Ο Άνσελμος για την ύπαρξη του Θεού (Monologion κεφ. 1)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο Άνσελμος για την ύπαρξη του Θεού (Monologion κεφ. 1)"

Transcript

1 Ο Άνσελμος για την ύπαρξη του Θεού (Monologion κεφ. 1) Στα κεφ. 1 ο Άνσελμος δίνει μερικά επιχειρήματα για την ύπαρξη του Θεού. Τα επιχειρήματα αυτά μπορούν να λειτουργήσουν μόνον υπό την προϋπόθεση ενός πολύ ισχυρού ρεαλισμού αναφορικά με την ύπαρξη των καθόλου όντων. Το πρώτο επιχείρημα έχει ως εξής: Οι άνθρωποι επιθυμούν κάποια πράγματα στο βαθμό που αυτά είναι αγαθά. Κάποια πράγματα είναι πράγματι αγαθά. Άρα υπάρχει κάτι δυνάμει του οποίου όλα τα αγαθά πράγματα είναι αγαθά. Ο πλατωνικός ρεαλισμός που επικαλείται αυτό το επιχείρημα είναι προφανής. Όταν το κατηγορούμενο λευκός, για παράδειγμα, μπορεί αληθώς να αποδοθεί σε δύο επιμέρους όντα, τότε σύμφωνα με τον ρεαλισμό αυτού του τύπου υπάρχει ένα καθόλου ον δυνάμει του οποίου τα πράγματα αυτά είναι λευκά. Το δεύτερο επιχείρημα έχει ως εξής: Όταν δύο πράγματα είναι F σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό (π.χ είναι και τα δύο κυκλικά, αλλά το ένα είναι λιγότερο κυκλικό από το άλλο, ας πούμε γιατί είναι περισσότερο ωοειδές), τότε πρέπει να υπάρχει και ένα μέτρο που να επιτρέπει την μεταξύ τους σύγκριση. Το μέτρο αυτό είναι ένα ιδεατό πρότυπο που είναι F στον μέγιστο βαθμό. (Παρατήρηση: Η γενίκευση αυτή ενδεχομένως να ισχύει αναφορικά με τις μαθηματικές και ηθικές έννοιες, είναι προφανώς όμως λανθασμένη αναφορικά με άλλες. Δεν υπάρχει κάτι που π.χ είναι ψηλό στον μέγιστο βαθμό). Εάν θεωρήσουμε τώρα ως δεδομένο ότι τα δύο επιχειρήματα μιλούν για το ίδιο πράγμα τότε τα συμπεράσματά τους είναι συμπληρωματικά και θα μπορούσαν να συνοψισθούν στον ισχυρισμό ότι περισσότερα του ενός πράγματα είναι αγαθά δυνάμει κάποιου μοναδικού όντος που είναι αγαθό στον μέγιστο βαθμό. Φυσικά ο Άνσελμος επιθυμεί να πει ότι αυτό που είναι αγαθό στον μέγιστο βαθμό είναι ο Θεός, αλλά πριν οδηγηθεί στο συμπέρασμα αυτό πρέπει να δείξει ότι διαθέτει εκτός από την αγαθότητα και όλες τις άλλες ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τον Θεό. Ο Άνσελμος θα επιχειρήσει να το δείξει αυτό στα επόμενα κεφάλαια αλλά δεν θα παρακολουθήσουμε την σκέψη του περισσότερο στο σημείο αυτό. Σημειώστε επίσης, ότι εάν δεν θέλουμε να οδηγηθούμε σε regressus ad infinitum, θα πρέπει να πούμε ότι αυτό δυνάμει του οποίου κάθε πράγμα είναι αγαθό (και το οποίο είναι αγαθό στον μέγιστο βαθμό), δεν οφείλει την αγαθότητά τους σε τίποτε άλλο από τον εαυτό του. (Γιατί εάν βέβαια το μέγιστο αγαθό α όφειλε την αγαθότητά του σε κάτι άλλο β, το β θα έπρεπε να είναι το ίδιο αγαθό, και θα έπρεπε ξανά να πούμε σε τι το β οφείλει την αγαθότητά του το πρόβλημα το αντιμετώπισε ο Πλάτωνας στον διάλογό του Παρμενίδη). Δεύτερο επιχείρημα για την ύπαρξη του Θεού (Monologion κεφ. 3) Η κεντρική έννοια του επιχειρήματος είναι η έννοια της ύπαρξης μέσω ενός όντος ψ. Η ιδέα είναι ότι πολλά πράγματα χρωστούν την ύπαρξη τους σε κάποια άλλα πράγματα από τα οποία μπορούμε να πούμε ότι εξαρτώνται υπαρκτικά (ένα πολύ προφανές παράδειγμα: Η ύπαρξη των παιδιών εξαρτάται από τους γονείς), αλλά ενδεχομένως να υπάρχουν κάποια άλλα πράγματα που δεν εξαρτώνται υπαρκτικά από κανένα άλλο (αρχίζοντας το επιχείρημά του ο Άνσελμος απλώς εξετάζει θεωρητικά τη δυνατότητα να υπάρχουν τέτοια όντα και δεν προϋποθέτει την ύπαρξή τους). Ας πάρουμε τώρα την περίπτωση ενός ανθρώπου α που εξαρτάται από την μητέρα του β. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να πούμε όχι μόνο ότι το α εξαρτάται από το β, αλλά επίσης ότι το α υπάρχει μέσω του β. Ο τρόπος όμως που χρησιμοποιεί ο Άνσελμος το την έννοια αυτή του επιτρέπει ακόμη να πει ότι επιπλέον το α υπάρχει μέσω του εαυτού του (ή ότι το α υπάρχει μέσω του α). Παίρνοντας τώρα την δεύτερη περίπτωση που αφορά σε ένα πράγμα γ που δεν εξαρτάται από κανένα άλλο, είναι προφανές ότι και εδώ μολονότι δεν υφίσταται σχέση υπαρκτικής εξάρτησης (από ένα άλλο ον δ) μπορούμε πάλι να πούμε ότι το δ υπάρχει μέσω του δ. Συνοψίζοντας τα παραπάνω μπορούμε να πούμε ότι η σχέση _ υπάρχει μέσω του * είναι ανακλαστική ( δηλαδή για κάθε χ, το χ υπάρχει μέσω του χ). Η σχέση είναι επίσης μεταβατική (εάν το α υπάρχει μέσω του β και το β υπάρχει μέσω του γ, τότε το α υπάρχει μέσω του γ), καθώς επίσης και αντισυμμετρική ( εάν το α υπάρχει μέσω ενός διαφορετικού από τον εαυτό του πράγματος β, τότε το β δεν υπάρχει μέσω του α).

2 Μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε ότι σύμφωνα με τα παραπάνω τίποτα δεν υπάρχει μέσω του μηδενός, όλα τα πράγματα υπάρχουν μέσω κάποιου όντος έστω και μέσω του εαυτού τους. Μπορούμε επίσης να δούμε ότι κατά τα παραπάνω υπάρχει σίγουρα κάποιο πράγμα ή μια ομάδα πραγμάτων μέσω των οποίων όλα τα όντα υπάρχουν. Αυτό ισχύει γιατί σε τελική ανάλυση κάθε ον χ υπάρχει μέσω ενός πράγματος ψ. Τώρα πάρτε όλα τα όντα τα ονόματα των οποίων αντικαθιστούν τον δεύτερο όρο αυτής της σχέσης και βάλτε τα σε μια ομάδα. Η ομάδα αυτή (που μπορεί να είναι και η τάξη όλων όσων υπάρχουν) αρκεί για να εξηγήσει την ύπαρξη όλων των πραγμάτων, αφού κάθε πράγμα υπάρχει μέσω κάποιου μέλους αυτής της ομάδας. Ο Άνσελμος επιχειρεί τώρα να δείξει ότι η υπόθεση ότι χρειαζόμαστε περισσότερα από ένα (από δύο έως άπειρα) όντα για να εξηγήσουμε την ύπαρξη όλων των πραγμάτων οδηγεί σε αντίφαση. Αν η απόδειξή του είναι ορθή θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι η ύπαρξη όλων των πραγμάτων πρέπει να εξηγηθεί μέσω ενός μοναδικού όντος που φυσικά είναι ο Θεός. Ας δούμε τώρα την απόδειξη. Πάρτε την τάξη όλων των πραγμάτων που υπάρχουν (η καθολική τάξη). Η τάξη αυτή μπορεί να εξηγήσει την ύπαρξη όλων των όντων (αφού, επαναλαμβάνω, κάθε ον υπάρχει μέσω κάποιου πράγματος που περιλαμβάνεται σε αυτήν την τάξη). Αλλά είναι βέβαιο ότι αυτή δεν είναι η μικρότερη τάξη που αρκεί να εξηγήσει την ύπαρξη όλων των όντων. Υποθέστε ότι τα α,β, γ είναι μέλη της τάξης όλων των όντων και ότι το α υπάρχει μέσω του β και το β υπάρχει μέσω του γ. Τότε λόγω της μεταβατικότητας της σχέσης το α υπάρχει μέσω του γ και άρα το γ αρκεί να εξηγήσει την ύπαρξη τόσο του α όσο και του β (καθώς και οποιουδήποτε άλλου όντος που υπάρχει μέσω του α ή του β). Μπορούμε επομένως από την τάξη όλων των όντων να αφαιρέσουμε το α και το β (όπως και όλα όσα υπάρχουν μέσω του α ή του β). Η τάξη που απομένει περιέχει το γ και επομένως μπορεί να εξηγήσει όσα και η καθολική τάξη εξηγούσε, με άλλα λόγια εξηγεί την ύπαρξη όλων των όντων. Ας επαναλάβουμε τώρα την διαδικασία ξανά και ξανά μέχρι να φτάσουμε στην μικρότερη τάξη που απαιτείται για να εξηγηθεί η ύπαρξη όλων των όντων. Η τάξη αυτή θα περιλαμβάνει είτε ένα είτε περισσότερα του ενός πράγματα. Υποθέτουμε ότι περιλαμβάνει περισσότερα από ένα. Τώρα ο Άνσελμος διακρίνει τρεις περιπτώσεις. «Αλλά εάν υπάρχουν περισσότερα πράγματα, είτε σχετίζονται όλα με κάποιο άλλο μέσω του οποίου υπάρχουν, είτε όλα υπάρχουν ατομικά το καθένα μέσω του εαυτού του, είτε υπάρχουν αμοιβαία το ένα μέσω του άλλου» Ας δούμε αναλυτικά τις περιπτώσεις :(1) Υποθέστε ότι η τάξη περιέχει τα όντα χ 1, χ 2,χ 3,...,χ ν. Υποθέστε επίσης, ότι όλα αυτά υπάρχουν μέσω του χ 4. Αλλά τώρα προφανώς η τάξη που περιέχει τα χ 1, χ 2,χ 3,...,χ ν δεν είναι η μικρότερη τάξη που απαιτείται για την εξήγηση της ύπαρξης όλων των όντων. Η ζητούμενη τάξη είναι αυτή που περιλαμβάνει μόνο το χ 4 και η τάξη αυτή είναι μονομελής. (2) Υποθέστε ότι τα χ 1, χ 2,χ 3,...,χ ν υπάρχουν το καθένα μέσω του εαυτού του. Στην περίπτωση αυτή τα χ 1, χ 2,χ 3,...,χ ν είναι αυθύπαρκτα. Αλλά τότε μετέχουν της ιδέας της Αυθυπαρξίας και άρα υπάρχουν όλα μέσω της Αυθυπαρξίας. Και σε αυτή την περίπτωση η Αυθυπαρξία είναι αρκετή για να εξηγήσει την ύπαρξη όλων των όντων. (3) Υποθέστε ότι το χ 1 υπάρχει μέσω του χ 2, το χ 2 μέσω του χ 3,..., το χ ν-1 μέσω του χ ν και τέλος το χ ν υπάρχει μέσω του χ 1. Λόγω όμως της μεταβατικότητας της σχέσης _ υπάρχει μέσω του * (απλά εφαρμόστε την μεταβατικότητα για όσες φορές χρειαστεί) οφείλουμε να συμπεράνουμε ότι χ 1 υπάρχει μέσω του χ ν. Δεν είναι όμως δυνατόν το χ ν να υπάρχει μέσω του χ 1 και ταυτόχρονα το χ 1 να υπάρχει μέσω του χ ν, γιατί το χ 1 χ ν και η σχέση είναι αντισυμμετρική. Είναι λοιπόν αδύνατον, συμπεραίνει ο Άνσελμος, η τάξη που εξηγεί την ύπαρξη όλων των όντων να περιέχει περισσότερα από ένα πράγματα. Πρέπει άρα να περιέχει ένα μόνον ον που υπάρχει μόνον μέσω του εαυτού του. Το επιχείρημα είναι προβληματικό σε τουλάχιστον δύο σημεία. Πρώτον η υπόθεση ότι τα αυθύπαρκτα όντα μετέχουν της ιδέας της Αυθυπαρξίας είναι μια μεταφυσική παραδοχή που μπορούν να την προσυπογράψουν μόνον όσοι είναι πρόθυμοι να δεσμευτούν σε μια πολύ ισχυρή εκδοχή του πλατωνισμού. Δεύτερον, η παραδοχή ότι πρέπει να υπάρχει η μικρότερη τάξη που είναι αναγκαία για την εξήγηση της ύπαρξης όλων των όντων δεν είναι καθόλου προφανής. Το επιχείρημα το του Άνσελμου δεν αποκλείει καθόλου να συμβαίνει αυτό που θα

3 περιγράψουμε αμέσως. Υποθέστε ότι ο αριθμός των όντων είναι άπειρος. Και υποθέστε ακόμη ότι αριθμούνται από την ακολουθία χ 1, χ 2,χ 3,... με τρόπον ώστε κάθε όρος χ ν να υπάρχει μέσω του αμέσως επόμενού του χ ν+1. Σε αυτήν την περίπτωση δεν υπάρχει η μικρότερη τάξη που να εξηγεί την ύπαρξη όλων των όντων. Όσους όρους και να αφαιρέσουμε θα υπάρχουν και άλλοι που θα μπορούν να αφαιρεθούν. Επιπλέον, η ύπαρξη κάθε όντος χ ν εξηγείται από την ύπαρξη του χ ν+1 χωρίς ποτέ να μπορούμε να φτάσουμε σε κάποιο ον που να υπάρχει μόνον μέσω του εαυτού του. Παρά τις αντιρρήσεις αυτές το επιχείρημα του Άνσελμου διαθέτει την δύναμη και την εκλέπτυνση σύγχρονων επιχειρημάτων. Βρισκόμαστε σε μια εποχή που η διαλεκτική αναγεννιέται και η τέχνη του επιχειρήματος συνεχώς αναπτύσσεται. Στον Άνσελμο συναντά κανείς περίτεχνες επιχειρηματολογικές στρατηγικές με πολλά βήματα. Αυτό είναι ιδιαίτερα εμφανές στο Monologion. Η απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού που μόλις συζητήσαμε είναι το πρώτο βήμα μιας εκτενούς συζήτησης περί της φύσης του Θεού και του τρόπου με τον οποίο συσχετίζεται με τον χώρο και τον χρόνο. Η Φύση του Θεού κατά τον Άνσελμο Η απλότητα της θεϊκής φύσης:στα κεφάλαιο 17 ο Άνσελμος προσπαθεί να δείξει ότι ο Θεός δεν διαθέτει εσωτερική δομή, ότι δεν αποτελείται από μέρη. Βρίσκουμε εδώ ξανά την γνώριμη από τους νεοπλατωνικούς και τον Αυγουστίνο ιδέα της θεϊκής απλότητας. Ο συλλογισμός του για αυτό το συμπέρασμα εκμεταλλεύεται τη συζήτηση του κεφ. 3 και είναι σύντομος. Εάν ο Θεός είναι σύνθετος αποτελούμενος από τα μέρη α 1, α 2,,...,α ν, τότε εξαρτάται από το καθένα από τα μέρη του. Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο Θεός υπάρχει μέσω του α 1 (για παράδειγμα).τα μέρη όμως ενός όλου είναι διαφορετικά από το όλο. Άρα τα μέρη από τα οποία υποθέσαμε ότι αποτελείται ο Θεός είναι διαφορετικά από το Θεό. Αφού αυτό ισχύει για όλα τα μέρη, ισχύει και για το α 1. Επομένως, αντίθετα με τα συμπεράσματα του κεφ.3, εάν ο Θεός είναι σύνθετος θα πρέπει να υπάρχει μέσω κάποιου πράγματος που δεν είναι ο εαυτός του. Το συμπέρασμα είναι άτοπο και άρα η υπόθεση στην οποία βασίστηκε η παραγωγή του πρέπει να απορριφθεί. Ο Θεός δεν έχει χρονική αρχή και τέλος: Στο κεφ. 18 αναπτύσσεται το επιχείρημα ότι ο Θεός δεν έχει χρονική αρχή και τέλος. Ας το δούμε εν συντομία. Πρώτο επιχείρημα: Υποθέστε ότι ο Θεός έχει χρονική αρχή. Τότε θα οφείλουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα πώς προήλθε από την ανυπαρξία στην ύπαρξη. Στην περίπτωση αυτή ένα από τα ακόλουθα θα πρέπει να συμβαίνει: (1) ο Θεός δεν προήλθε από κάποιο άλλο όν. Αντίρρηση: Κανένα ον δεν μπορεί να προέλθει από το μηδέν (2) Ο Θεός προήλθε από τον ίδιο του τον εαυτό. Αυτό δεν σημαίνει απλώς ότι ο Θεός υπάρχει μέσω του εαυτού του (θέση που φυσικά ο Άνσελμος αποδέχεται). Σημαίνει επιπλέον ότι ο ίδιος έκανε τον εαυτό του να μεταβεί από την ανυπαρξία στην ύπαρξη, έδωσε ύπαρξη στον εαυτό του. Αλλά τίποτα δεν μπορεί να δώσει αυτό που δεν έχει. Άρα κάτι δεν μπορεί να περάσει από μόνο του στην ύπαρξη. (3) Ο Θεός πέρασε από την ύπαρξη στην ανυπαρξία μέσω κάποιου άλλου όντος. Τότε όμως δεν υπάρχει μόνον μέσω του εαυτού του, και το συμπέρασμα αντιστρατεύεται τις θέσεις του Κεφ. 3. Δεύτερο Επιχείρημα: Η αλήθεια είναι αιώνια. Εάν τώρα, την τάδε ημερομηνία και ώρα γράφω στον υπολογιστή μου, ήταν πάντα αλήθεια ότι την τάδε ημερομηνία και ώρα θα γράφω στον υπολογιστή μου και θα είναι για πάντα αλήθεια ότι την τάδε ημερομηνία και ώρα έγραφα στον υπολογιστή μου. Αλλά η αλήθεια, όπως και οτιδήποτε άλλο, υπάρχει μέσω του Θεού (συμπέρασμα του κεφ. 3). Τότε όμως όποτε υπάρχει αλήθεια πρέπει να υπάρχει και ο Θεός για να την «υποστηρίξει». Η αιωνιότητα της αλήθειας συνεπάγεται άρα την αιωνιότητα του Θεού, ο οποίος έτσι δεν μπορεί να έχει χρονική αρχή ή τέλος. Έχοντας τώρα συμπεράνει την απλότητα και την αιωνιότητα του Θεού, προχωρεί ο Άνσελμος στην εξέταση της σχέσης που ο Θεός έχει με τον χρόνο και τον χώρο. Η συζήτηση τώρα παίρνει τη μορφή του διλήμματος. Στο κεφ. 20 προσπαθεί να δείξει ότι ο Θεός πρέπει να βρίσκεται παντού και πάντοτε ενώ στο κεφ. 21 επιχειρηματολογεί για το αντίθετο συμπέρασμα (ο Θεός δεν μπορεί να βρίσκεται παντού και πάντοτε). Τέλος στο κεφ. 22 προσπαθεί να επιλύσει την αντίφαση κάνοντας μια διάκριση. Ο Θεός υπάρχει παντού και πάντοτε: Γιατί ο Θεός πρέπει κατά τον Άνσελμο να βρίσκεται παντού και πάντοτε; Διότι λέει ο Άνσελμος, δεν είναι δυνατόν να βρίσκεται μόνον κάπου και

4 κάποτε ή να μην βρίσκεται πουθενά και ποτέ. Η δυνατότητες αυτές αποκλείονται γιατί παντού και πάντοτε υπάρχει είτε κάποιο υλικό πράγμα που καταλαμβάνει χώρο και χρόνο είτε στην περίπτωση που έχουμε να κάνουμε με κενό χώρο ή χρόνο (κάποιο δηλαδή χωρικό ή χρονικό διάστημα κατά το οποίο δεν υπάρχει κανένα υλικό αντικείμενο) υπάρχουν τα ίδια τα χωρικά ή χρονικά διαστήματα. Όλα όμως τα όντα υλικά αντικείμενα, χρονικές στιγμές ή χωρικά σημεία οφείλουν την ύπαρξή στον Θεό. Επομένως ο Θεός πρέπει να βρίσκεται όπου και αυτά βρίσκονται, δηλαδή παντού και πάντοτε. Ο Θεός δεν μπορεί να υπάρχει παντού και πάντοτε: Είναι δύσκολο ωστόσο να δούμε πώς είναι δυνατόν να ισχύει αυτό το συμπέρασμα. Το κεφ. 21 εκθέτει τις δυσκολίες. Κάποιο πράγμα μπορεί να υπάρχει παντού και πάντα είτε με το να υπάρχουν διαφορετικά μέρη του σε διαφορετικά χωρικά και χρονικά διαστήματα είτε με το να υπάρχει καθ ολοκληρίαν σε όλες τα σημεία του χώρου και σε όλες τις στιγμές του χρόνου. Η πρώτη δυνατότητα απορρίπτεται γιατί ο Θεός δεν μπορεί, όπως είδαμε, να είναι σύνθετος αποτελούμενος από μέρη. Επομένως, μας μένει μόνον ή δεύτερη επιλογή. Και ή επιλογή όμως αυτή δεν είναι χωρίς προβλήματα. Είναι δύσκολο κατ αρχήν να δούμε πώς κάτι μπορεί να υπάρχει καθ ολοκληρίαν παντού. Πώς κάτι μπορεί να υπάρχει σε δύο τόπους π 1 και π 2 την ίδια χρονική στιγμή χ 1 ; Εάν κάτι υπάρχει καθ ολοκληρίαν στον τόπο π 1 δεν μπορεί να βρίσκεται εκτός αυτού του χώρου στον ίδιο χρόνο. Φυσικά κάτι μπορεί να υπάρχει και στον π 1 και στον π 2 σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Αλλά τότε βέβαια εάν υπάρχει (καθ ολοκληρίαν) στον τόπο π 1 κατά τον χρόνο χ 1 και στον τόπο π 2 κατά τον χρόνο χ 2, δεν υπάρχει στον τόπο π 1 κατά τον χρόνο χ 2. Όμως σε αυτήν την περίπτωση τίποτα, όπως είδαμε, δεν θα μπορούσε να υπάρξει στο π 1 κατά τον χρόνο χ 2, ούτε καν ο τόπος π 1. Είναι επίσης δύσκολο να δούμε πώς ο Θεός μπορεί να υπάρχει καθ ολοκληρίαν πάντοτε. Όντα που κατά τον Άνσελμο υπάρχουν σε διαφορετικούς χρόνους έχουν χρονικά μέρη, αποτελούνται δηλαδή από κομμάτια της προσωπικής τους ιστορίας. Ο Θεός όμως είναι, όπως είδαμε, απλός. Δεν μπορεί λοιπόν να υπάρχει σε διαφορετικούς χρόνους. Άρα δεν μπορεί να υπάρχει καθ ολοκληρίαν πάντοτε. Η «λύση» της αντίφασης: Καταλήξαμε έτσι σε δύο συμπεράσματα που μοιάζουν να αντιφάσκουν. Ο Θεός υπάρχει και δεν υπάρχει παντού και πάντα. Ο Άνσελμος στο σημείο αυτό επιλέγει μια συνηθισμένη σήμερα κίνηση. Όταν καταλήξεις σε κάτι που μοιάζει με αντίφαση προσπάθησε να αρνηθείς ότι η αντίφαση είναι πραγματική ισχυριζόμενος ότι οι όροι του συμπεράσματος έχουν ή χρησιμοποιούνται (πιθανώς χωρίς αυτό να γίνεται άμεσα αντιληπτό) με αμφίσημο τρόπο. Ακολουθώντας αυτήν την τακτική ο Άνσελμος ισχυρίζεται ότι υπάρχουν δύο σημασίες της φράση το ψ βρίσκεται στον τόπο π 1 κατά τον χρόνο χ 1. Σύμφωνα με την πρώτη σημασία, την αποκλειστική σημασία, η φράση σημαίνει ότι το ψ περικλείεται από το π 1 και το χ 1 και επομένως η παρουσία του στον συγκεκριμένο τόπο και χρόνο αποκλείει να βρίσκεται σε άλλους τόπους και χρόνους. Η φράση όμως μπορεί να διαβαστεί ως έχουσα μια άλλη σημασία, την εγκλειστική. Σύμφωνα με την σημασία αυτή κάτι μπορεί να βρίσκεται στον τόπο π 1 κατά τον χρόνο χ 1 αλλά να μην αυτό μην αποκλείει την παρουσία του σε άλλους χρόνους και τόπους. Η δεύτερη αυτή σημασία προσιδιάζει στη φύση του Θεού. Ο Άνσελμος δεν αναλύει περισσότερο τον δεύτερο αυτό τρόπο με τον οποίο υποτίθεται ότι κάτι μπορεί να βρίσκεται κάπου κάποτε και φυσικά θα ήμασταν δικαιολογημένοι να χαρακτηρίσουμε την απάντησή ως ψευδολύση. Η τακτική του είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα του μεσαιωνικού τρόπου επιχειρηματολογίας. Όπου βρεις μια δυσκολία κάνε μια διάκριση. Θα μπορούσαμε όμως να δούμε τη συλλογιστική του κάτω από μια άλλη προοπτική. Υποθέστε ότι είστε πεπεισμένοι ότι τα επιχειρήματα του Άνσελμου οδηγούν σε αληθή συμπεράσματα. Τότε αφού δεν είστε βέβαια πρόθυμοι να δεχτείτε ότι οι αντιφάσεις αληθεύουν θα είστε πεπεισμένοι ότι η φράση το ψ βρίσκεται στον τόπο π 1 κατά τον χρόνο χ 1 χρησιμοποιείται αναφορικά με τον Θεό με εγκλειστική σημασία, μολονότι δεν είστε ακόμη βέβαιοι ποια είναι αυτή η σημασία. Στο σημείο αυτό μπορεί κανείς να προσπαθήσει να διαφωτίσει τη σημασία αυτή. Θα μπορούσατε, για παράδειγμα, να πει ότι ο Θεός βρίσκεται παντού και πάντοτε με την έννοια ότι ασκεί την αιτιώδη δράση του, επιφέρει δηλαδή αποτελέσματα, σε κάθε σημείο του χώρου κάθε στιγμή του χρόνου, μολονότι δεν βρίσκεται παντού και πάντα υπό την έννοια ότι περικλείεται από κάθε τόπο. Με άλλα λόγια μια απλή λύση θα ήταν να δεχτούμε ότι υπάρχει αιτιώδης δράση από απόσταση και να ερμηνεύσουμε

5 εγκλειστικά την φράση παρουσία του Θεού στον τόπο π 1 κατά τον χρόνο χ 1 σαν να σήμαινε θεϊκή αιτιώδη δράση από απόσταση τα αποτελέσματα της οποίας λαμβάνουν χώρα στον τόπο π 1 κατά τον χρόνο χ 1 Το Οντολογικό Επιχείρημα για την ύπαρξη του Θεού 1 Το οντολογικό επιχείρημα είναι ένας a priori συλλογισμός με τον οποίο ο Άνσελμος επιχειρεί να συναγάγει την ύπαρξη του Θεού από την απλή ανάλυση της έννοιάς του. Καθώς στην έννοια του Θεού συμπεριλαμβάνεται, τονίζει ο Άνσελμος, η ιδιότητα της μέγιστης τελειότητας (τίποτα δεν μπορεί να είναι θεός εάν δεν είναι μέγιστα τέλειο) ο Θεός είναι το όν εκείνο από το οποίο κανείς δεν μπορεί να σκεφτεί κάτι τελειότερο. Το επιχείρημα τώρα του Άνσελμου μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: α) Η ύπαρξη του Θεού δεν είναι αδύνατη (υπάρχουν δηλαδή, δυνατές καταστάσεις στις οποίες ένα oν με τις ιδιότητες του Θεού υπάρχει) β) Καθώς η ύπαρξη είναι υποθέτουμε μία ιδιότητα που συνεισφέρει στην τελειότητα, ένα oν είναι τελειότερο στις καταστάσεις στις οποίες υπάρχει παρά σε εκείνες που δεν υπάρχει. γ) Υποθέτουμε (για απαγωγή σε άτοπο) ότι ο Θεός δεν υπάρχει. δ) Άρα, ο Θεός είναι τελειότερος στις δυνατές καταστάσεις στις οποίες υπάρχει από την πραγματική κατάσταση στην οποία δεν υπάρχει. ε) Επομένως, μπορεί κανείς να συλλάβει με τον νου του το Θεό να είναι τελειότερος από ότι είναι. στ) Εάν ωστόσο ίσχυε η (ε), τότε αυτό από το οποίο τίποτα τελειότερο κανείς ποτέ δεν μπορεί να συλλάβει θα μπορούσε κάποιος να το σκεφτεί ως ακόμη τελειότερο. Κάτι τέτοιο είναι όμως αντιφατικό. ζ) Άρα, η υπόθεση (γ) πρέπει να απορριφθεί και συμπεραίνουμε ότι ο Θεός υπάρχει. Αντίρρηση (D. Lewis): Η αντίφαση στην οποία υποτίθεται ότι οδηγεί η (ε) δεν είναι πραγματική. Η υποτιθέμενη αντιφατική πρόταση είναι ελλιπής, καθώς μία ελεύθερη μεταβλητή έχει σιωπηρά παραληφθεί μετά από τη φράσεις τελειότερο(ς) στις (ε) και (στ). Η αντίφαση προκύπτει μόνον εάν η (στ) συμπληρωθεί ως (στ ) Εάν ωστόσο ίσχυε η (ε), τότε αυτό από το οποίο τίποτα τελειότερο κανείς ποτέ δεν μπορεί να συλλάβει στον πραγματικό θα μπορούσε κάποιος να το σκεφτεί ως ακόμη τελειότερο στον πραγματικό Η (στ ) ωστόσο δεν προκύπτει από το επιχείρημα στο οποίο οι (ε) και (στ) θα πρέπει να συμπληρωθούν ως (ε 1 ) Επομένως, μπορεί κανείς να συλλάβει με τον νου του το Θεό να είναι τελειότερος σε κάποιον δυνατό κόσμο w από ότι είναι στον πραγματικό (στ 1 ) Εάν ωστόσο ίσχυε η (ε 1 ), τότε αυτό από το οποίο τίποτα τελειότερο κανείς ποτέ δεν μπορεί να συλλάβει στον πραγματικό θα μπορούσε κάποιος να το σκεφτεί ως ακόμη τελειότερο σε κάποιον δυνατό κόσμο w). Η (στ 1 ) όμως δεν είναι αντιφατική και η απαγωγή σε άτοπο αποτυγχάνει 1 Το επιχείρημα αναπτύσσεται στο έργα του Άνσελμου Proslogion (μέρος ΙΙ) και Απάντηση στον Gaunilo. Για μία πρώτη προσέγγιση των έργων αυτών (καθώς επίσης και του έργου Monologion στο οποίο αναφερθήκαμε παραπάνω) μπορεί κανείς να συμβουλευτεί το Anselm of Canterbury: The Major Works στη σειρά Oxford s World Classics, Oxford:Oxford University Press, 1998 με εισαγωγή των B. Davies και G. R. Evans και μεταφράσεις διαφόρων.

μέρους έμβια ουσία που διαθέτει αίσθηση; Αν κάτι είναι αναντίρρητο για τα επί μέρους όντα είναι ότι δεν μπορούν να κατηγορηθούν σε πολλά.

μέρους έμβια ουσία που διαθέτει αίσθηση; Αν κάτι είναι αναντίρρητο για τα επί μέρους όντα είναι ότι δεν μπορούν να κατηγορηθούν σε πολλά. 1 Οι πηγές μου: Thomas Aquinas:De ente et essentia, Mετάφραση και σχόλια του προηγούμενου έργου από τον Γιάννη Τζαβάρα, Copleston (HMP), Spade (SMP), Kroons (LMP), Λογοθέτης (ΦΠΜΧ), Cambridge Companion

Διαβάστε περισσότερα

τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές;

τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές; ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΑΛΗΘΕΙΑ; τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές; ποια είναι η σχέση των πεποιθήσεών μας με την πραγματικότητα, για να είναι αληθείς και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη φιλοσοφία

Εισαγωγή στη φιλοσοφία Εισαγωγή στη φιλοσοφία Ενότητα 2 η : Μεταφυσική ή Οντολογία Ι: Θεός Ρένια Γασπαράτου Σχολή Ανθρωπιστικών & Κοινωνικών Επιστημών Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης & της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 8-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Κατ αρχάς θα δούμε μια πολλή απλή πρόταση. 0xx x x ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι ο έχει την εξής ιδιότητα: x για κάθε x > 0. Τότε 0. Απόδειξη. Για να καταλήξουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα του μεταπτυχιακού φοιτητή Μαρκάτου Κωνσταντίνου Α.Μ.: 011/08 Επιβλέπων: Αν. Καθηγητής Άρης Κουτούγκος Διατμηματικό μεταπτυχιακό πρόγραμμα Ιστορίας και Φιλοσοφίας

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 O πιο κάτω συλλογισμός (αποτελεί μικρή παραλλαγή συλλογισμού που) αποδίδεται στον Samuel Clarke και προέρχεται από την εργασία του Demonstration of the Being and Attributes

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας

1.2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας .2 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο ακολουθίας Θέμα της δραστηριότητας Αυτή η δραστηριότητα εισάγει στην έννοια του Ορίου Ακολουθίας. Δυο φύλλα εργασίας οδηγούν τους μαθητές στον ορισμό της σύγκλισης μηδενικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΗΘΙΚΑ ΝΙΚΟΜΑΧΕΙΑ

ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΗΘΙΚΑ ΝΙΚΟΜΑΧΕΙΑ ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΗΘΙΚΑ ΝΙΚΟΜΑΧΕΙΑ Για τον Αριστοτέλη, όλες οι ενέργειες των ανθρώπων γίνονται για κάποιο τέλος, δηλαδή για κάποιο σκοπό που είναι ο ανώτερος όλων των αγαθών, την ευδαιμονία. Σύμφωνα

Διαβάστε περισσότερα

GEORGE BERKELEY ( )

GEORGE BERKELEY ( ) 42 GEORGE BERKELEY (1685-1753) «Ο βασικός σκοπός του Berkeley δεν ήταν να αμφισβητήσει την ύπαρξη των εξωτερικών αντικειμένων, αλλά να υποστηρίξει την άποψη ότι τα πνεύματα ήταν τα μόνα ανεξάρτητα όντα,

Διαβάστε περισσότερα

Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης

Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης Ηθικά Νικομάχεια, Βιβλίο Ε Δύο Προτάσεις του Αριστοτέλη Δύο Προβλήματα Πρόταση 1 «Αμοιβαιότητα/Ανταπόδοση θα υπάρξει [η ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Θεός και Σύμπαν. Source URL:

Θεός και Σύμπαν. Source URL: Θεός και Σύμπαν Source URL: http://ghz.gr/forum Θεός και Σύμπαν Source URL: http://ghz.gr/forum Η ύπαρξη τού Θεού και η σχέση του με το σύμπαν, είναι ένα θέμα που απασχολεί πλήθος ανθρώπων σήμερα. Ο Θεός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗ ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΠΟΧΗ.

ΟΙ ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗ ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΠΟΧΗ. 24 ΟΙ ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗ ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΠΟΧΗ. Οι σκεπτικιστικές απόψεις υποχώρησαν στη συνέχεια και ως την εποχή της Αναγέννησης κυριάρχησε απόλυτα το αριστοτελικό μοντέλο. Η εκ νέου αμφιβολία για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΕΚΜΗΡΙΑ (ΜΕΣΑ ΠΕΙΘΟΥΣ ΕΠΙΚΛΗΣΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ) Όταν θέλουμε να πείσουμε με λογικές αποδείξεις, τότε χρησιμοποιούμε:

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 6Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΧΩΡΟΙ HAUSDORFF ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Κλειστα συνολα Εχοντας

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά 6η Δραστηριότητα Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης Περίληψη Συχνά ζητάμε από τους υπολογιστές να ψάξουν πληροφορίες στο εσωτερικό μεγάλων αρχείων δεδομένων. Για να το καταφέρουν, απαιτούνται ταχείες και αποτελεσματικές

Διαβάστε περισσότερα

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i):

(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i): Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Δείξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα: (i) ω / ω (με άλλα λόγια, το ω δεν είναι φυσικός αριθμός). (ii) Για κάθε n ω, ισχύει ω / n. (iii) Για κάθε n ω, το n

Διαβάστε περισσότερα

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Άσκηση 1.9 (σελ. 17), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, B δεδομένα σύνολα. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αξιώματα αλλά αναφερόμενοι, αποκλειστικά, είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης 1 Τι πρέπει να γνωρίζω για τα πεδία ορισμού; Χωρίς πολλές φιλοσοφίες: όταν μιλάμε για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΑ

ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΑ Ο λόγος που ο Αριστοτέλης μελέτησε την έννοια της αρετής στα Ηθικά Νικομάχεια είναι γιατί αυτή αποτελεί προϋπόθεση όχι μόνο για την ευδαιμονία του ατόμου αλλά και ολόκληρης

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΚΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΚΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΥΠΑΡΚΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΚΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΥΠΑΡΚΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΚΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Νίκος Ιωσηφίδης, Μαθηματικός Φροντιστής, Βέροια e-mail: iossifid@ahoo.gr Στην εισήγηση αυτή δείχνουμε πως αποδεικνύουμε ότι υπάρχει ή δεν υπάρχει συνάρτηση με δοσμένες

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Οι πηγές μου:copleston (HMP), Spade (SMP), Kroons (LMP), Λογοθέτης (ΦΠΜΧ), Cambridge Companion to Ockham.

Οι πηγές μου:copleston (HMP), Spade (SMP), Kroons (LMP), Λογοθέτης (ΦΠΜΧ), Cambridge Companion to Ockham. 1 Οι πηγές μου:copleston (HMP), Spade (SMP), Kroons (LMP), Λογοθέτης (ΦΠΜΧ), Cambridge Companion to Ockham. Οι απόψεις του Ockham για τα καθόλου όντα O Ockham αντιπροσωπεύει την πιο δυναμική επανεμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I

LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I Rwmanìc-Diogènhc Maliki shc Tetˆrth, 6 OktwbrÐou 2010 Άσκηση 1. Για τυχόντα σύνολα A, B, C, D, να δειχθεί ότι (α ) A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) (A \

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη της Βιολογίας. Εισαγωγή

Η επιστήμη της Βιολογίας. Εισαγωγή Η επιστήμη της Βιολογίας Εισαγωγή Η βιολογία είναι η επιστήμη που μελετά τα φαινόμενα και τις διαδικασίες της ζωής. Ερευνά δηλαδή τους οργανισμούς στο περιβάλλον όπου ζουν ή στο εργαστήριο. Βιολογία Η

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Λέξεις και νόημα Η γλώσσα αποτελείται από λέξεις. Η λέξη είναι το μικρότερο τμήμα της γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

B = {x A : f(x) = 1}.

B = {x A : f(x) = 1}. Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ

Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Ενότητα: 1 η Ελένη Περδικούρη Τμήμα Φιλοσοφίας 1 Ενότητα 1 η Το ερώτημα της γνώσης 1. Τι γνωριζουμε, δηλαδη ποια ειναι τα αντικειμενα της γνωσης

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 1-11-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Άσκηση 2.2.7. Έστω ϵ 0 > 0. Αποδείξτε ότι x n x αν και μόνο αν για κάθε ϵ με 0 < ϵ ϵ 0 ισχύει τελικά x n N x ϵ). Λύση: Έχουμε να αποδείξουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πηγές μου: Αυγουστίνου Confessiones και De libero arbitrio, Spade (SMPh), Λογοθέτης (ΦΜΑ), Marenbon (EMPh), Stump (CCA), MacDonald(CCA),

Οι Πηγές μου: Αυγουστίνου Confessiones και De libero arbitrio, Spade (SMPh), Λογοθέτης (ΦΜΑ), Marenbon (EMPh), Stump (CCA), MacDonald(CCA), 1 Οι Πηγές μου: Αυγουστίνου Confessiones και De libero arbitrio, Spade (SMPh), Λογοθέτης (ΦΜΑ), Marenbon (EMPh), Stump (CCA), MacDonald(CCA), Ο Αυγουστίνος για την ύπαρξη του Θεού Δύο χαρακτηριστικούς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ

ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ http://hallofpeople.com/gr/bio/aquinas.php ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ Ο μεγαλύτερος και σπουδαιότερος φιλόσοφος του δευτέρου μισού του Μεσαίωνα ήταν ο Θωμάς ο Ακινάτης, που έζησε από το 1225 ως το 1274. Υπήρξε ο σημαντικότερος

Διαβάστε περισσότερα

Τιμή Τιμή. σκορ. ζωές

Τιμή Τιμή. σκορ. ζωές Εισαγωγή στην έννοια των μεταβλητών Οι μεταβλητές Θα πρέπει να έχετε παρατηρήσει ότι έχουμε φτιάξει τόσα παιχνίδια μέχρι αυτό το σημείο και δεν έχουμε αναφερθεί πουθενά για το πως μπορούμε να δημιουργήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε1.

Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε1. Σημεία Προσοχής στην Παράγραφο Ε1. 1. Πότε μια πρόταση που περιέχει το ή είναι αληθής; Μια πρόταση που περιέχει τον σύνδεσμο "ή", ουσιαστικά αποτελείται από δύο ισχυρισμούς. Μπορεί και οι δύο ισχυρισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Σελίδα από Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς Η ανισότητα α β α ± β α + β με α, β C χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. και η Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός, Ιούνιος 008 Α. Εισαγωγή Το κείμενο αυτό ξεκίνησε να

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζει ο Σκώτος το είναι που προσιδιάζει σε μία ουσία) και ένα είδος ενότητας (και σε αυτό το σημείο διαφωνεί και με τον Αβικέννα και με τον

ονομάζει ο Σκώτος το είναι που προσιδιάζει σε μία ουσία) και ένα είδος ενότητας (και σε αυτό το σημείο διαφωνεί και με τον Αβικέννα και με τον 1 Οι πηγές μου: Thomas Aquinas:De ente et essentia, Mετάφραση και σχόλια του προηγούμενου έργου από τον Γιάννη Τζαβάρα, Copleston (HMP), Spade (SMP), Kroons (LMP), Λογοθέτης (ΦΠΜΧ), Cambridge Companion

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

APEIROSTIKOS LOGISMOS I

APEIROSTIKOS LOGISMOS I APEIROSTIKOS LOGISOS I ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Αποδείξτε με τον ορισμό ότι:. lim ( ) = +,. lim =,. lim ln( + ) = ln, + 4. lim + =. Λύση:. Θεωρούμε αυθαίρετο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α

Διαβάστε περισσότερα

Πιστεύουν οι νέοι, και γιατί. Πέλα Μαράκη Ιωάννα Κλάδη Μαργαρίτα Μαρκάκη Γιώργος Περάκης

Πιστεύουν οι νέοι, και γιατί. Πέλα Μαράκη Ιωάννα Κλάδη Μαργαρίτα Μαρκάκη Γιώργος Περάκης Πιστεύουν οι νέοι, και γιατί Πέλα Μαράκη Ιωάννα Κλάδη Μαργαρίτα Μαρκάκη Γιώργος Περάκης Τι είναι η πίστη; Πίστη είναι η βεβαιότητα κάποιας ή κάποιου για την αλήθεια ενός ισχυρισμού, ανεξάρτητα αν η βεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 8-11-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Το Θεώρημα των Bolzano και Weierstrass συμπληρώνεται με την εξής Πρόταση (.16 του βιβλίου). ΠΡΟΤΑΣΗ. [α] Κάθε όχι άνω φραγμένη ακολουθία έχει

Διαβάστε περισσότερα

«Φύλλο εργασίας 2» «Εντοπίζοντας χαρακτηριστικά της διαισθητικής βιολογικής γνώσης των μικρών παιδιών»

«Φύλλο εργασίας 2» «Εντοπίζοντας χαρακτηριστικά της διαισθητικής βιολογικής γνώσης των μικρών παιδιών» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ & ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ» Ομάδα εργασίας 1. 2. 3. Ημερομηνία: 15-3-2017 Μάθημα 4: «Η διαισθητική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΣΕ 39 ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΣΕ 39 ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ 39 ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μ. Παπαδημητράκης. ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Κατ αρχάς θα δούμε μια πολλή απλή πρόταση. l 0xx x x ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι ο l έχει την εξής ιδιότητα: l x για κάθε x > 0. Τότε l 0. Απόδειξη. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, 10-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την συμμετρική ιδιότητα της Ιδιότητας Supremum. Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ INFIMUM. Κάθε μη-κενό και κάτω φραγμένο σύνολο έχει μέγιστο κάτω φράγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΕΟΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ: ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ

ΙΔΕΟΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ: ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ 1 ΙΔΕΟΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ: ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ Κώστας Κύρος 2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 Γίνε και εσύ ένας συγγραφέας! Γράψε τη δική σου μικρή ιστορία. Εκτύπωσέ την και δώσ την στους φίλους σου για να

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0 Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 6xy + 11y 8y + 8 = 0 Τι είναι αυτό που έχει δοθεί στην άσκηση; Μία ισότητα την οποία επαληθεύουν οι x, y. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης. 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΔΡΑΙΩΜΕΝΗ ΕΠΙ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΗΤΑΣ ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΔΕ ΣΥΓΚΡΟΤΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΥΛΗ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΔΡΑΙΩΜΕΝΗ ΕΠΙ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΗΤΑΣ ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΔΕ ΣΥΓΚΡΟΤΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΥΛΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΔΡΑΙΩΜΕΝΗ ΕΠΙ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΗΤΑΣ ΟΤΙ Η ΦΥΣΗ ΔΕ ΣΥΓΚΡΟΤΕΙΤΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΥΛΗ 1.Η Φυσική ως η επιστήμη που μελετά τις ιδιότητες της ύλης Για τη Φυσική η ύλη είναι μια αδιαμφισβήτητη πραγματικότητα.

Διαβάστε περισσότερα

Οι προσωπικοί στόχοι καθενός μπορούν κατά καιρούς να αποτελούν και να καθορίζουν το success story της ζωής του για μια μικρή ή μεγάλη περίοδο.

Οι προσωπικοί στόχοι καθενός μπορούν κατά καιρούς να αποτελούν και να καθορίζουν το success story της ζωής του για μια μικρή ή μεγάλη περίοδο. 1 3 1 Οι προσωπικοί στόχοι καθενός μπορούν κατά καιρούς να αποτελούν και να καθορίζουν το success story της ζωής του για μια μικρή ή μεγάλη περίοδο. Η επίτευξη του εκάστοτε στόχου είναι η αυταπόδεικτη

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Γενικές έννοιες Μία ροή χαρακτηρίζεται ανομοιόμορφη, όταν το βάθος μεταβάλλεται από διατομή σε διατομή. Η μεταβολή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι, Φυλλάδιο 3 Λύσεις Ασκήσεων. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια. sia) i) ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για τα a, β ώστε να έχει νόημα το όριο;) 0 siβ) si5 ) si4) cos cos

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Ορίζουμε τη συναρμογή δύο γλωσσών Α και Β ως ΑΒ = { uv u A, v B }. (α) Έστω Α = {α,β,γ} και Β =. Να περιγράψετε τη γλώσσα ΑΒ. (β) Θεωρήστε τις γλώσσες L, M και N. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Έκθεση Β ΓΕΛ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΥΚΗΣ

Ερευνητική Έκθεση Β ΓΕΛ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΥΚΗΣ Ερευνητική Έκθεση Β ΓΕΛ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΥΚΗΣ Β Λύκειο Πεύκης 2012-2013 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 1 Εισαγωγή... 2 Θεωρητικό Υπόβαθρο... 3 Μεθοδολογία... 3 Ανάλυση Δεδομένων... 5 Συμπεράσματα... 6 Β Λύκειο Πεύκης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2006 1. Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Λημμα Εστω A ένα σύνολο άπειρου πλήθους θετικών ακέραιων αριθμών των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

«Η προτεραιότητα της ενέργειας στο Θ8 των Μετά τα Φυσικά του Αριστοτέλη»

«Η προτεραιότητα της ενέργειας στο Θ8 των Μετά τα Φυσικά του Αριστοτέλη» ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΕΠΙΘΕΤΟ: Χαρακτινού ΟΝΟΜΑ: Νικολίτσα Α.Μ.: 44 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ: 2013-2014 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Κος Στασινός Σταυριανέας ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ:

Διαβάστε περισσότερα