ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ: Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΝΔΥΣΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ: Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΝΔΥΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: Ηλίτσα Ρουστέμογλου ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Καθηγητής Δημήτρης Τσουμπελής ΠΑΤΡΑ Ιούνιος 009

2

3 Ευχαριστίες Η διπλωματική εργασία αυτή έιναι αποτέλεσμα δουλειάς αρκετών μηνών και δε θα είχε ολοκληρωθεί χωρίς τη συμβολή κάποιων ανθρώπων. Στην αρχή ήθελα να αποφύγω το κομμάτι των ευχαριστιών, θεωρώντας ότι έχω εκφράσει την ευγνωμοσύνη μου σε όλους όσους με βοήθησαν. Αισθάνομαι, όμως, την ανάγκη και την υποχρέωση, αφού μου δίνεται η ευκαιρία, να το κάνω και γραπτώς μέσα σε λίγες γραμμές. Αρχικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή που επέβλεψε την παρούσα εργασία, τον κ. Δημήτρη Τσουμπελή. Είναι ο άνθρωπος που μου υπέδειξε το θέμα αυτό, με ενθάρρυνε και με έμαθε πολλά πράγματα, από τον καιρό που ήμουν ακόμη προπτυχιακή φοιτήτρια. Οι γνώσεις του, η ικανότητά του να εξηγεί κάτι αρκετά περίπλοκο με τον πιο απλό τρόπο και η σχολαστικότητά του, σε όλα τα επίπεδα, πιστεύω ότι είναι αυτά που βοήθησαν να γίνουν οι γνώσεις που αποκόμισα αυτά τα χρόνια μια αξιοπρεπής εργασία. Ελπίζω ότι και ο ίδιος γνωρίζει ότι τον εκτιμώ όχι μόνο ως καθηγητή, αλλά και ως άνθρωπο. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω και τα άλλα δύο μέλη της τριμελούς επιτροπής, τον καθηγητή κ. Αναστάσιο Μπούντη και τον αναπληρωτή καθηγητή κ. Ιάκωβο Βαν Ντερ Βέϊλε. Το ενδιαφέρον που έδειξαν και ο χρόνος που διέθεσαν είναι πολύ σημαντικά για μένα. Μέσα από τις συζητήσεις που κάναμε, διαπίστωσα ότι είχαν κάποιες πολύ ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις και σχόλια, και με εξέπληξε ευχάριστα το ότι επιδοκίμασαν την προσπάθειά μου. Θα ήθελα, επιπλέον, να πω ένα ευχαριστώ στον αναπληρωτή καθηγητή κ. Βασίλη Παπαγεωργίου και στο διδάκτορα του τμήματος Παύλο Ξενιτίδη, οι οποίοι συνέβαλαν με το δικό τους τρόπο και ήταν πάντα πρόθυμοι να με βοηθήσουν. Φυσικά δε γίνεται να παραλείψω τους συμφοιτητές και πάνω απ' όλα φίλους Γιώργο, Νίκο και Σωτήρη τόσο για τις παραγωγικές, όσο και για τις ευχάριστες στιγμές που περάσαμε μαζι. Τέλος, το μεγαλύτερο ίσως ευχαριστώ, το οφείλω στους γονείς μου -όσο τετριμμένο κι αν ακούγεται αυτό- διότι είναι οι άνθρωποι που με στηρίζουν πάντα, με όποιο τρόπο μπορούν, ψυχολογικά και οικονομικά, σε κάθε βήμα μου.

4

5 Περιεχόμενα Ευχαριστίες...i Εισαγωγή... Κεφάλαιο. Μη γραμμικές Εξισώσεις Εξέλιξης και Μέθοδοι Επίλυσής τους Μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης Μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης...6 Κεφάλαιο. Ζεύγη Lax Διατύπωση κατά Lax Ανάλυση της μεθόδου Lax με τη χρήση τελεστών...8 Κεφάλαιο 3. Η Μέθοδος Ένδυσης (dressing method) Το σχήμα ZS Ολοκληρωτικοί Τελεστές Διαφορικοί Τελεστές Εξισώσεις που επιλύονται με την εφαρμογή του σχήματος ZS Bαθμωτοί Τελεστές Τελεστές σε μορφή Πίνακα Κατασκευή σολιτονικών λύσεων για την NLS Σύνοψη...68

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.nb Κεφάλαιο 4. Τα προβλήματα Riemann-Hilbert και êê (d-bar) Βασικοί ορισμοί και θεωρήματα Το βαθμωτό πρόβλημα RH Κλειστές Καμπύλες Ανοιχτές Καμπύλες Το διανυσματικό πρόβλημα RH Το πρόβλημα d-bar...86 Κεφάλαιο 5. Νεότερες εξελίξεις. Η μέθοδος ένδυσης _ Βασικά στοιχεία της μεθόδου ένδυσης êê Μετατοπισμένο πρόβλημα êê Μη τοπικό πρόβλημα RH Μετατοπισμένο πρόβλημα RH Ολοκληρωτικές εξισώσεις Πυρήνες που εκφράζονται με τη βοήθεια της "συνάρτησης" d Λύσεις ειδικού τύπου Λύσεις που φθίνουν Διαστατική αναγωγή Η εξίσωση Boussinesq Εφαρμογή της ένδυσης êê στην εξίσωση Boussinesq Συνεχές Φάσμα Σολιτονικές λύσεις Αλληλεπίδραση Σολιτονίων...7 Παράρτημα: Υπολογισμοί με τη βοήθεια του Mathematica...9 Α.. Λύση με ένα σολιτόνιο για την εξίσωση NLS...9 Α.. Λύση με δύο σολιτόνιο για την εξίσωση NLS...3 Βιβλιογραφία...33

7 Εισαγωγή Οι διαφορικές εξισώσεις αποτελούν το σημαντικότερο ίσως εργαλείο στη μαθηματική περιγραφή προβλημάτων που προέρχονται από τα πεδία της Φυσικής, της Βιολογίας, των Οικονομικών και άλλων επιστημών. Για το λόγο αυτό, τα τελευταία 40 χρόνια, έχουν δημοσιευτεί πολλές επιστημονικές μελέτες που σχετίζονται με νέες έννοιες και εφαρμογές, καθώς και μεθόδους επίλυσης των εξισώσεων αυτών. Το δικό μας ενδιαφέρον εστιάζεται στις μερικές διαφορικές εξισώσεις και συγκεκριμένα στις μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης και στον τρόπο που αυτές αντιμετωπίζονται. Η πρώτη έννοια που μας απασχολεί είναι εκείνη της ολοκληρωσιμότητας, για την οποία όμως δεν υπάρχει κάποιος σαφής ορισμός. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι ότι, κατά καιρούς, έχουν διατυπωθεί αρκετά και διαφορετικά κριτήρια που την εξασφαλίζουν, ανάλογα με το πεδίο ειδίκευσης του κάθε ερευνητή. Παρ' όλα αυτά, μπορούμε να πούμε ότι μία διαφορική εξίσωση (ή ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων) καλείται ολοκληρώσιμη όταν μπορεί να γραμμικοποιηθεί άμεσα ή έμμεσα. Ο όρος έμμεση γραμμικοποίηση συνδέεται με την έννοια της ύπαρξης ζευγαριού Lax, την οποία θα εξηγήσουμε στη συνέχεια. Ο κεντρικός στόχος της εργασίας αυτής είναι η περιγραφή της μεθόδου ένδυσης (dressing method), μιας μεθόδου επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης, που πρώτοι παρουσίασαν οι Ρώσοι Zakharov και Shabat το 974. Συχνά η μέθοδος αναφέρεται και ως σχήμα των ZS. Πέρα από την περιγραφή του σχήματος στην αρχική του μορφή, θα δούμε και πώς αυτό εμφανίζεται στη σύγχρονη βιβλιογραφία, όπου χρησιμοποιούνται εργαλεία της μιγαδικής ανάλυσης. Αρχικά, πρέπει να αναφέρουμε κάποιες εισαγωγικές έννοιες και παραδείγματα έτσι ώστε ο αναγώστης να εξοικειωθεί με το αντικείμενο και την ορολογία του. Έτσι, στο πρώτο κεφάλαιο θα ορίσουμε την έννοια της εξίσωσης εξέλιξης και θα δώσουμε κάποια παραδείγματα γραμμικών και μη γραμμικών εξισώσεων. Θα αναφερθούμε, επίσης, σε μία ξεχωριστή οικογένεια εξισώσεων, οι οποίες επιδέχονται κάποιες ειδικού τύπου λύσεις που ονομάζονται σολιτόνια (solitons). Για τις μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης έχει αναπτυχθεί πλέον πλήθος μεθόδων ανάλυσης, στα πλαίσια της ολοκληρωσιμότητας, και υπάρχει πλούσια σχετική βιβλιογραφία. Εμείς θα αρκεστούμε στη συνοπτική περιγραφή κάποιων από αυτές τις μεθόδους χρησιμοποιώντας, όπου θεωρούμε σκόπιμο, και κάποιο παράδειγμα. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα αναλύσουμε μία έκφανση της ολοκληρωσιμότητας μιας μη γραμμικής εξίσωσης εξέλιξης, η οποία συνίσταται στην ύπαρξη ενός ζευγαριού Lax. Το ζητούμενο είναι το εξής: έχοντας μια μη γραμμική εξίσωση εξέλιξης, μπορούμε να βρούμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, των οποίων η συνθήκη συμβατότητας να μας οδηγεί και πάλι στην αρχική εξίσωση; Το πρόβλημα αυτό μπορεί να εκφραστεί, ισοδύναμα, με τη βοήθεια διαφορικών τελεστών, από τους οποίους με μια αντίστοιχη συνθήκη συμβατότητας οδηγούμαστε και πάλι στην αρχική εξίσωση. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε λεπτομερώς μία μέθοδο επίλυσης μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, το σχήμα ZS, το οποίο -όπως ήδη αναφέραμε- πήρε το όνομά του από τους Zakharov και Shabat. Στο σχήμα αυτό χρησιμοποιούμε μόνο τελεστές, χωρίς να αναφερόμαστε πουθενά στα δεδομένα σκέδασης του προβλήματος (κάτι που θα κάναμε αν

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.nb εφαρμόζαμε την κλασική μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης). Εισάγουμε, με τη βοήθεια διαφορικών και ολοκληρωτικών τελεστών, τον "γυμνό" (undressed) και τον "ντυμένο" (dressed) τελεστή και, έπειτα, δείχνουμε πώς από αυτούς προκύπτει η γενικευμένη εξίσωση Lax. Στη συνέχεια, παραθέτουμε κάποια παραδείγματα εξισώσεων στις οποίες εφαρμόζεται η μέθοδος και τέλος κατασκευάζουμε αναλυτικά σολιτονικές λύσεις για τη μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger, με τη βοήθεια της εξίσωσης των Gelfand-Levitan-Marchenko. Το σχήμα ZS ή η μέθοδος ένδυσης, όπως συνηθίζεται να αναφέρεται πλέον, εξελίχθηκε αρκετά με την πάροδο του χρόνου και συνδέθηκε με τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων και συγκεκριμένα με τα προβλήματα Riemann-Hilbert και d-bar ( êê ). Για το λόγο αυτό, θα αφιερώσουμε το τέταρτο κεφάλαιο στη συνοπτική παρουσίαση των προβλημάτων αυτών, τα οποία αναπτύχθηκαν λόγω της σχέσης τους με προβλήματα που προκύπτουν από εφαρμογές της φυσικής και των μαθηματικών. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο κάνουμε μια επισκόπιση της σύγχρονης βιβλιογραφίας. Αναφέρουμε κάποια πρόσφατα άρθρα, μέσω των οποίων φαίνεται η εξέλιξη της μεθόδου ένδυσης και επιλέγουμε να παρουσιάσουμε αναλυτικά ένα άρθρο που αφορά στην εξίσωση Boussinesq, έτσι όπως αυτή μελετήθηκε από τους Bogdanov και Zakharov το 00. Η μέθοδος που ακολούθησαν βασίζεται σε μια μορφή της μεθόδου ένδυσης, η οποία συνδέεται με τα προβλήματα Riemann-Hilbert και d-bar, και ονομάζεται ένδυση êê ( êê -dressing). Έτσι, χρησιμοποιώντας τα εργαλεία των προηγούμενων κεφαλαίων, θα αναφέρουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την ανάλυση μιας σημαντικής μη γραμμικής εξίσωσης εξέλιξης, η οποία είναι ολοκληρώσιμη, αλλά οι σολιτονικές λύσεις της παρουσιάζουν μία πολύ ιδιαίτερη συμπεριφορά. Πολλοί από τους υπολογισμούς που χρειάστηκαν, κυρίως για την εύρεση των σολιτονικών λύσεων στο τρίτο κεφάλαιο, αποδείχθηκαν ιδιαίτερα περίπλοκοι. Για το λόγο αυτό, χρησιμοποιήθηκε το Mathematica, με τη βοήθεια του οποίου έγιναν και όλα τα σχήματα της παρούσας εργασίας. Στο παράρτημα, λοιπόν, καταγράφουμε τις εντολές που χρησιμοποιήσαμε, καθώς και τα αποτελέσματά τους.

9 Κεφάλαιο. Μη Γραμμικές Εξισώσεις Εξέλιξης και Μέθοδοι Επίλυσής τους.. Μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης Για πολλά χρόνια, μία οικογένεια μερικών διαφορικών εξισώσεων, που καλούνται εξισώσεις εξέλιξης, έχει κεντρίσει το ενδιαφέρον πολλών ερευνητών από πολλούς διαφορετικούς κλάδους των θετικών επιστημών και των εφαρμογών τους. Τις τελευταίες δεκαετίες δημοσιεύονται συνεχώς νέες εργασίες για τις εξισώσεις αυτές, διότι συνεχώς αναπτύσσονται νέες μέθοδοι αντιμετώπισής τους. Ορισμός.. Μια εξίσωση εξέλιξης είναι μια μερική διαφορική εξίσωση για μία άγνωστη συνάρτηση, έστω ux, t, (η οποία, βέβαια, μπορεί να εξαρτάται από περισσότερες της μίας χωρικές μεταβλητές, δηλαδή u = ux, x,..., x n, t), και έχει τη μορφή u t = Ku ª Kx, t, u, u x, u xx,... Η ποσότητα K είναι ένας διαφορικός τελεστής που περιλαμβάνει τις ανεξάρτητες μεταβλητές x, t, τη συνάρτηση u, καθώς και τις παραγώγους αυτής ως προς x, τις οποίες συμβολίζουμε με u x, u xx, κ.λ.π.. Αν ο τελεστής αυτός είναι μη γραμμικός, τότε η παραπάνω εξίσωση καλείται μη γραμμική εξίσωση εξέλιξης. Στον ορισμό που μόλις διατυπώσαμε, η συνάρτηση ux, t μπορεί να παριστάνει ένα διάνυσμα, για παράδειγμα u = v, w. Τότε η εξίσωση εξέλιξης γράφεται ως σύστημα με τον ακόλουθο τρόπο: v t = Kv, w ª Kx, t, v, w, v x, w x, v xx, w xx,..., w t = Lv, w ª Lx, t, v, w, v x, w x, v xx, w xx,... Και πάλι, οι ποσότητες K, L είναι διαφορικοί τελεστές που περιλαμβάνουν τις ανεξάρτητες μεταβλητές x, t, τις άγνωστες συναρτήσεις v, w, καθώς και τις παραγώγους αυτών ως προς x, τις οποίες συμβολίζουμε με v x,v xx, κ.λ.π και w x, w xx, κ.λ.π, αντίστοιχα. Με τον τρόπο αυτό, μπορούμε να εκφράσουμε τις εξισώσεις ανώτερης τάξης όπως, για παράδειγμα, την κυματική αλλά και πολλές άλλες που θα δούμε παρακάτω. Το πλήθος των εξισώσεων της οικογένειας αυτής είναι πολύ μεγάλο. Γι' αυτό αρκούμαστε στο να αναφερθούμε στις διασημότερες από αυτές.

10 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb Παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Η εξίσωση κίνησης u t + au x = 0. Η εξίσωση της διάχυσης u t = k u xx, k > 0. Η εξίσωση (του) Airy u t + k u xxx = 0. Η εξίσωση (του) d Alembert(ή κυματική) u tt - c u xx = 0, c > 0, η οποία μπορεί να γραφτεί ως σύστημα εξισώσεων u t = v, v t = c u xx, c > 0. Η εξίσωση (των) Klein-Gordon u tt - c Δ u + mu= 0, η οποία μπορεί να γραφτεί ως σύστημα εξισώσεων u t = v, v t = c Δ u - mu. Παραδείγματα μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Η μη γραμμική εξίσωση κίνησης u t + cu u x = 0, όπου cu μια φραγμένη συνάρηση της οποίας η παράγωγος, c u, δε μηδενίζεται ταυτοτικά. Η εξίσωση (των) Korteweg-de Vries (KdV) u t +auu x + b u xxx = 0. Η τροποποιημένη (modified) εξίσωση Korteweg-de Vries (mkdv) u t - 6 u u x + u xxx = 0. Η μη γραμμική εξίσωση (των) Klein-Gordon u tt - c Δ u + V u = 0, με V u σταθ., η οποία μπορεί να γραφτεί ως σύστημα εξισώσεων u t = v, v t = c Δ u - V u.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb 5 Η εξίσωση sine-gordon u tt - c Δ u + k sin u = 0, η οποία μπορεί να γραφτεί ως σύστημα εξισώσεων u t = v, v t = c Δ u - k sin u. Η μη γραμμική εξίσωση (του) Schrödinger (NLS) Η εξίσωση (του) Boussinesq η οποία, ως σύστημα εξισώσεων, γράφεται iu t + u xx + g u u = 0. u tt - u xx + 3 u xx - u xxxx = 0, u t = v, Η εξίσωση των Kadomtsev-Petviashvili (KP) Η εξίσωση του Burgers Η εξίσωση των Benjamin-Ono (BO) v t = u xx - 3 u xx + u xxxx. u t - 6 uu x + u xxx x + 3 s u yy = 0, u t + uu x = k u xx. u t + uu x + u xx = 0, όπου f ο μετασχηματισμός Hilbert της συνάρτησης f x, t ως προς την πρώτη μεταβλητή f := ÅÅÅÅ p Pv - Η εξίσωση (των) Benjamin-Bona-Mahony (BBM) Η εξίσωση των Camassa-Holm (CH) f x,t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x-x d x. u t + u x + uu x - u xxt = 0. u t - u xxt = bu x + 3 uu x - uu xx + ÅÅÅÅ u x x. Οι εξισώσεις εξέλιξης και ιδιαίτερα οι μη γραμμικές παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Ο λόγος είναι ότι ενώ από τη μία είναι δύσκολο να λυθούν, ακριβώς λόγω της μη γραμμικότητάς τους, από την άλλη αρκετές από αυτές εμφανίζουν ιδιότητες που τις καθιστούν πλήρως ολοκληρώσιμες. Στην εργασία αυτή, θα ασχοληθούμε και με μία ξεχωριστή οικογένεια μερικών διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες επιδέχονται κάποιες ειδικού τύπου λύσεις, που είναι γνωστές με το όνομα σολιτόνια (solitons). Θα αναφερθούμε πολλές φορές στις σολιτονικές εξισώσεις

12 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb και στις σολιτονικές τους λύσεις και, γι' αυτό, είναι απαραίτητο να εξηγήσουμε τι εννοούμε με τους όρους αυτούς. Γενικά, δεν είναι εύκολο να δοθεί ένας ακριβής ορισμός για το σολιτόνιο, ωστόσο, στα μαθηματικά και τη φυσική έχει επικρατήσει με τον όρο αυτό να εννοούμε ένα μοναχικό κύμα ή ένα παλμό, ο οποίος έχει τις εξής ιδιότητες: (i) αναπαριστά ένα κύμα το οποίο, κατά τη διάδοσή του, διατηρεί τη μορφή του, (ii) εντοπίζεται σε μια συγκεκριμένη περιοχή, δηλαδή στο άπειρο πλησιάζει μια σταθερά (η οποία μπορεί να είναι και μηδέν), και (iii) μπορεί να αλληλεπιδρά με άλλα σολιτόνια, χωρίς όμως να μεταβάλλεται η μορφή του. Είναι σημαντικό να τονίσουμε και πάλι ότι πουθενά στη βιβλιογραφία δεν υπάρχει ακριβής ορισμός του σολιτονίου. Οι παραπάνω ιδιότητες όμως, όπως θα δούμε και σε παραδείγματα στη συνέχεια, υποδεικνύουν την ύπαρξη τέτοιων λύσεων. Τα σολιτόνια προκύπτουν ως λύσεις πολλών μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης, όπως η εξίσωση KdV, η μη γραμμική εξίσωση Schrödinger, η sine-gordon, κ.α., οι οποίες συχνά ονομάζονται και σολιτονικές εξισώσεις (soliton equations). Επίσης, αρκετές φορές, η λύση μιας σολιτονικής εξίσωσης εκφράζει όχι μόνο ένα σολιτόνιο, αλλά περισσότερα. Η λύση αυτή ονομάζεται N-σολιτονική, ανάλογα με τον αριθμό των σολιτονίων που εμφανίζονται, και έχει και πάλι τις ιδιότητες που αναφέραμε παραπάνω. Η ανακάλυψη των σολιτονίων οφείλεται στον J. S. Russell [8], ο οποίος ήταν ο πρώτος που παρατήρησε ένα μοναχικό κύμα σε ένα κανάλι του Εδιμβούργου, το 834, και το ονόμασε κύμα της μετατόπισης (wave of translation). Η ονομασία σολιτόνιο εμφανίστηκε πολύ αργότερα, το 965, στην εργασία που δημοσίευσαν οι Zabusky και Kruskal [30] σχετικά με την εξίσωση KdV... Μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης Η μελέτη και η ανάλυση της ολοκληρωσιμότητας των μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης εμπλέκει πολλούς διαφορετικους κλάδους των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, καθώς και της θεωρητικής φυσικής. Έτσι, μπορεί κανείς να προσεγγίσει το θέμα μέσα από τη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων, τις ομάδες και άλγεβρες Lie, τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων, τη διαφορική γεωμετρία, την κλασική μηχανική ή την κβαντομηχανική, ανάλογα με τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα. Από τις δεκάδες μεθόδους αντιμετώπισης των μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης, εμείς επιλέγουμε να αναφερθούμε συνοπτικά στις σημαντικότερες από αυτές, χρησιμοποιώντας και κάποια παραδείγματα. Για περαιτέρω διευκρινίσεις, παραπέμπουμε τον αναγνώστη στη σχετική

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb 7 βιβλιογραφία. α. Χωρισμός μεταβλητών Για να παρουσιάσουμε τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών στις μη γραμμικές εξισώσεις, θυμίζουμε περιληπτικά την εφαρμογή της στις γραμμικές [39]. Ας θεωρήσουμε μια γραμμική μερική διαφορική εξίσωση, δεύτερης τάξης, της μορφής Fx, t, u, u ÅÅÅÅÅ x, u ÅÅÅÅÅ t, u ÅÅÅÅÅÅÅÅ, x u ÅÅÅÅÅÅÅÅ t, u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x t = 0, (..) με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές x, t (θα μπορούσαμε να έχουμε και μεγαλύτερο πλήθος ανεξάρτητων μεταβλητών όμως, για το παράδειγμά μας, αρκούμαστε στις δύο) και άγνωστη συνάρτηση τη u = ux, t. Σε πρώτη φάση, υποθέτουμε ότι η άγνωστη συνάρτηση είναι γινόμενο δύο συναρτήσεων που εξαρτώνται από διαφορετικές μεταβλητές, δηλαδή ux, t = Xx Tt. (..) Με αντικατάσταση της (..) στην αρχική εξίσωση καταλήγουμε σε μια νέα εξίσωση όπου, ορισμένες φορές, είναι δυνατόν να χωρίσουμε τους όρους, έτσι ώστε στο ένα μέλος της εξίσωσης να έχουμε εξάρτηση μόνο από το x και στο άλλο μόνο από το t. Η ισότητα αυτή θα ισχύει μόνο αν και τα δύο μέλη είναι ίσα με μια σταθερά k. Έτσι, προκύπτουν δύο συνήθεις διαφορικές εξισώσεις για τις συναρτήσεις Xx και Tt, αντίστοιχα, οι οποίες περιέχουν και την παράμετρο k. Επιλύουμε τις εξισώσεις αυτές και προσδιορίζουμε την παράμετρο από τις αρχικές ή συνοριακές συνθήκες του προβλήματος και έτσι παίρνουμε την έκφραση για τη συνάρτηση ux, t. Η αρχή της γραμμικής υπέρθεσης ισχύει στις γραμμικές εξισώσεις, οπότε ο γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι επίσης λύση της αρχικής εξίσωσης. Σημείωση: Πολλές γραμμικές εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής επιδέχονται και λύσεις της μορφής και η διαδικασία που ακολουθείται είναι ίδια με παραπάνω. ux, t = Xx + Tt (..3) Στην περίπτωση, τώρα, που έχουμε μια μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση, ο χωρισμός των μεταβλητών δεν περιγράφεται με μία τόσο σαφή διαδικασία όπως πριν. Αυτό που μας βοηθάει να κάνουμε, είναι να συνδέσουμε λύσεις μιας μη γραμμικής εξίσωσης με λύσεις της αντίστοιχης γραμμικής. Για παράδειγμα, μπορούμε να βρούμε λύσεις της μη γραμμικής εξίσωσης Burgers U t + UU x = k U xx, χρησιμοποιώντας τις λύσεις της γραμμικής εξίσωσης της διάχυσης u t = k u xx.

14 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb Ας υποθέσουμε ότι η σχέση U = Fu (..4) συνδέει την εξαρτημένη μεταβλητή u μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με την εξαρτημένη μεταβλητή U μιας μη γραμμικής. Τότε η μέθοδος χωρισμού μεταβλητών, την οποία περιγράψαμε πιο πάνω, οδηγεί σε λύσεις της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης που έχουν τη μορφή ή Ux, t = Fu, Ux, t = Fu, u = X x Tt, u = X x + Tt. Στη γενικότερη περίπτωση, γράφουμε ότι μια μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση μπορεί να επιδέχεται λύση της μορφής Ux, t = Fu, u = X x T t + X x T t +..., (..5) με κατάλληλη επιλογή των συναρτήσεων X x, X x,..., T t, T t,.... β. Ξεκινώντας με μία υπόθεση εργασίας (Ansatz). Αρκετές φορές, μελετάμε τις μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης, θεωρώντας εξ αρχής ότι αυτές επιδέχονται λύσεις συγκεκριμένου τύπου. Για παράδειγμα, μπορεί να ενδιαφερόμαστε για λύσεις εκθετικού τύπου ή λύσεις που παριστάνουν οδεύοντα κύματα, δηλαδή της μορφής ux, t = Fy, όπου y = x ct. Με άλλα λόγια, κάνουμε μία υπόθεση εργασίας (Ansatz), ελπίζοντας πως έτσι θα καταλήξουμε σε κάποια χρήσιμα αποτελέσματα. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα.. Θεωρούμε την εξίσωση KdV Με την υπόθεση ότι καταλήγουμε στη συνήθη διαφορική εξίσωση u t - 6 uu x + u xxx = 0. u = f x - ct -c f - 6 f f + f = 0. Ολοκληρώνοντας μια φορά την παραπάνω εξίσωση προκύπτει -c f- 3 f + f = A, όπου A αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Πολλαπλασιάζοντας, τώρα, με f την παραπάνω σχέση, καταλήγουμε στην

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb 9 Με μία ακόμη ολοκλήρωση παίρνουμε -c f f - 3 f f + f f = Af. - ÅÅÅÅ cf - f 3 + ÅÅÅÅ f = Af+ B, όπου B μια δεύτερη αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Ισοδύναμα, ÅÅÅÅ f = f 3 + ÅÅÅÅ cf + Af+ B. Αν επιβάλουμε την απαίτηση οι f, f και f να μηδενίζονται ασυμπτωτικά, θα καταλήξουμε στη συνθήκη A = B = 0 και η τελευταία σχέση θα πάρει τη μορφή ή ισοδύναμα ÅÅÅÅ f = f 3 + ÅÅÅÅ cf. Ας δούμε, τώρα, πώς μπορούμε να λύσουμε την τελευταία εξίσωση. Πρώτα γράφουμε df f f +c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = d x df ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ c f f c+ Θέτουμε y = f c και η παραπάνω εξίσωση γίνεται c ÅÅÅÅÅÅÅÅ dy ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y y+ ÅÅÅÅÅÅ = d x. = d x. Έπειτα, με την αντικατάσταση z = y +, το πρώτο μέλος της εξίσωσης γίνεται c ÅÅÅÅÅÅÅ Å dy = y+ c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y ÅÅÅÅÅÅ Å zdz ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Έτσι η εξίσωση που πρέπει να λύσουμε είναι η εξής: ÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅÅÅÅ Å c z- - ÅÅÅÅÅÅ Å z+ Με απ' ευθείας ολοκλήρωση, καταλήγουμε στη σχέση ή ισοδύναμα Έχουμε λοιπόν, c ÅÅÅÅÅÅÅ Å = ÅÅÅÅÅÅ Å zz - ÅÅÅÅÅÅ Å c z- - d z= d x. z- ln ÅÅÅÅÅÅ Å z+ = x - x 0 z- ÅÅÅÅÅÅÅÅ z+ = er, όπου r = c x -x 0. z = + er ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - e r. Λόγω της αντικατάστασης y = z -, που κάναμε πριν, προκύπτει ÅÅÅÅÅÅÅ Å z+ dz. y = + er ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - e r -, για την οποία διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Για το θετικό πρόσημο έχουμε δηλαδή y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +er - = e-r +e ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r - = coth ÅÅÅÅ r -e r e -r -e r - = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å sinh r,

16 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb f = ÅÅÅÅ c y = c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å c, sinh ÅÅÅÅÅÅÅÅ x-x 0 η οποία παρουσιάζει ανωμαλία. Μένει, λοιπόν, η περίπτωση για το αρνητικό πρόσημο, από την οποία έχουμε δηλαδή Συνεπώς y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -er - = e-r -e ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r - = tanh ÅÅÅÅ r +e r e -r +e r - =- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ f = ÅÅÅÅ c y =- c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ c. cosh ÅÅÅÅÅÅÅÅ x-x 0 cosh r, f x =-ÅÅÅÅÅ c sech c ÅÅÅÅÅÅ Å x -x 0, όπου x = x - ct και αυτό το αποτέλεσμα συνεπάγεται ότι ux, t =-A sech A x - At- x 0, A = c, όπου x 0 αυθαίρετη σταθερά. Η λύση που καταλήξαμε παριστάνει ένα οδεύον κύμα (travelling wave solution) που κινείται προς τα δεξιά. Στα σχήματα που ακολουθούν, (Σχήμα..,..), σχεδιάζουμε τη λύση αυτή για συγκεκριμένες χρονικές στιγμές και συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων c, x 0 καθώς και το γράφημά της στις τρεις διαστάσεις

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb Σχήμα... Στιγμιότυπα της λύσης ux, t με την επιλογή των παραμέτρων c =, x 0 = 0 για τις χρονικές στιγμές t = 0, t = και t = ux,t x t 4 Σχήμα... Το γράφημα της λύσης ux, t με την επιλογή των παραμέτρων c =, x 0 = 0.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb γ. Μέθοδος αντίστροφης σκέδασης Το 967, οι Gardner, Green, Kruskal και Miura [9] ανακάλυψαν μία μέθοδο επίλυσης του προβλήματος αρχικών τιμών για την εξίσωση KdV, υποθέτοντας ότι η συνάρτηση αρχικών τιμών ux, 0 τείνει σε μια σταθερά, (η οποία χωρις βλάβη της γενικότητας μπορεί να θεωρηθεί ίση με το μηδέν), καθώς x Ø. Η μέθοδος αυτή, που ονομάζεται μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης (inverse scattering method), αποτελεί ένα μη γραμμικό ανάλογο του μετασχηματισμού Fourier. Συνδέει την επίλυση μιας μη γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης με την εξίσωση Sturm-Liouville στην ευθεία, για τη φραγμένη συνάρτηση yx, l, δηλαδή με την y xx x, l + l +ux yx, l = 0, - < x <. Στην κβαντική μηχανική, η τελευταία σχέση είναι γνωστή ως χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger στη μία διάσταση για το δυναμικό ux. Το αντίστοιχο πρόβλημα ιδιοτιμών συνδέεται με το πρόβλημα της σκέδασης. Στη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης, η λύση ux, t του προβλήματος αρχικών τιμών της μη γραμμικής εξίσωσης εξέλιξης παίζει το ρόλο ενός δυναμικού στο πρόβλημα ιδιοτιμών. Συγκεκριμένα, λύνουμε πρώτα τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger για ux = ux, 0, οπότε βρίσκουμε τα δεδομένα σκέδασης (scattering data) για τη χρονική στιγμή t = 0. Γνωρίζοντας, τώρα, τα δεδομένα σκέδασης (για t = 0), αν μπορούμε να καθορίσουμε τη χρονική τους εξέλιξη, θα μπορούμε να γνωρίζουμε τα δεδομένα αυτά για οποιαδήποτε χρονική στιγμή t > 0. Έτσι, με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης και χρησιμοποιώντας την εξίσωση των Gelfand-Levitan-Marchenko (GLM), μια εξίσωση που θα μας απασχολήσει αρκετά σε επόμενο κεφάλαιο, μπορούμε να ανακατασκευάσουμε τη ζητούμενη λύση ux, t. δ. Μέθοδος των Ablowitz-Kaup-Newell-Segur Το 97 ξεκίνησε η ανάπτυξη ενός σχήματος, στο οποίο γενικεύεται η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης που ακολουθήθηκε για την εξίσωση KdV. Η εργασία αυτή δημοσιεύτηκε από τους Ablowitz, Kaup, Newell και Segur [5], το 974, και αμέσως κατέστησε δυνατή την εφαρμογή της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης σε πολλές εξισώσεις εξέλιξης. Το σχήμα AKNS, όπως συχνά αναφέρεται, ξεκινά από μια γενίκευση της εξίσωσης Sturm- Liou ville, θεωρώντας την ως ζεύγος εξισώσεων πρώτης τάξης. Αυτό αναφέρεται ως ä πρόβλημα ιδιοτιμών. Το σχήμα AKNS, το οποίο εκφράζεται μέσω της θεωρίας σκέδασης, εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στην εξίσωση sine-gordon (SG), η οποία περιγράφει τοπικά μία επιφάνεια σταθερής αρνητικής καμπυλότητας Gauss. Έπειτα χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση της εξίσωσης KdV, της NLS, καθώς και για άλλες εξισώσεις εξέλιξης, όπως η τροποποιημένη KdV (mkdv).

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb 3 Το σχήμα AKNS, όπως ήδη αναφέραμε, είναι ένα ä πρόβλημα και καταλήγει στην επίλυση της εξίσωσης Gelfand-Levitan-Marchenko υπό τη μορφή πίνακα. ε. Μετασχηματισμοί Bäcklund Οι μετασχηματισμοί Bäcklund εμφανίστηκαν για πρώτη φορά περίπου το 880, όταν χρησιμοποιήθηκαν για τις ανάγκες της διαφορικής γεωμετρίας αλλά και της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Ένας μετασχηματισμός Bäcklund είναι ένα σύστημα εξισώσεων, που συνδέει μία λύση μιας δοσμένης μερικής διαφορικής εξίσωσης, είτε με μια άλλη λύση της ίδιας διαφορικής εξίσωσης, είτε με μία λύση μιας άλλης διαφορικής εξίσωσης. Ένα από τα προβλήματα της ιδέας αυτής, είναι ότι δεν είναι γνωστό, εξ αρχής, πότε μια διαφορική εξίσωση έχει αντίστοιχο μετασχηματισμό Bäcklund, παρά μόνο σε κάποιες συγκεκριμένες περιπτώσεις. Ωστόσο, γνωρίζουμε ότι κάθε εξίσωση εξέλιξης που είναι επιλύσιμη μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού σκέδασης, έχει αντίστοιχο μετασχηματισμό Bäcklund. Η αντιστοιχία μιας μη γραμμικής εξίσωσης εξέλιξης με ένα ζεύγος μη γραμμικών (εν γένει) εξισώσεων φαίνεται, αρχικά, να μην συνεισφέρει στην εύρεση λύσης. Αυτό συμβαίνει διότι από ένα μη γραμμικό πρόβλημα πάμε να αντιμετωπίσουμε και πάλι ένα μη γραμμικό πρόβλημα, το οποίο είναι ίσως πιο περίπλοκο. Παρ' ολα αυτά, μέσω του μετασχηματισμού Bäcklund μπορούμε να συνδέσουμε δύο λύσεις της αρχικής εξίσωσης. Έτσι, εάν γνωρίζουμε μια λύση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης, όσο τετριμμένη και αν είναι αυτή, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να μπορέσουμε να κατασκευάσουμε μια μη τετριμμένη, ή ακόμη και μια οικογένεια λύσεων, αν στις εξισώσεις υπεισέρχεται και κάποια παράμετρος. Ας δούμε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα.. Θεωρούμε το ζεύγος των εξισώσεων ÅÅÅÅ u + v x = a sin ÅÅÅÅÅÅ u-v Å και ÅÅÅÅ u - v t = ÅÅÅÅ a όπου a 0, μια πραγματική σταθερά. Παραγωγίζουμε τις (..6) ως προς t και x αντίστοιχα: u+v sin ÅÅÅÅÅÅ Å, (..6) ÅÅÅÅ u + v xt = ÅÅÅÅ a u - v t cos ÅÅÅÅÅÅ u-v u+v u-v Å = sin ÅÅÅÅÅÅ Å cos ÅÅÅÅÅÅÅ Å, ÅÅÅÅ u - v tx = ÅÅÅÅÅÅ a u + v x cos ÅÅÅÅÅÅ u+v u-v u+v Å = sin ÅÅÅÅÅÅÅ Å cos ÅÅÅÅÅÅ Å. Προσθαφαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνοντας υπ' όψιν τη συνθήκη συμβατότητας αυτών, δηλαδή u xt = u tx και v xt = v tx, προκύπτει Δηλαδή u xt = sin ÅÅÅÅÅÅ u+v u-v u-v u+v u+v Å cos ÅÅÅÅÅÅÅ Å + sin ÅÅÅÅÅÅ Å cos ÅÅÅÅÅÅÅ Å = sin ÅÅÅÅÅÅ Å v xt = sin ÅÅÅÅÅÅ u+v u-v u-v u+v u+v Å cos ÅÅÅÅÅÅÅÅ - sin ÅÅÅÅÅÅ Å cos ÅÅÅÅÅÅÅÅ = sin ÅÅÅÅÅÅ Å + ÅÅÅÅÅÅ u-v Å, - ÅÅÅÅÅÅ u-v Å.

20 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb u xt = sin u, v xt = sin v. Όπως βλέπουμε, οι συναρτήσεις u και v ικανοποιούν την εξίσωση Sine-Gordon και, άρα, οι σχέσεις (..6) αποτελούν έναν αυτομετασχηματισμό Bäcklund για την εξίσωση αυτή. Σχόλιο: Η εξίσωση Sine-Gordon u h h - u x x = sin u, με την αλλαγή h = x + t, x = x - t, γράφεται στη μορφή: u xt = sin u. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα το μετασχηματισμό Bäcklund για να βρούμε λύση της Sine-Gordon. Μια προφανής λύση αυτής είναι η τετριμμένη ux, t = 0 και ξεκινώντας από αυτή θα κατασκευάσουμε μια μη τετριμμένη λύση. και Με την επιλογή v = 0 οι εξισώσεις (..6) γίνονται u x = a sin u ÅÅÅÅ (..7α) u t = ÅÅÅÅ a sin ÅÅÅÅ u. (..7β) Ολοκληρώνουμε την (..7α) και έχουμε u sin ÅÅÅÅ u u sin ÅÅÅÅ u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = a x ï ax= ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + f t, όπου η f είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση του t. Όμως, u sin ÅÅÅÅ u u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sin ÅÅÅÅ uååååååååååååååååå 4 cos ÅÅÅÅ u 4 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ tan ÅÅÅÅ u 4 cos ÅÅÅÅ u Επομένως, η παραπάνω σχέση γράφεται Για τη σχέση (..7β) έχουμε (..9) όπου η g είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση του x. u 4 = ÅÅÅÅ 4 tan u 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ tan ÅÅÅÅ uååååå 4 = ln tan ÅÅÅÅ u 4. ax= ln tan ÅÅÅÅ u + f t. (..8) 4 u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sin ÅÅÅÅ u = - ÅÅÅÅ a t - gx ï ÅÅÅÅ u t = ln tan ÅÅÅÅ + gx, a 4 Στη συνέχεια παραγωγίζουμε τις σχέσεις (..8) και (..9) ως προς t και x, αντίστοιχα, και βρίσκουμε ότι οι άγνωστες συναρτήσεις f t και gx είναι της μορφής Έτσι έχουμε f ' t =-ÅÅÅÅ ï f t =- ÅÅÅÅ a a t + c, g' x =- a ï gx =- ax+ c.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb 5 ax= ln tan ÅÅÅÅ u 4 - ÅÅÅÅ a t + c, u ÅÅÅÅ t = ln tan ÅÅÅÅ a 4 - ax+ c. Τέλος, από την πρόσθεση των δύο παραπάνω σχέσεων προκύπτει ότι ή ax+ ÅÅÅÅ a t = 4ln tan ÅÅÅÅ u tan ÅÅÅÅ u 4 c ÅÅÅÅÅÅÅÅ +c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - Συνεπώς, η ux, t δίνεται από τη σχέση ï ln tan ÅÅÅÅ u t = ax+ ÅÅÅÅ ax+ ÅÅÅÅÅ t - ax- ÅÅÅÅ a t + c + c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a - c +c 4 a = C ax+ ÅÅÅÅÅ a t, C œ. ux, t = 4 arctanc ax+ t ÅÅÅÅÅ a. Με τον τρόπο αυτό, βρήκαμε μια καινούρια λύση της εξίσωσης Sine-Gordon η οποία μάλιστα περιγράφει ένα μοναχικό κύμα. Στο Σχήμα..3, σχεδιάζουμε τη λύση ux, t τη χρονική στιγμή t = 0, με την επιλογή των παραμέτρων c = a =. Στο Σχήμα..4 βλέπουμε στιγμιότυπα της λύσης, με την επιλογή c = a =, για τις χρονικές στιγμές t =-, t = και t = 3 και τέλος σχεδιάζουμε το γράφημα της λύσης για τις τιμές των παραμέτρων c = a = (Σχήμα..5). ux,t x Σχήμα..3. Η λύση ux, t τη χρονική στιγμή t = 0, με την επιλογή των παραμέτρων c = a =.

22 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb ux,t x ux,t x ux,t x Σχήμα..4. Στιγμιότυπα της λύσης ux, t με την επιλογή των παραμέτρων c = a = για τις χρονικές στιγμές t =-, t = και t = 3.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb 7 6 ux,t x -4 0 t 4 Σχήμα..5. Το γράφημα της λύσης ux, t, με την επιλογή των παραμέτρων c =, a =. ζ. Μέθοδος Hirota: Η διγραμμική μορφή Μετά τη μελέτη της N-σολιτονικής λύσης της εξίσωσης KdV, μέσω της μεθόδου της αντίστροφης σκέδασης, βρέθηκε ότι η λύση αυτή είναι της μορφής: ux, t =- ÅÅÅÅÅÅÅ log f x, t. (..0) x Η f x, t καθορίζεται από τα στοιχεία ενός N μ N πίνακα, ο οποίος προκύπτει από το σύστημα των N εξισώσεων για τον πυρήνα Kx, z, t της ολοκληρωτικής εξίσωσης GLM, και f, f x, f xx,.. Ø 0 καθώς x Ø. Mία λογική σκέψη ήταν να μελετηθεί η λύση της εξίσωσης KdV αντικαθιστώντας τη μεταβλητή u με την f, αν και η επιλογή αυτή μπορεί να δημιουργήσει ένα πιο περίπλοκο πρόβλημα. Ο Hirota ξεκίνησε το 97 ακολουθώντας την προσέγγιση αυτή σε μια σειρά εργασιών, οι οποίες δεν είχαν να κάνουν μόνο με την εξίσωση KdV αλλά και με πολλές άλλες μη γραμμικές εξισώσεις εξέλιξης [0]. Αυτό που βρήκε ήταν ότι με κατάλληλο μετασχηματισμό, (ανάλογο του (..0)), μια εξίσωση εξέλιξης μπορεί να αναχθεί σε μια διγραμμική μορφή, δηλαδή σε μια παραλλαγή της αρχικής εξίσωσης, για την οποία απαιτείται η εισαγωγή ενός νέου διαφορικού τελεστή. Ας το δούμε αυτό με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα.3. Αρχικά, θα κατασκευάσουμε την εξίσωση για την f x, t χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό (..0), όπου η ux, t ικανοποιεί την εξίσωση KdV u t - 6 uu x + u xxx = 0,

24 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb και με την προϋπόθεση ότι f, f x, f xx,.. Ø 0 καθώς x Ø. Για να αποφύγουμε περίπλοκους υπολογισμούς, θέτουμε u = w x, με την προϋπόθεση ότι w t, w x,... Ø 0 καθώς x Ø. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση KdV και έχουμε Ολοκληρώνουμε μια φορά ως προς x w xt - 6 w x w xx + w xxxx = 0. w t - 3 w x + w xxx = A και λόγω της συνθήκης για τα w t, w x,..., προκύπτει ότι A = 0. Έτσι w t - 3 w x + w xxx = 0. (..) Επίσης, αφού u = w x ισχύει ότι w =- f x f. Η τελευταία σχέση ονομάζεται μετασχηματισμός Hopf-Cole. Αν υπολογίσουμε τις μερικές παραγώγους w t, w x και w xxx του μετασχηματισμού Hopf-Cole και τις αντικαταστήσουμε στην εξίσωση (..), θα προκύψει η σχέση - f xt ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ - f x f t f f - 6 f xx ÅÅÅÅÅÅÅ f f 4 x ÅÅÅÅÅÅÅ - 4 f x f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xxx f f + f 4 x ÅÅÅÅÅÅÅ f 4-3 f xx ÅÅÅÅÅÅÅÅ f - 4 f x f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xx - f 3 + f x f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xx f 3 Πολλαπλασιάζουμε με - f και καταλήγουμε στην εξίσωση - 6 f 4 x ÅÅÅÅÅÅ = 0. f 4 f f xt - f x f t + 3 f x x + f f xxxx - 4 f x f xxx = 0. (..) Το πρόβλημα τώρα είναι πώς θα λύσουμε την εξίσωση (..), η οποία φαίνεται να είναι πιο δύσκολη από την αρχική. Ο Hirota εισήγαγε το διγραμμικό τελεστή D t m D x n a ÿ b, ο οποίος ορίζεται ως εξής: ÅÅÅÅÅÅ D m t D n x a ÿ b = ÅÅÅÅÅ - t για m, n θετικούς, ακέραιους αριθμούς. t' m ÅÅÅÅÅ x - ÅÅÅÅÅÅ x' n ax, t bx', t' x'=x, t'=t, (..3) Η σχέση (..3) για m = n = γίνεται D t D x a ÿ b = ÅÅÅÅÅÅ t - και υπολογισμένη στο x' = x και t' = t δίνει ÅÅÅÅÅÅ t' ÅÅÅÅÅ x - ÅÅÅÅÅÅ x' = a xt b - a t b x' - a x b t' + ab x' t' ax, t bx', t' D t D x a ÿ b = a xt b - a t b x - a x b t + ab xt. Αν τώρα επιλέξουμε a = b = f, για κάθε x, t, τότε D t D x f ÿ f = f xt f - f t f x. (..4) Όμοια, για m = 0 και n = 4, η σχέση (..3) γίνεται

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb 9 D 4 x a ÿ b = ÅÅÅÅÅ x - ÅÅÅÅÅÅ 4 ax, t bx', t' x' = a xxxx b - 4 a xxx b x' + 6 a xx b x' x' - 4 a x b x' x' x' + ab x' x' x' x' και για x' = x και t' = t η παραπάνω σχέση γίνεται D x 4 a ÿ b = a xxxx b - 4 a xxx b x + 6 a xx b xx - 4 a x b xxx + ab xxxx. Αν τώρα επιλέξουμε a = b = f, για κάθε x, t, τότε D 4 x f ÿ f = f xxxx f - 4 f xxx f x + 3 f x x. (..5) Προσθέτουμε τις σχέσεις (..4) και (..5) και έχουμε D x D t + D 3 x f ÿ f = f f xt - f x f t + f f xxxx - 4 f x f xxx + 3 f x x, η οποία λόγω της (..) γίνεται D x D t + D x 3 f ÿ f = 0. (..6) Η εξίσωση αυτή αποτελεί τη διγραμμική μορφή για την εξίσωση KdV. Στη συνέχεια θα δούμε τον τρόπο επίλυσής της. Στο σημείο αυτό θα αναφέρουμε κάποιες ιδιότητες του διγραμμικού τελεστή, οι οποίες θα χρειαστούν στη συνέχεια. Ισχύουν, λοιπόν, τα εξής: (i) D t D x a ÿ = a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t x = D t D x ÿ a (ii) D t m D x n q ÿ q = w -w m k - k n q +q όπου q i = k i x -w i t + a i, i =, (iii) D t m D x n a ÿ b + c ÿ d = D t m D x n a ÿ b + D t m D x n c ÿ d. Επιστρέφουμε στη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης (..6). Στόχος μας είναι, επιλύοντας την εξίσωση αυτή, να κατασκευάσουμε την N-σολιτονική λύση της εξίσωσης KdV ξεκινώντας από τη (γνωστή) μονοσολιτονική λύση Η λύση αυτή γράφεται ως ux, t =- sech x - 4 t. ή ux, t = 4 ÅÅÅÅÅ x 8 t- x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 8 t- x Έτσι το κύμα εκφράζεται μέσω της συνάρτησης ux, t =- ÅÅÅÅÅÅÅ log + 8 t- x. x f x, t = + 8 t- x, (..7)

26 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb η οποία είναι λύση της διγραμμικής εξίσωσης (..) διότι την επαληθεύει. Επίσης για τη συνάρτηση αυτή, λόγω των ιδιοτήτων του διγραμμικού τελεστή, έχουμε B f ÿ f = B ÿ + B ÿ 8 t- x + Β 8 t- x ÿ + Β 8 t- x ÿ 8 t- x, όπου B διγραμμικός τελεστής. Συνεπώς αν B = D x D t + D x 3 τότε D x D t + D x 3 f ÿ f =-3 8 t- x t- x = 0, οπότε δείξαμε και πάλι ότι η f είναι λύση της (..6). Η σολιτονική λύση που εκφράζεται μέσω της σχέσης (..7) μπορεί να γενικευθεί, ώστε να βρούμε την N-σολιτονική λύση. Αυτό επιτυγχάνεται με την εισαγωγή μιας παραμέτρου και την υπόθεση ότι η συνάρτηση f μπορεί να αναπτυχθεί σε δυνάμεις του. Αποδεικνύεται ότι η σειρά που φτιάχνουμε μηδενίζεται μετά από ένα πεπερασμένο πλήθος όρων και έτσι το μπορεί να επιλεχθεί αυθαίρετα. Υποθέτουμε λοιπόν ότι f = + n= n f n x, t (..8) και αντικαθιστούμε στη διγραμμική εξίσωση (..7) θέτοντας D x D t + D 3 x = B B f ÿ f = B + n= n f n x, t ÿ + n= n f n x, t = 0. Μαζεύοντας τους όρους ίδιας τάξης στο έχουμε B ÿ + B f ÿ + ÿ f + B f ÿ + f ÿ f + ÿ f + r r B m=0 f r-m f m +... = 0, (..9) όπου f 0 =. Από την (..3) προκύπτει ότι B ÿ = 0 και από την (..9) θα πρέπει οι συντελεστές των r r =,,... να είναι μηδέν. Δηλαδή : B f ÿ + ÿ f = 0 : B f ÿ + f ÿ f + ÿ f = 0 3 : B f 3 ÿ + f ÿ f + f ÿ f + ÿ f 3 = 0 κ.ο.κ. Από την πρώτη σχέση του συστήματος προκύπτει η σχέση για το f : B f ÿ + ÿ f = 0 ïb f ÿ + B ÿ f = 0 ïd x D t + D x 3 f ÿ + D x D t + D x 3 ÿ f = 0 ï f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t x + 4 f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0. x 4 Αν ολοκληρώσουμε την τελευταία σχέση ως προς x και λάβουμε υπ' όψιν ότι f t, f x,.. Ø 0 καθώς x Ø, θα έχουμε Θέτουμε D` = ÅÅÅÅÅ t + ÅÅÅÅÅÅÅ 3 και D = D` x 3 ÅÅÅÅÅ + t ÅÅÅÅÅÅÅ 3 f x 3 = 0. ÅÅÅÅÅ x. Τότε η εξίσωση για το f γίνεται: D` f = 0. Με όμοιο τρόπο, για τις επόμενες δύο εξισώσεις του συστήματος έχουμε

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb και D` f =-B f ÿ f D` f 3 =-B f ÿ f + f ÿ f. Στην περίπτωση N = από την εξίσωση για το f έχουμε f = q, όπου q = k x -w t + a, w = k3 και k, a αυθαίρετες σταθερές. Τότε D` f = ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅ 3 f t x 3 x, t = ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅ 3 k t x 3 x-w t+a = -k 3 q + k 3 q = 0, B f ÿ f = D t D x f ÿ f + D 4 x f ÿ f = k 3 - k 3 k - k q + k - k 4 q = 0, D` f = ÅÅÅÅÅ t + ÅÅÅÅÅÅÅ 3 f x 3 x, t = ÅÅÅÅÅ t + ÅÅÅÅÅÅÅ 3 k x 3 x-w t+a = 3 -k q + 3 k q = 0. Συνεπώς, μπορούμε να επιλέξουμε f n = 0, για n =, 3,..., για όλα τα x, t και η τελική μορφή της f x, t μας ξαναδίνει το σολιτόνιο (στην f εμφανίζεται μια διαφορά φάσης λόγω της αυθαίρετης σταθεράς a ). Επιπλέον, αφού η σειρά (..9) μηδενίζεται μετά το n = μπορούμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, να θέσουμε =. Έτσι και η λύση που βρίσκουμε είναι η f = + q ux, t =- k ÅÅÅÅÅÅ sech ÅÅÅÅ k x - k3 t + a. Το γράφημά της απεικονίζεται στο Σχήμα..6. για τις τιμές των παραμέτρων k = και a = 0..5 ux,t x t 0. Σχήμα..6. Το σολιτόνιο που προκύπτει από τη λύση ux, t με την επιλογή των παραμέτρων k =, a = 0. Ας δούμε τώρα τι γίνεται στην περίπτωση N =. Η εξίσωση για την f είναι

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb γραμμική, οπότε μπορούμε να προσθέσουμε οποιοδήποτε αριθμό εκθετικών όρων στην f και να έχουμε και πάλι λύση της D` f = 0. Έστω, λοιπόν, f = q + q, όπου q i = k i x - k3 i t + a i. Όπως και πριν D` f = 0, όμως D` f =-B f ÿ f =-B q ÿ q - B q ÿ q - B q ÿ q - B q ÿ q =-B q ÿ q - B q ÿ q =-Dt D x + D x 4 q ÿ q - Dt D x + D x 4 q ÿ q. Από τη σχέση αυτή, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα (ii), τελικά καταλήγουμε στη Η εξίσωση αυτή έχει λύση της μορφής και με αντικατάσταση βρίσκουμε ότι D` f =-k 3 - k 3 k - k + k - k 4 q + q. f = A q +q A = k - k k + k. Αφού βρήκαμε τις f, f, μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε στην τρίτη εξίσωση του αρχικού συστήματος και τότε, κάνοντας τις πράξεις, θα καταλήξουμε στην D` f 3 = 0. Έτσι, για N = έχουμε ότι f n = 0, για n = 3, 4,..., για κάθε x, t. Αν θέσουμε =, τότε από τη σχέση (..8) παίρνουμε τη μορφή της f f = + q + q + k -k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k +k q +q και η δισολιτονική λύση προκύπτει από την έκφραση ux, t =- ÅÅÅÅÅÅÅÅ log f x, t. Η έκφραση x αυτή είναι αρκετά περίπλοκη και για το λόγο αυτό, για την αναπαράστασή της, θα κάνουμε συγκεκριμένη επιλογή των παραμέτρων. Συνεπώς, με την επιλογή k =, k =, a =, a =, προκύπτει η λύση ux, t = t+x t+ x t+3 x t+4 x+5 + t+5 x+4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ και το γράφημά της φαίνεται στο Σχήμα t +9 8 t+x+ +9 t+ x+ + 3 x+3

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb 3 t ux,t x 0 0 Σχήμα..7. Η δισολιτονική λύση ux, t, που προκύπτει με την επιλογή των παραμέτρων k =, k =, a =, a =. τελικά Ομοίως, στην περίπτωση N = 3, έχουμε ότι f n = 0, για n = 4, 5,..., για κάθε x, t και f = + q + q + q 3 + A q +q + A3 q +q 3 + A3 q +q 3 + A A 3 A 3 q +q +q 3, όπου τα A ij δίνονται από τη σχέση A ij = k i-k j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k i +k j. Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία, μπορούμε να κατασκευάσουμε την N-σολιτονική λύση της εξίσωσης KdV, για την οποία αποδεικνύεται ότι η σειρά (..8) μηδενίζεται μετά τον όρο f n και η λύση που ζητάμε προκύπτει από τη σχέση (..0). η. Ανάλυση με χρήση συμμετριών Ένα ακόμη πολύ σημαντικό εργαλείο αντιμετώπισης των μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης αποτελεί η θεωρία των συμμετριών [7, 37, 38, 40]. Στα τέλη του 9ου αιώνα ο Νορβηγός Sophus Lie εισήγαγε ένα τύπο ομάδων, που σήμερα είναι γνωστές με το όνομα ομάδες Lie, με στόχο να ενοποιήσει και να επεκτείνει τις μεθόδους επίλυσης των συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Εμπνευσμένος από τις διαλέξεις του Sylow, ο Lie έδειξε ότι αν μια συνήθης διαφορική εξίσωση παραμένει αναλλοίωτη κάτω από σημειακούς μετασχηματισμούς μιας μονοπαραμετρικής ομάδας, τότε η τάξη της μπορεί να υποβιβαστεί κατά ένα. Επίσης, απέδειξε ότι αν ένα σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων παραμένει αναλλοίωτο κάτω από μια ομάδα σημειακών μετασχηματισμών, τότε μπορούν να βρεθούν

30 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb ειδικές λύσεις -που ονομάζονται λύσεις ομοιότητας (similarity solutions)- οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από μια υποομάδα της αρχικής ομάδας που επιδέχεται το σύστημα. Οι λύσεις αυτές προκύπτουν από την επίλυση ενός αναγόμενου συστήματος διαφορικών εξισώσεων με λιγότερες ανεξάρτητες μεταβλητές. Γενικότερα, έδειξε ότι η ομάδα των σημειακών μετασχηματισμών που δρουν στο χώρο των εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών μιας διαφορικής εξίσωσης μπορεί να καθοριστεί από έναν υπολογιστικό αλγόριθμο (Lie's algorithm). Μία ομάδα συμμετρίας ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων είναι μία ομάδα μετασχηματισμών, η οποία απεικονίζει μια οποιαδήποτε λύση του συστήματος σε μια άλλη. Μία τέτοια ομάδα εξαρτάται από συνεχείς παραμέτρους και περιλαμβάνει τους σημειακούς μετασχηματισμούς (point symmetries), οι οποίοι δρουν στο χώρο των εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών του συστήματος, τους ευρύτερους μετασχηματισμούς επαφής (contact symmetries), οι οποίοι δρουν στο χώρο που περιλαμβάνει και τις πρώτες παραγώγους των εξαρτημένων μεταβλητών και τους μετασχηματισμούς Lie-Bäcklund, οι οποίοι δρουν στο χώρο που περιλαμβάνει και τις πεπερασμένης τάξης παραγώγους των εξαρτημένων μεταβλητών. Οι συμμετρίες ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων μας βοηθούν στην επίλυσή του. Έτσι, για παράδειγμα, μία συνήθης διαφορική εξίσωση n-οστής τάξης που διαθέτει n συμμετρίες, μπορεί -κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις- να λυθεί απλά ολοκληρώνοντας. Επιπλέον, οι συμμετρίες που επιδέχεται μια διαφορική εξίσωση μπορούν να επεκταθούν από τις τοπικές συμμετρίες (local symmetries), στις οποίες συμπεριλαμβάνονται οι σημειακές συμμετρίες και οι συμμετρίες επαφής, στις μη τοπικές (nonlocal symmetries), θεωρώντας ένα σύστημα που σχετίζεται με την αρχική εξίσωση. Η εύρεση ενός νόμου διατήρησης (που θα εξηγήσουμε στη συνέχεια τι είναι) για την αρχική διαφορική εξίσωση οδηγεί σε ένα νέο σύστημα. Η ομάδα Lie των σημειακών μετασχηματισμών που επιδέχεται το σύστημα αυτό αποτελεί μια ομάδα συμμετρίας για τη δοσμένη εξίσωση. Για τις μερικές διαφορικές εξισώσεις, συμμετρίες αυτού του τύπου είναι συχνά μη τοπικές. Η επέκταση αυτή, από τις τοπικές στις μη τοπικές συμμετρίες, διευρύνει την εφαρμογή της θεωρίας των συμμετριών για την εύρεση λύσεων συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων. θ. Νόμοι διατήρησης Οι νόμοι διατήρησης είναι μια βασική έννοια της μαθηματικής φυσικής και περιγράφουν τη διατήρηση κάποιων θεμελιωδών ποσοτήτων. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα από τη μηχανική των ρευστών στη μία διάσταση. Έστω rx, t η πυκνότητα ενός υγρού ή αερίου και ux, t η ταχύτητά του στην κατεύθυνση του x. Τότε, με την πάροδο του χρόνου και την κίνηση του ρευστού, η μάζα του μεταφέρεται από μία θέση του πεδίου ροής σε μία άλλη παραμένοντας αμετάβλητη. Η αρχή διατήρησης της μάζας οδηγεί στην εξίσωση συνέχειας, η οποία συνδέει τις μεταβολές της πυκνότητας και της ταχύτητας του ρευστού ως προς το χώρο και το χρόνο και εκφράζεται ως εξής r ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅ t x r u = 0. Έστω τώρα ότι r u Øσταθερά καθώς x Ø. Τότε, αν οι ποσότητες r και r u x είναι ολοκληρώσιμες για x œ -, παίρνουμε

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb 5 άρα ÅÅÅÅÅ t - r x =- - r ux x =-r u - = 0, - r x =σταθερά. Η σχέση αυτή δείχνει καθαρά ότι, παρά το γεγονός ότι η πυκνότητα r εξελίσσεται στο χρόνο, η ολική μάζα του συστήματος παραμένει αμετάβλητη (διατηρείται). Η παραπάνω ιδέα μπορεί να γενικευθεί με τον ακόλουθο τρόπο. Ορισμός.. Μια εξίσωση της μορφής T ÅÅÅÅÅÅ t + ÅÅÅÅÅÅÅ X x = 0, (..0) όπου, συνήθως, ούτε η συνάρτηση T, ούτε η X περιέχουν παραγώγους ως προς το χρόνο t, ονομάζεται νόμος διατήρησης. Συγκεκριμένα, αν έχουμε μία εξίσωση εξέλιξης για τη ux, t, τότε οι συναρτήσεις T και X μπορεί να είναι συναρτήσεις των x, t, u, u x,..., αλλά όχι της u t. Τώρα, αν οι T και X x είναι ολοκληρώσιμες για x œ -, έτσι ώστε X Øσταθερά καθώς x Ø, ολοκληρώνοντας την (..0) παίρνουμε δηλαδή ÅÅÅÅÅ t - T x =- Xx - x =-X - = 0, - T x =σταθερά. Αν θεωρήσουμε το t ως χρονική μεταβλητή, το ολοκλήρωμα της T για όλα τα x ονομάζεται σταθερά ή ολοκλήρωμα της κίνησης. Η ύπαρξη νόμων διατήρησης συνδέεται με την έννοια της ολοκληρωσιμότητας. Για παράδειγμα, η εύρεση n πρώτων ολοκληρωμάτων ενός n-διάστατου συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων μας επιτρέπει να το ολοκληρώσουμε πλήρως. Αντίστοιχα, για ένα σύστημα μερικών διαφορικών εξίσώσεων η ολοκληρωσιμότητα εξασφαλίζεται από την ύπαρξη άπειρων νόμων διατήρησης. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας μερικής διαφορικής εξίσωσης (που έχει άπειρους νόμους διατήρησης), είναι η εξίσωση KdV. Γενικότερα, η εύρεση νόμων διατήρησης, μας επιτρέπει να περιορίσουμε το αρχικό μας σύστημα και να κατασκευάσουμε ειδικού τύπου λύσεις. Σύμφωνα με την A. E. Noether [4], οι νόμοι διατήρησης στους οποίους υπακούουν ορισμένα φυσικά συστήματα αντιστοιχούν σε συμμετρίες των διαφορικών εξισώσεων που τα περιγράφουν. Έτσι, έχουμε έναν εναλλακτικό τρόπο κατασκευής λύσεων ενός συστήματος, χρησιμοποιώντας τους νόμους διατήρησής του. Υπάρχουν πολλές ακόμα σημαντικές μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων εξέλιξης. Βασικό στοιχείο των περισσοτέρων από τις μεθόδους αυτές είναι η αναπαράσταση της εξίσωσης που θέλουμε να λύσουμε με τη βοήθεια ενός ζευγαριού Lax. Αυτό ακριβώς θα

32 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΕΛΙΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥΣ.nb αναλύσουμε στο επόμενο κεφάλαιο και θα το χρησιμοποιήσουμε στην παρουσίαση δύο ακόμη μεθόδων: τη μέθοδο ένδυσης των Zakharov-Shabat και την αναγωγή στο πρόβλημα Riemann-Hilbert ή στο ευρύτερο πρόβλημα _.

33 Κεφάλαιο. Ζεύγη Lax.. Διατύπωση κατά Lax Το 967, οι Gardner, Green, Kruskal και Miura [9] έδειξαν ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση KdV μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης. Ένα χρόνο μετά, το 968, ο P. Lax [3] παρουσίασε ένα κριτήριο, σύμφωνα με το οποίο η εξίσωση KdV μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συνθήκη συμβατότητας. H συνθήκη αυτή, με τη σειρά της, συνδέεται με τη χρονική εξέλιξη των λύσεων της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger ÅÅÅÅÅÅÅ yx; t, l + l - ux, t yx; t, l = 0. x Η παραπάνω εξίσωση, όπως είπαμε και στο πρώτο κεφάλαιο, ορίζει ένα πρόβλημα ιδιοτιμών για την παράμετρο l, η οποία, εν γένει, εξαρτάται από το t, δηλαδή l =lt, αφού θεωρήσαμε ότι το δυναμικό (άρα και η συνάρτηση y) εξαρτάται από το t. Την ίδια ιδιότητα, με την εξίσωση KdV, αποδείχτηκε ότι έχουν και άλλες μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες επιλύονται με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης. Για το λόγο αυτό, το κριτήριο του Lax αποτέλεσε ένα κριτήριο ολοκληρωσιμότητας για μία μη γραμμική εξίσωση εξέλιξης. Με λίγα λόγια, αυτό που επιχειρούμε να κάνουμε είναι να συνδέσουμε μία μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση με ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, οι οποίες εκφράζονται με τη βοήθεια κατάλληλα επιλεγμένων γραμμικών τελεστών. Η γενική ιδέα της διατύπωσης κατά Lax είναι η εξής: Δίνεται ένας γραμμικός τελεστής L για τον οποίο ισχύει η σχέση L y=ly. Σκοπός είναι να βρεθεί ένας άλλος τελεστής M (οι τελεστές L και M θα αποτελέσουν ένα ζεύγος Lax), τέτοιος που: (i) Η παράμετρος l, η οποία ονομάζεται και φασματική παράμετρος, είναι ανεξάρτητη του χρόνου. (ii) Η ποσότητα y t - M y παραμένει λύση της L y=ly. (iii) Η ποσότητα L t + LM - ML είναι τελεστής πολλαπλασιασμού. Από τη στιγμή που έχουμε προσδιορίσει τον τελεστή M, για να έχουμε συμβατότητα, πρέπει να ισχύει η σχέση L t + LM - ML= 0, η οποία είναι ισοδύναμη με μια μη γραμμική, ολοκληρώσιμη μερική διαφορική εξίσωση. Στη συνέχεια θα δείξουμε πώς προκύπτει η εξίσωση συμβατότητας που μόλις αναφέραμε.

34 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΖΕΥΓΗ LAX.nb Ξεκινάμε από την αρχική σχέση που ισχύει για τον τελεστή L, δηλαδή L y=ly. Από τη συνθήκη (ii) έχουμε ότι L y t - M y =ly t - M y ή ισοδύναμα L y t - LM y=ly t - M ly. Λόγω της ιδιότητας (i), ότι δηλαδή l t = 0, η παραπάνω εξίσωση ξαναγράφεται ως εξής L y t - LM y= t ly - M l y, ενώ αν χρησιμοποιήσουμε και πάλι την L y=ly προκύπτει ότι L y t - LM y= t L y - MLy. Έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση L y t - LM y=l t y+l y t - MLy, η οποία, απαλείφοντας τους όρους L y t, γίνεται L t + LM - ML y=0. Λόγω της συνθήκης (iii) τελικά καταλήγουμε στη ζητούμενη συνθήκη συμβατότητας L t + LM - ML= 0. Στην επόμενη παράγραφο εξετάζουμε αυτή τη γενική ιδέα λίγο πιο αναλυτικά, καθώς αποτελεί βασικό στοιχείο της μεθόδου ένδυσης που θα περιγράψουμε στο επόμενο κεφάλαιο.. Ανάλυση της μεθόδου Lax με τη χρήση τελεστών Θεωρούμε ένα κατάλληλο συναρτησιακό χώρο Y και μία συνάρτηση δύο μεταβλητών που ανήκει στο χώρο αυτό, έστω u = ux, t. Θεωρούμε, επίσης, ένα μη γραμμικό τελεστή N : Y Ø Y, ο οποίος είναι ανεξάρτητος του t, αλλά μπορεί να περιέχει το x, καθώς και παραγώγους της u ως προς x. Ας υποθέσουμε, αρχικά, ότι θέλουμε να λύσουμε το πρόβλημα αρχικών τιμών για την συνάρτηση ux, t η οποία ικανοποιεί την μη γραμμική εξίσωση εξέλιξης: με την αρχική συνθήκη u t = N u, (..)

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΖΕΥΓΗ LAX.nb 9 ux, 0 = f x. ή Υποθέτουμε ότι η εξίσωση εξέλιξης (..) μπορεί γραφτεί στην τελεστική μορφή L t = M L- LM (..) L t + L, Μ = 0. (..3) όπου οι τελεστές L : H Ø H, M : H Ø H είναι γραμμικοί ως προς x και ο H είναι χώρος Hilbert. Οι L και M δεν εξαρτώνται ρητά από τα x και t, παρά μόνο μέσω της συνάρτησης u = ux, t. Υποθέτουμε, επιπλέον, ότι ο τελεστής L είναι αυτοσυζυγής. Πριν συνεχίσουμε, ας αναφέρουμε κάποιους χρήσιμους ορισμούς και προτάσεις σχετικά με τους τελεστές. Πρόταση.. Έστω L ένας γραμμικός και φραγμένος τελεστής σε ένα χώρο Hilbert H. Τότε υπάρχει ακριβώς ένας γραμμικός τελεστής L *, τέτοιος ώστε για κάθε x, y œ H να ισχύει Lx, y = x, L * y. Ορισμός.. Ο τελεστής L * που ορίζεται μέσω της σχέσης καλείται συζυγής τελεστής του L. Lx, y = x, L * y, " x, y œ H Για δύο τελεστές L, M σε ένα χώρο H με εσωτερικό γινόμενο, ισχύουν οι ιδιότητες: (i) L * * = L, (ii) l L * =l êê L *, για l œ, όπου με l êê συμβολίζεται ο μιγαδικός συζυγής του l, (iii) L + M * = L * + M *, και (iv) LM * = M * L *. Ορισμός.. Έστω L ένας γραμμικός και φραγμένος τελεστής σε ένα χώρο Hilbert H, για τον οποίο ισχύει L = L *. Τότε ο L καλείται αυτοσυζυγής τελεστής. Ο ταυτοτικός τελεστής I είναι αυτοσυζυγής, δηλαδή I * = I. Αν L, M είναι δύο αυτοσυζυγείς τελεστές, τότε ο τελεστής l L +mm, όπου l, mœ, είναι επίσης αυτοσυζυγής. Τώρα, αν l είναι μία ιδιοτιμή του L και y η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση, έχουμε L y=ly, για t 0 και - x +. (..4) Η παραπάνω εξίσωση είναι μία εξίσωση ιδιοτιμών, και αν θεωρήσουμε ότι ο L εξαρτάται από το t μέσω της συνάρτησης u τότε περιμένουμε ότι και οι ιδιοτιμές του θα εξαρτώνται από το t. Άρα, γενικά, ισχύει l =lt. Παραγωγίζοντας ως προς t την (..4) προκύπτει η σχέση L t y+l y t =l t y+ly t.