Aldagai bakunaren azterketa deskribatzailea (I)

Transcript

1 Aldagai bakuare azterketa deskribatzailea (I) 2007ko otsaila

2 Cotets 1 Datu multzoe ezaugarriak 4 2 Zetralizazio eurriak Batezbesteko aritmetiko siplea Mediaa x eta Me alderatuz Jasakortasu propietatea Moda Batezbesteko bereziak Batezbesteko koadratikoa Batezbesteko geometrikoa Batezbesteko harmoikoa Batezbesteko aritmetiko haztatua Kokape eurriak: koatilak Koatile kalkulua Datuak isolaturik ditugula Datuak tarteta bilduta ditugula Sakabaatze eurriak Sakabaatze eurri absolutuak Ibiltartea Koartil arteko ibiltartea DAME Desbidazio estadarra (eta bariatza) Sakabaatze eurri erlatiboak Aldakortasu koefizietea

3 4.2.2 Koartil arteko aldakortasu koefizietea DAMEre aldakortasu koefizietea Estadarketa Eraskia: Batukariak 24

4 1 Datu multzoe ezaugarriak Datu multzoek ezaugarri ezberdiak dituzte. Zerta ezberditze dira bi datu multzo hauek, maiztasu kurbaz adierazi dituguak eta gizoezko eta emakumezkoe pisuak adierazte dituzteak? Gizoezkoek batezbestez edo orohar batezbesteko pisu hadiagoa dute. Emakumezkoe pisuak sakabaatuagoak dira. Emakumezkoe pisua alborapea edo asimetria erakuste du. Ezaugarri hauek guztiak eta beste batzuk eurri edo estatistiko direlakoe bitartez zehaztuko ditugu. Neurtu ahi dute ezaugarriare arabera eurri mota ezberdiak ditugu: zetralizazio eurriak sakabaatze eurriak alborape eurriak kurtosi eurriak, kotzetrazio eurriak (aldagai metakorretarako),... 2 Zetralizazio eurriak Zetralizazio eurrie helburua baakutza edo datu multzoare zetrua ematea. Zetru eurri batek datu guztie adierazgarri de balio bakar bat emate du. Adibidez, herri bateko batezbesteko erreta 1000 eurokoa dela esate badugu, herri horretako laguek orohar 1000 euro irabazte dutela esa ahi dugu. Kotuz erabili behar dira zetralizazio eurriak: balio bakarra emate digu zetralizazio eurria baio harago, datu multzoare barea ezberditasu hadiak iza daitezke. Hau da, baliteke zetralizazio eurria adierazgarria ez izatea. 4

5 Zetralizazio eurri hauek ikasiko ditugu: batezbesteko aritmetiko siplea mediaa moda batezbesteko bereziak: haztatua, koadratikoa, geometrikoa eta harmoikoa, moztutako batezbestekoak,... Gazteleraz, batezbestekoa media edo promedio esate da. Fratsesez, moyee; eta igelesez, mea. 2.1 Batezbesteko aritmetiko siplea Hoela izedatu eta kalkulatze da: i=1 x = x i Hau da, datue batura zati datu kopurua besterik ez da. Adibidez, matematika lortutako otak jaso ditzagu: 5

6 Nola kalkulatze da batezbestekoa datuak tarteta bilduta badatoz? Kalifikazio hauek jaso ditugula, kalkulatu batezbesteko aritmetiko siplea, baia aurretik histograma marraz ezazu eta batezbestekoa o kokatu behar de apustua egi ezazu. NOTA IKASLEAK Batezbesteko aritmetiko siplea datuak tarteta bilduta daudela kalkulatze deea, jatorrizko datueki kalkulatutako batezbestekoare aldea errore bat sortze dela hartu behar da kotua. Orohar, errore hau oso txikia da kopetsazio efektu bategatik. Dea de, errorerik sortzea ez badugu ahi, hobe da, ahal bada, batezbestekoa (eta ikasi behar ditugu gaierako eurri guztiak) jatorrizko datueki kalkulatzea. 2.2 Mediaa Hoela izedatze da: M e. Datuak txikieetik hadieera ordeaturik ditugul, erdia kokatze de datuare balioa da: datu kopurua bakoitia bada, erdia kokatze de datua bakarra izago da eta mediaa datu horre balioa da. Adibidez, matematika kalifikazio hauek jaso direla, batezbestekoa eta mediaa kalkula itzazu: datu kopurua bikoitia bada, erdia daude datuak bi izago dira. Mediaa bi datu hauek hartze dituzte balioe batezbestekoa izago da. Adibidez, kalifikazio datuak hauek badira, mediaa kalkula ezazu:

7 Nola kalkulatze da mediaa datuak tarteta bilduta baditugu? Prozesua hau da: 1. Maiztasu absolutu metatuak kalkulatze ditugu. 2. Datu kopuruare erdia, 2, kalkulatze dugu. 3. Datu kopuruare erdia azpitik uzte due tartea bilatze da. Mediaa tarte horreta izago da. 4. Mediaako tartea mediaak hartze due balioa, 2 -garre datua alegia, iterpolazio liealez zebateste da. Kalkula ezazu hoela mediaa arestiko kalifikazioetarako: 2.3 x eta Me alderatuz Batezbesteko aritmetiko sipleak abataila hauek ditu mediaare aldea: Datu guztiak hartze ditu kotua, mediaak erdiko datua besterik ez de bitartea. Kalkulatze erraza da, eta mediaak ez bezala, adierazpe aljebraiko argi, erraza du eta garape matematikoa modu erosoa ahalbideratze du: datue batura zati datu kopurua besterik ez da. Mediaak berriz abataila hau du batezbestekoare aldea: muturreko datuek ez dute bere emaitzare gaiea eragi hadirik. Batezbesteko aritmetikoare gaiea aitzitik, muturreko datue eragia abarmea da. Muturreko datue eragikortasu ezari jasakortasua 1 deituko diogu eta hurrego epigrafea aztertze da polikiago. 1 Gazteleraz, robustez. 7

8 2.4 Jasakortasu propietatea Demagu herri batea erretari buruzko ikesta bat egi dugula. Emaitzak, eurota, hauek dira: Ohar zaitez datu haueta multzo agusitik asko aldetze de datu bat daukagula: 110. Datu hau muturreko datua (igelesez, outlier) dela esago dugu. Kalkula ditzagu batezbesteko aritmetiko siplea eta mediaa: x = Me = 10 = 20 Oso ezberdiak dira bi emaitzak. Batezbesteko aritmetikoak ez du zetruare emaitza adierazgarririk emate: iork ez luke esago herri horreta batezbestez 20 irabazte dela. Aitzitik, mediaak bai emate duela emaitza esaguratsu bat: bai esago geukeela orohar 10 irabazte dela herria. Guzti hoe arrazoia hau da: muturreko datuak batezbesteko aritmetikoare gaiea distortsioa eragite du, gora bultzatuz. Mediaare gaiea berriz, muturreko datuek ez dute eragi abarmeik izate. Horregatik esate da mediaa zetralizazio eurri jasakorra 2 dela esate da. Batezbesteko aritmetiko siplea ez da eurri jasakorra, egiaztatu halai za duguez. Jasakortasua propietate desiragarria da, oski. Beraz, muturreko datuak daudeea, hobe izago da zetrua eurtzeko mediaa kalkulatzea. 2.5 Moda Moda dugu hirugarre zetralizazio eurri bat. Hoela defiitze da: datueta gehie errepikatze de balioa da. Beraz, moda bat baio gehiago iza daiteke (eta hau eragozpe bezala hartu behar da, zetrua defiizioz bakarra iza behar baita). Beste defiizio bate arabera, maiztasu kurba gailurra emate digu balioa da. Eta hoela, moda absolutuak eta erlatiboak azal daitezke. 2 Gazteleraz, robusto,-a. 8

9 2.6 Batezbesteko bereziak Egoera batzueta, datu multzo jaki batzuetarako, batezbesteko bereziak kalkulatze dira: batezbesteko koadratikoa, balio positiboak zei egatiboak hartze dituzte aldagaieta; batezbesteko geometrikoa, iteresa tasa edo hazkude tasetarako; batezbesteko harmoikoa, erredimedu eta abiaduretarako; batezbesteko haztatua, datuek pisu ezberdia duteea Batezbesteko koadratikoa Marka bateko mermelada poteek 200 gramuko pisu omiala dute. Poteak betetze ditue makiak ordea modu aldakorrez beteze ditu. Pote batzueta pisu hauek jaso dira: Er- Zebatekoa da batezbesteko errorea edo desbidazioa omialari buruz? roreak hauk dira: 5, 6, 2, 7, 7, 10, 16 Batezbesteko aritmetikoa siplea kalkulatuz: x = 1 gr. garbi dago ezi dela baieztatu batezbesteko errorea gramu batekoa dela. Askoz ere hadiagoa da. Zergatik ez du batezbesteko aritmetikoak emaitza egokia emate? Datu egatiboak positiboeki kopetsatu egite direlako. Kopetsazio efektu hau gerta ez dadi, batezbesteko koadratikoa erabiltze da: i K = x2 i = Beraz, batezbesteko koadratikoa datu positiboak zei egatiboak dituguea erabiliko dugu: erroreetarako, desbidazioetarako,... 9

10 2.6.2 Batezbesteko geometrikoa Pertsoa batek bi urteta ezarri du 100 euroko kapital bat: leheego urtea %5ea eta bigarre urtea %15 ea. Zebatekoa da batesbesteko erretagarritasua bi urteetarako? Batezbesteko aritmetiko siplea erabiliz, emaitza %10 izago litzateke. Baia egokia al da emaitza hau? Ikus dezagu, zebatekoa de bukaerako kapitala: K 2 = 1000 ( ) ( ) = %10ekoa beetako batezbesteko balitz, bi urtere burua aurreko kapital bera ema beharko luke ikus dezagu horrela de: K 2 = 1000 ( ) ( ) = 1210 Kapital hadiagoa emate du. Beraz, beetako batezbestekoa txikiagoa da. Beetakoa hoela kalkulatuko geuke: 1000 (1 + i) 2 = i = = %9.8 Orohar, batezbesteko iteres tasa eta hazkude tasetarako, batezbesteko geometrikoa erabili behar da. Formula hau da (pi maiuskula ikurrak biderkaketa adierazte du eta biderkaria (gazteleraz, productorio) deritzo): G = (x 1 x 2... x ) 1 = ( xi ) 1 Iteres eta hazkude tasetarako, datuei gehi bat egi behar zaie emaitza egokia ema deza. Erabil dezagu aurreko datuetarako: Beste ariketa hau egi ezazu. Azke urteotako salmetak hauek iza dira: 2001 : : : : 42 Zebatekoa da urteko batezbesteko hazkudea? 10

11 2.6.3 Batezbesteko harmoikoa Demagu 2 kilometroko paseo bat egite dugula. Leheego kilometroa orduko 6 kilometroko abiadura egite dugu. Bigarre kilometroa orduko 2 kilometroko abiadura egite dugu. Zebatekoa da batezbesteko abiadura? Batezbesteko aritmetikoa erabiltze badugu, emaitza = 4 kilometro orduko litzateke. Ikus dezagu emaitza hau zuzea de. Paseoa emateko 40 miutu behar ditugu. Batezbesteko aritmetikoak emate digu 4ko abiadura kostateaz ordea 30 miutu beharko geituzke. Beraz, 4 kilometro orduko abiadura ez da egiazkoa. Nola kalkulatu egiazkoa? Batezbesteko abiadurak eta erredimeduak kalkulatzeko, batezbesteko harmoikoa kalkulatze da. Bere formula hau da: H = 1 x i Kalkuluak egiteko ordea formula ahaztu eta lojika erabiliko dugu. Nola kalkulatze da abiadura? Espazioa zati debora da. Beraz, 2 kilometro egiteko 40 miutu=2/3 ordu behai iza dituguez, egiazko batezbesteko abiadura hau izago da: a = 2 2/3 = 3 km/ordu Egiazta dezakezu abiadura hoeta beeta ema ditugu 40 miutu emago ditugula paseoa emateko. Formulak balio berdia emate duela ere egiazta ezazu: H = Ariketatxo bat. Makia batek orduko 4 piezako erredimedua du eta 6 orduz iza dugu futzioatze. Beste batek 10 piezako erredimedua eta 4 orduz iza dugu futzioatze. Zebatekoa iza da orduko erredimedua? 11

12 2.6.4 Batezbesteko aritmetiko haztatua Egoera batzueta, ehueko datuak dituguea esaterako, datuei garratzi, poderazio edo haztape ezberdia ema behar zaie. Adibidez, irakasgai batea bi kotrol iza dira, materiare %30 eta %70 sartze zelarik hurreez hurre. 3 eta 6 atera baud ikasle batek, zebatekoa iza behar da bere ota? 3 eta 6ko datuei garratzi ezberdia ema behar zaie, materia kopuru ezberdia sartze baita bieta. Materia kopuruare arabera haztatu edo poderatu behar dugu: = = Batezbesteko haztatuare formula hau da: xi w i x h = wi Beste adibide bat ema dezagu, Hegoaldeko lagabezi tasa %5ekoa bada eta Iparraldekoa %10ekoa bada, batezbesteko lagabezi tasa lurralde osoa hartuta ezi dugu esa %7.5ekoa deik, Hegoaldeko tasak pisu hadiagoa eduki behar duelako, berta jede gehiago bizi delako. Hegoaldea 2 milioi jede eta Iparraldea jede bizi bada, batezbesteko tasa hau izago litzateke: = = %6 Adibidez, epresa batek bi lehegai bakarrik kotsumitze ditu: ikatza eta buria. Ikatzak %10 igo du bere prezioa. Buriak %20 igo du bere prezioa. Zebatekoa da prezioe batezbesteko igoera epresa horreta? (Petsatu zere arabera haztatu behar de eta horretarako datuak asma itzazu.) 12

13 3 Kokape eurriak: koatilak Batezbestekoek baakutza bate zetrua adierazte dute, baia zetrua ez da baakutza batea iteresgarri de kokape bakarra. Adibide gisa har itzazu galdera hauek: Ikaslee %90ek zebateko kalifikaziotik behera izate dute? Lagilee %60 gazteeak zei adietik beherakoak dira? Autoe %40ek zebateko aitziakotasua dute gutxieez? Ikuste de bezala, zetruaz gaiera beste kokape batzuk ere zehaztu ahi izate dira. Leheego galdera eratzuteko. 90. pertzetila edo P 90 delakoa kalkulatu behar da, bilatze dugu kalifikazioare azpitik ikaslee %90 kokatze delako. Bigarre galdera eratzuteko, 60. pertzetila edo P 60 ema behar da adi horretatik behera pertsoa guztie %60 kokatze delako. Azkeik, eta ere!, hirugarre galdera eratzuteko, 60. pertzetila ema behar da, aitziakotasu horretatik gora lagilee %40 utzi ahi dugulako (eta odorioz, horretatik behera %60). Argi dago ordua 99 pertzetil 3 daudela: P 1, P 2, P 3,..., P 98, P 99 Argi dago hau bete behar dela: P 1 < P 2 < P 3 <... < P 98 < P 99. Badira pertzetil batzuk ize berezia duteak baakutza zati jaki batzueta bereizte dutelako: P 50 = Me, mediaak ere bere azpitik %50 uzte dutelako. P 25, P 50, P 75 pertzetilei 1go, 2g eta 3g koartilak ere deitze zaie (eta Q 1, Q 2, Q 3 izeda daitezke) baakutza lau zatita bereizte dutelako. Mediaa bat dator bigarre koartilareki. P 10, P 20,..., P 90 pertzetilak 1go, 2g,..., 10g dezilak dira (D 1, D 2,..., D 10 era izeda daitezkeela), baakutza 10 zati berdieta bereizte dutelako. Halaber, kitilak, oktilak,... ere defii daitezke. Deak (pertzetilak, koartilak, dezilak,... ) koatil 4 ize geerikopea biltze dira. 3 Fracis Galto, atropologoa eta estatistikaria besteak beste, iza ome ze igelesez percetile (gazteleraz, percetil) hitza erabili zue lehea urteko artikulu batea. 4 Igelesez, quartile, decile, quatile; gazteleraz, cuartil, decil, cuatil, hurreez hurre. 13

14 3.1 Koatile kalkulua Datuak isolaturik ditugula Adibidez, demagu 15 urteko eskatoe altuera hauek jaso ditugula Zei altueratik gorakoak dira eskatoe %20? Beraz, 80. pertzetila kalkulatu behar dugu. Datuak txikieetik hadieera ordeatu behar dira: pertzetila kalkulatu behar duguez, eta datu kopurua 9 dela jakiik, eragiketa hau egite dugu: = pertzetila 7.2garre datua: 170 eta 172 artea dago beraz. Hurbilketa iterpolazioz egite da (0.2=7.2 zebakiare zati dezimala): P 80 = (1 0.2) = Neskatoe %80k zetimetrotik gorako altuera duela zebateste da. Beste pertzetil eta koatiletarako era berea egigo geuke. 14

15 3.1.2 Datuak tarteta bilduta ditugula Aurrekoa bezala garatze da algoritmoa, baia iterpolazioa beste modu batera egite da: pertzetila zebatgarre datua kalkulatu behar dugu eta odore datu hori zei tarteta kokatze de ikusi behar da. Tarte horreta oiarrituta, iterpolazioa egigo dugu. Adibidez, 5garre orrialdeko datuak harturik, ikaslee %40k gaiditzea bilatze bada, zei ota ezarri behar da aprobatzeko? 15

16 4 Sakabaatze eurriak Zetralizazioak ez da baakutza edo datu mutlzo bate ezaugarri bakarra. Adibidez, bi baakutza hauek zetru berdia dute baia bat bestea baio sakabaatuago dago. Leheik, sakabaatze eurri absolutuak ikasiko ditugu. Odore, erlatiboak ikasiko ditugu. Bereizketa zerta datza geroago ikasiko dugu. 4.1 Sakabaatze eurri absolutuak Ibiltartea Ibiltartea 5 datu txikieetik datu hadieera dagoe distatzia besterik ez da: I = max x i mi x i Bere alde esa behar dugu kalkulatze oso erraza dela eta sakabaatzea oso modu ituitiboa emate duela. Bere aurka, datu guztiak ez dituela erabiltze eta ez dela jasakorra. Kalitate kotrol idustrialea erabili ohi da. Zebat eta hadiagoa iza, sakabaatzea ere hadiagoa izago da oski. Adibide siple bat ema dezagu: Koartil arteko ibiltartea Koartil arteko ibiltartea 6 leheego koartiletik hirugarre koartilera dagoe distatzia da: I Q = Q 3 Q 1 Ez ditu datu guztiak erabiltze, baia eurri jasakorra da. Beraz, muturreko datuak daudeea erabiliko dugu, sakabaatzeare eurketak distortsioa jasa ez deza. 5 Igelesez, rage; fratsesez, étedue; gazteleraz, rago edo recorrido. 6 Igelesez, iterquartile rage edo IQR; fratsesez, écart iterquartile; gazteleraz, recorrido itercuartílico. 16

17 4.1.3 DAME Desbidazio absolutue mediaa edo DAME 7 mediaarako datu guztiek dituzte desbidazio absolutue mediaa da: DAME = Me{ x i Me } Abataila hauek ditu: jasakorra eta datu guztiak erabiltze ditu. Baia, bere erabidea edo formula ez da matematikoki maeiatze erosoa. Adibide bat: 7 Gazteleraz, mediaa de las desviacioes absolutas edo MEDA. 17

18 4.1.4 Desbidazio estadarra (eta bariatza) Ibiltarteak eta koartil arteko ibiltarteak sakabaatzea distatzia oiarriturik eurtu dute: datu txikieetik hadieera dagoe distatzia edota 1go koartiletik 3g koartilera dagoe distatzia. Aurreko eurri hauek mugatuak dira, distatzia edo aldakortasua fikatzeko bi balio bakarrik hartze dituztelako. Egokiagoa litzateke datueta biltze de iformazio guztia hartzea kotua distatzia bat emateko: datu guztietatik guztietara dagoe aldakortasua eurtzea zehatzago esada. Horretarako prozedura hau jarraituko dugu: Batezbesteko aritmetikoa kalkulatze da: x Datu bakoitzetik batezbestekora dagoe distatzia kalkulatze da: (x i x) Distatzia haue batezbestekoa kalkulatze da. Distatzia positiboak zei egatiboak izago dituguez, batezbesteko koadratikoa da egokiea: (xi x) 2 Azke emaitza hoi desbidazio estadarra 8 deitze zaio eta sakabaatzea eurtzeko gehie erabiltze de eurria da. Hoela adierazi eta kalkulatze da, beraz: 9 (xi x) s x = 2 Datu bakoitza batezbesteko aritmetikotik zebat uitate desbideratze de adierazte du desbidazio estadarrak. Aldagaiare uitate berdieta eurtze da (datuak kiloak badira, desbidazioa haibat kilo izago da). Hau betetze duela ere beti hartu behar da kotuta: s x 0. Esa behar da eragozpe modua ez dela jasakorra, baia bere alde datu guztiak erabiltze dituela. Desbidazio estadarrare karratuari bariatza (s 2 x) deitze zaio 10 eta sakabaatze eurri modua ere erabil daiteke. Hurrego orria, formula garatu egite da formula erosoago bat lortzeko. 8 Igelesez, stadard deviatio; fratsesez, écart type; gazteleraz, desviació típica. 9 Erro positiboa hartze da beti. Bestalde, datue desbidazioa populazioare desbidazioa zebatesteko erabiltze deea, iferetzia alegia, desbidazio estadarrea zati egi ordez, zati (-1) egite da, zebatespea horrela hobea baita. Azke kasu hoeta, quasi-desbidazioa kalkulatze dela esa behar da. Excel-e esaterako, bi eurriak bereizi egite dira. 10 Igelesez, variace; fratsesez, variace; gazteleraz, variaza. 18

19 Bariatza (eta desbidazio estadarra) kalkulatzeko formula erosoagoa s 2 x = (xi x) 2 = ( karratua garatuz ) = = (x 2 i + x 2 2x i x) = ( batukaria zatituz ) = x 2 i x 2 + 2xi x = = ( kostate biderkatzaileak kapora ateraz eta kostate bate batukariak garatuz ) = = x 2 i +x2 2x x i = ( batezbestekoare f ormula gogoratuz ) = x 2 i + x2 2x 2 = ( siplifikatuz ) = Laburbilduz: x 2 i x2 s 2 x = x 2 i x2 s x = x 2 i x2 19

20 4.2 Sakabaatze eurri erlatiboak Sakabaatze eurri absolutuak ezi dira erabili datu multzo ezberdietako sakabaatzeak alderatzeko. Ikus dezagu zergatik adibide batez: A herrialdeko batezbesteko erreta per capita eurokoa da, desbidazioa estadarra izaik 10 eurokoa; B herrialdeko batezbesteko erreta 20 eurokoa da, desbidazioa izaik 10 eurokoa. Ezi da baieztatu bi herrialdeeta batezbesteko erreta berdia dela, ez baitira berdiak batezbestez pertsoa bakoitza batezbestez 10 euro desbideratzea euroko batezbesteko batetik eta 10 euro desbideratzea 20 euroko batezbesteko batetik. Argi dago beraz, B herrialdea sakabaatzea hadiagoa dela erlatiboki. Orohar, sakabaatze eurri erlatiboak sakabaatze eurri absolutua zetru eurri batez zatituz sortze dira. Ez ahaztu beraz: Datu multzo ezberdietako sakabaatze mailak alderatzeko, sakabaatze eurri erlatiboak erabili behar dira Aldakortasu koefizietea Hoela kalkulatze da: A x = s x x Ehuekota ema ohi da. Batezbestez elemetu bakoitza batezbestekotik ehuekota zebat desbideratze de adierazte du. Bere eragozpea jasakortasua eza da. Bere aldeko putu bat: datu guztiak erabiltze ditu Koartil arteko aldakortasu koefizietea Erabide hoe arabera kalkulatze da: A Q = Q 3 Q 1 Q 3 + Q 1 Jasakorra da baia datu guztiak ez ditu erabiltze. 20

21 4.2.3 DAMEre aldakortasu koefizietea Hoela kalkulatze da: A DAME = DAME Me Jasakorra da eta datu guztieta biltze de iformazio gehiago jasotze du koartil arteko aldakortasu koefizieteak baio. 21

22 4.3 Estadarketa Estadarketa baakutza ezberdietako datuak alderatzeko erabiltze da. Baita ere, datu multzoa uitaterik gabe utzi edo dimetsiogabetu ahi dituguea, datuak estadartu egigo ditugu. Ikus dezagu argiago adibide batez: Aek 8ko kalifikazioa iza du Uibertsitaterako Sarbide Froga batea; beste ikastetxe batea ikasi due Kepak berriz, 7ko kalifikazioa iza du. Nork iza du kalifikazioa altuea? Zei da azkarrea? Eratzua erraza Ae litzateke. Baia ezi da eratzuik ema ikastetxeetako batezbesteko kalifikazioak ezaguak ez badira, ez baita berdia 8 lortzea batezbestekoa 9 dela edota 7 lortzea batezbestekoa 5 dela. Sakabaatzea ere kotuta hartzekoa da: ez da berdia batezbestekotik putu bat desbideratzea desbidazio estadarra izaik 4 edo desbidazioa estadarra izaik 1, azke kasu hoeta gehiago desbideratze baikara. Ae eta Kepa alderatzeko, bi ikastetxeetako batezbesteko otak eta desbidazio estadarrak behar ditugu beraz: Aere ikastetxea Kepare ikastetxea x = 7 x = 5 s x = 2 s x = 1 x i datu bat formula hoe arabera estadartze da, z i datu estadartua delarik: z i = x i x s x Adibidea ebaz dezagu: z Ae = z Kepa = = 0.5 Kepak putuazio estadar altuagoa iza du eta beraz, azkarragoa dela esa daiteke. Bi ikaslee kalifikazioak pututa jasota daude jatorria. Baia zei da kalifikazio estadartue uitatea? Datu estadartuek ez dute uitaterik, horregatik aipatu dut hasiera estadarketa aldagaia dimetsiogabetzeko ere erabil daitekeela. Ohartze bazara, adibidea hartuta, estadarketare zatiketa egite duguea, putuak zati putuak egite ditugu eta odorioz emaitza dimetsiogabea da. = 2 22

23 5 Eraskia: Batukariak Batukaria 11 batuketa adierazte due adierazle matematikoa da. Grekerazko sigma (Σ) hizki hadiz adierazte da. 12 Datuak x 1, x 2,..., x izaik, batukariak hoela izedatu eta kalkulatze da: x i = x 1 + x x i=1 Laburrago ere idatz daiteke, betiere zalatzarik sortze ez bada: i=1 x i = i x i = x i Batukariare propietate hauek maiz erabiltze dira: Propietate 1 : k kostate izaik, k = k i=1 Frogapea: i=1 k = k } + k + {{... + k = k } aldiz Propietate 2 : k kostate izaik, kx i = k i=1 Frogapea: i=1 kx i = kx 1 + kx kx == k(x 1 + x x ) = k i=1 x i Propietate 3 : (x i + y i ) = i=1 i=1 x i x i + Frogapea: i=1 x i + y i = x 1 + y 1 + x 2 + y x + y == (x 1 + x x ) + (y 1 + y y ) = i=1 x i + i=1 y i i=1 i=1 y i Bukatzeko esa behar da, zalatza sortuz gero, batukariare batugaia paretesi artea ezarri behar dela. Adibidez, (x i + k) x i + k 11 Gazteleraz, sumatorio; igelesez, summatio. 12 Leohard Euler matematikariak erabili ome zue ikur hau lehe aldiz urtea. 23