The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן"

Σωτηρία Βλαστός
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .. The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן

2 . Factor Models.i = 1,..., n,r i נכסים, תשואות (משתנים מקריים) n.e[f j ] נניח = 0.j = 1,..., d,f j פקטורים, תשואות (משתנים מקריים) d המודל: r i = a i + b ij f j + e i כאשר a i, b ij מספרים ו- e i משתנה מקרי ("השגיאה"). i. משפיע על נכס j מודד כמה פקטור b ij נניח = 0 ] i.cov(e i, f j ) = 0, E[e E[r i ] = a i ברור ש- כלומר a i היא התוחלת של התשואה של נכס i.

3 . Factor Models A jk = cov(f j, f k ) נכתוב הרבה מחברים מניחים שהפקטורים יהיו בלתי מותאמים, כלומר = 0 jk j. k A, אפשר גם להניח שהפקטורים הם "מנורמלים" על ידי הדרישה = 1 jj.var(f j ) = A אנחנו נמנע מהנחות אלה. G il = cov(e i, e l ) נכתוב גם ונמנע מהנחות על מטריצה זו. כתוצאה מחוסר ההתאמה בין הפקטורים והשגיאות ניתן לכתוב Var(r i ) = Var b ij f j + Var(e i ) כלומר יש פירוק של השונות של התשואה של נכס לשונות סיסטמית ושונות לא-סיסטמית.

4 . Factor Models איך מוצאים את המקדמים? b ij יש לנו cov (r i, f k ) = cov b ij f j, f k = b ij A jk אם יש נתונים על התשואות של הנכסים ושל הפקטורים ניתן להוציא אומדנים של.A jk = cov ( f j, f k ומכאן מוצאים גם אומדנים של.b ij לכל נכס ) ) k cov (ri, f ושל - כלומר לכל - i יש צורך לפתור d משוואות ב- d הנעלמים b. ij יש לשים לב שגם כי אנחנו מניחים שיש נתונים על התשואות r i לא הכרח ניתן למצוא מהם אומדן טוב ל- b. ij אבל בכל זאת לפעמים ניתן לקבל אומדנים טובים על המקדמים a. i = E[r i ]

5 תמחור לינארי. בהקשר של Factor Models אומרים שיש תמחור לינארי אם קיימים קבועים λ 0, λ 1,..., λ j כך ש- a i = λ 0 + b ij λ j אומרים ש- λ j הוא המחיר של סיכון של פקטור j.

6 אריטראז'. תיק ארביטראז' הוא תיק עם עלות 0 ותקבול חיובי וודאי. (או תשואה שלילית וודאית - אז יש צורך למכור את התיק כדי להרוויח.) כמעט ארביטראז' : משקיעים סכום θ i בנכס i, לכל i, כך ש- θ i = 0 ( ) [ ] Var θ i r i << E θ i r i ו- כתוצאה מכך יש הסתברות גבוהה להרוויח מהתיק, אפילו אם זה לא וודאי.

7 אריטראז'. ארביטראז' אסימפטוטי : עכשיו יש סדרה של תיקים, כך שתיק n בנוי מ- n נכסים, וחושבים על הגבול n. המשקלות θ i הם תלויים על n אבל אני לא אסמן את זה. ארביטראז' אסימפטוטי הוא מצב שבו קיים קבוע חיובי δ כך שלכל תיק [ ] θ i = 0, E θ i r i δ ( ) lim Var θ i r i = 0 n ו-

8 המשפט.... חוסר ארביטראז' גורר תמחור לינארי ב- Model Factor עם G 2 סופי, אם אין ארביטראז' אסימפטוטי אזי יש תמחור לניארי עד כדי טעות עם נורמה סופית, כלומר קיימים קבועים λ 0, λ 1,..., λ d כך ש- a i = λ 0 + ν 2 i b ij λ j + ν i < עם

9 מבוא לריבועים מזעריים. בהנתן, נגיד, 3 ווקטורים x 1, x 2, x 3 בעלי מימד גדול,n ועוד ווקטור,y בדרך כלל לא ניתן למצוא מספרים α 1, α 2, α 3 כך ש-. y = α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3. y α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 יש יותר סיכוי למצוא α 1, α 2, α 3 כך ש- באיזה מובן הקירוב? נגדיר את ווקטור השאריות R = y (α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 ) S = R 2 i ונדרוש ש"סכום ריבועי השאריות" יהיה קטן.

10 מבוא לריבועים מזעריים. S = S = S = 0 α 1 α 2 α 3 נבחר α 1, α 2, α 3 ע"י הדרישה לא נעבור על כל הצעדים של הפיתוח, ניתן רק את התשובה הסופית. נגדיר את X להיות המטריצה עם עמודים.x 1, x 2, x 3 אזי יש לקחת α 1 α 2 = (X T X) 1 X T y α 3 יש צורך להניח שהמטריצה X T X היא הפיכה. אני זקוק לתוצאה הבאה: עם בחירה זו של α 1, α 2, α 3 ווקטור השאריות R הוא מאונך לווקטרים.x 1, x 2, x 3 או בלשון אחר, = 0 R.X T

11 מבוא לריבועים מזעריים. R = y X α 1 α 2 α 3 זה לא קשה להוכיח. היות ו- X T R = X T y X T X α 1 α 2 α 3 α 1 α 2 α 3 = (X T X) 1 X T y יש לנו ש- וזה מתאפס, היות ולקחנו

12 הוכחת המפשט. המשפט אומר שחוסר ארביטראז' אסימפטוטי גורר תמחור לינארי עד כדי טעות "קטנה". נוכיח בשלילה שאם הטעות בתמחור לינארי היא לא מספיק קטנה אזי קיים ארביטראז' אסימפטוטי. נגדיר (ל- n נתון) ν i = a i λ 0 b ij λ j = S הוא מנימלי. זה ונבחר את הקבועים λ 0, λ 1,..., λ d כך ש- ν2 i ריובעים מזעריים! (הווקטור y הוא הווקטור של תשואות ממוצעות a, i הווקטור x הראשון הוא הווקטור e = ( ) T ויש עוד ווקטור x לכל פקטור, עם רכיבים b ij לפקטור j)

13 הוכחת המפשט. לפי מה שלמדנו על ריבועים מזעריים, לבחירה זו של הקבועים λ 0, λ 1,..., λ d מתקיים ν i = 0, b ij ν i = 0 ψ ν i a i = ψ θ i = ψν i ("ווקטור השאריות מאונך לווקטורים x".) עכשיו נבנה תיק אם השקעה בנכס i, כאשר ψ הוא קבוע שנקבע בהמשך. התקבול הוא r = θ i r i = ψ ν i r i ν i λ 0 + ותוחלת התקבול היא b ij λ j + ν i = ψ νi 2.

14 הגיע זמן לקבוע את ψ. נקח אותו להיות הוכחת המפשט. ψ = δ n ν2 כאשר δ הוא קבוע חיובי שניתן לבחור באופן חופשי. ולכן בנינו תיק עם סה"כ.δ ותוחלת תקבול חיובות ( n θ i = ψ n השקעה 0 (כי = 0 i ν מהי השונות של התשואה? יש לנו r = ψ ν i r i = ψ ν i a i + b ij f j + e i = ψ ν i (a i + e i ) ( ) Var(r) = ψ 2 Var ν i e i = ψ 2 ν i ν l cov(e i, e l ) = ψ 2 i,l=1 G il ν i ν l i,l=1

15 הוכחת המפשט. במפשט מופיעה הנחה ש- G 2 הוא סופי. G 2 מוגדר להיות המספר הכי קטן כך שלכל ווקטור x מתקיים G il x i x l G 2 i,l=1 לכל n סופי המספר G 2 הוא בהכרח סופי. הכוונה של הביטוי '' 2 G סופי'' במשפט היא שגם כאשר n שואף ל- ה- G 2 נשאר חסום. Var(r) = ψ 2 ולכן לכל n יש לנו תיק עם סה"כ הוצאה 0, תוחלת תקבול δ, ושונות G il ν i ν l ψ 2 G 2 i,l=1 x 2 i νi 2 = δ2 G 2 n ν2 i n מתבדר אזי השונות שואף ל- 0 ויש לנו נשאר לשים לב לזה שאם הסכום 1=i ν2 i ארביטראז' אסימפטוטי. ולכן הסכום לא יכול להתבדר.

16 דיון. הערה לשלב האחרון: יש לשים לב שהמספרים ν i הם תלויים על n, אבל בכל זאת n עולים עם n. ולכן או שהסכום הזה מתבדר כאשר ניתן להוכיח שהסכומים 1=i ν2 i n ואז יש ארביטראז' אסימפטוטי, או שהוא חסום. כתוצאה מההערה הזאת - במצב שאין ארביטראז' אסימפטוטי קיימים נכסים עם ν i מאוד נמוך (נמוך מכל מספר חיובי שתבחר). אלה הם נכסים יעילים. לנכס יעיל קיים תמחור לינארי ללא טעות (המצב דומה למה שראינו בהקשר של ה- CAPM ). היות ומשקיע רציונלי ישקיע אך רק בנכסים יעילים, לכל נכס אחר המחיר ירד עד שהוא יעיל. ולכן בעולם אידיאלי של,Factor Model מספר גדול של נכסים, חוסר ארביטראז', משקיעים רציונליים, ניתן להגיד שתמחור לינארי מתקיים באופן מדוייק.

17 דיון. קצת מהשאלות שעולות: כיצד מוצאים אומדנים למחירי הסיכון של הפקטורים λ j (וגם ל- )? λ 0 כיצד בונים תיקים יעילים עם חשיפה רק לפקטור אחד? כיצד בפועל מזהים הזדמנויות ל(כמעט) ארביטראז' בשוק? (בהנחת Factor (Model מהן ההשפעות של מספר סופי של נכסים, חוסר ידיעה מוחלטת של A jk ושל b ij וכו'?

Σχετικά έγγραφα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת