Στεργίου Α. Μαρία Διπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός

Transcript

1 Στργίου Α. Μαρία Διπλωματούχος Πολιτικός Μηχανικός ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ στον Τομέα Μηχανικής της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Εθνικού Μτσόβιου Πολυτχνίου Πρόβλημα μοναδικότητας της λύσης για πίπδα προβλήματα ρωγμών μ τη χρήση της μικροπολικής θωρίας. Επιβλέπων Χ.Γ. ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ Καθηγητής του Τομέα Μηχανικής της Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. Αθήνα 01

2 Επιβλέπων Καθηγητής: Χαράλαμπος Γ. Γωργιάδης, Καθηγητής, Τομέας Μηχανικής, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ. Μέλη Εξταστικής Επιτροπής: Δημήτριος Ευταξιόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μηχανικής, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ. Σταύρος Κουρκουλής, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τομέας Μηχανικής, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ.

3 Πρόλογος Η παρούσα μταπτυχιακή ργασία κπονήθηκ στον Τομέα Μηχανικής της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών κατά το διάστημα Σπτέμβριος 011 έως Νοέμβριος 01. Θα ήθλα να υχαριστήσω όλα τα μέλη ΔΕΠ και τους ργαζόμνους στον Τομέα Μηχανικής για το δημιουργικό και υχάριστο πριβάλλον που έχουν δημιουργήσι, χάρη στο οποίο η παραμονή μου στον Τομέα Μηχανικής κατά την κπόνηση της παρούσας ργασίας υπήρξ μία πολύ νδιαφέρουσα μπιρία. Θα ήθλα, πρωτίστως, να υχαριστήσω τoν Καθηγητή κ. Χ. Γωργιάδη για την υκαιρία που μου έδωσ να συνργαστούμ, για την πρόταση του συγκκριμένου θέματος και την πολύτιμη βοήθιά του. Θα ήθλα πίσης να υχαριστήσω τους κυρίους Παναγιώτη Γουργιώτη και Μπαξβανάκη Κωνσταντίνο καθώς και την κυρία Χριστίνα Γρέντζλου για την πολύτιμη βοήθιά τους και για την υχάριστη και αποδοτική συνργασία. Στργίου Α. Μαρία 01

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος.. Πρίληψη της ργασίας. v Symmary.. v Εισαγωγή Γνικά 1 1. Μικροπολική Θωρία 1.1 Γνικά Βασικές ξισώσις της θωρίας.. 4. Μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος ρωγμής Γνικά 10 Γνικά Συμπράσματα 19 Παράρτημα.. 0 Βιβλιογραφία... v

5 Πρόβλημα μοναδικότητας της λύσης για πίπδα προβλήματα ρωγμών μ τη χρήση της μικροπολικής θωρίας Στργίου Α. Μαρία Τομέας Μηχανικής ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ Πρίληψη της Εργασίας Η παρούσα ργασία ασχολίται μ το θώρημα μοναδικότητας για πίπδα προβλήματα ρωγμών σ στρά, που χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη φαινομένων βαθμίδας. Η μικροπολική θωρία προέκυψ από φαινόμνα «νίσχυσης» στην άμση γιτονία αιχμών ρωγμής, γκοπών, μικρών οπών και γκλισμάτων. Σύμφωνα μ τη θωρία αυτή, η πυκνότητα παραμορφωσιακής νέργιας ξαρτάται όχι μόνο από την τροπή αλλά και από τη βαθμίδα της στροφής. Μλτάμ την ανισότροπη γραμμική συμπριφορά πίπδου ρηγματωμένου σώματος, σ συνθήκς πίπδης και αντι-πίπδης παραμόρφωσης. Τονίζται ότι, στη γνική πρίπτωση προβλημάτων ρωγμών, απαιτίται ένα θώρημα μοναδικότητας πιο κτταμένο από το κλασσικό θώρημα Krchoff ξαιτίας της ιδιόμορφης συμπριφοράς των πδίων στην αιχμή της ρωγμής. Ένα τέτοιο θώρημα θέτι πριορισμούς στη συμπριφορά των πδίων στη γιτονία των αιχμών ρωγμής. Στην κλασσική Ελαστικότητα, ένα τέτοιο θώρημα διατυπώθηκ από τους Knowles και Puck (Knowles, J. K., Puck, T. A., 1973), οι οποίοι απέδιξαν ότι οι αναγκαίς συνθήκς για μοναδικότητα της λύσης ίναι φραγμένα πδία μτατοπίσων και καθολικών δυνάμων. Στην παρούσα ργασία προκύπτι ότι δύο πιπλέον συνθήκς, για φραγμένο πδίο στροφών και πδίο καθολικών ροπών, στην άμση γιτονία των αιχμών ρωγμής, ξασφαλίζουν τη μοναδικότητα στα πλαίσια της γνικής μορφής της μικροπολικής θωρίας Ελαστικότητας. v

6 Unqueness for lane crack roblems n mcroolar elastcty Stergou A. Mara Mechancs Dvson, Deartment of Aled Scences. Natonal Techncal Unversty of Athens Summary The current work deals wth the unqueness theorem for lane crack roblems n solds, characterzed by gradent elastcty. Mcroolar elastcty derves from strengthenng effects n the vcnty of crack ts. Accordng to ths theory, the stran-energy densty s not only deendent on the stran but also on the rotaton gradent. We consder an ansotroc materal resonse of the cracked lane body and condtons of lane-stran and ant-lane stran. It s emhaszed that, for crack roblems n general, a unqueness theorem more extended than the standard Krchoff theorem s needed because of the sngular behavour of the solutons at the crack ts. Such a theorem wll mose certan restrctons on the behavour of the felds n the vcnty of crack ts. In standard Elastcty, the theorem needed was establshed by Knowles and Puck ( Knowles, J. K., Puck, T. A., 1973) who showed that the necessary condtons for soluton unqueness are a bounded dslacement feld and a bounded body-force feld. In ths study, we show that the addtonal (to the two revous condtons) requrements of a bounded rotaton feld and a bounded body coule feld n the vcnty of the crack ts guarantees unqueness wthn the form of the theory of mcroolar elastcty. v

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γνικά Στην παρούσα ργασία ασχολούμαστ μ το πρόβλημα της μοναδικότητας λύσων για σώμα μ ρωγμή, θωρώντας ανισότροπη συμπριφορά υλικού και συνθήκς πίπδης ή αντιπίπδης παραμόρφωσης. Στην πρίπτωση ύπαρξης ρωγμών, το σύνηθς θώρημα για τη μοναδικότητα λύσων δν αρκί. Αυτό οφίλται στο γγονός ότι οι λύσις αυτών των προβλημάτων παρουσιάζουν ιδιομορφίς στην πριοχή της αιχμής της ρωγμής και ορισμένς από αυτές μπορί να μη βρίσκονται σ αρμονία μ την απαίτηση του θωρήματος μοναδικότητας για ομαλά πδία. Ωστόσο, αν πιβληθούν ορισμένοι πριορισμοί στη συμπριφορά κάποιων από τα πδία στην πριοχή της αιχμής της ρωγμής, τότ ίναι δυνατή η πέκταση του θωρήματος ώστ να καλύπτι και αυτού του ίδους τα προβλήματα. Προκιμένου να αποδιχθί η μοναδικότητα της λύσης, ίναι αναγκαίο να διατυπωθί σ ολοκληρωτική μορφή η Αρχή των Δυνατών Έργων. Στην έκφραση αυτή, θα πρέπι όλα τα ολοκληρώματα να συγκλίνουν. Στην πρίπτωση αποκλινόντων ολοκληρωμάτων η Αρχή των Δυνατών Έργων απλώς δν έχι νόημα. Επομένως, το θώρημα μοναδικότητας στην πρίπτωση ρηγματωμένου σώματος θα πρέπι να προσδιορίζι τις αναγκαίς κίνς συνθήκς που τα πδία κοντά στην αιχμή της ρωγμής θα πρέπι να πληρούν ώστ όλα τα ολοκληρώματα στην προαναφρθίσα ασθνή (ολοκληρωτική) μορφή, να συγκλίνουν. Η πρακτική φαρμογή αυτών των συνθηκών ίναι γνωστή σ προβλήματα ρωγμών, καθώς η πληροφορία αυτή βοηθά στον προσδιορισμό ακριβούς λύσης μέσω της τχνικής Wener-Hof, γνωρίζοντας ξ αρχής την ασυμπτωτική συμπριφορά κοντά στην αιχμή της ρωγμής ορισμένων από τα πδία, τα οποία πρέπι να προσδιοριστούν. Επιπλέον, πιθανές λύσις του κάστοτ προβλήματος μπορούν άμσα να απορριφθούν αν δ συμβαδίζουν μ 1

8 τις συνθήκς αυτές. Σχτικά παραδίγματα βρίσκονται στις δημοσιύσις των Freund, 1990, eorgads και Brock, 1994, eorgads και Rgatos, Στα πλαίσια της κλασσικής Ελαστικότητας, οι Knowles και Puck, (1973), απέδιξαν ότι οι αναγκαίς συνθήκς για τη μοναδικότητα της λύσης ίναι το πδίο των μτατοπίσων και των καθολικών δυνάμων να ίναι φραγμένα στην πριοχή της αιχμής της ρωγμής. Στην ργασία αυτή, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία μ κίνους, αποδικνύουμ ότι στην πρίπτωση της μικροπολικής θωρίας (mcroolar theory), πιπλέον αυτών των δύο συνθηκών, θα πρέπι να ίναι πίσης φραγμένο το πδίο της στροφής και το πδίο των καθολικών ροπών. Είναι νδιαφέρον να πισημάνουμ ότι πρόσφατα αποτλέσματα για πίπδα προβλήματα ρωγμών στα πλαίσια της θωρίας αυτής ικανοποιούν τις συνθήκς αυτές, καθώς οι μτατοπίσις στις πιφάνις της ρωγμής 3 ( ) x 1 μταβάλλονται ως ( ) O καθώς x 0, ως προς το Καρτσιανό ορθογώνιο 1 σύστημα συντταγμένων Ox 1x x3, που έχι την αρχή του στην αιχμή της ρωγμής και για ρωγμή που βρίσκται στη θέση ( < x <, x 0) 1 0 =, όπου ίναι σταθρό μήκος. Αναφέρουμ δώ ότι τέτοια ραμφοιδής συμπριφορά για το κλίσιμο (closure) της ρωγμής έχι πίσης ξαχθί στην ργασία Clevernga et al. (000), μέσω της χρήσης διακριτών ξαρμώσων γύρω από τη ρωγμή. Επίσης, στην ργασία των Elssner et al. (1994), πιββαιώνται τέτοιου ίδους συμπριφορά για το κλίσιμο ρωγμής σ πιράματα Μικρομηχανικής.

9 Κφάλαιο 1 Μικροπολική Θωρία 1.1 Γνικά Η κλασσική θωρία Ελαστικότητας πριγράφι, ν γένι ραλιστικά, τα ντατικά και παραμορφωσιακά μγέθη που αναπτύσσονται στα συνήθη υλικά, στο κατάλληλο ύρος φορτίσων, στη Μηχανική των Υλικών και των Κατασκυών. Παρόλα αυτά υπάρχουν πριπτώσις που η τλυταία αδυνατί να δώσι αξιόπιστα αποτλέσματα. Μια χαρακτηριστική πρίπτωση αποτλί η κόπωση μηχανικών μρών ή, πιο γνικά, τα προβλήματα στα οποία έχουμ μγάλη συγκέντρωση τάσων. Τα πιραματικά δδομένα στις πριπτώσις αυτές έχουν δίξι μγάλη απόκλιση από τα αποτλέσματα που προβλέπι η κλασσική θωρία. Ο λόγος ίναι ότι οι θωρήσις που έχουν γίνι στα πλαίσια της κλασσικής θωρίας οδηγούν στο να μη λαμβάνται υπ όψιν η παρουσία βαθμίδων τάσης και παραμόρφωσης. Σ αυτές τις πριπτώσις τα φαινόμνα «νίσχυσης» (strengthenng effects) που προκαλούνται από την ύπαρξη φαινομένων βαθμίδας γίνονται σημαντικά όταν οι ν λόγω βαθμίδς ίναι πράγματι μγάλς. Αυτό συμβαίνι στην άμση γιτονία αιχμών ρωγμής, γκοπών, μικρών οπών και γκλισμάτων καθώς και στην πρίπτωση μικρομτρικών διισδύσων (mcrometer ndentatons). Χαρακτηριστικά παραδίγματα φαινομένων κλίμακας σ λαστικά παραμορφώσιμα σώματα αποτλούν: η διάδοση κυμάτων μ πολύ μικρό μήκος κύματος σ στρωσιγνή (layered) υλικά, η ύπαρξη οριζοντίως πολωμένων (SH waves) πιφανιακών κυμάτων και στρπτικών πιφανιακών κυμάτων, η ύπαρξη πιφανιακών κυμάτων Raylegh μ διασπορά σ υψηλές συχνότητς και ο λυγισμός δοκών πολυ-κρυσταλλικών υλικών. Από ό,τι δίχνουν προηγούμνς ργασίς στην βιβλιογραφία, οι παραπάνω πριπτώσις μπορούν να πριγραφούν παρκώς μόνο στα πλαίσια Γνικυμένων Θωριών Συνχούς Μέσου. Καθίσταται σαφές λοιπόν ότι το προτινόμνο έργο αποτλί πρωτότυπη έρυνα που αναμένται να δώσι απαντήσις σ σημαντικά προβλήματα της Μηχανικής. 3

10 Τέτοια φαινόμνα οφίλονται κυρίως στην έλλιψη κάποιου σωτρικού χαρακτηριστικού μήκους στις ξισώσις της κλασσικής θωρίας, μ αποτέλσμα να μην λαμβάνται υπ όψιν η δομή του υλικού. Το μιονέκτημα αυτό της κλασικής θωρίας ξπράστηκ μ τη χρήση των Γνικυμένων Θωριών Συνχούς Μέσου, οι οποίς ξ ορισμού «αναγνωρίζουν» την σωτρική δομή του υπό ξέταση υλικού και την νσωματώνουν (μ τη μορφή κάποιων χαρακτηριστικών μηκών) στην μαθηματική διατύπωση του κάστοτ προβλήματος. Kατηγορίς υλικών που μφανίζουν μικροδομή αποτλούν τα κοκκώδη, κυψλοιδή, οπλισμένα μ ίνς και στρωσιγνή σύνθτα. Πρόκιται για γγνώς τρογνή υλικά μ μικροδομικό χαρακτήρα που αντιστοιχί στις διαστάσις των πί μέρους υλικών (mcro-meda). Λόγω αυτής της δομής τα υλικά αυτά παρουσιάζουν χαρακτηριστικά φαινόμνα κλίμακας (sze effects) που οι κλασικές Θωρίς της Μηχανικής του Συνχούς Μέσου αδυνατούν να πριγράψουν παρκώς. Ιστορικά, ιδές που διέπουν τις γνικυμένς θωρίς συνχούς μέσου ίχαν ήδη αρχίσι να μφανίζονται από τον 19 ο αιώνα μ τις ργασίς των Cauchy (1851), Vogt (1887) και των αδλφών E. και F. Cosserat (1909). Όμως το ζήτημα γνικύτηκ και έφτασ στην ωριμότητά του στις δκατίς του 1960 και 1970 μ τις ργασίς των Toun (196), Mndln (1964), reen και Rvln (1964), Bleusten (1967), Mndln και Eshel (1968), Erngen (1968), Nowack (197) και erman (1973). Αξίζι να σημιωθί ότι η μικροπολική θωρία (mcroolar theory) Ελαστικότητας αναπτύχθηκ για πρώτη φορά από τους αδρφούς E. και F. Cosserat (1909). Στην ργασία αυτή διατυπώθηκαν, όμως, μόνο οι ξισώσις ισορροπίας και όχι οι καταστατικές ξισώσις της θωρίας. Η αυστηρή θμλίωση της θωρίας έγιν αργότρα από τους Erngen και Suhub (1964) και Nowack (197) νώ νδιαφέρουσς παρουσιάσις της μικροπολικής θωρίας μπορούν να βρθούν στις ργασίς των Lubarda και Markenscoff (000) και Lubarda και Markenscoff (003). 1. Βασικές ξισώσις της θωρίας Η μικροπολική θωρία (mcroolar theory) υποθέτι ότι κάθ στοιχίο πιφάνιας S, που βρίσκται ίτ στο σωτρικό του σώματος ίτ στην πιφάνια του, υπόκιται όχι μόνο σ μια συνισταμένη δύναμη αλλά και σ μια συνισταμένη ροπή, ανά μονάδα 4

11 πιφάνιας. Η υπόθση αυτή ίναι κατάλληλη για υλικά μ κοκκώδη ή κρυσταλλική δομή όπου η αλληλπίδραση δυο γιτονικών στοιχίων ισάγι σωτρικές ροπές. Ειδικότρα, η θωρία αυτή υποθέτι ότι: () κάθ υλικό σημίο έχι έξι ανξάρτητους βαθμούς λυθρίας ( τρις συνιστώσς μτατόπισης και τρις συνιστώσς στροφής), () η Αρχή των Τάσων (Stress Prncle) των Euler-Cauchy πκτίνται λαμβάνοντας υπ όψιν την ύπαρξη λκυστών τάσων ζύγους (ροπής), () η πυκνότητα παραμορφωσιακής νέργιας ξαρτάται όχι μόνο από την τροπή αλλά και από την βαθμίδα της στροφής. Απουσία αδρανιακών φαινομένων, οι νόμοι διατήρησης της ορμής και της στροφορμής για έναν όγκο λέγχου CV μ πιφάνια S ίναι (Erngen και Suhub, 1964, Nowack, 197) ( ) 0 ( n) t ds + X d CV = (1.1) S CV S ( xq tk eqk + M ) ds + ( xq X k eqk + Y ) d ( CV ) = 0 (1.) CV όπου ( n) t ίναι η πιφανιακή δύναμη ανά μονάδα πιφανίας (ο λκυστής των τάσων), X ίναι οι καθολικές δυνάμις ανά μονάδα όγκου, ( n) M ίναι η πιφανιακή ροπή ανά μονάδα πιφανίας, Y ίναι οι καθολικές ροπές ανά μονάδα όγκου και x q ίναι οι συνιστώσς του διανύσματος θέσης κάθ υλικού στοιχίου μ στοιχιώδη όγκο d ( CV ). Στη συνέχια, οι τάσις και οι τάσις ζύγους ορίζονται αν λάβουμ υπ όψιν την ισορροπία στοιχιώδους υλικού ττραέδρου (ττραέδρου Cauchy) και χρησιμοποιήσουμ τις Εξ. (1.1) και (1.), αντίστοιχα (ιδέ π.χ. Aero και Kuvshnsk, 1960, Malvern, 1969). Ο τανυστής των τάσων σ q, ο οποίος ίναι ασύμμτρος, ορίζται ως t ( n) = σ q n q (1.3) και ο τανυστής των τάσων ζύγους µ q, ο οποίος ίναι πίσης ασύμμτρος, ως 5

12 M (n ) = µ q nq, (1.4) Σχήμα 1. Υλικό μ μικροδομή: μονοπολικές (ξωτρικές) και διπολικές (σωτρικές) δυνάμις δρουν σ ένα σύνολο μικρο-μέσων. Ο τανυστής του ζύγους τάσων προκύπτι από τη θώρηση πολυπολικών δυνάμων, οι οποίς ίναι αντιπαράλληλς δυνάμις και δρουν μταξύ των μικρομέσων που πριέχονται σ συνχές μέσο μ μικροδομή (Σχ. 1). Όπως ξηγήθηκ από τους reen και Rvln (1964) και Jaunzems (1967), η έννοια των πολυπολικών δυνάμων προκύπτι άμσα από τη γνίκυση της μηχανικής ισχύος M, η οποία πριέχι ανώτρης τάξης παραγώγουςτου πδίου ταχύτητας. Μ τον τρόπο αυτό, η συνισταμένη δύναμη που φαρμόζται σ ένα σύνολο υποσωματιδίων μπορί να θωρηθί ότι αναλύται σ ένα άθροισμα ξωτρικών και σωτρικών δυνάμων, όπου οι τλυταίς ίναι αυτοϊσορροπούμνς. Όμως, τέτοις αυτοϊσορροπούμνς πολυπολικές δυνάμις παράγουν μη μηδνικές τάσις, τις πολυπολικές τάσις. Οι σχέσις t (n ) = t ( n ) και M (n ) = M ( n ), όπου n ίναι το μοναδιαίο διάνυσμα το κάθτο σ ένα στοιχίο πιφάνιας (ίτ στο σύνορο, ίτ σ οποιαδήποτ ιδατή πιφάνια στο σωτρικό του σώματος) μ φορά προς τα έξω, μπορούν ύκολα να αποδιχθούν αν θωρήσι κανίς την ισορροπία μίας «λπτής λωρίδας» (thn slce) του υλικού. Οι τάσις ζύγους µ q έχουν διαστάσις [δύναμη][μήκος] 1. Για την κινηματική πριγραφή του σώματος ορίζονται, στα πλαίσια μιας γωμτρικά γραμμικής θωρίας, οι ακόλουθς ποσότητς 6

13 γ = u ϕ, (1.5α) j j kj k κ = ϕ j j (1.5β) όπου u το διάνυσμα μτατόπισης, ϕ ίναι το διάνυσμα στροφής, γ j ο τανυστής σχτικής παραμόρφωσης και κ j ίναι ο τανυστής καμπυλότητας (curvature or torson-flexure tensor) ο οποίος έχι διαστάσις 1 [μήκος]. Τονίζται ότι η στροφή και η μτατόπιση στη μικροπολική θωρία ίναι ανξάρτητς ποσότητς. Στη συνέχια, θωρούμ ότι η πυκνότητα παραμορφωσιακής νέργιας W σ ένα τριδιάστατο συνχές μέσο ίναι μία θτικά ορισμένη συνάρτηση της μορφής ( j, j ) W W γ κ. (1.6) Στην απλούστρη, τώρα, πρίπτωση γραμμικής ανισότροπης καταστατικής συμπριφοράς, η πυκνότητα παραμορφωσιακής νέργιας λαμβάνι την ακόλουθη ττραγωνική μορφή 1 1 W = ajkl γ jγkl + cjkl κ jκkl (1.7) όπου a jkl και c jkl οι τανυστές σταθρών του υλικού, για τους οποίους ισχύουν οι ακόλουθς συνθήκς συμμτρίας a c jkl jkl = a klj = c. klj (1.8) (1.9) Στη γνική πρίπτωση, οι τανυστές ( jkl, jkl ) a c θωρούνται συνχώς διαφορίσιμς συναρτήσις της θέσης, πριλαμβάνοντας έτσι την ύπαρξη ανομοιογένιας στο υλικό. Τλικά, το γγονός ότι η W ίναι θτικά ορισμένη, θέτι τους συνήθις πριορισμούς για το πιτρπτό ύρος τιμών των σταθρών του υλικού. Στην απλούστρη πρίπτωση ισότροπου υλικού, οι τανυστές a jkl και c jkl γράφονται ως ξής 7

14 ( ) ( ) a = µ + α δ δ + µ + α δ δ + λδ δ (1.10) jkl jk l jk k j kl ( ) ( ) c = γ + δ δ + γ δ δ + βδ δ (1.11) jkl jk l jl k j kl όπου α, λ, µ, β, γ, ίναι σταθρές του υλικού. Για θτικά ορισμένη παραμορφωσιακή νέργια προκύπτουν οι ακόλουθς ανισότητς µ > 0, 3λ + µ > 0 (1.1α) γ > 0, 3β + γ > 0 (1.1β) µ + α > 0 γ + > 0 α > 0, > 0 (1.1γ) (1.1δ) (1.1) νώ, αντίστοιχα, οι τάσις μπορούν να οριστούν ως μταβολές της πυκνότητας παραμορφωσιακής νέργιας W σ µ j j W = γ j W =. κ j (1.13) (1.14) Οι καταστατικές σχέσις (1.13) και (1.14) ξασφαλίζουν μία-προς-μία αντιστοιχία μταξύ των μγθών σ j και γ j και µ j και κ j. Στο Σχήμα φαίνονται οι τάσις και οι τάσις ζύγους σ ένα στοιχιώδη όγκο στρού Cosserat και, αντίστοιχα, οι δυνάμις και ροπές στα δομικά στοιχία νός πραγματικού υλικού. 8

15 Σχήμα. Αριστρά, δυνάμις και ροπές στα δομικά στοιχία νός πραγματικού υλικού. Δξιά, τάσις και τάσις ζύγους σ ένα στοιχιώδη όγκο στρού Cosserat. Στην πρίπτωση γραμμικής και ισότροπης καταστατικής συμπριφοράς, η πυκνότητα παραμορφωσιακής νέργιας λαμβάνι την ακόλουθη ττραγωνική μορφή W = µ γ (j ) γ (j ) + λ γ kk γ nn + γ κ (j ) κ (j ) + κ j κ j + β κ kk κ nn (1.15) που πριλαμβάνι τέσσρις διαφορτικές υλικές σταθρές. Γραμμικές και ισότροπς καταστατικές σχέσις μπορούν, τώρα, να προκύψουν από τη σχέση (1.15) ως σ j = ( µ + α ) γ j + ( µ α ) γ j + λ δ jγ kk (1.16) µ j = ( γ + ) κ j + ( γ ) κ j + β δ j κ kk. (1.17) Στη συνέχια, αντικαθιστώντας τις καταστατικές σχέσις (1.16) και (1.17) στην ξίσωση ισορροπίας και χρησιμοποιώντας τις γωμτρικές σχέσις (1.5α) και (1.5β) καταλήγουμ, απουσία καθολικών δυνάμων και ροπών, στις ξισώσις ισορροπίας ως προς τις μτατοπίσις 0 u + ( λ + µ α ) grad dv u + a rot ϕ + X = 9 (1.18)

16 4 ϕ+ ( β + γ ) grad dvϕ+ α rot u + Y = 0 (1.19) μ τους τλστές να ορίζονται ακολούθως ( ) = µ + α (1.0) ( ) = γ + α (1.1) 4 4 Κφάλαιο Μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος ρωγμής Θωρούμ ένα πίπδο χωρίο D μ λίο σύνορο C. Το σώμα πριέχι μία μοναδική, σωτρική ρωγμή ορισμένη ως L. Στις ρωγμές δ δρα κάποιος λκυστής νώ το φορτίο φαρμόζται στο C. Ένα συνχές πδίο καθολικών δυνάμων και ροπών μπορί να δρα στο σώμα. Όπως απικονίζται στο Σχ. 1, θωρούμ ένα Καρτσιανό σύστημα συντταγμένων Ox1x x 3 στο σώμα ώστ η ρωγμή να αποτλίται από τα σημία {( 1, ) : 1, 0} L x x a x a x =±. Επιπλέον, ορίζουμ δύο κύκλους από τα χίλη της ρωγμής ( a,0) και (,0) a νώ ισχύι ( 1) ( ) ( 1) C και ( ) C γύρω C C + C. Κάθ κύκλος έχι ακτίνα, η οποία ίναι θτική και αρκτά μικρή ώστ να ξασφαλίζται ότι οι κύκλοι ίναι πράγματι ντός του D. Ορίζουμ πιπλέον τα ακόλουθα πδία ορισμού : ( 1) ( ) + ίναι το πδίο που πριέχι όλα τα σημία ντός των κύκλων κτός από αυτά που κίνται πί της ρωγμής L, D0 D L ίναι το πδίο που πριέχι όλα κίνα τα σημία του D που δν κίνται πί του L, D D0 το πδίο που πριέχι τα σημία του D 0 που ίναι κτός των κύκλων ( 1) C και ( ) C, και 10

17 {(, ) : (, ), 0, ( ) } D + x x x x D + C x x + a + x ίναι το πδίο που πριέχι κίνα τα σημία του D+ L που κίνται πί ή πάνω από τον άξονα x 1, μ την ξαίρση των δύο χιλών της ρωγμής (ομοίως {(, ) : (, ), 0, ( ) } D x x x x D + C x x + a + x ). Τέλος, θα γίνι χρήση του σωτρικού του L που ορίζται ως L0 {( x1, x) : a x1 a, x 0} < < =±. Σ κάθ πρίπτωση, όλς οι καθολικές δυνάμις και οι λκυστές δρουν ντός του πιπέδου (, ) x x και ίναι ανξάρτητς από το x 3. 1 Σχήμα 3. Επίπδη πριοχή D ~ μ σύνορο C που πριλαμβάνι ππρασμένου μήκους ρωγμή L. Οι ( 1) ( ) παρκώς μικροί κύκλοι C και C μ κέντρο τις αιχμές της ρωγμής έχουν ακτίνα. Εξτάζουμ τη μοναδικότητα των λύσων ( q, q, q, q ) πρέπι πιπλέον να υπακούουν στις ακόλουθς συνθήκς λιότητας u ϕ σ µ του προβλήματος, οι οποίς θα + ( ) ( ) ( 0 ) 1 1 uq C D C D C D, + ( ) ( ) ( ) ϕ q C D C D C D 0, + 1 ( ) ( ) ( ) σ q C D C D C D 0, 11

18 + 1 ( ) ( ) ( ) µ q C D C D C D 0. Η έκφραση του δυνατού έργου για τη μικροπολική θωρία τάσων γράφται ως ξής ( ) ( σ δγ q q + µ δκ q q ) dv = ( X δ u + Y δϕ ) dv + t δ u + M δϕ ds (.1) V V S και, όπως απέδιξαν οι Knowles και Puck (1973), λαμβάνοντας υπ όψιν τη μοναδικότητα στην κλασσική θωρία, οι αναγκαίς συνθήκς αιχμής ώστ η πυκνότητα παραμορφωσιακής νέργιας να ίναι φραγμένη και να μπορί να ισχύι τόσο η Αρχή των Δυνατών Έργων όσο και το θώρημα του Krchoff, ίναι ένα φραγμένο πδίο μτατοπίσων καθώς και ένα φραγμένο πδίο καθολικών δυνάμων στην άμση γιτονία των αιχμών της ρωγμής. Εδώ προσθέτουμ, συμπληρωματικά μ τις παραπάνω, την πιπλέον συνθήκη φραγμένου πδίου στροφής και καθολικών ροπών έτσι ώστ να ισχύουν οι ακόλουθς σχέσις W da < και D0 X u da + Y ϕ da + σ n u ds + µ n ϕ ds = D q q q q q q q q 0 D0 C C X quq da + Y ϕ q q da + ( σ quq ) dv + ( µ ϕ q q ) dv = D0 D0 V V q q qϕq ( σ q q σ q q ) ( µ qϕ q µ q ϕq ) X u da + Y da + u + u dv + + dv = D0 D0 V V ( ) X u da + Y ϕ da + σ u σ γ ϕ + + dv D q q q q q q q q qr r 0 D0 V ( µ ϕ µ κ q q q q ) dv q q dv q q dv W da V σ γ V µ κ V (.) D0 + + = + = Ορίζουμ συνάρτηση g ( ), για κάθ θτική και στοιχιώδη ποσότητα, τέτοια ώστ ( ) g = W da X u da Y ϕ da t u ds M ϕ ds ( ) D q q q q q q D0 D0 C C g = W da X u da Y ϕ da t u ds M ϕ ds D0 q q q q q q D0 D0 C C 1

19 ( ) g = W da W da X u da Y ϕ da t u ds M ϕ ds ( ) g = ( ) D0 q q q q q q D0 D0 C C W da q q q q q q (.3) g = X u da Y ϕ da t u ds M ϕ ds C C Κάνοντας τις αντικαταστάσις, προκύπτι η ακόλουθη σχέση tquqds + M qϕqds = n ( σ quq + µ qϕq ) ds (.4) C C C και τλικά λαμβάνουμ ( ) = q q qϕq + σ q q + µ qϕq (.5) g X u da Y da n u ds n ds C C νώ ισχύι, πίσης ( ) = q q qϕq q q qϕq g X u da Y da t u ds M ds C C ( ) q q qϕq q q qϕq g X u da Y da + t u ds M ds C C ( ) q q qϕq qσ q q qµ qϕq g X u da + Y da + n u ds + n ds C C ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 X q da u q da Y q da ϕ q da ( nqσ q ds C ) ( uq ds C ) ( n C qµ q ds ) ( ϕ C q ds ) ( X qx q da ) ( uquq da ) ( Y qyq da) ( ϕϕ q q da) ( σ qσ q ds C ) ( uquq ds C ) ( µ C qµ q ds ) ( ϕϕ C q q ds ) Επιδή το σώμα ίναι ππρασμένο (κλιστό) και οι καθολικές δυνάμις και ροπές καθώς και οι μτατοπίσις και οι στροφές ίναι συνχίς συναρτήσις στο D 0, θα ίναι και 13

20 φραγμένς, μ αποτέλσμα να ισχύουν οι παρακάτω ανισότητς (όπου α, β, ζ, η θτικές σταθρές) X α x D q q u β x D Y η x D q ϕ q ζ x D (.6) 0 οπότ και προκύπτουν οι κάτωθι ανισότητς ( ) 1 ( ) 1 X qx q da α da = α ( π ) 1 (.7) ( ) 1 ( ) 1 uquq da β da = β ( π ) 1 (.8) ( ) 1 ( ) 1 YqYq da η da = η ( π ) 1 (.9) ( ) 1 ( ) 1 ϕqϕq da ζ da = ζ ( π ) 1 (.10) ( ) 1 ( ) 1 uquq ds β ds = β ( 4π ) C C 1 (.11) ( ) 1 ( ) 1 ϕqϕq ds ζ ds = ζ ( 4π ) C C 1 (.1) και τλικά θα λάβουμ ( ) = π αβ + π ηζ + β ( 4π ) ( σ qσ q ) + ζ ( 4π ) C ( µ C qµ q ) (.13) g ds ds Επιδή η πυκνότητα παραμορφωσιακής νέργιας ίναι συνάρτηση ττραγωνικής μορφής, υπάρχουν θτικές σταθρές λ και ξ ώστ 14

21 (, ) W σ µ λσ σ + ξ µ µ (.14) q q q q q q κι φόσον ίναι σ σ 0, µ µ 0, προκύπτι ότι q q q q σ σ 1, λ q q W µ µ 1. (.15) ξ q q W Παραγωγίζοντας κατά Lebnz, όπως φαίνται και στο Σχήμα που ακολουθί, Σχήμα 4. Λπτομέρια αιχμής ρωγμής πιδή ισχύι g ( ) = WdA ( ) π (, ) g W r θ rdθdr = 0 0 μτά την παραγώγιση, προκύπτι ότι π g '( ) = W ( r, θ) dr rdθ 0 0 { } g W r θ dθ rdr 0 0 '( ) π = (, ) 15

22 = = = 0 g '( ) [ h( r) rdr] h( ) π 0 ( ) = W θ, dθ= ( ) π θ, θ 0 C. (.16) = W d = Wds Από τις παραπάνω σχέσις, μπορούμ να γράψουμ g ( ) ( g ( ) ) 1 Φ +Ψ (.17) όπου ( ηζ ) Φ= 4π αβ + ( ) 1 β ζ Ψ= π + λ ξ. Τέλος, πρέπι να αποδίξουμ ότι η διαφορική ξίσωση (.17) συνπάγται την ύπαρξη του ορίου της g ( ) καθώς + 0, καθώς πίσης και ότι g ( ) μονοτονία της g ( ) ξασφαλίζι ότι ίτ το ( 0) g ( + 0) = +. Συνπώς, υπάρχουν οι ακόλουθς πριπτώσις: lm + = 0. Η g + υπάρχι και ίναι ππρασμένο ίτ ότι 0 Πρίπτωση 1: 0 g ( 0) Πρίπτωση : g ( ) < + (.18) < + 0 < 0 (.19) Πρίπτωση 3: g ( + 0) = 0 (.0) Ακολουθώντας τη μέθοδο Knowles and Puck (1973) θα αποδίξουμ ότι μόνη πιθανή ίναι η Πρίπτωση 3. Στην Πρίπτωση 1, μπορούμ να θωρήσουμ έναν αριθμό, αρκτά μικρό ώστ η ανισότητα (.17) να ισχύι για 0 < και 16

23 ( ) ( ) ( ) ( ) g Φ = g Φ g Φ g Φ >. (.1) 0 Από τις (.17) και (.1) προκύπτι ότι ( ) ( ) 0 < g Φ Ψ g (.) για 0 < και ολοκληρώνοντας την τλυταία για 0 < 1 < ln ( ) Ψ Φ Φ Φ ( ) ( ) ( ) 1 g g 1 g Ψ g ( ) Φ (.3) ln ( ) 1 φόσον, βάσι των ανισοτήτων στην (.1), ( ) στην (.3), προκύπτι g Φ >. Θέτοντας, τώρα, ( ) g Φ (.4) 0 η οποία, ωστόσο, ίναι σ αντίθση μ την τλυταία από τις ανισότητς στην (.1) και έτσι οδηγούμαστ στο συμπέρασμα ότι η Πρίπτωση 1 ίναι αδύνατη. Στην Πρίπτωση, πιλέγουμ και πάλι μία ποσότητα > 0, αρκτά μικρή ώστ να διασφαλίζται ότι η ανισότητα στην (.17) ισχύι για 0 < και, βάσι της (.19), θα πάρουμ ( ) ( ) ( ) ( 0) g Φ = g Φ g Φ g + Φ ( ) = g + 0 Φ > 0 (.5) Από τις (.17) και την (.5) και ολοκληρώνοντας για 0 < 1 <, θα προκύψι ( ) ( ) 0 < g + Φ Ψ g 17

24 1 1 1 ln ( ) Ψ +Φ +Φ ( ) g( ) 1 g 1 (.6) Όμως, ο δύτρος όρος του δξιού μέλους της τλυταίας ανισότητας ίναι αρνητικός οπότ Ψ g ( 1) Φ (.7) ln ( ) 1 και, θέτοντας στην (.7) g ( ) + 0 Φ 0, (.8) η οποία, ωστόσο, ίναι αντίθτη μ την τλυταία από τις ανισότητς στην (.5) και συνπώς οδηγούμαστ στο συμπέρασμα ότι η Πρίπτωση ίναι αδύνατη. Συνπώς, αναγκαστικά οδηγούμαστ στην Πρίπτωση 3 στην (.0). Αυτό σημαίνι ότι το όριο της συνάρτησης g ( ), καθώς + 0, υπάρχι πράγματι καθώς και ότι g ( ) lm + = 0. Συνπώς, έχουμ αποδίξι ότι οι συνθήκς αιχμής (edge condtons) 0 που απαιτούνται στις (.6) ίναι οι απαραίτητς συνθήκς για να υπάρξι μοναδικότητα της λύσης. 18

25 Γνικά Συμπράσματα Στην παρούσα ργασία τονίσαμ τις συνθήκς αιχμής (φραγή σ ορισμένα πδία στη γιτονία αιχμών ρωγμής) οι οποίς ξασφαλίζουν τη μοναδικότητα της λύσης για πίπδα προβλήματα ρωγμής μ βάση τη μικροπολική θωρία. Βασιστήκαμ σ νργιακές σχέσις και αποδίξαμ ότι απαιτούνται πιο αυστηρές συνθήκς για αυτές τις γνικυμένς θωρίς Συνχούς Μέσου σ σύγκριση μ αυτές που απαιτούνται στην κλασσική λαστικότητα. Οι πληροφορίς που προκύπτουν από τις συνθήκς αιχμής ίναι ιδιαίτρα χρήσιμς για την πίλυση προβλημάτων οριακών συνθηκών που πριέχουν ρωγμές φόσον θα ίναι κ των προτέρων γνωστή η συμπριφορά συγκκριμένων πδίων (βαθμίδας μτατόπισης ή στροφής ή παραμόρφωσης) στη γιτονία των αιχμών της ρωγμής και θα ίναι δυνατός, έτσι, ο έλγχος καταλληλότητας πιθανών λύσων. Επιπλέον, θα πρέπι να τονιστί ότι η μορφή των καταστατικών ξισώσων δν πηράζι τα όρια φόσον οι καταστατικές σχέσις παραμένουν γραμμικές. Μ βάση αυτή την παρατήρηση, μπορί να υπάρξι φαρμογή και σ πρόσφατς τροποποιήσις της γνικής θωρίας. Τέλος, θα πρέπι να πισημάνουμ ότι πλήθος λύσων σ προβλήματα ρωγμών (λύσων βασισμένων στις γνικυμένς θωρίς Συνχούς Μέσου) συμφωνούν μ τα αποτλέσματα που προέκυψαν στη συγκκριμένη ργασία ( για παράδιγμα, οι πρόσθτς συνθήκς στην άμση γιτονία αιχμών ρωγμής από τις ήδη υπάρχουσς της κλασσικής λαστικότητας). 19

26 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Θωρούμ σώμα όγκου V, μ ομαλό σύνορο S, ακολουθώντας τη στρατηγική του θωρήματος Neumann (όπως στην κλασσική Ελαστικότητα) νώ θωρούμ πίσης και την ( ) πρίπτωση μικτών συνοριακών συνθηκών { ( n ), ( n t M ) στο S και (, ) u ϕ στο S u }.Έστω ότι υπάρχουν δύο διαφορτικές λύσις (ίδιο υλικό, ίδια γωμτρία, ίδις συνοριακές συνθήκς και μαζικές δυνάμις), Λ= ( u, ϕ, σ j, µ j ) και Λ = ( u, ϕ, σ j, µ j ) οι συνοριακές συνθήκς ίναι ίδις μπορούμ να γράψουμ. Εφόσον S ( )( ϕ ϕ ) ( )( ) t t u u + M M ds ( )( ) ( )( ϕ ϕ ) = t t u S u M M + ds ( )( ) ( )( ϕ ϕ ) + + t t u u S M M ds (1) u και Στο M M ( )( ) ( )( ϕ ϕ ) t t u u S M M + ds ίναι = 0 νώ στο Su ( )( ) t t = 0 ( )( ϕ ϕ ) t t u u + M M ds ίναι u u = 0 και ϕ ϕ = 0. Στα πλαίσια της γραμμικής θωρίας, μπορούμ να πούμ ότι και η διαφορά των λύσων ( u, ϕ, σ j, µ j ) προβλήματος. Θα ίναι Λ=, θα αποτλί, πίσης, λύση του 0

27 u = u u ϕ = ϕ ϕ σ = σ σ j j j µ = µ µ j j j Εφαρμόζοντας το Θώρημα Claeyron για τη λύση ( u, ϕ, σ j, µ j ) Λ=, προκύπτι t u ds + M ϕ ds + t u ds + M ϕ ds S k u S k k k u S S = W dv V () Κάνοντας χρήση των (1) και () προκύπτι ότι το αριστρό μέλος του ολοκληρώματος ίναι ίσο μ μηδέν και άρα V W dv = 0 W = 0 (3) Επιδή, όμως, η παραμορφωσιακή νέργια ίναι ττραγωνική μορφή, θτικά ορισμένη, η μόνη πρίπτωση για να ίναι ίση μ το μηδέν ίναι το σώμα να ίναι αφόρτιστο. Άρα, μπορούμ να γράψουμ σ = 0 j µ = 0 j γ = 0 j κ = 0 j u = 0 ϕ = 0 (4) Συνπώς, οι δύο λύσις που υποθέσαμ ταυτίζονται και έτσι καταλήγουμ στη μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος της ρωγμής στα πλαίσια της μικροπολικής θωρίας Ελαστικότητας. 1

28 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

29 Aero, E.L., Kuvshnsk, E.V., Fundamental equatons of the theory of elastc meda wth rotatonally nteractng artcles. Fz. Tverd. Tela, , Translated n Sovet Physcs Sold State, (1961). Bleusten, J. L., A note on the boundary condtons of Toun s stran-gradent theory. Int. J. Solds Struct. 3, Cauchy, A.L., Note sur l equlbre et les mouvements vbratores des cors soldes. Comtes-Rendus Acad. Pars 3, Clevernga, H.H.M., van der essen, E., Needleman, A., 000. A dscrete dslocaton analyss of mode I crack growth. J. Mech. Phys. Solds 48, Cosserat, E., Cosserat, F., Theore des Cors Deformables. Hermann et Fls, Pars. Elssner,., Korn, D. and Ruhle, M., The nfluence of nterface murtes on fracture energy of UHV dffuson bonded metal-ceramc bcrystals. Scrta Metall. Mater. 31, Erngen, A.C., Theory of mcroolar elastcty. In: Lebowtz, H. (Ed.), Fracture An Advanced Treatse, Vol., Academc Press, New York, Erngen, A. C., Suhub, E. S., 1964a. Non-lnear theory of mcro-elastc solds I. Int. J. Eng. Sc., Erngen, A. C., Suhub, E. S., 1964b. Non-lnear theory of mcro-elastc solds. Int. J. Eng. Sc., Freund, L. B., Dynamc Fracture Mechancs. Cambrdge Unversty Press, Cambrdge. eorgads, H.., Brock, L. M., Exact elastodynamc analyss of some fracture secment models nvolvng str geometres. Int. J. Solds Struct. 31, eorgads, H.., Rgatos, A. P., Transent SIF results for a cracked vscoelastc str under concentrated mact loadng-an ntegral-transform/functon-theoretc aroach. Wave Moton 4, erman, P., The method of vrtual ower n contnuum mechancs. Part : mcrostructure. SIAM J. Al. Math. 5, reen, A.E., Rvln, R.S., Multolar contnuum mechancs. Arch. Raton. Mech. Anal. 17, Knowles, J. K., Puck, T. A., Unqueness for lane crack roblems n lnear elastostatcs. J. Elast. 3, Lubarda, V.A., Markenskoff, X., 000. Conservaton ntegrals n coule stress elastcty. J. Mech. Phys. Solds 48,

30 Lubarda, V. A., Markensckoff, X., 003. The stress feld for a screw dslocaton near cavtes and straght boundares. Materal Scence and Engneerng A-Structural materals roertes mcrostructure and rocessng, Vol. 349, Is. 1-, Malvern, L. E., Introducton to the Mechancs of a Contnuous Medum. Prentce- Hall. Mndln, R.D., Mcro-structure n lnear elastcty. Arch. Raton. Mech. Anal. 16, Mndln, R.D., Eshel, N.N., On frst-gradent theores n lnear elastcty. Int. J. Solds Struct. 4, Nowack, W., 197. Theory of mcroolar elastcty. CISM Internatonal Centre for Mechancal Scences No. 5. Srnger-Verlag. Toun, R.A., 196. Perfectly elastc materals wth coule stresses. Arch. Raton. Mech. Anal. 11, Vogt, W., Theoretsche Studen uber de Elastctatsverhaltnsse der Krystalle. Abh. es. Wss. ottngen 34. 4