ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς..

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς.."

Transcript

1 1 ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ»..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς.. (Αισχύλος, Προμηθέας Δεσμώτης) Τα μέλη της ομάδας που ασχολήθηκαν με την εκπόνηση αυτής της εργασίας είναι οι μαθητές της α γυμνασίου Εμμανουήλ-Γιώργος Αρχοντάκης, Ιωάννα Παπιδάκη, Εμμανουέλλα Τσάλου και Τζίνα Χανιωτάκη. Την επίβλεψη είχε η καθηγήτρια Ειρήνη Παπαθανασίου. Η εργασία αυτή πραγματοποιήθηκε κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους Εισαγωγή Τα μαθηματικά πιστεύουμε ότι είναι ένα από τα πιο σημαντικά πολιτιστικά συστατικά κάθε σύγχρονης κοινωνίας. Η επιρροή τους πάνω σε άλλα πολιτιστικά στοιχεία είναι τόσο θεμελιώδης και διάχυτη, που επιβεβαιώνει την άποψη πως οι «πιο σύγχρονοι» τρόποι ζωής μας δεν θα υπήρχαν χωρίς τα μαθηματικά. Η τέχνη και των πιο απλών λογαριασμών είναι αρκετή απόδειξη. Αυτό που πραγματικά είναι αναπόφευκτο, είναι ότι κάθε μορφή ζωής που δημιουργεί πολιτισμό και τον αναπτύσσει θα δημιουργεί και μαθηματικά. Όλοι οι πολιτισμοί που

2 2 έχουν ανακαλυφθεί και μελετηθεί στον πλανήτη μας έχουν αναπτύξει κάποια μορφή μέτρησης. Ο άνθρωπος δεν παρουσιάστηκε προικισμένος από τα φύση με τη γνώση ενός αριθμητικού συστήματος ή κάποιων γεωμετρικών νόμων. Όλα αυτά έπρεπε να τα επινοήσει και έπρεπε να υπάρξει κάποιο κίνητρο για να τα επινοήσει. Μια πολύ γνωστή σχολή μαθηματικής σκέψης υποστηρίζει ότι όλα τα μαθηματικά πρέπει να θεμελιώνονται πάνω στους αριθμούς με τους οποίους μετράμε τους 1,2,3, κ.ο.κ. που είναι γνωστοί ως φυσικοί αριθμοί. Βέβαια, από εξελικτική άποψη, αυτή η τοποθέτηση είναι δικαιολογημένη, αφού όλα τα στοιχεία ανθρωπολογικά και ιστορικά δείχνουν ότι η μέτρηση και, σε τελευταία ανάλυση, τα αριθμητικά συστήματα, σαν εργαλεία μέτρησης, αποτελούν το πρώτο στάδιο εισαγωγής του μαθηματικού στοιχείου σε όλους τους πολιτισμούς που δεν έχουν επηρεαστεί από διάχυση (Διάχυση : ένας πολιτισμός που απορροφά ή δημιουργεί πάνω σ έναν άλλο,παίρνοντας από τον τελευταίο πολιτιστικά στοιχεία). Οι ανθρωπολόγοι έχουν βρει κάποια μορφή μέτρησης σε όλους του πρωτόγονους πολιτισμούς, ακόμα και στους πιο πρωτόγονους απ αυτούς που έχουν παρατηρηθεί, έστω και αν αυτή περιορίζεται σε λίγες μόνο αριθμητικές λέξεις. Οι αριθμητικές λέξεις είναι συνήθως ανάμεσα στους πρώτους λεκτικούς τύπους μια γραπτής γλώσσας. «Τόσο στη Σουμερία όσο και στην Αίγυπτο, υπάρχουν κείμενα, προγενέστερα των πιο παλιών σωζόμενων δειγμάτων γραφής, που χρησιμοποιούν ένα συμβατικό σύστημα αρίθμησης. Πάντως πέρασαν πολλά εκατομμύρια χρόνια για να φτάσει ο προϊστορικός άνθρωπος στην αρίθμηση με τα δάκτυλα και μετά χρειάστηκαν πολλές χιλιετίες για την γραφή και ονομασία απλών φυσικών αριθμών και μεγάλες προσπάθειες για να εκτελούν αριθμητικές πράξεις. Στην πραγματικότητα, η μέτρηση είναι μια διαδικασία, κατά την οποία καθορίζεται μια αντιστοιχία ανάμεσα στα αντικείμενα που μετράμε και σε ορισμένα σύμβολα, προφορικά ή γραπτά. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι εκείνα των φυσικών αριθμών 1,2,3, κλπ. Θα μπορούσαν, όμως, να χρησιμοποιηθούν και οποιαδήποτε άλλα σύμβολα, όπως χαραγές πάνω σε ξύλο, κόμποι σε σπάγκο ή σημάδια πάνω σε χαρτί, όπως

3 3 Όλα αυτά επαρκούν για απλές μετρήσεις. Η μέτρηση, λοιπόν, είναι μια συμβολική διαδικασία που χρησιμοποιεί μόνο ο άνθρωπος, το μοναδικό ζώο δημιουργός συμβόλων. Όσο καιρό τα σύμβολα για τους αριθμούς ήταν μόνο προφορικά, δε φαίνεται να υπήρξε μεγάλη πρόοδος στην εξέλιξη του αριθμού. Δεν εννοούμε, βέβαια, ότι δεν εισαχθήκανε λέξεις για τη μέτρηση μεγάλου αριθμού αντικειμένων ή ότι δεν ήταν δυνατόν να εισαχθούν, αφού σε ορισμένους πολιτισμούς αυτό συνέβη. Η μεγάλη, όμως, πρόοδος στην εννοιολογική υπόσταση του αριθμού πραγματοποιήθηκε με την εισαγωγή ιδεογραφημάτων. Αυτό δεν πρέπει να εκπλήσσει, αφού η απλή αριθμητική, δύσκολα μπορεί να αναπτυχθεί χωρίς τέτοια σύμβολα. Στη σύγχρονη άλγεβρα, τα αριθμητικά συστήματα παίρνουν πολυποίκιλες μορφές ανάλογα με τις ανάγκες της μαθηματικής θεωρίας ή των νέων εφαρμογών. Πολύ γενικά (και προσεγγιστικά), θεωρούμε ότι «Αριθμητικό σύστημα» είναι κάθε σύνολο τα στοιχεία του οποίου μπορούν να συνδυαστούν με δύο πράξεις, που συμβολίζονται ως + και x και ικανοποιούν ορισμένες στοιχειώδεις ιδιότητες. Αυτές οι ιδιότητες είναι ανάλογες με αυτές που ικανοποιεί η πρόσθεση (+) και ο πολλαπλασιασμός (x) της κοινής αριθμητικής της αριθμητικής, για παράδειγμα, των φυσικών ή των πραγματικών αριθμών. Δύο λόγια για τη γραφή. Η γραφή γινόταν σε παπύρους, πήλινες πλάκες και πολύ αργότερα σε χαρτί με πρώτους τους Κινέζους από τον 2 ο μ.χ. αιώνα. Οι Άραβες δημιούργησαν, το 794 μ.χ., χαρτοποιείο στη Βαγδάτη, ενώ στην Ευρώπη δημιουργήθηκε το Κάτι σαν περιεχόμενα Στην ανάπτυξη της εργασίας μας κάνουμε μια σύντομη ιστορική αναδρομή σε συστήματα αρίθμησης του παρελθόντος. Στη συνέχεια, αναφέρουμε ποια από αυτά τα συστήματα αρίθμησης χρησιμοποιούμε σήμερα, που και γιατί. Αντί προλόγου.. Όλες, σχεδόν, οι πρωτόγονες φυλές επινόησαν, σε κάποιο βαθμό, λέξεις για τους αριθμούς. Μόνο, όμως, όταν οι αρχαίοι πολιτισμοί, όπως ο Σουμεριοβαβυλωνιακός, ο Κινέζικος και ο πολιτισμός των Μάγια, ανέπτυξαν το εμπόριο, την αρχιτεκτονική, τη φορολογία και άλλα στοιχεία «πολιτισμού», τότε μόνο επινοήθηκαν αριθμητικά συστήματα.

4 4 Ας δούμε τώρα μερικά αριθμητικά συστήματα, από την αρχαιότητα ως σήμερα, που ήταν και είναι σημαντικά στην εξέλιξη καλλιέργεια ανάπτυξη των μαθηματικών. Τ α µ α θ η µ α τ ι κ ά σ τ ο υ ς Σο υ µ έ ρ ι ο υ ς Ήδη απ' την 8η χιλιετία π.χ. οι κάτοικοι της περιοχής που έμελλε να κατοικήσουν οι Σουμέριοι, (Μεσοποταμία) χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα αριθμητικής καταγραφής βασισμένο σε μικρές πήλινες "μάρκες" (tokens), τουλάχιστον όσον αφορά στην καταμέτρηση γεωργικών προϊόντων. Φαίνεται λοιπόν ότι, βρισκόμαστε μπροστά σ' ένα υψηλό επίπεδο μαθηματικών γνώσεων που βασίζεται σε ένα αριθμητικό σύστημα µε βάση τον αριθµό 60. Έχουν διατυπωθεί πολλές εικασίες σχετικές με την προέλευση της περίεργης βάσης 60 στη Σουμερία. Μια από αυτές αναφέρεται στην επίδραση της Κίνας (όπου επίσης υπήρχε η βάση 60). Σύμφωνα με τον Νόιγκεμπάουερ: «Στα οικονομικά κείμενα, πρωτεύουσα σημασία είχαν μονάδες βάρους, που μετρούσαν το ασήμι. Αυτές οι μονάδες φαίνεται καθορίστηκαν από πολύ παλιά σε αναλογία 60 προς 1, για τις βασικές μονάδες «mana» (η ελληνική μνα) και «Shekel», ο σίγλος. Παρ όλο που οι λεπτομέρειες αυτού του γεγονότος δεν μπορούν να περιγραφούν με ακρίβεια, δεν πρέπει να εκπλήσσει ότι η ίδια αναλογία βρίσκεται και σε άλλες μονάδες, αλλά και στους ίδιους τους αριθμούς γενικότερα. Μ άλλα λόγια, κάθε εξηκοστό θα μπορούσε να ονομάζεται «σίγλος», λόγω της εξοικείωσης που υπήρχε μ αυτή την έννοια από τις οικονομικές συναλλαγές. Έτσι, η «εξηνταδική» διάταξη έγινε, τελικά, το κύριο αριθμητικό σύστημα». Δύο σύμβολα, η απλή κατακόρυφη σφήνα που παριστάνει τη µονάδα (1) και η διπλή σφήνα που παριστάνει τη δεκάδα (10), αποτελούν τα μοναδικά "ψηφία" του συστήματος αυτού το όποιο ήταν θεσιακό, δηλ. η αξία ενός ή περισσότερων ψηφίων καθορίζονταν απ' τη θέση που αυτό κατείχε μέσα σ' ένα αριθμό. Οι αριθμοί απ' το 1 ως το 59 σχηματίζονται µε συνδυασμό των δύο βασικών συμβόλων και αριθμοί απ' το 60 και πάνω γράφονται σαν δυνάμεις του 60. Αυτό είναι εύκολο να το κατανοήσουμε στο δικό µας δεκαδικό σύστημα, το οποίο είναι επίσης θεσιακό. Για παράδειγμα στον αριθμό 1858, το πρώτο "8" αναφέρεται σε εκατοντάδες, ενώ το δεύτερο "8" σε μονάδες. Όμοια κάθε ψηφίο φανερώνει μια αξία πολλαπλάσια κάποιας δύναµης του δέκα (10), ανάλογα µε τη θέση που κατέχει μέσα σ' ένα αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει µε τους σουμεριακούς αριθμούς, μόνο που η βάση είναι ο αριθμός 60. Μάλιστα ένα σύμβολο μπορεί να αναφέρεται και σε αρνητικές δυνάμεις του 60 (π.χ για το 1/600) οι οποίες χρησίμευαν όπως και σήμερα για τις υποδιαιρέσεις

5 5 της μονάδας, αλλά και στην τέλεση της πράξης της διαίρεσης (η διαίρεση α / β ισοδυναμούσε µε τον πολλαπλασιασμό α β-1). Για τα αριθμητικά σύμβολα, οι Σουμέριοι χρησιμοποιούσαν καλάμια με κυκλικά άκρα δύο μεγεθών. Το σύμβολο της μονάδας γινόταν με πίεση του μικρότερου άκρου από πλάγια θέση, παράγοντας κάτι σαν μισοφέγγαρο, ενώ για το συμβολισμό του 10 πίεζαν από κάθετη θέση, με αποτέλεσμα να σχηματίζεται κάτι σαν πανσέληνος. Ιερογλυφικά της Αρχαίας Αιγύπτου Τα Αιγυπτιακά Ιερογλυφικά είναι τα αρχαιότερα εικονιστικά σύμβολα που χρησιμοποιούνταν στην αρχαία αιγυπτιακή γραφή. Η γραφή αυτή αποκρυπτογραφήθηκε από τον Ζαν- Φρανσουά Σαμπολιόν το 1822, ο οποίος χρησιμοποίησε την περίφημη Στήλη της Ροζέττας. Τα ιερογλυφικά είναι ιδεογράμματη γραφή που χρονολογείται τουλάχιστον από το 3000 π.χ. Το αρχαίο αιγυπτιακό αριθμητικό σύστημα βασιζόταν στον αριθμό δέκα αλλά δεν ήταν ένα πλήρες ανεπτυγμένο δεκαδικό σύστημα. Υπήρχαν διαφορετικά ιερογλυφικά σύμβολα για τις μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δέκα χιλιάδες και ένα εκατομμύριο. Όταν ήθελαν να γράψουν, π.χ. το δύο ή το εφτά απλά επαναλάμβαναν το σύμβολο της μονάδας όσες φορές χρειαζόταν. Το ίδιο ίσχυε και για τις δεκάδες, χιλιάδες και ούτω καθ' εξής. Οι αριθμοί μερικές φορές γράφονταν και λεκτικά,π.χ. «είκοσι» αντί 20, όπως και σήμερα, αλλά αυτό συνηθιζόταν κυρίως μόνο για το ένα και το δύο.

6 6 Επίσης, το αριθμητικό σύστημα είναι «προσθετικό» όπως καταλαβαίνουμε και από τα παραδείγματα που ακολουθούν. Παραδείγματα: Ο αριθμός 435 στα αιγυπτιακά ιερογλυφικά και ο αριθμός = Το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης Το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης προέρχεται από τους Σουμέριους και στη συνέχεια από τους Βαβυλώνιους, δηλαδή χρονολογείται πριν από το 2100 π.χ. Οι Βαβυλώνιοι σοφοί χρησιμοποιούσαν μόνο δύο σύμβολα (!) : τη «σφήνα» και το «καρφί». Τα άλλα 57 απαραίτητα σύμβολα (η σύλληψη του μηδενός ως αριθμού και η απεικόνισή του ως συμβόλου δεν είχε επέλθει ακόμα) τα δημιουργούν από αυτά τα δύο σύμβολα. Το 9, για παράδειγμα, συμβολιζόταν με ισάριθμες σφήνες σε τρεις τριάδες, ενώ ο αριθμός 19 γραφόταν σαν ένα καρφί και δεξιά του εννέα σφήνες σε τρεις τριάδες. To 59 με πέντε καρφιά και εννέα σφήνες. Φτάσαμε τώρα στη βάση του εξηνταδικού συστήματος. Το 60 ήταν πάλι ένα καρφί. Ο αριθμός 69 δεν γραφόταν με έξι σφήνες και εννέα καρφιά, αλλά με ένα καρφί του 60 και εννέα καρφιά του 1 δίπλα του. Πως το ξεχώριζαν λοιπόν; Όπως και εμείς σήμερα: το μόνο που διαφοροποιούσε αυτό το καρφί του 60 από τα διπλανά καρφιά του 1 ήταν η θέση του. Ένα πρόβλημα το οποίο παρουσιάζεται είναι ότι ο αριθμός 61 αναπαρίσταται με δύο «καρφιά», όπως και ο αριθμός 2. Για να το λύσουν αυτό το πρόβλημα οι Βαβυλώνιοι ένωναν τα «καρφιά» που αναπαριστάνουν μονάδες σε συμπλέγματα όπου το ένα «καρφί» ακουμπούσε το άλλο ώστε να αποτελούν ενιαίο σύμβολο.

7 7 Οι Βαβυλώνιοι έγραφαν με καλαμένια γραφίδα πάνω σε πίνακες από μαλακό πηλό, τους οποίους, στη συνέχεια, έψηναν ή ξέραιναν στον ήλιο. Ο λόγος επιλογής του συστήματος αυτού από τους Βαβυλώνιους εικάζεται ότι είναι η προσπάθεια ενοποίησης των διαφορετικών συστημάτων αρίθμησης, που υπήρχαν εκείνη την εποχή ( με βάση το 5 και το 12). Άλλοι έχουν την άποψη ότι η βάση 60 καθιερώθηκε από την αστρονομία και άλλοι ότι έχει επιλεγεί για βάση ο αριθμός 60 επειδή έχει πολλούς διαιρέτες. Ο Νόιγκεμπάουερ γράφει ότι μια πήλινη πλάκα με εκατοντάδες αστρονομικούς αριθμούς, γραμμένους στο εξηκονταδικό σύστημα, μπορούσε να έχει στο κάτω άκρο της μια σημείωση με το όνομα του γραφέα και την ημερομηνία γραφής, στο δεκαδικό, όμως, σύστημα. Σημασία έχει ότι μέχρι σήμερα έχει επικρατήσει το εξηνταδικό σύστημα: για τη μέτρηση των γωνιών 1 ο (μοίρα) = 60 (πρώτα λεπτά) και 1 = 60 (δεύτερα λεπτά), του χρόνου 1 ώρα = 60 (πρώτα λεπτά) και 1 = 60 (δεύτερα λεπτά). Σφηνοειδής γραφή της αρχαίας Μεσοποταμίας Η σφηνοειδής γραφή υπολογίζεται ότι εφευρέθηκε από τους Σουμέριους στη Μεσοποταμία, όμως άγνωστο πότε. Κατόπιν τη δέχθηκαν και την τροποποίησαν οι Ασσύριοι, οι Βαβυλώνιοι, οι Ελαμίτες, οι Πέρσες, οι Χιττίτες Διατηρήθηκε μέχρι το 1 ον μ.χ. αι. Η αποκρυπτογράφηση της έγινε από τους Γκρότεφεντ (1802) και Ρώλινσον (1846). Η σφηνοειδή γραφή ονομάστηκε έτσι, επειδή τα γράμματά της και οι αριθμοί είναι ως οι σφήνες (καρφιά) και όχι γραμμές ή εικόνες πραγμάτων, όπως συμβαίνει στις άλλες παλιές και κυρίως τις ιβδικές γραφές. Το σύστημα αρίθμησης της ήταν εξηκονταδικό, με σύμβολα για τις δεκάδες. Παράδειγμα αριθμού στη σφηνοειδή γραφή: 47 =

8 8 Στην εικόνα φαίνεται η σπουδαία πινακίδα Plimton 322 η οποία περιέχει πλήθος αριθμών γραμμένων με συστηματικό τρόπο. Οι αριθμοί στο σύστημα των Μάγιας Το πιο αξιοθαύμαστο γεγονός είναι ότι οι Μάγια ήταν ο πρώτος λαός του κόσμου που χρησιμοποίησε τον αριθμό «0», αιώνες πριν χρησιμοποιηθεί στην Ευρώπη στην οποία τον έφεραν οι Άραβες, που τον είχαν μάθει από τους Ινδούς. Αυτή η αφηρημένη αντίληψη, τόσο συνηθισμένη για μας σήμερα, αποτελεί ένα μεγάλο κατόρθωμα και επέτρεψε στους Μάγια να φτιάξουν ένα από τα καλύτερα αριθμητικά συστήματα όλων των εποχών. Η χρήση του «0» και το εικοσαδικό σύστημα που χρησιμοποιούσαν (αντί δεκαδικό όπως το δικό μας), τους επέτρεπαν να κάνουν πολύπλοκους λογαριασμούς. Παρίσταναν τη μονάδα με μία τελεία (.) και την αξία 5 με ένα ραβδί (-). Τον αριθμό 0 τον αναπαρίσταναν μ ένα κοχύλι ή ένα λουλούδι. Σε κάποιες σημαντικές περιπτώσεις, αναπαρίσταναν τους αριθμούς με ανθρώπινα κεφάλια. Η γραφή των αριθμών μέχρι τον 19 γινόταν με «προσθετικό» τρόπο. Από εκεί και πέρα το σύστημα είχε βάση το 20. Π.χ. 74 = 3 x Οι αριθμοί γράφονταν σε στήλες που διαβάζονταν από κάτω προς τα πάνω. Με αυτό τον τρόπο, δημιουργούσαν ένα σύστημα «κατά θέσεις» ή τοποθέτησης για την σημειογραφία των αριθμών, που τους επέτρεπε να γράφουν μεγάλους αριθμούς. Στο δικό μας αριθμητικό σύστημα, τοποθετούμε τις δεκάδες αριστερά από τις μονάδες, πιο αριστερά τις εκατοντάδες, μετά τις χιλιάδες, κλπ. Με τον ίδιο τρόπο, οι Μάγια έγραφαν τις μονάδες (1 έως 19) στην κατώτερη σειρά, από πάνω τις εικοσάδες, πιο πάνω τις εικοσάδες εικοσάδων και ούτω καθ εξής. Το 0 το

9 9 χρησιμοποιούσαν με τον ίδιο τρόπο που το κάνουμε εμείς: σήμερα η τοποθέτηση ενός μηδενικού σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε τη μονάδα επί 10 ή επί 100 ή επί 1000, σύμφωνα με το ποσό αριστερά γράφουμε το 0. Οι Μάγια πολλαπλασίαζαν επί 20 ή 200 ή 2000, σύμφωνα με το πόσο ψηλά το έγραφαν. Το σύστημα είναι σχεδόν ίδιο με το δεκαδικό και, οπωσδήποτε, πιο απλό από το Ρωμαϊκό σύστημα, όταν πρόκειται για μεγάλους αριθμούς και πολύπλοκους λογαριασμούς. Για παράδειγμα, το τέσσερα σχηματίζεται από τέσσερις τελείες, το επτά από μια παύλα και δύο τελείες, και το δεκαεννέα από τρείς παύλες και τέσσερις τελείες 3 x x 1 = 19. Οι αριθμοί πάνω του 20 γράφονταν με την χρήση της θεσιακής σημειογραφίας, βάζοντας την μεγαλύτερη σε αξία μονάδα στο πάνω μέρος, για παράδειγμα: Το ακροφωνικό ή Ηρωδιανό σύστημα αρίθμησης Στην αρχαία Ελλάδα, κυρίως την κλασική εποχή, αναπτύχθηκε ένα σύστημα αρίθμησης το λεγόμενο ακροφωνικό, όπου το Δ συμβόλιζε το Δέκα. Την ακριβή περιγραφή του αριθμητηρίου την έδωσε ο Έλληνας γραμματικός Ηρωδιανός ( μ.χ) του οποίου μέχρι σήμερα φέρει το όνομα. Αριθμός Σύμβολο - Ονομασία 1 Ι - Ένα 5 Π - Πέντε 10 Δ - Δέκα 100 Η Ηεκατόν 1000 Χ - Χίλια Μ Μύρια Από κει και πέρα γίνεται συνδυασμός των συμβόλων. Για παράδειγμα το 50 συμβολίζεται με ένα Π το οποίο περιέχει ένα Δ, που σημαίνει 5 x 10.

10 10 Τότε η λέξη εκατό γραφόταν hεκατόν, γιατί το h(h) χρησιμοποιούνταν για την παράσταση της δασείας, αργότερα αντικαταστάθηκε από τη δασεία και το h(h) χρησιμοποιήθηκε για την παράσταση του μακρόχρονου ε (Ε) Επειδή τα γράμματα Π,Δ,Η,Χ,Μ που χρησιμοποιούνται για την παράσταση των αριθμών, είναι ακραία (αρχικά) γράμματα λέξεων, το σύστημα γραφής λέγεται ακροφωνικό. Για τους αριθμούς 50, 500, 5000, (πενταπλάσια των 10, 100, 1.000, ) χρησιμοποιούσαν τα: Δ,Η,Χ,Μ κάτω από το Π Για να γράψουν τους άλλους αριθμούς παραθέτανε ή επαναλαμβάνανε τα κατάλληλα σύμβολα από αυτά μέχρι να σχηματιστεί προσθετικά ο αριθμός. Π.χ ο αριθμός 478 γράφεται: Το κινεζικό σύστημα αρίθμησης Τέσσερα κλασικά έργα διασώζονται από την αρχαία Κίνα, τα οποία μας βοηθούν να καταλάβουμε τα κινέζικα μαθηματικά πριν από το 1000 π.χ.. Το πρώτο είναι το Σου-Ζινγκ το οποίο περιλαμβάνει αρκετά πολύπλοκους αστρονομικούς υπολογισμούς που έγιναν στην αρχαία Ελλάδα. Το Ι-Ζινγκ, το δεύτερο κατά σειρά, δεν είναι στην πραγματικότητα ένα βιβλίο μαθηματικών, αλλά ένα βιβλίο που χρησιμοποιούνταν από τους Κινέζους επί χιλιετίες για να μαντέψουν ποια πορεία δράσης

11 11 έπρεπε να ακολουθήσουν σε σημαντικά θέματα. Όσον αφορά τα εργαλεία που χρησιμοποιούσαν για τους υπολογισμούς τους ο άβακας ήταν το πρώτο, όπου ακόμα και στις μέρες μας έχει σχεδόν καθολική χρήση. Η επινόηση του άβακα ήταν Ελληνική, όπως άλλωστε και το όνομα Άβαξ. Κάθε σύρμα έχει 5 σφαίρες κάτω από την διαχωριστική βέργα και 2 σφαίρες από πάνω. Τα σφαιρίδια κάτω από τη διαχωριστική βέργα του άβακα έχουν αξία μια μονάδα, ενώ τα από πάνω έχουν αξία 5 μονάδες. Οι Κινέζοι έκαναν νοητικά τους υπολογισμούς και μετά χρησιμοποιούσαν ένα υπολογιστικό πινάκιο για την καταγραφή των αποτελεσμάτων. Το υπολογιστικό πινάκιο, από το οποίο προήλθε ο άβακας, ήταν μια επίπεδη ξύλινη επιφάνεια με ζωγραφισμένες γραμμές που σχημάτιζαν ένα ορθογώνιο με τετράγωνα. Ράβδοι μήκους περίπου δέκα εκατοστών τοποθετούνταν σε διαφορετικά τετράγωνα για να συμβολίζουν τις μονάδες, ενώ τα ίδια τα τετράγωνα συμβολίζουν μεγαλύτερους αριθμούς. Χρησιμοποιούνταν δύο είδη ράβδων. Κόκκινες για τους θετικούς και μαύρες για τους αρνητικούς. Υπάρχουν αναφορές ότι οι Κινέζοι μαθηματικοί ήταν εξαιρετικά επιδέξιοι με τους πίνακες αρίθμησης και μπορούσαν γρήγορα να εκτελέσουν ιδιαίτερα πολύπλοκες πράξεις. Οι πρώτες μαθηματικές έννοιες των Κινέζων χρονολογούνται από πολύ παλιά. Ήδη απ τον 13ο αιώνα π.χ οι Κινέζοι είχαν σύστημα δεκαδικής αρίθμησης, ανάλογο μ εκείνο που υπάρχει σήμερα. Ακόμα, απ τον 3 ο π.χ. αιώνα οι Κινέζοι έδωσαν μια πρωτότυπη λύση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. Επίσης, υπολόγισαν κατά προσέγγιση τον αριθμό π κι έλυσαν τις εξισώσεις πρώτου βαθμού. Η χρήση όμως του μηδενικού άρχισε τον 8 ο αιώνα μ.χ και κατά το 12 ο με 13 ο αιώνα μ.χ η κινέζικη άλγεβρα γνώρισε μεγάλη ανάπτυξη. Τα quipu των Ίνκας Οι Ίνκας δεν είχαν σύστημα γραφής των αριθμών. Όποτε χρειάζονταν να καταγράψουν αριθμούς ή άλλες πληροφορίες, χρησιμοποιούσαν ένα πολύπλοκο σύστημα κόμπων σε σπάγκους, που ονομάζεται quipu. Π.χ. η καταγραφή του 26 αποτελείται από 6 κόμπους στο ελεύθερο άκρο ενός σπάγκου και άλλους 2 κόμπους λίγο πιο μέσα.

12 12 Οι αριθμοί στα Αραβικά Οι αριθμοί στα Σανσκριτικά Η γραφή των αριθμών στο Ιωνικό αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης και η χρήση τους σε κείμενα αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών Μια σημαντική κατάκτηση στα αριθμητικά συστήματα ήταν η επινόηση από τους Έλληνες του αλφαβητικού συστήματος αρίθμησης. Από τον 5 ο π.χ. αιώνα, αλλά κυρίως από τους χρόνους των διαδόχων του Μ. Αλεξάνδρου, αρχίζει να διαδίδεται στις Ελληνικές πόλεις αυτό το νέον αριθμητικό σύστημα όπου είναι πολύ ικανοποιητικό για τις καθημερινές τους ανάγκες και τις οικονομικές τους συναλλαγές. Ακόμα και οι επιστήμονες, όπως ο Αρχιμήδης, το χρησιμοποιούσαν στους υπολογισμούς τους. Η ευκολία με την οποία το χρησιμοποιούσαν ήταν, ίσως, η αιτία της διατήρησής του στην Ανατολική Ρωμαϊκή αυτοκρατορία μέχρι τον 15 ο αιώνα. Συγκεκριμένα, φαίνεται πως ήταν καταλληλότερο για να χρησιμοποιείται στις καθημερινές ανάγκες από τα άκομψα ρωμαϊκά σύμβολα. Αξίζει να υπενθυμίσουμε ότι ο Γάλλος μαθηματικός Τάνερι εξοικειώθηκε με το ελληνικό αριθμητικό σύστημα, κάνοντας τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής, σύμφωνα με τον τρόπο που τις έκανε ο Αρχιμήδης στο Κύκλου Μέτρησης. Έτσι, διαπιστώθηκε ότι «υπήρχαν πρακτικά πλεονεκτήματα, που δεν υποπτευόταν πριν και ότι οι πράξεις χρειάζονταν λίγο περισσότερο χρόνο, σε σχέση με τα σύγχρονα αριθμητικά σύμβολα». Το σύστημα αυτό παρουσιάζει το πλεονέκτημα ότι, αποφεύγει την επανάληψη συμβόλων, όπως τη γνωρίσαμε στα άλλα αρχαία συστήματα. Έτσι προέκυψε μια συντόμευση της γραφής, που θα την αντιληφθούμε κατά τον σχηματισμό των αριθμών. Στο αλφαβητικό (Ιωνικό) σύστημα οι αριθμοί παριστάνονται με σύμβολα: 24 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου και 3 αρχαϊκά (φοινικικά) που είναι το δίγαμμα, το κόππα (Ϙ) και το σαμπί (Ϡ). Η αντιστοιχία μεταξύ των γραμμάτων και των αριθμών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα.

13 13 Σημερινή Ιωνική Σημερινή Ιωνική Σημερινή Ιωνική γραφή γραφή γραφή γραφή γραφή γραφή 1 Α α 10 Ι ι 100 Ρ ρ 2 Β β 20 Κ κ 200 Σ σ 3 Γ γ 30 Λ λ 300 Τ τ 4 Δ δ 40 Μ μ 400 Υ υ 5 Ε ε 50 Ν ν 500 Φ φ 6 ς 60 Ξ ξ 600 Χ χ 7 Ζ ζ 70 Ο ο 700 Ψ ψ 8 Η η 80 Π π 800 Ω ω 9 Θ θ 90 Ϙ Ϙ 900 Τ Ϡ, Αρχικά για τη γραφή των αριθμών χρησιμοποιούνταν τα κεφαλαία γράμματα και αργότερα τα μικρά. Υπάρχουν δύο τρόποι χρησιμοποίησης των γραμμάτων ως αριθμών. Με τον πρώτο τρόπο έβαζαν πάνω από το γράμμα μια οριζόντια παύλα και με το δεύτερο μια οξεία στο πάνω και δεξιό μέρος του αριθμού. Όπου, όμως, δεν υπήρχε σύγχυση ως προς τη γραφή των αριθμών και των γραμμάτων, οι οξείες παραλείπονταν. Όλοι οι αριθμοί οι μικρότεροι του γράφονταν με τρία το πολύ σύμβολα. Για να γράψουν αριθμούς μεγαλύτερους από το 999 χρησιμοποιούσαν διάφορα τεχνάσματα, τα οποία στηρίζονταν σε πολλαπλασιαστικές αρχές. Έτσι, για παράδειγμα, μια μικρή γραμμή κάτω αριστερά από το γράμμα σήμαινε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται με το Επομένως, οι αριθμοί 1000, 2000,, 9000 δίνονται από τον παρακάτω πίνακα. Σημερινή γραφή Ιωνική γραφή α β γ δ ε ς ζ η θ Άρα, για να γράψουν αριθμούς μικρότερους του , χρησιμοποιούσαν μόνο τέσσερα γράμματα, από τα οποία, μάλιστα, το ψηφίο των χιλιάδων ήταν όπως και των μονάδων, με μοναδική διαφορά το σημάδι του τόνου.

14 14 Για τον προσδιορισμό της αξίας των αριθμών, το σύστημα χρησιμοποιεί την πρόσθεση της αξίας των ψηφίων καθενός αριθμού. Για παράδειγμα δίνουμε τέσσερις αριθμούς γραμμένους κατά το Ελληνικό αριθμητικό σύστημα και φυσικά μαζί με την εξήγησή τους σε σύγχρονους αριθμούς: υνς = = 456 δχπβ = = 4682 ασο = = 1270 ηωκ = = 8820 Το σύστημα είναι δεκαδικό και θεμελιώδεις μονάδες του είναι αυτές που ακολουθούν: α ( = 1), ι ( = 10), ρ ( = 100), α ( = 1000). Οι αριθμοί που βρίσκονται μεταξύ των μονάδων δεν σχηματίζονται με επαναλήψεις, αλλά με δικά τους σύμβολα. Φυσικά, τα σύμβολα έχουν γίνει πολλά, όμως εύκολα συγκρατούνται στη μνήμη, γιατί η διαδοχή τους ακολουθεί τους γνώριμους φθόγγους των γραμμάτων του λόγου, δηλαδή του αλφαβήτου. Και σ αυτό το αριθμητικό σύστημα που επικράτησε στην Ευρώπη μέχρι τον 12 ο αιώνα, ίσως και περισσότερο, παρατηρούμε την έλλειψη του μηδέν. Η ιδέα του μηδέν (ή ουθέν στα αρχαία Ελληνικά), ήταν γνωστή κατά την αρχαιότητα σαν έλλειψη μονάδων, αλλά δεν χρησιμοποιείτο για το σχηματισμό των αριθμών. Έτσι η αξία των αριθμών ήταν συνδεδεμένη με τα σύμβολα. Επειδή το Ελληνικό σύστημα, όπως και τα άλλα αρχαία συστήματα, παρουσίαζαν δυσκολίες στην εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, για τη διευκόλυνση των υπολογισμών επινοήθηκαν κατάλληλες συσκευές, που πήραν το όνομα «Άβακες». Η επινόηση του άβακα ήταν Ελληνική, όπως άλλωστε και το όνομα Άβαξ. Στην αρχαία Ελλάδα οι άβακες χρησιμοποιούντο από τον 6ο αιώνα π.χ. Αρχαία Μινωική γραφή σε Γραμμική Β Στην αρχαία Κρήτη χρησιμοποιούσαν από το 1350 π.χ. περίπου την Γραμμική Β, η οποία αντικατέστησε παλαιότερες γραφές. Το σύστημα γραφής αριθμών είναι «προσθετικό» με βάση το δέκα. Παράδειγμα: =

15 15 Tο Ιταλο-Ρωμαϊκό σύστημα γραφής (ή Λατινική γραφή) Το Ρωμαϊκό σύστημα αριθμητικής γραφής στηρίζεται στα παλαιότερα συστήματα, παρουσιάζει όμως και βελτιώσεις. Τα σύμβολα του συστήματος είναι απλούστερα, χρησιμοποιούνται δε και γράμματα του αλφαβήτου ως αριθμητικά σύμβολα. Χαρακτήρες αναπαράστασης Το σημερινό σύστημα περιλαμβάνει 7 γράμματα αναπαράστασης για τις θεμελιώδεις μονάδες,με τις κάτωθι αξίες στο δεκαδικό σύστημα: Ι = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = Παρατηρούμε ότι, εκτός από τα σύμβολα μονάδων (1, 10, 100, 1.000) έχουν τοποθετηθεί σύμβολα για τους αριθμούς (5, 50, 500). Αυτό έγινε προφανώς για να αποφεύγεται η μεγάλη επανάληψη συμβόλων. Έτσι, αν δεν υπήρχε το σύμβολο V (του 5), ο αριθμός 8 θα γραφόταν με επανάληψη οκτώ μονάδων, δηλαδή: IIIIIIII. Ενώ με τη χρήση του V ο αριθμός 8 γράφεται: VIII. Κανόνες σύνταξης Οι κανόνες αναπαράστασης έχουν ως εξής: Όταν έχουμε δύο ή τρία ίδια γράμματα στη σειρά τότε οι αξίες των γραμμάτων προστίθενται: Π. χ. : ΙΙ = 2, III = 3, XXX = 30, CC = 200 Γενικότερα, το Ρωμαϊκό σύστημα, για να εκφράσει την αξία των αριθμών, χρησιμοποιεί την πρόσθεση της αξίας των ψηφίων. Παραδείγματα : MMDCCC ( ) = MDCLV ( ) = Όμως το σύστημα, προκειμένου να πετύχει τη συντομία, χρησιμοποιεί και την αφαίρεση. Όταν έχουμε δύο γράμματα στη σειρά και το γράμμα που βρίσκεται στα δεξιά είναι μεγαλύτερης αξίας ή το γράμμα στα αριστερά μικρότερης αξίας τότε αφαιρούνται: Π.χ. IV = 4, IX = 9, CD = 400.

16 16 Παρατηρήσεις Τα σύμβολα I,X,C και Μ μπορούν να επαναληφθούν διαδοχικά μέχρι τρεις φορές. Κατ εξαίρεση στα καντράν ρολογιών συχνά υπάρχει και η αναπαράσταση IIII που αντιστοιχεί στον αριθμό 4. Τα σύμβολα D, L και V δεν μπορούν να επαναληφθούν. Το σύμβολο I μπορεί να αφαιρεθεί μόνο από τα σύμβολα V και X. Το σύμβολο X μπορεί να αφαιρεθεί από τα σύμβολα L και C. Το σύμβολο C μπορεί να αφαιρεθεί από τα σύμβολα D και M. Τα σύμβολα V,L και M δεν αφαιρούνται ποτέ. Το δεκαδικό ψηφίο 0 και ο αριθμός «0» δεν αναπαρίστανται και δεν υπάρχουν στους ρωμαϊκούς αριθμούς. Τώρα μπορούμε να καταλάβουμε καλύτερα τους λατινικούς αριθμούς στον πίνακα που ακολουθεί. Παράδειγμα : 1824 = MDCCCXXIV Σήμερα βλέπουμε διατήρηση του λατινικού συστήματος γραφής αριθμών, σε ρολόγια και σε χρονολογίες. Επίσης, το χρησιμοποιούμε και σε αρίθμηση περιπτώσεων. Το Shepherd gate clock με ρωμαϊκούς αριθμούς, στο Γκρήνουϊτς Το δεκαδικό (ινδοαραβικό) σύστημα αρίθμησης Οι ινδοί μαθηματικοί, με τη χρήση του άβακα (η πρώτη αριθμομηχανή) και έχοντας υπόψη την ελληνική και κινέζικη αριθμητική επινόησαν το δεκαδικό σύστημα θέσης γύρω στα 500 μ. Χ..

17 17 Τα ψηφία 1 ως 9 που χρησιμοποιούμε σήμερα προέρχονται από ινδικές μορφές και για το μηδέν οι Ινδοί χρησιμοποιούσαν αρχικά μια τελεία και αργότερα την ωοειδή μορφή. Επίσης οι Ινδοί γνώριζαν και σε κάποιο βαθμό και αρνητικούς αριθμούς. Κατά πόσο, όμως, και τι ακριβώς δανείστηκαν οι Ινδοί από άλλους πολιτισμούς αποτελεί ζήτημα εικασιών και αμφισβητήσεων. Ότι η Βαβυλωνιακή επιρροή αποτέλεσε παράγοντα ανάπτυξης των ινδικών μαθηματικών είναι αποδεδειγμένο, η έκταση, όμως, αυτής της επιρροής δεν μπορεί να καθοριστεί ακριβώς. Είναι, για παράδειγμα, το ινδικό μηδέν πολιτιστικός απόγονος του βαβυλωνιακού; Στην περίοδο μεταξύ μ. Χ., όταν άρχισε να χρησιμοποιείται το δεκαδικό σύστημα στην Ινδία, οι Ινδοί γνώριζαν την ελληνική αστρονομία. Και σαν συνέπεια του ενδιαφέροντός τους για την ελληνική αστρονομία, οι Ινδοί γνώρισαν επίσης το εξηνταδικό σύστημα θέσης και τη χρήση ενός συμβόλου που να δηλώνει την απουσία ψηφίου («μηδενός»). Ως πρόσθετη ένδειξη, επισημαίνεται ότι στους λεγόμενους ινδικούς «έμμετρους αριθμούς» τοποθετούνταν πάντα πρώτα οι μονάδες, ακολουθούσαν οι δεκάδες κοκ, ενώ οι Βαβυλώνιοι και οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν την αντίστροφη σειρά. Όταν οι Ινδοί άρχισαν να χρησιμοποιούν ψηφιακά σύμβολα, υιοθέτησαν τον τρόπο γραφής των Βαβυλωνίων και όχι αυτόν τον δικό τους, ιθαγενών, έμμετρων αριθμών. Η παρακμή των Ελληνιστικών βασιλείων και στη συνέχεια της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας, έφερε στο προσκήνιο της ιστορίας τον αραβικό πολιτισμό. Σ αυτόν επήλθε βαθμιαία διάχυση του ινδικού αριθμητικού συστήματος, όπως το ελληνικό αλφαβητικό σύστημα. Υπάρχουν ενδείξεις ότι οι Άραβες υιοθέτησαν τα ινδικά ψηφία, με την υποκίνηση μιας μορφής πολιτιστικής αντίστασης που οφειλόταν σε προκατάληψη απέναντι στον ελληνικό πολιτισμό. Από τον αραβικό πολιτισμό, τα νέα δεκαδικά αριθμητικά ψηφία διαχύθηκαν στους ευρωπαϊκούς πολιτισμούς μεσ από την Ισπανία και την Ιταλία με τη διακίνηση των μελετών ή με το εμπόριο. Επίσης μεταδόθηκε και στη Μέση Ανατολή και στη Βόρεια Αφρική. Ο Άραβας μαθηματικός Αλ Χουαριζεμί, ο πατέρας της σημερινής άλγεβρας, περιγράφει αναλυτικά στα βιβλία του το σύστημα των Ινδών. Έτσι πέρασε στην Ευρώπη με το όνομα Ινδοαραβικό. Η Ιταλία, κέντρο εμπορίου, αναγνώρισε τα πλεονεκτήματα της αρίθμησης αυτής και με το βιβλό του Λεονάρντο Φιμπονάτσι «Liber Abaci το 1.200, υπήρξε αποφασιστική η διάδοσή της. Παράλληλα στο Βυζάντιο ο μαθηματικός Μάξιμος Πλανούδης με το βιβλίο του «Ψηφοφορία κατ Ινδούς» αναφέρει την αριθμογραφία θέσης. Σιγά σιγά η μεγάλη αυτή μαθηματική κατάκτηση επικράτησε και χρησιμοποιείται σ όλο τον πολιτισμένο κόσμο. Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το δέκα (10). Όπως συμβαίνει με όλα τα συστήματα αρίθμησης, είναι ένα σύστημα που χρησιμοποιεί

18 18 ο άνθρωπος έτσι ώστε να περιγράψει ποσότητες ή πλήθος αντικειμένων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση για τη δημιουργία των ονομασιών των ποσοτήτων χρησιμοποιούνται δέκα σύμβολα, τα γνωστά μας 10 ψηφία: 0, 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8 και 9. Για το λόγο αυτό λέγεται δεκαδικό και για το λόγο αυτό λέμε ότι έχει βάση το δέκα. Έτσι κάθε ποσότητα θα αποκτήσει έναν συμβολισμό σύμφωνα με το δεκαδικό σύστημα, ο οποίος δεν θα είναι τίποτα άλλο από μια ακολουθία από τα προαναφερόμενα δέκα σύμβολα. Π.χ.: μια ποσότητα από δεκαπέντε χιλιάδες πράγματα συμβολίζεται ως Αν φανταστούμε ότι έχουμε ένα πλήθος από αντικείμενα και θέλουμε το πλήθος αυτό να το αναπαραστήσουμε στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, τότε κάνουμε τα ακόλουθα: Ομαδοποιούμε τις μονάδες αντικειμένων σε δεκάδες (μια δεκάδα είναι 10 μονάδες). Αν κάποιες μονάδες οι οποίες δεν φτάνουν για να φτιάξουμε μια δεκάδα, τότε το πλήθος τους είναι το πλήθος μονάδων του αριθμού σε δεκαδική αναπαράσταση. Γράφουμε το αντίστοιχο σύμβολο στη θέση του αριθμού για τις μονάδες. Ομαδοποιούμε τις δεκάδες που φτιάχτηκαν σε εκατοντάδες (μια εκατοντάδα είναι 10 δεκάδες). Αν περισσέψουν κάποιες δεκάδες που δεν φτάνουν για να φτιάξουμε εκατοντάδα, τότε το πλήθος τους είναι το πλήθος των δεκάδων του αριθμού σε δεκαδική αναπαράσταση. Γράφουμε το αντίστοιχο σύμβολο στην θέση του αριθμού για τις δεκάδες, δηλαδή μια θέση αριστερά από το σύμβολο που βάλαμε για τις μονάδες κ.ο.κ. μέχρι να ομαδοποιηθούν όλα τα αντικείμενα. Όπως καταλαβαίνουμε το δεκαδικό σύστημα λέγεται σύστημα θέσης επειδή κάθε ψηφίο έχει διαφορετική αξία σε διαφορετική θέση μέσα στον αριθμό που είναι γραμμένο. Για παράδειγμα: άλλη η αξία του 2 στον αριθμό 26 και άλλη η αξία του 2 στον αριθμό 208. Η αξία του συστήματος θέσης βρίσκεται στη δυνατότητά του να εκφράζει απεριόριστα μεγάλους ή μικρούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας τα ίδια βασικά ψηφία. Τούτο ήταν σημαντικό για τη βαβυλωνιακή αστρονομία στην κατασκευή πινάκων. Η επινόηση των συστημάτων θέσης είναι πιθανό να αντιπροσωπεύει μια φυσιολογική πρόοδο στην εξέλιξη των αριθμητικών συστημάτων, που προκλήθηκε από πολιτιστική ένταση, με τη μορφή της ανάγκης συμβολισμού απεριόριστα μεγάλων ή μικρών αριθμών. Η έκφραση βάση ή ρίζα το 10, σημαίνει ότι σε κάθε αριθμό, κάθε ψηφίο του πολλαπλασιάζεται επί το 10 υψωμένο σε δύναμη που αντιστοιχεί στην θέση του ψηφίου αυτού.

19 19 Για παράδειγμα: Ο αριθμός αποτελείται από 8 μονάδες, 0 δεκάδες, 3 εκατοντάδες και 5 χιλιάδες δηλαδή 5308 = = Το ίδιο ισχύει και για τους δεκαδικούς αριθμούς, αλλά χρησιμοποιούμε αρνητικές δυνάμεις του 10. Για παράδειγμα: Ο αριθμός 25,375 αποτελείται από 2 δεκάδες, 5 μονάδες, 3 δέκατα, 7 εκατοστά και 5 χιλιοστά, δηλαδή 25,375 = = Έτσι, ένας αριθμός με ακέραιο και δεκαδικό μέρος, έχει ψηφία υψωμένα σε θετικές και αρνητικές δυνάμεις της βάσης 10. Με την ίδια λογική μπορούμε να υπολογίσουμε την αξία ενός αριθμού (η οποία είναι ένας αριθμός σε δεκαδικό σύστημα) σε συστήματα με διαφορετική βάση από το 10 (π.χ. στο δυαδικό με βάση το 2, ή το δεκαεξαδικό με βάση το 16). Ο εκάστοτε αριθμός θα μετατραπεί έτσι στον αντίστοιχο στο δεκαδικό σύστημα, που είναι πιο κατανοητό από τους περισσότερους. Ακολουθούν τέτοια παραδείγματα στο δυαδικό σύστημα που ακολουθεί. Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιείται στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Στο σύστημα αυτό οι αριθμοί γράφονται μόνο με τα ψηφία 0 και 1 Οι 10 πρώτοι φυσικοί στο δυαδικό σύστημα γράφονται: Παραδείγματα: Ο αριθμός του δυαδικού συστήματος είναι ο αριθμός 74 του δεκαδικού συστήματος και αυτό το βρίσκουμε ως εξής:

20 = = = Ο αριθμός 41 του δεκαδικού συστήματος είναι ο αριθμός του δυαδικού συστήματος και αυτό το βρίσκουμε ως εξής: 41 = , 20 = , 10 = , 5 = , 2 = , (41 = = ). 1 = Στην εικόνα φαίνεται ένας πρόδρομος των σύγχρονων υπολογιστών. Πρόκειται για την Αναλυτική μηχανή του Άγγλου εφευρέτη Charles Babbage ( ) Ο Κώδικας Morse Ο Samuel F. Morse ( ), δημιουργός του ομώνυμου κώδικα, ξεκίνησε ως ζωγράφος και κατέληξε εφευρέτης για βιοποριστικούς λόγους. Ο Morse αξιοποίησε τη δυνατότητα μετάδοσης ηλεκτρικών σημάτων μικρής και μεγάλης διάρκειας (τελείες και παύλες) σε μεγάλες αποστάσεις μέσω καλωδίων. Το ενδιαφέρον του Morse για τον τηλέγραφο ξεκίνησε το 1832 και η πρώτη επίδειξη τηλεγραφικού συστήματος έγινε το Το δημιούργημα του Morse ήταν ένας μηχανισμός αποστολής και λήψης ηλεκτρικών σημάτων καθώς και ένα αλφάβητο, το οποίο σε κάθε ψηφίο αντιστοιχίζει έναν συνδυασμό από τελείες και παύλες. Το πρώτο μήνυμα στάλθηκε με τηλέγραφο στις 24 Μαΐου 1844, από τη Βαλτιμόρη στην Ουάσιγκτον και έλεγε "Θαυμαστά τα έργα του Κυρίου". Το 1861, η Ανατολική και η Δυτική Ακτή των Η.Π.Α. συνδέθηκαν με τηλεγραφικά καλώδια. Η εκμάθηση του κώδικα δεν είναι εύκολη. Τα σύμβολά του αποτελούνται από συνδυασμούς δύο μόνο στοιχείων. Αυτά τα στοιχεία είναι παλμοί μικρής και παλμοί

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Συχνά τα Μαθηματικά χρησιμοποιούνται ως ένα «εργαλείο» προκειμένου να ανιχνευθεί η «εξυπνάδα» του κάθε ανθρώπου, να διαφοροποιηθούν οι μαθητές μεταξύ τους σε

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών. Ιστορία των Μαθηματικών ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 21.02.11 Χ. Χαραλάμπους Μεσοποταμία Αίγυπτος 3000 1000 π.χ. Αίγυπτος: ο πάπυρος του Rhind ~1650 π.χ. Αγοράσθηκε από τον Σκωτσέζο Rhind το 1858 Αίγυπτος: ο πάπυρος της Μόσχας ~ 1600

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αριθμητικά συστήματα 123, 231, 312 Τι σημαίνουν; Τι δίνει αξία σε κάθε ίδιο ψηφίο; Ποια είναι η αξία του κάθε ψηφίου; Αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Πρόγραµµα Από το φτερό και το κοντύλι..ως τον Ηλεκτρονικό Υπολογιστή

Εκπαιδευτικό Πρόγραµµα Από το φτερό και το κοντύλι..ως τον Ηλεκτρονικό Υπολογιστή ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΙΑΝΤΕΙΟΣ ΗΜΟΣΙΑ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΑΤΑΛΑΝΤΗΣ Εκπαιδευτικό Πρόγραµµα Από το φτερό και το κοντύλι..ως τον Ηλεκτρονικό Υπολογιστή Κείµενο: Μαρδίτσα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Greek Braille Code. Περιεχόμενα

Greek Braille Code. Περιεχόμενα Greek Braille Code Περιεχόμενα Ελληνικό αλφάβητο...2 Δίφθογγοι...6 Αριθμοί...8 Σημεία στίξης...10 Τόνοι...12 Μαθηματικά Μενεΐδη...15 Μαθηματικά Nemeth...17 Braille σύμβολα...20 Διάφορα σύμβολα...21 Αγγλικό

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο μάθημα της Ιστορίας

Εργασία στο μάθημα της Ιστορίας Εργασία στο μάθημα της Ιστορίας Αυγερίκος Γιώργος Α 1 Γυμνασίου ΣΟΥΜΕΡΙΟΙ Οι Σουμέριοι ήταν αρχαίος ιστορικός λαός, εμφανίστηκαν στην περιοχή μεταξύ 6000 και 4000 π.χ. και ονόμαζαν τους εαυτούς τους, Εμ-ε-γκιρ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω:

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: - «Όταν κανείς επιθυµεί να ξέρει να διαιρεί οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης

Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης Β1.1 Αναπαράσταση Δεδομένων και Χωρητικότητα Μονάδων Αποθήκευσης Τι θα μάθουμε σήμερα: Να αναφέρουμε τον τρόπο αναπαράστασης των δεδομένων (δυαδικό σύστημα) Να αναγνωρίζουμε πώς γράμματα και σύμβολα από

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1

Συστήματα αρίθμησης. = α n-1 *b n-1 + a n-2 *b n-2 + +a 1 b 1 + a 0 όπου τα 0 a i b-1 Συστήματα αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1402 = 1000 + 400 +2 =1*10 3 + 4*10 2 + 0*10 1 + 2*10 0 Γενικά σε ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το b N, ένας ακέραιος αριθμός με n ψηφία παριστάνεται ως:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες

Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες Αριθμητικά Συστήματα Κώδικες 1.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Ένα αριθμητικό σύστημα ορίζει ένα σύνολο τιμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μίας ποσότητας. Ποσοτικοποιώντας τιμές και αντικείμενα και

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014 ΑΡΧΑΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΟΥΣ ΣΕ ΟΣΤΡΑΚΑ ΠΗΛΙΝΩΝ ΑΓΓΕΙΩΝ Μεσοποταμία-Σουμέριοι Μέσα 4ης χιλιετίας π.χ. Σφηνοειδής γραφή Τρόπος γραφής που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 : Το ταξίδι των λέξεων στον χρόνο

Ενότητα 1 : Το ταξίδι των λέξεων στον χρόνο Αρχαία Ελληνική Γλώσσα Α Γυμνασίου Ενότητα 1 : Το ταξίδι των λέξεων στον χρόνο 1 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Διαφάνειες Οι Έλληνες και η ελληνική γλώσσα 3-4 Η καταγωγή του ελληνικού αλφαβήτου 5-7 Οι διάλεκτοι της Αρχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

H Εξέλιξη των υπολογιστών

H Εξέλιξη των υπολογιστών H Εξέλιξη των υπολογιστών January 2014 Γιάννης Συρίγος Κοντογιάννη Μαρία Κωνσταντίνα Μαυροείδη Ανδριάνα Τζανίδου Γιώργος Παπαδάκος 1. Ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων 2. Ανακαλύφθηκε σε ναυάγιο ανοιχτά του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΤΑΞΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΤΑΞΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΤΑΞΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Δείκτες Επιτυχίας ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ Δείκτες Επάρκειας ΑΡΙΘΜΟΙ & ΠΡΑΞΕΙΣ Επίπεδο Δραστηριοτήτων Μαθηματικές Πρακτικές Αρ1.1 Απαγγέλλουν, διαβάζουν, γράφουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής. Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Μαθήματα 6 και 7 Αναπαράσταση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή. 1 Στέργιος Παλαμάς

Τμήμα Λογιστικής. Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Μαθήματα 6 και 7 Αναπαράσταση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή. 1 Στέργιος Παλαμάς ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Τμήμα Λογιστικής Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Μαθήματα 6 και 7 Αναπαράσταση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή 1 1. Αριθμοί: Το Δυαδικό Σύστημα Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Λούντβιχ Βιτγκενστάιν

Λούντβιχ Βιτγκενστάιν Λούντβιχ Βιτγκενστάιν Ο τάφος του Βίτγκεντάιν στο Κέιμπριτζ κοσμείται από το ομοίωμα μιας ανεμόσκαλας: «Οι προτάσεις μου αποτελούν διευκρινίσεις, όταν αυτός που με καταλαβαίνει, τελικά τις αναγνωρίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά Mαρία Πριοβόλου Οδηγός προετοιμασίας για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Μαθηματικά Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ 1 ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΜΕΡΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2012 - ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2013 Α 3 2 MNEIA Μάγια 1. Παπαχρήστου Μάριος Κινέζοι 1. Παπαδάκης Δημήτρης 2. Πλαφουντζής Σπύρος Αιγύπτιοι 1. Παναγοπούλου Μαρία 2. Πολυχρονοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 20 Huffman codes 1 / 12 Κωδικοποίηση σταθερού μήκους Αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποίηση σταθερού μήκους δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό

[2] Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα. Τύποι δεδομένων. Μπιτ. επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό Υπολογιστικά συστήματα: Στρώματα 1 ΕΠΛ 003: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ επικοινωνία εφαρμογές λειτουργικό σύστημα προγράμματα υλικό δεδομένα Αναπαράσταση δεδομένων 2 Τύποι δεδομένων Τα δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Τα συμπτώματα που προειδοποιούν για τυχόν μαθησιακές δυσκολίες στην αριθμητική είναι τα εξής:

Τα συμπτώματα που προειδοποιούν για τυχόν μαθησιακές δυσκολίες στην αριθμητική είναι τα εξής: ...δεν σημαίνει χαμηλή νοημοσύνη Ονομάζεται δυσαριθμησία και είναι η μαθησιακή δυσκολία στα μαθηματικά. Τα παιδιά που παρουσιάζουν δυσκολίες στα μαθηματικά, δε σημαίνει πως έχουν χαμηλή νοημοσύνη. Της

Διαβάστε περισσότερα

C Y M B ȦIJȠıIJȠȚȤİȚȠșİıȓĮ Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ %ȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ (.ǻ2ȉ(,ȉ =+7+ ĭȧijƞıijƞțȥițƞșiıȓį Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ

C Y M B ȦIJȠıIJȠȚȤİȚȠșİıȓĮ Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ %ȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ (.ǻ2ȉ(,ȉ =+7+ ĭȧijƞıijƞțȥițƞșiıȓį Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ www.ziti.gr www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια υπεύθυνη και εμπεριστατωμένη προσέγγιση της ύλης των δύο τελευταίων τάξεων Εʹ και Στʹ του Δημοτικού σχολείου, στα βασικά μαθήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή

Κεφάλαιο 2. Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον. Υπολογιστή ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 2 Οργάνωση και διαχείριση της Πληροφορίας στον Υπολογιστή Δεδομένα και Εντολές πληροφορία δεδομένα εντολές αριθμητικά δδ δεδομένα κείμενο εικόνα Επιλογή Αναπαράστασης

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 1: Εισαγωγή

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 1: Εισαγωγή K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 1: Εισαγωγή Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πληροφορίες για το μάθημα Περιεχόμενα 1 Πληροφορίες για το μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα