Integrovanie racionálnych funkcií

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Integrovanie racionálnych funkcií"

Transcript

1 Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie rýdzoracionálnej (kde stupeň polynómu v čitateli je menší, ako polynómu v menovateli) resp. ako polynomická funkcia s rovnakým definičným oborom; ďalej teda stačí popísať postup, ako integrovať rýdzoracionálne funkcie na ich definičnom obore. Veta Nech f y = a n x n a x + a 0 je polynomická funkcia stupňa n N. Potom existuje (jednoznačný až na poradie činiteľov) rozklad f(x) = a n (x x ) α... (x x k ) α k (x 2 +p x+q ) β... (x 2 +p m x+q m ) βm pričom k, m N {0}, k 0 alebo m 0, x,..., x k R, p,..., p m, q,..., q m R, α,..., α k, β,..., β m N, α + + α k + 2β + + 2β m = n a naviac diskriminanty všetkých kvadratických členov tohto rozkladu sú záporné.

2 Tomáš Madaras Nájdenie rozkladu polynómu na súčin lineárnych resp. kvadratických členov nie je celkom ľahké, v praxi sa využívajú rozličné numerické metódy. Veta Nech f y = a n x n a x + a 0 je polynomická funkcia stupňa n N, pričom a 0, a,..., a n Z. Ak existuje x 0 Q také, že f(x 0 ) = 0, tak x 0 = p q kde p, q Z, p a 0, q a n. Pomocou tejto vety možno rozhodnúť, či polynóm s celočíselnými koeficientami má racionálny koreň tak, že vezmeme zoznam všetkých celočíselných deliteľov absolútneho člena a najvyššieho koeficientu, zostavíme z nich všetky príslušné zlomky a pre každý zlomok určíme, či je hodnota polynómu rovná nule.

3 Tomáš Madaras Na efektívny výpočet hodnôt polynómov v daných bodoch slúži algoritmus nazývaný Hornerova schéma. Princíp je nasledovný: pre polynóm a n x n a x + a 0 a daný bod z zostavíme tabuľku z a n a n a n 2... a a 0 a n V prvom kroku vynásobíme číslo a n v 2. riadku číslom z, k tomuto súčinu pripočítame a n a výsledok zapíšeme do prvého voľného poľa v 2. riadku: a n a n a n 2... a a 0 z a n z a n + a n Získanú hodnotu vynásobíme číslom z, k súčinu pripočítame a n 2 a výsledok znova zapíšeme do prvého voľného poľa v 2. riadku: a n a n a n 2... a a 0 z a n z a n + a n z (z a n + a n ) + a n 2

4 Tomáš Madaras Postup opakujeme: hodnotu v poslednom vyplnenom poli v 2. riadku vynásobíme číslom z a pripočítame koeficient polynómu, ktorý je v.riadku nad prvým nevyplneným poľom v 2. riadku; získanú hodnotu zapíšeme do prvého voľného poľa 2. riadku. Číslo pod absolútnym koeficientom a 0 je potom rovné hodnote polynómu v bode z. Lema Nech f y = a n x n a x + a 0 je polynomická funkcia stupňa n N a z R je číslo, pre ktoré f(z) = 0. Potom pre každé x R platí f(x) = (x z)(a n x n + b n 2 x n b x + b 0 ) (t.j. f(x) je súčinom lineárneho člena a nejakého polynómu stupňa n )

5 Tomáš Madaras V prípade, že f(z) = 0, možno koeficienty a n, b n 2,..., b, b 0 získať z druhého riadku Hornerovej schémy: sú to postupne všetky čísla v druhom riadku zľava až po poslednú nulu. Príklad Nájdite rozklad polynómu x 5 4x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 6 na súčin ireducibilných činiteľov. Najvyšší koeficient polynómu je, teda potenciálne racionálne korene sú celé čísla delitele 6, čo sú, 2, 3, 6,, 2, 3, 6. Pre každé z nich určíme hodnotu polynómu pomocou Hornerovej schémy:

6 Tomáš Madaras Príklad (pokr.) Z toho vidieť, že 2, 3 a sú korene daného polynómu, teda platí x 5 4x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 6 = (x 2)(x 3)(x + )(x 2 + lx + k) Roznásobením pravej strany a porovnaním koeficientov ľahko vidno, že l = 0 a k = ; daný polynóm teda možno rozložiť na súčin troch lineárnych a jedného kvadratického člena so záporným diskriminantom.

7 Tomáš Madaras Definícia Nech x 0 R, α N. Parciálne zlomky odpovedajúce výrazu (x x 0 ) α sú zlomky kde A, A 2,..., A α R. A A 2, x x 0 (x x 0 ) 2,..., A α (x x 0 ) α, Definícia Nech p, q R, β N, p 2 < 4q. Parciálne zlomky odpovedajúce výrazu (x 2 + px + q) β sú zlomky M x + N x 2 + px + q, M 2 x + N 2 (x 2 + px + q) 2,..., M β x + N β (x 2 + px + q) β, kde M,..., M β, N,..., N β R.

8 Tomáš Madaras Veta Každá rýdzoracionálna funkcia f s vyjadrením q(x) f(x) = a n (x x ) α... (x xk ) α k (x 2 +p x+q ) β... (x 2 +p m x+q m ) βm (kde q(x) je polynóm s menším stupňom ako polynóm v menovateli f(x)) sa dá vyjadriť (jednoznačne až na poradie) ako súčet parciálnych zlomkov odpovedajúcich všetkým činiteľom príslušného rozkladu.

9 Tomáš Madaras Príklad Rozložte na parciálne zlomky funkciu f y = Platí x x 2 (x 2 + 2x + 6). x x 2 (x 2 + 2x + 6) = A x + B x 2 + Mx + N x 2 + 2x + 6 x = Ax(x 2 + 2x + 6) + B(x 2 + 2x + 6) + (Mx + N)x 2 x = (A + M)x 3 + (2A + B + N)x 2 + (6A + 2B)x + 6B, z čoho A + M =, 2A + B + N = 0, 6A + 2B = 0, 6B = 6. Potom B =, A = 3, M = 4 3, N = 3. Teda rozklad je f(x) = 3 x + 4 x x 3 x 2 + 2x + 6.

10 Tomáš Madaras Ďalej ukážeme, ako integrovať rozličné typy parciálnych zlomkov. A dx = A ln x x 0 + C x x 0 A (x x 0 ) n dx = A + C pre n N, n > : ( n)(x x 0 ) n vezmime substitúciu x x 0 = t. Potom z vety o substitúcii = A A (x x 0 ) n dx = A t n dt = A t n dt = t n+ n + + C = A ( n)(x x 0 ) n + C.

11 Tomáš Madaras Pri integrovaní parciálnych zlomkov odpovedajúcich výrazu (x 2 + px + q) β, p, q R, β N, p 2 < 4q, urobíme najprv substitúciu x + p 2 = t. Potom (x + p 2 ) = a x 2 + px + q = (x + p 2 ) 2 Výraz Potom 4q p2 4 p2 4 + q = (x + p 2 2 ) 4q p2 + = t q p2. 4 je kladný; pre zjednodušenie písania ho označíme a 2. Mx + N (x 2 + px + q) β dx = M (t p 2 ) + N (t 2 + a 2 ) β dt = Teda treba už len odvodiť vzorce pre výpočet integrálov Mt + (N Mp 2 ) (t 2 + a 2 ) β dt. t 2 + a 2 dt, t t 2 + a 2 dt, t (t 2 + a 2 dt pre β >, ) β (t 2 + a 2 ) β dt pre β >.

12 Tomáš Madaras t 2 + a 2 dt = a arctg t a + C: platí t 2 + a 2 = a 2 ( + ( t a ) 2). Položme z = t a, z čoho dt = a dz. Podľa vety o substitúcii máme t 2 + a 2 dt = a 2 ( + z 2 ) a dz = a + z 2 dz = = a arctg z + C = a arctg t a + C. t t 2 + a 2 dt = 2 ln(t2 + a 2 ) + C: platí t t 2 + a 2 dt = 2 2t t 2 + a 2 dt = 2 (t2 + a 2 ) t 2 + a 2 dt = 2 ln(t2 + a 2 ) + C.

13 Tomáš Madaras t (t 2 + a 2 ) β dt = 2( β)(t 2 + a 2 + C pre β > : ) β vezmime substitúciu t 2 + a 2 = z = ϕ(t). Potom ϕ (t) = 2t, z čoho t (t 2 + a 2 ) β dt = 2 (t 2 + a 2 ) β 2t dt = 2 z β dz = = 2 z β dz = 2 z β+ β + + C = 2( β)z β + C = = 2( β)(t 2 + a 2 ) β + C. Pre prirodzené číslo β > označme I β = (t 2 + a 2 ) β dt. Uvedieme a dokážeme tzv. rekurentný vzťah pre výpočet I β, t.j. vyjadrenie I β pomocou integrálu I β. Keďže I poznáme podľa vyššie odvodeného vzorca, využitím takéhoto vyjadrenia môžeme I 2 vyjadriť pomocou I ; I 3 vyjadriť pomocou I 2, čo zasa vyjadríme pomocou I, teda napokon I 3 pomocou I ; atď.

14 Tomáš Madaras I β = t 2a 2 (β )(t 2 + a 2 ) β + 2β 3 2a 2 (β ) I β : I β = (t 2 + a 2 ) β dt = a 2 a 2 (a2 + t 2 ) t 2 (a 2 + t 2 ) β dt = a 2 a 2 t 2 a 2 (t 2 + a 2 ) β dt = a 2 + t 2 (a 2 + t 2 ) β dt (t 2 + a 2 ) β dt = a 2 I β t a 2 (t 2 + a 2 ) β t dt. Na druhý integrál použijeme metódu per partes položením u t = (t 2 + a 2, v = t. Podľa vyššie odvodeného vzorca ) β t pre (t 2 + a 2 ) β je u = 2( β)(t 2 + a 2 ) β, v =, z čoho

15 Tomáš Madaras I β = a 2 I β a 2 [ 2( β)(t 2 + a 2 ) β t = a I t 2 β 2a 2 ( β)(t 2 + a 2 ) + β 2a 2 ( β) I β = t 2(β ) = + 2a 2 (β )(t 2 + a 2 ) β 2a 2 (β ) I β = t = 2a 2 (β )(t 2 + a 2 ) + 2β 3 β 2a 2 (β ) I β. dt] = 2( β)(t 2 + a 2 ) β

16 Tomáš Madaras Príklad Vypočítajte x5 + x 4 8 x 3 4x dx. Keďže racionálna funkcia za znakom integrálu nie je rýdzoracionálna (stupeň polynómu v čitateli je väčší ako stupeň polynómu v menovateli), polynóm v čitateli treba vydeliť polynómom v menovateli: x 5 + x 4 8 x 3 4x = x 2 + x + 4 (x 5 4x 3 ) x 4 + 4x 3 8 (x 4 4x 2 ) 4x 3 + 4x 2 8 (4x 3 6x) 4x 2 + 6x 8

17 Tomáš Madaras Príklad (pokr.) Teda x5 + x 4 8 x 3 4x dx = (x 2 + x x2 + 6x 8 x 3 ) dx = 4x x 2 dx + x dx + 4 dx + 4 x2 + 4x 2 x(x 2 4) dx = x x x + 4 x 2 + 4x 2 x(x 2)(x + 2) dx; Výpočet x 2 + 4x 2 dx rozklad na parciálne zlomky: x(x 2)(x + 2) x 2 + 4x 2 x(x 2)(x + 2) = A x + B x C x 2 x 2 + 4x 2 = A(x 2 4) + Bx(x 2) + Cx(x + 2)

18 Tomáš Madaras Príklad (pokr.) x 2 + 4x 2 = Ax 2 4A + Bx 2 2Bx + Cx 2 + 2Cx x 2 + 4x 2 = (A + B + C)x 2 + ( 2B + 2C)x 4A Porovnanie koeficientov na ľavej a pravej strane: A + B + C = 2B + 2C = 4 4A = 2 A = 2 B + C = 2 B + C = 2 2C = 5 2 C = 5 4, B = 3 4

19 Tomáš Madaras Príklad (pokr.) Teda x x 2 x 3 4x dx = 2 ( x + 4 x 2 4 x + 2 ) dx = 2 x dx x 2 dx 3 4 x + 2 dx = 2 ln x ln x ln x C Celkove je teda integrál rovný x x2 + 4x + 2 ln x + 5 ln x 2 3 ln x C = 2 x x x + ln x2 (x 2) 5 (x + 2) 3 + C

20 Integrovanie trigonometrických funkcií Tomáš Madaras Najprv ukážeme univerzálny postup, ako sa dá integrovať funkcia, ktorá vznikne z konštánt a z funkcií sin x, cos x pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Použijeme pritom substitúciu tg x 2 = t. Platí x = 2 arctg t, dx = 2 dt. Ďalej, + t2 sin x = 2 sin x 2 cos x 2 = 2 sin x 2 cos x 2 sin 2 x 2 + cos2 x 2 = 2 tg x 2 tg 2 x 2 + = 2t + t 2, cos x = cos2 x 2 sin2 x 2 = cos2 x 2 sin2 x 2 sin 2 x 2 + cos2 x 2 Po dosadení dostaneme integrál z racionálnej funkcie. = tg2 x 2 tg 2 x 2 + = t2 + t 2.

21 Tomáš Madaras Príklad sin x dx. Použijeme substitúciu t = tg x 2. Potom Vypočítajte sin x dx = Príklad Vypočítajte 2t +t t 2 dt = t dt = ln t +C = ln tg x 2 + C. dx cos x (sin x + cos x). Pri t = tg x 2 je dx cos x (sin x + cos x) = 2 + t 2 ( t 2 )( t 2 + 2t + ) dt = t 2 ( 2t +t 2 + t 2 + t2 + t 2 ) 2( + t 2 ) 2 + t 2 dt = (t )(t + )(t 2 2t ) dt.

22 Tomáš Madaras Príklad (pokr.) Kvadratický výraz t 2 2t síce nemá záporný diskriminant (v skutočnosti t 2 2t = (t 2)(t + 2)), platí však rovnosť (pre tie t, pre ktoré sú uvedené výrazy definované) Preto 2( + t 2 ) (t )(t + )(t 2 2t ) = t t + + 2t 2 t 2 2t 2( + t 2 ) (t )(t + )(t 2 2t ) dt = ( t t + + 2t 2 t 2 2t ) dt = t dt (t2 2t ) t 2 2t t + dt + 2t 2 t 2 dt = ln t ln t + + 2t dt = ln t ln t + + ln t2 2t + C

23 Tomáš Madaras V niektorých úlohach uvedeného typu síce substitúcia t = tg x 2 prevedie daný integrál na integrál z racionálnej funkcie, ale táto funkcia je dosť komplikovaná a výpočet zdĺhavý. Uvedieme niekoľko príkladov, kedy môžeme použitím inej substitúcie počítať jednoduchšie. Príklad sin x cos x Vypočítajte + sin 2 x dx. Vezmime substitúciu sin x = t. Potom cos x dx = dt a integrál je rovný t t 2 + dt = 2 ln(t2 + ) + C = 2 ln( + sin2 x) + C.

24 Tomáš Madaras Príklad Vypočítajte (sin x + cos x) 2 dx. Po úprave (sin x + cos x) 2 dx = ( sin x cos x + )2 cos 2 x dx. Položme tg x = t. Potom cos 2 dx = dt a integrál je rovný x (t + ) 2 dt = t + + C = + tg x + C.

25 Tomáš Madaras Uvedieme ďalej niekoľko metód, ako počítať sin n x cos m x dx, n, m N {0}. Ak m je nepárne, tak vezmeme substitúciu sin x = t, z čoho cos x dx = dt, teda sin n x cos m x dx = sin n x(cos 2 x) m 2 cos x dx = sin n x ( sin 2 x) m 2 cos x dx = t n ( t 2 ) m 2 dt; pôvodný integrál teda vieme previesť na integrál z polynomickej funkcie. Ak n je nepárne, tak po substitúcii cos x = t (a použití vzťahu sin n x = (sin 2 x) n 2 sin x) podobným spôsobom zasa dostaneme integrál z polynomickej funkcie.

26 Tomáš Madaras Nech m = 0. Označme pre n N {0}, I n = sin n x dx. Platí I 0 = x + C, I = sin x dx = cos x + C. Odvodíme rekurentný vzorec, pri ktorom pre n 2 integrál I n vyjadríme pomocou I n 2. Máme I n = sin n x dx = sin x sin n x dx, čo pri použití metódy per partes, keď u = sin x, v = sin n x (teda u = cos x, v = (n ) sin n 2 x cos x), je rovné I n = cos x sin n x + (n ) ( sin 2 x) sin n 2 x dx = cos x sin n x + (n ) sin n 2 x dx (n ) sin n x dx = cos x sin n x + (n )I n 2 (n )I n. Ak na obe strany pripočítame (n )I n a potom vydelíme n, dostaneme ni n = cos x sin n x + (n )I n 2 I n = n cos x sinn x + n n I n 2.

27 Tomáš Madaras Podobným spôsobom možno odvodiť vzťah cos m x dx = m sin x cosm x + n n cos m 2 x dx. Ak n, m sú párne, tak cos m x = (cos 2 x) m 2 = ( sin 2 x) m 2 a sin n x cos m x dx = sin n x ( sin 2 x) m 2 dx. Tento integrál sa dá vypočítať využitím predtým uvedeného rekurentného vzťahu, keď sa najprv funkcia umocní a roznásobí.

28 Tomáš Madaras Príklad Vypočítajte sin 2 x cos 4 x dx. Upravíme a budeme viackrát využívať rekurentný vzťah: sin 2 x cos 4 x dx = sin 2 x ( sin 2 x) 2 dx = sin 2 x ( 2 sin 2 x + sin 4 x) dx = sin 2 x dx 2 sin 4 x dx + sin 6 x dx = I 6 2I 4 + I 2 = 6 cos x sin5 x I 4 2I 4 + I 2 = 6 cos x sin5 x 7 6 I 4 + I 2 = 6 cos x sin5 x 7 6 ( 4 cos x sin3 x I 2) + I 2 = 6 cos x sin5 x cos x sin3 x I 2 = 6 cos x sin5 x cos x sin3 x cos x sin5 x cos x sin3 x ( 2 cos x sin x + 2 I 0) = 3 cos x sin x + 20 x + C.

29 Tomáš Madaras Integrovanie niektorých iracionálnych funkcií Uvedieme spôsoby výpočtu niektorých štandardných integrálov obsahujúcich odmocniny: x 2 + c dx = ln x + x 2 + c + C pre c R {0} a x R také, že x 2 + c > 0: z c 0 máme x + x 2 + c 0. V prípade, že x + x 2 + c > 0 máme x + x 2 + c = x + x 2 + c, (ln x + x 2 + c ) = (ln(x + x 2 + c)) = x + x 2 + c ( + 2 (x2 + c) 2 2x) = x + x 2 + c ( + x x 2 + c ) = x x + x 2 + c 2 + c + x = x 2 + c x 2 + c.

30 Tomáš Madaras Ak x + x 2 + c < 0, tak x + x 2 + c = x x 2 + c, (ln x + x 2 + c ) = (ln( x x 2 + c)) = x x 2 + c ( 2 (x2 + c) 2 2x) = x + x 2 + c ( + x x 2 + c ) = x 2 + c. a 2 x dx = arcsin x + C pre a R {0} a x R 2 a také, že a 2 x 2 > 0: substitúciou t = x a máme dt = a dx; teda a 2 x 2 dx = a dx = ( xa )2 ( xa )2 a dx = t 2 dt = arcsin t + C = arcsin x a + C.

31 Tomáš Madaras x x 2 + c dx = x 2 + c + C pre x R také, že x 2 + c > 0: použijeme substitúciu x 2 + c = t 2. Potom 2x dx = 2t dt, x x dx = t dt, teda x 2 + c dx = t t dt = dt = t + C = x 2 + c + C. x a 2 x 2 dx = a 2 x 2 + C pre x R také, že a 2 x 2 > 0: položme a 2 x 2 = t 2. Potom 2x dx = 2t dt, x dx = t dt, x z čoho a 2 x dx = 2 ( t) dt = t dt = t + C = a 2 x 2 + C.

32 Tomáš Madaras x 2 + c dx = x x 2 + c + c 2 2 ln x + x 2 + c + C pre x R také, že x 2 + c > 0: x 2 + c dx = x2 + c x 2 + c dx = x 2 x 2 + c dx+ c dx. Druhý integrál je rovný x 2 + c c ln x + x 2 + c podľa už odvodeného vzťahu. Na prvý integrál použijeme metódu per partes: u x = x 2 + c, v = x, u = x 2 + c, v =, teda je rovný x x 2 + c x 2 + c dx. Dostali sme x 2 + c dx = x x 2 + c x 2 + c dx + c ln x + x 2 + c. Po prenesení x 2 + c dx na ľavú stranu a delení dvoma máme x 2 + c dx = x 2 x 2 + c + c 2 ln x + x 2 + c + C.

33 Tomáš Madaras a 2 x 2 dx = x a 2 x 2 + a2 2 2 arcsin x a + C pre x R také, že a 2 x 2 > 0: platí a 2 x 2 dx = a2 x 2 a 2 x 2 dx = a2 a 2 x 2 dx x 2 a 2 x 2 dx = a2 arcsin x a Metódou per partes pri u = x a 2 x 2 x dx. x a 2 x 2, v = x máme podľa už dokázaného u = a 2 x 2, v =, teda a 2 x 2 dx = a 2 arcsin x a + x a 2 x 2 a 2 x 2 dx, čo je rovné (po prenesení integrálu na ľavú stranu rovnice rovnice a vydelení 2) a2 2 arcsin x a + x a 2 x 2 + C. 2

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2

primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2 Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11

Obsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11 Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH

MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE RNDr. Pavol PURCZ, PhD. RNDr. Martina RÉVAYOVÁ MATEMATIKA II ZBIERKA ÚLOH KOŠICE 6 Copyright c 6, RNDr. Pavol

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,

Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie, Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne

Διαβάστε περισσότερα

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice

Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Výrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné;

Výrazy a ich úpravy. -17x 6 : -17 koeficient; x premenná; 6 exponent premennej x. 23xy 3 z 5 = 23x 1 y 3 z 5 : 23 koeficient; x; y; z premenné; Výrazy a ich úpravy Počtový výraz je matematický zápis, ktorým vyjadrujeme počtové operácie s číslami a poradie v akom majú byť prevedené. Napr.: ( (5 1,76)+5):0,4. Počtové výrazy sa pomenovávajú podľa

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Zbierka úloh

Numerické metódy Zbierka úloh Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov

ALGEBRA. Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov ALGEBRA Číselné množiny a operácie s nimi. Úprava algebrických výrazov Definícia Množinu považujeme za určenú, ak vieme o ľubovoľnom objekte rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom množiny. Množinu určujeme

Διαβάστε περισσότερα

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte

22 Špeciálne substitúcie, postupy a vzorce používané pri výpočte Špeciálne substitúcie, postupy vzorce používné pri výpočte niektorých ďlších typov neurčitých integrálov. Pomocou vhodnej substitúcie tvru t = n + b (potom = tn b, = n tn dt) vypočítjte neurčitý integrál

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

p(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie

p(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie 1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach

Technická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan

Διαβάστε περισσότερα

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií

Derivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

Príklady na precvičovanie Fourierove rady Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru

Διαβάστε περισσότερα

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17

1 Polynómy a racionálne funkcie Základy Polynómy Cvičenia Racionálne funkcie... 17 Obsah 1 Polynómy a racionálne funkcie 3 11 Základy 3 1 Polynómy 7 11 Cvičenia 13 13 Racionálne funkcie 17 131 Cvičenia 19 Lineárna algebra 3 1 Matice 3 11 Matice - základné vlastnosti 3 1 Cvičenia 6 Sústavy

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus

Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH

FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice riešené substitúciou

Goniometrické rovnice riešené substitúciou Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy

Διαβάστε περισσότερα

PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY

PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ PRÍPRAVNÝ KURZ ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Strojnícka fakulta Andrea Feňovčíková Gabriela Ižaríková aaaa aaaa Táto

Διαβάστε περισσότερα

Zložené funkcie a substitúcia

Zložené funkcie a substitúcia 3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi

Διαβάστε περισσότερα

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b

VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Základy automatického riadenia

Základy automatického riadenia Základy automatického riadenia Prednáška 1 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák

Prednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium

Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice (ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú

Διαβάστε περισσότερα

IIR filtrov. Metóda. Metódy návrhu. 2. pretransform. 4. transformáciat. diskrétny). frekvenciu =

IIR filtrov. Metóda. Metódy návrhu. 2. pretransform. 4. transformáciat. diskrétny). frekvenciu = Metódy návrhu IIR filtrov Nepriame metódy návrhu Nepriame metódy návrhu digitálnychh filtrov vychádzajú z návrhu analógových filtrov, ktoré sa potom pretransformujú na digitálne filtre. Všeobecný postup

Διαβάστε περισσότερα

Funkcie - základné pojmy

Funkcie - základné pojmy Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie"

M8 Model Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie M8 Model "Valcová a kužeľová nádrž v sérií bez interakcie" Úlohy: 1. Zostavte matematický popis modelu M8 2. Vytvorte simulačný model v prostredí: a) Simulink zostavte blokovú schému, pomocou rozkladu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH

MATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA

Διαβάστε περισσότερα

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky

NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH Prírodovedecká fakulta Ústav matematických vied Božena Mihalíková, Ján Ohriska MATEMATICKÁ ANALÝZA Vysokoškolský učebný text Košice, 202 202 doc. RNDr. Božena

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh

Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta

Διαβάστε περισσότερα

9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a,

9 Neurčitý integrál. 9.1 Primitívna funkcia a neurčitý integrál. sa nazýva primitívnou funkciou k funkcii f ( x) každé x ( a, Hí, P Pokorný, M: Maemaika pre informaikov a prírodné vedy 9 Neurčiý inegrál 9 Primiívna funkia a neurčiý inegrál Funkia F sa nazýva primiívnou funkiou k funkii f na inervale ( b) každé ( a, b) plaí F

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

Spojitosť a limity trochu inak

Spojitosť a limity trochu inak Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho

Διαβάστε περισσότερα

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2 NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy 1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,

Διαβάστε περισσότερα

Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody

Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry

Úvod do lineárnej algebry Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)

DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Riešenie sústavy lineárnych rovníc. Priame metódy. Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Priame metódy 1/16 Obsah 1 Základy 2 Systémy

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie

Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej

Διαβάστε περισσότερα

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti:

(IP3) (f, g) = (g, f) (symetria), (IP4) (f, f) > 0 pre f 0 (kladná definitnosť). Z podmienok (IP1) (IP4) sa ľahko dokážu rovnosti: Hilbertove priestory Veľké množstvo aplikácií majú lineárne normované priestory, v ktorých norma je odvodená od skalárneho (vnútorného) súčinu, podobne ako v bežnom trojrozmernom euklidovskom priestore.

Διαβάστε περισσότερα

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti

4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA Martin Samuelčík BRATISLAVA 2004 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie

FUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické nerovnice

Goniometrické nerovnice Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto

Διαβάστε περισσότερα

Teória pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti 2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n

Διαβάστε περισσότερα

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2

Úvod 2 Predhovor... 2 Sylaby a literatúra... 2 Označenia... 2 Obsah Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Označenia Euklidovské vektorové priestory 3 Skalárny súčin 3 Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces 8 Kvadratické formy 6 Definícia a základné vlastnosti 6 Kanonický

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER

Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za

Διαβάστε περισσότερα

PageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky

PageRank algoritmus. Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky PageRank algoritmus Bakalárska práca Študijný program: Informatika Študijný odbor: 9.2.1 Informatika Školiace pracovisko: Katedra

Διαβάστε περισσότερα

1-MAT-220 Algebra februára 2012

1-MAT-220 Algebra februára 2012 1-MAT-220 Algebra 1 12. februára 2012 Obsah 1 Grupy 3 1.1 Binárne operácie.................................. 3 1.2 Cayleyho veta.................................... 3 2 Faktorizácia 5 2.1 Relácie ekvivalencie

Διαβάστε περισσότερα