Samo se ukupna naprezanja i porni tlak mogu mjeriti, a efektivna naprezanja su izvedena veličina, izravno nemjerljiva, ali
|
|
- Ιλαρίων Κορνάρος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5 Naprezanja u tlu. 5.1 Načelo efektivnih naprezanja. Ilustracija: položite spužvu u posudu s nešto vode tako da spužva bude potopljena kao na slici i da sve pore budu ispunjene vodom. Dolijevajte vodu u posudu i promatrajte mijenja li spužva volumen ili oblik. Opteretite spužvu laganim krutim predmetima, ili rukom. Mijenja li spužva volumen, mijenja li oblik? Promijenite redoslijed. Potopljenu spužvu prvo opteretite, možda u koracima, zatim dolijevajte vodu. Očito, voda u porama spužve, povezana sa vodom u posudi, prenosi tlak vode i povećanja tlaka vode. Čvrsti dio spužve zato ne reagira na dolijevanje vode ako je spužva cijela potopljena i sve pore ispunjene vodom. Opteretimo li čvrsti dio spužve neposredno, predmetom, tako da je moguće istjecanje vode iz pora, dogodi se deformacija. A ako je spužva zatvorena nepropusnom membranom, i istjecanje vode nije moguće, neće biti ni bitne deformacije. Za razliku od spužve, o elastičnosti skeleta tla može se govoriti samo za veoma malene promjene naprezanja, te je ova ilustracija korisna da se razlikuje prijenos opterećenja preko skeleta tla i preko vode, ništa više. Skelet tla - koji čine čvrste čestice, te pore između - koje su povezane u jedinstveni prostor potpuno ili djelomično ispunjen vodom, različito prenose opterećenje i različito sudjeluju u deformiranju, pa zato razlikujemo dio naprezanja u tlu koji prenosi skelet tla i dio koji prenosi voda. NAČEO EFEKTIVNIH NAPREZANJA kako ga je godine uveo Karl Terzaghi, a niz istraživača kasnije potvrdio vrlo pažljivim mjerenjima, smatra se temeljnim načelom u mehanici tla. Naprezanje koje prenosi cijelo tlo zovemo ukupno ili totalno naprezanje (total stress). Naprezanje koje prenosi voda, o kojemu se više može naći u posebnom poglavlju, zovemo porni tlak (pore pressure). (A) RAZIKU IZMEĐU UKUPNOG NAPREZANJA I PORNOG TAKA ZOVEMO efektivno naprezanje (effective stress). Za normalna naprezanja vrijedi da je u svakoj točki i svakoj ravnini (smjeru) normalno efektivno naprezanje jednako razlici između normalnog ukupnog naprezanja i pornog tlaka. σ = σ - u Što se tiče posmičnih naprezanja, kako voda u mirovanju ili sporom strujanju ne prenosi posmična naprezanja, u svakoj točki i svakoj ravnini, posmična efektivna naprezanja jednaka su posmičnim ukupnim naprezanjima. membrana τ = τ Samo se ukupna naprezanja i porni tlak mogu mjeriti, a efektivna naprezanja su izvedena veličina, izravno nemjerljiva, ali (B) SVI MJERJIVI EFEKTI PROMJENE NAPREZANJA, KAO ŠTO SU KOMPRESIJA, DISTORZIJA (DEFORMACIJE), ČVRSTOĆA, UZROKOVANI SU SAMO PROMJENOM EFEKTIVNIH NAPREZANJA. membrana Uvod u mehaniku tla, Sonja Zlatović Udžbenik Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, ISBN
2 5- Efektivna su naprezanja, očito, onaj dio naprezanja koji prenose čvrste čestice ili skelet tla. Pri tome vrijedi primijetiti da se i ukupna naprezanja i porni tlak, pa dakle i efektivna naprezanja, definiraju po jediničnoj površini ukupnog presjeka. Dakle, efektivna naprezanja nisu kontaktna naprezanja, tj. ne mjere se po površini dodira čvrstih čestica nego po ukupnoj površini cjelokupnog tla. Kako je dodirna površina između čvrstih čestica posve malena, jasno je da su kontaktna naprezanja bitno veća, ovisno o obliku i veličini čestica i slično. Vrijedi posebno napomenuti da se načelo efektivnih naprezanja odnosi na sve smjerove, ne samo na u geotehnici najčešće razmatrana vertikalna naprezanja. σ A=1 u σ τ Tlak zraka ovdje se ne spominje. Nezasićeno tlo još nije dovoljno istraženo i u geotehnici danas najčešće pribjegavamo izboru između pretpostavki o (1) suhom tlu i () zasićenom tlu u kome vrijedi gore izrečeno načelo efektivnih naprezanja. Djelomično zasićeno tlo zahtijeva bitno više truda. 5. Naprezanja u horizontalno uslojenom tlu neopterećenom na površini. Stanje mirovanja Horizontalno uslojeno tlo. Stanje mirovanja. O horizontalno uslojenom tlu govorimo kada su površina terena i granice između slojeva (područja tla gotovo jednakih svojstava) približno horizontalne. U takvom slučaju, kako svojstva tla, tako i naprezanja u tlu ne ovise o horizontalnom položaju promatrane točke, nego samo o dubini, a i horizontalne i vertikalne ravnine slobodne su od posmičnih naprezanja (ne i ostale!). Tako možemo zamisliti da tlo sustavom vertikalnih ravnina podijelimo u stupce koji se međusobno dodiruju. Horizontalno je deformiranje tako spriječeno postojanjem susjednih stupaca tla i deformacija od široko rasprostrtog opterećenja događa se samo u vertikalnom smjeru. Vertikalna naprezanja možemo izračunati, kako je to pokazano u nastavku, iz opterećenja (jednoliko rasprostrtog po površini) i vlastite težine tla. Veličina horizontalnih naprezanja određena je veličinom vertikalnih naprezanja i uvjetom da nema horizontalnih deformacija: ε h = σ h /E + (σ h /E + σ h /E) ν = 0 σ h = σ v K 0 općenito u elastičnom području σ h = σ v ν/(1 ν) gdje K 0 zovemo koeficijent mirovanja, a odgovarajuće stanje deformacija i naprezanja zovemo stanje mirovanja. Veličina horizontalnih naprezanja jako ovisi o povijesti opterećenja. Naročito je važna pri procjeni pritisaka tla na poduporne konstrukcije i slično, pa se u odgovarajućim poglavljima može naći više podataka. 5.. Totalna vertikalna naprezanja u horizontalno uslojenom tlu Promatrajmo na dubini z element tla omeđen vertikalnim i horizontalnim ravninama tako da ima jediničnu površinu horizontalnog presjeka i visinu z. Ravnoteža vertikalnih sila tada daje σ(z+ z) = σ(z) + γ(z) z Uvod u mehaniku tla, Sonja Zlatović Udžbenik Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, ISBN
3 5-3 ili: prirast vertikalnih totalnih naprezanja po dubini jednak je jediničnoj težini: σ(z) / z = γ(z) Da bismo procijenili vrijednost vertikalnog totalnog naprezanja na dubini z, trebamo podatke o rasporedu slojeva, dubine granica slojeva i jedinične težine pojedinih slojeva. Izaberemo si niz slojeva kojemu odgovara niz debljina slojeva: z 1, z,.. z i,.. sve do tražene dubine z; niz dubina granica slojeva: z 1 = z 1, z = z 1 + z,.. z i = z i-1 + z i,.. sve do tražene dubine z; niz jediničnih težina: γ 1, γ,.. γ i,.. Vertikalno naprezanje tražimo u nizu točaka, posebno na dubini z, σ v (z), jednak težini stupca jedinične površine tlocrta i dubine z plus opterećenje na površini: σ v (z) = γ i z i + σ v (0) 0 z A=1 σ v (z) γ(z) z σ v (z+ z) 1 γ 1, z 1 γ, z tj. vertikalno naprezanje dobijemo kao zbroj umnožaka jedinične težine i debljine sloja, za sve slojeve do tražene dubine (a za svaki sloj i pretpostavljamo konstantnu vrijednost γ i ), pri čemu uvijek treba dodati i opterećenje na površini Porni tlak u horizontalno uslojenom tlu z 3 γ 3, z 3 4 γ 4, z 4 5 γ 5, z 5 Porni tlak u horizontalno uslojenom tlu sa horizontalnom razinom podzemne vode gdje se sve promjene događaju samo sa promjenom dubine, promatrajući opet element tla na dubini z i visine dz, a jedinične površine u horizontalnom smjeru, u(z) = γ w h p (z) = γ w [h(z) - h g (z)] = γ w [h(z) + z - z referentne ravnine ] Dakle, promjena pornog tlaka po dubini u situaciji vertikalnog strujanja jednaka je u(z)/ z = γ w [ h(z)/ z + 1] = γ w [-i(z) + 1] = γ w - i(z) γ w 5..4 Efektivna vertikalna naprezanja u horizontalno uslojenom tlu sa vertikalnim strujanjem Zanima li nas vertikalno efektivno naprezanje u horizontalno uslojenom tlu, možemo ga dobiti ili kao razliku totalnih naprezanja i pornog tlaka ili integrirajući doprinose efektivnih naprezanja po dubini. Promatrajmo element tla na dubini z visine z jedinične horizontalne površine i sile koje djeluju na taj element promatrana dubina z referentna ravnina A=1 z z referentne ravnine h p h g u(z) σ v (z) h σ v (z+ z) + u(z+ z) = σ (z) + u(z) + γ(z) z σ v (z+ z) + γ w h p (z+ z) = σ (z) + γ w h p (z) + γ(z) z σ v (z+ z) + γ w [h(z+ z) - h g (z+ z)]= =σ (z)+ γ w [h(z) - h g (z)] +γ(z) z σ v (z+ z) + γ w [h(z+ z) + (z+ z)] = z γ(z) z σ v (z+ z) u(z+ z) Uvod u mehaniku tla, Sonja Zlatović Udžbenik Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, ISBN
4 5-4 = σ (z)+ γ w [h(z) + z] +γ(z) z σ v (z+ z) σ (z) = γ(z) z + γ w [ z z z] + γ w [h(z) - h(z+ z)] = = γ(z) z γ w z + γ w [ h(z)/ z] z = = [γ(z) γ w + i(z)γ w ] z Dakle, prirast vertikalnog efektivnog naprezanja po jedinci dubine je σ v (z)/ z = γ(z) γ w + i(z)γ w = γ"(z) V=1 γ (z) zovemo efektivnom jediničnom težinom. Čine je tri pribrojnika: + γ(z), jedinična težine tla, tj. težina jediničnog volumena tla, usmjerena je prema dolje - γ w, uzgon na tlo jediničnog volumena u području u kojem postoji porni tlak, usmjeren je prema gore + i(z)γ w, strujni tlak na element jediničnog volumena, u području strujanja, usmjeren u smjeru strujanja, dakle dodaje se težini ako voda struji vertikalno prema dolje, oduzima od težine ako struji prema gore. Vertikalno efektivno naprezanje dobijemo podijelimo li tlo u slojeve unutar kojih je efektivna jedinična težina tla konstantna, tako da imamo niz debljina slojeva u kojima su, unutar svakog, konstantna i svojstva tla i potopljenost odnosno hidraulički gradijent: z 1, z,.. z i,.. sve do tražene dubine z; niz dubina granica slojeva: z 1 = z 1, z = z 1 + z,.. z i = z i-1 + z i,.. sve do tražene dubine z; niz efektivnih jediničnih težina: γ 1, γ,.. γ i,.. tako da na dubini z, vertikalno efektivno naprezanje jednako je sumi svih efektivnih težina uvećanoj za efektivno opterećenje na površini: σ v (z) = γ i z i + σ v (0) 0 γ (z) γ"(z) γ(z) γ w ako je tlo potopljeno i(z) γ w u smjeru strujanja vode 1 γ 1, z 1 γ, z 3 γ 3, z 3 Jasno, vertikalno efektivno naprezanje možemo izračunati i po definiciji: σ v (z) = σ v (z) u(z) 5.3 Dodatna naprezanja od široko rasprostrtog opterećenja Dodamo li široki nasip na površinu postojećeg terena, kao novi sloj tla, zadržava se spriječenost horizontalnih deformacija tla, i za svaku dubinu jednako vertikalna se naprezanja povećavaju za veličinu dodatnog opterećenja, što je ilustrirano u zadatku u nastavku. z 4 γ 4, z 4 5 γ 5, z 5 Uvod u mehaniku tla, Sonja Zlatović Udžbenik Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, ISBN
5 Dodatna naprezanja od koncentriranog opterećenja na površini Dodatnim naprezanjima smatraju se ona koja nastaju uslijed građevinom nanesenog opterećenja. To su prije svega naprezanja od kojih računamo slijeganja u tlu. U najjednostavnijim i najčešćim slučajevima zadržavamo se na procjeni samo vertikalnih naprezanja, pretpostavljajući elastičnost tla, te uz njih koristimo parametre stišljivosti tla koji odgovaraju stanju mirovanja (bez horizontalnog deformiranja). Veličinu dodatnih naprezanja od koncentrirane sile na površini terena daje Boussinesq-ovo rješenje za elastični homogeni poluprostor (1885) iz kojeg je izveden niz drugih jednostavno primjenjivih rješenja. B Steinbrenner (1934) daje rješenje za dodatna vertikalna naprezanja pod vrhom jednoliko opterećenog pravokutnika: z q σ = arctg B + B B + B π z z z z z B B B B B B B B z' pri čemu z je dubina pod opterećenom površinom, i B su duljine stranica opterećenog pravokutnika, pri čemu > B, a q je veličina jednolikog opterećenja. Pretpostavljajući linearnost, zbrajanjem utjecaja od niza jednoliko opterećenih pravokutnika (neka opterećenja pri tome mogu biti negativna), može se dobiti dodatno vertikalno naprezanje od općeg oblika opterećenja. Za krute temelje mogu se koristiti Kany-evi dijagrami koji prikazuju dodatna vertikalna naprezanja pod karakterističnom točkom pravokutnog opterećenja na površini. To je točka (ustvari četiri točke) jednoliko opterećenog 0,13B 0,74B pravokutnika koji je istog tlocrta kao i analizirani temelj, istog ukupnog opterećenja i istog slijeganja (Grasshof, 1951). Naime, prema 0,13B Steinbrennerovim izrazima, jednostavno se izračunaju dodatna naprezanja uslijed opterećenja jednolikog po pravokutnom dijelu površine, ali stvarni kruti temelji nemaju jednolika kontaktna 0,13 0,74 0,13 naprezanja, nego jednolika slijeganja. Te su četiri točke udaljene od svake stranice za 13% širine, tj. duljine dna temelja. Ovi izrazi ne sadrže podatke o tlu i vrijede samo u linearnom području, dakle gdje su naprezanja u tlu dovoljno malena koje je to područje ovisi o svojstvima tla i relativnoj veličini opterećenja. Slom tla pod temeljem naziv je za pojavu velikih deformacija u odnosu na koje najčešće određujemo granice u kojemu ovi izrazi vrijede. Uvod u mehaniku tla, Sonja Zlatović Udžbenik Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, ISBN
6 Citirana i preporučljiva literatura: 1. Boussinesq, J. (1885) Application des Potentiels à l Étude de l Équilibre et du Mouvement des Solides Élastiques, Paris, Gauthier-Villard prema Terzaghi, Grasshof, H. (1951) Setzungbereshungen starrer Fundamente mit Hilfe des kennzeichnenden Punktes, Der Bauingenieur, Berlin, str Steinbrenner,W. (1934) Tafeln zur Setzungsberechnung, Die Strasse, Vol.1, prema Terzaghi, Terzaghi,K. (1943) Theoretical Soil Mechanics, John Wiley and Sons, Inc. New York-ondon- Sydney prema prijevodu Terzaghi (197) 5. Terzaghi,K. (197) Teorijska mehanika tla, Naučna knjiga, Beograd 6. Nonveiller,E., 1990, Mehanika tla i temeljenje građevina, Školska knjiga, 83 str. više primjeraka nalazi se u Knjižnici u Kačićevoj ulici, knjiga se može kupiti u knjižarama 7. ambe,t.w., Whitman,R.V., 1969, Soil Mechanics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 553 str. više primjeraka nalazi se u Knjižnici u Kačićevoj ulici 8. Holtz,R.D., Kovacs,W.D., 1981, An Introduction to Geotechnical Engineering, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 733 str. 9. ostala dostupna literatura V=1 rezultanta djelovanja težine i djelovanja uzgona na jedinični volumen tla γ (z) težina jediničnog volumena tla: γ(z) rezultanta djelovanja težine i djelovanja vode na jedinični volumen tla: γ"(z) γ w ako je tlo potopljeno: uzgon na jedinični volumen tla i(z) γ w u smjeru strujanja vode: strujni tlak: djelovanje strujanja vode na jedinični volumen tla Slika 5-1. Skica sila na element tla jediničnog volumena, na mjestu tj. na dubini z od djelovanja težine i vode: γ predstavlja težinu, γ w uzgon, strujni tlak iγ w strujni tlak; γ (z) je rezultanta djelovanja težine i vode ako je tlo potopljeno, a γ" ako pri tome voda u tlu struji. Uvod u mehaniku tla, Sonja Zlatović Udžbenik Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, ISBN
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα4 Voda u tlu. 4.1 Pojavnost vode u tlu.
4 Voda u tlu. 4.1 Pojavnost vode u tlu. Zbog velike važnosti koju prisutnost vode ima na ponašanje tla, ovdje se studenta najprije podsjeća na neka poglavlja hidromehanike, koja se zatim primjenjuju na
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραKolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραRJEŠAVANJE PROBLEMA s podzemnom vodom
Inženjersko značenje hidrogeoloških uvjeta: POVRŠINSKA VODA PODZEMNA VODA zagađenje poplava usijedanje zemljišta zbog trajnog sniženja podzemne vode erozija 1 III. HIDROGEOLOŠKI UVJETI RJEŠAVANJE PROBLEMA
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραProcesi tečenja u tlu i stijeni VODA U TLU
str. 1 VODA U TLU I. Uvod Kada ne bi bilo vode u tlu, geotehničko bi inženjerstvo bila puno jednostavnija grana građevinarstva. Koliko opterećenje na tlo, tolika promjena ukupnih naprezanja i, kao rezultat,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραVOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραGEOTEHNIČKE KONSTRUKCIJE POTPORNE KONSTRUKCIJE. Predavanje: POTPORNE KONSTRUKCIJE Prof.dr.sc. Leo MATEŠIĆ 2012/13
GEOTEHNIČKE KONSTRUKCIJE POTPORNE KONSTRUKCIJE Predavanje: POTPORNE KONSTRUKCIJE Prof.dr.sc. Leo MATEŠIĆ 2012/13 Sadržaj predavanja 1 TLAK I OTPOR TLA (ponavljanje) 1.1 Općenito - Horizontalni (bočni)
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραOPTIMIZIRANJE MASIVNOG POTPORNOG ZIDA
OPTIMIZIRANJE MASIVNOG POTPORNOG ZIDA Vol. 4, No. 1, 2016. DOI: 10.19279/TVZ.PD.2016-4-1-09 Matija Lozić 1, Sonja Zlatović 2 1 Student TVZ-a 2 Tehničko veleučilište u Zagrebu Sažetak Optimizacija građevina
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIzravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )
Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
Διαβάστε περισσότεραDodatak: Naprezanja, Mohrove kružnice.
Dodatak: Naprezanja, Mohrove kružnice. D.1 Ravnoteža. Unutarnje sile. Posmična i normalna naprezanja. Mehanika, tehnička mehanika, otpornost materijala discipline su čije razumijevanje prethodi mehanici
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραVrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Διαβάστε περισσότερα5. NAPONI I DEFORMACIJE
MEHANIKA TLA: Naponi i deformacije 59 5. NAPONI I DEFORMACIJE Klasifikacija tla i poznavanje osnovnih pokazatelja fizičkih osobina tla je potrebno ali ne i dovoljno da bi se rešio najveći broj zadataka
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA HIDROSTATIKA 5. Osnovna jednadžba gibanja (II. Newtonov zakon) čestice idealnog fluida i realnog fluida u relativnom mirovanju
MENIK LUID IDTTIK 5. IDTTIK snovna jednadžba ibanja (II. Newtonov akon) čestice idealno fluida i realno fluida u relativnom mirovanju σ d av d fdv+ σd n V V t av d fdv+ ( pn+ σ ) V V d U anemarenje viskoni
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραTroosni posmik. Troosni posmik. Troosni posmik. Priprema neporemećenog uzorka. Troosnaćelija. Uzorak je u gumenoj membrani Ćelija se ipuni sa vodom
Troosnaćelija Ploha loma Priprema neporemećenog uzorka Uzorak je u gumenoj membrani Ćelija se ipuni sa vodom 1 Oprema za troosna ispitivanja (Institut IGH Zagreb) Test Animation σ1= = σdev = σ1= = σdev
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα