ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά ένα ύνοο το οποίο είναι αποτέεµα µιας απεικόνιης υνάρτηης των τοιχείων του δειγµατοχώρου τους πραγµατικούς αριθµούς. Για να γίνει αυτό κατανοητό δίνουµε το παρακάτω παράδειγµα: έτω ότι ρίχνουµε δύο νοµίµατα τότε ως γνωτόν ο δειγµατοχώρος του πειράµατος είναι ίος µε: Ω ΚΚ ΚΓ ΓΚ ΓΓ} Ας υποθέουµε ότι µας ενδιαφέρει ο αριθµός των Κ τα οποία εµφανίζονται και ας υµβοίουµε τον αριθµό αυτό µε Χ. Τότε εάν κατά την εκτέεη του πειράµατος υµβεί το γεγονός ΚΚ η αντίτοιχη τιµή του Χ είναι. Εάν υµβεί το γεγονός ΚΓ ή το ΓΚ η αντίτοιχη τιµή του Χ είναι και εάν τέος υµβεί το γεγονός ΓΓ η αντίτοιχη τιµή του Χ είναι. Έτι ορίαµε έναν τρόπο µε την βοήθεια του οποίου ε κάθε δειγµατοηµείο αντιτοιχούµε έναν πραγµατικό αριθµό µ άα όγια ορίαµε µια υνάρτηη Χ µε πεδίο οριµού τον δειγµατοχώρο και πεδίο τιµών το υπούνοο } των πραγµατικών αριθµών. Έτι οιπόν έχουµε τον παρακάτω οριµό: Οριµός.. Μια τυχαία µεταβητή Χ χάριν υντοµίας τ.µ. είναι µία υνάρτηη µε πεδίο οριµού έναν δειγµατοχώρο Ω και πεδίο τιµών ένα υπούνοο των πραγµατικών αριθµών δηαδή η : Ω R. Παρατήρηη.. Στην πραγµατικότητα αν θεωρήουµε µια οποιαδήποτε υνάρτηη Χ µε πεδίο οριµού έναν δειγµατοχώρο Ω τον οποίο έχει οριτεί µια -άγεβρα γεγονότων I και πεδίο τιµών ένα υπούνοο των πραγµατικών αριθµών τότε η εν όγω υνάρτηη θεωρείται ότι είναι µια τυχαία µεταβητή εάν ικανοποιεί την υνθήκη: για κάθε πραγµατικό αριθµό το ύνοο: 9

2 ] ω / Χ ω }..3 είναι ένα γεγονός του Ω αναφορικά µε την -άγεβρα I. Είναι φανερό ότι εάν αν -άγεβρα I θεωρήουµε το δυναµούνοο του Ω τότε κάθε πραγµατική υνάρτηη του δειγµατοχώρου θεωρείται τυχαία µεταβητή. Για τις εφαρµογές του εν όγω υγγράµµατος θεωρούµε ότι όες οι πραγµατικές υναρτήεις που ορίζονται έναν δειγµατοχώρο είναι τυχαίες µεταβητές. Αν υποθέουµε ότι τον δειγµατοχώρο Ω µαζί µε την -άγεβρα του I ορίζεται ένα «µέτρο» πιθανότητας και µια τυχαία µεταβητή Χ τότε µε την βοήθεια της Χ ορίζουµε το R τον οποίο χώρο είναι οριµένη µια -άγεβρα Β καούµενη -άγεβρα του Borl ένα µέτρο πιθανότητας L ως εξής: L A A ω / ω A}..4 για όα τα Α Borl γεγονότα του R. Το µέτρο πιθανότητας L καείται νόµος ή κατάνοµή της τ.µ. Χ. Οριµός..5 Έτω τώρα ότι δίνεται µια τ.µ. Χ τότε ορίζουµε µια υνάρτηη F : R R µε τύπο: F L ] ] ω Ω : ω }..6 Η υνάρτηη F καείται υνάρτηη κατανοµής disribuio ucio της τ.µ. Χ υνήθως γράφουµε. F Εάν δυο τ.µ. Χ και Υ έχουν την ίδια υνάρτηη κατανοµής δηαδή F τότε έµε ότι οι τ.µ. είναι ιόνοµες ή ταυτοτικά κατανεµηµένες. Πρόταη..7 Η υνάρτηη κατανοµής ιδιότητες: F Η F είναι αύξουα. 3 Η F είναι υνεχής από δεξιά ε όα τα F lim F. + 4 F lim F και F F Y της τ.µ. Χ έχει τις παρακάτω R δηαδή: F + lim F. + 5 a < b F b F a a b

3 . ιακριτές και υνεχείς τυχαίες µεταβητές κατανοµές Α ιακριτές τυχαίες µεταβητές κατανοµές Μια τυχαία µεταβητή Χ καείται διακριτή αν το πήθος των τιµών της είναι ένα πεπεραµένο ή το πού αριθµήιµο ύνοο και κάθε µια από αυτές τις τιµές έχει θετική πιθανότητα. ηαδή αν η Χ είναι µια διακριτή τ.µ. και παίρνει τις τιµές ας υποθέουµε ακόµα ότι: < τότε οι πιθανότητες Είναι φανερό ότι: < ω / ω } p >. } p Οριµός.. Η υνάρτηη που ορίζεται από τον τύπο: p } αού.. καείται πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. Χ probabili dsi ucio. Είναι φανερό ότι η πυκνότητα πιθανότητας µιας τ.µ. ικανοποεί τις παρακάτω ιδιότητες: α και β Η πυκνότητα πιθανότητας και η υνάρτηη κατανοµής µιας τ.µ. υνδέονται ως εξής: F } } F F } < } } Αναφέρουµε παρακάτω οριµένες πυκνότητες πιθανότητας οι οποίες εµφανίζονται υνήθως την πράξη και χρηιµοποιούνται την υνέχεια του υγγράµµατος. Λέµε οιπόν ότι µια τ.µ. Χ ακοουθεί: } α την διωνυµική κατανοµή biomial disribuio µε παραµέτρους και p υµβοικά B ; p εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της δίνεται από την:

4 ! } p p p p!!..3 β την κατανοµή oisso oisso disribuio µε παράµετρο µε > υµβοικά εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ιούται µε: }..4! γ την γεωµετρική κατανοµή gomrical disribuio µε παράµετρο r µε <r< εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ιούται µε: } r r..5 Β Συνεχείς τυχαίες µεταβητές κατανοµές Έτω τώρα ότι το το πήθος των τιµών µιας τ.µ. Χ είναι ένα µη-αριθµήιµο ύνοο τέτοιο ώτε }. Η τ.µ. Χ καείται αυτή την περίπτωη υνεχής. Τις περιότερες φορές υποθέτουµε ότι υπάρχει µια πραγµατική µη αρνητική υνάρτηη η εγόµενη πυκνότητα πιθανότητας τέτοια ώτε: F d R..6 Από τον οριµό της πυκνότητας πιθανότητας είναι εύκοο να δει κανείς ότι: d..7 ενώ df για όα τα για τα οποία η είναι υνεχής. d Οι χρηιµότερες υνεχείς τ.µ. είναι αυτές των οποίων η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται παρακάτω. Θα έµε ότι µια τ.µ. Χ ακοουθεί: α την οµοιόµορφη κατανοµή uiorm disribuio µε παραµέτρους α και β υµβοικά U α β εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την: β [ α β ] α < β β α..8 αού την κανονική κατανοµή ormal disribuio µε παραµέτρους µ και υµβοικά N µ εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίη µε:

5 µ R µ R > π..9 Εάν µ και τότε έµε ότι η τ.µ. Χ ακοουθεί την τυπική κανονική κατανοµή sadard ormal disribuio. γ την αρνητική εκθετική κατανοµή gaiv poial disribuio µε παράµετρο µε > εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίη µε: >.. δ την γάµµα κατανοµή gamma disribuio µε παραµέτρους α και β µε α β> εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την χέη: όπου η υνάρτηη: Γ α β > a Γ α β.. α α d καείται υνάρτηη γάµµα. Μπορεί να δειχθεί ότι : Γ a a Γ a απ όπου παίρνουµε Γ! για φυικό. Η αρνητική εκθετική κατανοµή είναι ειδική περίπτωη της γάµµα κατανοµής για α και β/. Ακόµα την περίπτωη που το α/ και β τότε η γάµµα κατανοµή ονο- µάζεται χι-τετράγωνο µε έναν βαθµό εευθερίας υµβοικά. Το παρακάτω θεώρηµα περιγράφει πως βρίκουµε την πυκνότητα πιθανότητας µιας υνάρτηης µιας τ.µ. όταν είναι γνωτή η π.π. της αρχικής τ.µ. χ Θεώρηµα.. µεταχηµατιµός µιας τυχαίας µεταβητής Έτω η τ.µ. Χ µε υνεχή εκτός ενδεχοµένως πεπεραµένου πήθους ηµείων π.π. η οποία είναι θετική για και για τα υπόοιπα. Έτω g : T µια αµφιµονοήµαντη και επί υνάρτηη. Υποθέτουµε ακόµα ότι η υπάρχουα αντίτροφη υνάρτηη g : T είναι παραγωγίιµη και η παράγωγός της είναι υνεχής. Εάν ορίουµε την τ.µ. Y g τότε η πυκνότητα πιθανότητας της δίνεται από την χέη: 3

6 Y [ g ] d d g T T '..3.3 Αριθµητικά χαρακτηριτικά µιας τυχαίας µεταβητής Έτω Χ µια τ.µ. και έτω ότι η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι γνωτή. Τότε τουάχιτον θεωρητικά µπορούµε να υποογίουµε όες τις πιθανότητες οι οποίες µας ενδιαφέρουν. Από µαθηµατική άποψη όµως υπάρχουν ποές φορές δυκοίες που κάνουν αυτούς τους υποογιµούς αδύνατους. Γι αυτό δίνουµε παρακάτω οριµένους αριθµούς που χαρακτηρίζουν την τ.µ. Χ ή την κατανοµή της. Οριµός.3. Η µέη τιµή ma ή µαθηµατική επίδα pcaio µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας είναι ο αριθµός: µ E + d διακριτή υνεχής.3. µε την προυπόθεη ότι οι ποότητες του δεξιού µέους έχουν νόηµα δηαδή τόο το άθροιµα όο και το οοκήρωµα του δεξιού µέους είναι πεπεραµένα. Εάν τώρα g είναι µια πραγµατική υνάρτηη τότε η υνάρτηη Y g είναι µια τ.µ. Η µέη τιµή της Υ όταν υπάρχει υποογίζεται: E Y E[ g ] + g g d διακριτή υνεχής.3.3 Οριµός.3.4 α Εάν g r τότε η µέη τιµή της Y g καείται ροπή r-τάξεως της τ.µ Χ. β Εάν g ΕΧ r τότε η µέη τιµή της Y g καείται κεντρική ροπή r-τάξεως της τ.µ Χ. Είναι φανερό ότι η ροπή πρώτης τάξεως µιας τ.µ είναι η µέη της τιµή ενώ η 4

7 κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα µηδέν. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουιάζει η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης µιας τ.µ. η οποία καείται διαπορά της τ.µ. ηαδή η διαπορά µιας τ.µ. Χ δίνεται από την χέη: Χ V E[E ] E E.3.5 Η τετραγωνική ρίζα της διαποράς καείται τυπική απόκιη της τ.µ. Η µέη τιµή καθώς και η διαπορά τ.µ µε κατανοµές αυτές που αναφέρθηκαν την παράγραφο. δίνονται αναυτικά τον πίνακα που υπάρχει το τέος του υγγράµµατος. Η παρακάτω ανιότητα δίνει ένα άνω φράγµα µιας ενδιαφέρουας πιθανότητας µε την βοήθεια της µέης τιµής και της διαποράς µιας τ.µ. Πρόταη.3.6 Aνιότητα του Tchbichv Έτω Χ µια τ.µ. µε πεπεραµένη µέη τιµή ΕΧ και διαπορά Χ. Τότε για οιονδήποτε θετικό αριθµό c έχουµε: E c}.3.7 c Οριµός.3.8 Η ροπογεννήτρια µιας τ.µ. Χ ορίζεται από την χέη: M διακριτή E d υνεχής δοθέντος ότι οι ποότητες τος δεξί µέος του οριµού είναι πεπεραµένες υνήθως για c c για κάποιο c>. Το παρακάτω θεώρηµα δίνει τις βαικές ιδιότητες της ροπογεννήτριας µιας τ.µ. Θεώρηµα.3. α M πάντα. Το ηµείο µπορεί να είναι και το µοναδικό ηµείο το οποίο υπάρχει η ροπογεννήτρια µιας τ.µ. β d d M E N.3. µε την προυπόθεη ότι η ροπή οτής τάξης του δεξιού µέους είναι πεπεραµένη. 5

8 .4 Πουδιάτατες τυχαίες µεταβητές: κατανοµές και ροπές Εάν είναι δυό διακριτές τ.µ. οι οποίες ορίζονται τον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω και οι οποίες παίρνουν τιµές ένα ύνοο. Οριµός.4. Εάν ορίουµε µια υνάρτηη τον τύπο: το από }.4. τότε η υνάρτηη αυτή καείται από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. έχει δε τις παρακάτω ιδιότητες: a β B B} B B B και ιδιαίτερα: Η υνάρτηη που ορίζεται από την χέη: B γεγονότα.4.3 είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. Οι π.π. καούνται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της. 3 Η υνάρτηη F που δίνεται από την χέη: F.4.4 } καείται από κοινού υνάρτηη κατανοµής των τ.µ. οι δε ιδιότητες της είναι ανάογες εκείνων της υνάρτηης κατανοµής µιας τ.µ. 4 Εάν για κάθε τέτοιο ώτε > ορίουµε την υνάρτηη από την χέη: }.4.5 τότε η εν όγω υνάρτηη καείται δεµευµένη ή υπό υνθήκες πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι. 6

9 Έτω τώρα δυο υνεχείς τ.µ. οι οποίες ορίζονται τον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω και οι οποίες παίρνουν τιµές ένα ύνοο. Οριµός.4.6 Εάν υπάρχει µια υνάρτηη a β το τ.ω: B B} d d B B γεγονότα και ιδιαίτερα: τότε η υνάρτηη καείται από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ.. B B + + Η υνάρτηη που ορίζεται από την χέη: + d.4.7 είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. Οι π.π. καούνται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της. 3 Η υνάρτηη F που ορίζεται από την χέη: F } d d.4.8 καείται από κοινού υνάρτηη κατανοµής των τ.µ.. 4 Εάν για κάθε τέτοιο ώτε > ορίουµε την υνάρτηη από την χέη:.4.9 τότε η εν όγω υνάρτηη καείται δεµευµένη ή υπό υνθήκες πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι. Όοι οι παραπάνω οριµοί γενικεύονται και την περίπτωη που έχουµε περιότερες από δυο τ.µ διακριτές ή υνεχείς. Εάν δυο τ.µ. και Y g µία τ.µ. η οποία είναι υνάρτηη 7

10 των τ.µ. τότε: Οριµός.4. Η µαθηµατική επίδα ή µέη τιµή της τ.µ. ορίζεται από την χέη: EY Eg + + g g d d Y g διακριτές υνεχείς µε την προυπόθεη ότι οι ποότητες του δεξιού µέους έχουν νόηµα δηαδή είναι πεπεραµένες. Ακόµα: Οριµός.4. Η διαπορά της τ.µ. Y g ορίζεται από την χέη: Y + + [ g Eg [ g Eg ] ] d d όταν οι ποότητες του δεξιού µέους είναι πεπεραµένες. διακριτές υνεχείς Οριµός.4. Η από κοινού ροπογεννήτρια των τ.µ δίνεται από την: + διακριτές M dd υνεχείς Ο παραπάνω οριµός µπορεί να γενικευτεί εύκοα και την περίπτωη µιας τ.µ. Y g. Οριµός.4.3 Η υνδιαπορά των τ.µ ορίζεται να είναι ο παρακάτω αριθµός: E[ E E ] E C E E Εάν C τότε οι τ.µ. καούνται αυχέτιτες. Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ένα άνω και κάτω φράγµα της υνδιαποράς δυο τ.µ. 8

11 Θεώρηµα.4.4 Ανιότητα του chwarz Ιχύει: C Οι διαπορές τυχαίων µεταβητών υνδέονται µε τις υνδιαπορές τους µε την βοήθεια της παρακάτω χέης. Θεώρηµα.4.5 Ιότητα του Biam Εάν j j τ.µ. µε πεπεραµένη διαπορά τότε: j j i< j C i j.4.6 Εάν οι τ.µ. j j είναι ανά δύο αυχέτιτες τότε έχουµε: j j Εάν τους οριµούς η π.π. αντικαταταθεί από µια δεµευµένη πυκνότητα τότε η αντίτοιχη µέη τιµή και διαπορά έγονται δεµευµένη µέη τιµή και δεµευµένη διαπορά αντίτοιχα δηαδή έχουµε τους παρακάτω οριµούς: Οριµός.4.8 Η δεµευµένη ή υπό υνθήκες µέη τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι ορίζεται από την χέη: επίης: E + d διακριτές υνεχείς δο- Οριµός.4.9 Η δεµευµένη ή υπό υνθήκες διαπορά της τ.µ. θέντος ότι ορίζεται από την χέη + [ [ E E ] ] d διακριτές υνεχείς Παρατήρηη.4. Είναι φανερό από τον οριµό.4.8 ότι η δεµευµένη µεη τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι είναι µια υνάρτηη του έτω φ δηαδή: 9

12 φ E Η τ.µ. φ παριτάνεται επίης και αν E. ηαδή η τ.µ E ορίζεται από την χέη: Επειδή η E E φ E είναι µια τ.µ. έχει νόηµα να µιάµε για την µέη τιµή της. Θεώρηµα.4. Ιχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: i E E[ g ]} E[ g ] ii E[ g g ] g E[ g ] iii [ E ] µε την προυπόθεη ότι όες οι ποότητες που εµφανίζονται παραπάνω έχουν νόηµα..5 Στοχατική Ανεξαρτηία τ.µ. Οριµός.5. Οι τ.µ καούνται τοχατικά ανεξάρτητες εάν: B B } B } }.5. B για οποιαδήποτε υπούνοα γεγονότα B B των πραγµατικών αριθµών. Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ιοδύναµους οριµούς της ανεξαρτηίας δυο τ.µ. Θεώρηµα.5.3 Οι τ.µ είναι τοχατικά ανεξάρτητες εάν και µόνον εάν ιχύει µια από τις παρακάτω χέεις: α F F F β γ M M M Άµεες υνέπειες του οριµού της ανεξαρτηίας δυό τυχαίων µεταβητών δίνονται από την παρακάτω πρόταη. Πρόταη.5.4. Εάν οι τ.µ. είναι τοχατικά ανεξάρτητες τότε: E g g ] E[ g ] E[ g ] [ Από το γεγονός αυτό εύκοα µπορεί να δει κανείς ; ότι: εάν δυο τ.µ. είναι 3

13 ανεξάρτητες τότε είναι και αυχέτιτες. Το αντίτροφο εν γένει δεν ιχύει. M M M Εάν Y g Y g τότε οι τ.µ. Y Y είναι και αυτές ανεξάρτητες. Το ακόουθο θεώρηµα είναι ένα από τα πουδαιότερα αποτεέµατα που υναντά κανείς τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Συνδέει την κατανοµή µιας υγκεκριµ- µένης υνάρτηης ανεξαρτήτων τ.µ. µε την κανονική κατανοµή φανερώνοντας έτι την πουδαιότητα της κανονικής κατανοµής. Θεώρηµα.5.5 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Εάν οι είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεµηµένες τ.µ. µε πεπεραµένη µέη τιµή και διαπορά και θέουµε: τότε: E Φ όπου Φ η υνάρτηη κατανοµής την τυπικής κανονικής κατανοµής..5.7 Παρατήρηη.5.8 Ο τρόπος ύγκιης που περιγράφεται το παραπάνω θεώρηµα έγεται ύγκιη κατά κατανοµή Μ άα όγια το Κ.Ο.Θ. αναφέρει ότι: E N.5.9 ή επειδή E µ έχουµε: µ N.5. ή ιοδύναµα: N µ.5. Τέος εάν έχουµε: µ N.5. 3

14 ή ιοδύναµα: N µ

15 .6 Ακήεις.6. Μια τ.µ. Χ έχει κατανοµή πυκνότητα πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: 3 4 p α Να βρεθεί η υνάρτηη κατανοµής της Χ και να γίνει η γραφική της παράταη. β Να βρεθεί η µέη τιµή E και η διαπορά V της Χ Η υνάρτηη κατανοµής της Χ είναι ίη µε: F } η δε γραφική της παράταη είναι < < < < 3 3 < 4 4 F 5/6 F /6 5/6 3 4 β Η µέη τιµή της είναι ίη µε: 4 E }

16 Ακόµα: E } άρα η διαπορά της είναι ίη µε: V E E 5.6. Η τυχαία µεταβητή Χ έχει πυκνότητα πιθανότητας: α Να βρεθεί η ταθερά θ έτι ώτε η νάναι πυκνότητα πιθανότητας. β Να βρεθούν οι πιθανότητες: Ρ Ι Ρ } ΙΙ 5} θ θ αου γ Να βρεθεί η ταθερά c τέτοια ώτε: Ρ c} 8 δ Να βρεθεί η µέη τιµή E και η διαπορά V της Χ. α Ξέρουµε ότι για νάναι η πυκνότητα πιθανότητας θα πρέπει: + δηαδή: θ d d 4θ θ 5 θ θ θ 5 5 αου β Ι Ρ } d 6 γ και: ΙΙ 5} d d 5 5 Ρ Έχουµε ότι: c} Ρ 8 d d 8 c c 4 c 5 c c 5 c 8 δ Η µέη τιµή της είναι ίη µε: 5 E d d ;

17 Ακόµα: d d E και έτι η διαπορά της είναι ίη µε: 8 8 E E V.6.3 Εάν η τ.µ τότε α ΕΧ β Χ α Έχουµε:!!!! } a a E β Χ E[E ] E E ή Χ E[Χ]+EE Τώρα:!!! } ] [ E οπότε Χ E[Χ]+EE Έτω ότι η τ.µ. α Να δειχθεί ότι M β Με την βοήθεια του α υποογίτε την µέη τιµή και διαπορά της Χ. α Εχουµε: E M!! β Ξέρουµε: } d d M d d E ακόµα 35

18 E d d d d M } + + οπότε Χ E E ιωνυµική κατανοµή Από την γενική απογραφή κατατηµάτων ενός έτους διαπιτώθηκε ότι % των κατατηµάτων ειτουργούε χωρίς άδεια του αρµόδιου Υπουργείου. Επιέγουµε 6 κατατήµατα τυχαία ποιά η πιθανότητα: α ακριβώς 4 από αυτά να ειτουργούαν χωρίς άδεια του Υπουργείου β τουάχιτον 4 από αυτά να ειτουργούαν χώρις άδεια του Υπουργείου γ το πού 3 από αυτά να ειτουργούαν χώρις άδεια του Υπουργείου δ τουάχιτον 4 από αυτά να ειτουργούαν µε άδεια του Υπουργείου. ιωνυµικό πείραµα: δυό δυνατά αποτεέµατα επιτυχία το κατάτηµα ειτουργούε χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου Ρ«επιτυχίας» p και 6 αριθµός των επαναήψεων Εάν Χαριθµός των κατατηµάτων που ειτουργούαν χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου τότε 6! α ΡΧ !6 4! η πιθανότητα µπορεί να υποογιτεί µε την χρήη διωνυµικών πινάκων; β ΡΧ 4 ΡΧ4 +ΡΧ5 +ΡΧ6 6! 4!6 4! 4 9 6! + 5!6 5! 9 6! + 6!6 6! γ ΡΧ 3 ΡΧ3 +ΡΧ +ΡΧ +ΡΧ ανάογα µε το β... δ Ρτουάχιτον 4 από αυτά να ειτουργούαν µε άδεια του Υπουργείου Ρ4 ή 5 ή 6 κατατήµατα ειτουργούαν µε άδεια του Υπουργείου Ρ ή ή κατατήµατα ειτουργούαν χωρίς την άδεια του Υπουργείου ΡΧ ΡΧ + ΡΧ + ΡΧ... ανάογα µε το β.6.6 Κανονική κατανοµή Το IQ αποτεεί δείκτη ευφυίας των ατόµων και 36

19 ακοουθεί την κανονική κατανοµή µε µέη τιµή µ και τυπική απόκιη 5. Αν Χ είναι ο δείκτης ευφυίας ενός ατόµου να βρεθούν οι παρακάτω πιθανότητες: α ΡΧ < 8 β ΡΧ > γ ΡΧ < 94 δ ΡΧ > 73 ε Ρ < Χ < τ Ρ73 < Χ <8 ζ Ρ73 < Χ < 94 Εχουµε: Χ 8 α < 8 Ρ < Ρ Ζ < Χ β > Ρ > Ρ Ζ > 8 Ρ Ζ < Χ 94 γ < 94 Ρ < Ρ Ζ < 4 Ρ Ζ > Ρ Z < µε χρήη των κανονικών πινάκων Χ 73 δ > 73 Ρ > Ρ Ζ > 8 Ρ Ζ < Χ ε < < Ρ < < Ρ < Ζ < 8 Ρ Ζ < 8 Ρ Ζ < Χ 8 τ 73 < < 8 Ρ < < Ρ 8 < Ζ < Ρ Ζ < Ρ Ζ < 8 Ρ Ζ < Ρ Ζ > 8 Ρ Ζ < Ρ Ζ < 8} Ρ Ζ < + Ρ Ζ < Χ 94 ζ 73 < < 94 Ρ < < Ρ 8 < Ζ < 4 Ρ4 < Ζ < 8 Ρ Ζ < 8 Ρ Ζ <

20 .6.7 Τυπική κανονική κατανοµή Αν Ζ Ν να βρεθεί η ταθερά c τις παρακάτω περιπτώεις: α Z < c 9554 β Z > c 3 γ Z < c 385 δ < Z < c 9 α Z < c9554 c θετικό από τους κανονικούς πίνακες c7 β Z > c3 Z < c39679 c θετικό από τους κανονικούς πίνακες c85 γ Z < c 385 c αρνητικό Z < c ΡΖ > c Z < c από τους κανονικούς πίνακες c5 c5 δ <Z<c 9 ΡΖ < c ΡΖ < Z < c ΡΖ < c από τους κανονικούς πίνακες c Κατανοµή oisso Ένας εντοµοόγος µεετά τον αριθµό των ζωύφιων τα φύα ενός δένδρου. Ο αριθµός αυτός ακοουθεί την κατανοµή oisso µε παράµετρο. α Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύο µε τουάχιτον 5 ζωύφια; β Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύο χωρίς κανένα ζωύφιο; Εάν Χ αριθµός των ζωύφιων ε ένα φύο του δένδρου τότε και είναι γνωτό: Ρ Χ...! α Ρ Χ 5 Ρ Χ < 5 Ρ Χ από τους πίνακες oisso µε και κ4. β Ρ Χ 45!.6.9 Ο αριθµός των µικροβίων Χ που βρίκονται ένα χώρο V είναι µια τ.µ.. Να προδιοριθεί ο αν είναι Χ > 999. Έχουµε: Χ > 999 ΡΧ ΡΧ Ρ Χ! l 69 38

21 .6. Εκθετική κατανοµή Η διάρκεια ζωής ε χρόνια µιας ηεκτρικής υκευής έχει την αρνητική εκθετική κατανοµή µε παράµετρο. Ποιά η πιθανότητα ότι η εν όγω ηεκτρική υκευή θα πρέπει ν αντικαταταθεί όχι αργότερα από 5 χρόνια; Μετά από 7 χρόνια; Εχουµε: Ρ Χ 5 Ρ Χ d d d + 7. d Εάν η τ.µ Χ ακοουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραµέτρους α και β να βρεθεί η κατανοµή της τ.µ Y l. Η π.π. της τ.µ. Χ είναι ως γνωτόν ίη µε: Γ α β Εδώ: α a β > g : + T + g l g & οπότε από γνωτό θεώρηµα έχουµε: d d α α β β Y R a a Γ α β Γ α β.6. Έτω Χ Υ τ.µ µε από κοινού π.π. την: Y + > αού Να δειχθεί ότι οι τ.µ. Χ Υ είναι ανεξάρτητες Οι περιθωριακές π.π. των τ.µ. Χ Υ είναι ίες µε: + Y d d > 39

22 + και όµοια d d Επειδή τώρα: οι τ.µ. Χ Υ είναι ανεξάρτητες. Y Y > + Y Y.6.3 Κ.Ο.Θ. Εργοτάιο κατακευάζει υωρευτές η διάρκεια ζωής κάθενός εκ των οποίων ακοουθεί την αρνητική εκθετική κατανοµή µε µέο 3 ώρες. ιαέγουµε από αυτούς τους υωρευτές τυχαία. Να υποογιτεί η πιθανότητα αυτοί να δουεύουν υνοικά πάνω από 8 ώρες. Έτω τ.µ. που εκφράζουν την διάρκεια ζωής κάθενός εκ των υωρευτών τότε: i i & 3 Η ζητούµενη πιθανότητα µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ. γίνεται: > 8} > 8} E 8 6 > }.8. E > 5} E < 5} Φ γιατί: E E 3 6 ώρες και 3.8. ώρες.6.4 Ένα κανονικό νόµιµα ρίχνεται ανεξάρτητα φορές και έτω µια τ.µ. που δηώνει τον υνοικό αριθµό κεφαών που εµφανίτηκαν. Υποογίτε την µικρότερη τιµή του για την οποία έχουµε: όπου: 5 } 95 Εάν θεωρήουµε τις ρίψεις αν ανεξάρτητες τ.µ. τότε: 4

23 & E B i B i i i µ οπότε µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ. η ζητούµενη πιθανότητα γίνεται: } }} } } } } } } } } 5 } 5 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Φ µ µ Επειδή θέουµε: Φ Φ.6.5 Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώτε j p B j j. Τότε η τ.µ. p B + + όπου + +. Χρηιµοποιώντας το µονοήµαντο της αντιτοιχίας µεταξύ της πυκνότητας πιθανότητας µιας τ.µ. και της ροπογεννήτριάς της είναι αρκετό να δείξουµε ότι η ροπογεννήτρια της τ.µ. + + είναι εκείνη µιας τ.µ. µε κατανοµή την. Από την ανεξαρτηία των τ.µ. έχουµε: p B q p q p q p M M M M και αυτή είναι η ροπογεννήτρια µιας τ.µ. µε p B + +. Παρατήρηη Η παραπάνω ιδιότητα καείται αναπαραγωγική µε την έν- 4

24 νοια ότι το άθροιµα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών µε την ίδιου τύπου κατανοµή έχει κατανοµή του ίδιου τύπου. Η κατανοµή oisso η κανονική κατανοµή η γάµµα κατανοµή είναι µερικά παραδείγµατα κατανοµών που έχουν την ιδιότητα αυτή. Πράγµατι µπορεί να αποδειχθεί µε τρόπο ανάογο όπως παραπάνω ότι ιχύουν τα εξής: i Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώτε j j j. Τότε η τ.µ. + + όπου + +. ii Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώτε N µ j. Τότε η τ.µ. j j j όπου µ µ µ + + N µ iii Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώτε j j ακοουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραµέτρους α β. Τότε η τ.µ. µέτρους j + ακοουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραα α + + α. + α β όπου Γενικά η αναπαραγωγική ιδιότητα που περιγράψαµε παραπάνω δεν ιχύει. Για παράδειγµα εάν Χ Υ είναι δυό ανεξάρτητες τ.µ. που ακοουθούν την οµοιό- µορφη κατανοµή το άθροιµά τους Χ+Υ δεν ακοουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή αά µια κατανοµή που ονοµάζεται τριγωνική. 4

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΖΕΥΓΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ειαγωγή Υπάρχουν προβήµατα πιθανοτήτων τα οποία θα πρέπει να µεετηθούν δύο ή περιότερες τυχαίες µεταβητές από κοινού για να µπορεί να περιγραφεί επαρκώς και πήρως το αντίτοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων

0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων . Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς Συµπηρωµατικές Ακήεις Στατιτικής ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΑ -3 Άκ Η κατανοµή των βαρών των µαθητών ενός χοείου είναι κανονική

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ 5 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάαιο θα δούµε ότι οι ροπές µιας τυχαίας µεταβητής µπορούν να υποογιστούν µε τη βοήθεια κατάηων συναρτήσεων Αυτές οι συναρτήσεις καούνται ροπογεννήτριες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ-ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΙΙ Θεοδόσης ηµητράκος E-mal: dmtheo@aegeagr Σάµος 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y 2 +... http : //perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου 6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Εέγχου Μάθηµα 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Η έννοια της ευστάθειας κατά Lyaunv Γενικό κριτήριο ευστάθειας Παραδείγµατα Καιγερόπουος 9 Ευστάθεια κατά Lyaunv Εισαγωγή Η έννοια της ευστάθειας

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ Σηµειώσεις Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού Β Κούτρας ΧΙΟΣ Β Κούτρας ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κοµµάτι αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: ΜΑΘΗΜΑ : Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE. Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός pl και ο µετασχηµατισµός Z είναι δύο πού χρήσιµα µαθηµατικά εργαεία για την ανάυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ Γραµµικών

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα ΒΕΣ 6 Προαρµοτικά Συτήµατα τις Τηλεπικοιννίες Θερία Στοχατικών Σηµάτν: Εκτίµηη φάµατος, Παραµετρικά µοντέλα Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Βιβλιογραφία Ενότητας uto []: Κεφάλαιo Widrow [985]: Chaptr 3 Hayi

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Χρήστου Νικοαΐδη Φεβρουάριος 5 Χρήστος Νικοαΐδης Διδάκτωρ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Στοιχεία Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ˆ Αποτελείται από σωµατίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικές δυνάµεις.

ˆ Αποτελείται από σωµατίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. ˆ Τα σωµατίδια αυτά συνδέονται µεταξύ τους µε ελαστικές δυνάµεις. 6 Κύµατα 6.1 Ορισµός του κύµατος Κύµα ονοµάζεται η διάδοση µιας διαταραχής που µεταφέρει ενέργεια και ορµή µε στα- ϑερή ταχύτητα. Εαστικό µέσο ονοµάζεται κάθε υικό µέσο που, για όγους απότητας, δεχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ MARTINGALES 1. ΤΥΧΑΙΟΙ ΠΕΡΙΠΑΤΟΙ 2. ΚΛΑ ΩΤΕΣ ΑΛΥΣΙ ΕΣ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ MARTINGALES 1. ΤΥΧΑΙΟΙ ΠΕΡΙΠΑΤΟΙ 2. ΚΛΑ ΩΤΕΣ ΑΛΥΣΙ ΕΣ ΑΘΗΝΑ ΠΑΛΙΕΡΑΚΗ Μεταπτυχιακή φοιτήτρια Γενικό Τµήµα Πολυτεχνείο Κρήτης ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ MARTINGALES. ΤΥΧΑΙΟΙ ΠΕΡΙΠΑΤΟΙ. ΚΛΑ ΩΤΕΣ ΑΛΥΣΙ ΕΣ ΧΑΝΙΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΗΣ 6 Αφιερώνεται στους γονείς µου Στέφανο και

Διαβάστε περισσότερα

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου

6.8 Συµβολή Κυµάτων. y = y 1 + y perif ysikhs.wordpress.com 55 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου 6.8 Συµβοή Κυµάτων Οταν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο εαστικό µέσο έµε ότι συµβάουν. Εχει διαπιστωθεί ότι για την κίνηση των σωµατιδίων του µέσου τα κύµατα ακοουθούν την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανείξεων : Ανέιξη Pi και Κίνηση Bw Είναι γνωστό ότι, αν το αποτέεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι ένας αριθμός στο R, τότε αυτό να μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Εισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζονται οι έννοιες της τυχαίας µεταβητής της συνάρτησης κατανοµής της συνάρτησης πιθανότητας και της συνάρτησης πυκνότητας Μεετώνται οι σηµαντικότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4 Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές Στο προηγούμενο κεφάαιο εισαγάγαμε την έννοια της τυχαίας μεταβητής και είδαμε ότι σε κάθε τέτοια μεταβητή, έστω Χ, αντιστοιχεί μία κατανομή Είναι η κατανομή της

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική

Διαβάστε περισσότερα