Σύνολο τιμών συνάρτησης. Η εύρεση και η σημασία του.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σύνολο τιμών συνάρτησης. Η εύρεση και η σημασία του."

Transcript

1 Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας ΦΥΛΛΟ 17, 17 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 17 ISSN Εκδίδεται στην Αθήνα. Διανέμεται και αναπαράγεται ελεύθερα. Δικτυακός Τόπος: Στοιχειοθετείται με το LATEX ε Eπιμέλεια: Ν.Σ. Μαυρογιάννης, Μαθηματικός, MSc, PhD Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής Σύνολο τιμών συνάρτησης. Η εύρεση και η σημασία του. Βαγγέλης Μουρούκος, Μπάμπης Στεργίου Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε και να περιγράψουμε με σχετικά σύντομο τρόπο την έννοια, την σημασία, τον τρόπο εύρεσης και τις εφαρμογές του συνόλου τιμών μιας συνάρτησης, καθώς και ορισμένες περιπτώσεις που κατά την πορεία της εύρεσής του παρατηρούνται συχνά λάθη ή παραλείψεις. 1 Ο ορισμός του συνόλου τιμών. Ας πάρουμε από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών της Γ Λυκείου το παρακάτω ερώτημα με την απάντησή του: ΕΡΩΤΗΜΑ Τι λέμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο A; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα x A. Είναι δηλαδή: ή ακόμα: f(a) = {y y = f(x) για κάποιο x A} f(a) = { f(x) x A }. Το σύνολο τιμών της f στο A συμβολίζεται με f(a). Το σύνολο τιμών υπάρχει για κάθε συνάρτηση, είτε γνωρίζουμε τον τύπο της είτε όχι και συχνά η εύρεσή του είναι πολύ δύσκολη έως αδύνατη. ΣΧΟΛΙΟ 1 Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f, τότε: (α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A των τετμημένων των σημείων της C f. (β) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f(a) των τεταγμένων των σημείων της C f. Εδώ θεωρούμε συμβατικά ότι αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σχεδιάζεται ως συνεχής γραμμή σε ένα διάστημα, τότε οι προβολές των σημείων της στον άξονα y y δημιουργούν επίσης διάστημα ή μονοσύνολο (αν η συνάρτηση είναι σταθερή). Το γεγονός ότι η γραφική παράσταση σχεδιάζεται με τρόπο ώστε σε κάποιο διάστημα να φαίνεται συνεχής είναι βέβαια αποτέλεσμα αυστηρής θεωρητικής μελέτης, που κυρίως βασίζεται στην έννοια του ορίου και η οποία με τη σειρά της βασίζεται στις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Για τις γνωστές συναρτήσεις λοιπόν, η γραφική παράσταση δηλώνει αυτό που στην πραγματικότητα είναι η συνάρτηση: συνεχής, μονότονη κλπ. Με άλλα λόγια η γραφική παράσταση είναι μια μαθηματική πρόταση που εκφράζεται με εικόνα. Επομένως, ένας μαθητής που στο ερώτημα: «Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = ln x» σχεδιάσει τη γραφική παράσταση και απαντήσει ότι είναι το R, εξηγώντας ίσως τον τρόπο με τον οποίο το συνάγει αυτό, δηλαδή από την προβολή της γραφικής παράστασης στον άξονα y y, έχει στην πραγματικότητα απαντήσει πλήρως. Δεν κάνει μεν θεωρητική απόδειξη, απαντάει όμως σωστά με βάση τις θεωρητικές γνώσεις του για τη συνάρτηση αυτή. Για τον λόγο αυτό, η εύρεση του συνόλου τιμών μιας συνάρτησης με γραφικό και εποπτικό τρόπο, μέσω δηλαδή της γραφικής της παράστασης, είναι σε πρώτο βήμα απλή συνέπεια μιας προσεκτικής παρατήρησης. Πιο συγκεκριμένα, για 1

2 να βρούμε το σύνολο τιμών, αρκεί να προβάλλουμε τη γραφική παράσταση στον άξονα y y και να εντοπίσουμε τα διαστήματα (ή τα σύνολα) που δημιουργούνται από τις προβολές των σημείων της. Ωστόσο, η πιο αυστηρή εύρεση του συνόλου τιμών μας συνάρτησης, απαιτεί άλλοτε σημαντικές αλγεβρικές τεχνικές και άλλοτε γνώσεις από τη συνέχεια και τη μονοτονία της συνάρτησης. Η σημασία του συνόλου τιμών Πριν προχωρήσουμε στην ανάπτυξη των κυριότερων τρόπων εύρεσης του συνόλου τιμών μας συνάρτησης, ας δούμε ορισμένες από τις χρήσεις του και τις σημαντικότερες από τις πληροφορίες που μας δίνει. Το σύνολο τιμών f(a) μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού A, ή ακόμα η εικόνα f(a) ενός συνόλου A μέσω μιας συνάρτησης f, δίνει σημαντικές πληροφορίες για τη συνάρτηση. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Αν f(a) = (, 1) τότε συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση είναι θετική, ότι η γραφική της δηλαδή παράσταση είναι πάνω από τον άξονα x x, καθώς και ότι ισχύει < f(x) < 1 για κάθε x A. Από τη μορφή επίσης του συνόλου τιμών προκύπτει ότι η συνάρτηση f δεν έχει μέγιστο ή ελάχιστο, είναι όμως φραγμένη στο A. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν f(a) = (, 1], τότε εκτός από το γεγονός ότι πάλι η f είναι θετική, εδώ έχουμε την επιπλέον πληροφορία ότι η f έχει μέγιστο το f max = 1, δεν έχει όμως ελάχιστο, αφού το αριστερό άκρο του διαστήματος f(a) = (, 1] είναι ανοικτό. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Αν f(a) = (, ), τότε εκτός από το γεγονός ότι < f(x) < για κάθε x A, συμπεραίνουμε ότι οι εξισώσεις f(x) =, f(x) = 1, f(x) = 1 και γενικά κάθε εξίσωση της μορφής f(x) = β με β (, ) έχει μία τουλάχιστον λύση στο σύνολο A. Ας αναφέρουμε προκαταβολικά ότι στην περίπτωση που η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η λύση αυτή είναι μοναδική. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το σύνολο τιμών μιας 1 1 συνάρτησης f είναι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης f 1. Επίσης, το σύνολο τιμών της f 1 είναι το πεδίο ορισμού της f. Αν το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα είναι υποσύνολο ενός πεπερασμένου συνόλου ή ενός άπειρου συνόλου που αποτελείται από μεμονωμένα σημεία, τότε η συνάρτηση αυτή είναι σταθερή στο διάστημα. Τονίζουμε επίσης ότι συνεχείς συναρτήσεις με τιμές μόνο ρητούς αριθμούς ή μόνο άρρητους αριθμούς, είναι αναγκαστικά σταθερές. Γενικότερα ισχύει ότι: ΠΡΟΤΑΣΗ 1 Αν η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f δεν είναι διάστημα, τότε η f είναι σταθερή στο. Εφαρμογές αυτού του σημαντικού συμπεράσματος θα δούμε στην αντίστοιχη παράγραφο. Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να είναι σταθερή και σε περιπτώσεις που δεν εμπίπτουν στις παραπάνω. Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής. Το σύνολο τιμών, λοιπόν, της παραγώγου f σε ένα διάστημα είναι επίσης διάστημα. Πρόκειται για το περίφημο θεώρημα Darboux, το οποίο όμως ξεφεύγει από τη σχολική ύλη. Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα δεν είναι διάστημα, τότε η f δεν έχει αρχική στο. Πρόκειται για μια ιδιαίτερα σημαντική πληροφορία που δίνει το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης. Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f είναι ένωση ξένων διαστημάτων και το μικρότερο ή το μεγαλύτερο από τα άκρα των διαστημάτων αυτών είναι κλειστό, τότε το άκρο αυτό είναι ολικό ακρότατο της f. Συγκεκριμένα, είναι ολικό ελάχιστο, αν το κλειστό άκρο είναι το μικρότερο και ολικό μέγιστο, αν είναι το μεγαλύτερο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Τι συμπεραίνετε για το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f : A R, αν αυτή έχει την ιδιότητα για κάθε x A; Για κάθε x A έχουμε: (f(x) 1)(f(x) ) = (f (x) 1) (f (x) ) = (f (x) 1 = ή f (x) = ) (f (x) = 1 ή f (x) = ). Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι υποσύνολο του συνόλου {1, }, δηλαδή f(a) {1, }. Πιο συγκεκριμένα, το σύνολο τιμών της συνάρτησης f μπορεί να είναι: f(a) = {1, } ή f(a) = {1} ή f(a) = {}. Τονίζουμε εδώ ότι η σχέση δεν δίνει (f(x) 1)(f(x) ) = f(x) = 1 για κάθε x A ή f(x) = για κάθε x A. Με άλλα λόγια, από τη σχέση (f(x) 1)(f(x) ) = και χωρίς άλλες πληροφορίες (π.χ. τη συνέχεια) δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης f.

3 3 Ένα βασικό ερώτημα. Ας ξεκινήσουμε με ένα βασικό ερώτημα, που είναι το κλειδί για την εύρεση του συνόλου τιμών μιας συνάρτησης. ΕΡΩΤΗΜΑ Πότε ο αριθμός β ανήκει στο σύνολο τιμών f(a) μιας συνάρτησης f : A R; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο αριθμός β ανήκει στο σύνολο τιμών f(a) μιας συνάρτησης f : A R, όταν υπάρχει α A τέτοιο, ώστε f(α) = β. Αν έχουμε τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f, τότε ο αριθμός β ανήκει στο σύνολο τιμών της, αν η ευθεία y = β τέμνει τη γραφική παράσταση σε ένα τουλάχιστον σημείο. Έτσι, κάθε φορά που πρόκειται να αποφανθούμε αν ένας αριθμός ανήκει ή όχι στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f, ανατρέχουμε στην παραπάνω βασική και άμεση συνέπεια του ορισμού του συνόλου τιμών. Ανάλογα εργαζόμαστε βέβαια, αν έχουμε τη γραφική της παράσταση, οπότε η απάντηση βασίζεται στην γεωμετρική - εποπτική ερμηνεία του συνόλου τιμών. Με βάση την παραπάνω παρατήρηση, προκύπτει ότι: ΜΕΘΟΔΟΣ 1 Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f : A R αποτελείται από εκείνα και μόνον τα y R, για τα οποία υπάρχει ένα τουλάχιστον x R, τέτοιο ώστε f(x) = y. Με άλλα λόγια: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f : A R αποτελείται από εκείνα τα y R, για τα οποία η εξίσωση f(x) = y έχει μία τουλάχιστον λύση, η οποία όμως πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού A. Για να βρούμε λοιπόν το σύνολο τιμών της f θεωρούμε την εξίσωση f(x) = y και θέτουμε για το y όλους τους περιορισμούς, ώστε η εξίσωση αυτή να έχει λύση στο σύνολο A. Επισημαίνουμε ότι δεν αρκεί η εξίσωση f(x) = y να έχει λύση στο R, αλλά πρέπει η λύση αυτή να ανήκει στο A. Πριν προχωρήσουμε σε εφαρμογές που δείχνουν τον τρόπο εύρεσης του συνόλου τιμών μιας συνάρτησης, ας δούμε όχι πώς βρίσκουμε αλλά πώς αποδεικνύουμε ότι μια συνάρτηση f : A R έχει σύνολο τιμών το σύνολο B. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Μια συνάρτηση f : R R έχει την ιδιότητα f((f(x)) = x 3 για κάθε x R. Να αποδειχθεί ότι η f έχει σύνολο τιμών το R. Έστω β R. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει α R, τέτοιο ώστε f(α) = β. Η πρώτη προσπάθεια είναι να βρούμε εκείνο το x, για το οποίο είναι x 3 = β. Λύνουμε ως προς x και βρίσκουμε εύκολα ότι x = β + 3. Στη σχέση f((f(x)) = x 3 θέτουμε όπου x το x = β + 3 και παίρνουμε: f f(f(x )) = x 3 ( ( )) 3 + β f = 3 + β 3 ( ( )) 3 + β f f = β. ( ) 3 + β Θέτουμε λοιπόν α = f και καταλήγουμε στη σχέση f(α) = β. Άρα η f έχει σύνολο τιμών το R. ΜΕΘΟΔΟΣ Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f : A R έχει σύνολο τιμών το σύνολο B, εργαζόμαστε ως εξής: Αποδεικνύουμε πρώτα ότι f(x) B για κάθε x A. Αποδεικνύουμε στη συνέχεια ότι για κάθε β υπάρχει α A, τέτοιο ώστε f(α) = β. ΣΠΟΥΔΑΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ B Θα περίμενε κανείς ότι η δεύτερη συνθήκη, δηλαδή ότι για κάθε β B υπάρχει α A τέτοιο, ώστε f(α) = β, θα αρκούσε από μόνη της για να συμπεράνουμε ότι f(a) = B. Όμως στην πραγματικότητα αυτό που αποδεικνύει η συνθήκη αυτή είναι ότι κάθε στοιχείο β B ανήκει στο σύνολο τιμών f(a) της f, δηλαδή ότι B f(a). Έχοντας όμως και την πρώτη συνθήκη, ότι δηλαδή f(x) B για κάθε x A, εξασφαλίζουμε ότι f(a) B, οπότε τελικά θα είναι f(a) = B. ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x) = e x 1 έχει σύνολο τιμών το διάστημα B = (, + ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η f έχει πεδίο ορισμού το A = R. Αρκεί επομένως να «αποδείξουμε» ότι για κάθε β > υπάρχει α R με f(α) = β. Όμως f(α) = β e α 1 = β α = ln(β +1). Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το f(r) = (, + ). Είναι προφανές όμως ότι το σύνολο τιμών της f είναι το ( 1, + ). Το λάθος έγκειται στο ότι πρέπει να αποδείξουμε επιπλέον ότι f(x) > για κάθε x R, κάτι που όμως δεν ισχύει (για παράδειγμα, είναι f( 1) = e 1 1 < ). 3

4 Η εύρεση του συνόλου τιμών - Βασικές εφαρμογές.1 Εύρεση από τον ορισμό Ας ξεκινήσουμε την εύρεση του συνόλου τιμών μιας συνάρτησης με χρήση μόνο του ορισμού και των βασικών εργαλείων της άλγεβρας. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x x 5. Πρόκειται για τελείως απλή εφαρμογή, η οποία όμως δείχνει το σκεπτικό για την εύρεση του συνόλου τιμών με καθαρά αλγεβρικό τρόπο που βασίζεται στον ορισμό και μόνο. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f : A R αποτελείται από εκείνα και μόνον τα y R, για τα οποία η εξίσωση f(x) = y έχει λύση στο πεδίο ορισμού A = R της f. Είναι: f(x) = y x x 5 = y x x 5 y =. Η εξίσωση αυτή, ως εξίσωση ου βαθμού, έχει λύση αν και μόνο αν: + (5 + y) y 6. Προφανώς, οι λύσεις της εξίσωσης αυτής ανήκουν στο πεδίο ορισμού R της f. Άρα το σύνολο τιμών της δοσμένης συνάρτησης είναι το f(r) = [ 6, + ). Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν φέρουμε την f στη μορφή f(x) = (x 1) 6. Ας δούμε τώρα ένα παρόμοιο παράδειγμα με αλλαγμένο το πεδίο ορισμού: ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x x 5 με πεδίο ορισμού A = R {1}. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f : A R αποτελείται από εκείνα και μόνον τα y R, για τα οποία η εξίσωση f(x) = y έχει λύση στο πεδίο ορισμού A = R {1} της f. Είναι: f(x) = y x x 5 = y x x 5 y = (1). Επειδή το πεδίο ορισμού δεν είναι το R, πρέπει επιπλέον να εξετάσουμε αν για αυτά τα y μία τουλάχιστον λύση της εξίσωσης (1) ανήκει στο πεδίο ορισμού A = R {1} της f. Ας δούμε όμως πρώτα μήπως υπάρχει y 6, για το οποίο η εξίσωση (1) έχει λύση την x = 1. Για x = 1 η (1) δίνει y = 6. Δεν είμαστε όμως ακόμα έτοιμοι για να απορρίψουμε την τιμή αυτή. Πρέπει να εξετάσουμε την συμπεριφορά της εξίσωσης y = f(x) για y = 6, διότι αυτή είναι τελικά η πιο... αρμόδια σχέση για να αποφασίσει αν θα δεχτούμε ή αν θα εξαιρέσουμε κάποια τιμή από το σύνολο τιμών. Αλλά για y = 6 η (1) γίνεται: x x = x x + 1 = x = 1 / A = R {1}. Άρα το σύνολο τιμών της δοσμένης συνάρτησης είναι το f(a) = ( 6, + ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x x 5, με x. Όπως παραπάνω, έχουμε ότι: f(x) = y x x 5 = y x x 5 y = (1). Πρέπει + (5 + y) y 6 Η εξίσωση (1) για x = (που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού) δίνει y = 5. Πιθανόν λοιπόν το y = 5 να μην ανήκει στο σύνολο τιμών της f. Αλλά η ίδια εξίσωση για y = 5 δίνει: x x = (x = ή x = ) Επειδή x = A, τελικά το y = 5 ανήκει στο σύνολο τιμών και έτσι f(a) = [ 6, + ). ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x x +. x 1 Πρέπει x 1 x 1, οπότε το πεδίο ορισμού της f είναι το A = R {1}. Θεωρούμε την εξίσωση y = f(x). Το σύνολο τιμών της f αποτελείται από όλα εκείνα τα y R, για τα οποία η εξίσωση y = f(x) έχει λύση ως προς x στο A. Είναι: Η εξίσωση αυτή, ως εξίσωση ου βαθμού, έχει λύση αν και μόνο αν: y = f(x) y = x x + x 1 + (5 + y) y 6. x (y + )x + + y = (1)

5 Η (1) είναι εξίσωση ου βαθμού ως προς x και έχει λύση στο R αν και μόνο αν: (y + ) ( + y) (y + )(y ) y (, ] [, + ). Μένει να εξετάσουμε μήπως για κάποιο από τα παραπάνω y η λύση της (1) είναι ο αριθμός 1, ο οποίος δεν ανήκει στο A. Αλλά για x = 1 η σχέση (1) δίνει: 1 (y + ) + + y = 1 =, η οποία είναι αδύνατη. Επομένως οι παραπάνω τιμές για το y είναι δεκτές και έτσι το σύνολο τιμών της f είναι το f(a) = (, ] [, + ). ΣΧΟΛΙΟ Στην πραγματικότητα πρόβλημα υπάρχει αν και οι δύο λύσεις της εξίσωσης (1) είναι ίσες με 1. Αλλά τότε πρέπει =, δηλαδή y = ή y =. Όμως, για τις τιμές αυτές του y η εξίσωση (1) δίνει για το x αντίστοιχα τις τιμές x = και x = που ανήκουν στο πεδίο ορισμού. Άρα και οι τιμές y =, y = ανήκουν στο σύνολο τιμών της f και έτσι f() = (, ] [, + ). ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x +x. x 1 Πρέπει x 1 x 1, οπότε το πεδίο ορισμού της f είναι το A = R {1}. Θεωρούμε την εξίσωση y = f(x). Το σύνολο τιμών της f αποτελείται από όλα εκείνα τα y R, για τα οποία η εξίσωση y = f(x) έχει λύση ως προς x στο A. Είναι: y = f(x) y = x + x x 1 x + (1 y)x + y = (1) Η (1) είναι εξίσωση ου βαθμού ως προς x και έχει λύση στο R αν και μόνο αν: (1 y) (y ) (y 3), που ισχύει για κάθε y R. Θα περίμενε κανείς λοιπόν ότι το σύνολο τιμών της f είναι το R. Πρέπει όμως να εξετάσουμε αν επιπλέον η λύση της (1) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, δηλαδή αν x 1. Με άλλα λόγια, πρέπει να εξετάσουμε μήπως για κάποιο από τα παραπάνω y η λύση της (1) είναι ο αριθμός 1, ο οποίος δεν ανήκει στο A. Αλλά για x = 1 η σχέση (1) δίνει: 1 + (1 y) + y = y =, που είναι ταυτότητα ως προς y. Φαίνεται πως οδηγούμαστε σε αδιέξοδο, οπότε επιστρέφουμε στον τύπο της f και παρατηρούμε ότι η τιμή x = 1 μηδενίζει και τον αριθμητή. Απλοποιούμε λοιπόν τον τύπο της f και παίρνουμε ότι f(x) = x +x x 1 = (x 1)(x + ) x 1 = x + για x 1. Από αυτή τη μορφή παίρνουμε τώρα ότι για x = 1 είναι y = 3. Η εξίσωση (1) για y = 3 γίνεται: x x + 1 = x = 1 / A και έτσι οριστικά η τιμή y = 3 δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f. Άρα f (A) = R {3}. Ας σημειώσουμε ότι αν από την αρχή απλοποιήσουμε τον τύπο της συνάρτησης, τότε η διαδικασία εύρεσης γίνεται πιο απλή, αφού αντί της (1) θα έχουμε εξίσωση 1ου βαθμού. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = x 3 3x + 3x. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = R. Παρατηρούμε ότι: f(x) = y (x 1) 3 1 = y (x 1) 3 = y + 1 x = { 3 (y + 1), y < 1 3 y + 1, y 1. Επομένως η f έχει σύνολο τιμών το R. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8 Να βρεθούν οι αριθμοί α, β R, ώστε η συνάρτηση f(x) = αx + β x + x + 1 να έχει σύνολο τιμών το [ 13 ], 1. Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A = R. Το σύνολο τιμών της f αποτελείται από όλα εκείνα τα y R, για τα οποία η εξίσωση y = f(x) έχει λύση ως προς x στο A. Είναι: y = αx + β x + x + 1 yx + (y α)x + y β = (1) Για y = η εξίσωση (1) γίνεται αx β = αx + β = που έχει λύση στο R, εκτός από την περίπτωση που α = και β. Αφήνουμε όμως για το τέλος την τελική διερεύνηση. 5

6 Αν y, τότε η εξίσωση (1) είναι δευτέρου βαθμού και έχει λύση αν και μόνο αν: (y α) y(y β) 3y + (α β) α Η παραπάνω ανίσωση αληθεύει σε ένα διάστημα της μορφής [y 1, y ] και επειδή θέλουμε το σύνολο τιμών της f να είναι το [ 13, 1 ], θα πρέπει η εξίσωση 3y + (α β) α = να έχει ρίζες τους αριθμούς y 1 = 1 3 και y = 1. Επειδή λοιπόν πρέπει να είναι y 1 + y = 3 και y 1 y = 1 3, από τους τύπους του Vieta προκύπτει ότι: (α β) = 3 3 και α 3 = 1 3 Από τις σχέσεις αυτές βρίσκουμε τελικά ότι (α, β) = (1, 1) ή (α, β) = ( 1, ). Και οι δύο λύσεις είναι δεκτές, αφού και στις δύο περιπτώσεις ο αριθμός ανήκει στο σύνολο τιμών της f.. Σύνολο τιμών συνεχών συναρτήσεων Θα ασχοληθούμε τώρα με την εύρεση του συνόλου τιμών σε συναρτήσεις που είναι συνεχείς αλλά δεν μπορεί να εφαρμοστεί ίσως καμία από τις προηγούμενες μεθόδους που περιγράψαμε ή στις οποίες το σύνολο τιμών προσδιορίζεται ευκολότερα μέσω των θεωρημάτων που αφορούν συνεχείς συναρτήσεις. Για τις συναρτήσεις αυτές θα χρησιμοποιήσουμε πάλι τη σχετική πρόταση από το σχολικό βιβλίο. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (A, B), όπου A = lim f(x) και B = lim f(x). x α + x β Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (B, A). Bρίσκουμε για κάθε i = 1,,... κ το επιμέρους σύνολο τιμών f( i ). Τελικά το σύνολο τιμών είναι το f(a) = f( 1 ) f( )... f( κ ). Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα και f( ), τότε η εξίσωση f(x) = έχει μοναδική λύση στο διάστημα. Αντίστοιχα, αν β f( ), τότε η εξίσωση f(x) = β έχει μοναδική λύση στο διάστημα. Με τον τρόπο αυτό, σε συνδυασμό με τον τρόπο εύρεσης του συνόλου τιμών, βρίσκουμε το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης της μορφής f(x) = λ για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ R. ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό, δηλαδή η εικόνα f( ), είναι επίσης διάστημα ή μονοσύνολο. Το σύνολο τιμών είναι μονοσύνολο μόνο αν η συνάρτηση είναι σταθερή. Επιπλέον, για μια συνεχή συνάρτηση f στο διάστημα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: Αν το είναι κλειστό, τότε και το f( ) είναι κλειστό. Αν όμως το f( ) είναι κλειστό, τότε το δεν είναι υποχρεωτικά κλειστό. Ένα τέτοιο παράδειγμα αποτελεί η συνάρτηση f(x) = x x που έχει σύνολο τιμών το [ 1, 1], αλλά το πεδίο ορισμού της A = R είναι + 1 ανοικτό διάστημα. Αν το f( ) είναι ανοικτό, τότε το δεν είναι αναγκαστικά ανοικτό. Για παράδειγμα, το σύνολο τιμών της συνάρτησης ( ) 1 f(x) = xημ, x = [, 1), 1 x της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται παρακάτω, είναι το f( ) = ( 1, 1). Σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση, για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f: Bρίσκουμε το πεδίο ορισμού A της f. Bρίσκουμε με την βοήθεια των παραγώγων ή με άλλο τρόπο τα διαστήματα μονοτονίας i, i = 1,,... κ της f, δηλαδή γράφουμε A = 1... κ, όπου η f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα i, i = 1,,... κ. Αν m < M είναι τα ακρότατα της f στο κλειστό διάστημα = [α, β], τότε το σύνολο τιμών της f είναι το f( ) = [m, M]. Αν το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα δεν είναι διάστημα, τότε η f είναι σταθερή. 6

7 Οι παραπάνω παρατηρήσεις είναι μέγιστης σημασίας για τους υποψήφιους και αποτελούν συχνά ερωτήματα στις Πανελλήνιες Εξετάσεις. Τέλος, σημειώνουμε ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα = (α, β), lim x α x β f(x) = και lim f(x) = + + ή αντίστροφα, δηλαδή { } lim f(x), lim f(x) x α + x β = {, + }, τότε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα αυτό είναι το f( ) = R. Αυτό το συμπέρασμα είναι άμεση συνέπεια του Θεωρήματος των Ενδιάμεσων Τιμών και της έννοιας του άπειρου ορίου και θεωρούμε πως δεν απαιτείται καμία παραπάνω αιτιολόγησή του από τον μαθητή. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 9 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 x ln x. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = 17. γ) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f και να λύσετε την ανίσωση f 1 (x) > 1 x. Πρόκειται αναμφίβολα για την πιο σημαντική εφαρμογή για τον υποψήφιο. α) Η f είναι ορισμένη και συνεχής στο A = (, + ). Επειδή για κάθε x > είναι f (x) = (1 x ln x) = 1 1 x <, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο A. Επίσης, είναι lim f(x) = + και lim f(x) = και x + x + άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το R. β) Επειδή 17 f(a) = R, η εξίσωση f(x) = 17 έχει μία τουλάχιστον λύση, η οποία όμως είναι και μοναδική, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο A. γ) Στο ερώτημα αυτό απαιτείται κάτι παραπάνω από τα συνηθισμένα. Αρχικά παρατηρούμε ότι δεν χρειάζεται κανένας περιορισμός, αφού η f 1 έχει πεδίο ορισμού το f(a) = R. Είναι όμως αυθαιρεσία να πάρουμε τον περιορισμό 1 x > και να εφαρμόσουμε την f στα δύο μέλη, αλλάζοντας τη φορά της ανισότητας. Ας δούμε λοιπόν βήμα - βήμα τη σωστή πορεία: i) Αν 1 x x 1, τότε η ανισότητα αληθεύει, αφού το πρώτο μέλος είναι θετικός αριθμός (η f 1 έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της f, που είναι το (, + )), ενώ το δεύτερο μη θετικός. ii) Αν 1 x > x < 1, τότε: x < 1 (1 x) ln (1 x) x < x ln (1 x) ln (1 x) < 1 x < 1 x >. Άρα τελικά η ανίσωση αληθεύει για x (, 1) [1, + ) = (, + ). ΠΡΟΤΑΣΗ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα = (α, β) και f( ) = (κ, λ), τότε θα είναι lim f(x) = κ και lim x α + f(x) = λ. x β Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα = (α, β) και f( ) = (κ, λ), τότε θα είναι lim f(x) = λ και lim x α + f(x) = κ. x β Σημειώνουμε ότι κάποια ή και όλα από τα α, β ή κ, λ μπορεί να είναι + ή, αρκεί οι συμβολισμοί να προσαρμοστούν κατάλληλα. Στην περίπτωση π.χ. που κάποιο από τα α, β είναι + ή, το αντίστοιχο όριο δεν είναι πια πλευρικό. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Έστω μία συνεχής συνάρτηση f σε ένα διάστημα = (α, β), που έχει σύνολο τιμών το f( ) = R. Στην περίπτωση αυτή δεν ισχύει υποχρεωτικά ότι { } lim f(x), lim f(x) = {, + }, x α + x β αφού ενδέχεται τα πλευρικά όρια lim f(x), lim f(x) να x α + x β μην υπάρχουν. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η συνάρτηση f(x) = 1 ( ) 1 x 1 ημ x, x ( 1, 1), 1 της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στην παρακάτω εικόνα: f 1 (x) > 1 x x < f (1 x) 7

8 .3 Μονοτονία - Συνέχεια και Σύνολο τιμών Για τις μονότονες συναρτήσεις ισχύει η εξής πρόταση: ΠΡΟΤΑΣΗ 3 Αν μια συνάρτηση f είναι (γνησίως) μονότονη σε ένα διάστημα και το σύνολο τιμών της f( ) είναι διάστημα, τότε η f είναι συνεχής στο. 5 Περιπτώσεις που προβληματίζουν! ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Μια συνάρτηση f : R R έχει την ιδιότητα: f 3 (x) + f(x) = x + 1 για κάθε x R. Να αποδειχθεί ότι η f έχει σύνολο τιμών το R. Η πρώτη επιφανειακή προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξής: Θεωρούμε τυχαίο y R. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει x R τέτοιο, ώστε f(x) = y. Θέτοντας f(x) = y στη δοσμένη σχέση, παίρνουμε ότι: f 3 (x) + f(x) = x + 1 y 3 + y = x + 1 x = y 3 + y 1. Επομένως το σύνολο τιμών είναι το f(r) = R. Η προσέγγιση όμως αυτή έχει σοβαρά κενά. Στην πραγματικότητα αυτό που βρήκαμε με την παραπάνω διαδικασία είναι ότι αν υπάρχει x R τέτοιο, ώστε f(x) = y, τότε αυτό το x δίνεται από τη σχέση x = y 3 + y 1. Όμως, κανείς δεν εγγυάται ότι αυτό το x υπάρχει. Για να είναι ολοκληρωμένη η απάντηση, πρέπει να αποδείξουμε ότι f(x) = y, δηλαδή ότι f(y 3 + y 1) = y, πράγμα που δεν είναι καθόλου προφανές. Ας δούμε την (κλασική) αντιμετώπιση αυτού του θέματος. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, αποδεικνύουμε σχεδόν άμεσα ότι η f είναι 1 1, οπότε αντιστρέφεται. Η πιθανή αντίστροφη της f, όπως έδειξε η παραπάνω διαδικασία, είναι η συνάρτηση g(x) = x 3 + x 1, που είναι 1 1 (αφού είναι, όπως εύκολα βλέπουμε, γνησίως αύξουσα). Η δοσμένη σχέση δίνει ότι: g(f(x)) = f 3 (x) + f(x) 1 = x = x, δηλαδή g(f(x)) = x για κάθε x R. Θεωρούμε λοιπόν τυχαίο β R. Αρκεί να βρούμε α R, τέτοιο ώστε f(α) = β. Θεωρούμε (όπως είναι φυσιολογικό) τον αριθμό α = g(β). Τότε, είναι: α = g(β) g(f(α)) = g(β) g : 1 1 f(α) = β και το ζητούμενο δείχθηκε. ΣΧΟΛΙΟ 3 Με την παραπάνω διαδικασία έχουμε βρει και την αντίστροφη της f: f 1 (x) = x 3 + x 1, x R. Να τονίσουμε ότι η αντίστροφη συνάρτηση δεν βρίσκεται θέτοντας f(x) = y, γιατί δεν μπορούμε να εργαστούμε με ισοδυναμίες. Είναι προτιμότερο να διατυπώσουμε τη λύση ως εξής: Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το R, η τιμή f 1 (x) ορίζεται για κάθε x R. Άρα, μπορούμε να θέσουμε στη δοσμένη σχέση όπου x το f 1 (x) για κάθε x R και ο παραπάνω τύπος της f 1 προκύπτει άμεσα. Χωρίς να έχουμε βρει πρώτα το σύνολο τιμών της f, δηλαδή το πεδίο ορισμού της f 1, δεν έχουμε ορίσει την f 1 στο R, αλλά μόνο στο σύνολο τιμών της. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 11 Μια συνάρτηση f : R R έχει την ιδιότητα: f 3 (x) + f(x) = e x για κάθε x R. Να αποδειχθεί ότι η f έχει σύνολο τιμών το διάστημα (, + ). Θέτοντας f(x) = y, υποψιαζόμαστε ότι η αντίστροφη της f, αν υπάρχει, θα είναι η συνάρτηση g(x) = ln(x 3 + x), x >. Από τη δοσμένη σχέση προκύπτει ότι g(f(x)) = x για κάθε x R. Η συνάρτηση g είναι 1 1, όπως μπορούμε να δούμε χρησιμοποιώντας τον ορισμό, ή δείχνοντας ότι είναι γνησίως αύξουσα με χρήση της παραγώγου. Για κάθε x R, είναι: f 3 (x) + f(x) = e x f(x)(f (x) + 1) = e x f(x) >. Έστω τυχαίο β (, + ). Αρκεί να βρούμε α R, τέτοιο ώστε f(α) = β. Θεωρούμε (όπως είναι φυσιολογικό) τον αριθμό α = g(β). Τότε, είναι: α = g(β) g(f(α)) = g(β) g : 1 1 f(α) = β και το ζητούμενο δείχθηκε. Σημαντική παρατήρηση Αν παραλείψουμε να αποδείξουμε ότι f(x) > για κάθε x R, τότε η υπόλοιπη διαδικασία δεν εξασφαλίζει ότι f(r) = (, + ), αλλά μόνο ότι f(r) (, + ). Έτσι, μαζί με τη σχέση f(x) > που δίνει ότι f(r) (, + ), προκύπτει τελικά ότι f(r) = (, + ). Για να γίνει αυτό καλύτερα αντιληπτό, αναφέρουμε ότι με την ίδια διαδικασία προκύπτει ότι για κάθε β > 1 υπάρχει α R ώστε f(α) = β. Ωστόσο, το σύνολο τιμών δεν είναι το (1, + ) αλλά το (, + ), αφού η σχέση f(x) > 1 δεν ισχύει για κάθε x R. 8

9 Για κάθε x R, είναι: Μια παράξενη «λύση» f 3 (x) + f(x) = e x f(x)(f (x) + 1) = e x f(x) >. Έστω τυχαίο y >. Αρκεί να βρούμε x R τέτοιο, ώστε f(x) = y. Θέτοντας f(x) = y στη δοσμένη σχέση f 3 (x) + f(x) = e x, βρίσκουμε ότι: y 3 + y = e x x = ln(y 3 + y), y >. Άρα η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το (, + ). Η παραπάνω απόπειρα λύσης, όπως εξηγήσαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, έχει σοβαρές παραλείψεις και πρέπει να αποφεύγεται. Για να είναι η παραπάνω πορεία ολοκληρωμένη, πρέπει επιπλέον να αποδείξουμε ότι για την τιμή x = ln(y 3 + y), y >, που βρήκαμε ισχύει ότι f(x) = y. Αυτό είναι απαραίτητο να γίνει διότι κατά τη διαδικασία εύρεσης τα βήματα δεν είναι ισοδύναμα. Η τιμή που βρήκαμε αφορά μόνο το ένα σκέλος, λείπει όμως το άλλο σκέλος που είναι η ύπαρξη της τιμής αυτής. Με άλλα λόγια φτάσαμε στην τιμή με την προϋπόθεση ότι αυτή υπάρχει, αλλά η ύπαρξη είναι επίσης εξίσου σημαντικό ζήτημα. Η επαλήθευση επομένως είναι απαραίτητη. 6 Γενικά θέματα ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Δίνεται η συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα e f(x) + f(x) = x + 1 για κάθε x R. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 1 και ότι f() =. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το R και ότι f 1 (x) = e x + x 1 για κάθε x R. δ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = x. ε) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. στ) Να υπολογίσετε τα όρια A = lim f(x) και B = lim f(x). x + x α) Με χρήση του ορισμού αποδεικνύεται εύκολα ότι η f είναι 1 1. Για την εύρεση του f() θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = e x + x 1, που είναι γνησίως αύξουσα. Είναι δηλαδή g(f(x)) = e f(x) + f(x) 1 = x, g(f(x)) = x (1) για κάθε x R. Επομένως: g(f()) = = g() f() =. β) Έστω x 1 < x. Τότε λόγω της (1) παίρνουμε g(f(x 1 )) < g(f(x )) f(x 1 ) < f(x ). Άλλος τρόπος Έστω ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε υπάρχουν x 1, x R τέτοια, ώστε x 1 < x και f(x 1 ) f(x ). Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι e f(x 1) + f(x 1 ) e f(x ) + f(x ) x x + 1 x 1 x, που είναι άτοπο, αφού x 1 < x. γ) Έστω β R. Θεωρούμε τον αριθμό α = g(β) (όπως είναι φυσιολογικό, αφού η g είναι η πιθανή αντίστροφη της f). Τότε, είναι: α = g(β) (1) g(f(α)) = g(β) f(α) = β. Επομένως, η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το R. Θέτοντας όπου x το f 1 (x), x R, βρίσκουμε ότι f 1 (x) = e x + x 1 για κάθε x R, δηλαδή f 1 = g. δ) Είναι f(x) = x f 1 (x) = x e x + x 1 = x x =, αφού οι εξισώσεις f(x) = x και f 1 (x) = x είναι ισοδύναμες στο σύνολο R f(r) = R. ε) Έστω τυχαίο, αλλά σταθεροποιημένο, a R. Θεωρούμε τυχαίο x R με x a. Με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση h(x) = e x στο διάστημα με άκρα τα f(a) και f(x) έχουμε ότι υπάρχει ξ (x) μεταξύ των f(a) και f(x) τέτοιο, ώστε Έτσι, από τις σχέσεις e f(x) e f(a) = (f(x) f(a))e ξ(x). e f(x) + f(x) = x + 1 και e f(a) + f(a) = a + 1 με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε ότι: e f(x) e f(a) + f(x) f(a) = x a (f(x) f(a))e ξ(x) + f(x) f(a) = x a f(x) f(a) = x a e ξ(x) + 1. Επομένως, είναι f(x) f(a) = x a e ξ(x) + 1 x a, 9

10 σχέση που ισχύει και για x = a. Από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει τώρα εύκολα ότι η f είναι συνεχής στο a. Επίσης, για x a είναι f(x) f(a) x a = 1 e ξ(x)+1 κι επειδή η f είναι συνεχής στο a και ο αριθμός ξ (x) βρίσκεται μεταξύ των f(a) και f(x) έχουμε ότι lim ξ (x) = f (a), x a οπότε f(x) f(a) 1 lim = lim x a x a x a e ξ(x) + 1 = 1 e f(a) + 1. Επομένως, η f είναι παραγωγίσιμη στο R, με f (x) = 1 e f(x) + 1, x R στ) Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το f(r) = R και η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, έχουμε ότι A = lim f(x) = + και B = lim f(x) =. x + x ΕΦΑΡΜΟΓΗ 13 Δίνεται συνάρτηση f : R R, η οποία είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση: f 3 (x) + f(x) = x για κάθε x R. α) Να βρεθεί η τιμή f(). β) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τετμημένη. γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = και να βρεθεί το πρόσημο των τιμών της f. δ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε x R ισχύει η σχέση f(x) = 3xf (x) f(x)f (x) ε) Να αποδειχθεί ότι για κάθε x R ισχύει η σχέση x f (t) dt = 1 [ 3xf (x) f (x) ]. στ) Να αποδειχθεί ότι η f έχει σύνολο τιμών το R και να βρεθεί η f 1. α) Για x = : f 3 () + f() = f() [ f () + 1 ] = f() =. β) Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης και παίρνουμε: 3f (x)f (x) + f (x) = 1 f (x) = 1 3f (x) + 1 > για κάθε x R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή f () = 1, η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση (ε) : y f() = f ()(x ) y = x. γ) Είναι f() = και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, η x = είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x) =. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και f() = θα ισχύει: Άρα: x < f(x) < f() f(x) <. x > f(x) > f() f(x) >. για x (, + ) είναι f(x) >. για x (, ) είναι f(x) <. δ) Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης με f(x) έχουμε ότι: 3f (x)f (x) + f (x) = 1, 3f 3 (x)f (x) + f (x)f(x) = f(x). Επειδή f 3 (x) = x f(x), η παραπάνω σχέση γράφεται: (3x 3f(x)) f (x) + f(x)f (x) = f(x) f(x) = 3xf (x) f(x)f (x) (1) ε) Από τη σχέση f 1 (x) = 3f (x) + 1 έχουμε ότι η f είναι συνεχής. Για x R, με ολοκλήρωση της (1) βρίσκουμε ότι: I = x f(t)dt = x 3tf (t)dt x x [ = [3tf(t)] x f (t) 3f(t)dt = 3xf(x) 3I f (x) f(t)f (t)dt = αφού f() = και μια αρχική της g(t) = f(t)f (t) είναι η G(t) = f (t). Άρα: I + 3I = 3xf(x) f (x) I = 1 [ 3xf(x) f (x) ]. Σχόλιο Μια άλλη προσέγγιση είναι η ακόλουθη: Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση f 3 (x) + f(x) = x με f (x) και παίρνουμε: ] x f 3 (x)f (x) + f(x)f (x) = xf (x) = 1

11 ( f ) ( (x) f ) (x) + + f(x) = [xf(x)]. Επομένως, είναι: x [ f (t) f(t)dt = = f (x) = f 3 (x)f(x) ] x f (x) (x f(x)) f(x) = [ f (t) ] x + xf(x) = f (x) +xf(x) = = xf(x) xf(x) + f (x) f (x) + [tf(t)] x = f (x) +xf(x) = = 3xf(x) f (x). στ) Έστω β R. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει α R τέτοιο, ώστε f(α) = β. Θέτουμε α = β 3 + β. Τότε, έχουμε ότι: f 3 (α) + f(α) = α και α = β 3 + β. Είναι: f 3 (α) + f(α) = β 3 + β [f(α) β] [ f (α) + f(α) β + β + 1 ] = f(α) = β, αφού f (α) + f(α) β + β + 1 >. Θέτοντας στη σχέση f 3 (x) + f(x) = x όπου x το f 1 (x), x R, βρίσκουμε ότι: [ f ( f 1 (x) )] 3 + f ( f 1 (x) ) = f 1 (x) f 1 (x) = x 3 + x, x R. Τονίζουμε και εδώ ότι η ενέργεια να θέσουμε f(x) = y και να αντικαταστήσουμε: f 3 (x) + f(x) = x x = y 3 + y δεν εξασφαλίζει ότι η f έχει σύνολο τιμών το R, ούτε δίνει την αντίστροφη της f. Γενικά σχόλια 1. Από τη σχέση f 3 (x) + f(x) = x, χωρίς άλλο δεδομένο, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Πράγματι, αν δεν ήταν γνησίως αύξουσα, θα υπήρχαν x 1, x τέτοια, ώστε x 1 <x και f(x 1 ) f(x ). Έτσι f 3 (x 1 ) f 3 (x ), οπότε: f 3 (x 1 ) + f(x 1 ) f 3 (x ) + f(x ) x 1 x, που είναι άτοπο. Μπορούμε επίσης να αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις f 3 (x) + f(x) = x και f 3 (x ) + f(x ) =x, όπως στην ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1.. Το σύνολο τιμών σε παρόμοιες ασκήσεις, όπως αναλύσαμε και στην αρχή της παρούσας εργασίας, βρίσκεται και ως εξής: Η πιθανή αντίστροφη της f είναι η g(x) = x 3 +x. Η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1. Η δοσμένη σχέση δίνει ότι g(f(x)) = x = g ( g 1 (x) ) 1 1 f(x) =g 1 (x) για κάθε x R. Αλλά η g 1 έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της g, δηλαδή το R. Άρα και η f = g 1 έχει σύνολο τιμών το R. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Έστω f : R R συνεχής συνάρτηση και F μια αρχική της f με F () = 1 για την οποία ισχύει ότι: f(17 x)f (x 17) = 17 x, για κάθε x R. α) Να αποδείξετε ότι f(x) = x για κάθε x R. x + 1 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(3x) = f(x) + f(x). α) Θέτουμε όπου x το 17 x και βρίσκουμε ότι: f(x)f ( x) = x. Θέτοντας στη σχέση αυτή όπου x το x βρίσκουμε ότι: f( x)f (x) = x. Αφαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, έχουμε ότι: f(x)f ( x) f( x)f (x) = x F (x)f ( x) + (F ( x)) F (x) = x Άρα, διαιρώντας κατά μέλη: f(x)f ( x) F (x)f ( x) = F (x)f ( x) = x + c F ()=1 F (x)f ( x) = x + 1 (1). x x + 1 ln F (x) = 1 ln(x + 1) F (x) = x + 1. Από τη σχέση (1) και αφού F () = 1, έχουμε ότι F (x) > για κάθε x R. Έτσι, βρίσκουμε ότι F (x) = x + 1 και άρα x f(x) = x

12 β) Επειδή f 1 (x) = (x + 1) >, η f είναι γνησίως x + 1 αύξουσα. Βρίσκουμε τελικά ότι f(r) = ( 1, 1). γ) Το x = είναι προφανής ρίζα της δοσμένης εξίσωσης. Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική. Αν x >, τότε είναι f(x) < f(x) και f(3x) < f(x), οπότε f(x) + f(3x) < f(x) + f(x). Άρα η εξίσωση δεν έχει θετική ρίζα. Όμοια, βρίσκουμε ότι δεν έχει ούτε αρνητική ρίζα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 15 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(x + 1) x + 1 και g(x) = e x + x x 1, α) Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία. β) Να λυθεί η εξίσωση (f g)(x) = 1. γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) =. α) Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) (Μοναδική ρίζα της g είναι η x =.) β) Η εξίσωση γράφεται f (g(x)) = f() f: 1 1 g(x) = x =, από το ερώτημα α). γ) Βρίσκουμε ότι f(r) = R και ότι η εξίσωση f(x) = έχει μία ακριβώς ρίζα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 16 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + 3 x + 5 x. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) =. γ) Να λυθεί το σύστημα x + 3 x + 5 x = y + y + 3 y + 5 y = z + z + 3 z + 5 z = x + α) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ). β) Βρίσκουμε ότι f ([, + )) = [, + ) και ότι η εξίσωση f(x) = έχει ακριβώς μία ρίζα. γ) Είναι x = z + 3 z + 5 z = f(z) και τελικά: x = f (f (f(x))). Με απαγωγή σε άτοπο προκύπτει ότι η εξίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την f(x) = x. Έτσι, είναι x = y = z. Επειδή f(x) = x 3 x + 5 x = x = 1, βρίσκουμε ότι το σύστημα έχει τη μοναδική λύση (x, y, z) = (1, 1, 1). ΕΦΑΡΜΟΓΗ 17 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln x + x 1. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να μελετηθεί η f ως προς τα κοίλα και να βρεθούν τα σημεία καμπής της C f. γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. δ) Να βρεθεί το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης f. ε) Να λυθεί η εξίσωση: f(x) + f(x 5 ) = f(x ) + f(x 1 ). α) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). β) Βρίσκουμε ότι f (x) = x + = 1 x. Η f είναι κοίλη στο (,1] και κυρτή στο [1, + ). Το M(1, ) είναι σημείο καμπής της C f. γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το R. δ) Επειδή f(1) = και η f είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε ότι: Οι τιμές της f είναι αρνητικές στο (, 1) και θετικές στο (1, + ). ε) Το x = 1 είναι προφανής ρίζα της δοσμένης εξίσωσης. Για x (, 1) είναι x > x και x 5 > x 1, οπότε: f(x) > f(x ) και f(x 5 ) > f(x 1 ) και επομένως f(x) + f(x 5 ) > f(x ) + f(x 1 ). Για x > 1 είναι f(x) < f(x ) και f(x 5 ) < f(x 1 ), οπότε f(x) + f(x 5 ) < f(x ) + f(x 1 ). Άρα η εξίσωση έχει τη μοναδική ρίζα x = 1. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 18 Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = e x α e β x, όπου α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. γ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της C f. δ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα β α f (x) x dx. x 1

13 Πεδίο ορισμού της f είναι το R. α) Βρίσκουμε ότι f (x) = 1 α e x α + β x e β x > για κάθε x R. Η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα 1 = (, ) και = (, + ). β) Είναι lim f(x) = 1, lim f(x) = 1, οπότε: x x Επίσης, είναι οπότε: f( 1 ) = ( 1, 1). lim f(x) =, lim x + x + f( ) = (, + ). f(x) = +, Τελικά, βρίσκουμε ότι f(r ) = R. γ) Η ευθεία x = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f, αφού lim f(x) =. Η ευθεία y = 1 είναι οριζόντια x + ασύμπτωτη της C f στο. δ) Θέτουμε x = αβ 1 t, οπότε dx = αβ 1. Για x = α είναι t t = β, ενώ για x = β είναι t = α. Άρα: οπότε I =. = α β = I = e β t β α e t α αβ 1 t α e β t β e x α e x β dx = x e t α t ( αβ 1t ) dt = dx = I, ΕΦΑΡΜΟΓΗ 19 (Επαναληπτικές Εξετάσεις 16) Δίνεται η συνάρτηση ln x, < x < 1 x f (x) = 1, x = 1 ln x, x > 1 x 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο (, + ) και να βρείτε, αν υπάρχουν, τις ασύμπτωτες της C f. β) Να αποδείξετε ότι το x = 1 είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f και να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = έχει μοναδική ρίζα στο (, + ). ii) Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες x = 1 και x = x, όπου x η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x) = στο (, + ), να αποδείξετε ότι E = x x +. δ) Αν F είναι μια παράγουσα της f στο [1, + ), να αποδείξετε ότι (x + 1) F (x) > xf (1) + F ( x ) για κάθε x > 1. α) Η συνέχεια προκύπτει με τον ορισμό, βρίσκοντας τα πλευρικά όρια της f στο 1. Η ευθεία x = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f, ενώ η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο +. β) Η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1, αφού και Για x > 1 είναι f (x) f (1) lim = 1 x 1 + x 1 f (x) f (1) lim = 1. x 1 x 1 f (x) = x 1 x ln x x(x 1) = g (x) x(x 1). Μελετώντας την παράγωγο της g, βρίσκουμε ότι g(x) <, άρα και f (x) < για κάθε x > 1. Επίσης, έχουμε ότι f (x) = 1 ln x x > για κάθε x (, 1). Άρα το x = 1 είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, 1] και γνησίως φθίνουσα στο [1, + ), οπότε έχει τελικά σύνολο τιμών το f((, + )) = (, 1]. γ) Αν 1 = (, 1] και = (1, + ), τότε έχουμε ότι f( 1 ) = (, 1] και / f( ) = (, 1). Άρα, η εξίσωση f(x) = έχει μοναδική ρίζα, η οποία μάλιστα ανήκει στο διάστημα (, 1). Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με E = 1 x ( ) ln x x + 1 dx. Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα και χρησιμοποιώντας ότι ln x = x καταλήγουμε στο συμπέρασμα. δ) Εφαρμόζουμε για την F το Θεώρημα Μέσης Τιμής στα διαστήματα [1, x] και [x, x ]. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε ότι η F = f είναι γνησίως φθίνουσα στο [1, + ), οπότε F (ξ 1 ) > F (ξ ) κ.λπ. 13

14 ΕΦΑΡΜΟΓΗ (Εξετάσεις 16) Δίνεται η συνάρτηση f (x) = e x x 1. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) =. γ) Να λύσετε την εξίσωση: f ( ημx + ) f ( ημx ) = f (x + ) f (x). α) Για κάθε x R είναι και f (x) = xe x x ( ) f (x) = e x 1 + x e x. Βρίσκουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ). Είναι επίσης f (x), με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν x =. Επομένως η f είναι κυρτή στο R. β) Είναι f(r) = [, + ) και η εξίσωση f(x) = έχει μοναδική ρίζα την x =. γ) Η δοσμένη εξίσωση παίρνει τη μορφή g ( ημx ) = g (x), όπου g (x) = f (x + ) f (x). Αλλά η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα, αφού g (x) = f (x + ) f (x) > και η f είναι γνησίως αύξουσα. Έτσι, αφού η g είναι 1 1 παίρνουμε ισοδύναμα ότι: ημx = x x =. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστούμε τους συναδέλφους Φωτεινή Καλδή, Χρήστο Κυριαζή, Σταύρο Παπαδόπουλο και Δημήτρη Σκουτέρη για τις εύστοχες παρατηρήσεις και την με οποιονδήποτε τρόπο συμβολή τους στο περιεχόμενο αυτού του άρθρου. 1

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

x A. Είναι δηλαδή: ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από 4 ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου ΥΠΟ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ-ΔΕΝ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΕΙ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Σελίδα από ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Η ΕΥΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ Βαγγέλης Μουρούκος Μπάμπης Στεργίου Περίληψη Στο άρθρο αυτό επιχειρούμε να εντοπίσουμε, να καταγράψουμε και να περιγράψουμε με σχετικά σύντομο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. Β1. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως ρητή με πρώτη παράγωγο. x Μονοτονία της f oλικό ελάχιστο στο 0 το f(0)=0

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. Β1. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως ρητή με πρώτη παράγωγο. x Μονοτονία της f oλικό ελάχιστο στο 0 το f(0)=0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Χ.ΚΟΜΝΗΝΑΚΙΔΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ M.Sc. ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα 262. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα 141

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του

την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = και οι ευθείες (ε ): y = x και (ε ): y = x +. Να αποδείξετε ότι:. Η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Για κάθε x R ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας 1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 9 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α. α. Ψ β. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α A Έστω μια

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Ημερομηνία: Ιουνίου 08 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α.. Θεωρία σχολικού βιβλίου,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε Σελίδα από 49 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Μπάμπης Στεργίου - 07 Σε προηγούμενα άρθρα και εργασίες καταγράψαμε, αναλύσαμε, σχολιάσαμε και παρουσιάσαμε διεξοδικά τις έννοιες και τις προτάσεις που αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις Πανελλαδικές Εξετάσεις από το 2000 έως 204 χωρισμένα σε Κεφάλαια Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 = 2. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α.

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Μπάμπης Στεργίου. Η Αρχική Συνάρτηση. Προτάσεις. Παραδείγματα. Ασκήσεις. *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία.

Μπάμπης Στεργίου. Η Αρχική Συνάρτηση. Προτάσεις. Παραδείγματα. Ασκήσεις. *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία. Μπάμπης Στεργίου Η Αρχική Συνάρτηση Προτάσεις Παραδείγματα Ασκήσεις 016 *** Αφιερωμένο στους συναδέλφους που μοχθούν για μια καλύτερη παιδεία. Σελίδα 1 από 8 Προτάσεις και ασκήσεις στην αρχική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Έκδοση 01 Φεβρουάριος Ντάνος Γιώργος

Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Έκδοση 01 Φεβρουάριος Ντάνος Γιώργος Έκδοση 01 Φεβρουάριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ντάνος Γιώργος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Copyright ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017 1 Περιεχόμενα Μέρος Α Α1. Συναρτήσεις.σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A1. Έστω μια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα