφέρεται σε μία πεπερασμένου μήκους ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Εξεταστική Ιανουαρίου 27 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Θέµα 1 ο (3%) Έστω δύο διακριτά σήµατα: x(n) = {1,,, -1} και h(n) = {1,, 1} µε το πρώτο δείγµα να αντιστοιχεί σε n= και για τα δύο. Υπολογίστε τα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Λαμίας Τμήμα Ηλεκτρονικής

Τ.Ε.Ι. Λαμίας Τμήμα Ηλεκτρονικής Τ.Ε.Ι. Λαμίας Τμήμα Ηλεκτρονικής Σχεδίαση Φίλτρων IIR ( Infinite Impulse Response Filters ) Μπαρμπάκος Δημήτριος Τζούτζης Έλτον-Αντώνιος Τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης ( Infinite Duration Impulse

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6 Σχεδίαση FIR και IIR φίλτρων στο Matlab

ΑΣΚΗΣΗ 6 Σχεδίαση FIR και IIR φίλτρων στο Matlab Σ. Φωτόπουλος Ασκήσεις ΨΕΣ 1 ΑΣΚΗΣΗ 6 Σχεδίαση FIR και IIR φίλτρων στο Matlab Στην άσκηση αυτή γίνεται σχεδιασµός FIR και ΙΙR ψηφιακών φίλτρων. (Σε επόµενη άσκηση θα γίνει και η υλοποίηση µε τον επεξεργαστή

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 2: Ανάλυση Fourier και Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μέρος 1: Ανάλυση Fourier 2 Ανάλυση Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 14: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (ΙI) Απόκριση συχνοτήτων σε ρητή μορφή Χ (e jω ) Είδαμε ότι (όταν υπάρχει) η απόκριση συχνοτήτων H(e jω ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

stopband Passband stopband H L H ( e h L (n) = 1 π = 1 h L (n) = sin ω cn

stopband Passband stopband H L H ( e h L (n) = 1 π = 1 h L (n) = sin ω cn Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 22: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 7: Σχεδιασμός Φίλτρων!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων στο: http://www.eg.ucy.ac.cy/chadcha/

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας Μιγαδικά εκθετικά σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων Πίνακας Ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

H ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. στις τηλεπικοινωνίες

H ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. στις τηλεπικοινωνίες H ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ στις τηλεπικοινωνίες Διάταξη συστήματος ψηφιακής επικοινωνίας Γεννήτρια σήματος RF, (up-coverter Ενισχυτής Προενισχυτής- dow-coverter- Ψηφιοποιητής σήματος RF Μονάδα ψηφ.

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Φίλτρων. Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Σχεδιασμός Φίλτρων. Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Σχεδιασμός Φίλτρων Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Εισαγωγή Τα φίλτρα IIR (Infinite Impulse Response) είναι φίλτρα των οποίων η κρουστική απόκριση δεν είναι πεπερασμένη. Συνήθως χρησιμοποιούνται οι παρακάτω τρείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ Εργαστήριο Ηλεκτρακουστικής Ι Άσκηση 1 - Σελίδα 1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ/ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΑΚΟΥΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αρχικά, για την καλύτερη κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 5: Μετασχηματισμός Ζ Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2

Ψηφιακά Φίλτρα. Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 20/5/2005 2 Ψηφιακά Φίλτρα Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα 20/5/2005 1 Αναλογικά και ψηφιακά φίλτρα Στην επεξεργασία σήματος, η λειτουργία ενός φίλτρου είναι να απομακρύνει τα ανεπιθύμητα μέρη ενός σήματος, όπως ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Το εργαστήριο αυτό ασχολείται με τα «διασημότερα συστήματα στην επεξεργασία σήματος. Αυτά δεν είναι παρά τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ) συστήματα. Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2004., η οποία όµως µπορεί να γραφεί µε την παρακάτω µορφή: 1 e ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 AΣΚΗΣΗ () [ ] (.5)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform

DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform Νοέµβριος 5 ΨΕΣ Ορισµοί O διακριτός µετασχηµατισµός Fourier DFT, αναφέρεται σε µία πεπερασµένου µήκους ακολουθία σηµείων και ορίζεται ως εξής: X(

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σήμα; Παραδείγματα: Σήμα ομιλίας. Σήμα εικόνας. Σεισμικά σήματα. Ιατρικά σήματα

Τι είναι σήμα; Παραδείγματα: Σήμα ομιλίας. Σήμα εικόνας. Σεισμικά σήματα. Ιατρικά σήματα Τι είναι σήμα; Σεραφείμ Καραμπογιάς Ως σήμα ορίζεται ένα φυσικό μέγεθος το οποίο μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο ή το χώρο ή με οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή ή μεταβλητές. Παραδείγματα: Σήμα

Διαβάστε περισσότερα

27/4/2009. Για την υλοποίηση τέτοιων αλγορίθμων επεξεργασίας απαιτείται η χρήση μνήμης. T η περίοδος δειγματοληψίας. Επίκ. Καθηγητής.

27/4/2009. Για την υλοποίηση τέτοιων αλγορίθμων επεξεργασίας απαιτείται η χρήση μνήμης. T η περίοδος δειγματοληψίας. Επίκ. Καθηγητής. Μάθημα: «Ψηφιακή Επεξεργασία Ήχου» Διάλεξη 6 η : «Επεξεργαστές με Μνήμη (Mέρος ΙI)» Φλώρος Ανδρέας Επίκ. Καθηγητής Από προηγούμενο μάθημα... Αναπαράσταση καθυστέρησης ενός δείγματος η περίοδος δειγματοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Δισδιάστατα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 06: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response (F.I.R.) Filters)

Άσκηση 06: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response (F.I.R.) Filters) ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ / ΣΤΕΦ / ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Μάθημα: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ (Εργαστήριο) Ε εξάμηνο Εξάμηνο: Χειμερινό 2014-2015 Άσκηση 06: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Finite

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές.

Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές. Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές. Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας Πίεση P() Σήµα εικόνας y I

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 06-7 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x t, t,

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 2 ΦΙΛΤΡΑ BUTTERWORTH: Τα βαθυπερατά φίλτρα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Ασκήσεις για το μάθημα: «Μετρήσεις Φυσικών Μεγεθών»

Ενδεικτικές Ασκήσεις για το μάθημα: «Μετρήσεις Φυσικών Μεγεθών» Ενδεικτικές Ασκήσεις για το μάθημα: «Μετρήσεις Φυσικών Μεγεθών» Άσκηση 1 Τα φίλτρα Butterworth χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα, η συνάρτηση απόκρισής τους να είναι ιδιαίτερα επίπεδη στην περιοχή διέλευσης.

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος Παρουσίαση Νο. 2. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα #1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 009-0 Παρουσίαση Νο. Δισδιάστατα Σήματα και Συστήματα # Βασικοί ορισμοί () Κάθε εικόνα είναι ένα δισδιάστατο (-D) σήμα. Αναλογική εικόνα: x α Ψηφιακή

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Filter Design - Part IΙI. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

Filter Design - Part IΙI. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1 Filter Design - Part IΙI Νοέµβριος 5 ΨΕΣ Designing a filter : define H( & translate it into Difference Equation Νοέµβριος 5 ΨΕΣ Τύποι φίλτρν Τα 4 βασικά είδη φίλτρν είναι: Η =. Βαθυπερατό ή κατπερατό (Low-pass.

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι. ΙΑΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΔΙΑΛΕΞΗ 5γ. Σημειώσεις μαθήματος: E mail:

Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Χρήσιμοι Σύνδεσμοι. ΙΑΤΡΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ - ΔΙΑΛΕΞΗ 5γ. Σημειώσεις μαθήματος: E mail: Ιατρικά Ηλεκτρονικά Δρ. Π. Ασβεστάς Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας Τ.Ε Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/courses/tio127/ E mail: pasv@teiath.gr 2 1 Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 20 Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Α. Εγκατάσταση Αφού κατεβάσετε το συµπιεσµένο αρχείο µε το πρόγραµµα επίδειξης, αποσυµπιέστε το σε ένα κατάλογο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙςΤΗΜΗς & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑς ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 2 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst233

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 45 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα