DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 3.travnja-5.travnja razred-rješenja
|
|
- Ζώσιμος Φιλιππίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, travnja-5travnja 07 5 razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN Neka je x širina Vinkove njive Tada je x + m širina kupljene njive 6 m Vinkova njiva Markova njiva x x + m Stoga vrijedi: 6 (x + x + ) = 06 x + = 06 : 6 x + = x = x = 8 x = Markova njiva ima širinu + = 8 m Površina Markove njive je 6 8 = m Cijena koju je Vinko platio je 50 = kn Prvi način: = = ( ) = = ( ) = = ( ) = = ( ) = = [ + 0 ( )] Prema tome, traženi ostatak je 9 Kako je 5 6 = 70, svi pribrojnici nakon petog su djeljivi sa 70, pa i sa 7, jer je 70 = 7 0 Općenito vrijedi: ako su svi pribrojnici djeljivi nekim brojem k, onda je i njihov zbroj djeljiv istim tim brojem k
2 5 razred Zbog toga je zbroj djeljiv sa 7 Ostaje provjeriti zbroj prvih pet pribrojnika: = = 5 Podijelimo zbroj prvih pet pribrojnika sa 7: 5 : 7 = 9 Prema tome, traženi ostatak je 9 Kut podijelimo na dva dijela: x i x Tada je: x x 5 x 5 x 05 x Kut podijelimo na tri dijela: x, x i x Tada je: x x x 5 7x 5 x 5 x 90, x Kut podijelimo na četiri dijela: x, x, x i 8 x Tada je: x x x 8x 5 5x 5 x x, x 8, 8x Kut podijelimo na pet dijelova: x, x, x, 8 x i 6 x Tada je: x x x 8x 6x 5 x 5 Broj 5 nije djeljiv brojem, pa nije moguća podjela na pet dijelova uz zadani uvjet da je svaki sljedeći dio dvostruko veći od prethodnog Kut podijelimo na šest dijelova: x, x, x, 8 x, 6 x i x Tada je: x x x 8x 6x x 5 6x 5 x 5 x 0, x 0, 8x 0, 6x 80, x Ako kut dijelimo na 7 ili 8 dijelova uz zadane uvjete, dobijemo jednadžbe 7x 5 i 55x 5 koje nemaju rješenje u skupu prirodnih brojeva Ako kut dijelimo na 9 i više dijelova uz zadane uvjete, dobijemo da je najmanji dio x manji od, pa ne može biti prirodan broj Dakle, na opisani način kut veličine 5 možemo podijeliti na,, i 6 dijelova
3 5 razred Sve brojeve upisane u tablicu rastavimo na proste faktore = 5 = = 50 = = = 5 80 = = Brojeve iz tablice zamijenimo dobivenim rastavima Promotrimo brojeve rastava u drugom redu Broj 7 se pojavljuje dva puta, a broj 5 jednom Kako se 7 pojavljuje po jednom u prvom i trećem stupcu, očito je da u prvom i trećem stupcu drugog retka mora biti broj 7 Tada broj 5 mora biti u drugom stupcu (jer u četvrtom nema broja 5) Sva tri broja u drugom redu su raspoređena, pa u četvrtom stupcu tog retka mora biti broj Na sličan način riješimo i četvrti redak Broj 5 mora biti u prvom i trećem stupcu (faktor 5 iz drugog stupca već je iskorišten) Broj može biti samo u četvrtom stupcu, a u drugom je onda broj Svi brojevi u prvom redu tvore se pomoću broja Usporedbom s trojkama u pojedinim stupcima može se zaključiti da u prvom stupcu mora biti broj, u drugom 9, u trećem i u četvrtom U trećem su redu samo dvojke U prvom stupcu je, u drugom, u trećem 8, a u četvrtom
4 5 razred Zadatak rješavamo unatrag Odredimo broj a: Zbroj podijelimo brojem 0 i dobijemo x: 0 x Umnošku dodamo 5 : 0 x 5 Razliku pomnožimo brojem 5: x 0 5 :5 x Od broja a oduzmemo : x x Prema tome je a x Odredimo broj b: y x Od umnoška oduzmemo i dobijemo y: x Zbroj pomnožimo brojem : x : x Količniku dodamo 6: x 6 x 5 Broj b podijelimo brojem 8: x Prema tome je b 8 x 0 Broj a tri je puta manji od broja b, pa vrijedi: a b x 8 x x 0 x 8 x 0 x8 x 0 x 0 x 0: x 0 a x 0 0 b8 x ili b a 0 0 Broj a je 0, a broj b je 0
5 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, travnja-6travnja 07 6 razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN Prvi način: Neka je x duljina prvog, y duljina drugog, a z duljina trećeg komada tkanine Neka je n duljina jednakih dijelova tkanine nakon rezanja, tj 5 x y z n x n x n, y n y n, z n z n x y z n n n 5 0n 0n 8n 50 68n 50 n 75 Dalje je x 75 0, tj prvi komad tkanine je prije rezanja bio duljine 0 m, drugi komad je prije rezanja bio duljine y 75 5 m, a treći je komad prije rezanja bio duljine 6 z 75 9 m 5 Neka je x duljina prvog, y duljina drugog, a z duljina trećeg komada tkanine Prema uvjetu zadatka vrijedi jednakost x y 5 z 6 Iz x y slijedi y x : x x Iz x z slijedi z x : x x Zbog x y z redom slijedi 9 x x x, 7 x, odakle je y 0 5 m i z 0 9 m 0 Prije rezanja prvi dio bio je dug 0 m, drugi 5 m i treći 9 m 7 x : 0 m, 5 Treći način: Neka je x duljina prvog, y duljina drugog, a z duljina trećeg komada tkanine Prema uvjetu zadatka vrijedi jednakost x y 5 z 6 Pomnožimo li dobiveni izraz brojem (jer je V(,, 6) = ), dobit ćemo da je 9x = 6y = 0z 0z 0z Iz 9x = 0z slijedi x, a iz 6y = 0z slijedi y 9 6
6 6 razred Dalje, zbog x y z redom slijedi 0 z 0 z z, 0z + 0z + 8z = 6, odakle je z 9 m Dalje je x 0 m i y 5 m Prije rezanja prvi dio bio je dug 0 m, drugi 5 m i treći 9 m Četvrti način: Ako grafički prikažemo zadane odnose i s x označimo dijelove koji su jednake duljine, uočavamo sljedeće: odrezani dio prvog komada tkanine ima duljinu x, odrezani dio drugog komada je duljine x i odrezani dio trećeg komada ima duljinu x Zbrojimo li duljine svih triju komada 5 tkanine prije rezanja, dobivamo jednadžbu x x x x x x, čijim rješavanjem redom 5 dobivamo 68 5 x, 68 x :, tj x = 75 5 Dalje kao u načinu rješavanja Prvi način: Na jednoj strani ulice kućni su brojevi neparni (,, 5, ), a s druge parni (,, 6, ) Kako se zbrajanjem parnih brojeva uvijek dobiva paran broj, očito je zbroj neparnih kućnih brojeva 69, a parnih 6 Neka je n broj kuća na neparnoj strani Prvi kućni broj na toj strani je, a posljednji je n Koristeći Gaussov princip, dobiva se (n ) = ( + n ) n : = 69, odnosno n n = 69 Traženi broj mora biti između 0 i 0 jer je 0 0 = 900, a 0 0 = 600 Budući da je zadnja znamenka tog umnoška jednaka 9, znamenka jedinica broja n mora biti ili ili 7 Provjerom se dobiva da je n = 7 (jer je = 089) Neka je m broj kuća na parnoj strani Prvi kućni broj na toj strani je, a posljednji je m Koristeći Gaussov princip, dobiva se da je m = ( + m) m : = 6, odnosno (m + ) m = 6 Rastavljanjem broja 6 na umnožak prostih faktora dobiva se da je 6 = 7 = 7 6 Odatle se zaključuje da je m = 6 Na jednoj je strani ulice 7, a na drugoj 6 kuća U ulici su 8 kuće Na jednoj strani ulice kućni su brojevi neparni (,, 5, ), a s druge parni (,, 6, ) Kako se zbrajanjem parnih brojeva uvijek dobiva paran broj, očito je zbroj neparnih kućnih brojeva 69, a parnih 6 Neka je x najveći kućni broj na neparnoj strani ulice Tada je zbroj svih kućnih brojeva na toj strani ulice jednak x Koristeći Gaussov princip nalazimo da je taj zbroj jednak
7 6 razred ( x) ( x) 69, tj (x + )(x + ) : = 69 ili (x + )(x + ) = 576 Traženi faktor mora biti između 70 i 80 jer je = 900, a = 600 Budući da je zadnja znamenka tog umnoška jednaka 6, znamenka jedinica broja x + mora biti ili ili 6 Provjerom se dobiva da je x + = 7, odnosno x = 7 (jer je = 5776) Dakle, na neparnoj strani ulice najveći kućni broj je x = 7 Budući da je x = k, pri čemu je k prirodan broj koji označava broj kuća na neparnoj strani ulice, zaključujemo da je na neparnoj strani ulice (7 + ) : = 7 kuća Neka je y najveći kućni broj na parnoj strani ulice Tada je zbroj svih kućnih brojeva na toj strani ulice jednak y Koristeći Gaussov princip nalazimo da je taj zbroj jednak ( y) y 6, tj y (y + ) : = 6 ili y (y + ) = 868 Rastavljanjem broja 868 na umnožak prostih faktora dobiva se da je 868 = 7 = ( ) ( 7) = 9 9 Odatle se zaključuje da je y = 9, tj da je na parnoj strani ulice najveći kućni broj 9 Budući da je y = l, pri čemu je l prirodan broj koji označava broj kuća na parnoj strani ulice, zaključujemo da je na neparnoj strani ulice 9 : = 6 kuća U ulici su = 8 kuće Prvi način: Neka su ab i cd zadani dvoznamenkasti brojevi Prema uvjetima zadatka vrijedi: ab cd 86 = ab dc, odnosno (0a + b) (0c + d) + 86 = (0a + b) (0d + c) Dalje je redom: 00ac + 0ad + 0bc + bd + 86 = 00ad + 0ac + 0bd + bc, 90ac + 9bc + 86 = 90ad + 9bd 0ac + bc + = 0ad + bd c(0a + b) + = d(0a + b) cab ab d ab d c Dalje se može rješavati na dva načina: a) c i d su znamenke pa je njihova razlika sigurno manja od 9 (ne može biti 9 jer bi c bilo jednako 0, što ne može biti) i različita od nule (zbog umnoška koji ima vrijednost ) I d c = ab =, ne može biti jer je ab dvoznamenkasti broj II d c = ab =, ne može biti jer je ab dvoznamenkasti broj III d c = ne može biti jer nije djeljiv brojem IV d c = ab = 06, ne može biti jer je ab dvoznamenkasti broj V d c = 5 ne može biti jer nije djeljiv brojem 5 VI d c = 6 ne može biti jer nije djeljiv brojem 6 VII d c = 7 ne može biti jer nije djeljiv brojem 7 VIII d c = 8 ab = 5 Iz ab = 5 i d = 8 + c slijedi c = i d = 9, tj cd = 9 Točan umnožak je 5 9 = 007 b) Rastavom broja na proste faktore dobit ćemo: = 5 Odatle je dvoznamenkasti broj ab = 5, razlika znamenaka iznosi d c = 8, dakle c =, d = 9, tj cd = 9 Točan umnožak je 5 9 = 007
8 6 razred Neka su ab i cd zadani dvoznamenkasti brojevi Prema uvjetima zadatka vrijedi: ab cd 86 = ab dc, odnosno ab ( dc cd ) = 86 Dalje je redom: ab (0d + c 0c d) = 86 ab (9d 9c) = 86 9 ab (d c) = 86 / : 9 ab (d c) = Dalje kao u načinu rješavanja D C S F E H G A B Prema uvjetu zadatka je SAG DAF 85 Dijagonale kvadrata se raspolavljaju, jednake su duljine i međusobno su okomite pa vrijedi: SA SC i SAC SCA 5 Dalje je CAG SAG SAC Zbog CA = CB = CF zaključujemo da je trokut ΔAFC jednakokračan s osnovicom AF i tada vrijedi CAF AFC 0 Tada je ACF 80 CAF Trokut BFC je jednakostraničan pa je GCF BCF 60 i ACG ACF GCF U trokutu AGC vrijedi da je CAG ACG 0, pa je GA GC Dalje je moguće na tri načina: Prvi način: Dijagonale kvadrata se raspolavljaju i jednake su duljine, tj vrijedi SA SC Dokazali smo da je GA GC Za točke S i G vrijedi da su jednako udaljene od krajnjih točaka dužine AC, pa pripadaju simetrali dužine AC Kako je simetrala dužine okomita na dužinu, slijedi da je SG AC, tj AHS 90
9 6 razred Promatramo trokute SGC i SAG Dijagonale kvadrata se raspolavljaju i jednake su duljine, tj vrijedi trokute SA SC Dokazali smo da je GA GC Budući da je stranica SG je zajednička za SGC i SAG, prema poučku SSS slijedi da je SGC SAG pa vrijedi GSA CSG 90 : 5 U trokutu AHS vrijedi da je HSA GSA 5 i SAH SAC 5, pa je AHS 80 ( HSA SAH ) Treći način: Promatramo trokute SGC i SAG Dijagonale kvadrata se raspolavljaju i jednake su duljine, tj SA SC Dokazali smo da je GA GC Budući da je SCH SCA 5 i HCG ACG 0 vrijedi SCG 85, odnosno SAG DAF 85 Prema poučku SKS slijedi da je SGC SAG pa vrijedi AGS SGC U trokutu AGC vrijedi da je CAG ACG 0, pa je AGC 00, te AGS SGC 00 : 50 U trokutu HGC vrijedi HGC 50 i HCG 0, pa je CHG 90 i vrijedi da je SG AC, tj AHS 90 P P 5 Kako najduljoj visini pripada najkraća stranica, očito je b = 5 cm Budući da je va, vb i a b P vc, iz vb va vc redom slijedi: P P P,, a c, ac 5a 5c, c b a c b a c 5 ac 5a ac 5c 5a, c( a 5) 5a, te je c a 5 5a 5 5 5a 5 5 5( a 5) 5 5 Dalje je c 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 Broj c će biti cijeli broj ako je a 5 djelitelj broja 5, tj ako je a 5 jednak, 5 ili 5, odnosno, 5 ili 5 a 5 a = 6 cm c = 0 cm što je nemoguće zbog nejednakosti trokuta a 5 5 a = 0 cm c = 0 cm a 5 5 a = 0 cm c = 6 cm što je nemoguće zbog nejednakosti trokuta a 5 a = cm što je nemoguće jer je najkraća stranica duljine 5 cm (ili: a 5 a = cm c = 0 što je nemoguće) a 5 5 a = 0 što je nemoguće a 5 5 a = 0 što je nemoguće Dakle, postoji samo jedan takav trokut sa stranicama duljina a = 0 cm, b = 5 cm i c = 0 cm 5
10 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, travnja-5travnja 07 7 razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN Prvi način: Neka je kralj imao x dukata Raspodjela u omjeru : znači da će obitelji pripasti x, a državi x dukata Obiteljski dio dijeli se između djece i kraljice u omjeru : Djeca će dobiti x x, a kraljici će ostati x x 6 Budući da je kralj imao dva sina i dvije kćeri, oni dijele svoj dio u omjeru : Sinovima će pripasti x x, a kćerima x x Na kraju stariji i mlađi sin dijele svoj dio u omjeru 5 : Stariji će sin dobiti 5 x x, a mlađi x x Dakle, kraljica je dobila x dukata, a mlađi sin 6 5 x dukata Poznato je da razlika x x x iznosi 00 dukata, pa je onda cijelo nasljedstvo x = 000 dukata Starijem sinu pripala je trećina, dakle 000 dukata Najmanje dukata dobit će mlađa kći Neka je ona dobila x dukata Budući da je mlađa kći dijelila dukate sa starijom sestrom u omjeru : 5, onda je starija kći dobila 5x dukata Sestre su zajedno dobile 6x dukata Taj iznos su dobile nakon podijele dukata između njih i braće, u omjeru : Dakle, braća su dobila puta više, odnosno x dukata Tih x dukata braća su podijelila između sebe u omjeru : 5, tako da je mlađi sin dobio x dukata, a stariji sin 0x dukata Djeca su, svi zajedno, dobili x + 5x + x + 0x = 0x dukata Taj iznos su dobili nakon raspodijele s majkom, u omjeru : Majka je onda dobila 0x dukata Usporedbom broja dukata majke i mlađeg sina dobije se jednadžba: 0x x = 00, čije je rješenje x = 50 Stariji je sin dobio 0x = 0 50 = 000 dukata Prvi način: Neka je x ukupan broj upisanih učenika (polaznika) razreda na početku školske godine, a d broj djevojčica među njima Tada vrijedi d = 0x
11 7 razred Tijekom godine, od ukupnog broja upisanih učenika razreda školu je napustilo djevojčica i 6 dječaka (ukupno 50 učenika) pa su na kraju školske godine 6 % polaznika razreda bile djevojčice Vrijedi: 06 (x 50) = d, odnosno 06 (x 50) = 0x Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo: x = 00 Ukupan broj upisanih učenika razreda na početku školske godine bio je 00, od toga 0 00 = 9 djevojčica i 00 9 = 7 dječak Na kraju školske godine bilo je 7 6 = 5 dječaka Neka je u ukupan broj upisanih učenika razreda na početku školske godine, a m broj dječaka među njima Tada vrijedi m = 057u Tijekom godine, od ukupnog broja upisanih učenika razreda školu je napustilo djevojčica i 6 dječaka (ukupno 50 učenika) pa su na kraju školske godine 5 % upisanih učenika razreda bili dječaci Vrijedi: 05 (u 50) = m 6, odnosno 05 (u 50) = 057u 6 Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo: u = 00 Ukupan broj upisanih učenika razreda na početku školske godine bio je 00, od toga = 7 dječak i 00 7 = 9 djevojčica Na kraju školske godine bilo je 7 6 = 5 dječaka Prvi način: Traženo vrijeme je 5 sati + x sati, gdje je x < Za to vrijeme mala kazaljka prijeđe (5 + x) 0, jer za jedan sat prijeđe put koji odgovara kutu veličine 0 Velika kazaljka je u 5 sati bila na broju, što znači da će za još x sati prijeći put koji odgovara veličini kuta od x 60 Kad se kazaljke poklope, veličine kutova obiju kazaljki biti će iste: (5 + x) 0 = x 60 / : x = x x = 5 5 x sata Dobiveni x treba zapisati u minutama, sekundama: Kazaljke će se poklopiti u približno 5 sati 7 minuta i 6 sekunda U 5 sati mala kazaljka se nalazi na broju 5 (5 sati), a velika na (0 minuta) Neka je x vrijeme (u minutama) koje još treba proteći do prvog poklapanja kazaljki Velika kazaljka za 60 minuta prijeđe put koji odgovara punom kutu (60 ), a za jednu minutu 6 Mala kazaljka za 60 minuta prijeđe put koji odgovara kutu od 60 : = 0, a za jednu minutu 0 : 60 = 05 Za traženih x minuta mala kazaljka prijeđe put koji odgovara kutu od 05 x Za isto to vrijeme velika kazaljka će prijeći put koji odgovara kutu od 6 x, a koji je jednak kutu od 50 (od oznake do oznake 5 na satu) uvećanom za 05 x
12 7 razred Vrijedi: 6 x 05 x = Rješenje jednadžbe je x 7 (minuta) Vidi se da je 80 minute sekunda, odnosno 6 sekunda Kazaljke će se poklopiti u približno 5 sati 7 minuta i 6 sekunda Treći način: I velika i mala kazaljka sata kreću se stalnom (jednolikom) brzinom, što znači da između svaka dva njihova poklapanja protekne jednako vremena Budući da se u jednom -satnom ciklusu kazaljke poklope puta (svakih sat i nešto ) taj vremenski razmak moguće je dobiti dijeljenjem vremenskog razdoblja od sati na jednakih dijelova Kada sati podijelimo s, dobijemo sat i ostatak Taj ostatak od jednog sata pretvorimo u 60 minuta i ponovo dijelimo sa Rezultat je 5 minuta, a ostatak je također 5 Tih 5 minuta ostatka pretvorimo u 00 sekundi i dijelimo s Rezultat je 7 sekunda i ostatak Time smo dobili da se preklapanja velike i male kazaljke događaju svakih sat, 5 minuta, 7 sekundi i jedanaestine sekunde Iza 5 sati dogodit će se peto preklapanje kazaljki Ono će se dogoditi nakon 5 sati, 5 minuta, 5 sekunda (tj minute i 5 sekunda) i 5 jedanaestina sekunde (što je još jedna puna sekunda) Prvo preklapanje kazaljki sata iz 5 sati događa se približno u 5 sati, 7 minuta i 6 sekunda Prvi način: Označimo vrhove pravilnog dvanaesterokuta A, A, A, A, središte opisane (i upisane) kružnice sa S, duljinu stranice dvanaesterokuta s a, duljinu najkraće dijagonale s d, duljinu polumjera opisane kružnice s R i duljinu polumjera upisane kružnice s r A 8 A 7 A 9 A 6 k o k u A 5 A 0 S A A R r R a A a A A A
13 7 razred ( ) 80 Veličina unutarnjeg kuta pravilnog dvanaesterokuta je 50 Odaberimo jedan jednakokračan trokut s osnovicom duljine d i krakom duljine a, primjerice A A A i s P označimo polovište stranice A A A 5 a d P A a 5 A Tada možemo izračunati veličine kutova pravokutnog trokuta AA P : 50 PAA 75 A A P A A S je karakteristični trokut pravilnog dvanaesterokuta pa je ASA 60 : 0 S 5 5 R r R Neka je M nožište visine iz vrha S na osnovicu a, odnosno N nožište visine iz vrha A na krak 0 Vrijedi: A SM 5 MA S Uočimo da su PA A i MA S slični po KK poučku, Stoga vrijedi razmjer d d r : R : a, pa je ar R () R A NS je polovica jednakostraničnog trokuta pa je A N R P P A R A N 6 R R A S () ar S druge strane P 6ar Iz ovoga i () slijedi A a M N A
14 7 razred d P 6ar 6 R Rd () Iz () i () je R Rd, odnosno R d 0 cm P R 0 00 cm Površina pravilnog dvanaesterokuta je 00 cm Neka su A, A, A A i A vrhovi pravilnog dvanaesterokuta, S središte opisane (i upisane) kružnice, a R duljina polumjera opisane kružnice ( ) 80 Veličina unutarnjeg kuta pravilnog dvanaesterokuta je 50 A 8 A 7 A 6 A 9 A 0 A S A 5 A A A a P A A Neka je P sjecište dužine A A i dužine AS A A S je karakteristični trokut pravilnog dvanaesterokuta, pa je A SA 60 : 0 Kutovi uz osnovicu karakterističnog trokuta A S su sukladni, pa je A SAA AA S 80 0 : 75 A A A je jednakokračan trokut s osnovicom A A Kutovi uz osnovicu trokuta A A A su sukladni i veličine A AA A A A : 5 U trokutu AA P veličine dvaju kutova su 75 i 5, pa je treći kut veličine 90, odnosno A PA 90 Iz toga slijedi da su dužine A A i AS međusobno okomite U jednakokračnom trokutu AAS ( AS A S ) kutovi SAA i AAS su jednake veličine jer su to kutovi uz osnovicu i iznose svaki (80 60 ) : = 60 Dakle, AA je jednakostraničan sa stranicom duljine 0 cm S Iz toga slijedi i da je radijus R pravilnom dvanaesterokutu opisane kružnice također 0 cm Četverokut AA AS je četverokut s okomitim dijagonalama, pa je njegova površina jednaka 5
15 7 razred A A A S polovini umnoška duljina njegovih dijagonala, tj P A A A S odnosno P AA AS 0 0 = 50 cm U pravilnom dvanaesterokutu ima 6 sukladnih četverokuta površine 50 cm, pa je njegova površina 00 cm Treći način: Neka su A, A, A A i A vrhovi pravilnog dvanaesterokuta, S središte opisane kružnice, a točka N sjecište dužina A A i SA A 8 A 7 A 6 A 9 A 0 A S A 5 A A A a N A A Dužina A A je jedna od najkraćih dijagonala i vrijedi AA 0 cm A S je karakteristični trokut pravilnog dvanaesterokuta pa je A SA 60 : 0 A Tada je ASA 60 U jednakokračnom trokutu AAS ( AS A S ) kutovi SAA i AAS su jednake veličine jer su to kutovi uz osnovicu i iznose svaki (80 60 ) : = 60 Dakle, AA je jednakostraničan sa stranicom duljine 0 cm S Iz toga slijedi da je polumjer opisane kružnice AS 0 cm Četverokut AA AS je deltoid ( A A A A, AS AS ), pa su mu dijagonale okomite i uzdužna dijagonala SA raspolavlja poprečnu dijagonalu AA Dakle, točka N je polovište dužine A A, pa je A N A A 5 cm Tada je P( A A S) SA A N 05 5 cm, a površina dvanaesterokuta je 5 = 00 cm 6
16 7 razred 5 k A β α S β α B E 60 D Označimo veličinu središnjeg kuta ASB s α Onda je veličina njemu pripadnog obodnog kuta ADB jednaka Također, ako veličinu središnjeg kuta CSD označimo s β, onda je veličina C njemu pripadnog obodnog kuta CAD jednaka Sjecište dužina AC i BD označimo s E i promatramo ΔAED Veličina vanjskog kuta kod vrha E je 60 i jednaka je zbroju veličina unutarnjih kutova kod vrhova A i D Iz 60, slijedi α + β = 0 Promatramo ΔBCS Tada je CSB Kako je BS = CS, vrijedi BCS SBC Tada je veličina svakog od tih dvaju kutova jednaka: 80 CSB ΔBCS je jednakostraničan budući da su veličine svih triju kutova jednake 60 7
17 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, travnja-5travnja 07 8 razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN Prvi način: A a P F x P A 5 v E A y S A 6 A A Označimo: PP m, FE x, ES y, A5A a a Tada je površina šesterokuta A A A A A5 A 6 jednaka P6 6, a površina trokuta A P P je m( a x y) P PP m A5 E v i FE x a, jer je PP srednjica trokuta A5 A A ES y a, jer je y duljina katete nasuprot kutu od 0 u pravokutnom trokutu A5 ES s hipotenuzom duljine a Slijedi v a a a 7 a m ( a x y) a 7a P, pa je traženi omjer jednak: 6 7a a P: P6 : 6 : 6 6
18 8 razred A a P F x P A 5 v E A y S A 6 A A Neka je duljina stranica šesterokuta A A A A A5 A 6 jednaka a, tj AA a P i P su polovišta stranica trokuta A5 A A, pa je PP srednjica trokuta A5 A A Neka je točka E sjecište dužina AA 5 i AS, a točka F sjecište dužina PP i AS Tada vrijedi da je: a PP A5 A A5 E v Uočimo da je trokut PSP jednakostraničan trokut sa stranicama duljine Dužina FS je visina tog jednakostraničnog trokuta, pa vrijedi: a a FS v Tada je površina šesterokuta A A A A A5 A 6 jednaka a površina trokuta A P P je a P6 6, a a a a 7a 7a P PP FA a 6 Iz dobivenih površina slijedi da je traženi omjer jednak: 7a a P: P6 : 6 : 6 6 x y z, y z x 5, z x y 0 Iz rastavljanjem na faktore slijedi da je x y z x y z x y z y z x x y z z x y, 5, 0 Zbrojimo li sve tri jednadžbe vrijedi da je x y z x y z y z x z x y 6,
19 8 razred odnosno x y z 6, iz čega slijedi da x y z ili x y z slučaj: 5 0 Ako je x y z onda je x y z, y z x, z x y Dalje redom zbrajajući dvije po dvije jednadžbe dobije se: 6 y y x x z y 8 8 slučaj: 5 0 Ako je x y z onda je x y z, y z x, z x y Dalje redom zbrajajući dvije po dvije jednadžbe dobije se: 6 y y x x z y 8 8 Prvi način: Transformirajmo polaznu jednadžbu: m n p m q n + p q = p q, (m q) (n p) = p q Iz toga slijedi da m q i n p moraju biti istog predznaka Također, očito je m q i n p, jer je p q > 0 Iz polazne jednadžbe slijedi da ne može biti m < q i n < p Naime, kada bi to bio slučaj, onda bi iz polazne jednadžbe slijedilo m n = p m + q n > m n + m n = m n, odnosno m n < 0, što je u suprotnosti s pretpostavkom da su m i n prirodni brojevi Dakle, m q i n p moraju biti pozitivni*, te imamo četiri mogućnosti: m q = pq, n p =, () m q = p, n p = q, () m q = q, n p = p, () m q =, n p = pq () Iz () dobivamo rješenje (m, n) = (pq + q, p + ), iz () dobivamo rješenje (m, n) = (p + q, p + q), iz () dobivamo rješenje (m, n) = (q, p), a iz () dobivamo rješenje (m, n) = (q +, pq + p) *Napomena: Učenica/učenik ne mora odmah uočiti da može eliminirati slučajeve kada su m q i n p negativni U tom će slučaju imati osam umjesto četiri slučaja, ali svi slučajevi kad su m q i n p negativni neće rezultirati rješenjem
20 8 razred Riješimo jednadžbu po varijabli m: qn m n p Dalje imamo: qn pq pq q( n p) pq pq m q n p n p n p n p Kao u prethodnom načinu rješavanja, zaključujemo da su m q i n p pozitivni** Zato imamo četiri mogućnosti: n p =, () n p = q, () n p = p, () n p = pq () Iz () dobivamo rješenje (m, n) = (pq + q, p + ), iz () dobivamo rješenje (m, n) = (p + q, p + q), iz () dobivamo rješenje (m, n) = (q, p), a iz () dobivamo rješenje (m, n) = (q +, pq + p) **Napomena: Kao i u prvom načinu rješavanja, učenica/učenik ne mora odmah uočiti da može eliminirati slučajeve kada su m q i n p negativni U tom će slučaju imati osam umjesto četiri slučaja, ali svi slučajevi kad su m q i n p negativni neće rezultirati rješenjem C T S R T S S A T H T B Neka je T točka dirališta kružnice upisane trokutu ΔAHC i stranice AC, a T točka dirališta kružnice upisane trokutu ΔAHC i stranice AH Promotrimo pravokutne trokute AST i ATS Oni imaju zajedničku hipotenuzu AS, sukladne prave kutove ST A AT S i jednake duljine stranica ST ST Dakle trokuti AST i ATS su sukladni po teoremu SSK, stoga je AT AT Promotrimo pravokutne trokute CTS i CSR Oni imaju zajedničku hipotenuzu CS, sukladne prave kutove CT S S RC i jednake duljine stranica ST SR Dakle trokuti ΔCT S i ΔCS R su sukladni po teoremu SSK, stoga je T C = RC
21 8 razred Zatim, T H = RH jer su obje duljine duljine polumjera iste kružnice Sada imamo AC = AT + T C = AT + RC = AH T H + CH RH = AH + CH RH Odatle slijedi RH = ( AH + CH AC ) = ( AH + CH 07) () Analogno, pomoću T i T, dobivamo SH = ( BH + CH BC ) = ( BH + CH 06) () Prema Pitagorinom poučku imamo 07 AH = CH = 06 BH, odakle slijedi AH BH = 07 06, odnosno AH BH = (07 06)(07 06) 0 Konačno, iz (), () i () slijedi AH BH AB RS = RH SH = ( AH BH ) = () 08 5 Ukupno je upućeno 0 0 = 00 poruka, a parova učenika ima Zato barem = 0 poruka mora biti poslano između istih parova učenika pa je najmanji mogući broj obostranih poruka barem 0 Konstruirajmo sada raspored poslanih poruka tako da je broj obostranih poruka točno 0 Neka su učenici poredani ukrug i neka je svatko poslao poruku deset učenika koji se nalaze u krugu nakon njega u smjeru kazaljke na satu Uočimo da će u tom rasporedu slanja poruka samo učenici koji su jedan nasuprot drugoga (dijametralno suprotni) poslati obostrane poruke (Svaka točka predstavlja jednog učenika, a orijentirana dužina jednostranu poruku) Time je konstruiran traženi raspored poruka za koje je broj obostranih poruka točno 0 Iz navedenog možemo zaključiti da je najmanji mogući broj obostranih poruka jednak 0 5
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 24. siječnja razred rješenja
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. siječnja 011. 4. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN..
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραOp cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje Općinsko (gradsko) natjecanje je prvi stupanj natjecanja koji se organizira po jedinstvenim kriterijima Državnog povjerenstva za matematička natjecanja. Godine 1996. ono je održano
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραOpćinsko natjecanje. 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u 1998. godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja,
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 1. Na pitanje koliko
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 007. 1. Izračunaj:
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 2013.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERE- NSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 2009.
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 009. Zadatak A-.. Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 27. siječnja 2014.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 7. siječnja 014. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007. Zadatak
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi o trokutu
1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo. 29. siječnja 2009.
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnja 009. UPUTE: Na poledini
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραProširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu
Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραKut je skup točaka ravnine odre - den dvama polupravcima sa. Polupravci a i b su krakovi kuta, a njihov zajednički početak V je vrh kuta.
UDŽBENIK 2. dio Pojam kuta Dva polupravca sa zajedničkim početkom dijele ravninu na dva dijela (jače naglašeni i manje naglašeni dio). Svaki od tih dijelova zajedno s polupravcima zove se kut. Da bi se
Διαβάστε περισσότεραIZBORNO NATJECANJE prvi dio rješenja zadataka
IZBORNO NATJECANJE 2010. prvi dio rješenja zadataka Zadatak 1. Postoji li funkcija f : N N za koju vrijedi f(f(n)) = f(n + 1) f(n) za svaki n N? Prvo rješenje. Pretpostavimo da postoji tražena funkcija.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. siječnja 007.. U brojevnom
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα