Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική"

Transcript

1 Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Κεφάλαιο Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γˊ Λυκείου Κεφάλαιο ο Στατιστική

2 ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομέω τη συοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους τη αάλυση και εξαγωγή ατίστοιχω συμπερασμάτω. Ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται με το πρώτο στόχο λέγεται σχεδιασμός πειραμάτω (expermental desgn) εώ, με το δεύτερο ασχολείται η περιγραφική στατιστική (descrptve statstcs), που αποτελεί και το ατικείμεο μελέτης μας στη συέχεια. Τέλος, η επαγωγική στατιστική ή στατιστική συμπερασματολογία (nferental statstcs) περιλαμβάει τις μεθόδους με τις οποίες γίεται η προσέγγιση τω χαρακτηριστικώ εός μεγάλου συόλου δεδομέω, με τη μελέτη τω χαρακτηριστικώ εός μικρού υποσυόλου τω δεδομέω. Πληθυσμός Μεταβλητές Σε έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά του λέγεται πληθυσμός (populaton). Τα στοιχεία του πληθυσμού συχά ααφέροται και ως μοάδες ή άτομα του πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό λέγοται μεταβλητές (varables) και τις συμβολίζουμε συήθως με τα κεφαλαία γράμματα X, Y, Z, B,... Οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή λέγοται τιμές της μεταβλητής. Τις μεταβλητές τις διακρίουμε:. Σε ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές τους δε είαι αριθμοί. Τέτοιες είαι, για παράδειγμα, η ομάδα αίματος (με τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο), το φύλο (με τιμές αγόρι, κορίτσι), οι συέπειες του καπίσματος (με τιμές καρδιακά οσήματα, καρκίος κτλ), όπως επίσης και η οικοομική κατάσταση και η υγεία τω αθρώπω (που μπορεί α χαρακτηριστεί ως κακή, μέτρια, καλή ή πολύ καλή), καθώς και το εδιαφέρο τω μαθητώ για τη Στατιστική, που μπορεί α χαρακτηριστεί ως υψηλό, μέτριο, χαμηλό ή μηδαμιό.. Σε ποσοτικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί και διακρίοται: ) Σε διακριτές μεταβλητές, που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές. Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης (με τιμές,, ), το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού (με τιμές,,,6) κτλ. ) Σε συεχείς μεταβλητές, που μπορού α πάρου αποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματικώ αριθμώ ( α, β). Τέτοιες μεταβλητές είαι το ύψος και το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυκείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρκεια μιας τηλεφωικής συδιάλεξης κτλ. Πίακες Καταομής Συχοτήτω Ας υποθέσουμε ότι x, x,..., xκ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους v, κ. Στη τιμή x ατιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχότητα (frequency), δηλαδή ο

3 φυσικός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή σύολο τω παρατηρήσεω. Ισχύει: κ = v x της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχότητα (relatve frequency) f της τιμής x, δηλαδή Για τη σχετική συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: () 0 f για =,,..., κ αφού 0. f =, =,,..., κ. κ κ () f + f f κ =, αφού f + f f = = = = κ. Σχετικές συχότητες f επί τοις εκατό f % = 00 f.ισχύει f + f % + f % + f % 00%. % = Οι ποσότητες x,, f για έα δείγμα συγκετρώοται σε έα συοπτικό πίακα, που οομάζεται πίακας καταομής συχοτήτω ή απλά πίακας συχοτήτω. Για μια μεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ x, ) λέμε ότι αποτελεί τη καταομή συχοτήτω και το ( σύολο τω ζευγώ x, f ), ή τω ζευγώ x, f %), τη καταομή τω σχετικώ συχοτήτω. ( ( Στη περίπτωση τω ποσοτικώ μεταβλητώ χρησιμοποιούται συήθως και οι λεγόμεες αθροιστικές συχότητες (cumulatve frequences) N και οι αθροιστικές σχετικές συχότητες (cumulatve relatve frequences) F, οι οποίες εκφράζου το πλήθος και το ποσοστό ατίστοιχα τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής x. Συχά οι F πολλαπλασιάζοται επί 00 εκφραζόμεες έτσι επί τοις εκατό, δηλαδή F % = 00F. Ισχύει : Α οι τιμές x, x,..., xκ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχότητα της τιμής x είαι N = Όμοια, η αθροιστική σχετική συχότητα είαι F = f + f f, για =,,..., κ. Είαι φαερό ότι ισχύου οι σχέσεις: ) = N, = N N,..., κ = N κ N κ και ) f = F, f = F F,..., f κ = Fκ Fκ. Γραφική Παράσταση Καταομής Συχοτήτω α) Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα (barchart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτικής μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκοται πάω στο οριζότιο ή το κατακόρυφο άξοα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή σχετική συχότητα. Έτσι έχουμε ατίστοιχα το ραβδόγραμμα συχοτήτω και το ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω. Τόσο η απόσταση μεταξύ τω στηλώ όσο και το μήκος τω βάσεώ τους καθορίζοται αυθαίρετα.

4 v H/Y Αθλητισμός Διασκέδαση - Ντίσκο Μουσική Τηλεόραση-Κιηματογρ. Διάβασμα εξωσχ. βιβλ. Άλλο f % Η/Υ Αθλητισμός Διασκέδαση Μουσική Αγόρια Τηλεόραση- Κιηματογράφος Κορίτσια Διάβασμα Άλλο εξωσχ. βιβλίω (γ) Ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω για τη απασχόληση τω μαθητώ του πίακα αάλογα με το φύλο. β) Διάγραμμα Συχοτήτω Στη περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή ατί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω (lne dagram). Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόη διαφορά ότι ατί α χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώια υψώουμε σε κάθε x (υποθέτοτας ότι x < x <... < xκ ) μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα, όπως φαίεται στο σχήμα (α). Μπορούμε επίσης ατί τω συχοτήτω στο κάθετο άξοα α βάλουμε τις σχετικές συχότητες διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω. f, οπότε έχουμε το Εώοτας τα σημεία ( x, ) ή ( x, f ) έχουμε το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω ή πολύγωο σχετικώ συχοτήτω, ατίστοιχα αδέλφια 0 0 αδέλφια (α) (β) Διάγραμμα συχοτήτω (α) και πολύγωο συχοτήτω (β) για τη μεταβλητή αριθμός αδελφώ γ) Κυκλικό Διάγραμμα Το κυκλικό διάγραμμα (pechart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο τω ποιοτικώ όσο και τω ποσοτικώ δεδομέω, ότα οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είαι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισμέος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή τα τόξα τω οποίω

5 είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετικές συχότητες f τω τιμώ x της μεταβλητής. Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω, τότε α o 60 = 60 o = για =,,..., κ. f δ) Σημειόγραμμα Ότα έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η καταομή τους μπορεί α περιγραφεί με το σημειόγραμμα (dot dagram), στο οποίο οι τιμές παριστάοται γραφικά σα σημεία υπεράω εός οριζότιου 0 άξοα. Στο σχήμα έχουμε το σημειόγραμμα τω χρόω (σε λεπτά),,,,,6,,,,,7,,8,6, που χρειάστηκα δεκαπέτε μαθητές, για α λύσου έα πρόβλημα. χρόος (σε λεπτά) Τηλεόρασ η - Κιηματ. Μουσι κή (7,% Διάβασμα εξωσχ. βιβλ. Άλλο Η/Υ Διασκέδασ η - Ντίσκο (%) 6 Αθλητισ μός (%) 7 8 ε) Χροόγραμμα. Το χροόγραμμα ή χροολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόιση της διαχροικής εξέλιξης εός οικοομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζότιος άξοας χρησιμοποιείται συήθως ως άξοας μέτρησης του χρόου και ο κάθετος ως άξοας μέτρησης της εξεταζόμεης μεταβλητής. Στο σχήμα έχουμε το χροόγραμμα του ποσοστού αεργίας στη χώρα μας από το 990 έως το 99. (Πηγή ΕΣΥΕ). f % 6 Θήλεις Σύολο Άρρεες Ομαδοποίηση τω Παρατηρήσεω Οι πίακες συχοτήτω και κατ ααλογία τα ατίστοιχα διαγράμματα είαι δύσκολο α κατασκευαστού, ότα το πλήθος τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι αρκετά μεγάλο. Αυτό μπορεί α συμβεί είτε στη περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε, πολύ περισσότερο, στη περίπτωση μιας συεχούς μεταβλητής, όπου αυτή μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της. Σ αυτές τις περιπτώσεις είαι απαραίτητο α ταξιομηθού (ομαδοποιηθού) τα δεδομέα σε μικρό πλήθος ομάδω, που οομάζοται και κλάσεις (class ntervals), έτσι ώστε κάθε τιμή α αήκει μόο σε μία κλάση. Τα άκρα τω κλάσεω καλούται όρια τω κλάσεω (class boundares). Συήθως υιοθετούμε τη περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άω άκρο της (αοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις είαι της μορφής [, ). Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούται όμοιες, οπότε μπορού α ατιπροσωπευθού από τις κετρικές τιμές, τα κέτρα δηλαδή κάθε κλάσης. Το πρώτο βήμα στη ομαδοποίηση τω δεδομέω είαι η εκλογή του αριθμού κ τω ομάδω ή κλάσεω. Ο αριθμός αυτός συήθως ορίζεται αυθαίρετα από το ερευητή σύμφωα με τη πείρα του. Γεικά όμως μπορεί α χρησιμοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίακας: Μέγεθος δείγματος Αριθμός κλάσεω κ Μέγεθος δείγματος Αριθμός κλάσεω κ

6 < Το δεύτερο βήμα είαι ο προσδιορισμός του πλάτους τω κλάσεω. Πλάτος μιας κλάσης οομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το αώτερο όριο της κλάσης. Στη πλειοότητα τω πρακτικώ εφαρμογώ οι κλάσεις έχου το ίδιο πλάτος. Φυσικά υπάρχου και περιπτώσεις όπου επιβάλλεται οι κλάσεις α έχου άισο πλάτος, όπως, για παράδειγμα, στις καταομές εισοδήματος, ημερώ απεργίας κτλ. Για α κατασκευάσουμε ισοπλατείς κλάσεις, χρησιμοποιούμε το εύρος (range) R του δείγματος, δηλαδή τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συολικού δείγματος. Τότε υπολογίζουμε το πλάτος c τω κλάσεω διαιρώτας το εύρος R διά του αριθμού τω κλάσεω κ, στρογγυλεύοτας, α χρειαστεί για λόγους διευκόλυσης, πάτα προς τα πάω. Το επόμεο βήμα είαι η κατασκευή τω κλάσεω. Ξεκιώτας από τη μικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από τη μικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοτας κάθε φορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κ κλάσεις. Αυτοόητο είαι ότι η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος θα (πρέπει α) αήκει οπωσδήποτε στη τελευταία κλάση. Το πλήθος τω παρατηρήσεω που προκύπτου από τη διαλογή για τη κλάση καλείται συχότητα της κλάσης αυτής ή συχότητα της κετρικής τιμής x, =,,..., κ. Πρέπει α προσεχτεί ότι: Καμία παρατήρηση δε μπορεί α μείει έξω από κάποια κλάση. Οι κετρικές τιμές διαφέρου μεταξύ τους όσο και το πλάτος τω κλάσεω, που εδώ είαι ίσο με 6. Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στη αμέσως επόμεη κλάση. Για παράδειγμα, ο μαθητής με ύψος 80 θα τοποθετηθεί στη πέμπτη κλάση [80, 86). Ιστόγραμμα Συχοτήτω Η ατίστοιχη γραφική παράσταση εός πίακα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα γίεται με το λεγόμεο ιστόγραμμα (hstogram) συχοτήτω. Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια τω κλάσεω. Στη συέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώια (ιστούς), από καθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της κλάσης αυτής. α) Κλάσεις Ίσου Πλάτους Θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στο οριζότιο άξοα, το ύψος κάθε ορθογωίου είαι ίσο προς τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε α ισχύει πάλι ότι το εμβαδό τω ορθογωίω είαι ίσο με τις ατίστοιχες συχότητες. Επομέως, στο κατακόρυφο άξοα σε έα ιστόγραμμα συχοτήτω βάζουμε τις συχότητες. Με αάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω, οπότε στο κάθετο άξοα βάζουμε τις σχετικές συχότητες. Α στα ιστογράμματα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στη αρχή και στο τέλος, με 6

7 συχότητα μηδέ και στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, σχηματίζεται το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω (frequency polygon). Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω συχοτήτω, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος. Όμοια κατασκευάζεται από το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω και το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω με εμβαδό ίσο με, (βλέπε σχήμα 6). v 0 f 0, 0, 6 8 0, 6 0, 0, 0, Υψος (σε cm) Ύψος (σε cm) (α) (β) Ιστόγραμμα και πολύγωο (α) συχοτήτω και (β) σχετικώ συχοτήτω για τα δεδομέα του πίακα 9. Με το ίδιο τρόπο κατασκευάζοται και τα ιστογράμματα αθροιστικώ συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. Α εώσουμε σε έα ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω τα δεξιά άκρα (όχι μέσα) τω άω βάσεω τω ορθογωίω με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω (ogve) της καταομής. Στο διπλαό σχήμα παριστάεται το ιστόγραμμα και το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω για το ύψος τω μαθητώ του πίακα 9. Καμπύλες Συχοτήτω Εά υποθέσουμε ότι ο αριθμός τω κλάσεω για μια συεχή μεταβλητή είαι αρκετά μεγάλος (τείει στο άπειρο) και ότι το πλάτος τω κλάσεω είαι αρκετά μικρό (τείει στο μηδέ), τότε η πολυγωική γραμμή συχοτήτω τείει α πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία οομάζεται καμπύλη συχοτήτω (frequency curve), όπως δείχει το διπλαό σχήμα. Οι καμπύλες συχοτήτω έχου μεγάλη εφαρμογή στη Στατιστική, όπου οι ιδιότητες τους μπορού α χρησιμοποιηθού για τη εξαγωγή χρήσιμω συμπερασμάτω. Η καταομή (β), με κωδωοειδή μορφή λέγεται καοική καταομή (normal dstrbuton) και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική. Ότα οι παρατηρήσεις καταέμοται ομοιόμορφα σε έα διάστημα [α, β], όπως στη καταομή (α), η καταομή λέγεται ομοιόμορφη. Ότα οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετρικά καταεμημέες, η καταομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όπως στη καταομή (γ) ή αρητική ασυμμετρία όπως στη καταομή (δ). f 0,7 0,0 0, 0, 0,07 F 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0, Ύψος (σε cm) Ύψος (σε cm) 7

8 (α) (β) (γ) (δ) Μερικές χαρακτηριστικές καταομές συχοτήτω ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Ορίζουμε κάποια μέτρα (αριθμητικά μεγέθη), που α μας δίου α) τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα και β) τη διασπορά τω παρατηρήσεω, δηλαδή πόσο αυτές εκτείοται γύρω από το κέτρο τους. Τα πρώτα τα καλούμε μέτρα θέσης της καταομής (locaton measures), εώ τα δεύτερα μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας (measures of varablty). Εκτός από τα μέτρα θέσης και διασποράς μιας καταομής πολλές φορές είαι απαραίτητος και ο προσδιορισμός κάποιω άλλω μέτρω, που καθορίζου τη μορφή A της καταομής. Κατά πόσο δηλαδή η ατίστοιχη καμπύλη συχοτήτω είαι συμμετρική ή όχι ως προς τη ευθεία x = x0, για Γ δεδομέο σημείο x 0 του άξοα 0 x. Τα μέτρα αυτά, που συήθως B Δ εκφράζοται σε συάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς, καλούται μέτρα ασυμμετρίας (measures of skewness). Υπολογίζοτας από έα σύολο δεδομέω κάποια από τα αωτέρω μέτρα, μπορούμε α έχουμε μια σύτομη περιγραφή της μορφής της καμπύλης συχοτήτω. Στο σχήμα οι καμπύλες συχοτήτω Α και Β είαι συμμετρικές με το ίδιο κέτρο x 0, αλλά η Β έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Α. Οι καμπύλες Γ και Δ x 0 x είαι ασύμμετρες, με τη Γ όπως λέμε α παρουσιάζει θετική ασυμμετρία και τη Δ αρητική ασυμμετρία. Το κέτρο της Γ είαι αριστερότερα του x 0, εώ της Δ είαι δεξιότερα του x 0. Η Δ παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Γ. Μέτρα Θέσης Τα πιο συηθισμέα μέτρα που χρησιμοποιούται για τη περιγραφή της θέσης εός συόλου δεδομέω πάω στο οριζότιο άξοα ox, εκφράζοτας τη κατά μέσο όρο απόστασή τους από τη αρχή τω αξόω, είαι ο αριθμητικός μέσος ή μέση τιμή (arthmetc mean or average), η διάμεσος (medan) α) Μέση Τιμή Η μέση τιμή εός συόλου παρατηρήσεω αποτελεί το σπουδαιότερο και χρησιμότερο μέτρο της Στατιστικής και ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω. Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι συμβολίζεται με x και δίεται από τη σχέση: t x = t, t,..., tv, τότε η μέση τιμή t t... t = = = t όπου το σύμβολο t = = παριστάει μια συτομογραφία του αθροίσματος t + t tv και διαβάζεται άθροισμα τω t από = έως. Συχά, ότα δε υπάρχει πρόβλημα σύγχυσης, συμβολίζεται και ως t ή ακόμα πιο απλά με t. 8

9 Σε μια καταομή συχοτήτω, α x, x,..., xκ είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ ή τα κέτρα τω κλάσεω,εφ όσο έχουμε κλάσεις, με συχότητες v, v,..., vκ ατίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύαμα από τη σχέση: x x = + x x κ κ κ = = = κ x κ = = κ x Η παραπάω σχέση ισοδύαμα γράφεται: x x = = κ κ = = β) Σταθμικός Μέσος Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετική βαρύτητα (έμφαση) στις τιμές x f όπου f οι σχετικές συχότητες. x,...,, x x εός συόλου δεδομέω, τότε ατί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε το σταθμισμέο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο (weghted mean). Εά σε κάθε τιμή x, x,..., x δώσουμε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται με τους λεγόμεους συτελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w, w,..., w, τότε ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από το τύπο: x x w + x w x w x w = = = w + w w w = γ) Διάμεσος Η μέση τιμή δε εδείκυται ως μέτρο θέσης ( κέτρο ) τω παρατηρήσεω που έχου ακραίες τιμές. Ατίθετα, έα άλλο μέτρο θέσης που δε επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις είαι η διάμεσος (medan), η οποία ορίζεται ως εξής: Διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός. Ή η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ 0% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες από αυτή και το πολύ 0% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή Διάμεσος σε Ομαδοποιημέα Δεδομέα Θεωρούμε ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω με τη πολυγωική γραμμή, σχήμα. Η διάμεσος, όπως ορίστηκε, ατιστοιχεί στη τιμή x = δ της μεταβλητής Χ (στο οριζότιο άξοα), έτσι ώστε το 0% τω παρατηρήσεω α είαι μικρότερες ή ίσες του δ. Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστική σχετική συχότητα F = 0%. Εφόσο στο κάθετο άξοα έχουμε τις αθροιστικές σχετικές συχότητες, από το σημείο Α (0% τω παρατηρήσεω) φέρουμε τη AB // 0x και στη συέχεια τη BΓ 0x. Τότε, στο σημείο Γ ατιστοιχεί η διάμεσος δ τω παρατηρήσεω F % A B Γ P 0 Q δ Q P 90 x σχήμα 9

10 Μέτρα Διασποράς α) Εύρος Το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς είαι το εύρος ή κύμαση (range) (R), που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-μικρότερη παρατήρηση Ότα έχουμε ομαδοποιημέα δεδομέα, το εύρος δίεται από τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το αώτερο όριο της τελευταίας κλάσης. Το εύρος είαι έα αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. β) Διακύμαση Ως έα μέτρο διασποράς παίρουμε το μέσο όρο τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω t από τη μέση τιμή τους x. Το μέτρο αυτό καλείται διακύμαση ή διασπορά (varance) και ορίζεται από τη σχέση s = ( t x) Ο τύπος αυτός αποδεικύεται ότι μπορεί α πάρει τη ισοδύαμη μορφή: = t = s = t η οποία διευκολύει σηματικά τους υπολογισμούς κυρίως ότα η μέση τιμή x = δε είαι ακέραιος αριθμός. Ότα έχουμε πίακα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα, η διακύμαση ορίζεται από τη σχέση: κ x κ v κ s = ( x x) ή τη ισοδύαμη μορφή: = s = x v. = v = v όπου x,...,, x xκ οι τιμές της μεταβλητής (ή τα κέτρα τω κλάσεω) με ατίστοιχες συχότητες,,..., κ γ) Τυπική Απόκλιση Η διακύμαση είαι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς, αλλά έχει έα μειοέκτημα. Δε εκφράζεται με τις μοάδες με τις οποίες εκφράζοται οι παρατηρήσεις. Για παράδειγμα, α οι παρατηρήσεις εκφράζοται σε cm, η διακύμαση εκφράζεται σε cm. Α όμως πάρουμε τη θετική τετραγωική ρίζα της διακύμασης, θα έχουμε έα μέτρο διασποράς που θα εκφράζεται με τη ίδια μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού, όπως ακριβώς είαι και όλα τα άλλα μέτρα θέσης, που εξετάσαμε έως τώρα. Η ποσότητα αυτή λέγεται τυπική απόκλιση (standard devaton), συμβολίζεται με s και δίεται από τη σχέση: s = s s x s x s x s x x+ s x+ s x+ s 68% 9% 99,7% s 0

11 Αξίζει α σημειωθεί ότι α η καμπύλη συχοτήτω για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είαι καοική ή περίπου καοική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες: ) το 68% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστημα ( x s, x + s) ) το 9% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστημα ( x s, x + s) ) το 99,7% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστημα ( x s, x + s) v) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R 6s. δ) Συτελεστής Μεταβολής Έα μέτρο με το οποίο μπορούμε α ξεπεράσουμε τις δυσκολίες τω διαφορετικώ μοάδω μέτρησης τω μεταβλητώ και το οποίο μας βοηθά στη σύγκριση ομάδω τιμώ, που είτε εκφράζοται σε διαφορετικές μοάδες μέτρησης είτε εκφράζοται στη ίδια μοάδα μέτρησης, αλλά έχου σηματικά διαφορετικές μέσες τιμές, είαι ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας (coeffcent of varaton), ο τυπική απόκλιση s οποίος ορίζεται από το λόγο: CV = = μέση τιμή x τυπική απόκλιση s Ο συτελεστής μεταβολής επί τοις εκατό, είαι CV% = 00% = 00% μέση τιμή x συεπώς είαι αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης και παριστάει έα μέτρο σχετικής διασποράς τω τιμώ και όχι της απόλυτης διασποράς, όπως έχουμε δει έως τώρα. Α CV A% = % και CV B % = % λέμε ότι έχουμε μεγαλύτερη ομοιογέεια στα δεδομέα Α παρά στα Β αφού <. Γεικά δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής θα είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής δε ξεπερά το 0%. Δηλ. α CV % 0 και Εφαρμογή, σελ. 99 Έστω x,...,, x xv παρατηρήσεις με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση x s. α) Α y, y,..., yv είαι οι παρατηρήσεις που προκύπτου α προσθέσουμε σε καθεμιά από τις x, x,..., μια σταθερά c, τότε: ) y = x + c, ) s y = s x x v β) Α y, y,..., yv είαι οι παρατηρήσεις που προκύπτου α πολλαπλασιάσουμε τις x, x,..., xv επί μια σταθερά c, τότε : ) y = c x, ) s y = c s x

12 . Οι ποιοτικέ ς µ εταβλητές διακρ ίοται σε διακρ ιτές και συε χε ίς. Σ Λ. Στη περίπτωση τω ποσοτικώ µ εταβλητώ, οι αθροιστικές σχετικές συχότητες F εκφράζου το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι µ ικρότερες ή ίσες της τιµ ής x. Σ Λ. Στη περ ίπτωση τω ποσοτικώ µ εταβλητώ, ε κτός από τ ις συχότητες f και v, χρ ησιµ οποιούται και ο ι λε γόµ εες Σ Λ αθρ οιστικέ ς συχότητες F, N. Η συχότητα της τιµής x µιας µεταβλητής Χ είαι αρητικός αριθµός. Σ Λ. Α διαιρέσουµε τη συχότητα µιας µεταβλητής Χ µε το µέγεθος του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχότητα f της τιµής x Σ Λ 6. Το άθροισµα όλω τω σχετικώ συχοτήτω τω τιµώ µιας µεταβλητής X είαι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος. Σ Λ 7. Το διάγραµµ α συχοτήτω χρησιµ οποιείται για τη γραφική Σ Λ παράσταση τω τιµ ώ µ ιας ποιοτικής µ εταβλητής. 8. Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιµώ Σ Λ µιας ποιοτικής µεταβλητής Ερωτήσεις κλειστού τύπου (Σωστό - Λάθος) 9.. Το κυκλικό διάγ ρ αµµ α χρ ησιµ οποιε ίτα ι γ ια τη γραφική Σ Λ παρ άσταση µ όο ποσοτικώ δεδοµ έω. 0. Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιµώ µιας ποσοτικής µεταβλητής. Σ Λ. Στο ιστόγραµµ α συχοτήτω οµ αδοποιηµ έω δεδοµ έω, το Σ Λ εµ βαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το οριζότιο άξοα είαι ίσο µ ε το µ έγεθος του δείγµ ατος.. Σε έα ιστόγραµµ α σχετικώ συχοτήτω το εµ βαδό του Σ Λ χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω και το οριζότιο άξοα είαι ίσο µ ε.. Σε µια οµαδοποιηµέη καταοµή µε κλάσεις ίσου πλάτους οι διαδοχικές Σ Λ κετρικές τιµές τω κλάσεω διαφέρου µεταξύ τους όσο και το πλάτος κάθε κλάσης. Πλάτος µιας κλάσης οοµάζεται η διαφορά του κατώτερου από το αώτερο όριο της κλάσης. Σ Λ. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόο για τη γραφική παράσταση Σ Λ τω ποσοτικώ µεταβλητώ. 6. Έ σ τ ω ό τ ι έ χ ο υ µ ε έ α δ ε ί γ µ α µ ε γ έ θ ο υ ς κ α ι ό τ ι f, =,,, κ, ε ί α ι ο ι α τ ί σ τ ο ι χ ε ς σ χ ε τ ι κ έ ς σ υ χ ό τ η τ ε ς τ ω τ ι µ ώ x µ ι α ς µ ε τ α β λ η τ ή ς. Α α Σ Λ ε ί α ι τ ο α τ ί σ τ ο ι χ ο τ ό ξ ο ε ό ς κ υ κ λ ι κ ο ύ τ µ ή µ α τ ο ς σ τ ο κ υ κ λ ι κ ό δ ι ά γ ρ α µ µ α σ υ χ ο τ ή τ ω, τ ό τ ε : α = 60 ο f, γ ι α =,,, κ.

13 7. ιάµεσος (δ) εός δείγµατος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση, ότα το είαι άρτιος αριθµός, ή ο µέσος όρος (ηµιάθροισµα) τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω, ότα Σ Λ το είαι περιττός αριθµός. 8. Η διάµ εσος δ εός δείγµ ατος παρατηρήσεω t, t,, t είαι Σ Λ πάτοτε µ ία από τις παρατηρήσεις αυτές. 9. Η διάµεσος είαι έα µέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. 0. Η διάµεσος εός δείγµατος παρατηρήσεω είαι η τιµή για τη οποία το πολύ 0% τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες από αυτή και το πολύ 0% τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες από τη τιµή αυτή. Η διάµ εσος δ είαι µ έτρο διασπορ άς.. Γεικά δεχόµ αστε ότι έα δείγµ α τιµ ώ µ ιας µ εταβλητής είαι οµ οιογεές, εά ο συτελεστής µ εταβολής του δείγµ ατος δε ξεπερά Σ Λ το 0%.. Το εύρος είαι µέτρο θέσης. Σ Λ. Το εύρος R εός δείγµ ατος παρατηρήσεω δε επηρεάζεται από τις δύο ακραίες παρατηρήσεις. Σ Λ. Σε έα δείγµα τιµώ µιας οιασδήποτε µεταβλητής X το εύρος R ορίζεται Σ Λ από τη σχέση: R = µεγαλύτερη παρατήρηση + µικρότερη παρατήρηση 6. Η διακύµ αση είαι µ έτρο θέσης Σ Λ 7. Η διακύµαση εκφράζεται µε τις ίδιες µοάδες µε τις οποίες εκφράζοται Σ Λ οι παρατηρήσεις. 8. Ο συτελε στής µ εταβλητότητας ( CV) είαι αε ξάρ τητος από Σ Λ τ ις µ οάδες µ έτρ ησης τω δεδοµ έω. 9. Το µ έτρο διασποράς εύρος ισούται µ ε τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη µ έγιστη παρατήρηση Σ Λ 0. Στη καοική καταοµή το 9% τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα ( x s, x + s), όπου x είαι η µέση τιµή τω παρατηρήσεω και s η τυπική τους απόκλιση. Σ Λ. Α η καµπύλη συχοτήτω για έα χαρακτηριστικό είαι καοική ή Σ Λ περίπου καοική µε τυπική απόκλιση s και εύρος R, τότε ισχύει ότι η τυπική απόκλιση s είαι περίπου ίση με 6R. Σ Σ Σ Λ Λ Λ

14 Λυμέες Ασκήσεις Άσκηση Μια απξθήκη καλλσμςικώμ ποξμηθεύει ςξσπ πελάςεπ ςηπ με ραμπξσάμ ρε ρσρκεσαρίεπ ςχμ ςεμαυίχμ. Ο ιδιξκςήςηπ καςέγοαφε ρςξμ παοακάςχ πίμακα ςξμ αοιθμό ςχμ παοαγγελιώμ πξσ έκαμαμ ξι πελάςεπ ςξσ καςά ςξμ ςελεσςαίξ μήμα. Αριθμός παραγγελιώμ ( x ) Αριθμός πελατώμ α) Πόρξι είμαι ξι πελάςεπ; β) Να βοείςε ςη μεςαβληςή Χ, ςιπ ςιμέπ ςηπ x και ςιπ αμςίρςξιυεπ ρσυμόςηςέπ ςξσπ. γ) Να μεςαςοέφεςε ςξ διπλαμό πίμακα ρε πίμακα ρσυμξςήςχμ ξ ξπξίξπ μα πεοιέυει ςιπ ρςήλεπ, f, f %, N, F, F %. Λύρη α) Οι πελάςεπ είμαι β) Η μεςαβληςή είμαι Χ: «Αοιθμόπ παοαγγελιώμ», ξι ςιμέπ ςηπ είμαι: x, x, x, x, x 6 και ξι αμςίρςξιυεπ ρσυμόςηςεπ είμαι:, 0,,, 8. Τξ μέγεθξπ ςξσ δείγμαςξπ είμαι ςξ ρύμξλξ ςχμ μαθηςώμ και ιρξύςαι με Σςη ρσμέυεια βοίρκξσμε ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ χπ εήπ : 0 f 0,, f 0,, f 0,, f 0,, f 0,6. 0 Τξ ρύμξλξ ςχμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ ιρξύςαι με f f f f f 0, 0, 0, 0, 0,6. Έπειςα σπξλξγίζξσμε ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ %, πξλλαπλαριάζξμςαπ καθεμία από ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ f επί 00. Έςρι έυξσμε: f% 0, f% 0, f% 0, f%, f % 6

15 Τξ ρύμξλξ ςχμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ % ιρξύςαι με f % f % f % f % f % Για ςιπ αθοξιρςικέπ ρσυμόςηςεπ N ιρυύξσμ ςα εήπ: N, N, N, N, N 0. 0 Για ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ F F f 0,, 0,6 F ιρυύξσμ ςα εήπ: F f 0,, F F f, F F f. F F f, 0,8 Έπειςα σπξλξγίζξσμε ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ F %, πξλλαπλαριάζξμςαπ καθεμία από ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ F επί 00. Έςρι έυξσμε: F % 0, F % 0, F % 60, F % 8, F % 00 Μεςατέοξσμε ςα απξςελέρμαςα ρςξμ παοακάςχ πίμακα ρσυμξςήςχμ: Αριθμός παραγγελιώμ x ) ( Αριθμός πελατώμ ( ) χετική συχμότητα f ) ( χετική συχμότητα f %) ( Αθροιστική συχμότητα N ) ( Αθροιστική σχετική συχμότητα F ) ( Αθροιστική σχετική συχμότητα F %) 0, 0 0, 0 0 0, 0 0, 0 0, 0 0 0,6 60 0, 0, , ύμολο 0 00 ( Μεθξδξλξγία Για μα καςαρκεσάρξσμε πίμακα ρσυμξςήςχμ για μια πξρξςική μεςαβληςή, ξ ξπξίξπ μα πεοιέυει ςιπ ρςήλεπ x,, f, f %, N, F, F % εταομόζξσμε ςα εήπ: α) Τξπξθεςξύμε ςιπ ςιμέπ ρε αύξσρα ρειοά, δηλαδή x x... x. β) Βοίρκξσμε ςξ ρύμξλξ ςχμ παοαςηοήρεχμ ςξ ξπξίξ θα ποέπει μα ιρξύςαι με ςξ μέγεθξπ ςξσ δείγμαςξπ... γ) Υπξλξγίζξσμε ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ f ςχμ ςιμώμ x, με ςξμ ςύπξ f. δ) Βοίρκξσμε ςξ ρύμξλξ ςχμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ ςξ ξπξίξ θα ποέπει μα ιρξύςαι με. Δηλαδή f f... f. ε) Έπειςα σπξλξγίζξσμε ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ f %, πξλλαπλαριάζξμςαπ καθεμία από ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ f επί 00. ρς) Βοίρκξσμε ςξ ρύμξλξ ςχμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ %,ςξ ξπξίξ θα ποέπει μα ιρξύςαι με 00. Δηλαδή f% f%... f % 00.

16 Άσκηση Να ρσμπληοώρεςε ςα κεμά ρςξμ παοακάςχ πίμακα: x f % f N x 8 F F % x x 0, x ύμολο 80 Λύρη Αουικά ρσμπληοώμξσμε ςα κεμά υχοίπ μα κάμξσμε υοήρη ςξσ μεγέθξσπ ςξσ δείγμαςξπ πξσ είμαι 80. Ξεκιμάμε από ςημ η γοαμμή όπξσ έυξσμε: 8. F Σςη η % γοαμμή έυξσμε F 0, Σςημ η γοαμμή είμαι f% f 00 0, Δπίρηπ παοαςηοώμςαπ ςα δεδξμέμα ςηπ ηπ γοαμμήπ μπξοξύμε μα σπξλξγίρξσμε ςημ F F f 0, 0, 0,8 και F % F 00 0, Σςημ η γοαμμή έυξσμε 80, F, F % 00 και ακόμα f F F 0,8 0, και f % f 00 0, 00. Δπίρηπ από ςα δεδξμέμα ςηπ ηπ γοαμμήπ παοαςηοξύμε όςι N Τέλξπ, ρςημ η γοαμμή ρσμπληοώμξσμε ςα αθοξίρμαςα ρςιπ ρςήλεπ είμαι και 00 αμςίρςξιυα. Σςη ρσμέυεια υοηριμξπξιξύμε ςξμ ςύπξ f f και f %, πξσ, για μα σπξλξγίρξσμε ςιπ ρσυμόςηςεπ ή ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ, εκιμώμςαπ πάλι από ςημ η γοαμμή ςξσ πίμακα. Έςρι έυξσμε: 8 f 0, και ρςη ρσμέυεια % 00 0, f f, F 0, και F% f % 0. Σςη η γοαμμή έυξσμε f F F 0, 0, 0, και f % f 00 0, 00. Δπίρηπ είμαι f, άοα 0, 80 0 και Τέλξπ, ρςημ η γοαμμή έυξσμε: f, άοα 0,

17 Έςρι έυξσμε ρσμπληοχμέμξ ςξμ πίμακα: x f f % N F F % x 8 0, 0 8 0, 0 x 0 0, 8 0, x 0 0, ,8 8 x 0, ύμολο Μεθξδξλξγία Αμ δίμεςαι έμαπ πίμακαπ ρσυμξςήςχμ με ςιπ ρςήλεπ, f, f %,, F, F % και ζηςείςαι μα ρσμπληοώρξσμε ςα κεμά, ακξλξσθξύμε ςημ παοακάςχ διαδικαρία: α) Ξεκιμάμε από ςημ η γοαμμή ςξσ πίμακα και ρσμπληοώμξσμε ςα κεμά, για ςα ξπξία απαιςείςαι η υοήρη ςχμ ςύπχμ N, N N, F f, F F f, καθώπ και μεςαςοξπή ςξσ f σε f % και αμςίρςοξτα ή ςξσ F σε F % και αμςίρςοξτα. Σςιπ ςελεσςαίεπ γοαμμέπ ρσμπληοώμξσμε, ςα ρύμξλα ςχμ και ςα N, Fκ και F % 00. f και f % β) Σςη ρσμέυεια, αμ γμχοίζξσμε ςξ μέγεθξπ ςξσ δείγμαςξπ υοηριμξπξιξύμε ςξμ ςύπξ f για μα σπξλξγίρξσμε ςιπ άγμχρςεπ ρσυμόςηςεπ ή ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ εκιμώμςαπ από ςημ η γοαμμή ςξσ πίμακα. Δπίρηπ υοηριμξπξιξύμε αμά ςξσπ ςύπξσπ N N και F F f για μα ρσμπληοώρξσμε όλα ςα κεμά κάθε γοαμμήπ. ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Καςά ςη ρσμπλήοχρη ςέςξιχμ πιμάκχμ δεμ είμαι απαοαίςηςξ μα δικαιξλξγξύμςαι ξι σπξλξγιρμξί πξσ κάμξσμε. f, 7

18 Άσκηση Σ έμα διαγώμιρμα η βαθμξλξγία ςχμ μαθηςώμ ήςαμ από 6 έχπ και 0 (ρε ακέοαιξσπ βαθμξύπ). Αμ: 0 μαθηςέπ είυαμ βαθμξλξγία ςξ πξλύ 0. Οι μαθηςέπ πξσ πήοαμ 6 ήςαμ ςοιπλάριξι απ ασςξύπ πξσ πήοαμ 0. Τξ % ςχμ μαθηςώμ πήοε βαθμξλξγία 7 ή 8. Πέμςε μαθηςέπ πήοαμ βαθμξλξγία ςξσλάυιρςξμ 9. Τξ πξρξρςό ςχμ μαθηςώμ πξσ πήοαμ 7 ήςαμ διπλάριξ απ ςξ πξρξρςό ασςώμ πξσ πήοαμ 0. Να σπξλξγίρεςε ςιπ ρσυμόςηςεπ ςχμ ςιμώμ ςηπ μεςαβληςήπ Χ: «βαθμξλξγία» και ρςη ρσμέυεια μα τςιάεςε πίμακα ρσυμξςήςχμ με ςιπ ρςήλεπ, f, f %, N, F, F %.. Λύρη Δπειδή η βαθμξλξγία κσμαίμεςαι από 6 έχπ και 0 (ρε ακέοαιξσπ βαθμξύπ) διαπιρςώμξσμε όςι ξι ςιμέπ ςηπ μεςαβληςήπ είμαι ξι x 6, x 7, x 8, x 9, x 0. Έρςχ,,,..., ξι ζηςξύμεμεπ ρσυμόςηςεπ και μ ςξ μέγεθξπ ςξσ δείγμαςξπ. Δπειδή 0 μαθηςέπ είυαμ βαθμξλξγία ςξ πξλύ 0, διαπιρςώμξσμε όςι 0 () Οι μαθηςέπ πξσ πήοαμ 6 ήςαμ ςοιπλάριξι απ ασςξύπ πξσ πήοαμ 0. Άοα έυξσμε () Τξ % ςχμ μαθηςώμ πήοε βαθμξλξγία 8 ή 9. Άοα έυξσμε () f% f % () 0 Πέμςε μαθηςέπ πήοαμ βαθμξλξγία ςξσλάυιρςξμ 9, δηλαδή πήοαμ 9 ή 0. Άοα έυξσμε () Τξ πξρξρςό ςχμ μαθηςώμ πξσ πήοαμ 7 ήςαμ διπλάριξ απ ςξ πξρξρςό ασςώμ πξσ πήοαμ 0. Άοα έυξσμε f % f % () 8

19 Από ςιπ ρυέρειπ (), () και () έυξσμε (),() (6) (6) 6 Η ρυέρη () γίμεςαι (7). Σςη ρσμέυεια από ςιπ ρυέρειπ () και (7) ποξκύπςει και από ςιπ ρυέρειπ () και (7) ποξκύπςει. Τέλξπ, η ρυέρη () γίμεςαι 9 9. Σςη ρσμέυεια βοίρκξσμε ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ χπ εήπ: 6 f 0,, f 0,, f 0,, f 0,, f 0,. 0 Τξ ρύμξλξ ςχμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ ιρξύςαι με f f f f f 0, 0, 0, 0, 0,. Έπειςα σπξλξγίζξσμε ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ %, πξλλαπλαριάζξμςαπ καθεμία από ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ f επί 00. Έςρι έυξσμε: f% 0, f% 0, f%, f%, f % 0 Τξ ρύμξλξ ςχμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ % ιρξύςαι με f % f % f % f % f % Για ςιπ αθοξιρςικέπ ρσυμόςηςεπ N ιρυύξσμ ςα εήπ: N 6, N 0, N, N 8, N 0. Για ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ F F f 0,, 0,7 F F f, 0,9 F ιρυύξσμ ςα εήπ: F f 0,, F F f, F F f. Έπειςα σπξλξγίζξσμε ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ F %, πξλλαπλαριάζξμςαπ καθεμία από ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ F επί 00. Έςρι έυξσμε: F % 0, F % 0, F % 7, F % 90, F % 00 Μεςατέοξσμε ςα απξςελέρμαςα ρςξμ παοακάςχ πίμακα ρσυμξςήςχμ: Βαθμολογία x ) ( Αριθμός μαθητώμ ( ) χετική συχμότητα f ) ( χετική συχμότητα f %) ( Αθροιστική συχμότητα N ) ( Αθροιστική σχετική συχμότητα F ) ( Αθροιστική σχετική συχμότητα F %) 6 6 0, 0 6 0, 0 7 0, 0 0 0, 0 8 0, 0, , 8 0, , ύμολο 0 00 ( 9

20 Μεθξδξλξγία Όςαμ κάπξια από ςα δεδξμέμα μιαπ ρςαςιρςικήπ έοεσμαπ παοξσριάζξμςαι πεοιγοατικά, ςόςε ρσμβξλίζξσμε ςιπ ςιμέπ ςηπ μεςαβληςήπ με x, x,..., x. Καςαγοάτξσμε ςιπ πληοξτξοίεπ πξσ δίμξμςαι ρσμβξλικά, υοηριμξπξιώμςαπ ςιπ ρσυμόςηςεπ,,..., και ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ f, f,..., f. Φοξμςίζξσμε ώρςε ρςιπ ιρόςηςεπ πξσ ποξκύπςξσμ μα έυξσμε χπ αγμώρςξσπ μόμξ ςιπ ρσυμόςηςεπ,,..., ή/και ςξ μέγεθξπ μ, ςξσ δείγμαςξπ. Υπξλξγίζξσμε ασςξύπ ςξσπ αγμώρςξσπ και ρςη ρσμέυεια ρσμπληοώμξσμε ςξμ πίμακα όπχπ έυξσμε δείει ρε ποξηγξύμεμα παοαδείγμαςα. Άσκηση Σςξμ παοακάςχ πίμακα ταίμξμςαι ρσγκεμςοχςικά ςα ημεοήρια ύφη βοξυήπ (ρε mm) πξσ καςαγοάτηκαμ ρε διάρςημα 0 ημεοώμ ρε μία πόλη. Ύψη βροχής σε mm ( x ) Αριθμός ημερώμ ( ) χετική συχμότητα ( f ) χετική συχμότητα ( f %) Αθροιστική συχμότητα ( N ) Αθροιστική σχετική συχμότητα ( F ) Αθροιστική σχετική συχμότητα ( F %) 8 9 α 0 β ύμολο 0 α) Να δείεςε όςι 7 και β. β) Να βοείςε ςξ πξρξρςό ςχμ ημεοώμ πξσ καςαγοάτηκαμ ςξ πξλύ mm. γ) Να ρσμπληοώρεςε ςα κεμά ρςξμ πίμακα. δ) Να βοείςε πόρεπ ημέοεπ καςαγοάτηκαμ: ) ςξσλάυιρςξμ 0mm ) από 9 έχπ mm ε) Να βοείςε ςξ πξρξρςό ςχμ ημεοώμ πξσ καςαγοάτηκαμ: ) ςξ πξλύ mm ) κάςχ από 0 mm ) ακοιβώπ 9 mm 0

21 Λύρη α) Για ςξμ σπξλξγιρμό ςχμ α, β έυξσμε ςιπ εήπ πληοξτξοίεπ: 0 0 () Δπίρηπ, f % 00 (). 0 Από ςιπ ρυέρειπ () και () ποξκύπςει η 60 Δπιπλέξμ, F f f (). % % % (). Με ποόρθερη ςχμ () και () καςά μέλη παίομξσμε και ρςη ρσμέυεια από ςημ (), έυξσμε β) Τξ πξρξρςό ςχμ ημεοώμ πξσ καςαγοάτηκαμ ςξ πξλύ mm βοξυήπ είμαι F % F % f % γ) Σύμτχμα με ςξ α) εοώςημα έυξσμε 7 και ρςη ρσμέυεια (). Έπειςα βοίρκξσμε ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ χπ εήπ : 7 f 0,, f 0,, f 0,, f ,, f 0 0,. Τξ ρύμξλξ ςχμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ ιρξύςαι με f f f f f 0, 0, 0, 0, 0,. Έπειςα σπξλξγίζξσμε ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ %, πξλλαπλαριάζξμςαπ καθεμία από ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ f επί 00. Έςρι έυξσμε : f%, f%, f% 0, f%, f % Τξ ρύμξλξ ςχμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ % ιρξύςαι με f % f % f % f % f % Για ςιπ αθοξιρςικέπ ρσυμόςηςεπ N ιρυύξσμ ςα εήπ: N, N 0, N, N, N 0. Για ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ F ιρυύξσμ ςα εήπ : f 0,, F F f 0,, F F f 0,6, F F f 0,7, F F f. Έπειςα σπξλξγίζξσμε ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ F %, πξλλαπλαριάζξμςαπ καθεμία από ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ F επί 00. Έςρι έυξσμε: F %, F % 0, F % 60, F % 7, F % 00 Μεςατέοξσμε ςα απξςελέρμαςα ρςξμ παοακάςχ πίμακα ρσυμξςήςχμ:

22 Ύψη βροχής σε mm x ) ( Αριθμός ημερώμ ( ) χετική συχμότητα f ) ( χετική συχμότητα f %) ( Αθροιστική συχμότητα N ) ( Αθροιστική σχετική συχμότητα F ) ( Αθροιστική σχετική συχμότητα F %) 8 0, 0, 9 7 0, 0 0, 0 0 0, 0 0,6 60 0, 0,7 7 0, 0 00 ύμολο 0 00 δ) Τξ πλήθξπ ςχμ ημεοώμ πξσ καςαγοάτηκαμ: ) ςξσλάυιρςξμ 0mm (δηλαδή 0,, ή mm) είμαι ) από 9 έχπ mm (δηλαδή 9, 0, ή mm) είμαι ( ε) Τξ πξρξρςό ςχμ ημεοώμ πξσ καςαγοάτηκαμ: ) ςξ πξλύ mm είμαι F % 00% ) κάςχ από 0 mm (δηλαδή 8 ή 9 mm) είμαι F % 0% ) ακοιβώπ 9 mm είμαι f % %. Μεθξδξλξγία Όςαμ δίμεςαι έμαπ πίμακαπ ρσυμξςήςχμ και ζηςείςαι ςξ πλήθξπ ή ςξ πξρξρςό ςχμ παοαςηοήρεχμ πξσ έυξσμ ςιμή ςξσλάυιρςξμ, ςξ πξλύ, κ.λ.π., ςόςε: α) Σσμπληοώμξσμε ςξμ πίμακα με ςιπ ρςήλεπ f, f %, N, F, F %. β) Σςη ρσμέυεια απαμςάμε ρςιπ εοχςήρειπ λαμβάμξμςαπ σπ όφη ςα εήπ: Δρώτηση Πλήθος Ποσοστό. Τξ πξλύ N ή... F % ή f% f%... f %. Τξσλάυιρςξμ x... ή f% f %... f % ή 00 % F. Ακοιβώπ x f %. Από x έχπ x j... ή j f% f %... f j % ή ( j) F % F % N j j

23 Άσκηση Μια τράπεζα έχει 7 υποκαταστήματα σε πέτε πόλεις Α, Β, Γ, Δ και Ε καταεμημέα όπως φαίεται στο διπλαό κυκλικό διάγραμμα. I. Να κατασκευάσετε το πίακα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω. II. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχοτήτω της καταομής. Λύση I. Α η συχότητα της τιμής x, a η γωία στο κυκλικό διάγραμμα του τόξου που ατιστοιχεί στη προηγούμεη συχότητα και το σύολο, τότε από τη ισοδυαμία a a = 60 = 60, υπολογίζουμε τις συχότητες και έχουμε: για τη πόλη Α, για τη πόλη Β, για τη πόλη Γ, για τη πόλη Δ, a = = = = = = a a = = = a = = = και για τη πόλη Ε, a = = = 6. Οι σχετικές συχότητες (με προσέγγιση χιλιοστού) είαι f 7 = = = f 7 = = = 0,06 0,9

24 f 8 7 = = = f 0 7 = = = 0, 0,9 6 και f = = = 0,6. 7 Έτσι έχουμε το πίακα καταομής συχοτήτω ΠΟΛΗ f f % Α 0,06,6 Β 0,9 9, Γ 8 0, Δ 0 0,9,9 Ε 6 0,6 6, ΣΥΝΟΛΟ 0 00 II. Από το προηγούμεο πίακα κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα συχοτήτω ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότα μας δίεται το κυκλικό διάγραμμα της καταομής μιας ποιοτικής μεταβλητής με γωστές τις γωίες τω κυκλικώ τομέω, για α το μετατρέψουμε σε ραβδόγραμμα υπολογίζουμε τις συχότητες από τη ισοδυαμία

25 a a = 60 = 60 και κατόπι το κατασκευάζουμε. Άσκηση 6 Στο σχήμα δίεται το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω που παρουσιάζει ομαδοποιημέες τις ηλικίες 00 ατόμω που παρακολούθησα μια ροκ συαυλία. α) Να κάετε πίακα συχοτήτω v, f %, N και F % β) Να βρείτε: ) πόσοι από τους θεατές ήτα κάτω από ετώ. ) πόσοι από τους θεατές ήτα τουλάχιστο 0 ετώ. ) τη ηλικία κάτω από τη οποία ήτα το 80 % τω θεατώ. Λύση α) Από το ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω παρατηρούμε ότι: Ν = 0, Ν = 60, N = 60, N = 0, N = 00, Υπολογίζουμε τις συχότητες v από το τύπο v = N - N -. Έχουμε: v = Ν = 0 v = Ν - Ν = 60-0 = 0 v = N - N = = 00

26 v = N - N = 0 60 = 80 v = N N = 00 0 = 60 Οπότε έχουμε το πίακα: Κλάσεις [, ) Συχότητες v Αθροιστικές Συχότητες Ν Σχετικές Συχότητες f % Αθροιστικές Σχετικές Συχότητες F % [, 8) 0 0 [8, ) [, 6) [6, 0) [0, ) Σύολο β) ) Κάτω από ετώ ήτα 0 θεατές που αήκου στη κλάση [,8), 0 θεατές που αήκου στη κλάση [8, ) και όσοι από τους 00 θεατές της κλάσης [, 6) ήτα κάτω από χροώ. Έστω ότι οι θεατές από έως χροώ ήτα v. Είαι v v 00 = = v = = 7 θεατές Άρα το σύολο τω θεατώ που ήτα κάτω από ετώ είαι: = θεατές. ) Τουλάχιστο 0 ετώ δηλαδή το λιγότερο 0 ετώ ήτα όλοι οι θεατές εκτός από τους 0 θεατές που αήκου στη κλάση [, 8) και τους μισούς από τους 0 θεατές της κλάσης [8,,) σύολο 00-(0+70) = 0 θεατές ) Το ποσοστό τω θεατώ από 0 έως ετώ είαι %.Το ποσοστό τω θεατώ που ήτα από 6 έως 0 ετώ ήτα 6%. Οι μισοί από αυτούς (8%) ήτα από 8 έως 0 ετώ. Άρα η ηλικία κάτω από τη οποία ήτα το 80 % τω θεατώ ήτα τα 8. 6

27 Διαφορετικός τρόπος Έστω x η ηλικία όσω ήτα κάτω από 0 ετώ και τω οποίω το ποσοστό είαι 8%.Τότε 0 x 8% 0 x 8 = = 0 x= x= % 6 έτη Μεθοδολογία Από το ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω υπολογίσουμε τις συχότητες v από το τύπο v = N - N -. Σε κάθε κλάση οι παρατηρήσεις καταέμοται ομοιόμορφα, οπότε τα ποσά : πλάτος κλάσης και συχότητα κλάσης είαι αάλογα. Έτσι α η κλάση [α, β) έχει πλάτος c = β - α και συχότητα και έα διάστημά της έχει πλάτος c και συχότητα τότε ισχύει η ααλογία: c v f% = = c v f% Από τη ααλογία αυτή μπορούμε υπολογίσουμε τη συχότητα ή τη σχετ. συχότητα (%) οποιουδήποτε διαστήματος μιας κλάσης. 7

28 Άσκηση 7 Να ρσμπληοώρεςε ςξμ παοακάςχ πίμακα και ρςη ρσμέυεια μα σπξλξγίρεςε ςη μέρη ςιμή διάμερξ και ςη διακύμαμρη., ςη Δίμεςαι όςι x v f % f N xv x vx Λύρη Όμχπ ξπόςε,, Άοα 8

29 Οπόςε ξ πίμακαπ ρσμπληοώμεςαι x v f % f N vx x vx - 0, , 9 9 0, Υπξλξγιρμόπ μέρηπ ςιμήπ. Υπξλξγιρμόπ διαμέρξσ. Δπειδή ςξ πλήθξπ ςχμ παοαςηοήρεχμ είμαι ημιάθοξιρμα ςχμ δύξ εμδιάμερχμ παοαςηοήρεχμ,, δηλαδή άοςιξ, η διάμερξπ είμαι ίρη με ςξ δηλαδή Υπξλξγιρμόπ ςηπ διακύμαμρηπ. ξπόςε. 9

30 Άσκηση 8 Σςξμ παοακάςχ πίμακα δίμεςαι η καςαμξμή ρσυμξςήςχμ ςχμ χοώμ μελέςηπ ςχμ μαθηςώμ ςηπ Γ ςάηπ εμόπ Δημξςικξύ ρυξλείξσ ρςη διάοκεια μιαπ εβδξμάδαπ. α) Αμ η διάμερξπ ςξσ δείγμαςξπ είμαι ώοεπ, μα βοείςε ςημ ςιμή ςξσ β) Για, μα βοείςε ςη μέρη ςιμή ςχμ χοώμ μελέςηπ ςχμ μαθηςώμ. γ) Για, μα βοείςε ςη διακύμαμρη ςχμ χοώμ μελέςηπ ςχμ μαθηςώμ Ώοεπ x Σσυμόςηςα v 6 9 Σύμξλξ Λύρη α) Δπειδή η διάμερξπ δεμ είμαι ακέοαιξπ έπεςαι όςι ςξ πλήθξπ ςχμ παοαςηοήρεχμ θα είμαι άοςιξ και από έπεςαι όςι ξι δύξ μεραίεπ παοαςηοήρειπ είμαι η και η 6 άοα ςξ άθοξιρμα ςχμ ρσυμξςήςχμ ςχμ, είμαι ίρξ με ςξ άθοξιρμα ςχμ ρσυμξςήςχμ ςχμ 6,9, δηλαδή 0

31 Ώοεπ x Σσυμόςηςα v xv Σύμξλξ 68 β) έςρι έυξσμε ςξμ πίμακα άοα γ).

32 Άσκηση 9 Ο παοακάςχ πίμακαπ αματέοεςαι ρςιπ ςιμέπ μιαπ μεςαβληςήπ Χ, πξσ έυξσμ ξμαδξπξιηθεί ρε επςά κλάρειπ ίρξσ πλάςξσπ. Κλάρειπ Κεμςοική ςιμή x Σσυμόςηςα v Συεςική ρσυμόςηςα f Αθοξιρςική ρσυμόςηςα N Αθοξιρςική ρυεςική ρσυμόςηςα F 0, ,68 Σύμξλξ α) Να ρσμπληοώρεςε ςξμ παοαπάμχ πίμακα. β) Να βοείςε ςξ πλήθξπ ςχμ παοαςηοήρεχμ πξσ έυξσμ ςιμή ςξσλάυιρςξμ ίρξ με. γ) Να βοείςε ςη μέρη ςιμή και ςη διακύμαμρη.

33 Λύρη α) Έρςχ όςι ςξ πλάςξπ ςηπ κλάρηπ είμαι, επξμέμχπ η η κλάρη θα είμαι και η η και επειδή η κεμςοική ςηπ ςιμή είμαι ξ αοιθμόπ 0 άοα έυξσμε, Οπόςε η η κλάρη είμαι η και η η είμαι ή. Η η κλάρη είμαι ή Η η κλάρη είμαι ή Η η κλάρη είμαι ή Η 6 η κλάρη είμαι ή και η 7 η κλάρη είμαι ή Η κεμςοική ςιμή είμαι και επειδή κάθε επόμεμη ποξκύπςει από ςημ ποξηγξύμεμη, αμ ςηπ ποξρθέρξσμε ςξ πλάςξπ, έςρι έυξσμε Έυξσμε Ιρυύει

34 Έυξσμε

35 Κλάρειπ Κεμςοική ςιμή x Σσυμόςηςα v Συεςική ρσυμόςηςα f Αθοξιρςική ρσυμόςηςα N Αθοξιρςική ρυεςική ρσυμόςηςα F 0,08 0, ,6 0, 0 0,0 7 0, 0, 9 0,8 8 0,0 0,68 0 0,0 0, , 0 Σύμξλξ 0 β) Τξ πλήθξπ ςχμ παοαςηοήρεχμ πξσ έυξσμ ςιμή ςξσλάυιρςξμ ίρξ με είμαι γ) Η μέρη ςιμή και η διακύμαμρη δίμξμςαι από ςξσπ ςύπξσπ, Για μα ςα σπξλξγίρξσμε ρσμπληοώμξσμε ςξμ πίμακα με ςιπ ρςήλεπ

36 Κλάρειπ Κεμςοική ςιμή x Σσυμόςηςα v vx x x ( x x) v ( x x) 8 -,8 6,8 6, ,8 77, 69, 0 0 -,8,0, 68-0,8 0,6 7, , 0,, 0 0 7,,8 8, 6 6 6,, 7,6 Σύμξλξ

37 Άσκηση 0 Τα υοήμαςα ρε εσοώ πξσ όδεφαμ ξοιρμέμα άςξμα για βεμζίμη ρε έμα μήμα ακξλξσθξύμ ςημ καμξμική καςαμξμή. Γμχοίζξσμε όςι: Κάςχ από 00 εσοώ όδεφε ςξ 6% ςχμ αςόμχμ και πάμχ από 00 εσοώ όδεφε ςξ 0,% ςχμ αςόμχμ. α) Να βοείςε ςη μέρη ςιμή και ςημ ςσπική απόκλιρη β) Αμ επιπλέξμ γμχοίζξσμε όςι πάμχ από 00 εσοώ όδεφαμ 60 άςξμα, μα βοείςε πόρα άςξμα όδεφαμ πάμχ από 0 εσοώ. Λύρη Δπειδή η καςαμξμή είμαι καμξμική ή πεοίπξσ καμξμική ιρυύξσμ από θεχοία ςα παοακάςχ α) Κάςχ από 00 εσοώ όδεφε ςξ 6% ςχμ αςόμχμ πξσ ρημαίμει όςι () Πάμχ από 00 εσοώ όδεφε ςξ 0,% ςχμ αςόμχμ πξσ ρημαίμει όςι () Λύμξμςαπ ςξ ρύρςημα ςχμ () και () 7

38 Άοα β) Άοα έυξσμε Γμχοίζξσμε όςι πάμχ από 00 εσοώ όδεφαμ 60 άςξμα, από ςξ ρυήμα βγάζξσμε ςξ ρσμπέοαρμα όςι ςξ πξρξρςό 8% είμαι 60 άςξμα Έυξσμε όςι 60 άςξμα αμςιρςξιυξύμ ρςξ 8% ξπόςε αςόμχμ είμαι 00 άοα ςξ ρσμξλικό πλήθξπ ςχμ Από ςξ ρυήμα βγάζξσμε ςξ ρσμπέοαρμα όςι ςξ πξρξρςό ςχμ αςόμχμ πξσ όδεφαμ πάμχ από 0 εσοώ είμαι 6% Άοα έυξσμε άςξμα. 8

39 Άσκηση Δίμξμςαι ξι παοαςηοήρειπ ξι ξπξίεπ έυξσμ μέρη ςιμή και διακύμαμρη. Θεχοξύμε και ςιπ παοαςηοήρειπ με για ςιπ ξπξίεπ ιρυύει α) Να βοείςε ςη μέρη ςιμή ςχμ παοαςηοήρεχμ και ςξμ αοιθμό β) Αμ επιπλέξμ ιρυύει, μα βοείςε ςξ μέγεθξπ ςξσ δείγμαςξπ και ςξ άθοξιρμα. Λύρη α) Έυξσμε άοα ξπόςε, () Δπίρηπ ιρυύει και επειδή και έυξσμε, () Όμχπ έςρι η () γίμεςαι, () Λύμξσμε ςξ ρύρςημα ςχμ ειρώρεχμ (),() β) Έυξσμε, και 9

40 άοα και Δπίρηπ 0

41 Άσκηση Σε μια βιξμηυαμία ςα ημεοξμίρθια ςχμ εογαζξμέμχμ ήςαμ 0,, και 0, με ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ 0%, 0%, 0% και 0% αμςίρςξιυα. Κόγχ ζημιώμ πξσ παοξσρίαρε η εςαιοεία μειώθηκαμ όλα ςα ημεοξμίρθια καςά % και μεςά από ασςή ςη μείχρη απξταρίρςηκε μέα μείχρη ςχμ ημεοξμιρθίχμ όλχμ ςχμ εογαζξμέμχμ καςά. α. Μα βοείςε ςξ μέρξ ημεοξμίρθιξ, ςημ ςσπική απόκλιρη και ςξ ρσμςελερςή μεςαβξλήπ ςχμ ημεοξμιρθίχμ ποιμ ςιπ μειώρειπ. β. Μα ρσγκοίμεςε χπ ποξπ ςημ ξμξιξγέμεια ςα ημεοξμίρθια ποιμ και μεςά ςιπ μειώρειπ. Κύρη α. Ζ μέρη ςιμή ςχμ ημεοξμιρθίχμ είμαι και η διαρπξοά σπξλξγίζεςαι από ςξμ ςύπξ ξπόςε άοα η ςσπική απόκλιρη ιρξύςαι με. Από ςα παοαπάμχ έυξσμε όςι ξ ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ ιρξύςαι με

42 β. Έρςχ ςα ημεοξμίρθια πξσ ποξκύπςξσμ από ςα αουικά μεςά ςη μείχρη καςά %. Τόςε έυξσμε. Οπόςε ρύμτχμα με γμχρςή εταομξγή η μέρη ςιμή ςχμ ημεοξμιρθίχμ μεςά ςη μείχρη καςά % θα γίμξσμ: και η ςσπική απόκλιρη και. Αμ ςώοα είμαι ςα ημεοξμίρθια μεςά και ςη μείχρη καςά, θα ιρυύει: απόκλιρη, ξπόςε ρύμτχμα με γμχρςή εταομξγή η μέρη ςιμή και η ςσπική ςχμ ημεοξμιρθίχμ μεςά ςη μείχρη καςά θα γίμξσμ: και. Ο μέξπ ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ ιρξύςαι με. Για μα ρσγκοίμξσμε ςξσπ δσξ ρσμςελερςέπ μεςαβξλήπ θεχοξύμε ςξ λόγξ, άοα μεγαλύςεοη ξμξιξγέμεια παοξσριάζξσμ ςα ημεοξμίρθια ποιμ ςιπ μειώρειπ. Λεθξδξλξγία Αμ ρε έμα δείγμα ςιμώμ με μέρη ςιμή και ςσπική απόκλιρη, ξι ςιμέπ πξλλαπλαριαρςξύμ επί μξμάδεπ, ςόςε η μέρη ςιμή γίμεςαι και η ςσπική απόκλιρη γίμεςαι. Έςρι ξ ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ παοαμέμει ξ ίδιξπ, ατξύ Αμ όμχπ ρςιπ ςιμέπ γίμεςαι. ποξρςεθξύμ μξμάδεπ, ςόςε η μέρη ςιμή αλλάζει και, εμώ η ςσπική απόκλιρη παοαμέμει η ίδια. Έςρι ξ ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ γίμεςαι ρημαίμει όςι ρςημ πεοίπςχρη όπξσ μειώμεςαι.. (Οοίζεςαι ετόρξμ.) Τξ ςελεσςαίξ και, ξ ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ

43 Άσκηση Λεςοήθηκαμ ξι υοόμξι ρε λεπςά ςηπ ώοαπ πξσ υοειάζξμςαι ξι μαθηςέπ εμόπ ρυξλείξσ για μα μεςαβξύμ ρςξ ρυξλείξ από ςξ ρπίςι ςξσπ και ποξέκσφε ςξ παοακάςχ πξλύγχμξ αθοξιρςικώμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ επί ςξιπ εκαςό: α. Μα σπξλξγίρεςε ςη μέρη ςιμή και ςημ ςσπική απόκλιρη ςηπ καςαμξμήπ. β. Μα σπξλξγίρεςε ςξ ρσμςελερςή μεςαβξλήπ και μα εεςάρεςε αμ ςξ δείγμα είμαι ξμξιξγεμέπ. γ. Πόρξ ποέπει μα ασηθεί ξ υοόμξπ κάθε μαθηςή, για μα μειχθεί ρςξ μιρό ξ ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ; Κύρη α. Από ςξ πξλύγχμξ έυξσμε ςιπ παοακάςχ αθοξιρςικέπ ρσυμόςηςεπ επί ςξιπ εκαςό,,, και, ξπόςε ξι ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ επί ςξιπ εκαςό είμαι:,,

44 , και. Ζ μέρη ςιμή σπξλξγίζεςαι από ςξμ ςύπξ διαρπξοάπ μεςαρυημαςίζξσμε ιρξδύμαμα ςξμ και για ςξμ σπξλξγιρμό ςηπ ςύπξ και έυξσμε: ποξηγξύμεμξσπ σπξλξγιρμξύπ καςαρκεσάζξσμε ςξμ πίμακα: και για ςξσπ Κλάση [,) x f x f x f 0-0, 0, 0, - 0, 0, 0,9-6 0,, 7, ,,7, ,,8 6, Σύολο x f, x f 7

45 Οπόςε η μέρη ςιμή είμαι x, και η διαρπξοά απόκλιρη είμαι., άοα η ςσπική β. Ο ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ είμαι. Δπειδή όςι και επειδή CV > 0, έπεςαι, άοα ςξ δείγμα δεμ είμαι ξμξιξγεμέπ. γ. Αμ ξι υοόμξι ασηθξύμ καςά, ςόςε ρύμτχμα με γμχρςή εταομξγή ςξσ βιβλίξσ η μέρη ςιμή θα γίμει και η ςσπική απόκλιρη θα μείμει ίδια άοα. Έςρι ξ μέξπ ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ θα γίμει ποέπει, ξπόςε θα. Δπξμέμχπ για μα μειχθεί ρςξ μιρό ξ ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ θα ποέπει μα ασηθεί ξ υοόμξπ κάθε μαθηςή καςά, λεπςά. Λεθξδξλξγία Αμ ρε μια ξμαδξπξιημέμη καςαμξμή μαπ δίμεςαι ςξ πξλύγχμξ αθοξιρςικώμ ρυεςικώμ ρσυμξςήςχμ, ςόςε σπξλξγίζξσμε ςιπ ρυεςικέπ ρσυμόςηςεπ από ςιπ αθοξιρςικέπ ρυεςικέπ και καςαρκεσάζξσμε ςξμ πίμακα με ςιπ κλάρειπ, ςιπ κεμςοικέπ ςιμέπ, και ρσμπληοώμξσμε με ςιπ ρςήλεπ, και. Ιαςόπιμ η μέρη ςιμή σπξλξγίζεςαι από ςξμ ςύπξ και για ςξμ σπξλξγιρμό ςηπ διαρπξοάπ

46 μεςαρυημαςίζξσμε ιρξδύμαμα ςξμ ςύπξ και έυξσμε:. Από ςη μέρη ςιμή και ςημ ςσπική απόκλιρη σπξλξγίζξσμε ςξ ρσμςελερςή μεςαβξλήπ. Τέλξπ αμ ρςξ ποξηγξύμεμξ δείγμα ςιμώμ ρςιπ ςιμέπ ποξρςεθξύμ μξμάδεπ, ςόςε ρύμτχμα με γμχρςή εταομξγή, η μέρη ςιμή αλλάζει και γίμεςαι, εμώ η ςσπική απόκλιρη παοαμέμει η ίδια. Έςρι ξ ρσμςελερςήπ μεςαβξλήπ γίμεςαι.(οοίζεςαι ετόρξμ.) 6

47 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Από το σύολο τω μαθητώ μιας τάξης θεωρούμε για κάθε μαθητή τις ιδιότητες: α) Βάρος β) Ηλικία γ) Διαγωγή δ) Χρώμα μαλλιώ ε) Νούμερο παπουτσιώ ζ) Αριθμός μελώ οικογέειας η) Θρησκεία θ) Οικοομική κατάσταση οικογέειας ι) Ομάδα αίματος κ) Βαθμός στα Μαθηματικά λ) Ύψος Να σημειώσετε ποιες από τις προηγούμεες ιδιότητες είαι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές. Από τις ποσοτικές ποιες είαι συεχείς και ποιες διακριτές. Οι αποστάσεις (σε km) τω 6 κοιοτήτω εός ομού από το πλησιέστερο οσοκομείο είαι: α) Να κατασκευάσετε πίακα: ) Συχοτήτω. ) Αθροιστικώ συχοτήτω τω αποστάσεω. β) Πόσες κοιότητες απέχου από το οσοκομείο περισσότερο από 0 km;. Ζυγίστηκα μαθητές και τα βάρη τους σε kg ήτα: (α) Να ομαδοποιήσετε τις παραπάω παρατηρήσεις με πλάτος κλάσης 6. (β) Να κατασκευάσετε το πίακα συχοτήτω με στήλες για τη κετρική τιμή κλάσης,τη συχότητα, τη αθροιστική συχότητα, τη σχετική συχότητα και τη επί τοις 00 σχετική συχότητα. (γ) Ποιο ποσοστό τω μαθητώ έχει βάρος μικρότερο από 7 kg και ποιο μεγαλύτερο ή ίσο από 7 kg. (δ) Ο Γυμαστής του σχολείου τους, βλέποτας τα αποτελέσματα της μέτρησης, συμπέραε ότι το % τω μαθητώ είαι υπέρβαροι. Πόσοι είαι σε πλήθος οι υπέρβαροι μαθητές; (ε) Πόσοι μαθητές δε υπερβαίου τα 60 kg; Ποιό είαι το ποσοστό τους;. Ο αριθμός τω παιδιώ που υπάρχου σε 6 οικογέειες της Ρόδου είαι ο παρακάτω: (α) Να κατασκευαστεί ο πίακας συχοτήτω και α συμπληρωθεί με τις στήλες: συχότητα, αθροιστική συχότητα, σχετική συχότητα και επί τοις 00 σχετική συχότητα. (β) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα και το πολύγωο συχοτήτω. 7

48 . Οι ωριαίες απουσίες τω μαθητώ μιας τάξης φαίοται στο επόμεο πίακα. Ωριαίες απουσίες Μαθητές [ 0,0) 8 [ 0, 0) 0 [ 0,0) [ 0,0) [ 0,0) (α) Να κατασκευάσετε το πίακα συχοτήτω με στήλες για τη κετρική τιμή κλάσης,τη συχότητα, τη αθροιστική συχότητα, τη σχετική συχότητα και τη επί τοις 00 σχετική συχότητα. (β) Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό τω μαθητώ που έχου: (ι) τουλάχιστο 0 ωριαίες απουσίες (ιι) λιγότερες από 0 ωριαίες απουσίες. (γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχοτήτω και το πολύγωο συχοτήτω. 6. To παρακάτω διάγραμμα παριστάει τις προτιμήσεις 70 γυαικώ προς τρία διαφορετικά αρώματα. Α x+y=60 o, τότε α βρείτε ποιο ποσοστό γυαικώ προτιμά καθέα από τα αρώματα και α κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχοτήτω. 7. Στο παρακάτω σχήμα φαίεται το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω για το αριθμό τω παιδιώ τω 0 οικογεειώ εός χωριού. (α) Να κατασκευάσετε το πίακα συχοτήτω. (β) Να κατασκευάσετε το πολύγωο συχοτήτω. (γ) Να βρείτε πόσες οικογέειες έχου παιδιά. (δ) Να βρείτε πόσες οικογέειες έχου το πολύ παιδιά. (ε) Να βρείτε το επί της εκατό ποσοστό(%) τω οικογεειώ που έχου παιδιά. y Οικογέειες x Αριθμός παδιώ 8

49 8. Η καταομή τω σχετικώ συχοτήτω τω βαθμώ 00 φοιτητώ του Μαθηματικού τμήματος που πέρασα το μάθημα της Στατιστικής δίεται από το παρακάτω πίακα: Βαθμός x Σχετική συχότητα f Να υπολογίσετε: () Πόσοι φοιτητές πήρα βαθμό. () Πόσοι φοιτητές πήρα βαθμό μεγαλύτερο από 6. () Πόσοι που πέρασα το μάθημα έχου πάρει βαθμό μέχρι 7. (v) Πόσοι πήρα 9 ή 0. (v) Να βρεθού οι στήλες της αθροιστικής συχότητας,της σχετικής % συχότητας και της αθροιστικής % συχότητας. (v) Να γίει το πολύγωο συχοτήτω και αθροιστικώ συχοτήτω. 9. Έστω x < x < x < x οι τιμές μιας μεταβλητής Χ και F οι αθροιστικές συχότητες της μεταβλητής. Α ισχύει α) Να βρεθεί η τιμή του κ F + = όπου =,,, κ β) Να βρεθού οι σχετικές συχότητες f όπου =,,, γ) Να βρεθεί το ποσοστό τω παρατηρήσεω που έχου τιμή τουλάχιστο x. α) Να αποδείξετε ότι το πλάτος c τω κλάσεω ισούται με β) Να συμπληρώσετε τα κεά του πίακα αφού υπολογίσετε τις ατίστοιχες τιμές γ) Να κατασκευασθεί το ιστόγραμμα και το πολύγωο τω σχετικώ συχοτήτω καθώς και το πολύγωο και ιστόγραμμα τω σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω. ε) Να κατασκευασθεί το ιστόγραμμα και το πολύγωο συχοτήτω και αθροιστικώ συχοτήτω. 0. Το βάρος του κάθε μαθητή της Γ τάξης είαι τουλάχιστο κιλά, αλλά μικρότερο από 8 κιλά. Το 90% τω μαθητώ έχει βάρος τουλάχιστο κιλά, μαθητές έχου βάρος μικρότερο από 6 κιλά, μαθητές έχου βάρος τουλάχιστο 6 κιλά και το 60% τω μαθητώ έχει βάρος λιγότερο από 7 κιλά. α) Να παρασταθού τα δεδομέα σε έα πίακα συχοτήτω, σχετικώ συχοτήτω, αθροιστικώ συχοτήτω και σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω σε κλάσεις. β) Να βρείτε το ποσοστό τω μαθητώ που έχου βάρος τουλάχιστο 60 κιλά, αλλά λιγότερο από 80 κιλά. γ) Να βρεθού οι γωίες τω ατιστοίχω κυκλικώ τομέω του κυκλικού διαγράμματος σχετικώ συχοτήτω 9

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,

Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R

(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους και τη παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστιή λέγεται ο λάδος τω Μαθηματιώ ο οποίος συγετρώει στοιχεία που ααφέροται σε έα σύολο ατιειμέω, τα ταξιομεί, αι τα παρουσιάζει σε ατάλληλη μορφή ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γειές έοιες Στατιστιή είαι ο λάδος τω μαθηματιώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους αι τη παρουσίασή τους σε ατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi

Στατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΒΗΣΗ -ΠΑΙΔΙ ΚΑΙ ΔΙΑΣΡΟΦΗ

ΔΙΑΒΗΣΗ -ΠΑΙΔΙ ΚΑΙ ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΔΙΑΒΗΣΗ -ΠΑΙΔΙ ΚΑΙ ΔΙΑΣΡΟΦΗ Ο ξοιρμόπ Ποξήλθε από ςημ ελλημική λένη «διαβαίμχ» όςαμ ξ Αοεςαίειξπ από ςημ Καππαδξκία παοαςήοηρε όςι μεγάλεπ πξρόςηςεπ σγοώμ πέομαγαμ ρςα ξύοα, «διαβαίμξμςαπ» όλξ ςξ ρώμα.

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4

Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισµός: Συάρτηση (functon) είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β Πράξεις µε Συαρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ

BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ιδάσκω: Τριαταφύλλου Ιωάης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ Αιγάλεω 04 Που και πως θα µας φαεί χρήσιµη??? Για α περιγράψουµε έα δείγµα παρατηρήσεω ως προς τα χαρακτηριστικά του Παράδειγµα Κατά τη διόρθωση 00

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Παναγιώτα Λάλου. Βασικές έννοιες Ορισμός: Στατιστικός πληθυσμός ονομάζεται το σύνολο των πειραματικών μονάδων π.χ άνθρωποι, ζώα, επιχειρήσεις κ.λπ, οι οποίες συμμετέχουν στην έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.

Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11. Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 0-0 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

ATTRACT MORE CLIENTS ΒΕ REMARKABLE ENJOY YOUR BUSINESS ΣΕΛ. 1

ATTRACT MORE CLIENTS ΒΕ REMARKABLE ENJOY YOUR BUSINESS ΣΕΛ. 1 ATTRACT MORE CLIENTS ΒΕ REMARKABLE ENJOY YOUR BUSINESS ΣΕΛ. 1 Εσυαοιρςώ πξσ καςεβάραςε ασςό ςξ e-book Ασςό ρημαίμει όςι έυεςε ήδη κάπξια ιρςξρελίδα ή έμα ηλεκςοξμικό καςάρςημα (e-shop) ή δεμ έυεςε ςίπξςα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου

Επιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου Θεωρία Θ Ε Ω Ρ Ι Α Παελλαδικώ εξετάσεω Βασίλης Γατσιάρης ωρεά υποστηρικτικό υλικό Θεωρία Στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους χρησιµοποιούµε τα πιο κάτω σύµβολα, για τις διάφορες κατηγορίες τω θεµάτω

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική τωμ Μαθηματικώμ (Β Φάση ΔΙ.ΜΔ.Π.Α)

Διδακτική τωμ Μαθηματικώμ (Β Φάση ΔΙ.ΜΔ.Π.Α) ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΦΟΛΗ ΥΛΩΡΙΝΑ Δ ι δ α σ κ α λ ί α σ τ η Δ Δ η μ ο τ ι κ ο ύ Ν ο μ ί σ μ α τ α κ α ι Δ ε κ α δ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί Διδακτική τωμ Μαθηματικώμ (Β Φάση ΔΙ.ΜΔ.Π.Α) Επ ιιμέλε ιια Εργασ ίίας Καοαμαμίδξσ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΔΑΣΗΡΙΟ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΑ. Δραγάτςη 8, Πειραιάσ Ιερ. Πατριάρχου 45, Αμπελόκηποι. 693.45.22.273 info@neoellinikiglossa.gr.

ΠΟΤΔΑΣΗΡΙΟ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΑ. Δραγάτςη 8, Πειραιάσ Ιερ. Πατριάρχου 45, Αμπελόκηποι. 693.45.22.273 info@neoellinikiglossa.gr. ΠΟΤΔΑΣΗΡΙΟ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΑ Δραγάτςη 8, Πειραιάσ Ιερ. Πατριάρχου 45, Αμπελόκηποι 693.45.22.273 info@neoellinikiglossa.gr e-learning Διδαρκαλία ςξσ μαθήμαςξπ ςηπ Νεξελλημικήπ Γλώρραπ από απόρςαρη ΠΡΟΕΣΟΙΜΑΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210] Σημειώσεις στις Πιθαότητες Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,

Διαβάστε περισσότερα

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ 2. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΥΓΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Δύο καοικά οκτάγωα είαι όμοια.. * Δύο καοικά πολύγωα με το ίδιο αριθμό πλευρώ είαι όμοια.. * Έα κυρτό πολύγωο που έχει όλες του τις

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακoλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα