Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση

Transcript

1 Επνάληψη Τελευτίς Στιγμής. γι εξάσκηση 5/4/

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Ερωτήσεις με βάση το σχολικό βιβλίο ) Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί βi κι γ δi είνι ίσοι κι πότε ένς μιγδικός ισούτι με μηδέν ; ) Πως ορίζοντι οι πράξεις στους μιγδικούς ; ) Πως ορίζετι η δύνμη μιγδικού ; 4) Πως ερμηνεύοντι γεωμετρικά η πρόσθεση κι η φίρεση μιγδικών ; 5) Σι ονομάζετι συζυγής του + βi ;

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 6) Ποιές είνι οι ιδιότητες των συζυγών ; 7) N λύσετε την εξίσωση z +βz+γ = με,β,γ Ra, κι Δ <. 8) Ποιές είνι οι ρίζες ενός τριωνύμου ν Δ< ; Ποιές σχέσεις τις συνδέουν ; 9) Πως ορίζετι το μέτρο μιγδικού ; ) Ποιες είνι οι ιδιότητες του μέτρου ; ) Σι πριστάνουν γεωμετρικά οι εξισώσεις : z z ρ, ρ κι z z z ; z ) Σι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α κι τί τιμή της f στο є A;...

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς ) Σι ονομάζουμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης f: A R ; 4) Σι ονομάζουμε γρφική πράστση μις συνάρτησης f: A R ; 5) Πότε δυο συνρτήσεις λέγοντι ίσες ; 6) Πως ορίζοντι οι πράξεις μετξύ συνρτήσεων ; 7) Σι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, πως συμβολίζετι κι ποιο το πεδίο ορισμού της ; 8) Πότε μι συνάρτηση λέγετι γνησίως ύξουσ κι πότε γνησίως φθίνουσ ; 9) Πότε μι συνάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο ;

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 4 ) Σι είνι τ ολικά κρόττ μις συνάρτησης f ; ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = + β, με είνι συνάρτηση -. ) Πότε μι συνάρτηση λέγετι ; ) Πώς ορίζετι η ντίστροφη μις - συνάρτησης; 4) Ποιες είνι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού του ορίου ; 5) Πως συνδέετι το όριο με τ πλευρικά όρι ; 6) Ποιες νισότητες ισχύουν στ όρι ; (όριο κι διάτξη)

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 5 7) Ποιες είνι οι ιδιότητες των ορίων ν το τείνει στο ; 8) Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμβολής. 9) Ποι είνι τ βσικά τριγωνομετρικά όρι ; ) Πως υπολογίζουμε το όριο σύνθετης συνάρτησης ; ) Ποιες είνι οι ιδιότητες των ορίων ν το τείνει στο ; ) Πότε η f λέγετι συνεχής στο ;

7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 6 ) Πότε μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν o του πεδίου ορισμού της; ) Πότε η f λέγετι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ; 5) Σι γνωρίζετε γι τις πράξεις μετξύ συνεχών συνρτήσεων; 6) Ν διτυπώσετε το θεώρημ Bolzano 7) Πως σχετίζετι η συνέχει με τ διστήμτ ; 8) Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης - Ελάχιστης τιμής 9) Ποιο είνι το σύνολο τιμών μις συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε διάστημ ; 4) Πως ορίζετι η εφπτομένη στο σημείο A, f ( )) της C f ; (

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 7 4) Πότε μι συνάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο χ κι τι ονομάζουμε πράγωγο της f στο χ ; 4) Tι ονομάζετι κλίση της C f στο A(,f( )) ή κλίση της f στο o ; 4) Πότε μι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ; 44) Σι ονομάζετι πράγωγος μις συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α ; 45) Σι ονομάζουμε ρυθμό μετβολής του y = f() ως προς το ; 46) Πως πργωγίζετι μι σύνθετη συνάρτηση ; 47) Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rolle κι ν δώσετε την γεωμετρική του ερμηνεί.

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 8 48) Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Σιμής Διφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Σ.) κι ν δώσετε την γεωμετρική του ερμηνεί. 49) Σι ονομάζουμε τοπικό μέγιστο κι τι τοπικό ελάχιστο της f ; 5) Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermat 5) Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις των τοπικών κροτάτων μις συνάρτησης f; Ποιά είνι τ κρίσιμ σημεί ; 5) Σι γνωρίζετε γι την πράγωγο συνάρτησης στο σημείο που προυσιάζει κρόττο ; 5) Πως σχετίζετι το πρόσημο της f με τ τοπικά κρόττ; 54) Πότε μι συνάρτηση ονομάζετι κυρτή ή κοίλη σε έν διάστημ Δ ;

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 9 55) Πως σχετίζετι η δεύτερη πράγωγος με την κυρτότητ ; 56) Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,β), με εξίρεση ίσως έν σημείο του o.πότε το σημείο Α(o, f(o)) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f ; 57) Πως σχετίζετι η f με το σημείο κμπής ; 58) Πότε η ευθεί = o λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γ.π. της f ; 59) Πότε η ευθεί y = l ονομάζετι οριζόντι σύμπτωτη της γ. π. της f στο + ( ντιστοίχως στο - ); 6) Πότε η ευθεί y = + β ονομάζετι σύμπτωτη (πλάγι) της γ. π. της f στο + ( ντιστοίχως στο - ); 6) Αν ευθεί y=λ+β είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο +, ντιστοίχως στο -,ποιες σχέσεις μς δίνουν τ λ, β; 6) Ν διτυπώσετε τους κνόνες De l Hospital ;

11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 6) Έστω f συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Σι ονομάζουμε Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ; 64) Σι ονομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμ της f στο [,β] ; 65) Ποιες είνι οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος ; 66) Σι γνωρίζετε γι τη συνάρτηση F ( ) f ( t) dt ; 67) Ποιος είνι ο τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοντες στ ορισμέν ολοκληρώμτ; 68) Ποιος είνι ο τύπος της ολοκλήρωσης με λλγή μετβλητής στ ορισμέν ολοκληρώμτ; 69) Πως ορίζετι το εμβδόν Ε(Ω) ενός χωρίου που περικλείετι πό τις ευθείες χ=, χ= β κι τις γρφικές πρστάσεις. των f κι g ;

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Aποδείξεις. Αν z βi κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε ν ποδείξετε ότι z z z z.. Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ν ποδείξετε ότι z z z z.. Ν ποδείξετε ότι : Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος των μιγδικών βi κι γ δi είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτινών τους. 4. Ν ποδείξετε ότι : Η δινυσμτική κτίν της διφοράς των μιγδικών βi κι γ δi είνι η διφορά των δινυσμτικών κτινών τους.

13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 5. Ν ποδείξετε ότι ( +βi)(γ +δi) = (γ -βδ) +(δ +βγ)i + i Ν ποδείξετε ότι = + i + i + + ν ν 7. Δείξτε ότι γι κάθε πολυώνυμο P( ) ν ν με R lim P( ) P( ). P( ) P( ) 8. Δείξτε ότι : lim, εφόσον Q ( ) Q( ) Q( ) 9.Ν ποδείξετε το θεώρημ ενδιμέσων τιμών. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, β]. Αν: η f είνι συνεχής στο [, β] κι f ( ) f ( β) δείξετε ότι, γι κάθε ριθμό η μετξύ των f () κι f (β) υπάρχει ένς, τουλάχιστον (, ), ώστε f ) η β (

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς. Ν ποδείξετε ότι ν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο σημείο, τότε είνι κι συνεχής σ υτό.. Εστω η στθερή συνάρτηση f ) c ισχύει f ( ), δηλδή (c) = (, c R. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R κι. Έστω η συνάρτηση f ( ). Δείξτε ότι η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f ( ), δηλδή () =.. Έστω η συνάρτηση ισχύει f ( ) ν ν f, δηλδή ν ( ), R {, } (. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R κι ν ν ) ν.

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 4 4. Έστω f ( ). Δείξτε ότι γι κάθε (, ) η f είνι πργωγίσιμη κι ισχύει Ακόμ ν ποδείξετε ότι ν κι συνεχής στο δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό. f ( ). 5. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) ημ είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f ( ) ζυν, δηλδή ( ημ) ζυν 6. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) ζυν είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f ( ) ημ, δηλδή ( ζυν) ημ 7. Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο, τότε ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ( f g) ( ) f ( ) g( ) f g είνι

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 5 8. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) ν ν, δηλδή ( ν ) ν ν f ν ( ), * είνι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει 9. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) εφ είνι πργωγίσιμη στο D R { ζυν } κι ισχύει ( ), δηλδή : ζυν f ( εφ ζυν ). Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ), δηλδή ( ) () f είνι πργωγίσιμη στο (, ) κι ισχύει ( ), R Q f. Ν ποδείξετε ότι, η συνάρτηση δηλδή : ( ) ln f ( ), είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f ( ) ln,

17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 6.Ν ποδείξετε ότι, η συνάρτηση f ( ) ln, * R είνι πρ/μη στο * R κι ισχύει (ln ). Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι f ( ) γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ. 4. Έστω δυο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ. Αν οι f, g είνι συνεχείς στο Δ κι f ( ) g( ) γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι,υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει: f ( ) g( ) c 5. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ. N ποδείξετε ότι : Αν f ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γν. ύξουσ σε όλο το Δ. Αν f ( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γν. φθίνουσ σε όλο το Δ.

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 7 6. N ποδείξετε το θεώρημ του Fermat. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη σ υτό, τότε: f ( ) 7. Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, β), με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο οποίο όμως η f είνι συνεχής. Ν ποδείξετε ότι : i) Αν f ( ) στο, ) κι f ( ) στο (, β), τότε το f ) είνι τοπικό μέγιστο της f. ( ii) Αν f ( ) στο, ) κι f ( ) στο (, β), τότε το f ) είνι τοπικό ελάχιστο της f. ( iii) Aν η f () διτηρεί πρόσημο στο, ) (, ), τότε το f ) δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο (, β). ( β ( ( (

19 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 8 8. Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Ν ποδείξετε ότι ν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε: ) όλες οι συνρτήσεις της μορφής G( ) F( ) c, cr, είνι πράγουσες της f στο Δ κι β) κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή c R. G( ) F( ) c, 9. Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F ( ) f ( t) dt, Δ, είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: f ( t) dt f( ), a γι κάθε Δ.. Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [, β]. Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, β], τότε ν ποδείξετε ότι f ( t) dt G( β) G( ). β. Έστω, δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, β] με f ( ) g( ) γι κάθε [, β] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των ποδείξετε ότι, γι το εμβδόν Ε(Ω) του Ω, ισχύει E ( Ω) ( f ( ) g( )) d. β f, g κι τις ευθείες κι = β.ν

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 9. Έστω, δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, β] με f ( ) g( ) γι κάθε [, β] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των ποδείξετε ότι, γι το εμβδόν Ε(Ω) του Ω, ισχύει E ( Ω) ( f ( ) g( )) d. β f, g κι τις ευθείες κι = β.ν

21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς ΣΟ ο ΘΕΜΑ ΣΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΣΑΕΩΝ - Α. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.. Ν ποδείξετε ότι ν f ()> σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το διάστημ Δ. Μονάδες 8 β. Αν f () < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπερίνετε γι τη μονοτονί της συνάρτησης f ; Μονάδες 4,5 Β.Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο τετράδιο σς την ένδειξη, Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότσης.. Η συνάρτηση f() = e - είνι γνησίως ύξουσ στο σύνολο των πργμτικών ριθμών. Μονάδες,5 β. Η συνάρτηση f με f '() = - ημ+ + είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ υτό. ημ γ. Αν f () = g'() + γι κάθε A, τότε η συνάρτηση h()=f()-g() είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ. Μονάδες,5 Μονάδες,5 Β.. Στο διπλνό σχήμ δίνετι η γρφική πράστση της πργώγου μις συνάρτησης f στο διάστημ [-,6]. Ν προσδιορίσετε τ διστήμτ στ οποί η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ. Μονάδες 5 A.. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z, z. Ν ποδείξετε ότι: z z = z z. Μονάδες 7,5 Α.. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση. Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει:. z z z

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς β. z z γ. z - z δ. z z ε. i z z Μονάδες 5 Β.. Αν z 4 i κι z - i, ν γράψετε στο τετράδιό σς τους ριθμούς της τήλης Α κι δίπλ σε κάθε ριθμό το γράμμ της τήλης Β έτσι, ώστε ν προκύπτει ισότητ. τήλη Α τήλη Β. z z. 4.. z β. z γ z δ i z ε. στ. 5 ζ. Β.. Αν γι το μιγδικό ριθμό z ιζχύει z, ν δείξετε ότι z. z Μονάδες 7,5 Μονάδες 5 Α. Έστω f μι συνάρτηση σε έν διάστημ Δ. Αν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, ν ποδείξετε ότι:. όλες οι συνρτήσεις της μορφής G() = F() c, c, είνι πράγουσες της f στο Δ κι β. κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή G() = F() c, c. Μονάδες 6,5 Α. Ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω σχέσεις ώστε ν προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος.. f ()d =

23 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς β. (f () g())d =.. γ. ( f () g())d = όπου λ, μ єr κι f,g συνεχείς συνρτήσεις στο [, β]. Μονάδες 6 Β. Ν βρείτε την συνάρτηση f γι την οποί ισχύει f ()=6+4, κι η γρφική της πράστση στο σημείο της Α(, ) έχει κλίση. Μονάδες 6,5 Β. Ν υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώμτ:. (e )d 4 β. d γ. (ημ+ζυν)d Μονάδες 6 π A. Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, β]. Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, β], τότε ν δείξετε ότι f (t) dt G( ) G( ). Μονάδες Β.. Έστω η συνάρτηση f() = ημ. Ν δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο ΙR κι ισχύει f () = συν. Μονάδες 8 Β.. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν η συνάρτηση f είνι ορισμένη στο [,β] κι συνεχής στο (,β], τότε η f πίρνει πάντοτε στο [,β] μί μέγιστη τιμή. β. Κάθε συνάρτηση, που είνι - στο πεδίο ορισμού της, είνι γνησίως μονότονη. Μονάδ Μονάδ γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο κι lim f(), τότε lim f(). δ. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο, τότε f ()d f () f ()d. ε. Αν lim f(), τότε f() > κοντά στο. Μονάδ Μονάδ Μονάδ

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν f ()d, τότε κτ νάγκη θ είνι f() γι κάθε [,β]. Μονάδες β. Η εικόν f(δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι διάστημ. Μονάδες γ. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο κι δεν είνι ντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημ [, β], στο οποίο η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle. Μονάδες δ. Έστω συνάρτηση f ορισμένη κι πργωγίσιμη στο διάστημ [, β] κι σημείο [, β] στο οποίο η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντ ισχύει ότι f ( )=. Μονάδες ε. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, β] κι υπάρχει (, β) τέτοιο ώστε f( )=, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f()f(β). Μονάδες A. Ν ποδείξετε ότι, ν μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό. Μονάδες 8 Β. Τι σημίνει γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού; Μονάδες 7 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν z ένς μιγδικός ριθμός κι _ z ο συζυγής του, τότε ισχύει z z z. Μονάδες β.έστω μί συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δύο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f ()> γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι κυρτή στο Δ. Μονάδες γ. Γι κάθε συνάρτηση f, πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ, ισχύει f ()d f () c, c IR.

25 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 4 Μονάδες δ. Αν μι συνάρτηση f είνι κυρτή σε έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκετι «πάνω» πό τη γρφική της πράστση. Μονάδες ε. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είνι πργωγίσιμη στο κι f ( )=, τότε η f προυσιάζει υποχρεωτικά τοπικό κρόττο στο. Μονάδες A. Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν F είνι μί πράγουσ της f στο Δ, ν δείξετε ότι:. όλες οι συνρτήσεις της μορφής G() =F()+ c, c ΙR είνι πράγουσες της f στο Δ κι β. κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή G() = F()+ c, c ΙR. Μονάδες Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει πάντ z z z z z z Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη σ' έν διάστημ (, β), με εξίρεση ίσως έν σημείο του, στο όμως η f είνι συνεχής. Μονάδες β. οποίο Αν f () > στο (, ) κι f () < στο (, β), τότε το f ( ) είνι τοπικό ελάχιστο της f. Μονάδες γ. Μί συνάρτηση f : Α είνι συνάρτηση, ν κι μόνο ν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν =, τότε f( ) = f( ). δ. Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις με συνεχή πρώτη πράγωγο, τότε ισχύει: f ()g ()d f ()g() f ()g()d Γ. Πότε μί ευθεί = λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f ; Μονάδες Μονάδες Μονάδες 7 Α. Έστω μι συν ά ρτ ηση f ορ ισμ ένη σ' έν διά στημ κι έν εσωτε ρικ ό ση με ίο το υ. Αν η f π ρουσιά ζ ει τ οπικ ό κρόττο στο κ ι είν ι π ργωγίσ ιμη σ το σημ ε ίο υτ ό, ν ποδε ί ξε τε ό τι f ( ) = Μονάδες Β. Πότε μ ι συνάρ τηση f λ έμ ε ότ ι ε ίνι π ρ γ ωγίσιμ η σε έν ση με ίο το υ π εδ ίου ορισμ ού της ; Μονάδες 5

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 5 Γ. Ν χρκτηρίσ ετε τις προτάσ εις που κ ολο υθο ύν γράφοντς στο τετ ράδι ό σς τη λέξ η ωστό ή Λ άθος δ ί πλ στο γράμμ πο υ ντισ το ιχε ί σε κ ά θε πρότση.. Η δι νυσ μ τ ικ ή κ τί ν του θ ροί σμ τος δ ύο μιγ δ ικ ών ρι θμώ ν είνι τ ο ά θροι σμ των δι νυσ μ τ ικ ών κτί νων τους. Μον άδες β. lim f ( ) l, ν κι μόνο ν lim f ( ) lim f ( ) l Μον άδες γ. Α ν οι συνρ τήσε ις f, g ε ίν ι π ργωγίσ ιμ ε ς στο, τότε η συ νάρτηση f g είν ι π ργωγίσιμη στο κ ι ισχ ύε ι: (f g) ( ) = f ( ) g ( ) Μονάδες δ. Έστω μι συνάρτ ηση f, η ο ποί είν ι συν εχ ής σε έν διά στημ. Αν f ( ) > σε κ ά θε εσωτε ρικ ό ση με ίο το υ, τότ ε η f είν ι γ νησ ίως φθίνουσ σ ε όλο το Δ. Μονάδες ε. Έστω f μ ι συν εχής συνάρ τηση σ έν διά σ τημ [,β]. Α ν G ε ίν ι μ ι π ράγουσ της f στ ο [,β], τό τε β f(t) dt G( ) G( ) Μονάδες A. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ. Αν η f είνι συνεχής στο κι f () = γι κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ. Μονάδες 9 Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν µί συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό. β. Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικών είνι ίσο µε την πόστση των εικόνων τους. Μονάδες Μονάδες γ. Αν f, g είνι δύο συνρτήσεις µε πεδίο ορισμού κι ορίζοντι οι συνθέσεις fog κι gof, τότε υτές οι συνθέσεις είνι υποχρεωτικά ίσες. Μονάδες

27 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 6 δ. Οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f είνι συμμετρικές ως προς την ευθεί y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy κι Oy. Μονάδες ε. Αν υπάρχει το όριο της f στο, τότε κ κι κ. lim f() lim f() κ κ, εφόσον f() κοντά στο, µε Μονάδες Γ. Ν ορίσετε πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (, β) κι πότε σε έν κλειστό διάστημ [, β]. Μονάδες 6 Α. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, β]. Αν η f είνι συνεχής στο [, β] κι f() f(β) δείξτε ότι γι κάθε ριθμό η μετξύ των f() κι f(β) υπάρχει ένς, τουλάχιστον (, β) τέτοιος, ώστε f( ) = η. Μονάδες 9 Α. Πότε η ευθεί y = λ + β λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f στο + ; Μονάδες 4 Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν η f είνι συνεχής στο [, β] με f() < κι υπάρχει ξ (,β) ώστε f(ξ) =, τότε f(β) >. β. Αν υπάρχει το lim f() g() τότε κτ νάγκη υπάρχουν τ lim f() κι lim g() Μονάδες Μονάδες γ. Αν η f έχει ντίστροφη συνάρτηση f - κι η γρφική πράστση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεί y =, τότε το σημείο Α νήκει κι στη γρφική πράστση της f -. δ. Αν lim f() = κι f() > κοντά στο, τότε lim f() Μονάδες Μονάδες

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 7 ε. Αν η f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε ισχύει f(t) dt f() f(), γι κάθε Δ. Μονάδες στ. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ κι δε μηδενίζετι σ υτό, τότε υτή ή είνι θετική γι κάθε Δ ή είνι ρνητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ. Μονάδες Α. Έστω η συνάρτηση f με f(). Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) κι ισχύει: f () Α. Πότε μι συνάρτηση f: A IR λέγετι - ; Μονάδες 9 Μονάδες 4 Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Τ εσωτερικά σημεί του διστήμτος Δ, στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ. Μονάδες β. Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,β) με εξίρεση ίσως έν σημείο του. Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (,β) ή ντιστρόφως, τότε το σημείο Α( f( )) είνι υποχρεωτικά σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f. γ. Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικών ριθμών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους. δ. Αν γι δύο συνρτήσεις f, g ορίζοντι οι fog κι gof, τότε είνι υποχρεωτικά fog gof. ε. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγδικών ριθμών z, z είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον. στ. Αν η συνάρτηση f έχει πράγουσ σε έν διάστημ Δ κι λ, τότε: λf()d λ f()d Μονάδες Μονάδες Μονάδες Μονάδες Μονάδες

29 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 8 A. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν f ()> σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ. Αν f ()< σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ. Μονάδες Α. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σ έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ; Μονάδες 5 B. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει β. Αν υπάρχει το z z. lim f () τότε f () κοντά στο. Μονάδες γ. H εικόν f(δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς κι μη στθερής συνάρτησης f είνι διάστημ. Μονάδες δ. Ισχύει ο τύπος, γι κάθε. f ()g ()d f ()g() f ()g()d, όπου f,g ε. Ισχύει η σχέση είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [,β]. Μονάδες Μονάδες Μονάδες A. Ν ποδείξετε ότι: (συν) = ημ,. Μονάδες Α. Έστω f μί συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Τι ονομάζουμε ρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ; Μονάδες 5 B. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει: z z z z Μονάδες

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 9 β. Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες στο κι g( ), τότε η συνάρτηση g f κι ισχύει: f f( o )g ( o ) f ( o )g( o ) o. g g( ) γ. Γι κάθε ισχύει ln o είνι πργωγίσιμη στο Μονάδες Μονάδες δ. Μι συνάρτηση f : Α είνι, ν κι μόνο ν γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()=y έχει κριβώς μί λύση ως προς. Μονάδες ε. Έστω f μί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [,β]. Αν G είνι μί πράγουσ της f στο [,β], τότε β f(t)dt G() G(β) Μονάδες A. Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, ν ποδειχθεί ότι: z z = z z. Α. Πότε δύο συνρτήσεις f, g λέγοντι ίσες; Μονάδες 8 Μονάδες 4 Α. Πότε η ευθεί y= λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφ. πράστσης της f στο + ; Μονάδες B. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημ [,β] κι γι κάθε [, β] ισχύει f() τότε β f()d. Μονάδες β. Έστω f μι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο τότε f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Μονάδες γ. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους gof είνι συνεχής στο. Μονάδες

31 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς δ. Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ κι είνι έν σημείο του, τότε g() f(t)dt=f g() g () με την προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμεν σύμβολ έχουν νόημ. ε. Αν > τότε lim. Μονάδες Μονάδες A. Ν ποδείξετε ότι ν μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό. Α. Τι σημίνει γεωμετρικά το θεώρημ Rolle του Διφορικού Λογισμού; Μονάδες Μονάδες 5 B. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Η εικόν f(δ) ενός διστήμτος Δ μέσω μις συνεχούς συνάρτησης f είνι διάστημ. β. Αν f, g, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο διάστημ [,β], τότε f ()g ()d f ()d g ()d Μονάδες Μονάδες γ. Αν f είνι μί συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε f (t)dt =f(), γι κάθε Δ. Μονάδες δ. Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ (Α,Β) όπου Α= lim f () κι Β= lim f () ε. Έστω δύο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ. Αν οι f, g είνι συνεχείς στο Δ κι f () = g () γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει f() = g() γι κάθε Δ. Μονάδες Μονάδες A. Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση () ln f, είνι πργωγίσιμη στο A. Πότε μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [,β]; κι ισχύει: ln Μονάδες Μονάδες 5 Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.

32 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς. Αν μι συνάρτηση f:a είνι, τότε γι την ντίστροφη συνάρτηση f - ισχύει: f (f()) κι f(f (y)) y, y f(a), A Μονάδες β. Μι συνεχής συνάρτηση f διτηρεί πρόσημο σε κθέν πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Μονάδες γ. Ότν η δικρίνουσ Δ της εξίσωσης z +βz+γ= με,β,γ κι είνι ρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο των μιγδικών. Μονάδες δ. Αν μι συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο κι στρέφει τ κοίλ προς τ άνω, τότε κτ νάγκη θ ισχύει f ( ) > γι κάθε πργμτικό ριθμό. Μονάδες ε. Αν η f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι, β, γ Δ τότε ισχύει β f()d γ β f()d γ Μονάδες f()d A. Έστω μί συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [, β].αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, β], τότε ν ποδείξετε ότι β f(t)dt G(β)- G() Β. Τι σημίνει γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού; Μονάδες Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Υπάρχουν συνρτήσεις που είνι, λλά δεν είνι γνησίως μονότονες. Μονάδες β. Αν μι συνάρτηση f είνι κοίλη σ έν διάστημ Δ, τότε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, με εξίρεση το σημείο επφής τους. Μονάδες β γ. Τ ο ολοκλήρω μ f()d είνι ίσο με το άθροισμ των εμβδών των χωρίων που βρίσκοντι πάνω πό τον άξον μείον το άθροισμ των εμβδών των χωρίων που βρίσκοντι κάτω πό τον άξον. Μονάδες

33 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς δ. Αν, β πργμτικοί ριθμοί, τότε: +βi= = ή β= Μονάδες ε. Έστω μι συνάρτηση ορισμένη σ έν σύνολο της μορφής (, ) (, β) κι l ένς πργμτικός ριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυνμί: lim f ( ) lim( f ( ) ) Α. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f (), ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ. Β. Πότε μί συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε ισχύει zz z z Μονάδες β. Μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι προυσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A, ότν f() f( ) γι κάθε A Μονάδες συν - γ. lim Μονάδες δ. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της είνι κι πργωγίσιμη στο σημείο υτό. Μονάδες ε. Αν μί συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, β] κι ισχύει f()< γι κάθε [, β], τότε το εμβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, =β κι τον άξον είνι Ε(Ω) β f()d Μονάδες

34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς A. Έστω η συνάρτηση f()=. Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο (, + ) κι ισχύει: f () B. Έστω μι συνάρτηση f κι έν σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε λέμε ότι η f είνι συνεχής στο ; Μονάδες 9 Μονάδες 6 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Αν z είνι ένς μιγδικός ριθμός τότε γι κάθε θετικό κέριο ν ισχύει z z Μονάδες β. Η συνάρτηση f είνι -, ν κι μόνο ν κάθε οριζόντι ευθεί τέμνει τη γρφική πράστση της f το πολύ σε έν σημείο. γ. Αν f() = κι f() < κοντά στο τότε lim f () δ. Έστω η συνάρτηση f() = εφ. H συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R = -{/συν=} κι ισχύει ε. Γι κάθε συνάρτηση f, πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ, ισχύει Μονάδες Μονάδες f () Μονάδες f ()d f () c, όπου c είνι μι πργμτική στθερά. Μονάδες Α. Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε ν ποδείξετε ότι: όλες οι συνρτήσεις της μορφής G()=F()+c, c είνι πράγουσες της f στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή G()=F()+c, c. Μονάδες 6 Α. Πότε η ευθεί = λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφ. πράστσης μις συνάρτησης f ; Μονάδες 4 Α. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο Δ; Μονάδες 5 Α4. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη. ) Η δινυσμτική κτίν της διφοράς των μιγδικών ριθμών +βi κι γ+δi είνι η διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους.

35 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 4 β)έστω συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ, τότε η πράγωγός της δεν είνι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ. γ)αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημ υτό είνι το διάστημ (Α,Β), όπου Α= lim f() κι Β= lim f(). β δ)(συν) = ημ,. ε)αν lim f (), ό f () κοντά στο. Μονάδες A. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ημ,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει (ημ) = συν Μονάδες 8 A. Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [,β] του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 A. Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α προυσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f( ); Μονάδες Α4. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη. ) Αν f() =, >, τότε ισχύει = - β) Αν ορίζοντι οι συνρτήσεις fog κι gof, τότε πάντοτε ισχύει fog = gof γ) Αν lim f () ή, τότε lim f () δ) Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [,β] κι ισχύει f() γι κάθε [,β], τότε f ()d ε) Γι κάθε z ισχύει z z z Μονάδες

36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 5 Ερωτήσεις Κτνόησης σχολικού βιβλίου. Ν βάλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση: (i) Αν στο σύνολο των μιγδικών ριθμών ισχύει u v, τότε : Α. u Β. v Γ. u v Δ. Τίποτ πό τ προηγούμεν. 5 z 5i i είνι: (ii) Ο ριθμός Α. Φντστικός Β. Μηδέν Γ. Πργμτικός Δ. Τίποτ πό τ προηγούμεν.. Ποιες πό τις επόμενες ισότητες ληθεύουν γι κάθε μιγδικό z : Α. z z Β. Δ. z z z Ε. z z z Γ. z z. z z z. Σύμφων με τη συνθήκη που ικνοποιούν οι μιγδικοί z κι νφέρετι στην πρώτη στήλη, ν τους ντιστοιχίσετε στην ευθεί της δεύτερη στήλης που νήκει η εικόν τους: υνθήκη Ευθεί A. z i z i. B. z z β. yy Γ. z z i γ. y δ. y Δ. z z i ε. ε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής, ιτιολογώντς συγχρόνως την πάντησή σς. 4. Αν f ( ) ln κι g ( ) e, τότε * ) ( g f )( ), R Α Ψ β) ( f g)( ), R Α Ψ 5. Αν lim f( ) lr, τότε lim f ( ). A Ψ 6. Είνι lim lim lim lim. A Ψ 7. Αν f ( ) γι κάθε R κι υπάρχει το lim f ( ), τότε κτ νάγκη lim f ( ). Α Ψ

37 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 6 8. Ισχύει: ) lim ημ Α Ψ ημ β) lim. Α Ψ 9. Αν f ( ) κοντά στο, τότε lim( f ( )). Α Ψ. Αν f ( ), (, ), τότε κτ νάγκη θ είνι lim f ( ). Α Ψ. Αν υπάρχει το lim( f ( ) g( )), τότε είνι ίσο με f ( 6) g(6). Α Ψ 6. Αν lim f ( ), τότε κτ νάγκη θ είνι lim f ( ) ή lim f ( )..Αν lim f ( ), τότε lim f ( ). Α Ψ Α Ψ 4. Αν η f είνι συνεχής στο R κι γι 4 ισχύει τότε το f (4) είνι ίσο με. 7 f ( ), 4 Α Ψ 5. Αν η f είνι συνεχής στο [,] κι f ( ) 4, f ( ), τότε υπάρχει πργμτικός ριθμός (,) τέτοιος, ώστε f ( ) π. Α Ψ Ν κυκλώσετε τη σωστή πάντηση σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις 6. Αν lim f ( ) l, lim g( ) m,, l m R κι ( ) g( ) Α) l m Β) l m Γ) l m Δ) l m Ε) m l. f κοντά στο, τότε κτ νάγκη θ είνι: ( ) 7. Το όριο lim ( ) είνι ίσο με: Α) 8 Β) Γ) Δ) Ε) Το lim 9. Αν το είνι ίσο με: Α) Β) Γ) Δ) Ε). lim δεν υπάρχει, τότε: Α) Β) Γ) Δ).. Δίνοντι οι συνρτήσεις f ( ) ( ) κι Από τους Πρκάτω ισχυρισμούς λάθος είνι ο: g ( ). Α) η g είνι συνεχής στο

38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 7 Β) η f είνι συνεχής στο Γ) η g έχει δυο σημεί στ οποί δεν είνι συνεχής Δ) lim f ( ).. Ποι πό τ πρκάτω όρι είνι κλώς ορισμέν; Α) lim 9 Γ) lim Ε) lim[ln( )] Β) lim 9 Δ) lim ΣΤ) lim[ln( )].. Δίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστημ Γ [,], με f ( ), f ( ) κι f ( ). Ποιος πό τους πρκάτω ισχυρισμούς δεν προκύπτει κτ νάγκη πό τις υποθέσεις; Α) Υπάρχει (,) τέτοιος, ώστε f ( ). Β) lim f ( ). Γ) lim f ( ) f (). Δ) [, ] f ( Γ). Ε) Η μέγιστη τιμή της f στο [,] είνι το κι η ελάχιστη τιμή της το. ε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντηση σς.. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,], πργωγίσιμη στο (,) κι f ( ) γι όλ τ (,), τότε f ( ) f (). 4. Αν η συνάρτηση f πργωγίζετι στο [, β] με f ( β) f ( ), τότε υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε f ( ). β Α Α Ψ Ψ 5. Αν οι f, g είνι συνρτήσεις πργωγίσιμες στο [, β], με f ( ) g( ) κι f ( β) g( β), τότε υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε στ σημεί A, f ( )) κι β B, g( )) οι εφπτόμενες ν είνι πράλληλες. ( 6. Αν f ( ) ( ) ( ) γι κάθε R, τότε: ) το f () είνι τοπικό μέγιστο της f A Ψ β) το f () είνι τοπικό ελάχιστο της f Α Ψ ( Α Ψ 7. ) Η γρφική πράστση μις πολυωνυμικής συνάρτησης άρτιου βθμού έχει πάντοτε οριζόντι εφπτομένη. β) Η γρφική πράστση μις πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βθμού έχει πάντοτε οριζόντι εφπτομένη. 8. Η συνάρτηση f ( ) β γ δ με, β, γ, δr κι έχει πάντ έν σημείο κμπής. Α Α Α Ψ Ψ Ψ

39 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 8 9. Αν οι συνρτήσεις f, g έχουν στο σημείο κμπής, τότε κι η στο σημείο κμπής. h f g έχει Α Ψ. Δίνετι ότι η συνάρτηση f πργωγίζετι στο R κι ότι η γρφική της πράστση είνι πάνω πό τον άξον. Αν υπάρχει κάποιο σημείο A (, f ( )) της C f του οποίου η πόστση πό τον άξον είνι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε υτό το σημείο η εφπτομένη της C f είνι οριζόντι. Α Ψ. Η ευθεί είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης: ) β) f ( ) Α Ψ g ( ) Α Ψ ( ).Αν γρφική πράστση της συνάρτησης f δίνετι πό το πρκάτω σχήμ, τότε: y O 4 i) το πεδίο ορισμού της είνι το (, 4 ) Α Ψ f ii) το πεδίο ορισμού της είνι το [, 4 ] Α Ψ f iii) f ( ) γι κάθε (, 4) Α Ψ iv) υπάρχει, 4) : f ( ). Α Ψ (. Η συνάρτηση f ( ) έχει: ) μι, τουλάχιστον, ρίζ στο (,) Α Ψ β) μι, κριβώς, ρίζ στο (, ) Α Ψ γ) τρεις πργμτικές ρίζες Α Ψ 4. Αν γι τις πργωγίσιμες στο R συνρτήσεις f, g ισχύουν f ( ) 4, f ( ), f ( 5) 6, g ( ) 5, g ( ), g ( 4), τότε ( f g) () ( g f ) () Α Ψ ε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε τη σωστή πάντηση 5. Το Α) π π εφ h εφ 6 6 lim h h Β) 4 ισούτι με: Γ) Δ) Ε) 4.

40 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 9 6. Το lim h ισούτι με: h h Α) Β) Γ) Δ) Ε) 7. Αν f ( ) 5 τότε η () f ισούτι με: Α) Δ) 5 Β) 5 Ε). 5 ln5 5 Γ) ln5 8. Αν f ( ) ζυν ( ) τότε η f (π) ισούτι με: 5 Α) ζυν ( π )ημ( π ) Β) ζυν ( π ) Γ) ζυν ( π )ημ( π ) Δ) π ζυν ( π ) 9. Αν f ( ) ( ) τότε η έβδομη πράγωγος υτής στο ισούτι με: Α) Β) Γ) Δ) 7 Ε) δεν υπάρχει. 4. Αν οι εφπτόμενες των συνρτήσεων f ( ) ln κι πράλληλες, τότε το είνι: Α) Β) Γ) 4 Δ) Ε). g( ) στ σημεί με τετμημένη είνι 4. Αν f Α) Δ) β ( ) e, g( ) e κι Β) Ε). f ( ) f ( ) g( ), τότε το β ως συνάρτηση του ισούτι με: g( ) Γ) 4. Αν f ( ) γι κάθε [, ] κι f ( ), τότε: Α) f ( ) Β) f ( ) Γ) f ( ) Δ) f ( ). 4. Ν ντιστοιχίσετε κθεμιά πό τις συνρτήσεις, β, γ, δ σε εκείνη πό τις συνρτήσεις Α, Β, Γ, Δ, Ε, Z που νομίζετε ότι είνι η πράγωγός της. y (a) y (β) O

41 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς 4 y (γ) y (δ) O O y (Α) y (Β) y (Γ ) O O O - y (Γ) y (Δ) y (Ε) O O O 44. Κθεμιά πό τις πρκάτω συνρτήσεις ν ντιστοιχίσετε στην ευθεί που είνι σύμπτωτη της γρφικής της πράστσης στο. ΤΝΑΡΣΗΗ ΑΤΜΠΣΩΣΗ. f ( ) Α. y. f ( ) e Β. y. f ( ) Γ. y Δ. y Ε. y ε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή σς. 45. Ισχύει ( ) g( )) d f ( ) d ( f g( ) d Α Ψ β 46. Ισχύει β ) g( ) d f ( ) d β f ( g( ) d Α Ψ 47. Αν, τότε f ( ) d. Α Ψ

42 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Αν f ( ) d, τότε κτ νάγκη θ είνι f ( ) γι κάθε [, ]. Α Ψ 49. Αν f ( ) γι κάθε [, ], τότε f ( ) d. Α Ψ 5. Αν f ( ) d, τότε κτ νάγκη θ είνι f ( ) γι κάθε [, ] ( ) d 4 ( ) d / 4 5. ln( ημ ) d / 4, γι κάθε. Α Ψ ln ζυνd. Α Ψ e 5. ln d ln dt. Α Ψ e t Α Ψ 54. Αν f ( ) d κι η f δεν είνι πντού μηδέν στο [, ], τότε η f πίρνει δυο, τουλάχιστον, ετερόσημες τιμές. Α Ψ 55. Το ολοκλήρωμ ( ) d πριστάνει το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f ( ) κι τον άξον των. Α Ψ ε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε τη σωστή πάντηση 56. Αν f ( ) ημπ κι f ( ), τότε το f () ισούτι με Α), Β), Γ), Δ). π π π π 57. To ολοκλήρωμ d 4 στο ( 4, ) είνι ίσο με Α) ln( 4 ) c, Β) ln( 4 ) c, Γ) ln( 4) c, Δ) ln( 4) c. 58. Το ολοκλήρωμ d στο (, ) είνι ίσο με Α) c, Β), ( ln ) Γ) c, Δ) c, Ε) c.

43 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Το ολοκλήρωμ d είνι ίσο με Α), Β), Γ), Δ), Ε). 6. Το ολοκλήρωμ ln d είνι ίσο με Α) c, Β) ln c, Γ) (ln ) ln, Δ) c. 6. Έστω f, g δυο πργωγίσιμες συνρτήσεις με συνεχείς πργώγους στο [, β]. Αν f ( ) g( ) γι κάθε [, β], τότε κτ νάγκη θ ισχύει: Α) f ( ) g( ), [, β] Γ) f ( ) d g( ) d, [, β] β, Β) ( ) d f g( ) d, Δ) ) d β f ( g( ) d. β β 6. Το εμβδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διπλνού σχήμτος είνι ίσο με Α) 5 f ( ) d, Β) f ( ) d. 5 y 5 Γ) ) d 5 f ( f ( ) d, Δ) f ( ) d f ( ) d. - O 5 6. Aν f ( ) g( ) γι κάθε [, ] κι f ( ) g(), τότε γι κάθε [,] ισχύει: Α) f ( ) g( ), Β) ( f ( ) g( )) d 4. Γ) f ( ) g( ), [, ] Δ) Οι C f, C g έχουν κοινό σημείο στο [,]. 64. Έστω η συνάρτηση F( ) f ( t) dt όπου f η συνάρτηση του διπλνού σχήμτος. Τότε η F () είνι ίση με y Α), Β), Γ), Δ). C f O 65. Έστω η συνάρτηση f του διπλνού σχήμτος. Aν E ( Ω ), Ε ( Ω ) κι Ε ( Ω ) τότε το β f ( ) d είνι ίσο με y Α) 6, Β) 4, Γ) 4, Δ), Ε). O γ δ Ω Ω Ω β

44 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Έστω η συνάρτηση F( ) f ( t) dt, όπου f η συνάρτηση του διπλνού σχήμτος. Τότε Α) F( ),, Β) F( ),, y Γ), F( ),, Δ), F( ),. O 67. Ποιο πό τ πρκάτω σχήμτ ντιπροσωπεύει τη γρφική πράστση μις λύσης της διφορικής εξίσωσης y y, με, y. y y y O O O (Α) (Β) (Γ) y y O O (Δ) (Ε) 68. Ποι πό τ πρκάτω ολοκληρώμτ είνι κλώς ορισμέν; π Α) d, Β) ημ / d, Γ) π εφ d Δ) ln d, Ε), Δ) d. d 69. Ν εντοπίσετε το λάθος στις πρκάτω πράξεις I d u u du u du I. (Θέσμε οπότε d ) u u du. Αρ I I οπότε I. Αυτό, όμως, είνι άτοπο, φού I d, επειδή γι κάθε [, ].

45 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Θεωρούμε τη συνάρτηση F( ) f ( t) dt, όπου f η συνάρτηση του διπλνού σχήμτος. Ν συμπληρώσετε τ πρκάτω κενά. F (), F (), F (), F (4), F (6). y 4 O 4 C f 6