ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ
|
|
- Ἀρχιμήδης Μακρή
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ
2 ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση της ενότητας αυτής ο/η μαθητής/τρια πρέπει: 1. Να σχεδιάζει γεωμετρικές καμπύλες (ελλειψοειδή, ωοειδή, παραβολή, υπερβολή, έλικα, σπείρα) εφαρμόζοντας τους κανόνες καλής σχεδίασης και γραμμογραφίας. 2. Να κατανοεί τη σημασία της εφαρμογής τους σε πολύπλοκες κατασκευές.
3 ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές καμπύλες έχουν εφαρμογές σε σχέδια ορισμένων κατασκευών ή μηχανισμών όπως γεφύρια, κτίρια, άξονες, σκάλες, μηχανολογικά εξαρτήματα κ.α. Η γνώση της κατασκευής των γεωμετρικών καμπύλων είναι αναγκαία, διότι είναι απαραίτητη για τη σχεδίαση και την κατασκευή πολυσύνθετων αντικειμένων.
4 ΕΛΛΕΙΨΟΕΙΔΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ Η ελλειψοειδής καμπύλη είναι μια επίπεδη κλειστή καμπύλη που αποτελείται από τέσσερα τόξα κύκλου, από τα οποία τα δύο απέναντι είναι όμοια και ίσα.
5 Χάραξη ελλειψοειδούς καμπύλης, όταν δίνεται ο μεγάλος άξονας ΑΒ Χαράζουμε το μεγάλο άξονα ΑΒ, τον οποίο διαιρούμε σε 4 ίσα μέρη και ορίζουμε τα σημεί 1, 2, 3. Με κέντρο τα σημεία 1 και 3 και ακτίνα R1 = Α1 χαράζουμε δύο περιφέρειες κύκλου που εφάπτονται στο σημείο 2. Με κέντρο, επίσης, τα σημεία 1 και 3 και ακτίνα R2 = Α2, χαράζουμε τόξα τα οποία τέμνονται στα σημεία Μ και Ν. Χαράζοντας τα ευθύγραμμα τμήματα Μ1, Μ3, Ν1, Ν3 και
6 Χάραξη ελλειψοειδούς καμπύλης, όταν δίνεται ο μεγάλος άξονας ΑΒ (συνέχεια) προεκτείνοντάς τα μέχρι να τέμνουν τις περιφέρειες των κύκλων, που χαράξαμε με κέντρα τα σημεία 1 και 3, ορίζουμε τα σημεία Η, Θ, Ε, Ζ. Με κέντρο τα σημεία Μ και Ν και ακτίνα R3 = Α3, χαράζουμε τόξα κύκλου τα οποία ενώνονται στα σημεία Η, Θ και Ε, Ζμετις περιφέρειεςτων κύκλων που χαράξαμε. Τα τόξα ΕΗ, ΖΘ και ΕΖ, ΗΘ σχηματίζουν τη ζητούμενη ελλειψοειδή καμπύλη.
7 Χάραξη ελλειψοειδούς καμπύλης, όταν δίνεται ο μικρός άξονας Χαράζουμε το μικρό άξονα ΓΔ. Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο ΓΝΔΜ με διαγώνιό του το ΓΔ. Με κέντρο τα σημεία Γ και Δ και ακτίνα ΓΔ χαράζουμε δύο τόξα που τέμνουν τις προεκτάσεις των πλευρών του τετραγώνου στα σημεία Η, Θ καιε, Ζ αντίστοιχα. Με κέντρο τα σημεία Μ και Ν και ακτίνα R= ΜΕ χαράζουμε άλλα δύο τόξα κύκλου που ενώνονται με τα προηγούμενα στα σημεία Ε, Η καιζ, Θ. Τα τόξα ΕΖ, ΗΘ και ΕΗ, ΖΘ σχηματίζουν τη ζητούμενη ελλειψοειδή καμπύλη
8 ΩΟΕΙΔΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ Η ωοειδής καμπύλη είναι μια επίπεδη κλειστή καμπύλη που αποτελείται από τέσσερα τόξα κύκλου, από τα οποία τα δύο είναι ίσα και τοποθετημένα απέναντι το ένα στο άλλο. Τα άλλα δύο τόξα είναι διαφορετικά.
9 Χάραξη ωοειδούς, όταν δίνεται ο μικρός άξονας ΓΔ Χαράζουμε το μικρό άξονα ΓΔ. Με κέντρο το Ο και ακτίνα R= ΓΔ/2 χαράζουμε περιφέρεια κύκλου. Χαράζουμε τη διάμετρο ΑΜ, κάθετη στη ΓΔ και την προεκτείνουμε. Χαράζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΜ και ΔΜ και τα προεκτείνουμε. Με κέντρο τα σημεία Γ και Δ και ακτίνα R1 = ΔΓ χαράζουμε δύο τόξα που τέμνουν τις προεκτάσεις των ΓΜ και ΔΜ στα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα. Με κέντρο το Μ και ακτίνα R2=ΜΕ=ΜΖ χαράζουμε το τόξο ΕΒΖ. ΗημιπεριφέρειαΔΑΓμαζίμετατόξα ΓΕ, ΕΒΖ και ΖΔ σχηματίζουν το ζητούμενο ωοειδές σχήμα.
10 Χάραξη ωοειδούς, όταν δίνεται ο μεγάλος άξονας Χαράζουμε το μεγάλο άξονα ΑΒ. Χαράζουμε κάθετη στο ΑΒ, στο σημείο Α και ορίζουμε πάνω σε αυτήν ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ = ΑΒ/2. Ενώνοντας τα σημεία Ε και Β ορίζουμε πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΕΒ, τμήμα ΕΖ = ΕΑ. Με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΖ χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει το ΑΒστοσημείοΟ. Με κέντρο το Ο και ακτίνα το ΟΑ χαράζουμε κύκλο που τέμνει το ΑΒ στοσημείοη. Χαράζουμε τη διάμετρο ΓΔ κάθετη στο ΑΒ. Η ΓΔείναιομικρόςάξονας του ωοειδούς.
11 Χάραξη ωοειδούς, όταν δίνεται ο μεγάλος άξονας (συνέχεια) Ενώνουμε με ευθείες τα σημεία Γ και Δ με το Η και τις προεκτείνουμε. Με κέντρο τα σημεία Γ και Δ και ακτίνα R= ΔΓ χαράζουμε τόξα που τέμνουν τις προεκτάσεις των ευθειών ΓΗ και ΔΗ στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα. Με κέντρο το Η και ακτίνα R1 = ΗΛ = ΗΜ χαράζουμε τόξο. Η ημιπεριφέρεια ΓΑΔ, τα τόξα ΓΜ, ΔΓ και ΜΒΛ σχηματίζουν το ζητούμενο ωοειδές σχήμα.
12 ΕΛΛΕΙΨΗ Έλλειψη είναι η γεωμετρική επίπεδη κλειστή καμπύλη γραμμή, της οποίας το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου της από δύο άλλα σταθερά σημεία που λέγονται εστίες, είναι σταθερό.
13 Χάραξη έλλειψης, όταν δίνονται και οι δύο άξονες (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) Δίνονται ο μεγάλος άξονας της έλλειψης ΑΒ (οριζόντιος) και ο μικρός ΓΔ (κατακόρυφος). Με κέντρο το Γ (ή τοδ) και ακτίνα R= ΑΟ (ΑΒ/2) χαράζουμε τόξο κύκλου, το οποίο τέμνει το μεγάλο άξονα ΑΒ στα σημεία Ε1 και Ε2 (εστίες). Ορίζουμε πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Ε1Ο σημείαέστω1, 2, 3, 4, 5, 6 που απέχουν ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. ΜεκέντροτιςεστίεςΕ1 και Ε2 και με ακτίνες 1Α και 1Β χαράζουμε
14 Χάραξη έλλειψης, όταν δίνονται και οι δύο άξονες (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) (συνέχεια) τέσσερατόξακύκλου, τα οποία στα σημείατομήςτουςορίζουν4 σημεία της έλλειψης (α). Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο και με ακτίνες 2Α και 2Β και τα ίδια κέντρα Ε1 και Ε2, ορίζουμε άλλα 4 σημεία της έλλειψης (β). Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε τα υπόλοιπα σημεία της έλλειψης, τα οποία ενώνουμε με τη βοήθεια καμπυλογράμμωνγιανασχηματίσουμε τη ζητούμενη έλλειψη.
15 Χάραξη έλλειψης (μέθοδος ομόκεντρων κύκλων) Δίνεται ο μεγάλος άξονας ΑΒ και ο μικρός άξονας ΓΔ μιας έλλειψης. Με κέντρο το σημείο τομής Ο των δύο αξόνων ΑΒ και ΓΔ και με ακτίνες ΑΒ/2 και ΓΔ/2 χαράζουμε δύο ομόκεντρους κύκλους. Χωρίζουμε τους κύκλους σε 12 ίσα μέρη, φέρονταςαπότοκέντροο ακτίνες οι οποίες τέμνουν τις περιφέρειες των κύκλων. Η περιφέρεια του μικρού κύκλου τέμνεται στα σημεία 1, 2, 3, , 12 και του μεγάλου στα σημεία 1, 2, 3, , 12.
16 Χάραξη έλλειψης (μέθοδος ομόκεντρων κύκλων) (συνέχεια) Από τα σημεία 1, 2, 3, 4,... χαράζουμε οριζόντιες γραμμές, ενώ από τα σημεία 1, 2, 3, 4,... χαράζουμε κάθετες. Τα σημεία τομής των οριζόντιων και των κάθετωνγραμμώνείναισημεία της έλλειψης. Ενώνοντας όλα τα σημεία με τη βοήθεια καμπυλογράμμων σχηματίζεται η ζητούμενη έλλειψη.
17 Χάραξη έλλειψης (μέθοδος παραλληλογράμμου) Δίνονται οι δύο άξονες ΑΒ και ΓΔ. Κατασκευάζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΚΛΜΝ με τις πλευρέςίσεςμετουςάξονες. Διαιρούμε το τμήμα ΑΚ και το τμήμα ΑΟ σε ίσα μέρη, (έστω 4). Στο ΑΚ ορίζονται τα σημεία 1, 2, 3 ενώ στο ΑΟ τα 1, 2, 3. Χαράζουμε ευθείες Γ1, Γ2, Γ3 και Δ1, Δ2, Δ3 οι οποίες τέμνονται στα σημεία της έλλειψης. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο και στα άλλα τεταρτημόρια, για να ορίσουμε τα σημεία της έλλειψης με τα οποία, αφού τα ενώσουμε με τη βοήθεια καμπυλογράμμων, σχηματίζεται η ζητούμενη έλλειψη.
18 ΠΑΡΑΒΟΛΗ Παραβολή είναι μια ανοιχτή καμπύλη γραμμή, της οποίας κάθε σημείο απέχει ίση απόσταση από ένα σταθερό σημείο, την εστία Ε και από μια σταθερή ευθεία, την οδηγήτρια ή διευθετούσα Υ-Υ. ΕΑ = ΑΛ ΕΒ = ΒΜ ΕΓ = ΓΝ Ε: εστία παραβολής
19 Χάραξη παραβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) Δίνονται η θέση της εστίας Ε ως προς την σταθερή ευθεία (οδηγήτρια) ΥΥ. Χαράζουμε τον άξονα ΜΝ με τρόπο που να περνά από το σημείο Ε και να είναι κάθετη στην οδηγήτρια. Διχοτομούμε τη ΜΕ, για να βρούμε την κορυφή της παραβολής (σημείο Ο). Παίρνουμε έναν αριθμό σημείων 1, 2, 3... πάνω στην ευθεία ΟN. Στα σημεία 1, 2, 3... χαράζουμε κάθετες.
20 Χάραξη παραβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) (συνέχεια) Με κέντρο την εστία Ε και ακτίνα ίση με την απόσταση 1Μ χαράζουμε δύο τόξα με τρόπο που να τέμνουν την κάθετη που περνά από το σημείο 1, στα σημεία Α και Α. Με κέντρο και πάλι την εστία Ε και ακτίνα ίση με την απόσταση 2Μ χαράζουμε δύο τόξα με τρόπο που να τέμνουν την κάθετηπουπερνάαπότοσημείο 2, στα σημεία Β και Β. Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο, γιαναβρούμετασημείαγκαιγ, Δ και Δ κλπ.
21 Χάραξη παραβολής (μέθοδος παραλληλογράμμου) Δίνονται το μήκος ΟΚ και το πλάτος ΒΓ μιας παραβολής. Με βάση το μήκος και το πλάτος κατασκευάζουμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Ορίζουμε ως κορυφή της παραβολής το σημείο Ο στο μέσο της ΑΔ. Διαιρούμε την ΑΒ σε 5 ίσα μέρη και ορίζουμε τα σημεία 1, 2, 3, 4. Χαράζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα Ο1, Ο2, Ο3, Ο4. Από τα σημεία 1, 2, 3, 4 χαράζουμε ευθείες παράλληλες με την ΑΒ οι οποίες τέμνουν τα ευθύγραμμα τμήματα Ο1, Ο2, Ο3, Ο4 στα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ ταοποίαείναισημείατης παραβολής.
22 Χάραξη παραβολής (μέθοδος παραλληλογράμμου) (συνέχεια) Με τη ίδια πορεία ορίζουμε και τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ της παραβολής. Ενώνοντας όλα τα σημεία με τη βοήθεια καμπυλόγραμμων σχηματίζεται η παραβολή.
23 ΥΠΕΡΒΟΛΗ Υπερβολή είναι μια επίπεδη ανοιχτή γεωμετρική καμπύλη. Αποτελείται από δύο συμμετρικούς κλάδους (μέρη) και σχηματίζεται από ένα σημείο που κινείται, έτσι ώστε η διαφορά των αποστάσεών του από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε (εστίες) να είναι σταθερή και ίση με την απόσταση ΚΚ (απόσταση των δύο κορυφών της υπερβολής) πάνω στον άξονα Υ-Υ.
24 Χάραξη υπερβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) Δίνεται ο κατακόρυφος κύριος άξονας Υ-Υ. Ορίζουμε πάνω σ αυτόν τις δύο εστίες Ε και Ε, καθώς και το μήκος του κυρίως άξονα ΚΚ. Ορίζουμε πάνω στον κύριο άξονα Υ-Υ διαδoχικά σημεία (κατά προτίμηση να ισαπέχουν μεταξύ τους) 1, 2, 3, 4, 5 και 1, 2, 3, 4, 5. Με κέντρο την εστία Ε και ακτίνα1κ χαράζουμε τόξα δεξιά και αριστερά του άξονα Υ-Υ. Με κέντρο την εστία Ε και ακτίνα 1Κ χαράζουμε τόξα που τέμνουν τα προηγούμενα στα σημεία Α και Α1 αντίστοιχα.
25 Χάραξη υπερβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) (συνέχ.) Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο και με ακτίνες 2Κ και2κ και κέντρο τις εστίες Ε και Ε αντίστοιχα, προσδιορίζουμε τα σημεία Β και Β1. με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζουμε τα υπόλοιπα σημεία (Γ και Γ1, Δ καιδ1 κ.τ.λ.) του πάνω κλάδου της υπερβολής. Γιαναχαράξουμετονκάτωκλάδοτης υπερβολής, συνεχίζουμεμετονίδιο τρόπο, με κέντρο τις εστίες Ε και Ε και ακτίνες 1 Κ και 1 Κ. Με κέντρο την εστία Ε και ακτίνα 1 Κ χαράζουμε τόξα δεξιά και αριστερά του κυρίως άξονα, στη συνέχεια με κέντρο την εστία Ε και ακτίνα 1 Κ χαράζουμε τόξα που τέμνουν τα προηγούμενα στα σημεία Α και Α 1
26 Χάραξη υπερβολής (μέθοδος γεωμετρικών τόπων) (συνέχ.) Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζουμε τα σημεία Β και Β1, Γ και Γ1, Δ και Δ1 κ.τ.λ. Ενώνοντας τα σημεία με τη βοήθεια καμπυλογράμμων σχηματίζεται η υπερβολή.
27 Χάραξη υπερβολής (μέθοδος παραλληλογράμμου) Δίνεται το πλάτος της υπερβολής ΑΒ, το ύψος της ΚΖ και το μήκος του κύριου άξονά της (ΚΚ ). Κατασκευάζουμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ και ΒΓ, όπου η ΒΓ είναι ίση με το ύψος ΚΖ. Διαιρούμε τις πλευρές ΑΔ και ΔΖ σε ίσα μέρη, έστω πέντε, και σημειώνουμε 1, 2, 3, 4 και 1, 2, 3, 4 αντίστοιχα. Στην προέκταση της ΖΚ σημειώνουμε το Κ, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΚΚ να είναι ίσο με το δοσμένο μήκος του κυρίως άξονα Κ Κ.
28 Χάραξη υπερβολής (μέθοδος παραλληλογράμμου) (συνέχεια) Ενώνουμε τα σημεία 1, 2, 3, 4 με το Κ, ενώ τα σημεία 1, 2, 3, 4 με το Κ. Τα ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν τέμνονται στα σημεία 1, 2, 3, 4 τα οποία είναι σημεία του αριστερού τμήματος της υπερβολής. Με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζουμε τα σημεία του δεξιού τμήματος της υπερβολής. Ενώνουμε με καμπυλόγραμμα όλα τα σημεία και σχηματίζεται η ζητούμενη υπερβολή.
29 ΕΛΙΚΑ Έλικα είναι η καμπύλη η οποία παράγεται από ένα σημείο που κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια κυλινδρική επιφάνεια κατά τη διεύθυνση του άξονά της, ενώ ταυτόχρονα η κυλινδρική επιφάνεια περιστρέφεται με σταθερή ταχύτητα γύρω από τον άξονά της. Ανάλογα με τη φορά της κίνησης του κυλίνδρου, η έλικα λέγεται δεξιόστροφη ή αριστερόστροφη. Βήμα της έλικας ονομάζεται η απόσταση στην οποία μετατοπίζεται ένα σημείο κατά μήκος του άξονά της, όταν η κυλινδρική επιφάνεια κάνει μια πλήρη περιστροφή (360 ). Δηλαδή βήμα της έλικας είναι η απόστασηδύοδιαδοχικώνσημείωντηςπου βρίσκονται πάνω στην ίδια γενέτειρα.
30 Χάραξη δεξιόστροφης έλικας Δίνεται το βήμα (Β) της έλικας και διάμετρος D Χαράζουμε κύκλο με διάμετρο D και διαιρούμε την περιφέρειά του σε αριθμό ίσων μερών, έστω 12. Προβάλλουμε τα σημεία διαίρεσης της περιφέρειας στο επίπεδο της πρόσοψης και ορίζουμε το βήμα Β της έλικας. Στη συνέχεια χαράζουμε κατακόρυφες γραμμές προς τα πάνω, ώστε να σχηματιστεί η όψη του κυλίνδρου με ύψος το βήμα Β. Διαιρούμε το βήμα (ύψος) σε 12 ίσα μέρη όσα και η κάτοψη (η διαίρεση κατά προτίμηση να γίνεται με γραφική μέθοδο) και τα αριθμούμε 1, 2, 3, 4, 5, 6, Χαράζουμε οριζόντιες γραμμές οι οποίες τέμνουν τις κατακόρυφες στα σημεία της έλικας. Ενώνουμε τα σημεία με καμπυλόγραμμα και σχηματίζεται η ζητούμενη έλικα.
31 Χάραξη αριστερόστροφης έλικας Γιανασχεδιάσουμε αριστερόστροφη έλικα, εφαρμόζουμε την ίδια μέθοδο όπως και στη δεξιόστροφη. Η μόνη διαφόρα είναι στην αρίθμηση των σημείων στην κάτοψη του κύκλου που αρχίζει από τα δεξιά προς τα αριστερά.
32 ΣΠΕΙΡΑ Σπείρα ονομάζεται η καμπύλη που σχηματίζεται από ένα σημείο που κινείται, με σταθερή ταχύτητα, πάνω σε μια ευθεία η οποία περιστρέφεται ταυτόχρονα, με σταθερή ταχύτητα γύρω από ένα σημείο.
33 Χάραξη σπείρας του Αρχιμήδη Δίνεται το βήμα της σπείρας ΟΑ. Χαράζουμε ευθύγραμμο τμήμα ίσο με το βήμα ΟΑ και το διαιρούμε σε 12 ίσα τμήματα. Διαιρούμε τη γωνιά Ο, δηλ. 360, σε τόσα τμήματα όσα χωρίσαμε και το ευθύγραμμο τμήμα, δηλ. 12, και χαράζουμε τις ευθείες Ο1, Ο2, Ο3, Ο4,... Ο12. Με κέντρο πάντοτε το Ο και ακτίνες Ο11, Ο10, Ο9, Ο8... Ο1, χαράζουμε τόξα που τέμνουν τις αντίστοιχες ευθείες στα αντίστοιχα σημεία της σπείρας. Γιανασυνεχίσουμετησπείραμε περισσότερα βήματα, μεταθέτουμε τα σημεία κατά ένα βήμα στην αντίστοιχη ευθεία και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία.
34 Χάραξη σπείρας (μέθοδος τεσσάρων εναλλασσόμενων κέντρων που είναι κορυφές τετραγώνου) Δίνεται το βήμα της σπείρας 1Γ. Με πλευρά το ¼ του βήματος 1Γ κατασκευάζουμε το τετράγωνο Προεκτείνουμε τις πλευρές του τετραγώνου 2-1, 1-4, 4-3, 3-2. Με κέντρο το σημείο 2 και με ακτίνα 2-1 χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της 3-2 στο Α. Με κέντρο το σημείο 3 και με ακτίνα 3Α χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της 3-2 στο Α.
35 Χάραξη σπείρας (μέθοδος τεσσάρων εναλλασσόμενων κέντρων που είναι κορυφές τετραγώνου) (συνέχεια) Με κέντρο το σημείο 4 και ακτίνα 4Β χαράζουμε το τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της 1-4 στο Γ. Με κέντρο το σημείο 1 και ακτίνα το 1Γ (δηλαδή το βήμα) χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της 2-1 στο Δ. Μετά, εναλλάσσοντας τα 4 κέντρα, χαράζουμε τεταρτοκύκλια ως συνέχεια του προηγούμενου και έτσι σχηματίζεται σπείρα 2, 3, 4... βημάτων.
36 ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΗ Εξελιγμένη ονομάζεται η καμπύλη που παράγεται από ένα σημείο μιας ευθείας, που κυλίεται χωρίς να γλιστρά πάνω σε μια περιφέρεια.
37 Χάραξη εξελιγμένης κύκλου Δίνεται η περιφέρεια κύκλου την οποία διαιρούμεσεαριθμόίσωνμερών, έστω 12. Χαράζουμε τις ακτίνες και τις εφαπτομένες στα σημεία αυτά. Πάνω στην εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο 1 σημειώνουμε τμήμα 1Α ίσομετο ανάπτυγμα του τόξου 0-1, δηλαδή το 1/12 της περιφέρειας. Στη συνέχεια πάνω στην εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο 2 σημειώνουμε τμήμα 2Β ίσο με το ανάπτυγμα του τόξου 0-2, δηλαδή τα 2/12 της περιφέρειας. Ακολουθώντας την ίδια πορεία και τα σημεία 3, 4, και σημειώνοντας πάνω στην κάθε εφαπτομένη τμήμα ίσο με το ανάπτυγμα του αντίστοιχου τόξου, προσδιορίζουμε όλα τα σημεία τα οποία ενώνοντάς τα με τη βοήθεια καμπυλόγραμμων σχηματίζουν την εξελιγμένη του κύκλου.
38 Χάραξη εξελιγμένης τριγώνου Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ, ΓΒ,ΑΓ. Με κέντρο την κορυφή Α του τριγώνου και ακτίνα R ίση με την πλευρά του τριγώνου ΑΓ χαράζουμε τόξο που τέμνει την προέκτασή της ΒΑ στο σημείο Δ. Με κέντρο το Β και ακτίνα 2R, ίση με το διπλάσιο της πλευράς, χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της ΓΒ στο σημείο Ε. Επίσης, με κέντρο το Γ και ακτίνα 3R χαράζουμε τόξο το οποίο τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο σημείο Ζ. Ακολουθώντας την ίδια πορεία και εναλλάσσοντας τα κέντρα, σχηματίζεται η εξελιγμένη τριγώνου.
39 Χάραξη κυκλοειδούς καμπύλης Κυκλοειδής είναι η καμπύλη που παράγεται από ένα σημείο της περιφέρειας ενός κύκλου ο οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε μια ευθεία. Χαράζουμε το δοσμένο κύκλο Κ και τη σταθερή ευθεία ΧΧ πάνω στην οποία θα κυλίεται ο κύκλος. Διαιρούμε την περιφέρεια του κύκλου Κ σε ίσο αριθμό μερών έστω 8 και αριθμούμε τα μέρη 1, 2, 3,...8. Πάνω στην ευθεία ΧΧ παίρνουμε τμήμα ίσομετομήκοςτηςπεριφέρειαςτου κύκλου. Διαιρούμετοτμήμααυτόσετόσαίσα μέρη όσα διαιρέθηκε και η περιφέρεια του κύκλου, δηλαδή 8, και τα αριθμούμε 1, 2,
40 Χάραξη κυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Από τα σημεία 1, 2, της περιφέρειας του κύκλου χαράζουμε παράλληλες ευθείες προς τη σταθερή ευθεία ΧΧ. Από τα σημεία 1, 2, της ευθείας ΧΧ χαράζουμε κάθετες πάνω σε αυτή, έτσι που να τέμνουν την αξονική ευθεία ΚΚ8 στα σημεία Κ1, Κ2, Κ3...Κ8. Τα σημεία αυτά δίνουν τιςδιαδοχικέςθέσειςπουθαπάρειτο κέντρο Κ του κυλιομενου κύκλου. Με κέντρο τα σημεία αυτά και ακτίνα ίση με την ακτίνα του κύκλου χαράζουμε τόξα έτσι που να τέμνουν τις παράλληλες προς την ευθεία ΧΧ στα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η.
41 Χάραξη κυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Ενώνουμε τα σημεία 8, Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και8, με καμπύλη γραμμή χρησιμοποιώντας καμπυλόγραμμο, για να πάρουμε τη ζητούμενη κυκλοειδή καμπύλη.
42 Χάραξη επικυκλοειδούς καμπύλης Επικυκλοειδήςείναιηκαμπύληηοποίαπαράγεταιαπόένασημείο περιφέρειας κύκλου, που κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην εξωτερική περιφέρεια άλλου κύκλου. Χαράζουμε τη δοσμένη περιφέρεια του κύκλου Κ και τμήμα της περιφέρειας ΧΧ πάνω στην οποία κυλίεται ο κύκλος Κ. Διαιρούμε την περιφέρεια του κύκλου Κ σε ίσο αριθμό μερών, έστω 8 και αριθμούμε τα μέρη 1, 2, 3,...8.
43 Χάραξη επικυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Παίρνουμε πάνω στην περιφέρεια ΧΧ τόξο ίσο με το μήκος της του κύκλου Κ. Για να προσδιορίσουμε το τόξο, υπολογίζουμε τη γωνία θ = d/d x 360 όπου d= διάμετρος κύκλου Κ D = διάμετρος κύκλου πάνω στον οποίο κυλίεται ο κύκλος Κ. Διαιρούμε το τμήμα του τόξου σε τόσα ίσα μέρη όσα διαιρέθηκε και η περιφέρειατουκύκλουκ, δηλαδή 8, και τα αριθμούμε 1, 2,
44 Χάραξη επικυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Από τα σημεία 1, 2, 3 και 4 της περιφέρειας του κύκλου Κ χαράζουμε τόξα παράλληλα προς την περιφέρεια ΧΧ του μεγάλου κύκλου. Από το κέντρο του μεγάλου κύκλου χαράζουμε ακτίνες που να περνούν από τα σημεία 1, - 2, καινατέμνουντοκεντρικότόξοκκ στις θέσεις Κ1, Κ2, Κ3... Κ8. Οι θέσεις Κ1, Κ2, Κ3... Κ8. Με κέντρο τα σημεία Κ1, Κ2, Κ3... Κ8 και ακτίνα ίση με την ακτίνα του κύκλου Κ χαράζουμε περιφέρειες κύκλου που να τέμνουν τα τόξα τα παράλληλα προς το τόξο ΧΧ στα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ καιη.
45 Χάραξη επικυκλοειδούς καμπύλης (συνέχεια) Ενώνουμε τα σημεία 8 Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η και8 μεκαμπύλη, χρησιμοποιώντας καμπυλόγραμμο, για να πάρουμε τη ζητούμενη επικυκλοειδή καμπύλη.
46 Χάραξη υποκυκλοειδούς καμπύλης Υποκυκλοειδήςείναιηκαμπύληηοποίαπαράγεταιαπόένασημείο περιφέρειας κύκλου, που κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην εσωτερική περιφέρεια άλλου κύκλου. Για τη χάραξη της καμπύλης αυτής χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για τη χάραξη της επικυκλοειδούς καμπύλης.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότερα6 Γεωμετρικές κατασκευές
6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας
Διαβάστε περισσότερα4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα
4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό
Διαβάστε περισσότερα2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
Διαβάστε περισσότερα66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την
Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Διαβάστε περισσότερα5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΚωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του
Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα
Διαβάστε περισσότερα1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?
ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.
1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν
Διαβάστε περισσότεραΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
Διαβάστε περισσότερα4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο
Διαβάστε περισσότερα= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β
1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές
Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΑν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)
. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12
Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Διαβάστε περισσότερα2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β
O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω
Διαβάστε περισσότερα3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε
Διαβάστε περισσότερα3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Να μπορείτε να Δίνετε τον ορισμό της Εφαπτομένης Χαράσσετε ε φαπτομένη σημείο Α περιφέρειας κύκλου Χαράσσετε ε φαπτομένη σε κ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Να μπορείτε να Δίνετε τον ορισμό της Εφαπτομένης Χαράσσετε εφαπτομένη σε σημείο Α περιφέρειας κύκλου Χαράσσετε εφαπτομένη σε κύκλο από οποιοδήποτε σημείο Α εκτός κύκλου Χαράσσετε εξωτερικές
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έλλειψης
Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραA λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε
Διαβάστε περισσότεραMATHematics.mousoulides.com
80 ραστηριότητες από οκίμια Εξετάσεων Να λύσετε τις πιο κάτω δραστηριότητες, δείχνοντας το συλλογισμό σας και δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. 1. Δίνονται τα πολυώνυμα 3 και 1 2. Να αποδείξετε ότι: (α)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότερα«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης
Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότερα117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
Διαβάστε περισσότερακαι των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει
Διαβάστε περισσότεραΑνακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691
ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015
Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία
Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην
Διαβάστε περισσότεραΟµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,
Διαβάστε περισσότεραΚύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Διαβάστε περισσότερα3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:
Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ 06-7 Επειδή το ζητήσατε κορίτσια μου: Α. ΘΕΩΡΙΑ Τα κεφάλαια: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου 9 ο Μετρικές σχέσεις, 0 ο Εμβαδά, ο Μέτρηση Κύκλου, την διδαχθείσα ύλη Β.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότερα