Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ)

Transcript

1 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ

2 Περιεχόμενα Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων και διαστήματα εμπιστοσύνης. Απόλυτη έλλειψη σφάλματος. Άλλοι δείκτες σημειακής ακρίβειας. Σχετική έλλειψη σφάλματος. Δείκτες μέσης ή συνολικής ακρίβειας λύσης δικτύου.

3 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Συμμετρ. Σημείο Σημείο Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων συνορθωμένων συντεταγμένων

4 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Συμμετρ. Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντεταγμένων

5 Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων Εκφράζουν την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου μεμονωμένα για κάθε μία από τις βασικές διευθύνσεις του ΣΑ. διαστήματα εμπιστοσύνης (1-α % za / ( za / ( za / ( za / ( Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας (* αγνοείται η συσχέτιση μεταξύ των δύο συντεταγμένων.

6 Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων Εκφράζουν την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου μεμονωμένα για κάθε μία από τις βασικές διευθύνσεις του ΣΑ. π.χ. για 95 % πιθανότητα ( ( ( ( Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας

7 Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων Εκφράζουν την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου μεμονωμένα για κάθε μία από τις βασικές διευθύνσεις του ΣΑ. π.χ. για 99 % πιθανότητα ( ( ( ( Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας

8 Τα παραπάνω διαστήματα εμπιστοσύνης χρησιμοποιούνται όταν η ακρίβεια των παρατηρήσεων του δικτύου θεωρείται απόλυτα γνωστή. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων δεν διορθώνεται μέσω πολλαπλασιασμού με την a-posteror εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς (βλέπε μέρος Ι. Προσοχή! ( ( / / a a z z ( ( / / a a z z

9 Προσοχή! t / ( t / ( a f t / ( t / ( a f a f a f Τα παραπάνω διαστήματα εμπιστοσύνης χρησιμοποιούνται όταν η ακρίβεια των παρατηρήσεων του δικτύου δεν θεωρείται απόλυτα γνωστή (σ ο άγνωστο. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων διορθώνεται μέσω πολλαπλασιασμού με την a-posteror εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς (βλέπε μέρος Ι. Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας

10 Παράδειγμα 99 % πιθανότητα ( ( ( ( a/ z 99 % πιθανότητα ( ( ( ( για δίκτυο με f = 10 Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας a/ t f

11 Εκφράζουν την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου μεμονωμένα για κάθε μία από τις βασικές διευθύνσεις του ΣΑ. Μεταβλητότητες συνορθωμένων συντ/νων διάστημα εμπιστοσύνης (1-α % H 0 Ĥ ( ( / / a a H t H H H t H f f ( ( / / a a H z H H H z H ή

12 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Σημείο Σημείο Συμμετρ. Απόλυτες ελλείψεις σφάλματος

13 Απόλυτη έλλειψη σφάλματος Περιγράφει την ακρίβεια εκτίμησης της θέσης του εκάστοτε σημείου προς όλες τις δυνατές διευθύνσεις σε σχέση με το σύστημα αναφοράς του δικτύου. (* λαμβάνει υπόψη τη συσχέτιση μεταξύ των συνορθωμένων συντεταγμένων κάθε σημείου. Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας

14 Απόλυτη έλλειψη σφάλματος Καθορίζει τις διευθύνσεις μέγιστης και ελάχιστης ακρίβειας για την εκτίμηση της θέσης κάθε σημείου του δικτύου σε σχέση με το σύστημα αναφοράς. Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας a ma ελάχιστη ακρίβεια θέσης b mn μέγιστη ακρίβεια θέσης

15 Απόλυτη έλλειψη σφάλματος Βασικοί τύποι: a b ( ( ( ( ( 4( ( ( ( ( ( ( 4( ( ψ 1 arctan ( ( (

16 Αντιστοιχούν στις τετραγωνικές ρίζες των ιδιοτιμών του συμμετρικού υπο-πίνακα που περιγράφει την ακρίβεια του σημείου ma a mn b ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Απόλυτη έλλειψη σφάλματος

17 Απόλυτη έλλειψη σφάλματος Ορίζει μια περιοχή εμπιστοσύνης για την άγνωστη αληθινή θέση κάθε σημείου με πιθανότητα ~ 39%. (ανεξάρτητα για κάθε σημείο του δικτύου! Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Αληθινή θέση του σημείου

18 Απόλυτη έλλειψη εμπιστοσύνης Ορίζει μια περιοχή εμπιστοσύνης για την άγνωστη αληθινή θέση κάθε σημείου με ένα προκαθορισμένο συντελεστή πιθανότητας (1-α %. a p a b p b p F ( a f ή p ( a Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Αληθινή θέση του σημείου

19 Προσοχή! Χρήση του συντελεστή όταν η ακρίβεια των παρατηρήσεων του δικτύου είναι απόλυτα γνωστή. Στις περιπτώσεις αυτές ο πίνακας συμ-μεταβλητ. των συνορθωμένων συντεταγμένων δεν διορθώνεται μέσω του πολλαπλασιασμού του με την a-posteror εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς (βλέπε μέρος Ι. Χρήση του συντελεστή Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας p p F ( a ( a f όταν η ακρίβεια των παρατηρήσεων δεν είναι απόλυτα γνωστή. Στις περιπτώσεις αυτές ο πίνακας συμ-μεταβλητ. των συνορθωμένων συντεταγμένων διορθώνεται μέσω του πολλαπλασιασμού του με την a-posteror εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς (βλέπε μέρος Ι.

20 p F ( a f p ( a

21 1-a = 95% 1-a = 99% p F ( a f p ( a

22 Έλλειψη σφάλματος/εμπιστοσύνης // 99% έλλειψη εμπιστοσύνης 95% έλλειψη εμπιστοσύνης Έλλειψη σφάλματος (~39% εμπιστοσύνη ŷ ( //

23 Προσανατολισμός έλλειψης σφάλματος 1 ( ψ arctan ( ( ( 0 ( 0 ( ( ( (

24 Ειδικές περιπτώσεις ( ( ( 0 R ( ( ( 0

25 Ειδικές περιπτώσεις ( ( ( 0 ( ( ( 0

26 Παράδειγμα Σημεία 11 και 1 σταθερά

27 Παράδειγμα Σημεία 11 και 14 σταθερά

28 Παράδειγμα Εσωτερικές δεσμεύσεις

29

30 Άλλοι σημαντικοί δείκτες σημειακής ακρίβειας DRMS (Dstance Root Mean Square - D radal error (ακτινικό σφάλμα θέσης - D root mean square poston error DRMS = ( ( DRMS Το επίπεδο πιθανότητας κυμαίνεται μεταξύ 63% και 77%

31 Άλλοι σημαντικοί δείκτες σημειακής ακρίβειας DRMS (Dstance Root Mean Square - D radal error (ακτινικό σφάλμα θέσης - D root mean square poston error -DRMS = ( ( -DRMS Το επίπεδο πιθανότητας κυμαίνεται μεταξύ 95% και 98%

32 Άλλοι σημαντικοί δείκτες σημειακής ακρίβειας CEP (Crcular Error Probable Είναι η ακτίνα κύκλου μέσα στον οποίο βρίσκεται η αληθινή θέση του σημείου με πιθανότητα 50% CEP CEP = 0.59 ( ( (με καλή προσέγγιση: ± 3%

33 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C Συμμετρ. Σημείο Σημείο Βάση - Σχετικές ελλείψεις σφάλματος

34 Ακρίβεια βάσης δικτύου ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ŷ Εκφράζουν την ακρίβεια του διανύσματος ως προς το ΣΑ

35 Σχετική έλλειψη σφάλματος Εκφράζει την ακρίβεια εκτίμησης της σχετικής θέσης δύο σημείων του δικτύου. (* λαμβάνει υπόψη τη συσχέτιση μεταξύ των συνορθωμένων συντ/νων διαφορετικών σημείων.

36 Σχετική έλλειψη σφάλματος Βασικοί τύποι: a ( ( ( ( ( 4( ( b ( ( ( ( ( 4( ( ψ 1 arctan ( ( (

37 Παράδειγμα

38 Να θυμάστε ότι Οι σχετικές ελλείψεις σφάλματος είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο για την εποπτική διάγνωση της ακρίβειας ενός δικτύου. Σε αντίθεση με τις απόλυτες ελλείψεις οι σχετικές ελλείψεις σφάλματος επηρεάζονται σε μικρότερο βαθμό από τον τρόπο ορισμού του ΣΑ του δικτύου. (* σε δίκτυα GPS με ελάχιστες δεσμεύσεις οι σχετικές ελλείψεις είναι ανεπηρέαστες από τον ορισμό του ΣΑ. Για περισσότερες λεπτομέρειες βλέπε συζήτηση στην τάξη..

39 Γραμμική ακρίβεια δικτύου Εκφράζει την ακρίβεια των συνορθωμένων αποστάσεων για τις πλευρές του δικτύου. ( s ( sn a ( cosa ( sn acos a σχετική γραμμική ακρίβεια: ( s (σε ppm s ( s 1cm ( s s m s Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 8.3 ppm // α s

40 Ακρίβεια προσανατολισμού δικτύου Εκφράζει την ακρίβεια των συνορθωμένων αζιμουθίων για τις πλευρές του δικτύου. (a ( cos a ( sn a ( sn a cos a (* εξαρτάται άμεσα από τον τρόπο ορισμού του ΣΑ κατά τη συνόρθωση του δικτύου (δηλαδή από την επιλογή των δεσμεύσεων. Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας S // α s

41 Υψομετρική ακρίβεια δικτύου Εκφράζει την ακρίβεια των συνορθωμένων υψομετρικών διαφορών για πλευρές του δικτύου. ( H PQ ( H P ( H Q ( H P H Q σχετική υψομετρική ακρίβεια: ( H L (σε mm/km (* ανεξάρτητη από τον ορισμό του ΣΑ αν έχουν επιλεγεί ελάχιστες δεσμεύσεις για τη συνόρθωση του δικτύου. Tομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας L ΔΗ Η=0

42 Αξιολόγηση της συνολικής ακρίβειας ενός δικτύου

43 Ανάλυση ακρίβειας δικτύου Δείκτες αξιολόγησης της συνολικής ή μέσης ακρίβειας του συνορθωμένου δικτύου: - ίχνος του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων. - ορίζουσα του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων. - Ιδιοτιμές (ma mn του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων.

44 Μέση μεταβλητότητα σημείων δικτύου Αριθμητικός μέσος όρος των μεταβλητοτήτων για όλες τις συντεταγμένες των κορυφών του δικτύου: 1 N trace C (Δ δίκτυο Μέσο σημειακό σφάλμα P

45 Μέση μεταβλητότητα σημείων δικτύου Αριθμητικός μέσος όρος των μεταβλητοτήτων για όλες τις συντεταγμένες των κορυφών του δικτύου: 1 N trace C (1Δ δίκτυο Μέσο σημειακό σφάλμα P

46 Μέση μεταβλητότητα σημείων δικτύου Η χρήση της μέσης μεταβλητότητας για την αξιολόγηση της ακρίβειας ενός δικτύου μπορεί να εξομοιώσει τελείως διαφορετικά αποτελέσματα συνόρθωσης. Π.χ. (Α συνόρθωση (Α συνόρθωση (Β (Β

47 Γενικευμένη μεταβλητότητα σημείων δικτύου Η γενικευμένη μεταβλητότητα ορίζεται για τον καλύτερο διαχωρισμό περιπτώσεων παρόμοιων με αυτών του προηγούμενου παραδείγματος. ~ (N det C (Δ δίκτυο Η τιμή της είναι ανάλογη του εμβαδού που καλύπτουν οι ελλείψεις σφάλματος των σημείων του δικτύου.

48 Γενικευμένη μεταβλητότητα σημείων δικτύου Η γενικευμένη μεταβλητότητα ορίζεται για τον καλύτερο διαχωρισμό περιπτώσεων παρόμοιων με αυτών του προηγούμενου παραδείγματος. ~ ( N det C (1Δ δίκτυο Η τιμή της είναι ανάλογη του εύρους που έχουν τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τα συνορθωμένα υψόμετρα όλων των σημείων του δικτύου.

49 Ακρίβεια χρήσης δικτύου Έστω κάποιο μέγεθος q που είναι συνάρτηση των συντεταγμένων των κορυφών του δικτύου: q at q T a ( q a T C a Εύρος ακρίβειας για το παράγωγο μέγεθος (Ralegh crteron: λ mn a T a ( q λ ma όπου λ ma και λ mn είναι η μέγιστη και ελάχιστη ιδιοτιμή του πίνακα. C a T a