ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΛΥΚΕΙΑ ΛΑΡΙΣΑΣ Μαθηματικές Δραστηριότητες: Προκλήσεις για δημιουργική μάθηση και ανάπτυξη της διερευνητικής σκέψης Δημήτρης Ντρίζος, Μαθηματικός M.Ed Μέλος της Σ.Ε του Ευκλείδη Γ της ΕΜΕ

2 Από ένα σύστημα συσσώρευσης γνώσεων για εξεταστική κατανάλωση, σε ένα σχολείο: Που θα νοιάζεται για την εξέλιξη όλων των μαθητών του και θα τους υποστηρίζει να αναδείξουν και να καλλιεργήσουν τα ενδιαφέροντα και τις κλίσεις τους. Που θα δίνει, μέσα στο πρόγραμμά του, διεξόδους δημιουργικότητας σε καθηγητές και μαθητές, ανά γνωστικό αντικείμενο.

3 Μαθηματικά σημαίνει: Σκέπτομαι διερευνητικά. Δοκιμάζω και πειραματίζομαι πάνω σε πιθανές διαδρομές λύσης, αναλύοντας και συνθέτοντας υποθέσεις και ζητούμενα. Ψάχνω να βρω διάφορους τρόπους για να λύσω ένα πρόβλημα. Χωρίς αυτά, ή χωρίς κάποια από αυτά, μάλλον δεν κάνουμε μαθηματικά, δεν υποβοηθούμε τους μαθητές μας να δοκιμάζουν, να παίρνουν πρωτοβουλίες και να αναπτύσσουν επιχειρήματα. Δεν εξελίσσουμε τη δημιουργική τους σκέψη.

4 Ποιοτική διδασκαλία Αποτελεσματική διδασκαλία: Είναι εφικτή η σύζευξη αυτών των δύο στόχων, υπό τις τρέχουσες συνθήκες λειτουργίας του σχολείου;

5 Χαρακτηριστικά προβλήματα ακροτάτων τιμών 1 η δραστηριότητα Βασική εφαρμογή Αν δύο αριθμοί έχουν σταθερό άθροισμα, τότε το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο στην περίπτωση που οι δύο αριθμοί είναι ίσοι. α β c 2 Γ(α) α(c α) Γ(α) α cα

6 Χαρακτηριστικά προβλήματα ακροτάτων τιμών 1 η δραστηριότητα Βασική εφαρμογή Αν δύο αριθμοί έχουν σταθερό άθροισμα, τότε το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο στην περίπτωση που οι δύο αριθμοί είναι ίσοι. α β c 2 Γ(α) α(c α) Γ(α) α cα Το γινόμενο αβ γίνεται μέγιστο για c αβ 2

7 Ανάλογη γεωμετρική διατύπωση Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με σταθερή περίμετρο, το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν. Παράδειγμα 1 Από όλα τα τρίγωνα με σταθερή περίμετρο, να προσδιορίσετε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

8 Ανάλογη γεωμετρική διατύπωση Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με σταθερή περίμετρο, το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν. Παράδειγμα 1 Από όλα τα τρίγωνα με σταθερή περίμετρο, να προσδιορίσετε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν. Τύπος του Ήρωνα Ε ττ ατ βτ γ

9 Παράδειγμα 2 Από όλα τα κυρτά ν-γωνα, δεδομένου ν, που είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να προσδιορίσετε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

10 Παράδειγμα 2 Από όλα τα κυρτά ν-γωνα, δεδομένου ν, που είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, να προσδιορίσετε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

11 "Αρχή" του ελάχιστου δρόμου (ή "αρχή" του Ήρωνος) Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς, γύρω στο 125 π.χ. απέδειξε, στα Κατοπτρικά του, την πρόταση: Όταν μια ακτίνα φωτός ανακλάται σε ένα κάτοπτρο (επίπεδο ή σφαιρικό), η διαδρομή που ακολουθεί η ακτίνα (πηγή-κάτοπτρο-παρατηρητής) είναι η συντομότερη σε σύγκριση με οποιαδήποτε άλλη δυνατή διαδρομή της ανακλώμενης ακτίνας.

12 Η μαθηματική διατύπωση του ερωτήματος Έστω ευθεία (ε) και δύο σημεία Α και Β, έξω από αυτήν και προς το ίδιο μέρος της. Να προσδιορίσετε σημείο Μ της (ε) έτσι, ώστε το άθροισμα ΑΜ + ΜΒ να γίνεται ελάχιστο.

13 Η μαθηματική διατύπωση του ερωτήματος Έστω ευθεία (ε) και δύο σημεία Α και Β, έξω από αυτήν και προς το ίδιο μέρος της. Να προσδιορίσετε σημείο Μ της (ε) έτσι, ώστε το άθροισμα ΑΜ + ΜΒ να γίνεται ελάχιστο.

14 Παράδειγμα Από όλα τα τρίγωνα με σταθερή μια πλευρά τους και σταθερό το αντίστοιχο προς αυτήν ύψος, να προσδιορίσετε εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο.

15 Παράδειγμα Από όλα τα τρίγωνα με σταθερή μια πλευρά τους και σταθερό το αντίστοιχο προς αυτήν ύψος, να προσδιορίσετε εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο.

16 2 η δραστηριότητα Να προσδιορίσετε σημείο Μ στο επίπεδο τριγώνου ΑΒΓ έτσι, ώστε το άθροισμα ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ να γίνεται ελάχιστο.

17 2 η δραστηριότητα Να προσδιορίσετε σημείο Μ στο επίπεδο τριγώνου ΑΒΓ έτσι, ώστε το άθροισμα ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ να γίνεται ελάχιστο.

18 3 η δραστηριότητα Σε δεδομένο οξυγώνιο τρίγωνο να "εγγράψετε" τρίγωνο ελάχιστης περιμέτρου.

22 Ενδεικτικά παραδείγματα για διαπραγμάτευση στη σχολική τάξη 1. Από την εποπτεία και τη διαίσθηση στη μαθηματική τακτοποίηση της έννοιας της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού

23 Παράδειγμα 1 Σε έναν άξονα x x να θεωρήσετε τα σημεία Α(1) και Β(5). α) Να βρείτε, αν υπάρχουν, και πόσα, σημεία Μ(x) πάνω στον x x τέτοια, ώστε: i) ΜΑ + ΜΒ = 4 ii) ΜΑ + ΜΒ = 1 iii) ΜΑ + ΜΒ = 8 β) Χρησιμοποιώντας το σύμβολο της απόλυτης τιμής να γράψετε τις γεωμετρικές ισότητες i), ii) και iii) ως εξισώσεις με άγνωστο το x, και να βρείτε τις ρίζες τους. γ) Να διατυπώσετε και να επιλύσετε τη γενίκευση του παραδείγματος.

24 Η μέθοδος του άξονα κύκλου για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων με απόλυτες τιμές. Παραδείγματα Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους: x 5 2, x 5 2, x 5 2

25 Ένα άλλο παράδειγμα (από το ειδικό στο γενικό) Σε έναν άξονα x x να πάρετε δύο οποιαδήποτε σημεία Α(α) και Β(β), και έπειτα να προσδιορίσετε γεωμετρικά τα σημεία του άξονα στα οποία αντιστοιχούν οι αριθμοί α β, β α και α + β.

26 2. Μια ενότητα θεμάτων Ευκλείδειας Γεωμετρίας που αναδεικνύουν την ιδέα των διαδοχικών γενικεύσεων. 2.1 Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ που κινείται στην υποτείνουσα ΒΓ. Από το Μ φέρνουμε τα κάθετα τμήματα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ, ώστε το μήκος το τμήματος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο. Τι σχήμα είναι το AΚMΛ, και γιατί; Ποια σχέση έχουν οι διαγώνιές του μεταξύ τους;

27 2.2 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ. Από το Μ φέρνουμε τα κάθετα τμήματα ΜΚ και ΜΛ προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ, ώστε το μήκος το τμήματος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο. Ποια ιδιότητα χαρακτηρίζει το τετράπλευρο ΑΚΜΛ; Ποια σχέση έχουν οι διαγώνιές του μεταξύ τους;

28 ΚΛ 2R ημα ΑΜ από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΚΛ. Πότε λοιπόν ελαχιστοποιείται το ΚΛ;

29 2.3 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ που κινείται στην πλευρά ΒΓ. Φέρνουμε τα τμήματα ΜΚ και ΜΛ, όπου Κ σημείο της πλευράς ΑΒ και Λ σημείο της πλευράς ΑΓ τέτοια, ώστε ΒΚΜ ΜΛΓ ω, µ όπου ωµ γωνία με το ίδιο σταθερό μέτρο για οποιαδήποτε θέση του Μ. Να προσδιορίσετε τη θέση του Μ στη ΒΓ, ώστε το μήκος το τμήματος ΚΛ να γίνεται ελάχιστο.

30 Φέρνουμε τα τμήματα ΒΛ // ΜΛ και ΓΚ // ΜΚ. φµ B$ Γ$ 2ωµ 180 Από την ομοιότητα των τριγ. ΒΚΜ, ΒΚ Γ και ΓΛΜ, ΓΛ Β παίρνουμε: μ νλ x κ και y α α και με το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγ. ΜΚΛ, έπειτα από πράξεις βρίσκουμε: μ ν 2μν συνφ 2 ν μνσυνφ 2 ΚΛ κ 2 κ ν, 2 α α που είναι τριώνυμο του κ με θετικό συντελεστή δευτεροβαθμίου όρου, καθώς μ 2 + ν 2 + 2μνσυνφ = (μ 2 + ν 2 2μν) + (2μν + 2μνσυνφ) = = (μ ν) 2 + 2μν(1 + συνφ) > 0

31 Μια πρόταση Έστω f και g δυο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστημα [α, β], για τις οποίες ισχύει f x g x για κάθε x α,β Υπάρχει πάντοτε θετικός r τέτοιος, ώστε Ένα ερώτημα για κάθε x β f x g x r α, Ποιος προβληματισμός γεωμετρικής υφής θα μπορούσε να μας οδηγήσει στη διατύπωση της παραπάνω πρότασης;

32 Λύση... h x f x g x, x αβ, Η συνάρτηση h είναι συνεχής με θετικές τιμές στο [α, β], οπότε θα παρουσιάζει ελάχιστο, έστω ίσο με m, m > 0. Άρα m m hx m f x gx m f x gx 2 2 Οπότε m f x gx r, r, με r 0, m 2 Ένα ακόμη ερώτημα Να εξετασθεί αν η προηγούμενη πρόταση συνεχίζει να ισχύει και στην περίπτωση που οι συναρτήσεις f και g ορίζονται σε ανοιχτό διάστημα (α, β) αντί του [α, β].

33 Ένα ερώτημα Ανάλυσης στη βάση της Γεωμετρίας Έστω κύκλος με κέντρο Κα,0, α 0, και ακτίνα ρ. Αν f είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε f α ρ f α ρ 0 και η γραφική της παράσταση έχει με τον κύκλο ακόμη ένα τουλάχιστον κοινό σημείο, να αποδείξετε ότι ξ,ξ α ρ,α ρ f ξ f ξ 1 υπάρχουν με Μ(τ, f(τ)) T(τ, 0) Κ(α, 0)

34 Μια λύση χωρίς λόγια Μ(τ, f(τ)) T(τ, 0) Κ(α, 0)

35 Μ(τ, f(τ)) Η λύση στη γλώσσα της Ανάλυσης Με το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα α ρ,τ και τ,α ρ, βρίσκουμε: fτ fα ρ fτ fξ 1,ξ1α ρ,τ τ α ρ ρ τ α Επομένως fξ fξ 2 fτ 2 ρ τ α f α ρ f τ f τ fξ 2,ξ2τ,α ρ α ρ τ ρ τ α T(τ, 0) Κ(α, 0), και με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος στο ορθ. τρίγ. ΚΤΜ παίρνουμε το ζητούμενο.

36 Προβληματισμός Τι συμβαίνει όταν η προβολή του σημείου Μ στον άξονα x x ταυτίζεται με το κέντρο Κ του κύκλου; Μ(τ, f(τ)) T(τ, 0) Κ(α, 0)

37 3. Παραδείγματα που αναδεικνύουν τη φυσική ερμηνεία του θεωρήματος του Rolle και του ΘΜΤ του Lagrange 3.1 Ας υποθέσουμε ότι μια συνάρτηση V(t) μετράει τον όγκο του αέρα που βρίσκεται στους πνεύμονες ενός ανθρώπου, ως προς το χρόνο t, κατά τη διάρκεια μιας αναπνοής. Υποθέτουμε ότι: α) η V είναι συνεχής και περιγράφεται από μια ομαλή καμπύλη (: γραφική παράσταση παραγωγίσιμης συνάρτησης). β) η V(t) παίρνει την ίδια τιμή (περίπου 4 λίτρα) στο τέλος κάθε εισπνοής. Ερώτηση: Υπάρχει χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια μιας αναπνοής, όπου μηδενίζεται ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του αέρα που βρίσκεται στους πνεύμονες του ανθρώπου;

38 3.2 Πετάμε κατακόρυφα προς τα πάνω μια μπάλα και την ξαναπιάνουμε στο ίδιο ύψος από το οποίο την πετάξαμε. α) Να κάνετε πρόχειρα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης θέσης της μπάλας ως προς το χρόνο t. β) Υπάρχει χρονική στιγμή t 1 που η ταχύτητα της μπάλας μηδενίζεται; Ποια είναι η κλίση (της εφαπτομένης) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης θέσης στο σημείο με τετμημένη t 1 ; 3.3 Δύο αυτοκίνητα είναι σταματημένα σ ένα φανάρι, το ένα δίπλα στο άλλο. Όταν το φανάρι ανάβει πράσινο ξεκινούν, αλλά αναγκάζονται και τα δύο να σταματήσουν στο επόμενο φανάρι. Έτσι, βρίσκονται και τα δύο σταματημένα πάλι, το ένα δίπλα στο άλλο. Υπάρχει χρονική στιγμή κατά την οποία τα δύο αυτοκίνητα έτρεχαν με την ίδια ταχύτητα;

39 150 m 3.4 Σε ένα χιονοδρομικό κέντρο, ένας σκιέρ κατεβαίνει μια πλαγιά, ξεκινώντας από ένα σημείο Β και καταλήγοντας σε ένα σημείο Α. Υπάρχει περίπτωση ο σκιέρ να αποφύγει την κλίση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ; 3.5 Ο οδηγός ενός Jeep σκοπεύει από το σημείο Α να φτάσει στο Β. Η πλαγιά ΑΒ ορίζεται από την καμπύλη y = f(x) και το Jeep μπορεί να αναρριχηθεί σε κλίσεις έως 25%. Ο οδηγός θα πετύχει το σκοπό του; Β Α 0,5 Km

40 3.6 Ένα σωματίδιο κινείται πάνω στον άξονα των τετμημένων (των t) Ο πίνακας δείχνει τη θέση του σωματιδίου σε τρεις χρονικές στιγμές. Χρόνος t σε sec Θέση x(t) σε m α) Να βρείτε η μέση ταχύτητα του σωματιδίου στο χρονικό διάστημα [0, 5] β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου είναι ίση με τη μέση ταχύτητα στο διάστημα [0, 5]. γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει μία τουλάχιστον χρονική στιγμή κατά την οποία η επιτάχυνση του σωματιδίου μηδενίζεται. (Θεωρείστε ότι οι συναρτήσεις της θέσης και της ταχύτητας του σωματιδίου είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις του χρόνου).

41 Θέματα Ανάλυσης που αναδεικνύουν το ρόλο της γεωμετρικής εποπτείας Παράδειγμα 1 Μία συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο IR. Υπάρχει περίπτωση η γραφική της παράσταση να μην τέμνει τον φορέα της διχοτόμου της πρώτης ορθής γωνίας των αξόνων; Να αποδείξετε την εικασία σας. Παράδειγμα 2 (μια γενίκευση) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, ενώ μια άλλη συνάρτηση g είναι συνεχής στο και τέτοια, ώστε lim g x και lim g x. x x Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται.

42 Παράδειγμα 3 Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] με την ιδιότητα ƒα ƒβ 2 ƒ α β, 2 τότε υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε ƒ ξ 0.

43 Προσέγγιση θεωρητικής τεκμηρίωσης Με βάση την εποπτεία, που βρίσκεται σε πλήρη αρμονία με το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού, υπάρχουν οι εφαπτόμενες ευθείες ε 1 και ε 2 της C f παράλληλες προς την ΚΛ, με συντελεστές διεύθυνσης αντίστοιχα f (ξ 1 ) και f (ξ 2 ). Είναι αβ ƒξ1 λ ΚΜ, ξ1 α, 2 αβ ƒ ξ2 λ ΜΛ, ξ 2,β 2 Όμως λ ΚΜ = λ ΜΛ, άρα f (ξ 1 ) = f (ξ 2 ), οπότε με το θ. Rolle για την f στο [ξ 1, ξ 2 ], παίρνουμε το ζητούμενο f (ξ) = 0, όπου ξ(ξ 1, ξ 2 ).

44 Προβληματισμός Θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στην f (ξ 1 ) = f (ξ 2 ) στηριζόμενοι στο γεγονός ότι το ΚΑΒΛ είναι τραπέζιο;

45 Έχουμε: ΜΜ ΜΓ ΚΑ ƒ(ξ 1) λκμ εφω ΚΜ ΑΓ : (1) ΛΛ ΛΒ ΜΓ ƒ(ξ 2) λμλ εφω ΜΛ ΓΒ : (2) Τα τελευταία κλάσματα των (1) και (2) είναι ίσα, γιατί ΑΓ = ΓΒ και ΜΓ ΚΑ = ΛΒ ΜΓ, λόγω της σχέσης της διαμέσου ΜΓ του τραπεζίου ΚΑΒΛ με τις βάσεις του ΚΑ και ΛΒ. Οπότε f (ξ 1 ) = f (ξ 2 ).

46 Γενίκευση (διατυπωμένη εποπτικά) Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] και τα σημεία Κ(α, f(α)) και Λ(β, f(β)). Αν το τμήμα ΚΛ και η γραφική παράσταση της f τέμνονται, τότε υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) = 0. Μια ιδέα που οδηγεί στη γενίκευση Αν στο παραπάνω παράδειγμα (3) ονομάζαμε γ την τετμημένη του μέσου Γ του ευθ. τμήματος ΑΒ, τότε γ α α β 1 οπότε Γ, 0. β γ 2 Γενικότερα, αν παίρναμε το Γ στο εσωτερικό του ΑΒ, ώστε τότε βκ αλ Γ, 0. λκ γ α κ β γ λ

47 Η γενίκευση στην τυπική γλώσσα της Ανάλυσης Αν μια συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] με την ιδιότητα λα κβ λf α κf β κ λ f, κ λ όπου α λα κβ κ λ β τότε υπάρχει ξ(α, β) τέτοιο, ώστε και κ, λ θετικοί ακέραιοι, f ξ 0.

48 Παράδειγμα 4 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0, 1], με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύουν: 1 ƒ0 0, ƒ1 και ƒ0 0 2 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(0, 1) τέτοιο, ώστε ƒ ξ 2ξ.

49 1ος τρόπος προσέγγισης (διάγραμμα λύσης συζήτηση) Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1). ƒ 2,... g x x x x 0,1 ƒ 2 x x 0 Προβληματισμός: Θα μπορούσε να είναι g(x) < 0 για κάθε x(0, 1); x x 0 2 ƒ ƒ ƒ gx 0 ƒx x x lim lim x ƒ0 0, άτοπο. x x0 x 0 x0 Θ. Bolzano για τη συνάρτηση g στο [β, 1]. Θ. Rolle για τη συνάρτηση g στο [0, α].

50 2ος τρόπος προσέγγισης (αλλαγή διαδικαστικού επιχειρήματος συζήτηση) 2 ƒ... g x x x, x 0,1 g x ƒ x 2x g x g 0 g x g0 ƒ0 0 lim lim 0 x0 x 0 x0 x Και επειδή x > 0, θα είναι και g(x) > 0 κοντά στο 0 από τα δεξιά. Άρα θα υπάρχει β(0, 1) τέτοιο, ώστε g(β) > 0 κτλ.

51 3ος τρόπος προσέγγισης (αλλαγή βασικού επιχειρήματος συζήτηση) 2 ƒ ƒ... g x x x, g x x 2x Κρίσιμη παρατήρηση: g ξ g ξ 1, 1 2 οπότε ένα τουλάχιστον από τα gξ, gξ 1 2 θα είναι υποχρεωτικά αρνητικό. Έστω λοιπόν ότι είναι g (ξ 1 ) < 0. Θ. Bolzano για τη συνάρτηση g στο [0, ξ 1 ]...

52 Μια βασική άσκηση (πρόταση) με ενδιαφέρουσες εφαρμογές Αν f είναι μια συνάρτηση συνεχής και 1 1 στο διάστημα x,x με συνεχή την f, τότε ισχύουν οι σχέσεις: και x y fxdx f ydy x2y2 x1y1 :(1), όπου y fx x y 1 1 x x fx2 1 fxdx f xdx x2f x2 x1f x1 f x :(2). 1 2

53 Μια γεωμετρική προσέγγιση της ισότητας (1), με την f γνήσια αύξουσα στο διάστημα x,x 1 2

54 Μια γεωμετρική προσέγγιση της ισότητας (1), με την f γνήσια φθίνουσα στο διάστημα x,x 1 2

55 Μια γεωμετρική προσέγγιση της ισότητας (2)

56 Εφαρμογές 1. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή των παραστάσεων: 1 ln2 2 y A ln 1x dx e 1dy e 2 x B e dx lnxdx ln3 y x 1 e 1 y 1 1x e 1 ln3 2 Γ ln dx dy

57 2. Να υπολογιστεί η τιμή του ολοκληρώματος e 1 f xdx, 0 όπου fx x lnx, x 1,e (χωρίς να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f 1 x )

58 Ποιοτική διδασκαλία: Μια συμμετοχική λειτουργία, με στοχασμό και ευαισθησία για την ανέλιξη της δημιουργικής σκέψης των μαθητών μας Το παιχνίδι της ποιοτικής αναβάθμισης της μαθηματικής εκπαίδευσης παίζεται καθημερινά μέσα στις σχολικές τάξεις. Και εκεί ακριβώς είναι ανάγκη να επικεντρώσουμε την προσοχή μας: Εκεί όπου η Εκπαίδευση με κατάλληλες βέβαια προϋποθέσεις μπορεί εν δυνάμει να μετασχηματισθεί σε Παιδεία. Και αυτό που σήμερα προέχει είναι να εμπνεύσουμε τους εκπαιδευτικούς της τάξης.

59 Να τους βοηθήσουμε ουσιαστικά στο έργο τους, της καθημερινής διδακτικής και παιδαγωγικής τους πρακτικής. Να κερδίσουμε έντιμα την εμπιστοσύνη τους: Με στοχευμένες επιμορφωτικές συναντήσεις μαζί τους, καλές διδακτικές και παιδαγωγικές πρακτικές και κυρίως με την ανάπτυξη θεματικών εργαστηρίων για τα μαθηματικά και τη διδασκαλία τους.