Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Transcript

1 Σεµινάριο Ατοµάτο Ελέγχο Μάθηµα 7 Εκτίµηση Esimaion στοχαστικών µεγεθών και παραµέτρων µε σνεχείς και διακριτούς αλγόριθµος Καλλιγερόπολος 7

2 Εκτίµηση Esimaion στοχαστικών µεγεθών και παραµέτρων Σνεχή και διακριτά µεγέθη ιακριτά είναι τα βότσαλα Σνεχής είναι η θάλασσα ιακριτό (discree) λέγεται ένα µέγεθος όταν ατό παίρνει διακριτές τιµές Σνεχές (coninuous) λέγεται ένα µέγεθος όταν ατό παίρνει σνεχείς τιµές Η ιδιότητα πο ξεχωρίζει τα διακριτά από τα σνεχή µεγέθη είναι η σνέχεια (coninui): Ένα σνεχές µέγεθος έχει την ιδιότητα µεταξύ δύο οιονδήποτε τιµών το και να πάρχει πάντα µια ενδιάµεση τιµή ή σε µια οποιαδήποτε περιοχή ε γύρω από ατό να πάρχει επίσης µία τιµή το ιδίο µεγέθος Σχέσεις µεταξύ µεγεθών Οι φσικοί αριθµοί n,,3, είναι διακριτοί Οι σχέσεις: πρόσθεση + και πολλαπλασιασµός επί φσικών αριθµών δηµιοργούν πάλι φσικούς αριθµούς Η σχέση αφαίρεση δηµιοργεί όµως το σύνολο των ακέραιων αριθµών:, ±, ±,, πο περιέχον το και τος αρνητικούς αριθµούς Η διαίρεση δηµιοργεί το σύνολο των ρητών αριθµών: m n Η σχέση το τετραγωνισµού αριθµούς Η αντίστροφη σχέση της ρίζας αριθµούς, πχ n επί φσικών αριθµών δηµιοργεί φσικούς n δηµιοργεί τος άρρητος ή πραγµατικούς Η σχέση της ρίζας επί των ακέραιων αριθµών δηµιοργεί τος φανταστικούς αριθµούς, πχ j Η επέκταση των πραγµατικών αριθµών στο διδιάστατο επίπεδο δηµιοργεί τος µιγαδικούς αριθµούς, πχ + j Οι πραγµατικοί αριθµοί είναι σνεχείς αριθµοί, πο δηµιοργήθηκαν όµως από σχέσεις επί των διακριτών φσικών αριθµών 7

3 Σχέσεις µεταξύ µεγεθών Ο χρόνος είναι σνεχές µέγεθος ιακριτός µπορεί να θεωρηθεί ο χρόνος µόνο προσεγγιστικά, µε τη µέθοδο της δειγµατοληψίας ή διάκρισης (sampling ή discreisaion):,,,, Σνεχή λέµε µία χρονική σνάρτηση, δηλαδή µια σνάρτηση το σνεχούς χρόνο, ή ένα χρονικά µεταβαλλόµενο µέγεθος (), πχ ( ) ηµω ιακριτή λέµε µια σνάρτηση το διακριτού χρόνο: ) {,,, },,,,, ( Μία διακριτή σνάρτηση το χρόνο () τείνει στην σνεχή σνάρτηση () όταν ( ) Η µετάβαση από τη µία µορφή στην άλλη γίνεται µέσω της σχέσης το ορίο Σχέσεις σνεχών και διακριτών σναρτήσεων ιαφορά στην χρονική διακριτή σνάρτηση,,, }, {,,, ορίζεται η σχέση: + ιαφορικό στην αντίστοιχη σνεχή χρονική σνάρτηση (), (, ) ορίζεται το όριο της διαφοράς: d lim Μεταβολή ή σχετική διαφορά της διακριτής σνάρτησης ορίζεται η σχέση: Παράγωγος της σνεχούς χρονικής σνάρτησης () ορίζεται το d όριο της µεταβολής: lim d 7 3

4 7 4 Αντίστροφη διαφορά και µεταβολή Αντίστροφη διαφορά της διακριτής σνάρτησης ορίζεται η σχέση:, ώστε να ισχύει: + Τι είναι η αντίστροφη διαφορά; Αναλτικά ισχύει: Προσθέτοντας προκύπτει: + Άρα η αντίστροφη διαφορά είναι το ολικό άθροισµα Αντίστροφη µεταβολή της διακριτής σνάρτησης ορίζεται η σχέση:, όπο, ώστε να ισχύει:, άρα Τι είναι η αντίστροφη µεταβολή; Αναλτικά ισχύει: Προσθέτοντας προκύπτει: + Άρα + ή + Στις σνεχείς σναρτήσεις η αντίστροφη σχέση της παραγωγού ) ( d d είναι το ολοκλήρωµα d ) ( ) (, πο προκύπτει από το όριο: + lim ) (

5 Σνεχή και διακριτά σστήµατα Το σύστηµα εκφράζεται από µία σχέση εισόδο-εξόδο Η είσοδος u και η έξοδος ενός σστήµατος µπορεί να είναι σνεχείς: u( ), ( ) ή διακριτές: u, σναρτήσεις το χρόνο Οπότε η µαθηµατική σχέση το σστήµατος θα είναι: µία σνεχής διαφορική εξίσωση (differenial equaion) ή µία διακριτή εξίσωση διαφοράς (difference equaion) Η σνεχής εξίσωση -τάξης: ( ) a u( ) διακριτοποιείται στην εξίσωση: a u d Η σνεχής διαφορική εξίσωση -τάξης: + a ( ) b u( ) διακριτοποιείται d στην εξίσωση διαφοράς: + a b u ή + + ( a ) b u, δηλαδή + + α β u d d Η σνεχής διαφορική εξίσωση -τάξης: + a + a ( ) b u( ) d d διακριτοποιείται στην εξίσωση: + + α + + α β u Και η σνεχής διαφορική εξίσωση n-τάξης: n d d + + a + a b u + + b n ( ) ( ) d d m m d u m d διακριτοποιείται στην εξίσωση: + n + + α + + α β u + + β m u + m 7 5

6 Ορισµένα και τχαία µεγέθη Ορισµένο είναι το µετρήσιµο και το προβλέψιµο Τχαίο είναι το άγνωστο και ο απρόβλεπτο Ορισµένο (deerminisic) λέγεται ένα µέγεθος όταν παίρνει ορισµένες τιµές Τχαίο (sochasic) λέγεται ένα µέγεθος ξ όταν οι τιµές πο παίρνει δεν είναι µετρήσιµες, γνωστές ή προκαθορισµένες, αλλά κµαίνονται τχαία µέσα σε ορισµένα όρια Η ιδιότητα πο ξεχωρίζει ατά τα δύο είδη µεγεθών είναι η αβεβαιότητα (uncerain) Αντίστοιχα ορίζεται ορισµένη µια χρονική σνάρτηση () όταν ατή παίρνει ορισµένες τιµές, πχ ( ) ηµω, και τχαία ξ () όταν οι τιµές της είναι απροσδιόριστες Τα ορισµένα και τα τχαία µεγέθη µπορεί να είναι σνεχή ή διακριτά Τα τχαία µεγέθη ορίζονται στατιστικά Ο καθορισµός τος δηλαδή απαιτεί περισσότερες από µία µετρήσεις (οριακά άπειρες) 7 6

7 Στατιστικός ορισµός τχαίων µεγεθών Έστω ένα τχαίο γεγονός A, πο παροσιάζεται n A φορές σε µετρήσεις Σχνότητα το τχαίο γεγονότος A ορίζεται η σχέση: f A n A Οριακά η σχνότητα γίνεται πιθανότητα (probabili): P A na lim Εξετάζοντας τώρα τχαία ή αβέβαια µεγέθη ξ, ορίζοµε ως αβέβαιο γεγονός A τη σχέση ξ, δηλαδή το αβέβαιο µέγεθος ξ να είναι µικρότερο το πραγµατικού και ορισµένο αριθµού Τότε µπορούµε να αντιστοιχίσοµε στο αβέβαιο ατό γεγονός µιαν ορισµένη πραγµατική σνάρτηση F () Σνάρτηση κατανοµής (disribuion funcion) ενός τχαίο µεγέθος ξ ορίζεται η σνάρτηση: F( ) P( ξ ) και πκνότητα κατανοµής (disribuion densi) η df( ) f ( ) d 7 7

8 ιακριτά και σνεχή στατιστικά µέτρα Ένα τχαίο µέγεθος ξ κινείται γενικά γύρω από έναν µέσον όρο m και µία απόκλιση σ, πο ορίζονται ως εξής: Μέσος όρος (mean value) ενός τχαίο διακριτού µεγέθος ξ πο παίρνει τχαία διακριτές τιµές,,, } σε µετρήσεις ορίζεται το µέτρο: m { Ενώ εάν το τχαίο διακριτό µέγεθος παίρνει τχαία τις διακριτές τιµές,,, } µε σχνότητες f, f,, f αντίστοιχα σε M µετρήσεις τότε: { m f Απόκλιση (deviaion) ενός τχαίο διακριτού µεγέθος ορίζεται στην πρώτη περίπτωση το µέτρο: σ και στη δεύτερη: ( m) σ ( m) f Μέσος όρος, αναµενόµενη τιµή (epeced value) ή εκτιµώµενη τιµή (esimaed value) ενός τχαίο σνεχούς µεγέθος ξ ορίζεται το µέτρο: m E{ξ } f ( ) d Απόκλιση ή διασπορά (variance) ενός τχαίο σνεχούς µεγέθος ορίζεται: ( σ Ε{( ξ m ) } m) f ( ) d Η διασπορά είναι ένα µέτρο εύρος το τχαίο µεγέθος Το µέγεθος ατό βρίσκεται δηλαδή µέσα στα όρια ( m σ, m + σ ) µε πιθανότητα 67% 7 8

9 Εκτίµηση στοχαστικών ή µικτών µεγεθών Μικτό ονοµάζεται ένα µέγεθος πο περιέχει τόσο έναν ορισµένο όσο και έναν τχαίο παράγοντα πχ ( ) a + ( ), όπο a άγνωστος αλλά ορισµένος σντελεστής και () τχαίος θόρβος µε µέσον όρο m Εκτίµηση (esimaion) το µικτού µεγέθος () ορίζεται η διαδικασία πολογισµού το ορισµένο σντελεστή πο περιέχει, η απάλειψη δηλαδή το θορύβο ιακριτή εκτίµηση Έστω µία σειρά διακριτών µετρήσεων:,, } το µικτού µεγέθος { Έστω a ο άγνωστος πό εκτίµηση ορισµένος σντελεστής το µεγέθος ατού Ορίζοµε ως στιγµιαίο σφάλµα τη χρονική στιγµή τη διαφορά: e a Και ως σνάρτηση σφάλµατος, σε ένα διάστηµα (, ), την τετραγωνική σχέση: E e ( a) Θεωρούµε στο διάστηµα ατό το a σταθερό και πολογίζοµε ως â την καλύτερη εκτίµηση το a, δηλαδή εκείνη πο κάνει την σνάρτηση σφάλµατος E ελάχιστη: E min a E aˆ : a Είναι Άρα E a ( a) aˆ 7 9

10 Αλγοριθµικά: + a ˆ ˆ ( a ) (( + ) aˆ + aˆ ) aˆ + ( aˆ ) + + ή ˆ ˆ ˆ + a + K + e + a, όπο e aˆ Αλγοριθµικός πολογισµός το K + : ˆ + + K, K + + K + K + K K + K + K K Άρα K + K K ( + K ) K Από τις εξισώσεις ατές προκύπτει ένας επαγωγικός αλγόριθµος για τον πολογισµό της εκτιµώµενης παραµέτρο a τη χρονική στιγµή : â Μετρήσεις: Εξίσωση διαφοράς της εκτιµώµενης παραµέτρο a ˆ ˆ ˆ + a + K + e + Εκτιµώµενο σφάλµα: eˆ + + aˆ Εξίσωση διαφοράς το σντελεστή Κ: K K K ( + K ) K + µε αρχικές σνθήκες: a ˆ, K πχ: Κ ε 3 7

11 Σνεχής εκτίµηση Έστω µια γνωστή µέτρηση της χρονικής σνάρτησης (), (, ) µεγέθος Η εκτιµώµενη τιµή την χρονική στιγµή είναι: ˆ ( ) a ενός µικτού Το σφάλµα είναι: e( ) ( ) a Η σνάρτηση σφάλµατος είναι: E( ) e ( ) d ( ( ) a) d Το καλύτερο εκτιµώµενο a την χρονική στιγµή : aˆ( ) είναι ατό πο ελαχιστοποιεί την E ( ) : E() min E( ) aˆ( ) : : a α άρα Ε( Τ) α ( ( ) a) d aˆ ( ) ( ) d Η σχέση ατή µπορεί να γραφεί µε τη µορφή διαφορικής εξίσωσης: daˆ d d d ( ) d d d ( ) ( ) d ( ) aˆ( ) ( ( ) aˆ( )) ( ) ( ) d ή daˆ d ˆ eˆ aˆ K e όπο και dk K οπότε d Άρα dk d K 7

12 Οι διαφορικές ατές εξισώσεις αποτελούν τον σνεχή αλγόριθµο εκτίµησης της άγνωστης παραµέτρο a και επιτρέπον την εξοµοίωσή το σε ένα µη γραµµικό αναλογικό διάγραµµα Σνοπτικά: Μετρήσεις: daˆ ιαφορική εξίσωση εκτιµώµενης παραµέτρο: K d Εκτιµώµενο σφάλµα: eˆ ( ) aˆ dk ιαφορική εξίσωση το σντελεστή Κ: K d Αρχικές σνθήκες: a ˆ, K µε ε : µικρό πχ: ε eˆ Κ 3 Αναλογικό διάγραµµα: 7

13 Παράδειγµα Ζητείται η διακριτή και σνεχής εκτίµηση µιας κρφής ορισµένης παραµέτρο a, όταν δίνεται µια σειρά διαταραγµένων µε θόρβο µετρήσεών της ιακριτή Εκτίµηση παραµέτρο ίνονται µία σειρά διακριτών µετρήσεων {,, } 7 3