ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε τις κυριότερες από αυτές. ΘΕΩΡΙΑ. Θεωρούµε κύκλο κέντρου Κ και σταθερό σηµείο Σ του επιπέδου. Η ΣΚ τέµνει τον κύκλο στα Α,. Σηµείο Μ διατρέχει τον κύκλο. Τότε το ελάχιστο του (ΣΜ) είναι το (ΣΑ) και το µέγιστο είναι το (Σ). ηλαδή (ΣΑ) (ΣΜ) (Σ) Σ Α M K. Σηµείο Μ διατρέχει κύκλο κέντρου Κ και σηµείο Ν διατρέχει κύκλο κέντρου Λ. Η διάκεντρος ΚΛ τέµνει τους κύκλους στα Α,, Γ,. Τότε το ελάχιστο του (ΜΝ) είναι το (Γ) και το µέγιστο είναι το (Α ). ηλαδή (Γ) (ΜΝ) (Α ) Κ Μ Γ Ν Λ 3. Σηµείο Μ διατρέχει ευθεία (ε) και σηµείο Ν διατρέχει κύκλο κέντρου Κ. Φέρουµε την ΚΑ (ε), που τέµνει τον κύκλο στο. Τότε το ελάχιστο του (ΜΝ) είναι το (Α). Κ Α Γ Ν Μ (ε) Απόδειξη (ΜΝ) (ΚΜ) (ΚΝ) = (ΚΜ) (Κ) (ΚΑ) (Κ) = (Α) Τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΚΜΝ Υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Για το µιγαδικό z δίνεται ότι + i. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του 4+ 6i. Λύση αλγεβρική z 4 + 6i = z 4 + 6i + + i i = (z + + ( Η τριγωνική ανισότητα στον (z + + ( από δεξιά δίνει 4+ 6i = (z + + ( i i + = 6 Άρα η µέγιστη τιµή είναι 6. Η τριγωνική ανισότητα στον (z + + ( από αριστερά δίνει + i 3 + 4i (z + + ( = 4+ 6i + i 4+ 6i 4+ 6 i i άρα η ελάχιστη τιµή είναι 4 Εκφράζουµε τον ζητούµενο z i συναρτήσει του δοσµένου z + i Λύση γεωµετρική + i ( i ) η εικόνα Μ του z είναι σηµείο του κυκλικού δίσκου που έχει κέντρο Κ(, ) και ακτίνα. Η ποσότητα 4+ 6i = (4 6 i ) εκφράζει την απόσταση ΜΑ, όπου Α(4, 6) Φέρνουµε την ΑΚ, η οποία τέµνει τον κύκλο στα, Γ. Στο τρίγωνο ΚΜΑ έχουµε (ΜΑ) (ΚΑ) + (ΚΜ) (ΚΑ) + (ΚΓ) = (ΑΓ) Άρα η µέγιστη τιµή του (ΜΑ) είναι (ΑΓ) = (ΑΚ) + = ( 4) ( 6) = = + = 6 Στο τρίγωνο ΚΜΑ έχουµε (ΚΑ) (ΚΜ) (ΜΑ) (ΚΑ) (Κ) (ΜΑ) (Α) (ΜΑ) Άρα η ελάχιστη τιµή του (ΜΑ) είναι (Α) = (ΑΚ) = = Ο Γ K M. Για το µιγαδικό z δίνεται ότι z 4i Υπόδειξη Ακολούθησε την άσκηση.. Να αποδείξετε ότι 4 z+ 6

3 3 3. Για το µιγαδικό z δίνεται ότι και 3 =. Να αποδείξετε ότι Λύση γεωµετρική z (+ 0 z 7 η εικόνα Μ του z είναι σηµείο του κυκλικού δίσκου που έχει κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα. 3 = z (3+ 0 = η εικόνα Μ του z είναι σηµείο του κύκλου που έχει κέντρο Λ(3, 0) και ακτίνα. Άρα το Μ είναι σηµείο του τόξου KB, όπου Α, τα σηµεία τοµής των δύο κύκλων. Το ελάχιστο του z δηλαδή του (ΜΟ) συµβαίνει όταν Μ Κ Και επειδή (ΟΚ) =, θα είναι z Το µέγιστο του z δηλαδή του (ΜΟ) συµβαίνει όταν Μ Α ή ηλαδή z (ΟΑ) () Ο Κ Α Μ Λ Η τετµηµένη του Α είναι (ΚΑ) = ( ) (ΟΑ ) = + () z 7 Λύση αλγεβρική 3 = () () z + ( 0 ) = 4 + = = αφού Α µεσοκάθετος του ΚΛ. = 3 4 = = 8 4 = 7 (ΟΑ) = 7 (z )( z ) z z z z + 4 z (z + z ) 3 () 3 = (z 3)( z 3) = z 8 3 z z 3z 3 z + 9 = z 3(z + z ) = 8 3(z + z ) = z 8 z + z = z () z z 6 9 z 7 z 7

4 4 Τριγωνική ανισότητα z 3 3 z 3 (3) Αλλά 3 z z 3 (4) (ιδιότητα απολύτων τιµών στους πραγµατικούς) Από (3) και (4) 3 z z 3 3 z z 4. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, για τους z οποίους ισχύει =. Στη συνέχεια να βρείτε εκείνον τον z, ο οποίος έχει το 3 ποιο µικρό µέτρο και εκείνον ο οποίος έχει το ποιο µεγάλο. Περιορισµός: z 3 z z 3 = 3 = z = 3 4 z = 3 4zz = ( 3)( 3) 4zz = ( 3)( 3) 4zz= z 3 3z + 9 3zz+ 3z+ 3z= 9 zz+ z+ z= 3 Θέτουµε z = + i, οπότε ( + ( + + i + i = = 0 κύκλος µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ =. Επειδή z 3 + 0i, πρέπει το σηµείο Λ(3, 0) να µην είναι σηµείο του γεωµετρικού τόπου, δηλαδή να µην ανήκει στον κύκλο. Αυτό πράγµατι συµβαίνει, αφού οι συντεταγµένες του Λ δεν επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου. Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τον κύκλο (Κ, ), ο οποίος τέµνει τον άξονα στα σηµεία Α( 3, 0), (, 0). Έστω Μ η εικόνα του τυχαίου z. Τότε z = (ΟΜ) Γνωρίζουµε ότι (Ο) (ΟΜ) (ΟΑ) z 3 M O B Κ Εποµένως, η ελάχιστη τιµή του z συµβαίνει όταν η εικόνα του z συµπίπτει µε το και η µέγιστη όταν συµπίπτει µε το Α. ηλαδή όταν z = (, 0) και z = ( 3, 0) αντίστοιχα. Θεωρία

5 . Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z για τους οποίους ισχύει i = i Από τους παραπάνω µιγαδικούς να βρείτε τους z εκείνους για τους οποίους συµβαίνει z = ma, z = min αντίστοιχα. ii Να υπολογίσετε τα z ma, z min. i = ( i = i = z ( + = i Ως γνωστόν, η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ = είναι ( ) + ( ) = Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τον κύκλο, ο οποίος τέµνει την ευθεία ΟΚ : = στα σηµεία Α,. Έστω Μ η εικόνα του τυχαίου z. Τότε z = (ΟΜ) z ( + = κύκλος µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ = ( ) + ( ) = Η λύση του συστήµατος δίνει τις συντεταγµένες των = σηµείων Α και. Συγκεκριµένα Α(, ) και (3, 3). Γνωρίζουµε ότι (ΟΑ) (ΟΜ) (Ο) Θεωρία (ΟΑ) z (Ο) Συνεπώς, ο µιγαδικός που έχει εικόνα το σηµείο Α έχει το ποιο µικρό µέτρο, ενώ ο µιγαδικός που έχει εικόνα το σηµείο έχει το ποιο µεγάλο. Όµως,το Α είναι εικόνα του µιγαδικού z = + i ενώ το είναι εικόνα του z = 3 + 3i Εποµένως ο αριθµός µε το µικρότερο µέτρο είναι ο z = + i, ενώ µε το µεγαλύτερο είναι ο z = 3 + 3i. ii Από το (i έχουµε ότι z = + i = min + = Σχόλιο και z = 3 + 3i = 9 + 9= 3 ma Αν θέλαµε να βρούµε µόνο τις τιµές z ma, z min, τότε χωρίς να προσδιορίσουµε τις συντεταγµένε των Α και µπορούµε να πούµε ότι z min = (ΟΚ) ρ = = και z ma = (ΟΚ) + ρ = + = 3 O M K B

6 6 6. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, για τους οποίους ο αριθµός w = i z είναι πραγµατικός i Από τους παραπάνω µιγαδικούς z, να βρείτε εκείνον που έχει το ποιο µικρό µέτρο και στη συνέχεια να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιµή του z. Περιορισµός: z Έστω z = + i τότε w = i (+ = + i (i ( ( + i )( = + i ( ) + ( ) + w R + 0 = 0 = + που είναι ευθεία (ε). Επειδή z (, ) (, 0), ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία (ε) εκτός από το σηµείο της Α(, 0). i Έστω Μ η εικόνα του τυχαίου z. Τότε z = (ΟΜ). Φέρουµε ΟΡ ε. Μ Γνωρίζουµε ότι (ΟΡ) (ΟΜ) Εποµένως, ο z µε το ποιο µικρό µέτρο O έχει εικόνα το Ρ. ρίσκουµε την εξίσωση της ΟΡ. ΟΡ (ε) λ ΟΡ λε = λ ΟΡ ΟΡ = Επειδή η ευθεία ΟΡ διέρχεται από το σηµείο Ο(0, 0), η εξίσωση της είναι 0 = ( 0) Λύνοντας το σύστηµα 0 0 Άρα Ρ, 9 9 = = + = βρίσκουµε = 0 9 Συνεπώς, ο z µε το ποιο µικρό µέτρο είναι ο z = i Η ελάχιστη τιµή του z είναι z min = i = 9 9 ε Ρ και = = 0 9 9

7 7 7. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w, για τους οποίους ισχύει w + i = i Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, για τους οποίους ισχύει = 3 3 ii Για τους παραπάνω z, w, να βρείτε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή της παράστασης w z. w + i = w ( + = Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ = i Έστω z = + i τότε = 3 3 ( ) + i = 3 ( 3) + i ( ) + = 3 ( 3) + ( ) + = 9( 3) = = 0 ( ) + = 9 Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος µε κέντρο Λ(, 0) και ακτίνα R =3 ii Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τους κύκλους Κ, Λ και τη διάκεντρό τους ΑΓ. Έστω Μ, Ν οι εικόνες των τυχαίων w, z αντίστοιχα. Τότε w z = (ΜΝ) Γνωρίζουµε ότι ( Γ) (ΜΝ) Α Άρα η µικρότερη δυνατή τιµή του (ΜΝ) είναι το (Γ) = (ΚΛ) ρ R = 0 3 (ΚΛ) = ( ) ( ) ( 0 ) Θεωρία + = 6+ 4 = 0 Κ = 0 4 Και η µεγαλύτερη δυνατή τιµή του (ΜΝ) είναι το (Α ) = (ΚΛ) + ρ + R = = Σχόλιο Αν θέλαµε να προσδιορίσουµε τους µιγαδικούς για τους οποίους προκύπτουν οι παραπάνω τιµές βρίσκουµε τις συντεταγµένες των σηµείων Α,, Γ,. Εύκολα προκύπτει ότι η ευθεία ΚΛ έχει εξίσωση = + ο κύκλος (Κ, ρ) έχει εξίσωση την ( + ) + ( ) = και ο κύκλος (Λ, R) την ( ) + = 4. Λύνοντας τα συστήµατα των εξισώσεων της ευθείας και κάθε ενός κύκλου βρίσκουµε τα σηµεία Α,, Γ, και εποµένως τους ζητούµενους µιγαδικούς αριθµούς. Μ Ο Γ Ν Λ

8 8 8. Έστω ο µιγαδικός z = λ + (λ )i, λ R και ο µιγαδικός w, για τον οποίο ισχύει w + i =. Για τις διάφορες τιµές του λ, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z, καθώς επίσης και τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w. i Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της παράστασης w και τους αριθµούς z και w για τους οποίους προκύπτει αυτή η τιµή. Έστω Μ(, ) η εικόνα του τυχαίου z. z = λ + (λ )i = λ και = λ = Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε) : = w + i = w ( + = Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος του w είναι ο κύκλος µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ =. i Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τον κύκλο Κ και την ευθεία (ε). Έστω Μ, Ν οι εικόνες των τυχαίων z, w αντίστοιχα. Τότε w = (ΜΝ) Φέρουµε ΚΑ (ε) που τέµνει τον κύκλο στα,. Γνωρίζουµε ότι (Α) (ΜΝ) Θεωρία 3 Άρα η µικρότερη δυνατή τιµή του (ΜΝ) είναι το (Α) = (ΚΑ) (Κ) = d(κ, ε) ρ = Συνεπώς w min = Η εξίσωση της ευθείας ΚΑ είναι = ( (ε) από το Κ) = Η λύση του συστήµατος µας δίνει Α, = Οπότε, ο z που έχει εικόνα το Α είναι z= i ( + ) + ( ) = Η λύση του συστήµατος µας δίνει, = Οπότε, ο w που έχει εικόνα το είναι w= + i Παρατήρηση Θα µπορούσαµε να βρούµε την απόσταση Α αφού προσδιορίσουµε πρώτα τις συντεταγµένες των σηµείων Α και. K N Γ O Α (ε) M

9 9 9. Αν i, να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της παράστασης Π = 4 i i ( +. Άρα η εικόνα Ζ του z ανήκει στον κυκλικό δίσκο κέντρου Κ(, ) και ακτίνας ρ =. Π = 4 i Π = (4 +. Άρα η παράσταση (Π) εκφράζει την απόσταση (ΣΖ) της εικόνας Ζ του z από το σηµείο Σ(4, ). Σε σύστηµα αξόνων (Ο), τοποθετούµε τα σηµεία Σ, Ζ και τον κύκλο Κ. Φέρουµε το ΣΖ και τη ΣΚ, η οποία τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α,. Γνωρίζουµε ότι (ΣΑ) (ΣΖ) (Σ) Εποµένως, η µικρότερη δυνατή τιµή της παράστασης (Π) είναι (ΣΑ) και η µεγαλύτερη είναι (Σ) Είναι (ΣΚ) = ( 4) ( ) + = 9+ 6 = (ΣΑ) = (ΣΚ) ρ = = 3 (Σ) = (ΣΚ) + ρ = + = 7 Τελικά είναι Π min = 3 και Π ma = 7 O Ζ Κ Α Σ( 4, ) Για να βρούµε τους z για τους οποίους συµβαίνει το ελάχιστο µέγιστο, βρίσκουµε την εξίσωση του κύκλου και την εξίσωση της ευθείας ΣΚ και λύνουµε το σύστηµά τους. 0. ν 6 + i = 4, δείξτε ότι 0 z 0+ Θεωρία 6+ i = 4 3+ i = 4 3+ i = (3 = Οπότε, οι εικόνες του z διατρέχουν τον κύκλο µε κέντρο Κ(3, ) και ακτίνα ρ =. Σε σύστηµα αξόνων (Ο), γράφουµε τον κύκλο (Κ, ), ο οποίος τέµνει την ηµιευθεία ΟΚ στα σηµεία Α,. Έστω Ζ η εικόνα του τυχαίου z. Τότε z = (ΟΖ) και (ΚΖ) = ρ =. (ΟΑ) (ΟΖ) (Ο) (ΟΑ) z (Ο) () Ο Z Κ(3, -) B

10 0 Εποµένως, η ελάχιστη τιµή του z συµβαίνει όταν η εικόνα του z συµπίπτει µε το Α και η µέγιστη όταν συµπίπτει µε το. 3 + = 0 Είναι (ΟΚ) = ( ) (ΟΑ) = (ΟΚ) (ΑΚ) = 0 (Ο) = (ΟΚ) + (Κ) = 0 + Η () γίνεται 0 z 0+. Για το µιγαδικό αριθµό z ισχύει 00Ιm(z) i 3 = 0 Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι ο κύκλος µε κέντρο Κ, και ακτίνα ρ = εκτός του σηµείου του Λ(, 0) i Από τους παραπάνω z, να βρείτε εκείνον που έχει το µικρότερο και εκείνον που έχει το µεγαλύτερο µέτρο. ii Να βρείτε εκείνον το µιγαδικό z, του οποίου η εικόνα απέχει την ποιο µεγάλη απόσταση από το µιγαδικό w = i, όπως και εκείνον του οποίου η εικόνα απέχει την ποιο µικρή απόσταση από το µιγαδικό w = i Περιορισµός: z 0 z 0 z 0 z Έστω z = + i µε (, ) (, 0) Η δοσµένη σχέση γράφεται = 0 ( ) ( ) + + = 0 ( ) + + = = 0 () Επειδή Α + 4Γ = = > 0, η εξίσωση () παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ, εκτός του σηµείου του Λ(, 0) λόγω του περιορισµού. i Φέρνοντας την ΟΚ, παρατηρούµε ότι ο µιγαδικός που έχει το ποιο µικρό µέτρο, έχει εικόνα το Η, ενώ ο µιγαδικός µε το µεγαλύτερο - O Γ Η K Α(, - ) χ

11 µέτρο έχει εικόνα το. (Για την απόδειξη βλέπε άσκηση ) Εύκολα βρίσκουµε ότι η ευθεία ΟΚ έχει εξίσωση =. Θεωρία Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων του κύκλου και της ευθείας βρίσκουµε ότι = + και =, Η = 0 και Η = + 0 Άρα ο µιγαδικός µε το µικρότερο µέτρο είναι ο i και µε το µεγαλύτερο είναι ο i ii Η εικόνα του w είναι το σηµείο Α,. Η ΑΚ τέµνει τον κύκλο στα σηµεία, Γ οπότε πλησιέστερα στο Α βρίσκεται το σηµείο και µακρύτερα το Γ. H ΑΚ έχει εξίσωση = και εύκολα βρίσκουµε, ότι τέµνει τον κύκλο στα 3,, Γ, Οπότε, ο µιγαδικός που απέχει λιγότερο από το Α είναι ο z = 3 i και περισσότερο ο z = i. 3 Έστω w = + i z i, όπου z = α + βi µε α, β R Να βρείτε τους Re(w) και Im(w) συναρτήσει των α, β. i Να δείξτε ότι η εικόνα του αριθµού w διατρέχει την ευθεία = 3. ii Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της παράστασης Π = w 3 i α 3β iν) Να δείξτε ότι w = 0 0 ν) Αν w =, να βρείτε τις εξισώσεις των γραµµών τις οποίες διατρέχει η εικόνα του z. ν Όταν ισχύει το (ν) και z, z είναι δύο από τους µιγαδικούς z που δεν ανήκουν στην ίδια γραµµή, να βρείτε την ελάχιστη τιµή της ποσότητας Ρ = z z.

12 Κάνοντας αντικατάσταση στον w, όπου z = α + βi, µετά από πράξεις βρίσκουµε w = α β + α+ β i Άρα Re(w) = 3 α 9 β και Ιm(w) = α+ 3 β i Αν (, ) τυχαία εικόνα του w, τότε = 3 α 9 β και = α + 3 β Κάνοντας απαλοιφή των α και β βρίσκουµε ευθεία (ε) : = 3 ii Η παράσταση Π = w 3 i = w (3 + εκφράζει την απόσταση του σηµείου Α(3, ) από τα σηµεία της ευθείας (ε).. ε : = - Φέρουµε Α ε. 3 Οπότε, για το οποιοδήποτε σηµείο Μ της (ε) Ο B είναι Α ΑΜ Μ Άρα η ελάχιστη τιµή της παράστασης Π είναι το (Α). Η εξίσωση της ευθείας Α είναι = 3 8 () (διέρχεται από το Α και είναι κάθετη (ε) ). 4 Η λύση του συστήµατος των (), () δίνει B, Εποµένως, ο µιγαδικός w που η εικόνα του απέχει την µικρότερη απόσταση από το σηµείο Α(3, ), είναι ο w = 4 i iν) α 3β w = α β + α+ β = πράξεις= 0 ν) 0 0 α 3β Αφού w =, τότε από το (iv) θα έχουµε = 0 α 3β = α 3β = ± Συνεπώς η εικόνα του z διατρέχει τις παράλληλες ευθείες ε : 3 = ε : 3 = ν Έστω Ζ η εικόνα του τυχαίου z ε Ζ και Ζ η εικόνα του τυχαίου z ε Έστω ακόµα Ζ Κ η απόσταση των ε, ε Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΖ Ζ έχουµε Ζ Κ Ζ Ζ. Οπότε η ελάχιστη τιµή της παράστασης Ρ = z z είναι ίση µε την απόσταση O () Κ ε ε Ζ

13 3 των δύο παραλλήλων. Θεωρούµε συγκεκριµένο σηµείο Ρ της ε ( για = 0, η εξίσωσή της δίνει = ), οπότε Ρ(, 0) z z min = d(ρ, ε ) = + 9 = 0 3. ίνεται η συνάρτηση f(z) = z +, όπου z = + i µε, R και z 0. z Να γράψετε τον f(z) στην µορφή α + βi i είξτε ότι : f(z) R z R ii Αν ισχύει f(z) f(z) =, να δείξετε ότι οι εικόνες του z κινούνται στον κύκλο µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ =. iν) Για τους µιγαδικούς του προηγούµενου ερωτήµατος να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της ποσότητας f(z). f(z) = z + = + i + ( + i + )( + + = = z + i ( + ( + i Με βάση το προηγούµενο ερώτηµα έχουµε f(z) R + = 0 = 0 z = R ii f(z)f(z) = z + z + = z z + z + z + = z z z z + = 0 ( ) + = Ο Κ(, 0) + i Εξίσωση που παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ =, και στον οποίο δεν ανήκει το σηµείο Ο(0, 0). (Θυµίζουµε ότι δίνεται z 0 = iν) Παρατηρούµε ότι η µέγιστη τιµή του z είναι z ma = O = +, ενώ η ελάχιστη είναι z min = OB = Όµως f(z) = z + = z + z = z z z πράγµα που σηµαίνει ότι η ποσότητα f(z) γίνεται ελάχιστη όταν η z γίνεται µέγιστη και η ποσότητα f(z) γίνεται µέγιστη όταν η z γίνεται ελάχιστη. Από την () θα είναι f(z) min = Και f(z) ma = z z ma min = = () + = ( + )( ) Α = = = + = + ( + )( )

14 4 4. Για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύει w = 3z + z και οι εικόνες του z κινούνται στον κύκλο µε κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ =. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του w κινούνται σε έλλειψη. i Να βρείτε α) τους µιγαδικούς w που έχουν το µικρότερο µέτρο β) τους µιγαδικούς w που έχουν το µεγαλύτερο µέτρο Έστω z = κ + λi Τότε w = 3z + z = 3κ + 3λi + κ + λi κ λi = 3κ + 3λi + (κ + λ(κ λ κ λi = 3κ + 3λi + κ + λ Οι εικόνες του z κινούνται στον κύκλο (Ο, ) κ + λ = () Άρα w = 3κ + 3λi + κ λi = 3κ + 3λi + κ λi = 4κ + λi Έστω Μ(, ) η εικόνα του τυχαίου w = 4κ και = λ κ = 4 και λ = Η () 6 + =, που είναι εξίσωση έλλειψης µε εστίες στον άξονα 4, µεγάλο ηµιάξονα α = 4 και µικρό ηµιάξονα β =. i α) Οι µιγαδικοί w που έχουν το µικρότερο µέτρο, έχουν εικόνες τα σηµεία,, εποµένως είναι οι w = i, w = i β) Οι µιγαδικοί w που έχουν το µεγαλύτερο µέτρο, έχουν εικόνες τα σηµεία Α, Α, εποµένως είναι οι w 3 = 4, w 4 = 4 Ο (, 0) Α(4, 0)

15 . Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, για τους οποίους ισχύει + z + = 4 i Από τους παραπάνω z, να βρείτε α) εκείνους που έχουν το µικρότερο µέτρο β) εκείνους που έχουν το µεγαλύτερο µέτρο + z + = 4 ( ( +0 = 4 Αυτό σηµαίνει ότι το άθροισµα των αποστάσεων των εικόνων των αριθµών z από τα σταθερά σηµεία Ε(, 0), Ε (, 0) είναι σταθερό και ίσο µε 4. Άρα οι εικόνες των z διατρέχουν έλλειψη µε εστίες Ε(, 0), Ε (, 0) και µεγάλο άξονα 4. Οπότε α = και γ = i Όπως η άσκηση 4 6. β = α γ = 4 = 3 και η εξίσωση της έλλειψης θα είναι + = 4 3 z Έστω µιγαδικός αριθµός z i και η συνάρτηση f(z) = i Να βρείτε το µιγαδικό z για τον οποίο ισχύει f(z) = + i i Αν οι εικόνες των f(z) κινούνται σε κύκλο µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ =, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z κινούνται σε κύκλο µε κέντρο Λ(0, ) και ακτίνα R =. ii Αν z, z είναι δύο από τους µιγαδικούς του ερωτήµατος (i τέτοιοι ώστε z z = 4, να αποδείξετε ότι z + z = 4 z f(z) = + i = + i z = z i + zi + zi = i i z = z = + i i i Oι εικόνες των f(z) κινούνται σε κύκλο µε κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα ρ = z f(z) = i z + i i = = = i i = i = ( 0 + = i κύκλος µε κέντρο Λ(0, ) και ακτίνα R =

16 6 ii Έστω Α, οι εικόνες των z, z. z z = 4 (Α) = 4 =. = ρ Άρα το τµήµα Α είναι διάµετρος του κύκλου Λ. Οπότε z + z = O + OB = ΟΛ (z ) Λ(0, ) B(z ) = OΛ =. = 4 Ο

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Προχωρώντας από τη Β στη Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz «5 βασικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω µε 0 ο ω 180 ο ΘΕΩΡΙΑ 1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξειών γωνιών ορθογωνίου τριγώνου Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο θυµίζουµε ότι απέναντι κάθετη ηµω = = ΑΓ υποτείνουσα

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0

4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0 1. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = α + + γ µε α 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Τετραγωνική συνάρτηση : Ονοµάζεται κάθε συνάρτηση της µορφής y = α + + γ, α 0. Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + + γ, α 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 31. Μία κυλινδρική δεξαµενή έχει µήκος βάσης 1,56 m. Η δεξαµενή είναι γεµάτη κατά τα 6 7 και περιέχει 75,36 m3 νερό. Να υπολογίσετε το βάθος της δεξαµενής. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 245. Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 245. Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β .4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 45 Ερωτήσεις Κατανόησης. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Β Στήλη Μήκος κύκλου ακτίνας Μήκος τόξου µ ο σε κύκλο ακτίνα Μήκος τόξου α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα