Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ"

Transcript

1 Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπως π.χ. να γενικεύσει τον ορισμό της παραλληλότητας καθώς και διαφόρων άλλων μαθηματικών εννοιών, όπως αυτές ορίζονται στην Ευκλείδειο Γεωμετρία. Τα βασικά σημεία της Γενικευμένης Γεωμετρίας, είναι τα εξής: 1. Η έννοια της παραλληλότητας (όπως αυτή ορίζεται στην Ευκλείδειο Γεωμετρία) στη Γενικευμένη Γεωμετρία, επεκτείνεται και συμπεριλαμβάνει οποιοδήποτε σημειοσύνολο, (σημείο, σχήμα, κ.λ.π.). Έτσι π.χ. μερικές αδυναμίες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι οι εξής: a. Εάν υποθέσουμε ότι, π.χ. στο επίπεδο, έχουμε ένα σημείο Α και ένα άλλο σημείο Μ εκτός αυτού, τότε σύμφωνα με την Ευκλείδειο Γεωμετρία, δεν υπάρχει ο τρόπος με τον οποίο, από το σημείο Μ να φέρουμε παράλληλο προς το σημείο Α. b. Εάν υποθέσουμε ότι, π.χ. στο επίπεδο, έχουμε ένα τρίγωνο ABC και ένα σημείο Μ εκτός αυτού, τότε σύμφωνα με την Ευκλείδειο Γεωμετρία, δεν υπάρχει ο τρόπος με τον οποίο από το σημείο Μ να φέρουμε παράλληλο προς το τρίγωνο ABC. c. Ας υποθέσουμε ότι, π.χ. στο επίπεδο, έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ένα σημείο Μ εκτός αυτού. Τότε, όπως είναι γνωστό, σύμφωνα με την Ευκλείδειο Γεωμετρία, από το σημείο Μ, φέρεται μία και μόνο μία παράλληλος προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ (το γνωστό μας Ευκλείδειο αίτημα). Αντίθετα όμως, σύμφωνα με τη Γενικευμένη Γεωμετρία, από το σημείο Μ, φέρονται άπειρες παράλληλες προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Εκτός από τις παραπάνω αυτές τρεις περιπτώσεις (a), (b) και (c), μπορούμε να αναφέρουμε και πολλές άλλες περιπτώσεις αδυναμιών της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, σε ότι αφορά την έννοια της παραλληλότητας. Συνεπώς, όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω, η έννοια της παραλληλότητας, όπως αυτή ορίζεται στην Ευκλείδειο Γεωμετρία, είναι μία μερική περίπτωση της έννοιας της παραλληλότητας, όπως αυτή ορίζεται στη Γενικευμένη Γεωμετρία. 2. Όπως είναι γνωστό, στην Ευκλείδειο Γεωμετρία, οι κορυφές των διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων (π.χ. τριγώνου, τετράπλευρο, κ.λ.π.) είναι γεωμετρικά σημεία, (ήτοι, είναι μονομελή σημειοσύνολα). Αντίθετα, στη Γενικευμένη Γεωμετρία, οι κορυφές των διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων, μπορούν να είναι διάφορα σημειοσύνολα (ευθείες, περιφέρειες κύκλων, ευθύγραμμα τμήματα, κ.λ.π.). Τα γεωμετρικά αυτά σχήματα θα τα ονομάζουμε, γενικευμένα γεωμετρικά σχήματα, π.χ. γενικευμένο τρίγωνο, γενικευμένο τετράγωνο, κ.λ.π. Συνεπώς, τα γνωστά μας γεωμετρικά σχήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, είναι μια μερική περίπτωση των γενικευμένων γεωμετρικών σχημάτων της Γενικευμένης Γεωμετρίας.

2 3. Όπως θα δούμε παρακάτω, η Γενικευμένη Γεωμετρία, προβαίνει σε μια επέκταση των γνωστών Ευκλείδειων και μη Ευκλείδειων χώρων. Συνεπώς, οι γνωστοί μας Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειοι χώροι, είναι μια μερική περίπτωση των Γενικευμένων Ευκλείδειων και μη Ευκλείδειων χώρων της Γενικευμένης Γεωμετρίας. Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Όπως αναφέραμε παραπάνω, ο «ακρογωνιαίος λίθος» της Γενικευμένης Γεωμετρίας, είναι ο νέος ορισμός της έννοιας της παραλληλότητας. Ο ορισμός αυτός, έχει ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ: Δύο οποιαδήποτε σημειοσύνολα Α και Β (στο επίπεδο ή στο χώρο) και σε οποιονδήποτε χώρο (Ευκλείδειο ή μη Ευκλείδειο) είναι παράλληλα, τότε και μόνο τότε, όταν, κάθε σημείο του σημειοσυνόλου Α απέχει από το σημειοσύνολο Β την ίδια απόσταση d και αντιστρόφως, κάθε σημείο του σημειοσυνόλου Β απέχει από το σημειοσύνολο Α την ίδια επίσης απόσταση d. Τα σημειοσύνολα Α και Β μπορούν να είναι οτιδήποτε σημειοσύνολα (μονομελή, πολυμελή, συνεκτικά, μη συνεκτικά, ανοικτά, κλειστά, συμπαγή, κ.λ.π.). Ο παραπάνω αυτός νέος ορισμός της παραλληλότητας, συμπληρώνει πολλά «κενά» της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και παίζει, βασικότατο ρόλο στην όλη δομή της Γενικευμένης Γεωμετρίας. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΗΜΕΙΟΣΥΝΟΛΩΝ Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, τα σημειοσύνολα χωρίζονται στις παρακάτω τρεις κατηγορίες: 1. Παράλληλα σημειοσύνολα. 2. Τεμνόμενα σημειοσύνολα. 3. Ασύμβατα σημειοσύνολα. Ορισμός Ι: Δύο σημειοσύνολα Α και Β είναι παράλληλα, όταν γι αυτά ισχύει ο ορισμός των παραλλήλων σημειοσυνόλων που αναφέραμε παραπάνω. Ορισμός ΙΙ: Δύο σημειοσύνολα Α και Β είναι τεμνόμενα, όταν έχουν τουλάχιστο ένα κοινό σημείο. (Σημείωση: Στη Γενικευμένη Γεωμετρία τα εφαπτόμενα σημειοσύνολα, είναι τεμνόμενα σημειοσύνολα, σύμφωνα με τον ορισμό αυτό). Ορισμός ΙΙΙ: Δύο σημειοσύνολα Α και Β είναι ασύμβατα, όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και δεν είναι παράλληλα.

3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Α. Παράλληλα σημειοσύνολα, είναι: 1. Δύο σημεία Α και Β του επιπέδου, σχ. 1. σχ Τα άκρα Α και Β, ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, σχ. 2 σχ Το κέντρο Α ενός κύκλου και η περιφέρεια του Β, σχ. 3 σχ Οι απέναντι πλευρές ΑΒ και CD ενός τετραγώνου ABCD, σχ. 4

4 σχ Οι περιφέρειες Α και Β δύο ομοκέντρων κύκλων, σχ. 5 σχ Οι επιφάνειες Α και Β δύο ομοκέντρων σφαιρών, σχ. 6 σχ Δύο παράλληλες ευθείες Α και Β του επιπέδου, σχ. 7 σχ Οι τρεις κορυφές Α, Β, C ενός ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒC, είναι μεταξύ τους παράλληλες, σχ. 8 σχ. 8

5 9. Στα παρακάτω σχήματα, τα σημειοσύνολα Α και Β είναι παράλληλα μεταξύ τους, σχ. 9 σχ. 9 Και διάφορα άλλα πολλά παράλληλα σημειοσύνολα Α και Β, που μπορούμε να αναφέρουμε.

6 Β. Τεμνόμενα σημειοσύνολα. 1. Δύο αλληλοκαλυπτόμενα συμπαγή σημειοσύνολα Α και Β, σχ. 10 σχ Οι περιφέρειες Α και Β δύο τεμνόμενων ή εφαπτόμενων κύκλων, σχ. 11 σχ Δύο τεμνόμενες ευθείες Α και Β, σχ. 12 σχ Το κάλυμμα C ενός κλειστού ευθύγραμμου τμήματος [ΑΒ] και το σημείο Α, σχ. 13 σχ Το κάλυμμα C ενός κύκλου και το σύνορο του (η περιφέρειά του) Β, σχ. 14 σχ. 14

7 6. Στον άξονα ox των πραγμάτων αριθμών το κλειστό διάστημα Α = [1,10] και το κλειστό διάστημα Β = [4,15], σχ. 15 σχ. 15 Και διάφορα άλλα πολλά τεμνόμενα σημειοσύνολα, που μπορούμε να αναφέρουμε. C. Ασύμβατα σημειοσύνολα, είναι: 1. Στο επίπεδο μία ευθεία Α και ένα σημείο Β, εκτός αυτής, σχ. 16 σχ Στο επίπεδο οι απέναντι πλευρές ΑΒ και CD ενός παραλληλογράμμου ABCD, σχ. 17. (Σημείωση: Στην Ευκλείδειο Γεωμετρία οι πλευρές ΑΒ και CD θεωρούνται παράλληλες, ενώ σύμφωνα με τον ορισμό της παραλληλότητας της Γενικευμένης Γεωμετρίας, οι πλευρές ΑΒ και CD δεν είναι παράλληλες). σχ Στο επίπεδο, η περιφέρεια Α μιας έλλειψης και μία εστία Β αυτής, σχ. 18 σχ. 18

8 4. Το σύνορο (η περιφέρεια) Α ενός κύκλου και το εσωτερικό του Β, σχ. 19 σχ Στον άξονα του ox πραγμάτων αριθμών το κλειστό διάστημα Α = [5,8] και το σύνολο Β, όλων των όρων της ακολουθίας a n =5n-1, σχ Δύο όμοια τρίγωνα Α και Β, σχ. 21 σχ. 20 σχ. 21 Και άλλα πολλά παραδείγματα, ασύμβατων συνόλων που μπορούμε να αναφέρουμε. ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Το θεμελιώδες θεώρημα της Γενικευμένης Γεωμετρίας, έχει ως εξής: ΘΕΩΡΗΜΑ Από ένα σημείο Μ, το οποίο βρίσκεται εκτός ενός σημειοσυνόλου Α ή δεν φέρεται ποτέ καμία παράλληλος (Ν = 0) ή φέρεται μία και μόνο μία (Ν = 1) ή φέρονται άπειρες παράλληλες ( = ), προς αυτό. N Απόδειξη Ας πάρουμε το σύνολο S όλων των σημειοσυνόλων. Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό των παραλλήλων σημειοσυνόλων που αναφέραμε στα προηγούμενα:

9 1. Υπάρχουν σημειοσύνολα, στα οποία δεν μπορούμε ποτέ να φέρουμε παράλληλο προς αυτά από ένα σημείο Μ. (π.χ. όταν το σημείο Μ βρίσκεται στο εσωτερικό (κυρτό) μέρος μιας γωνίας x oy του επιπέδου) και διάφορα άλλα παραδείγματα. 2. Υπάρχουν σημειοσύνολα, στα οποία μπορούμε να φέρουμε, μία και μόνο μία παράλληλο προς αυτά από ένα σημείο Μ. (π.χ. όταν στο επίπεδο, το σημείο Μ βρίσκεται εκτός μίας ευθείας x x, (το γνωστό αίτημα του Ευκλείδη)) και διάφορα άλλα παραδείγματα. 3. Υπάρχουν σημειοσύνολα στα οποία μπορούμε να φέρουμε άπειρες παράλληλες προς αυτά από ένα σημείο Μ. (π.χ. όταν στο επίπεδο το σημείο Μ βρίσκεται εκτός, ενός σημείου Α, οπότε στη περίπτωση αυτή (σύμφωνα με τα γνωστά), τα άπειρα τόξα κύκλου, ο οποίος γράφεται με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα R = (MA) είναι παράλληλες προς το σημείο Α). Συνεπώς, μετά τα παραπάνω, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι, υπάρχουν σημειοσύνολα, τα οποία δεν δέχονται ποτέ καμία παράλληλο (Ν = 0), υπάρχουν σημειοσύνολα τα οποία δέχονται μία και μόνο μία παράλληλο (Ν = 1) και τέλος υπάρχουν σημειοσύνολα, τα οποία δέχονται άπειρες παράλληλες ( N = ). Θα αποδείξουμε τώρα ότι: Ένα σημειοσύνολο Α από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός αυτού, όταν δέχεται περισσότερες από μία παράλληλες (Ν > 1) τότε θα δέχεται άπειρες παράλληλες ( N = ). Ας υποθέσουμε σχ. 22, ότι στο επίπεδο έχουμε ένα σημειοσύνολο Α, (π.χ. μία ημικαμπύλη ox), το οποίο από ένα σημείο Μ που βρίσκεται εκτός αυτού, δέχεται περισσότερες από μία παράλληλες, (Ν > 1). σχ. 22 Αφού λοιπόν, το σημειοσύνολο Α δέχεται περισσότερες από μία (Ν > 1) παράλληλες θα δέχεται υποχρεωτικά, τουλάχιστον δύο (Ν = 2), παράλληλες. Έστω λοιπόν, ότι η μία παράλληλος είναι η ημικαμπύλη B 1 x και η δεύτερη παράλληλος είναι η ημικαμπύλη B 2 x.

10 Στην περίπτωση αυτή, επειδή οι δύο παράλληλες B 1 x και B 2 x είναι διαφορετικές (δηλαδή δεν ταυτίζονται), τότε η μία παράλληλος είναι υποσύνολο της άλλης παραλλήλου. Συνεπώς θα υπάρχει ένα σημειοσύνολο S = (B 2 B 1 ) το οποίο θα ανήκει στη παράλληλο B 2 x και δεν θα ανήκει στην παράλληλο B 1 x. Επειδή όμως, το σημειοσύνολο S, αποτελείται από άπειρα σημεία B 1, B 2, B 3 τα οποία ανήκουν στην παράλληλο B 2 x, αυτό συνεπάγεται ότι, από το σημείο Μ φέρονται άπειρες παράλληλες προς το σημειοσύνολο Α, ήτοι οι παράλληλες B x, B x 1 2, B 3x,... Συνεπώς, από το σημείο Μ, όταν φέρονται περισσότερες από μία (Ν > 1), παράλληλες, τότε θα φέρονται υποχρεωτικά άπειρες παράλληλες προς το σημειοσύνολο Α. Άρα λοιπόν, μετά τα παραπάνω αποδείχθηκε το δοθέν θεώρημα, ήτοι: Από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός ενός σημειοσύνολου Α, ή δεν φέρεται ποτέ καμία παράλληλος (Ν = 0) ή φέρεται μία και μόνο μία παράλληλος (Ν = 1) ή φέρονται άπειρες παράλληλες (N = ), προς αυτό. Επίσης, άμεση συνέπεια του θεωρήματος αυτού, είναι το θεώρημα, ότι: ΘΕΩΡΗΜΑ: Από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός ενός σημειοσυνόλου Α δεν μπορούμε ποτέ να φέρουμε ένα συγκεκριμένο αριθμό Ν παραλλήλων, όπου Ν = ακέραιος και θετικός αριθμός (Ν > 1). Μετά τα παραπάνω, μπορούμε τώρα να διατυπώσουμε τα παρακάτω θεωρήματα, οι αποδείξεις των οποίων είναι πολύ απλές: ΘΕΩΡΗΜΑ: Στο επίπεδο από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό, ενός κυρτού ευθυγράμμου σχήματος (π.χ. εντός πενταγώνου), δεν φέρεται ποτέ παράλληλος (Ν = 0) προς την περίμετρό του. ΘΕΩΡΗΜΑ: Στο επίπεδο από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός (στο μη κυρτό μέρος) μιας γωνίας x oy, φέρεται μία και μόνο μία (Ν = 1) παράλληλος Α προς αυτή, σχ. 23. σχ. 23

11 ΘΕΩΡΗΜΑ: Στο επίπεδο από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ φέρονται άπειρες παράλληλες (N = ) προς αυτό, ήτοι οι παράλληλες A 1 x, A 2 x, A 3 x, A 4 x,, σχ. 24. Από τις άπειρες αυτές παράλληλες, μόνο μία είναι κλειστή παράλληλος η C και καμία άλλη. σχ. 25. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο θεώρημα αυτό φαίνεται καθαρά η διαφορά μεταξύ της Ευκλείδειας και της Γενικευμένης Γεωμετρίας, διότι σύμφωνα με την Ευκλείδεια Γεωμετρία, από ένα σημείο Μ που βρίσκεται, εκτός ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, φέρεται μία και μόνο μία παράλληλος προς αυτό (το γνωστό αίτημα του Ευκλείδη). Αντίθετα όμως, στη Γενικευμένη Γεωμετρία το αίτημα αυτό του Ευκλείδη για το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ δεν ισχύει. σχ. 24 σχ. 25 και διάφορα άλλα πολλά θεωρήματα που μπορούμε να αναφέρουμε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. Δίδεται στο χώρο μια ευθεία x x και ένα σημείο Μ εκτός αυτής, το οποίο απέχει από την ευθεία x x απόσταση d. Στη περίπτωση αυτή, από το σημείο Μ, φέρονται άπειρες παράλληλες (N = ), προς την ευθεία x x. Οι άπειρες αυτές παράλληλες (επιφάνειες) είναι υποσύνολα της κλειστής επιφάνειας του κυλίνδρου, ο οποίος έχει άξονα την ευθεία x x και ακτίνα R = d. 2. Από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εντός μιας κωνικής (κύκλου, έλλειψης, παραβολής, υπερβολής), μπορεί να φέρεται αλλά μπορεί και να μην φέρεται παράλληλος προς αυτή. Αυτό εξαρτάται από την απόσταση d του σημείου Μ από την περιφέρειά τους (το σύνορό τους). 3. Από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό ενός κύβου, πυραμίδος, τετραέδρου, κ.λ.π. δεν φέρεται ποτέ παράλληλος προς την επιφάνειά τους.

12 4. Στο επίπεδο από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός, ενός συμπαγούς σημειοσυνόλου (π.χ. δίσκου S) δεν φέρεται ποτέ παράλληλος προς το κάλυμμά του ή το εσωτερικό του. Ενώ αντίθετα, (όταν φέρεται), φέρεται μία και μόνο μία παράλληλο προς το σύνορό του C η οποία είναι πάντοτε κλειστή παράλληλος, σχ. 26. σχ Σε ένα κανονικό τετράεδρο ABCD, η κάθε κορυφή του, είναι παράλληλος προς το σημειοσύνολο των υπολοίπων τριών άλλων κορυφών του, σχ. 26 (α) σχ. 26 (α) 6. Δύο τοπολογικές επιφάνειες Α και Β διαφορετικού γένους n δεν μπορεί ποτέ να είναι παράλληλες μεταξύ τους, σχ. 27. σχ. 27

13 7. Στο επίπεδο δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα Α και Β, δεν μπορεί ποτέ να είναι παράλληλα μεταξύ τους. π.χ. δύο όμοια τρίγωνα Α και Β, σχ. 28 σχ. 28 και διάφορα άλλα πολλά παραδείγματα που μπορούμε να αναφέρουμε. Επίσης, ένα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα της Γενικευμένης Γεωμετρίας είναι, το εξής: ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δίδεται στο επίπεδο, σχ. 28 (a) μία λεία και συνεχής καμπύλη C, με άκρα Α και Β. Ζητείται να βρεθεί ποια είναι η μέγιστη απόσταση d max ενός σημείου Μ του επιπέδου, που βρίσκεται εκτός της καμπύλης C από το οποίο μπορούμε να φέρουμε τη κλειστή παράλληλο προς την καμπύλη C. σχ. 28 (a) ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Ας πάρουμε για λόγους απλότητας την Ευκλείδεια Γεωμετρία του Επιπέδου. Όπως είναι γνωστό, στην Ευκλείδεια Γεωμετρία ένα ευθύγραμμο σχήμα (κυρτό), ορίζεται από τις κορυφές του Α, Β, Γ, Δ,. Ν, οι οποίες είναι σημεία, δηλαδή μονομελή σημειοσύνολα. Αντίθετα, στη Γενικευμένη Γεωμετρία, οι κορυφές των γενικευμένων ευθύγραμμων γεωμετρικών σχημάτων, μπορούν να είναι οποιοδήποτε σημειοσύνολο π.χ. μονομελές, πολυμελές, συνεκτικό, μη συνεκτικό, συμπαγές, μη συμπαγές, κ.λ.π.

14 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟ Ας λάβουμε π.χ. στο επίπεδο τρία σημειοσύνολα, ήτοι μία έλλειψη Α, ένα ευθύγραμμο τμήμα Β και μία παραβολή C, τα οποία είναι ασύμβατα μεταξύ τους. Στη Γενικευμένη Γεωμετρία τα τρία αυτά σημειοσύνολα Α, Β, C ορίζουν, ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC, με πλευρές a, b, c σχ. 29. σχ. 29

15 Στο σχ. 30 βλέπουμε διάφορα γενικευμένα τρίγωνα ABC με τις πλευρές τους a, b, c.

16

17 σχ. 30

18 ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΝΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Τα στοιχεία ενός γενικευμένου τριγώνου ABC, είναι αντίστοιχα, με τα στοιχεία ενός Ευκλείδειου τριγώνου. Αναλυτικά, τα στοιχεία αυτά είναι τα εξής: 1. Πλευρές, σχ. 31 a. Η απόσταση μεταξύ των σημειοσυνόλων (κορυφών) Α και Β, ορίζουν την πλευρά c. b. Η απόσταση μεταξύ των κορυφών B και C, ορίζουν την πλευρά a. c. Η απόσταση μεταξύ των κορυφών C και Α, ορίζουν την πλευρά b. 2. Διάμεσοι, σχ. 32 σχ. 31 a. Η απόσταση από την κορυφή Α και το μέσον Μ 1 της πλευράς a, ορίζουν την διάμεσο μ a. b. Η απόσταση από την κορυφή Β και το μέσον Μ 2 της πλευράς b, ορίζουν την διάμεσο μ b. c. Η απόσταση από την κορυφή C και το μέσον Μ 3 της πλευράς c, ορίζουν την διάμεσο μ c. 3. Ύψη, σχ. 33 σχ. 32 a. Η απόσταση από την κορυφή Α και την ευθεία που ορίζεται από την πλευρά a, είναι το ύψος U a. b. Η απόσταση από την κορυφή B και την ευθεία που ορίζεται από την πλευρά b, είναι το ύψος U b.

19 c. Η απόσταση από την κορυφή C και την ευθεία που ορίζεται από την πλευρά c, είναι το ύψος U c. σχ Γωνίες, σχ. 34 a. Η προέκταση των πλευρών b και c, ορίζουν την γωνία της κορυφής A. b. Η προέκταση των πλευρών c και a, ορίζουν την γωνία της κορυφής B. c. Η προέκταση των πλευρών a και b, ορίζουν την γωνία της κορυφής C. 5. Διχοτόμοι, σχ. 35 σχ. 34 a. Το ευθύγραμμο τμήμα, που κείται επί της διχοτόμου της γωνίας A και περιέχεται μεταξύ της κορυφής Α και της ευθείας που ορίζεται από την πλευρά a, είναι η διχοτόμος δ a. b. Το ευθύγραμμο τμήμα, που κείται επί της διχοτόμου της γωνίας B και περιέχεται μεταξύ της κορυφής Β και της ευθείας που ορίζεται από την πλευρά b, είναι η διχοτόμος δ b.

20 c. Το ευθύγραμμο τμήμα, που κείται επί της διχοτόμου της γωνίας C και περιέχεται μεταξύ της κορυφής C και της ευθείας που ορίζεται από την πλευρά ac, είναι η διχοτόμος δ c. 6. Εμβαδόν, σχ. 36 σχ. 35 Το χωρίο το οποίο περιέχεται μεταξύ των κορυφών Α, Β, C και των πλευρών a, b, c είναι το εμβαδόν Ε. σχ Εγγεγραμμένος κύκλος, σχ. 37 Ο κύκλος του οποίου η περιφέρεια του p, εφάπτεται και των τριών ευθειών που ορίζονται από τις πλευρές a, b, c είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος.

21 σχ Περιγεγραμμένος κύκλος, σχ. 37 Ο κύκλος του οποίου η περιφέρειά του p, διέρχεται από τα σημεία τομής A 1, B1, C1 των ευθειών E 1, E2, E3 οι οποίες ορίζονται αντιστοίχως από τις πλευρές a, b, c είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος. 9. Παρεγγεγραμμένος κύκλος, σχ. 37 a. Ο κύκλος του οποίου η περιφέρεια του p, εφάπτεται της ευθείας Ε 1 που ορίζεται από την πλευρά a και οι ευθείες Ε 2 και Ε 3 είναι εξωτερικές εφαπτόμενες αυτής, είναι ο παρεγγραμμένος κύκλος της πλευράς a. b. Αντίστοιχα, το ίδιο ισχύει και για τον παρεγγεγραμμένο κύκλο της πλευράς b και της πλευράς c. ΑΞΙΟΛΟΓΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε παραπάνω, ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC, είναι: 1. a. Ορθογώνιο, όταν η μία γωνία του είναι ορθή. b. Ισόπλευρο, όταν και οι τρεις πλευρές του a, b, c είναι ίσες ήτοι a = b = c. c. Ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές ίσες. 2. Όπως είναι γνωστό, στην Ευκλείδεια Γεωμετρία ένα τρίγωνο ABC, έχει τρεις πλευρές, τρία ύψη, τρεις διαμέσους, τρεις διχοτόμους κ.λ.π. Αντίθετα στα γενικευμένα τρίγωνα ABC αυτό δεν ισχύει πάντοτε και μπορεί να έχουμε περισσότερες από τρεις πλευρές, ύψη, διαμέσους, διχοτόμους, κ.λ.π. 3. Στην Ευκλείδειο Γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ABC το εμβαδόν του Ε είναι πάντοτε θετικός αριθμός διάφορος του μηδενός, E 0. Αντίθετα στα γενικευμένα τρίγωνα αυτό δεν ισχύει πάντοτε και μπορεί να έχουμε ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι πλευρές του να είναι όλες μηδέν, ήτοι a = b = c = 0 και το εμβαδόν του να είναι διάφορο του μηδενός, Ε > 0, (π.χ. τρεις περιφέρειες κύκλων A, B, C οι οποίες εφάπτονται εξωτερικώς). 4. Τα διάφορα θεωρήματα, πορίσματα, ιδιότητες κ.λ.π. που ισχύουν σε ένα ευκλείδειο τρίγωνο ABC, είναι μερική περίπτωση των αντιστοίχων θεωρημάτων, πορισμάτων, ιδιοτήτων, κ.λ.π. που ισχύουν σε ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC.

22 Δηλαδή, τα θεωρήματα, πορίσματα, ιδιότητες κ.λ.π. που ισχύουν σε ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC, εάν οι κορυφές A, B, C του γενικευμένου τριγώνου ABC γίνουν σημεία (δηλ. μονομελή σημειοσύνολα), τότε προκύπτουν αμέσως τα αντίστοιχα θεωρήματα, πορίσματα, ιδιότητες, κ.λ.π. των γνωστών ευκλείδειων τριγώνων. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΠΟΛΥΠΛΕΥΡΑ Διαγώνιος: Η απόσταση μεταξύ δύο μη διαδοχικών πλευρών είναι η αντίστοιχη διαγώνιος του Γενικευμένου πολυπλεύρου. Στο σχ. 38, βλέπουμε τις διαγώνιες, ενός τετραπλεύρου. ABCD και ενός πενταπλεύρου ABCDE. σχ. 38 ΙΣΟΤΗΤΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Ορισμός: Δυο γενικευμένων ευθύγραμμα σχήματα (τρίγωνα, τετράπλευρα, κ.λ.π.) είναι ίσα, όταν το ένα τιθέμενο επί του άλλου, όλα τα στοιχεία τους ταυτίζονται ένα προς ένα. ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Ορισμός: Δύο γενικευμένα ευθύγραμμα σχήματα (τρίγωνα, τετράπλευρα, κ.λ.π.) είναι όμοια, όταν όλα τα γεωμετρικά στοιχεία του ενός είναι όμοια προς τα αντίστοιχα γεωμετρικά στοιχεία του άλλου και οι αντίστοιχες γωνίες τους, είναι ίσες μεταξύ τους. ΑΝΑΓΩΓΑ ΚΑΙ ΜΗ ΑΝΑΓΩΓΑ ΣΗΜΕΙΟΣΥΝΟΛΑ Ορισμός: Ένα οποιοδήποτε σημειοσύνολο Α του επιπέδου θα το ονομάζουμε ανάγωγο, όταν δεν υπάρχει κανένα σημείο Μ του επιπέδου από το οποίο μπορούμε να φέρουμε παράλληλο προς το σημειοσύνολο Α. Στο σχ. 39 βλέπουμε διάφορα ανάγωγα σημειοσύνολα Α.

23 σχ. 39 Ορισμός: Ένα οποιοδήποτε σημειοσύνολο Α του επιπέδου θα το ονομάζουμε μη ανάγωγο, όταν υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ του επιπέδου από το οποίο μπορούμε να φέρουμε παράλληλο προς το σημειοσύνολο Α. Στο σχ. 40 βλέπουμε διάφορα μη ανάγωγα σημειοσύνολα Α. σχ. 40 ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Ορισμός: Στο επίπεδο την κλειστή παράλληλο C o που φέρεται από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός, ενός ευθυγράμμου ευκλείδειου σχήματος D o θα την ονομάζουμε, παράλληλο γενικευμένο σχήμα C o του σχήματος D o. Στο σχ. 41, βλέπουμε διάφορα παράλληλα γενικευμένα σχήμα C o των ευκλείδειων σχημάτων D o.

24 σχ. 41 Ορισμός: Οι κορυφές ενός γενικευμένου παράλληλου σχήματος C o, είναι τα καμπύλα τμήματα της κλειστής παραλλήλου C o, τα οποία αντιστοιχούν στις κορυφές του ευκλείδειου ευθυγράμμου σχήματος D o, π.χ. τα τόξα A, B, C είναι οι κορυφές του παράλληλου γενικευμένου τριγώνου A B C, κ.λ.π. Τα παράλληλα γενικευμένα σχήματα παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη Γενικευμένη Γεωμετρία. Έτσι π.χ. στα γενικευμένα τρίγωνα A B C, (C o ) του σχ. 41, βρίσκοντας όλα τα γεωμετρικά του στοιχεία) π.χ. πλευρές, ύψη, διαμέσους, κ.λ.π.) τα συγκρίνουμε με τα αντίστοιχα γεωμετρικά στοιχεία του ευκλείδειου τριγώνου ABC, (D o ) και βρίσκουμε τις μεταξύ τους σχέσεις. Στο σημείο αυτό μπορούμε να πούμε ότι, τα παράλληλα γενικευμένα σχήματα, είναι η «γέφυρα» μεταξύ της Ευκλειδείου και της Γενικευμένης Γεωμετρίας. Τέλος, στα παράλληλα γενικευμένα σχήματα, μπορούμε να διατυπώσουμε διάφορα ενδιαφέροντα θεωρήματα, πορίσματα, ιδιότητες, κ.λ.π. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Αντίστοιχα με αυτά που αναφέραμε για την Γενικευμένη Γεωμετρία του επιπέδου, ισχύουν και για το χώρο. Έτσι π.χ. το κέντρο Α μιας σφαίρας και η επιφάνεια της Β, είναι παράλληλα σημειοσύνολα, σχ. 41 (a). Επίσης, η επιφάνεια Β μιας «κάψουλας» και ο άξονας της Β, είναι παράλληλα σημειοσύνολα, σχ. 41 (a). Ομοίως, ο άξονας Α ενός κυλίνδρου και η επιφάνεια του Β, σχ. 41 (a).

25 σχ. 41 (a) Επίσης, στο σχ. 41 (b) βλέπουμε διάφορα γενικευμένα τρίγωνα ABC του χώρου. σχ. 41 (b) ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε μερικά παραδείγματα για να δώσουμε τον τρόπο, με τον οποίο συνδυάζεται η Αναλυτική με τη Γενικευμένη Γεωμετρία. Ο τομέας αυτός, έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, διότι μπορούμε να διατυπώσουμε διάφορα αξιόλογα θεωρήματα, πορίσματα, κ.λ.π. Προφανώς, ο τομέας αυτός αποτελεί αντικείμενο ευρύτερης μαθηματικής έρευνας.

26 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. Στο σύστημα συντεταγμένων xoy, δίδονται: Ο κύκλος A : x + y = 4 2 Η παραβολή B : y = 10x Το σημείο C :(15,0). Ζητείται να βρεθούν οι πλευρές και τα ύψη του γενικευμένου τριγώνου ABC. 2. Στον άξονα x x των πραγματικών αριθμών να βρεθούν οι πλευρές και οι διάμεσοι του γενικευμένου τριγώνου ABC, το οποίο έχει κορυφές τα σημειοσύνολα: A :, 2 B : C : ( ] [ 3,8] [ 10, + ] 3. Στο σύστημα συντεταγμένων xoy, δίδεται η έλλειψη: 2 2 x y A : + = με εστίες Β και C. Στο γενικευμένο τρίγωνο ABC να βρεθούν οι πλευρές του a, b, c και το εμβαδόν Ε. 4. Στον άξονα x x των πραγματικών αριθμών δίδονται: Α: Το σύνολο των όρων της ακολουθίας, a n = 1 10n 1 Β: Το σύνολο των όρων της ακολουθίας, an = 1 2 n 2 C: Το σύνολο των όρων της ακολουθίας, an = 2n + 1 Ζητείται στο γενικευμένο τρίγωνο ABC να βρεθούν οι πλευρές του. 5. Στο σύστημα συντεταγμένων xoy, δίδεται η εξίσωση: x 2 + 6x + 5 = 0 (1) όπου: A = x 1 + x 2 B = x 1 x 2 x 1 C = x 2 Στο γενικευμένο τρίγωνο ABC να βρεθούν οι διάμεσοι του, όπου x 1, x 2 είναι οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης (1). 6. Στο μιγαδικό επίπεδο, ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC έχει κορυφές: Α = 5 + 3i Β = 5 + 8i C = 5 10i

27 Ζητείται να βρεθούν οι διάμεσοι του. 7. Στο σύστημα συντεταγμένων xoy δίδονται οι ευθείες: x y Α: + = x y Β: + = x y C: + = Στο γενικευμένο τρίγωνο ABC να βρεθούν οι πλευρές του a, b, c και το εμβαδόν του Ε. Β. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ Στη Γενικευμένη Γεωμετρία, των μη Ευκλείδειων χώρων η συλλογιστική, είναι η ίδια με αυτή των Ευκλείδειων χώρων που αναφέραμε στα προηγούμενα κεφάλαια. Έτσι π.χ. επάνω σε μια επιφάνεια, μπορούμε να έχουμε παραλλήλους, γενικευμένα τρίγωνα, κ.λ.π. τα οποία έχουν πλευρές, ύψη, διαμέσους, κ.λ.π. Στο σχ. 42 βλέπουμε διάφορα γενικευμένα τρίγωνα ABC επάνω σε διάφορες επιφάνειες (S). σχ. 42 προφανώς οι πλευρές a, b, c των γενικευμένων τριγώνων ABC είναι οι γεωδαισιακές γραμμές που ενώνουν τις κορυφές A, B, C μεταξύ τους.

28 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΧΩΡΟΙ Α. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ 1. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΥΠΟΥG. E, I Ας υποθέσουμε σχ. 43 ότι, έχουμε ένα Ευκλείδειο μετρικό χώρο δύο διαστάσεων π.χ. το επίπεδο (Ε), το οποίο θεωρούμε ευθειογενές. σχ. 43 Θεωρούμε τώρα ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι κορυφές του A, B, C είναι τρεις τυχαίες παράλληλες ευθείες A, B, C του επιπέδου (Ε). Σύμφωνα με τα γνωστά, οι πλευρές του γενικευμένου τριγώνου ABC είναι a, b, c. Όπως παρατηρούμε στο σχ. 43, από το σύνολο S των γενικευμένων τριγώνων A B C, (i = 1, 2, 3, ) από τα οποία αποτελείται το επίπεδο (Ε), οποιαδήποτε και i i i να είναι μεταξύ τους η θέση των κορυφών A, B, C σε όλα τα γενικευμένα αυτά τρίγωνα, η κάθε μία από τις τρεις πλευρές τους είναι πάντοτε μικρότερη ή ίση του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του. Έτσι π.χ. στο σχ. 43 για το γενικευμένο τρίγωνο ABC, είναι b = a + c c < a + b (A) a < c + b Στην περίπτωση λοιπόν αυτή, σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε παραπάνω θα λέμε ότι, ο Ευκλείδειος χώρος (Ε) σχ. 43 είναι ένας Γενικευμένος Ευκλείδειος χώρος δύο διαστάσεων τύπου G, του οποίου τα στοιχεία του, είναι οι παράλληλες E, I ευθείες A B C. i i i Μετά από αυτά που αναφέραμε παραπάνω, καταλήγουμε στο παρακάτω βασικό ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ: Δια μια δεδομένη διαμέριση Δ, ένας ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων θα ονομάζεται, Γενικευμένος Ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων τύπου G, τότε και μόνο τότε, όταν για κάθε γενικευμένο τρίγωνο A B C (i = 1, E, I i i i 2, 3, ) του οποίου οι κορυφές του A,B, C είναι στοιχεία της διαμέρισης Δ, η i i i

29 κάθε μία από τις τρεις πλευρές του, είναι μικρότερη ή ίση του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του. Στα παρακάτω σχήματα, βλέπουμε διάφορους Γενικευμένους Ευκλείδειους χώρους δύο διαστάσεων, τύπου G, με την αντίστοιχη διαμέριση τους Δ. E, I σχ. 44

30 2. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ, ΤΥΠΟΥ G E, II Ας υποθέσουμε σχ. 45 ότι, έχουμε ένα Ευκλείδειο μετρικό χώρο δύο διαστάσεων, π.χ. το επίπεδο (Ε). σχ. 45 Διαμερίζουμε το επίπεδο (Ε) με παράλληλες ζώνες π.χ. του αυτού πλάτους d. Λαμβάνουμε τώρα ένα τυχαίο γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι κορυφές του A, B, C είναι αντιστοίχως τρεις από τις παράλληλες αυτές ζώνες. Όπως παρατηρούμε στο σχ. 45, από το σύνολο S των γενικευμένων τριγώνων A B C, (i = 1, 2, 3, ) από τα οποία αποτελείται το επίπεδο (Ε), οποιαδήποτε και να i i i είναι μεταξύ τους η θέση των κορυφών A, B, C σε όλα αυτά τα γενικευμένα, από τις τρεις πλευρές του η μία μόνο πλευρά τους, είναι πάντοτε, μεγαλύτερη του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του. Έτσι π.χ. στο σχ. 45 για το γενικευμένο τρίγωνο ABC, είναι: b > a + c c < b + a a < b + c ( B) Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε παραπάνω θα λέμε ότι, ο Ευκλείδειος χώρος (Ε), σχ. 45 είναι ένας γενικευμένος Ευκλείδειος χώρος δύο δυο διαστάσεων τύπου G, του οποίου τα στοιχεία του είναι οι παράλληλες ζώνες E, II A,B, C. i i i Μετά από αυτά που αναφέραμε παραπάνω, καταλήγουμε στο παρακάτω βασικό ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ: Δια μια δεδομένη διαμέριση Δ, ένας Ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων θα ονομάζεται Γενικευμένος Ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων τύπου G, τότε και μόνο τότε, όταν για κάθε γενικευμένο τρίγωνο A B C, (i= 1, 2, 3, E,II i i i ) είναι στοιχεία της διαμέρισης Δ, η μία μόνο πλευρά του, είναι μεγαλύτερη του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του.

31 Στα παρακάτω σχήματα, βλέπουμε διάφορους Γενικευμένους Ευκλείδειους χώρους δύο διαστάσεων τύπου G, με την αντίστοιχη διαμέριση τους Δ, (με ζώνες πλάτους E, II d). σχ. 46 Β. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΧΩΡΟΙ RIEMANN 1. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΧΩΡΟΙ RIEMANN, ΤΥΠΟΙ I R, G Με την ίδια συλλογιστική που εργάσθηκε παραπάνω για τους Γενικευμένους Ευκλείδειους χώρους δύο διαστάσεων, εργαζόμαστε και για τους Γενικευμένους χώρους Riemann δύο διαστάσεων. Ένα απλό παράδειγμα είναι το εξής: Θεωρούμε σχ. 47 την επιφάνεια S μιας σφαίρας την οποία διαμερίζουμε με παράλληλους κύκλους.

32 Λαμβάνουμε τώρα, ένα τυχαίο γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι κορυφές του A, B, C είναι αντιστοίχως, τρεις από τους παραπάνω αυτούς κύκλους. Όπως παρατηρούμε στο σχ. 47 από το σύνολο P των γενικευμένων τριγώνων A B C, (i = 1, 2, 3, ) από τα οποία αποτελείται η επιφάνεια S της σφαίρας, i i i οποιαδήποτε και να είναι μεταξύ τους η θέση των κορυφών A, B, C σε όλα αυτά τα γενικευμένα τρίγωνα η κάθε μία από τις τρεις πλευρές τους, είναι πάντοτε μικρότερη η ίση του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του. Έτσι π.χ. στο σχ. 47 για το σφαιρικό γενικευμένο τρίγωνο ABC, είναι: b = c + a c < a + b a < c + b Στην περίπτωση αυτή θα λέμε ότι, ο χώρος Riemann δυο διαστάσεων (δηλαδή, η επιφάνεια S της σφαίρας) σχ. 47 είναι ένας γενικευμένος χώρος Riemann δύο διαστάσεων τύπου G του οποίου τα στοιχεία του, είναι οι παράλληλοι κύκλοι. A,B, C. i i i R, I ( c) σχ. 47 Μετά από αυτά που αναφέραμε παραπάνω καταλήγουμε στο παρακάτω βασικό ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ: Δια μια δεδομένη διαμέριση Δ, ένας χώρος Riemann n διαστάσεων θα ονομάζεται Γενικευμένος χώρος Riemann n διαστάσεων τύπου G, τότε και R, I μόνο τότε, όταν για κάθε γενικευμένο τρίγωνο A B C, (i = 1, 2, 3, ) του οποίου i i i οι κορυφές του A,B, C είναι στοιχεία της διαμέρισης Δ, η κάθε μία από τις i i i τρεις πλευρές του είναι, μικρότερη ή ίση του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του. Στο παρακάτω σχ. 48 βλέπουμε διαφόρους γενικευμένους χώρους Riemann δύο διαστάσεων τύπου G, επάνω σε διάφορες επιφάνειες. R, I

33 σχ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΧΩΡΟΙ RIEMANN, ΤΥΠΟΥ G R, II Ας υποθέσουμε σχ. 49 ότι, έχουμε χώρο Riemann δύο διαστάσεων π.χ. την επιφάνεια (S) μιας σφαίρας. σχ. 49 Διαμερίζουμε την επιφάνεια (S) με παράλληλες ζώνες π.χ. του αυτού πλάτους d.

34 Λαμβάνουμε τώρα, ένα τυχαίο γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι κορυφές του A, B, C, είναι αντιστοίχως τρεις από τις παράλληλες αυτές ζώνες. Όπως παρατηρούμε στο σχ. 49 από το σύνολο S των γενικευμένων τριγώνων A B C, (i = 1, 2, 3, ) από τα οποία αποτελείται η επιφάνεια (S), οποιαδήποτε και i i i να είναι μεταξύ τους η θέση των κορυφών A, B, C σε όλα τα γενικευμένα αυτά τρίγωνα, η μια μόνο πλευρά τους, είναι μεγαλύτερη του αθροίσματος των δυο άλλων πλευρών του. Έτσι π.χ. στο σχ. 49 για το γενικευμένο τρίγωνο, ABC είναι: b > a + c c < b + a a < b + c Στη περίπτωση αυτή σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε παραπάνω θα λέμε ότι, ο χώρος Riemann (S), σχ. 49 είναι ένας Γενικευμένος χώρος Riemann δύο διαστάσεων, τύπου G του οποίου τα στοιχεία του είναι οι παράλληλες ζώνες A,B, C. R, II i i i Μετά από αυτά που αναφέραμε παραπάνω, καταλήγουμε στο παρακάτω βασικό ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ: Δια μια δεδομένη διαμέριση Δ, ένας χώρος Riemann n διαστάσεων θα ονομάζεται, Γενικευμένος χώρος Riemann n διαστάσεων, τύπου G τότε και R, II μόνο τότε, όταν για κάθε γενικευμένο τρίγωνο A B C, (i = 1, 2, 3, ) του οποίου i i i οι κορυφές του A,B, C, είναι στοιχεία της διαμέρισης Δ, η μία μόνο πλευρά του i i i είναι μεγαλύτερη του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του. Στο παρακάτω σχ. 50 βλέπουμε διάφορους Γενικευμένους χώρους Riemann δύο διαστάσεων, τύπου G, επάνω σε διάφορες επιφάνειες. R, II ( B)

35 σχ. 50 ΑΞΙΟΛΟΓΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όπως είναι φανερό, ο τομέας αυτός των Μαθηματικών, ήτοι: 1.Των Γενικευμένων Ευκλείδειων χώρων, τύπου G και G, και E, I E, II 2. Των Γενικευμένων χώρων Riemann, τύπου G και G, αποτελεί R, I R, II αντικείμενο, ευρείας μαθηματικής έρευνας από την οποία, μπορούν να προκύψουν πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά συμπεράσματα. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η Γενικευμένη Γεωμετρία που αναπτύξαμε στα προηγούμενα κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία» Στα προηγούμενα κεφάλαια, δώσαμε τις βασικές αρχές και τον τρόπο συλλογιστικής του νέου αυτού τομέα των Μαθηματικών. Όπως εύκολα αντιλαμβάνεται ο αναγνώστης, το πεδίο έρευνας της Γενικευμένης Γεωμετρίας, είναι πάρα πολύ μεγάλο, όπου μπορούμε να διατυπώσουμε νέα Θεωρήματα, πορίσματα, ορισμούς, ιδιότητες, συμπεράσματα, κ.λ.π. Στη φάση αυτή, η Γενικευμένη Γεωμετρία βρίσκεται ακόμη στην «αρχή του δρόμου». Όμως, ο χρόνος θα δείξει, ποια θα είναι η συμβολή της Γενικευμένης Γεωμετρίας στην εξέλιξη της Μαθηματικής επιστήμης. Copyright 2007: Christos A. Tsolkas Χρήστος Α. Τσόλκας Ιούνιος 2007

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57 ΚΕΦΛΙΟ 0ο ΕΜ Πολυγωνικά χωρία - Πολυγωνικές επιφάνειες. Τι καλούμαι πολυγωνικό χωρίο και πως ονομάζεται αυτό ; Πότε δύο πολυγωνικά χωρία λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ ΣΑΒΒΑΤΟ,14 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές. 2.

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα