ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς..

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ» ..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς.."

Transcript

1 1 ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ»..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς.. (Αισχύλος, Προμηθέας Δεσμώτης) Τα μέλη της ομάδας που ασχολήθηκαν με την εκπόνηση αυτής της εργασίας είναι οι μαθητές της α γυμνασίου Εμμανουήλ-Γιώργος Αρχοντάκης, Ιωάννα Παπιδάκη, Εμμανουέλλα Τσάλου και Τζίνα Χανιωτάκη. Την επίβλεψη είχε η καθηγήτρια Ειρήνη Παπαθανασίου. Η εργασία αυτή πραγματοποιήθηκε κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους Εισαγωγή Τα μαθηματικά πιστεύουμε ότι είναι ένα από τα πιο σημαντικά πολιτιστικά συστατικά κάθε σύγχρονης κοινωνίας. Η επιρροή τους πάνω σε άλλα πολιτιστικά στοιχεία είναι τόσο θεμελιώδης και διάχυτη, που επιβεβαιώνει την άποψη πως οι «πιο σύγχρονοι» τρόποι ζωής μας δεν θα υπήρχαν χωρίς τα μαθηματικά. Η τέχνη και των πιο απλών λογαριασμών είναι αρκετή απόδειξη. Αυτό που πραγματικά είναι αναπόφευκτο, είναι ότι κάθε μορφή ζωής που δημιουργεί πολιτισμό και τον αναπτύσσει θα δημιουργεί και μαθηματικά. Όλοι οι πολιτισμοί που

2 2 έχουν ανακαλυφθεί και μελετηθεί στον πλανήτη μας έχουν αναπτύξει κάποια μορφή μέτρησης. Ο άνθρωπος δεν παρουσιάστηκε προικισμένος από τα φύση με τη γνώση ενός αριθμητικού συστήματος ή κάποιων γεωμετρικών νόμων. Όλα αυτά έπρεπε να τα επινοήσει και έπρεπε να υπάρξει κάποιο κίνητρο για να τα επινοήσει. Μια πολύ γνωστή σχολή μαθηματικής σκέψης υποστηρίζει ότι όλα τα μαθηματικά πρέπει να θεμελιώνονται πάνω στους αριθμούς με τους οποίους μετράμε τους 1,2,3, κ.ο.κ. που είναι γνωστοί ως φυσικοί αριθμοί. Βέβαια, από εξελικτική άποψη, αυτή η τοποθέτηση είναι δικαιολογημένη, αφού όλα τα στοιχεία ανθρωπολογικά και ιστορικά δείχνουν ότι η μέτρηση και, σε τελευταία ανάλυση, τα αριθμητικά συστήματα, σαν εργαλεία μέτρησης, αποτελούν το πρώτο στάδιο εισαγωγής του μαθηματικού στοιχείου σε όλους τους πολιτισμούς που δεν έχουν επηρεαστεί από διάχυση (Διάχυση : ένας πολιτισμός που απορροφά ή δημιουργεί πάνω σ έναν άλλο,παίρνοντας από τον τελευταίο πολιτιστικά στοιχεία). Οι ανθρωπολόγοι έχουν βρει κάποια μορφή μέτρησης σε όλους του πρωτόγονους πολιτισμούς, ακόμα και στους πιο πρωτόγονους απ αυτούς που έχουν παρατηρηθεί, έστω και αν αυτή περιορίζεται σε λίγες μόνο αριθμητικές λέξεις. Οι αριθμητικές λέξεις είναι συνήθως ανάμεσα στους πρώτους λεκτικούς τύπους μια γραπτής γλώσσας. «Τόσο στη Σουμερία όσο και στην Αίγυπτο, υπάρχουν κείμενα, προγενέστερα των πιο παλιών σωζόμενων δειγμάτων γραφής, που χρησιμοποιούν ένα συμβατικό σύστημα αρίθμησης. Πάντως πέρασαν πολλά εκατομμύρια χρόνια για να φτάσει ο προϊστορικός άνθρωπος στην αρίθμηση με τα δάκτυλα και μετά χρειάστηκαν πολλές χιλιετίες για την γραφή και ονομασία απλών φυσικών αριθμών και μεγάλες προσπάθειες για να εκτελούν αριθμητικές πράξεις. Στην πραγματικότητα, η μέτρηση είναι μια διαδικασία, κατά την οποία καθορίζεται μια αντιστοιχία ανάμεσα στα αντικείμενα που μετράμε και σε ορισμένα σύμβολα, προφορικά ή γραπτά. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι εκείνα των φυσικών αριθμών 1,2,3, κλπ. Θα μπορούσαν, όμως, να χρησιμοποιηθούν και οποιαδήποτε άλλα σύμβολα, όπως χαραγές πάνω σε ξύλο, κόμποι σε σπάγκο ή σημάδια πάνω σε χαρτί, όπως

3 3 Όλα αυτά επαρκούν για απλές μετρήσεις. Η μέτρηση, λοιπόν, είναι μια συμβολική διαδικασία που χρησιμοποιεί μόνο ο άνθρωπος, το μοναδικό ζώο δημιουργός συμβόλων. Όσο καιρό τα σύμβολα για τους αριθμούς ήταν μόνο προφορικά, δε φαίνεται να υπήρξε μεγάλη πρόοδος στην εξέλιξη του αριθμού. Δεν εννοούμε, βέβαια, ότι δεν εισαχθήκανε λέξεις για τη μέτρηση μεγάλου αριθμού αντικειμένων ή ότι δεν ήταν δυνατόν να εισαχθούν, αφού σε ορισμένους πολιτισμούς αυτό συνέβη. Η μεγάλη, όμως, πρόοδος στην εννοιολογική υπόσταση του αριθμού πραγματοποιήθηκε με την εισαγωγή ιδεογραφημάτων. Αυτό δεν πρέπει να εκπλήσσει, αφού η απλή αριθμητική, δύσκολα μπορεί να αναπτυχθεί χωρίς τέτοια σύμβολα. Στη σύγχρονη άλγεβρα, τα αριθμητικά συστήματα παίρνουν πολυποίκιλες μορφές ανάλογα με τις ανάγκες της μαθηματικής θεωρίας ή των νέων εφαρμογών. Πολύ γενικά (και προσεγγιστικά), θεωρούμε ότι «Αριθμητικό σύστημα» είναι κάθε σύνολο τα στοιχεία του οποίου μπορούν να συνδυαστούν με δύο πράξεις, που συμβολίζονται ως + και x και ικανοποιούν ορισμένες στοιχειώδεις ιδιότητες. Αυτές οι ιδιότητες είναι ανάλογες με αυτές που ικανοποιεί η πρόσθεση (+) και ο πολλαπλασιασμός (x) της κοινής αριθμητικής της αριθμητικής, για παράδειγμα, των φυσικών ή των πραγματικών αριθμών. Δύο λόγια για τη γραφή. Η γραφή γινόταν σε παπύρους, πήλινες πλάκες και πολύ αργότερα σε χαρτί με πρώτους τους Κινέζους από τον 2 ο μ.χ. αιώνα. Οι Άραβες δημιούργησαν, το 794 μ.χ., χαρτοποιείο στη Βαγδάτη, ενώ στην Ευρώπη δημιουργήθηκε το Κάτι σαν περιεχόμενα Στην ανάπτυξη της εργασίας μας κάνουμε μια σύντομη ιστορική αναδρομή σε συστήματα αρίθμησης του παρελθόντος. Στη συνέχεια, αναφέρουμε ποια από αυτά τα συστήματα αρίθμησης χρησιμοποιούμε σήμερα, που και γιατί. Αντί προλόγου.. Όλες, σχεδόν, οι πρωτόγονες φυλές επινόησαν, σε κάποιο βαθμό, λέξεις για τους αριθμούς. Μόνο, όμως, όταν οι αρχαίοι πολιτισμοί, όπως ο Σουμεριοβαβυλωνιακός, ο Κινέζικος και ο πολιτισμός των Μάγια, ανέπτυξαν το εμπόριο, την αρχιτεκτονική, τη φορολογία και άλλα στοιχεία «πολιτισμού», τότε μόνο επινοήθηκαν αριθμητικά συστήματα.

4 4 Ας δούμε τώρα μερικά αριθμητικά συστήματα, από την αρχαιότητα ως σήμερα, που ήταν και είναι σημαντικά στην εξέλιξη καλλιέργεια ανάπτυξη των μαθηματικών. Τ α µ α θ η µ α τ ι κ ά σ τ ο υ ς Σο υ µ έ ρ ι ο υ ς Ήδη απ' την 8η χιλιετία π.χ. οι κάτοικοι της περιοχής που έμελλε να κατοικήσουν οι Σουμέριοι, (Μεσοποταμία) χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα αριθμητικής καταγραφής βασισμένο σε μικρές πήλινες "μάρκες" (tokens), τουλάχιστον όσον αφορά στην καταμέτρηση γεωργικών προϊόντων. Φαίνεται λοιπόν ότι, βρισκόμαστε μπροστά σ' ένα υψηλό επίπεδο μαθηματικών γνώσεων που βασίζεται σε ένα αριθμητικό σύστημα µε βάση τον αριθµό 60. Έχουν διατυπωθεί πολλές εικασίες σχετικές με την προέλευση της περίεργης βάσης 60 στη Σουμερία. Μια από αυτές αναφέρεται στην επίδραση της Κίνας (όπου επίσης υπήρχε η βάση 60). Σύμφωνα με τον Νόιγκεμπάουερ: «Στα οικονομικά κείμενα, πρωτεύουσα σημασία είχαν μονάδες βάρους, που μετρούσαν το ασήμι. Αυτές οι μονάδες φαίνεται καθορίστηκαν από πολύ παλιά σε αναλογία 60 προς 1, για τις βασικές μονάδες «mana» (η ελληνική μνα) και «Shekel», ο σίγλος. Παρ όλο που οι λεπτομέρειες αυτού του γεγονότος δεν μπορούν να περιγραφούν με ακρίβεια, δεν πρέπει να εκπλήσσει ότι η ίδια αναλογία βρίσκεται και σε άλλες μονάδες, αλλά και στους ίδιους τους αριθμούς γενικότερα. Μ άλλα λόγια, κάθε εξηκοστό θα μπορούσε να ονομάζεται «σίγλος», λόγω της εξοικείωσης που υπήρχε μ αυτή την έννοια από τις οικονομικές συναλλαγές. Έτσι, η «εξηνταδική» διάταξη έγινε, τελικά, το κύριο αριθμητικό σύστημα». Δύο σύμβολα, η απλή κατακόρυφη σφήνα που παριστάνει τη µονάδα (1) και η διπλή σφήνα που παριστάνει τη δεκάδα (10), αποτελούν τα μοναδικά "ψηφία" του συστήματος αυτού το όποιο ήταν θεσιακό, δηλ. η αξία ενός ή περισσότερων ψηφίων καθορίζονταν απ' τη θέση που αυτό κατείχε μέσα σ' ένα αριθμό. Οι αριθμοί απ' το 1 ως το 59 σχηματίζονται µε συνδυασμό των δύο βασικών συμβόλων και αριθμοί απ' το 60 και πάνω γράφονται σαν δυνάμεις του 60. Αυτό είναι εύκολο να το κατανοήσουμε στο δικό µας δεκαδικό σύστημα, το οποίο είναι επίσης θεσιακό. Για παράδειγμα στον αριθμό 1858, το πρώτο "8" αναφέρεται σε εκατοντάδες, ενώ το δεύτερο "8" σε μονάδες. Όμοια κάθε ψηφίο φανερώνει μια αξία πολλαπλάσια κάποιας δύναµης του δέκα (10), ανάλογα µε τη θέση που κατέχει μέσα σ' ένα αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει µε τους σουμεριακούς αριθμούς, μόνο που η βάση είναι ο αριθμός 60. Μάλιστα ένα σύμβολο μπορεί να αναφέρεται και σε αρνητικές δυνάμεις του 60 (π.χ για το 1/600) οι οποίες χρησίμευαν όπως και σήμερα για τις υποδιαιρέσεις

5 5 της μονάδας, αλλά και στην τέλεση της πράξης της διαίρεσης (η διαίρεση α / β ισοδυναμούσε µε τον πολλαπλασιασμό α β-1). Για τα αριθμητικά σύμβολα, οι Σουμέριοι χρησιμοποιούσαν καλάμια με κυκλικά άκρα δύο μεγεθών. Το σύμβολο της μονάδας γινόταν με πίεση του μικρότερου άκρου από πλάγια θέση, παράγοντας κάτι σαν μισοφέγγαρο, ενώ για το συμβολισμό του 10 πίεζαν από κάθετη θέση, με αποτέλεσμα να σχηματίζεται κάτι σαν πανσέληνος. Ιερογλυφικά της Αρχαίας Αιγύπτου Τα Αιγυπτιακά Ιερογλυφικά είναι τα αρχαιότερα εικονιστικά σύμβολα που χρησιμοποιούνταν στην αρχαία αιγυπτιακή γραφή. Η γραφή αυτή αποκρυπτογραφήθηκε από τον Ζαν- Φρανσουά Σαμπολιόν το 1822, ο οποίος χρησιμοποίησε την περίφημη Στήλη της Ροζέττας. Τα ιερογλυφικά είναι ιδεογράμματη γραφή που χρονολογείται τουλάχιστον από το 3000 π.χ. Το αρχαίο αιγυπτιακό αριθμητικό σύστημα βασιζόταν στον αριθμό δέκα αλλά δεν ήταν ένα πλήρες ανεπτυγμένο δεκαδικό σύστημα. Υπήρχαν διαφορετικά ιερογλυφικά σύμβολα για τις μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δέκα χιλιάδες και ένα εκατομμύριο. Όταν ήθελαν να γράψουν, π.χ. το δύο ή το εφτά απλά επαναλάμβαναν το σύμβολο της μονάδας όσες φορές χρειαζόταν. Το ίδιο ίσχυε και για τις δεκάδες, χιλιάδες και ούτω καθ' εξής. Οι αριθμοί μερικές φορές γράφονταν και λεκτικά,π.χ. «είκοσι» αντί 20, όπως και σήμερα, αλλά αυτό συνηθιζόταν κυρίως μόνο για το ένα και το δύο.

6 6 Επίσης, το αριθμητικό σύστημα είναι «προσθετικό» όπως καταλαβαίνουμε και από τα παραδείγματα που ακολουθούν. Παραδείγματα: Ο αριθμός 435 στα αιγυπτιακά ιερογλυφικά και ο αριθμός = Το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης Το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης προέρχεται από τους Σουμέριους και στη συνέχεια από τους Βαβυλώνιους, δηλαδή χρονολογείται πριν από το 2100 π.χ. Οι Βαβυλώνιοι σοφοί χρησιμοποιούσαν μόνο δύο σύμβολα (!) : τη «σφήνα» και το «καρφί». Τα άλλα 57 απαραίτητα σύμβολα (η σύλληψη του μηδενός ως αριθμού και η απεικόνισή του ως συμβόλου δεν είχε επέλθει ακόμα) τα δημιουργούν από αυτά τα δύο σύμβολα. Το 9, για παράδειγμα, συμβολιζόταν με ισάριθμες σφήνες σε τρεις τριάδες, ενώ ο αριθμός 19 γραφόταν σαν ένα καρφί και δεξιά του εννέα σφήνες σε τρεις τριάδες. To 59 με πέντε καρφιά και εννέα σφήνες. Φτάσαμε τώρα στη βάση του εξηνταδικού συστήματος. Το 60 ήταν πάλι ένα καρφί. Ο αριθμός 69 δεν γραφόταν με έξι σφήνες και εννέα καρφιά, αλλά με ένα καρφί του 60 και εννέα καρφιά του 1 δίπλα του. Πως το ξεχώριζαν λοιπόν; Όπως και εμείς σήμερα: το μόνο που διαφοροποιούσε αυτό το καρφί του 60 από τα διπλανά καρφιά του 1 ήταν η θέση του. Ένα πρόβλημα το οποίο παρουσιάζεται είναι ότι ο αριθμός 61 αναπαρίσταται με δύο «καρφιά», όπως και ο αριθμός 2. Για να το λύσουν αυτό το πρόβλημα οι Βαβυλώνιοι ένωναν τα «καρφιά» που αναπαριστάνουν μονάδες σε συμπλέγματα όπου το ένα «καρφί» ακουμπούσε το άλλο ώστε να αποτελούν ενιαίο σύμβολο.

7 7 Οι Βαβυλώνιοι έγραφαν με καλαμένια γραφίδα πάνω σε πίνακες από μαλακό πηλό, τους οποίους, στη συνέχεια, έψηναν ή ξέραιναν στον ήλιο. Ο λόγος επιλογής του συστήματος αυτού από τους Βαβυλώνιους εικάζεται ότι είναι η προσπάθεια ενοποίησης των διαφορετικών συστημάτων αρίθμησης, που υπήρχαν εκείνη την εποχή ( με βάση το 5 και το 12). Άλλοι έχουν την άποψη ότι η βάση 60 καθιερώθηκε από την αστρονομία και άλλοι ότι έχει επιλεγεί για βάση ο αριθμός 60 επειδή έχει πολλούς διαιρέτες. Ο Νόιγκεμπάουερ γράφει ότι μια πήλινη πλάκα με εκατοντάδες αστρονομικούς αριθμούς, γραμμένους στο εξηκονταδικό σύστημα, μπορούσε να έχει στο κάτω άκρο της μια σημείωση με το όνομα του γραφέα και την ημερομηνία γραφής, στο δεκαδικό, όμως, σύστημα. Σημασία έχει ότι μέχρι σήμερα έχει επικρατήσει το εξηνταδικό σύστημα: για τη μέτρηση των γωνιών 1 ο (μοίρα) = 60 (πρώτα λεπτά) και 1 = 60 (δεύτερα λεπτά), του χρόνου 1 ώρα = 60 (πρώτα λεπτά) και 1 = 60 (δεύτερα λεπτά). Σφηνοειδής γραφή της αρχαίας Μεσοποταμίας Η σφηνοειδής γραφή υπολογίζεται ότι εφευρέθηκε από τους Σουμέριους στη Μεσοποταμία, όμως άγνωστο πότε. Κατόπιν τη δέχθηκαν και την τροποποίησαν οι Ασσύριοι, οι Βαβυλώνιοι, οι Ελαμίτες, οι Πέρσες, οι Χιττίτες Διατηρήθηκε μέχρι το 1 ον μ.χ. αι. Η αποκρυπτογράφηση της έγινε από τους Γκρότεφεντ (1802) και Ρώλινσον (1846). Η σφηνοειδή γραφή ονομάστηκε έτσι, επειδή τα γράμματά της και οι αριθμοί είναι ως οι σφήνες (καρφιά) και όχι γραμμές ή εικόνες πραγμάτων, όπως συμβαίνει στις άλλες παλιές και κυρίως τις ιβδικές γραφές. Το σύστημα αρίθμησης της ήταν εξηκονταδικό, με σύμβολα για τις δεκάδες. Παράδειγμα αριθμού στη σφηνοειδή γραφή: 47 =

8 8 Στην εικόνα φαίνεται η σπουδαία πινακίδα Plimton 322 η οποία περιέχει πλήθος αριθμών γραμμένων με συστηματικό τρόπο. Οι αριθμοί στο σύστημα των Μάγιας Το πιο αξιοθαύμαστο γεγονός είναι ότι οι Μάγια ήταν ο πρώτος λαός του κόσμου που χρησιμοποίησε τον αριθμό «0», αιώνες πριν χρησιμοποιηθεί στην Ευρώπη στην οποία τον έφεραν οι Άραβες, που τον είχαν μάθει από τους Ινδούς. Αυτή η αφηρημένη αντίληψη, τόσο συνηθισμένη για μας σήμερα, αποτελεί ένα μεγάλο κατόρθωμα και επέτρεψε στους Μάγια να φτιάξουν ένα από τα καλύτερα αριθμητικά συστήματα όλων των εποχών. Η χρήση του «0» και το εικοσαδικό σύστημα που χρησιμοποιούσαν (αντί δεκαδικό όπως το δικό μας), τους επέτρεπαν να κάνουν πολύπλοκους λογαριασμούς. Παρίσταναν τη μονάδα με μία τελεία (.) και την αξία 5 με ένα ραβδί (-). Τον αριθμό 0 τον αναπαρίσταναν μ ένα κοχύλι ή ένα λουλούδι. Σε κάποιες σημαντικές περιπτώσεις, αναπαρίσταναν τους αριθμούς με ανθρώπινα κεφάλια. Η γραφή των αριθμών μέχρι τον 19 γινόταν με «προσθετικό» τρόπο. Από εκεί και πέρα το σύστημα είχε βάση το 20. Π.χ. 74 = 3 x Οι αριθμοί γράφονταν σε στήλες που διαβάζονταν από κάτω προς τα πάνω. Με αυτό τον τρόπο, δημιουργούσαν ένα σύστημα «κατά θέσεις» ή τοποθέτησης για την σημειογραφία των αριθμών, που τους επέτρεπε να γράφουν μεγάλους αριθμούς. Στο δικό μας αριθμητικό σύστημα, τοποθετούμε τις δεκάδες αριστερά από τις μονάδες, πιο αριστερά τις εκατοντάδες, μετά τις χιλιάδες, κλπ. Με τον ίδιο τρόπο, οι Μάγια έγραφαν τις μονάδες (1 έως 19) στην κατώτερη σειρά, από πάνω τις εικοσάδες, πιο πάνω τις εικοσάδες εικοσάδων και ούτω καθ εξής. Το 0 το

9 9 χρησιμοποιούσαν με τον ίδιο τρόπο που το κάνουμε εμείς: σήμερα η τοποθέτηση ενός μηδενικού σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε τη μονάδα επί 10 ή επί 100 ή επί 1000, σύμφωνα με το ποσό αριστερά γράφουμε το 0. Οι Μάγια πολλαπλασίαζαν επί 20 ή 200 ή 2000, σύμφωνα με το πόσο ψηλά το έγραφαν. Το σύστημα είναι σχεδόν ίδιο με το δεκαδικό και, οπωσδήποτε, πιο απλό από το Ρωμαϊκό σύστημα, όταν πρόκειται για μεγάλους αριθμούς και πολύπλοκους λογαριασμούς. Για παράδειγμα, το τέσσερα σχηματίζεται από τέσσερις τελείες, το επτά από μια παύλα και δύο τελείες, και το δεκαεννέα από τρείς παύλες και τέσσερις τελείες 3 x x 1 = 19. Οι αριθμοί πάνω του 20 γράφονταν με την χρήση της θεσιακής σημειογραφίας, βάζοντας την μεγαλύτερη σε αξία μονάδα στο πάνω μέρος, για παράδειγμα: Το ακροφωνικό ή Ηρωδιανό σύστημα αρίθμησης Στην αρχαία Ελλάδα, κυρίως την κλασική εποχή, αναπτύχθηκε ένα σύστημα αρίθμησης το λεγόμενο ακροφωνικό, όπου το Δ συμβόλιζε το Δέκα. Την ακριβή περιγραφή του αριθμητηρίου την έδωσε ο Έλληνας γραμματικός Ηρωδιανός ( μ.χ) του οποίου μέχρι σήμερα φέρει το όνομα. Αριθμός Σύμβολο - Ονομασία 1 Ι - Ένα 5 Π - Πέντε 10 Δ - Δέκα 100 Η Ηεκατόν 1000 Χ - Χίλια Μ Μύρια Από κει και πέρα γίνεται συνδυασμός των συμβόλων. Για παράδειγμα το 50 συμβολίζεται με ένα Π το οποίο περιέχει ένα Δ, που σημαίνει 5 x 10.

10 10 Τότε η λέξη εκατό γραφόταν hεκατόν, γιατί το h(h) χρησιμοποιούνταν για την παράσταση της δασείας, αργότερα αντικαταστάθηκε από τη δασεία και το h(h) χρησιμοποιήθηκε για την παράσταση του μακρόχρονου ε (Ε) Επειδή τα γράμματα Π,Δ,Η,Χ,Μ που χρησιμοποιούνται για την παράσταση των αριθμών, είναι ακραία (αρχικά) γράμματα λέξεων, το σύστημα γραφής λέγεται ακροφωνικό. Για τους αριθμούς 50, 500, 5000, (πενταπλάσια των 10, 100, 1.000, ) χρησιμοποιούσαν τα: Δ,Η,Χ,Μ κάτω από το Π Για να γράψουν τους άλλους αριθμούς παραθέτανε ή επαναλαμβάνανε τα κατάλληλα σύμβολα από αυτά μέχρι να σχηματιστεί προσθετικά ο αριθμός. Π.χ ο αριθμός 478 γράφεται: Το κινεζικό σύστημα αρίθμησης Τέσσερα κλασικά έργα διασώζονται από την αρχαία Κίνα, τα οποία μας βοηθούν να καταλάβουμε τα κινέζικα μαθηματικά πριν από το 1000 π.χ.. Το πρώτο είναι το Σου-Ζινγκ το οποίο περιλαμβάνει αρκετά πολύπλοκους αστρονομικούς υπολογισμούς που έγιναν στην αρχαία Ελλάδα. Το Ι-Ζινγκ, το δεύτερο κατά σειρά, δεν είναι στην πραγματικότητα ένα βιβλίο μαθηματικών, αλλά ένα βιβλίο που χρησιμοποιούνταν από τους Κινέζους επί χιλιετίες για να μαντέψουν ποια πορεία δράσης

11 11 έπρεπε να ακολουθήσουν σε σημαντικά θέματα. Όσον αφορά τα εργαλεία που χρησιμοποιούσαν για τους υπολογισμούς τους ο άβακας ήταν το πρώτο, όπου ακόμα και στις μέρες μας έχει σχεδόν καθολική χρήση. Η επινόηση του άβακα ήταν Ελληνική, όπως άλλωστε και το όνομα Άβαξ. Κάθε σύρμα έχει 5 σφαίρες κάτω από την διαχωριστική βέργα και 2 σφαίρες από πάνω. Τα σφαιρίδια κάτω από τη διαχωριστική βέργα του άβακα έχουν αξία μια μονάδα, ενώ τα από πάνω έχουν αξία 5 μονάδες. Οι Κινέζοι έκαναν νοητικά τους υπολογισμούς και μετά χρησιμοποιούσαν ένα υπολογιστικό πινάκιο για την καταγραφή των αποτελεσμάτων. Το υπολογιστικό πινάκιο, από το οποίο προήλθε ο άβακας, ήταν μια επίπεδη ξύλινη επιφάνεια με ζωγραφισμένες γραμμές που σχημάτιζαν ένα ορθογώνιο με τετράγωνα. Ράβδοι μήκους περίπου δέκα εκατοστών τοποθετούνταν σε διαφορετικά τετράγωνα για να συμβολίζουν τις μονάδες, ενώ τα ίδια τα τετράγωνα συμβολίζουν μεγαλύτερους αριθμούς. Χρησιμοποιούνταν δύο είδη ράβδων. Κόκκινες για τους θετικούς και μαύρες για τους αρνητικούς. Υπάρχουν αναφορές ότι οι Κινέζοι μαθηματικοί ήταν εξαιρετικά επιδέξιοι με τους πίνακες αρίθμησης και μπορούσαν γρήγορα να εκτελέσουν ιδιαίτερα πολύπλοκες πράξεις. Οι πρώτες μαθηματικές έννοιες των Κινέζων χρονολογούνται από πολύ παλιά. Ήδη απ τον 13ο αιώνα π.χ οι Κινέζοι είχαν σύστημα δεκαδικής αρίθμησης, ανάλογο μ εκείνο που υπάρχει σήμερα. Ακόμα, απ τον 3 ο π.χ. αιώνα οι Κινέζοι έδωσαν μια πρωτότυπη λύση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. Επίσης, υπολόγισαν κατά προσέγγιση τον αριθμό π κι έλυσαν τις εξισώσεις πρώτου βαθμού. Η χρήση όμως του μηδενικού άρχισε τον 8 ο αιώνα μ.χ και κατά το 12 ο με 13 ο αιώνα μ.χ η κινέζικη άλγεβρα γνώρισε μεγάλη ανάπτυξη. Τα quipu των Ίνκας Οι Ίνκας δεν είχαν σύστημα γραφής των αριθμών. Όποτε χρειάζονταν να καταγράψουν αριθμούς ή άλλες πληροφορίες, χρησιμοποιούσαν ένα πολύπλοκο σύστημα κόμπων σε σπάγκους, που ονομάζεται quipu. Π.χ. η καταγραφή του 26 αποτελείται από 6 κόμπους στο ελεύθερο άκρο ενός σπάγκου και άλλους 2 κόμπους λίγο πιο μέσα.

12 12 Οι αριθμοί στα Αραβικά Οι αριθμοί στα Σανσκριτικά Η γραφή των αριθμών στο Ιωνικό αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης και η χρήση τους σε κείμενα αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών Μια σημαντική κατάκτηση στα αριθμητικά συστήματα ήταν η επινόηση από τους Έλληνες του αλφαβητικού συστήματος αρίθμησης. Από τον 5 ο π.χ. αιώνα, αλλά κυρίως από τους χρόνους των διαδόχων του Μ. Αλεξάνδρου, αρχίζει να διαδίδεται στις Ελληνικές πόλεις αυτό το νέον αριθμητικό σύστημα όπου είναι πολύ ικανοποιητικό για τις καθημερινές τους ανάγκες και τις οικονομικές τους συναλλαγές. Ακόμα και οι επιστήμονες, όπως ο Αρχιμήδης, το χρησιμοποιούσαν στους υπολογισμούς τους. Η ευκολία με την οποία το χρησιμοποιούσαν ήταν, ίσως, η αιτία της διατήρησής του στην Ανατολική Ρωμαϊκή αυτοκρατορία μέχρι τον 15 ο αιώνα. Συγκεκριμένα, φαίνεται πως ήταν καταλληλότερο για να χρησιμοποιείται στις καθημερινές ανάγκες από τα άκομψα ρωμαϊκά σύμβολα. Αξίζει να υπενθυμίσουμε ότι ο Γάλλος μαθηματικός Τάνερι εξοικειώθηκε με το ελληνικό αριθμητικό σύστημα, κάνοντας τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής, σύμφωνα με τον τρόπο που τις έκανε ο Αρχιμήδης στο Κύκλου Μέτρησης. Έτσι, διαπιστώθηκε ότι «υπήρχαν πρακτικά πλεονεκτήματα, που δεν υποπτευόταν πριν και ότι οι πράξεις χρειάζονταν λίγο περισσότερο χρόνο, σε σχέση με τα σύγχρονα αριθμητικά σύμβολα». Το σύστημα αυτό παρουσιάζει το πλεονέκτημα ότι, αποφεύγει την επανάληψη συμβόλων, όπως τη γνωρίσαμε στα άλλα αρχαία συστήματα. Έτσι προέκυψε μια συντόμευση της γραφής, που θα την αντιληφθούμε κατά τον σχηματισμό των αριθμών. Στο αλφαβητικό (Ιωνικό) σύστημα οι αριθμοί παριστάνονται με σύμβολα: 24 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου και 3 αρχαϊκά (φοινικικά) που είναι το δίγαμμα, το κόππα (Ϙ) και το σαμπί (Ϡ). Η αντιστοιχία μεταξύ των γραμμάτων και των αριθμών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα.

13 13 Σημερινή Ιωνική Σημερινή Ιωνική Σημερινή Ιωνική γραφή γραφή γραφή γραφή γραφή γραφή 1 Α α 10 Ι ι 100 Ρ ρ 2 Β β 20 Κ κ 200 Σ σ 3 Γ γ 30 Λ λ 300 Τ τ 4 Δ δ 40 Μ μ 400 Υ υ 5 Ε ε 50 Ν ν 500 Φ φ 6 ς 60 Ξ ξ 600 Χ χ 7 Ζ ζ 70 Ο ο 700 Ψ ψ 8 Η η 80 Π π 800 Ω ω 9 Θ θ 90 Ϙ Ϙ 900 Τ Ϡ, Αρχικά για τη γραφή των αριθμών χρησιμοποιούνταν τα κεφαλαία γράμματα και αργότερα τα μικρά. Υπάρχουν δύο τρόποι χρησιμοποίησης των γραμμάτων ως αριθμών. Με τον πρώτο τρόπο έβαζαν πάνω από το γράμμα μια οριζόντια παύλα και με το δεύτερο μια οξεία στο πάνω και δεξιό μέρος του αριθμού. Όπου, όμως, δεν υπήρχε σύγχυση ως προς τη γραφή των αριθμών και των γραμμάτων, οι οξείες παραλείπονταν. Όλοι οι αριθμοί οι μικρότεροι του γράφονταν με τρία το πολύ σύμβολα. Για να γράψουν αριθμούς μεγαλύτερους από το 999 χρησιμοποιούσαν διάφορα τεχνάσματα, τα οποία στηρίζονταν σε πολλαπλασιαστικές αρχές. Έτσι, για παράδειγμα, μια μικρή γραμμή κάτω αριστερά από το γράμμα σήμαινε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται με το Επομένως, οι αριθμοί 1000, 2000,, 9000 δίνονται από τον παρακάτω πίνακα. Σημερινή γραφή Ιωνική γραφή α β γ δ ε ς ζ η θ Άρα, για να γράψουν αριθμούς μικρότερους του , χρησιμοποιούσαν μόνο τέσσερα γράμματα, από τα οποία, μάλιστα, το ψηφίο των χιλιάδων ήταν όπως και των μονάδων, με μοναδική διαφορά το σημάδι του τόνου.

14 14 Για τον προσδιορισμό της αξίας των αριθμών, το σύστημα χρησιμοποιεί την πρόσθεση της αξίας των ψηφίων καθενός αριθμού. Για παράδειγμα δίνουμε τέσσερις αριθμούς γραμμένους κατά το Ελληνικό αριθμητικό σύστημα και φυσικά μαζί με την εξήγησή τους σε σύγχρονους αριθμούς: υνς = = 456 δχπβ = = 4682 ασο = = 1270 ηωκ = = 8820 Το σύστημα είναι δεκαδικό και θεμελιώδεις μονάδες του είναι αυτές που ακολουθούν: α ( = 1), ι ( = 10), ρ ( = 100), α ( = 1000). Οι αριθμοί που βρίσκονται μεταξύ των μονάδων δεν σχηματίζονται με επαναλήψεις, αλλά με δικά τους σύμβολα. Φυσικά, τα σύμβολα έχουν γίνει πολλά, όμως εύκολα συγκρατούνται στη μνήμη, γιατί η διαδοχή τους ακολουθεί τους γνώριμους φθόγγους των γραμμάτων του λόγου, δηλαδή του αλφαβήτου. Και σ αυτό το αριθμητικό σύστημα που επικράτησε στην Ευρώπη μέχρι τον 12 ο αιώνα, ίσως και περισσότερο, παρατηρούμε την έλλειψη του μηδέν. Η ιδέα του μηδέν (ή ουθέν στα αρχαία Ελληνικά), ήταν γνωστή κατά την αρχαιότητα σαν έλλειψη μονάδων, αλλά δεν χρησιμοποιείτο για το σχηματισμό των αριθμών. Έτσι η αξία των αριθμών ήταν συνδεδεμένη με τα σύμβολα. Επειδή το Ελληνικό σύστημα, όπως και τα άλλα αρχαία συστήματα, παρουσίαζαν δυσκολίες στην εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, για τη διευκόλυνση των υπολογισμών επινοήθηκαν κατάλληλες συσκευές, που πήραν το όνομα «Άβακες». Η επινόηση του άβακα ήταν Ελληνική, όπως άλλωστε και το όνομα Άβαξ. Στην αρχαία Ελλάδα οι άβακες χρησιμοποιούντο από τον 6ο αιώνα π.χ. Αρχαία Μινωική γραφή σε Γραμμική Β Στην αρχαία Κρήτη χρησιμοποιούσαν από το 1350 π.χ. περίπου την Γραμμική Β, η οποία αντικατέστησε παλαιότερες γραφές. Το σύστημα γραφής αριθμών είναι «προσθετικό» με βάση το δέκα. Παράδειγμα: =

15 15 Tο Ιταλο-Ρωμαϊκό σύστημα γραφής (ή Λατινική γραφή) Το Ρωμαϊκό σύστημα αριθμητικής γραφής στηρίζεται στα παλαιότερα συστήματα, παρουσιάζει όμως και βελτιώσεις. Τα σύμβολα του συστήματος είναι απλούστερα, χρησιμοποιούνται δε και γράμματα του αλφαβήτου ως αριθμητικά σύμβολα. Χαρακτήρες αναπαράστασης Το σημερινό σύστημα περιλαμβάνει 7 γράμματα αναπαράστασης για τις θεμελιώδεις μονάδες,με τις κάτωθι αξίες στο δεκαδικό σύστημα: Ι = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = Παρατηρούμε ότι, εκτός από τα σύμβολα μονάδων (1, 10, 100, 1.000) έχουν τοποθετηθεί σύμβολα για τους αριθμούς (5, 50, 500). Αυτό έγινε προφανώς για να αποφεύγεται η μεγάλη επανάληψη συμβόλων. Έτσι, αν δεν υπήρχε το σύμβολο V (του 5), ο αριθμός 8 θα γραφόταν με επανάληψη οκτώ μονάδων, δηλαδή: IIIIIIII. Ενώ με τη χρήση του V ο αριθμός 8 γράφεται: VIII. Κανόνες σύνταξης Οι κανόνες αναπαράστασης έχουν ως εξής: Όταν έχουμε δύο ή τρία ίδια γράμματα στη σειρά τότε οι αξίες των γραμμάτων προστίθενται: Π. χ. : ΙΙ = 2, III = 3, XXX = 30, CC = 200 Γενικότερα, το Ρωμαϊκό σύστημα, για να εκφράσει την αξία των αριθμών, χρησιμοποιεί την πρόσθεση της αξίας των ψηφίων. Παραδείγματα : MMDCCC ( ) = MDCLV ( ) = Όμως το σύστημα, προκειμένου να πετύχει τη συντομία, χρησιμοποιεί και την αφαίρεση. Όταν έχουμε δύο γράμματα στη σειρά και το γράμμα που βρίσκεται στα δεξιά είναι μεγαλύτερης αξίας ή το γράμμα στα αριστερά μικρότερης αξίας τότε αφαιρούνται: Π.χ. IV = 4, IX = 9, CD = 400.

16 16 Παρατηρήσεις Τα σύμβολα I,X,C και Μ μπορούν να επαναληφθούν διαδοχικά μέχρι τρεις φορές. Κατ εξαίρεση στα καντράν ρολογιών συχνά υπάρχει και η αναπαράσταση IIII που αντιστοιχεί στον αριθμό 4. Τα σύμβολα D, L και V δεν μπορούν να επαναληφθούν. Το σύμβολο I μπορεί να αφαιρεθεί μόνο από τα σύμβολα V και X. Το σύμβολο X μπορεί να αφαιρεθεί από τα σύμβολα L και C. Το σύμβολο C μπορεί να αφαιρεθεί από τα σύμβολα D και M. Τα σύμβολα V,L και M δεν αφαιρούνται ποτέ. Το δεκαδικό ψηφίο 0 και ο αριθμός «0» δεν αναπαρίστανται και δεν υπάρχουν στους ρωμαϊκούς αριθμούς. Τώρα μπορούμε να καταλάβουμε καλύτερα τους λατινικούς αριθμούς στον πίνακα που ακολουθεί. Παράδειγμα : 1824 = MDCCCXXIV Σήμερα βλέπουμε διατήρηση του λατινικού συστήματος γραφής αριθμών, σε ρολόγια και σε χρονολογίες. Επίσης, το χρησιμοποιούμε και σε αρίθμηση περιπτώσεων. Το Shepherd gate clock με ρωμαϊκούς αριθμούς, στο Γκρήνουϊτς Το δεκαδικό (ινδοαραβικό) σύστημα αρίθμησης Οι ινδοί μαθηματικοί, με τη χρήση του άβακα (η πρώτη αριθμομηχανή) και έχοντας υπόψη την ελληνική και κινέζικη αριθμητική επινόησαν το δεκαδικό σύστημα θέσης γύρω στα 500 μ. Χ..

17 17 Τα ψηφία 1 ως 9 που χρησιμοποιούμε σήμερα προέρχονται από ινδικές μορφές και για το μηδέν οι Ινδοί χρησιμοποιούσαν αρχικά μια τελεία και αργότερα την ωοειδή μορφή. Επίσης οι Ινδοί γνώριζαν και σε κάποιο βαθμό και αρνητικούς αριθμούς. Κατά πόσο, όμως, και τι ακριβώς δανείστηκαν οι Ινδοί από άλλους πολιτισμούς αποτελεί ζήτημα εικασιών και αμφισβητήσεων. Ότι η Βαβυλωνιακή επιρροή αποτέλεσε παράγοντα ανάπτυξης των ινδικών μαθηματικών είναι αποδεδειγμένο, η έκταση, όμως, αυτής της επιρροής δεν μπορεί να καθοριστεί ακριβώς. Είναι, για παράδειγμα, το ινδικό μηδέν πολιτιστικός απόγονος του βαβυλωνιακού; Στην περίοδο μεταξύ μ. Χ., όταν άρχισε να χρησιμοποιείται το δεκαδικό σύστημα στην Ινδία, οι Ινδοί γνώριζαν την ελληνική αστρονομία. Και σαν συνέπεια του ενδιαφέροντός τους για την ελληνική αστρονομία, οι Ινδοί γνώρισαν επίσης το εξηνταδικό σύστημα θέσης και τη χρήση ενός συμβόλου που να δηλώνει την απουσία ψηφίου («μηδενός»). Ως πρόσθετη ένδειξη, επισημαίνεται ότι στους λεγόμενους ινδικούς «έμμετρους αριθμούς» τοποθετούνταν πάντα πρώτα οι μονάδες, ακολουθούσαν οι δεκάδες κοκ, ενώ οι Βαβυλώνιοι και οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν την αντίστροφη σειρά. Όταν οι Ινδοί άρχισαν να χρησιμοποιούν ψηφιακά σύμβολα, υιοθέτησαν τον τρόπο γραφής των Βαβυλωνίων και όχι αυτόν τον δικό τους, ιθαγενών, έμμετρων αριθμών. Η παρακμή των Ελληνιστικών βασιλείων και στη συνέχεια της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας, έφερε στο προσκήνιο της ιστορίας τον αραβικό πολιτισμό. Σ αυτόν επήλθε βαθμιαία διάχυση του ινδικού αριθμητικού συστήματος, όπως το ελληνικό αλφαβητικό σύστημα. Υπάρχουν ενδείξεις ότι οι Άραβες υιοθέτησαν τα ινδικά ψηφία, με την υποκίνηση μιας μορφής πολιτιστικής αντίστασης που οφειλόταν σε προκατάληψη απέναντι στον ελληνικό πολιτισμό. Από τον αραβικό πολιτισμό, τα νέα δεκαδικά αριθμητικά ψηφία διαχύθηκαν στους ευρωπαϊκούς πολιτισμούς μεσ από την Ισπανία και την Ιταλία με τη διακίνηση των μελετών ή με το εμπόριο. Επίσης μεταδόθηκε και στη Μέση Ανατολή και στη Βόρεια Αφρική. Ο Άραβας μαθηματικός Αλ Χουαριζεμί, ο πατέρας της σημερινής άλγεβρας, περιγράφει αναλυτικά στα βιβλία του το σύστημα των Ινδών. Έτσι πέρασε στην Ευρώπη με το όνομα Ινδοαραβικό. Η Ιταλία, κέντρο εμπορίου, αναγνώρισε τα πλεονεκτήματα της αρίθμησης αυτής και με το βιβλό του Λεονάρντο Φιμπονάτσι «Liber Abaci το 1.200, υπήρξε αποφασιστική η διάδοσή της. Παράλληλα στο Βυζάντιο ο μαθηματικός Μάξιμος Πλανούδης με το βιβλίο του «Ψηφοφορία κατ Ινδούς» αναφέρει την αριθμογραφία θέσης. Σιγά σιγά η μεγάλη αυτή μαθηματική κατάκτηση επικράτησε και χρησιμοποιείται σ όλο τον πολιτισμένο κόσμο. Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το δέκα (10). Όπως συμβαίνει με όλα τα συστήματα αρίθμησης, είναι ένα σύστημα που χρησιμοποιεί

18 18 ο άνθρωπος έτσι ώστε να περιγράψει ποσότητες ή πλήθος αντικειμένων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση για τη δημιουργία των ονομασιών των ποσοτήτων χρησιμοποιούνται δέκα σύμβολα, τα γνωστά μας 10 ψηφία: 0, 1, 2,3,4, 5, 6, 7, 8 και 9. Για το λόγο αυτό λέγεται δεκαδικό και για το λόγο αυτό λέμε ότι έχει βάση το δέκα. Έτσι κάθε ποσότητα θα αποκτήσει έναν συμβολισμό σύμφωνα με το δεκαδικό σύστημα, ο οποίος δεν θα είναι τίποτα άλλο από μια ακολουθία από τα προαναφερόμενα δέκα σύμβολα. Π.χ.: μια ποσότητα από δεκαπέντε χιλιάδες πράγματα συμβολίζεται ως Αν φανταστούμε ότι έχουμε ένα πλήθος από αντικείμενα και θέλουμε το πλήθος αυτό να το αναπαραστήσουμε στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, τότε κάνουμε τα ακόλουθα: Ομαδοποιούμε τις μονάδες αντικειμένων σε δεκάδες (μια δεκάδα είναι 10 μονάδες). Αν κάποιες μονάδες οι οποίες δεν φτάνουν για να φτιάξουμε μια δεκάδα, τότε το πλήθος τους είναι το πλήθος μονάδων του αριθμού σε δεκαδική αναπαράσταση. Γράφουμε το αντίστοιχο σύμβολο στη θέση του αριθμού για τις μονάδες. Ομαδοποιούμε τις δεκάδες που φτιάχτηκαν σε εκατοντάδες (μια εκατοντάδα είναι 10 δεκάδες). Αν περισσέψουν κάποιες δεκάδες που δεν φτάνουν για να φτιάξουμε εκατοντάδα, τότε το πλήθος τους είναι το πλήθος των δεκάδων του αριθμού σε δεκαδική αναπαράσταση. Γράφουμε το αντίστοιχο σύμβολο στην θέση του αριθμού για τις δεκάδες, δηλαδή μια θέση αριστερά από το σύμβολο που βάλαμε για τις μονάδες κ.ο.κ. μέχρι να ομαδοποιηθούν όλα τα αντικείμενα. Όπως καταλαβαίνουμε το δεκαδικό σύστημα λέγεται σύστημα θέσης επειδή κάθε ψηφίο έχει διαφορετική αξία σε διαφορετική θέση μέσα στον αριθμό που είναι γραμμένο. Για παράδειγμα: άλλη η αξία του 2 στον αριθμό 26 και άλλη η αξία του 2 στον αριθμό 208. Η αξία του συστήματος θέσης βρίσκεται στη δυνατότητά του να εκφράζει απεριόριστα μεγάλους ή μικρούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας τα ίδια βασικά ψηφία. Τούτο ήταν σημαντικό για τη βαβυλωνιακή αστρονομία στην κατασκευή πινάκων. Η επινόηση των συστημάτων θέσης είναι πιθανό να αντιπροσωπεύει μια φυσιολογική πρόοδο στην εξέλιξη των αριθμητικών συστημάτων, που προκλήθηκε από πολιτιστική ένταση, με τη μορφή της ανάγκης συμβολισμού απεριόριστα μεγάλων ή μικρών αριθμών. Η έκφραση βάση ή ρίζα το 10, σημαίνει ότι σε κάθε αριθμό, κάθε ψηφίο του πολλαπλασιάζεται επί το 10 υψωμένο σε δύναμη που αντιστοιχεί στην θέση του ψηφίου αυτού.

19 19 Για παράδειγμα: Ο αριθμός αποτελείται από 8 μονάδες, 0 δεκάδες, 3 εκατοντάδες και 5 χιλιάδες δηλαδή 5308 = = Το ίδιο ισχύει και για τους δεκαδικούς αριθμούς, αλλά χρησιμοποιούμε αρνητικές δυνάμεις του 10. Για παράδειγμα: Ο αριθμός 25,375 αποτελείται από 2 δεκάδες, 5 μονάδες, 3 δέκατα, 7 εκατοστά και 5 χιλιοστά, δηλαδή 25,375 = = Έτσι, ένας αριθμός με ακέραιο και δεκαδικό μέρος, έχει ψηφία υψωμένα σε θετικές και αρνητικές δυνάμεις της βάσης 10. Με την ίδια λογική μπορούμε να υπολογίσουμε την αξία ενός αριθμού (η οποία είναι ένας αριθμός σε δεκαδικό σύστημα) σε συστήματα με διαφορετική βάση από το 10 (π.χ. στο δυαδικό με βάση το 2, ή το δεκαεξαδικό με βάση το 16). Ο εκάστοτε αριθμός θα μετατραπεί έτσι στον αντίστοιχο στο δεκαδικό σύστημα, που είναι πιο κατανοητό από τους περισσότερους. Ακολουθούν τέτοια παραδείγματα στο δυαδικό σύστημα που ακολουθεί. Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιείται στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Στο σύστημα αυτό οι αριθμοί γράφονται μόνο με τα ψηφία 0 και 1 Οι 10 πρώτοι φυσικοί στο δυαδικό σύστημα γράφονται: Παραδείγματα: Ο αριθμός του δυαδικού συστήματος είναι ο αριθμός 74 του δεκαδικού συστήματος και αυτό το βρίσκουμε ως εξής:

20 = = = Ο αριθμός 41 του δεκαδικού συστήματος είναι ο αριθμός του δυαδικού συστήματος και αυτό το βρίσκουμε ως εξής: 41 = , 20 = , 10 = , 5 = , 2 = , (41 = = ). 1 = Στην εικόνα φαίνεται ένας πρόδρομος των σύγχρονων υπολογιστών. Πρόκειται για την Αναλυτική μηχανή του Άγγλου εφευρέτη Charles Babbage ( ) Ο Κώδικας Morse Ο Samuel F. Morse ( ), δημιουργός του ομώνυμου κώδικα, ξεκίνησε ως ζωγράφος και κατέληξε εφευρέτης για βιοποριστικούς λόγους. Ο Morse αξιοποίησε τη δυνατότητα μετάδοσης ηλεκτρικών σημάτων μικρής και μεγάλης διάρκειας (τελείες και παύλες) σε μεγάλες αποστάσεις μέσω καλωδίων. Το ενδιαφέρον του Morse για τον τηλέγραφο ξεκίνησε το 1832 και η πρώτη επίδειξη τηλεγραφικού συστήματος έγινε το Το δημιούργημα του Morse ήταν ένας μηχανισμός αποστολής και λήψης ηλεκτρικών σημάτων καθώς και ένα αλφάβητο, το οποίο σε κάθε ψηφίο αντιστοιχίζει έναν συνδυασμό από τελείες και παύλες. Το πρώτο μήνυμα στάλθηκε με τηλέγραφο στις 24 Μαΐου 1844, από τη Βαλτιμόρη στην Ουάσιγκτον και έλεγε "Θαυμαστά τα έργα του Κυρίου". Το 1861, η Ανατολική και η Δυτική Ακτή των Η.Π.Α. συνδέθηκαν με τηλεγραφικά καλώδια. Η εκμάθηση του κώδικα δεν είναι εύκολη. Τα σύμβολά του αποτελούνται από συνδυασμούς δύο μόνο στοιχείων. Αυτά τα στοιχεία είναι παλμοί μικρής και παλμοί

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα = 3 x x x x 10 0

Αριθμητικά Συστήματα = 3 x x x x 10 0 Δεκαδικό Όταν αναφερόμαστε σε μία αριθμητική τιμή, απεικονίζουμε μία ποσότητα με ένα σύμβολο ή έναν συνδυασμό από σύμβολα. Το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε είναι το δεκαδικό. Αποτελείται από δέκα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Η ανάγκη του ανθρώπου για μετρήσεις οδήγησε αρχικά στην επινόηση των αριθμών Κατόπιν, στην επινόηση συμβόλων για τη παράσταση τους Τέλος, στη δημιουργία των αριθμητικών συστημάτων:

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος είναι το 10 αναπτύχθηκε τον 8

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα»

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα» 1. Εισαγωγή Η προσέγγιση των Μαθηματικών της Β Δημοτικού από το παιδί προϋποθέτει την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που παρουσιάστηκαν στην Α Δημοτικού και την εξοικείωση του παιδιού με τις πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 2: Παράσταση της Πληροφορίας

Μάθημα 2: Παράσταση της Πληροφορίας Μάθημα 2: Παράσταση της Πληροφορίας 2.1 Παράσταση δεδομένων Κάθε υπολογιστική μηχανή αποτελείται από ηλεκτρονικά κυκλώματα που η λειτουργία τους βασίζεται στην αρχή ανοιχτό-κλειστό. Η συμπεριφορά τους

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ

Τετάρτη 5-12/11/2014. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ Τετάρτη 5-12/11/2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 ου και 4 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ: ΤΕΧΝΙΚΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Η/Υ Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ: ΤΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1. Παράσταση και οργάνωση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ Είναι απαραίτητο να πούμε μερικά πράγματα για μια επαναλαμβανόμενη πηγή προβλημάτων και δυσκολιών: τα σημαντικά ψηφία. Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη όπου οι αριθμοί και οι σχέσεις μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. σύμβολα αριθμών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. σύμβολα αριθμών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών σύμβολα αριθμών επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 αναπαραστάσεις των αριθμών Εμπράγματες Υλικά αντικείμενα ($$$) Εικονικές (***) Λεκτικές (τρία) Συμβολικές, (3, τρία) Διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Γ ΤΑΞΗ) ΟΝΟΜΑ:. (ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ) ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΑΤΕ ΝΑ ΣΚΕΦΤΟΥΜΕ ΜΑΖΙ: Υπάρχουν άραγε αριθμοί ανάμεσα στο 0 και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Συχνά τα Μαθηματικά χρησιμοποιούνται ως ένα «εργαλείο» προκειμένου να ανιχνευθεί η «εξυπνάδα» του κάθε ανθρώπου, να διαφοροποιηθούν οι μαθητές μεταξύ τους σε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου,

Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου, Αθανασίου Ανδρέας, Αντωνιάδης Μ., Γιασουµής Ν., Ιωάννου Ι., Ματθαίου Κ., Μουσουλίδου M., Παπαγιάννης Κ., Φιλίππου Α. (2013). Μαθηµατικά Α Γυµνασίου, ISBN: 978-9963-0-4611-9) Και Βανδουλάκης Ι., Καλλιγάς

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών

Τμήμα Οικιακής Οικονομίας και Οικολογίας. Αναπαράσταση Αριθμών Αναπαράσταση Αριθμών Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα Δεκαδικό και Δυαδικό Μετατροπή Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δυαδικό σύστημα στο δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε κάθε δυαδικό ψηφίο του αριθμού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ

Εισαγωγή στην Πληροφορική ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ TEI ΧΑΛΚΙ ΑΣ Εισαγωγή στην Πληροφορική 1 Περιεχόµενα - Κωδικοποιήσεις - Αριθµητικά Συστήµατα 2 Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Είπαµε ότι είναι, µία Ηλεκτρονική Μηχανή, που δουλεύει κάτω από τον έλεγχο εντολών αποθηκευµένων

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ Θέματα μελέτης Ορθότητα και απόδοση αλγορίθμων Παρουσίαση και ανάλυση αλγορίθμου για πρόσθεση Al Khwarizmi Αλγόριθμοι Το δεκαδικό σύστημα εφευρέθηκε στην Ινδία περίπου το

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 22/1/ :11 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. Τεχνολογίας

ΘΕΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 22/1/ :11 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. Τεχνολογίας ΘΕΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 22/1/2010 10:11 καθ. Τεχνολογίας 22/1/2010 10:12 Παραδείγματα Τι ονομάζουμε αριθμητικό σύστημα? Το σύνολο από ψηφία (αριθμοί & χαρακτήρες). Που χρησιμεύουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Συστήματα αρίθμησης και αναπαράστασης

Κεφάλαιο 1. Συστήματα αρίθμησης και αναπαράστασης Κεφάλαιο 1 Συστήματα αρίθμησης και αναπαράστασης 1.1 Εισαγωγή Οι υπολογιστές αναπαριστούν όλα τα είδη πληροφορίας ως δυαδικά δεδομένα. Έτσι, για την ευκολότερη και ταχύτερη επεξεργασία των διαφόρων πληροφοριών,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 29.02.12 Χ. Χαραλάμπους Ο πάπυρος του Rhind---Ahmes 81 από αυτά τα προβλήματα έχουν λύσεις που αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εισαγωγή ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Όπως για όλες τις επιστήμες, έτσι και για την επιστήμη της Πληροφορικής, ο τελικός στόχος της είναι η επίλυση προβλημάτων. Λύνονται όμως όλα τα προβλήματα;

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα

2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 2.1 Αριθμητικά συστήματα Κάθε πραγματικός αριθμός χ μπορεί να παρασταθεί σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β>1 με μια δυναμοσειρά της μορφής, -οο * = ± Σ ψ β " (2 1) η - ν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα

Μαθηµατικά Τεύχος Α. Φύλλα εργασίας. Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ. Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα Παίζω, Σκέφτοµαι, Μαθαίνω Φύλλα εργασίας Μαθηµατικά Τεύχος Α Για παιδιά ΣΤ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Συµπληρωµατικές ασκήσεις & Προβλήµατα Ανάλυση θεωρίας µε ασκήσεις και παραδείγµατα 116 σελίδες Περιεχόµενα 1η ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 6.03.14 Χ. Χαραλάμπους 1(και 60) 8 10 30 11 79883= (22*60 2 )+(11*60)+23 70 Δεν έχουν βρεθεί πίνακες για πρόσθεση. Έχουν βρεθεί πολλοί πίνακες για τον πολλαπλασιασμό: Έτσι ένας πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτες Μορφές Γραφής

Πρώτες Μορφές Γραφής Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκειο Γενικό Λύκειο Ψυχικού Σχολικό έτος: 2013-2014 Ερευνητική Εργασία Α Λυκείου Ιστορία της Γραφής Πρώτες Μορφές Γραφής Εργάστηκαν οι μαθητές: Ευγενία Πονηρού, Σάββας Παπαευαγγέλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αριθμητικά συστήματα 123, 231, 312 Τι σημαίνουν; Τι δίνει αξία σε κάθε ίδιο ψηφίο; Ποια είναι η αξία του κάθε ψηφίου; Αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΛΩΣΣΑ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΓΛΩΣΣΑ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΓΛΩΣΣΑ ΑΛΦΑΒΗΤΟ Κεφαλαία και μικρά γράμματα ελληνικού αλφαβήτου: Α Ω και α ω Κεφαλαία και μικρά γράμματα λατινικού αλφαβήτου: A Z και a z Αριθμητικά ψηφία: 0 9 Ειδικοί χαρακτήρες: + - * / =. ( ),! & κενός

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. α i. (α i β i ) (1.3) όπου: η= το πλήθος ακεραίων ψηφίων του αριθμού Ν. n-1

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. α i. (α i β i ) (1.3) όπου: η= το πλήθος ακεραίων ψηφίων του αριθμού Ν. n-1 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.1 Εισαγωγή Το δεκαδικό σύστημα (Decimal System) αρίθμησης χρησιμοποιείται από τον άνθρωπο και είναι κατάλληλο βέβαια γι αυτόν, είναι όμως εντελώς ακατάλληλο για τις ηλεκτρονικές

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Πληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Διδασκαλία III

Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαριάννα Τζεκάκη Απαραίτητα στον εκπαιδευτικό Μαθηματικό περιεχόμενο γνώση Ζητήματα των στόχων της διδασκαλίας των μαθηματικών μάθησης και του σχετικού μαθηματικού περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ. Γράφω καλά. στο τεστ των. Μαθηματικών ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ Γράφω καλά στο τεστ των Μαθηματικών E, ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ανακεφαλαίωση της θεωρίας με πίνακες και παραδείγματα Διαγωνίσματα Αναλυτικές απαντήσεις με έμφαση στα δύσκολα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α.7.9. Δυνάμει ρητών αριθμών

Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α.7.9. Δυνάμει ρητών αριθμών Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α..8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α..9. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό Πρόγραµµα Από το φτερό και το κοντύλι..ως τον Ηλεκτρονικό Υπολογιστή

Εκπαιδευτικό Πρόγραµµα Από το φτερό και το κοντύλι..ως τον Ηλεκτρονικό Υπολογιστή ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΙΑΝΤΕΙΟΣ ΗΜΟΣΙΑ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΑΤΑΛΑΝΤΗΣ Εκπαιδευτικό Πρόγραµµα Από το φτερό και το κοντύλι..ως τον Ηλεκτρονικό Υπολογιστή Κείµενο: Μαρδίτσα

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΤΥΠΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Ταξινόμηση αντικειμένων ως προς τα χαρακτηριστικά τους Βάλε μαζί σε έναν κύκλο τα λουλούδια με το ίδιο χρώμα και το ίδιο όνομα. Κοίταξε προσεκτικά την εικόνα και απάντησε: Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασιακός Προγραμματισμός

Διαδικασιακός Προγραμματισμός Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 2 η Τύποι Δεδομένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδομένων Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 29 / σελίδα 28

Πρόβλημα 29 / σελίδα 28 Πρόβλημα 29 / σελίδα 28 Πρόβλημα 30 / σελίδα 28 Αντιμετάθεση / σελίδα 10 Να γράψετε αλγόριθμο, οποίος θα διαβάζει τα περιεχόμενα δύο μεταβλητών Α και Β, στη συνέχεια να αντιμεταθέτει τα περιεχόμενά τους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 4: Συστήματα Αρίθμησης

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 4: Συστήματα Αρίθμησης Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 4: Μανώλης Τζαγκαράκης, Βικτωρία Δασκάλου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σκοποί ενότητας Να παρουσιάσει τη θεωρία των συστημάτων αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

Διαγράμματα. Νίκος Σκουλίδης, Σημειώσεις Φυσικής Α` Γυμνασίου, , Διαγράμματα_1_0.docx

Διαγράμματα. Νίκος Σκουλίδης, Σημειώσεις Φυσικής Α` Γυμνασίου, , Διαγράμματα_1_0.docx Διαγράμματα Στα περισσότερα από τα Φύλλα Εργασίας που εργαστήκατε και συμπληρώσατε, είχατε να σχεδιάσετε και ένα διάγραμμα. Ίσως ήταν η πρώτη φορά που ασχοληθήκατε με αυτό το αντικείμενο και να σας φάνηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακά Συστήματα. 1. Συστήματα Αριθμών

Ψηφιακά Συστήματα. 1. Συστήματα Αριθμών Ψηφιακά Συστήματα 1. Συστήματα Αριθμών Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L.,

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία: Γεωμετρία και Αρχαιότητα (Από Αρχαία Κείμενα) Μαθητές: Δέσποινα Βαραμογιάννη, Μιχάλης Λεφαντζής, Πάμελα Μάχια, Κλειώ Οικονομάκη

Ερευνητική Εργασία: Γεωμετρία και Αρχαιότητα (Από Αρχαία Κείμενα) Μαθητές: Δέσποινα Βαραμογιάννη, Μιχάλης Λεφαντζής, Πάμελα Μάχια, Κλειώ Οικονομάκη Ερευνητική Εργασία: Γεωμετρία και Αρχαιότητα (Από Αρχαία Κείμενα) Μαθητές: Δέσποινα Βαραμογιάννη, Μιχάλης Λεφαντζής, Πάμελα Μάχια, Κλειώ Οικονομάκη Θέμα: Η Γεωμετρία εκτός της Ελλάδας, μέχρι τον 3 ο αιώνα

Διαβάστε περισσότερα

Προγράμματα παρέμβασης στα Μαθηματικά, Μαρία Θ. Παπαδοπούλου, PhD, Σχολική Σύμβουλος 6ης Περιφέρειας Π.Ε. ν. Λάρισας

Προγράμματα παρέμβασης στα Μαθηματικά, Μαρία Θ. Παπαδοπούλου, PhD, Σχολική Σύμβουλος 6ης Περιφέρειας Π.Ε. ν. Λάρισας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-Α Φ.Α. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΣΧΟΛΕΙΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΓΕΝΝΗΣΗΣ:... ΤΑΞΗ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΝΑΡΞΗΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗΣ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΟΥ Κατανοεί βασικές χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

Greek Braille Code. Περιεχόμενα

Greek Braille Code. Περιεχόμενα Greek Braille Code Περιεχόμενα Ελληνικό αλφάβητο...2 Δίφθογγοι...6 Αριθμοί...8 Σημεία στίξης...10 Τόνοι...12 Μαθηματικά Μενεΐδη...15 Μαθηματικά Nemeth...17 Braille σύμβολα...20 Διάφορα σύμβολα...21 Αγγλικό

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα