Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών"

Transcript

1 Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας 8 Να κατανοήσουν οι φοιτητές έννοιες όπως η Δειγματοληψία και κατανομή Δειγματοληψίας. Παράλληλα θα πρέπει οι φοιτητές να κατανοήσουν έννοιες όπως Κεντρικό Οριακό Θεώρημα και Διαστήματα Εμπιστοσύνης. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Δειγματοληψία. Κατανομή Δειγματοληψίας. Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Διάστημα Εμπιστοσύνης. Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου. 5

6 Επαγωγική Στατιστική (1/3) Ένα τεράστιο μέρος της έρευνας διενεργείται μέσω της ανάλυσης δειγμάτων προκειμένου να εξάγουμε συμπεράσματα για τον πληθυσμό. Αυτό φυσικά εμπεριέχει ένα βαθμό αβεβαιότητας, Πόσο μπορούμε να εμπιστευτούμε ότι ένα αποτέλεσμα που προκύπτει από το δείγμα είναι έγκυρο και για τον πληθυσμό. Οι τεχνικές της επαγωγικής στατιστικής μετρούν αυτή ακριβώς τη στατιστική αβεβαιότητα. 6

7 Επαγωγική Στατιστική (2/3) Δύο είναι οι κυριότερες διαδικασίες της επαγωγικής στατιστικής: Η εκτίμηση. Ο έλεγχος υποθέσεων. Εάν το δείγμα είναι καλό και αξιόπιστο τότε θα μας οδηγήσει σε σωστά συμπεράσματα για τον πληθυσμό. Εάν ο δείγμα είναι ακατάλληλο τότε θα βγάλουμε λανθασμένα συμπεράσματα. Ακόμα και εάν χρησιμοποιήσουμε τα πλέον εξεζητημένα και πολύπλοκα μεθοδολογικά εργαλεία. 7

8 Επαγωγική Στατιστική (3/3) Πολλές στατιστικές έρευνες έχουν αποτύχει παταγωδώς γιατί το δείγμα που επιλέχθηκε δεν ήταν καλό. Το μυστικό πίσω από την επιλογή του καλού δείγματος βρίσκεται στις λέξεις αντιπροσωπευτικό και τυχαίο. Η με συστηματικό τρόπο, είτε θετικό είτε αρνητικό, μονομερής αντιμετώπιση κάποιων ατόμων ή πραγμάτων ονομάζεται μεροληψία. 8

9 Δειγματοληψία (1/7) Η διαδικασία δημιουργίας ενός ή περισσοτέρων δειγμάτων λέγεται δειγματοληψία. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι δειγματοληψίας για τη συγκρότηση του τυχαίου δείγματος οι οποίες χρησιμοποιούνται κατά περίπτωση. Στη τυχαία δειγματοληψία κάθε μέλος του πληθυσμού έχει μία μη μηδενική πιθανότητα. 9

10 Δειγματοληψία (2/7) Όλα τα μέλη του πληθυσμού έχουν ίση πιθανότητα επιλογής στο δείγμα, Ενώ δεν υπάρχει επανάθεση, δηλαδή κάθε μέλος μπορεί να εμφανιστεί μόνο μία φορά στο δείγμα. Η πιθανότητα επιλογής ενός μέλους είναι ανεξάρτητη από την πιθανότητα επιλογής κάποιου άλλου μέλους. Στη συστηματική τυχαία δειγματοληψία τα μέλη του πληθυσμού δεν έχουν ίση πιθανότητα επιλογής στο δείγμα, Καθώς η επιλογή ενός μέλους εξαρτάται από την επιλογή του προηγούμενου. 10

11 Η επιλογή γίνεται ως εξής: Δειγματοληψία (3/7) Εάν θέλουμε δείγμα 100 από πληθυσμό 1000: o Τότε παίρνουμε το πρώτο μέλος τυχαία από τη θέση 1 έως 10. o Για παράδειγμα το νούμερο 3 και στη συνέχεια επιλέγουμε κάθε 10ο επόμενο μέλος, το νούμερο 13, 23, 33, κλπ. 11

12 Δειγματοληψία (4/7) Στη στρωματοποιημένη τυχαία δειγματοληψία διαιρούμε τον πληθυσμό σε στρώματα. Ομάδες του πληθυσμού που έχουν ένα ή περισσότερα κοινά χαρακτηριστικά. Τα στρώματα πρέπει να είναι αμοιβαία αποκλειόμενα. Ένα άτομο μπορεί να ανήκει σε ένα μόνο στρώμα. Σε κάθε στρώμα κάνουμε απλή τυχαία δειγματοληψία. Συνήθως κάθε στρώμα έχει τόσα μέλη στο δείγμα όση είναι και η αναλογία στον πληθυσμό. 12

13 Δειγματοληψία (5/7) Για παράδειγμα, σε ένα γκάλοπ για τις εκλογές θα πρέπει να έχουμε στο δείγμα μας αναλογίες: Στον τόπο διαμονής. Στο φύλο. Στο έτος ηλικίας. Στο μορφωτικό επίπεδο, κλπ. Ίδιες με το γενικό πληθυσμό. 13

14 Δειγματοληψία (6/7) Εάν μια μεγάλη εταιρεία απασχολεί 45% αποφοίτους Λυκείου, 30% αποφοίτους ΑΕΙ και 25% με μεταπτυχιακό και πάρουμε δείγμα υπαλλήλων θα πρέπει να τηρηθεί η αναλογία αυτή. Στη δειγματοληψία σωρού ο πληθυσμός διαιρείται σε υποπληθυσμούς (clusters). Το δείγμα προκύπτει από κάποιον υπο-πληθυσμό. Για παράδειγμα, για να πάρουμε δείγμα νοσηλευτών από όλα τα νοσοκομεία της χώρας. 14

15 Δειγματοληψία (7/7) Πρώτα παίρνουμε ένα δείγμα νοσοκομείων. Στη συνέχεια επιλέγουμε με κάποια μέθοδο νοσηλευτές μόνο από τα νοσοκομεία του δείγματος νοσοκομείων. Εάν κάνουμε έρευνα ανάμεσα σε καταναλωτές που ψωνίζουν σε ένα μεγάλο εμπορικό κέντρο: Μπορεί να πάρουμε ως δείγμα τυχαία κάποια καταστήματα και να περιλάβουμε μόνο τους πελάτες αυτών των καταστημάτων. 15

16 1.Κατανομή Δειγματοληψίας (1/2) Διάγραμμα 1. 1.Κατανομή Δειγματοληψίας (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 16

17 1.Κατανομή Δειγματοληψίας (2/2) Πίνακας 1.(Προηγούμενη Διαφάνεια). Τιμές x i και f i. Κατανομή είναι η καταγραφή ή το διάγραμμα ή η συνάρτηση όλων των πιθανών τιμών που παίρνει η τυχαία μεταβλητή. Κατανομή πληθυσμού είναι η κατανομή της συχνότητας όλων των τιμών που λαμβάνει μια μεταβλητή σε ένα πληθυσμό (ή πιθανές τιμές). Κατανομή δείγματος μεγέθους n είναι η κατανομή της συχνότητας των τιμών ενός δείγματος μεγέθους n. 17

18 2.Κατανομή Δειγματοληψίας H κατανομή των δειγματικών μέσων από όλα τα δυνατά δείγματα μεγέθους n ενός πληθυσμού μεγέθους Ν. Ο μέσος όρος των δειγματικών μέσων ή αλλιώς της νέας κατανομής των δειγματικών μέσων είναι: μ x = 1 m x i = μ. Ο μέσος όρος όλων των μέσων όρων των δειγμάτων που προκύπτουν από έναν πληθυσμό είναι ίσος με το μέσο όρο του πληθυσμού. 18

19 3.Κατανομή Δειγματοληψίας (1/2) Η διακύμανση της κατανομής δειγματοληψίας είναι: V x = σ2 n. Επομένως, η τυπική απόκλιση του x είναι: σ x = σ n.. 19

20 3.Κατανομή Δειγματοληψίας (2/2) Η τυπική απόκλιση του μέσου εκφράζει τη μέση απόσταση του δειγματικού μέσου από το μέσο του πληθυσμού. Λέγεται τυπικό σφάλμα και συμβολίζεται με SE (από τις λέξεις Standard Error). Δηλαδή: SE = σ n. 20

21 4.Κατανομή Δειγματοληψίας (1/2) Το τυπικό σφάλμα υπάρχει γιατί οι δειγματικοί μέσοι δεν συμπίπτουν με το μέσο του πληθυσμού. Το τυπικό σφάλμα δείχνει ποιος είναι ο μέσος όρος της απόκλισης των μέσων όρων των δειγμάτων από το μέσο του πληθυσμού. 21

22 4.Κατανομή Δειγματοληψίας (2/2) Όσο αυξάνει το μέγεθος του δείγματος τόσο μειώνεται η τιμή του τυπικού σφάλματος: Τόσο πιο κοντά στον πραγματικό μέσο όρο του πληθυσμού θα είναι ο τυπικός δειγματικός μέσος. Αυτό είναι φυσικό, όσο πιο πολλά στοιχεία έχουμε (μεγάλο μέγεθος δείγματος), τόσο περισσότερο θα προσεγγίζουμε την πραγματική παράμετρο του πληθυσμού. 22

23 5.Κατανομή Δειγματοληψίας (1/2) Όσο μεγαλύτερο το δείγμα τόσο μεγαλύτερη η προσέγγιση του μέσου του πληθυσμού. Όμως, προσέξτε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι στον παρονομαστή του τυπικού σφάλματος σε τετραγωνική ρίζα. Έστω n=100. SE = σ 100 = 1 10 σ = 0,1σ. 23

24 5.Κατανομή Δειγματοληψίας Ενώ n=400. (2/2) SE = σ 400 = 1 20 σ = 0,05σ. Δηλαδή, χρειάστηκε να τετραπλασιάσουμε το δείγμα για να διπλασιάσουμε την ακρίβεια: Να μειώσουμε το τυπικό σφάλμα. 24

25 6.Κατανομή Δειγματοληψίας (1/2) Διάγραμμα 2. 6.Κατανομές διαφορετικής διακύμανσης με ίδιο μέσο (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 25

26 6.Κατανομή Δειγματοληψίας (2/2) Σχήμα 1.(Προηγούμενη Διαφάνεια). Κατανομές διαφορετικής διακύμανσης με ίδιο μέσο. H διακύμανση του δειγματικού μέσου γίνεται όλο και μικρότερη όσο μεγαλώνει το δείγμα. Όσο μικρότερη είναι η δειγματική διακύμανση Τόσο μικρότερη θα είναι και η πιθανότητα να βρεθούμε μακριά από τον πραγματικό μέσο. Στην κατανομή με τη μεγάλη διακύμανση υπάρχουν δειγματικοί μέσοι που απέχουν περισσότερο από την πραγματική παράμετρο. 26

27 7.Κατανομή Δειγματοληψίας (1/2) Σε πολλές έρευνες η αύξηση του μεγέθους του δείγματος είναι είτε πολύ δαπανηρή υπόθεση ή ακόμα και αδύνατη. Γιατί οι εταιρείες δημοσκοπήσεων δεν αυξάνουν το μέγεθος του δείγματος; 27

28 7.Κατανομή Δειγματοληψίας (2/2) Μα γιατί εάν η απόσταση των κομμάτων είναι 1%: o Τότε θα πρέπει να κατεβεί το τυπικό σφάλμα πολύ κάτω από 1% για να είναι τα αποτελέσματα που δίνει το γκάλοπ αξιοποιήσιμα. o Για να μικραίνει όμως τόσο πολύ το τυπικό σφάλμα θα πρέπει να αυξηθεί το μέγεθος του δείγματος τόσο πολύ που καθίσταται απαγορευτικό από πλευράς κόστους. 28

29 8.Κατανομή Δειγματοληψίας Παράδειγμα: Έστω ότι: (1/2) Ο πληθυσμός Α είναι όλοι οι εισακτέοι στην Ανώτατη εκπαίδευση για το έτος Ο πληθυσμός Β είναι οι εισακτέοι στην Φιλοσοφική Σχολή Αθηνών την ίδια χρονιά. Αναζητούμε το μέσο όρο της βαθμολογίας και παίρνουμε ένα δείγμα από τον κάθε πληθυσμό. 29

30 8.Κατανομή Δειγματοληψίας (2/2) Η μεταβλητότητα στους δύο πληθυσμούς είναι πολύ διαφορετική. Στον πληθυσμό Α η τυπική απόκλιση μπορεί να είναι ή μονάδες. o Ενώ στον πληθυσμό Β, εάν υποθέσουμε ότι η βάση εισαγωγής στην Φιλοσοφική Σχολή Αθηνών είναι , η τυπική απόκλιση είναι κάπου 200 μονάδες. 30

31 9.Κατανομή Δειγματοληψίας (1/2) Επομένως, δυο είναι οι παράγοντες που παίζουν ρόλο στην καλύτερη προσέγγιση της πραγματικής τιμής: Το μέγεθος του δείγματος. Η διασπορά του γεννήτορα πληθυσμού: o Var(x) = SE = σ n. 31

32 9.Κατανομή Δειγματοληψίας (2/2) Αν ο πληθυσμός από το οποίο πήραμε το δείγμα είναι πεπερασμένος, τότε η διακύμανση θα είναι : N n N 1. σ x = σ n Παρόλα αυτά στις πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιείται ο τύπος : Var(x) = σ2 n. 32

33 Παράδειγμα 1 (1/5) Έστω ένας πληθυσμός με δεδομένα: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ο μέσος αυτού του πληθυσμού είναι: μ = 1 Ν ι=1 x i = Η διακύμανση είναι: = 4,5. σ 2 = 1 Ν ι=1 Ν (x i μ) 2 = 5,25. Παρακάτω λαμβάνουμε όλα τα δυνατά δείγματα (με επανατοποθέτηση) μεγέθους n=2. 33

34 Παράδειγμα 1 (2/5) Διάγραμμα 3. Παράδειγμα 1 (2/5) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 34

35 Παράδειγμα 1 (3/5) Πίνακας 2.(Προηγούμενη Διαφάνεια). Δυνατά δείγματα με επανατοποθέτηση μεγέθους n=2 του πληθυσμού με δεδομένα 1,2,3,4,5,6,7,8. 35

36 Παράδειγμα 1 (4/5) Διάγραμμα 4. Παράδειγμα 1 (4/5) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 36

37 Παράδειγμα 1 (5/5) Πίνακας 3.(Προηγούμενη Διαφάνεια). Τιμές x i, f i και x i f i. μ x = 1 f i f i x i = V x = σ2 n = 5,25 2 = 2,625. Var(x) = SE = 1,62. = 4,5 = μ. 37

38 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (1/6) Ανεξαρτήτως της κατανομής του γεννήτορα πληθυσμού, οι κατανομές των δειγματικών μέσων μεγέθους n>30 ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανομή. Η κατανομή του γεννήτορα πληθυσμού μπορεί να είναι πολύ διαφορετική από την κανονική, δύναται να είναι ακόμη και διακριτή. Όσο μεγαλώνει το μέγεθος του δείγματος τόσο η κατανομή δειγματοληψίας προσεγγίζει καλύτερα την κανονική κατανομή. Ο μέσος της κατανομής των δειγματικών και διακύμανση. 38

39 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (2/6) Ο μέσος της κατανομής των δειγματικών μέσων είναι ο μέσος του πληθυσμού: μ x = μ. η τυπική απόκλιση είναι: σ x = σ n. Μπορούμε να τυποποιήσουμε την μεταβλητή του δειγματικού μέσου: Ζ = x μ σ/ n.. 39

40 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (3/6) Διάγραμμα 5. Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (3/6) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 40

41 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (4/6) Σχήμα 2.(Προηγούμενη Διαφάνεια). Κατανομές δειγματικών μέσων για διάφορα n κανονικού και μη κανονικού πληθυσμού. 41

42 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (5/6) Διάγραμμα 6. Το κεντρικό οριακό Θεώρημα (5/6) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 42

43 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (6/6) Σχήμα 3.(Προηγούμενη Διαφάνεια). Τιμές κατανομής μ x σ x, μ x, μ x + σ x. 43

44 Παράδειγμα 2 (1/8) Παράδειγμα: Το κόστος των κατοικιών σε μία πόλη κατανέμεται κανονικά με μέσο ευρώ και τυπική απόκλιση ευρώ. Λαμβάνουμε δείγμα 100 κατοικιών. Να υπολογιστεί η πιθανότητα η μέση τιμή του δείγματος να είναι μεγαλύτερη από ευρώ. 44

45 Απάντηση: Παράδειγμα 2 (2/8) Αφού η κατανομή του πληθυσμού είναι κανονική και το οποιοδήποτε δείγμα θα έχει κανονική κατανομή. Το τυπικό σφάλμα του μέσου θα είναι: σ x = σ σ n x = 40,000 = 40, = 4,

46 Αναζητούμε την πιθανότητα: P x > Z x = x μ σ x. P Ζ > 175, ,000 4,000 Παράδειγμα 2 (3/8) = P Ζ > 5,000 4,000 = P Ζ > 1,25. P Ζ > 1,25 = 1 P Ζ < 1,25 = 1 0,8944 = 0,1056. Δηλαδή η πιθανότητα ο μέσος του δείγματος να είναι μεγαλύτερος από ευρώ είναι 10,56%. 46

47 Παράδειγμα 2 (4/8) Το κόστος των κατοικιών σε μία πόλη κατανέμεται κανονικά με μέσο ευρώ και τυπική απόκλιση ευρώ. Να υπολογιστεί η πιθανότητα η μέση τιμή του δείγματος των κατοικιών να είναι ανάμεσα σε και ευρώ, καθώς επίσης και η πιθανότητα η τιμή μιας κατοικίας να είναι ανάμεσα τα ίδια όρια. 47

48 Παράδειγμα 2 (5/8) Θα υπολογίσουμε την πιθανότητα. Θα πρέπει να βρούμε καταρχήν τις τιμές z: P 165,000 x 175,000, Z x = x μ σ x. P 165, ,000 4,000 Ζ 175, ,000 4,

49 Παράδειγμα 2 (6/8) P 5,000 Ζ 5,000 4,000 4,000 = P 1,25 Ζ 1,25. P Ζ 1,25 P Ζ 1,25 = 0,8944 0,1056 = 0,7888. Δηλαδή η πιθανότητα ο μέσος του δείγματος να είναι ανάμεσα σε και ευρώ είναι 78,88%. Θα υπολογίσουμε τώρα τις τιμές για μια μεμονωμένη παρατήρηση (κατοικία) δίχως τη χρήση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος. 49

50 Παράδειγμα 2 (7/8) Θα υπολογίσουμε τώρα τις τιμές για μια μεμονωμένη παρατήρηση (κατοικία) δίχως τη χρήση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος: P 165,000 x 175,000, Z x = x μ σ x. P 165, ,000 40,000 P 5,000 40,000 Ζ 5,000 40,000 Ζ 175, ,000 40,000. = P 0,125 Ζ 0,125. P Ζ 0,125 P Ζ 0,125 = 0,5495 0,4505 = 0,

51 Παράδειγμα 2 (8/8) Δηλαδή η πιθανότητα η τιμή μιας κατοικίας να είναι ανάμεσα σε και ευρώ είναι 9,9%. Με άλλα λόγια είμαστε περισσότερο βέβαιοι ότι το διάστημα με περιλαμβάνει το δειγματικό μέσο, παρά μια μεμονωμένη τιμή. Εφόσον ο μέσος βρίσκεται στο εν λόγω διάστημα συμπεραίνουμε ότι: Ο δειγματικός μέσος προσεγγίζει καλύτερα το μέσο του πληθυσμού σε σχέση με μία μεμονωμένη τιμή της κατανομής. 51

52 Παράδειγμα 3 (1/2) Το μέσο εισόδημα στη Κοζάνη είναι ευρώ με τυπική απόκλιση ευρώ. Η κατανομή του εισοδήματος είναι άγνωστη. Εάν πάρουμε ένα δείγμα 35 κατοίκων της Κοζάνης ποια είναι η πιθανότητα το μέσο εισόδημα του δείγματος να είναι κάτω από ευρώ; Κάτω από ευρώ; Για το ίδιο δείγμα, ποια είναι η πιθανότητα το μέσο εισόδημα του δείγματος να είναι ανάμεσα σε και ευρώ; 52

53 Παράδειγμα 3 (2/2) Εάν πάρουμε δείγμα 70 ατόμων, ποια είναι η πιθανότητα το μέσο εισόδημα του νέου δείγματος να είναι ανάμεσα σε και ευρώ; Η κατανομή του πληθυσμού είναι άγνωστη, όμως το δείγμα είναι μεγαλύτερο από 30 άτομα και επομένως σύμφωνα με το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα η κατανομή δειγματοληψίας του μέσου μπορεί να προσεγγιστεί με την κανονική κατανομή. Z x = x μ σ x. 53

54 1.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Με τον όρο παράμετρος νοείται μια ποσότητα, ένας αριθμός, που χαρακτηρίζει έναν πληθυσμό. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση είναι παράμετροι: Είναι κάποια συγκεκριμένα νούμερα, που χαρακτηρίζουν έναν πληθυσμό. 54

55 1.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Για παράδειγμα, ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση είναι παράμετροι (συνέχεια): Ο μέσος μας δείχνει πού βρίσκεται το κέντρο του πληθυσμού. Ενώ η τυπική απόκλιση μας δείχνει ποια είναι η μέση απόσταση που έχουν από το μέσο τα μέλη του πληθυσμού. 55

56 2.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου Με τον όρο εκτιμητής (estimator) νοείται ένας κανόνας, μια διαδικασία εκτίμησης μιας άγνωστης παραμέτρου: Μία συνάρτηση τιμών ενός τυχαίου δείγματος. Η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της αντίστοιχης παραμέτρου στον πληθυσμό. Ο εκτιμητής είναι τυχαία μεταβλητή, με την έννοια ότι για κάθε δείγμα μπορεί να παράγει διαφορετικά αποτελέσματα. Η τιμή που παίρνει ο εκτιμητής σε κάποια συγκεκριμένη περίπτωση λέγεται εκτίμηση (estimation). 56

57 3.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Ένας εκτιμητής μπορεί να δώσει μια: Καλή εκτίμηση. Μια τιμή για την παράμετρο η οποία δεν διαφέρει πολύ από την πραγματική τιμή του πληθυσμού. Ή μια κακή εκτίμηση. Δηλαδή μία τιμή που διαφέρει σημαντικά από την πραγματική τιμή του πληθυσμού. 57

58 3.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Η εκτίμηση λέγεται επίσης και στατιστική (statistic). Επίσης με τον όρο στατιστική μπορεί να εννοούμε το σύνολο των τεχνικών και των διαδικασιών που αφορούν στην ανάλυση δεδομένων, στην παρουσίαση των δεδομένων, στη διαδικασία λήψης αποφάσεων. 58

59 4.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου Ο αριθμός των ανεξάρτητων πληροφοριών για να εκτιμήσουμε μια παράμετρο λέγεται βαθμοί ελευθερίας (degrees of freedom). Σε γενικές γραμμές, οι βαθμοί ελευθερίας σε μια εκτίμηση είναι: Ο αριθμός των δεδομένων που περιέχονται στο δείγμα μείον τον αριθμό των εκτιμήσεων για παραμέτρους. Που υπολογίζονται σε ενδιάμεσα στάδια στη διαδικασία εκτίμησης της παραμέτρου. 59

60 5.Διάστημα Εμπιστοσύνης Για παράδειγμα: Μέσου Στον τύπο της διακύμανσης του δείγματος έχουμε n-1 βαθμούς ελευθερίας. s 2 = f i(x i x) 2. n 1 Προκύπτει από τον αριθμό των μελών του δείγματος μείον τον αριθμό των παραμέτρων που χρησιμοποιούνται στη διαδικασία της εκτίμησης. Χρησιμοποιείται μία παράμετρος, ο δειγματικός μέσος που είναι εκτίμηση του. 60

61 6.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Ένας άλλος τρόπος για να αντιληφθούμε την έννοια των βαθμών ελευθερίας είναι ο εξής: Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να επιλέξουμε δέκα αριθμούς οι οποίοι πρέπει να δίνουν άθροισμα 100. Οι εννιά από τους αριθμούς αυτούς μπορεί να είναι οποιοιδήποτε: 61

62 6.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Όμως ο δέκατος θα πρέπει να είναι αυτός που αθροιζόμενο με τους άλλους εννιά θα δώσει αποτέλεσμα 20. Επομένως, είμαστε ελεύθεροι να επιλέξουμε εννιά αριθμούς, και άρα έχουμε εννιά βαθμούς ελευθερίας. 62

63 7.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Η τιμή του εκτιμητή στο δείγμα ονομάζεται εκτίμηση σημείου (point estimation), ή σημειακή εκτίμηση. Για παράδειγμα, ο μέσος ενός δείγματος είναι μια εκτίμηση του μέσου του πληθυσμού. Από ένα άλλο δείγμα μπορεί να προκύψει ένας άλλος δειγματικός μέσος, ο οποίος πιθανότατα θα διαφέρει από τον πρώτο. 63

64 7.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Γενικώς, οι απόλυτες διαφορές μεταξύ των εκτιμητών και των παραμέτρων του πληθυσμού ονομάζονται δειγματικά σφάλματα. Στην περίπτωση του δειγματικού μέσου το σφάλμα ορίζεται ως εξής: E = x μ. 64

65 8.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Στην επαγωγική στατιστική δύναται να υπολογίσουμε την πιθανότητα σφάλματος: Εφόσον εκτιμήσουμε ένα διάστημα στο οποίο θα βρίσκεται η πραγματική παράμετρος του πληθυσμού με ορισμένη πιθανότητα. Τα άκρα του διαστήματος δημιουργούν ένα διάστημα εμπιστοσύνης (confidence interval), μέσα στο οποίο είμαστε πεπεισμένοι ότι με πιθανότητα. 65

66 8.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Για παράδειγμα 95% βρίσκεται η τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού. Όσο μεγαλύτερο το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης, τόσο μεγαλώνει η πιθανότητα η παράμετρος να βρίσκεται μέσα στο διάστημα. 66

67 9.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Προσθέτοντας και αφαιρώντας τυπικά σφάλματα στην εκτίμηση της παραμέτρου: Για παράδειγμα στο δειγματικό μέσο, δημιουργούμε διαστήματα τιμών τα οποία καλύπτουν την τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού. Είμαστε όμως 100% σίγουροι γι αυτό; Για να είμαστε 100% σίγουροι ότι ο μέσος του πληθυσμού καλύπτεται από το διάστημα που έχουμε κατασκευάσει θα πρέπει το διάστημα αυτό να είναι ένα πολύ μεγάλο διάστημα. 67

68 9.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Με άλλα λόγια, θα πρέπει στο δειγματικό μέσο να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε έναν πολύ μεγάλο αριθμό. Ένα πολύ μεγάλο διάστημα μας είναι άχρηστο. Για παράδειγμα, το να πούμε ότι ένα κόμμα στις εκλογές θα πάρει 40% συν ή πλην 60%, δηλαδή ανάμεσα στο 0% και στο 100% προφανώς είναι μια άχρηστη πληροφορία. 68

69 10.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Η μείωση του διαστήματος το οποίο καλύπτει την πραγματική τιμή του πληθυσμού δημιουργεί και μείωση του επιπέδου βεβαιότητας. Συχνά το επίπεδο βεβαιότητας προκαθορίζεται σε 90%, 95% ή 99% και δημιουργούνται έτσι τα ανάλογα διαστήματα εμπιστοσύνης. Αν αφαιρέσουμε τη μονάδα από το επίπεδο βεβαιότητας, τότε προκύπτει το επίπεδο σημαντικότητας α. 69

70 10.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Πιθανότητα να διαπράξουμε λάθος. Εάν μια τυχαία μεταβλητή κατανέμεται κανονικά με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ. τότε η κατανομή δειγματοληψίας του μέσου x είναι η κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπικό σφάλμα σ n.. 70

71 11.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου Γνωρίζουμε ότι σε μια τυπική κανονική κατανομή ισχύει: P( 1,96 Z 1,96)=0,95. P( 1,96 x μ σ/ n 1,96)=0,95. P( 1,96 σ n x μ 1,96 σ n )=0,95. P( x 1,96 σ n μ x + 1,96 σ n )=0,95. P(x 1,96 σ n μ x + 1,96 σ n )=0,95. 71

72 12.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Βλέποντας την κατανομή του δειγματικού μέσου μπορούμε να έχουμε συμπεράσματα για το τυχόν σφάλμα εκτίμησης. Χρησιμοποιώντας του πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, μπορεί να διαπιστωθεί ότι το 95 % των τιμών μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκεται μεταξύ (- 1,96, +1,96) τυπικών αποκλίσεων από το μέσο μ. 72

73 12.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Άρα το 95 % των δειγματικών μέσων θα πρέπει να βρίσκεται μεταξύ +- 1,96 τυπικών αποκλίσεων από το μέσο μ. Αν εκτίνουμε τον δειγματικό μέσο +- 1,96 τυπικές αποκλίσεις τότε θα είμαστε κατά 95 % βέβαιοι ότι ο πραγματικός μέσος θα βρίσκεται σ αυτό το διάστημα. 73

74 13.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου Με α είναι το Επίπεδο Σημαντικότητας: Συμβολίζεται διεθνώς με το α. Είναι η πιθανότητα η τιμή του μέσου μ του πληθυσμού να βρίσκεται εκτός του παρακάτω διαστήματος. Με το γράμμα Ζ συμβολίζουμε τα όρια μιας τυποποιημένης κανονικής κατανομής: x σ n Z a 2 μ x + σ Z a. n 2 74

75 14.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Διάγραμμα Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 75

76 14.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Σχήμα 4.(Προηγούμενη Διαφάνεια). Κατανομή και διάστημα εμπιστοσύνης μέσου. x σ n Z a 2 μ x + σ Z a. n 2 76

77 15.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου Διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού όταν ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέγεθος δείγματος n > 30 και η σ2 του πληθυσμού γνωστή. Παράδειγμα: Σε ένα τυχαίο δείγμα n = 55 μαθητών το μέσο βάρος έχει υπολογιστεί ίσο με 70 κιλά. Αν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή και ίση με 12 κιλά, να βρεθεί το διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο βάρος του πληθυσμού με πιθανότητα 95 %. 77

78 16.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Διάγραμμα Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 78

79 16.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Πίνακας 4(α). (Προηγούμενη Διαφάνεια). Πίνακας αθροιστικής κατανομής. α = 0,05 α/2 = 0, α/2 = 1 0,025 = 0,975. x σ n Z a 2 μ x + σ Z a. n ,96 μ ,96. 66,83 μ 73,17. 79

80 17.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού όταν ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέγεθος δείγματος n> 30 και η σ2 του πληθυσμού άγνωστη. Παράδειγμα Η μέση τιμή σε ένα τυχαίο δείγμα 80 παρατηρήσεων είναι 30 και δειγματική τυπική απόκλιση 10. Να βρεθεί 90 % διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού. 80

81 17.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Να βρεθεί 95 % διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού. Να βρεθεί 99 % διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού. 81

82 18.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Διάγραμμα Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 82

83 18.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Πίνακας 4(β).(Προηγούμενη Διαφάνεια). Πίνακας αθροιστικής κατανομής. α = 0,10 α/2 = 0,05 1 α/2 = 1 0,05 = 0,95. Ζα/2 = 1,645. x S n Z a 2 μ x + S Z a. n ,645 μ , ,16 μ 141,84. 83

84 19.Διάστημα Εμπιστοσύνης Παράδειγμα. Μέσου Σε ένα δείγμα 100 μαθητών ενός Σχολείου και ο μέσος όρος διαβάσματος είναι πέντε ώρες την ημέρα με τυπική απόκλιση 2 ώρες. Ποιό είναι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τις ώρες που διαβάζουν κατά μέσο όρο την ημέρα οι μαθητές όλου του Σχολείου; Ποιό είναι το 97% διάστημα εμπιστοσύνης; 84

85 20.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Διάγραμμα Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 85

86 20.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Σχήμα 5.(Προηγούμενη Διαφάνεια). Διάστημα εμπιστοσύνης μέσου μεγάλων και μικρών δειγμάτων κανονικών ή μη κανονικών πληθυσμών. 86

87 21.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Διάγραμμα Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 87

88 21.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Πίνακας 5.(Προηγούμενη Διαφάνεια). Ηλικία παικτών ομάδας ποδοσφαίρου. Διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο μ του πληθυσμού όταν ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέγεθος δείγματος n < 30 και η σ2 του πληθυσμού άγνωστη. Παράδειγμα: Σε ένα δείγμα μιας ομάδας ποδοσφαίρου (της βασικής ενδεκάδας), η ηλικία των παικτών δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Να βρεθεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το σύνολο των ομάδων του πρωταθλήματος. 88

89 22.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Διάγραμμα Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2)(Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 89

90 22.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Πίνακας 6. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Πίνακας αθροιστικής κατανομής. n = 6 α = 0,05 α/2 = 0,25 1 0,05 = 0,95. Ζα/2 = 2,228. x S n t a 2 μ x + S t a. n 2 90

91 23.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) Διάγραμμα Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 91

92 23.Διάστημα Εμπιστοσύνης Μέσου (2/2) Πίνακας 6. (Προηγούμενη Διαφάνεια). Πίνακας αθροιστικής κατανομής. s = s 2 = 10,23 = 3,198 και x = 1 n 1 6 x S n t a 2 x i x = 26,64. μ x + S n t a 2. x i x = 26,64 3,198 3,198 2,228 μ 26,64 + 2, ,49 μ 28,79. 92

93 Τέλος Ενότητας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 6: Kατανομή Poisson Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Α: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Κρήτης

ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Κρήτης ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Γρηγόρης Χλουβεράκης, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Κρήτης Από την περασμένη φορά... Πληθυσμός (population): ένα σύνολο ατόμων Παράμετρος (parameter): χαρακτηριστικό του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ Ενότητα 7: Έλεγχοι σημαντικότητας πολλών ανεξάρτητων δειγμάτων Κωνσταντίνος Ζαφειρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 5 : Εκτιμήσεις Ι. Αντωνίου, Χ. Μπράτσας Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα Εμπιστοσύνης 00 % Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού Κατανομή Διασπορά Μέγεθος δείγματος Διάστημα Εμπιστοσύνης Κανονική Γνωστή Οποιοδήποτε Οποιαδήποτε Γνωστή Μεγάλο 30 Z

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής & Κοινωνιολογικής Έρευνας

Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής & Κοινωνιολογικής Έρευνας Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής & Κοινωνιολογικής Έρευνας Ενότητα 4: Η Δειγματοληπτική έρευνα (2/2) 2ΔΩ Διδάσκοντες: Χ. Κασίμης- Ελ. Νέλλας Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης Μαθησιακοί στόχοι Η εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Εκτιμητική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 9Β: Απλή Τυχαία Δειγματοληψία για την εκτίμηση ποσοστού Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Εισαγωγικές Έννοιες ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Εισαγωγικές Έννοιες ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Εισαγωγικές Έννοιες ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα Μάρκετινγκ Ενότητα 4

Έρευνα Μάρκετινγκ Ενότητα 4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 : Δειγματοληψία Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 6: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική υπόθεση. Η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη πρόβλεψη σχετικά με τη σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές.

Ερευνητική υπόθεση. Η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη πρόβλεψη σχετικά με τη σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Ερευνητική υπόθεση Η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη πρόβλεψη σχετικά με τη σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Στα πειραματικά ερευνητικά σχέδια, η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Οι τεχνικές δειγματοληψίας είναι ένα σύνολο μεθόδων που επιτρέπει να μειώσουμε το μέγεθος των δεδομένων που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων

Στατιστική Επιχειρήσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων Ενότητα # 2: Στατιστικοί Πίνακες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης 10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.1: Ο επόμενος πίνακας τιμών δείχνει την αύξηση σε ώρες ύπνου που είχαν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 5 ο Μάθημα: Βασικές Έννοιες Εκτιμητικής. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Στατιστική. 5 ο Μάθημα: Βασικές Έννοιες Εκτιμητικής. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 5 ο Μάθημα: Βασικές Έννοιες Εκτιμητικής Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 8 ο Μάθημα: Εφαρμογές Στατιστικής Ι: Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Στατιστική. 8 ο Μάθημα: Εφαρμογές Στατιστικής Ι: Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 8 ο Μάθημα: Εφαρμογές Στατιστικής Ι: Διαστήματα Εμπιστοσύνης Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Πληθυσμός και δείγμα Είδη Μεταβλητών - Περιγραφική στατιστική

Ενότητα 1: Πληθυσμός και δείγμα Είδη Μεταβλητών - Περιγραφική στατιστική ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΝΕΥΡΟΑΝΑΤΟΜΙΑ» «Βιοστατιστική, Μεθοδολογία και Συγγραφή Επιστημονικής Μελέτης» Ενότητα 1: Πληθυσμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Έλεγχοι υποθέσεων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα