Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I 3 2 Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Περιεχόμενα Βασικά Στοιχεία Μηχανίκών Συστημάτων σε Μεταφορική Κίνηση Αδράνεια Ελαστικότητα Απόσβεση Εξωτερικές δυνάμεις Ισχύς και Ενέργεια

4 Διακριτά Στοιχεία Σε Μηχανικά Συστήματα Αδράνεια Μεταφορικής Κίνησης m Ελαστικότητα Απόσβεση Εξωτερικές Δυνάμεις k c f ext (t)

5 Αδράνεια Ελαστικότητα Απόσβεση- Εξ. Δυνάμεις Μάζα, αδράνεια, απόσβεση, Εξ. Δυνάμεις στα παρακάτω συστήματα Σε κάθε σύστημα υπάρχουν/κυριαρχούν διαφορετικά στοιχεία.. Κίνηση ιστιοπλοϊκού Κίνηση γερανού Δόνηση χορδής κιθάρας

6 Αδράνεια Η μάζα m περιγράφει την σχέση ορμής ταχύτητας Για υλικό σημείο / στερεό σώμα σε μεταφορική κίνηση σε 1 διάσταση l = m u Κινητική ενέργεια μάζας m σε ταχύτητα u : m Τ = 1 2 m u2 Ισούται με το εμβαδόν κάτω από την γραφική l(u) Καταστατική εξίσωση στοιχείου f = m du dt l u

7 Ελαστικότητα Ένα γραμμικό ελατήριο σταθεράς k περιγράφει την σχέση δύναμης παραμόρφωσης f = k δx Δυναμική ενέργεια ελατηρίου k παραμορφωμένο κατά δx: k U(δx) = 1 2 k δx2 Ισούται με το εμβαδόν κάτω από την γραφική f(δx) Καταστατική εξίσωση στοιχείου df = k δu dt δu = δ x f δx

8 Ελαστικότητα H σχετική παραμόρφωση του ελατηρίου δx είναι η διαφορά των μετατοπήσεων στους ακροδέκτες 1, 2 δx = x 2 x 1!! προσοχή στα πρόσημα παραμορφώσεων και δυνάμεων k l k Σημείο ισορροπίας: δx = 0, f k = 0 Έκταση: x 2 > x 1 δx > 0, f k < 0 f k x x 2 f k Συμπίεση: x 2 < x 1 δx < 0, f k > 0

9 Ελαστικότητα H δύναμη ελατηρίου είναι δύναμη επαναφοράς f = k δx Δύναμη αντιστέκεται στην παραμόρφωση/κίνηση δx Η δύναμη ελατηρίου για δεδομένη δx μπορεί να υπολογιστεί από την κλίση της δυναμικής ενέργειας U(δx): f δx = du(δx) U(δx) dδx To δx όπου η U ελαχιστοπιείται είναι το σημείο ισορροπίας του ελατηρίου δx

10 Ελαστικότητα Ελατήρια σε σειρά Κοινή δυναμη Κυριαρχεί η πιο εύκαμπτη k1 k2 m 1 k se m k se = 1 k k 2 Ελατήρια παράλληλα Κοινή μετατόπιση Κυριαρχεί η πιο δύσκαμπτη k1 k2 k1 m m k2 k pa m k pa = k 1 + k 2

11 Ελαστικότητα Eκτός από τα γραμμικά, υπάρχούν και μη-γραμμικά ελατήρια H σχέση δύναμης επαναφοράς-παραμόρφωσης είναι μη-γραμμική f = f(δx) Πάντα, η δύναμη ελατηρίου για δεδομένη δx μπορεί να υπολογιστεί από την κλίση της δυναμικής ενέργειας U(δx): f δx = du(δx) dδx To δx όπου η U ελαχιστοπιείται είναι το σημείο ισορροπίας του ελατηρίου U(δx) δx

12 Γενικευμένη Ελαστικότητα Υπάρχουν δυνάμεις f x που ασκούνται λόγω της δυναμικής ενέργειας U x από κάποιο φυσικό φαινόμενο Περιγράφουν αποθήκευση δυναμικής ενέργειας Παράδειγμα: Βαρύτητα U grav z = mgz f grav z = du grav z = mg dz Όταν οι δυνάμεις είναι δυνάμεις επαναφοράς μπορούν να θεωρηθούν σαν ένα «εικονικό» ελατήριο Παράδειγμα: Βαρύτητα+Άνωση Παράδειγμα: Ομοιοπολικός δεσμός U grav z z

13 Γενικευμένη Ελαστικότητα λόγω Βαρύτητας Σε αυτό το μάθημα, όταν ζητείται να ληφθεί υπόψην η βαρύτητα θα σας αναφέρεται Στα σχήματα θα φαίνεται καθαρά η επιτάχυνση της βαρύτητας Παράδειγμα: F(t) g Μ c c T θ L m

14 Γενικευμένη Ελαστικότητα Παράδειγμα: Βαρύτητα + Άνωση U(z) Παράδειγμα: Ομοιοπολικός δεσμός z eq Γιατί 2 άτομα άνθρακα C μένουν ενωμένα? Ποιος καθορίζει την απόσταση μεταξύ τους? Πόσο εύκολο είναι να απομακρύνθούν? z

15 Απόσβεση Ένας γραμμικός αποσβεστήρας σταθεράς c περιγράφει μια γραμμική σχέση δύναμης διαφοράς ταχύτητας στους ακροδέκτες f = c δu Αυτή είναι και η καταστατική εξίσωση στοιχείου c Ο αποσβετήρας μετατρέπει μηχανικό έργο σε θερμότητα λόγω τριβών. Η ισχύς P που μετατρέπεται σε θερμότητα ισούται με P = f δu = c δu 2 H ισχύς του αποσβεστήρα είναι πάντα αρνητική κατανάλωση ισχύος απομακρύνει ενέργεια από το σύστημα

16 Απόσβεση H σχετική ταχύτητα στα άκρα του αποσβεστήρα δu είναι η διαφορά των ταχυτήτων στους ακροδέκτες 1, 2 δu = u 2 u 1!! προσοχή στα πρόσημα ταχυτήτων και δυνάμεων 1 2 f c c 1 2 u 1 c u 2 f c Ηρεμία: u 2 = u 1 = 0 δu = 0, f c = 0 Μηδενική σχετική κίνηση: u 2 = u 1 δu = 0, f c = 0 Σχετική κίνηση u 2 > u 1 δu > 0, f c < 0 u 2 < u 1 δu > 0, f c > 0

17 Απόσβεση Τρόποι αναπαράστασης γραμμικής απόσβεσης u m u m c Μ Ισοδύναμα c Μ Ολίσθηση χωρίς τριβή f c Μ f c = c δu = c u m 0 = c u m

18 Απόσβεση Ο γραμμικός αποσβεστήρας είναι μια βολική προσέγγιση αλλά δεν είναι πάντα μιακαλή προσέγγιση της πραγματικότητας. Ένας μη γραμμικός αποσβεστήρας περιγράφει μια μη-γραμμική σχέση δύναμης διαφοράς ταχύτητας στους ακροδέκτες f = f δu sign(δu) Ένας αποσβεστήρας πάντα καταναλώνει ισχύ!! P = f δu 0 Παραδείγματα μη-γραμμικών αποσβεστήρων: Τριβή Coulomb Αεροδυναμική αντίσταση

19 Απόσβεση Τριβή Coulomb f(u) = F stick f(u) F stick, u = 0 F slip, u > 0 F slip, u < 0 Αεροδυναμική Αντίσταση Το μέτρο της είναι ανάλογο του u 2 f(u) = 1 2 c D ρ A u u Πηγή: Dr K. Craig Οι μη-γραμμικές αποσβέσεις κάνουν το μοντέλο πολύπλοκο, πολλές φορές όμως είναι βασικό στοιχείο του και καθορίζουν την συμπεριοφορά του

20 Εξωτερικές Δυνάμεις Περιγράφουν δυνάμεις που ασκούνται από το περιβάλλον σε στοιχεία του συστήματος (συνήθως σε μάζες) Καθορίζονται από το περιβάλλον του συστήματος!!!! Δύο είδη εξωτερικών δυνάμεων Ελεγχόμενες είσοδοι (η τιμή τους καθορίζεται από μελετητή/χρήστη) Μη-ελεγχόμενες είσοδοι (η τιμή τους καθορίζεται από περιβάλλον) f drag f prop f dist

