που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση."

Transcript

1 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών στιγμών t, t ( t > t ) δηλδή Δt = t - t. Η χρονική διάρκει δείχνει πόσο διρκεί έν γεγονός. Σνήθως θεωρούμε t = κι t = t άρ Δt = t. Τροχιά κινητού Τροχιά ενός κινητού ( λικού σημείο ) ως προς κάποιο σύστημ νφοράς ονομάζετι η σνεχής ( νοητή ) γρμμή πο ποτελεί το σύνολο των θέσεων το κινητού κτά την κίνησή το. Η μορφή της τροχιάς δίνει κι το όνομ στην κίνηση. Αν η τροχιά είνι εθεί έχομε εθύγρμμη κίνηση. Αν η τροχιά είνι κύκλος έχομε κκλική κίνηση. Αν η τροχιά είνι κμπύλη έχομε κμπλόγρμμη κίνηση. 3. Μεττόπιση Δx Μεττόπιση ενός κινητού ονομάζετι το διάνσμ x πο έχει ρχή την ρχική θέση το κινητού κι τέλος την τελική θέση. Ο Μ (t ) x Μ (t ) x x x x Εικόν Εικόν Η λγεβρική τιμή της μεττόπισης είνι : Δx = x x Πρτήρηση : Η λγεβρική τιμή της μεττόπισης είνι θετική ότν το κινητό κινείτι προς την θετική κτεύθνση το άξον ( όχι ποχρεωτικά στο θετικό τμήμ ) όπως στην εικόν κι ρνητική ότν το κινητό κινείτι προς την ρνητική κτεύθνση το άξον ( όχι ποχρεωτικά στο ρνητικό τμήμ ) όπως στην εικόν.. Διάστημ s Διάστημ s ονομάζετι το μήκος της τροχιάς το κινητού. Αν το κινητό κάνει εθύγρμμη κίνηση κι δεν έχει λλάξει φορά κίνησης είνι s = Δx Πρτήρηση : Αν το κινητό λλάξει φορά κίνησης τότε το διάστημ πο έχει δινύσει είνι μεγλύτερο πό το μέτρο της μεττόπισης, άρ s > Δx 5. Εξίσωση κίνησης Είνι η μθημτική σχέση πο δίνει την θέση ενός κινητού σν σνάρτηση το χρόνο κίνησης, δηλδή σχέση της μορφής : x = f(t), y = f(t). 6. Εξίσωση τροχιάς Είνι η μθημτική σχέση πο σνδέει τις σντετγμένες θέσης ενός κινητού, δηλδή σχέση της μορφής : y = f(x) 7. Τχύτητ Η τχύτητ είνι δινσμτικό μέγεθος. Το μέτρο της μς δείχνει πόσο γρήγορ κινείτι έν σώμ. Η κτεύθνση της τχύτητς μς δείχνει προς τ πο μεττοπίστηκε το σώμ. Μονάδ τχύτητς στο σύστημ μονάδων S.I. είνι το m/s. Χρησιμοποιείτι κι η μονάδ km/h ( χιλιόμετρ νά ώρ ). Ο Μ (t ) x Μ (t ) Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

2 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης ) Μέση δινσμτική τχύτητ µ: Είνι το πηλίκο της μεττόπισης Δx προς τον ντίστοιχο χρόνο Δt. Δx x -x Είνι =. Το μέτρο είνι =. Η κτεύθνση σμπίπτει με την κτεύθνση της μεττόπισης Δx Δt t -t β) Μέση ριθμητική τχύτητ : Είνι το πηλίκο το διστήμτος s πο δινύει το κινητό σε χρόνο Δt s προς τον χρόνο τό =. Δt 8. Εθύγρμμη ομλή κίνηση ) Ορισμός : Εθύγρμμη ομλή κίνηση είνι η κίνηση πο γίνετι σε εθεί γρμμή κι στην οποί η τχύτητ είνι χρονικά στθερή. β) Νόμοι της εθύγρμμης ομλής κίνησης : ❶ Νόμος της τχύτητς : = στθερή Η τχύτητ είνι θετική ότν το κινητό κινείτι προς τ θετικά το άξον νεξάρτητ πό τη θέση το ή ρνητική ν το κινητό κινείτι προς τ ρνητικά το άξον. (m/s) (m/s) t (s) t (s) Η τχύτητ είνι στθερή κι > Η τχύτητ είνι στθερή κι < ❷ Εξίσωση κίνησης (ή εξίσωση της μεττόπισης) : x = x + ( t - t ) x-x Από τον ορισμό της μέσης τχύτητς ν χρησιμοποιήσομε την λγεβρική τιμή θ είνι = t-t x - x = ( t - t ) x = x + ( t - t ) Αν θεωρήσομε ότι t = η εξίσωση πίρνει την πιο πλή μορφή x = x + t. Αν θεωρήσομε ότι t = κι x = η εξίσωση πίρνει την πιο πλή μορφή x = t. Οι γρφικές πρστάσεις γι t = φίνοντι πρκάτω. x (m) t (s) Η τχύτητ είνι στθερή κι > x = t x x (m) x = x + t t (s) Η τχύτητ είνι στθερή κι > x x (m) x = x + t t (s) Η τχύτητ είνι στθερή κι < ❸ Η μεττόπιση πό διάγρμμ τχύτητς χρόνο (m /s) Από την γρφική πράστση της τχύτητς σε σνάρτηση με τον χρόνο πρτηρούμε ότι το γινόμενο Δt είνι ριθμητικά ίσο με το E εμβδόν Ε δηλδή : t (s) Το εμβδόν μετξύ της κμπύλης τχύτητς χρόνο κι το t άξον των χρόνων ισούτι ριθμητικά με την μεττόπιση Δx το σώμτος Ατό ισχύει γενικότερ, όποι μορφή κι ν έχει η κμπύλη τχύτητς χρόνο. Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

3 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης 9. Επιτάχνση Η επιτάχνση είνι δινσμτικό μέγεθος. Το μέτρο της μς δείχνει πόσο γρήγορ μετβάλλετι η τχύτητ ενός σώμτος. Η κτεύθνση της μετβολής της τχύτητς είνι η κτεύθνση της. Μονάδ επιτάχνσης στο σύστημ μονάδων S.I. είνι το m/s. Επιτάχνση : Είνι το πηλίκο της μετβολής της τχύτητς Δ προς την χρονική διάρκει Δt στην οποί έγινε η μετβολή. Είνι διάνσμ κι έχει την κτεύθνση της μετβολής της τχύτητς. Δ = Δt πρτήρηση : ν η επιτάχνση προκύψει με ρνητικό πρόσημο τότε ονομάζετι επιβράδνση κι προκλεί μείωση της τχύτητς.. Εθύγρμμη ομλά επιτχνόμενη κίνηση ) Ορισμός : Είνι η κίνηση πο γίνετι σε εθεί γρμμή κι σε ίσ χρονικά διστήμτ σμβίνον ίσες μετβολές της τχύτητς. Άρ η επιτάχνση είνι στθερή κι η στιγμιί επιτάχνση σμπίπτει με την μέση επιτάχνση. β) Νόμοι της εθύγρμμης ομλά επιτχνόμενης κίνησης : ❶ Νόμος επιτάχνσης : = στθερή (m/s ) (m/s ) t (s) t (s) Η επιτάχνση είνι στθερή κι > Η επιτάχνση είνι στθερή κι < ❷ Νόμος της τχύτητς : = + ( t - t ) - Αν τις χρονικές στιγμές t κι t έν κινητό έχει τχύτητες κι ντίστοιχ ισχύει : = μ = t-t - = ( t - t ) = + ( t - t ). Αν δεχτούμε ότι t = τότε έχομε : = + t (m/s) = + t t (s) Η επιτάχνση είνι στθερή κι > (m/s) t (s) Η επιτάχνση είνι στθερή κι < Αν έν κινητό ξεκινάει πό την ηρεμί κι κάνει εθύγρμμη ομλά επιτχνόμενη κίνηση τότε ο νόμος της τχύτητς γίνετι : = t ❸ Εξίσωση κίνησης ( ή εξίσωση της μεττόπισης ) : x = t + t Αν θεωρήσομε το διάγρμμ τχύτητς χρόνο τότε γι μικρή χρονική διάρκει Δt η τχύτητ μπορεί ν θεωρηθεί στθερή κι το έντον γρμμοσκισμένο εμβδόν είνι Δx = Δt, δηλδή ριθμητικά ίσο με την μεττόπιση Δx. Άρ γενικότερ το εμβδόν το τρπεζίο το διγράμμτος θ (m/s) είνι ριθμητικά ίσο με την μεττόπιση x. Αν θεωρήσομε ότι t = τότε Δt = t. Άρ θ έχομε : x = ( Εμβδόν τρπεζίο ) δηλδή ( + )t x =. Αλλά γι την τχύτητ ισχύει = + t άρ ν ντικτστήσομε είνι ( + + t)t x = Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση ( + t)t x = t t

4 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης t + t x = x = t + t. Ατή είνι η εξίσωση κίνησης γι την εθύγρμμη ομλά επιτχνόμενη κίνηση. Αν το κινητό τη χρονική στιγμή t = βρισκότν στην θέση x τότε η εξίσωση κίνησης γράφετι : x = x + t + t. Η γρφική πράστση της σχέσης x = t + t είνι : > x = t + t x = t + t < γ) Σχέση τχύτητς κι μεττόπισης στην εθύγρμμη ομλά μετβλλόμενη κίνηση : Η τχύτητ το κινητού δίνετι πό την σχέση = + Δt. Αν λύσομε τή την σχέση ως προς την χρονική διάρκει Δt έχομε : - Δt = ❶ Η μεττόπιση το κινητού δίνετι πό την σχέση Δx = Δt + Δt. Αν σ τή ντικτστήσομε την ❶ έχομε : Δx = Δx = Δx = Δx = - - = Δx. Άρ = + Δx Πράδειγμ. Μεττόπιση κι διάστημ Έν κινητό ξεκινάει πό τη θέση x = ( σημείο Ο ) κι κινείτι κτά μήκος το άξον x μέχρι τη θέση x = 3 m ( σημείο Α ) κι σνεχίζει μέχρι τη θέση x = m ( σημείο Β ). Στη σνέχει κινείτι στην ντίθετη κτεύθνση μέχρι τη θέση x 3 = m ( σημείο Γ ). Ν πολογιστεί η μεττόπιση κι το διάστημ στις μετκινήσεις : ) Α Β, β) Β Γ, γ) Α Β Γ, δ) Ο Β Ο. x Γ Ο Α Β x - 3 x 3 Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση x ) Κίνηση Α Β Μεττόπιση : Δx = x x = m 3 m = m Διάστημ : s = μήκος τροχιάς (ΑΒ) = m Ισχύει Δx = s ( σνεχώς θετική φορά ) β) Κίνηση B Γ Μεττόπιση : Δx = x 3 x = m m = 6 m. Διάστημ : s = μήκος τροχιάς (ΒΓ) = 6 m Ισχύει Δx = s ( σνεχώς ρνητική φορά ) γ) Κίνηση Α Β Γ Μεττόπιση : Δx 3 = x 3 x = m 3 m = 5 m. Διάστημ : s 3 = μήκος τροχιάς (ΑΒΓ) = (ΑΒ) + (ΒΓ) = m + 6 m = 7 m

5 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης Ισχύει Δx 3 < s 3 ( έχομε λλγή φοράς ) δ) Κίνηση Ο Β Ο Μεττόπιση : Δx = x x = = Διάστημ : s = μήκος τροχιάς (ΟΒΟ) = (ΟΒ) + (ΒΟ) = m + m = 8 m Ισχύει Δx < s ( έχομε λλγή φοράς ) Πράδειγμ. Μέση τχύτητ Έν κινητό κινείτι κτά μήκος το άξον x. Το κινητό βρίσκετι στις θέσεις πο φίνοντι στον πίνκ τις ντίστοιχες χρονικές στιγμές. Θέση O A B O Γ x ( m ) - 6 t ( s ) 8 Ν πολογιστεί η μέση δινσμτική τχύτητ στη χρονική διάρκει : ) Από έως s, β) πό s έως s, γ) πό έως 8 s, δ) πό s έως s ) Χρονική διάρκει πό t = έως t = s x - x Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = κι x = m. Άρ = t - t β) Χρονική διάρκει πό t = s έως t = s Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = m κι x = m. Άρ Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση x - x = t - t γ) Χρονική διάρκει πό t = έως t 3 = 8 s x - x 3 Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = κι x 3 =. Άρ = t - t 3 δ) Χρονική διάρκει πό t = s έως t = s x - x Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = m κι x = 6 m. Άρ = t - t Πράδειγμ 3. Μέση τχύτητ m - = s - m - m = s - s - = 8 s - = m = s - 6 m - m = s - s m = 3 s m = s m = - s Έν κινητό κινείτι εθύγρμμ κι δινύει δύο ίσες διδοχικές μεττοπίσεις με τχύτητες = m/s κι = 6 m/s ντίστοιχ με την ίδι φορά. Ν πολογιστεί η μέση τχύτητ γι ολόκληρη τη διδρομή. Θεωρούμε ότι Δx είνι η σνολική μεττόπιση το κινητού στη σνολική χρονική διάρκει Δt κι Δx/, Δx/ οι μεττοπίσεις το κινητού στην πρώτη χρονική διάρκει Δt κι στην δεύτερη χρονική διάρκει Δt ντίστοιχ. x/, t x, t Δx + Δx Δt = Η μέση τχύτητ είνι x/, t Δt = ( ) Δx = Δt + Δx = Δx Δx Είνι Δx/ = Δt Δt = κι Δx/ = Δt Δt = Η ολική χρονική διάρκει είνι Δt = Δt + Δt Δx ( ) + Δx Δx = =. + Δx + ( ) Δx Δx Δt = +

6 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης Άρ m/s 6 m/s = μ = 8 m/s. m/s + 6 m/s Πράδειγμ. Διγράμμτ Το διάγρμμ της θέσης ενός σώμτος πο κινείτι πάνω στον άξον x, σε σνάρτηση με το χρόνο, φίνετι στο διπλνό σχήμ. Ν σχεδιστεί το ντίστοιχο διάγρμμ τχύτητς χρόνο. 6 8 Από το διάγρμμ θέσης χρόνο βλέπομε ότι το σώμ εκτελεί τρεις διδοχικές κινήσεις. Η πρώτη κίνηση είνι εθύγρμμη ομλή. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t Δt = s Δt = s. Η μεττόπιση σ τή τη χρονική διάρκει είνι Δx = x x Δx = m Δx = m. Δx m Άρ η μέση τχύτητ είνι = = = m/s Δt s Στην δεύτερη φάση το σώμ πρμένει κίνητο. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t Δt = s s Δt = s. Η μεττόπιση σ τή τη χρονική διάρκει είνι Δx = x x Δx = m m Δx =. Δx Άρ η μέση τχύτητ είνι = = = Δt s Η τρίτη κίνηση είνι εθύγρμμη ομλή. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt 3 = t 3 t Δt 3 = 8 s s Δt 3 = s. Η μεττόπιση σ τή τη χρονική διάρκει είνι Δx 3 = x 3 x Δx 3 = m Δx 3 = m. Δx3 - m Άρ η μέση τχύτητ είνι = 3 = 3 3 = 5 m/s Δt s 3 Το ντίστοιχο διάγρμμ τχύτητς χρόνο φίνετι στο διπλνό σχήμ. -5 (m/s) 6 8 Πράδειγμ 5. Διγράμμτ (m/s) 3 Σώμ κινείτι πάνω στον άξον x. Η τχύτητά το σε σνάρτηση με τον χρόνο δίνετι πό το διάγρμμ το διπλνού σχήμτος. Τη χρονική στιγμή t = το σώμ βρίσκετι στη θέση x =. ) Ν κτσκεστεί το ντίστοιχο διάγρμμ θέσης χρόνο. β) Ν πολογιστεί η μεττόπιση το σώμτος πό έως 8 s. - γ) Ν πολογιστεί το διάστημ πό έως 8 s. δ) Ν πολογιστεί η μέση τχύτητ στις χρονικές διάρκειες έως 8 s κι έως s. 6 8 ) Το εμβδόν πο περικλείετι μετξύ της γρφικής πράστσης t κι το άξον t είνι ριθμητικά ίσο με την ντίστοιχη μεττόπιση Δx. Η θέση το σώμτος σε οποιδήποτε χρονική στιγμή δίνετι πό τη σχέση Δx = x x x = x + Δx. Χρονική διάρκει πό t = έως t = s : Δx = Εμβδόν Δx = ( 3 m/s ) ( s ) Δx = 6 m.άρ x = x + Δx x = + 6 m x = 6 m Χρονική διάρκει πό t = s έως t = s : Δx = Εμβδόν Δx = ( s s ) Δx =. Άρ x = x + Δx x = 6 m + x = 6 m Χρονική διάρκει πό t = s έως t 3 = 8 s : Δx 3 = Εμβδόν Δx 3 = ( m/s ) ( 8 s s ) Δx 3 = 8 m. Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

7 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης Άρ x 3 = x + Δx 3 x 3 = 6 m + ( 8 m ) x 3 = m Από τις θέσεις πο προσδιορίσμε κτσκεάζομε τον πίνκ θέσης χρόνο κι πό τόν το διάγρμμ θέσης χρόνο 6 Χρόνος t ( s ) 8 Θέση x ( m ) β) Από τον πρπάνω πίνκ πρτηρούμε ότι τις χρονικές στιγμές t = κι t 3 = 8 s οι ντίστοιχες θέσεις το σώμτος είνι x = κι x 3 = m. Άρ η μεττόπιση είνι Δx = x 3 x Δx = m Δx = m. γ) Το διάστημ s είνι ίσο με το μήκος της τροχιάς πο διγράφει το σώμ. Θ το πολογίσομε πό τη σχέση s = Δx + Δx + Δx. Άρ s = 6 m m s = 6 m m s = m. 3 Δx δ) Η μέση τχύτητ είνι = Δt Χρονική διάρκει πό t = έως t 3 = 8 s : Δt = t 3 t Δt = 8 s Δt = 8 s. Δx = x 3 x Δx = m Δx = m Δx - m m Άρ = = = -,5 Δt 8 s s Χρονική διάρκει πό t = έως t = s : Δt = t t Δt = s Δt = s. Δx = x x Δx = 6 m Δx = 6 m Δx 6 m m Άρ = = = 5 Δt s s Πράδειγμ 6. Σνάντηση κινητών Δύο πεζοπόροι κινούντι στον ίδιο εθύγρμμο δρόμο με στθερές τχύτητες πο έχον μέτρ = 5 m/s κι = 3 m/s ντίστοιχ. Σε κάποι στιγμή περνούν πό τις θέσεις Ο κι Α ντίστοιχ πο πέχον πόστση d = m. Οι δύο πεζοπόροι κινούντι στην ίδι κτεύθνση ( Ο Α ). ) Πότε κι πο θ σνντηθούν οι δύο πεζοπόροι. β) Ν γίνει κοινό διάγρμμ πόστσης πό το Ο χρόνο ) Θεωρούμε σν ρχή το άξον x το σημείο Ο κι ρχή μέτρησης χρόνο ότν οι πεζοπόροι είνι στ σημεί Ο κι Α. Οι πεζοπόροι σνντώντι στο σημείο Β τη χρονική στιγμή t. Ο ος πεζοπόρος την t = βρίσκετι στη θέση x = ( σημείο O ). Ο πεζοπόρος σε χρόνο t φθάνει στο σημείο Β ( θέση x ) κι η μεττόπισή το είνι Δx = t ❶ Ο ος πεζοπόρος την t = βρίσκετι στη θέση x = d (σημείο A). Ο πεζοπόρος σε χρόνο t φθάνει στο σημείο Β ( θέση x ) κι η μεττόπισή το είνι Δx = t ❷ Αλλά πό το σχήμ είνι Δx Δx = d κι με τις σχέσεις ❶ κι ❷ έχομε : t t = d ( )t = d d t = - m t = 5 m/s - 3 m/s Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση m t = m/s t = 6 s. Από την σχέση ❶ έχομε Δx = t Δx = ( 5 m/s ) 6 s Δx = 3 m β) Από τ στοιχεί γι την κίνηση των δύο πεζοπόρων κτσκεάζομε το κοινό διάγρμμ θέσης χρόνο. Πράδειγμ 6. Κίνηση χωρίς ρχική τχύτητ Έν κινητό ξεκινάει τη χρονική στιγμή t = χωρίς ρχική τχύτητ κι κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο με επιτάχνση = m/s. Ο d x Α x 3 ος ος Β 6

8 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης ) Ν βρεθεί η θέση κι η τχύτητ το κινητού τη χρονική στιγμή t = s. β) Πο θ βρίσκετι το κινητό τη στιγμή πο η τχύτητά το είνι = m/s. Θεωρούμε σν ρχή το άξον το σημείο πό το οποίο ξεκινάει το κινητό. Την χρονική στιγμή t = είνι x = κι =. O ) Η θέση το κινητού δίνετι πό την x = t x = ( m/s ) ( s) x = 3 m. Η τχύτητ το κινητού δίνετι πό τη σχέση = t = ( m/s ) ( s) = 6 m/s. m/s β) Από την σχέση = t t = t = t = 5 s. m/s x Η θέση το κινητού δίνετι πό την x = t x = ( m/s ) ( 5 s) x = 5 m. Πράδειγμ 7. Επιβρδνόμενη κίνηση Έν τοκίνητο κινείτι σε εθύ δρόμο. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = με τχύτητ = m/s κι στθερή επιτάχνση = 5 m/s. ) Ν πολογιστεί σε ποι χρονική στιγμή θ μηδενιστεί η τχύτητά το. β) Ν πολογιστεί σε ποι θέση θ μηδενιστεί η τχύτητά το. Την χρονική στιγμή t = είνι x = κι = m/s. ) Η τχύτητ το τοκινήτο δίνετι πό την σχέση = + t. Ότν το τοκίνητο στμτήσει η τχύτητά το είνι ίση με μηδέν ( = ). Από την εξίσωση = + t γι = έχομε = + t m/s t = t = -. Η ριθμητική εφρμογή δίνει t = - t = s. - 5 m/s β) Η θέση το τοκινήτο δίνετι πό την σχέση x = t + t. Αντικθιστώντς την τιμή χρόνο t = - έχομε x = x = - + x = - + x = - + x = -. ( ) m/s m /s Η ριθμητική εφρμογή δίνει x = - x = - x = m. - 5 m/s - m/s Πρτήρηση Οι σχέσεις t = - κι ( ) x = - δίνον την χρονική στιγμή κι την θέση ενός σώμτος πο εκτελεί εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη κίνηση την στιγμή πο μηδενίζετι η τχύτητά το. Ν χρησιμοποιούντι πάντ φού πρώτ τις ποδείξετε. Αν χρησιμοποιήσομε την πόλτη τιμή της επιτάχνσης οι σχέσεις μπορούν ν γρφούν : t = κι x = Πράδειγμ 8. Πολλές κινήσεις Έν λεωφορείο ξεκινάει πό κάποιο στθμό πό την ηρεμί κι επιτχύνετι με στθερή επιτάχνση = m/s γι χρόνο Δt = s. Στη σνέχει κινείτι με την τχύτητ πο πέκτησε γι χρόνο Δt = s Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

9 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης κι μετά επιβρδύνετι με επιτάχνση 3 = m/s μέχρι ν στμτήσει στον επόμενο στθμό. ) Ν πολογιστεί η διάρκει της κίνησης το λεωφορείο. β) Ν πολογιστεί η ολική πόστση πο κάλψε το λεωφορείο. γ) Ν γίνον τ διγράμμτ επιτάχνσης χρόνο, τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο. ) Κίνηση εθύγρμμη ομλά επιτχνόμενη : Θεωρούμε ότι το λεωφορείο ξεκινάει την χρονική στιγμή t = πό την θέση x =. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t t = t + Δt t = + s t = s. Η τχύτητ πο έχει το κινητό στο τέλος το δέκτο δετερολέπτο είνι = + Δt = + ( m/s ) ( s) = m/s. Η μεττόπιση είνι : Δx = Δt + Δt x - x = Δt + Δt x = x + Δt + Δt x = + ( s ) + ( m/s ) ( s) x = m. Κίνηση εθύγρμμη ομλή : Το λεωφορείο κινείτι με την τχύτητ πο πέκτησε. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t t = t + Δt t = s + s t = s.η μεττόπιση είνι Δx = Δt x x = Δt x = x + Δt x = m + ( m/s) ( s) x = 3 m. Κίνηση εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη : Το λεωφορείο έχει τχύτητ = m/s κι την χρονική στιγμή t = s βρίσκετι στην θέση x = 3 m κι ρχίζει ν επιβρδύνετι με στθερή επιβράδνση 3 = m/s. Η χρονική διάρκει γι ν στμτήσει δίνετι πό την σχέση Δt = - (πχ 7) άρ 3 m/s Δt = - Δt 3 = 5 s. Η χρονική στιγμή πο στμτάει πολογίζετι πό την Δt 3 = t 3 t - m/s 3 t 3 = t + Δt 3 t 3 = s + 5 s t 3 = 5 s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt ολ = t 3 t Δt ολ = 5 s Δt ολ = 5 s β) Η μεττόπιση είνι : Δx = Δt + Δt x - x = Δt + Δt x = x + Δt + Δt x = 3 m + ( m/s) ( 5 s ) + (- m/s ) 3 ( 5 s) x 3 = 35 m. Η ολική πόστση πο κάλψε το λεωφορείο είνι ίση με την ολική μεττόπιση φού δεν έχομε λλγή στην κτεύθνση της κίνησης, άρ s = Δx ολ s = x 3 x s = 35 m s = 35 m. γ) Από τ ποτελέσμτ γι τις διάφορες χρονικές στιγμές έχομε τ πρκάτω διγράμμτ - (m/s ) 5 Διάγρμμ επιτάχνσης - χρόνο (m/s) 5 Διάγρμμ τχύτητς - χρόνο 35 3 t 5 Διάγρμμ θέσης - χρόνο Πράδειγμ 9. Χρόνος ντίδρσης οδηγού Ο χρόνος ντίδρσης ενός οδηγού είνι t =,7 s ( ο χρόνος ντίδρσης είνι η χρονική διάρκει πο μεσολβεί πό την χρονική στιγμή πο θ ντιληφθούμε έν εμπόδιο, μέχρι τη χρονική στιγμή πο θ πτήσομε το φρένο ). Αν η ρχική τχύτητ το τοκινήτο είνι = m/s κι η επιτάχνση πο ποκτά με το φρένο είνι = 5 m/s : ) Ν πολογιστεί η ολική πόστση πο θ δινύσει το τοκίνητο μέχρι ν στμτήσει. β) Ν γίνει το διάγρμμ τχύτητς χρόνο. Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

10 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης ) Η κίνηση το τοκινήτο γίνετι σε δύο φάσεις. Στην πρώτη το τοκίνητο εκτελεί εθύγρμμη ομλή κίνηση κι στην δεύτερη εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη μέχρι ν στμτήσει. εθύγρμμη ομλή κίνηση Γι χρόνο t =,7 s ( χρόνος ντίδρσης ) το τοκίνητο κινείτι με στθερή τχύτητ = m/s κι μεττοπίζετι κτά Δx = t Δx = ( m/s ) (,7 s ) Δx = m. εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη κίνηση Το τοκίνητο κάνει εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη κίνηση μέχρι ν στμτήσει. Σύμφων με το πράδειγμ 7 ο χρόνος γι ν στμτήσει το τοκίνητο m/s είνι : t = - t = - t - 5 m/s = s. Το τοκίνητο στο χρόνο τό μεττοπίζετι κτά Δx = t + t Δx = ( m/s) ( s ) + (- 5 m/s ) ( s) Δx = 8 m m Δx = m. Άρ η σνολική μεττόπιση το τοκινήτο είνι : (m/s) Δx = Δx + Δx Δx = m + m Δx = 5 m. β) Ο σνολικός χρόνος κίνησης είνι t = t + t t =,7 s + s t =,7 s Από τ προηγούμεν ποτελέσμτ κτσκεάζομε το διπλνό διάγρμμ τχύτητς χρόνο,7,7 Πράδειγμ. Διγράμμτ Έν τοκίνητο κινείτι πάνω στον άξον x. Το διάγρμμ της 3 επιτάχνσης το τοκινήτο σε σνάρτηση με τον χρόνο είνι στο διπλνό σχήμ. Ν σχεδιστούν τ ντίστοιχ διγράμμτ τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο ν την χρονική στιγμή t = είνι = m/s κι 8 6 x = m. - Δικρίνομε τρεις φάσεις στην κίνηση το σώμτος. Κίνηση με στθερή επιτάχνση 3 m/s Το κινητό τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = m κι έχει τχύτητ = m/s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t Δt = s Δt = s. Η επιτάχνση είνι = 3 m/s κι η τχύτητ τη χρονική στιγμή t = s είνι = + Δt = m/s + ( 3 m/s ) ( s ) = 6 m/s Η μεττόπιση το σώμτος είνι : Δx = Δt + Δt Δx = ( m/s)( s ) + ( 3 m/s )( s) Δx = m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = m + m x = 8 m. Κίνηση χωρίς επιτάχνση Το κινητό τη χρονική στιγμή t = s βρίσκετι στη θέση x = 8 m κι έχει στθερή τχύτητ = 6 m/s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t Δt = 8 s s Δt = s Η μεττόπιση το σώμτος δίνετι πό την σχέση Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση Δx = Δt ( ) ( ) Δx = 6 m/s s Δx = 6 m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = 8 m + 6 m x = m. Κίνηση με στθερή επιτάχνση m/s Το κινητό τη χρονική στιγμή t = 8 s βρίσκετι στη θέση x = m κι έχει τχύτητ = 6 m/s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt 3 = t 3 t Δt 3 = 6 s 8 s Δt 3 = 8 s. Η επιτάχνση είνι 3 = m/s κι η τχύτητ τη χρονική στιγμή t 3 = 6 s είνι 3 = + 3 Δt 3 3 = 6 m/s + ( m/s ) ( 8 s ) 3 =. Η μεττόπιση το σώμτος είνι Δx = Δt + Δt Δx = ( 6 m/s)( 8 s ) + (- m/s )( 8 s) 3 Δx 3 = 6 m. Είνι Δx 3 = x 3 x x 3 = x + Δx 3 x 3 = m + 6 m x 3 = 8 m. Από τ ποτελέσμτ τά έχομε τον πρκάτω πίνκ (m/s )

11 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης Χρόνος t = t = s t = 8 s t 3 = 6 s Τχύτητ = m/s = 6 m/s = 6 m/s 3 = Θέση x = m x = 8 m x = m x 3 = 8 m Από τον πίνκ κτσκεάζομε τ διγράμμτ 6 (m/s) 8 6 διάγρμμ τχύτητς - χρόνο Διάγρμμ θέσης - χρόνο Πράδειγμ. Διγράμμτ ( m/s ) Κινητό κινείτι εθύγρμμ κι η γρφική πράστση της τχύτητς σε σνάρτηση με το χρόνο φίνετι στο σχήμ. Ν γίνον τ ντίστοιχ διγράμμτ της επιτάχνσης κι της θέσης με το χρόνο. Την χρονική στιγμή 5 t = η ρχική θέση το κινητού είνι x = κι η ρχική τχύτητ = 5 m/s. 6 t ( s ) Από το διάγρμμ προκύπτει ότι το κινητό εκτελεί : Από t = έως t = s εθύγρμμ ομλά επιτχνόμενη κίνηση με ρχική τχύτητ = 5 m/s κι Δ - m/s - 5 m/s τελική = m/s. Είνι = = = =,5 m/s. Δt t - t s - Η μεττόπιση το κινητού είνι : Δx = Δt + Δt Δx = 5 m/s s +,5 m/s ( s) Δx = 5 m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = + 5 m x = 5 m. Από t = s έως t = 6 s εθύγρμμ ομλά επιβρδνόμενη κίνηση με ρχική τχύτητ = m/s κι τελική =. Δ - - m/s Είνι = = = = -,5 m/s. Δt t - t 6 s - s Η μεττόπιση το κινητού είνι : Δx = Δt + Δt Δx = m/s s + -,5 m/s s Δx = m m Δx = m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = 5 m + m x = 35 m. ( ) ( ) Η επιτάχνση πό έως s είνι στθερή ίση με =,5 m/s, ενώ πό s έως 6 s είνι στθερή ίση με = -,5 m/s. Οι θέσεις το κινητού είνι : Την t = είνι x =, την t = s είνι x = 5 m την t = 6 s είνι x = 35 m. Τ ντίστοιχ διγράμμτ επιτάχνσης χρόνο κι θέσης χρόνο είνι :,5 ( m/s ) 35 x ( m ) -,5 6 t ( s ) 5 6 t ( s ) Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

12 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης Πράδειγμ. Κίνηση σε κάποιο δετερόλεπτο Έν τοκίνητο κινείτι σε εθύ δρόμο με στθερή επιτάχνση = m/s. Τη χρονική στιγμή t = το τοκίνητο έχει ρχική τχύτητ = m/s. Πόση πόστση δινύει το τοκίνητο στη διάρκει το έκτο δετερόλεπτο της κίνησής το. Το έκτο δετερόλεπτο της κίνησης είνι η χρονική διάρκει πό t = 5 s έως t = 6 s. Η θέση το τοκινήτο δίνετι πό τη σχέση x = t + t άρ: x = t + t x = ( m/s)( 5 s ) + ( m/s )( 5 s) x = 75 m. x = t + t x = ( m/s)( 6 s ) + ( m/s )( 6 s) x = 96 m. Άρ Δx = x x Δx = 96 m 75 m Δx = m... Έν κινητό κινείτι κτά μήκος το άξον x κι έχει τις πρκάτω θέσεις σε διάφορες χρονικές στιγμές : t ( s ) 5 5 x( m ) Ν πολογιστεί η τιμή της μέσης τχύτητς : ) Από έως 5 s, β) πό 5 έως s, γ) πό έως 5 s, δ) πό έως s... Έν τοκίνητο κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο κι δινύει ορισμένη μεττόπιση. Το τοκίνητο δινύει τη μισή μεττόπιση με στθερή τχύτητ = m/s τη δε πόλοιπη μεττόπιση με στθερή τχύτητ = 3 m/s. Αν η σνολική μεττόπιση είνι Δx = m, ν πολογιστούν : ) Οι χρόνοι κίνησης το τοκινήτο σε κάθε κίνηση. β) Η μέση τχύτητ σε όλη τη διδρομή. 3.. Έν τοκίνητο πρέπει ν δινύσει μεττόπιση Δx = km σε χρόνο t = 5 h. Αρχικά μεττοπίζετι κτά Δx = km με τχύτητ = 5 km/h. Με ποι τχύτητ πρέπει ν δινύσει την πόλοιπη μεττόπιση... Ατοκίνητο κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο με τχύτητ = m/s κι μεττοπίζετι κτά Δx = m κι στη σνέχει με τχύτητ = m/s μεττοπίζετι κτά Δx. Αν ο χρόνος κίνησης το τοκίνητο γι ολόκληρη την διδρομή είνι t = 5 s ν πολογιστούν : ) Οι χρόνοι κίνησης το τοκινήτο σε κάθε κίνηση κι η μεττόπιση Δx. β) Η μέση τχύτητ το τοκίνητο. 5.. Κινητό εκτελεί εθύγρμμη κίνηση στην οποί το διάγρμμ θέσης σε 5 σνάρτηση με τον χρόνο φίνετι στο σχήμ. ) Σε ποιος χρόνος το κινητό κινείτι κτά τη θετική φορά το άξον κι σε ποιος κτά την ρνητική φορά. β) Ν βρεθεί η μεττόπιση το κινητού. -5 γ) Ν βρεθεί το διάστημ πο διήνσε το κινητό. 6.. Κινητό εκτελεί εθύγρμμη κίνηση στην οποί το διάγρμμ της τχύτητς σε σνάρτηση με το χρόνο φίνετι στο σχήμ. ) Ν γίνει το διάγρμμ της μεττόπισης σε σνάρτηση με το χρόνο. β) Ν πολογιστεί η μεττόπιση κι το διάστημ πο διάνσε το κινητό. Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση -5 (m/s)

13 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης γ) Ν πολογιστεί η μέση τχύτητ το κινητού πό έως s. 7.. Μοτοσικλετιστής κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο με στθερή τχύτητ μέτρο Μ = m/s. Έν περιπολικό ρχίζει ν κτδιώκει με τχύτητ μέτρο π = 3 m/s το μοτοσικλετιστή τη στιγμή t = πο βρίσκετι σε πόστση d = 5 m πίσω πό το μοτοσικλετιστή. ) Σε ποι χρονική στιγμή κι σε ποι πόστση πό την ρχική το θέση το περιπολικό θ φθάσει τον μοτοσικλετιστή. β) Ν σχεδιστεί το διάγρμμ θέσης χρόνο γι τ δύο σώμτ. 8.. Δο κινητά βρίσκοντι στ σημεί Α κι Β μις εθείς κι πέχον πόστση d = m. Τ δο κινητά ξεκινούν ττόχρον κι κινούντι ομόρροπ με στθερές τχύτητες = m/s κι = m/s ντίστοιχ. Σε πόσο χρόνο τ δο κινητά ) Θ σνντηθούν. β) Θ πέχον πάλι πόστση d. 9.. Έν τοκίνητο ξεκινάει πό την ηρεμί. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x =. Τη χρονική στιγμή t = s έχει τχύτητ = 5 m/s. Ν πολογιστεί η επιτάχνση κι η θέση το τοκινήτο τη χρονική στιγμή t = s... Έν εροπλάνο μετκινήθηκε κτά Δx = 8 m στο διάδρομο πριν πογειωθεί. Αν ξεκίνησε πό την ηρεμί, κινήθηκε με στθερή επιτάχνση κι πογειώθηκε σε χρόνο t = s ν πολογιστούν : ) Η επιτάχνση. β) Η τχύτητ τη στιγμή της πογείωσης... Έν σώμ κινείτι με στθερή επιτάχνση. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = κι έχει τχύτητ =. Τη χρονική στιγμή πο βρίσκετι στη θέση x = 3 m έχει τχύτητ = 8 m/s. Ν πολογιστούν : ) Η επιτάχνση β) Η χρονική στιγμή στην οποί βρίσκετι στη θέση x = 3 m... Έν σώμ κινείτι με στθερή επιτάχνση. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = m κι έχει τχύτητ = 3 m/s. Τη χρονική στιγμή t = 6 s βρίσκετι στη θέση x = m. Ν πολογιστούν : ) Η επιτάχνση. β) Η θέση το τη χρονική στιγμή t = s 3.. Έν σώμ κινείτι με στθερή επιτάχνση = 3 m/s. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = με τχύτητ = m/s. Σε ποι χρονική στιγμή θ βρίσκετι στη θέση x = 56 m κι ποι τχύτητ θ έχει τότε... Ατοκίνητο κινείτι με στθερή τχύτητ = 3 m/s σε εθύγρμμο δρόμο. Τη στιγμή πο το τοκίνητο βρίσκετι σε πόστση d = 7 m πό έν εμπόδιο ο οδηγός πτάει φρένο κι το τοκίνητο ποκτά στθερή ρνητική επιτάχνση. Σε χρόνο Δt = s το τοκίνητο πέφτει πάνω στο εμπόδιο. Ν βρεθούν : ) Η επιτάχνση το τοκινήτο. β) Η τχύτητ το τοκινήτο τη στιγμή της σύγκροσης. 5.. Ένς δρομές των m ξεκινάει πό την ηρεμί κι κινείτι με επιτάχνση = 5 m/s μέχρι ν ποκτήσει τχύτητ = m/s. Στη σνέχει κινείτι με στθερή τχύτητ = m/s. ) Ν πολογιστεί η χρονική διάρκει της κίνησης. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο. 6.. Ατοκίνητο ξεκινάει πό την ηρεμί κι κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο με στθερή επιτάχνση = m/s γι χρονική διάρκει Δt = s. Στη σνέχει κινείτι με στθερή τχύτητ γι χρονική διάρκει Δt = 6 s κι μετά με επιτάχνση 3 = 5 m/s μέχρι ν στμτήσει. Ν πολογιστούν : ) Η ολική διάρκει της κίνησης β) Η σνολική μεττόπιση το τοκινήτο γ) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ επιτάχνσης χρόνο, τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο ν γι t = είνι x = Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

14 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης 7.. Ο χρόνος πο χρειάζετι γι ν ντιδράσει ένς οδηγός πό την στιγμή πο θ ντιληφθεί τον κίνδνο μέχρι ν πτήσει φρένο είνι,7 s. Το τοκίνητο ποκτά στθερή επιτάχνση = 5 m/s. ) N βρεθεί η ολική μεττόπιση το τοκινήτο μέχρι ν στμτήσει ν η ρχική το τχύτητ είνι = m/s. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ: επιτάχνσης χρόνο, τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο. 8.. Κινητό ξεκινάει πό την ηρεμί κι κινείτι εθύγρμμ με στθερή επιτάχνση = 5 m/s. Το κινητό περνάει πό δο σημεί πο πέχον πόστση d = m με διάφορ χρόνο Δt = s. Ν πολογιστεί η θέση το δεύτερο σημείο πό την ρχή της κίνησης. 9.. Κινητό κινείτι εθύγρμμ κι η γρφική πράστση της τχύτητς σνρτήσει το χρόνο φίνετι στο σχήμ. Τη χρονική στιγμή t = το κινητό βρίσκετι στη θέση x =. ) Ν πολογιστεί η ολική μεττόπιση κι το ολικό διάστημ. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ: επιτάχνσης χρόνο κι θέσης χρόνο... Κινητό ξεκινάει πό την ηρεμί κι κινείτι εθύγρμμ με στθερή επιτάχνση = 5 m/s γι χρόνο t = s. Στην σνεχεί κινείτι με την τχύτητ πο πέκτησε γι χρόνο t = 6 s. Μετά κινείτι με στθερή επιβράδνση μέχρι ν στμτήσει μετά πό χρόνο t 3 = s. ) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ: τχύτητς χρόνο, επιτάχνσης χρόνο κι θέσης χρόνο. β) Ποι είνι η θέση το κινητού την χρονική στιγμή t = 5 s... Κινητό κινείτι εθύγρμμ κι η γρφική πράστση της τχύτητς σνρτήσει το χρόνο φίνετι στο σχήμ. Τη χρονική στιγμή t = το κινητό βρίσκετι στη θέση x =. ) Ν πολογιστεί η ολική μεττόπιση κι το ολικό διάστημ. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ: επιτάχνσης χρόνο κι θέσης χρόνο... Έν τοκίνητο κινείτι πάνω στον άξον x. Στο διπλνό σχήμ φίνετι το διάγρμμ επιτάχνσης χρόνο το τοκινήτο. Το τοκίνητο την χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = m κι έχει τχύτητ = m/s. ) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο. β) Ν πολογιστεί η ολική μεττόπιση κι το ολικό διάστημ. 3.. Μοτοσικλετιστής κινείτι με στθερή τχύτητ = m/s σε εθύγρμμο δρόμο. Τη στιγμή πο ο μοτοσικλετιστής περνάει μπροστά πό κίνητο τροχονόμο, ο τροχονόμος ρχίζει ν τον κτδιώκει με στθερή επιτάχνση = m/s. ) Μετά πό πόσο χρόνο κι σε ποι πόστση πό την ρχική το θέση κι με ποι τχύτητ θ φθάσει ο τροχονόμος τον μοτοσικλετιστή. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο γι τ δύο οχήμτ. γ) Αν ο τροχονόμος είχε τη μισή επιτάχνση θ έφτνε τον μοτοσικλετιστή ; Αν νι, μετά πό πόσο χρόνο, σε ποι πόστση κι με ποι τχύτητ... Έν τοκίνητο ξεκινάει πό την ηρεμί τη χρονική στιγμή t = κι κινείτι με στθερή επιτάχνση = m/s. Ποι θ είνι η μεττόπισή το κτά τη διάρκει το τρίτο δετερόλεπτο της κίνησής το. 5.. Έν τοκίνητο κινείτι με στθερή επιτάχνση = m/s κι μεττοπίζετι κτά Δx = 7 m κτά τη διάρκει το τέτρτο δετερόλεπτο της κίνησής το. Ν πολογιστεί η ρχική τχύτητ το τοκινήτο. -5 (m/s) (m/s) (m/s ) Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Παπαθεοδώρου Γιώργος

1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Παπαθεοδώρου Γιώργος . Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος. Σύστη νφοράς Σύστη νφοράς είνι έν σύστη συντετγένων που χρησιοποιείτι γι τον προσδιορισό της θέσης των ντικειένων, δηλδή είνι έν σύστη πρκολούθησης της κίνησης..

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Σωτήρης Χρονόπουλος ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ, ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Σωτήρης Χρονόπουλος ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ, ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΖΟΝΙΑ ΒΟΛΗ, ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΗΣΕΙΣ Σωτρης Χρονόπολος 1. Μι σφίρ ηρεμεί στην άκρη ενός τρπεζιού. Στη σφίρ δίνετι τχύτητ 0, όπως φίνετι στην εικόν. Ν γράψετε τις εξισώσεις πο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΟΜΟΣΠΟΝ Ι ΕΚΠΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ 06 ΦΣΗ ΤΞΗ: ΜΘΗΜ: ΘΕΜ. γ. β. δ 4. 5.. Σωστό β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηεροηνί: Τρίτη

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ρ Ο Σ Η Μ Ο. Τυπολόγιο: Ευθύγραμμη κίνηση. Μετατόπιση: Δx x 2. Μέση διανυσματική ταχύτητα: Μέση αριθμητική ταχύτητα: υ m s.

Ο Ρ Ο Σ Η Μ Ο. Τυπολόγιο: Ευθύγραμμη κίνηση. Μετατόπιση: Δx x 2. Μέση διανυσματική ταχύτητα: Μέση αριθμητική ταχύτητα: υ m s. Τυπολόγιο: Ευθύγρμμη κίνηση Μεττόπιση: Δ () Μέση δινυσμτική τχύτητ: Δ υμ Δt t t s ολ Μέση ριθμητική τχύτητ: υ s Επιτάχυνση: s μ S t ολ Δυ Δt Ευθύγρμμη ομλή κίνηση: υ στθερό Εξισώσεις επιτάχυνσης τχύτητς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ

ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ ΔΥΟ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΣΚΟΙ ΚΑΙ ΚΥΛΙΣΗ Δύο ομογενείς δίσκοι, ένς μεγάλος μάζς Μ=3kg κι κτίνς =40 κι ένς μικρός μάζς m=kg κι κτίνς =10, ενώνοντι έτσι ώστε ν συμπίπτουν τ κέντρ τους. Ο δίσκος κτίνς διθέτει υλάκι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ

ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΑΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΑΤΟΣ ΓΙΟ-ΓΙΟ ΚΙ ΚΟΨΙΜΟ ΝΗΜΤΟΣ Ο ομογενής κύλινδρος(γιο-γιό) του σχήμτος έχει μάζ Μ=5kg κι κτίν R=0,m. Γύρω πό τον κύλινδρο είνι τυλιγμένο βρές κι μη εκττό νήμ, το ελεύθερο άκρο του οποίου τρβάμε προς τ πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

* 4. Οµογενές στερεό σώµ στρέφετι γύρω πό στθερό άξον, υπό την επίδρση στθερής ροπής τ. Συνεπώς όλ τ υλικά σηµεί που το ποτελούν. έχουν την ίδι επιτρό

* 4. Οµογενές στερεό σώµ στρέφετι γύρω πό στθερό άξον, υπό την επίδρση στθερής ροπής τ. Συνεπώς όλ τ υλικά σηµεί που το ποτελούν. έχουν την ίδι επιτρό *! " # $ # # " % $ " " % $ " ( # " ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Αν στο διπλνό κύκλωµ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέμ o B Λυκείου. Έν δοχείο με διβτικά τοιχώμτ περιέχει μονοτομικό ιδνικό έριο με σχετική μορική μάζ M r κι ενώ κινείτι

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ

Πέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 Πέµπτη, 5 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ, που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για

τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για 3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

δύναμη καθίσματος στον Χρήστο δύναμη Ελένης στον Χρήστο

δύναμη καθίσματος στον Χρήστο δύναμη Ελένης στον Χρήστο ΟΜ φοιτητές, ο Χρήστος κι η λένη κάθοντι σε πρόμοιες κρέκλες γρφείου (τ πόδι της λένης είνι στον έρ). Ο Χρήστος πιέζει με τ πόδι του τ γόντ της λένης. πίλεξε το σωστό: ) ίνι μεγλύτερη η δύνμη που σκεί

Διαβάστε περισσότερα

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ())

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15/11/2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Γιάννης Τζαγκαράκης, Μαρία Αδάμη

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15/11/2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Γιάννης Τζαγκαράκης, Μαρία Αδάμη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 5-6 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5//5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Γιάννης Τζαγκαράκης, Μαρία Αδάμη ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 172 ΚΑΤΟΠΤΡΑ

ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 172 ΚΑΤΟΠΤΡΑ ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 7 ΚΑΤΟΠΤΡΑ ΕΠΙΠΕ Α ΚΑΤΟΠΤΡΑ: Θεωρούµε γρµµικό ντικείµενο που βρίσκετι σε πόστση (πόστση του ντικειµένου) πό επίπεδο κάτοπτρο. A B Σχήµ 95 Μερικές πό τις κτίνες που εκπέµπει το φωτεινό

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

3. 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Μέθοδος της αντικατάστασης. β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

3. 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Μέθοδος της αντικατάστασης. β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 8. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Στην προσπάθει μς ν επιλύσουμε λγερικά έν σύστημ δύο εξισώσεων θμού με δύο γνώστους θ έχουμε σν στόχο ν πλείψουμε πό την μί πό τις δύο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

υ 1 =14m/s, υ 2 =36Km/h, υ 3 =180m/min.

υ 1 =14m/s, υ 2 =36Km/h, υ 3 =180m/min. Παναγιώτης Παζούλης Κινητική Φσική Α Λκείο Φσικός ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ιάκριση µετατόπισης διαστήµατος. Μετατόπιση ιανσµατικό µέγεθος Εξαρτάται από την αρχική και τελική θέση το κινητού. Είναι ανεξάρτητη από την

Διαβάστε περισσότερα

Καμπυλόγραμμες Κινήσεις: Οριζόντια Βολή, Κυκλική Κίνηση

Καμπυλόγραμμες Κινήσεις: Οριζόντια Βολή, Κυκλική Κίνηση ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Καμπλόγραμμες Κινήσεις: Οριζόντια ολή, Κκλική Κίνηση ΠΡΔΕΙΓΜ : Μια ενζινάκατος κατά τη φορά ροής ενός ποταμού και σε ένα σημείο προσπερνάει μια σχεδία, την οποία παρασέρνει το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

3. Μέθοδος Ρεύματος Απλών Κόμβων 4. Κυκλώματα με Ελεγχόμενες Πηγές 5. Αρχή της Υπέρθεσης

3. Μέθοδος Ρεύματος Απλών Κόμβων 4. Κυκλώματα με Ελεγχόμενες Πηγές 5. Αρχή της Υπέρθεσης ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πνεπιστήμιο Ιωννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ Ι ο Κεφάλιο Γ. Τσιτούχς Τμήμ Μηχνικών Η/Υ κι Πληροφορικής Διάρθρωση. Ανάλση Δικτύο. Μέθοδος Κομβικών Τάσεων. Μέθοδος Ρεύμτος Απλών Κόμβων 4.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ

2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ 1.3 ΜΕΤΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΙ ΕΦΠΤΟΜΕΝΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Μετβολή του ηµιτόνου : Ότν µί οξεί ωνί υξάνετι, υξάνετι κι το ηµίτονο της. ηλδή ν ω > φ τότε ηµω > ηµφ. Μετβολή του συνηµιτόνου : Ότν µί οξεί ωνί

Διαβάστε περισσότερα

2. 4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2. 4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε κλσμτική εξίσση κάθε εξίσση που έχει άγνστο στον προνομστή. 7 6 Γι πράδειγμ οι εξισώσεις + 5, + είνι κλσμτικές ενώ οι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΚΡΕΜΑΣΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΚΡΕΜΑΣΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΘΕΩΡΙΑ Μετατόπιση (Δx): Είναι η διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης ενός σώματος και έχει μονάδες τα μέτρα (m).

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 6 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό κθεµιάς πό τις πρκάτ ερτήσεις - 4 κι δίπλ το γράµµ πο ντιστοιχεί στη σστή πάντηση Στο κύκλµ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

6 η Εργασία. θ(t) = γt 2 - βt 3

6 η Εργασία. θ(t) = γt 2 - βt 3 1 6 η Εργσί 1) Έν τύµπνο σε µι εκτυπωτική µηχνή στρέφετι κτά γωνί θ(t), που δίνετι πό τη σχέση: θ(t) = γt - βt 3 όπου γ =,5 rad/s κι β = 0,4 rad/s 3. ) Υπολογίστε τη γωνική τχύτητ κι την γωνική επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα