ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Α.Ε.Μ. 4049

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΜΕΛΕΤΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ» «STUDY OF ACTIVE CIRCUIT FILTERS BY USING SIMULATION» ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Α.Ε.Μ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Κ. Π. ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΒΑΛΑ 04

2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ «ΜΕΛΕΤΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ» «STUDY OF ACTIVE CIRCUIT FILTERS BY USING SIMULATION» Πτυχιακή εργασία τυ πρπτυχιακύ φιτητή Στέφανυ Στεφάνυ ΚΑΒΑΛΑ 04

3 3 Στυς γνείς μυ

4 Ονματεπώνυμ: Στέφανς Στεφάνυ Επιβλέπων: Θέμα πτυχιακής εργασίας: Κ. Παπαδπύλυ Παναγιώτα Επίκυρς Καθηγήτρια Τεχνλγικύ Εκπαιδευτικύ Ιδρύματς Καβάλας Μελέτη κυκλωμάτων ενεργών φίλτρων με τη χρήση πρσμίωσης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρύσα πτυχιακή εργασία, γίνεται μια μελέτη πάνω στα ενεργά φίλτρα (Active Filter) πυ έχυν ως ενεργά στιχεία ένα ή περισσότερυς τελεστικύς ενισχυτές, μαζί με πυκνωτές και ωμικές αντιστάσεις. Αρχικά, στ πρώτ κεφάλαι γίνεται μια σύντμη περιγραφή των βασικών κατηγριών των φίλτρων (χαμηλπερατά, υψηλπερατά, ζωνπερατά και ζωναπρριπτικά) και αναλύεται μια γενική τπλγία ενεργύ φίλτρυ, από την πία, με αλλαγή θέσης των παθητικών της στιχείων, θα πρκύψυν όλες ι παραπάνω κατηγρίες. Έπειτα, στ δεύτερ κεφάλαι εξετάζνται τα φίλτρα ης τάξης, πρώτα θεωρητικά και έπειτα μέσω πρσμίωσης στ πρόγραμμα PSPICE, έτσι ώστε να επαληθευθεί η λειτυργία τυς και ι θεωρητικές τυς πρδιαγραφές. Ομίως, στ τρίτ και τέταρτ κεφάλαι εξετάζνται με τν ίδι τρόπ τα φίλτρα ης και ανώτερης τάξης αντίστιχα, όπυ η συμφωνία των θεωρητικών απτελεσμάτων και των απτελεσμάτων της πρσμίωσης, ελέγχνται μέσω των σχετικών σφαλμάτων. Τέλς, στ πέμπτ και τελευταί κεφάλαι παρυσιάζνται συνπτικά τα πλενεκτήματα και μεινεκτήματα των φίλτρων πυ μελετήσαμε, καθώς και κάπιες παραλλαγές των φίλτρων, με σκπό να βελτιώσυν κάπι χαρακτηριστικό τυς έναντι συνήθως κάπιυ πρτερήματς. 4

5 Full name: Supervir: Label f the Bachelr Thei: Stefan Stefanu Mii Papadpulu Panagita Epicuru Prfer f Technical Intitute f Kavala Study f active circuit filter by uing imulatin ABSTRACT In thi thei, there i a tudy n active filter, that have, a paive element, ne r mre peratinal amplifier, tgether with capacitr and reitance. At the beginning, in the firt chapter, there i a n decriptin f the filter baic categrie (lw-pa, high-pa, band-pa and band-reject) and i analyed a general active filter tplgy, in which the change f the paive element pitin create the abve categrie. After, in the ecnd chapter, the t rder filter are examined, firt theretically and then thrugh imulatin in the PSPICE prgram, in rder t prve their functin and their theretical pecificatin. Similarly, in the third and the furth chapter, the nd and the higher rder filter are examined with the ame way, and the agreement f theretical and imulatin reult i checked thrugh their relative errr. At the end, in the fifth and lat chapter, are hrtly preented the advantage and diadvantage f the filter that we examined, a lng a me variatin f thee filter, in rder t imprve me characteritic f them, uually by ling me f their advantage. 5

6 Πρόλγς Τ πρόγραμμα πρσμίωσης με έμφαση στα λκληρωμένα κυκλώματα (SPICE: Simulatin Prgram with Integrated Circuit Emphai) είναι τ πρόγραμμα με τ πί θα πρσμιώσυμε τα ενεργά μας φίλτρα []. Οι αλγόριθμι και ι αριθμητικές μέθδι πυ χρησιμπιύνται στ SPICE, ξεκίνησαν να αναπτύσσνται από την δεκαετία τυ 70 και έκττε συνεχώς βελτιώννται με σκπό τα ρεαλιστικότερα απτελέσματα. Στις παλιότερες εκδόσεις τυ SPICE, η περιγραφή τυ ηλεκτρικύ κυκλώματς γίννταν απκλειστικά μέσω γραφής κώδικα, όπυ για κάθε ηλεκτρικό στιχεί (π.χ. αντίσταση, πυκνωτής κ.α.) τυ κυκλώματς, δίννταν ι κόμβι στυς πίυς συνδέεται, καθώς και η τιμή τυ. Ωστόσ, αν τ ηλεκτρικό στιχεί είναι πηγή (π.χ. τάσης) ή ημιαγωγική διάταξη (π.χ. τελεστικός ενισχυτής), μπρύν να δθύν και άλλι παράμετρι (π.χ. συχνότητα πηγής, τάσεις τρφδσίας κ.α). Έτσι, αφύ γραφεί και τ είδς της ανάλυσης (π.χ. ΑC) πυ θα εκτελεστεί, τ SPICE χρησιμπιώντας τη μέθδ των κόμβων, τυς νόμυς τυ Kirchhff, καθώς και τις εξισώσεις τάσεων/ρευμάτων των ημιαγωγικών διατάξεων, υπλγίζει την τάση τυ κάθε κόμβυ και τ ρεύμα τυ κάθε κλάδυ τυ κυκλώματς. Οι νεώτερες εκδόσεις τυ SPICE, όπως τ PSPICE πυ θα χρησιμπιήσυμε, διαθέτυν εργαλεία πυ διευκλύνυν τη χρήση τυ και από αρχάριυς. Συγκεκριμένα, με τ εργαλεί Schematic δεν γράφεται κώδικας, αλλά σχεδιάζεται τ κύκλωμα ενώνντας με γραμμές τα σύμβλα των στιχείων τυ κυκλώματς. Αν δεν υπάρχυν λάθη στ κύκλωμα, τ PSPICE μεταφράζει τ σχηματικό τυ κυκλώματς σε κώδικα, και με τ εργαλεί Prbe παρυσιάζει τα απτελέσματα σε μρφή κυματμρφής. Μάλιστα, εκτός από τη δυνατότητα εύρεσης των συντεταγμένων κάθε σημείυ της κυματμρφής, μπρύν επίσης να απεικνιστύν πλλές κυματμρφές στυς ίδιυς άξνες, έτσι ώστε να είναι ευκλότερη η σύγκριση μεταξύ τυς. 6

7 Ευχαριστίες Σ τ σημεί αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω άτμα πυ χωρίς την συμβλή τυς δεν θα ήταν δυνατή η εκπόνηση αυτής της διπλωματικής εργασίας. Καταρχήν, θέλω να ευχαριστήσω την επιβλέπν καθηγήτρια, κ. Π. Παπαδπύλυ, καθηγητή τυ Τ.Ε.Ι Καβάλας, για την εμπιστσύνη πυ έδειξε στ πρόσωπό μυ να μυ αναθέσει την παρύσα πτυχιακή εργασία. Επίσης για τν πλύτιμ χρόν πυ διέθεσε και τις χρήσιμες υπδείξεις τυ πάνω σε λεπτές έννιες πυ συνάντησα κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής εργασίας, όπως επίσης και για τη βήθειά τυ στην ανάγνωση και διαμόρφωσή της. Τέλς, ευχαριστώ τυς γνείς μυ, Κωνσταντίν και Ελενόρα, για την ηθική και υλική υπστήριξη πυ μυ πρσέφεραν όλα αυτά τα χρόνια των σπυδών μυ. Στέφανς Στεφάνυ Καβάλα, Σεπτέμβρις 04 7

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ. Κατηγρίες φίλτρων.... Γενική τπλγία ενεργύ φίλτρυ. 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ. Εισαγωγή στα φίλτρα ης τάξης Χαμηλπερατό φίλτρ ης τάξης. 9.. Θεωρητική ανάλυση χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Πρσμίωση χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης....3 Υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης Θεωρητική ανάλυση υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Πρσμίωση υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης. 5.4 Συμπεράσματα για τα φίλτρα ης τάξης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ 3. Εισαγωγή στα φίλτρα ης τάξης Χαμηλπερατό φίλτρ ης τάξης Θεωρητική ανάλυση χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Πρσμίωση χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης Θεωρητική ανάλυση υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Πρσμίωση υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης

9 3.4 Ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης Θεωρητική ανάλυση ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης Πρσμίωση ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης Ζωναπρριπτικό φίλτρ ης τάξης Θεωρητική ανάλυση ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης Πρσμίωση ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης Συμπεράσματα για τα φίλτρα ης τάξης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ 4. Εισαγωγή στα φίλτρα ανώτερης τάξης Χαμηλπερατό φίλτρ 3 ης τάξης Θεωρητική ανάλυση χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Πρσμίωση χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Υψηλπερατό φίλτρ 3 ης τάξης Θεωρητική ανάλυση υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Πρσμίωση υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Ζωνπερατό φίλτρ 4 ης τάξης Θεωρητική ανάλυση ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης Πρσμίωση ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης Ζωναπρριπτικό φίλτρ 4 ης τάξης Θεωρητική ανάλυση ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης Πρσμίωση ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης Συμπεράσματα για τα φίλτρα ανώτερης τάξης

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ 5. Πλενεκτήματα ενεργών φίλτρων Μεινεκτήματα ενεργών φίλτρων Παραλλαγές ενεργών φίλτρων Διευρυμέν υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης Διευρυμέν ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης Διευρυμέν ζωναπρριπτικό φίλτρ ης τάξης Διευρυμέν ζωναπρριπτικό φίλτρ 4 ης τάξης... 9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Τ PSPICE μντέλ τυ Τ.Ε. ua ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΟΛΟΓΙΩΝ

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή στα ενεργά φίλτρα

12 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ. Κατηγρίες φίλτρων Τ φίλτρ είναι ένα ειδικά σχεδιασμέν κύκλωμα πυ επιτρέπει τη διέλευση των σημάτων πυ έχυν συχνότητες σε μια ζώνη συχντήτων και εξασθενεί τα υπόλιπα σήματα πυ έχυν συχνότητες εκτός της ζώνης αυτής []. Με τν τρόπ αυτό τα φίλτρα μπρύν να αναδείξυν μια περιχή συχντήτων για την επιλεκτική λήψη τυ επιθυμητύ σήματς ή να καταστείλυν μια περιχή συχντήτων για τη μείωση τυ θρύβυ. Χάριν αυτής τυς της ιδιότητας, έχυν πλλές εφαρμγές σε ηλεκτρνικά συστήματα τηλεπικινωνιών, σε ηλεκτρνικύς υπλγιστές και ιατρικά μηχανήματα. Χαρακτηριστικές είναι ι εφαρμγές τυς στυς πμπύς και τυς δέκτες τηλεόρασης/ραδιφώνυ, όπυ ένας τηλεπτικός/ραδιφωνικός σταθμός, με χρήση φίλτρων (ι κύβι μετά τυς ενισχυτές Α και Β στ μπλκ διάγραμμα τυ Σχ..) εκπέμπει τ κανάλι τυ σε συγκεκριμένη περιχή συχντήτων και δέκτης (τηλεόραση/ραδιόφων) τ επιλέγει μέσω παρόμιων φίλτρων (ι κύβι μετά τυς ενισχυτές Α και Β) [3]. Σχήμα.: Χρήση φίλτρων σε ένα τηλεπικινωνιακό σύστημα Τα φίλτρα τα διακρίνυμε σε δύ βασικές κατηγρίες: τα παθητικά, τα πία περιέχυν στ κύκλωμά τυς μόν παθητικά ηλεκτρικά στιχεία (αντιστάσεις, πηνία, πυκνωτές) και τα ενεργά, τα πία περιέχυν παθητικά και ενεργά ηλεκτρικά στιχεία (διόδυς, τρανζίστρς, τελεστικύς ενισχυτές κ.α.) [4] Υπάρχυν και άλλες κατηγρίες φίλτρων (ψηφιακά, κρυσταλλικά και φίλτρα διακπτόμενων πυκνωτών) αλλά εδώ θα ασχληθύμε μόν με τα ενεργά φίλτρα τα πία δμύνται κυρίως με τελεστικύς ενισχυτές TE (Operatinal Amplifier, ΟΑ) μαζί με ωμικές (Reitance, R) και χωρητικές (Capacitr, C) αντιστάσεις. Οι επαγωγικές αντιστάσεις (πηνία, L), λόγω ότι είναι γκώδεις και βαριές, συνήθως δεν χρησιμπιύνται και αντικαθίστανται από εξμιώσεις επαγωγών πυ κατασκευάζνται επίσης από τελεστικύς ενισχυτές. Τα ενεργά φίλτρα δίνυν μεγαλύτερη επιλεκτικότητα και ευελιξία σχεδίασης σε σχέση με τα παθητικά φίλτρα.

13 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ Μια άλλη διάκριση των φίλτρων έχει να κάνει με την περιχή των συχντήτων των σημάτων πυ επιτρέπυν/απρρίπτυν να περάσει από μέσα τυς. Έτσι χωρίζνται σε τέσσερις γενικές κατηγρίες: τα χαμηλπερατά (Lw Pa, LΡ), τα πία επιτρέπυν να περάσυν τα σήματα χαμηλών συχντήτων τα υψηλπερατά (High Pa, HP), τα πία επιτρέπυν να περάσυν τα σήματα υψηλών συχντήτων τα ζωνπερατά (Band Pa, ΒΡ), τα πία επιτρέπυν να περάσυν τα σήματα πυ βρίσκνται σε μια συγκεκριμένη ζώνη συχντήτων και τα ζωναπρριπτικά (Band Reject, BR), τα πία δεν επιτρέπυν να περάσυν (απρρίπτυν) τα σήματα πυ βρίσκνται σε μια συγκεκριμένη ζώνη συχντήτων. Στ Σχ.. φαίνεται τ μέτρ της συνάρτησης μεταφράς Η(ω) των παραπάνω φίλτρων συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας ω = πf. Οι συγκεκριμένες συχντικές απκρίσεις είναι ιδανικές, καθώς θεωρείται ότι περνάνε μόν τα σήματα πυ έχυν συχνότητες στις γραμμσκιασμένες περιχές τυ ω, ενώ όλα τα υπόλιπα απρρίπτνται εντελώς. (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα.: Ιδανική συχντική απόκριση (α) χαμηλπερατύ (β) υψηλπερατύ (γ) ζωνπερατύ (δ) ζωναπρριπτικύ φίλτρυ Όμως ι παραπάνω ιδανικές πρδιαγραφές των φίλτρων είναι θεωρητικές και δεν μπρύν πρακτικά να πραγματπιηθύν, παρά μόν πρσεγγιστύν. Μάλιστα, όσ περισσότερ θέλυμε να πρσεγγίσυμε την ιδανική συχντική απόκριση, τόσ υψηλότερυ βαθμύ γίνεται η συνάρτηση μεταφράς τυ φίλτρυ, με απτέλεσμα να γίνει πι σύνθετη η κατασκευή τυ, με περισσότερα ηλεκτρικά στιχεία. Γενικά ι πρδιαγραφές ενός πραγματικύ φίλτρυ περιγράφνται με ένα συχντικό διάγραμμα, όπυ φαίννται τα όρια μέσα στα πία αναπτύσσεται η καμπύλη τυ μέτρυ της συνάρτησης μεταφράς τυ. Συνήθως όμως ι πρδιαγραφές περιγράφνται με ένα διάγραμμα απώλειας (L), σε db, πυ πρκαλεί τ πραγματικό φίλτρ, συναρτήσει της συχνότητας. 3

14 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ Χαμηλπερατά φίλτρα Οι πρδιαγραφές ενός πραγματικύ χαμηλπερατύ φίλτρυ παρυσιάζνται στ Σχ..3. Όπως και σε κάθε κατηγρία φίλτρυ, έτσι και εδώ, υπάρχυν τρεις διαφρετικές ζώνες: η ζώνη διέλευσης (pa band) από την πία περνύν τα σήματα πυ έχυν συχνότητες μέχρι μια μέγιστη συχνότητα διέλευσης ω p (ω pa ), πάνω από την πία η διακύμανση τυ πλάτυς ξεπερνά μια δεδμένη μέγιστη τιμή A max (σε db), η ζώνη απκπής (rejectin band) από την πία απκόπτνται τα σήματα πυ έχυν συχνότητες πάνω από μια ελάχιστη συχνότητα απκπής ω (ω tp ), πάνω από την πία η μείωση στα σήματα ξεπερνά μια δεδμένη ελάχιστη τιμή A min (σε db) και η μεταβατική ζώνη (tranitin band) για συχνότητες ω p < ω < ω μεταξύ των δύ παραπάνω ζωνών, από την πία περνύν τα σήματα εξασθενημένα αλλά δεν θεωρείται ότι απκόπτνται εντελώς. Σχήμα.3: Πραγματική συχντική απόκριση χαμηλπερατύ φίλτρυ Συγκρίνντας τη μρφή των συχντικών απκρίσεων στα σχήματα.(α) και.3, συμπεραίνυμε ότι τ φίλτρ πραγματικό φίλτρ πρσεγγίζει καλύτερα τ ιδανικό: όσ μικρότερ είναι τ A max, όσ μεγαλύτερ είναι τ A min και όσ πλησιέστερα είναι ι συχνότητες ω p και ω, ώστε να εξαλειφθεί η μεταβατική ζώνη. Υψηλπερατά φίλτρα Οι πρδιαγραφές ενός πραγματικύ χαμηλπερατύ φίλτρυ παρυσιάζνται στ Σχ..4. Ομίως και εδώ υπάρχυν ι τρεις πρηγύμενες ζώνες τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ, με μόνη διαφρά σε σχέση με πριν, την αντιμετάθεση των ζωνών διέλευσης και απκπής. Σχήμα.4: Πραγματική συχντική απόκριση υψηλπερατύ φίλτρυ 4

15 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ Ζωνπερατά φίλτρα Στις πρδιαγραφές τυ πραγματικύ ζωνπερατύ φίλτρυ τυ Σχ..5 υπάρχυν δύ συχνότητες διέλευσης (ω p = ω και ω p = ω ) και δύ συχνότητες απκπής (ω = ω 3 και ω = ω 4 ). Ωστόσ πάλι υπάρχυν τρεις ζώνες, με τη διαφρά ότι έχει δύ ζώνες απκπής (για ω < ω 3 και ω > ω 4 ) και δύ μεταβατικές ζώνες (η ω 3 < ω < ω και η ω < ω < ω 4 ). Άρα από τη ζώνη διέλευσης θα περνύν ανεπηρέαστα τα σήματα με συχνότητες πυ ανήκυν στη περιχή ω < ω < ω. Σχήμα.5: Πραγματική συχντική απόκριση ζωνπερατύ φίλτρυ Ζωναπρριπτικά φίλτρα Ομίως με τ ζωνπερατό φίλτρ, στις πρδιαγραφές τυ πραγματικύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ (Σχ..6) υπάρχυν δύ συχνότητες διέλευσης (ω p = ω και ω p = ω ) και δύ συχνότητες απκπής (ω = ω 3 και ω = ω 4 ). Μόνη διαφρά σε σχέση με πριν είναι η αντιστρφή των ζωνών διέλευσης και απκπής, με απτέλεσμα πλέν να υπάρχυν δύ ζώνες διέλευσης (για ω < ω και ω > ω ) και δύ μεταβατικές ζώνες (η ω < ω < ω 3 και η ω 4 < ω < ω ). Άρα στη ζώνη απκπής θα απκόπτνται εντελώς τα σήματα με συχνότητες πυ ανήκυν στη περιχή ω 3 < ω < ω 4. Σχήμα.6: Πραγματική συχντική απόκριση ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 5

16 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΓΕΝΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΕΡΓΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ. Γενική τπλγία ενεργύ φίλτρυ Για να βρύμε τη συνάρτηση μεταφράς ενός φίλτρυ χρησιμπιύμε συνήθως τη μέθδ των κόμβων, κάνντας χρήση τυ υ νόμυ τυ Kirchhff για τα ρεύματα των κόμβων (ΣΙ = 0). Σχήμα.3: Γενική τπλγία ενεργύ φίλτρυ αρνητικής ανάδρασης Για παράδειγμα, έστω η γενική τπλγία τυ ενεργύ φίλτρυ αρνητικής (λόγω ότι η ανάδραση τυ κυκλώματς γίνεται από την αναστρέφυσα είσδ «-» τυ τελεστικύ ενισχυτή) ανάδρασης τυ Σχ..3, για την πία θέλυμε να πρσδιρίσυμε τη συνάρτηση μεταφράς H()=V()/Vi(). Αν Υ ι αγωγιμότητες των κλάδων τυ φίλτρυ, θεωρώντας κάθε φρά ότι τα ρεύματα φεύγυν από τν κόμβ και, για τυς δύ αυτύς κόμβυς, πρκύπτυν αντίστιχα ι δύ εξισώσεις: ΣΙ ( ) 0 Ι Ι Ι3 Ι4 0 V Vi Y V 0 Y V V Y3 V V Y4 0 ΣΙ( ) 0 Ι3 Ι5 Ι 0 V V Y3 V V Y5 0 0 όπυ τ ρεύμα στην αναστρέφυσα είσδ (Ι - ) τ θέσαμε μηδέν γιατί η αντίσταση των εισόδων ενός τελεστικύ ενισχυτή θεωρείται άπειρη, άρα τα ρεύματα των εισόδων τυ θα είναι επίσης μηδενικά. Επίσης, όταν τελεστικός ενισχυτής έχει ανάδραση, ι τάσεις στις εισόδυς τυ είναι ίσες, επμένως θα ισχύει: V V V 0 V πότε αντικαθιστώντας στ πρηγύμεν σύστημα εξισώσεων, πρκύπτει: V Y Y Y Y V Y V Y V Y Vi Y V Y V Y3 0 Y3 V Y4 V Y4 0 Y5 0 Y3 V Y3 0 Y5 V Y5 0 V V Y3 Y5 V V Y Y Y3 Y4 V Y4 Vi Y Y5 Y Y Y3 Y4 Y3 Y4 Vi Y Y Y 3 3 V Y Y 5 Y Y Y Y3 3 V Y4 Y3 Y4 Y3 Y H() (. ) Y Y Y Y Y Y Y i i πυ είναι η ζητύμενη συνάρτηση μεταφράς της γενικής τπλγίας τυ ενεργύ φίλτρυ αρνητικής ανάδρασης, την πία και θα χρησιμπιήσυμε στα επόμενα κεφάλαια. 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενεργά φίλτρα ης τάξης 7

18 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ. Εισαγωγή στα φίλτρα ης τάξης Η συνάρτηση μεταφράς των φίλτρων ης τάξης, έχει τη γενική μρφή: a V ( ) a a α z H() α Κ (.) V i ( ) ω ω ω ω όπυ τα α και α = Κ είναι θετικί αριθμί, ενώ τα ω και ω z = α /α είναι ι συχνότητες τυ πόλυ (μηδενισμός τυ παρνμαστή) και της ρίζας (μηδενισμός τυ αριθμητή) της συνάρτησης μεταφράς. Για ω > ω z, τ διάγραμμα τυ μέτρυ της συνάρτησης μεταφράς φαίνεται στ Σχ.., όπυ παρατηρύμε μια κλίση λ = 0 db/dec στη μεταβατική ζώνη από τ ω z στ ω. Όπως θα δύμε παρακάτω, η κλίση αυτή είναι χαρακτηριστική για όλα τα φίλτρα ης τάξης. Σχήμα.: Τ διάγραμμα Bde ενός υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Δεδμένυ ότι τα ενεργά φίλτρα υλπιύνται με τελεστικύς ενισχυτές (TE), ωμικές αντιστάσεις (R) και πυκνωτές (C), για την υλπίηση της συνάρτησης μεταφράς της σχέσης (.), τ «-» μας παραπέμπει στη χρήση ενός ΤΕ αρνητικής ανάδρασης, τυ πίυ η γνωστή συνάρτηση μεταφράς θα αντιστιχεί στη συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (.). Άρα έχυμε: C a a Z ω Z R H() (.) ω Z Z a a C R καθώς ωμική αντίσταση παράλληλα με πυκνωτή παρυσιάζει κατά Laplace σύνθετη αντίσταση: R C C Z R C C RC R Οπότε η γενική υλπίηση ενεργύ φίλτρυ ης τάξης, θα είναι αυτή τυ Σχ.. με στιχεία: R Ω, C af, R Ω, C F (.3) a ω Σχήμα.: Γενική υλπίηση ενεργύ φίλτρυ ης τάξης, αρνητικής ανάδρασης 8

19 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ. Χαμηλπερατό φίλτρ ης τάξης Σε ένα χαμηλπερατό φίλτρ, επιθυμύμε τα σήματα χαμηλών συχντήτων να περνύν και τα σήματα υψηλών συχντήτων να απκόπτνται. Γνωρίζυμε ότι για πλύ χαμηλές συχνότητες ισχύει: = j ω 0, ενώ για πλύ υψηλές συχνότητες ισχύει: = j ω. Άρα για τις υψηλές συχνότητες, από τη συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (.), θα ισχύει για τ μέτρ της: a a a a V ( ) V ( ) a V 0 ( ) H() a (.4) ω ω V i ( ) V i( ) 0 V i( ) Επμένως για να απκόπτνται τα σήματα υψηλών συχντήτων, πρέπει: V () / V i () 0 και για να συμβεί αυτό, θα πρέπει να ισχύει: α = 0. Στην περίπτωση αυτή, στις χαμηλές συχνότητες τ μέτρ της συνάρτησης μεταφράς της σχέσης (.4) δίνει: H( ) a 0 a V ( ) a 0 V ( ) ω ω V ω i( ) V i( ) ω V ( ) a V ( ) ω πυ σημαίνει ότι αν επιλέξυμε για τις σταθερές: α = ω, θα ισχύει: V () = V i (), πότε τα σήματα των χαμηλών (Lw) συχντήτων θα περνύν ανεπηρέαστα στην έξδ τυ φίλτρυ, τ πί και επιθυμύμε. Άρα η συνάρτηση μεταφράς ενός χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης πρκύπτει από τη σχέση (.) για α = 0, πότε θα είναι η: C (.3 ) 0 a a ω R H() = (.6) ω ω R a ενώ η υλπίησή της και τ αντίστιχ διάγραμμα Bde θα είναι αυτά τυ Σχ..3α και Σχ..3β: i (.5) (α) (β) Σχήμα.3: (α) Yλπίηση και (β) διάγραμμα Bde ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης όπυ παρατηρύμε ένα πλατώ στα α /ω μέχρι τη συχνότητα ω, και μετά τα σήματα πυ έχυν συχνότητες πάνω από την ω εμφανίζυν ελάττωση τυ πλάτυς τυς κατά: λ LP = 0 db/dec. 9

20 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ.. Θεωρητική ανάλυση χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Η υλπίηση τυ Σχ..3α απτελεί ειδική περίπτωση της γενικής τπλγίας ενεργύ φίλτρυ αρνητικής ανάδρασης πυ είδαμε στ Σχ..3, για αγωγιμότητες: Y, Y 0, Y 3, Y 4, Y5 C R 0 R C πότε η αντίστιχη συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (.) γίνεται: H() Y R R 3 Y3 Y3 C 3 3 R R R R R C 0 Y Y C R C R R πυ είναι η συνάρτηση μεταφράς πυ βρήκαμε στη σχέση (.6). Ομίως τ διάγραμμα Bde τυ Σχ..3β απτελεί ειδική περίπτωση τυ γενικύ διαγράμματς Bde τυ Σχ.., όπυ τ πλατώ των σημάτων χαμηλών συχντήτων (ω < ω ) για = j ω = j π f = 0, εκφράζει τ DC κέρδς Κ τυ φίλτρυ: 0 (.3 ) a V V ( ) a ( ) R H() (.7) ω V ( ) ω V ( ) R i i Για λόγυς ευκλίας, τ φίλτρ πυ θα εξετάσυμε θα έχει DC κέρδς Κ =, πότε από την σχέση (.7) πρκύπτει ότι ι δύ αντιστάσεις τυ φίλτρυ θα είναι ίσες (R = R ). Για τη συχνότητα απκπής τυ φίλτρυ, επιλέγυμε την τυπική τιμή τυ ΚΗz, πότε θα ισχύει: (.3 ) ω 3 3 π ω 3, f KHz 0 R Ω 59 μω R (.8) Οι αντιστάσεις αυτές είναι πλύ μικρές και δεν μπρύν να κατασκευαστύν, όπως επίσης και η πλύ μεγάλη C = F τυ Σχ..3α. Για αυτό τ λόγ εφαρμόζυμε την κλιμάκωση μεγέθυς, σύμφωνα με την πία, όταν σε ένα φίλτρ ι ωμικές αντιστάσεις τυ πλλαπλασιαστύν με ένα παράγντα μ >, ι χωρητικότητές τυ θα πρέπει να διαιρεθύν με τν ίδι παράγντα μ έτσι ώστε να μην αλλάξει η συνάρτηση μεταφράς τυ (άρα και η συχνότητα απκπής). Έτσι επιλέγυμε τν παράγντα μ = 0 9 έτσι ώστε η νέα C να απκτήσει την τυπική τιμή: C F μ 0 ενώ ι ωμικές αντιστάσεις να έχυν τιμή: (.3 ) 9 C 0 F nf (.9 ) 9 (.8 ) R R μ R 0 59 μω Ω 59ΚΩ (.0) πυ μπρεί ευκλότερα να βρεθεί στ εμπόρι ή να ρυθμιστεί με κάπι πτενσιόμετρ. Τέλς, επισημαίνυμε ότι η τιμή των αντιστάσεων της σχέσης (.8) είναι πρσεγγιστική, πότε η ακριβής θεωρητική τιμή της συχνότητας απκπής τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ είναι: (.3 ) 6 ω flp.00ηz (.) 6 π π R π π 3,4 0

21 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ.. Πρσμίωση χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ..3α, λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ DC κέρδς (Κ), η συχνότητα απκπής (f LP ) και η κλίση απόρριψης των υψήσυχνων σημάτων (λ LP ), τελεστικός ενισχυτής πυ θα χρησιμπιήσυμε εδώ (όπως και σε όλα τα φίλτρα, για ευκλία σύγκρισης απτελεσμάτων) θα είναι τυπικός ua74. Έτσι, σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ..3α, έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές των σχέσεων (.9) και (.0), αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία τυ τελεστικύ 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα.4: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Hz έως και 30 ΚHz μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V συναρτήσει της συχνότητας: Σχήμα.5: Διάγραμμα της τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης

22 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ Τ διάγραμμα αυτό ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: πότε σε μνάδες db θα έχει τη μρφή: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) Σχήμα.6: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Πάνω στ διάγραμμα σημειώννται πέντε κρίσιμες τιμές από τις πίες θα εξάγυμε τα χαρακτηριστικά τυ φίλτρυ από την πρσμίωσή τυ. Στ πρώτ σημεί από αριστερά φαίνεται η τιμή τυ DC κέρδυς, πυ είναι η: 6 KLP( π),654 0 db 0,000dB (. ) Από τη τιμή αυτή πρκύπτει ότι η V στ Σχ..5 δεν είναι ακριβώς V, γιατί η τιμή της V σε db δεν είναι ακριβώς 0, αλλά μία τιμή πλύ κντά στη τιμή 0 (0,000 db). Λόγω ότι στ διάγραμμα δεν είναι εμφανές τ «γόνατ-γωνία» πυ εμφανίζεται στ θεωρητικό διάγραμμα τυ Σχ..3β στη συχνότητα απκπής, ρίζεται ως συχνότητα απκπής η συχνότητα στην πία η τιμή της Η() είναι 3dB χαμηλότερα από τη τιμή τυ DC κέρδυς. Άρα για DC κέρδς Κ LP(π) 0,000dB, η Η() = 0,000dB 3dB = 3,000dB αντιστιχεί σε συχνότητα: f 0,9974ΚHz 997 Hz (.3 ) LP( π) πυ φαίνεται στ δεύτερ σημεί τυ διαγράμματς. Τ τέταρτ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά δεξιότερα από τ δεύτερ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 0,03dB. Άρα στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 0,03dB ( 3,000dB ) db λlp( π) 7,03 (.4 ) 9.974Hz 997,4Hz Dec Επίσης τ πέμπτ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά δεξιότερα από τ τρίτ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 0dB χαμηλότερα. Αυτό σημαίνει ότι στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 9,547dB ( 0,00dB ) db λ LP( π) 9,545 (.5 ) Hz 3.000Hz Dec

23 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ.3 Υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης Σε ένα υψηλπερατό φίλτρ, επιθυμύμε τα σήματα υψηλών συχντήτων να περνύν και τα σήματα χαμηλών συχντήτων να απκόπτνται. Γνωρίζυμε ότι για πλύ χαμηλές συχνότητες ισχύει: = j ω 0, ενώ για πλύ υψηλές συχνότητες ισχύει: = j ω. Άρα από τη συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (.) θα ισχύει για τ μέτρ της: a a a a V ( ) a V a ( ) H() (.6) ω ω V i ( ) V ω i ( ) Επμένως για να απκόπτνται τα σήματα χαμηλών συχντήτων, πρέπει V () / V i () 0 και για να συμβεί αυτό, θα πρέπει αριθμητής να είναι πλύ μικρότερς σε σχέση με τν παρνμαστή. Λόγω ότι 0, τα κλάσματα στν αριθμητή και παρνμαστή της σχέσης (.6) θα τείνυν στ άπειρ. Επμένως και αριθμητής και παρνμαστής της σχέσης (.6) θα τείνει στ άπειρ, αλλά επειδή αριθμητής απαιτύμε να είναι πλύ μικρότερς σε σχέση με τν παρνμαστή, θα πρέπει να ισχύει: α = 0. Στην περίπτωση αυτή, στις υψηλές συχνότητες τ μέτρ της συνάρτησης μεταφράς της σχέσης (.6) δίνει: a 0 V ( ) a V ( ) a V ( ) H( ) a (.7) ω V i ( ) 0 V i( ) V i( ) πυ σημαίνει ότι αν επιλέξυμε την σταθερά α να έχει τιμή, θα ισχύει: V () = V i (), πότε τα σήματα των υψηλών συχντήτων θα περνύν ανεπηρέαστα στην έξδ τυ φίλτρυ, τ πί και επιθυμύμε. Άρα η συνάρτηση μεταφράς ενός υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης πρκύπτει από τη σχέση (.) για α = 0, πότε θα είναι η: C a 0 a ω R H() = (.8) ω ω a C ενώ η υλπίησή της και τ αντίστιχ διάγραμμα Bde θα είναι αυτά τυ Σχ..7α και Σχ..7β: (α) (β) Σχήμα.7: (α) Yλπίηση και (β) διάγραμμα Bde ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης όπυ παρατηρύμε ένα πλατώ στ α μετά τη συχνότητα ω, ενώ τα σήματα πυ έχυν συχνότητες κάτω από την ω να εμφανίζυν ελάττωση τυ πλάτυς τυς κατά: λ HP = 0dB/Dec. 3

24 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ.3. Θεωρητική ανάλυση υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Η υλπίηση τυ Σχ..7α απτελεί ειδική περίπτωση της γενικής τπλγίας ενεργύ φίλτρυ αρνητικής ανάδρασης πυ είδαμε στ Σχ..3, για αγωγιμότητες: Y C, Y 0, Y 3, Y 4, Y5 C 0 R C C πότε η αντίστιχη συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (.) γίνεται: H() C Y C 3 Y3 C R Y3 C C C 0 Y3 Y 3 C R R C R C R πυ είναι η συνάρτηση μεταφράς πυ βρήκαμε στη σχέση (.8). Ομίως τ διάγραμμα Bde τυ Σχ..7β απτελεί ειδική περίπτωση τυ γενικύ διαγράμματς Bde τυ Σχ.., όπυ τ πλατώ των σημάτων υψηλών (High) συχντήτων (ω > ω ) για = j ω = j π f, εκφράζει τ κέρδς Κ των σημάτων αυτών στ φίλτρ: a (.3 ) a V ( ) V ( ) H() H() a C (.9) ω ω V i( ) V i( ) Για λόγυς ευκλίας, τ φίλτρ πυ θα εξετάσυμε θα έχει κέρδς K =, έτσι ώστε στην έξδ να εμφανίζνται τα ίδια υψήσυχνα σήματα εισόδυ ( V () = V i () ) πότε από την σχέση (.9) πρκύπτει ότι η χωρητικότητα C θα πρέπει να είναι F, όπως και η C. Για τη συχνότητα απκπής τυ φίλτρυ, επιλέγυμε την τυπική τιμή τυ ΚΗz, πότε θα ισχύει: (.3 ) ω 3 3 f KHz 0 R Ω 59 μω (.0) π ω 3, Η αντίσταση αυτή είναι πλύ μικρή και δεν μπρεί να κατασκευαστεί, όπως επίσης και ι πλύ μεγάλες C = C = F τυ Σχ..7α. Εφαρμόζντας την κλιμάκωση μεγέθυς, όπως και πριν, επιλέγυμε τν παράγντα μ = 0 6 (>) έτσι ώστε ι νέες C και C να έχυν την τυπική τιμή: ενώ η ωμική αντίσταση να έχει τιμή: C F μ 0 (.3 ) 9 C C 0 F nf (. ) 9 (.0 ) R μ R 0 59 μω Ω 59ΚΩ (.) πυ μπρεί ευκλότερα να βρεθεί στ εμπόρι ή να ρυθμιστεί με κάπι πτενσιόμετρ. Τέλς, επισημαίνυμε ότι η τιμή της αντίστασης της σχέσης (.0) είναι πρσεγγιστική, πότε η ακριβής θεωρητική τιμή της συχνότητας απκπής τυ υψηλπερατύ φίλτρυ είναι: (.3 ) 6 ω fhp.00ηz (.3) 6 π π C π π 3,4 4

25 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ.3. Πρσμίωση υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ..7α, λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ κέρδς υψηλών συχντήτων (Κ), η συχνότητα απκπής (f ΗP ) και η κλίση απόρριψης των σημάτων χαμηλής συχνότητας (λ HP ), τελεστικός ενισχυτής πυ θα χρησιμπιήσυμε και εδώ θα είναι τυπικός ua74. Έτσι, σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ..7α, έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές των σχέσεων (.) και (.), μια αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία τυ τελεστικύ 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα.8: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Ηz έως και 30ΚHz, μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V συναρτήσει της συχνότητας: Σχήμα.9: Διάγραμμα τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης 5

26 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ Τ διάγραμμα αυτό ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: πότε σε μνάδες db θα έχει τη μρφή: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) Σχήμα.0: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Πάνω στ διάγραμμα σημειώννται τέσσερις κρίσιμες τιμές από τις πίες θα εξάγυμε τα χαρακτηριστικά τυ φίλτρυ από την πρσμίωση. Στ τέταρτ σημεί από αριστερά φαίνεται η τιμή τυ κέρδυς των σημάτων υψηλών συχντήτων, όπυ δημιυργείται ένα πλατώ, τιμής: 6 KHP( π) 00,308 0 db 0,000dB (.4 ) Από τη τιμή αυτή πρκύπτει ότι η V στ Σχ..9 δεν είναι ακριβώς V, γιατί η τιμή τυ V σε db δεν είναι ακριβώς 0, αλλά μία τιμή πλύ κντά στη τιμή 0 (0,000 db). Λόγω ότι στ διάγραμμα δεν είναι εμφανές τ «γόνατ-γωνία» πυ εμφανίζεται στ θεωρητικό διάγραμμα τυ Σχ..7β στη συχνότητα απκπής, ρίζεται ως συχνότητα απκπής η συχνότητα στην πία η τιμή της Η() είναι 3dB χαμηλότερα από τ πλατώ των σημάτων υψηλής συχνότητας. Άρα για Κ ΗP(π) 0,000dB, η Η() = 0,000dB 3dB = 3,000dB αντιστιχεί σε συχνότητα: f,005κhz.00hz (.5 ) HP( π) πυ φαίνεται στ τρίτ σημεί τυ διαγράμματς. Τέλς, τ δεύτερ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά αριστερότερα από τ τρίτ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 0,034dB. Άρα στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 3,000dB ( 0,034dB ) db λhp( π) 7,034 (.6 ) 00Hz 00,Hz Dec Επίσης τ πρώτ τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά αριστερότερα από τ δεύτερ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 39,99dB. Αυτό σημαίνει ότι στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 0,034dB ( 39,99dB ) db λ HP( π) 9,958 (.7 ) 00,Hz 0,0Hz Dec 6

27 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ.4 Συμπεράσματα για τα φίλτρα ης τάξης Αρχικά ελέγχυμε αν τα απτελέσματα των πρσμιώσεων συναντύν τις πρδιαγραφές πυ είχαμε για τα φίλτρα ης τάξης. Και στα δύ είδη φίλτρων θεωρήσαμε κέρδς Κ =, συχνότητα απκπής f LP = f HP KHz και κλίση της συνάρτησης μεταφράς λ = 0dB/Dec, πότε τα σχετικά σφάλματα των τιμών πρσμίωσης τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ είναι: K K (. ) LP ( π) 0 00% 00% 00% 0% K f (. ) LP flp ( π).00ηz 997 Hz 400 Ηz f (.3 ) LP.00Hz 00Hz λ (.4 ) LP λlp ( π) 0dB / Dec ( 7,03dB / Dec ) 00% 00% % 0,4%,977dB / Dec 00% 0 0 % 0% 4,9% λlp 0 db / Dec db / Dec ενώ τα αντίστιχα σφάλματα των τιμών πρσμίωσης για τ υψηλπερατό φίλτρ είναι: K K (.4 ) HP ( π) 0 00% 00% 00% 0% K f (.3 ) HP fhp ( π).00ηz.00hz 00 Ηz f (.5 ) HP.00Hz.00Hz λ (.6 ) HP λhp ( π) 0dB / Dec 7,034dB / Dec 00% 00% % 0,%,966dB / Dec 00% 0 0 % 0% 4,8% λhp 0 db / Dec db / Dec Από τις πλύ μικρές τιμές των σχετικών σφαλμάτων στ κέρδς και τη συχνότητα απκπής παρατηρύμε ότι υπάρχει γενική συμφωνία μεταξύ των θεωρητικών τιμών και των τιμών πρσμίωσης. Ωστόσ, τα σχετικά σφάλματα των κλίσεων είναι πλύ μεγαλύτερα σε σχέση με τα πρηγύμενα, λόγω ότι η περιχή πυ εξετάσαμε δεν είναι εντελώς γραμμική, λόγω τυ «γόνατυ-γωνία» πυ υπάρχει στην περιχή συχντήτων τυ ΚΗz. Όντως, αν ελέγξυμε τα σχετικά σφάλματα των κλίσεων λ (π) πυ βρίσκνται σε πι γραμμικές περιχές συχντήτων, πρκύπτυν για τ χαμηλπερατό και τ υψηλπερατό φίλτρ ι τιμές: λ (.5 ) LP λ LP ( π) 0dB / Dec ( 9,545dB / Dec ) 0,455dB / Dec 00% 0 0 % 0%,3% λlp 0 db / Dec db / Dec λ (.7 ) HP λ HP ( π) 0dB / Dec 9,958dB / Dec 0,04dB / Dec 00% 0 0 % 0% 0,% λhp 0 db / Dec db / Dec πυ είναι πλύ μικρότερες από τις πρηγύμενες. Άρα ι πρδιαγραφές των φίλτρων ης τάξης επαληθεύνται από τις πρσμιώσεις των κυκλωμάτων τυς και τ χαμηλπερατό φίλτρ όντως επιτρέπει να περάσυν ανεπηρέαστα από μέσα τυ σήματα συχντήτων f < f LP, ενώ τ υψηλπερατό επιτρέπει σήματα συχντήτων f > f HP. Όσ ξεπερνά η συχνότητα f των σημάτων την f LP (ή υπλείπεται η συχνότητα f των σημάτων από την f HP ) η απκπή των σημάτων γίνεται εντνότερη, αλλά δεν είναι ιδιαίτερα απότμη. Ως φίλτρα ης τάξης, ρυθμός απώλειας των σημάτων αυτών είναι λ 0dB/Dec και, όπως θα δύμε, μπρεί να αυξηθεί κατά πλύ και να πλησιάσυν περισσότερ την απότμη συχντική απόκριση των ιδανικών φίλτρων. 7

28 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ενεργά φίλτρα ης τάξης 8

29 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ 3. Εισαγωγή στα φίλτρα ης τάξης Η συνάρτηση μεταφράς των φίλτρων ης τάξης, έχει τη γενική μρφή: ωz ω z V ( ) a a a a a a z H() Κ (3.) V i( ) b b ω ω p ω ωp όπυ τα α = K, α = Κ ω z / z, α = ω z, b = ω / και b = ω z είναι θετικί αριθμί, με ω = ω p και ω z να είναι ι συχνότητες τυ πόλυ (μηδενισμός τυ παρνμαστή) και της ρίζας (μηδενισμός τυ αριθμητή) της συνάρτησης μεταφράς. Για α = α = 0, τ διάγραμμα τυ μέτρυ της συνάρτησης μεταφράς φαίνεται στ Σχ.3., όπυ μετά την έξαρση (ε) κατά = p στη συχνότητα απκπής ω, παρατηρύμε μια κλίση της κατά λ = 40 db/dec. Όπως θα δύμε παρακάτω, η κλίση αυτή είναι χαρακτηριστική για όλα τα φίλτρα ης τάξης. p Σχήμα 3.: Τ διάγραμμα Bde ενός χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Τα σημεία στα 3dB κάτω από την κρυφή, αντιστιχύν σε δύ συχνότητες εκατέρωθεν της ω, των πίων η διαφρά ρίζει τ εύρς της ζώνης διέλευσης της έξαρσης: BW ω ω ω ε ω ω Στ Σχ.3. παρυσιάζεται η μρφή της έξαρσης τυ διαγράμματς Bde, ανάλγα με τη τιμή τυ. Παρατηρύμε ότι για να έχυμε τ επίπεδ πλατώ πυ είχαμε στα φίλτρα ης τάξης, θα πρέπει τ να ισύται με: / 0,707. Αυτή η επίπεδη απόκριση στη ζώνη διέλευσης αντιστιχεί στη πρσέγγιση Butterwrth. Αξίζει εδώ να σημειώσυμε ότι υπάρχυν πλλές μέθδι εύρεσης συναρτήσεων μεταφράς πυ ικανπιύν τις πρδιαγραφές ενός φίλτρυ. Ενδεικτικά αναφέρυμε τις πρσεγγίσεις Butterwrth, Chebychev, Beel και Ελλειπτικό, εκ των πίων θα ασχληθύμε μόν με την πρώτη η πία παρυσιάζει την πι επίπεδη απόκριση στην ζώνη διέλευσης. Σχήμα 3.: H H() για διάφρα ω ω ω ( 3. ) b (3.) 9

30 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3. Χαμηλπερατό φίλτρ ης τάξης Ομίως με τη συνάρτηση μεταφράς τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης, έτσι και στ χαμηλπερατό φίλτρ ης τάξης, η συνάρτηση μεταφράς τυ θα πρκύψει από τη σχέση (3.) για α = α = 0, έτσι ώστε τ πλυώνυμ τυ αριθμητή να είναι και εδώ μηδενικύ βαθμύ, άρα: V ( ) a ω H() K (3.3) V i( ) b b ω ω Όντως, από τη σχέση (3.3) τα σήματα πλύ χαμηλών συχντήτων ( = j ω 0) περνύν στην έξδ τυ φίλτρυ με ενίσχυση: ω V ( ) ω ω H() K K K ω 0 0 ω 0 ω V i ( ) ω ω ενώ για τα σήματα πλύ υψηλών συχντήτων ( = j ω ) ισχύει: = K (3.4) ω V ( ) ω ω H() K K K = 0 V ( ) 0 (3.5) ω V i ( ) ω ω ω πυ σημαίνει ότι απκόπτνται στην έξδ τυ φίλτρυ, όπως φαίνεται και στ Σχ.3.3β. Η κυκλωματική υλπίηση τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης παρυσιάζεται στ Σχ.3.3α. (α) (β) Σχήμα 3.3: (α) Yλπίηση και (β) διάγραμμα Bde ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Τέλς, επισημαίνυμε ότι γενικά δεν επιδιώκυμε υψηλή τιμή για τν παράγντα (όπως = 5 ή 0 στ Σχ.3., ή = στ Σχ.3.3β), γιατί η έξαρση γίνεται πλύ μεγάλη και ι συχνότητες γύρω από τη συχνότητα απκπής ω ενισχύνται πλύ περισσότερ από τις υπόλιπες συχνότητες στη περιχή διέλευσης. Αυτό έχει ως απτέλεσμα να παρατηρύνται φαινόμενα παρόμια με αυτά της ηχητικής σκίασης, όπυ τα σήματα χαμηλής ενίσχυσης (σήματα της ζώνης διέλευσης, μακριά από την ω ) υπερκαλύπτνται από τα σήματα υψηλής ενίσχυσης (σήματα κντά περιχή της ω ). Οπιαδήπτε όμως τιμή και να έχει τ, μετά τη συχνότητα απκπής, η συχντική απόκριση τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης έχει κλίση λ LP = 40dB/Dec. 30

31 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.. Θεωρητική ανάλυση χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Η υλπίηση τυ Σχ.3.3α απτελεί ειδική περίπτωση της γενικής τπλγίας ενεργύ φίλτρυ αρνητικής ανάδρασης πυ είδαμε στ Σχ..3, για αγωγιμότητες: Y, Y C, Y 3, Y 4, Y5 C R R3 R4 C C 5 πότε η αντίστιχη συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (.) γίνεται: R R3 R R3 H() C5 C C C5 R R R R R R R R R R H() R4 R R R C C R R3 R4 R3 R4 C C5 R R R C C R R R R R R C C H() (3.6) Αντιστιχίζντας τα μέτρα της σχέσης (3.3) και της σχέσης (3.6) πρκύπτυν ι σχέσεις: K ω R4 R3 R4 C C5 ω R R3 R4 C C 5 R R3 R4 C R3 R4 C C 5 ω K ω ω R4 R4 K K R R ω ω R3 R4 C C5 R3 R4 C C5 ω R R C C R R R3 R4 C R3 R4 C R R 4 R R R C

32 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ R4 K R ω (3.7 R3 R4 C C5 C5 R3 R4 R R3 R4 C Για ευκλία, τ φίλτρ πυ θα εξετάσυμε θα έχει ίσες ωμικές αντιστάσεις, έτσι ώστε να ικανπιείται και η απαίτηση τ DC κέρδς να είναι Κ =, πότε ι σχέσεις (3.7) γίννται: R K R K K ω ω ω (3.8) R R CC5 R CC5 R CC5 C C5 3 C R R 5 3 C5 R R R R C R C Λόγω ότι τ φίλτρ Butterwrth υ βαθμύ απαιτεί της (3.8) έχυμε: Επμένως, για: C C C 3 C 9 C C 0,707 = = 4,5 (3.9) (3.9) C nf C 4,5C =4,5 nf 9nF (3.0) 5 5 (Σχ.3.), από την 3 η σχέση Επίσης, επιλέγντας η συχνότητα απκπής τυ φίλτρυ να είναι ξανά ΚΗz (για λόγυς σύγκρισης με τα πρηγύμενα και επόμενα φίλτρα), από τη η σχέση της (3.8) πρκύπτει: ( 3.9 ) 3 π f 3,4 0 R R CC 5 R R 37,5KΩ (3.0) Τέλς, επισημαίνυμε ότι η τιμή των ωμικών αντιστάσεων είναι πρσεγγιστική, πότε η ακριβής θεωρητική τιμή της συχνότητας απκπής τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ θα είναι η: 9 0 f LP.00Ηz (3.) π R C C 3,4 37,

33 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.. Πρσμίωση χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ.3.3α, λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ DC κέρδς (Κ), η συχνότητα απκπής (f LP ) και η κλίση απόρριψης των υψήσυχνων σημάτων (λ LP ), τελεστικός ενισχυτής πυ θα χρησιμπιήσυμε και εδώ (για λόγυς σύγκρισης απτελεσμάτων) θα είναι ua74. Έτσι, σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.3.3α, έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές της σχέσης (3.), μια αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία τυ τελεστικύ 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα 3.4: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Hz έως και 30 ΚHz μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V συναρτήσει της συχνότητας: Σχήμα 3.5: Διάγραμμα της τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης 33

34 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ Τ διάγραμμα αυτό ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: πότε σε μνάδες db θα έχει τη μρφή: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) Σχήμα 3.6: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Πάνω στ διάγραμμα σημειώννται πέντε κρίσιμες τιμές από τις πίες θα εξάγυμε τα χαρακτηριστικά τυ φίλτρυ από την πρσμίωσή τυ. Στ πρώτ σημεί από αριστερά φαίνεται η τιμή τυ DC κέρδυς, πυ είναι η: 6 K 06,88 0 db 0,000dB ( 3. ) LP ( π) Από τη τιμή αυτή πρκύπτει ότι η V στ Σχ.3.5 δεν είναι ακριβώς V, γιατί η τιμή της V σε db δεν είναι ακριβώς 0, αλλά μία τιμή πλύ κντά στη τιμή 0 (0,000 db). Λόγω ότι στ διάγραμμα δεν είναι εμφανές τ «γόνατ-γωνία» πυ εμφανίζεται στ θεωρητικό διάγραμμα τυ Σχ..3β στη συχνότητα απκπής, ρίζεται ως συχνότητα απκπής η συχνότητα στην πία η τιμή της Η() είναι 3dB χαμηλότερα από τη τιμή τυ DC κέρδυς. Άρα για DC κέρδς Κ LP(π) 0,000dB, η Η() = 0,000dB 3dB = 3,000dB αντιστιχεί σε συχνότητα: f 0,9985ΚHz 998Hz ( 3.3 ) LP ( π) πυ φαίνεται στ δεύτερ σημεί τυ διαγράμματς. Τ τέταρτ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά δεξιότερα από τ δεύτερ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 39,987dB. Άρα στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 39,987dB ( 3,000dB ) db λlp ( π) 36,987 ( 3.4 ) 9.985Hz 998,5Hz Dec Επίσης τ πέμπτ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά δεξιότερα από τ τρίτ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 40dB χαμηλότερα. Αυτό σημαίνει ότι στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 59,089dB ( 9,5dB ) db λ LP ( π) 39,937 ( 3.5 ) Hz 3.000Hz Dec 34

35 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.3 Υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης Ομίως με τη συνάρτηση μεταφράς τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης, έτσι και στ υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης, η συνάρτηση μεταφράς τυ θα πρκύψει από τη σχέση (3.) για α = α = 0, έτσι ώστε τ πλυώνυμ τυ αριθμητή να είναι και εδώ τυ ίδιυ βαθμύ (στη πρκειμένη περίπτωση, υ ) με τ πλυώνυμ τυ παρνμαστή, χωρίς μικρότερυς όρυς, άρα: V ( ) a H() K (3.6) V i( ) b b ω ω Όντως, από τη σχέση (3.6) για τα σήματα πλύ υψηλών συχντήτων ( = j ω ) θα ισχύει: V ( ) H() K K K ω ω V i ( ) ω ω ω ω K (3.7) πυ σημαίνει ότι περνύν στη έξδ ενισχυμένα κατά Κ, ενώ για τα σήματα πλύ χαμηλών συχντήτων ( = j ω 0) θα έχυμε: 0 V ( ) 0 0 H() K K K = 0 V ( ) 0 (3.8) ω V i ( ) ω ω ω 0 0 ω πυ σημαίνει ότι απκόπτνται στην έξδ τυ φίλτρυ, όπως φαίνεται και στ Σχ.3.7β. Η κυκλωματική υλπίηση τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης παρυσιάζεται στ Σχ.3.7α. (α) (β) Σχήμα 3.7: (α) Yλπίηση και (β) διάγραμμα Bde ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Τέλς, επισημαίνυμε και εδώ ότι γενικά δεν επιδιώκυμε υψηλή τιμή για τν παράγντα (όπως = στ Σχ.3.7β), γιατί η έξαρση γίνεται πλύ μεγάλη και ι συχνότητες γύρω από τη συχνότητα απκπής ω ενισχύνται πλύ περισσότερ από τις υπόλιπες συχνότητες στη περιχή διέλευσης. Αυτό έχει ως απτέλεσμα να παρατηρύνται φαινόμενα παρόμια με αυτά της ηχητικής σκίασης, όπυ τα σήματα χαμηλής ενίσχυσης (σήματα της ζώνης διέλευσης, μακριά από την ω ) υπερκαλύπτνται από τα σήματα υψηλής ενίσχυσης (σήματα κντά στη περιχή της ω ). Οπιαδήπτε όμως τιμή και να έχει τ, πριν τη συχνότητα απκπής, η συχντική απόκριση τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης έχει κλίση λ ΗP = 40dB/Dec. 35

36 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.3. Θεωρητική ανάλυση υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Η υλπίηση τυ Σχ.3.7α απτελεί ειδική περίπτωση της γενικής τπλγίας ενεργύ φίλτρυ αρνητικής ανάδρασης πυ είδαμε στ Σχ..3, για αγωγιμότητες: Y C, Y, Y C, Y C, Y R R C C C πότε η αντίστιχη συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (.) γίνεται: C C3 C C3 H() C C C C C3 C4 C3 C4 R5 R H() C C C 3 C C C C R C C R R C C C C R C C R R C C H() (3.9) 4 C C3 C C3C4 R5 R R5 Αντιστιχίζντας τα μέτρα της σχέσης (3.6) και της σχέσης (3.9) πρκύπτυν ι σχέσεις: C K C 4 C ω C4 C C3 C 4 R R5 C3 C 4 R5 C3 C4 R R5 C3 C4 ω C C3 C4 K ω ω C C K K C4 C4 ω ω R R5 C3 C4 R R5 C3 C4 R5 C3 C 4 R5 C3 C 4 ω C C3 C4 C C3 C4 R R5 C3 C4 R C C

37 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ C K C 4 ω (3.0) R R5 C3 C4 R5 C3C4 C C3 C4 R Για ευκλία, τ φίλτρ πυ θα εξετάσυμε θα έχει ίσες χωρητικότητες πυκνωτών, έτσι ώστε να ικανπιείται και η απαίτηση τ DC κέρδς να είναι Κ =, πότε ι σχέσεις (3.0) γίννται: C K C K K ω ω ω (3.) R R5 C C RR5C C R R5 R5 R R C C 5 5 C C C C R 3C R 3 R Λόγω ότι τ φίλτρ Butterwrth απαιτεί έχυμε: Επμένως, για: 0,707 (Σχ.3.), από την 3 η σχέση της (3.) R R R 3 R 9 R R = = 4,5 (3.) (3.) R KΩ R 4,5R =4,5 KΩ 9ΚΩ (3.3) 5 Επίσης, επιλέγντας η συχνότητα απκπής τυ φίλτρυ να είναι ξανά ΚΗz (για λόγυς σύγκρισης με τα πρηγύμενα και επόμενα φίλτρα), από τη η σχέση της (3.) πρκύπτει: ( 3.3 ) C π f 3,4 0 C C R R C 37,5nF (3.4) Τέλς, επισημαίνυμε ότι η τιμή των χωρητικτήτων των πυκνωτών είναι πρσεγγιστική, πότε η ακριβής θεωρητική τιμή της συχνότητας απκπής τυ υψηλπερατύ φίλτρυ θα είναι η: 9 0 fhp.000ηz (3.5) π C R R 3,4 37, ,

38 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.3. Πρσμίωση υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ.3.7α, λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ κέρδς υψηλών συχντήτων (Κ), η συχνότητα απκπής (f HP ) και η κλίση απόρριψης των σημάτων χαμηλής συχνότητας (λ HP ), τελεστικός ενισχυτής πυ θα χρησιμπιήσυμε και εδώ θα είναι τυπικός ua74. Έτσι, σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.3.7α, έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές των σχέσεων (3.3) και (3.4), μια αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία τυ τελεστικύ 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα 3.8: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Ηz έως και 30 ΚHz, μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V συναρτήσει της συχνότητας: Σχήμα 3.9: Διάγραμμα τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης 38

39 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ Τ διάγραμμα αυτό ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: πότε σε μνάδες db θα έχει τη μρφή: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) Σχήμα 3.0: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Πάνω στ διάγραμμα σημειώννται τέσσερις κρίσιμες τιμές από τις πίες θα εξάγυμε τα χαρακτηριστικά τυ φίλτρυ από την πρσμίωση. Στ τέταρτ σημεί από αριστερά φαίνεται η τιμή τυ κέρδυς των σημάτων υψηλών συχντήτων, όπυ δημιυργείται ένα πλατώ, τιμής: 6 K 73,7 0 db 0,000dB ( 3.6 ) HP ( π) Λόγω μιας μικρής αύξησης της τάσης εξόδυ στη περιχή των 30ΚHz λάβαμε ως τιμή κέρδυς των υψηλών συχντήτων την τιμή κέρδυς στη μέση περίπυ τυ πλατώ. Επίσης, λόγω ότι στ διάγραμμα δεν είναι εμφανές τ «γόνατ-γωνία» πυ εμφανίζεται στ θεωρητικό διάγραμμα τυ Σχ..7β στη συχνότητα απκπής, ρίζεται ως συχνότητα απκπής η συχνότητα στην πία η τιμή της Η() είναι 3dB χαμηλότερα από τ πλατώ των σημάτων υψηλής συχνότητας. Άρα για Κ HP(π) 0,000dB, η Η() = 0,000dB 3dB = 3,000dB αντιστιχεί σε συχνότητα: f,0008κhz.00hz ( 3.7 ) HP ( π) πυ φαίνεται στ τρίτ σημεί τυ διαγράμματς. Τέλς, τ δεύτερ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά αριστερότερα από τ τρίτ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 39,99dB. Άρα στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 3,000dB ( 39,99dB ) db λhp ( π) 36,99 ( 3.8 ) 000,8Hz 00,08Hz Dec Επίσης τ πρώτ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά αριστερότερα από τ δεύτερ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 79,99dB. Αυτό σημαίνει ότι στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 79,99dB ( 39,99dB ) db λ HP ( π) 40 ( 3.9 ) 00,08Hz 0,008Hz Dec 39

40 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.4 Ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης Ομίως με τα πρηγύμενα φίλτρα ης τάξης, έτσι και στ ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης, η συνάρτηση μεταφράς τυ θα πρκύψει από τη σχέση (3.) για α = α = 0, έτσι ώστε βαθμός τυ πλυωνύμυ τυ αριθμητή ( υ ) να είναι κατά ένα μικρότερς τυ παρνμαστή ( υ ), άρα: ω ( 3. ) V ( ) a V i( ) b b ω ω H() K (3.30) Όντως, από τη σχέση (3.30) για τα σήματα πλύ χαμηλών συχντήτων ( = j ω 0) θα ισχύει: ω ω 0 0 V ( ) 0 H() K K K = 0 V ( ) 0 (3.3) ω V i ( ) ω ω ω 0 0 ω πυ σημαίνει ότι απκόπτνται στη έξδ, κάτι τ πί συμβαίνει και για τα σήματα πλύ υψηλών συχντήτων ( = j ω ) αφύ θα έχυμε: ω ω ω V ( ) H() K K K ω V i ( ) ω ω ω ω ω Όμως για τ σήμα πυ βρίσκεται στη κεντρική συχνότητα διέλευσης ( = j ω ) θα ισχύει: ω ω ω j ω j jω H() K K K ω ω ω j ω j ω ω ω ω j ω 0 K =0 (3.3) =K =K (3.33) πυ σημαίνει ότι ενισχύεται κατά Κ. Η συγκεκριμένη συχντική συμπεριφρά τυ ζωνπερατύ φίλτρυ παρυσιάζεται στ Σχ.3.β, ενώ η κυκλωματική τυ υλπίηση φαίνεται στ Σχ.3.α. (α) (β) Σχήμα 3.: (α) Yλπίηση και (β) διάγραμμα Bde ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης Οι συχνότητες απκπής f ΒP, f ΒP είναι 3dB χαμηλότερα από τ κέρδς της f ΒP και ισχύει: fβp fbp fbp ΒP BW 3BP (3.34) 40

41 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.4. Θεωρητική ανάλυση ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης Η υλπίηση τυ Σχ.3.α απτελεί ειδική περίπτωση της γενικής τπλγίας ενεργύ φίλτρυ αρνητικής ανάδρασης πυ είδαμε στ Σχ..3, για αγωγιμότητες: Y, Y, Y C, Y C, Y R R R C C πότε η αντίστιχη συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (.) γίνεται: C C 3 3 R R H() C C R R R R R R R 3 4 C3 C4 C3 C4 C3 C C3 R C3 C4 R C4 H() C3 C 4 R C C R R R C C R C C R R R C C R5 C3 C4 H() R C4 R C C R C C R R R C C R R C C C 4 R C3 R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R H() (3.35) Αντιστιχίζντας τα μέτρα της σχέσης (3.30) και της σχέσης (3.35) πρκύπτυν ι σχέσεις: ω R R 5 5 C3 C4 K ω C 4 ω R C3 R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R R R 5 5 K K C C 4 4 R R C3 C3 ω ω R5 C3 C4 R R R5 C3 C4 R R ω R5 R 5 C3 C 4 R5 C3 C4 R R C3 C4 4

42 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ R5 R5 K K C 4 C 4 R R C3 C3 ω ω ( 3.36 ) R5 C3 C4 R R R5 C3 C4 R R R 5 R5 C3 C4 C3 C 4 C3 C4 R R C3 C4 R R C3C4 Για ευκλία, τ φίλτρ πυ θα δύμε θα έχει C 3 = C 4 και R 5 = R έτσι ώστε η κεντρική συχνότητα διέλευσης ω να έχει κέρδς Κ =, πότε ι σχέσεις (3.36) γίννται: R K C 4 R C K 4 ω ω R C4 C4 R R R C4 R R R C4 C4 R C4 C4 C4 R R C4 R R K ω (3.37) C4 R R R R R Δεδμένυ ότι R R στα φίλτρα Butterwrth υ βαθμύ, από τη σχέση (3.37) πρκύπτει: R R R 0 (3.38) R R R Επειδή η R δεν μπρεί να μηδενιστεί, την επιλέγυμε π.χ. ίση με την R, πότε τ γίνεται. Επίσης, επιλέγντας η κεντρική συχνότητα διέλευσης τυ φίλτρυ να είναι ΚΗz (για λόγυς σύγκρισης με τα πρηγύμενα και επόμενα φίλτρα), από τη η σχέση της (3.37) πρκύπτει: 3 π f 3,4 0 C 4 R ( 3.39 ) C4 R R R C4 R 680 Όπως είδαμε στις σχέσεις (.) και (.), για C 4 = nf, έχυμε R 59KΩ, πότε πρκύπτει: C4 C3 nf, R R 59ΚΩ και Τέλς, επισημαίνυμε ότι η τιμή των ωμικών αντιστάσεων είναι πρσεγγιστική, πότε η ακριβής θεωρητική τιμή της κεντρικής συχνότητας διέλευσης τυ ζωνπερατύ φίλτρυ είναι η: 6 0 fbp.00ηz (3.4) 3 9 π RC 3, ,03 R R 38ΚΩ (3.40) 5 4

43 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.4. Πρσμίωση ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ.3.α, λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ κέρδς της κεντρικής συχνότητας διέλευσης (Κ), η κεντρική συχνότητα διέλευσης (f BP ) και ι κλίσεις απόρριψης (λ BPL και λ BPH ) των σημάτων συχνότητας πυ είναι μακριά από την f BP, τελεστικός ενισχυτής πυ θα χρησιμπιήσυμε και εδώ θα είναι ua74. Σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.3.α, έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές της σχέσης (3.40), αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία τυ τελεστικύ 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα 3.: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Ηz έως και 00 ΚHz, μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V συναρτήσει της συχνότητας: Σχήμα 3.3: Διάγραμμα τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης 43

44 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ Τ διάγραμμα αυτό ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: πότε σε μνάδες db θα έχει τη μρφή: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) Σχήμα 3.4: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης Στ διάγραμμα τυ Σχ.3.3 σημειώθηκε η κρυφή της καμπύλης η πία αντιστιχεί στην κεντρική συχνότητα διέλευσης τυ ζωνπερατύ φίλτρυ. Άρα η συχνότητα αυτή είναι η: της πίας τ κέρδς είναι: f,000κhz.000hz ( 3.4 ) BP ( π) 3 KBP ( π) 3, db 0,003dB 0,9997 ( 3.43 ) Εκατέρωθεν της f BP(π), 3 db χαμηλότερα, βρίσκνται ι συχνότητες απκπής τυ φίλτρυ: και f 68,78Hz 69Hz BP ( π) f,653κhz.65hz ( 3.44 ) BP ( π) ι πίες ρίζυν και την περιχή των συχντήτων διέλευσης, με εύρς ζώνης: ΒW f f.65hz 69Hz 996Hz ( 3.45 ) 3BP BP( π ) BP( π ) Πάνω στ διάγραμμα τυ Σχ.3.4, εκτός από τα τρία σημεία πυ είδαμε, σημειώννται άλλα δύ σημεία από τα πία θα εξάγυμε τις κλίσεις τυ διαγράμματς Bde. Συγκεκριμένα, τ αριστερό σημεί βρίσκεται συχντικά κατά μία δεκάδα (Dec) χαμηλότερα από την f BP(π) και η τιμή της Η() είναι 4,6dB, άρα στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 3,003dB ( 4,6dB ) db λbp H ( π),58 ( 3.46 ) 68,78Hz 6,878Hz Dec Ομίως, τ δεξιό σημεί βρίσκεται συχντικά κατά μία δεκάδα (Dec) υψηλότερα από την f BP(π) και η τιμή της Η() είναι 4,60dB, άρα στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 4,60dB ( 3,003dB ) db λbp L( π),57 ( 3.47 ) 6.53Hz.65,3Hz Dec 44

45 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.5 Ζωναπρριπτικό φίλτρ ης τάξης Τ ζωναπρριπτικό φίλτρ έχει την αντίθετη λειτυργία από τ ζωνπερατό, άρα μπρεί να υλπιηθεί αν αφαιρέσυμε από την V i την V τυ ζωνπερατύ. Η συνάρτηση μεταφράς τυ πρκύπτει από τη σχέση (3.) αλλά αυτή τη φρά για α 0, α 0 και α = 0, πότε θα έχυμε: ( 3. ) V ( ) a a ω H() K (3.48) V i( ) b b ω ω Όντως, από τη σχέση (3.48) για τα σήματα πλύ χαμηλών συχντήτων ( = j ω 0) θα ισχύει: ω V ( ) 0 ω ω H() K K K ω 0 0 ω 0 ω V i ( ) ω ω V ( ) = K K (3.49) V ( ) πυ σημαίνει ότι ενισχύνται κατά Κ, κάτι τ πί συμβαίνει και για τα σήματα πλύ υψηλών συχντήτων ( = j ω ) αφύ θα έχυμε: ω ω V ( ) ω V i ( ) ω ω ω H() K K K ω ω ω Όμως για τ σήμα πυ έχει συχνότητα την ω (άρα για = j ω ) θα ισχύει: jω ω j ω ω ω ω ω ω ω j H() K K K ω j ω j ω ω ω ω i K =K (3.50) 0 =K =0 (3.5) ω j πυ σημαίνει ότι απκόπτεται στη έξδ. Η συγκεκριμένη συχντική συμπεριφρά παρυσιάζεται στ Σχ.3.5β, ενώ η κυκλωματική τυ υλπίηση φαίνεται στ Σχ.3.5α. (α) (β) Σχήμα 3.5: (α) Yλπίηση και (β) διάγραμμα Bde ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης Οι συχνότητες απκπής f BR και f BR βρίσκνται 3dB χαμηλότερα από τ DC κέρδς, ενώ η ξύτητα της καμπύλης τυ Σχ.3.5β εκφράζεται από τ συντελεστή πιότητας: BW 3BR NBR ( 3.5 ) BW0 BR 45

46 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.5. Θεωρητική ανάλυση ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης Ο δεύτερς τελεστικός ενισχυτής τυ Σχ.3.5α είναι ένας αναστρφικός αθριστικός ενισχυτής, πίς αθρίζει τα σήματα πυ δέχεται στην αναστρέφυσα είσδό τυ. Τ πρώτ σήμα πρέρχεται από την αρνητική έξδ τυ πρώτυ τελεστικύ ενισχυτή, πίς είναι σε συνδεσμλγία ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης (Σχ.3.α), ενώ τ δεύτερ σήμα είναι η τάση εισόδυ. Άρα η συνάρτηση μεταφράς τυ Σχ.3.5α θα πρκύψει από τη σχέση τυ αθριστή: ( 3.35 ) R R R R5 C 5 3 C4 V ( ) V ( ) V i ( ) V i ( ) V i( ) R R C 4 R C3 R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R Κ R C C ΒP V ( ) R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R V i ( ) V i ( ) R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R Κ ΒP V ( ) R5 C3 C4 R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R H() Κ ΒP R5 C3 C4 R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R Κ ΒP R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R H() (3.53) R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R Αντιστιχίζντας τα μέτρα των σχέσεων (3.48) και (3.53), για ενίσχυση Κ ΒP =, έχυμε: ω R 5 C3 C4 R R K ω ω R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R για τις ίδιες πρδιαγραφές (Κ = και f = KHz), πρκύπτυν ακριβώς ι ίδιες σχέσεις (3.40) και (3.4) πυ υπλγίσαμε για τ ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης: C4 C3 nf, R R 59ΚΩ και R5 R 38ΚΩ με fbr.00ηz (3.54) 46

47 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ 3.5. Πρσμίωση ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ.3.5α, λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ κέρδς των σημάτων χαμηλών και υψηλών συχντήτων (Κ) και κεντρική συχνότητα απόρριψης (f BR ), τελεστικός ενισχυτής πυ θα χρησιμπιήσυμε και εδώ θα είναι τυπικός ua74. Έτσι, σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.3.5α, έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές της σχέσης (3.54), μια αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία τυ τελεστικύ 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα 3.6: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Ηz έως και 30 ΚHz, μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V συναρτήσει της συχνότητας: Σχήμα 3.7: Διάγραμμα τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης 47

48 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ης ΤΑΞΗΣ Τ διάγραμμα αυτό ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: πότε σε μνάδες db θα έχει τη μρφή: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) Σχήμα 3.8: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης Στ διάγραμμα τυ Σχ.3.7 σημειώθηκε τ κατώτερ σημεί τ πί αντιστιχεί στη κεντρική συχνότητα απόρριψης τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ. Άρα η συχνότητα αυτή είναι η: f,0000κhz.000hz ( 3.55 ) BR( π) της πίας τ κέρδς είναι μόλις: 3 KBR( π) 56,04dB, ,006 ( 3.56 ) Αντιθέτως, τ κέρδς για τις πλύ χαμηλές και πλύ υψηλές συχνότητες είναι αντίστιχα: 6 K BR L( π) 74,8 0 db ( 3.57 ) 3 K BR H ( π),85 0 db 0,9974 ( 3.58 ) Πάνω στ διάγραμμα τυ Σχ.3.8, εκτός από τα τρία πρηγύμενα σημεία πυ είδαμε, σημειώννται άλλα τέσσερα όπυ έχυμε τιμές κέρδυς 3dB και 0dB. Από αυτές πυ έχυν κέρδς 3dB βρίσκυμε τις συχνότητες απκπής: fbr( π) 67,7 Hz 67 Ηz και fbr( π),663khz.66 Ηz ( 3.59 ) από τις πίες υπλγίζυμε πειραματικά τη κεντρική συχνότητα απόρριψης από τη σχέση: ( 3.59 ) ( 3.55 ) f f f = 67,7.66, ,07 998,7 f ( 3.60 ) BR( π ) BR( π ) BR( π ) BR( π ) Λαμβάνντας υπόψη και τις τιμές συχντήτων πυ έχυν κέρδς 0dB, μπρύμε να εξάγυμε τ συντελεστή πιότητας της κίτρινης καμπύλης, από τη σχέση (3.5), πότε έχυμε: BW3BR 66,3Hz 67,7 Hz 999,83 Hz NBR 9,965 ( 3.6 ) BW 050,6 Hz 950,33Hz 00,69 Hz 0 BR 48

49 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ Συμπεράσματα για τα φίλτρα ης τάξης Αρχικά ελέγχυμε αν τα απτελέσματα των πρσμιώσεων συναντύν τις πρδιαγραφές των φίλτρων ης τάξης. Στ χαμηλπερατό και υψηλπερατό φίλτρ θεωρήσαμε κέρδς Κ =, συχνότητα απκπής f LP = f HP KHz και κλίση της συνάρτησης μεταφράς λ = 40dB/Dec, πότε τα σχετικά σφάλματα των τιμών πρσμίωσης στ χαμηλπερατό φίλτρ είναι: K K ( 3. ) LP ( π) 0 00% 00% 00% 0% K f ( 3. ) LP flp ( π).00ηz 998Hz 300 Ηz f ( 3.3 ) LP.00Hz.00Hz λ ( 3.4 ) LP λlp ( π) 40dB / Dec ( 36,987dB / Dec ) 00% 00% % 0,3% 30,3dB / Dec 00% 0 0 % % 7,5% λlp 4 0 db / Dec 4dB / Dec ενώ τα αντίστιχα σφάλματα των τιμών πρσμίωσης για τ υψηλπερατό φίλτρ είναι: K K ( 3.6 ) HP ( π) 0 00% 00% 00% 0% K ( 3.5 ) fhp fhp ( π).000 Ηz.00Hz Ηz 00% 00 % % 0,% f ( 3.7 ) HP.0 00 Hz 0Hz λ ( 3.8 ) HP λhp ( π) 40dB / Dec 36,99dB / Dec 30,08dB / Dec 00% 0 0 % % 7,5% λhp 4 0 db / Dec 4dB / Dec Από τις πλύ μικρές τιμές των σχετικών σφαλμάτων στ κέρδς και τη συχνότητα απκπής παρατηρύμε ότι υπάρχει γενική συμφωνία μεταξύ θεωρητικών τιμών και τιμών πρσμίωσης. Ωστόσ, τα σχετικά σφάλματα των κλίσεων σε χαμηλπερατό και υψηλπερατό φίλτρ είναι πλύ μεγαλύτερα σε σχέση με τα άλλα, επειδή η περιχή πυ εξετάσαμε δεν είναι εντελώς γραμμική, λόγω τυ «γόνατυ-γωνία» πυ υπάρχει στην περιχή συχντήτων τυ ΚΗz. Όντως, αν ελέγξυμε τα σχετικά σφάλματα των κλίσεων λ' (π) πυ βρίσκνται σε πι γραμμικές περιχές συχντήτων, πρκύπτυν για τ χαμηλπερατό και τ υψηλπερατό φίλτρ ι τιμές: λ ( 3.5 ) LP λ LP ( π) 40dB / Dec ( 39,937dB / Dec ) 0,63dB / Dec 00% 0 0 % % 0,6% λlp 4 0 db / Dec 4dB / Dec λ ( 3.9 ) HP λ HP ( π) 40dB / Dec 40dB / Dec 0dB / Dec 00% 0 0 % 0% 0% λhp 4 0 db / Dec 4dB / Dec πυ είναι πλύ μικρότερες από τις πρηγύμενες. Συμπεραίνυμε δηλαδή ότι στ χαμηλπερατό και υψηλπερατό φίλτρ, όσ απμακρυνόμαστε από τη περιχή διέλευσης των φίλτρων, τόσ η απκπή των σημάτων γίνεται εντνότερη, φθάνντας μέχρι και τα 40 db/dec, δηλαδή τη διπλάσια κλίση σε σχέση με τη κλίση των φίλτρων ης τάξης πυ είδαμε. Ωστόσ, όπως θα δύμε στ επόμεν κεφάλαι, ι κλίσεις σε όλα τα φίλτρα μπρύν να αυξηθύν ακόμη περισσότερ και να πλησιάσυν ακόμη πι πλύ την απότμη συχντική απόκριση των ιδανικών φίλτρων. 49

50 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΦΙΛΤΡΑ ης ΤΑΞΗΣ Στ ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης, η κλίση των 40 db/dec χωρίζεται σε λ = 0 db/dec εκατέρωθεν της f BP, άρα για τ ζωνπερατό φίλτρ έχυμε τα σχετικά σφάλματα: K K ( 3.43 ) BP ( π) 0,9997 0, % 00% 00% 0,03% K f ( 3.4 ) BP fbp ( π).00ηz.000 Hz Ηz f ( 3.4 ) BP.00Hz 0 Hz λ ( 3.46 ) BP Η λbp Η ( π ) 0dB / Dec,58dB / Dec 00% 00% % 0,%,58dB / Dec 00% 0 0 % % 5,79% λbp H 0 db / Dec db / Dec λ ( 3.47 ) BP L λbp L( π) 0dB / Dec (,57dB / Dec ),57dB / Dec 00% 0 0 % % 5,79% λbp L 0 db / Dec db / Dec ενώ για τ ζωναπρριπτικό φίλτρ έχυμε τα σχετικά σφάλματα: K K ( 3.57 ) BR L( π) 0 00% 00% 00% 0% K K K ( 3.58 ) BR H ( π) 0,9974 0,006 00% 00% 00% 0,6% K f ( 3.54 ) BR fbr( π).00ηz.000 Hz 00 Ηz f ( 3.55 ) BR.00Hz 00Hz 00% 00% % 0,% Από τις πλύ μικρές τιμές των σχετικών σφαλμάτων παρατηρύμε ότι υπάρχει γενική συμφωνία μεταξύ θεωρητικών τιμών και τιμών πρσμίωσης. Οι κλίσεις στ ζωνπερατό φίλτρ, εμφανίζνται αρκετά μεγαλύτερες από τις θεωρητικές τυς τιμές, λόγω της υπερύψωσης πυ δίνει τ =. Όντως, π.χ. αριστερότερα της περιχής της υπερύψωσης, η κλίση έχει τιμή: 4,6dB ( 44,78dB ) db db λ BP H ( π) 0, ,78Hz 6,878Hz Dec Dec Επίσης, στ ζωνπερατό φίλτρ η f BP επαληθεύεται από τη σχέση (3.34): ( 3.44 ) ( 3.4 ) f f f = 68,78.65, , ,7 f BP BP ( π ) BP ( π ) BP ( π ) ενώ παράγντας πιότητας υπλγίζεται επίσης από τη σχέση (3.34) και ισύται με: ( 3.45 ) fbp 999,7 BP,004 BW3BP 996 και συμφωνεί με τη θεωρητική τυ τιμή. Όταν παράγντας πιότητας είναι μικρότερς τυ 0, τότε τ ζωνπερατό φίλτρ είναι ευρείας ζώνης. Όταν ξεπεράσει τ 0, τότε θεωρείται στενής ζώνης. Όπως θα δύμε, άλλς τρόπς να κατασκευάσυμε ζωνπερατό φίλτρ ευρείας ζώνης, είναι να βάλυμε διαδχικά ένα χαμηλπερατό και ένα υψηλπερατό φίλτρ, με f HP < f LP. Συνψίζντας, ι πρδιαγραφές των φίλτρων ης τάξης επαληθεύνται από τις πρσμιώσεις των κυκλωμάτων τυς καθώς: α) τ χαμηλπερατό επιτρέπει να περάσυν ανεπηρέαστα σήματα συχντήτων f < f LP, β) τ υψηλπερατό επιτρέπει να περάσυν ανεπηρέαστα σήματα συχντήτων f > f HP, γ) τ ζωνπερατό επιτρέπει να περάσυν ανεπηρέαστα σήματα στην περιχή συχντήτων f f BP και δ) τ ζωναπρριπτικό επιτρέπει να περάσυν ανεπηρέαστα όλα τα σήματα, εκτός από αυτά στην περιχή συχντήτων f f BR. 50

51 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ενεργά φίλτρα ανώτερης τάξης 5

52 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ 4. Εισαγωγή στα φίλτρα ανώτερης τάξης Ως φίλτρα ανώτερης τάξης, αναφερόμαστε στα φίλτρα των πίων η τάξη είναι μεγαλύτερη από τη η τάξη (Ν > ). Τα φίλτρα αυτά κατασκευάζνται τπθετώντας διαδχικά φίλτρα ης και ης τάξης. Συγκεκριμένα για την υλπίηση ενός φίλτρυ Ν τάξης χρησιμπιύνται σε σειρά Ν/ φίλτρα ης τάξης, ενώ αν τ Ν είναι περιττός πρστίθεται σε σειρά ακόμη ένα φίλτρ ης τάξης. Σχήμα 4.: Δμή φίλτρων ανωτέρυ βαθμύ, μέσω σύνδεσης διαδχικών φίλτρων Άρα η συνάρτηση μεταφράς τυς πρκύπτει από τ γινόμεν των συναρτήσεων μεταφράς Η i () (με i =,, n) τυ καθενός φίλτρυ: V ( ) H() H () H ()... H n() (4.) L( ) V i( ) όπυ L(), τ αντίστρφ της συνάρτησης μεταφράς, η πία λέγεται συνάρτηση απώλειας. Οι συναρτήσεις απώλειας χαμηλπερατών φίλτρων Butterwrth έως και 5 ης τάξης παρυσιάζνται στν πίνακα 4. Πίνακας 4.: Συναρτήσεις απώλειας Butterwrth για χαμηλπερατά φίλτρα Ν L(S) S + S +,44S + 3 (S + S + ) (S + ) 4 (S + 0,765S + ) (S +,847S + ) 5 (S + 0,68S + ) (S +,68S + ) (S + ) όπυ τ S απδεικνύεται ότι δίνεται από τη σχέση: N 0,A 0 max S= (4.) ω p Όντως, για ένα χαμηλπερατό φίλτρ Butterwrth στη συχνότητα απκπής ω = ω p (άρα Α max = 3 db, από τ Σχ..3), η σχέση (4.) μας δίνει: N 0,3 N 0,3 N N 0 0 S= = = = (4.3) ω ω ω ω ω ανεξάρτητα από την Ν τάξη τυ, πότε αντικαθιστώντας στη η σειρά τυ πίνακα 4. πρκύπτει: ω H() (4.4) ( 4.3 ) ω L( ) S,44S ω ω ω ω ω πυ είναι η συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (3.3) για Κ = και (φίλτρ Butterwrth). 5

53 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 3 ης ΤΑΞΗΣ 4. Χαμηλπερατό φίλτρ 3 ης τάξης Σύμφωνα με την πρηγύμενη παράγραφ, ένα χαμηλπερατό φίλτρ 3 ης τάξης (δηλ. Ν = 3) κατασκευάζεται τπθετώντας διαδχικά δύ βαθμίδες φίλτρων, ένα χαμηλπερατό ης τάξης και ένα ης τάξης. Έτσι, από τις υλπιήσεις των χαμηλπερατών φίλτρων ης και ης τάξης (Σχ.3.3α και Σχ..3α) πρκύπτει η παρακάτω υλπίηση τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης: Σχήμα 4.: Yλπίηση ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης ενώ από τις συναρτήσεις μεταφράς τυς στις σχέσεις (3.3) και (.6 ) αντίστιχα, πρκύπτει από την σχέση (4.) η παρακάτω συνάρτηση μεταφράς τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης: V ( ) ω a Κ ω a H() H () H () K (4.5) V ( ) ω ω ω( ) ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω( ) ω ( ) i ( ) ω ( ) ω ω ( ) ( ) τυ πίυ τ DC κέρδς θα πρκύψει από τ μέτρ της Η() για = j ω = 0, πότε πρκύπτει: Κ Σχ..3 β ( ) ω a( ) Κ( ) ω a( ) a( ) K H( ) Κ 0 3 ( ) = K( ) K ( ) ( 4.6 ) ω ω ω 0 0 ω 0 ω ( ) Επίσης, αντικαθιστώντας τη σχέση (4.3) στη 3 η σειρά τυ πίνακα 4., έχυμε: ( 4.3 ) 3 ω H() (4.7) L( ) ( S S ) ( S ) ω ω ω ω ω ω Αντιστιχίζντας κατά μέλη τις σχέσεις (4.5) και (4.7) πρκύπτει η σχέση: ω ω ( ) ( ) ( ) (4.8) Τέλς, η συχντική απόκριση ενός χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης απτελεί συμψηφισμό των συχντικών απκρίσεων ενός χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης και ενός ης τάξης, άρα: λ λ λ 40dB / Dec ( 0dB / Dec ) 60dB / Dec ( 4.9 ) LP3 LP LP 53

54 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 3 ης ΤΑΞΗΣ 4.. Θεωρητική ανάλυση χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Ομίως με τ χαμηλπερατό φίλτρ ης τάξης στ πί θεωρήσαμε ίσες ωμικές αντιστάσεις για να ικανπιείται η απαίτηση τ DC κέρδς να είναι Κ () =, έτσι και στ χαμηλπερατό φίλτρ ης τάξης πυ είναι η πρώτη βαθμίδα τυ εξεταζόμενυ φίλτρυ 3 ης τάξης τυ Σχ.4. θα ισχύυν ι σχέσεις (3.8): ω( ) R CC5 K() (4.0) C () 3 C5 πότε αντικαθιστώντας τ () = της σχέσης (4.8) στ αντίστιχ () της σχέσης (4.0) έχυμε: Επμένως, για: C C C = = 9 C 9C 5 (4.) 3 C5 9 C5 C5 (4.) C nf C 9C =9 nf 9nF (4.) 5 5 Επίσης, επιλέγντας η συχνότητα απκπής τυ φίλτρυ να είναι ξανά ΚΗz (για λόγυς σύγκρισης με τα πρηγύμενα και επόμενα φίλτρα), από τη πρώτη σχέση της (4.0) πρκύπτει: ( 4. ) 3 ( ) R C C5 R π f 3,4 0 R R 53KΩ (4.3) Επειδή η τιμή των ωμικών αντιστάσεων είναι πρσεγγιστική, η ακριβής θεωρητική τιμή της συχνότητας απκπής στην έξδ τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης θα είναι η: 9 0 f LP.00Ηz (4.4) π R C C 3, Όσν αφρά τις τιμές των στιχείων της ης βαθμίδας τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης, δεδμένυ ότι: K = Κ () =, πρκύπτει από τη σχέση (4.6) ότι και τ DC κέρδς τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης θα πρέπει να είναι μνάδα: K K ( 4.5 ) ( ) ( ) Άρα για τις ίδιες τιμές DC κέρδυς και συχνότητας απκπής, θα πρκύψυν και ι ίδιες τιμές στιχείων και συχνότητας απκπής πυ υπλγίσαμε στις σχέσεις (.0), (.) και (.): C nf R 59ΚΩ (4.6) flp.00ηz Επμένως, από τις σχέσεις (4.4) και (4.6) πρκύπτει η τελική συχνότητα απκπής στην έξδ λόκληρυ τυ φίλτρυ: flp 3.00Ηz (4.7) 54

55 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 3 ης ΤΑΞΗΣ 4.. Πρσμίωση χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ.4., λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ DC κέρδς (Κ), η συχνότητα απκπής (f LP3 ) και η κλίση απόρριψης των υψήσυχνων σημάτων (λ LP3 ), ι τελεστικί ενισχυτές πυ θα χρησιμπιήσυμε και εδώ (για λόγυς σύγκρισης απτελεσμάτων) θα είναι ι ua74. Έτσι, σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.4., έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές των σχέσεων (4.), (4.3) και (4.6), μια αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία των τελεστικών ενισχυτών 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα 4.3: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Hz έως και 30 ΚHz μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V (κόκκινη γραμμή) συναρτήσει της συχνότητας, καθώς και η τάση στην έξδ της πρώτης βαθμίδας (V () ): Σχήμα 4.4: Διάγραμμα της τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης 55

56 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 3 ης ΤΑΞΗΣ Τ κόκκινη γραμμή ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) ενώ σε μνάδες db, η κόκκινη και η ρζ γραμμή τυ Σχ.4.4 θα έχυν αντίστιχα τις μρφές: Σχήμα 4.5: Διαγράμματα Bde από την πρσμίωση ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Πάνω στη κόκκινη γραμμή σημειώννται πέντε κρίσιμες τιμές από τις πίες θα εξάγυμε τα χαρακτηριστικά τυ φίλτρυ από την πρσμίωσή τυ. Αριστερά είναι η τιμή τυ DC κέρδυς: 6 KLP 3( π) 0,48 0 db 0,000dB ( 4.8 ) Άρα η V στ Σχ.4.4 δεν είναι ακριβώς V, γιατί η V σε db δεν είναι ακριβώς 0, αλλά μία τιμή πλύ κντά στη τιμή 0 (0,000 db). Και εδώ ως συχνότητα απκπής θεωρύμε τη συχνότητα πυ η τιμή της Η() είναι 3dB χαμηλότερα από την τιμή τυ DC κέρδυς. Άρα για DC κέρδς Κ LP3(π) 0,000dB, η Η() = 0,000dB 3dB = 3,000dB αντιστιχεί σε συχνότητα: f 0,999ΚHz 999Hz ( 4.9 ) LP 3( π) πυ φαίνεται στ δεύτερ σημεί τυ διαγράμματς. Τ τέταρτ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά δεξιότερα από τ δεύτερ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 59,985dB. Άρα στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 59,985dB ( 3,000dB ) db λlp 3( π) 56,985 ( 4.0 ) 9.990Hz 999Hz Dec Επίσης τ πέμπτ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά δεξιότερα από τ τρίτ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 60dB χαμηλότερα. Αυτό σημαίνει ότι στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 88,63dB ( 8,646dB ) db λ LP 3( π) 59,986 ( 4. ) Hz 3.000Hz Dec ενώ στην ίδια συχντική περιχή η κλίση τυ διαγράμματς Bde της ρζ γραμμής είναι: 59,085dB ( 8,644dB ) db λ LP ( π) 40,44 ( 4. ) Hz 3.000Hz Dec 56

57 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 3 ης ΤΑΞΗΣ 4.3 Υψηλπερατό φίλτρ 3 ης τάξης Ομίως με τ χαμηλπερατό φίλτρ 3 ης τάξης, ένα υψηλπερατό φίλτρ 3 ης τάξης (δηλ. Ν = 3) κατασκευάζεται τπθετώντας διαδχικά δύ βαθμίδες φίλτρων, ένα υψηλπερατό ης τάξης και ένα ης τάξης. Έτσι, από τις υλπιήσεις των υψηλπερατών φίλτρων ης και ης τάξης (Σχ.3.7α και Σχ..7α) πρκύπτει η παρακάτω υλπίηση τυ υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης: Σχήμα 4.6: Yλπίηση ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης ενώ από τις συναρτήσεις μεταφράς τυς στις σχέσεις (3.6) και (.8) αντίστιχα, πρκύπτει από την σχέση (4.) η παρακάτω συνάρτηση μεταφράς τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης: V ( ) a Κ a H() H () H () K (4.3) V ( ) ω ω K H( ) ω( ) ω 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω( ) ω ( ) i ( ) ω ( ) ω ω () () τυ πίυ τ κέρδς υψηλών συχντήτων θα πρκύψει από τ μέτρ της Η() για = j ω : 3 3 Κ a ω ( ) ( ) 3 () 3 ω ω Εφαρμόζντας τ μετασχηματισμό συχνότητας Κ Σχ..7 β ( ) a( ) Κ a = K K ( 4.4 ) S ω ( ) ( ) ( ) ( ) στην 3 η σειρά τυ πίνακα 4., έχυμε: 3 3 H() (4.5) 3 L( ) ( S S ) ( S ) ω ω ω ω ω ω Αντιστιχίζντας κατά μέλη τις σχέσεις (4.3) και (4.5) πρκύπτει η σχέση: ω ω ( ) ( ) ( ) (4.6) Τέλς, η συχντική απόκριση ενός υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης απτελεί συμψηφισμό των συχντικών απκρίσεων ενός υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης και ενός ης τάξης, άρα: λ λ λ 40dB / Dec 0dB / Dec 60dB / Dec ( 4.7 ) HP 3 HP HP 57

58 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 3 ης ΤΑΞΗΣ 4.3. Θεωρητική ανάλυση υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Ομίως με τ υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης στ πί θεωρήσαμε ίσες χωρητικότητες πυκνωτών για να ικανπιείται η απαίτηση τ DC κέρδς να είναι Κ () =, έτσι και στ υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης πυ είναι η πρώτη βαθμίδα τυ εξεταζόμενυ φίλτρυ 3 ης τάξης τυ Σχ.4.6 θα ισχύυν ι σχέσεις (3.): ω( ) C R R5 K() (4.8) R5 () 3 R πότε θέτντας τ () = της σχέσης (4.6) στ αντίστιχ () της σχέσης (4.8) έχυμε: Επμένως, για: R R R = = 9 R5 9R (4.9) 3 R 9 R R (4.9) R KΩ R 9R =9 KΩ 9ΚΩ (4.30) 5 Επίσης, επιλέγντας η συχνότητα απκπής τυ φίλτρυ να είναι ξανά ΚΗz (για λόγυς σύγκρισης με τα πρηγύμενα και επόμενα φίλτρα), από τη η σχέση της (4.8) πρκύπτει: ( 4.30 ) 3 ( ) C R R5 C π f 3,4 0 C C 53nF (4.3) Επειδή η τιμή των χωρητικτήτων των πυκνωτών είναι πρσεγγιστική, η ακριβής θεωρητική τιμή της συχνότητας απκπής στην έξδ τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης θα είναι η: 9 0 f.00ηz (4.3) HP π C RR5 3, Όσν αφρά τις τιμές των στιχείων της ης βαθμίδας τυ υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης, δεδμένυ ότι: K = Κ () =, πρκύπτει από τη σχέση (4.6) ότι και τ DC κέρδς τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης θα πρέπει να είναι μνάδα: K K ( 4.33 ) ( ) ( ) Άρα για τις ίδιες τιμές DC κέρδυς και συχνότητας απκπής, θα πρκύψυν και ι ίδιες τιμές στιχείων και συχνότητας απκπής πυ υπλγίσαμε στις σχέσεις (.), (.) και (.3): C nf R 59ΚΩ (4.34) fhp.00ηz Επμένως, από τις σχέσεις (4.3) και (4.34) πρκύπτει η τελική συχνότητα απκπής στην έξδ λόκληρυ τυ φίλτρυ: fhp 3.00Ηz (4.35) 58

59 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 3 ης ΤΑΞΗΣ 4.3. Πρσμίωση υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ.4., λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ κέρδς υψηλών συχντήτων (Κ), η συχνότητα απκπής (f HP3 ) και η κλίση απόρριψης των σημάτων χαμηλής συχνότητας (λ HP3 ), ι τελεστικί ενισχυτές πυ θα χρησιμπιήσυμε και εδώ θα είναι ι τυπικί ua74. Έτσι, σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.4.6, έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές των σχέσεων (4.30), (4.3) και (4.34), μια αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία των τελεστικών ενισχυτών 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα 4.7: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Hz έως και 30 ΚHz μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V (πράσινη γραμμή) συναρτήσει της συχνότητας, καθώς και η τάση στην έξδ της πρώτης βαθμίδας (V () ): Σχήμα 4.8: Διάγραμμα της τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης 59

60 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΥΨΗΛΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 3 ης ΤΑΞΗΣ Η πράσινη γραμμή ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) ενώ σε μνάδες db, η πράσινη και η ρζ γραμμή τυ Σχ.4.8 θα έχυν αντίστιχα τις μρφές: Σχήμα 4.9: Διαγράμματα Bde από την πρσμίωση ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης Στην πράσινη γραμμή σημειώννται τέσσερις κρίσιμες τιμές από τις πίες θα εξάγυμε τα χαρακτηριστικά τυ φίλτρυ από την πρσμίωσή τυ. Δεξιά είναι η τιμή τυ κέρδυς: 6 KHP 3( π) 0,383 0 db 0,000dB ( 4.36 ) Λόγω μιας μικρής αύξησης της τάσης εξόδυ στη περιχή των 30ΚHz λάβαμε ως τιμή κέρδυς των υψηλών συχντήτων την τιμή κέρδυς στη μέση περίπυ τυ πλατώ. Συχνότητα απκπής ρίζεται η συχνότητα όπυ η τιμή της Η() είναι 3dB χαμηλότερα από τ πλατώ. Άρα για DC κέρδς Κ HP3(π) 0,000dB, η Η() = 0,000dB 3dB = 3,000dB αντιστιχεί σε συχνότητα: f,0008κhz.00hz ( 4.37 ) HP 3( π) πυ φαίνεται στ τρίτ σημεί τυ διαγράμματς. Τ δεύτερ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά αριστερότερα από τ τρίτ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 60,004dB. Άρα στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 3,000dB ( 60,004dB ) db λhp 3( π) 57,004 ( 4.38 ) 000,8Hz 00,08Hz Dec Επίσης τ πρώτ σημεί τυ διαγράμματς βρίσκεται συχντικά αριστερότερα από τ δεύτερ σημεί κατά μία δεκάδα (Dec), και η τιμή της Η() είναι 0,004dB. Αυτό σημαίνει ότι στην περιχή αυτή η κλίση τυ διαγράμματς Bde είναι: 60,004dB ( 0,004dB ) db λ HP 3( π) 60 ( 4.39 ) 0,008Hz 00,08Hz Dec ενώ στην ίδια συχντική περιχή η κλίση τυ διαγράμματς Bde της ρζ γραμμής είναι: 39,960dB ( 80,00dB ) db λ HP ( π) 40,04 ( 4.40 ) 0,008Hz 00,08Hz Dec 60

61 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ 4.4 Ζωνπερατό φίλτρ 4 ης τάξης Ομίως με τα πρηγύμενα φίλτρα 3 ης τάξης, έτσι και στ ζωνπερατό φίλτρ 4 ης τάξης (δηλ. Ν = 4) θα έχυμε διαδχικά βαθμίδες φίλτρων, δύ ζωνπερατά φίλτρα ης τάξης. Άρα η υλπίησή τυ πρκύπτει από την υλπίηση τυ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης (Σχ.3.α): Σχήμα 4.0: Yλπίηση ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης ενώ από τη συνάρτηση μεταφράς τυ στη σχέση (3.30), πρκύπτει από την σχέση (4.) η παρακάτω συνάρτηση μεταφράς τυ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης: ω ω ω ( ) ( ) K( ) K( ) Κ( ) K( ) ω( ) ω ( ) ( ) ( ) ( ) H () H () ω ω( ) ω ( ) ω ( ) i ω ( ) ω( ) ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) V ( ) H() V ( ) ω ω H() Κ K ( ) ( ) ω ( ) ( ) ω ω ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τυ πίυ τ κέρδς στη κεντρική συχνότητα διέλευσης ( = j ω ) θα ισύται με: Κ( ) K( ) j ω ( ) ( ) jω ω ω j ω j ω ω j ω j ω ω ( ) ( ) K H( ) K ω Κ K ω ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω j ω ω ω j ω ( ) ( ) ω ω 4 Κ( ) K( ) ( ) ( ) 4 ω ( ) ( ) (4.4) Κ K ( 4.4 ) ( ) ( ) 6

62 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ Τ κέρδς χαμηλών συχντήτων θα πρκύψει από τ μέτρ της Η() για = j ω 0 : ω Κ( ) K( ) 0 ( ) ( ) 0 K H( ) 0 ω ω ω ω 0 0 ω 0 0 ω ( ) ( ) 0 ( 4.43 ) ενώ τ κέρδς των υψηλών συχντήτων θα πρκύψει από τ μέτρ της Η() για = j ω : K H( ) 4 4 ω ω Κ K ( ) ( ) ( ) ( ) ω ( ) ω ( ) ω πυ σημαίνει ότι τα σήματα πλύ χαμηλών και πλύ υψηλών συχντήτων, απκόπτνται. Εφαρμόζντας μετασχηματισμό συχνότητας έχυμε: ω S ω ω ω ω ( 4.44 ) [5] στην η σειρά τυ πίνακα 4., H( ) L( ) S,44S ω ω,44 ω ω H( ) ω ω ω,44 ω ω H() ω ω ω ω ω,44,44 ω H() ω ω,44 ω,44 ω

63 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ ( 4.4 ) για ( ) ω ( ) ( ) H() ω ω,44 ω,44 ω ω ( ) ( ) H() ( 4.45 ) 0,765ω ω,847ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) πυ αντιστιχεί στην 4 η σειρά τυ πίνακα 4. για τα φίλτρα 4 ης τάξης. Αντιστιχίζντας κατά μέλη τις σχέσεις (4.4) και (4.45) πρκύπτυν ι σχέσεις: και ω 0,765 ω ( ) ( ) ( ) 0,765 (4.46) 0,765 ω,847 ω ( ) ( ) ( ),847 (4.47),847 Όντως, κάνντας τις πράξεις στν παρνμαστή της σχέσης (4.45): 0,765ω ω,847 ω ω,847 ω ω 0,765ω,44ω 0,765ω ω,847 ω ω ,847 0,765 ω,44 ω 0,765,847 ω ω ,6ω 3,44ω,6ω 4 3 ω 3 4 και αντιστιχίζντάς τν με τν παρνμαστή της πρτελευταίας σχέσης της (4.45) πρκύπτει:,44,6,6,847,847 ( ) ( ),44 ( ) ( ),44 3,44 3,44 0,765 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),847 ( ) πυ είναι ι σχέσεις (4.46) και (4.47) πυ εξάγαμε πριν. Τέλς, η συχντική απόκριση ενός ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης είναι συμψηφισμός των συχντικών απκρίσεων δύ ζωνπερατών φίλτρων ης τάξης, άρα βάση τυ Σχ.3.β θα ισχύει: db db db λbp 4 L λbp L λbp L ( 4.48 ) Dec Dec Dec και db db db λbp 4 H λbp H λbp H ( 4.49 ) Dec Dec Dec Οι συχνότητες απκπής f BP4 και f BP4 βρίσκνται 3dB χαμηλότερα από τ κέρδς της f BP4 και ισχύει ξανά η σχέση (3.34): fβp4 fbp4 fbp4 ΒP4 BW 3BP4 (4.50) 63

64 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ 4.4. Θεωρητική ανάλυση ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης Ομίως με τ ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης, πυ είναι η πρώτη και η δεύτερη βαθμίδα τυ εξεταζόμενυ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης τυ Σχ.4.0, θα ισχύυν για την πρώτη και τη δεύτερη βαθμίδα αντίστιχα ι σχέσεις (3.36): R5 K( ) C 4 R C3 ω( ) R5 C3 C4 R R, R 5 K( ) C 4 R C 3 ω ( ) ( 4.5 ) R 5 C 3 C 4 R R ( ) R5 C3 C4 C3 C4 R R ( ) R 5 C 3 C 4 C 3 C 4 R R Για ευκλία, θεωρύμε C 3 = C 4 = C' 3 = C' 4 = C πότε ι σχέσεις (4.5) γίννται: K R 5 () R ω( ) C R5 R R ( ) R5 R R, K R 5 ( ) R ( ) C R 5 R R ω ( 4.5 ) ( ) R 5 R R Επίσης απαιτύμε να ισχύυν ι πρδιαγραφές των σχέσεων (4.44), (4.46) και (4.47), καθώς επίσης ι κεντρικές συχνότητες διέλευσης να είναι ίσες (ω () = ω () ), πότε ι σχέσεις (4.5) γίννται: R5 R 5 Κ( ) K( ) R R R5 R 5 K 4R R R5 R 5 C R5 R R C R 5 R R R 4R R R R 5 R 5 R5 R5 R,4 0,765 R R R R 5 R 5,847 R5 R R,847 R R 0,765 R 5 R R 64

65 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ Για: R5 R 5,4R 5 R 5 0,6 R 5 R R R 4R 4R R (4.53) R5,4R 5 R5,4R 5 R5,4R 5 R R KΩ (4.54) 5 ι τιμές των στιχείων της σχέσης (4.53) γίννται: 0,6 R R 0,6 KΩ R 600Ω R5,4 ΚΩ R5,4ΚΩ R5,4 (4.55) Για τις παραπάνω τιμές, υπλγίζυμε και τα υπόλιπα στιχεία τυ κυκλώματς από τις εξισώσεις της σχέσης (4.5), δεδμένυ ότι η πρδιαγραφή είναι: f () = f () = f BP4 = KHz :,4,4 K( ) K( ) 0,6, K( ) K( ) K( ) K( ) 0, ,4 0 6, C C 0 0 R 0 C 0 R 6,8 R,4,4,4 4 6, ,765 0,6 R 0,765 R R,73 R,847 R,847 R 6 3 K( ) K( ) K( ) K K ( ) 0,5 ( ) 0,5 K( ) K( ) 0,5 K( ) 0, C C C,08 C 7nF ( 4.56 ) 6,8 R 6,8 3 5,8 0 6,8 R 847 Ω,835 R,4 R R 0,847 KΩ 847 Ω R 5,8KΩ 0,73R R R 5,8KΩ 5,8ΚΩ Τέλς, επισημαίνυμε ότι η τιμή των ωμικών αντιστάσεων και της χωρητικότητας των πυκνωτών είναι πρσεγγιστική, πότε η ακριβής θεωρητική τιμή της κεντρικής συχνότητας διέλευσης τυ ζωνπερατύ φίλτρυ είναι η: fβp 4.00Ηz (4.57) π C R 5 R R 3, ,8 0 65

66 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ 4.4. Πρσμίωση ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ.4.0, λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ κέρδς της κεντρικής συχνότητας διέλευσης (Κ), η κεντρική συχνότητα διέλευσης (f BP4 ) και ι κλίσεις απόρριψης (λ BP4L και λ BP4H ) των σημάτων πυ είναι συχντικά μακριά από την f BP, ι τελεστικί ενισχυτές πυ θα χρησιμπιήσυμε και εδώ θα είναι ι ua74. Σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.4.0, έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές των σχέσεων (4.54), (4.55) και (4.56), αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία των τελεστικών 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα 4.: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Hz έως και 30 ΚHz μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V (μπλε γραμμή) συναρτήσει της συχνότητας, καθώς και η τάση στην έξδ της πρώτης βαθμίδας (V () ): Σχήμα 4.: Διάγραμμα της τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης 66

67 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ Η μπλε γραμμή ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) ενώ σε μνάδες db, η μπλε και η ρζ γραμμή τυ Σχ.4. θα έχυν αντίστιχα τις μρφές: Σχήμα 4.3: Διαγράμματα Bde από την πρσμίωση ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης Στη κρυφή τυ διαγράμματς τυ Σχ.4. σημειώνεται η κεντρική συχνότητα διέλευσης: f,0046 ΚHz.005Hz ( 4.58 ) BP4( π) Τα κέρδη της κάθε βαθμίδας και τυ λικύ φίλτρυ στην κεντρική συχνότητα διέλευσης είναι:,0004, K( ), K( ) 0,5, K BP 4( π) 3,933 0 db 0,003dB ( 4.59 ) Εκατέρωθεν της f BP4(π), 3 db χαμηλότερα, βρίσκνται ι συχνότητες απκπής τυ φίλτρυ: και f 74,78Hz 74Hz BP4( π) f,3957 ΚHz.396Hz ( 4.60 ) BP4( π) ι πίες ρίζυν και την περιχή των συχντήτων διέλευσης, με εύρς ζώνης: ΒW f f.396hz 74Hz 67Hz ( 4.6) 3BP4 BP4( π ) BP4( π ) Αριστερότερα της f BP4(π) κατά μια δεκάδα, υπάρχει ένα σημεί, πότε η κλίση εκεί είναι:,997db ( 4,685dB ) db λbp 4 H ( π) 39,688 ( 4.6 ) 74,7 Hz 7,47 Hz Dec ενώ δεξιότερα της f BP4(π) κατά μια δεκάδα, υπάρχει άλλ σημεί, πότε η κλίση εκεί είναι: 4,555dB (,997dB ) db λbp 4 L( π) 39,558 ( 4.63 ) Hz.3957 Hz Dec Τέλς, ι κλίσεις στην έξδ της πρώτης βαθμίδας (ρζ γραμμή) εκατέρωθεν της f BP4(π) είναι: 6,33dB ( 36,373dB ) db λbp H ( π) 0,060 (4.64) 00 Hz 0 Hz Dec 5,0dB ( 5,384dB ) db λbp L( π) 0,74 (4.65) Hz Hz Dec 67

68 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ 4.5 Ζωναπρριπτικό φίλτρ 4 ης τάξης Ομίως με τα ζωνπερατό φίλτρ 4 ης τάξης, έτσι και στ ζωναπρριπτικό φίλτρ 4 ης τάξης (δηλ. Ν = 4) θα έχυμε διαδχικά βαθμίδες φίλτρων, δύ ζωναπρριπτικά φίλτρα ης τάξης. Άρα η υλπίησή τυ πρκύπτει από την υλπίηση τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης (Σχ.3.5α): Σχήμα 4.4: Yλπίηση ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης ενώ από τη συνάρτηση μεταφράς τυ στη σχέση (3.48), πρκύπτει από την σχέση (4.) η παρακάτω συνάρτηση μεταφράς τυ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης: 4 ω ( ) ω V ( ) K() ω( ) K( ) ω( ) Κ( ) K( ) ω H() H () H () V ω( ) ω ( ) ( ) i ( ) ω ω ω ω ω ( ) ω( ) ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) H() K H( ) Κ K ω ( ) ( ) ω ω ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Τ κέρδς χαμηλών συχντήτων θα πρκύψει από τ μέτρ της Η() για = j ω 0 : K K 0 ω K K ω K H( ) 0 ω ω ω ω 0 0 ω 0 0 ω ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) (4.66) K K ( 4.67 ) ( ) ( ) ενώ τ κέρδς των υψηλών συχντήτων θα πρκύψει από τ μέτρ της Η() για = j ω : 4 4 K( ) K( ) ω ω () ω ω ( ) ω K( ) K( ) K( ) K ( ) ( 4.68 ) Ωστόσ, τ κέρδς στη κεντρική συχνότητα απόρριψης ( = j ω ) θα ισύται με: 68

69 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ Κ( ) K( ) j ω ω jω ω ω j ω j ω ω j ω j ω ω ( ) ( ) K H( ) K ω ω j ω ω ( ) Κ( ) K( ) ω ω Κ( ) K( ) ω ω j ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 4.69 ) πυ σημαίνει ότι τ σήμα στην κεντρική συχνότητα απόρριψης, απκόπτεται, όπως περιμέναμε. Εφαρμόζντας τ μετασχηματισμό συχνότητας S ω ω έχυμε: H( ) ω ω H( ) ω ω,44 ω ω για ( ) L( ) S,44S ω ω ω ( 4.66 ) ω H() ω ω ω H(),44 ω ω ,44,44 ω ω ω 0,765ω ω,847 ω ω ω [5] στην η σειρά τυ πίνακα 4.,,44 ω ω,44 ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) H() ( 4.70 ) πυ αντιστιχεί στην 4 η σειρά τυ πίνακα 4. για τα φίλτρα 4 ης τάξης. Αντιστιχίζντας κατά μέλη τις σχέσεις (4.66) και (4.70) πρκύπτυν ι σχέσεις: 69

70 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ και ω 0,765 ω ( ) ( ) ( ) 0,765 (4.7) 0,765 ω,847 ω ( ) ( ) ( ),847 (4.7),847 Όντως, κάνντας τις πράξεις στν παρνμαστή της σχέσης (4.70): 0,765ω ω,847 ω ω,847 ω ω 0,765ω,44ω 0,765ω ω,847 ω ω ,847 0,765 ω,44 ω 0,765,847 ω ω ,6ω 3,44ω,6ω ω και αντιστιχίζντάς τν με τν παρνμαστή της πρτελευταίας σχέσης της (4.70) πρκύπτει:,44,6,6,847,847 ( ) ( ),44 ( ) ( ),44 3,44 3,44 0,765 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),847 ( ) πυ είναι ι σχέσεις (4.7) και (4.7) πυ εξάγαμε πριν. Όσν αφρά τη συχντική απόκριση ενός ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης στην περιχή απκπής, αναμένεται να έχει τη διπλάσια απρριπτική ικανότητα σε σχέση με αυτή τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης (Σχ.3.5β), πυ είναι η πρώτη βαθμίδα τυ φίλτρυ. Η περιχή απκπής ρίζεται από τις συχνότητες απκπής f BR4 και f BR4 πυ βρίσκνται 3dB χαμηλότερα από τ DC κέρδς και τ κέρδς υψηλών συχντήτων, για τις πίες ισχύει η γνωστή σχέση (3.34) πυ είδαμε στ ζωνπερατό φίλτρ: fβr4 fbr4 fbr4 ΒR4 BW 3BR4 (4.73) Τέλς, η ξύτητα της καμπύλης τυ αντίστιχυ Σχ.3.5β εκφράζεται από τ συντελεστή πιότητας πυ είδαμε στη σχέση (3.5): BW 3BR4 NBR4 ( 4.74 ) BW0 BR4 70

71 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ 4.4. Θεωρητική ανάλυση ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης Ομίως με τ ζωναπρριπτικό φίλτρ ης τάξης, πυ είναι η πρώτη και η δεύτερη βαθμίδα τυ εξεταζόμενυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης τυ Σχ.4.4, θα ισχύει για την πρώτη και τη δεύτερη βαθμίδα η συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (3.53): R C C R R H BR() ( 4.75 ) R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R Άρα η συνλική συνάρτηση μεταφράς τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης θα είναι η: R5 C3 C4 R R R 5 C 3 C 4 R R H() H () H () R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R R 5 C 3 C 4 R 5 C 3 C 4 R R R5 C3 C4 R R H() R C C R R R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R R 5 C 3 C 4 R 5 C 3 C 4 R R Επειδή όμως απαιτύμε να είναι ίσες ι κεντρικές συχνότητες διέλευσης των δύ βαθμίδων (ω () = ω () ), η παραπάνω συνάρτηση μεταφράς γίνεται: R5 C3 C4 R R H() (4.77) R5 C3 C4 R5 C3 C4 R R R 5 C 3 C 4 R 5 C 3 C 4 R R πότε αντιστιχίζντάς την με τη συνάρτηση μεταφράς της σχέσης (4.70) έχυμε τις σχέσεις: ω ω( ) R5 C3 C4 R R, ( ) R5 C3 C4 C3 C4 R R Για ευκλία, θεωρύμε C 3 = C 4 = C' 3 = C' 4 = C πότε ι σχέσεις (4.78) γίννται: ω ω( ) ω ω( ) C R5 R R C R 5 R R, ( 4.79 ) ( ) R5 ( ) R 5 R R R R ω ω( ) R 5 C 3 C 4 R R ( ) R 5 C 3 C 4 C 3 C 4 R R ( 4.78 ) (4.76) 7

72 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ Επίσης θα πρέπει να ισχύυν ι πρδιαγραφές των σχέσεων (4.7) και (4.7), πότε ι σχέσεις (4.79) γίννται: R R R5 C R5 R R C R5 R R R R5 R 5 5 R 4R R R R 5 0,765 R R R5,4,847 R5 R R R 5 R 5 0,765 R,847 R 5 R R R Για: R5 R 5,4R 5 R 5 0,6 R 5 R R R 4R 4R R (4.80) R5,4R 5 R5,4R 5 R5,4R 5 R R KΩ (4.8) 5 ι τιμές των στιχείων της σχέσης (4.80) γίννται: 0,6 R R 0,6 KΩ R 600Ω R5,4 ΚΩ R5,4ΚΩ R5,4 (4.8) Παρατηρύμε ότι ι τιμές αυτές είναι ι ίδιες με τις τιμές των στιχείων τυ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης, κάτι τ πί αναμέναμε, καθώς τ ζωνπερατό φίλτρ 4 ης τάξης τυ Σχ.4.0, απτελεί τμήμα τυ εξεταζόμενυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης τυ Σχ.4.4. Άρα για την ίδια πρδιαγραφή f () = f () = f BR4 = KHz θα ισχύυν επίσης και ι τιμές της σχέσης (4.56): K, K 0,5, C 7nF, R 847 Ω, R 5,8KΩ ( 4.83 ) BP( ) BP( ) Όμως η συγκεκριμένη τπλγία τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης απαιτεί η ενίσχυση των ζωνπερατών φίλτρων ης τάξης να είναι Κ BP =. Άρα ι ενισχύσεις τυς μέσω των αθριστικών ενισχυτών θα πρέπει να είναι A BP() = 0,5 και A BP() = έτσι ώστε να ισχύει: A K 0,5 ( 4.84 ) A K 0,5 BP ( ) BP ( ) και BP ( ) BP ( ) Αυτό επιτυγχάνεται αν ι αντιστάσεις μετά την έξδ των ζωνπερατών φίλτρων έχυν τιμές: για RKΩ R και R R 500Ω (4.85) Τέλς, λόγω ότι η τιμή των ωμικών αντιστάσεων και της χωρητικότητας των πυκνωτών είναι πρσεγγιστική, η ακριβής θεωρητική τιμή της κεντρικής συχνότητας απόρριψης τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης θα είναι (όπως και στ ζωνπερατό φίλτρ 4 ης τάξης) η: για RKΩ R R R ΚΩ fβr4.00ηz (4.86) π C R 5 R R 3, ,8 0 7

73 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ 4.4. Πρσμίωση ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ.4.4, λόγω ότι δεν υπάρχυν ιδιαίτερες πρδιαγραφές παρά μόν τ κέρδς των σημάτων χαμηλών και υψηλών συχντήτων (Κ) και κεντρική συχνότητα απόρριψης (f BR4 ), ι τελεστικί ενισχυτές πυ θα χρησιμπιήσυμε και εδώ θα είναι ι ua74. Σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.4.4, έχντας ως τιμές των στιχείων τυ τις τιμές των σχέσεων (4.8), (4.8), (4.83) και (4.85), αντίσταση φρτίυ R L = KΩ και τρφδσία των τελεστικών 0V, πρκύπτει τ παρακάτω σχηματικό πρσμίωσης: Σχήμα 4.5: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από Ηz έως και 30 ΚHz, μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα της τάσης εξόδυ V (κίτρινη γραμμή) συναρτήσει της συχνότητας, καθώς και η τάση στην έξδ της πρώτης βαθμίδας (V () ): 73

74 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ Σχήμα 4.6: Διάγραμμα τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης Η κίτρινη γραμμή ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) ενώ σε μνάδες db, η κίτρινη και η ρζ γραμμή τυ Σχ.4.6 θα έχυν αντίστιχα τις μρφές: Σχήμα 4.7: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης Στ διάγραμμα τυ Σχ.4.6 σημειώθηκαν τα κατώτερα σημεία τ πία αντιστιχύν στις κεντρικές συχνότητες απόρριψης τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης (έξδς πρώτης βαθμίδας) και 4 ης τάξης (έξδς δεύτερης βαθμίδας). Έτσι η κεντρική συχνότητα απόρριψης τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης είναι η: f,0069κhz.007 Hz ( 4.87 ) BR( π) 74

75 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΖΩΝΟΑΠΟΡΡΙΠΤΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ 4 ης ΤΑΞΗΣ της πίας τ κέρδς είναι: 3 KBR( π) 5,60dB,95 0 0,00 ( 4.88 ) ενώ στην έξδ της δεύτερης βαθμίδας όπυ έχυμε ένα ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης, η κεντρική συχνότητα απόρριψης είναι η: f,0000κhz.000hz ( 4.89 ) BR4( π) της πίας τ κέρδς είναι μόλις: 6 KBR4( π) 0,95dB, , ( 4.90 ) Αντιθέτως, τ κέρδς για τις πλύ χαμηλές και πλύ υψηλές συχνότητες είναι αντίστιχα: 6 K BR4 L( π) 338,693 0 db 0,00034dB ( 4.9 ) 3 3 K BR4 H ( π) 66,9 0 db 99,45 0 0,99 ( 4.9 ) Πάνω στ διάγραμμα τυ Σχ.4.7, εκτός από τα τέσσερα πρηγύμενα σημεία πυ είδαμε, σημειώννται άλλα τέσσερα όπυ έχυμε τιμές κέρδυς 3dB και 0dB. Από αυτές πυ έχυν κέρδς 3dB βρίσκυμε τις συχνότητες απκπής: και f 399,059Hz 399Ηz BR4( π) f.503,3hz.503ηz ( 4.93 ) BR4( π) από τις πίες μπρύμε να υπλγίζυμε και πειραματικά τη κεντρική συχνότητα απόρριψης από τη σχέση: ( 4.93 ) ( 4.89 ) f f f = 399, , , ,5 f ( 4.94 ) BR4( π ) BR4( π ) BR4( π ) BR4( π ) Τέλς, λαμβάνντας υπόψη και τις τιμές συχντήτων πυ έχυν κέρδς 0dB, μπρύμε να εξάγυμε τ συντελεστή πιότητας της κίτρινης καμπύλης, από τη σχέση (4.74), πότε θα έχυμε: BW.503,3Hz 399,059Hz.04,4 Hz 5, ( 4.95 ) 404,907 Hz 3BR4 NBR4 = BW0 BR4.5,4Hz 80,493Hz 75

76 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ 4.5 Συμπεράσματα για τα φίλτρα ανώτερης τάξης Αρχικά ελέγχυμε αν τα απτελέσματα των πρσμιώσεων συναντύν τις πρδιαγραφές των φίλτρων. Στ χαμηλπερατό και υψηλπερατό φίλτρ 3 ης τάξης θεωρήσαμε κέρδς Κ =, συχνότητα απκπής f LP3 = f HP3 KHz και κλίση της συνάρτησης μεταφράς λ = 40dB/Dec, πότε τα σχετικά σφάλματα των τιμών πρσμίωσης στ χαμηλπερατό φίλτρ είναι: K K ( 4.8 ) LP 3( π) 0 00% 00% 00% 0% K f ( 4.7 ) LP 3 flp 3( π).00ηz 999Hz 00 Ηz f ( 4.9 ) LP 3.00Hz.00Hz λ ( 4.9 ) LP 3 λlp 3( π) 60dB / Dec ( 56,985dB / Dec ) 00% λ ( 4.0 ) LP db / Dec 00% 00% % 0,% 30,5dB / Dec 0 0 % % 5,05% 6dB / Dec ενώ τα αντίστιχα σφάλματα των τιμών πρσμίωσης για τ υψηλπερατό φίλτρ είναι: K K ( 4.36 ) HP 3( π) 0 00% 00% 00% 0% K f ( 4.35 ) HP 3 fhp 3( π).00ηz.000,8hz 0 Ηz f ( 4.37 ) HP 3.00Hz.00Hz λ ( 4.38 ) HP λhp ( π) 60dB / Dec 57,004dB / Dec 00% 00% % 0,0% 9,96dB / Dec 00% 0 0 % % 5% λhp 6 0 db / Dec 6dB / Dec Από τις πλύ μικρές τιμές των σχετικών σφαλμάτων στ κέρδς και τη συχνότητα απκπής παρατηρύμε ότι υπάρχει γενική συμφωνία μεταξύ θεωρητικών τιμών και τιμών πρσμίωσης. Ωστόσ, τα σχετικά σφάλματα των κλίσεων σε χαμηλπερατό και υψηλπερατό φίλτρ είναι πλύ μεγαλύτερα σε σχέση με τα άλλα, επειδή η περιχή πυ εξετάσαμε δεν είναι εντελώς γραμμική, λόγω τυ «γόνατυ-γωνία» πυ υπάρχει στην περιχή συχντήτων τυ ΚΗz. Όντως, αν ελέγξυμε τα σχετικά σφάλματα των κλίσεων λ' (π) πυ βρίσκνται σε πι γραμμικές περιχές συχντήτων, πρκύπτυν για τ χαμηλπερατό και τ υψηλπερατό φίλτρ ι τιμές: λ ( 4. ) LP 3 λ LP 3( π) 60dB / Dec ( 59,986dB / Dec ) 0,4dB / Dec 00% 0 0 % % 0,03% λlp db / Dec 6dB / Dec λ ( 4.39 ) HP 3 λ HP 3( π) 60dB / Dec 60dB / Dec 0dB / Dec 00% 0 0 % 0% 0% λhp db / Dec 6dB / Dec πυ είναι πλύ μικρότερες των πρηγύμενων. Της ίδιας τάξης σφάλματα υπάρχυν και στις εξόδυς των πρώτων βαθμίδων, όπυ τα φίλτρα είναι υ βαθμύ και όντως ισχύει: db λ LP ( π ) 40,44 λlp και Dec παρυσιάζντας όμως μια υπερύψωση σε σχέση με τα φίλτρα Butterwrth υ βαθμύ, λόγω τυ =. Γενικά, τα διαγράμματα Bde των εσωτερικών φίλτρων μπρεί να μην είναι τύπυ Butterwrth (ι ρζ γραμμές πυ παρυσιάζυν μια έξαρση), όμως η συνλική δμή τυς είναι τέτια έτσι ώστε τ συνλικό φίλτρ να είναι φίλτρ Butterwrth (η μπλε και πράσινη γραμμή). λ 40,04 db λ Dec HP ( π ) HP 76

77 ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Στ ζωνπερατό φίλτρ 4 ης τάξης, η κλίση των 80 db/dec χωρίζεται σε λ = 40 db/dec εκατέρωθεν της f BP4, άρα για τ ζωνπερατό φίλτρ έχυμε τα σχετικά σφάλματα: K K ( 4.59 ) BP 4( π) 0 00% 00% 00% 0% K f ( 4.57 ) BP 4 fbp 4( π).00ηz.005 Hz 300 Ηz f ( 4.58 ) BP 4.00Hz.00Hz λ ( 4.6 ) BP 4 Η λbp 4 Η ( π ) 40dB / Dec 39,688dB / Dec 00% 00% % 0,3% 3,dB / Dec 00% 0 0 % % 0,78% λbp 4 H 4 0 db / Dec 4dB / Dec λ ( 4.63 ) BP 4 L λbp 4 L( π) 40dB / Dec ( 39,558dB / Dec ) 4,4dB / Dec 00% 0 0 % %,05% λbp 4 L 4 0 db / Dec 4dB / Dec ενώ για τ ζωναπρριπτικό φίλτρ έχυμε τα σχετικά σφάλματα: K K ( 4.84 ) BR4 L( π) 0 00% 00% 00% 0% ( 4.9 ) K K K ( 4.84 ) BR4 H ( π) 0,99 0,0 00% 00% 00% % K ( 4.9 ) f ( 4.86 ) BR4 fbr4( π).00ηz.000 Hz Ηz f ( 4.89 ) BR4.00Hz 00Hz 00% 00% 00% 0,% Από τις πλύ μικρές τιμές των σχετικών σφαλμάτων παρατηρύμε ότι υπάρχει γενική συμφωνία μεταξύ θεωρητικών τιμών και τιμών πρσμίωσης. Οι κλίσεις στην έξδ της δεύτερης βαθμίδας τυ ζωνπερατύ φίλτρυ ( 40dB/Dec) εμφανίζνται διπλάσιες από τις κλίσεις στην έξδ της πρώτης βαθμίδας ( 0dB/Dec) πυ έχυμε στις σχέσεις (4.64) και (4.65). Αυτό είναι και τ αναμενόμεν, καθώς η έξδς της δεύτερης βαθμίδας αντιστιχεί σε ζωνπερατό φίλτρ 4 ης τάξης, ενώ η έξδς της πρώτης βαθμίδας αντιστιχεί σε ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης. Όμως στα διαγράμματα Bde τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ (Σχ.4.7) αυτές ι χαρακτηριστικές κλίσεις δεν είναι εμφανείς. Ο λόγς είναι ότι ι συχνότητες απκπής βρίσκνται πλύ κντά στην κεντρική συχνότητα απόρριψης, με απτέλεσμα να επηρεάζνται ι χαρακτηριστικές κλίσεις των περιχών απόρριψης από την απότμη κλίση κντά στην κεντρική συχνότητα απόρριψης. Όπως θα δύμε στ επόμεν κεφάλαι πυ ι συχνότητες απκπής βρίσκνται μακριά από την κεντρική συχνότητα απόρριψης, ι χαρακτηριστικές κλίσεις θα είναι πλέν εμφανείς. Τέλς, όπως στ ζωναπρριπτικό φίλτρ, έτσι και στ ζωνπερατό η f BP4 επαληθεύεται από τη σχέση (4.50): ( 4.60 ) ( 4.58 ) f f f = 74,78.395, , f BP4 BP4( π ) BP4( π ) BP4( π ) ενώ παράγντας πιότητας υπλγίζεται επίσης από τη σχέση (4.50) και ισύται με: ( 4.6 ) fbp BP 4,495,5 BW 67 3BP 4 Επμένως, εφόσν είναι μικρότερς τυ 0, τ ζωνπερατό φίλτρ θεωρείται ευρείας ζώνης. Στ επόμεν κεφάλαι θα εξεταστεί ζωνπερατό φίλτρ με ακόμη ευρύτερης ζώνης διέλευσης. 77

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Επίλγς στα ενεργά φίλτρα 78

79 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 5. Πλενεκτήματα ενεργών φίλτρων Στα πρηγύμενα κεφάλαια εξετάσαμε θεωρητικά και επαληθεύσαμε μέσω πρσμιώσεων τις πρδιαγραφές ενεργών φίλτρων έως και 4 ης τάξης. Γενικά, από τ σύνλ των κυκλωμάτων, των διαγραμμάτων και των συμπερασμάτων μας σε όλα τα ενεργά φίλτρα πυ εξετάσαμε, μπρύμε να αναφέρυμε τα παρακάτω πλενεκτήματα: Δεν εισάγυν απώλειες στη ζώνη διέλευσής τυς, αφύ ι τελεστικί ενισχυτές τυς, μέσω κατάλληλης σχεδίασης μπρύν να παρέχυν κέρδς Κ =. Επίσης μπρύν να παρέχυν και κέρδς μεγαλύτερ της μνάδας έτσι ώστε να αναιρεθεί (ή και να υπερκαλυφθεί) μια πιθανή απώλεια κέρδυς στη ζώνη διέλευσης. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ήταν τα διαγράμματα εξόδων τυ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης, στ πί ι πρδιαγραφές απαιτύσαν η πρώτη τυ βαθμίδα (ρζ γραμμή) να έχει κέρδς Κ = : Σχήμα 5.: Διάγραμμα της τάσης εξόδυ από την πρσμίωση ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης Κστίζυν φθηνότερα από τα παθητικά φίλτρα, αφύ ι τελεστικί ενισχυτές, ι αντιστάσεις και ι πυκνωτές των ενεργών φίλτρων κατασκευάζνται ευκλότερα και είναι επμένως φθηνότερι από τα πηνία πυ χρησιμπιύνται στα παθητικά φίλτρα. Αλλά ακόμη και αν κάπιες ειδικές εφαρμγές απαιτύν χρήση αυτεπαγωγών, υπάρχυν πλέν ενεργά κυκλώματα, όπως τ κύκλωμα Αντωνίυ [6],[7] τυ Σχ.5., πυ εξμιώνυν τη συμπεριφρά της αυτεπαγωγής: Σχήμα 5.: Κύκλωμα Αντωνίυ 79

80 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Συντνίζνται εύκλα στη συχνότητα απκπής πυ επιθυμύμε, καθώς η τιμή αυτή μπρεί να πρκύψει από πληθώρα συνδυασμών τιμών των αντιστάσεων και των πυκνωτών πυ συμμετέχυν στν τύπ τυ υπλγισμύ της. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ήταν τ κύκλωμα τυ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης, στ πί αν και η συχνότητα απκπής έπρεπε να είναι η ίδια και στις δύ βαθμίδες τυ, εφαρμόζντας τυς ίδιυς τύπυς, ι τιμές των αντιστάσεων των βαθμίδων πρέκυψαν διαφρετικές: Σχήμα 5.3: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ 4 ης τάξης Ακόμη και αν δεν υπάρχυν στ εμπόρι ι ακριβείς τιμές των ωμικών αντιστάσεων και των πυκνωτών πυ υπλγίσαμε θεωρητικά, μπρύμε να χρησιμπιήσυμε μεταβλητές αντιστάσεις (κυρίως) και πυκνωτές πυ ρυθμίζνται εύκλα στη τιμή πυ θέλυμε. Έτσι με αυτό τ τρόπ μπρύμε να διρθώσυμε και τυχόν διακυμάνσεις της συχνότητας απκπής, ή ακόμη και να την αλλάξυμε (εντός πάντα κάπιων ρίων). Πρσαρμόζνται εύκλα, επιτρέπντας τη διαδχική διασύνδεση των βαθμίδων τυ φίλτρυ, χωρίς η μία να επηρεάζει την άλλη, λόγω της μεγάλης αντίστασης εισόδυ και της μικρής αντίσταση εξόδυ τυ τελεστικύ ενισχυτή. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ήταν τ κύκλωμα τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης, όπυ χρησιμπιήσαμε αυτύσια ως δεύτερη βαθμίδα τ χαμηλπερατό φίλτρ ης τάξης τυ Σχ..4 : Σχήμα 5.4: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ χαμηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης 80

81 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Τα φίλτρα Butterwrth έχυν τη μέγιστη δυνατή επίπεδη απόκριση στη ζώνη διέλευσης σε σχέση με τις υπόλιπες πρσεγγιστικές μεθόδυς (Chebychev, Beel, Ελλειπτικό κ.α.) για την πραγματπίηση φίλτρων, όπως φαίνεται και στ παρακάτω χαμηλπερατό: Σχήμα 5.5: Συχντικές απκρίσεις των πρσεγγιστικών μεθόδων σε ένα χαμηλπερατό φίλτρ Αυτό έχει τ πλενέκτημα τα σήματα των συχντήτων της ζώνης διέλευσης να διατηρύν τις αρχικές τιμές των πλατών τυς, χωρίς να υπόκεινται σε παραμρφώσεις λόγω κυμάτωσης, όπως συμβαίνει π.χ. στ Ελλειπτικό [8]. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ήταν τ διαγράμματα Bde τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης, όπυ είχαμε την επίπεδη απόκριση Butterwrth σε μία ευρεία περιχή χαμηλών και υψηλών συχντήτων: Σχήμα 5.6: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης 8

82 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 5. Μεινεκτήματα ενεργών φίλτρων Εκτός από τα πλλά πλενεκτήματα των ενεργών φίλτρων πυ μελετήσαμε, υπάρχυν και κάπια μεινεκτήματα σε σχέση με τα παθητικά φίλτρα. Γενικά, μίως με πριν, από τ σύνλ των κυκλωμάτων, των διαγραμμάτων και των συμπερασμάτων μας σε όλα τα ενεργά φίλτρα πυ εξετάσαμε, μπρύμε να αναφέρυμε τα παρακάτω μεινεκτήματα: Η ύπαρξη των τελεστικών ενισχυτών στα κυκλώματά τυς, απαιτεί και την ύπαρξη τρφδσίας για τη λειτυργία τυς, κάτι πυ σημαίνει αυξημένη κατανάλωση και κόστς σε σχέση με τα παθητικά, τα πία δεν απαιτύν τρφδσία. Μάλιστα, όσ περισσότερι τελεστικί ενισχυτές χρησιμπιύνται, τόσ μεγαλύτερη κατανάλωση θα έχυν. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ήταν τ κύκλωμα τυ υψηλπερατύ φίλτρυ 3 ης τάξης, όπυ για να βελτιωθεί η κλίση τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης κατά 50%, χρησιμπιήθηκε ς τελεστικός ενισχυτής πυ διπλασίασε την κατανάλωση, αυξάνντάς την κατά 00%. Οικνμικότερα (σε σχέση πάντα με την απόδσή τυς) εμφανίζνται τ χαμηλπερατό και τ υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης, τα πία χρησιμπιώντας μόλις τελεστικό ενισχυτή επιτυγχάνυν κλίση στη περιχή απόρριψης 40dB/Dec. Αντίθετα, τ κύκλωμα με τυς περισσότερυς (4) τελεστικύς ενισχυτές, άρα και τη μεγαλύτερη κατανάλωση, ήταν τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης: Σχήμα 5.7: Σχηματικό πρσμίωσης τυ ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης 8

83 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η μέγιστη συχνότητα λειτυργίας τυ φίλτρυ περιρίζεται από τη μέγιστη συχνότητα λειτυργίας τυ τελεστικύ ενισχυτή πυ χρησιμπιείται. Έτσι, ενώ στα περισσότερα χαμηλπερατά και ζωνπερατά φίλτρα, με χαμηλές και μεσαίες συχνότητες απκπής, δεν γίνεται αντιληπτός αυτός συχντικός περιρισμός, σε όλα τα υψηλπερατά και ζωναπρριπτικά φίλτρα, όπυ περνύν ι υψηλές συχνότητες, γίνεται αντιληπτός. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι τ διάγραμμα Bde τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης, στ πί αν ρίσυμε την περιχή σάρωσης από τα 300Ηz έως και τα 3MΗz, η συμπεριφρά τυ μιάζει με αυτή ενός ζωνπερατύ φίλτρυ, όπυ η κλίση των υψηλών συχντήτων απόρριψης είναι τυ τελεστικύ ενισχυτή: Σχήμα 5.8: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης Από τ παραπάνω διάγραμμα φαίνεται ότι τ υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης πυ σχεδιάσαμε, απρρίπτει τα σήματα με συχνότητες πάνω από 900ΚHz. Αυτή η συχντική απόρριψη θα ήταν ακόμη πι εμφανής, αν τ φίλτρ μας είχε μεγαλύτερ κέρδς στη ζώνη διέλευσης, καθώς σύμφωνα με τ φύλλ δεδμένων (dataheet) τυ τελεστικύ ενισχυτή ua74 [9], τ κέρδς ανιχτύ βρόχυ έχει κλίση 0dB/Dec. Από τ ίδι διάγραμμα φαίνεται επίσης και ένας ακόμη περιρισμός, όσν αφρά τ κέρδς των συχντήτων της ζώνης διέλευσης. Σχήμα 5.9: Συχντική απόκριση ανιχτύ βρόχυ τυ ua74 83

84 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Τα φίλτρα Butterwrth πυ υλπιήσαμε, γενικά μεταβαίνυν αργά από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη απκπής, σε σχέση με τις άλλες αντίστιχες πρσεγγίσεις Chebyev και Ελλειπτική, όπως είδαμε και στ Σχ.5.5. Ενδεικτικά, ελέγχυμε περαιτέρω τις απρριπτικές επιδόσεις σε db/dec των φίλτρων Butterwrth σε σχέση με τις υπόλιπες πρσεγγίσεις για ένα χαμηλπερατό φίλτρ 4 ης τάξης [0], []: Σχήμα 5.0: Συχντικές απκρίσεις (σε db) των πρσεγγιστικών μεθόδων σε ένα χαμηλπερατό φίλτρ Από τα παραπάνω διαγράμματα στη μεταβατική ζώνη συχντήτων από τη συχνότητα απκπής ΚΗz έως τα 0KHz, πρκύπτυν για κάθε πρσεγγιστική μέθδ ι κλίσεις: 65dB ( 3dB ) db λlp 4 Beel 6 0 KHz KHz Dec 80dB ( 3dB ) db λlp 4 Butterwrth 77 0 KHz KHz Dec (5.) 87 db ( 3dB ) db λlp 4Chebychev0,dB _ripple 84 0 KHz KHz Dec 9dB ( 3dB ) db λlp 4Chebychev0,5dB _ripple 89 0 KHz KHz Dec Παρατηρύμε δηλαδή ότι η κλίση Butterwrth είναι 0dB/Dec μικρότερη από την κλίση Chebyhev, άρα στα φίλτρα 8 ης τάξης αναμένεται η διαφρά να γίνει 0dB/Dec. Αυτό σημαίνει ότι η απρριπτική επίδση ενός φίλτρυ Chebyhev 8 ης τάξης, ισδυναμεί με την απρριπτική επίδση ενός φίλτρυ Butterwrth 9 ης τάξης, τ πί για να υλπιηθεί απαιτεί ακόμη τελεστικό ενισχυτή, με ότι μεινεκτήματα αυτό συνεπάγεται. 84

85 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 5.3 Παραλλαγές ενεργών φίλτρων Έχντας αναλύσει στις πρηγύμενες παραγράφυς τα πλενεκτήματα και μεινεκτήματα των ενεργών φίλτρων πυ σχεδιάσαμε στα πρηγύμενα κεφάλαια, θα επιχειρήσυμε να παραλλάξυμε τη σχεδίαση κάπιων φίλτρων, με σκπό να περιρίσυμε κάπια μεινεκτήματά τυς, συνήθως, όμως, σε βάρς κάπιων άλλων πλενεκτημάτων τυς. Για παράδειγμα, τ υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης εμφάνιζε τ μεινέκτημα της μέγιστης συχνότητας διέλευσης στα 900KHz (Σχ.5.8), λόγω τυ συγκεκριμένυ μντέλυ τυ τελεστικύ ενισχυτή. Μια εύκλη βελτίωση τυ πρβλήματς θα ήταν να χρησιμπιηθεί ένα άλλ μντέλ τελεστικύ ενισχυτή, τ πί θα έχει μεγαλύτερη μέγιστη συχνότητα λειτυργίας πυ θα καλύπτει τις πρδιαγραφές της εφαρμγής μας. Αυτό όμως πιθανότατα θα γίνει εις βάρς κάπιων άλλων «καλών» χαρακτηριστικών τυ αρχικύ τελεστικύ ενισχυτή, όπως π.χ. υψηλή απλαβή ανιχτύ βρόγχυ, μεγάλη αντίσταση εισόδυ και μικρή αντίσταση εξόδυ. Επίσης, ένα μεινέκτημα τυ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης πυ σχεδιάσαμε, ήταν ότι για δεδμέν κέρδς Κ = της κεντρικής συχνότητας διέλευσης f, δεν ήταν δυνατό να έχυμε ακριβές φίλτρ Butterwrth με, πότε καταφύγαμε σε μια πρσέγγιση τυ φίλτρυ Butterwrth με, όπυ υπήρχε μία μικρή έξαρση (Σχ.3.4). Επίσης για συγκεκριμένες τιμές των και f, σύμφωνα με τη σχέση (3.34), τ εύρς της ζώνης διέλευσης είναι καθρισμέν και έχει τη μέγιστη θεωρητική τιμή: f KHz ΒP BW3BP KHz (5.) ΒP Όπως θα δύμε σε επόμενη παράγραφ, μπρύμε να σχεδιάσυμε ένα πι ακριβές ζωνπερατό φίλτρ Butterwrth ης τάξης, τυ πίυ ι συχνότητες απκπής θα ρυθμίζνται ανεξάρτητα, ανάλγα με τα επιθυμητά όρια της ζώνης διέλευσης συχντήτων. Έτσι μπρεί να επιτευχθεί μια πλύ ευρύτερη ζώνη διέλευσης, με τα χαρακτηριστικά τυ φίλτρυ Butterwrth. Σε αυτή την περίπτωση, τ πλενέκτημα πυ θυσιάζεται είναι η κατανάλωση, η πία, όπως θα δύμε, διπλασιάζεται λόγω τυ διπλασιασμύ των τελεστικών ενισχυτών. Ομίως, τ ζωναπρριπτικό φίλτρ ης τάξης πυ είδαμε, παρυσιάζει μια στενή ζώνη απκπής (Σχ.3.7), η πία μπρεί επίσης να διευρυνθεί, χρησιμπιώντας παρόμια σχεδίαση με αυτή τυ παραλλαγμένυ ζωνπερατύ φίλτρυ Butterwrth ης τάξης. Μάλιστα είχαμε παρατηρήσει ότι στ διάγραμμα Bde ι χαρακτηριστικές κλίσεις των 0dB/Dec δεν ήταν εμφανείς, λόγω της μικρής συχντικής απόστασης των συχντήτων απκπής από την κεντρική συχνότητα απόρριψης. Άρα η ικανπιητική απμάκρυνση των συχντήτων απκπής μέσω της διεύρυνσης της ζώνης απόρριψης, θα επιφέρει και την εμφάνιση των χαρακτηριστικών κλίσεων 0dB/Dec πυ χαρακτηρίζυν τα ζωναπρριπτικά φίλτρα ης τάξης. Ομίως και σε αυτή την περίπτωση, τ πλενέκτημα πυ θυσιάζεται είναι η κατανάλωση, η πία όμως θα αυξηθεί λιγότερ σε σχέση με πριν, λόγω της πρσθήκης μόν ενός επιπλέν τελεστικύ ενισχυτή. Τέλς, δεν είναι βέβαι ότι βελτιώνντας ένα χαρακτηριστικό τυ φίλτρυ, «χαλάει» κάπι άλλ. Για παράδειγμα, τ ζωναπρριπτικό φίλτρ 4 ης τάξης έχει τυς ίδιυς περιρισμύς με τ ζωναπρριπτικό φίλτρ ης τάξης και επιπλέν εμφανίζει αυξημένη κατανάλωση, καθώς έχει 4 τελεστικύς ενισχυτές. Ωστόσ, η διεύρυνση της ζώνης απόρριψης επιφέρει και βελτίωση στην κατανάλωση, αφύ χρησιμπιεί 3 τελεστικύς ενισχυτές, όπως τ ζωναπρριπτικό ης τάξης. 85

86 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 5.3. Διευρυμέν υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης Για την πρσμίωση τυ ενεργύ φίλτρυ τυ Σχ..7α, έχντας την επιπλέν πρδιαγραφή να λειτυργεί σε υψηλότερες συχνότητες από τα 900KHz τυ τελεστικύ ενισχυτή ua74, αντικαθιστύμε στ κύκλωμα τυ Σχ..8 τν ua74 με ένα p47. Για ημιτνικό σήμα εισόδυ V i πλάτυς V και συχνότητας από 0Ηz έως και 50ΜHz, μέσω AC σάρωσης (AC weep), πρκύπτει τ παρακάτω διάγραμμα Bde της τάσης εξόδυ V συναρτήσει της συχνότητας: Σχήμα 5.: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση ενεργύ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης με Τ.Ε. p47 Στ μέσ της καμπύλης τυ διαγράμματς Bde σημειώθηκε τ κέρδς υψηλών συχντήτων: 6 K 38,439 0 db 0,0003dB ( 5.3 ) WHP( π) και στα 3 db χαμηλότερα από την παραπάνω τιμή, σημειώννται αντίστιχα η συχνότητα απκπής τυ φίλτρυ και η μέγιστη συχνότητα λειτυργίας τυ τελεστικύ ενισχυτή p47 : και f,003khz.003hz WHP( π) f 4,4005MHz 4.400KHz ( 5.4 ) WHPmax Παρατηρύμε επμένως ότι καλύπτνται ι αρχικές πρδιαγραφές (f = ΚΗz και K = = 0dB), καθώς και η νέα πρδιαγραφή πυ δόθηκε για λειτυργία τυ φίλτρυ πάνω από τα 900KHz. Μάλιστα, η νέα πρδιαγραφή υπερκαλύφθηκε, αφύ πλέν μπρύν να περάσυν από τ φίλτρ σήματα σχεδόν 5πλάσιας συχνότητας από την πρηγύμενη μέγιστη (5 900KHz = 4.500ΚΗz). Τέλς, η κλίση στην αριστερή περιχή απκπής τυ διαγράμματς Bde, έχει τιμή: 0,05dB ( 40dB ) db db λwhp( π) 9,948 0 ( 5.5 ) 00Hz 0Hz Dec Dec ενώ η κλίση στη δεξιά περιχή απκπής τυ διαγράμματς Bde, έχει τιμή: 35,675dB ( 3,8339dB ) db db λwhpmax 3,84 3 ( 5.6 ) 50MHz 5MHz Dec Dec όπυ και από τις τιμές αυτές είναι πλέν εμφανές ότι η χαρακτηριστική κλίση στην αριστερή περιχή απκπής φείλεται στην μαλή λειτυργία τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης, ενώ η τυχαία κλίση στη δεξιά περιχή απκπής φείλεται στην ριακή λειτυργία τυ συγκεκριμένυ τελεστικύ ενισχυτή, πυ δηγεί τ φίλτρ να συμπεριφέρεται σαν ζωνπερατό. 86

87 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 5.3. Διευρυμέν ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης Για να διευρυνθεί η ζώνη διέλευσης τυ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης, μπρύμε να βάλυμε σε σειρά ένα χαμηλπερατό και ένα υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης, όπυ f LP > f ΗP. Για να έχει την ίδια f WBP = KHz, αν τ χαμηλπερατό έχει f LP = 0KHz, τ υψηλπερατό θα πρέπει να έχει f ΗP = 00Hz, έτσι ώστε να ισχύει η σχέση (3.34). Επμένως, για τις νέες τιμές των στιχείων τυ χαμηλπερατύ και υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης θα ισχύει αντίστιχα: αν C nf 7 LP RLP CLP 59 0 (5.7) 3 π flp 3,4 0 0 τότε RLP 5,9KΩ 5 ΗP RHP CHP 59 0 (5.8) π fhp 3,4 00 τότε RΗP.59MΩ Σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.5.: αν C nf Σχήμα 5.: Σχηματικό πρσμίωσης τυ διευρυμένυ ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης η AC τυ ανάλυση για συχνότητες έως 300 ΚHz, μας δίνει τ διάγραμμα της τάσης εξόδυ V : Σχήμα 5.3: Διάγραμμα τάσης εξόδυ από την πρσμίωση διευρυμένυ ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης 87

88 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Τ διάγραμμα αυτό ταυτίζεται με τ συχντικό διάγραμμα της συνάρτησης μεταφράς, αφύ: πότε σε μνάδες db θα έχει τη μρφή: V ( ) V ( ) H() V ( ) V i ( ) Σχήμα 5.4: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση διευρυμένυ ενεργύ ζωνπερατύ φίλτρυ ης τάξης Στ διάγραμμα τυ Σχ.5.3 σημειώθηκε η κρυφή της καμπύλης η πία αντιστιχεί στην κεντρική συχνότητα διέλευσης τυ ζωνπερατύ φίλτρυ. Άρα η συχνότητα αυτή είναι η: f 0,9977 ΚHz 998Hz ( 5.9 ) WBP ( π) της πίας τ κέρδς είναι: 3 K 88,030 0 db 0,088dB 0,99 ( 5.0 ) WBP ( π) Εκατέρωθεν της f WBP(π), 3 db χαμηλότερα, βρίσκνται ι συχνότητες απκπής τυ φίλτρυ: και f 98,358Hz 98Hz WBP ( π) f 0,084ΚHz 0.084Hz ( 5.) WBP ( π) ι πίες ρίζυν την περιχή των συχντήτων πυ διέρχνται, με εύρς ζώνης διέλευσης: ΒW f f 0.084Hz 98Hz 9.986Hz ( 5. ) 3WBP WBP ( π ) WBP( π ) τ πί είναι 0 φρές μεγαλύτερ των 996Hz πυ είχαμε πρηγυμένως στη σχέση (3.45). Τ τίμημα για αυτή τη διεύρυνση είναι, όπως πραναφέραμε, διπλασιασμός της κατανάλωσης, λόγω τυ διπλασιασμύ των τελεστικών ενισχυτών πυ χρησιμπιύνται σε σχέση με πριν. Τέλς, η κλίση στην αριστερή περιχή απκπής τυ διαγράμματς Bde, έχει τιμή: 0,05dB ( 40,036dB ) db db λwbp H ( π) 9,984 0 ( 5.3 ) 0Hz Hz Dec Dec ενώ η κλίση στη δεξιά περιχή απκπής τυ διαγράμματς Bde, έχει τιμή: 9,495dB ( 0,070dB ) db db λwbp L( π) 9,45 0 ( 5.4 ) 300KHz 30KHz Dec Dec Άρα και από τις τελευταίες χαρακτηριστικές τιμές των κλίσεων, επιβεβαιώνεται η σωστή λειτυργία τυ κυκλώματς ως ζωνπερατό φίλτρ ης τάξης. 88

89 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Διευρυμέν ζωναπρριπτικό φίλτρ ης τάξης Παρόμια με πριν, για να διευρυνθεί η ζώνη διέλευσης τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης, μπρύμε να τπθετήσυμε παράλληλα ένα χαμηλπερατό και ένα υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης (με f LP < f ΗP ) και να αθρίσυμε τα σήματα των εξόδων τυς μέσω ενός αθριστικύ τελεστικύ ενισχυτή με ενίσχυση. Για να έχει την ίδια f WBR = KHz, αν τ χαμηλπερατό έχει f LP = 0Hz, τ υψηλπερατό θα πρέπει να έχει f ΗP = 00ΚHz, έτσι ώστε να ισχύει η σχέση (3.60). Επμένως, για τις νέες τιμές των στιχείων τυ χαμηλπερατύ και υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης θα ισχύει αντίστιχα από τις σχέσεις (.) και (.3): αν C 0nF 4 LP RLP CLP 59 0 (5.5) π flp 3,4 0 τότε RLP,59MΩ 8 ΗP RHP CHP 59 0 (5.6) 3 π fhp 3, τότε RΗP,59KΩ Σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.5.5: αν C nf Σχήμα 5.5: Σχηματικό πρσμίωσης τυ διευρυμένυ ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης 89

90 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ η AC τυ ανάλυση για συχνότητες έως 50 ΚHz, μας δίνει τα διαγράμματα Bde στην έξδ: τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης (κόκκινη γραμμή), τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης (πράσινη γραμμή) και τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης (κίτρινη γραμμή). Σχήμα 5.6: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση διευρυμένυ ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης Τ κατώτερ σημεί της κίτρινης γραμμής αντιστιχεί στην κεντρική συχνότητα απόρριψης: και τ κέρδς της είναι μόλις: f,0006 ΚHz.000Hz ( 5.7 ) WBR( π) K 73,96dB 74dB 0 ( 5.8 ) WBR( π) Αντιθέτως, τ κέρδς για τις πλύ χαμηλές και πλύ υψηλές είναι και εκατέρωθεν της f WBR(π), 3 db χαμηλότερα τυ DC κέρδυς, έχυμε τις συχνότητες απκπής: και f 0,08Hz 0Hz WBR( π) f 95,06 ΚHz 95.06Hz ( 5.9 ) WBR( π) ι πίες ρίζυν την περιχή των συχντήτων πυ απρρίπτνται, με εύρς ζώνης απόρριψης: ΒW f f 95.06Hz 0Hz 95.96Hz ( 5.0 ) 3WBR WBR( π ) WBR( π ) τ πί είναι 95 φρές μεγαλύτερ από τα 999,83Hz πυ είχαμε πρηγυμένως στη σχέση (3.6). Τ τίμημα της διεύρυνσης είναι η αύξηση κατά 50% της κατανάλωσης, λόγω της πρσθήκης ακόμη ενός τελεστικύ ενισχυτή σε σχέση με τ κύκλωμα τυ φίλτρυ τυ Σχ.3.6. Τέλς, ι κλίσεις τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης ακλυθύν τις κλίσεις τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης και τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης, έχντας τιμές: 30,357dB ( 0,00dB ) db db λwbrl( π ) 0,356 0 =λ LP ( 5. ) 300Hz 30Hz Dec Dec και: 0,799dB ( 3,395dB ) db db λwbr H ( π ) 0,596 0 λ HP ( 5. ) 30KHz 3KHz Dec Dec ι πίες είναι ι χαρακτηριστικές τιμές των κλίσεων τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ ης τάξης. Άρα όντως η απμάκρυνση των συχντήτων απκπής από την f WBR απκαλύπτει τις κλίσεις. 90

91 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Διευρυμέν ζωναπρριπτικό φίλτρ 4 ης τάξης Ομίως με τ ζωναπρριπτικό φίλτρ ης τάξης, για να διευρυνθεί η ζώνη διέλευσης τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης, συνδέυμε παράλληλα ένα χαμηλπερατό και ένα υψηλπερατό φίλτρ ης τάξης (με f LP < f ΗP ) και αθρίζυμε τα σήματα των εξόδων τυς μέσω ενός αθριστικύ τελεστικύ ενισχυτή με ενίσχυση. Για να έχει την ίδια f WBR4 = KHz, αν τ χαμηλπερατό έχει f LP = 0Hz, τ υψηλπερατό θα πρέπει να έχει f ΗP = 00ΚHz, έτσι ώστε να ισχύει η σχέση (4.73). Άρα, ι νέες τιμές των ωμικών αντιστάσεων τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης και των χωρητικτήτων τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης, θα πρκύψυν αντίστιχα από τις σχέσεις (3.0) και (3.4) : ( 3.9 ) R LP 3,75MΩ ( 5.3 ) π f C C 3, , ( 3.3 ) HP , C 375 pf (5.4) π f R R Σχεδιάζντας στ Schematic τυ PSPICE τ κύκλωμα τυ Σχ.5.7: Σχήμα 5.7: Σχηματικό πρσμίωσης τυ διευρυμένυ ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης η AC τυ ανάλυση για συχνότητες έως 00 ΚHz, μας δίνει τα διαγράμματα Bde στην έξδ: τυ χαμηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης (κόκκινη γραμμή), τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης (πράσινη γραμμή) και τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης (κίτρινη γραμμή). 9

92 ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΣΤΑ ΕΝΕΡΓΑ ΦΙΛΤΡΑ ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΕΝΕΡΓΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Σχήμα 5.8: Διάγραμμα Bde από την πρσμίωση διευρυμένυ ενεργύ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης Τ κατώτερ σημεί της κίτρινης γραμμής αντιστιχεί στην κεντρική συχνότητα απόρριψης: και τ κέρδς της είναι μόλις: f,0000κhz ΚHz ( 5.5 ) WBR4( π) K 73,98dB 74dB 0 ( 5.6 ) WBR4( π) Αντιθέτως, τ κέρδς για τις πλύ χαμηλές και πλύ υψηλές είναι και εκατέρωθεν της f WBR4(π), 3 db χαμηλότερα τυ DC κέρδυς, έχυμε τις συχνότητες απκπής: και f 9,99Hz 0Hz WBR4( π) f 97,385ΚHz Hz ( 5.7 ) WBR4( π) ι πίες ρίζυν την περιχή των συχντήτων πυ απρρίπτνται, με εύρς ζώνης απόρριψης: ΒW f f Hz 0Hz Hz ( 5.8 ) 3WBR4 WBR4( π ) WBR4( π ) τ πί είναι 46 φρές μεγαλύτερ από τα.04,4hz πυ είχαμε πρηγυμένως στη σχέση (4.95). Επίσης, η τπλγία αυτή πρκαλεί και μείωση κατά 5% της κατανάλωσης, λόγω της χρήσης ενός λιγότερυ τελεστικύ ενισχυτή σε σχέση με τ κύκλωμα τυ φίλτρυ τυ Σχ.4.5. Όσν αφρά τις κλίσεις τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης, ακλυθύν πιστά τις κλίσεις τυ χαμηλπερατύ και τυ υψηλπερατύ φίλτρυ ης τάξης, έχντας τιμές: 59,00dB ( 9,33dB ) db db λwbr4 L( π ) 39, =λ LP ( 5.9 ) 300Hz 30Hz Dec Dec και: 0,89dB ( 60,83dB ) db db λwbr4 H ( π ) 39, λ HP ( 5.30 ) 30KHz 3KHz Dec Dec ι πίες είναι ι χαρακτηριστικές τιμές των κλίσεων τυ ζωναπρριπτικύ φίλτρυ 4 ης τάξης. Άρα όντως η απμάκρυνση των συχντήτων απκπής από την f WBR4 απκαλύπτει τις κλίσεις. Τέλς, αξίζει να σημειώσυμε ότι τ θέμα της μειωμένης κατανάλωσης αντιμετωπίστηκε συνλικά στα φίλτρα μας και μέσω της μείωσης των τάσεων τρφδσίας των τελεστικών ενισχυτών, καθώς στ φύλλ δεδμένων τυ ua74 πρτείννται στ Σχ.5.9 ως τάσεις τρφδσίας τα 5V, ενώ εμείς χρησιμπιήσαμε για τις απλές μας εφαρμγές τα 0V. 9

93 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΟ SPICE ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ Τ.Ε. ua74 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τ SPICE μντέλ τυ Τ.Ε. ua74 93

94 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΟ SPICE ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ Τ.Ε. ua74 dln 9 90 dx dp 4 3 dx egnd 99 0 ply(),(3,0),(4,0) fb 7 99 ply(5) vb vc ve vlp vln 0 0.6E6 -E3 E3 0E6-0E6 ga E-6 gcm E-9 iee 0 4 dc 5.6E-6 hlim 90 0 vlim K q 3 qx q 4 qx r E3 rc E3 rc E3 re E3 re E3 ree E6 r r rp E3 vb 9 0 dc 0 vc 3 53 dc ve 54 4 dc vlim 7 8 dc 0 vlp 9 0 dc 40 vln 0 9 dc 40.mdel dx D(I=800.0E-8 R=).mdel dy D(I=800.00E-8 R=m Cj=0p).mdel qx NPN(I=800.0E-8 Bf=93.75).end 94