21 Εξωτερικές Δυνάμεις Μια δύναμη f(t) ασκείται σε κάποιο σημείο F. Έστω r F (t) και u F (t) η θέση και η ταχύτητα του σημείου F αντίστοιχα. Η u F (t) (βλέπε υπολογισμούς κινηματικής) μπορεί να εκφραστεί ως προς την χρονική παράγωγο των Β.Ε. μέσω ενός Ιακωβιανού πίνακα J F (q): u F t = J F (q) q H ισχύς που μεταφέρει η δύναμη f(t) είναι: P(t) = u F t T f(t) Όταν u F t T f t > 0 η f(t) προσφέρει ενέργεια στο συστημα Όταν u F t T f t < 0 η f(t) καταναλώνει ενέργεια από το συστημα

22 Εξωτερικές Δυνάμεις Παράδειγμα προσφοράς/κατανάλωσης ισχύος α β f α f Ισοδύναμα β u m Μ Όταν u m > 0 u m f α > 0 η f α προσφέρει ενέργεια στο συστημα (κουτί) u m f β < 0 η f β καταναλώνει ενέργεια από το συστημα Όταν u m < 0 u m f α < 0 η f α καταναλώνει ενέργεια από το συστημα u m f β > 0 η f β προσφέρει ενέργεια στο συστημα

23 Αδράνεια Ελαστικότητα Απόσβεση- Εξ. Δυνάμεις Μάζα, αδράνεια, απόσβεση, Εξ. Δυνάμεις στα παρακάτω συστήματα Σε κάθε σύστημα υπάρχουν/κυριαρχούν διαφορετικά στοιχεία.. Σε κάθε σύστημα αδράνεια/ελαστικότητα έχουν άλλη κατανομή και μέγεθος Σε κάθε σύστημα ελαστικότητα/απόσβεση έχουν διαφορετικές πηγές Κίνηση ιστιοπλοϊκού Κίνηση γερανού Δόνηση χορδής κιθάρας

24 Ισχύς και Ενέργεια To δυνατό έργο της δύναμης f(t) που ασκείται στο σημείο F είναι: δw t = δr F t T f t To δw t μπορεί να θεωρηθεί ως το απειροστό ποσό ενέργειας που προσφέρεται/καταναλώνεται από την δύναμη f(t) Μας εδιαφέρει να εκφράσουμε το δw t ως συνάρτηση των Β.Ε. Χρησιμοποιούμε τον Ιακωβιανό πίνακα J F q για την ταχύτητα του σημείου που ασκείται η δύναμη: δw t = J F q δq T f t δw t = δq T J F (q) T f t

25 Ισχύς και Ενέργεια Σε μηχανικά συστήματα που κάνουν μεταφορική κίνηση, μεταβλητές ισχύος είναι η δύναμη f t και η ταχύτητα u(t) Η δύναμη f t είναι μεταβλητή τύπου «σθένος» Η ταχύτητα u(t) είναι μεταβλητή τύπου «ροή» Για κάθε διακριτό στοιχείο (m, k, c, f ext ) Η καταστατική του εξίσωση περιγράφει την σχέση μεταξύ των f t και u(t) του στοιχείου. Η ισχύς που προσφέρει/καταναλώνει από το σύστημα ισούται με P(t) = f(t) u(t) Μάζα: P m t = f m t u m t Ελαστικότητα: P k t = f k t u k t Απόσβεση: P c t = f c t u c t Εξωτερική δύναμη: P f t = f t u F t

26 Ισχύς και Ενέργεια Περιβάλλον c m k m k m Σύστημα k c f ext2 t f ext1 t

27 Ισχύς και Ενέργεια Η δυναμική συμπεριφορά ενός συστήματος πηγάζει στον τρόπο που η ενέργεια αποθηκεύεται/μεταφέρεται μεταξύ των στοιχείων του συστήματος

28 Ισχύς και Ενέργεια Πολύπλοκα συστήματα αναλύονται σε απλούστερα που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους Υπερσύστημα