ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

Transcript

1 θ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΘΕΡΑΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Κωνσταντίνς Αρβανίτης & Κωνσταντίνς Μπίλιας, Φυσικί. ΒΑΡΗ 1

2 1 Θεωρητικές Επισημάνσεις Έστω ταλαντωτής τυ διπλανύ σχήματς. Aν διεγείρυμε τν ταλαντωτή και τν αφήσυμε ελεύθερ, η συχνότητα με την πία γίνεται η ελεύθερη φθίνυσα ταλάντωση απδεικνύεται ότι είναι: Κ Λ 1 D f = fo - με f= -Dx o π π m Όπυ m η μάζα τυ σώματς, Μ η μάζα τυ ελατηρίυ, K η σταθερά τυ ελατηρίυ και Λ=. (Η συχνότητα fo είναι χαρακτηριστική τυ m -u ταλαντωτή και νμάζεται ιδισυχνότητα). u Η εξίσωση απμάκρυνσης της ελεύθερης φθίνυσας ταλάντωσης είναι x=a e -Λt συν(ωt) Για να είναι η ταλάντωση τυ ταλαντωτή αμείωτη, πρέπει όση ενέργεια χάνεται μέσω τυ έργυ των απσβέσεων ανά περίδ, να αναπλήρώνεται μέσω κάπιας εξωτερικής περιδικής δύναμης. Μια διάταξη πυ επιτυγχάνεται αυτό φαίνεται στ παρακάτω σχήμα: Τ Σ Οι δυνάμεις πυ ασκύνται στν ταλαντωτή είναι ι εξής: Α) ι συντηρητικές δυνάμεις με συνισταμένη ΣF1=-Dx, η πία έχει κατεύθυνση πρς τ κέντρ της ταλάντωσης (δύναμη επαναφράς) Β) ι δυνάμεις απόσβεσης με συνισταμένη Fαπ = -u (μη συντηρητικές δυνάμεις Γ) Μια εξωτερική περιδική δύναμη της μρφής F=Foσυν(ωt). H Η δύναμη αυτή ασκείται από εξωτερικό παράγντα πυ νμάζεται διεγέρτης. Μια τέτια ταλάντωση νμάζεται εξαναγκασμένη. Τ σώμα στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ταλαντώνεται με συχνότητα f ίση με την συχνότητα τυ διεγέρτη. H συνισταμένη ταλάντωση πυ ασκείται στν ταλαντωτή στην εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι : ΣF = -Dx u + Fσυν(ωt) Aπό τν Νόμ τυ Νewton έχυμε: ΣF=mα ή dx dx m + + Dx = Fo συν(ωt) dt dt Εκπαιδευτήρια Γείτνα. Μελέτη εξαναγκασμένης ταλάντωσης & συντνισμύ.

3 πυ έχει λύση την με Fo A= m ω - ω + ω ( ) (1) και εφφ = χ = Αημ(ωt-φ) mω - D ω Όπως είναι ξεκάθαρ, τ πλάτς της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται απ τη συχνότητα f της εξωτερικής περιδικής δύναμης και για δεδμένη συχνότητα f είναι σταθερό. Όσ αυξάνεται η συχνότητα f αρχίζντας από μικρές τιμές, τ πλάτς της ταλάντωσης αυξάνεται και μεγιστπιείται όταν η συχνότητα τυ διεγέρτη f γίνει περίπυ ίση με την ιδισυχνότητα f πυ θα είχε ταλαντωτής αν εκτελύσε ελεύθερες και αμείωτες ταλαντώσεις. Για συχνότητες τυ διεγέρτη f μεγαλύτερες της fo τ πλάτς της ταλάντωσης μειώνεται. Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις ιδιαίτερ ενδιαφέρν παρυσιάζει η κατάσταση τυ συστήματς πυ μεγιστπιείται τ πλάτς της ταλάντωσης. Η κάτάσταση αυτή λέγεται συντνισμός πλάτυς. Όταν τ πλάτς μεγιστπιείται παρνμαστής Π της (1) παίρνει την ελάχιστη δυνατή τιμή: ( ) Π= m ω - ω + ω ή ( ) Π =m ω - ω + ω ή Θέτντας ω = χ έχυμε: m ω + ( - m ω )ω + m ω - Π = 4 4 m χ + ( - m ω )χ + m ω - Π = () 4 Η εξίσωση αυτή έχει πραγματικές ρίζες όταν : 4 Δ ή ( - m ω ) 4 m (m ω Π ) ή Π m άρα: Π min = 4m ω = 4mD m m 4m ω - Από την τελευταία σχέση και την (1) πάιρνυμε τη σχέση πυ μας δίνει τ μέγιστ πλάτς F A max = 4mD- m F ή A max = D - m m F ή A max = ω- m Η μεγιστπίηση τυ πλάτυς Α γίνεται όταν η Δ= δηλαδή όταν η εξίσωση () έχει διπλή ρίζα: Εκπαιδευτήρια Γείτνα. Μελέτη εξαναγκασμένης ταλάντωσης & συντνισμύ.

4 3 χ = - - m ω m ή m ω - ω = m ή ή m ω = ω ω = ω m Πειραματικό Μέρς Για τη μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης και τυ συντνισμύ συναρμλγύμε την διάταξη της εικόνας 1: Η διάταξη περιλαμβάνει: Συσκευή παραγωγής ταλαντώσεων Γεννήτρια συχντήτων Data logger LaQuest της Vernier Αισθητήρας θέσης της Vernier Eλατήρι Δίσκς και μάζα 1g Oρειχάλκινες βάσεις και ράβδι Τρχαλίες Εικόνα (1) Α. Υπλγισμός σταθεράς Κ τυ ελατηρίυ. Είναι γνωστό ότι μια δύναμη μπρεί να κινήσει ή και να παραμρφώσει ένα σώμα. Η παραμόρφωση θα είναι μόνιμη, όταν εξακλυθήσει να υπάρχει και μετά τν μηδενισμό της δύναμης (πλαστική περιχή, βλ. σχ. 1). Αντίθετα, αν τ σώμα επανέλθει στ αρχικό Εκπαιδευτήρια Γείτνα. Μελέτη εξαναγκασμένης ταλάντωσης & συντνισμύ.

5 τυ σχήμα μόλις σταματήσει η δύναμη, τότε η παραμόρφωση λέγεται ελαστική (περιχή Hooke, βλ. σχ. 1.). Εάν η δύναμη F υπερβεί τη δύναμη πυ αντιστιχεί στ όρι θραύσης, τότε θα έχυμε θραύση τυ υλικύ. 4 F Πλαστική περιχή (Μόνιμη παραμόρφωση) Περιχή Hooke (Ελαστική παραμόρφωση) Χ θρ x Σχ. 1. Τ ελατήρι έχει την ικανότητα, με μικρές εξωτερικές δυνάμεις, να παθαίνει μεγάλες ελαστικές παραμρφώσεις. Στην περίπτωση αυτή ισχύει εμπειρικός νόμς τυ Hooke με την μρφή: F = -Κ x (1) Όπυ F είναι η αντίδραση τυ ελατηρίυ (δηλαδή η δύναμη πυ ασκείται από τ ελατήρι στ σώμα), x η απμάκρυνση τυ άκρυ τυ από την θέση ισρρπίας (δηλαδή η επιμήκυνση) και Κ η σταθερά τυ ελατηρίυ πυ εξαρτάται από τ υλικό κατασκευής και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά (μήκς, διάμετρς, πυκνότητα, σπειρών, και διατμή σύρματς). Θα χρησιμπιήσυμε την σχέση (1) για να υπλγίσυμε πειραματικά την σταθερά Κ τυ ελατηρίυ πυ έχυμε στην διάθεσή μας για τ πείραμα. Συγκεκριμένα θα κρεμάμε διαδχικά μάζες στ ελατήρι ώστε να αυξάνεται η δύναμη F και θα μετρύμε την αντίστιχη απμάκρυνση x από τ φυσικό μήκς τυ ελατηρίυ. Στη συνέχεια κατασκευάζυμε ένα πίνακα τιμών : Αναρτώμενη μάζα (g) Δύναμη (N) Απμάκρυνση (m) 5.9,59,33 1,44 1,44,63 15,6 1,156,99,7.7,13 51,81,5181,165 3,7 3,7,199 Εκπαιδευτήρια Γείτνα. Μελέτη εξαναγκασμένης ταλάντωσης & συντνισμύ.

6 5 Kατόπιν σχεδιάζυμε την γραφική παράσταση δύναμης απμάκρυνσης: Γραφική Παράσταση Δύναμης-Απμάκρυνσης 3,5 3 y = 15,77x +,35 R =,9997,5 Δύναμη (Ν) 1,5 Series1 Linear (Series1) 1,5,5,1,15,,5 Απμάκρυνση (m) Από την κλίση της ευθείας, η πειραματική τιμή τυ Κ υπλγίζεται στα Κ=15Ν/m B. Υπλγισμός ιδισυχνότητας τυ ταλαντευόμενυ συστήματς. Όπως είδαμε παραπάνω η ιδισυχνότητα τυ συστήματς θα υπλγίζεται από τν τύπ : 1 K f= o π m Ζυγίζυμε τ σώμα πυ θα ταλαντωθεί (δίσκς + μάζα) και πρκύπτει μάζα m=14 g. Eφαρμόζντας τν παραπάνω τύπ υπλγίζυμε την ιδισυχνότητα τυ συστήματς: 1 K 1 15 f= o = = 1,74Hz π m π,14 Εκπαιδευτήρια Γείτνα. Μελέτη εξαναγκασμένης ταλάντωσης & συντνισμύ.

7 6 Γ. Σχεδιασμός καμπύλης πλάτυς συχντήτων Ρυθμίζυμε την γεννήτρια συχντήτων σε ημιτνειδή έξδ και συχνότητα 1, Ηz. To σύστημα ξεκινά να ταλαντώνεται με τη συχνότητα τυ διεγέρτη. Αυξάνυμε σταδιακά τη συχνότητα και καταγράφυμε σε ένα πίνακα συχνότητας - πλάτυς τις τιμές της συχνότητας τυ διεγέρτη και τυ πλάτυς της εξαναγκασμένης ταλάντωσης. Συχνότητα διεγέρτη (Ηz) Πλάτς Ταλάντωσης (m) 1,,35 1,3,45 1,35,55 1,4,65 1,45,75 1,5,1 1,55,15 1,6,31 1,65,485 1,7,3 1,75,13 1,8,9 1,85,65 Κατόπιν σχεδιάζυμε την πειραματικά δεδμένα: καμπύλη πλάτυς συχνότητας πυ πρκύπτει από τα Series1,6,5 1,65,4 Πλάτς (m),3 1,6 1,7, 1,55 1,75,1 1, 1,45 1,351,4 1,3 1,5 1,8 1,85,,4,6,8 1 1, 1,4 1,6 1,8 Συχνότητα (Ηz) Εκπαιδευτήρια Γείτνα. Μελέτη εξαναγκασμένης ταλάντωσης & συντνισμύ.

8 7 Από την πειραματική καμπύλη γίνεται σαφές ότι η συχνότητα συντνισμύ ( 1,65 Ηz) είναι μικρότερη από την ιδισυχνότητα (1,74Hz) τυ συστήματς. Δ. Yπλγισμός Σταθεράς απόσβεσης. Για να υπλγίσυμε την σταθερά απσβεσης θα χρησιμπιήσυμε την σχέση : Έχυμε: ω = 1,9 rad/s ω = 1,36 rad/s m =,14 Kg ω = ω m Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση και λύνντας ώς πρς έχυμε: ( ) = m ω - ω =,6 Κg s Bιβλιγραφία 1. Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Ι. Γαρυφαλάκης, Α. Ζήσς, Γ. Μυσιακάκης, Α. Παπακίτσς, Π. Σκύντσς, Β. Χηνόπυλς, Μακεδνικές Εκδόσεις.. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής & Τεχνλγικής Κατεύθυνσης Β. Τσύνης, Εκδτικός Όμιλς Συγγραφέων Καθηγητών Εκπαιδευτήρια Γείτνα. Μελέτη εξαναγκασμένης ταλάντωσης & συντνισμύ.