MΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (πανεπιστημιακές παραδόσεις)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (πανεπιστημιακές παραδόσεις)"

Transcript

1 ΓΕΩΡΓΙΟΣ Δ ΑΚΡΙΒΗΣ Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΝΙΚΟΛΑΟΣ Δ ΑΛΙΚΑΚΟΣ Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών MΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) Α, 011

2

3 Περιεχόμενα Κατάλογος Σχημάτων iii 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 1 11 Εισαγωγή Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της επίλυσης 3 1 Γραμμικές εξισώσεις 1 11 Πρώτος τρόπος: Με αλλαγή συντεταγμένων 1 1 Δεύτερος τρόπος: Με χαρακτηριστικές Μη γραμμικές εξισώσεις 1 14 Προέλευση των ΜΔΕ: Νόμοι διατήρησης 5 15 Συνέπειες της μη γραμμικότητας Κρουστικά κύματα Υπολογισμός του χρόνου θραύσης Μελέτη της θραύσης Περιβάλλουσα και αιχμή Περιβάλλουσα Αιχμή Ασθενείς λύσεις Συνθήκες Rankine Hugoniot Ασθενής λύση Συνθήκη Rankine Hugoniot 50 Ασκήσεις 57 Ευρετήριο 69 i

4

5 Κατάλογος Σχημάτων 11 Πρόβλημα αρχικών τιμών, με δεδομένες τις τιμές της u στο Γ 1 Γραφική παράσταση της z = u(, y) = + y και καμπυλών στάθμης της 5 13 Αριστερά: Οικογένεια χαρακτηριστικών γραμμών της εξίσωσης (16), με συνεχή γραμμή, και καθέτων προς τις χαρακτηριστικές, με διακεκομμένη γραμμή Δεξιά: Προβολή του (, y) σε ευθεία κάθετη στις χαρακτηριστικές 6 14 Περιστροφή του συστήματος των αξόνων κατά γωνία ϑ = π/4 κατά τη θετική φορά 7 15 Τροχιά ενός σημείου 8 16 Στιγμιότυπα της λύσης u του (117) στις χρονικές στιγμές t = 0 και t = 1, αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα Το κύμα ταξιδεύει προς τα δεξιά με ταχύτητα c Γραφική παράσταση της λύσης u του ΠΑΤ (117) Τροχιά ενός σημείου Η χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο είναι σπείρα που πλησιάζει το Γ, την περιφέρεια του εσωτερικού κύκλου, χωρίς να την φτάνει ποτέ Ρευστό σε κυλινδρικό, λεπτό σωλήνα Οι ακραίες χαρακτηριστικές γραμμές (t; 0) = t και (t; 1) = t+1, με συνεχή γραμμή, και ενδιάμεσες χαρακτηριστικές γραμμές για 0 (0, 1), με διακεκομμένη γραμμή 3 11 Στιγμιότυπα της λύσης u(, t), για t = 0, αριστερά, t (0, 1), στο κέντρο, και t = 1, δεξιά Τρεις χαρακτηριστικές γραμμές για το πρόβλημα αρχικών τιμών (171) 34 iii

6 iv Κατάλογος Σχημάτων 114 Η περιβάλλουσα για το πρόβλημα αρχικών τιμών (173) στην περίπτωση της αρχικής τιμής (18) Χαρακτηριστικές και αιχμή Ο φορέας Φ, με γκρι, μιας συνάρτησης δοκιμής Συμπαγής φορέας Φ, με γκρι, στο σύνολο R (0, ) Οι u Α και u Δ αποτελούν κλασικές λύσεις της (1105) αριστερά και δεξιά της ευθείας, αντίστοιχα Η ευθεία ασυνέχειας και η γενικευμένη λύση του προβλήματος (1109) Στιγμιότυπο της λύσης u(, t), για t > Οι u Α και u Δ αποτελούν κλασικές λύσεις της (1105) αριστερά και δεξιά της καμπύλης ασυνέχειας, αντίστοιχα 58 1 Σχηματική επεξήγηση της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών της Άσκησης Η περιβάλλουσα στην Άσκηση

7 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Αντικείμενο μελέτης μας σε αυτό το κεφάλαιο αποτελούν οι ΜΔΕ πρώτης τάξης Στην πρώτη ενότητα θα εξοικειωθούμε με ΜΔΕ πρώτης τάξης και θα μελετήσουμε την εξίσωση μεταφοράς, μια ομογενή γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, ενώ στη δεύτερη θα ασχοληθούμε με γενικές γραμμικές εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές Στην τρίτη παράγραφο θα μας απασχολήσουν μη γραμμικές εξισώσεις και στη τέταρτη θα μιλήσουμε για την προέλευση των διαφορικών εξισώσεων Θα γνωρίσουμε τρεις τρόπους επίλυσης ΜΔΕ πρώτης τάξης: με καμπύλες στάθμης, με αλλαγή συντεταγμένων και με τη μέθοδο των χαρακτηριστικών Η πέμπτη παράγραφος αναφέρεται στα κρουστικά κύματα ενώ η έκτη σε δύο έννοιες που σχετίζονται με κρουστικά κύματα, την περιβάλλουσα και την αιχμή Στην έβδομη ενότητα θα γενικεύσουμε την έννοια της λύσης εισάγοντας τις λεγόμενες ασθενείς ή γενικευμένες λύσεις και θα ασχοληθούμε με μια πολύ σημαντική συνθήκη, τη συνθήκη των Rankine Hugoniot 11 Εισαγωγή Σε αυτήν την προκαταρκτική ενότητα θα δούμε κάποιους ορισμούς, θα εξοικειωθούμε με τις διαφορικές εξισώσεις και θα μελετήσουμε την εξίσωση μεταφοράς Θεωρούμε κατ αρχάς ένα χωρίο (δηλαδή ανοικτό, μη κενό σύνολο) U στον R, U R, και μια ομαλή συνάρτηση F : R 3 U R Η γενική ΜΔΕ πρώτης τάξης, στην περίπτωση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών, είναι τότε της μορφής (11) F (u, u y, u,, y) = 0, για (, y) U Στην εξίσωση αυτή, ο άγνωστος είναι μια ομαλή (τουλάχιστον συνεχώς παραγωγίσιμη) συνάρτηση u : U R 1

8 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Η διαφορική εξίσωση (11) είναι πρώτης τάξης, αφού πρώτης τάξης είναι η υψηλότερης τάξης παράγωγος που εμφανίζεται σε αυτή Σχετικά με τον συμβολισμό, σημειώνουμε ότι η u είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, u = u(, y), και οι u και u y είναι οι μερικές παράγωγοι της u ως προς την πρώτη και τη δεύτερη μεταβλητή, αντίστοιχα, u = u, u y = u y Κάθε ομαλή συνάρτηση u : U R που ικανοποιεί την (11), δηλαδή τέτοια ώστε F (u (, y), u y (, y), u(, y),, y) = 0, για κάθε (, y) U, λέγεται λύση ή κλασική λύση της διαφορικής εξίσωσης (11) Όταν μιλάμε για επίλυση της εξίσωσης (11), αναφερόμαστε στον προσδιορισμό της γενικής λύσης της u, δηλαδή όλων των ομαλών συναρτήσεων που την ικανοποιούν Οι ΜΔΕ περιγράφουν διάφορα φυσικά φαινόμενα, τα οποία έχουν μοναδική κάθε φορά λύση Κατά κανόνα, για να περιγράψουν ένα φυσικό φαινόμενο, οπότε θα πρέπει να έχουν και μοναδική λύση, πρέπει οι ΜΔΕ να συνοδεύονται με διάφορες συνθήκες, φερ ειπείν, με αρχικές, με συνοριακές ή ακόμα τόσο με αρχικές όσο και συνοριακές συνθήκες Ο τύπος των συνθηκών, που είναι κατάλληλες για κάποια ΜΔΕ, εξαρτάται από τη φύση της εξίσωσης τέτοια θέματα θα μας απασχολήσουν επανειλημμένα στη συνέχεια Αν, παραδείγματος χάριν, Γ είναι ένα μέρος του συνόρου U του U, Γ U, και g : Γ R μια δεδομένη συνάρτηση, το πρόβλημα (1) F (u, u y, u,, y) = 0, για (, y) U, u = g, στο Γ, αποτελεί ένα πρόβλημα αρχικών τιμών (ΠΑΤ) βλ Σχήμα 11 Γ U Σχήμα 11: Πρόβλημα αρχικών τιμών, με δεδομένες τις τιμές της u στο Γ Από τη θεωρία των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων θυμόμαστε ότι, γενικά, η γενική τους λύση περιέχει αυθαίρετες σταθερές όταν η ΣΔΕ είναι πρώτης τάξης, τότε η γενική της λύση περιέχει, γενικά, μία αυθαίρετη σταθερά Εντελώς ανάλογα, η γενική λύση της ΜΔΕ πρώτης τάξης (11) περιέχει,

9 11 Εισαγωγή 3 γενικά, μία αυθαίρετη συνάρτηση Αντίστοιχα με τις ΣΔΕ, αναμένουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών (1) να έχει μοναδική λύση βεβαίως, στην προκειμένη περίπτωση αναμένουμε το θέμα να είναι από τη φύση του αρκετά πιο σύνθετο, αφού η απάντηση στο ερώτημά μας εξαρτάται, προφανώς, γενικά και από το σύνολο Γ Παραδείγματα 11 α) Στη συνάρτηση F (p, q, z,, y) := p + q 1, p, q R, αντιστοιχεί η διαφορική εξίσωση (13) (u ) + (u y ) = 1, για (, y) R Η διαφορική εξίσωση (13) είναι μη γραμμική, αφού η άγνωστη συνάρτηση u (συγκεκριμένα, εδώ, οι πρώτες της μερικές παράγωγοι) εμφανίζονται σε αυτήν κατά μη γραμμικό τρόπο, προέρχεται από τη γεωμετρική οπτική και είναι γνωστή ως εξίσωση της εικόνας β) Στη συνάρτηση F (p, q, z,, y) := p + q 1, p, q R, αντιστοιχεί η γραμμική διαφορική εξίσωση (14) u + u y = 1, για (, y) R 111 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της επίλυσης Σε αυτήν την ενότητα θα μελετήσουμε την εξίσωση της μεταφοράς, συγκεκριμένα θα ασχοληθούμε με τρεις ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, κάθε μια των οποίων αποτελεί γενίκευση της προηγούμενης Θα αρχίσουμε με μια τετριμμένη εξίσωση και θα καταλήξουμε στην εξίσωση της μεταφοράς Θα γνωρίσουμε τρεις τρόπους επίλυσης των εξισώσεών μας: με τις καμπύλες στάθμης, με αλλαγή συντεταγμένων και με τις χαρακτηριστικές Αρχίζουμε με ένα τετριμμένο παράδειγμα: Παράδειγμα 1 Η γενική λύση u της τετριμμένης, γραμμικής διαφορικής εξίσωσης (15) u = 0, για (, y) U := R, είναι u(, y) = f(y), με f αυθαίρετη, συνεχή συνάρτηση του y

10 4 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Παράδειγμα 13 Ας θεωρήσουμε τώρα μια λίγο γενικότερη γραμμική διαφορική εξίσωση, την (16) u + u y = 0, για (, y) U := R Θα επιλύσουμε την (16) με τρεις τρόπους: ο πρώτος τρόπος βασίζεται στις καμπύλες στάθμης μιας συνάρτησης με τον δεύτερο τρόπο, με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών, θα αναγάγουμε την (16) σε μια εξίσωση της μορφής (15), ενώ ο τρίτος χρησιμοποιεί τις χαρακτηριστικές Πρώτη προσέγγιση: με καμπύλες στάθμης Έστω u = u(, y) μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και c ένας πραγματικός αριθμός Το σύνολο Σ c των σημείων (, y) του πεδίου ορισμού της u στα οποία αυτή λαμβάνει την τιμή c, Σ c := (, y) : u(, y) = c}, λέγεται καμπύλη στάθμης της u στη στάθμη c Σημειώνουμε ότι οι καμπύλες στάθμης αναφέρονται στη βιβλιογραφία και ως ισοϋψείς καμπύλες ή ισοσταθμικές καμπύλες Όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η κλίση u της u είναι κάθετη στην καμπύλη Σ c, σε κάθε σημείο της (, y), δηλαδή (17) u = u, u y Σ c, για (, y) Σ c Για παράδειγμα, στην περίπτωση της συνάρτησης u(, y) = +y, (, y) R, οι καμπύλες στάθμης είναι οι περιφέρειες ομόκεντρων κύκλων με κέντρο την αρχή των αξόνων Η κλίση της u είναι u(, y) = (, y), δηλαδή το διπλάσιο της ακτίνας από την αρχή των αξόνων προς το σημείο (, y), και είναι βεβαίως κάθετη στην αντίστοιχη καμπύλη στάθμης, την περιφέρεια που διέρχεται από το σημείο (, y) Βλ το Σχήμα 1 για τη γραφική παράσταση της u και καμπυλών στάθμης της Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών περιγράφεται πλήρως από τις καμπύλες στάθμης και την κατανομή τους, δηλαδή τον ρυθμό μεταβολής τους σε μεταβολές του c, πόσο κοντά μεταξύ τους είναι δηλαδή αυτές οι καμπύλες για κοντινές τιμές της παραμέτρου c Υπενθυμίζουμε εδώ ότι η κλίση u δείχνει προς αύξουσες τιμές της συνάρτησης u

11 11 Εισαγωγή 5 z y u c 1 <c y c 1 c Σχήμα 1: Γραφική παράσταση της z = u(, y) = + y και καμπυλών στάθμης της Έπειτα από αυτές τις προκαταρκτικές παρατηρήσεις, ας επανέλθουμε τώρα στο πρόβλημά μας, την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (16) Η (16) σημαίνει ότι η κλίση u της u είναι κάθετη στο διάνυσμα (1, 1), οπότε αυτή γράφεται ισοδύναμα στη μορφή (18) u 1, 1, για (, y) R Επομένως, σύμφωνα με την (17), οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι οι καμπύλες στάθμης της u είναι παράλληλες προς το διάνυσμα (1, 1) Κατά συνέπεια, η τιμή της u σε ένα αυθαίρετο σημείο (, y) θα πρέπει να εξαρτάται μόνο από την προβολή του (, y) στην κάθετη κατεύθυνση ( 1, 1 ): (, y) ( 1 1, ) = y Καταλήγουμε, λοιπόν, στο συμπέρασμα ότι η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (16) είναι (19) u(, y) = f ( y ), για (, y) R, με f μια αυθαίρετη, συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση Πολύ εύκολα επαληθεύει κανείς ότι οι συναρτήσεις της μορφής (19) αποτελούν όντως λύσεις της (16)

12 6 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης y y (, y) A Σχήμα 13: Αριστερά: Οικογένεια χαρακτηριστικών γραμμών της εξίσωσης (16), με συνεχή γραμμή, και καθέτων προς τις χαρακτηριστικές, με διακεκομμένη γραμμή Δεξιά: Προβολή του (, y) σε ευθεία κάθετη στις χαρακτηριστικές Σχόλιο Αν εφαρμόσουμε αυτές τις ιδέες στη διαφορική εξίσωση (15), δηλαδή τη u = 0, τότε διαπιστώνουμε ότι αυτή γράφεται ισοδύναμα στη μορφή y (, y) u 1, 0 = 0, δηλαδή u 1, 0, και κατά συνέπεια οι καμπύλες στάθμης είναι παράλληλες στο διάνυσμα (1, 0), δηλαδή προς τον άξονα των Έτσι συμπεραίνουμε ότι η λύση εξαρτάται μόνο από την προβολή (, y) (0, 1) = y, οπότε u(, y) = f(y), με f μια αυθαίρετη, συνεχή συνάρτηση Παρατήρηση 11 Βεβαίως, η ουσιαστική πληροφορία στην (19) είναι το γεγονός ότι η u εξαρτάται από τη διαφορά y, η εμφάνιση της στον παρονομαστή είναι θέμα κανονικοποίησης Η (19) γράφεται ισοδύναμα στη μορφή u(, y) = h(y ) ή u(, y) = g( y), με αυθαίρετες, συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις h και g, κλπ Δεύτερη προσέγγιση: σύστημα συντεταγμένων Η ιδέα εδώ είναι με κατάλληλη επιλογή του συστήματος συντεταγμένων να αναγάγουμε τη διαφορική εξίσωση (16) στην τετριμμένη μορφή (15)

13 11 Εισαγωγή 7 y y ϑ Σχήμα 14: Περιστροφή του συστήματος των αξόνων κατά γωνία ϑ = π/4 κατά τη θετική φορά Υπενθυμίζουμε ότι ο ορθογώνιος πίνακας O, ( ) cos ϑ sin ϑ O :=, sin ϑ cos ϑ στρέφει ένα διάνυσμα (, y) κατά γωνία ϑ, κατά τη θετική φορά, δηλαδή αντίστροφα προς τη φορά των δεικτών του ωρολογίου Τώρα, λόγω της ορθογωνιότητας του O, έχουμε (110) ( y ) ( ) = O y O T ( y ) ( ) = y Στην ειδική περίπτωση ϑ = π/4, έχουμε = (cos ϑ) + (sin ϑ)y = y = (sin ϑ) + (cos ϑ)y = ( + y) (y ) Λόγω του ότι η έκφραση u + u y είναι πολλαπλάσιο της κατά κατεύθυνση παραγώγου της u στην κατεύθυνση του άξονα, αναμένουμε ότι η (16) θα πάρει την απλούστερη μορφή u = 0 στις νέες μεταβλητές, y Πράγματι, λαμβάνοντας υπ όψιν την (110), ορίζουμε τη συνάρτηση ũ ως ũ(, y ) := u ( O T ( y ) ),

14 8 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης και έχουμε u = ũ + ũ y y u y = ũ οπότε αθροίζοντας λαμβάνουμε = ũ ũ y, + ũ y, y + ũ y y y = ũ u + u y = ũ Επομένως, η (16) γράφεται στη μορφή ũ = 0, και κατά συνέπεια έχουμε u(, y) = ũ(, y ) = f(y ), με αυθαίρετη, συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση f, δηλαδή u(, y) = f ( y ), για (, y) R Τρίτη προσέγγιση: Χαρακτηριστικές ως τροχιές, ΠΑΤ Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών τιμών για τη διαφορική εξίσωση (16), (111) u + u y = 0, (, y) U := (, y) : R, y > 0}, u(, 0) = f(), R, με δεδομένη μια ομαλή συνάρτηση f : R R Η ιδέα τώρα είναι να αντικατασταθεί το πρόβλημα (111) με ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες θα καθορίζουν τις τροχιές των σωματίων στο πεδίο που ορίζει η u Γ (, y) Σχήμα 15: Τροχιά ενός σημείου Πληροφορία από το Γ θα καθορίζει την τιμή της u στο σημείο (, y) Είναι εντυπωσιακό ότι αυτή η ιδέα μπορεί να υλοποιηθεί για την ευρύτατη κλάση

15 11 Εισαγωγή 9 F στη διαφορική εξίσωση (1) Η γεωμετρία του Γ σε σχέση με το σύνολο U και τη θέση του σημείου (, y) παίζει, βέβαια, σημαντικό ρόλο Έστω, λοιπόν, η χαρακτηριστική ( ) ( ) (s), y(s), με παράμετρο s, (0), y(0) = (0, y 0 ), και έστω ότι (11) z(s) = u ( (s), y(s) ) Προσβλέπουμε στην κατασκευή ενός συστήματος ΣΔΕ της μορφής ẋ =, ẏ =, ż =, όπου με ẋ συμβολίζουμε την πρώτη παράγωγο της ως προς την παράμετρο s κλπ Αφού από την (11) έπεται αμέσως ότι ż = u ẋ + u y ẏ, αν επιβάλουμε στις και y τις συνθήκες ẋ(s) = ẏ(s) = 1, τότε η διαφορική εξίσωση u + u y = 0, βλ (111), οδηγεί στην απλούστατη εξίσωση ż(s) = 0 για τη συνάρτηση z Ορίζουμε, λοιπόν, τις συναρτήσεις (s) και y(s) μέσω των προβλημάτων αρχικών τιμών y ẋ = 1, (0) = 0, ( 0, y 0 ) (113) ẏ = 1, y(0) = y 0 ( (s), y(s) ) Όπως προαναφέραμε, για αυτήν την επιλογή των και y, η z ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση (114) ż(s) = 0 κατά μήκος της χαρακτηριστικής Επομένως, αν η χαρακτηριστική τέμνει τον άξονα των για κάποιο s, τότε θα έχουμε (115) z( s) = z(0) = u(0, y 0 ), z( s) = u ( ( s), 0 ) = f ( ( s) )

16 10 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Απομένει τώρα να υπολογίσουμε το ( s) Αυτό μπορεί να γίνει πολύ εύκολα ως εξής: Οι λύσεις των προβλημάτων αρχικών τιμών (113) είναι, προφανώς, (s) = s + 0, y(s) = s + y 0, y ( 0, y 0 ) ιδιαίτερα η χαρακτηριστική είναι στην προκειμένη περίπτωση ευθεία γραμμή Η y( s) = 0 δίνει s = y 0, συνεπώς έχουμε ( s) = y Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή στη σχέση (115), λαμβάνουμε u( 0, y 0 ) = f ( ( s) ) = f( 0 y 0 ) Κατά συνέπεια, η λύση u του προβλήματος (115) δίνεται από τη σχέση u(, y) = f( y), R, y > 0 Σημείωση Η χαρακτηριστική που χρησιμοποιήσαμε εδώ λέγεται ανάδρομη, γιατί ακολουθήσαμε ακριβώς την αντίστροφη διαδρομή από εκείνη που οδηγεί από το αρχικό σημείο στον άξονα των στο σημείο όπου θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή της λύσης Στη συνέχεια θα γενικεύσουμε κάπως την εξίσωση του Παραδείγματος 1 Παράδειγμα 14 (Εξίσωση μεταφοράς) Για μια θετική σταθερά c και μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση φ : R R, θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών τιμών για τη λεγόμενη εξίσωση μεταφοράς, (116) ut + cu = 0, (, t) U := (, t) : R, t > 0}, u(, 0) = φ(), R Εντελώς αντίστοιχα με την επιλογή στο προηγούμενο Παράδειγμα, η ενδεδειγμένη επιλογή είναι τώρα ẋ = c και ṫ = 1, οπότε, λαμβάνοντας υπ όψιν και τις αρχικές συνθήκες συμπεραίνουμε ότι η χαρακτηριστική ( (s), t(s) ) δίνεται στην προκειμένη περίπτωση από τις y ( 0, y 0 ) σχέσεις (s) = cs + 0, t(s) = s + t 0,

17 11 Εισαγωγή 11 δηλαδή η χαρακτηριστική είναι ευθεία στο επίπεδο t με κλίση c Για να προσδιορίσουμε το σημείο τομής της με τον άξονα των, λύνουμε την εξίσωση t( s) = 0 και παίρνουμε s = t 0, οπότε, αντικαθιστώντας στη (s), λαμβάνουμε ( s) = ct Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι u( 0, t 0 ) = φ( 0 ct 0 ), δηλαδή ότι η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (116) είναι (117) u(, t) = φ( ct), R, t > 0 Σχηματοποίηση της λύσης Στο Σχήμα 16 δίνουμε δύο στιγμιότυπα της λύσης u του προβλήματος αρχικών τιμών, στις χρονικές στιγμές t = 0 και t = 1, και στο Σχήμα 17 τη γραφική παράσταση της u, για μια συγκεκριμένη αρχική τιμή φ u u t = 0 t = 1 φ() c Σχήμα 16: Στιγμιότυπα της λύσης u του (117) στις χρονικές στιγμές t = 0 και t = 1, αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα Το κύμα ταξιδεύει προς τα δεξιά με ταχύτητα c u t Σχήμα 17: Γραφική παράσταση της λύσης u του ΠΑΤ (117) Σημείωση Με την αλλαγή μεταβλητών ũ(, t) := u(c, t) η εξίσωση μεταφοράς u t + cu = 0 ανάγεται στην κάπως απλούστερη μορφή ũ t + ũ = 0, βλ την (16)

18 1 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 1 Γραμμικές εξισώσεις Η ενότητα αυτή πραγματεύεται γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές Θα γνωρίσουμε δύο τρόπους επίλυσής τους, με αλλαγή συντεταγμένων και με τη μέθοδο των χαρακτηριστικών Έστω U R ένα χωρίο και a, b, c, d : U R συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις Θεωρούμε τότε τη γενική γραμμική εξίσωση πρώτης τάξης (118) a(, y)u + b(, y)u y + c(, y)u = d(, y), (, t) U Για να μην εκφυλίζεται η εξίσωση σε κάποιο σημείο, δεν επιτρέπουμε να μηδενίζονται ταυτόχρονα και οι δύο συντελεστές των μερικών παραγώγων, υποθέτουμε δηλαδή ότι [a(, y)] + [b(, y)] 0, για κάθε (, y) U Θα δούμε στη συνέχεια διάφορους τρόπους επίλυσης της (118) 11 Πρώτος τρόπος: Με αλλαγή συντεταγμένων Θα χρησιμοποιήσουμε τις χαρακτηριστικές για να ορίσουμε τις νέες συντεταγμένες, d = a(, y), (119) ds dy = b(, y) ds Διαιρούμε τις διαφορικές εξισώσεις προκειμένου να απαλείψουμε την παράμετρο s και κατ αυτόν τον τρόπο να αναγάγουμε το σύστημα διαφορικών εξισώσεων (119) σε μία διαφορική εξίσωση, την (10) dy d = b(, y) a(, y) Οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης (10) δίνονται, γενικά, σε πεπλεγμένη (έμμεση) μορφή, (11) ξ(, y) = c, με c σταθερά Παράδειγμα 15 Στην περίπτωση a(, y) := y και b(, y) :=, το σύστημα (119) και η εξίσωση (10) λαμβάνουν τη μορφή d ds = y, dy ds = και dy d = y,

19 1 Γραμμικές εξισώσεις 13 αντίστοιχα Επομένως, έχουμε ydy d = 0 και συμπεραίνουμε ότι 1 ( y ) = c Η ιδέα τώρα είναι να χρησιμοποιήσουμε ως συντεταγμένες δύο συστήματα καμπυλών, εκ των οποίων το ένα η οικογένεια λύσεων (11) και το άλλο (1) η(, y) = c, με c σταθερά, που θα επιλεγεί στη συνέχεια κατάλληλα ώστε να απλοποιηθεί η εξίσωση Κατ αρχάς απαιτούμε ξ η ξ y η y 0, σε κάθε σημείο (, y) U, ούτως ώστε ο μετασχηματισμός (, y) (ξ, η), (13α) ξ = ξ(, y), η = η(, y), να είναι τοπικά αντιστρέψιμος, δηλαδή να επιτρέπει να εκφράσουμε τα και y συναρτήσει των ξ και η, οπότε η (13α) θα γράφεται ισοδύναμα στη μορφή (13β) = (ξ, η), y = y(ξ, η) Ορίζουμε, λοιπόν, τη συνάρτηση ũ ως (14) u(, y) = u ( (ξ, η), y(ξ, η) ) =: ũ(ξ, η) Προκειμένου να εκφράσουμε την αρχική διαφορική εξίσωση (118) στις μεταβλητές ξ και η, απαιτείται να υπολογίσουμε τις παραγώγους u και u y συναρτήσει των ũ ξ και ũ η Αμέσως διαπιστώνουμε ότι από την (14) προκύπτει ότι u = ũ(ξ, η) = ũ ξξ + ũ η η, u y = y ũ(ξ, η) = ũ ξξ y + ũ η η y Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην (118), οδηγούμαστε στη διαφορική εξίσωση (15) (aξ + bξ y )ũ ξ + (aη + bη y )ũ η + cũ = d

20 14 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Τώρα, κάθε σημείο (, y) U βρίσκεται σε κάποια y καμπύλη στάθμης Σ c της ξ, Σ c := (, y) U : ξ(, y) = c}, για κατάλληλη τιμή της σταθεράς c ξ = c 1 } =: Σ c1 Επί της καμπύλης Σ c, η y μπορεί να θεωρηθεί ως ξ = c } =: Σ c συνάρτηση της, y = y() Πάνω στην καμπύλη Σ c έχουμε επομένως η = c η = c 1 0 = d ( ) ξ(, y() = ξ + ξ y y, d οπότε, λαμβάνοντας υπ όψιν την (10), 0 = ξ + ξ y b/a, δηλαδή (16) aξ + bξ y = 0 Κατά συνέπεια, η (15) απλοποιείται και λαμβάνει τη μορφή (17) (aη + bη y )ũ η + cũ = d Σημειώνουμε ότι ακόμη δεν έχουμε καθορίσει τη συνάρτηση η έχουμε δηλαδή ακόμα την ελευθερία να την επιλέξουμε κατάλληλα στη συνέχεια Η διαφορική εξίσωση (17) είναι ουσιαστικά μια συνήθης διαφορική εξίσωση, αφού περιέχει μόνο παραγώγους ως προς μία μόνο μεταβλητή, την η Πριν μπορέσουμε να προχωρήσουμε στην επίλυση της (17), πρέπει να εκφράσουμε τις μεταβλητές και y συναρτήσει των ξ και η Στο επόμενο Παράδειγμα θα δούμε με ποιον τρόπο πρέπει να χειριστούμε αυτό το ζήτημα Παράδειγμα 16 Θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση yu + u y yu = y, (, y) R Όπως είδαμε στο Παράδειγμα 15, στην προκειμένη περίπτωση έχουμε ξ(, y) = ( y )/, οπότε, αφού a(, y) = y, b(, y) =, c(, y) = y και d(, y) = y, η αντίστοιχη της (17) είναι τώρα (yη + η y )ũ η yũ = y Επιλέγουμε τώρα, αυθαίρετα, η(, y) :=, επιλογή που ικανοποιεί το κριτήριο μη μηδενισμού της σχετικής ορίζουσας στο χωρίο U 1 := (, y) R : y > 0}, και οδηγεί στην εξίσωση yũ η yũ = y ή ũ η ũ =, δηλαδή ηũ η ũ = η,

21 1 Γραμμικές εξισώσεις 15 μια συνήθη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης Η γραμμική αυτή εξίσωση επιλύεται εύκολα και, αφού η αυθαίρετη σταθερά (ως προς η) είναι εν γένει συνάρτηση της παραμέτρου ξ, η γενική της λύση είναι της μορφής ũ(ξ, η) = f(ξ)η + η ln η, με μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση f Επομένως, συμπεραίνουμε ότι (18) u(, y) = f ( y ) + ln, σύμφωνα με την (14) Στη συνέχεια θα επικεντρώσουμε την προσοχή μας σε μια εναλλακτική επιλογή της συνάρτησης η, παραδείγματος χάριν την η(, y) := ( + y )/ Με αυτήν την επιλογή, οδηγούμαστε στη διαφορική εξίσωση ũ η ũ =, η οποία στις μεταβλητές ξ και η λαμβάνει τη μορφή ũ η 1 (ξ + η)ũ = 1 ξ + η Ολοκληρώνοντας την τελευταία εξίσωση, παίρνουμε ũ(ξ, η) = ξ + η ln ξ + η + G(ξ) ξ + η, με μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση G Σύμφωνα με την (14), συμπεραίνουμε ότι (19) u(, y) = G ( y ) + ln Η σχετική ορίζουσα στη δεύτερη αυτή επιλογή είναι ξ ξ y = y y = y η η y Στο πρώτο τεταρτημόριο, U := (, y) R :, y > 0}, η ορίζουσα αυτή είναι διάφορη του μηδενός Βεβαίως, στο χωρίο U οι λύσεις που δίνονται στις (18) και (19) συμπίπτουν Σημείωση Αποτελεί πάγια τακτική να παραλείπεται η στην (14), γράφουμε δηλαδή u(ξ, η) αντί ũ(ξ, η)

22 16 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Παράδειγμα 17 Θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση u 1 + u + ( 1 )u = Ακολουθώντας τα βήματα που αναφέραμε στη θεωρία, ορίζουμε κατ αρχάς ξ( 1, ) := 1 και οδηγούμαστε στην εξίσωση (130) u η (η 1 + η ) + ( 1 )u = , βλ την (15) Για τη δοθείσα επιλογή της ξ έχουμε ξ 1 ξ = 1 = η η 1 η 1 η η 1 η Μπορούμε, συνεπώς, να επιλέξουμε η( 1, ) := 1 και να εξασφαλίσουμε ότι η ορίζουσά μας δεν μηδενίζεται Για αυτήν την επιλογή της η, η εξίσωση (130) λαμβάνει τη μορφή ή, ισοδύναμα, u η + ( 1 )u = , u η ξu = 5ηξ ξ Χρησιμοποιώντας τον ολοκληρωτικό παράγοντα e ξη, μπορούμε εύκολα να λύσουμε την τελευταία εξίσωση, κατά τα γνωστά από τη θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων Πράγματι, η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως d ( ) ue ξη = ( 5ηξ ξ )e ξη, dη οπότε, ολοκληρώνοντας, λαμβάνουμε ue ξη = 5 ηξe ξη dη ξ e ξη dη = 5 ( η + 1 ξ ) e ξη ξ e ξη + C(ξ), συνεπώς u = 5 ( η + 1 ξ ) ξ + C(ξ)e ξη Εκφράζοντας τώρα τις μεταβλητές ξ και η συναρτήσει των 1 και, οδηγούμαστε στη γενική λύση u της εξίσωσής μας, u( 1, ) = 5 ( ) + ( 1 ) + f( 1 )e ( 1 ) 1, με μια αυθαίρετη, συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση f

23 1 Γραμμικές εξισώσεις 17 1 Δεύτερος τρόπος: Με χαρακτηριστικές Θεωρούμε πάλι τη διαφορική εξίσωση (118) Όπως στο Παράδειγμα 13, θέλουμε να κατασκευάσουμε καμπύλες ( (s), y(s) ) τέτοιες ώστε η λύση u να διαβάζει τα αρχικά δεδομένα σε κάποιο σημείο του συνόλου Γ και να μας δίνει την τιμή της λύσης σε ένα σημείο της καμπύλης Γ (, y) Σχήμα 18: Τροχιά ενός σημείου Βασικά, επιδιώκουμε να αναγάγουμε τη ΜΔΕ σε ένα ισοδύναμο σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων της μορφής ẋ =, ẏ =, ż =, όπου z(s) := u ( (s), y(s) ) Αντίστοιχα με την επιλογή μας στην περίπτωση του Παραδείγματος 13, βλ την (113), η ενδεδειγμένη επιλογή στην προκειμένη περίπτωση φαίνεται να είναι ẋ(s) = a ( (s), y(s) ), ẏ(s) = b ( (s), y(s) ) Όντως, τότε θα έχουμε ż(s) = d ds u( (s), y(s) ) = u ẋ + u y ẏ = u a + u y b, οπότε, σύμφωνα με την (118), ż(s) = d ( (s), y(s) ) c ( (s), y(s) ) z(s) Έτσι προκύπτει συνολικά το ακόλουθο σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων ẋ = a(, y), (131) ẏ = b(, y) ż = d(, y) c(, y)z

24 18 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Είναι αξιοσημείωτο ότι το σύστημα των δύο πρώτων διαφορικών εξισώσεων στο (131) είναι κλειστό, και συνεπώς μπορεί να επιλυθεί χωρίς εμπλοκή της τρίτης συνάρτησης z Το κεντρικό ζήτημα είναι, βεβαίως, κατά πόσον δοθέντος ενός σημείου ( 0, y 0 ) U, που θα καθορίσει τις αρχικές τιμές (0) = 0 και y(0) = y 0, η λύση ( (s), y(s) ) τέμνει, για κάποια τιμή της παραμέτρου s, το Γ Καθοριστικό ρόλο εδώ παίζουν τόσο η γεωμετρία του U όσο και το διανυσματικό πεδίο ( a(, y), b(, y) ) Ως ένα παράδειγμα στο οποίο η χαρακτηριστική δεν διαβάζει τα δεδομένα από το Γ αναφέρουμε το εξής: Έστω U ο κυκλικός δακτύλιος που περιέχεται μεταξύ δύο ομόκενρων κύκλων με ακτίνες r 1 και r, αντίστοιχα, με r > r 1, U := (, y) : = r cos ϑ, y = r sin ϑ, r 1 < r < r, 0 ϑ < π Αν Γ είναι η περιφέρεια του εσωτερικού κύκλου και η χαρακτηριστική που διέρχεται από ένα σημείο (, y) U είναι μια σπείρα που τέμνει την περιφέρεια του εξωτερικού κύκλου και πλησιάζει όσο θέλουμε χωρίς να φτάνει ποτέ την περιφέρεια του εσωτερικού κύκλου, τότε αυτή δεν μπορεί να διαβάσει τα δεδομένα του Γ Βλέπε το Σχήμα 19 Σχήμα 19: Η χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο είναι σπείρα που πλησιάζει το Γ, την περιφέρεια του εσωτερικού κύκλου, χωρίς να την φτάνει ποτέ Στη συνέχεια επικεντρώνουμε την προσοχή μας σε ένα Παράδειγμα, μια παραλλαγή του Παραδείγματος 16 Παράδειγμα 18 Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών (13) yu u y yu = y στο U := (, y) : > 0, y > 0}, u = g στο Γ := (, y) : > 0, y = 0},

25 1 Γραμμικές εξισώσεις 19 για μια δεδομένη, ομαλή συνάρτηση g : Γ R Για αυτά τα δεδομένα, το σύστημα (131) λαμβάνει τη μορφή (133) ẋ = y, ẏ =, ż = y( + z) Από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος λαμβάνουμε dy d = y και συμπεραίνουμε αμέσως ότι η + y έχει σταθερή τιμή, για όλα τα s, οπότε + y = 0 + y 0 Κατ αυτόν τον τρόπο απαλείψαμε την παράμετρο s από τη χαρακτηριστική και y ( 0, y 0 ) παραμετρικοποιήσαμε τη χαρακτηριστική ως προς τη μεταβλητή Συνεπώς, το αποτέλεσμά μας είναι ότι η χαρακτηριστική είναι η καμπύλη (, y() ), με θετικά και y τέτοια ώστε +y = 0+y 0 Πρόκειται, προφανώς, για ένα κυκλικό τόξο ενός κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 0 + y 0 Η εν λόγω χαρακτηριστική τέμνει το σύνορο Γ στο σημείο P = ( 0 + y 0, 0 ), βλ και το Σχήμα παραπλεύρως Εντελώς παρόμοια, από την πρώτη και την τρίτη εξίσωση του συστήματος (133) λαμβάνουμε την εξίσωση η γενική λύση της οποίας είναι dz d = 1 + z, (134) z() = ln + ln C, με C αυθαίρετη σταθερά Τώρα, από τον ορισμό της z έχουμε z() = u (, y() ), οπότε (135) u( 0, y 0 ) = z( 0 ) και ( ) ( ) (136) u 0 + y0, 0 = z 0 + y0 P

26 0 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Από τις (134) και (135) έπεται ότι z() = ln + z( 0) 0 ln 0 0 = ln + u( 0, y 0 ) 0 ln 0 0 Λαμβάνοντας τώρα υπ όψιν και την (136), συμπεραίνουμε ότι ( ) (137) g 0 + y0 = 0 + y0 ln 0 + y0 + u( 0, y 0 ) 0 ln y 0 0 Λύνοντας αυτή τη σχέση, εκφράζουμε τη u( 0, y 0 ) συναρτήσει των δεδομένων, οπότε παίρνουμε και τη λύση u(, y), για (, y) U Παράδειγμα 19 Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών yu u y yu = y, (, t) U := (, y) : y > > 0}, u(, ) =, > 0 Η πρώτη εντύπωση είναι ίσως ότι το παράδειγμα αυτό αποτελεί ειδική περίπτωση του προηγουμένου, με συγκεκριμένη επιλογή της g βλ Παράδειγμα 18 Μια προσεκτικότερα ματιά αποκαλύπτει, όμως, ότι το U είναι τώρα διαφορετικό Σύμφωνα με όσα αναφέραμε στη θεωρία, επιλέγουμε τις συναρτήσεις, y και z κατά τρόπον ώστε ẋ = y, (0) = 0, ẏ =, y(0) = y 0, ż = y( + z), z(0) = u( 0, y 0 ) Από τις δύο πρώτες εξισώσεις έπεται αμέσως ότι dy d = y, οπότε + y = 0 + y 0 Η χαρακτηριστική της εξίσωσης που διέρχεται από το σημείο ( 0, y 0 ) είναι, συνεπώς, ( (s), y(s) ) = (, y) R : + y = 0 + y 0}, δηλαδή περιφέρεια κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 0 + y 0 Στην τομή αυτής της περιφέρειας με τη Γ έχουμε y =, επομένως = 0 + y 0 Άρα, το σημείο τομής είναι ( 0 + y0, 0 + y 0 )

27 13 Μη γραμμικές εξισώσεις 1 Αντίστοιχα, από την πρώτη και την τρίτη εξίσωση του συστήματος προκύπτει dz d = 1 + z, και εύκολα διαπιστώνουμε ότι z() = ln + (ln C), με μια θετική σταθερά C Αλλά, z 0 = z( 0 ) = 0 ln 0 + (ln C) 0, οπότε z() = ln + z 0 0 ln 0 0 Συνδυάζοντας τώρα αυτό το αποτέλεσμα με την αρχική συνθήκη z ( 0 + y0 ) ( 0 + y0 = u οδηγούμαστε στο συμπέρασμα, 0 + y0 ) = 0 + y0 δηλαδή z( 0 ) = 0 ln ln 0 + y0, u( 0, y 0 ) = 0 ln ln 0 + y0 Γράφοντας απλώς στη θέση του 0 και y στη θέση του y 0, λαμβάνουμε τη λύση u του προβλήματός μας, + y u(, y) = ln + ln 13 Μη γραμμικές εξισώσεις Σε αυτήν την παράγραφο θα μας απασχολήσει η γενική, γενικά μη γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης (11) Υπενθυμίζουμε ότι το U είναι ένα χωρίο στον R, U R, η F : R 3 U R είναι μια δεδομένη ομαλή συνάρτηση, και η (11) είναι F (u, u y, u,, y) = 0, για (, y) U Ιδιαίτερα θα μας απασχολήσουν δύο περιπτώσεις, ανάλογα με τη μορφή της F Στην πρώτη περίπτωση υποθέτουμε ότι η F είναι της μορφής F (p, q, z,, y) = a(, y, z)p + b(, y, z)q d(, y, z)

28 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Τότε η διαφορική εξίσωση λέγεται οιονεί γραμμική (σχεδόν γραμμική) Η δεύτερη περίπτωση αποτελεί υποπερίπτωση της πρώτης συγκεκριμένα τώρα οι συντελεστές a και b υποτίθενται ανεξάρτητοι του z, δηλαδή F (p, q, z,, y) = a(, y)p + b(, y)q d(, y, z) Σε αυτήν την περίπτωση μιλάμε για μια ημιγραμμική διαφορική εξίσωση Οι χαρακτηριστικές εξισώσεις είναι τώρα της μορφής ẋ(s) = a ( (s), y(s), z(s) ), ẏ(s) = b ( (s), y(s), z(s) ), ż(s) = d ( (s), y(s), z(s) ) Τις πρώτες δύο τις επιβάλλουμε εμείς, για λόγους αντίστοιχους με εκείνους στη γραμμική περίπτωση βλ τις (119) και (131) Η τρίτη εξίσωση είναι απόρροια των δύο πρώτων, του ορισμού z(s) = u ( (s), y(s) ) και της διαφορικής εξίσωσης με τη δοθείσα F Όντως, έχουμε ż(s) = d ds u( (s), y(s) ) = u ẋ + u y ẏ = u a + u y b = d = d ( (s), y(s), z(s) ) Παρατήρηση 1 Στην ημιγραμμική περίπτωση το σύστημα των δύο πρώτων εξισώσεων είναι κλειστό, δεν εξαρτάται δηλαδή από τη z, όπως ακριβώς συνέβαινε και στη γραμμική περίπτωση Αντίθετα, στην οιονεί γραμμική περίπτωση είναι κανείς αναγκασμένος να χειριστεί ταυτόχρονα και τις τρεις εξισώσεις Ας δούμε ένα παράδειγμα: Παράδειγμα 110 Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών (y + u)u ( + yu)u y = y στο U := (, y) R : y >0}, (138) u(, 0) = στο Γ := (, y) R : y =0} Το σύστημα των χαρακτηριστικών είναι, στην προκειμένη περίπτωση, ẋ = y + z, (0) = 0, ẏ = ( + yz), y(0) = y 0, ż = 1 ( y ), z(0) = u( 0, y 0 )

29 13 Μη γραμμικές εξισώσεις 3 Για την επίλυση του μη γραμμικού συστήματος απαιτείται εν γένει κάποιο τέχνασμα, που αξιοποιεί τη συμμετρία Εδώ, πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση επί y και τη δεύτερη επί, και προσθέτοντας τα αποτελέσματα, λαμβάνουμε y (, 0) ( 0, y 0 ) ẋy + ẏ = (y + z)y ( + yz) = y = ż, δηλαδή (y) = ż Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι (s)y(s) = z(s) + C 1, με μια σταθερά C 1 Τώρα, λαμβάνοντας υπ όψιν την αρχική συνθήκη έχουμε 0 y 0 = u( 0, y 0 ) + C 1, δηλαδή ότι C 1 = u( 0, y 0 ) + 0 y 0 Καταλήγουμε, λοιπόν, στη σχέση (139) (s)y(s) = z(s) + u( 0, y 0 ) + 0 y 0 Εντελώς αντίστοιχα, πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση επί και τη δεύτερη επί y, και προσθέτοντας, λαμβάνουμε ẋ + ẏy = y + z y y z = z( y ) = 4zż, οπότε [(s)] + [y(s)] = [z(s)] + C, με μια σταθερά C Τώρα, λαμβάνοντας υπ όψιν την αρχική συνθήκη έχουμε ( 0 ) + (y 0 ) = [u( 0, y 0 )] + C, δηλαδή ότι C = ( 0 ) + (y 0 ) [u( 0, y 0 )] Έτσι, οδηγούμαστε στη σχέση (140) [(s)] + [y(s)] = [z(s)] + ( 0 ) + (y 0 ) [u( 0, y 0 )] Θέτοντας y = 0 σε αυτή τη σχέση, για να προσδιορίσουμε το σημείο τομής (, 0) της χαρακτηριστικής με τον άξονα των, λαμβάνουμε = + ( 0 ) + (y 0 ) [u( 0, y 0 )], δηλαδή (141) + ( 0 ) + (y 0 ) [u( 0, y 0 )] = 0 Εξ άλλου, για y = 0 η (139) δίνει z = u( 0, y 0 ) + 0 y 0 ή, λαμβάνοντας υπ όψιν την αρχική συνθήκη u(, 0) =, ισοδύναμα, (14) = u( 0, y 0 ) + 0 y 0

30 4 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Από τις (141) και (14) προκύπτει αμέσως η σχέση ( u(0, y 0 ) + 1 0y 0 ) + (0 ) + (y 0 ) [u( 0, y 0 )] = 0, δηλαδή (143) ( u(, y) + 1 y) + + y [u(, y)] = 0 (, y) U, σχέση που δίνει σε έμμεση μορφή τη λύση u του προβλήματός μας Παράδειγμα 111 Ζητείται να προσδιορίσουμε τη γενική λύση u της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης ln( + u)u + u y = 1 Θα χρησιμοποιήσουμε την τεχνική των χαρακτηριστικών Προς τούτο θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών (144) ln( + u)u + u y = 1 στο U := (, y) R : y >0}, u(, 0) = g() στο Γ := (, y) R : y =0}, με μια αυθαίρετη, συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση g Το σύστημα των χαρακτηριστικών είναι, στην προκειμένη περίπτωση, ẋ = ln( + z), (0) = 0, ẏ = 1, y(0) = y 0, ż = 1, z(0) = u( 0, y 0 ) Από την τρίτη και τη δεύτερη εξίσωση λαμβάνουμε αμέσως dz = 1, οπότε z = y + C dy 1, με μια σταθερά C 1 Λαμβάνοντας υπ όψιν τις αρχικές συνθήκες στο σύστημα των χαρακτηριστικών έχουμε u( 0, y 0 ) = y 0 + C 1, και συμπεραίνουμε ότι y (, 0) ( 0, y 0 ) (145) z = y + u( 0, y 0 ) + y 0 Αντίστοιχα, από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος των χαρακτηριστικών λαμβάνουμε d dy = ln( + z), οπότε, σύμφωνα με την (145), d dy =

31 14 Προέλευση των ΜΔΕ: Νόμοι διατήρησης 5 ln ( ) ( ) u( 0, y 0 ) + y 0 Άρα, = ln u(0, y 0 ) + y 0 y + C, με μια σταθερά C Λαμβάνοντας υπ όψιν τις αρχικές συνθήκες στο σύστημα των χαρακτηριστικών έχουμε 0 = ln ( ) u( 0, y 0 ) + y 0 y0 + C, δηλαδή C = 0 ln ( ) u( 0, y 0 ) + y 0 y0, και συμπεραίνουμε ότι (146) = ln ( ) u( 0, y 0 ) + y 0 y + 0 ln ( ) u( 0, y 0 ) + y 0 y0 Θέτοντας y = 0 σε αυτή τη σχέση, για να προσδιορίσουμε το σημείο τομής (, 0) της χαρακτηριστικής με τον άξονα των, λαμβάνουμε = 0 ln ( ) u( 0, y 0 ) + y 0 y0, συνεπώς u(, 0) = g( ) = g ( 0 ln ( u( 0, y 0 ) + y 0 ) y0 ) Εξ άλλου, σύμφωνα με την (145), u(, 0) = u( 0, y 0 ) + y 0, επομένως συνολικά u( 0, y 0 ) + y 0 = g ( 0 ln ( ) ) u( 0, y 0 ) + y 0 y0 Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι η λύση u του προβλήματος αρχικών τιμών (144), οπότε και της αρχικής μας εξίσωσης, δίνεται έμμεσα από τη σχέση (147) u(, y) + y = g ( ln ( u(, y) + y ) y ), με αυθαίρετη, συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση g Σχόλιο Στο προηγούμενο παράδειγμα χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο των χαρακτηριστικών για τον προσδιορισμό της γενικής λύσης, μετατρέποντας το πρόβλημά μας σε πρόβλημα αρχικών τιμών με δεδομένη αρχική τιμή Ως αυτό το σημείο δεν υπάρχει κανένας περιορισμός Όμως, επιλέξαμε ως U το άνω ημιεπίπεδο Η επιλογή αυτή είναι, βεβαίως, αυθαίρετη Παρά ταύτα, θα την αποδεχτούμε ως μια εκ των κανονικών επιλογών 14 Προέλευση των ΜΔΕ: Νόμοι διατήρησης Οι διαφορικές εξισώσεις παίζουν, αναμφίβολα, τον πρωταγωνιστικό ρόλο στη μαθηματική μοντελοποίηση διαφόρων φαινομένων, φυσικών κυρίως αλλά και άλλων Εδώ, προκειμένου να πάρουμε απλώς μια γεύση από το θέμα, θα

32 6 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης δούμε με ποιον τρόπο προκύπτουν ορισμένες απλές διαφορικές εξισώσεις από θεμελιώδεις αρχές της Φυσικής Θεωρούμε ένα υλικό κατανεμημένο στον άξονα των, φερ ειπείν, κάποιο ρευστό σε έναν κυλινδρικό, πολύ λεπτό, σωλήνα, με πυκνότητα ρ(, t), στο σημείο, τη χρονική στιγμή t, με ρ : R (0, ) [0, ) μια ομαλή συνάρτηση Η συνολική μάζα M(t) που περιέχεται κατά τη χρονική στιγμή t σε ένα σταθεροποιημένο διάστημα [ 1, ] δίνεται τότε από τη σχέση (148) M(t) = 1 ρ(, t) d 1 Σχήμα 110: Ρευστό σε κυλινδρικό, λεπτό σωλήνα Υποθέτουμε κατ αρχάς ότι μέσα στον σωλήνα δεν λαμβάνουν χώρα χημικές αντιδράσεις ή άλλες παρόμοιες φυσικές διεργασίες, και ότι η μεταβολή της μάζας στο [ 1, ] οφείλεται αποκλειστικά στο γεγονός ότι το ρευστό κινείται, και κατά συνέπεια μπορούμε να έχουμε τόσο εκροή από όσο και εισροή προς το [ 1, ] μέσω των άκρων του 1 και Εισάγουμε τώρα τη συνάρτηση της ροής q(, t), η οποία μετράει την ποσότητα της μάζας που διέρχεται δια μέσω του, από τα αριστερά προς τα δεξιά, ανά μονάδα χρόνου, τη χρονική στιγμή t Όταν η q λαμβάνει αρνητικές τιμές, η κίνηση της μάζας είναι από τα δεξιά προς τα αριστερά Έχουμε, λοιπόν, τον ακόλουθο νόμο διατήρησης της μάζας: (149) d ρ(, t) d = [ q(, t)(+1) + q( 1, t)( 1) ] dt 1 Για να κατανοήσουμε τη σημασία των προσήμων στο δεξιό μέλος αυτής της σχέσης, ας υποθέσουμε ότι q(, t) > 0 και q( 1, t) < 0, δηλαδή ότι μάζα εκρέει και από τα δύο άκρα του [ 1, ] Σε αυτήν την περίπτωση, η μεταβολή της μάζας, που δίνεται στο αριστερό μέλος της (149), θα πρέπει, προφανώς, να είναι αρνητική Αυτό εξηγεί τα αντίστοιχα πρόσημα Η (149) αποτελεί την ολοκληρωτική μορφή του νόμου διατήρησης της μάζας Υπό κατάλληλες συνθήκες ομαλότητας, μπορούμε από την (149) να

33 14 Προέλευση των ΜΔΕ: Νόμοι διατήρησης 7 οδηγηθούμε σε μια τοπική διαφορική μορφή: Αν η ρ είναι συνεχώς παραγωγίσιμη, τότε, κατά τα γνωστά από τον Απειροστικό Λογισμό, η παραγώγιση εναλλάσσεται με την ολοκλήρωση στο αριστερό μέλος της (149), d dt 1 ρ(, t) d = 1 ρ t (, t) d, οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα της μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού, d ρ(, t) d = ρ t (, t)( 1 ), dt 1 για κάποιο ( 1, ) Συνεπώς, η (149) γράφεται στη μορφή (150) ρ t (, t) = q(, t) q( 1, t) 1 Υποθέτοντας τώρα ότι η q είναι συνεχώς παραγωγίσιμη ως προς την πρώτη μεταβλητή, και αφήνοντας τα 1, στην (150) να τείνουν συγχρόνως σε κάποιο, οδηγούμαστε στη διαφορική εξίσωση ρ t (, t) = q (, t), δηλαδή (151) ρ t + q = 0 Η (151) αναφέρεται ως εξίσωση συνέχειας, και αποτελεί τη διατύπωση του νόμου διατήρησης της μάζας σε διαφορική μορφή Η ποσότητα που διατηρείται δεν είναι αναγκαστικά η μάζα Θα μπορούσαμε, για παράδειγμα, να θεωρήσουμε την ορμή, παίρνοντας ως u(, t) την ταχύτητα του ρευστού στο σημείο κατά τη χρονική στιγμή t και, εντελώς αντίστοιχα, να οδηγηθούμε στη διαφορική εξίσωση (15) u t + q = 0 Ανάλογα με το φαινόμενο που μελετάται, μπορεί να υπάρχει σχέση μεταξύ q και ρ, η λεγόμενη καταστατική σχέση Παραδείγματος χάρη, στην περίπτωση της ροής αερίου, μια τέτοια καταστατική σχέση είναι οπότε η (151) λαμβάνει τη μορφή q = 1 u, (153) u t + uu = 0 (εξίσωση του Burgers)

34 8 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Μια άλλη ενδιαφέρουσα καταστατική σχέση είναι ο νόμος του Fourier Θεωρούμε την περίπτωση της μάζας και ειδικότερα το φαινόμενο της διάχυσης: (154) q(, t) = cρ (, t), με μια θετική σταθερά c Το νόημα της (154) είναι ότι αναμένουμε μετακίνηση μάζας από περιοχές υψηλής σε περιοχές χαμηλής πυκνότητας Στην προκειμένη περίπτωση, η (151) λαμβάνει τη μορφή (155) ρ t = cρ (εξίσωση διάχυσης) 15 Συνέπειες της μη γραμμικότητας Κρουστικά κύματα Σε αυτήν την ενότητα θα μας απασχολήσουν κάποιες συνέπειες της μη γραμμικότητας διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης Ιδιαίτερη έμφαση δίνουμε στον σχηματισμό κρουστικών κυμάτων Θεωρούμε την εξίσωση του Burgers (153), δηλαδή (156) u t + uu = 0 Ας δούμε κατ αρχάς εν συντομία τη φυσική σημασία της εξίσωσης Θεωρούμε ένα μονοδιάστατο μέσο, το οποίο προσομοιάζουμε (μοντελοποιούμε) με τον πραγματικό άξονα Η συνάρτηση u είναι το πεδίο της ταχύτητας, δηλαδή η τιμή u(, t) δίνει την ταχύτητα του σωματιδίου στη θέση κατά τη χρονική στιγμή t, (157) Κατά συνέπεια, d dt = u(, t) d dt = d dt u( (t), t ) = u d dt + u t = uu + u t Επομένως, σύμφωνα με την (156), έχουμε (158) d dt = 0 Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι η επιτάχυνση είναι μηδενική, συνεπώς η ταχύτητα του σωματιδίου (t) είναι σταθερή Ως επακόλουθο, σωματίδια που

35 15 Συνέπειες της μη γραμμικότητας Κρουστικά κύματα 9 αρχικά εκινούντο ταχύτερα, εξακολουθούν να κινούνται με υψηλή ταχύτητα, με αποτέλεσμα να φτάνουν άλλα σωματίδια που κινούνται βραδύτερα Αφού, σύμφωνα με την (158), τα σωματίδια διατηρούν σταθερή ταχύτητα, αναπόφευκτα θα οδηγηθούμε σε σύγκρουση σωματιδίων, δηλαδή στη δημιουργία κρουστικών κυμάτων Αρχίζουμε με την ανάλυση μιας ελαφρώς γενικότερης εξίσωσης Burgers θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών (159) ut + c(u)u = 0 στο U := (, t) R : t > 0}, u(, 0) = φ() στο Γ := (, t) R : t = 0}, με φ : R R μια δοθείσα συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση Υποθέτουμε εδώ ότι η συνάρτηση c : R R είναι συνεχώς παραγωγίσιμη και έχει θετική παράγωγο, c () > 0, για κάθε R Η μέθοδος των χαρακτηριστικών δίνει, με t = t(s), = (s) και z(s) = u ( (s), t(s) ), (160) dt ds = 1, t(0) = t 0, d ds = c(z), (0) = 0, dz ds = 0, z(0) = u( 0, t 0 ) Από την τρίτη εξίσωση προκύπτει αμέσως ότι η z είναι σταθερή, z(s) = u( 0, y 0 ), οπότε η δεύτερη εξίσωση δίνει (s) = c ( u( 0, y 0 ) ) s + 0 Από την πρώτη εξίσωση έπεται εξ άλλου ότι t(s) = s + t 0 Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι (161) (s) = c ( u( 0, t 0 ) ) (t t 0 ) + 0 Ιδιαίτερα, λοιπόν, οι χαρακτηριστικές είναι στην προκειμένη περίπτωση ευθείες Ας προσδιορίσουμε τώρα το σημείο ( 0, 0) τομής της χαρακτηριστικής που διέρχεται από το σημείο ( 0, t 0 ) με τον άξονα των, επιλέγοντας t = 0 στην (161), t ( 0, 0) ( 0, t 0 ) (16) 0 = c ( u( 0, t 0 ) ) t 0 + 0

36 30 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Τώρα, σύμφωνα με την ανωτέρω σχέση και το γεγονός ότι t( t 0 ) = 0, η z(s) = u ( (s), t(s) ) δίνει, για s = t 0, z( t 0 ) = u ( ( t 0 ), t( t 0 ) ) = u ( ( t 0 ), 0 ) = u( 0, 0) = φ( 0 ) = φ ( 0 c ( u( 0, t 0 ) ) t 0 ) Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι u( 0, t 0 ) = φ ( 0 c ( u( 0, t 0 ) ) t 0 ), δηλαδή ότι (163) u(, t) = φ ( c ( u(, t) ) t ), (, t) U Η σχέση αυτή είναι ένας χρήσιμος τύπος για τη λύση, σε έμμεση, πεπλεγμένη, μορφή Παρατηρήσεις 13 α) Παραγωγίζοντας την (163) ως προς, λαμβάνουμε u (, t) = ( 1 c ( u(, t) ) u (, t)t ) φ ( c ( u(, t) ) t ), οπότε (164) u (, t) = φ ( c ( u(, t) ) t ) 1 + φ ( c ( u(, t) ) t ) c ( u(, t) ) t Κατά συνέπεια, στην περίπτωση που η φ λαμβάνει αρνητικές τιμές, ο παρονομαστής στην (164) μπορεί γενικά να μηδενιστεί, προκαλώντας έκρηξη της κλίσης της λύσης, δηλαδή u = Δεν μπορούμε, λοιπόν, να αναμένουμε ύπαρξη συνεχώς παραγωγίσιμης λύσης για όλους τους θετικούς χρόνους t β) Οι χαρακτηριστικές του προβλήματος αρχικών τιμών (159) στο επίπεδο t είναι, όπως αναφέραμε ήδη, ευθείες, και, όπως είδαμε, η λύση u είναι σταθερή κατά μήκος κάθε χαρακτηριστικής Η κλίση της χαρακτηριστικής που διέρχεται από το σημείο ( 0, 0) είναι, προφανώς, (165) d dt = c( φ( 0 ) )

37 15 Συνέπειες της μη γραμμικότητας Κρουστικά κύματα 31 Κατά συνέπεια, οι χαρακτηριστικές δεν είναι γενικά παράλληλες μεταξύ τους Ας θεωρήσουμε τώρα t την περίπτωση που η φ είναι γνησίως φθίνουσα Αφού, σύμφωνα με την υπόθεσή μας, η c είναι γνησίως αύξουσα, η σύνθεση c φ θα είναι γνησίως φθίνουσα, ( 0 1, 0) (0, 0) ( 0, t 0 ) οπότε, για 0 1 < 0 θα ισχύει c ( φ( 0 1) ) > c ( φ( 0 ) ) Προκύπτει, λοιπόν, ότι οι χαρακτηριστικές που διέρχονται από τα σημεία ( 0 1, 0) και ( 0, 0) τέμνονται για κάποιο θετικό t Στο σημείο τομής, η λύση u δεν είναι δυνατόν να οριστεί, γιατί θα έπρεπε εκεί να λαμβάνει αφ ενός την τιμή φ( 0 1), αφού το σημείο τομής ανήκει στη χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο ( 0 1, 0), αφ ετέρου δε την τιμή φ( 0 ), αφού το σημείο τομής ανήκει και στη χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο ( 0, 0) Στην αντίφαση αυτή οδηγηθήκαμε, γιατί δεν λάβαμε υπ όψιν μας το γεγονός ότι η μέθοδος των χαρακτηριστικών προϋποθέτει ότι η u είναι συνεχώς παραγωγίσιμη, και αυτό δεν ισχύει γενικά στην περίπτωση μη γραμμικών εξισώσεων Η μέθοδος λοιπόν καταρρέει ακριβώς λόγω αυτού του γεγονότος Παράδειγμα 11 Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών (166) ut + uu = 0 στο U := (, t) R : t > 0}, u(, 0) = φ() στο Γ := (, t) R : t = 0}, με αρχική τιμή, < 0, φ() :=, [0, 1], 1, > 1 y 1 1 φ Η αρχική συνθήκη φ είναι φθίνουσα, συνεχής και τμηματικά συνεχώς παραγωγίσιμη Οι χαρακτηριστικές είναι ευθείες, (167) (t; 0 ) = φ( 0 )t + 0 Ενδιαφερόμαστε κατ αρχάς για τον προσδιορισμό του σημείου τομής των χαρακτηριστικών στον ελάχιστο δυνατό χρόνο, t = t ϑ, τον λεγόμενο χρόνο θραύσης της λύσης Λαμβάνοντας υπ όψιν την αρχική συνθήκη φ, μπορούμε

38 3 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης να γράψουμε τις χαρακτηριστικές που αναφέρθηκαν στην (167) αναλυτικότερα στη μορφή t + 0, 0 < 0, (168) (t; 0 ) = ( 0 )t + 0, 0 [0, 1], t + 0, 0 > 1 Παρατηρούμε ότι οι δύο ακραίες χαρακτηριστικές, (t; 0) = t και (t; 1) = t + 1, τέμνονται στο σημείο (, t) = (, 1), και ότι όλες οι ενδιάμεσες χαρακτηριστικές διέρχονται επίσης από το σημείο (, t) = (, 1) Βλ και το Σχήμα 111 Ο χρόνος θραύσης είναι t ϑ = 1 Στο Σχήμα 11 παρατίθενται στιγμιότυπα της λύσης u(, t), για διάφορους χρόνους t t 1 (t; 0) = t 1 (t; 1) = t + 1 Σχήμα 111: Οι ακραίες χαρακτηριστικές γραμμές (t; 0) = t και (t; 1) = t + 1, με συνεχή γραμμή, και ενδιάμεσες χαρακτηριστικές γραμμές για 0 (0, 1), με διακεκομμένη γραμμή u t = 0 u 0 < t < 1 u t = t t + 1 Σχήμα 11: Στιγμιότυπα της λύσης u(, t), για t = 0, αριστερά, t (0, 1), στο κέντρο, και t = 1, δεξιά Χρησιμοποιώντας τη σχέση (163) και λαμβάνοντας υπ όψιν το γεγονός ότι στην προκειμένη περίπτωση c(u) = u, οδηγούμαστε στη λύση u του προβλήματος αρχικών τιμών (166), για t < 1 Έχουμε, λοιπόν, u = φ( ut) συνεπώς u = ( ut), οπότε u(, t) = 1 t για t < < t + 1

39 15 Συνέπειες της μη γραμμικότητας Κρουστικά κύματα 33 Προφανώς, u(, t) =, για t, και u(, t) = 1, για t + 1 Παρατήρηση 14 Στο Παράδειγμα 11 όλες οι χαρακτηριστικές διέρχονται από το ίδιο σημείο τη στιγμή της θραύσης Αυτό αποτελεί χαρακτηριστικό της αρχικής συνθήκης Βλ Άσκηση Υπολογισμός του χρόνου θραύσης Θεωρούμε τον τύπο (164) Υποθέτουμε προς το παρόν ότι η φ είναι γνησίως φθίνουσα, και υπολογίζουμε το ελάχιστο t για το οποίο μηδενίζεται ο παρονομαστής, (169) 1 + φ (m)c ( φ( 0 ) ) t = 0, όπου θέσαμε m := c(u)t Υπενθυμίζουμε ότι u = φ ( c(u)t ), συνεπώς c(u)t = φ 1 (u) Επίσης, u = u( 0, t 0 ) = φ( 0 ), οπότε από την (169) λαμβάνουμε 1 t = φ (m)c ( φ( 0 ) ) = 1 φ ( φ 1 (u) ) c ( φ( 0 ) ) 1 = φ ( φ 1( φ( 0 ) )) c ( φ( 0 ) ) = 1 φ ( 0 )c ( φ( 0 ) ) Κατά συνέπεια, ο χρόνος θραύσης t ϑ δίνεται από τη σχέση [ 1 ] (170) t ϑ = inf 0 R φ ( 0 )c ( φ( 0 ) ) Παράδειγμα 113 Να προσδιοριστεί ο χρόνος θραύσης του προβλήματος αρχικών τιμών (171) με αρχική τιμή ut + uu = 0 στο U := (, t) R : t > 0}, u(, 0) = φ() στο Γ := (, t) R : t = 0}, φ() := 1, 1, 0, > 1 Κάποιες χαρακτηριστικές του προβλήματος αρχικών τιμών (171) δίνονται στο Σχήμα 113 Σύμφωνα με τον τύπο (170), για τον χρόνο θραύσης έχουμε ( t ϑ = inf 1 ) ( = inf 1 ) ( 1 ) = inf = 1 ξ R φ (ξ) 0<ξ<1 φ (ξ) 0<ξ<1 ξ 1 y 1 φ 1

40 34 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης t 1 ( 1 1+ξ, 1) 1 ξ 1 Σχήμα 113: Τρεις χαρακτηριστικές γραμμές για το πρόβλημα αρχικών τιμών (171) 16 Μελέτη της θραύσης Περιβάλλουσα και αιχμή Θα γνωρίσουμε εδώ δύο βασικές έννοιες, την περιβάλλουσα και την αιχμή, που συντελούν στην κατανόηση κρουστικών κυμάτων 161 Περιβάλλουσα Η περιβάλλουσα Γ μιας οικογένειας Γ ξ } χαρακτηριστικών παίζει σημαντικό ρόλο στην κατανόηση της δημιουργίας κρουστικών κυμάτων Η περιβάλλουσα είναι εξ ορισμού η καμπύλη στο επίπεδο t με την ιδιότητα ότι κάθε χαρακτηριστική που ανήκει στην οικογένεια Γ ξ } εφάπτεται στη Γ Ορισμός 11 Η περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών Γ ξ }, (17) Γ ξ = ( (σ; ξ), t(σ; ξ) ) : σ (α, β), ξ (γ, δ) }, Γ κλάσεως C 1 ως προς (σ, ξ), είναι μια ομαλή καμπύλη Γ, που δεν είναι μέλος της οικογένειας Γ ξ }, τέτοια ώστε σε κάθε σημείο της να εφάπτεται με μια καμπύλη της οικογένειας Γ ξ } Παράδειγμα 114 Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση του Burgers ut + uu = 0 στο U := (, t) R : t > 0}, (173) u(, 0) = φ() στο Γ := (, t) R : t = 0} Γνωρίζουμε ήδη ότι οι χαρακτηριστικές είναι ευθείες, (174) (t; ξ) = φ(ξ)t + ξ, ξ R

41 16 Μελέτη της θραύσης Περιβάλλουσα και αιχμή 35 Έστω (175) Γ = ( (σ), t(σ) ) : σ (α, β) }, t Γ ( ξ, t ξ ) μια καμπύλη που αποτελεί περιβάλλουσα των ευθειών (174) Έστω ( ξ, t ξ ) το σημείο επαφής της ευθείας με τη Γ, (ξ, 0) (176) ξ = φ(ξ)t ξ + ξ, ( ξ, t ξ ) = ( ( σ(ξ) ), t ( σ(ξ) )) Η πρώτη σχέση στην (176) εκφράζει το γεγονός ότι το ( ξ, t ξ ) είναι σημείο της χαρακτηριστικής ενώ η δεύτερη ότι είναι σημείο και της περιβάλλουσας Γ Κατά συνέπεια, στο κοινό σημείο έχουμε (177) ( σ(ξ) ) = φ(ξ)t ( σ(ξ) ) + ξ Τώρα, αφού η ευθεία εφάπτεται στην καμπύλη στο σημείο ( ξ, t ξ ), ισχύει (178) φ(ξ) = ( σ(ξ) ) t ( σ(ξ) ), με = d dσ, t = dt dσ Παραγωγίζοντας την (177) έχουμε ( σ(ξ) ) σ (ξ) = φ (ξ)t ( σ(ξ) ) + φ(ξ)t ( σ(ξ) ) σ (ξ) + 1, συνεπώς, λαμβάνοντας υπ όψιν την (178), ( σ(ξ) ) σ (ξ) = φ (ξ)t ( σ(ξ) ) + ( σ(ξ) ) σ (ξ) + 1 ή φ (ξ)t ( σ(ξ) ) + 1 = 0 Προκύπτει, λοιπόν, ότι (179) t ( σ(ξ) ) = 1 φ (ξ), οπότε η (177) δίνει (180) ( σ(ξ) ) = φ(ξ) φ (ξ) + ξ

42 36 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Η περιβάλλουσα Γ μπορεί, κατά συνέπεια, να παραμετρικοποιηθεί μέσω του ξ, ορίζοντας ˆt(ξ) := t ( σ(ξ) ) και ˆ(ξ) := t ( σ(ξ) ), στη μορφή (181) Γ = (ˆ(ξ), ˆt(ξ) ) : ˆt(ξ) = 1 φ(ξ), ˆ(ξ) = φ (ξ) φ (ξ) + ξ, ξ (α, β)} Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την αρχική συνθήκη (18) φ() := 1, 1, 0, > 1 Υπενθυμίζουμε ότι, για αυτήν την περίπτωση, υπολογίσαμε τον χρόνο θραύσης στην παράγραφο 151 βλ Παράδειγμα 113 Θεωρούμε το τμήμα 0 ξ 1, και τις χαρακτηριστικές Έχουμε ˆt(ξ) = 1 ξ, 1 + ξ ˆ(ξ) = ξ Παρατηρούμε ότι inf ˆt(ξ) = 1 0<ξ 1 = t ϑ t 1 1 = t = t + 1 4t ξ 1 Σχήμα 114: Η περιβάλλουσα για το πρόβλημα αρχικών τιμών (173) στην περίπτωση της αρχικής τιμής (18) Παρατήρηση 15 (Γενική εξίσωση περιβάλλουσας) Η γενική εξίσωση της περιβάλλουσας της οικογένειας Γ ξ = ( (σ; ξ), t(σ; ξ) ) : σ (α, β), ξ (γ, δ) }

43 16 Μελέτη της θραύσης Περιβάλλουσα και αιχμή 37 δίνεται από την εξίσωση (183) σ t σ ξ t ξ = 0, βλ Άσκηση Στην ειδική περίπτωση όπου οι καμπύλες της οικογένειας Γ ξ είναι γραφήματα ως προς τον άξονα των t, δηλαδή όταν t(σ; ξ) = σ, τότε η (183) δίνει σ ξ (184) 0 = 1 0 = ξ, συνεπώς η εξίσωση της περιβάλλουσας είναι (185) ξ = 0 Στην περίπτωση της εξίσωσης του Burgers οι χαρακτηριστικές δίνονται, όπως γνωρίζουμε ήδη, από τις σχέσεις (186) (σ; ξ) = φ(ξ)σ + ξ, t(σ; ξ) = σ, βλ την (174) Επομένως, η (184) δίνει στην προκειμένη περίπτωση 0 = φ (ξ)t + 1, συνεπώς (187) t(ξ) = 1 φ (ξ), οπότε θα έχουμε επίσης (188) (ξ) = φ(ξ) φ (ξ) + ξ Σημειώστε ότι κατ αυτόν τον τρόπο οδηγηθήκαμε πάλι στις (179) και (180) Παράδειγμα 115 Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών τιμών (189) ut + uu + u = 0 στο U := (, t) R : t > 0}, u(, 0) = ke στο Γ := (, t) R : t = 0}, με μια θετική σταθερά k Επιθυμούμε να προσδιορίσουμε τις τιμές του k για τις οποίες θα προκύψει θραύση του κύματος

44 38 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης Θα ασχοληθούμε πρώτα με τις χαρακτηριστικές και εν συνεχεία με την περιβάλλουσα α) Θεωρούμε τη χαρακτηριστική που διέρχεται από το σημείο (ξ, 0), d = u, dt (0) = ξ, du dt = u, u(0) = ke ξ t (ξ, 0) ( 0, t 0 ) Προφανώς, έχουμε u(t) = Ae t, με μια σταθερά A, οπότε, χρησιμοποιώντας και την αρχική συνθήκη u(0) = ke ξ, συμπεραίνουμε ότι Επομένως, η πρώτη εξίσωση γίνεται και εύκολα οδηγούμαστε στη λύση u(t) = ke ξ e t d dt = ke ξ e t, (t) = ke ξ (1 e t ) + ξ β) Προχωρούμε τώρα στο ζήτημα της περιβάλλουσας Η εξίσωση της περιβάλλουσας είναι ξ ) = 0 ke ξ( ξ)(1 e t ) + 1 = 0 t(ξ) = ln (1 eξ kξ Προϋπόθεση για τη δημιουργία κρουστικού κύματος είναι το inf ξ t(ξ) να είναι θετικό Τώρα, t ξ = 0 1 [ e ξ (ξ)(kξ) e ξ (k) ] = 0 ξ = ± 1 1 eξ 4k ξ kξ Κατά συνέπεια, t ( 1 ) e 1/ > 0 0 < k 1 < 1 k > 1 e 1/, οπότε, για αυτές της τιμές του k δημιουργείται κρουστικό κύμα

45 16 Μελέτη της θραύσης Περιβάλλουσα και αιχμή Αιχμή Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση του Burgers, (190) ut + uu = 0 στο U := (, t) R : t > 0}, u(, 0) = φ() στο Γ := (, t) R : t = 0} Αυτή τη φορά, υποθέτουμε ότι η αρχική τιμή φ είναι (πραγματική) αναλυτική και επί πλέον ότι ικανοποιεί τις ακόλουθες τρεις συνθήκες: i) φ (ξ) < 0, για κάθε ξ R ii) Η συνάρτηση φ λαμβάνει μη εκφυλισμένο ελάχιστο στο μηδέν μη εκφυλισμένο με την έννοια ότι φ (0) > 0 iii) Η φ (ξ) τείνει στο μηδέν καθώς το ξ τείνει είτε στο είτε στο t t ϑ Αιχμή Σχήμα 115: Χαρακτηριστικές και αιχμή Σκοπός μας στην παρούσα ενότητα είναι να περιγράψουμε το σύνολο των σημείων στο επίπεδο t όπου οι χαρακτηριστικές συγκρούονται, για το πρόβλημα (190) και υποθέτοντας ότι η αρχική τιμή φ ικανοποιεί τις συνθήκες i), ii) και iii) Σημειώνουμε ότι έχουμε ήδη δει παραδείγματα τέτοιων συνόλων σύγκρουσης, Το απλούστερο ήταν το Παράδειγμα 11, στο οποίο όλες οι χαρακτηριστικές διέρχονται από ένα σημείο, και το σύνολο σύγκρουσης είναι ακριβώς αυτό το σημείο βλ Σχήμα 111 Σε αυτήν την περίπτωση, δηλαδή, η περιβάλλουσα εκφυλίζεται σε σημείο Στο αμέσως επόμενο παράδειγμα, το Παράδειγμα 114 με αρχική τιμή φ αυτή της (18), το σύνολο σύγκρουσης είναι η καμπύλη του Σχήματος 114, που αποτελεί την περιβάλλουσα των χαρακτηριστικών αριστερά από το σημείο θραύσης Η περίπτωση μιας φ που

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y Ασκήσεις στα Μαθηματικά ΙΙΙ Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 2018-2019 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Στις παρακάτω Δ.Ε. να προσδιορίσετε: α) την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΗΓΕΣ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 1 .1 ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ας θεωρούμε το μαγνητικό πεδίο ενός κινούμενου σημειακού φορτίου q. Ονομάζουμε τη θέση του φορτίου σημείο πηγής

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερμότητας. 1 Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερμότητας Εστω είναι ανοικτό σύνολο του με γνωστή θερμοκρασία στο σύνορό του κάθε χρονική στιγμή και γνωστή αρχική θερμοκρασία σε κάθε σημείο του Τότε οι φυσικοί νόμοι μας

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017 Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηματισμοί Legendre. διπλανό σχήμα ότι η αντίστροφη συνάρτηση dg. λέγεται μετασχηματισμός Legendre της f (x)

Μηχανική ΙI. Μετασχηματισμοί Legendre. διπλανό σχήμα ότι η αντίστροφη συνάρτηση dg. λέγεται μετασχηματισμός Legendre της f (x) Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 7/5/000 Μηχανική ΙI Μετασχηματισμοί Legendre Έστω μια πραγματική συνάρτηση f (x) Ορίζουμε την παράγωγο συνάρτηση df (x) της f (x) : ( x) (η γραφική της παράσταση δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συγκεκριμένα: ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση. Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 37 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

Συγκεκριμένα: ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση. Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 37 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Παραδείγματα συνεχή/διακριτά : t t Καρδιογράφημα Σήμα φωνής Σεισμικό σήμα Παραδείγματα : Ασπρόμαυρες Εικόνες Χάρτης Θερμοκρασίας Ακτινογραφία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1 ΘΕΜΑ Έστω οι συναρτήσεις, g με () και g() ln( + ) +. Να αποδείξετε ότι οι C, C g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Στη συνέχεια να δείξετε ότι στο σημείο αυτό έχουν κοινή εφαπτόμενη, την οποία και να βρείτε.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα