Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής Τηλ:

2 Το σύστημα M/M/ χαρακτηρίζεται από αφίξεις Poisson (εκθετικά κατανεμημένους χρόνους μεταξύ αφίξεων) και εκθετικά κατανεμημένους χρόνους εξυπηρέτησης. Επίσης έχουμε άπειρη χωρητικότητα Οι ρυθμοί γεννήσεων-θανάτων είναι ανεξάρτητοι από την κατάσταση του συστήματος: λ n = λ, n=0,,2,... μ n = μ, n=,2, λ λ λ λ n- n n+... μ μ μ μ

3 L S 2 L q L q L q q L W ) ( q W W p 0 n n p p 0 k k p n 0 n n 0

4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Σε ένα εξωτερικό ιατρείο με μια διαγνωστική ομάδα και μια ουρά αναμονής, παρατηρήθηκε ότι την ημέρα της εφημερίας κατά την περίοδο αιχμής, οι ασθενείς καταφθάνουν με διαδικασία Poisson με μέση τιμή λ=2 άτομα ανά ώρα, ενώ η ομάδα εξέτασης εξυπηρετεί με ρυθμό μ=3 άτομα ανά ώρα. Να αξιολογήσετε το σύστημα με τον υπολογισμό των κατάλληλων δεικτών απόδοσης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Στο ταμείο ενός κινηματογράφου υπάρχει ένας ταμίας και μια ουρά αναμονής. Τις ώρες αιχμής καταφθάνει ένας πελάτης ανά 20 sec κατά μέσο όρο (εκθετική κατανομή), ενώ ο ταμίας εξυπηρετεί σε χρόνο που ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 5 sec ανά πελάτη. Να αξιολογήσετε το σύστημα με τον υπολογισμό των κατάλληλων δεικτών απόδοσης.

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Έστω εταιρεία που διαθέτει έναν πολύ ακριβό εξυπηρετητή για εξειδικευμένη σχεδίαση γραφικών. Κατά την διάρκεια μιας εργάσιμης ημέρας (8 ώρες) οι 0 μηχανικοί της εταιρείας χρησιμοποιούν τον εξυπηρετητή για 30 λεπτά κατά μέσο όρο. Παραπονιούνται δε ότι είναι δύσκολο να βρουν τον εξυπηρετητή ελεύθερο και μάλιστα υποστηρίζουν ότι πολλές φορές πρέπει να περιμένουν πάνω από μια ώρα για να τον χρησιμοποιήσουν. Ο διευθυντής της εταιρίας θεωρεί ότι οι ισχυρισμοί τους είναι υπερβολικοί διότι υπολογίζει ότι ο εξυπηρετητής χρησιμοποιείται μόνο κατά τα 5/8 της ημέρας. Ποιος έχει δίκιο ;

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Άτομα περνούν έξω από έναν τηλεφωνικό θάλαμο σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό 50 άτομα ανά ώρα, και από αυτά το 0% μπαίνει και χρησιμοποιεί το τηλέφωνο. Ο μέσος χρόνος συνδιάλεξης είναι 3 λεπτά, ενώ διαδοχικοί τέτοιοι χρόνοι είναι ανεξάρτητοι και ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Να βρεθεί η κατανομή του οριακού αριθμού πελατών Ν, στο σύστημα.

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (i) (ii) (ii) (iii) (iv) Μια μικρή πετρελαϊκή εταιρία έχει κατασκευάσει σε ένα λιμάνι μια εγκατάσταση φορτοεκφόρτωσης πετρελαίου από τα πετρελαιοφόρα της. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων πλοίων στο λιμάνι ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή.4 ημέρες. Επίσης, ο χρόνος εκφόρτωσης είναι εκθετικός με μέση τιμή 0.7 ημέρες. Χαρακτηρίστε το σύστημα κατά Kendal και δώστε το αντίστοιχο διάγραμμα καταστάσεων. Υπολογίστε το μέσο αριθμό των πλοίων που εξυπηρετούνται και περιμένουν για εκφόρτωση. Υπολογίστε το μέσο χρόνο αναμονής ενός πλοίου από την ώρα που φτάνει στο λιμάνι μέχρι την ώρα που θα τελειώσει τη φορτοεκφόρτωση και θα αποχωρήσει Υπολογίστε το μέσο χρόνο αναμονής των πλοίων στο λιμάνι μέχρι να ξεκινήσει η διαδικασία φορτοεκφόρτωσής τους Υπολογίστε το μέσο αριθμό πλοίων που περιμένουν στο λιμάνι μέχρι να ξεκινήσει η διαδικασία φορτοεκφόρτωσής τους.

8 ΑΣΚΗΣΗ Έστω ένα υπολογιστικό σύστημα στο οποίο γίνεται επεξεργασία-εξυπηρέτηση σύμφωνα με την εκθετική κατανομή και η οποία διαρκεί 3 λεπτά. Οι εργασίες φτάνουν στο σύστημα με τυχαίο ρυθμό κάθε 4 λεπτά.. Ποια είναι η πιθανότητα μιας εισερχόμενης εργασίας να χρειαστεί πάνω από 20 λεπτά για να εξυπηρετηθεί; 2. Ποιος είναι ο μέσος αριθμός εργασιών στην ουρά; 3. Αν ο φόρτος εργασίας του συστήματος (μέσος χρόνος αναμονής στο σύστημα) φτάσει τα 30 λεπτά, τότε αυξάνεται η χωρητικότητά του. Ποιος είναι ο ρυθμός άφιξης για τον οποίον το σύστημα θα φτάσει σε αυτή την κατάσταση; Σε αυτήν την περίπτωση i. Ποιό είναι το ποσοστό αύξησης του ρυθμού αφίξεων; ii. Ποιό είναι το ποσοστό αύξησης του μέσου χρόνου αναμονής στο σύστημα; iii. Ποιός είναι ο μέσος αριθμός εργασιών στο σύστημα; 4. Αν το κριτήριο αναβάθμισης του συστήματος (αύξηση χωρητικότητας) είναι ότι ο χρόνος αναμονής στο σύστημα του 0% των εργασιών δεν πρέπει να ξεπερνάει τα 40 λεπτά, i. Ποιός πρέπει να είναι ο μέσος ρυθμός άφιξης; ii. Ποιός είναι ο μέσος αριθμός εργασιών στην ουρά;