ΣΧΟΛΗ ΙΚΑΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΕΡΟΠΟΡΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΝΑΡΧΙΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. «Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης»

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΙΚΑΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΕΡΟΠΟΡΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΝΑΡΧΙΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης» ΙΚ IV ΥΣΜΙΑΣ (ΜΑΕ) ΠΑΠΑΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΔΕΚΕΛΕΙΑ 7

2

3 ΣΧΟΛΗ ΙΚΑΡΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΙΚΗΣ, ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΔΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης» ΙΚ IV ΥΣΜΙΑΣ (ΜΑΕ) ΠΑΠΑΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΔΡ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ ΨΑΡΡΟΠΟΥΛΟΣ ΔΕΚΕΛΕΙΑ 7

4

5 ΣΧΟΛΗ ΙΚΑΡΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΙΚΗΣ, ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΔΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης» ΙΚ IV ΥΣΜΙΑΣ (ΜΑΕ) ΠΑΠΑΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΔΡ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ ΨΑΡΡΟΠΟΥΛΟΣ Αξιολογήθηκε από την τετραμελή εξεταστική επιτροπή Την. /... /. ΔΝΤΗΣ Η ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ ΤΟΜΕΑ ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΚΕΛΕΙΑ 7

6 . Παπαζαφειρόπουλος Γεώργιος Ίκαρος ΙV Μηχανικός Αεροπορικών Εγκαταστάσεων Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rihts reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση ότι αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς το συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν το συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθούν ως αντιπροσωπευτικές των επίσημων θέσεων της Σχολής Ικάρων. Ο συγγραφέας της παρούσας εργασίας έχει καταβάλλει το μέγιστο των προσπαθειών του για την προετοιμασία της. Οι προσπάθειες αυτές περιλαμβάνουν την ανάπτυξη, διερεύνηση, και έλεγχο των θεωριών και προγραμμάτων για να καθορίσουν την αποτελεσματικότητά τους. Ο συγγραφέας δεν παρέχει κανενός είδους εγγύηση, ρητή ή παρεμφατική, όσον αφορά τα προγράμματα, τα συμπεράσματα, τις υποθέσεις ή τις τεκμηριώσεις που περιέχονται στην εργασία. Ο συγγραφέας δεν φέρει ευθύνη για τυχόν συμπτωματικές η επακόλουθες απώλειες ή ζημίες σε έμψυχο ή άψυχο υλικό που συσχετίζονται με, ή προκύπτουν από την παροχή, απόδοση, και χρήση αυτών των προγραμμάτων.

7 αφιερωμένο στην οικογένειά μου και σε όλους όσους με βοήθησαν και με εμπιστεύθηκαν

8 4

9 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΟΨΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ABSTRACT SUMMARY ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΥΣΚΑΜΠΤΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤHΡΙΞΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞHΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΚΤΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞHΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ 5

10 6

11 Σύνοψη Οι τοίχοι αντιστήριξης και τα συστήματα τοίχων αντιστήριξης είναι συνήθεις κατασκευές και έχουν μεγάλη σημασία για την οικονομία, την προστασία της ανθρώπινης ζωής, και την υπεράσπιση της χώρας. Δεδομένου ότι η Ελλάδα είναι μια χώρα σεισμικά ενεργή οι παραπάνω κατασκευές πρέπει να σχεδιάζονται και αντισεισμικά. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας γίνεται εισαγωγή στα συστήματα αντιστήριξης. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάται το σύστημα δύσκαμπτων τοίχων. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το σύστημα εύκαμπτων πρόβολων τοίχων. Στο τέταρτο κεφάλαιο επιλύεται το σύστημα των εύκαμπτων μονόπακτων τοίχων. Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται ανάλυση των προσομοιωμάτων των κεφαλαίων και με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Στο πρώτο παράρτημα παρατίθενται μερικές υπορουτίνες που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία για την εξαγωγή διαγραμμάτων. Επίσης, στο δεύτερο παράρτημα αποδεικνύεται η μη ύπαρξη αυστηρής κλειστής αναλυτικής λύσης για το σύστημα τοίχων με εγκόλλητες διεπιφάνειες. 7

12 8

13 Περίληψη Ο τοίχος αντιστήριξης αποτελεί ίσως το πιο κοινότυπο έργο πολιτικού μηχανικού, και ταυτόχρονα το πιο δύσκολο από πλευράς σχεδιασμού και κατασκευής. Εμπλέκεται σχεδόν σε όλα τα έργα που έρχονται σε επαφή με το έδαφος, όπως υπόγεια, πρανή, λιμάνια, και σε πολλά έργα της Π.Α., όπως π.χ. υπόγεια καταφύγια που είναι αναμφισβήτητα πολύ μεγάλης σημασίας για την οικονομία την προστασία της ανθρώπινης ζωής και την υπεράσπιση της χώρας. Λιγότερο συχνά, αλλά όχι μικρότερης σημασίας είναι τα συγκροτήματα τοίχων αντιστήριξης, ή αλλιώς τα συστήματα αντιστήριξης. Αυτά μπορεί να αποτελούνται από έναν, δύο ή και περισσότερους τοίχους αντιστήριξης, οι οποίοι έχουν διάφορα είδη στηρίξεων στα άκρα τους. Στην Ελλάδα, λαμβάνοντας υπόψη τη σεισμική ενεργότητα που διακρίνει όλη την έκταση της χώρας μας πρέπει να σχεδιάζουμε τα συστήματα αντιστήριξης όχι μόνο για στατικά φορτία, αλλά και για δυναμικές φορτίσεις (σεισμός). Οι πιο σύγχρονες μέθοδοι αντισεισμικού σχεδιασμού συστημάτων αντιστήριξης περιγράφονται αναλυτικά στην παρούσα εργασία. Στο 1 ο κεφάλαιο, τονίζεται η ανάγκη για ασφάλεια και οικονομία κατά το σχεδιασμό των συστημάτων αντιστήριξης, περιγράφονται τα είδη τους, οι μορφές αστοχίας τους, τα χαρακτηριστικά τους όσον αφορά το σχεδιασμό και εισάγεται η έννοια της αλληλεπίδρασης εδάφους - κατασκευής. Στο ο κεφάλαιο, αναφέρονται οι λύσεις και τα διαγράμματα που αντιστοιχούν στα προσομοιώματα συστημάτων δύσκαμπτων τοίχων αντιστήριξης των Wood [197] και των Veletsos et al. (1995). Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι προτεινόμενες λύσεις, μία για καθένα από τα δύο παραπάνω προσομοιώματα. Η διαφορά προτεινόμενης και υπάρχουσας λύσης στην περίπτωση του προσομοιώματος του Wood (197) είναι η εξαγωγή λύσεων για δυναμικές διεγέρσεις στην πρώτη, που δεν υπάρχουν στη δεύτερη. Η διαφορά προτεινόμενης και υπάρχουσας λύσης στην περίπτωση του προσομοιώματος των Veletsos et al. (1995) είναι ότι στην πρώτη εξάγεται η διαφορική εξίσωση ταλάντωσης του αντιστηριζόμενου εδάφους με βάση ορισμένες παραδοχές (Veletsos & Younan, 1994), ενώ στη δεύτερη η εξίσωση αυτή λαμβάνεται έτοιμη από προγενέστερη δημοσίευση των Arias et al. (1981). Για κάθε μία από τις προτεινόμενες λύσεις παρουσιάζονται μαζί με τα αποτελέσματα, και τα διαγράμματα των ωθήσεων, της τέμνουσας και της ροπής στη βάση, 9

14 και των ορθών τάσεων, διατμητικών τάσεων και των μετατοπίσεων σε όλη την έκταση του αντιστηριζόμενου μέσου. Στο ο κεφάλαιο, αναφέρονται η λύση και τα διαγράμματα του προσομοιώματος των δύσκαμπτων και στροφικά ενδόσιμων στη βάση τοίχων των Veletsos et al. (1995), και στη συνέχεια παρουσιάζεται η προτεινόμενη λύση για το ίδιο προσομοίωμα, με τη διαφορά ότι οι τοίχοι εκτός από στροφικά ενδόσιμοι στη βάση είναι και εύκαμπτοι. Στο τέλος παρουσιάζονται τα αποτελέσματα και τα διαγράμματα για τις ωθήσεις, την παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων και για την τέμνουσα και τη ροπή στη βάση τους για την προτεινόμενη λύση. Στο 4 ο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η προτεινόμενη λύση για το προσομοίωμα που αποτελείται από εύκαμπτους και στροφικά ενδόσιμους στη βάση τοίχους, οι οποίοι έχουν επιπλέον μία απλή στήριξη στην κορυφή (τοίχοι μονόπακτοι). Παρουσιάζονται τα αποτελέσματα για τις ωθήσεις και την παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων, καθώς και για την τέμνουσα στις στηρίξεις και τη ροπή στη βάση. Διαγράμματα παρουσιάζονται για τις ωθήσεις και για την παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων. Στο 5 ο κεφάλαιο, επιλύονται τα προσομοιώματα των προτεινόμενων λύσεων του ου και ου κεφαλαίου με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Έπειτα γίνονται συγκρίσεις των διαγραμμάτων που προέκυψαν με τη βοήθεια των πεπερασμένων στοιχείων με τα αντίστοιχα των προτεινόμενων αναλυτικών λύσεων που παρουσιάζονται στα κεφάλαια και. Στο Παράρτημα 1 παρατίθενται μερικές από τις υπορουτίνες σε κώδικα προγραμματισμού MAPLE που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διπλωματική εργασία για την εξαγωγή των διαγραμμάτων των αναλυτικών λύσεων. Δεν κατέστη δυνατή η παράθεση όλων των υπορουτίνων επειδή αυτές είναι πολλές σε αριθμό και θα καταλάμβαναν δυσανάλογο όγκο στο παρόν σύγγραμμα. Στο Παράρτημα αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει ακριβής κλειστή αναλυτική λύση για το δύσκαμπτο σύστημα τοίχων με εγκόλλητες διεπιφάνειες τοίχων-εδάφους. 1

15 Abstract Retainin walls and retainin wall systems are common structures and important for the economy, protection of human life, and defense of the country. της χώρας. Considerin that Greece is a seismically active country, these structures must also be desined aainst earthquakes. In the first chapter of this diploma thesis an introduction is made for the retainin wall systems. In the second chapter the system of riid retainin walls is considered. In the third chapter we present the system of flexible and rotationally constrained at the base cantilever walls. In the fourth chapter the flexible, clamped at the base and hined at the top, retainin wall system is solved. In the fifth chapter the proposed models of second and third chapters are solved with the Finite Element Method. In the first appendix we cite some of the subroutines which are used in the current thesis in order to plot the diarams. Also, in the second appendix there is a mathematic proof for non-existence of an exact closed-form solution for the system of riid walls with bonded interfaces. 11

16 1

17 Summary Retainin walls are maybe the most common Civil Enineerin structures, and at the same time one of the most difficult to desin and construct. It is a part of nearly all structures which are in contact with the soil, like basements, slopes, ports, and also of several Hellenic Air Force facilities, like underround shelters for example, which are undoubtedly of very hih importance for the economy, the protection of human life and the defense of our country. Less frequent, but equally important are the retainin wall systems. These can consist of one, two, or more retainin walls, which have various types of supports at their edes. In Greece, takin into account the seismic activity which exists all over our country, we need to desin the retainin wall systems not only for static loads, but also for dynamic loadin (earthquake). The most modern methods of seismic desin of retainin wall systems are described in detail in the present thesis. In the first chapter, emphasis is iven to the need for safety and economy in retainin wall system desin. Their types, failure mechanisms, desin characteristics as far as desin is concerned are portrayed, and the concepts of soil-structure interaction are introduced. In the second chapter, we report the solutions and diarams correspondin to the models of riid retainin wall systems presented by Wood [197] and Veletsos et al. [1995]. Afterwards, we present the proposed solutions, one for each model previously mentioned. The difference of proposed and existin solution in the case of Wood s model is the extraction of solutions for dynamic excitations in the former, which do not exist in the latter. The difference of proposed and existin solution in the case of Veletsos et al. model is that in the former we extract the differential equations of oscillation of the retained soil, based on certain assumptions [Veletsos and Younan, 1994], while in the latter this equation is identical to the one published from Arias et al. [1981]. For each one of the proposed solutions, apart from the closed-form solutions, we present the diarams of pressures, shear force and overturnin moment in the base, and normal vertical and shear stresses displacements all over the retained soil. In the third chapter we present the solutions and diarams of the riid but rotationally constrained in the base retainin wall system, as described by Veletsos et al.[1995], and next we present the proposed solution for the same model, with the 1

18 difference that the retainin walls, apart from bein rotationally constrained at their base they are also flexible. At last, we present the closed-form solutions and diarams for the pressures, the deformed eometry of the walls, and the shear force and overturnin moment at the base for the proposed solution. In the fourth chapter, we present the proposed solution for the retainin wall system model, the walls of which are flexible, rotationally constrained at the base, and simply supported at the top. We present the closed form solutions for the pressures, and the deformed eometry of the walls, as well as for the shear force and overturnin moments at the supports. Diarams are presented for the pressures and the deformed eometry of the walls. In the fifth chapter the proposed models of the nd and rd chapter are solved with the Finite Element Method. Then, we make comparisons of the diarams created with the aid of the Finite Element Method with the correspondin ones, which are created with the help of the analytical solutions, and are presented in the chapters and. In the Appendix 1 we cite some of the subroutines written in the MAPLE code which were used in this diploma thesis in order to create the diarams resultin from the analytical solutions. We do not cite all of the subroutines used, because they would take a lot of space in the thesis. In addition, in the Appendix there is a mathematic proof for non-existence of an exact closed-form solution for the system of riid walls with bonded interfaces. 14

19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ.. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ..... ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ ΣΤΑΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΣΤΟΧΙΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΩΘΗΣΕΙΣ ΣΕ ΤΟΙΧΟΥΣ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΥΣΚΑΜΠΤΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ.1 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ WOOD [197] ο προσομοίωμα ο προσομοίωμα ο προσομοίωμα ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ VELETSOS ET AL. [1995] ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] Λύση με βάση τα προσομοιώματα των Veletsos et al. [1995] και Veletsos and Younan [1994] ΤΡΙΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ.1 ΓΕΝΙΚΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ VELETSOS ET AL. [1995]

20 . ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ Ιδιομορφές ταλάντωσης του τοίχου Εξισώσεις Larane Υπολογισμός γενικευμένων δυνάμεων Εξίσωση κίνησης του τοίχου Διαγράμματα ωθήσεων Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων Τέμνουσα στη βάση των τοίχων Ροπή στη βάση των τοίχων ΤΕΤΑΡΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΚΤΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ 4.1 ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ Επίλυση προσομοιώματος Διαγράμματα ωθήσεων Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων Τέμνουσα και ροπή στις στηρίξεις...5 ΠΕΜΠΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 5.1 ΓΕΝΙΚΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Διαγράμματα αποτελεσμάτων αριθμητικών αναλύσεων ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ-ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1: Κώδικες σε γλώσσα συμβολικού προγραμματισμού MAPLE...9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Απόδειξη μη ύπαρξης αυστηρής κλειστής αναλυτικής λύσης για το σύστημα δύσκαμπτων εγκόλλητων τοίχων αντιστήριξης...65 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ

21 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1 Τύποι τοίχων αντιστηρίξεως [Wood, 197]... 7 Σχήμα 1. Δυνατές μορφές αστοχίας τοίχων βαρύτητας και εύκαμπτων τοίχων Σχήμα 1. Δυνατές μορφές αστοχίας αγκυρωμένων / αντηριδωτών τοίχων Σχήμα.1 Προσομοίωμα του Wood [197]. Στο προσομοίωμα αυτό αναφέρεται και η πρώτη προτεινόμενη λύση... 5 Σχήμα. Αδιαστατοποιημένες τάσεις σ x / γ H που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο συναρτήσει του ύψους από τη βάση y για διάφορες τιμές του λόγου Poisson ν του αντιστηριζόμενου μέσου. Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης. Λαμβάνεται L/H = Σχήμα. Αδιαστατοποιημένες τάσεις σ x / γ H που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο συναρτήσει του ύψους από τη βάση (y), για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης L/H μεταξύ των τοίχων. Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης. Λαμβάνεται ν= Σχήμα.4 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα Fsr / γ H που ασκείται στη βάση του τοίχου συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων L/H για διάφορες τιμές του λόγου Poisson ν. Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης Σχήμα.5 Αδιαστατοποιημένη ροπή M sr / γ H που ασκείται στη βάση του τοίχου συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/H, για διάφορες τιμές του λόγου Poisson ν. Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης Σχήμα.6 Αδιαστατοποιημένες τάσεις που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο συναρτήσει του αδιαστατοποιημένου ύψους από τη βάση y/h, για λεία διεπιφάνεια (αναλυτική λύση) και για εγκόλλητη διεπιφάνεια (πεπερασμένα στοιχεία), για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων (L/H). Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης... 6 Σχήμα.7 Διάγραμμα της ενίσχυσης της τέμνουσας στη βάση του τοίχου, σε σχέση με αυτή που προκύπτει από στατικές ωθήσεις, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης συχνότητας της διέγερσης (modulus). Αναλυτική λύση. Λεία διεπιφάνεια Σχήμα.8 Διάγραμμα της ενίσχυσης της ασκούμενης ροπής στη βάση του τοίχου, σε σχέση με αυτήν που ασκείται κάτω από στατικές συνθήκες, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης συχνότητας (modulus). Αναλυτική λύση. Λεία διεπιφάνεια Σχήμα.9 Προσομοίωμα του συστήματος δύσκαμπτων τοίχων των Veletsos et al. [1995] Σχήμα.1 Τιμές της αδιαστατοποιημένης στατικής τέμνουσας στη βάση των τοίχων για συστήματα με ζεύγος άκαμπτων τοίχων για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. Τιμές ν =. και ξ =.5 για τις συμπαγείς καμπύλες και ν =. και ξ = για τις διακεκομμένες Σχήμα.11 Τιμές της αδιαστατοποιημένης στατικής ροπής στη βάση των τοίχων για συστήματα με ζεύγος άκαμπτων τοίχων για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. Τιμές ν =. και ξ =.5 για τις συμπαγείς καμπύλες και ν =. και ξ = για τις διακεκομμένες. Οι συμπαγείς προκύπτουν από την αναλυτική λύση των Veletsοs et al. [1995] και οι διακεκομμένες από την αναλυτική λύση του Wood [197]. Οι καμπύλες ταυτίζονται τόσο πολύ που φαίνονται σαν μία. Αυτό αποδεικνύει τη μεγάλη συμφωνία των δυο μεθόδων

22 Σχήμα.1 Τιμές των αδιαστατοποιημένων στατικών εδαφικών ωθήσεων πίσω από τον κάθε τοίχο ( σ w( h )/ ρ X H ), σε συνάρτηση με το αδιαστατοποιημένο ύψος του τοίχου ( y / H ), για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. Τιμές ν=. και ξ= για τις συμπαγείς καμπύλες, και ν=. και ξ=.5 για τις διακεκομμένες. Οι διακεκομμένες καμπύλες προέκυψαν από την αναλυτική λύση των Veletsos et al. ενώ οι συμπαγείς από την ακριβή λύση του Wood [197]...69 Σχήμα.1 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα ( Q / ρ X H ) στη βάση των τοίχων για διάφορες τιμές του λόγου L/ H (1 και 5 αντίστοιχα) συναρτήσει των αδιαστατοποιημένων συχνοτήτων διέγερσης της βάσης. Η αδιαστατοποίηση έγινε ως προς την εκάστοτε ιδιοσυχνότητα του συστήματος....7 Σχήμα.14 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα ( Q / ρ X H ) στη βάση των τοίχων για διάφορες τιμές του λόγου L/ H (1 και 5 (>>) αντίστοιχα) συναρτήσει των αδιαστατοποιημένων συχνοτήτων διέγερσης της βάσης. Η αδιαστατοποίηση έγινε ως προς την εκάστοτε ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Σύγκριση με ημιάπειρη εδαφική στρώση ( L/ H >> ) Σχήμα.15 Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ / ρ X H ) για ν=. δ=.1 και συχνότητα διέγερσης ω=1 rad/s για διάφορες τιμές της x αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων...84 Σχήμα.16 Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ / ρ X H ) για ν =., δ =.1 και συχνότητα διέγερσης ω = rad / s για διάφορες τιμές x της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/ H...84 Σχήμα.17 Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ / ρ X H ) για ν =., δ =.1 και συχνότητα διέγερσης ω = 5 rad / s για διάφορες τιμές x της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/ H...85 Σχήμα.18 Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ / ρ X H ) για ν =., δ =.1 και συχνότητα διέγερσης ω = 8 rad / s για διάφορες τιμές x της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/ H...85 Σχήμα.19 Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ / ρ X H ) για ν =., δ =.1 και συχνότητα διέγερσης ω = 1 rad / s για διάφορες τιμές x της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/ H...86 Σχήμα. Αδιαστατοποιημένη δυναμική τέμνουσα στη βάση του τοίχου ( Q / ρ X H ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων L/ H για ν =., δ =.1 και για διάφορες συχνότητες διέγερσης στο σύστημα Σχήμα.1 Αδιαστατοποιημένη δυναμική τέμνουσα στη βάση του τοίχου ( Q / ρ X H ) συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (ω ) για ν =., δ =.1 και για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων L/ H...87 Σχήμα. Αδιαστατοποιημένη δυναμική ροπή στη βάση του τοίχου ( M / ρ X H ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων L/ H, για ν =., δ =.1 και για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης ω Σχήμα. Αδιαστατοποιημένη δυναμική ροπή στη βάση του τοίχου ( M / ρ X H ) συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης ω για ν =., δ =.1 και για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων L/ H Σχήμα.4 Διάγραμμα της αδιαστατοποιημένης δυναμικής τέμνουσας στη βάση του τοίχου, στην περίπτωση συντονισμού, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων...91 b b b b b b 18

23 Σχήμα.5 Διάγραμμα της αδιαστατοποιημένης δυναμικής ροπής στη βάση του τοίχου, στην περίπτωση συντονισμού, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων Σχήμα.6 Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών οριζόντιων ορθών τάσεων από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό... 9 Σχήμα.7 Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών κάθετων ορθών τάσεων από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό... 9 Σχήμα.8 Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών διατμητικών τάσεων από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό... 9 Σχήμα.9 Κατανομή της αδιαστατοποιημένης (ως προς H ) δυναμικής οριζόντιας μετατόπισης από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό Σχήμα. Κατανομή της αδιαστατοποιημένης (ως προς H ) δυναμικής κατακόρυφης μετατόπισης από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό Σχήμα.1 Προσομοίωμα του συστήματος δύσκαμπτων τοίχων των Veletsos et al. [1995] τροποποιημένο με βάση το προσομοίωμα των Veletsos and Younan [1994]. Στο παραπάνω προσομοίωμα αναφέρεται η δεύτερη προτεινόμενη λύση Σχήμα. Κατανομές των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων για διάφορες τιμές του λόγου L/ H, για ν =. και δ =.1. Η κάθε καμπύλη εξάγεται για διέγερση συχνότητας ίσης με την πρώτη ιδιοσυχνότητα κάθε συστήματος Σχήμα. Κατανομές των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων για σύστημα τοίχων με L/ H = 5, ν =. και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος (.7 rad/s περίπου) για διάφορες τιμές της απόσβεσης δ Σχήμα.4 Κατανομές εδαφικών ωθήσεων για δ =.1, L/ H = 5 στην περίπτωση του συντονισμού για διάφορες τιμές του λόγου Poisson ν Σχήμα.5 Δυναμική τέμνουσα στη βάση του τοίχου συναρτήσει του λόγου L/ H για ν =., δ =.1. Οι πάνω καμπύλες παριστάνουν την τέμνουσα αδιαστατοποημένη ως προς ρ X H και οι κάτω καμπύλες παριστάνουν την τέμνουσα αδιαστατοποιημένη ως προς ρ X HL Σχήμα.6 Δυναμική ροπή στη βάση του τοίχου συναρτήσει του λόγου L/ H για ν=.,δ=.1.οι πάνω καμπύλες παριστάνουν την ροπή αδιαστατοποημένη ως προς ρ X H και οι κάτω καμπύλες παριστάνουν την τέμνουσα αδιαστατοποιημένη ως προς ρ X H L Σχήμα.7 Αδιαστατοποιημένη δυναμική τέμνουσα στη βάση των τοίχων σε περίπτωση συντονισμού του συστήματος τοίχων-εδάφους, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασής τους L/ H. Στις πάνω καμπύλες η αδιαστατοποίηση έγινε ως προς ρ X H ενώ στις κάτω ως προς ρ X HL. Για κάθε τιμή της απόστασης L/ H το αντίστοιχο σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό Σχήμα.8 Αδιαστατοποιημένη δυναμική ροπή στη βάση των τοίχων σε περίπτωση συντονισμού του συστήματος τοίχων-εδάφους, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασής τους L/ H. Στις πάνω καμπύλες η αδιαστατοποίηση έγινε ως προς ρ X H ενώ 19

24 στις κάτω ως προς ρ X H L. Για κάθε τιμή της απόστασης L/ H το αντίστοιχο σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό...17 Σχήμα.9 Διάγραμμα της αδιαστατοποιημένης δυναμικής τέμνουσας στη βάση του τοίχου, στην περίπτωση συντονισμού, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων...11 Σχήμα.4 Διάγραμμα της αδιαστατοποιημένης δυναμικής ροπής στη βάση του τοίχου, στην περίπτωση συντονισμού, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων Σχήμα.41 Αδιαστατοποιημένη δυναμική τέμνουσα ( Q / ρ X H ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης συχνότητας διέγερσης ( ω / ω 1 ) για ν =., δ =.1. Οι καμπύλες είναι για L/ H = 1,5,1, > > αντίστοιχα Σχήμα.4 Αδιαστατοποιημένη δυναμική ροπή ( M / ρ X H ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης συχνότητας διέγερσης ( ω / ω 1 ) για ν =., δ =.1 και για L/ H = 1,5,1, >> αντίστοιχα Σχήμα.4 Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών οριζόντιων ορθών τάσεων στην επιφάνεια του μέσου για L/ H = και συντονισμό...11 Σχήμα.44 Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών διατμητικών τάσεων από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό Σχήμα.45 Κατανομή της αδιαστατοποιημένης (ως προς H ) δυναμικής οριζόντιας μετατόπισης από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό...11 Σχήμα.46 Κατανομή της αδιαστατοποιημένης (ως προς H ) δυναμικής κατακόρυφης μετατόπισης από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό Σχήμα.1 Προσομοίωμα συστήματος εύστρεπτων αλλά δύσκαμπτων τοίχων των Veletsos et al. [1995] Σχήμα. Προσομοίωμα εύκαμπτων τοίχων οι οποίοι έχουν στροφική ενδοσιμότητα στη βάση τους Σχήμα. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος δύσκαμπτων τοίχων ( dw = dθ = ) για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων....1 Σχήμα.4 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύστρεπτων τοίχων με dw =, dθ =.5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους....1 Σχήμα.5 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύστρεπτων τοίχων με dw =, dθ = 1 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.6 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύστρεπτων τοίχων με dw =, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.7 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύκαμπτων τοίχων με dw = 1, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.8 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 1, dθ =.5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους...15 b b

25 Σχήμα.9 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 1, dθ = 1 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.1 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 1, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.11 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύκαμπτων τοίχων με dw = 5, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.1 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 5, dθ =.5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.1 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 5, dθ = 1 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.14 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 5, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.15 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύκαμπτων τοίχων με dw = 4, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.16 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 4, dθ =.5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.17 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 4, dθ = 1 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.18 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 4, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα.19 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = (δύσκαμπτοι τοίχοι) για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα.1 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw = 4, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw = 4, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους

26 Σχήμα. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = (δύσκαμπτοι τοίχοι) για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα.4 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα.5 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw = 4, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα.6 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw = 4, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα.7 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = λόγω στατικής διέγερσης για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα Σχήμα.8 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 λόγω στατικής διέγερσης για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα Σχήμα.9 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη Σχήμα. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη Σχήμα.1 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη Σχήμα. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη Σχήμα. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη....15

27 Σχήμα.4 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων στην περίπτωση στατικής διέγερσης, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι Σχήμα.5 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων στην περίπτωση στατικής διέγερσης, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι Σχήμα.6 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι. Η συχνότητα διέγερσης ισούται με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το αντιστηριζόμενο. 157 Σχήμα.7 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. Η συχνότητα διέγερσης ισούται με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το αντιστηριζόμενο Σχήμα.8 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι. Η συχνότητα διέγερσης ισούται με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το αντιστηριζόμενο Σχήμα.9 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. Η συχνότητα διέγερσης ισούται με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το αντιστηριζόμενο Σχήμα.4 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι Σχήμα.41 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι Σχήμα.4 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι Σχήμα.4 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι Σχήμα.44 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της ευκαμψίας τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι Σχήμα.45 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της ευκαμψίας τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι Σχήμα.46 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της στροφικής ενδοσιμότητάς τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι δύσκαμπτοι Σχήμα.47 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της στροφικής ενδοσιμότητάς τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι δύσκαμπτοι

28 Σχήμα.48 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων στην περίπτωση στατικής διέγερσης, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι Σχήμα.49 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων στην περίπτωση στατικής διέγερσης, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι Σχήμα.5 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο Σχήμα.51 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο Σχήμα.5 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο Σχήμα.5 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο Σχήμα.54 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι στη βάση Σχήμα.55 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι στη βάση Σχήμα.56 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση τους. Τοίχοι δύσκαμπτοι Σχήμα.57 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση τους. Τοίχοι δύσκαμπτοι Σχήμα.58 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της ευκαμψίας τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι στη βάση...17 Σχήμα.59 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της ευκαμψίας τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι στη βάση...17 Σχήμα.6 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι δύσκαμπτοι

29 Σχήμα.61 Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι δύσκαμπτοι Σχήμα 4.1 Προσομοίωμα συστήματος μονόπακτων, εύκαμπτων, και στροφικά ενδόσιμων στη βάση τοίχων. Σε αυτό αναφέρεται η προτεινόμενη λύση του παρόντος κεφαλαίου Σχήμα 4. Δράσεις στις στηρίξεις και παραμορφωμένη γεωμετρία μονόπακτων και στροφικά ενδόσιμων στη βάση τοίχων. Η στροφική ενδοσιμότητα στη βάση ενός μονόπακτου τοίχου δεν σημαίνει απαραίτητα και στροφή αυτού Σχήμα 4. Διάγραμμα ροπών μονόπακτων και στροφικά ενδόσιμων στη βάση τοίχων. 18 Σχήμα 4.4 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος δύσκαμπτων τοίχων με απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.5 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ =.5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.6 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = 1 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.7 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.8 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 1, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.9 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 1, dθ =.5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.1 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 1, dθ = 1 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.11 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 1, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.1 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 5, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.1 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 5, dθ =.5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.14 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 5, dθ = 1 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους Σχήμα 4.15 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 5, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους

30 Σχήμα 4.16 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους...19 Σχήμα 4.17 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ =.5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους...19 Σχήμα 4.18 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = 1 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους...19 Σχήμα 4.19 Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους...19 Σχήμα 4. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα 4.1 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα 4. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα 4. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα 4.4 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα 4.5 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα 4.6 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους

31 Σχήμα 4.7 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους Σχήμα 4.8 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = λόγω στατικής διέγερσης για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα... 1 Σχήμα 4.9 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 λόγω στατικής διέγερσης για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα... 1 Σχήμα 4. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη... Σχήμα 4.1 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη... Σχήμα 4. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη... Σχήμα 4. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη... Σχήμα 4.4 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = λόγω στατικής διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τέλεια πακτωμένων στη βάση τοίχων, που φαίνονται στο Σχήμα Σχήμα 4.5 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τέλεια πακτωμένων στη βάση τοίχων, που φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη... 4 Σχήμα 4.6 Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τέλεια πακτωμένων στη βάση τοίχων, που φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη.5 Σχήμα 4.7 Επίλυση του μονόπακτου τοίχου αντιστήριξης με τη μέθοδο των δυνάμεων που βασίζεται στην αρχή των δυνατών έργων... 6 Σχήμα 4.8 Προσομοιώματα τοίχων αντιστήριξης που λύθηκαν σε διάφορα σημεία της παρούσας εργασίας. Τοίχος: Α) Πρόβολος δύσκαμπτος και στροφικά ανένδοτος στη βάση (Κεφάλαιο ), Β) Πρόβολος εύκαμπτος και στροφικά ανένδοτος στη βάση (Κεφάλαιο ), Γ) Μονόπακτος δύσκαμπτος και στροφικά ενδόσιμος στη βάση (Κεφάλαιο 4). Ο τελευταίος μπορεί να έχει στη βάση και απλή στήριξη, χωρίς στροφικό ελατήριο

32 Σχήμα 5.1 Δίκτυο Πεπερασμένων Στοιχείων για το σύστημα δύσκαμπτων τοίχων με L/H =...16 Σχήμα 5. Δίκτυο Πεπερασμένων Στοιχείων για το σύστημα εύκαμπτων τοίχων με L/H =...16 Σχήμα 5. Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης αποστασης μεταξύ των τοίχων...18 Σχήμα 5.4 Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= )...19 Σχήμα 5.5 Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ) Σχήμα 5.6 Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 5).... Σχήμα 5.7 Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 5).... Σχήμα 5.8 Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 )...1 Σχήμα 5.9 Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 )...1 Σχήμα 5.1 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= )... Σχήμα 5.11 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ).... Σχήμα 5.1 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 )... Σχήμα 5.1 Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 )... Σχήμα 5.14 Αδιαστατοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= )...4 Σχήμα 5.15 Αδιαστατοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= )....4 Σχήμα 5.16 Αδιαστατοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις 8

33 τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 ) Σχήμα 5.17 Αδιαστατοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 ) Σχήμα 5.18 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων... 6 Σχήμα 5.19 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους... 6 Σχήμα 5. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους Σχήμα 5.1 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση του συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων Σχήμα 5. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους... 8 Σχήμα 5. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους Σχήμα 5.4 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης Σχήμα 5.5 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης... 9 Σχήμα 5.6 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = 1 σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης.... Σχήμα 5.7 Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = 1 σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης... Σχήμα 5.8 Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων

34 Σχήμα 5.9 Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους...1 Σχήμα 5. Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους... Σχήμα 5.1 Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση του συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων... Σχήμα 5. Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους... Σχήμα 5. Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους... Σχήμα 5.4 Αδιαστατοποιημένη ροπή για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης...4 Σχήμα 5.5 Αδιαστατοποιημένη ροπή για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης....4 Σχήμα 5.6 Αδιαστατοποιημένη ροπή για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = 1 σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης...5 Σχήμα 5.7 Αδιαστατοποιημένη ροπή για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = 1 σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης....5 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας.1 Σύγκριση μεταξύ της αριθμητικής λύσης για αραιό και πυκνό δίκτυο Π.Σ. και της αναλυτικής λύσης για τις ιδιοσυχνότητες διαφόρων ιδιομορφών. Λεία διεπιφάνεια [Wood 197]....6 Πίνακας. Οι ιδιοσυχνότητες διαφόρων ιδιομορφών υπολογισμένες μέσω αριθμητικών λύσεων για "εγκόλλητη" διεπιφάνεια τοίχου-εδάφους [Wood 197]...6

35 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ θερμά τον κ. Πρόδρομο Ψαρρόπουλο, Δρ. Πολιτικό Μηχανικό Ε.Μ.Π., καθηγητή της Σχολής Ικάρων, και μεταδιδακτορικό ερευνητή, ο οποίος με υποστήριξε και μου πρόσφερε απλόχερα τη βοήθειά του όποτε τη χρειάστηκα. Με βοήθησε με τις γνώσεις και την εμπειρία του, με εφοδίασε με πολύτιμο υλικό, μου έμαθε τον κώδικα πεπερασμένων στοιχείων PLAXIS, έδωσε σωστές κατευθύνσεις στις προσπάθειές μου, διάβασε τα δοκίμια, και με τις εύστοχες παρατηρήσεις του βελτίωσε την ποιότητα της εργασίας μου. Στην υλοποίηση της παρούσας εργασίας συνέβαλλε σημαντικά και ποικιλοτρόπως και ο κ. Στέφανος-Αρχιμήδης Τσιμπουράκης, Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., M.Sc., μέσω των γνώσεων και της εμπειρίας του, τον οποίο ευχαριστώ ιδιαιτέρως για την πολύτιμη βοήθειά του. Μου έμαθε τον κώδικα προγραμματισμού MAPLE και αφιέρωσε χρόνο για τη μορφοποίηση των εγγράφων και τη βελτίωση της γενικότερης εικόνας της παρούσας εργασίας. Τέλος, θα ήταν σφάλμα να μην ευχαριστήσω την οικογένειά μου. Χωρίς την κατανόησή, την ενθάρρυνση και την υποστήριξη που μου παρείχε κατά τους 15 μήνες που διήρκεσε η εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας, ίσως αυτή να μην είχε ποτέ ολοκληρωθεί 1

36

37 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Όταν το Δεκέμβρη του 5 συζητούσα με τον καθηγητή των αντισεισμικών της Σχολής Ικάρων Δρ. Πρόδρομο Ψαρρόπουλο για μια διπλωματική εργασία αιχμής με ένα τόσο δύσκολο θέμα όπως η συμπεριφορά των συστημάτων τοίχων αντιστήριξης κατά τη διάρκεια ενός σεισμού, ήξερα ότι η εκπόνησή της θα απαιτούσε οπωσδήποτε μεγάλη προσπάθεια από τη μεριά μου. Η διπλωματική αυτή εργασία ολοκληρώθηκε με επιτυχία και είναι αυτή που κρατά ο αναγνώστης ανά χείρας. Για την επιτυχία αυτή συνετέλεσαν διάφοροι παράγοντες. Η εξασφάλιση ενός σωστού και ικανού υπόβαθρου γνώσεων από τον καθηγητή μου, η συνεργασία και η βοήθεια που προσέφεραν σε κάθε μου πρόβλημα τόσο ο τελευταίος όσο και οι συνεργάτες του, η αφιέρωση καθημερινά πολλών ωρών για την εκπόνησή της, εδώ και 15 μήνες, πολλές φορές εις βάρος άλλων υποχρεώσεων, και η συγκέντρωση πληροφοριών και αποτελεσμάτων από το διαδίκτυο, διάφορα συνέδρια, βιβλία και δημοσιεύσεις από ελληνικά και ξένα περιοδικά με θέματα παρεμφερή με αυτό της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι οι κυριότεροι από αυτούς. Η επιλογή του θέματος έγινε με βάση το ενδιαφέρον του συγγραφέα για τον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών, αλλά και για τη χρηστική αξία των τοίχων αντιστήριξης, οι οποίοι εμφανίζονται σε πολλές περιπτώσεις έργων, είτε μεμονωμένοι, είτε ως τμήματα συνθετότερων κατασκευών. Αναλογιζόμενος την ευθύνη απέναντι στην επιστημονική κοινότητα, που συνεπάγεται η παράδοση μιας καινοτομικής διπλωματικής εργασίας με καθαρά ερευνητικό περιεχόμενο, που ξεφεύγει από τις μέχρι τώρα γνωστές μεθόδους υπολογισμού, ο συγγραφέας κατέβαλλε πολύ μεγάλες προσπάθειες για την επιστημονική πληρότητα της εργασίας και τις εμπεριστατωμένες απόψεις που περιέχονται σε αυτήν. Καλώς ή κακώς, μετά τους μεγάλους σεισμούς του 1981 και του 1999 στην Αθήνα αλλά και αλλού στην Ελλάδα και στον κόσμο, ο τομέας των αντισεισμικών γνώρισε μεγάλη ανάπτυξη και εφαρμογή σε πάσης φύσεως κατασκευές, συμπεριλαμβανομένων και αυτών της Π.Α., ειδικά στις σεισμογενείς χώρες, όπως είναι η Ελλάδα. Έτσι, ενώ μέχρι και πριν 15 χρόνια η δυναμική ανάλυση των κατασκευών ήταν κάτι ανύπαρκτο, σήμερα, δεν νοείται στην Ελλάδα κατασκευή που δεν έχει σχεδιαστεί αντισεισμικά. Όλα τα τελευταία προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων, που χρησιμοποιούνται από τους μηχανικούς, παρέχουν τη δυνατότητα δυναμικής ανάλυσης των κατασκευών.

38 Τα συστήματα τοίχων αντιστήριξης αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι σχεδόν όλων των έργων πολιτικού μηχανικού που έρχονται σε επαφή με το έδαφος. Ο σχεδιασμός μεμονωμένων τοίχων αντιστήριξης ξεκίνησε από τα μέσα του 17ου αιώνα για να φτάσει μέχρι τις σύγχρονες μεθόδους σχεδιασμού εκ των οποίων πολλές αναλύονται στην παρούσα εργασία. Μολονότι πολλά μένουν ακόμα άγνωστα όσον αφορά τη δυναμική συμπεριφορά των τοίχων αντιστήριξης, το πεδίο έρευνας έχει ωριμάσει σε τέτοιο βαθμό ώστε να υπάρχουν σήμερα γενικά αποδεκτές θεωρίες και αναλυτικές διαδικασίες επίλυσης για πολλά σημαντικά προβλήματα σχεδιασμού. Η παρούσα διπλωματική εργασία ξεκίνησε ως προσπάθεια εξαγωγής αναλυτικών λύσεων για ένα προσομοίωμα που αποτελείται από δύο τοίχους αντιστήριξης μεταξύ των οποίων παρεμβάλλεται εδαφικό υλικό. Πειράματα με τέτοιου είδους συστήματα γίνονται αυτή την περίοδο στο Milano της Ιταλίας. Μεταξύ των ερευνητών που εμπλέκονται σε αυτά είναι και ο καθηγητής μου, ο οποίος έλαβε υπόψη του τα αποτελέσματα της παρούσας εργασίας προκειμένου να συντονίσει τα πειράματα και να δώσει οδηγίες για τη διαμόρφωση των ιδιοτήτων των κατασκευών που μελετήθηκαν σε αυτά. Σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να εισάγει τον αναγνώστη στις έννοιες, θεωρίες, και διαδικασίες επίλυσης προβλημάτων που αφορούν συστήματα τοίχων αντιστήριξης. Προσφέρεται ως ένα βοήθημα στους μηχανικούς-ερευνητές που ασχολούνται με τοίχους αντιστήριξης για την άντληση αποτελεσμάτων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για περαιτέρω προώθηση της έρευνάς τους. Πάντα ήταν η φιλοδοξία μου να ανακαλύψω και εγώ ένα πετραδάκι από την απέραντη θάλασσα της αλήθειας. Ελπίζω ότι με την προσφορά ενός τέτοιου έργου στους πολιτικούς μηχανικούς, στην Πολεμική Αεροπορία, και γενικά σε οποιονδήποτε ενδιαφέρεται για τα αντισεισμικά ή τους τοίχους αντιστήριξης, οπωσδήποτε θα προωθηθεί η επιστήμη, αλλά και ο αντισεισμικός σχεδιασμός των τοίχων αντιστήριξης θα πάρει νέα διάσταση και θα αποκτήσει νέες προοπτικές. Δεκέλεια, Μάιος 7 ΙΚ IV ΥΣΜΙΑΣ (ΜΑΕ) ΠΑΠΑΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 4

39 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ Οι κατασκευές αντιστηρίξεως εδαφών, όπως τοίχοι αντιστηρίξεως, ακρόβαθρα γεφυρών, κρηπιδότοιχοι και αγκυρωμένοι πασσαλότοιχοι, χρησιμοποιούνται ευρέως σε περιοχές σεισμικά ενεργές. Συχνά αποτελούν στοιχεία κλειδιά λιμένων, συγκοινωνιακών συστημάτων (ζωτικής σημασίας σε περίπτωση σεισμού) πόρων απαραίτητων για τη διατήρηση και συνέχιση της ομαλής κοινωνικής λειτουργίας, και άλλων κατασκευών. Οι σεισμοί προκαλούν μόνιμες παραμορφώσεις στις κατασκευές αντιστηρίξεων, όπως είχαμε την ευκαιρία να διαπιστώσουμε σε πολλά ιστορικά περιστατικά. Σε μερικές περιπτώσεις οι παραμορφώσεις αυτές ήταν αμελητέες. Σε άλλες προκάλεσαν σημαντικές βλάβες ή παρατηρήθηκε και κατάρρευση της ίδιας της κατασκευής αντιστηρίξεως με καταστροφικές υλικές και οικονομικές συνέπειες [Kramer, 1996; Pianc, 1]. Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφονται συνοπτικά διάφοροι τύποι κατασκευών αντιστηρίξεως εδαφών και γίνεται μια πρώτη προσέγγιση στο πρόβλημα της εκτίμησης των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων. Οι ζημιές που προκαλούν οι σεισμοί στις κατασκευές αντιστηρίξεως είναι στενά συνδεδεμένες με μεγάλες απώλειες, είτε οικονομικές είτε υλικές, ακόμα και σε ανθρώπινες ζωές. Για παράδειγμα οι ναυτικές εγκαταστάσεις των Η.Π.Α. υπέφεραν ένα συνολικό κόστος περίπου 75 εκατομμυρίων δολαρίων άμεσων οικονομικών ζημιών κατά τη διάρκεια των σεισμών της Loma Prieta το 1989 μεγέθους 6,9 και του Guam το 199, μεγέθους 8,1. Το λιμάνι του Kobe το 1995 είχε κόστος επισκευής εκτιμώμενο σε 5,5 δις δολάρια, τη στιγμή που οι οικονομικές απώλειες κατά τη διάρκεια των πρώτων 9 μηνών μετά το σεισμό εξαιτίας της διακοπής λειτουργίας του εκτιμήθηκε σε 6 δις δολάρια, ενώ θα μπορούσε να είναι πολύ μεγαλύτερη από το κόστος της επισκευής, ειδικά σε περιοχές που η οικονομία βασίζεται στη διακίνηση αγαθών μέσω της θάλασσας. Ως γνωστό, οι προβλήτες των λιμανιών και οι τοίχοι που στηρίζουν υπερκείμενα εδάφη, αποτελούν είδη τοίχων αντιστήριξης. Από την άλλη μεριά υπάρχουν περιπτώσεις που απαιτούνται δεκάδες χιλιόμετρα τοίχων αντιστήριξης, προκειμένου να συγκρατηθούν πρανή ώστε να κατασκευαστούν αυτοκινητόδρομοι. Έτσι το θέμα ασφαλούς και οικονομικού σχεδιασμού της κατασκευής είναι σημαντικό, καθώς αν ήταν δυνατό ο τοίχος αντιστήριξης να έχει μικρότερο πάχος, 5

40 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης αυτό θα σήμαινε σημαντική μείωση του κόστους κατασκευής. Αλλά αυτό δεν πρέπει να γίνεται εις βάρος της ασφάλειας της κατασκευής, διότι μια ενδεχόμενη αστοχία της, εκτός του ότι θα προκαλούσε βλάβες στην οδοποιία, θα υπήρχε κίνδυνος ανθρώπινων απωλειών. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι είναι επιτακτικός ο σχεδιασμός των κατασκευών αντιστηρίξεως ώστε να έχουμε ταυτόχρονα ασφάλεια και οικονομία. Αυτή ακριβώς είναι η δουλειά του γεωτεχνικού μηχανικού, να συμβιβάσει κατάλληλα τα δυο αυτά αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη. 1.. ΣΤΑΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ Το πρόβλημα της αντιστηρίξεως εδαφών είναι ένα από τα παλαιότερα στην γεωτεχνική μηχανική. Μερικές από τις πρώτες και πιο βασικές αρχές της εδαφομηχανικής αναπτύχθηκαν στην προσπάθεια μελέτης τοίχων αντιστηρίξεως. Πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις του προβλήματος έχουν γίνει και έχουν χρησιμοποιηθεί με επιτυχία. Τα τελευταία χρόνια η ανάπτυξη μεταλλικών, πολυμερικών και γεωσυνθετικών υλικών έχουν οδηγήσει σε καινοτομικούς τύπους συστημάτων αντιστηρίξεως εδαφών. Οι τοίχοι αντιστηρίξεως συχνά ταξινομούνται ανάλογα με τη μάζα τους, την ευκαμψία τους και τις συνθήκες αγκυρώσεως. Ο τοίχος βαρύτητας είναι ο αρχαιότερος και απλούστερος τύπος τοίχου αντιστηρίξεως. Είναι αρκετά παχύς και δύσκαμπτος, ώστε να θεωρείται πρακτικά απαραμόρφωτος. Ως εκ τούτου, η παραμόρφωσή του συνίσταται από μια οριζόντια μετατόπιση και μια στροφή. Οι τοίχοι μορφής προβόλου (αυτοευσταθή πετάσματα), εκτός της μετατόπισης και της στροφής, υπόκεινται σε κάμψη και βασίζονται στη δυσκαμψία τους για να αντισταθούν στις εδαφικές ωθήσεις. Η κατανομή των ωθήσεων καθ ύψος εξαρτάται από τη σχετική δυσκαμψία και παραμορφωσιμότητα τοίχου και εδάφους. Οι αγκυρωμένοι τοίχοι (πασσαλοσανίδες, πασσαλότοιχοι, διαφράγματα) έχουν περιορισμένη δυνατότητα μετακίνησης λόγω συστημάτων αγκυρώσεως, προεντεταμένων ή όχι. Σε περιπτώσεις τοίχων υπογείου ή ορισμένων τύπων ακροβάθρων γεφυρών, η κορυφή των τοίχων είναι πρακτικά αμετακίνητη λόγω των κατασκευών που αυτοί υποστηρίζουν. Η προοπτική των εγκάρσιων στηριγμάτων σε διαφορετικές θέσεις κατά μήκος ενός τοίχου προβόλου (π.χ. μονόπακτος τοίχος ή συνεχής δοκός με πάκτωση στην μία άκρη) ή της τοποθέτησης αγκυρίων σε διαφορετικές θέσεις κατά μήκος ενός αγκυρωμένου τοίχου, μπορεί να διατηρήσει τις καμπτικές ροπές σε τόσο μικρά επίπεδα ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σχετικά εύκαμπτες διατομές. Μια μεγάλη ποικιλία 6

41 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή τύπων κατασκευών τοίχων αντιστηρίξεως για αντιστήριξη εδαφών χρησιμοποιούνται σε έργα πολιτικού μηχανικού. Σύμφωνα με τον Wood [197] οι πιο συχνοί τύποι τοίχων αντιστηρίξεως διακρίνονται στο σχήμα 1.1: Τοίχος πρόβολος Τοίχος βαρύτητας Ανοικτές υδραυλικές εγκαταστάσεις Κλειστές υδραυλικές εγκαταστάσεις Ακρόβαθρα γεφυρών Κτίριο με υπόγειο πάνω σε ανένδοτο βράχο Κτίριο με υπόγειο πάνω σε ενδόσιμο εδαφικό στρώμα Σχήμα 1.1. Τύποι τοίχων αντιστηρίξεως [Wood, 197] 7

42 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Τοίχος πρόβολος Πολλοί σχετικά χαμηλοί τοίχοι είναι αυτού του τύπου. Οι πλευρικές τάσεις που προκύπτουν λόγω βαρύτητας και λόγω οριζοντίων σεισμικών αδρανειακών δυνάμεων στο έδαφος γενικά επιφέρουν σημαντική οριζόντια μετατόπιση του τοίχου. Αυτή η μετατόπιση συμβαίνει κυρίως εξαιτίας της ολίσθησης και της περιστροφής της βάσης του τοίχου και καμπτική παραμόρφωση στον κορμό του τοίχου. Η μετατόπιση του τοίχου είναι γενικά επαρκώς μεγάλη, για να προκαλέσει τη μη γραμμική συμπεριφορά του εδάφους, ή ακόμα και να προκαλέσει την πλήρη πλαστικοποίηση της εδαφικής μάζας πίσω από τον τοίχο. Για να καθορίσουμε επακριβώς τις κατανομές των εδαφικών ωθήσεων στον τοίχο είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε τη μη γραμμική θεωρία, ή τη μέθοδο της οριακής ισορροπίας. Τοίχος βαρύτητας Τοίχοι που είναι σημαντικά πιο άκαμπτοι από τον απλό τοίχο πρόβολο μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Πολλοί κρηπιδότοιχοι σε λιμάνια είναι αυτής της κατηγορίας. Η οριζόντια μετατόπιση του τοίχου είναι αποτέλεσμα κυρίως της στροφής και της ολίσθησης της βάσης. Συχνά οι παραμορφώσεις προκαλούμενες από σεισμό σχετικά ψηλών κατασκευών αυτού του τύπου είναι επαρκώς μεγάλες για να προξενήσουν σημαντικά μη γραμμική συμπεριφορά του εδάφους. Επειδή μια ακριβής ανάλυση είναι πολύ δύσκολο να γίνει σε αυτήν την περίπτωση, μια χρήσιμη προσέγγιση είναι να υπολογίσουμε τις εδαφικές ωθήσεις χρησιμοποιώντας και την θεωρία ελαστικότητας, και μια προσεγγιστική μέθοδο πλαστικής ανάλυσης. Οι τοίχοι βαρύτητας μπορεί να έχουν σημαντικά μεγάλη μάζα και έτσι η αδρανειακή τους δύναμη πρέπει να λαμβάνεται υπόψιν. Ανοικτές υδραυλικές εγκαταστάσεις Συχνά αυτές είναι ενσωματωμένες στο έδαφος. Οι πλευρικές εδαφικές ωθήσεις αναπτύσσονται στους κάθετους πρόβολους τοίχους από σεισμικά φορτία και φορτία βαρύτητας. Οι τοίχοι είναι σημαντικά πιο δύσκαμπτοι από τους συνηθισμένους προβόλους εξαιτίας της οριζόντιας πλάκας που τους αλληλοσυνδέει και που περιορίζει τη στροφή και τη μετατόπιση στη θεμελίωση. Εάν ο τοίχος είναι σχετικά χαμηλός η απόκριση του εδάφους μπορεί να είναι στην ουσία ελαστική και οι ελαστικές αναλύσεις μπορεί συνήθως να είναι κατάλληλες. Κλειστές υδραυλικές εγκαταστάσεις Σε μερικές περιπτώσεις οι υδραυλικές εγκαταστάσεις καλύπτονται με μια πλάκα που 8

43 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή κατασκευάζεται κατά μήκος των κορυφών των κατακόρυφων τοιχείων. Αυτή επιβάλλει επιπρόσθετη δυσκαμψία στα κατακόρυφα στοιχεία, αφού αποτρέπει την οριζόντια μετακίνηση των κορυφών μεταξύ τους. Καμπτικές παραμορφώσεις συμβαίνουν στα τμήματα των τοίχων ανάμεσα στην πάνω και κάτω πλάκα, αλλά αυτές μπορεί να είναι τόσο μικρές ώστε μια ικανοποιητική ανάλυση να επιτυγχάνεται με την ελαστική θεωρία. Ακρόβαθρα γεφυρών Οι δυναμικές ωθήσεις που αναπτύσσονται στους τοίχους των ακρόβαθρων γεφυρών εξαρτώνται πάρα πολύ από τον τύπο της σύνδεσης μεταξύ της ανωδομής της γέφυρας και του ακρόβαθρου. Αν αυτή είναι πάκτωση ή άρθρωση τότε οι σεισμικές εδαφικές ωθήσεις θα εξαρτηθούν σημαντικά από τις δυναμικές ιδιότητες της γέφυρας. Αν είναι οριζόντια κύλιση τότε ο τοίχος μπορεί να συμπεριφερθεί με έναν τρόπο παρόμοιο με αυτούς που περιγράφηκαν παραπάνω. Κτίριο με υπόγειο πάνω σε ανένδοτο βράχο Οι αδρανειακές δυνάμεις του κτιρίου που αναπτύσσονται κατά το σεισμό προκαλούν παραμορφώσεις και στην κατασκευή και στα θεμέλια που οδηγούν σε οριζόντια μετακίνηση της κατασκευής σχετικά με το έδαφος. Οι σεισμικές εδαφικές ωθήσεις στους τοίχους των υπογείων μπορούν εύκολα να ληφθούν ως υπέρθεση των τάσεων που οφείλονται στη μετατόπιση της κατασκευής και των αδρανειακών δυνάμεων στην εδαφική στρώση. Συχνά τα αντιστηρίζοντα το έδαφος στοιχεία σε κτίρια είναι συνεχή τοιχεία με αυξημένη δυσκαμψία λόγω των υποστυλωμάτων που φέρουν εσωτερικά και οι καμπτικές παραμορφώσεις της πλάκας μεταξύ των υποστυλωμάτων μπορεί να κάνει την ανάλυση τέτοιων συστημάτων ακόμα πολυπλοκότερη. Γενικά, η μη γραμμική συμπεριφορά για τοίχους τέτοιου τύπου είναι μάλλον απίθανη. Κτίριο με υπόγειο επάνω σε ενδόσιμο εδαφικό στρώμα Αυτό μπορεί να θεμελιωθεί σε πασσάλους που φτάνουν μέχρι τον άκαμπτο βράχο, ή ένα σκληρό εδαφικό στρώμα. Εναλλακτικά το κτίριο μπορεί να στηρίζεται σε γενική κοιτόστρωση. Και στις δυο περιπτώσεις εάν το έδαφος είναι σχετικά μαλακό μπορεί να επέλθει σημαντική σχετική μετακίνηση της βάσης του κτιρίου, καθιστώντας την ανάλυση σημαντικά πιο δύσκολη από αυτήν για τον προηγούμενο τύπο τοίχου. Δεν είναι δυνατό να προσδιοριστεί εάν είναι η ελαστική ή η πλαστική ανάλυση πιο κατάλληλη για αυτόν τον τύπο. Κάθε πρόβλημα αυτής της κατηγορίας χρειάζεται προκαταρκτική μελέτη για να καθοριστεί η πιο κατάλληλη μέθοδος ανάλυσης. Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε ότι 9

44 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης εάν η σχετική μετακίνηση της θεμελίωσης της κατασκευής είναι αρκετή για να δημιουργήσει μια πλαστική εντατική κατάσταση στους τοίχους η μέγιστη κατανομή των εδαφικών ωθήσεων προφανώς θα καθοριστεί από τις παθητικές ωθήσεις και όχι από τις ενεργητικές, όπως γίνεται στη μέθοδο Mononobe-Okabe. Οι δυνάμεις που δέχεται ο τοίχος λόγω παθητικών ωθήσεων θα είναι περίπου δεκαπλάσιες από τις αντίστοιχες των ενεργητικών. 1.. ΜΟΡΦΕΣ ΑΣΤΟΧΙΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ Στη μελέτη τοίχων αντιστηρίξεως είναι απαραίτητο να ορίσουμε την αστοχία και τους τρόπους με τους οποίους αυτή επέρχεται. Οι βασικές μορφές αστοχίας διακρίνονται στο σχήμα 1.. Υπό στατικές συνθήκες, στους τοίχους δρουν μαζικές δυνάμεις σχετιζόμενες με τη μάζα του τοίχου, εδαφικές ωθήσεις και εξωτερικές δυνάμεις όπως αυτές που μεταφέρονται από τα αγκύρια. Ένας σωστά σχεδιασμένος τοίχος επιτυγχάνει ισορροπία αυτών των δυνάμεων χωρίς να επιβάλλει στο έδαφος διατμητικές τάσεις που να πλησιάζουν την διατμητική αντοχή του. Παρ όλα αυτά, κατά τη διάρκεια ενός σεισμού, οι αδρανειακές δυνάμεις και οι μεταβολές στην αντοχή του εδάφους είναι πιθανό να «παραβιάσουν» τις συνθήκες ισορροπίας και να προκαλέσουν μόνιμες παραμορφώσεις στον τοίχο. Αστοχία, υπό μορφή ολίσθησης, στροφής, κάμψης, ή κάποιου άλλου μηχανισμού, επέρχεται όταν οι μόνιμες αυτές παραμορφώσεις γίνουν υπερβολικές. Για να δοθεί η απάντηση στο ερώτημα «ποιες παραμορφώσεις θεωρούνται υπερβολικές», πρέπει να εξεταστούν πολλές παράμετροι. Ολίσθηση συμβαίνει όταν δεν πληρούνται συνθήκες ισορροπίας των οριζοντίων δυνάμεων (π.χ. όταν η συνισταμένη δύναμη των εδαφικών ωθήσεων υπερβαίνει τη διαθέσιμη αντίσταση μέσω τριβής στη βάση του τοίχου). Ανατροπή συμβαίνει όταν δεν ικανοποιείται η ισορροπία ροπών. Η περίπτωση αυτή περιλαμβάνει και την υπέρβαση της φέρουσας ικανότητας του εδάφους θεμελιώσεως. Οι τοίχοι αντιστηρίξεως μπορεί να υποστούν βλάβες λόγω ολικής αστάθειας τόσο του αντιστηριζόμενου εδάφους, όσο και του εδάφους θεμελιώσεως. Τέτοιου είδους αστοχίες μπορούν να αντιμετωπιστούν ως τα προβλήματα αστάθειας πρανών. Οι τοίχοι μορφής προβόλου υπόκεινται στους ίδιους μηχανισμούς αστοχίας με τους τοίχους βαρύτητας, καθώς επίσης και σε μηχανισμούς καμπτικής αστοχίας. Οι εδαφικές ωθήσεις και οι καμπτικές ροπές εξαρτώνται από τη γεωμετρία, δυσκαμψία, και αντοχή του 4

45 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή συστήματος τοίχου-εδάφους. Στην περίπτωση που οι απαιτούμενες για την ισορροπία καμπτικές ροπές ξεπεράσουν την καμπτική αντοχή του τοίχου, θα έχουμε καμπτική αστοχία του τοίχου. Οι αγκυρωμένοι/αντηριδωτοί τοίχοι αστοχούν συνήθως λόγω ολικής αστάθειας, ανατροπής, καμπτικής αστοχίας, ή/και αστοχία των αγκυρίων/αντηρίδων. Η ανατροπή αυτών των τοίχων πρακτικά σημαίνει περιστροφή γύρω από το σημείο εφαρμογής του όποιου περιορισμού μετακίνησης, δηλαδή γύρω από την κορυφή του τοίχου σε περιπτώσεις ακροβάθρων γεφυρών και τοίχων υπογείων. Αγκυρωμένοι πασσαλότοιχοι με ανεπαρκές βάθος εμπήξεως μπορεί να ανατραπούν λόγω «πετάγματος» του πόδα προς τα έξω. Όπως και στην περίπτωση των αυτοευσταθών πετασμάτων, έτσι και στους αγκυρωμένους τοίχους είναι δυνατή η καμπτική αστοχία, παρ όλο που το σημείο της αστοχίας (εμφάνιση μέγιστων καμπτικών ροπών) πιθανότατα θα είναι διαφορετικό. Η αστοχία των μελών της αγκύρωσης περιλαμβάνει εξόλκευση του σώματος αγκύρωσης, θραύση του αγκυρίου ή λυγισμό σε περίπτωση αντηριδωτού τοίχου. Ακόμα, πρόσθετη αξονική και εγκάρσια ένταση δύναται να αναπτυχθεί στα αγκύρια, λόγω των καθιζήσεων του αντιστηριζόμενου εδάφους. Ολίσθηση Ανατροπή Ολική αστάθεια Εδαφικές ωθήσεις Καμπτικές ροπές Καμπτική αστοχία Σχήμα 1.. Δυνατές μορφές αστοχίας τοίχων βαρύτητας και εύκαμπτων τοίχων. 41

46 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Στροφή ακροβάθρου γέφυρας περί την κορυφή Στροφή αγκυρωμένου πασσαλότοιχου λόγω έλλειψης παθητικής αντίστασης στον πόδα Έλλειψη φέρουσας ικανότητας αγκυρίου Σχήμα 1.. Δυνατές μορφές αστοχίας αγκυρωμένων / αντηριδωτών τοίχων ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ Η δυναμική απόκριση ακόμα και του πιο απλού τοίχου αντιστήριξης είναι αρκετά πολύπλοκη. Οι μετακινήσεις του τοίχου και οι πιέσεις που ασκούνται σε αυτόν εξαρτώνται από την απόκριση του εδάφους κάτω από τον τοίχο, την απόκριση του εδάφους επιχώσεως, την αδρανειακή και καμπτική απόκριση του ίδιου του τοίχου, και τη φύση της επιβαλλόμενης κίνησης. Από τη στιγμή που οι καλά τεκμηριωμένες επί τόπου μετρήσεις απόκρισης τοίχων σε πραγματικούς σεισμούς είναι ελάχιστες, η κατανόηση του φαινομένου προέρχεται κυρίως από πειράματα (πραγματικής κλίμακας, ή υπό κλίμακα σε φυγοκεντριστή) και αριθμητικές αναλύσεις. Αυτά τα πειράματα και οι αναλύσεις, η πλειονότητα των οποίων περιλαμβάνει τοίχους βαρύτητας, υποδεικνύουν ότι: (α) (β) (γ) Οι τοίχοι μετακινούνται λόγω οριζόντιας μετατόπισης ή/και λόγω στροφής. Το σχετικό μέγεθος της οριζόντιας μετατόπισης ως προς τη στροφή εξαρτάται από τον σχεδιασμό του τοίχου. Σε μερικούς τοίχους, «υπερισχύει» η μία μετακίνηση ως προς την άλλη [Nadim and Whitman, 1984] ενώ σε άλλους συμβαίνουν και οι δυο εξίσου [Siddharthan et al., 199]. Το μέγεθος και η κατανομή των δυναμικών ωθήσεων επηρεάζεται από τον τύπο της μετακίνησης του τοίχου (π.χ. οριζόντια μετατόπιση, στροφή περί τη βάση ή στροφή περί την κορυφή) [Sherif et al., 198; Sherif and Fan, 1984]. Η συνισταμένη των εδαφικών ωθήσεων λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της όταν ο τοίχος «πλησιάζει» το έδαφος (δηλ. όταν η αδρανειακή δύναμη έχει φορά προς το αντιστηριζόμενο έδαφος). Αντίστοιχα λαμβάνει την ελάχιστη τιμή όταν ο τοίχος έχει «απομακρυνθεί» από το έδαφος. 4

47 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή (δ) (ε) Η κατανομή των εδαφικών ωθήσεων καθ ύψος του τοίχου αλλάζει σχήμα καθώς ο τοίχος μετακινείται. Συνεπώς, το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης ώθησης αλλάζει θέση. Βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο όταν ο τοίχος πλησιάζει το έδαφος και στο χαμηλότερο σημείο όταν ο τοίχος έχει απομακρυνθεί από αυτό. Οι δυναμικές ωθήσεις επηρεάζονται από τη δυναμική απόκριση του τοίχου και του εδάφους επιχώσεως και δύνανται να αυξηθούν σημαντικά όταν η θεμελιώδης συχνότητα της σεισμικής διέγερσης πλησιάζει την ιδιοσυχνότητα του συστήματος τοίχου-εδάφους [Steedman and Zen, 199]. Το ίδιο ισχύει και για τις μόνιμες μετατοπίσεις του τοίχου [Nadim, 198]. Εξάλλου, επακόλουθο της δυναμικής απόκρισης του συστήματος τοίχου-εδάφους είναι ορισμένα σημεία του τοίχου καθ ύψος να βρίσκονται εκτός φάσεως. Το φαινόμενο αυτό μπορεί να είναι ιδιαίτερα έντονο σε περιπτώσεις όπου ο τοίχος δεν εδράζεται απλά στο έδαφος θεμελιώσεως, αλλά είναι εγκιβωτισμένος σε αυτό. (στ) Είναι δυνατόν να υπάρχουν αυξημένες παραμένουσες ωθήσεις στον τοίχο μετά το τέλος ενός ισχυρού σεισμικού επεισοδίου [Whitman, 199] ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΕΔΑΦΙΚΕΣ ΩΘΗΣΕΙΣ ΣΕ ΤΟΙΧΟΥΣ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ Μια συνήθης αντισεισμική μελέτη τοίχου αντιστήριξης περιλαμβάνει την εκτίμηση των φορτίων που επιβάλλονται στον τοίχο κατά τη διάρκεια σεισμικής διέγερσης και έπειτα την εξασφάλιση ότι ο τοίχος δύναται να αναλάβει τα φορτία αυτά με ασφάλεια. Καθώς η εκτίμηση των πραγματικών φορτίων είναι πρακτικά αδύνατη, λόγω της πολυπλοκότητας του φαινομένου, η εκτίμηση των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων γίνεται με χρήση απλοποιητικών μεθόδων. Η συμπεριφορά των τοίχων κατά τη διάρκεια των σεισμικών διεγέρσεων μπορεί να ταξινομηθεί ευρέως σε τρεις κατηγορίες, που μπορούν να οριστούν με βάση την μέγιστη τάση που αναπτύσσεται στο έδαφος δίπλα στον τοίχο. Για μετατοπίσεις της κατασκευής που προκαλούνται από σεισμό ή φορτία βαρύτητας, οι οποίες είναι μικρές, μετρημένες σε σχέση με ένα σημείο του εδάφους σε μια μέτρια απόσταση από τον κατασκευή, το έδαφος δίπλα στον τοίχο θα αποκριθεί στην ουσία γραμμικά ελαστικά. Σε αυτή την κατηγορία μεθόδων έχουν συνεισφέρει οι Matuo and Ohara [196], Wood [197] και οι Veletsos and Younan [1994, 1995, 1997]. Σε επόμενο κεφάλαιο περιγράφονται αναλυτικά η προσεγγίσεις αυτές, των οποίων η επαλήθευση και επέκταση αποτελεί σημαντικό κομμάτι 4

48 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης της παρούσας εργασίας. Στη δεύτερη κατηγορία οι παραμορφώσεις που προκαλούνται στον τοίχο είναι επαρκώς μεγάλες ώστε να προξενούν σημαντική μη γραμμική απόκριση του εδάφους. Εδώ έχουν συνεισφέρει οι Siller et al. [1991] καθώς και οι Nadim and Whitman [198] και Al-Homoud and Whitman [1994, 1999]. Με αυξανόμενες σχετικές παραμορφώσεις του τοίχου, στην τρίτη κατηγορία, εκδηλώνεται μια κατάσταση πλήρους πλαστικοποίησης στο έδαφος. Αντιπροσωπευτικές της τρίτης προσέγγισης είναι η περίφημη μέθοδος Mononobe - Okabe [Mononobe and Matuo, 199; Okabe, 196] και οι διάφορες παραλλαγές της [Seed and Whitman, 197; Richards and Elms, 1979; Nadim and Whitman, 198; Steedman-Zen, 199; Whitman and Liao, 1985]. Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτοί οι ορισμοί είναι έως ένα βαθμό υπεραπλουστευτικοί, δοθέντος ότι γενικά οι τάσεις που αναπτύσσονται στο έδαφος επηρεάζονται, εκτός από τις προκαλούμενες παραμορφώσεις της κατασκευής λόγω φορτίου, και από άλλους παράγοντες. Για παράδειγμα πολύ ισχυρές σεισμικές εδαφικές δονήσεις πιθανό να επιφέρουν στο έδαφος μια μη γραμμική συμπεριφορά, ή ακόμα και μια κατάσταση πλήρους πλαστικοποίησης, στην περίπτωση ενός ιδανικά άκαμπτου τοίχου που συγκρατεί ένα πολύ μαλακό έδαφος. Πρέπει να αναφέρουμε ότι ακόμα και τα φορτία βαρύτητας, όταν ενεργούν μόνα τους, μπορεί να δημιουργήσουν μια κατάσταση πλήρους πλαστικοποίησης στο αντιστηριζόμενο έδαφος. Αυτή η περίπτωση συναντιέται συχνά σε πρόβολους τοίχους αντιστήριξης, οι οποίοι γενικά είναι πολύ εύκαμπτες κατασκευές. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων πίσω από τον τοίχο θα έπρεπε να εξαρτάται από την κατηγορία της επικρατέστερης συμπεριφοράς κατά τη διάρκεια του σεισμού. Γενικά, η εντατική κατάσταση που αναπτύσσεται θα είναι βασικά μια συνάρτηση της δυσκαμψίας της κατασκευής, των δυναμικών ιδιοτήτων της, της δυσκαμψίας της θεμελίωσης, της σκληρότητας και της αντοχής του εδάφους και του μεγέθους των σεισμικών δονήσεων. Οι εδαφικές ωθήσεις και οι σχετιζόμενες με αυτές δυνάμεις που υπολογίζονται από ελαστικές αναλύσεις είναι από,5 έως και φορές μεγαλύτερες από αυτές της μεθόδου Mononobe-Okabe. Στις μέρες μας η πιο γενικά αποδεκτή μέθοδος υπολογισμού των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων σε τοίχους είναι η Mononobe-Okabe (από εδώ και στο εξής για συντομία θα συμβολίζεται με Μ-Ο) που είναι μια προσεγγιστική θεωρία πλαστικής ανάλυσης. Μολονότι αυτή η μέθοδος έχει έναν αριθμό περιορισμών, φαίνεται να δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα για τις περισσότερες περιπτώσεις όπου αυτοί ικανοποιούνται. Ωστόσο, δεν υπάρχουν απλές αναλυτικές μέθοδοι για περιπτώσεις όπου οι 44

49 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή τάσεις του εδάφους παίρνουν τιμές ενδιάμεσες ανάμεσα στην πλήρως ελαστική συμπεριφορά και στην κατάσταση πλήρους πλαστικοποίησης. Αριθμητικές μέθοδοι, όπως η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Άλλος τρόπος είναι να βρεθούν τα πάνω και κάτω όρια των ωθήσεων, που υπολογίζονται αντίστοιχα από ελαστικές αναλύσεις, και αναλύσεις πλήρους πλαστικοποίησης. Έτσι, έχουν επικρατήσει οι αναλύσεις οριακής ισορροπίας, οι οποίες χρησιμοποιούνται ευρέως, ακόμα και σε περιπτώσεις που δεν είναι εφαρμόσιμες. Γενικά οι μηχανικοί δεν βασίζονται πολύ σε ελαστικές μεθόδους: τις θεωρούν πολύ συντηρητικές, και συνεπώς αντιοικονομικές και ακατάλληλες για εφαρμογή. Από την άλλη μεριά οι ελαστικές αναλύσεις δεν λαμβάνουν υπόψη τους την ενδοσιμότητα του συστήματος τοίχου-θεμελίωσης, που υφίσταται στην πράξη. Στην ουσία ο πλήρως άκαμπτος, άστρεπτος, και αμετάθετος τοίχος αποτελεί μια εξιδανίκευση. Εξάλλου, σχετικά μικρές παραμορφώσεις του τοίχου, μπορούν να οδηγήσουν σε σημαντική τροποποίηση της κατανομής των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων, που υπολογίζεται στην περίπτωση του ιδανικά άκαμπτου τοίχου, ενώ την ίδια στιγμή το έδαφος διατηρεί πλήρως τη γραμμική ελαστική συμπεριφορά του. Κύριος σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι ο υπολογισμός των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων που αναπτύσσονται πίσω από τοίχους αντιστήριξης λόγω του αντιστηριζόμενου εδάφους, του οποίου η συμπεριφορά παραμένει γραμμική ελαστική, κατά τη διάρκεια ενός σεισμού. Κατά τη μελέτη των προκαλούμενων παραμορφώσεων ενός τοίχου είναι καλό να θεωρήσουμε δύο οριακούς τύπους συμπεριφοράς: (α) (β) Στην πρώτη προσέγγιση, για έναν τοίχο που έχει πολύ μικρή μάζα σε σχέση με τη μάζα του αντιστηριζόμενου εδάφους κοντά στον τοίχο, η παραμόρφωσή του θα οφείλεται κυρίως στις πλευρικές εδαφικές ωθήσεις που δημιουργούνται λόγω των αδρανειακών δυνάμεων του εδάφους και μπορεί να περιλαμβάνει παραμορφώσεις καί του τοίχου, καί του εδάφους το οποίο μπορεί είτε να αντιστηρίζεται, είτε να βρίσκεται στη βάση του τοίχου. Στην δεύτερη προσέγγιση, ο τοίχος θεωρείται ότι έχει μάζα συγκρίσιμη με τη μάζα του αντιστηριζόμενου εδάφους, και έτσι οι δυναμικές σταθερές της κατασκευής, δηλαδή του τοίχου (μάζα και δυσκαμψία) θα αποκτήσουν σημασία ως παράμετροι στον καθορισμό των παραμορφώσεων. Ωστόσο, μπορεί να παρατηρηθεί συμπεριφορά ενδιάμεση μεταξύ των δυο αυτών περιπτώσεων και συχνά αυτή 45

50 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης επιλύεται ικανοποιητικά με υπέρθεση των λύσεων των δυο παραπάνω ακραίων περιπτώσεων. Μια ακριβής διατύπωση της αλληλεπίδρασης των κατασκευών τοίχων αντιστήριξης και του αντιστηριζόμενου εδάφους κατά τη διάρκεια των σεισμών αποδίδει ένα πρόβλημα που διέπεται από μη γραμμικές τρισδιάστατες κυματικές εξισώσεις για ένα ανομοιογενές μέσο. Αποδεικνύεται ότι στην περίπτωση που το μέσο συμπεριφέρεται στο σύνολό του γραμμικά ελαστικά, και έχουμε ομαλή μεταβολή των ιδιοτήτων του καθ ύψος και κατά μήκος, υπάρχει κλειστή λύση των διαφορικών εξισώσεων ελαστικότητας για επίπεδη ένταση. Όπως είδαμε προηγουμένως, η εκλογή της μεθόδου υπολογισμού των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων στον τοίχο εξαρτάται από το μέγεθος των παραμορφώσεων του τοίχου σε σχέση με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους, που υποθέτουμε ότι συμβαίνουν κατά τη διάρκεια του σεισμού. Από την άλλη μεριά, οι προκαλούμενες παραμορφώσεις στον τοίχο εξαρτώνται από τις αναπτυσσόμενες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τον τοίχο. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι δεν είναι εύκολο να καθοριστεί, μεταξύ των ωθήσεων και των παραμορφώσεων, ποια από τις δυο είναι το αίτιο και ποια το αποτέλεσμα. Το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι υπάρχει μια πολύ στενή σχέση αλληλεπίδρασης μεταξύ των δυο, αφού σε τελική ανάλυση, οι παραμορφώσεις εξαρτώνται από τις ωθήσεις και οι ωθήσεις από τις παραμορφώσεις. Αυτή η αλληλεπίδραση εκδηλώνεται σε κάθε κατασκευή πολιτικού μηχανικού που έρχεται σε επαφή με το έδαφος και είναι ο λόγος που καθιστά αδύνατη την ύπαρξη αναλυτικών λύσεων για την εξαγωγή των οποίων χρησιμοποιούνται μαθηματικές σχέσεις τάσεων - παραμορφώσεων. Μόνο οι αναλυτικές λύσεις που προκύπτουν χωρίς τη χρησιμοποίηση υποθέσεων ή εξισώσεων για τη σχέση τάσεων παραμορφώσεων στο αντιστηριζόμενο μέσο, μπορούμε να λέμε ότι περιγράφουν πλήρως την παραπάνω αλληλεπίδραση. Τέτοιες αναλυτικές λύσεις δεν έχουν εξαχθεί μέχρι σήμερα. Όσες έχουν προκύψει περιλαμβάνουν τουλάχιστο μια υπόθεση για τη σχέση τάσεων παραμορφώσεων που περιγράφει το σύστημα τοίχου εδάφους. Στην ουσία, μόνο αριθμητικές ή επαναληπτικές μέθοδοι μπορούν να προσεγγίσουν την πραγματικότητα, όπως π.χ. οι μέθοδοι των Πεπερασμένων Στοιχείων (Π.Σ.), Πεπερασμένων Διαφορών, Συνοριακών Στοιχείων, κ.λπ. Όσο τα στοιχεία έχουν μικρότερο μέγεθος, τόσο πιο ακριβής είναι η ανάλυση. Τα Π.Σ. μπορούν να προσομοιάσουν οποιεσδήποτε ιδιότητες του εδάφους και του τοίχου, οποιαδήποτε συμπεριφορά, και οποιαδήποτε σεισμική διέγερση. Έτσι είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για να ληφθεί υπόψη αυτή η αλληλεπίδραση τοίχου εδάφους. 46

51 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1.6. ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Στα κεφάλαια που θα ακολουθήσουν επιλύονται τα παρακάτω προσομοιώματα τοίχων αντιστηρίξεως: (α) (β) (γ) Σε ομοιογενή στρώση ιξωδο-ελαστικού υλικού, ελεύθερη στην άνω επιφάνεια, δεσμευμένη σε μια άκαμπτη βάση, αντιστηριζόμενη καθ ύψος των κατακορύφων συνόρων της από ομοιογενείς, άκαμπτους τοίχους πλήρως πακτωμένους στη βάση τους (Κεφάλαιο ). Σε ομοιογενή στρώση ιξωδο-ελαστικού υλικού, ελεύθερη στην άνω επιφάνεια, δεσμευμένη σε μια άκαμπτη βάση, αντιστηριζόμενη καθ ύψος των κατακορύφων συνόρων της από ομοιογενείς, εύκαμπτους τοίχους ελαστικώς περιοριζόμενους έναντι στροφής στη βάση τους (Κεφάλαιο ). Σε ομοιογενή στρώση ιξωδο-ελαστικού υλικού, ελεύθερη στην άνω επιφάνεια, δεσμευμένη σε μια άκαμπτη βάση, αντιστηριζόμενη καθ ύψος των κατακορύφων συνόρων της από ομοιογενείς, εύκαμπτους τοίχους ελαστικώς περιοριζόμενους έναντι στροφής στη βάση τους και ανένδοτους στην κορυφή μέσω κυλίσεως (Κεφάλαιο 4). Στο τελευταίο κεφάλαιο (Κεφάλαιο 5) γίνεται η αριθμητική ανάλυση των προσομοιωμάτων του ου και ου κεφαλαίου με τον κώδικα Πεπερασμένων Στοιχείων PLAXIS και παρουσιάζονται τα διάφορα αποτελέσματα. Στόχος των παραπάνω αναλύσεων είναι: Ο υπολογισμός των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων που αναπτύσσονται πίσω από τους τοίχους καθώς και των παραμορφώσεων που αυτοί υφίστανται λόγω των πρώτων. Ο υπολογισμός των δράσεων στα σημεία στήριξης των τοίχων (δηλαδή στη βάση σε περίπτωση τοίχων προβόλων) δηλαδή των τεμνουσών και των ροπών. 47

52 48 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης

53 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΥΣΚΑΜΠΤΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤHΡΙΞΕΩΣEquation Section.1. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ WOOD [197] Η μελέτη που έκανε ο Wood στο διδακτορικό του το 197 υποκινήθηκε από την έλλειψη που υπήρχε τότε σε καλώς ορισμένες μεθόδους και δεδομένα σχεδιασμού για τον υπολογισμό των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων οι οποίες αναπτύσσονται σε κατασκευές που αντιστηρίζουν εδάφη, τα οποία παραμένουν στην ελαστική περιοχή κατά τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης. Το προσομοίωμα του Wood αποτελείται από δύο άκαμπτους, άστρεπτους και αμετακίνητους τοίχους, που συνδέονται μονολιθικά με μια άκαμπτη βάση, κάθετα προς αυτή. Το όλο σύστημα μοιάζει με ένα ανάποδο Π (βλέπε Σχήμα.1). Τα δυο ακραία κατακόρυφα σύνορα αντιπροσωπεύουν ανένδοτους τοίχους οι οποίοι είναι λείοι όταν έρχονται σε επαφή με το αντιστηριζόμενο έδαφος. Αυτό σημαίνει ότι δεν του προσδίδουν διατμητικές τάσεις. Το κατώτερο οριζόντιο σύνορο αντιπροσωπεύει ένα άκαμπτο στρώμα βράχου, το οποίο δεν επιτρέπει καμία σχετική παραμόρφωση μεταξύ δυο οποιωνδήποτε σημείων του. Μεταξύ των τοίχων υπάρχει έδαφος με σταθερά τα: μέτρo ελαστικότητας μέτρο διάτμησης, και πυκνότητα. Το στρώμα αυτό υποβάλλεται σε σεισμική διέγερση, ενώ το ζητούμενο είναι οι αναπτυσσόμενες σεισμικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους. Ο Wood υπολογίζει το παραπάνω προσομοίωμα για τις εξής τρεις περιπτώσεις: (α) (β) (γ) στο σύστημα επιβάλλεται μια οριζόντια μοναδιαία επιτάχυνση (στατικές κατανομές) στο σύστημα δεν επιβάλλεται καμία επιτάχυνση, ούτε η άκαμπτη βάση διεγείρεται από σεισμό, αλλά το σύστημα εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση, εξαιτίας μιας αρχικής διέγερσης (δυναμικές κατανομές). επιβάλλεται μια αρμονική διέγερση στη βάση, για ικανό χρονικό διάστημα, έτσι ώστε το σύστημα να περάσει σε μια σταθερή κατάσταση εξαναγκασμένης ταλάντωσης στην οποία αυτό ταλαντώνεται με σταθερό πλάτος (δυναμικές κατανομές). Και στις τρεις περιπτώσεις, οι πλευρικοί τοίχοι δεν μεταφέρουν διατμητικές τάσεις στο έδαφος, αλλά αποκλείουν την οριζόντια μετακίνησή του. Η άκαμπτη βάση αποκλείει και 49

54 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης yv, σ = y τ = xy Ομογενές ελαστικό εδαφικό στρώμα (επίπεδη ένταση) H u = τ = xy u = v = Δύσκαμπτοι τοίχοι dw = dθ = x, u Άκαμπτη βάση x i t = Xe ω L Σχήμα.1. Προσομοίωμα του Wood [197]. Στο προσομοίωμα αυτό αναφέρεται και η πρώτη προτεινόμενη λύση. την οριζόντια και την κατακόρυφη μετακίνηση του εδάφους στο σύνορό της. Στην ελεύθερη επιφάνεια δεν έχουμε ούτε ορθές ούτε διατμητικές τάσεις, όπως είναι αναμενόμενο (βλέπε Σχήμα.1). Οι βασικές υποθέσεις που κάνει ο Wood κατά τις επιλύσεις του αφορούν αφενός την σεισμική διέγερση, και αφετέρου το σύστημα τοίχου εδάφους. Σεισμική διέγερση: 1. επιβάλλεται μια επιτάχυνση κάτω από το αντιστηριζόμενο έδαφος, στη βάση της κατασκευής, ή σε οριζόντιο επίπεδο αναφοράς κάτω από την κατασκευή, η οποία μεταβάλλεται αυθαίρετα με το χρόνο.. η κίνηση αυτή είναι χωρικά σταθερή, κατά μήκος της βάσης.. η χρονική εξάρτηση των συχνοτήτων που περιλαμβάνει η παραπάνω επιτάχυνση είναι παρόμοια με αυτές που έχουν καταγραφεί σε πραγματικούς σεισμούς. 4. τα διατμητικά κύματα που φτάνουν στο αντιστηριζόμενο μέσο υπό μια ενδιάμεση γωνία μεταξύ της καθέτου και της οριζόντιας, καθώς και τα επιφανειακά κύματα έχουν μήκη κύματος τουλάχιστον δεκαπλάσια του ύψους του τοίχου. Οι παραπάνω υποθέσεις είναι ικανές ώστε να μπορούμε να θεωρούμε ότι τα επερχόμενα κύματα στο αντιστηριζόμενο μέσο είναι διατμητικά κύματα τα οποία διαδίδονται κάθετα. 5

55 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης Σύστημα τοίχου-εδάφους: 1. οι δυο τοίχοι και η βάση είναι τελείως άκαμπτοι.. δεν έχουμε υδατικές πιέσεις. Το έδαφος υποτίθεται ότι βρίσκεται σε κατάσταση μη κορεσμού από το νερό.. το έδαφος είναι ισοτροπικό. 4. κάθε σημείο του εδάφους, βρίσκεται στη γραμμικά ελαστική περιοχή κατά τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης. Οι αναλυτικές λύσεις για τα τρία προαναφερθέντα προσομοιώματα είναι οι εξής: ο προσομοίωμα Ο Wood προσπαθεί να εκφράσει τις συναρτήσεις μετατόπισης u και v ως αθροίσματα απείρων όρων, καθένας από τους οποίους είναι γινόμενο μιας συνάρτησης μετατόπισης η οποία εξαρτάται μόνο από το ύψος y από την άκαμπτη βάση και μιας αρμονικής συνάρτησης της απόστασης x από τον τοίχο. Τελικά, μετά τη λύση των σχετικών διαφορικών εξισώσεων της επίπεδης έντασης, αφού γίνει η επιβολή των συνοριακών συνθηκών που φαίνονται στο Σχήμα.1, προκύπτουν η οριζόντια και η κατακόρυφη μετατόπιση αντίστοιχα: 4γ H L 1 ' ( ) ' ( + ) u = [ { cosh B n ry+ Cn ry k e Gπ k H n= 1,,5,... n 4γ H L 1 ry + D ry k e 1}sin rx] v B ry C rye D rye cos rx Gπ k H n= 1,,5,... n ry ry και = { nsinh n + n } n ry (.1) (.) όπου B, C, D, σταθερές που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες κατά μήκος των n n n συνόρων του αντιστηριζόμενου μέσου, k ' = 4ν, k = (1 ν ) (1 ν ), G το μέτρο διάτμησης του εδάφους, και γ η επιτάχυνση της βάσης. Οι αναπτυσσόμενες οριζόντιες και κάθετες ορθές και 51

56 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης διατμητικές τάσεις αποδεικνύεται ότι δίδονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: 4γ L 1 ' ry σ = [ {B coshry + C ( ry + k + ) e + x n n π k n= 1,,5,.. n n ( ) ' ry }cos ] + D ry k e k rx 4γ L 1 ' ry σ = [ {B coshry + C ( ry + k 1) e + y n n π k n= 1,,5,... n n ( ) ' ry 1 }cos + D ry k + e k + rx] (.) (.4) τ ' ry ' ry { ( ) ( ) } 4γ L 1 = B sinh ry + C ry + k + 1 e + D ry + k + 1 e sin rx (.5) xy n n n π k n= 1,,5,... n Κατά συνέπεια η συνισταμένη δύναμη και ροπή ως προς τη βάση του τοίχου δίνονται από τις σχέσεις: 4γ L 1 sr n n π k n= 1,,5,... n ' ( ) rh F = [ {B sinhrh + C rh + k + 1 e + 4γ L n= 1,,5,... ' rh ' ( 1) ( )( 1) Dn rh k e Cn Dn k k rh}] ( ) M sr = [ {Bn rh sinhrh coshrh π k n n n ' { 4 4 ( 1)( ) } ' { 4 4 ( 1)( ) } + C r H rh + + rh k + e + D r H rh + rh + k + e ' ( Cn Dn)( k ) ( rhk ) + 1 }] rh + rh + (.6) (.7) όπου: nπ r =, n = 1,,5,... L Εδώ θα πρέπει να σημειωθεί ότι στο διδακτορικό του Wood υπάρχει ένα λάθος, πιθανόν τυπογραφικό. Στο πρώτο κλάσμα της σχέσης (.7) ο παρονομαστής έχει γραφτεί ως π k, ενώ κανονικά θα έπρεπε να έχει γραφτεί ως παραπάνω. Στη συνέχεια το προσομοίωμα αυτό επιλύθηκε από τον Wood τόσο για λεία επιφάνεια αναλυτικά, όσο και για εγκόλλητη επιφάνεια με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. (βλ. Σχήμα.6). Η διαφορά των δυο ειδών επιφάνειας έγκειται στο γεγονός ότι η πρώτη επιτρέπει τη σχετική μετατόπιση τοίχου-εδάφους στη διεπιφάνεια, αφού δεν μεταβιβάζονται διατμητικές τάσεις, ενώ η δεύτερη δεν επιτρέπει 5

57 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης ούτε οριζόντια ούτε κατακόρυφη σχετική μετακίνηση στη διεπιφάνεια. Επίσης, εξετάζονται περιπτώσεις μη συνεκτικών εδαφών, εδαφών με διγραμμική συμπεριφορά και εδαφών στα οποία το G μεταβάλλεται γραμμικά με το βάθος, αλλά όλα αυτά τα προσομοιώματα επιλύονται με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Παρακάτω φαίνονται τα αντίστοιχα διαγράμματα τόσο της αναλυτικής λύσης όσο και των πεπερασμένων στοιχείων. Στο Σχήμα. παρουσιάζονται οι αδιαστατοποιημένες τάσεις σ / γ H που αναπτύσσονται πίσω από τους τοίχους συναρτήσει του ύψους από τη βάση y για διάφορες τιμές του λόγου Poisson του αντιστηριζόμενου μέσου, για στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης και L/ H =. Διακρίνεται ότι για ύψος από τη βάση περί το.8h και λόγο απόστασης τοίχων προς ύψος L/ H = οι ωθήσεις που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο είναι περίπου.85γ H, ανεξάρτητα από το λόγο Poisson του αντιστηριζόμενου εδάφους. Κάτω από το ύψος αυτό οι ωθήσεις αυξάνονται με την αύξηση του λόγου Poisson, και πάνω από το ύψος αυτό οι ωθήσεις μειώνονται με την αύξηση του λόγου Poisson. Αλλά γενικότερα διαπιστώνεται ότι δεν υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ των ωθήσεων για διάφορες τιμές του λόγου Poisson ν. Στο Σχήμα. παρουσιάζονται οι αδιαστατοποιημένες τάσεις που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο συναρτήσει του ύψους από τη βάση για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, στην περίπτωση στατικής διέγερσης μοναδιαίας επιτάχυνσης και λόγο Poisson ν =.. Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνει η απόσταση μεταξύ των τοίχων τόσο αυξάνονται και οι ωθήσεις που δέχεται ο κάθε τοίχος. Όμως για αποστάσεις τοίχων δεκαπλάσιες του ύψους τους ή και μεγαλύτερες, η αύξηση αυτή είναι αμελητέα, και οι ωθήσεις πρακτικά σταθεροποιούνται στην κατανομή που εμφανίζουν για L/H = 1. Με βάση το Σχήμα.6 διαπιστώνεται ότι η ροπή αυξάνεται με την αύξηση της απόστασης μεταξύ των τοίχων και με την αύξηση του λόγου Poisson. Μετά όμως από L/ H > 5 η ροπή παραμένει πρακτικά σταθερή και ίση περίπου με.55γ x H για λόγο Poisson.. Η εξάρτηση της ροπής από το λόγο Poisson και συνεπώς από το υλικό του αντιστηριζόμενου μέσου μπορεί να παρατηρηθεί σε συστήματα με ένα σημαντικό συμπέρασμα διότι σε συστήματα αντιστήριξης με L/ H >. Αυτό είναι L/ H < μπορούμε να υπολογίσουμε την στατική ροπή στη βάση κάθε τοίχου γνωρίζοντας μόνο την πυκνότητα του υλικού που υπάρχει μεταξύ των τοίχων. Αυτό εξηγείται εύκολα διότι σε τέτοια 5

58 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης συστήματα οι αδρανειακές δυνάμεις όλου του αντιστηριζόμενου μέσου μεταδίδονται 8 ν=.1 ν=. ν=. ν= y σ / γ H x Σχήμα.. Αδιαστατοποιημένες τάσεις σ x / γ H που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο συναρτήσει του ύψους από τη βάση y για διάφορες τιμές του λόγου Poisson ν του αντιστηριζόμενου μέσου. Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης. Λαμβάνεται L/H =. > L/H = y σ / γ H x Σχήμα.. Αδιαστατοποιημένες τάσεις σ χ /γh που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο συναρτήσει του ύψους από τη βάση (y), για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης L/H μεταξύ των τοίχων. Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης. Λαμβάνεται ν=. 54

59 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης ουσιαστικά μέσω ορθών δυνάμεων επάνω στους τοίχους, και δεν μπορούν να μεταφερθούν στη βάση μέσω διατμητικών δυνάμεων αφού η διεπιφάνεια βάσης εδάφους είναι πολύ μικρότερη από τη διεπιφάνεια τοίχων-εδάφους. Η μάζα του αντιστηριζόμενου μέσου αυξάνεται γραμμικά με την αύξηση του L. Συνεπώς θα αυξάνεται γραμμικά και η δύναμη που ασκείται στους τοίχους, εφόσον αυτή όπως δικαιολογήσαμε παραπάνω είναι ίση με την αδρανειακή δύναμη του μέσου. Η τελευταία εξαρτάται προφανώς μόνο από την πυκνότητα και κανένα άλλο χαρακτηριστικό του μέσου, και έτσι δικαιολογείται η ταύτιση των τεσσάρων καμπυλών στο διάστημα L / H = έως. Έτσι είναι λογικό να περιμένουμε ότι η δύναμη και η ροπή στη βάση του τοίχου θα αυξάνονται γραμμικά με το πηλίκο L / H. Με τον ίδιο συλλογισμό μπορούμε να εξηγήσουμε και την αρχική γραμμικότητα και ταύτιση των καμπυλών του διαγράμματος της δύναμης στη βάση του τοίχου, το οποίο επίσης για L/ H < 1 επιτρέπει τον υπολογισμό της με βάση μόνο την πυκνότητα του μέσου. Όπως και προηγουμένως, η τέμνουσα στη βάση του τοίχου αυξάνεται με την απόσταση μεταξύ των τοίχων και με την αύξηση του λόγου Poisson, αλλά και αυτή σταθεροποιείται περίπου στην τιμή.95γ H για λόγο Poisson ν =. όταν L/ H > 5. Παρατηρούμε επίσης ότι για αύξηση του λόγου Poisson κατά.1 η αύξηση της τέμνουσας στη βάση του τοίχου θα είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη αύξηση της ροπής σε αυτή με την προϋπόθεση ότι L/ H > 5 (σταθεροποιημένες δυνάμεις, ροπές). Το 1 ο προσομοίωμα μπορεί εύκολα να επιλυθεί και μέσω των γραμμικών τελεστών παραγώγων ως προς τις χωρικές συντεταγμένες του αντιστηριζόμενου μέσου. Αυτό συνιστά τη μετατροπή του ζεύγους διαφορικών εξισώσεων σε μια μόνο διαφορική εξίσωση μεταξύ πινάκων: όπου Fx γ F = F = y αντιστηριζόμενο μέσο, και u( x, y, t) μετατόπισης u και v. Lu( x, y) + F = (.8) είναι το διάνυσμα της αδρανειακής δύναμης που ασκείται στο uxyt (,, ) = v( x, y, t ) το διάνυσμα των συνιστωσών της Το L είναι πίνακας, τα στοιχεία του οποίου είναι τελεστές που παραγωγίζουν τη συνάρτηση πάνω στην οποία δρούν, άλλοι ως προς x και άλλοι ως προς y, και αποτελεί από μόνος του έναν τελεστή ο οποίος δρώντας πάνω στον πίνακα u μας δίνει τον πίνακα 55

60 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1..8 ν=.4 ν=. ν=. ν=.1.6 Fsr / γ H L / H Σχήμα.4. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα F sr / γ H που ασκείται στη βάση του τοίχου συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων L/H για διάφορες τιμές του λόγου Poisson ν. Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης..6.5 ν=.4 ν=. ν=. ν=.1.4 M sr / γ H L / H Σχήμα.5. Αδιαστατοποιημένη ροπή M sr / γ H που ασκείται στη βάση του τοίχου συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/H, για διάφορες τιμές του λόγου Poisson ν. Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης. 56

61 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης F, όπως βλέπουμε και από τη σχέση (.8). Μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι ότι για τιμές L/ H > 5 η σύγκλιση του απειροαθροίσματος καθυστερεί διότι απαιτούνται πολλοί όροι για να επιτευχθεί σχετικά καλή προσέγγιση..1.. ο προσομοίωμα Στο προσομοίωμα αυτό ο Wood μελετά ουσιαστικά την ταλάντωση του αντιστηριζόμενου μέσου, όταν αυτό δεν δέχεται εξωτερική διέγερση από τη βάση, αλλά έχει υποστεί μια αρχική διέγερση (παραμόρφωση). Πάλι κάνει την παραδοχή των λείων τοίχων στα κατακόρυφα σύνορα του αντιστηριζόμενου μέσου. Κατά την επίλυση όμως των συστημάτων εξισώσεων (ως προς τις αυθαίρετες σταθερές που προκύπτουν επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες στις λύσεις των διαφορικών εξισώσεων) προκύπτει η εξίσωση των ιδιοσυχνοτήτων του αντιστηριζόμενου εδάφους, η οποία πρέπει να ισχύει για να έχει το σύστημα μη μηδενικές λύσεις: ( r + β ) 4βα + sinhαhsinh β H αβ ( r + β ) 4r + coshαhcosh βh 4 + ( r + β ) = r (.9) όπου: nh Ωnm, α = π (.1) L 4k nh Ω β = π L nm, 4 (.11) ω Ω nm, = ω και πvs ω s = H nm, s Από την εξίσωση (.9) προκύπτουν ως λύσεις οι ιδιοσυχνότητες ω nm, για τις διάφορες 57

62 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης τιμές του n. Η εκφυλισμένη μορφή της λύσης κατά την οποία οι μετατοπίσεις είναι σταθερές σε σχέση με την οριζόντια διεύθυνση (ιδιομορφές καθαρής κατακόρυφης ορθής παραμόρφωσης) είναι: ω, m ( m 1) πvd =, m = 1,,,... H Αποδεικνύεται ότι οι λύσεις εξαρτώνται μόνο από το λόγο Poisson ν και από καμία άλλη ελαστική σταθερά. Καθώς το L / nh τείνει στο άπειρο, οι ιδιοσυχνότητες του εδάφους προσεγγίζουν ασυμπτωτικά την οριζόντια διατμητική ιδιοσυχνότητα και την κατακόρυφη ορθή ιδιοσυχνότητα του άπειρου ελαστικού εδαφικού στρώματος. Η εύρεση των ιδιοσυχνοτήτων, και συνεπώς των ιδιομορφών του προβλήματος, είναι θέμα αριθμητικής μεθόδου μέσω προγράμματος ηλεκτρονικού υπολογιστή..1.. ο προσομοίωμα Το προσομοίωμα αυτό επιλύεται με πολύπλοκες μαθηματικές εκφράσεις, ειδικά όταν η διέγερση στη βάση δεν είναι αρμονική, αλλά μίας άλλης μορφής, ακόμα και επιταχυνσιογράφημα πραγματικού σεισμού. Οι κατακόρυφοι τοίχοι είναι λείοι. Το προσομοίωμα αυτό ο Wood το λύνει για μία τυχαία διέγερση στη βάση και για μία αρμονική. Η επίλυση πραγματοποιείται μέσω πινάκων γραμμικών τελεστών οι οποίοι μετατρέπουν το σύστημα των δύο διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν ως προς τις μετατοπίσεις, σε μια ισοδύναμη διαφορική εξίσωση, μεταξύ του διανύσματος που περιγράφεται από τις συνιστώσες της μετατόπισης του αντιστηριζόμενου μέσου (u,v) και του διανύσματος που περιγράφεται από τις μετατοπίσεις του άκαμπτου συστήματος τοίχων-βάσης: Lu( x, y, t) d u( x, y, t) du( x, y, t) d ub = ρ + c + ρ dt dt dt () t (.1) ενώ ο πίνακας των μετατοπίσεων εκφράζεται ως ακολούθως: nm, nm, (.1) n= 1 m = 1 uxyt (,, ) = Q ( t) Φ ( xy, ) όπου Qnm, () t συντελεστής βαρύτητας της ιδιομορφής nm, και Φ, ( x nm, y ) η συνάρτηση σχήματος της ιδιομορφής nm,. Εδώ ο Wood δεν κάνει αναλυτικούς υπολογισμούς, αλλά αφού μετασχηματίσει κατά 58

63 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης Fourier τις διαφορικές εξισώσεις της επίπεδης έντασης, περιορίζεται κυρίως στην περιγραφή της διαδικασίας υπολογισμού των ωθήσεων, χωρίς να εξάγει αναλυτικούς τύπους άμεσα χρησιμοποιήσιμους. Η παραπάνω διαδικασία είναι πολύ δύσκολο να αναλυθεί με πράξεις, επειδή ο υπολογιστικός φόρτος είναι μεγάλος. Τα διαγράμματα που παραθέτει προκύπτουν από πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή, που έχει τη δυνατότητα να εκτελέσει τους υπολογισμούς που απαιτούνται σε εύλογο χρονικό διάστημα. Τελικά, οι ωθήσεις στον τοίχο υπολογίζονται ως: Ο σ (, yt, ) = Luxyt (,, ) (.14) x p L p είναι γραμμικός τελεστής παραγώγων ως προς τις χωρικές συντεταγμένες του αντιστηριζόμενου μέσου, τέτοιος ώστε όταν δρα στο διάνυσμα u να δίνει τις ορθές τάσεις πίσω από τον τοίχο, σ (, yt, ). x Το τρίτο προσομοίωμα επιλύεται και για αρμονική διέγερση με τη μέθοδο των γραμμικών τελεστών-πινάκων. Έτσι είναι δυνατό να εκτιμηθούν οι δυναμικές λύσεις για ενδόσιμους τοίχους, εξασφαλίζεται μεγάλη σύγκλιση του αθροίσματος για τον υπολογισμό των ωθήσεων στους τοίχους για (απαιτούνται μόνο οι δυο πρώτες ιδιομορφές), και τέλος μπορεί να κατανοηθεί καλύτερα η δυναμική απόκριση του γενικότερου προβλήματος. L/ H > 1 Εν γένει ο Wood κάνει πολλές συγκρίσεις των αποτελεσμάτων του που προκύπτουν για διάφορους λόγους Poisson ν του αντιστηριζόμενου εδάφους. Ένα από τα μειονεκτήματα των λύσεών του είναι το ότι, παρά την αυστηρή μαθηματική τους διατύπωση, δεν θα καταφέρουν ποτέ να είναι απόλυτα ακριβείς, αφού όλα τα αποτελέσματα δίνονται σε μορφή άπειρων αθροισμάτων, τα οποία απαιτούν πολλούς όρους για να συγκλίνουν, όταν γίνονται υπολογισμοί με αριθμητικούς κώδικες (όπως για παράδειγμα το πρόγραμμα MAPLE). Έγιναν και υπολογισμοί των εδαφικών ωθήσεων για τα προσομοιώματα και με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για να διαπιστωθεί εάν αυτά συμφωνούν με την αναλυτική λύση. Οι επιλύσεις έγιναν και για λεία και για εγκόλλητη διεπιφάνεια τοίχων-εδάφους. Το συμπέρασμα που εξάχθηκε είναι ότι υπάρχει πολύ καλή συμφωνία στις ιδιοσυχνότητες και στις κατανομές εδαφικών ωθήσεων και για τις δύο περιπτώσεις (Σχήμα.6). Αποδείχτηκε δε ότι το εάν η διεπιφάνεια είναι λεία ή εγκόλλητη λίγο επηρεάζει τις σεισμικές εδαφικές ωθήσεις. Στα Σχήματα.7 και.8 υπάρχουν τα αντίστοιχα διαγράμματα. 59

64 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Σχήμα.6. Αδιαστατοποιημένες τάσεις που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο συναρτήσει του αδιαστατοποιημένου ύψους από τη βάση y/h, για λεία διεπιφάνεια (αναλυτική λύση) και για εγκόλλητη διεπιφάνεια (πεπερασμένα στοιχεία), για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων (L/H). Στατική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης. Παρατηρώντας την άριστη συμφωνία των αποτελεσμάτων των ιδιοσυχνοτήτων αναλυτικής λύσης και πεπερασμένων στοιχείων όσον αφορά την λεία επιφάνεια, υπάρχει η ελπίδα ότι η αριθμητική λύση θα δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα και στην περίπτωση της εγκόλλητης επιφάνειας μιας που η αναλυτική επίλυση δεν γίνεται για τη δεύτερη περίπτωση. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι αντίστοιχες ιδιοσυχνότητες για το πρόβλημα οι οποίες προκύπτουν με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, καθώς και σύγκριση μεταξύ αυτών και της αναλυτικής λύσης. Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων φαίνεται ότι, για τις ιδιομορφές που συμβάλλουν σημαντικά στη δύναμη που ασκείται στον τοίχο υπό στατικές συνθήκες, υπάρχει συμφωνία μεταξύ των αποτελεσμάτων. Τα αποτελέσματα δεν συμφωνούν για τις ιδιομορφές που δεν συνεισφέρουν σημαντικά στη διαμόρφωση της δύναμης που ασκείται στον τοίχο. 6

65 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης Σχήμα.7. Διάγραμμα της ενίσχυσης της τέμνουσας στη βάση του τοίχου, σε σχέση με αυτή που προκύπτει από στατικές ωθήσεις, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης συχνότητας της διέγερσης (modulus). Αναλυτική λύση. Λεία διεπιφάνεια. Σχήμα.8. Διάγραμμα της ενίσχυσης της ασκούμενης ροπής στη βάση του τοίχου, σε σχέση με αυτήν που ασκείται κάτω από στατικές συνθήκες, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης συχνότητας (modulus). Αναλυτική λύση. Λεία διεπιφάνεια. 61

66 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Πίνακας.1. Σύγκριση μεταξύ της αριθμητικής λύσης για αραιό και πυκνό δίκτυο Π.Σ. και της αναλυτικής λύσης για τις ιδιοσυχνότητες διαφόρων ιδιομορφών. Λεία διεπιφάνεια [Wood 197]. ΤΥΠΟΣ, ΤΑΞΗ ΑΔΙΑΣΤΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Ωn,m ΑΡΑΙΟ ΔΙΚΤΥΟ ΠΥΚΝΟ ΔΙΚΤΥΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ 1,1 * 1,51 1,518 1,51 1, 1,85 1,844 1,86,1,4,1,18 5,1,45,,17 1, *,46,6,8, *,55,49,44, 4,89 4,77 4,67 5, 5,1 4,8 4,74 Πίνακας.. Οι ιδιοσυχνότητες διαφόρων ιδιομορφών υπολογισμένες μέσω αριθμητικών λύσεων για "εγκόλλητη" διεπιφάνεια τοίχου-εδάφους [Wood 197]. ΙΔΙΟΜΟΡΦΗ ΤΥΠΟΣ, ΤΑΞΗ ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ, ΕΓΚΟΛΛΗΤΗ ΔΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, L/H= ΑΔΙΑΣΤ. ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Ωn,m ΑΡΑΙΟ ΔΙΚΤΥΟ ΠΥΚΝΟ ΔΙΚΤΥΟ 1 * 1,57 1,5,,1,85,78 4 *,45,6 5 *,61,56 6 4,7 4,6 7 4,9 4,8 8 5,4 5, * : Αυτές οι ιδιομορφές συμβάλλουν σημαντικά στη στατική συνισταμένη δύναμη... ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ VELETSOS ET AL. [1995] Όταν έγιναν γνωστά τα αποτελέσματα του Wood θεωρήθηκαν υπερβολικά συντηρητικά και συνεπώς αντιοικονομικά για το σχεδιασμό, επειδή προέβλεπαν την ανάπτυξη εδαφικών ωθήσεων στους τοίχους πολύ μεγαλύτερων από αυτές που προέβλεπε η μέθοδος Mononobe-Okabe. Αλλά και οι δυο λύσεις ήταν στην ουσία σωστές. Απλά «έβλεπαν» το πρόβλημα από διαφορετικές σκοπιές. Το 1995 οι Veletsos και Younan απέδειξαν ότι οι δυο παραπάνω λύσεις αντιστοιχούν σε δύο ακραίες περιπτώσεις ενός και μόνο 6

67 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης προβλήματος: δύο τοίχοι, δύσκαμπτη βάση. Το πρόβλημα αυτό το έλυσαν και υπολόγισαν τις αναπτυσσόμενες εδαφικές ωθήσεις στους τοίχους και για τις δυο ακραίες περιπτώσεις, οι οποίες στην περίπτωση του πολύ εύκαμπτου τοίχου πλησίαζαν αυτές των Mononobe- Okabe, και στην περίπτωση του ιδανικά άκαμπτου τοίχου συμφωνούσαν με αυτές του Wood. Το προσομοίωμα που επιλύουν οι Veletsos et al. είναι ένα ομοιόμορφο στρώμα γραμμικού ιξωδοελαστικού μέσου μήκους L και ύψους H, που είναι ελεύθερο στην πάνω επιφάνειά του, είναι πλήρως πακτωμένο σε μια τελείως άκαμπτη βάση, μη δυνάμενη να παραμορφωθεί, και αντιστηρίζεται κατά μήκος των κατακορύφων συνόρων του από τελείως άκαμπτους και άστρεπτους τοίχους. Τα ύψη των τοίχων και του εδαφικού στρώματος θεωρούνται ίσα. Οι τοίχοι είναι τέλεια πακτωμένοι στη βάση. Οι βάσεις τόσο των τοίχων όσο και του μέσου υπόκεινται σε μια αμετάβλητη χωρικά οριζόντια κίνηση η επιτάχυνση της οποίας είναι σε κάθε χρονική στιγμή x () t και η μέγιστη τιμή της είναι X. Η απόσβεση υλικού για το μέσο θεωρείται ότι είναι του σταθερού υστερητικού τύπου. Επίσης, συμβολίζουμε το αδιαστατοποιημένο ύψος από τη βάση με h = y/ H, την αδιαστατοποιημένη απόσταση από τον τοίχο με ξ = x / H, και την αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των δυο τοίχων με l = L/ H. Το παραπάνω προσομοίωμα φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: yv, u = h τ xy Ομογενές ελαστικό εδαφικό στρώμα (επίπεδη ένταση) H u = Δύσκαμπτοι τοίχοι dw = dθ = x, u Άκαμπτη βάση i t x = Xe ω L Σχήμα.9. Προσομοίωμα του συστήματος δύσκαμπτων τοίχων των Veletsos et al. [1995]. 6

68 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Οι Veletsos et al. [1995] θεώρησαν ότι το αντιστηριζόμενο έδαφος συμπεριφέρεται σαν ένα σύνολο κάθετων διατμητικών δοκών, απειροστού πάχους. Οι δοκοί αυτές υπάρχουν διαδοχικά από τον τοίχο μέχρι το άπειρο, εκτείνονται από τη βάση μέχρι την ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους και δέχονται ορθές τάσεις μόνο κατά την οριζόντια διεύθυνση, αδρανειακές δυνάμεις λόγω της εδαφικής επιτάχυνσης και διατμητικές τάσεις μόνο κατά μήκος της κάτω απειροστής επιφάνειάς τους (και όχι κατά μήκος των κάθετων πλευρών). Οι τελευταίες περιορίζουν την οριζόντια μετακίνηση της βάσης της δοκού, καθιστώντας την στην ουσία πακτωμένη στην άκαμπτη βάση. Δηλαδή υποτέθηκε ότι για κάθε στοιχειώδες τμήμα της παραπάνω δοκού, απειροστού ύψους και συνεπώς και για κάθε εδαφικό στοιχείο με απειροστό μήκος και ύψος, ισχύει ότι: v = x (.15) Από την εξίσωση αυτή, από την σχέση μεταξύ των διατμητικών τάσεων και παραμορφώσεων που περιγράφει την ελαστική συμπεριφορά του μέσου, και από τις συνοριακές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια του μέσου και στη βάση, προκύπτουν οι ιδιομορφές ταλάντωσης του αντιστηριζόμενου μέσου, αν θεωρήσουμε ότι αυτές δεν μεταβάλλονται με την απόσταση από τους τοίχους: ( n 1) π Yn ( h) = sin h (.16) Η υπόθεση αυτή αποδεικνύεται ότι είναι απόλυτα ακριβής στην περίπτωση που το απειροστών διαστάσεων εδαφικό στοιχείο βρίσκεται σε άπειρη (πρακτικά πολύ μεγάλη) απόσταση από τον τοίχο, δηλαδή όταν έχουμε εδαφική στρώση που εκτείνεται στο άπειρο και από δεξιά και από αριστερά. Η παραπάνω προσέγγιση είναι γνωστή στη διεθνή βιβλιογραφία ως προσέγγιση διατμητικής δοκού. Βέβαια, κατά την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων της επίπεδης έντασης δεν λαμβάνεται υπόψη η εξίσωση (.15), αλλά η συνάρτηση μετατόπισης εκφράζεται σαν γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών ταλάντωσης του μέσου,, υπολογισμένες με βάση την υπόθεση ότι αυτό συμπεριφέρεται σαν μια σειρά κάθετων πρόβολων διατμητικών δοκών, όπως φαίνεται στην εξίσωση (.16). Οι Veletsos et al. κάνουν κι ορισμένες άλλες υποθέσεις, απλοποιώντας έτσι τους υπολογισμούς, όχι κατ ανάγκη εις βάρος της ακρίβειας: Y n 64

69 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης (α) (β) Θεωρούν ότι δεν εκδηλώνονται σε κανένα σημείο του μέσου κάθετες ορθές τάσεις, δηλ. σ y = σε κάθε σημείο του μέσου, και Υποθέτουν ότι δε λαμβάνεται υπόψη η ισορροπία του στοιχειώδους εδαφικού στοιχείου ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Η διέγερση που επιβάλλεται είναι αρμονική. Διερευνώνται επίσης και οι περιπτώσεις της παροδικής ταλάντωσης και της ταλάντωσης σταθερής κατάστασης. Η αναλυτική λύση για το παραπάνω προσομοίωμα είναι η εξής: Με το προσομοίωμα των δύο τοίχων οι Veletsos et al. [1995] ξεκινούν από την προσεγγιστική εξίσωση των Arias et al.[1981]: * u * u u G + G ρh = ρh x () t 1 ν ξ h t (.17) όπου x ( t) είναι η μέγιστη επιτάχυνση της διέγερσης, η οποία περιγράφει τη συμπεριφορά του αντιστηριζόμενου μέσου κατά τη διάρκεια αρμονικής διέγερσης στη βάση, και χρησιμοποιούν από όσα περιγράφηκαν παραπάνω μόνο την προσέγγιση της διατμητικής δοκού, για να εκφράσουν την οριζόντια μετατόπιση σαν απειροάθροισμα: nπ i t u( ξ, h, t) = Un( ξ)sin h e ω n= 1, (.18) και καμία από τις παραδοχές (α) και (β) που προαναφέρθηκαν. Αυτές χρησιμοποιούνται στη δημοσίευση των Veletsos andyounan [1994] όπου το προσομοίωμα προς επίλυση περιλαμβάνει μόνο έναν τοίχο, και ημιάπειρη οριζόντια εδαφική στρώση. Εκεί γίνεται η εξαγωγή παρόμοιας διαφορικής εξίσωσης με την παραπάνω: ν * u * u u G + G ρh = ρh x () t (.19) 1 ν ξ h t Με βάση τις εξισώσεις (.18) και (.19) οι Veletsos et al. [1995] αποδεικνύουν ότι η οριζόντια μετατόπιση, και οι ωθήσεις πίσω από τον τοίχο δίνονται από τους τύπους: 16 ρ 1 ξ π iωt u( ξ, h, t) = sin h e (.) π φ + δ X H 1 fn ( ) n G n= 1,,.. n 1 n i και 8ψ 1 1+ iδ αnl nπ iωt σw = σ(, ht, ) = ρx H tanh sin he (.1) π φ + iδ H n= 1,,.. n 1 n αντίστοιχα, όπου: 65

70 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης ψ = 1 ν, α n = nπ φn 1 ψ 1 + iδ, ξ η αδιαστατοποιημένη οριζόντια απόσταση από τον τοίχο, με ξ = x / H, h η αδιαστατοποιημένη κάθετη απόσταση από τη βάση, με h= y/ H, δ ο συντελεστής απόσβεσης, και 1 ω π φn =, όπου ω 1 = η πρώτη ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης της εδαφικής n ω H 1 u s στρώσης που εκτείνεται εκατέρωθεν στο άπειρο, αν θεωρηθεί ότι συμπεριφέρεται σαν σύνολο διατμητικών δοκών, όπου u = G/ ρ είναι η ταχύτητα των διατμητικών κυμάτων του μέσου και τέλος s L cosh α n ξ H fn ( ξ ) = αnl cosh H Οπότε τελικά η οριζόντια δύναμη και η ροπή στη βάση του τοίχου δίνονται από την ολοκλήρωση των τάσεων καθ ύψος του τοίχου: 16ψ 1 1+ iδ α L Qb() t = X H tanh e (.) π φ δ n iωt ρ n= 1,,.. n 1 n + i H n 1 ( 1) + ρ 4 4 n= 1,,.. n 1 n ψ 1 iδ αn L i t M b() t = X H tanh e ω (.) π φ + iδ H Στα Σχήματα.1 και.11 φαίνονται διαγράμματα στα οποία παρουσιάζεται η λύση των Veletsos et al. [1995] για το μοντέλο που αναφέρθηκε, σε μορφή αποτελεσμάτων που έχουν αδιαστατοποιηθεί κατά δύο τρόπους: Πρώτα κατά ρ X HL / για την τέμνουσα και κατά ρ X HL /4 για τη ροπή αντίστοιχα και στη συνέχεια κατά ρ X H για την τέμνουσα και κατά ρ X H για τη ροπή. Η πρώτη αδιαστατοποίηση εκφράζει τις δράσεις με την υπόθεση ότι όλο το περιεχόμενο μεταξύ των δυο τοίχων υλικό συμπεριφέρεται όλο μαζί σαν ένα άκαμπτο σώμα, ενώ η δεύτερη εκφράζει τις δράσεις με την υπόθεση ότι μόνο ένα 66

71 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης τετράγωνο τμήμα εδαφικού υλικού, ακμής ίσης με το ύψος του τοίχου, που συνορεύει στη μία του πλευρά με κάθε τοίχο ξεχωριστά, συμπεριφέρεται όλο μαζί σαν ένα τέλεια άκαμπτο σώμα. Επίσης στα ίδια διαγράμματα γίνονται και συγκρίσεις με τις αντίστοιχες λύσεις του Wood [197]. Κατά την εξαγωγή των διαγραμμάτων αυτών ο τοίχος θεωρήθηκε αβαρής ( m = ) και ο λόγος Poisson ν =.. w Στην πρώτη αδιαστατοποίηση η τέμνουσα και η ροπή τείνουν στη μονάδα καθώς η απόσταση μεταξύ των τοίχων τείνει στο μηδέν. Αυτό δείχνει ότι για πολύ λεπτά αντιστηριζόμενα εδάφη ( L/ H ) οι αδρανειακές δυνάμεις του μέσου που περιέχεται μεταξύ των τοίχων μεταδίδονται ουσιαστικά οριζόντια και κατευθείαν στους τοίχους, και πρακτικά ολόκληρη η μάζα του μέσου μπορεί να θεωρηθεί ενεργή. Όσο αυξάνεται η απόσταση L μεταξύ των τοίχων, ένα σταδιακά μεγαλύτερο τμήμα των αδρανειακών δυνάμεων παραλαμβάνεται μέσω διατμητικών δυνάμεων από τη βάση του συστήματος και το ποσοστό της εδαφικής μάζας που συμμετέχει ενεργά στις ωθήσεις στους τοίχους μειώνεται. Επιπρόσθετα, με την αύξηση αυτή η αποσβεστική ικανότητα του μέσου αυξάνει, με αποτέλεσμα να μειώνονται οι παράγοντες δυναμικής ενίσχυσης για τις δυνάμεις που ασκούνται στους τοίχους. Μια εικόνα των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων που αναπτύσσονται πίσω από τους τοίχους, υπάρχει στο Σχήμα.1 στο οποίο γίνεται και σύγκριση αυτών, με τις αντίστοιχες που υπολογίζει ο Wood με την ακριβή λύση του. Οι Veletsos et al. [1995] απέδειξαν ότι η ιδιοσυχνότητα ενός συστήματος δύο άκαμπτων τοίχων πακτωμένων σε άκαμπτη βάση ανάμεσα στους οποίους παρεμβάλλεται ελαστικό εδαφικό υλικό δίνεται από την εξίσωση: πvs ω mn, = (n 1) + 4(m 1) ψ ( H / L) (.4) H όπου n είναι η n-ιοστή κάθετη ιδιομορφή και m είναι η m-ιοστή οριζόντια ιδιομορφή. Αυτές οι ιδιομορφές γίνονται καλύτερα κατανοητές εάν γραφτεί η συνάρτηση οριζόντιας μετατόπισης στη μορφή: (n 1) π h u( ξ, h, t) = Cmn sin [(m 1) πξ ] sin sin( ωmnt ε mn ) + (.5) που ισχύει στην περίπτωση της απλοποιημένης ανάλυσης που γίνεται εδώ. Από την εξίσωση φαίνεται ότι η ιδιομορφή m είναι κατά την οριζόντια διεύθυνση, ενώ η ιδιομορφή 67

72 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1..8 F sr / ρ H X Wood (197) Veletsos et al.(1995).6.4. F sr ρ X HL Veletsos et al.(1995) Wood (197) L/ H Σχήμα.1. Τιμές της αδιαστατοποιημένης στατικής τέμνουσας στη βάση των τοίχων για συστήματα με ζεύγος άκαμπτων τοίχων για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. Τιμές ν =. και ξ =.5 για τις συμπαγείς καμπύλες και ν =. και ξ = για τις διακεκομμένες. 1. Veletsos et al.(1995) Wood (197).8.6 M sr / ρ H X.4. Wood (197) Veletsos et al.(1995) M 4 sr ρ H X L L/ H Σχήμα.11. Τιμές της αδιαστατοποιημένης στατικής ροπής στη βάση των τοίχων για συστήματα με ζεύγος άκαμπτων τοίχων για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. Τιμές ν =. και ξ =.5 για τις συμπαγείς καμπύλες και ν =. και ξ = για τις διακεκομμένες. Οι συμπαγείς προκύπτουν από την αναλυτική λύση των Veletsοs et al. [1995] και οι διακεκομμένες από την αναλυτική λύση του Wood [197]. Οι καμπύλες ταυτίζονται τόσο πολύ που φαίνονται σαν μία. Αυτό αποδεικνύει τη μεγάλη συμφωνία των δυο μεθόδων. 68

73 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης L/ H = 5 L/ H = L/ H = 1 L/ H =.1 L/ H = y/ H σ ( h)/ ρx H w Σχήμα.1. Τιμές των αδιαστατοποιημένων στατικών εδαφικών ωθήσεων πίσω από τον κάθε τοίχο ( σ w( h )/ ρ X H ), σε συνάρτηση με το αδιαστατοποιημένο ύψος του τοίχου ( y / H ), για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. Τιμές ν=. και ξ= για τις συμπαγείς καμπύλες, και ν=. και ξ=.5 για τις διακεκομμένες. Οι διακεκομμένες καμπύλες προέκυψαν από την αναλυτική λύση των Veletsos et al. ενώ οι συμπαγείς από την ακριβή λύση του Wood [197]. n είναι κατά την κάθετη διεύθυνση. Με βάση την εξίσωση (.4) έγινε και η αδιαστατοποίηση των συχνοτήτων διέγερσης στα διαγράμματα των Σχημάτων.1 και.14 τα οποία περιέχουν τέσσερα διαγράμματα, που παριστάνουν πώς μεταβάλλεται η τέμνουσα στη βάση του τοίχου για τις διάφορες συχνότητες διέγερσης (δυναμική τέμνουσα). Οι παραπάνω λύσεις συμφωνούν με αυτές που προκύπτουν από τις αντίστοιχες αναλύσεις με τη βοήθεια των πεπερασμένων στοιχείων. Εκτός αυτού, για τις λύσεις που παρουσιάζονται εδώ, η οριζόντια μεταβολή όλων των μεγεθών εκφράζεται με κλειστές λύσεις, ενώ στην πιο ακριβή ανάλυση του Wood αυτή εκφράζεται μέσω τριγωνομετρικών σειρών, για τη σύγκλιση των οποίων απαιτούνται συχνά πολύ περισσότεροι όροι, ειδικά για μεγάλες τιμές της απόστασης των τοίχων L. Υπάρχει επίσης η δυνατότητα απόκτησης λύσεων για μεταβαλλόμενο G (μέτρο διάτμησης) με το βάθος με οποιαδήποτε μορφή, 69

74 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης..5. L/ H = 1 Q b / ρ X H ω / ω 1, L/ H = 5. Q b / ρ X H Σχήμα.1. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα ( Q / ρ X H 7 b ω / ω 1,1 ) στη βάση των τοίχων για διάφορες τιμές του λόγου L/ H (1 και 5 αντίστοιχα) συναρτήσει των αδιαστατοποιημένων συχνοτήτων διέγερσης της βάσης. Η αδιαστατοποίηση έγινε ως προς την εκάστοτε ιδιοσυχνότητα του συστήματος.

75 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης.5..5 L/ H = 1 Q b / ρ X H ω / ω 1,1.5. L/ H = 5 Q b / ρ X H ω / ω 1,1 Σχήμα.14. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα ( Q / ρ X H b ) στη βάση των τοίχων για διάφορες τιμές του λόγου L / H (1 και 5 (>>) αντίστοιχα) συναρτήσει των αδιαστατοποιημένων συχνοτήτων διέγερσης της βάσης. Η αδιαστατοποίηση έγινε ως προς την εκάστοτε ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Σύγκριση με ημιάπειρη εδαφική στρώση ( L/ H >> ). 71

76 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης πράγμα που δεν συμβαίνει στις λύσεις του Wood. Μειονεκτήματα των λύσεων των Veletsos και Younan είναι ότι είναι όλες σε μορφή άπειρων αθροισμάτων, πράγμα που σημαίνει ότι ο υπολογισμός των ζητουμένων απαιτεί υπολογιστικό φόρτο. Λαμβάνουν υπόψη την απόσβεση ακτινοβολίας, όμως δεν ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες του προσομοιώματος του Wood κυρίως στην ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους. Από την άλλη μεριά, το προσομοίωμα του Wood δεν είναι δυνατόν να επιλυθεί για τελείως δεσμευμένη («εγκόλλητη») διεπιφάνεια τοίχουεδάφους, με τον τρόπο που αυτός το επιλύει για λεία διεπιφάνεια. Οι λύσεις των Veletsos et al. [1995] δεν έχουν την αυστηρότητα των λύσεων του Wood επειδή στην επίλυση έχουν γίνει προσεγγίσεις, τις οποίες ο Wood δεν κάνει σε καμία περίπτωση. Έχουν όμως πολύ πιο απλή μορφή από τις αντίστοιχες του Wood. Επιπρόσθετα, κατά την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων, όπως είδαμε σε προηγούμενη παράγραφο, γίνονται και άλλες προσεγγίσεις ( σ y = ), ενώ η ισορροπία στον κατακόρυφο άξονα δε λαμβάνεται καθόλου υπόψη. Φυσικό είναι λοιπόν ο παραπάνω τρόπος επίλυσης, μέσα από αυθαίρετες μαθηματικές εκφράσεις και προσεγγίσεις να οδηγήσει σε αποτελέσματα που δεν βοηθούν και τόσο πολύ ώστε να γίνει αντιληπτή η προέλευσή τους ή η φύση των συναρτήσεων που εμπλέκονται στο πρόβλημα. Το αξιοσημείωτο είναι ότι τα αποτελέσματα των Wood και Veletsos et al. έχουν καταπληκτική συμφωνία μεταξύ τους (βλέπε Σχήματα.1,.11,.1)... ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Όπως ήδη αναφέρθηκε, ο Wood [197] παρέχει αναλυτικές λύσεις μόνο στις περιπτώσεις της στατικής διέγερσης και της ταλάντωσης του μέσου χωρίς μόνιμη εξωτερική διέγερση, αλλά μια αρχική (μετατόπιση), ενώ για την περίπτωση της σταθερής κατάστασης εξαναγκασμένης ταλάντωσης του μέσου στην οποία αυτό ταλαντώνεται με σταθερό πλάτος (δυναμικές κατανομές) δεν δίνει ακριβείς τύπους υπολογισμών ως λύση, αλλά υπολογίζει τα διάφορα ζητούμενα μεγέθη (όπως π.χ. τάσεις) ως αντίστροφους μετασχηματισμούς Fourier κάποιων συναρτήσεων που βγήκαν από την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων, μετασχηματισμένων κατά Fourier. Εκτός του ότι από θέμα μαθηματικών δεν γίνεται γνωστή η συναρτησιακή μορφή των λύσεων για να εξαχθούν συμπεράσματα (όπως π.χ. η εύρεση των ιδιοσυχνοτήτων με τις 7

77 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης οποίες όταν διεγείρεται το σύστημα εμφανίζει μέγιστη τέμνουσα ή ροπή μέσω παραγώγισης), είναι γεγονός ότι, λόγω της μορφής τους και μόνο, δεν αφήνουν πολλά περιθώρια για άμεση εποπτεία, ώστε ένας μηχανικός να κρίνει τι συμβαίνει σε διάφορες ειδικές περιπτώσεις ή ποιές προσεγγίσεις μπορούν να γίνουν, έτσι ώστε να απλοποιούνται οι υπολογισμοί χωρίς να υποβαθμίζεται η οικονομία ή η ασφάλεια της κατασκευής. Από την άλλη μεριά οι Veletsos et al. [1995] ξεκινούν από μια δεδομένη διαφορική εξίσωση των Arias et al. [1981] στην οποία επιβάλλουν τις συνοριακές συνθήκες του προσομοιώματος που μελετάται. Σε άλλη δημοσίευσή τους όμως [Veletsos and Younan, 1994], εξηγούν μαθηματικά τον τρόπο εξαγωγής παρόμοιας εξίσωσης, η οποία όμως χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός μόνο τοίχου που αντιστηρίζει ημιάπειρη εδαφική στρώση και δεν χρησιμοποιείται για το μοντέλο που μας ενδιαφέρει στο κεφάλαιο αυτό. Στο εδάφιο αυτό, γίνεται προσπάθεια να εφαρμοστεί η μεθοδολογία επίλυσης κατά Wood στην περίπτωση του τρίτου προσομοιώματος. Κατά δεύτερον, εφαρμόζεται η μέθοδος των Veletsos and Younan (η οποία ισχύει για έναν τοίχο) στο σύνθετο προσομοίωμα των δύο τοίχων. Οι υπολογισμοί καταλήγουν σε μαθηματικούς τύπους υπολογισμού των τάσεων και των δράσεων στη βάση των τοίχων (τέμνουσα και ροπή), τόσο στην περίπτωση της ακριβούς επίλυσης του προσομοιώματος με τη μέθοδο του Wood, όσο και στην προσεγγιστική με τη μέθοδο των Veletsos and Younan. Ακολουθούν τα σχετικά διαγράμματα των δυο μεθόδων. Τέλος, γίνονται συγκρίσεις και βγαίνουν συμπεράσματα...1. Λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] Θα επιλυθεί το τρίτο προσομοίωμα του Wood. Οι υποθέσεις που γίνονται στο προσομοίωμα αυτό είναι ακριβώς ίδιες με αυτές που κάνει ο Wood στο διδακτορικό του, και επιπλέον εξετάζεται απόσβεση σταθερού υστερητικού τύπου. Η επίλυση έχει ως εξής: Όταν αναφέρονται στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων x,y που φαίνεται στην Εικόνα 1 οι εξισώσεις της εντατικής κατάστασης του μέσου μπορούν να γραφούν ως: σ τ x xy u + = ρh + ρhx () t (.6) ξ h t σ τ + = ρ H h ξ t y xy v (.7) στις οποίες σ x και σ y είναι οι ορθές τάσεις σε ένα τυχαίο σημείο και χρονική στιγμή κατά 7

78 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης μήκος των συντεταγμένων x και y αντίστοιχα u και v είναι οι αντίστοιχες μετατοπίσεις σχετικά με τη βάση τ xy είναι η διατμητική τάση στο επίπεδο xy και ξ και η είναι αδιάστατες συντεταγμένες θέσης ορισμένες από τις σχέσεις ξ = x / H h = y/ H. Ο όρος x είναι η επιτάχυνση της επιβαλλόμενης διέγερσης στη βάση. Η σύμβαση προσήμων για τις τάσεις και τις μετατοπίσεις είναι αυτή που χρησιμοποιείται από την ελαστική θεωρία. Ειδικότερα οι μετατοπίσεις είναι θετικές όταν κατευθύνονται κατά τη θετική φορά των αντίστοιχων αξόνων, οι ορθές τάσεις είναι θετικές όταν προκαλούν εφελκυσμό, και οι διατμητικές τάσεις είναι θετικές όταν οι οριζόντιες διατμητικές τάσεις τείνουν να περιστρέψουν το στοιχειώδες κομμάτι του μέσου δεξιόστροφα. Για τις διδιάστατες συνθήκες επίπεδης έντασης που εξετάζονται εδώ, οι τάσεις συνδέονται με τις μετατοπίσεις μέσω των σχέσεων: * * 1 * 1 ( G u σx = λ + ) + λ H ξ H v h (.8) τ xy * 1 u v = G + H h ξ (.9) στις οποίες 1 v 1 σ ( * * ) * y = λ + G + λ H h H G *, λ * είναι οι μιγαδικές σταθερές του Lame: u ξ (.) * G G(1 iδ ) = + (.1) * ν λ = 1 ν G* (.) Για μια αρμονική διέγερση με επιτάχυνση: i t x () t = X e ω (.) οι σχετικές μετατοπίσεις μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή: u( ξ, h, t) = U( ξ, h) e iωt (.4) και: v( ξ, h, t) = V( ξ, h) e iωt (.5) όπου X είναι το πλάτος της επιβαλλόμενης στη βάση επιτάχυνσης, ω η κυκλική 74

79 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης συχνότητα της διέγερσης και της προκύπτουσας απόκρισης και U( ξ, h), V( ξ, h) είναι μιγαδικές συναρτήσεις που εκφράζουν τα πλάτη των αντίστοιχων σχετικών μετακινήσεων. Μετά την αντικατάσταση των εξισώσεων (.8), (.9) και (.) στις (.6) και (.7) έχουμε: ( λ * + G * ) ( λ * + G * ) * u v G u u + + = ρhx () t + ρh H ξ H h ξ H h t (.6) ( λ * + G * ) ( λ * + G * ) * v u G v v + + = ρ H h ξ t H H h ξ H (.7) Αν αντικατασταθούν στις (.6) και (.7) οι (.), (.4) και (.5), και γίνει απαλοιφή του κοινού παράγοντα i t e ω ( λ * + G * ) ( λ * + G * ) στα δύο μέλη των εξισώσεων, τότε λαμβάνουμε: * U V G U + + = ρhx H ξ H h ξ H h ω ρ HU (.8) ( λ * + G * ) ( λ * + G * ) * V U G V + + = H h H h ξ H ξ ω ρ HV (.9) Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι οι τελευταίες εξισώσεις αποτελούν γενικότερη περίπτωση των αντίστοιχων εξισώσεων του πρώτου προσομοιώματος του Wood στις οποίες το ω μηδενίζεται, και έτσι προκύπτουν οι λύσεις που περιγράφηκαν στο εδάφιο.1. Αυτές αποτελούν σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων με δυο άγνωστες συναρτήσεις, τις U και V. Για να λυθεί το σύστημα αυτό γίνεται ο χωρισμός των μεταβλητών ξ, h πολλαπλασιαστικά γράφοντας τις συναρτήσεις των μετατοπίσεων ως εξής: και: Παρατηρούμε ότι: nπξ U( ξ, h) = Un ( h)sin (.4) l n= 1 nπξ V( ξ, h) = Vn ( h)cos (.41) l n= 1 τ xy ξ = U V = + h ξ ξ = = (.4) και: 75

80 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης τ xy ξ = l U V = + = h ξ ξ = l (.4) Δηλαδή στις διεπιφάνειες των τοίχων δεν έχουμε διατμητικές τάσεις, ενώ οι σχετικές μετατοπίσεις του εδάφους στις ίδιες θέσεις θα είναι: και: U ξ = = (.44) U ξ = = (.45) Συνεπώς, δεν έχουμε αποκόλληση του εδάφους από τους τοίχους σε αυτές τις θέσεις. l Αν αντικαταστήσω τις (.4) και (.41) στις (.8) και (.9), μετά από πράξεις και απαλοιφή των συναρτήσεων του ξ θα έχω: ( λ ) ( λ ) * + G * * * * n π + G nπ V n G Un U n + = ρhx an H l H l h H h όπου για τον συντελεστή ( * + G * ) V ( * + G * ) λ λ * n nπ Un G n π + V n = H h H l h H l ω ρ ωρ HU χρησιμοποιήθηκε το ανάπτυγμα κατά Fourier: a n n HV n (.46) (.47) nπξ 1= an sin (.48) l n= 1 το οποίο ισχύει για κάθε ξ στο διάστημα [,l ] και επακόλουθα, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη την παραπάνω με sin n πξ και λαμβάνοντας υπόψη ότι: l l nπξ kπξ sin sin d ξ = l l Για n, k διαφορετικούς ακέραιους αριθμούς αποδεικνύεται ότι ο συντελεστής a n δίνε ται από τη σχέση: a n = l l nπξ sin d ξ l sin nπξ d ξ l 76

81 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης το οποίο μετά τις πράξεις θα δώσει: a n ( 1 ( 1) n = ) (.49) nπ Διαπιστώνουμε ότι το αρχικό σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων μετατράπηκε σε σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, οι λύσεις των οποίων είναι συντελεστές αθροισμάτων. Τώρα το σύστημα επιλύεται ως εξής: παραγωγίζεται μια φορά η (.46) ως προς h και επιλύεται η (.47) ως προς ή αλλιώς αν τεθεί: U h ( λ + G ) ( λ + G ) n : * * * * * n π U n nπ Vn G Un + = H l h H l h H h ωρ H h U n (.5) n π ωρh 1 ν R = l G(1 + iδ ) ν (.51) τότε η (.5) γίνεται με τη βοήθεια των (.1), (.) και μετά από πράξεις: 1 nπ Vn Un ν U + = R 1 ν l h h 1 ν h n (.5) Λόγω της (.47): Un l n = (1 ν) (1 ν) ( ν) h nπ l G(1 + iδ) h π ωρh Vn V V n n (.5) ή αλλιώς αν τεθεί n π ω ρh Q = l G(1 + iδ ) (.54) προκύπτει: Un l = (1 ν) QVn ( ν) h nπ h V n (.55) Παραγωγίζοντας την παραπάνω δυο φορές κατά μέλη ως προς h προκύπτει: 77

82 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 4 Un l Vn V n = (1 ν) Q ( ν ) 4 h nπ h h (.56) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (.55) και (.56) στην (.5), προκύπτει η παρακάτω πολύ κομψή διαφορική εξίσωση: μετά από αρκετές πράξεις 4 V h V n n 4 ( R + Q ) + R Q V n = h (.57) η οποία έχει προφανώς λύση την: Un V ( h) = C sinh Rh+ C cosh Rh+ C sinh Qh+ C cosh Qh (.58) n Τώρα απομένει να υπολογισθεί η αντίστοιχη συνάρτηση της οριζόντιας μετατόπισης σταθερός όρος της Un ( h ) που τον συμ βολίζουμε με U np και η εξίσωση (.55) για να (.46) στην οποία θεωρούμε τ ην U ( h ) 1 4 ( h ). Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιηθεί η εξίσωση (.46) για να προσδιοριστεί ο προσδιοριστεί το μεταβλητό της μέρος. Για το σταθερό μέρος θεωρούμε την εξίσωση n σταθερή και παραλείπουμε τελείως την επειδή δεν περιέχει σταθερό όρο, εξαιτίας προφανώς της μορφής της συνάρτησης V ( h). Έτσι η εξίσωση (.46) γίνεται: και μετά από πράξεις: ( λ * + G * ) n π U = ρhx a ω ρhu H l np n np ν G(1 + iδ ) = ρ 1 ν H R Unp HX an n V n h Λύνοντας ως προς U np έχουμε: U np ρh Xan 1 ν = RG(1 + iδ ) ν (.59) Για το μεταβλητό μέρος γίνεται αντικατάσταση στην εξίσωση (.55) της γνωστή. V ( ) n h που είναι U h n l = [(1 ν ) Q ( C1sinh Rh+ Ccosh Rh+ Csinh Qh+ C4cosh Qh) nπ ( ν )( C R sinhrh + C R coshrh + C Q sinhqh + C Q cosh Qh)]

83 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης και η εξίσωση που προκύπτει ολοκληρώνεται κατά μέλη: l C1 C C C4 Unc ( h) = [(1 ν ) Q cosh Rh+ sinh Rh+ cosh Qh+ sinh Qh nπ R R Q Q ( ν )( C R cosh Rh + C Rsinh Rh + C Qcosh Qh + C Qsinh Qh)] (.6) 1 4 Η συνάρτηση Un ( h ) θα είναι το άθροισμα του μεταβλητού και του σταθερού μέρους: U ( h) = U + U ( h) (.61) n np nc Οι συντελεστές C1, C, C, C 4 θα προσδιοριστούν με βάση τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος στο πάνω και κάτω οριζόντιο σύνορο του αντιστηριζόμενου μέσου. Αυτές είναι: U = = h V = = h σ = = y h 1 τ = xy h= Ο ι δύο πρώτες λόγω των (.4) και (.41) θα δώσουν: U = και V = = = n h Αν επιβληθούν οι παραπάνω αρχικές συνθήκες στις εξισώσεις (.61) (μέσω των (.6) και (.59)) και (.58) αντίστοιχα, λαμβάνονται για τους συντελεστές μετά από πράξεις οι σχέσεις: 1 n h n π nπ C 1 + QC = Unp (.6) lr l C C4 + = (.6) Οι εξισώσεις που εκφράζουν οι δύο τελευταίες εκ των τεσσάρων συνοριακών συνθηκών λόγω των (.9) και (.), μετά την αντικατάσταση των (.4) και (.5), την απαλοιφή του εκθετικού και πράξεις γίνονται: i t e ω V U 1 ν + ν = h ξ ( ) h= 1 h= 1 79

84 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης U h V + = ξ h= 1 h= 1 που λόγω των (.4) και (.41) γίνονται: Vn nπ 1 + ν U = h l ( ν) h= 1 n h= 1 U n nπ V = h l h= 1 n h= 1 Ακολουθώντας την ίδια εργασία όπως και παραπάνω μετά από τις σχετικές πράξεις θα πάρω τις σχέσεις: S S cosh 1 sinh ( cosh ) ( sinh ) 4 ν nπ R C + R C + Q Q C + Q Q C = U R R 1 ν l np (.64) n π n π sinhr C 1 coshr C + + l l n π n π + Q + sinh Q C + Q + cosh Q = C 4 l l (.65) όπου συμβολίζουμε με S την ποσότητα: n π ω ρh S = l G(1 + iδ ) (.66) Οι εξισώσεις (.6)-(.65) αποτελούν σύστημα 4x4, με αγνώστους τους συντελεστές C1, C, C, C4. Το σύστημα αυτό λύνεται με χρήση του κώδικα MAPLE. Μετά τον παραπάνω υπολογισμό, μπορούμε να υπολογίσουμε τις συναρτήσεις μετατόπισης u( ξ, h), v( ξ, h) καθώς και τις ωθήσεις που αναπτύσσονται πίσω από καθέναν από τους τοίχους, μέσω της σχέσης (.8), η οποία μετά την αντικατάσταση των (.4), (.5), (.4) και (.41) γίνεται; * * 1 nπ * 1 Vn nπξ i t σx = ( λ + G ) Un + λ cos e ω n= 1 H l H h (.67) l και επειδή ο αριστερός τοίχος (που είναι η ίδια ακριβώς περίπτωση με το δεξί, αφού έχουμε σύστημα συμμετρικό) έχει ξ = οι σεισμικές εδαφικές ωθήσεις που αναπτύσσονται πίσω του θα είναι: 8

85 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης * * 1 nπ * 1 Vn i t σx( h) = ( λ + G ) Un + λ n 1 H l H h e ω = (.68) η οποία μετά από πράξεις δίνει τελικά: σ x G(1 + iδ) n π ω ρh ν = [ [ 1cosh sinh n 1 H + = lr RG(1 + Iδ) 1 ν ( C Rh C Rh) nπ ρhx an iωt QC ( cosh Qh+ C4sinh Qh)] ] e (.69) l R Η συνολική τέμνουσα δύναμη που αναπτύσσεται στη βάση του τοίχου θα είναι το ολοκλήρωμα των τάσεων επάνω στο ύψος του τοίχου: 1 nπ Qb = + G Un h dh+ Vn V n= 1 l και μετά από πράξεις προκύπτει: n= 1 * * * i t ( λ ) ( ) λ ( (1) n() ) e ω (.7) ν Qb = [( G(1 + iδ )[ ( C1sinh R+ C cosh R+ Csinh Q+ C4 cosh Q) 1 ν (1 ν) n π C sinh R+ C ( cosh R 1) + C sinh Q+ C ( cosh Q 1 ) ] ν lr nπ ρ H X a n ) e i ω t ] (.71) l R Η συνολική ροπή που αναπτύσσεται στη βάση του τοίχου θα δίνεται από τη σχέση: 1 1 * * nπ b = σx = λ + n n= 1 l M H ( h) hdh [( G ) H U ( h) hdh + + λ HV (1) λ H V ( h) dh] e * * n 1 n iωt (.7) που καταλήγει μετά από πράξεις: ν C1 C C C4 Mb = [[ G(1 + iδ) H[ ( 1 ν) Q sinh R+ cosh R+ sinh Q+ cosh Q n= 1 1 ν R R Q Q ν C sinh R+ C cosh R+ C sinh Q+ C cosh Q ( )( 1 4 C C C C ( 1 ν ) Q 1 ( cosh R 1) + sinh R+ ( cosh Q 1) + 4 sinh Q + R R Q Q 81 )

86 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης C1 C C C4 + ( ν ) ( cosh R 1) + sinh R+ ( cosh Q 1) + sinh Q ] R R Q Q + ν nπ U np + G(1 + iδ ) H + 1 ν l ν ν ( ) (1 ) 1sinh cosh sinh 4 cosh 1 G i δ H C R C R C Q C Q ν i t G(1 iδ ) H C1( cosh R 1) Csinh R C( cosh Q 1) C4sinh Q ] e ω ] 1 ν (.7) Οι αναλυτικές εκφράσεις (.69), (.71) και (.7) χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό των ωθήσεων και των δράσεων στη βάση του τοίχου (τέμνουσα, ροπή) σε πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή μέσω του κώδικα MAPLE, με σκοπό την εξαγωγή διαφόρων διαγραμμάτων. Σε μητρωική μορφή το σύστημα (.6) - (.65) γράφεται: n π Q nπ lr U np C1 l 1 1 C S S = cosh R sinh R Qcosh Q Qsinh Q C ν nπ R R U np 1 l C ν 4 n π n π n π n π sinh R cosh R Q + sinh Q Q + cosh Q l l l l Εξάλλου, στις στατικές ωθήσεις δεν μπορούμε να θέσουμε ω = (.74). Πράγματι, αν αντικατασταθεί στην εξίσωση (.74) όπου ω = και χρησιμοποιηθούν οι σχέσεις (.51), (.54) και (.66) προκύπτει: R = Q = S = nπ l Και τελικά μετά τις πράξεις αποδεικνύεται ότι η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα μηδενίζεται για κάθε τιμή του l. Αυτός είναι ο λόγος που δεν μπορούμε να πάρουμε ω =, για να υπολογίσουμε τις στατικές ωθήσεις, αλλά, όπως φαίνεται στα διαγράμματα, παίρνουμε συμβατικά ω =.1. Αν πάρουμε ω = τότε απειρίζονται οι ωθήσεις και οι δράσεις στον τοίχο εφόσον έχουμε διαίρεση μη μηδενικού πίνακα με πίνακα μηδενικής ορίζουσας. Στην περίπτωση που θέλουμε να πάρουμε τις εξιδανικευμένες στατικές ωθήσεις (και όχι τις οιονεί ) ακολουθούμε τη μεθοδολογία του Wood [197] για το πρώτο προσομοίωμα. 8

87 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης Τέλος, επισημαίνουμε ότι κατά τον υπολογισμό των τεμνουσών και των ροπών που αναπτύσσονται στη βάση του τοίχου δεχόμαστε ότι ο τοίχος έχει μηδενική μάζα. Συνεπώς, δεν λαμβάνουμε υπόψη την επίδραση της μάζας του τοίχου (και των παράγωγων μεγεθών της, όπως η στατική ροπή ή η ροπή αδράνειας ως προς τη βάση του τοίχου). Παρακάτω φαίνονται τρία διαγράμματα κατανομών ωθήσεων πίσω από τον τοίχο, για τρεις αντιπροσωπευτικές συχνότητες διέγερσης, που χαρακτηρίζουν ένα σεισμό. Ως γνωστόν, η κυκλική συχνότητα ω των συνιστωσών αρμονικών ταλαντώσεων ενός σεισμού μπορεί να κυμαίνεται συνήθως ανάμεσα σε έως 65 rad/sec περίπου. Από το Σχήμα.16 συμπεραίνουμε ότι η συχνότητα συντονισμού ενός συστήματος τοίχων με L/ H = είναι κοντά στα rad/s, διότι η καμπύλη 4 του διαγράμματος βρίσκεται πολύ ψηλότερα σχετικά με τις υπόλοιπες. Στο Σχήμα.17 φαίνεται ότι για L/ H = 1.5 η ιδιοσυχνότητα είναι κοντά στα 5rad/s. Ένα πρόβλημα στου υπολογισμούς είναι ότι για ύψος μεγαλύτερο από.96h οι ωθήσεις για L/ H = 1 και ω = 5 rad / s τείνουν να απειριστούν στην κορυφή του τοίχου. Ο απειρισμός αυτός παρατηρείται για όλες τις συχνότητες διέγερσης και για οποιαδήποτε απόσταση μεταξύ των τοίχων. Απειρισμοί των εδαφικών ωθήσεων παρατηρούνται σε περιπτώσεις που σχετίζονται με το προσομοίωμα που επιλύεται στο παρόν κεφάλαιο. Για παράδειγμα, αποδεικνύεται ότι σε ένα ιδανικά (τελείως) άκαμπτο και κατακόρυφο πέδιλο (ή πεδιλοδοκό) το οποίο φορτίζεται από μια αξονική κατακόρυφη δύναμη P έτσι ώστε ο φορέας της να περνά από το κέντρο συμμετρίας της βάσης του, το έδαφος ακριβώς κάτω από την κάτω επιφάνεια του θεμελίου υφίσταται ομοιόμορφη παραμόρφωση, δηλαδή κάθε σημείο του παθαίνει την ίδια καθίζηση. Τα σημεία όμως εκτός της επιφάνειας αυτής θεωρητικά δεν παθαίνουν καθίζηση. Έτσι οι συνοριακές συνθήκες στα άκρα της κάτω επιφάνειας του πεδίλου απαιτούν ότι στο όριο της επιφάνειας ξεκινώντας από το εσωτερικό της, θα πρέπει να υπάρχει μια πεπερασμένη καθίζηση, ενώ ξεκινώντας από έξω από την επιφάνεια αυτή, στο όριο θα πρέπει να υπάρχει μηδενική καθίζηση. Εξαιτίας της ασυνέχειας αυτής, στα όρια της κάτω επιφάνειας του πεδίλου θα πρέπει οι τάσεις του εδάφους να απειρίζονται. 8

88 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = y/ H σ / ρ X H x Σχήμα.15. Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ x / ρ X H ) για ν=. δ=.1 και συχνότητα διέγερσης ω=1 rad/s για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων. L/ H = 1. L/ H = L/ H = 1 L/ H = 1.5 L/ H = 5 L/ H = y/ H σ / ρ X H x Σχήμα.16. Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ x / ρ X H ) για ν =., δ =.1 και συχνότητα διέγερσης ω = rad / s για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/ H. 84

89 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης L/ H = 1.5 L/ H = 1 L/ H = L/ H = 5 L/ H = 1 L/ H = y/ H σ / ρx H x Σχήμα.17. Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ x / ρ X H ) για ν =., δ =.1 και συχνότητα διέγερσης ω = 5 rad / s για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/ H. L/ H = y/ H σ / ρ X H x Σχήμα.18. Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ x / ρ X H ) για ν =., δ =.1 και συχνότητα διέγερσης ω = 8 rad / s για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/ H. 85

90 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = y/ H σ / ρ X H x Σχήμα.19. Δυναμικές κατανομές αδιαστατοποιημένων σεισμικών εδαφικών ωθήσεων ( σ x / ρ X H ) για ν =., δ =.1 και συχνότητα διέγερσης ω = 1 rad / s για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων L/ H. Βέβαια οι απειρισμοί στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν. Απλώς στις περιπτώσεις αυτές συμβαίνει διαρροή του εδάφους τοπικά και έτσι οι τάσεις είναι πεπερασμένες. Η καμπύλη για L/ H = 1.5 δεν αγγίζει τον οριζόντιο άξονα, που σημαίνει ότι εκατέρωθεν του ελαχίστου οι ωθήσεις είναι θλιπτικές. Σε περίπτωση που οι ωθήσεις μηδενίζονται σε ένα σημείο είναι πολύ πιθανό εκατέρωθεν του σημείου μηδενισμού να αλλάζουν οι ωθήσεις από θλιπτικές σε εφελκυστικές ή αντιστρόφως. Συνήθως εφελκυστικές τάσεις παρατηρούνται στο τμήμα του διαγράμματος που βρίσκεται ανάμεσα στο σημείο μηδενισμού και την κορυφή του τοίχου. Τέλος και εδώ παρατηρείται η τάση για απειρισμό των ωθήσεων στην κορυφή του τοίχου. Παρατηρούμε γενικά ότι, όσο μειώνεται η συχνότητα διέγερσης, τόσο οι καμπύλες που αντιστοιχούν σε μικρές τιμές του L / H τείνουν να διαφοροποιηθούν από τη μορφή των υπολοίπων. Αυτό συμβαίνει διότι για αυτές τις τιμές οι ιδιοσυχνότητες των συστημάτων αυξάνονται κατά πολύ και πλησιάζουν αυτές των επιβαλλόμενων διεγέρσεων (Σχήματα.16,.17,.19). Στις εικόνες.16 και.17 η ανομοιομορφία δεν είναι τόσο εμφανής επειδή η κλίμακα του κατακόρυφου άξονα είναι μικρότερη από αυτή στο Σχήμα.18. Σχετική ομοιομορφία στις κατανομές παρατηρείται όταν έχω μικρή συχνότητα διέγερσης (Σχήμα.15) ή πολύ μεγάλη σε σύγκριση με τις ιδιοσυχνότητες των συστημάτων που μελετώνται (Σχήμα.19). 86

91 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης 4 ω = 1 rad / s ω = rad / s ω = 4 rad / s ω = 6 rad / s ω = 8 rad / s ω = 1 rad / s Q / ρ X H b L/ H Σχήμα.. Αδιαστατοποιημένη δυναμική τέμνουσα στη βάση του τοίχου ( Q / ρ X H της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης στο σύστημα. b ) συναρτήσει L/ H για ν =., δ =.1 και 5 4 L/ H = 1 L/ H = 1.5 L/ H = L/ H = L/ H = 5 L/ H = 1 Q / ρ X H b ω Σχήμα.1. Αδιαστατοποιημένη δυναμική τέμνουσα στη βάση του τοίχου ( Q ) συναρτήσει b / ρ XH της συχνότητας διέγερσης του συστήματος ( ω ) για ν =., δ =.1 και για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων L/ H. 87

92 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης.5..5 ω = 1 rad / s ω = rad / s ω = 4 rad / s ω = 6 rad / s ω = 8 rad / s ω = 1 rad / s M b / ρ X H L/ H Σχήμα.. Αδιαστατοποιημένη δυναμική ροπή στη βάση του τοίχου ( M αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης ω. b / ρ X H ) συναρτήσει της L/ H, για ν =., δ =.1 και για.5..5 L/ H = 1 L/ H = 1.5 L/ H = L/ H = L/ H = 5 L/ H = 1 M b / ρ X H ω Σχήμα.. Αδιαστατοποιημένη δυναμική ροπή στη βάση του τοίχου ( M b / ρ X H ) συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης ω για ν =., δ =.1 και για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων L/ H. 88

93 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης Από τα τέσσερα προηγούμενα Σχήματα διαπιστώνεται ότι: (α) (β) (γ) (δ) Η απόσταση μεταξύ των διαδοχικών μεγίστων αυξάνεται όσο μειώνεται η συχνότητα διέγερσης (Σχήμα.). Μελετώντας τις κορυφές των καμπυλών παρατηρούμε ότι μεταξύ των συχνοτήτων διέγερσης και 4 η τέμνουσα παίρνει τη μέγιστη τιμή. Οι κορυφές των διαφόρων καμπυλών υποδεικνύουν την ύπαρξη μέγιστης τέμνουσας ανάμεσα στις τιμές L / H = και 5. Η απόσταση μεταξύ των διαδοχικών μεγίστων αυξάνεται όσο μειώνεται η αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων. Επίσης, όσο αυξάνεται η αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων, τόσο αυξάνεται και η στατική τέμνουσα. Η απόσταση μεταξύ των διαδοχικών μεγίστων αυξάνεται όσο μειώνεται η συχνότητα διέγερσης (Σχήμα.). Μελετώντας τις κορυφές των καμπυλών παρατηρούμε ότι μεταξύ των συχνοτήτων διέγερσης και 4 η ροπή παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Η απόσταση μεταξύ των διαδοχικών μεγίστων αυξάνεται όσο μειώνεται η αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων. Μελετώντας τις κορυφές των καμπυλών παρατηρούμε ότι η ροπή παίρνει τη μέγιστη τιμή της για τιμές της L/ H μεταξύ και 5. Επίσης, όσο αυξάνεται η αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων, τόσο αυξάνεται και η στατική ροπή. Αξίζει να σημειωθεί ότι όπως στα διαγράμματα τέμνουσας (ροπής)-συχνότητας διέγερσης (Σχήματα.1 και.) παρατηρούνται μέγιστα τέμνουσας (ροπής) για διάφορες συχνότητες διέγερσης, τώρα παρατηρείται ότι για μια δεδομένη συχνότητα διέγερσης, παρατηρούνται μέγιστα στην τέμνουσα (ροπή) για διάφορες αποστάσεις των τοίχων (Σχήματα. και.). Καθένα από αυτά τα μέγιστα αντιστοιχεί σε μια οριζόντια ιδιομορφή. Έτσι επαληθεύεται η σχέση (.4) που δείχνει ότι η ιδιοσυχνότητα ενός συστήματος τοίχων είναι πολλαπλάσιο τόσο της συχνότητας της θεμελιώδους κατακόρυφης ιδιομορφής ( π V /H) όσο και της συχνότητας της θεμελιώδους οριζόντιας s ιδιομορφής ( π V / Hl). Η εξίσωση (.4) των Veletsos et al.[1995] εκφράζει αυτό ακριβώς s το γεγονός (αν και χωρίς μεγάλη ακρίβεια). Μειονέκτημα των παραπάνω διαγραμμάτων είναι ότι εκφράζουν τις δυναμικές δράσεις που αναπτύσσονται στη βάση του τοίχου είτε για μονοχρωματική διέγερση στη βάση, είτε για σύστημα μίας δεδομένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. Αλλά αυτό σημαίνει για παράδειγμα ότι η συχνότητα της διέγερσης για συστήματα στα οποία οι τοίχοι απέχουν 89

94 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης μεταξύ τους άπειρη απόσταση θεωρητικά είναι και η ιδιοσυχνότητά τους, οπότε αναμένονται οι μέγιστες δράσεις, ενώ σε συστήματα στα οποία οι τοίχοι είναι σχετικά κοντά μεταξύ τους η συχνότητα αυτή δεν είναι η ιδιοσυχνότητά τους, επειδή, όπως εξηγήσαμε με την εξίσωση (.4) όσο μειώνεται η απόσταση των τοίχων, τόσο αυξάνεται η ιδιοσυχνότητα του συστήματος (γίνεται πιο δύσκαμπτο). Αποτέλεσμα είναι ότι για μικρές τιμές του λόγου L / H τα διεγειρόμενα συστήματα δεν βρίσκονται σε συντονισμό, οπότε οι δράσεις που υπολογίζονται σε αυτές τις περιπτώσεις δεν είναι οι μέγιστες. Τον μηχανικό όμως που σχεδιάζει αυτούς τους τοίχους τον ενδιαφέρουν οι μέγιστες δράσεις και όχι αυτές που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη συχνότητα διέγερσης. Έτσι γεννιέται η ιδέα της δημιουργίας διαγραμμάτων που για συγκεκριμένη τιμή του λόγου L / H θα δίνουν τις μέγιστες αδιαστατοποιημένες δράσεις που θα αναπτυχθούν σε κάθε τοίχο, που αντιστοιχούν στην περίπτωση του συντονισμού. Τα διαγράμματα αυτά παρουσιάζονται παρακάτω. Ακριβέστερες μετρήσεις από πολλά διαγράμματα, σαν αυτό του Σχήματος.4, έδειξαν ότι η μέγιστη τέμνουσα που μπορεί να αναπτυχθεί στη βάση του τοίχου, είναι 5.7ρ X H για L/H =.8, ω = 1,4πV s /H (6. rad/s). Η μέγιστη ροπή που μπορεί να αναπτυχθεί στη βάση του τοίχου, είναι ρ X H για /.95 ω = 1. Vs /.4 L H =, π H (5.86 rad/s). Οι τιμές αυτές εξαρτώνται από το λόγο Poisson ν και την απόσβεση δ του αντιστηριζόμενου μέσου. Η αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση του δύσκαμπτου πρόβολου τοίχου αντιστήριξης είναι πάντα μεγαλύτερη από την αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση που αναπτύσσεται κάτω από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες (φυσικές ιδιότητες αντιστηριζόμενου εδάφους, διέγερση στη βάση, απόσταση μεταξύ των τοίχων). Αυτό φαίνεται και από τα Σχήματα.4 και.5 και επιπλέον θα αποδειχθεί στο 5 ο κεφάλαιο, όπου θα εξεταστεί η περίπτωση του δύσκαμπτου και στροφικά ενδόσιμου στη βάση μονόπακτου τοίχου αντιστήριξης. Εκτός από τα παραπάνω, πρέπει να διασφαλίσουμε ότι κάθε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου, βρίσκεται στην ελαστική περιοχή. Αυτό σημαίνει καταρχάς ότι η ορθή τάση (οριζόντια ή κατακόρυφη) και η διατμητική τάση με τις οποίες καταπονείται, δεν πρέπει να υπερβαίνουν το όριο διαρροής του υλικού. Επιπρόσθετα, μπορούν να εφαρμοστούν διάφορα κριτήρια αστοχίας, που συνδυάζουν τις τρεις αυτές τάσεις σε μια ισοδύναμη τελική, που συγκρίνεται με το όριο διαρροής του υλικού. Σε κάθε περίπτωση πάντως, πρέπει να έχουμε μια εικόνα της κατανομής των τάσεων σε όλη την έκταση του 9

95 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης Q / ρ b H X L / H Σχήμα.4. Διάγραμμα της αδιαστατοποιημένης δυναμικής τέμνουσας στη βάση του τοίχου, στην περίπτωση συντονισμού, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων. M b / ρ H X L/ H Σχήμα.5. Διάγραμμα της αδιαστατοποιημένης δυναμικής ροπής στη βάση του τοίχου, στην περίπτωση συντονισμού, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων. 91

96 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης αντιστηριζόμενου μέσου. Εξάλλου, γνωρίζοντας τις συναρτήσεις μετατόπισης (οριζόντιας και κατακόρυφης) μπορούμε να κάνουμε διάφορες συσχετίσεις με τις κατανομές των τάσεων, βγάζοντας χρήσιμα συμπεράσματα, η ακόμα και καινούρια προσομοιώματα για τη μελέτη της σεισμικής απόκρισης του εξεταζόμενου συστήματος. Παρακάτω παρουσιάζονται τα διαγράμματα τα οποία απεικονίζουν, συναρτήσει του κανονικοποιημένου ύψους h και της αδιάστατης παραμέτρου ξ ( = x / L ): α) την κανονικοποιημένη οριζόντια ορθή τάση (βλ. Σχήμα.6), β) την κανονικοποιημένη κάθετη ορθή τάση (βλ. Σχήμα.7), γ) την κανονικοποιημένη διατμητική τάση (βλ. Σχήμα.8), δ) την κανονικοποιημένη οριζόντια μετατόπιση (βλ. Σχήμα.9), και ε) την κανονικοποιημένη κάθετη μετατόπιση (βλ. Σχήμα.). Κατά το Σχήμα.6 οι τάσεις μηδενίζονται κατά μήκος της κάθετης ευθείας που ισαπέχει από τα κατακόρυφα σύνορα του μέσου. Μέγιστο εμφανίζει στα σημεία της ελεύθερης επιφάνειας του εδάφους που βρίσκονται στη διεπιφάνεια τοίχων-εδάφους, πλησίον της κορυφής των τοίχων, ενώ στη διεπιφάνεια τοίχων-εδάφους και βάσηςεδάφους δεν μηδενίζεται, όπως είναι αναμενόμενο. σ / ρhx x Σχήμα.6. Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών οριζόντιων ορθών τάσεων από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό. 9

97 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης σ / ρhx y Σχήμα.7. Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών κάθετων ορθών τάσεων από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό. τ / ρhx xy Σχήμα.8. Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών διατμητικών τάσεων από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό. 9

98 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης u/ H Σχήμα.9. Κατανομή της αδιαστατοποιημένης (ως προς H ) δυναμικής οριζόντιας μετατόπισης από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό. v/ H Σχήμα.. Κατανομή της αδιαστατοποιημένης (ως προς H ) δυναμικής κατακόρυφης μετατόπισης από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό. 94 Κατά το Σχήμα.7 οι τάσεις μηδενίζονται κατά μήκος της κάθετης ευθείας που

99 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης ισαπέχει από τα κατακόρυφα σύνορα του μέσου. Μέγιστο εμφανίζει στα άκρα της διεπιφάνειας βάσης-εδάφους (ή αλλιώς στα κατώτερα σημεία των διεπιφανειών τοίχωνεδάφους), ενώ στην ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους μηδενίζεται, όπως είναι αναμενόμενο. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι πρακτικά μηδενίζονται σε όλα τα σημεία του μέσου που βρίσκονται σε ύψος.7η και πάνω από τη βάση. Αυτό επαληθεύει την ορθότητα της υπόθεσης των Veletsos et al. [1995] ότι σε κάθε σημείο του μέσου σ y = (αν και όχι πλήρως). Σύμφωνα με το Σχήμα.8, οι διατμητικές τάσεις στην ελεύθερη επιφάνεια καθώς και στις διεπιφάνειες τοίχων-εδάφους μηδενίζονται, όπως θα περίμενε κανείς. Μεταβάλλονται κατά προσέγγιση παραβολικά με την οριζόντια απόσταση από τον τοίχο και με την απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους. Μέγιστο στη μέση της διεπιφάνειας βάσης εδάφους. Από τα διαγράμματα των Σχημάτων.6,.7 και.8 παρατηρούμε ότι κατά μήκος της κατακόρυφης ευθείας που ισαπέχει από τις δυο διεπιφάνειες τοίχων-εδάφους, το αντιστηριζόμενο μέσο καταπονείται σε καθαρή διάτμηση, εφόσον οι ορθές τάσεις είναι μηδενικές. Αντίθετα, στις διεπιφάνειες τοίχων-εδάφους το μέσο καταπονείται μόνο από ορθές τάσεις και κατά μήκος της ελεύθερης επιφάνειας του εδάφους υπάρχει καταπόνηση μόνο από οριζόντια ορθή τάση. Σύμφωνα με το Σχήμα.8, κατά μήκος των διεπιφανειών βάσης-εδάφους και τοίχωνεδάφους η οριζόντια μετακίνηση μηδενίζεται διότι τόσο οι τοίχοι όσο και η βάση είναι άκαμπτοι. Μέγιστο παρουσιάζει στη μέση της ελεύθερης επιφάνειας του εδάφους. Παρατηρούμε ότι μεταβάλλεται με παρόμοιο παραβολικό τρόπο όπως και οι διατμητικές τάσεις, μόνο που το διάγραμμα είναι σχεδόν συμμετρικό ως προς την ευθεία h = 1/. Σύμφωνα με το Σχήμα.8, κατά μήκος της διεπιφάνειας βάσης-εδάφους η κατακόρυφη μετακίνηση είναι μηδενική, διότι θεωρείται ότι δεν έχουμε αποκόλληση του εδάφους από τη βάση. Οι κατακόρυφες μετατοπίσεις μηδενίζονται κατά μήκος της κάθετης ευθείας που ισαπέχει από τις δυο διεπιφάνειες τοίχων-εδάφους. Όχι μόνο αυτό αλλά και η γενικότερη κατανομή θυμίζει την κατανομή των δυναμικών κάθετων ορθών τάσεων, σχεδόν συμμετρική ως προς τον άξονα h = 1/. Μέγιστη κατακόρυφη μετατόπιση έχουμε στα δυο άκρα της ελεύθερης επιφά νειας του εδάφους. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι πρακτικά μηδενίζονται σε όλα τα σημεία του μέσου που βρίσκονται σε ύψος.46h από τη βάση και κάτω. Αυτό επαληθεύει την ορθότητα της υπόθεσης Matuo and Ohara [196] ότι σε κάθε σημείο του μέσου v = (αν και όχι πλήρως). 95

100 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Ένα μέγεθος που ενδιαφέρει πολύ στο σύστημα τοίχων που εξετάζουμε είναι η επιτάχυνση στην επιφάνεια της εδαφικής στρώσης που παρεμβάλλεται μεταξύ των τοίχων. Από τη μαθηματική μορφή των μετατοπίσεων, μπορούμε εύκολα να καταλάβουμε ότι οι δυο επιταχύνσεις, οριζόντια και κατακόρυφη, στην επιφάνεια της εδαφικής στρώσης είναι ανάλογες με τις μετατοπίσεις. Όπου υπάρχει μεγάλη μετατόπιση, υπάρχει και μεγάλη επιτάχυνση (σχετικά με τα διάφορα σημεία της επιφάνειας της εδαφικής στρώσης). Από τα δύο τελευταία διαγράμματα συμπεραίνουμε ότι στο μέσο της ελεύθερης επιφάνειας η οριζόντια επιτάχυνση είναι μέγιστη, τη στιγμή που η κατακόρυφη είναι μηδενική ενώ πλησίον των δυο τοίχων η κατακόρυφη επιτάχυνση είναι μέγιστη, και η οριζόντια μηδενίζεται. Παρατηρήθηκαν προηγουμένως δυο «συμμετρίες» διαγραμμάτων. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις συμμετρίες για να επιλύσουμε το προσομοίωμα με πιο απλό τρόπο, κάνοντας αμελητέα μαθηματικά σφάλματα. Για παράδειγμα μπορούμε να ξεκινήσουμε με την υπόθεση ότι οι συναρτήσεις v( ξ, h, t) και σ ( ξ,1 ht, ) είναι ανάλογες μεταξύ τους, δηλαδή ότι ισχύει η σχέση: v( ξ, h, t) = k σ ( ξ,1 h, t) y y όπου k σταθερά. Μια άλλη υπόθεση είναι ότι οι συναρτήσεις u( ξ, h, t) και τ ( ξ,1 ht, ) xy είναι ανάλογες μεταξύ τους, δηλαδή ότι ισχύει παρομοίως με πριν: u( ξ, h, t) = kτ ( ξ,1 h, t) όπου k σταθερά. Η επίλυση όμως αυτών των μοντέλων είναι καθαρά θέμα μηχανικών. Η αυστηρή μαθηματική λύση παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο αυτό και επειδή είναι μία, όλες οι υπόλοιπες που τυχόν προκύψουν θα εμπεριέχουν έως ένα βαθμό προσεγγίσεις. xy... Λύση με βάση τα προσομοιώματα των Veletsos et al. [1995] και Veletsos and Younan [1994] Το προσομοίωμα αυτό θα επιλυθεί με βάση τις υποθέσεις που κάνουν οι Veletsos and Younan [1994, 1997] στην περίπτωση του προβλήματος του ενός τοίχου αντιστήριξης, ο οποίος αντιστηρίζει ημιάπειρη εδαφική στρώση. Οι υποθέσεις αυτές, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, είναι η προσέγγιση διατμητικής δοκού, και οι υποθέσεις (α) και (β) που προαναφέρθηκαν. Η πορεία επίλυσης δεν διαφέρει σε τίποτα από αυτήν που ακολουθήθηκε στο 96

101 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης προσομοίωμα του Wood, μέχρι και τις εξισώσεις (.8) και (.9). Η διαφοροποίηση ξεκινά από την διαδικασία απόζευξης των μεταβλητών ξ, η όπου επιτρέπεται μια κλειστή, αλλά προσεγγιστική, επίλυση του συστήματος των (. 8) και (.9) για τις συνοριακές συνθήκες του προσομοιώματος. Οι Matuo and Ohara [196] πρότειναν την πρώτη σχετική απλοποίηση κάνοντας την υπόθεση ότι σε κάθε σημείο του μέσου η κατακόρυφη μετατόπιση είναι μηδέν: vxy (, ) =. Οι Arias et al. [1981] και οι Veletsos and Younan [1991] έκαναν την ρεαλιστικότερη υπόθεση ότι η δυναμική κατακόρυφη ορθή συνιστώσα των τάσεων, σ y, είναι αμελητέα. Τα παραπάνω φαίνονται και στο Σχήμα.1. Αποδεικνύεται ότι όλες οι προηγούμενες παραδοχές επιτρέπουν την απόζευξη των διαφορικών εξισώσεων κίνησης ως προς τις μεταβλητές uv., Αποδεικνύεται επίσης ότι δεν υπάρχει ακριβής κλειστή λύση του συστήματος αυ τού, εξαιτίας της μορφής των συνοριακών συνθηκών του προβλήματος (στις διεπιφάνειες των τοίχων δεν υπάρχει σχετική ολίσθηση τοίχου-εδάφους, δηλαδή έχουμε διατμητικές τάσεις διάφορες του μηδενός). Πάντα οι υποθέσεις που γίνονται και θα γίνονται πάνω σε αυτό το θέμα θα εμπεριέχουν έως ένα βαθμό προσεγγίσεις. Σύμφωνα με την υπόθεση (α) η εξίσωση (.) παίρνει τη μορφή: v ν u = h 1 ν ξ (.75) yv, u = h τ xy Ομογενές ελαστικό εδαφικό στρώμα (επίπεδη ένταση) H u = u = v = σ = y Δύσκαμπτοι τοίχοι dw = dθ = x, u Άκαμπτη βάση i t x = Xe ω L Σχήμα.1. Προσομοίωμα του συστήματος δύσκαμπτων τοίχων των Veletsos et al. [1995] τροποποιημένο με βάση το προσομοίωμα τω ν Veletsos and Younan [1994]. Στο παραπάνω προσομοίωμα αναφέρεται η δεύτερη προτεινόμενη λύση. 97

102 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Αντικαθιστώντας την τελευταία στην (.6) θα προκύψει μετά τις πράξεις: ν * u * u u G + G ρh = ρh x () t (.76) 1 ν ξ h t και αν τεθεί ψ e = ν 1 ν τότε η (.76) γίνεται: ψ u u u ξ h ρ t ρ * * e G + G H = H x () t (.77) και αν ληφθεί υπόψη: u( ξ, h, t) = U( ξ, h) e iωt (.78) και v( ξ, h, t) = V( ξ, h) e iωt (.79) τότε η (.77) γίνεται: U U ψ ωρ ρ ξ h * * e G + G + H U = H X (.8) ενώ σύμφωνα με την υπόθεση (β), η εξίσωση (.9) που εκφράζει ισορροπία κατά y δε λαμβάνεται καθόλου υπόψη. Από εδώ υπάρχει η δυνατότητα να προχωρήσουμε με διάφορους τρόπους. Μπορούμε να γράψουμε τη συνάρτηση U στη μορφή: U = U Y n n όπου η Y ( ) n h θα δίνεται από τη σχέση (.16). Εναλλακτικά, μπορούμε να πάμε με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών και τα αποτελέσματα θα είναι όμοια. Εδώ θα πάμε με την πρώτη μέθοδο. Αντικαθιστούμε στην (.8) ( n 1) π U = Un sin h (.81) Είναι προφανές ότι η τελευταία ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες: u( ξ,) = 98

103 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης και u h h = 1 = και λόγω της (.15) που ισχύει σε άπειρη θεωρητικά απόσταση από τον τοίχο, όπου τα πράγματα δεν επηρεάζονται από μεταβολές του ξ (οι παράγωγοι ως προς ξ μηδενίζονται) στο σύστημα των αδιάστατων συντεταγμένων: v = ξ για κάθε h θα έχουμε τελικά: u h v + = τ = xy h 1 h 1 ξ = = h= 1 δηλαδή δεν έχουμε διατμητικές τάσεις στην επιφάνεια και δεν έχουμε μετατόπιση ως προς τη βάση στην οριζόντια διεπιφάνεια εδαφικού στρώματος-άκαμπτης βάσης. Αυτό ισχύει με απόλυτη ακρίβεια όταν η απόσταση των δυο τοίχων γίνει άπειρη. Οι ιδιομορφές ταλάντωσης της εδαφικής στρώσης είναι οι Y n της εξίσωσης (.16). Οι ιδιομορφές αυτές αντιπροσωπεύουν διάδοση διατμητικών κυμάτων στην εκατέρωθεν άπειρη εδαφική στρώση από τη βάση προς την ελεύθερη επιφάνεια. Στην ουσία οι μετατοπίσεις και οι τάσεις στα σημεία του μέσου, προκύπτουν ως γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών αυτών. Η (.8) μετά την παραπάνω αντικατάσταση παίρνει τη μορφή: ( n 1) * U π n * e G G U n + H Un = n ψ ωρ ρh X a ξ (.8) και αν διαιρέσουμε κατά μέλη με ψ G * e η (.8) γίνεται: ( n 1) U π n ωρh ρh X an Un + U * n = * ξ ψ e ψe G ψe G (.8) Στις παραπάνω εξισώσεις το a n προσδιορίζεται από το ανάπτυγμα Fourier: 1= an sin n= 1 ( n 1) π h 99

104 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης το οποίο ισχύει για κάθε παραπάνω με sin ( n 1) 1 h στο διάστημα [,1 ]. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη την π h, ολοκληρώνοντας κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψη ότι: ( n 1) π ( k 1) π sin h sin h dh = για nk, διαφορετικούς ακέραιους αριθμούς, υπολογίζουμε τον συντελεστή a από τη σχέση: n η οποία μετά τις πράξεις γίνεται: a n = 1 sin sin 1 ( n 1) ( n 1) π h dh π h dh a n 4 1 = π n 1 (.84) Εξάλλου η (.8) γράφεται: ή αλλιώς: ( n 1) U π n ωρh ρ H X an * U n = * ξ ψ e ψe G ψe G ( n 1) U π n φ ρ H X n an 1 U n = * ξ ψe 1+ iδ ψe G (.85) όπου φ = n ω n ( 1) 1 ω (.86) και πv ω s 1 = H η κυκλική ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης. Αν συμβολίσουμε με ποσότητα: Λ n την 1

105 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης φn Λ n = 1 (.87) 1+ iδ τότε η διαφορική εξίσωση (.85) γράφεται: η οποία έχει λύση την: U ( n 1) π ρh X n an Λ n Un = * ψ e ψe G ξ ( n ) π ( n ) π Λn ξ Λn ξ ψ ψ 4ρ 1 1 e e H Xan Un ( ξ ) =Α e +Βe G(1 + iδ)(n 1) π Λ n (.88) Η συνάρτηση αυτή πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω συνοριακές συνθήκες: U ξ = = και U ξ = = n n l Δηλαδή μεταξύ των συντελεστών Α, Β θα υφίστανται οι σχέσεις: Α+Β 4ρH Xan G(1 + iδ)(n 1) π Λ = n (.89) ( n ) π ( n ) π Λn l Λn l ψ ψ 4ρ 1 1 e e H Xan Α e +Βe G(1 + iδ)(n 1) π Λ = (.9) ή αλλιώς σε μητρωική μορφή: n 4ρH Xa n 1 1 G(1 iδ)(n 1) π n ( n 1) π ( n 1) π Α + Λ = Λn l Λn l ψ e ψ e Β 4ρH Xa e e n G(1 + iδ)(n 1) π Λ n (.91) Από την (.91) προσδιορίζω τους συντελεστές Α, Β: ( n 1) π ( n 1) π 1+ sinh Λn l cosh Λn l ψ e ψ e 4ρ H Xan Α= ( n 1) π G(1 + iδ)(n 1) π Λ sinh Λ n l ψ e n (.9) 11

106 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης ( n 1) π ( n 1) π sinh Λ n l + cosh Λn l 1 ψ e ψ e 4ρ H Xan Β= ( n 1) π G(1 + iδ)(n 1) π Λ sinh Λ n l ψ e n (.9) Αν αντικαταστήσουμε τις (.9) και (.9) στην (.88) μετά από τις σχετικές πράξεις θα πάρουμε: ( n 1) π ( n 1) π sinh Λ ξ sinh ( l ξ) n + Λ n ( n 1) π sinh Λ l n ψ e 4ρH X a n ψ ψ e e U ( ξ ) = 1 n G(1 + iδ)(n 1) π Λn (.94) Οι ορθές τάσεις σε κάθε σημείο του μέσου υπολογίζονται αν αντικαταστήσουμε τη σχέση (.75) στην (.8) οπότε προκύπτει η σχέση: σ x G(1 + iδ ) u = (.95) 1 ν H ξ Η εξίσωση (.95) με βάση τις σχέσεις (.94), (.81) και (.78) γίνεται: ( n 1) π ( n 1) π cosh Λnξ cosh Λn( l ξ) 4ρ HX e a ψ ψe ( n 1 n ) π σ x = sin h e (1 νπψ ) e n= 1 (n 1) Λn ( n 1) π sinh Λnl ψ e Οι ορθές τάσεις πίσω ακριβώς από τον τοίχο θα είναι οι παραπάνω για ξ=: iωt σ x ξ = ( n 1) π 1 cosh l n 4ρHX a ψ Λ e ( 1) n n π iωt = sin h e (1 νπψ ) n 1 (n 1) ( 1) e = Λn n π (.96) sinh Λ l n ψ e Η κατακόρυφη μετατόπιση θα υπολογιστεί με αντικατάσταση των (.94), (.81) και (.78) στην (.75), ολοκλήρωση ως προς h και επιβολή της αρχικής συνθήκης v = = h Συμβολίζοντας με Ξ την ποσότητα: 1

107 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης Έχουμε διαδοχικά: ( n 1) π ( n 1) π cosh ξ cosh ( l ξ) n n ψ Λ Λ ψ e e Ξ= ( n 1) π sinh Λ l n ψ e ( n ) ρh X a n 1 π iωt v ν = Ξ sin h 1 ν G(1 + iδ)(n 1) πλψ Και ολοκληρώνοντας με την προυπόθεση ότι v h = = : n e h e ( n ) ρh X a n 1 π iωt ν v( ξ, h, t) = Ξ 1 cos h e 1 ν G(1 + iδ)(n 1) πλψ n e Με τη βοήθεια των παραπάνω συναρτήσεων μετατόπισης μπορούν να υπολογιστούν οι ορθές και διατμητικές τάσεις που αναπτύσσονται στο αντιστηριζόμενο μέσο. Η τέμνουσα στη βάση του τοίχου θα είναι το ολοκλήρωμα των τάσεων καθ ύψος: Q = H σ dh b 1 x και με την αντικατάσταση της (.96) θα έχω: Q b ( n 1) π 1 cosh l n 8ρH X a ψ Λ n e iωt = e (.97) (1 νπψ ) n 1 (n 1) e = Λn ( n 1) π sinh Λ l n ψ e και η ροπή στη βάση του τοίχου θα είναι το ολοκλήρωμα: 1 M b = H σ xhdh και με την αντικατάσταση της (.96) θα έχω: M b = ( n 1) π 1 cosh Λ l (.98) n 16ρH X a n ψ e iωt e (1 νπψ ) n 1 (n 1) e = Λn ( n 1) π sinh Λ l n ψ e Οι σχέσεις (.96), (.97) και (.98) ενσωματώθηκαν στον κώδικα MAPLE για να εξαχθούν διάφορα διαγράμματα τα οποία φαίνονται παρακάτω: 1

108 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = 5 L/ H = 1 L/ H = 1 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα.. Κατανομές των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων για διάφορες τιμές του λόγου L/ H, για ν =. και δ =.1. Η κάθε καμπύλη εξάγεται για διέγερση συχνότητας ίσης με την πρώτη ιδιοσυχνότητα κάθε συστήματος. δ = δ = y/ H σ / ρhx x Σχήμα.. Κατανομές των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων για σύστημα τοίχων με L/ H = 5, ν =. και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος (.7 rad/s περίπου) για διάφορες τιμές της απόσβεσης δ. 14

109 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης ν =. ν = y/ H σ / ρ HX x Σχήμα.4. Κατανομές εδαφικών ωθήσεων για δ =.1, L/ H = 5 στην περίπτωση του συντονισμού για διάφορες τιμές του λόγου Poisson ν. Στο Σχήμα. όλες οι καμπύλες αντιστοιχούν σε συχνότητες διέγερσης ίσες με την ιδιοσυχνότητα του εκάστοτε συστήματος, δηλαδή σε συντονισμό. Προφανώς οι ωθήσεις για σύστημα τοίχων με L/ H = 5 είναι οι μεγαλύτερες από όλες, ενώ οι ωθήσεις στην περίπτωση του συντονισμού για L/ H = 1 ή είναι μικρότερες από τις προηγούμενες. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια απόσταση μεταξύ των τοίχων για την οποία έχουμε μέγιστες εδαφικές ωθήσεις σε περίπτωση συντονισμού. 1 Στο Σχήμα. οι πρώτες δύο καμπύλες προκύπτουν για δ = ενώ οι δύο δεύτερες για δ =.1. Στο σχήμα εμφανίζονται μόνο δυο καμπύλες επειδή οι καμπύλες της παρούσας μεθόδου ταυτίζονται στην ουσία με αυτές των Veletsos et al.[1995]. Είναι προφανές ότι οι κατανομές αυξάνονται κατά πολύ εάν η απόσβεση υλικού είναι μηδενική. Από το Σχήμα.4 διαπιστώνουμε εύκολα ότι όσο αυξάνεται ο λόγος ν τόσο αυξάνονται και οι ωθήσεις. Πάλι οι καμπύλες της παρούσας μεθόδου και των Veletsos et al.[1995] ταυτίζονται, γι αυτό στο διάγραμμα φαίνονται μόνο δύο. Να σημειωθεί ότι οι συχνότητες συντονισμού υπολογίστηκαν με βάση τον τύπο (.4), που όπως θα αποδειχθεί παρακάτω, είναι τουλάχιστον προσεγγιστικός. Το γεγονός αυτό δεν κρίνεται ανησυχητικό διότι δεν απαιτείται μεγάλη ακρίβεια στις καμπύλες. 15

110 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Προτεινόμενη λύση. Q / ρ b H X.5 Veletsos et al. (1995). 1.5 Προτεινόμενη λύση 1. Veletsos et al. (1995) L/ H Q / ρ HLX Σχήμα.5. Δυναμική τέμνουσα στη βάση του τοίχου συναρτήσει του λόγου L/ H για ν =., δ =.1. Οι πάνω καμπύλες παριστάνουν την τέμνουσα αδιαστατοποημένη ως προς ρ X H και οι κάτω καμπύλες παριστάνουν την τέμνουσα αδιαστατοποιημένη ως προς ρ X HL. b. Προτεινόμενη λύση M b / ρ H X 1.5 Veletsos et al. (1995) 1. Προτεινόμενη λύση Veletsos et al. (1995).5 M b / ρ H LX L / H Σχήμα.6. Δυναμική ροπή στη βάση του τοίχου συναρτήσει του λόγου L/ H για ν=., δ=.1.οι πάνω καμπύλες παριστάνουν την ροπή αδιαστατοποημένη ως προς ρ X H και οι κάτω καμπύλες παριστάνουν την τέμνουσα αδιαστατοποιημένη ως προς ρ X H L. 16

111 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης 4 Προτεινόμενη λύση Q / ρ b H X Veletsos et al. (1995) Προτεινόμενη λύση Veletsos et al. (1995) 1 Q / ρhlx b L/ H Σχήμα.7. Αδιαστατοποιημένη δυναμική τέμνουσα στη βάση των τοίχων σε περίπτωση συντονισμού του συστήματος τοίχων-εδάφους, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασής τους L/ H. Στις πάνω καμπύλες η αδιαστατοποίηση έγινε ως προς ρ X H ενώ στις κάτω ως προς ρ X HL. Για κάθε τιμή της απόστασης L/ H το αντίστοιχο σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό...5 Προτεινόμενη λύση. M b / ρ H X 1.5 Veletsos et al. (1995) 1. Προτεινόμενη λύση Veletsos et al. (1995) M b / ρ H LX L / H Σχήμα.8. Αδιαστατοποιημένη δυναμική ροπή στη βάση των τοίχων σε περίπτωση συντονισμού του συστήματος τοίχων-εδάφους, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασής τους L/ H. Στις πάνω καμπύλες η αδιαστατοποίηση έγινε ως προς ρ X H ενώ στις κάτω ως προς ρ. Για κάθε τιμή της απόστασης L/ H το αντίστοιχο σύστημα βρίσκεται X H L σε συντονισμό. 17

112 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Όπως φαίνεται στα Σχήματα.5 και.6, οι διαφορές των δυο μεθόδων είναι μικρές. Η συχνότητα διέγερσης είναι η ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τα χαρακτηριστικά αυτής που παρεμβάλλεται μεταξύ των δυο τοίχων. ( π V /H ) Στα Σχήματα.7 και.8 παρουσιάζονται οι καμπύλες που για μια συγκεκριμένη τιμή του λόγου L / H δίνουν τις μέγιστες αδιαστατοποιημένες δράσεις που θα αναπτυχθούν σε κάθε τοίχο, για την περίπτωση του συντονισμού. Σε αυτά γίνεται και σύγκριση μεταξύ της μεθόδου των Veletsos et al.[1995] και της παρούσας. Από το πρώτο διαπιστώνεται ότι η μέγιστη τέμνουσα προκύπτει για L/ H = 4. 5 περίπου. Από το δεύτερο βλέπουμε ότι η μέγιστη ροπή παρατηρείται για L/ H = 4. 5 και η ελάχιστη για L/ H = περίπου. Να σημειωθεί ότι τα παραπάνω διαγράμματα δεν ανταποκρίνονται πλήρως στην πραγματικότητα, επειδή ακριβώς η εξίσωση (.4) δεν είναι ακριβής. Έτσι, για παράδειγμα, για απόσταση L = 19.5H περίπου, τόσο η τέμνουσα όσο και η ροπή στη βάση του τοίχου παίρνουν τιμή μικρότερη από αυτήν που έχουν για συχνότητα διέγερσης ίση με π V /H (βλέπε τα δύο προηγούμενα διαγράμματα). Αυτό είναι εξόφθαλμο λάθος, s επειδή δεν πρέπει να υπάρχει τέμνουσα μεγαλύτερη από αυτήν που αναπτύσσεται στο συντονισμό, για καμία άλλη συχνότητα διέγερσης. Παρατηρείται όμως γενικά ότι τα δυο τελευταία διαγράμματα είναι αυξημένα σε σχέση με τα δύο πρώτα αφού η αδιαστατοποιημένη δύναμη και ροπή μπορούν να φτάσουν το 4.8 και το. αντίστοιχα, σε συνθήκες συντονισμού του συστήματος τοίχων-εδάφους. Το ακριβές διάγραμμα μπορεί να προκύψει αν κάνουμε γραφικές παραστάσεις των δράσεων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για όλες τις συχνότητες συντονισμού των συστημάτων που έχουν αδιαστατοποιημένες αποστάσεις μεταξύ των τοίχων οι οποίες εμπίπτουν στις τιμές που παίρνει ο οριζόντιος άξονας. Στα παρακάτω διαγράμματα εξετάζονται συστήματα με λόγο L/ H όπως φαίνεται στους οριζόντιους άξονες. Αυτό σημαίνει ότι χρειάστηκαν καμπύλες για συχνότητες διέγερσης από την ιδιοσυχνότητα της ημιάπειρης εδαφικής στρώσης ( π V /H ) μέχρι και την ιδιοσυχνότητα του συστήματος με s (περίπου 9 rad/sec). Επειδή δεν είναι δυνατό να γίνουν γραφικές παραστάσεις για όλες τις συχνότητες που παρεμβάλλονται μεταξύ των δυο παραπάνω τιμών, το εύρος συχνοτήτων 19 rad/s έως 9 rad/s χωρίστηκε σε 1 ίσα μέρη. Επομένως οι 1 συχνότητες που προέκυψαν απείχαν η μία από την αμέσως επόμενη ή προηγούμενη κατά. rad/s. Έτσι προέκυψαν 1 καμπύλες, τόσο πυκνοχαραγμένες που τα ανώτερα σημεία τους κάλλιστα θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν ως σημεία χάραξης της ζητούμενης καμπύλης. Βέβαια η καμπύλη αυτή δεν έχει χαραχθεί, αλλά τα διαγράμματα 18 L/ H = s

113 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης απεικονίζουν τις 1 καμπύλες μαζί, όπως κατασκευάστηκαν με τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή και του κώδικα MAPLE. Ακριβέστερες μετρήσεις από πολλά διαγράμματα που έγιναν, σαν αυτό των σχημάτων.9,.4, απέδειξαν ότι η μέγιστη τέμνουσα που μπορεί να αναπτυχθεί στη βάση του τοίχου, είναι 6.1 ρ X H και αυτό συμβαίνει όταν /.1 L H = 9 και ω = 1.9 πv / H. Η s μέγιστη ροπή που μπορεί να αναπτυχθεί στη βάση του τοίχου, είναι.9 ρ X H και αυτό συμβαίνει όταν L/ H =.19 και ω = 1.4 πv / H. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι εάν κάποιος έχει σχεδιάσει τον κάθε τοίχο του συστήματος των δύο τοίχων με τέμνουσα στη βάση 6.11 ρ X H και ροπή 4.1ρ X H s, μπορεί να είναι σίγουρος ότι δεν θα αστοχήσει για οποιαδήποτε απόσταση των τοίχων, και για οποιαδήποτε αρμονική διέγερση στη βάση. Τα παραπάνω αποτελέσματα προσεγγίζουν τα αντίστοιχα της ακριβούς επίλυσης που πραγματοποιήθηκε με τη μεθοδολογία του Wood. Τα διαγράμματα των σχημάτων.41 και.4 πραγματοποιήθηκαν με τη μέθοδο που περιγράφεται στην παρούσα εργασία. Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλώνει η απόσταση των τοίχων, τόσο λιγότερα μέγιστα της δυναμικής τέμνουσας παρατηρούνται σε ένα συγκεκριμένο εύρος συχνοτήτων, (για παράδειγμα από ω1 έως ω 1 ). Επίσης, τα μέγιστα αυτά όσο αυξάνεται η απόσταση των τοίχων, τόσο πλησιάζουν τον κατακόρυφο άξονα τείνοντας στην τιμή ω 1. Αυτό είναι λογικό αφού μειώνεται η ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Τέλος, οι τιμές των πρώτων μεγίστων δεν μεταβάλλονται μονότονα με την αύξηση της απόστασης των τοίχων, γεγονός που σημαίνει ότι υπάρχει μια απόσταση στην οποία έχουμε το μεγαλύτερο πρώτο μέγιστο. Στο Σχήμα.41 τα τοπικά μέγιστα είναι περίπου.55 στα.15ω 1, 5.6 στα 1.ω 1,.85 στα 1.4ω 1, και.5 σε συχνότητα ίση με ω 1, αντίστοιχα, όπου ω1 = πv /H η ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης. Στο s Σχήμα.4 τα τοπικά μέγιστα είναι περίπου.5 στα.ω 1,.5 στα 1.ω 1,.4 στα 1.ω 1, 1.85 σε συχνότητα ίση με ω 1, όπου ω1 = πv /H η ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης. Στα Σχήματα.4 έως.46 παρουσιάζονται οι κατανομές των τάσεων και των μετατοπίσεων σε όλη την επιφάνεια του μέσου. s 19

114 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Q / ρ b H X L / H Σχήμα.9. Διάγραμμα της αδιαστατοποιημένης δυναμικής τέμνουσας στη βάση του τοίχου, στην περίπτωση συντονισμού, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων. M b / ρ H X L / H Σχήμα.4. Διάγραμμα της αδιαστατοποιημένης δυναμικής ροπής στη βάση του τοίχου, στην περίπτωση συντονισμού, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης των τοίχων. 11

115 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης 5 4 L/ H = 1 L/ H = 5 L/ H = 1 L/ H >> Q / ρ X H b ω / ω 1 Σχήμα.41. Αδιαστατοποιημένη δυναμική τέμνουσα ( Q / ρ X H ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης συχνότητας διέγερσης ( είναι για L/ H = 1,5,1, > > αντίστοιχα. 1 b ω / ω ) για ν =., δ =.1. Οι καμπύλες.5. L/ H = 1 L/ H = 5 L/ H = 1 L/ H >>.5. M b / ρ X H ω / ω 1 Σχήμα.4. Αδιαστατοποιημένη δυναμική ροπή ( M συχνότητας διέγερσης ( 1 αντίστοιχα. b / ρ X H ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης ω / ω ) για ν =.,.1 δ = και για L/ H = 1,5,1, > > 111

116 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης σ / ρhx x Σχήμα.4. Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών οριζόντιων ορθών τάσεων στην επιφάνεια του μέσου για L/ H = και συντονισμό. τ / ρhx xy Σχήμα.44. Κατανομή των αδιαστατοποιημένων (ως προς ρ HX ) δυναμικών διατμητικών τάσεων από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό. 11

117 Κεφάλαιο : Σύστημα Δύσκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης u/ H Σχήμα.45. Κατανομή της αδιαστατοποιημένης (ως προς H ) δυναμικής οριζόντιας μετατόπισης από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό. v/ H Σχήμα.46. Κατανομή της αδιαστατοποιημένης (ως προς H ) δυναμικής κατακόρυφης μετατόπισης από σημείο σε σημείο του αντιστηριζόμενου μέσου για L/ H = και συντονισμό. 11

118 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Στο Σχήμα.4, μέγιστα παρουσιάζονται στα άκρα της ελεύθερης επιφάνειας του εδάφους και είναι λίγο μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα της αυστηρής μεθόδου. Επίσης, κατά μήκος (i) της κατακόρυφης ευθείας που ισαπέχει από τις διεπιφάνειες τοίχωνεδάφους και (ii) της διεπιφάνειας βάσης-εδάφους οι τάσεις είναι μηδενικές. Στην πρώτη περίπτωση υπάρχει συμφωνία με την αυστηρή λύση ενώ στη δεύτερη όχι. Στο Σχήμα.44, στην ελεύθερη επιφάνεια καθώς και στις διεπιφάνειες τοίχων-εδάφους οι τάσεις δεν μηδενίζονται, όπως στην περίπτωση της αυστηρής λύσης, μπορούν όμως να θεωρηθούν χωρίς μεγάλο σφάλμα ίσες με μηδέν. Μεταβάλλονται κατά προσέγγιση παραβολικά με την οριζόντια απόσταση από τον τοίχο και με την απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους. Μέγιστο εντοπίζεται στη μέση της διεπιφάνειας βάσηςεδάφους σχεδόν ίσο με το αντίστοιχο της αυστηρής μεθόδου. Στο Σχήμα.45, κατά μήκος των διεπιφανειών βάσης-εδάφους και τοίχων-εδάφους η οριζόντια μετακίνηση μηδενίζεται διότι τόσο οι τοίχοι όσο και η βάση είναι άκαμπτοι. Μέγιστο παρουσιάζει στη μέση της ελεύθερης επιφάνειας του εδάφους, σχεδόν ίσο με το αντίστοιχο της αυστηρής μεθόδου. Παρατηρούμε ότι μεταβάλλεται με παρόμοιο παραβολικό τρόπο όπως και οι διατμητικές τάσεις, μόνο που το διάγραμμα είναι σχεδόν συμμετρικό ως προς την ευθεία h = 1/. Στο Σχήμα.45, κατά μήκος της διεπιφάνειας βάσης-εδάφους η κατακόρυφη μετακίνηση είναι μηδενική, διότι θεωρείται ότι δεν έχουμε αποκόλληση του εδάφους από τη βάση. Οι κατακόρυφες μετατοπίσεις μηδενίζονται κατά μήκος της κάθετης ευθείας που ισαπέχει από τις δυο διεπιφάνειες τοίχων-εδάφους. Μέγιστη κατακόρυφη μετατόπιση έχουμε στα δυο άκρα της ελεύθερης επιφάνειας του εδάφους, μεγαλύτερη από αυτή που υπολογίζεται από την αυστηρή λύση. 114

119 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ.1. ΓΕΝΙΚΑEQUATION SECTION Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήθηκε η συμπεριφορά των ιδανικά άκαμπτων τοίχων αντιστηρίξεως του εξεταζόμενου προσομοιώματος. Υπολογίστηκαν οι ωθήσεις που δέχονται, καθώς και οι δράσεις στη βάση τους (τέμνουσα και ροπή). Όμως το είδος αυτό των τοίχων είναι σπάνιο να συναντηθεί. Τα μέτρα ελαστικότητας των τοίχων που κατασκευάζονται σήμερα είναι πεπερασμένα, και τα πάχη τους δεν είναι άπειρα. Αυτό σημαίνει ότι ο απόλυτα ανένδοτος τοίχος αποτελεί μια εξιδανίκευση. Όλοι οι τοίχοι αντιστηρίξεως εμφανίζουν μια ενδοσιμότητα, καμπτική ή στροφική στη βάση, η οποία μάλιστα καθορίζει και τη στατική τους λειτουργία. Όταν η ενδοσιμότητα είναι πολύ μικρή, τότε ο τοίχος συμπεριφέρεται σαν τοίχος βαρύτητας, ενώ όταν η ενδοσιμότητα είναι μεγαλύτερη, ο τοίχος βασίζεται στη δυσκαμψία του για να αντιστηρίξει τα υπερκείμενα εδάφη. Σημειώνεται ότι οι τοίχοι βαρύτητας ενδέχεται να παρουσιάσουν, πέραν της στροφής στη βάση τους, και ολίσθηση. Όσον αφορά την ενδοσιμότητα των τοίχων των προσομοιωμάτων του Wood [197] και των Veletsos et al. [1995] αυτή λαμβάνεται υπόψη μόνο ως στροφική ενδοσιμότητα στη βάση. Αυτό σημαίνει ότι αντί να υπάρχει στη βάση μια τέλεια πάκτωση, αυτή αντικαθίσταται από ένα στροφικό ελατήριο, το οποίο επιτρέπει στον τοίχο μόνο να στρίψει ως προς αυτήν, παραμένοντας τελείως άκαμπτος. Καθ όλη τη διάρκεια της διέγερσης το ελατήριο παραμένει στην ελαστική περιοχή, δηλαδή η ροπή που δέχεται είναι ανάλογη με τη στροφή που προκαλεί... ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ VELETSOS ET AL. [1995] Ενώ ο Wood ασχολείται με προσομοιώματα στα οποία μόνο ο ένας τοίχος είναι στροφικά ενδόσιμος, οι Veletsos et al.[1995] ασχολούνται με προσομοίωμα του οποίου και οι δυο τοίχοι έχουν στροφικά ελατήρια στη βάση τους. Επιπλέον, οι σταθερές των ελατηρίων είναι ίσες, καθώς και οι αποσβέσεις των τοίχων. Αυτό προσδίδει μια συμμετρία στο σύστημα που απλοποιεί πολλούς υπολογισμούς. Και εδώ όλα τα υπόλοιπα 115

120 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης yv, u = h τ xy Ομογενές ελαστικό εδαφικό στρώμα (επίπεδη ένταση) u = w Δύσκαμπτος τοίχος dw = H u = Άκαμπτη βάση Στροφικό ελατήριο dθ x, u x L i t = Xe ω Σχήμα.1. Προσομοίωμα συστήματος εύστρεπτων αλλά δύσκαμπτων τοίχων των Veletsos et al. [1995] χαρακτηριστικά του προσομοιώματος είναι ακριβώς ίδια με αυτά του αντίστοιχου προσομοιώματος των Veletsos et al. που περιγράφηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Το προσομοίωμα των Veletsos et al.[1995] φαίνεται στο Σχήμα.1. Το πλάτος της γωνίας στροφής στις βάσεις των τοίχων Θ βρέθηκε ότι είναι: n 1 Sw ψ 4 a 4 n + n= 1, n ρh ( 1) π Θ= 16 1 π * π ω Ιw Rθ ψ b n + 4 n= 1, n 4 ω1 ρh GH ρ X H G (.1) Oι ωθήσεις που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο: n π ( 1) G n σw ψ ρxh Θ a sin n b π = + n h e π n= 1, n n ρxh iωt (.) Και η τέμνουσα και η ροπή στη βάση του τοίχου θα είναι αντίστοιχα: Q X H a b n 1 p 16 1 π ( 1) GΘ i t b = ψρ n + n n 1, n n XH e ω (.) π = ρ 116 M X H a b e n 1 p ( 1) π 1 GΘ iωt b = ψρ 4 4 n + n (.4) π n= 1, n n ρxh

121 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης 1+ iδ αnl όπου: an = tanh 1 φ + iδ H και: αnl bn = ( 1+ iδ)( 1 φn + iδ) tanh H n.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ Όπως έγινε αντιληπτό στο προηγούμενο κεφάλαιο, η επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων των Veletsos et al.[1995] με τα αντίστοιχα της αυστηρής λύσης του Wood [197] καθώς και με αυτά της μεθόδου που αναπτύχθηκε στην παρούσα εργασία είναι προφανής. Με αυτό ως δεδομένο, σκεπτόμενοι πάντα ως μηχανικοί θεωρούμε την αυστηρή μέθοδο επίλυσης του Wood ως υπολογιστικά μη συμφέρουσα, αφού απαιτεί πολύ πιο πολύπλοκους υπολογισμούς από τη μέθοδο των Veletsos et al. για την εξαγωγή των ίδιων σχεδόν αποτελεσμάτων. Για το λόγο αυτό από εδώ και στο εξής θα χρησιμοποιηθεί κατά κόρον η μέθοδος των Veletsos et al. για την επίλυση των διάφορων προσομοιωμάτων. Το προσομοίωμα που θα μελετηθεί εδώ είναι αυτό του προηγούμενου κεφαλαίου, με τη διαφορά ότι οι τοίχοι δεν είναι δύσκαμπτοι, αλλά εν αντιθέσει εύκαμπτοι και στροφικά ενδόσιμοι στη βάση τους. Επιπλέον, οι δυσκαμψίες των δυο τοίχων είναι ίδιες μεταξύ τους και τα στροφικά ελατήρια στη βάση των δυο τοίχων έχουν την ίδια δυστρεψία. Οι σταθερού υστερητικού τύπου αποσβέσεις των τοίχων και των ελατηρίων της βάσης τους είναι ίδιες. Όλα αυτά δίνουν στο μελετώμενο προσομοίωμα μια συμμετρία ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσο της άκαμπτης βάσης και της ελεύθερης επιφάνειας της εδαφικής στρώσης. Αυτή η συμμετρία απλοποιεί πολύ τους υπολογισμούς αν χρησιμοποιηθεί κατάλληλα. Για παράδειγμα, οι ωθήσεις και οι δράσεις που ασκούνται στους δύο τοίχους του συστήματος θα είναι ίδιες. Αυτή η συμμετρία θα αποτελέσει και το «κλειδί» για την εύρεση των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων πίσω από τους τοίχους, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Σημειώνεται ότι για το συγκεκριμένο προσομοίωμα δεν έχει προηγηθεί αναλυτική λύση από άλλον ερευνητή. Για αυτό είναι αδύνατον να γίνουν συγκρίσεις με προγενέστερες μελέτες διαφόρων ερευνητών, παρά μόνο με αποτελέσματα αριθμητικών αναλύσεων με 117

122 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης πεπερασμένα στοιχεία. Το προσομοίωμα προς επίλυση φαίνεται στο Σχήμα.: yv, u = h τ xy Ομογενές ελαστικό εδαφικό στρώμα (επίπεδη ένταση) u = w dw H u = v = σ = y Άκαμπτη βάση dθ x, u L x i t = Xe ω Σχήμα.. Προσομοίωμα εύκαμπτων τοίχων οι οποίοι έχουν στροφική ενδοσιμότητα στη βάση τους...1. Ιδιομορφές ταλάντωσης του τοίχου Πριν ξεκινήσουμε την επίλυση του υπό εξέταση προσομοιώματος, είναι σκόπιμο να δούμε τον τοίχο σαν ένα ταλαντούμενο σύστημα άπειρων βαθμών ελευθερίας. Δηλαδή, θεωρούμε τον τοίχο σαν ένα σύστημα με κατανεμημένη μάζα και δυσκαμψία. Αυτά τα συστήματα ονομάζονται συνεχή και αποδεικνύεται ότι έχουν άπειρους βαθμούς ελευθερίας κινήσεως. Αντίθετα, τα διακριτοποιημένα συστήματα έχουν πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Ο αριθμός των ανεξάρτητων μετακινήσεων που χρειάζονται για να καθοριστούν οι μετακινήσεις όλων των σημείων ενός ταλαντούμενου συστήματος σχετικά με την αρχική τους θέση ονομάζεται αριθμός βαθμών ελευθερίας για τη δυναμική ανάλυση. Εκείνο που έχει σημασία είναι ότι η ταλάντωση του τοίχου μελετήθηκε χωρίς διακριτοποιήσεις που οπωσδήποτε εισάγουν προσεγγίσεις στο πρόβλημα. Για την περίπτωση της ελεύθερης ταλάντωσης μιας συνεχούς δοκού, η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την μετατόπιση κάθε σημείου της είναι η: u u mx ( ) + EIx ( ) = t x x (.5) Χωρίζοντας μεταβλητές και γράφοντας τη συνάρτηση ως: uxt (, ) = φ( xqt ) ( ) (.6) 118

123 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης προκύπτουν: u = φ( x) qt ( ) (.7) t u φ( x) = () qt x x (.8) Με αντικατάσταση των (.7) και (.8) στην (.5) προκύπτει: φ( x) mx ( ) φ( xqt ) ( ) + qt ( ) EIx ( ) = x x (.9) Αν η τελευταία διαιρεθεί με mx ( ) φ ( xqt ) ( ) γίνεται φ( x) ( ) EI x qt () x x = qt ( ) mx ( ) φ( x) (.1) Κάθε μέλος της τελευταίας εξαρτάται και από διαφορετική μεταβλητή: το αριστερό μόνο από το t και το δεξί μόνο από το οι δυο συνήθεις δευτεροτάξιες διαφορικές εξισώσεις x. Αν εξισωθούν τα δύο μέλη με ω, τότε προκύπτουν q + ω q = (.11) x φ( x) x EI( x) ω m( x) φ( x) = (.1) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει ο προσδιορισμός της χωρικής συνάρτησης φ ( x). Ο πρόβολος τοίχος αντιστήριξης του προσομοιώματος είναι ομοιογενής όσον αφορά τη μάζα και τη δυσκαμψία του. Συνεπώς: Άρα η (.1) γίνεται: EI( x) = EI mx ( ) = m φ( x) ( ) = x 4 EI ω mφ x 4 (.1) 119

124 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Η γενική λύση της (.1) είναι η όπου φ ( x) = C sin bx + C cosbx + C sinh bx + C cosh bx (.14) 1 4 b ω = (.15) EI 4 m Η λύση περιέχει τέσσερις σταθερές και μια ιδιοσυχνότητα ω. Επιβολή των τεσσάρων συνοριακών συνθηκών της δοκού, δύο για κάθε άκρο της, θα έχει ως αποτέλεσμα την έκφραση των τριών σταθερών συναρτήσει της τέταρτης, και τον υπολογισμό της ιδιοσυχνότητας ω. Για x = η μετατόπιση και η κλίση του τοίχου είναι μηδενικές (θεωρούμε τοίχο καθαρά καμπτόμενο, καθόσον η ιδιομορφή που οφείλεται σε στροφή περί τη βάση θα υπολογισθεί παρακάτω), δηλαδή: u(, t) = φ() = C + C = (.16) 4 u x φ = = φ( x) = Cb 1 + Cb = (.17) x x= x= δηλαδή Για x C 1 C = H η ροπή είναι μηδενική εφόσον έχουμε ελεύθερο άκρο: + = (.18) φ( x) M( H, t) = EI = x x= H C (sin bh + sinh bh ) + C (cosbh + cosh bh ) = 1 (.19) Για x = H η τέμνουσα είναι επίσης μηδενική: φ( x) V( H, t) = = x x= H C (cosbh + cosh bh ) + C ( sin bh + sinh bh ) = 1 (.) Γράφοντας τις (.19) και (.) σε μητρωική μορφή, έχουμε: sin bh + sinh bh cosbh + cosh bh C1 cosbh cosh bh sin bh sinh bh C = + + (.1) 1

125 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης Για να ικανοποιείται η τελευταία θα πρέπει, είτε τα να είναι μηδενικά (μηδενική λύση), είτε ο τετραγωνικός πίνακας να έχει ορίζουσα μηδενική. Φυσικά ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η δεύτερη περίπτωση, εφόσον για C C, C 1 1 C = = ο τοίχος δεν ταλαντώνεται καθόλου. Από την εξίσωση της ορίζουσας με το μηδέν θα προκύψει και η τιμή της ιδιοσυχνότητας b : sin bh + sinh bh cosbh + cosh bh det = cosbh + cosh bh sin bh + sinh bh (.) 1+ cosbh coshbh = Η (.) λύνεται αριθμητικά για να μας δώσει: bh j = λ = j (.) κ.ο.κ. Οι δε ιδιομορφές ταλάντωσης του τοίχου, μία για κάθε τιμή του bl n είναι: ( j ) ( ) φ j( x) = C 1 cosh bx j cosbx j aj sinh bx j sin bx = C 1 cosh λjh cos λjh aj sinh λjh sin λjh (.4) όπου a n cosh λ j + cos λ j = sinh λ + sin λ j j (.5) Με wht (, ) συμβολίζουμε το βέλος του τοίχου, δηλαδή την συνάρτηση που δίνει την απόσταση ενός τυχαίου σημείου του, όταν ο τοίχος είναι παραμορφωμένος, από τη θέση του ίδιου σημείου, όταν ο τοίχος είναι απαραμόρφωτος. Για λόγους ευκολίας των υπολογισμών αυτό μπορεί να γραφεί ως άθροισμα γινομένων μιας συνάρτησης του χρόνου, η οποία ταυτόχρονα δίνει το μέγεθος του βέλους του τοίχου qt () συνάρτησης που δίνει το σχήμα του τοίχου φ ( h) οπότε θα δίνεται από τη σχέση:, και μιας wht (, ) = φ j( hq ) j( t) j= 1 (.6) Η τελευταία σχέση ισχύει μόνο στην περίπτωση που οι τοίχοι δεν είναι στροφικά 11

126 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης ενδόσιμοι στη βάση [Veletsos and Younan, ]. Στο προσομοίωμα όμως που μελετάται στο παρόν κεφάλαιο, επιδιώκεται να ληφθεί υπόψη και η στροφική ενδοσιμότητα. Για το λόγο αυτό στο παραπάνω άθροισμα προστίθεται και μια ιδιομορφή ταλάντωσης του τοίχου, που οφείλεται σε καθαρή περιστροφή στη βάση. Η ιδιομορφή αυτή δεν είναι δύσκολο να υπολογιστεί. Θεωρώντας έναν τοίχο τελείως άκαμπτο να περιστρέφεται γύρω από τη βάση του, το βέλος του περιγράφεται από την εξίσωση: Από το παραπάνω γινόμενο συνάρτηση του wht (, ) = yθ ( t) = hhθ ( t) (.7) είναι μόνο ο πρώτος όρος του. Όλα τα υπόλοιπα είναι γενικά συνάρτηση του χρόνου. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε: και h φ ( h) = h (.8) q () t = HΘ () t (.9) Ο δείκτης δείχνει ότι η παραπάνω συνάρτηση φ είναι μια επιπρόσθετη συνάρτηση, πέρα από τις συναρτήσεις φ n που προσδιορίστηκαν ως ιδιομορφές ταλάντωσης του προβόλου. Συνεπώς, το άθροισμα (.6) μπορεί να γραφεί: wht (, ) = φ j( hq ) j( t) j= (.) όπου για την περίπτωση j = ισχύουν οι σχέσεις (.8) και (.9). Έτσι, επεκτείνεται η σχέση του βέλους του τοίχου (.6) για να συμπεριλάβει και την ιδιομορφή ταλάντωσης του τοίχου που οφείλεται στο στροφικό ελατήριο στη βάση.... Εξισώσεις Larane Οι εξισώσεις κίνησης του τοίχου προκύπτουν από επανειλημμένη εφαρμογή των εξισώσεων του Larane: d T T V dt q q q w w w + = f (.1) όπου T είναι η κινητική ενέργεια του τοίχου, V είναι η δυναμική του ενέργεια, w w f είναι η γενικευμένη δύναμη που επιβάλλεται στον τοίχο λόγω των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων, και 1

127 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης q i t = Qe ω (.) Η τελεία πάνω από ένα σύμβολο δηλώνει παραγώγιση ως προς χρόνο. Η κινητική και η δυναμική ενέργεια δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: και 1 ( ) 1 T = μ H x + w dh (.) w w V w * 1 1 Dw d w = dh H dh (.4) όπου x είναι η στιγμιαία ταχύτητα του εδάφους, w είναι η ταχύτητα του τοίχου ως προς τη βάση. Για τις δύο μιγαδικές δυσκαμψίες, καμπτική του τοίχου ελατήριο της βάσης * R θ, ισχύει αντίστοιχα: * D w και στροφική στο D = D (1 + iδ ) * w w w και * Rθ = Rθ + iδ w (1 ) όπου το D w δίνεται από τη σχέση: D w Et = 1 1 w w ( ν w ) (.5) Αντικαθιστώντας τις (.) και (.4) στη (.1), και κάνοντας χρήση της (.) η εξίσωση του Larane καταλήγει στην: * D d φj( h) d φj( h) w μwh φj( h), φj( h) q +, q = f μ ( ),1 wh φj h x (.6) H dh dh όπου f i t = Fe ω (.7) i t x = Xe ω (.8) και ισχύει για δυο τυχαίες συναρτήσεις ah ( ), bh ( ): 1

128 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1 ah ( ), bh ( ) = ahbhdh ( ) ( ) (.9)... Υπολογισμός γενικευμένων δυνάμεων Οι γενικευμένες δυνάμεις θα οριστούν μέσω του έργου που παράγουν κατά την παραμόρφωση του τοίχου. Το στοιχειώδες έργο που παράγει η δύναμη f όταν μετακινεί το σημείο εφαρμογής της κατά dq θα είναι ίσο με: dw = fdq (.4) δηλαδή: f dw = dq (.41) Επιδιώκεται να υπολογιστεί το έργο τοίχου W συναρτήσει του βαθμού παραμόρφωσης του q. Καταρχάς οι ωθήσεις που ασκούνται από το έδαφος στον τοίχο σ (,) ht και που υπολογίστηκαν από την (1.4) εκφράζονται ως άθροισμα δυο συνιστωσών ως εξής: όπου σ ( ht, ) = σ ( ht, ) + σ ( ht, ) (.4) x r f σ r είναι οι ωθήσεις που αναπτύσσονται πίσω από τον άκαμπτο τοίχο, και x σ f είναι οι επιπρόσθετες ωθήσεις που αναπτύσσονται όταν ο τοίχος είναι εύκαμπτος. Επειδή κατά την παραμόρφωση του τοίχου οι ωθήσεις που σχετίζονται με τον άκαμπτο τοίχο σ r δεν μεταβάλλονται, σε αντίθεση με αυτές που σχετίζονται με την ευκαμψία του τοίχου οι οποίες μεταβάλλονται όσο αυξάνεται η παραμόρφωση, το έργο που θα παράγουν οι ωθήσεις σ x θα είναι ίσο με: 1 W = H σx, w = H ( σr + σ f ), w = H σr, w + H σ w, f (.4) Λαμβάνοντας υπόψη ότι η σ r είναι ανεξάρτητη από το βέλος q, και αντικαθιστώντας τη σχέση (.4) στην (.41), προκύπτει μετά από τις πράξεις το μέτρο της γενικευμένης δύναμης f : w 1 σ f w f = H σ r, + H, w + σ f, q q q (.44) 14

129 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης Για έναν άκαμπτο τοίχο τα w και σ f είναι και τα δυο μηδέν, και έτσι τόσο το έργο που ορίστηκε στην (.4) όσο και η γενικευμένη δύναμη που ορίστηκε στην (.44) θα είναι ίσα με μηδέν όπως θα έπρεπε να ήταν. Οι συναρτήσεις σ ( h ), w ( h ) δεν είναι τίποτε άλλο από τα πλάτη των συναρτήσεων σ ( ht, ), wht (, ) αντίστοιχα. Δηλαδή ισχύει: x και x σ ( ht, ) = σ ( he ) iωt (.45) x x wht (, ) = whe ( ) iωt (.46) Όπως φάνηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, για μια αρμονική διέγερση στη βάση με επιτάχυνση i t x = Xe ω (.47) η συνάρτηση μετατόπισης δίνεται από τη σχέση: όπου: u( ξ, h, t) = U ( ξ) ψ ( h) e iωt (.48) n= 1 n n ( n 1) π ψ n( h) = sin h (.49) και: ( n 1) π ( n 1) π sinh Λ ξ + sinh Λ ( l ξ) n n ( n 1) π sinh Λ l n ψ e 4ρH X a n ψ ψ e e U ( ξ ) = 1 n G(1 + iδ)(n 1) π Λn (.5) Τα μεγέθη που εμφανίζονται στις παραπάνω εξισώσεις προσδιορίστηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. Επειδή όμως και το βέλος του τοίχου αποτελεί μια μετατόπιση που εμπλέκεται στον υπολογισμό των ωθήσεων, πρέπει να αναχθεί σε σειρά όμοιων όρων με αυτή που εξήχθη για την οριζόντια μετατόπιση στο προηγούμενο κεφάλαιο. Αν το βέλος του τοίχου αναπτυχθεί σε απειροσειρά των συναρτήσεων ψ n που εμφανίζονται παραπάνω θα έχουμε: 15

130 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης wht (, ) = Wψ ( he ) iωt (.51) n= 1 n n Επειδή οι συναρτήσεις ψ n εξαρτώνται μόνο από το αδιαστατοποιημένο ύψος να γίνει η παραπάνω ανάπτυξη σε απειροσειρά, η συνάρτηση φ j γράφεται ως εξής: h, αντί φ ( h) = aψ ( h n ) j n= 1 n (.5) Οι συντελεστές a n θα υπολογιστούν αν πολλαπλασιαστεί κατά μέλη η (.5) με ψ n ( h ), ολοκληρωθεί κατά μέλη από έως 1, και γίνει χρήση της εξίσωσης: ψ, ψ = n k που ισχύει για Συνεπώς: n k εξαιτίας της ορθογωνιότητας των συναρτήσεων ψ. Η (.5) γίνεται: φ ( h), ψ ( h) = a ψ ( h), ψ ( h) (.5) j n n n n n a n = φj( h), ψn( h) ψ ( h), ψ ( h) (.54) n n Αν λάβουμε υπόψη ότι για την αρμονική διέγερση που επιβάλλεται οι γενικευμένες συναρτήσεις q j είναι της μορφής: τότε η (.51) μπορεί να γραφεί ως: i t q () t = Q e ω j j wht (, ) = anψ n( h) Qe j j= n= 1 iωt wht (, ) = aq n j ψ n( he ) n= 1 j= iωt (.55) Αν η τελευταία συγκριθεί με την (.51) προκύπτει από αντιστοιχία: W n = anqj j= (.56) Οι συνιστώσες των εδαφικών ωθήσεων πίσω από τον τοίχο θα είναι: 16

131 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης σ ( ht, ) = KUψ ( he ) iωt (.57) r n n n n= 1 iωt σ ( ht, ) = KWψ ( he ) = f n n n n= 1 = Ka n nψ n( h) Qe j j= n= 1 iωt (.58) όπου ο ρόλος της σταθεράς q j για κάθε ιδιομορφή ξεχωριστά προκύπτει: K n θα εξηγηθεί μετά. Αν παραγωγίσουμε την (.) ως προς w q j = φ ( h) j (.59) Αν κάνουμε το ίδιο και στην (.58) προκύπτει: σ (.6) f = Ka n nψ n( h) q j n= 1 Τότε για τους τύπους των ολοκληρωμάτων της (.44) θα ισχύει: και w σ ψ φ ψ iωt iωt r, = KU n n n( he ), j( h) = KU n n n, φ j e (.61) q n= 1 n= 1 σ J f, w = K aψ ( h), φ ( h) q ( t) = K a ψ, φ q q ( t) n n n k k n n n k k n= 1 k= n= 1 (.6) J w iωt σ f, = Ka n nψn( h) Qe j, φj( h) Ka n n ψn q t q =, φ k k( ) (.6) j= n= 1 k= n= 1 Επομένως η (.44) γίνεται: και λόγω της (.7): J iωt f = H KnUn ψn, φj e H Knan ψn, φk qk( t) n= 1 k= n= 1 (.64) J F = H KnUn ψn, φj H Knan ψn, φk Qk n= 1 k= n= 1 (.65) Σύμφωνα με τους Veletsos and Younan [1994b], για μία οριζόντια ράβδο σε αρμονική 17

132 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης ταλάντωση η δυναμική δυσκαμψία K n της ράβδου ορίζεται ως «το πλάτος της αρμονικά μεταβαλλόμενης δύναμης στα άκρα της ράβδου που είναι ικανό να προκαλέσει μια σταθερού μοναδιαίου πλάτους μετακίνηση των άκρων της, όπου η ράβδος έχει περάσει σε μια σταθερή κατάσταση εξαναγκασμένης ταλάντωσης». Τα άκρα όμως της ράβδου δεν αποσαφηνίζονται με τον παραπάνω ορισμό. Μερικές φορές η ράβδος μπορεί να εκτείνεται μέχρι το άπειρο (περίπτωση ενός μόνο τοίχου αντιστήριξης που αντιστηρίζει ημιάπειρη εδαφική στρώση). Εδώ καθορίζονται τα όρια της ράβδου, και ο ορισμός της δυναμικής δυσκαμψίας παίρνει μαθηματική μορφή. Η δυναμική δυσκαμψία ορίζεται με το πηλίκο: K n ( σ ) x n x= = (.66) U n x= x όπου ( ) σ είναι όρος του αθροίσματος που δίνει τις ωθήσεις σ x στο προσομοίωμα αν x n υποτεθεί ότι όλοι οι τοίχοι που εμπλέκονται σε αυτό είναι ιδανικά άκαμπτοι, και αντίστοιχα το U είναι όρος του αθροίσματος που δίνει τις μετατοπίσεις στο σημείο x n του ίδιου προσομοιώματος. Το σημείο x έχει πάντα την ιδιότητα ότι: σ = = (.67) x x x Το σημείο x μπορεί να υπάρχει μέσα στο προσομοίωμα ή να απέχει και άπειρη απόσταση από τον τοίχο. Αν θεωρήσουμε ότι το προσομοίωμα έχει και τους δύο τοίχους άκαμπτους (δηλαδή αυτό του Κεφαλαίου ), θα δούμε ότι η εξίσωση (.67) ικανοποιείται στα σημεία που βρίσκονται πάνω στην ευθεία x = L /. Αυτό φάνηκε σε πολλά διαγράμματα οριζόντιων δυναμικών ορθών τάσεων κατά μήκος και πλάτος του αντιστηριζόμενου μέσου (Σχήματα.6 και.4). Εδώ πρέπει οπωσδήποτε να αναφερθεί το γεγονός ότι τόσο το προσομοίωμα που μελετάται, όσο και αυτό του προηγούμενου κεφαλαίου εμφανίζουν συμμετρία ως προς την παραπάνω ευθεία. Η συμμετρία είναι απαραίτητη για να μπορεί να εφαρμοστεί η παρούσα μεθοδολογία. Αν οι τοίχοι δεν είχαν την ίδια δυσκαμψία, τότε δεν θα υπήρχε συμμετρία, και δεν θα μηδενίζονταν οι τάσεις κατά μήκος της παραπάνω ευθείας, αλλά σε άλλες θέσεις άγνωστες, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να οριστεί επακριβώς η δυναμική δυσκαμψία Συνεπώς, η εξίσωση (.66) γίνεται: K n. 18

133 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης K n ( n 1) π 1 cosh (1 )( 1) Λ l n G + iδ n πλ = ψ n e (1 νψ ) H e ( n 1) π ( n 1) π sinh Λ / sinh Λ l n l n ψe ψe (.68) Αυτή είναι και η τιμή του απαιτούνται στο παρόν κεφάλαιο. K n που χρησιμοποιήθηκε για τους υπολογισμούς που..4. Εξίσωση κίνησης του τοίχου Η εξίσωση (.6) αν ληφθούν υπόψη οι (.), (.7) και (.8) γράφεται για ένα τυχαίο Q k : d φ ( h) d φ ( h) ωμh φ( h), φ( h) Q, Q F μh φ( h),1 X H dh dh (.69) * Dw j j + = w j k k k w j Αν αντικαταστήσουμε το F από την (.65) έχουμε: * D d φj( h) d φj( h) w, + H K, nan ψn φk Qk = H dh dh n= 1 ωμw φj φk k n n ψn φj μw φj n= 1 H ( h), ( h) Q = H K U, H ( h),1 X (.7) Για την αρμονική διέγερση που θεωρείται, οι εξισώσεις κίνησης του τοίχου πρέπει να είναι της μορφής: και ([ ] S ω [ M] ){ Q} = ρx H { } Συγκρίνοντας τις (.7) και (.71) κατά αντιστοιχία παρατηρείται ότι: [ S] [ M ] μ H φ ( h), φ ( h) w j k A (.71) = (.7) * D d φj( h) d φj( h) w =, + H Knan ψ n, φk (.7) H dh dh [ ] n= 1 n= 1 μw 1 A = φ j( h),1 KnUn ψn, φj (.74) ρh ρx H Τα μεγέθη [ M ],[ S],[ A ] είναι πίνακες τα στοιχεία των οποίων φαίνονται παρακάτω: 19

134 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης [ M] φ, φ φ, φ1 φ, φ... φ, φj φ1, φ φ1, φ1 φ1, φ... φ1, φj = μwh φ, φ φ, φ1 φ, φ... φ, φj φj, φ φj, φ1 φj, φ... φj, φj (.75) Και επειδή οι συναρτήσεις παραπάνω πίνακας γίνεται: φ n είναι ορθογώνιες με φ = h, και ισχύει φ, φ = 1 ο n n 1/ h, φ1 h, φ... h, φj φ1, h 1... M = μwh φ, h φj, h... 1 [ ] Ο πίνακας [ S ] γράφεται ως άθροισμα άλλων πινάκων: (.76) [ S] [ S ] [ S ] = + (.77) i '' '' '' '' '' '' * D J w = '' '' '' '' '' '' H φ, φ1 φ, φ... φ, φj [ S ] RH θ... D w φ, φ φ, φ... φ, φ φ, φ φ, φ... φ, φ '' '' '' '' '' '' J 1 J J J (.78) Εξαιτίας του ελεύθερου άκρου στην κορυφή του τοίχου, της ορθογωνιότητας των συναρτήσεων φ n, και της σχέσης φ, φ '' '' 4 n n n = λ ο τελευταίος πίνακας γίνεται: w * 4 D λ w 1 4 H λ [ S ] RH θ... D... = (.79) λj Ο τόνος στον εκθέτη δηλώνει παραγώγιση ως προς x. Ο αριθμός λ j παίρνει τιμές που φαίνονται στην εξίσωση (.) για τις διάφορες ιδιομορφές του τοίχου. Ο πίνακας S j 1

135 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης έχει στοιχεία:,, S H K a H K φ ψ ψ φ j n n k [ i], =, jk n n ψn φk = n (.8) 1 1 ψ, ψ n= n= n n και είναι σύνθετος, δηλαδή δεν έχει απλή μορφή όπως οι πίνακες στις σχέσεις (.76) ή (.79). Για το λόγο αυτό δεν θα γραφεί εδώ αναλυτικά, αφού δεν μπορούν να γίνουν απλοποιητικοί υπολογισμοί. Το ίδιο και για το διάνυσμα (στήλη) [ A ] που έχει στοιχεία: μw 1 A = φ j( h),1 KnUn ψn, φj (.81) ρh ρx H [ ] Υπολογισμός των ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται στις διάφορες εκφράσεις: n= 1 ψ, ψ n k φ, φ j k.5, n = k =, n k 1, j = k =, j k (.8) (.8) j = k 4, '' '' λ j j, k = φ φ, j k (.84) ψ,1 n 1 = π n 1 (.85), = ψ h n π n n+ 1 4 ( 1) ( 1) (.86) φ,1 j.5, j = = a j, j λ j (.87) φ, h j 1/, j = =, j λ j (.88) φ, ψ n+ 1 4 ( 1), j = π (n 1) = + λε j n λj ( 1) a jεn, j 4 4 λj εn j n j n (.89) 11

136 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης όπου στην τελευταία είναι: ε n (n 1) π = (.9) Όλα τα παραπάνω ολοκληρώματα αφορούν τοίχο πρόβολο. Τέλος, υπενθυμίζεται ότι όλες οι αναλύσεις του παρόντος κεφαλαίου, είτε αναλυτικές είτε αριθμητικές, έγιναν για σταθερή υστερητική απόσβεση ξ =.5 = 5%. Κάτι άλλο που πρέπει να επισημανθεί είναι ότι οι τυχόν εφελκυστικές ωθήσεις σε διαγράμματα κατανομών εδαφικών ωθήσεων, δεν παρουσιάζονται στα διαγράμματα με αρνητικό πρόσημο, αλλά σχεδιάζονται στο θετικό τμήμα του οριζόντιου άξονα. Οι λόγοι για αυτό είναι κυρίως δύο: (α) (β) Οι ωθήσεις προκύπτουν ως η απόλυτη τιμή μιγαδικών αριθμών, η οποία είναι πάντα θετική, και έτσι οι κώδικες προγραμματισμού σχεδιάζουν τις ωθήσεις, θλιπτικές και εφελκυστικές, στο θετικό τμήμα του εκάστοτε διαγράμματος. Με το να σχεδιαστούν οι εφελκυστικές ωθήσεις με αρνητικό πρόσημο στα διαγράμματα, η κλίμακα του οριζόντιου άξονα θα αυξανόταν, για να συμπεριλάβει στον ίδιο χώρο θετικά και αρνητικά, ενώ τώρα που έχει μόνο τα θετικά, ο οριζόντιος άξονας είναι πιο ευανάγνωστος. Τέλος, όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο κεφάλαιο, όπου αναφέρεται η φράση «στατικές ωθήσεις», θα εννοείται ότι υπολογίζονται οι ωθησεις που οφείλονται σε μοναδιαία οριζόντια επιτάχυνση σταθερή με το χρόνο (δηλαδή αρμονική διέγερση μοναδιαίας επιτάχυνσης με συχνότητα μηδέν), και όχι για την κατακόρυφη επιτάχυνση της βαρύτητας, όπως πολύ δικαιολογημένα θα νόμιζε κανείς. 1

137 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης..5. Διαγράμματα ωθήσεων L/ H = 1 1. dw = dθ =.8.6 y/ H σ / ρ HX x Σχήμα.. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος δύσκαμπτων τοίχων ( dw = dθ = ) για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. 1. dw = dθ = L/ H = 1.6 y/ H σ / ρhx x Σχήμα.4. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύστρεπτων τοίχων με dw =, dθ =.5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 1

138 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1. dw = dθ = y/ H L/ H = σ / ρ HX x Σχήμα.5. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύστρεπτων τοίχων με dw =, dθ = 1 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 1. dw = dθ = y / H.4 L/ H = σ / ρ HX x Σχήμα.6. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύστρεπτων τοίχων με dw =, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 14

139 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης dw = 1 dθ = L/ H = 1 y/ H σ / ρ HX x Σχήμα.7. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύκαμπτων τοίχων με dw = 1, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 1. dw = 1 dθ = L/ H = 1.4 y/ H σ / ρhx x Σχήμα.8. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 1, dθ =.5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 15

140 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης dw = 1 dθ = L/ H = 1.4 y/ H σ / ρhx x Σχήμα.9. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 1, dθ = 1 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 1. dw = 1 dθ = 5.8 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα.1. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 1, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 16

141 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης 1. dw = 5 dθ = L/ H = 1.4 y/ H σ / ρhx x Σχήμα.11. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύκαμπτων τοίχων με dw = 5, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 1. dw = 5 dθ = L/ H = 1.4 y/ H σ / ρhx x Σχήμα.1. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 5, dθ =.5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 17

142 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1. dw = 5 dθ = y / H L/ H = σ / ρ HX x Σχήμα.1. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 5, dθ = 1 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. dw = 5 dθ = L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα.14. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 5, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 18

143 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης 1. dw = 4 dθ =.8.6 y/ H L/ H = σ / ρ HX x Σχήμα.15. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος εύκαμπτων τοίχων με dw = 4, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. dw = 4 dθ = y/ H L/ H = σ / ρhx x Σχήμα.16. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 4, dθ =.5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 19

144 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης dw = 4 dθ = y/ H L/ H = σ / ρhx x Σχήμα.17. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 4, dθ = 1 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. dw = 4 dθ = L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα.18. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος ενδόσιμων καμπτικά και στροφικά τοίχων με dw = 4, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 14

145 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης Στα παραπάνω διαγράμματα παρατηρούμε τα εξής: (α) Όσο αυξάνονται τα dw, dθ, δηλαδή οι δείκτες ευκαμψίας του τοίχου και στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση του αντιστοίχως, τόσο μειώνονται οι στατικές εδαφικές θλιπτικές ωθήσεις που δέχεται ο τοίχος από πίσω. Αυτό είναι συμπέρασμα γενικά αποδεκτό τόσο από τον Wood [197] που μελέτησε το προσομοίωμα αυτό μόνο με τον ένα τοίχο στροφικά ενδόσιμο, όσο και από τους Veletsos et al.[1995] που μελέτησαν το προσομοίωμα με τους δύο τοίχους μόνο στροφικά ενδόσιμους, και με ίδιες δυστρεψίες. (β) (γ) Όσο αυξάνεται η απόσταση των τοίχων, τόσο αυξάνονται και οι εδαφικές ωθήσεις που δέχονται οι τοίχοι, αλλά όμως σταθεροποιούνται από μια απόσταση μεταξύ των τοίχων και μετά. Αυτό συμβαίνει μόνο στις στατικές διεγέρσεις (ή οιονεί στατικές) διότι η ποσότητα του εδάφους που αντιστηρίζεται αυξάνεται με την αύξηση της απόστασης μεταξύ των τοίχων και συνεπώς λόγω της στατικής διέγερσης αυξάνονται και οι αδρανειακές δυνάμεις. Βέβαια, από ένα σημείο και μετά, η αύξηση αυτή δεν επηρεάζει τα αποτελέσματα, διότι οι αδρανειακές δυνάμεις παραλαμβάνονται πλέον από τη βάση και όχι από τους τοίχους. Οι εφελκυστικές εδαφικές ωθήσεις που ασκούνται στην κορυφή των τοίχων από πίσω δεν μεταβάλλονται ομαλά με την ενδοσιμότητά τους. Για κάποιους συνδυασμούς της ευκαμψίας και της στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση οι εφελκυστικές τάσεις παίρνουν μεγάλες τιμές ( dw =, dθ = 5 ) και, ενώ για μεγαλύτερη ενδοσιμότητα θα περίμενε κανείς να είναι μεγαλύτερες, δεν είναι απαραίτητα έτσι ( dw = 4, dθ = 5). Πάντως, ο κύριος παράγοντας που καθορίζει το μέγεθος των εφελκυστικών ωθήσεων σε περίπτωση τοίχων με μικρές ευκαμψίες είναι η στροφική ενδοσιμότητα στη βάση: όσο αυξάνεται αυτή τόσο αυξάνονται οι παραπάνω ωθήσεις. (δ) Υπενθυμίζεται ότι στην παρούσα εργασία έχει θεωρηθεί πλήρως δεσμευμένη μετακίνηση του εδάφους στη διεπιφάνειές του με τους τοίχους. Παρόλα αυτά η ύπαρξη εφελκυστικών εδαφικών ωθήσεων καθιστά λίγο επισφαλή την παρούσα μελέτη καθώς στην πραγματικότητα μπορεί να έχουμε αποκόλληση του εδάφους από τον τοίχο. Το γεγονός αυτό απαιτεί επιπρόσθετη διερεύνηση. Η μέγιστη εφελκυστική τάση (που παρατηρείται στην κορυφή του τοίχου γενικά) πρέπει να είναι μικρότερη από το όριο αναλογίας του εδαφικού υλικού που αντιστηρίζεται. Αν είναι μεγαλύτερη, και ειδικά αν ξεπερνά το όριο διαρροής του αντιστηριζόμενου εδαφικού 141

146 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης υλικού τότε αναπτύσσονται πλαστικές παραμορφώσεις στο έδαφος και συνεπώς τα αποτελέσματα που παραθέτονται στην παρούσα εργασία δεν είναι σωστά. Το ίδιο πρέπει να γίνεται και με τις θλιπτικές ωθήσεις. (ε) Όσο αυξάνονται οι ευκαμψίες των τοίχων τόσο μειώνεται το ύψος στο οποίο παρατηρείται το μέγιστο των εδαφικών ωθήσεων. Η μεταβολή αυτή είναι ιδιαίτερα αισθητή όσο μειώνεται η στροφική ενδοσιμότητα στη βάση των τοίχων. (στ) Όσο αυξάνεται το dw τόσο υποβιβάζεται η θέση του μεγίστου των ωθήσεων, καθιστώντας το διάγραμμα των ωθήσεων σχεδόν τριγωνικό με μηδενισμό τάσεων κοντά στην κορυφή των τοίχων, και μέγιστη τιμή κοντά στη βάση των τοίχων. Η τριγωνική αυτή κατανομή είναι πιο εμφανής όταν δεν υπάρχει καθόλου στροφική ενδοσιμότητα ( dθ = ). Η παραπάνω περίπτωση αντιστοιχεί σε τέλεια πακτωμένο τοίχο (τοίχο που φτάνει πρακτικά σε μεγάλο βάθος, σε σχέση με το ύψος της στρώσης που αντιστηρίζει) ο οποίος δέχεται τριγωνική κατανομή ωθήσεων. Η περίπτωση αυτή είναι γνωστή. Κατά το σχεδιασμό τοίχων αντιστήριξης με αναλυτικές μεθόδους, όπως η μέθοδος Rankine δεχόμαστε ότι οι κατανομές στατικών ωθήσεων πίσω από έναν τοίχο είναι τριγωνικές. Αυτό συμβαίνει και στην πράξη, διότι ο ιδανικά άκαμπτος και πακτωμένος τοίχος ( dw =, dθ = ) είναι μια εξιδανίκευση. Συνεπώς η παραπάνω μεθοδολογία επαληθεύεται και στην πράξη. (ζ) Στο τριγωνικό σχήμα των ωθήσεων που περιγράφηκε παραπάνω ( dw = 4 ) οι ωθήσεις στη βάση του τοίχου μειώνονται όσο αυξάνεται η στροφική ενδοσιμότητα dθ στη βάση. (η) Η κλίση των ωθήσεων ως προς τον οριζόντιο άξονα μειώνεται όσο αυξάνεται η ευκαμψία των τοίχων και όσο μειώνεται η στροφική ενδοσιμότητα στη βάση. Η ελάχιστη κλίση στα διαγράμματα που παρουσιάστηκαν εμφανίζεται για dw = 4, dθ =. Εδώ πρέπει να επισημανθεί κάτι σημαντικό. Παρατηρείται ότι για δύσκαμπτους τοίχους οι συνισταμένες των στατικών σεισμικών εδαφικών ωθήσεων σύμφωνα με τους Veletsos and Younan [1994a,b, 1997] προσεγγίζουν τις αντίστοιχες του Wood ενώ για εύκαμπτους τοίχους προσεγγίζουν τις αντίστοιχες των ψευδοστατικών μεθόδων υπολογισμού (Mononobe-Okabe). Έτσι θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι η μέθοδος που περιγράφεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι γενικότερη τόσο των κλασσικών ψευδοστατικών μεθόδων όσο και της μεθοδολογίας του Wood. Συνεπώς, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν εργαλείο για τον υπολογισμό των στατικών ωθήσεων σε οποιαδήποτε κατασκευή, εύκαμπτη ή δύσκαμπτη. 14

147 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης Ακόμα είναι δυνατό να λαμβάνονται κατανομές των ωθήσεων για κατασκευές που έχουν μέσες τιμές δυσκαμψίας (ούτε πολύ εύκαμπτες ούτε πολύ δύσκαμπτες). Βέβαια, το τίμημα της γενικότητας της μεθόδου είναι ότι είναι βασισμένη σε παραδοχές που την καθιστούν τουλάχιστο προσεγγιστική, άλλες φορές υπέρ και άλλες κατά της ασφαλείας της κατασκευής. Στα Σχήματα.19 έως. παρουσιάζονται διαγράμματα δυναμικών εδαφικών ωθήσεων για τις περιπτώσεις της συχνότητας συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης και της υψίσυχνης διέγερσης. Όσον αφορά τις ωθήσεις σε περίπτωση συντονισμού, παρατηρούμε ότι γενικά ισχύουν τα ίδια με τις στατικές ωθήσεις. Επίσης: (α) Oι εφελκυστικές τάσεις για διάφορες αποστάσεις μεταξύ των τοίχων ξεκινούν από σχεδόν το ίδιο ύψος. Πάλι πρέπει να γίνεται έλεγχος κατά το σχεδιασμό, έτσι ώστε τόσο αυτές όσο και οι θλιπτικές να μην ξεπερνούν το όριο αναλογίας του αντιστηριζόμενου εδαφικού υλικού. (β) Σε όλες τις περιπτώσεις οι σεισμικές εδαφικές ωθήσεις για L/ H = 1 είναι αυξημένες με διαφορά σε σχέση με τις υπόλοιπες, για όλες τις τιμές δυσκαμψίας των τοίχων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα συστήματα με έχουν ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης πιο κοντά σε αυτήν της επιβαλλόμενης διέγερσης, από οποιοδήποτε άλλο σύστημα με διαφορετική τιμή L/ H = 1 L / H (από αυτά που υπάρχουν στα διαγράμματα). Αυτό είναι προφανές διότι ως γνωστόν η ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης είναι ίση με π V /H, και όσο μεγαλώνει η απόσταση μεταξύ s των τοίχων τόσο προσομοιώνεται η άπειρη αυτή εδαφική στρώση. Συμπέρασμα είναι ότι τα συστήματα αυτά βρίσκονται κοντά στο συντονισμό. γ) Ενώ γενικά τα μέγιστα των ωθήσεων είναι αυξημένα σε σχέση με τα αντίστοιχα των στατικών ωθήσεων, οι κατανομές χάνουν την τριγωνικότητά τους για καμπτικά ενδόσιμους τοίχους, σε σχέση με τις αντίστοιχες στατικές, ειδικά στην περίπτωση που οι τοίχοι είναι και καμπτικά και στροφικά ενδόσιμοι στη βάση. Στην περίπτωση αυτή οι ωθήσεις είναι σχεδόν σταθερές καθ ύψος (όχι απόλυτα, και εντός πάντα ορισμένων ορίων και όχι σε ολόκληρο το ύψος του τοίχου). Τα Σχήματα. έως.6 δίνουν τις δυναμικές εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση της δυναμικής απόκρισης των συστημάτων που μελετώνται (συχνότητα τριπλάσια από αυτή του συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης) για διάφορες δυσκαμψίες των τοίχων. 14

148 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = y/ H ω = πv /H s dw = dθ = σ / ρhx x Σχήμα.19. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = (δύσκαμπτοι τοίχοι) για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους ω = πv /H s dw = dθ = 5 L/ H = y / H σ / ρ HX x 6 4 Σχήμα.. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 144

149 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης 1..8 L/ H = y/ H.4 ω = πv /H s dw = 4 dθ = σ / ρhx x Σχήμα.1. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw = 4, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους ω = πv /H s dw = 4 dθ = 5 L/ H = y / H σ / ρ HX x Σχήμα.. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw = 4, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 145

150 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = y / H.4 ω = πv /H dw = dθ = s σ / ρ HX x Σχήμα.. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = (δύσκαμπτοι τοίχοι) για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 1. L/ H = 1 L/ H = 1.5 L/ H = L/ H = L/ H = 5 L/ H = 1 ω = πvs /H dw = dθ = y/ H. 1.5 σ / ρ HX x 1..5 Σχήμα.4. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 146

151 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης 1..8 ω = πv /H s dw = 4 dθ =.6 y / H.4 L/ H = σ / ρhx x.4. Σχήμα.5. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw = 4, dθ = για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 1. L/ H = 1 L/ H = 1.5 L/ H = L/ H = L/ H = 5 L/ H = 1 ω = πv /H s dw = 4 dθ = y/ H σ / ρhx x Σχήμα.6. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw = 4, dθ = 5 για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους και συχνότητα διέγερσης ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 147

152 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Στα τέσσερα τελευταία Σχήματα παρατηρούμε τα εξής: (α) Είναι δυνατόν να αναπτύσσονται θλιπτικές τάσεις στην κορυφή του τοίχου, ενώ από ένα ύψος μέχρι και λίγο πιο κάτω από την κορυφή μπορεί να αναπτύσσονται εφελκυστικές τάσεις. Για παράδειγμα στο σύστημα με dw = 4, dθ = 5 και L/ H = μέχρι το ύψος.6h αναπτύσσονται θλιπτικές τάσεις, από το ύψος αυτό και μέχρι το ύψος.94h αναπτύσσονται εφελκυστικές τάσεις και από το ύψος αυτό και μέχρι την κορυφή του τοίχου αναπτύσσονται πάλι θλιπτικές τάσεις. Όπως φαίνεται από τα διαγράμματα τα σημεία εναλλαγής του προσήμου των ωθήσεων αλλάζουν ανάλογα με τη δυσκαμψία του συστήματος και την απόσταση μεταξύ των τοίχων. Πάντως, η εναλλαγή αυτή ώστε στην κορυφή να υπάρχουν θλιπτικές τάσεις οφείλεται πρωτίστως στην καμπτική ευκαμψία του τοίχου και δευτερευόντως στην στροφική ενδοσιμότητα στη βάση του. Τόσο οι θλιπτικές όσο και οι εφελκυστικές τάσεις χρειάζονται έλεγχο σε σχέση με το όριο αναλογίας του εδάφους. (β) Για τέλεια πάκτωση στη βάση ( dθ = ) παρατηρείται μεγάλη ενίσχυση των ωθήσεων σε συστήματα με L/ H = 1. Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι η διεγείρουσα συχνότητα είναι πιο κοντά στη συχνότητα συντονισμού των συστημάτων με L/ H = 1 χωρίς αυτό να είναι απόλυτο, διότι μεγάλες ενισχύσεις δε σημαίνουν απαραίτητα και συντονισμό και το αντίστροφο. (γ) Σε όλα τα διαγράμματα οι ωθήσεις για L/ H = 5 δεν διαφέρουν ουσιαστικά από αυτές για L/ H = 1. Αυτό σημαίνει ότι και για αποστάσεις μεταξύ των τοίχων μεγαλύτερες από το δεκαπλάσιο του ύψους τους οι σεισμικές εδαφικές ωθήσεις δεν θα διαφέρουν σημαντικά από τις παραπάνω...6. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων Ενώ προηγουμένως αναφέρθηκε ένα σημείο που χρειάζεται έλεγχο για να διασφαλιστεί ότι όλα όσα κάνουμε στην παρούσα εργασία είναι ορθά, δηλαδή το ότι οι ωθήσεις που αναπτύσσονται πρέπει να είναι μικρότερες από το όριο αναλογίας, απαιτείται και ένας ακόμη έλεγχος, ώστε να εξασφαλισθεί ότι η μεθοδολογία είναι σωστή. Αυτό έχει να κάνει με τις παραμορφώσεις που αναπτύσσει ο τοίχος κατά τη διάρκεια της διέγερσης. Αν αυτές είναι υπερβολικά μεγάλες, τότε το αντιστηριζόμενο έδαφος μπορεί να περάσει στην πλαστική περιοχή, και να πάρει μόνιμες πλαστικές παραμορφώσεις. Η ύπαρξη μεγάλων παραμορφώσεων στους τοίχους σημαίνει ότι αναπτύσσονται σημαντικά μικρότερες ωθήσεις πίσω από τον τοίχο, και καθιστουν την παρούσα μέθοδο όχι μόνο αντιοικονομική, 148

153 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης αλλά και υπολογιστικά ασύμφορη, δεδομένου ότι με τη μέθοδο οριακής ισορροπίας των Mononobe Okabe, η οποία βρίσκει ευρύτατη εφαρμογή στην πράξη σήμερα, μπορούν να υπολογιστούν οι ωθήσεις σε τέτοιες περιπτώσεις εύκολα και γρήγορα. Παρόλα αυτά, σε ενδιάμεσες καταστάσεις όπου οι παραμορφώσεις δεν είναι ούτε μικρές, (ώστε να ισχύει η ελαστικότητα) αλλά ούτε πολύ μεγάλες (ώστε να ισχύουν συνθήκες οριακής ισορροπίας) υπάρχει αντικειμενική δυσκολία στην αντιμετώπιση του προβλήματος, τουλάχιστο αναλυτικά. Έτσι πρέπει να εξεταστούν οι παραμορφωμένες γεωμετρίες των τοίχων, για να διαπιστωθεί εάν το έδαφος περνά σε κατάσταση πλαστικοποίησης, ή αν παραμένει στην ελαστική περιοχή. Παρακάτω φαίνονται οι παραμορφωμένες γεωμετρίες (τα βέλη κάμψεως) των τοίχων για διάφορες τιμές καμπτικής και στροφικής ευκαμψίας των τοίχων καθώς και για διάφορες συχνότητες διέγερσης L/ H = dθ =, dw= 4 dθ = 5, dw= dθ = 5, dw= y / H w st V.1 s X H.5 Σχήμα.7. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = λόγω στατικής διέγερσης για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. 149

154 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = 1 dθ =, dw= 4 dθ = 5, dw= dθ = 5, dw= y/ H w st. V s X H..1 Σχήμα.8. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 λόγω στατικής διέγερσης για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. ω = πv /H s L/ H = dθ =, dw= 4 dθ = 5, dw= dθ = 5, dw= y/ H V w X H s.5 Σχήμα.9. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη. 15

155 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης ω = πv /H s L/ H = 1 dθ =, dw= 4 dθ = 5, dw= dθ = 5, dw= 4.4. y / H V w X H s Σχήμα.. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη y / H dθ =, dw= 4 dθ = 5, dw= dθ = 5, dw= 4.4 ω = πv /H s L/ H = V w X H s.1.5 Σχήμα.1. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη. 151

156 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης ω = πv /H s L/ H = 1 dθ =, dw= 4 dθ = 5, dw= dθ = 5, dw= y/ H Vs w X H.6.4. Σχήμα.. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη ω = πv /H s L/ H = dw = 5, dθ = dw = 4, dθ = dw =, dθ = 1 dw =, dθ = 5.4. y / H V w X H s.1.5 Σχήμα.. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη. 15

157 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης Η αδιαστατοποίηση των βελών των τοίχων έγινε ως προς X H / V όπως φαίνεται και s στα διαγράμματα. Στα παραπάνω διαγράμματα παρατηρούνται τα εξής: (α) Όταν έχω dw = τότε το βέλος του τοίχου είναι σχεδόν ευθεία γραμμή, με γωνία ως προς τη βάση ανάλογα αν υπάρχει εκεί στροφική ευκαμψία ( dθ ). Αυτό επαληθεύει το γεγονός ότι ο τοίχος δεν κάμπτεται, εφόσον dw =. Επίσης, όταν dθ = τότε η εφαπτομένη του βέλους του τοίχου στη βάση είναι μηδέν, αφού dθ = σημαίνει τέλεια πάκτωση. Με λίγα λόγια η μορφή του βέλους είναι η αναμενόμενη σε κάθε περίπτωση. Στην κορυφή μπορεί να έχουμε μικροαποκλίσεις, για παράδειγμα όταν dw =. Αυτό οφείλεται στο ότι κατά τους υπολογισμούς ελήφθησαν υπόψη η ιδιομορφή ταλάντωσης που οφείλεται στη στροφική ενδοσιμότητα και άλλες δέκα ιδιομορφές που οφείλονται σε κάμψη του τοίχου, ενώ κανονικά ο υπολογισμός περιλαμβάνει άπειρο αριθμό ιδιομορφών. (β) Σε περίπτωση που η συχνότητα διέγερσης είναι κοντά στη συχνότητα συντονισμού του συστήματος (π.χ. το σύστημα με L/ H = 1 διεγειρόμενο με συχνότητα π V /H ), το βέλος του τοίχου παίρνει μεγάλες τιμές (βλ. Σχήμα.8). Αυτό s συμβαίνει διότι ως γνωστόν το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού. Στην παραπάνω περίπτωση το βέλος στην κορυφή (το οποίο είναι και μέγιστο, διότι έχουμε τοίχους πρόβολους) πλησιάζει το.7 X H / V ενώ π.χ. στην περίπτωση s του συντονισμού του συστήματος με L/ H = πλησιάζει το. / X H V. Η s συχνότητα συντονισμού του συστήματος αυτού είναι περίπου 6.5 rad/s. Τα βέλη των τοίχων για διάφορα συστήματα που βρίσκονται σε συντονισμό φαίνονται στο Σχήμα.9. (γ) (δ) Στην περίπτωση της στατικής διέγερσης το μέγιστο βέλος που δημιουργείται για L/ H = το καθορίζει ο άκαμπτος και στροφικά ενδόσιμος στη βάση τοίχος. Λέγοντας μέγιστο βέλος εννοούμε την τιμή του στην κορυφή του τοίχου. Το ίδιο γίνεται και για την περίπτωση του συντονισμού. Αντίθετα, στην περίπτωση της δυναμικής διέγερσης το μέγιστο βέλος καθορίζει ο τέλεια πακτωμένος στη βάση και εύκαμπτος τοίχος, για δεδομένη απόσταση μεταξύ των τοίχων. Τα παραπάνω βέβαια δεν είναι απόλυτα και επιδέχονται εξαιρέσεις. Από τα διαγράμματα των βελών προκύπτει ότι γενικά πιο εύκαμπτος τοίχος δεν σημαίνει απαραίτητα και μεγαλύτερο βέλος. Σε όλες τις περιπτώσεις που παρουσιάστηκαν παραπάνω το βέλος των τοίχων που είναι τόσο στροφικά όσο και 15

158 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης καμπτικά εύκαμπτοι είναι μικρότερο από αυτό των τοίχων που είτε έχουν τέλεια πάκτωση στη βάση είτε είναι τελείως άκαμπτοι, δηλαδή τοίχων οπωσδήποτε πιο δύσκαμπτων από τους πρώτους. Βέβαια αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Υπάρχουν και περιπτώσεις που οι πρώτοι τοίχοι σχηματίζουν μεγαλύτερα βέλη από τους τελευταίους. Αυτό συμβαίνει διότι εδώ θεωρείται η μικτή ευκαμψία των τοίχων, δηλαδή αυτή που οφείλεται σε στροφή στη βάση και σε κάμψη. Ο τρόπος με τον οποίο οι ευκαμψίες αυτές επηρεάζουν το βέλος του τοίχου είναι σύνθετος. Επιπλέον, το βέλος εξαρτάται και από τις ωθήσεις που δέχονται οι τοίχοι, οι οποίες μειώνονται όσο αυξάνονται οι ευκαμψίες τους. Συνεπώς, δεν μπορεί να συμπεράνει κανείς ότι σε τοίχους με μεγαλύτερη μικτή ευκαμψία γενικά θα δημιουργηθεί και μεγαλύτερο βέλος. (ε) Βέβαια, για δεδομένη τιμή της στροφικής ή καμπτικής ευκαμψίας του τοίχου, όσο αυξάνει η μία (με σταθερή την άλλη) τόσο αυξάνεται και το βέλος των τοίχων. Αυτό φαίνεται στο τελευταίο διάγραμμα. (στ) Πρέπει να γίνεται έλεγχος για το αν το αντιστηριζόμενο έδαφος παραμένει στην ελαστική περιοχή. Είναι γενικά παραδεκτό [Clouh and Duncan 199] ότι η δημιουργία του επιπέδου αστοχίας ή η ανάπτυξη μιας οριακής κατάστασης ελαστική συμπεριφοράς στο αντιστηριζόμενο μέσο απαιτεί μετατοπίσεις του τοίχου της τάξεως του.1-.4% του ύψους του. Για να αξιολογηθεί η εφαρμοσιμότητα της παρούσας ανάλυσης είναι επιθυμητό να συγκρίνουμε τις προβλέψεις της με τις τιμές που μόλις αναφέρθηκαν. Αν θεωρήσουμε ένα σύστημα με ταχύτητα διατμητικών κυμάτων Vs = 1 m/ s, ύψος τοίχων H = 8 m στο οποίο η επιτάχυνση της επιβαλλόμενης διέγερσης έχει πλάτος X = 1 m/ s, και θεωρήσουμε ως χειρότερη περίπτωση τον συντονισμό για L/ H = 1, η μέγιστη μετατόπιση του τοίχου θα είναι.65 / w H X H V που μετά τις πράξεις προκύπτει w=. m. Παίρνοντας s / =./ 8 =.87 1 =.87% παρατηρούμε ότι το ποσοστό είναι μέσα στα όρια που καθορίστηκαν παραπάνω. Αυτό σημαίνει ότι η ανάλυση που κάναμε είναι σωστή. Η περίπτωση που εξετάστηκε αντιστοιχεί σε υπόψη ότι dw =, dθ = 5. Αν λάβουμε dθ = GH / R θ και πάρουμε την τιμή G = 18 kpa τότε η σταθερά του στροφικού ελατηρίου θα είναι ίση με: R θ =.4 1 knm. Αυτές οι τιμές είναι στην πραγματικότητα εφικτές, αλλά δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί τοίχος τελείως άκαμπτος ( dw = ). 154

159 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης Ενώ μέχρι τώρα εξετάστηκαν μεγέθη που μεταβάλλονται καθ ύψος του τοίχου, όπως οι ωθήσεις και οι παραμορφώσεις, είναι σκόπιμο να μελετηθούν και τα μεγέθη με τα οποία θα σχεδιαστούν τελικά οι τοίχοι του συστήματος που εξετάζεται στο κεφάλαιο αυτό. Αυτά δεν είναι άλλα από την τέμνουσα και τη ροπή στη βάση του τοίχου. Υπενθυμίζεται ότι σε όλη την έκταση του κεφαλαίου αυτού (αλλά και στα επόμενα κεφάλαια) θεωρείται ότι το η διεπιφάνεια του τοίχου και του αντιστηριζόμενου εδάφους είναι τέτοια ώστε να μπορούν να ασκηθούν από το τελευταίο εφελκυστικές τάσεις στον τοίχο. Αυτές συνυπολογίζονται στον υπολογισμό της τέμνουσας και της ροπής στη βάση των τοίχων, γεγονός το οποίο είναι βέβαια κατά της ασφαλείας. Διαπιστώνεται πάντως ότι η τέμνουσα ή η ροπή που οφείλονται μόνο στις θλιπτικές τάσεις στον τοίχο είναι αυξημένες κατά 5% περίπου σε σχέση με τις αντίστοιχες που περιλαμβάνουν τις εφελκυστικές τάσεις...7. Τέμνουσα στη βάση των τοίχων Στα Σχήματα.4 έως.7 παραθέτονται τα διαγράμματα τέμνουσας συναρτήσει της απόστασης μεταξύ των τοίχων: Σχετικά με τα διαγράμματα που παρουσιάστηκαν μπορούν να παρατηρηθούν τα εξής: (α) (β) (γ) Στα Σχήματα. και.4, που εκφράζουν τη στατική τέμνουσα, οι καμπύλες για dw = dθ = είναι οι αντίστοιχες του άκαμπτου συστήματος του Wood για ν =.. Αλλά και οι υπόλοιπες καμπύλες έχουν την ίδια χαρακτηριστική μορφή με αυτές του Wood [197]. Η μορφή των Σχημάτων.7 και.8 είναι πολύ διαφορετική από αυτή των υπολοίπων. Αυτό συμβαίνει διότι η αδιαστατοποιημένη απόσταση των συστημάτων που συντονίζονται με την συγκεκριμένη διέγερση και που έχουν τις δεδομένες τιμές ακαμψίας των τοίχων εμπίπτει στο εξεταζόμενο διάστημα ( L/ H =...1 ). Ενώ στην περίπτωση της στατικής διέγερσης και του συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης, υπάρχει μια ομαλή μεταβολή της τέμνουσας όσο απομακρύνονται οι τοίχοι μεταξύ τους, στην περίπτωση της υψίσυχνης δυναμικής διέγερσης παρατηρούνται μεγάλα και απότομα μέγιστα για συγκεκριμένες τιμές της απόστασης μεταξύ των τοίχων, μεγαλύτερα ακόμα από τα μέγιστα του συστήματος των άκαμπτων τοίχων. Στην περίπτωση της στατικής διέγερσης όσο αυξάνεται η ευκαμψία των τοίχων, τόσο μειώνεται και η ασκούμενη στη βάση των τοίχων τέμνουσα. Αυτή σταθεροποιείται για απόσταση μεταξύ των τοίχων ίση με το εξαπλάσιο του ύψους 155

160 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1. dθ = dw = dw = 1.8 dw = 5.6 Q bst, / ρ H X.4 dw = L/ H Σχήμα.4. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων στην περίπτωση στατικής διέγερσης, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι. 1. dw = dθ =.8 dθ =.5.6 dθ = 1 Q bst, / ρ H X.4 dθ = L/ H Σχήμα.5. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων στην περίπτωση στατικής διέγερσης, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. 156

161 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης..5 dθ = ω = πv /H s dw = dw = 1 dw = 5. Q / ρ b H X dw = L/ H Σχήμα.6. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι. Η συχνότητα διέγερσης ισούται με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το αντιστηριζόμενο. dθ =..5 dw = ω = πv /H s dθ =.5 dθ = 1. Q / ρ b H X dθ = L/ H Σχήμα.7. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. Η συχνότητα διέγερσης ισούται με την ιδιοσυχνότητα του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το αντιστηριζόμενο. 157

162 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης dθ = ω = πv /H s dw = dw = 1 dw = 5 dw = 4 Q / ρ b H X L/ H Σχήμα.8. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι. Η συχνότητα διέγερσης ισούται με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το αντιστηριζόμενο. 8 6 dw = ω = πv /H s dθ = dθ =.5 dθ = 1 dθ = 5 Q / ρ b H X 4 dθ = dθ = L/ H Σχήμα.9. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. Η συχνότητα διέγερσης ισούται με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το αντιστηριζόμενο. 158

163 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης τους και μεγαλύτερη. Για μικρότερες τιμές της απόστασης των τοίχων αυξάνεται όσο αυξάνεται η απόσταση αυτή. (δ) (ε) Στην περίπτωση του συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης, όσο αυξάνεται η ευκαμψία των τοίχων, τόσο μειώνεται και η τέμνουσα. Αυτή πάντως δεν σταθεροποιείται για αποστάσεις μεταξύ των τοίχων ίσες ή μικρότερες του δεκαπλάσιου του ύψους τους, αλλά αυξάνεται όσο αυξάνεται η απόσταση των τοίχων. Στην περίπτωση της δυναμικής διέγερσης με τοίχους τέλεια πακτωμένους στη βάση τους παρατηρούνται μικρότερες διαφορές της τέμνουσας στην κατάσταση του συντονισμού σε σχέση με τις τιμές που παίρνει σε περιοχές εκτός συχνότητας συντονισμού, όσο αυξάνεται η ευκαμψία των τοίχων. Επίσης όσο αυξάνεται η ευκαμψία των τοίχων τόσο μειώνεται η μέγιστη τέμνουσα που αναπτύσσεται για τις διάφορες αποστάσεις μεταξύ των τοίχων. Τέλος οι αποστάσεις μεταξύ των τοίχων όπου συμβαίνει συντονισμός, είναι σχεδόν ίδιες για συστήματα με διαφορετικές ευκαμψίες τοίχων. Κυρίως όμως φαίνεται ότι σε εύκαμπτα συστήματα τοίχων υπό κατάλληλες συνθήκες απόστασης μεταξύ των τοίχων και ευκαμψίας των τελευταίων μπορούν να αναπτυχθούν τέμνουσες πολύ μεγαλύτερες από αυτές που θα αναπτύσσονταν στο αντίστοιχο άκαμπτο σύστημα (λόγος τεμνουσών εύκαμπτου προς δύσκαμπτο σύστημα =.7 περίπου για L/ H = 1.5, βλέπε Σχήμα.7). Έτσι είναι σφάλμα να θεωρείται ότι για εύκαμπτα συστήματα ο σχεδιασμός είναι απαραίτητα και οικονομικότερος. (στ) Στην περίπτωση της δυναμικής διέγερσης με τοίχους τελείως άκαμπτους αλλά στροφικά ενδόσιμους στη βάση παρατηρείται μεγάλη ενίσχυση για τα εύκαμπτα συστήματα με απόσταση τοίχων περίπου 1.H σε σχέση με τα αντίστοιχα δύσκαμπτα (6.5). Τα διάφορα μέγιστα παρατηρούνται και εδώ σε συστήματα με ίδιες περίπου αποστάσεις μεταξύ των τοίχων, για διάφορες στροφικές ενδοσιμότητες. Αυτό που πρέπει να επισημανθεί εδώ είναι ότι για σχετικά μεγάλες στροφικές ενδοσιμότητες η τέμνουσα που αναπτύσσεται σε συστήματα με διάφορες αποστάσεις μεταξύ των τοίχων στην περίπτωση της δυναμικής διέγερσης, είναι σχεδόν σταθερή και ανεξάρτητη της απόστασης αυτής ( dθ = 5 ). Τα διαγράμματα τέμνουσας συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης είναι τα παρακάτω: 159

164 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 8 6 dw = dw = 1 dw = 5 dw = 4 Q / ρ b H X 4 dθ = L/ H = Σχήμα.4. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι. ω.5..5 dθ = L/ H = 1 dw = dw = 1 dw = 5 dw = 4 Q / ρ b H X Σχήμα.41. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι. ω 16

165 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης 15 dw = L/ H = dθ = dθ =.5 dθ = 1 dθ = 5 Q / ρ b H X Σχήμα.4. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. ω 4.. dw = L/ H = 1 dθ = dθ =.5 dθ = 1 dθ = 5 Q / ρ b H X ω Σχήμα.4. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. 161

166 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Στα διαγράμματα αυτά παρατηρούμε τα εξής: (α) Η τέμνουσα στη βάση εμφανίζει μέγιστα σε συγκεκριμένες τιμές της συχνότητας διέγερσης, που είναι σχεδόν ίδιες για συστήματα με διαφορετικές ευκαμψίες (καμπτικές ή στροφικές). Οι τιμές αυτές βρίσκονται κοντά στις συχνότητες συντονισμού των συστημάτων. Συνεπώς η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης ενός συστήματος δεν επηρεάζεται πολύ από το αν οι τοίχοι είναι εύκαμπτοι ή δύσκαμπτοι. (β) Σε συστήματα με L/ H = και όταν η συχνότητα διέγερσης γίνεται ίση με περίπου 8 rad/sec έχουμε στις καμπύλες απόκρισης άλμα για όλες τις τιμές ευκαμψίας των τοίχων. Στις περιπτώσεις που οι τοίχοι είναι μακριά ( L/ H = 1) το άλμα αυτό συμβαίνει μόνο για μεγάλες τιμές της ενδοσιμότητας των τοίχων. Μια τέτοια συμπεριφορά είναι εξωπραγματική. Για την εξαγωγή της αναλυτικής λύσης έχουν χρησιμοποιηθεί παραδοχές που δεν ανταποκρίνονται πάντα στην πραγματικότητα. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι η πειραματικά μετρούμενη τέμνουσα δεν θα αντιστοιχεί στην αναλυτικά προσδιορισμένη για ω = 8 rad / s. Όσο πιο πολύ απέχουν οι τοίχοι μεταξύ τους, τόσο οι παραδοχές των Veletsos and Younan είναι ρεαλιστικές. Σε συστήματα με L/ H = φαίνεται πως αυτές οι παραδοχές είναι ασύμβατες με την πραγματικότητα. Σε περιπτώσεις που οι τοίχοι έχουν σχετικά μεγάλη ευκαμψία τότε το άλμα μπορεί να είναι προς τα κάτω και όχι προς τα πάνω ( dw = 4, dθ = ). (γ) Το ολικό μέγιστο ενός συστήματος, δεδομένης απόστασης μεταξύ των τοίχων και δεδομένης ενδοσιμότητάς τους, δεν είναι κατ ανάγκη και το πρώτο μέγιστο (αυτό που αντιστοιχεί στην πρώτη ιδιοσυχνότητα). Για παράδειγμα, για dθ =, dw= 5 ή για dθ = 1, dw= και L/ H = 1 παρατηρούμε ότι το μέγιστο που εμφανίζεται στη δεύτερη ιδιοσυχνότητα είναι μεγαλύτερο από το πρώτο. Με βάση το παραπάνω είναι λάθος να θεωρείται ότι η μεγαλύτερη ενίσχυση σε ένα σύστημα εύκαμπτων τοίχων παρατηρείται απαραίτητα στη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητά του. (δ) Για συστήματα με L/ H = το μεγαλύτερο μέγιστο παρατηρείται σε τοίχους άκαμπτους με στροφική ενδοσιμότητα στη βάση, σε σχέση με τους τελείως πακτωμένους και εύκαμπτους. (ε) Σε συστήματα με L/ H = υπάρχουν τιμές της ευκαμψίας τέτοιες ώστε η μέγιστη τέμνουσα που παρατηρείται για το εύκαμπτο σύστημα να είναι μεγαλύτερη από την μέγιστη τέμνουσα που παρατηρείται στο σύστημα άκαμπτων τοίχων. Αυτά ισχύουν 16

167 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης και για αποστάσεις μεταξύ των τοίχων μεγαλύτερες από το δεκαπλάσιο του ύψους τους. Έτσι, σε τέτοιες περιπτώσεις σχεδιάζονται λιγότερο συντηρητικά οι εύκαμπτοι τοίχοι, ενώ όταν οι τοίχοι είναι σχετικά κοντά πρέπει να επιλέγεται προσεκτικά η τιμή της ευκαμψίας των τοίχων. Τέλος, θα εξεταστούν τα διαγράμματα τέμνουσας συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων, καμπτικής ή στροφικής (Σχήματα.44 έως.47). Παρατηρούμε τα εξής: (α) (β) (γ) (δ) Στις περιπτώσεις στατικής διέγερσης και συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης η τέμνουσα μειώνεται όσο αυξάνεται η καμπτική (στροφική) ευκαμψία του τοίχου για σταθερή στροφική (καμπτική) ευκαμψία του. Στην περίπτωση που οι τοίχοι είναι στροφικά ενδόσιμοι στη βάση και άκαμπτοι, η μείωση της τέμνουσας είναι πιο απότομη από τη μείωση στην περίπτωση των τελείως πακτωμένων και εύκαμπτων τοίχων. Σε συστήματα που υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ των τοίχων, η μείωση της τέμνουσας με την αύξηση της ευκαμψίας (για στατική διέγερση και συντονισμό της άπειρης εδαφικής στρώσης) είναι πιο απότομη από αυτή στα συστήματα που οι τοίχοι βρίσκονται σχετικά μακριά. Αυτό συμβαίνει διότι σε συστήματα που οι τοίχοι αλληλεπιδρούν, για να μειωθεί η τέμνουσα στον ένα τοίχο συντελούν εκτός από τη δυσκαμψία του ίδιου του τοίχου, και η δυσκαμψία του άλλου. Για μεγάλες αποστάσεις μεταξύ των τοίχων η τέμνουσα στην περίπτωση συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης είναι πολύ μεγαλύτερη από τη στατική. Αυτό συμβαίνει διότι η ιδιοσυχνότητα των παραπάνω συστημάτων βρίσκεται πιο κοντά στη συχνότητα της διέγερσης, από αυτή των συστημάτων με. Όπως αποδείχθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο η ιδιοσυχνότητα τέτοιων συστημάτων αυξάνει όσο μειώνεται η απόσταση μεταξύ των τοίχων, δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση η ιδιοσυχνότητα των συστημάτων με L/ H = L/ H = είναι πιο μακριά από την ιδιοσυχνότητα των συστημάτων με L/ H = 1. Γι αυτό και στα τελευταία παρατηρείται μεγάλη διαφορά μεταξύ της στατικής τέμνουσας και αυτής που αντιστοιχεί στο συντονισμό της άπειρης εδαφικής στρώσης. Στην περίπτωση της δυναμικής διέγερσης έχουμε σε όλες τις περιπτώσεις αυξομειώσεις της τέμνουσας. Η τέμνουσα Q παρουσιάζει ελάχιστο για την περίπτωση των τέλεια πακτωμένων και εύκαμπτων τοίχων: όταν L/H= και dw=11, τότε Q = X και όταν L/H=1 και dw=.4, τότε.5ρh Q = X. Επίσης,.ρH 16

168 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1..8 dθ = L/ H = static ω = πvs /H ω = πvs /H Q / ρ b H X Σχήμα.44. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της ευκαμψίας τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι. dw..5 dθ = L/ H = 1 static ω = πvs /H ω = πvs /H Q / ρ b H X Σχήμα.45. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της ευκαμψίας τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι. dw 164

169 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης 1..8 dw = L/ H = static ω = πvs /H ω = πvs /H Q / ρ b H X dθ Σχήμα.46. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της στροφικής ενδοσιμότητάς τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι δύσκαμπτοι...5 dw = LH / = 1 static ω = πvs /H ω = πvs /H. Q / ρ b H X Σχήμα.47. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της στροφικής ενδοσιμότητάς τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι δύσκαμπτοι. dθ 165

170 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης για την περίπτωση των στροφικά ενδόσιμων αλλά τελείως άκαμπτων τοίχων έχουμε ελάχιστα όταν L/ H = και dθ =.9, τότε Q = X και όταν L/ H = 1.ρH και dθ =.9, τότε Q= X. Γενικά, όσο αυξάνεται η απόσταση των τοίχων του.ρh συστήματος, τόσο μειώνεται η ευκαμψία στην οποία παρατηρείται η ελάχιστη τέμνουσα (για δυναμικές διεγέρσεις πάντα). Η εύρεση της ευκαμψίας στην οποία η τέμνουσα ελαχιστοποιείται για δεδομένη διέγερση και απόσταση μεταξύ των τοίχων, είναι ζωτικής σημασίας για το σχεδιασμό της κατασκευής. Μπορεί να ληφθεί η μέγιστη τέμνουσα που αναπτύσσεται στη βάση για όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η συχνότητα διέγερσης και να εξαχθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η τέμνουσα για μια δεδομένη ευκαμψία και απόσταση μεταξύ των τοίχων. Έτσι διασφαλίζεται το ότι αν κανείς σχεδιάσει τους τοίχους με αυτή την τέμνουσα, αυτοί δεν θα αστοχήσουν για οποιαδήποτε αρμονική διέγερση στη βάση...8. Ροπή στη βάση των τοίχων Ως εδώ μελετήθηκε η συμπεριφορά της τέμνουσας στη βάση των τοίχων όταν μεταβάλλονται οι διάφορες παράμετροι του συστήματος. Ακολουθούν τα αντίστοιχα διαγράμματα για τη ροπή στη βάση των τοίχων (Σχήματα.48 έως.5). Παρατηρείται ότι: (α) (β) (γ) Η μορφή των διαγραμμάτων είναι παρόμοια με αυτή των διαγραμμάτων των τεμνουσών. Ισχύουν οι ίδιες παρατηρήσεις που έγιναν για τα διαγράμματα των τεμνουσών, όσον αφορά διαγράμματα τέμνουσας-απόστασης τοίχων. Στην περίπτωση σχετικά μεγάλης στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση η ροπή παρουσιάζει μέγιστο για στατική διέγερση και τοπικό μέγιστο για συντονισμό του άπειρου εδαφικού στρώματος. Για απόκριση τοίχων τελείως πακτωμένων στη βάση και για δυναμική διέγερση παρατηρείται η τάση να εμφανίζονται δύο μέγιστα ροπών σε πολύ κοντινές τιμές αποστάσεως μεταξύ των τοίχων. Αυτό είναι χαρακτηριστικό μόνο των εύκαμπτων συστημάτων και δεν συμβαίνει σε δύσκαμπτο σύστημα. Έτσι, αν προσδιοριστεί πειραματικά η καμπύλη ροπής στη βάση συναρτήσει της απόστασης μεταξύ των τοίχων και η καμπύλη αυτή εμφανίσει δυο μέγιστα σε μικρή διαφορά απόστασης μεταξύ τους, τότε οι τοίχοι σίγουρα είναι εύκαμπτοι. Αυτό παρατηρήθηκε και στην τέμνουσα για δυναμική διέγερση τέλεια πακτωμένων τοίχων και dw =

171 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης.6 dθ = dw =.5 dw = 1.4 M bst, / ρ H X. dw = 5..1 dw = L/ H Σχήμα.48. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων στην περίπτωση στατικής διέγερσης, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι..6 dw = dθ =.5 M bst, / ρ H X.4. dθ =.5 dθ = 1..1 dθ = L/ H Σχήμα.49. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων στην περίπτωση στατικής διέγερσης, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. 167

172 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης. 1.5 dθ = ω = πv /H s dw = dw = 1 dw = 5 dw = 4 M b / ρ H X L/ H Σχήμα.5. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο dw = ω = πv /H s dθ = dθ =.5 dθ = 1 dθ = 5 M b / ρ H X L/ H Σχήμα.51. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο. 168

173 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης 6 5 dθ = ω = πv /H s dw = dw = 1 dw = 5 dw = 4 4 M b / ρ H X L/ H Σχήμα.5. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι δύστρεπτοι. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο dw = ω = πv /H s dθ = dθ =.5 dθ = 1 dθ = 5 M b / ρ H X L / H Σχήμα.5. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων, συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων. Τοίχοι δύσκαμπτοι. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας ταλάντωσης του άπειρου εδαφικού στρώματος που έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο. 169

174 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 5 4 dθ = L/ H = dw = dw = 1 dw = 5 dw = 4 M b / ρ H X Σχήμα.54. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι στη βάση. ω.5. dθ = L/ H = 1 dw = dw = 1 dw = 5 dw = M b / ρ H X Σχήμα.55. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων. Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι στη βάση. ω 17

175 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης 1 dθ = dθ =.5 dθ = 1 1 dθ = 5 dw = 8 L/ H = M b / ρ H X Σχήμα.56. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση τους. Τοίχοι δύσκαμπτοι. ω.5. dw = L/ H = 1 dθ = dθ =.5 dθ = 1 dθ = 5 M b / ρ H X Σχήμα.57. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης για διάφορες τιμές της στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση τους. Τοίχοι δύσκαμπτοι. ω 171

176 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Για τα Σχήματα.54 έως.57 ισχύουν οι παρατηρήσεις που αναφέρθηκαν στα διαγράμματα τέμνουσας-συχνότητας διέγερσης. Είναι αξιοσημείωτο ότι τα άλματα παρατηρούνται στην ίδια ακριβώς συχνότητα με τα αντίστοιχα της τέμνουσας. Η ύπαρξη αλμάτων σε διαγράμματα που δίνουν τη δυναμική ροπή ή τέμνουσα στη βάση των τοίχων συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης είναι χαρακτηριστικό μόνο των εύκαμπτων συστημάτων, και οφείλεται στον τρόπο επίλυσης. Για τα Σχήματα.58 έως.61 ισχύουν οι ίδιες παρατηρήσεις με τις αντίστοιχες των διαγραμμάτων τέμνουσας-ευκαμψίας (στροφικής ή καμπτικής) εκτός από την τελευταία παρατήρηση. Εδώ για δυναμικές διεγέρσεις παρατηρούνται μεν αυξομειώσεις της ροπής αλλά αυτή δεν παίρνει ελάχιστες τιμές στα θεωρούμενα διαστήματα ευκαμψίας των τοίχων. Όλες αυτές οι διαφορές σε σχέση με την τέμνουσα έχουν να κάνουν και με την κατανομή των ωθήσεων πίσω από τους τοίχους. Πάντως, η θέση του μεγίστου μειώνεται όσο αυξάνεται η απόσταση μεταξύ των τοίχων. Τέλος, η κλίση των άκαμπτων τοίχων ως προς την αρχική τους θέση κατά τη διάρκεια της διέγερσης μπορεί να εξαχθεί από τα διαγράμματα ροπών με dw =. Αυτό συμβαίνει γιατί σε τοίχους άκαμπτους αλλά στροφικά ενδόσιμους στη βάση, η ασκούμενη ροπή στη βάση είναι ανάλογη με τη στροφή του τοίχου, εφόσον έχουμε κάνει την υπόθεση ότι το στροφικό ελατήριο στη βάση του τοίχου συμπεριφέρεται γραμμικά ελαστικά. Έμμεσα λοιπόν τα δυο τελευταία διαγράμματα μας δίνουν και την κλίση των τοίχων για δεδομένη τιμή της στροφικής ευκαμψίας dθ. Χρησιμοποιώντας το αριθμητικό παράδειγμα που δόθηκε κατά το σχολιασμό των βελών των τοίχων μπορούμε να επαληθεύσουμε την ορθότητα των τελευταίων διαγραμμάτων ροπών εκμεταλλευόμενοι απλώς την υπόθεση ότι ένας άκαμπτος τοίχος που έχει στροφική ενδοσιμότητα στη βάση του μέσω στροφικού ελατηρίου που λειτουργεί γραμμικά ελαστικά, θα έχει κλίση ως προς την αρχική απαραμόρφωτη γεωμετρία του ανάλογη της ασκούμενης ροπής στη βάση του. Τα παραπάνω θα γίνουν πιο κατανοητά ως εξής: Το παράδειγμα που χρησιμοποιήθηκε περιλαμβάνει τις εξής τιμές των διαφόρων παραμέτρων του προσομοιώματος: H = 8 m, G = 18 kpa, V = 1 m/ s L/ H = 1, Rθ =.4 1 KNm dw =, dθ = 5 Από τα παραπάνω στοιχεία μπορεί να υπολογιστεί η πυκνότητα του εδάφους: ρ = G V = = / s 18.1 /1 18 / K m S 17

177 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης dθ = L/ H = static ω = πv /H ω = πvs /H s M b / ρ H X Σχήμα.58. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της ευκαμψίας τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι στη βάση. dw. 1.5 dθ = L/ H = 1 static ω = πvs /H ω = πvs /H M b / ρ H X Σχήμα.59. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της ευκαμψίας τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι στροφικά ανένδοτοι στη βάση. dw 17

178 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης dw = L/ H = static ω = πvs /H ω = πvs /H M b / ρ H X Σχήμα.6. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = συναρτήσει της στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι δύσκαμπτοι. dθ. 1.5 dw = L/ H = 1 static ω = πvs /H ω = πvs /H M b / ρ H X Σχήμα.61. Αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 συναρτήσει της στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση τους για διάφορες τιμές της συχνότητας διέγερσης του συστήματος (στατική, συντονισμός και δυναμική). Τοίχοι δύσκαμπτοι. 174 dθ

179 Κεφάλαιο : Σύστημα Εύκαμπτων Προβόλων Τοίχων Αντιστήριξης Για L/ H = 1, dw=, dθ = 5 και ω = πv /H από το τελευταίο διάγραμμα s προκύπτει M b / ρ =.71 H X και με δεδομένο ότι X = 1 m/ s και αντικαθιστώντας την πυκνότητα του εδάφους και το ύψος του τοίχου από παραπάνω έχουμε ότι η ροπή στη βάση θα είναι: M b = = 654 KNm και η οποία προκαλεί στροφή στη βάση: 6 w/ H = Mb / R θ = /.4 1.%. Η στροφή αυτή είναι κατά μεγάλη προσέγγιση ίση με τη στροφή που υπολογίστηκε μέσω των διαγραμμάτων βέλους των τοίχων (παραμορφωμένη γεωμετρία καθ ύψος του τοίχου) σε προηγούμενο τμήμα του παρόντος κεφαλαίου. Τότε είχε εξαχθεί το συμπέρασμα ότι που είναι τιμή που συμπίπτει με αυτήν που υπολογίστηκε μόλις τώρα. Τα παραπάνω σκοπό έχουν να δείξουν την ορθότητα των διαγραμμάτων που παρουσιάστηκαν σε όλη την έκταση του κεφαλαίου. w/ H.% Θα μπορούσε να γίνει και παρόμοια επαλήθευση για τις τέμνουσες εάν είχε θεωρηθεί πρόσθετο μετακινησιακό ελατήριο στη βάση των τοίχων κατά την οριζόντια διεύθυνση. Τότε θα έπρεπε να θεωρηθεί ο τοίχος άκαμπτος και άστρεπτος, ενώ ταυτόχρονα μετακινησιακά ενδόσιμος στη βάση, και η οριζόντια παραμόρφωση του ελατηρίου θα ήταν ανάλογη της ασκούμενης τέμνουσας δύναμης στη βάση του τοίχου. Όμως κάτι τέτοιο δεν πραγματοποιήθηκε για το λόγο ότι μια πρόσθετη ενδοσιμότητα θα είχε ως αποτέλεσμα το αντιστηριζόμενο έδαφος τουλάχιστο να μη συμπεριφέρεται γραμμικά ελαστικά κατά τη διάρκεια της διέγερσης. Αυτό μπορεί εύκολα να γίνει αντιληπτό λαμβάνοντας υπόψη ότι χωρίς μετακινησιακό ελατήριο έχουμε παραμόρφωση της κορυφής του τοίχου σχεδόν στο όριο που καθορίστηκε ως διαχωριστικό μεταξύ της πλαστικής συμπεριφοράς και της ελαστικής συμπεριφοράς του αντιστηριζόμενου εδάφους. Για περισσότερα στοιχεία μπορεί κανείς να ανατρέξει ξανά στα σχόλια περί των παραμορφωμένων γεωμετριών του τοίχου του παρόντος κεφαλαίου. Μια επιπρόσθετη ενδοσιμότητα θα μπορούσε να καταστήσει την ανάλυση που γίνεται στο κεφάλαιο αυτό εκτός πραγματικότητας, αφού η τελευταία προυποθέτει γραμμικά ελαστική συμπεριφορά του αντιστηριζόμενου μέσου. 175

180 176 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης

181 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΚΤΩΝ ΤΟΙΧΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΣ 4.1. ΓΕΝΙΚΑEQUATION SECTION 4 Στα προηγούμενα κεφάλαια μελετήθηκαν εκτενώς τοίχοι αντιστήριξης που λειτουργούν με βάση τη δυσκαμψία τους ως πρόβολοι. Πρόβολους τοίχους αντιστήριξης συναντά κανείς πολύ συχνά, εύκαμπτούς ή δύσκαμπτους. Σε κάθε περίπτωση όμως η πάκτωση που φέρουν στη βάση τους είτε αυτή είναι ιδανική, είτε προσομοιώνεται με στροφικό ελατήριο, καταπονείται με πολύ μεγάλες ροπές. Για να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και το ότι οι πρόβολοι τοίχοι αντιστήριξης είναι ισοστατικές κατασκευές, και μια στήριξη τέτοιων κατασκευών παραλαμβάνει μεγάλο ποσοστό της καταπόνησης, μερικές φορές και όλη, όπως στην περίπτωση του προβόλου. Σε μερικές περιπτώσεις για να μετριαστούν οι ροπές που δέχεται ο τοίχος στη βάση, βάζουμε μια επιπλέον στήριξη στην κορυφή. Αυτή λειτουργεί συνήθως σαν άρθρωση. Έτσι ο τοίχος γίνεται από ισοστατικός (πρόβολος) υπερστατικός (μονόπακτος). Οι τοίχοι τέτοιου είδους έχουν ευρύτατη εφαρμογή στην πράξη. Μπορούν να είναι περιμετρικοί τοίχοι υπογείων ή και ακρόβαθρα γεφυρών. Οι αγκυρωμένοι τοίχοι (πασσαλοσανίδες, πασσαλότοιχοι, διαφράγματα) έχουν περιορισμένη δυνατότητα μετακίνησης λόγω συστημάτων αγκυρώσεως, προεντεταμένων ή όχι. Σε περιπτώσεις τοίχων υπογείου ή ορισμένων τύπων ακροβάθρων γεφυρών, η κορυφή των τοίχων είναι πρακτικά αμετακίνητη λόγω των κατασκευών που αυτοί υποστηρίζουν. Η προοπτική των εγκάρσιων στηριγμάτων σε διαφορετικές θέσεις κατά μήκος ενός τοίχου προβόλου (π.χ. μονόπακτος τοίχος ή συνεχής δοκός με πάκτωση στην μία άκρη) ή της τοποθέτησης αγκυρίων σε διαφορετικές θέσεις κατά μήκος ενός αγκυρωμένου τοίχου, μπορεί να διατηρήσει τις καμπτικές ροπές σε τόσο μικρά επίπεδα ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σχετικά εύκαμπτες διατομές, και να υπάρχει λιγότερο συντηρητικός σχεδιασμός. Αυτό είναι και το πλεονέκτημα των υπερστατικών κατασκευών. Όλα τα συστήματα αντιστήριξης που αναφέρθηκαν είναι φορείς υπερστατικοί, οι οποίοι για να επιλυθούν, χρειάζονται πρόσθετοι υπολογισμοί για εύρεση των αντιδράσεων στις στηρίξεις, με τη βοήθεια της αρχής των δυνατών έργων. 177

182 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 4.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ Επίλυση προσομοιώματος Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν συστήματα που αποτελούνται από δύο εύκαμπτους και στροφικά ενδόσιμους στη βάση τοίχους αντιστήριξης και άκαμπτη βάση όπως αυτό που μελετήθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Η διαφορά είναι ότι στο προσομοίωμα του παρόντος κεφαλαίου οι τοίχοι έχουν και οι δύο απλή στήριξη στην κορυφή (άρθρωση). Έτσι διατηρείται η συμμετρία του συστήματος και η επίλυσή του γίνεται πολύ πιο εύκολη. Τα παραπάνω φαίνονται στο Σχήμα 4.1: Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφερθεί ότι δεν έχει γίνει έρευνα προγενέστερη όσον αφορά το προσομοίωμα υπό μελέτη. Οι Veletsos and Younan [1994a,b] μελέτησαν τοίχους ναι μεν μονόπακτους, αλλά με τέλεια πάκτωση στη βάση τους, δηλαδή χωρίς στροφική ενδοσιμότητα. Επιπλέον το προσομοίωμα που έλυσαν αποτελείται από έναν μόνο τοίχο, ο οποίος αντιστηρίζει μια ημιάπειρη εδαφική στρώση και όχι από δύο. Εντούτοις υπολογιστικά υπάρχουν μερικές ομοιότητες μεταξύ των τρόπων επίλυσης των δυο προσομοιωμάτων, όπως π.χ. η εύρεση των ιδιομορφών ταλάντωσης του μονόπακτου τοίχου χωρίς στροφική ενδοσιμότητα στην πάκτωση, αλλά πρέπει να γίνει κατανοητό ότι πρόκειται για δυο διαφορετικά προσομοιώματα, με διαφορετικές ιδιομορφές ταλάντωσης των δύο τοίχων. yv, u = h τ xy Ομογενές ελαστικό εδαφικό στρώμα (επίπεδη ένταση) u = w dw H u = v = σ = y Άκαμπτη βάση dθ x, u L x i t = Xe ω Σχήμα 4.1. Προσομοίωμα συστήματος μονόπακτων, εύκαμπτων, και στροφικά ενδόσιμων στη βάση τοίχων. Σε αυτό αναφέρεται η προτεινόμενη λύση του παρόντος κεφαλαίου. 178

183 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης Συνεπώς θα προχωρήσουμε κατευθείαν στην προτεινόμενη λύση βρίσκοντας πρώτα τις ιδιομορφές ταλάντωσης του τοίχου. Εφόσον θεωρούμε μια υπερστατική κατασκευή για να βρούμε την ιδιομορφή ταλάντωσης που οφείλεται αποκλειστικά σε στροφή στη βάση του τοίχου, επιβάλλουμε μοναδιαία στροφή στη βάση του και υπολογίζουμε το βέλος που δημιουργείται. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι όταν μιλάμε για ιδιομορφή οφειλόμενη μόνο σε στροφή γύρω από τη βάση του τοίχου, δεν εννοούμε απαραίτητα ότι ο τοίχος δεν κάμπτεται. Για να υπάρχει η ιδιομορφή αυτή απαραίτητη προϋπόθεση είναι ο τοίχος να είναι εύκαμπτος. Αυτά μπορεί να μην γίνονται τόσο κατανοητά εδώ, αλλά θα γίνουν αντιληπτά με τη βοήθεια των διαγραμμάτων παραμορφωμένης γεωμετρίας του τοίχου που θα ακολουθήσουν μετά τη σχετική θεωρία. Με την επιβολή μοναδιαίας στροφής στο στροφικό ελατήριο στη βάση του εύκαμπτου τοίχου θα έχουμε: EIθ H EIθ H θ θ = dw = dθ EIθ H EIθ H dw dθ Σχήμα 4.. Δράσεις στις στηρίξεις και παραμορφωμένη γεωμετρία μονόπακτων και στροφικά ενδόσιμων στη βάση τοίχων. Η στροφική ενδοσιμότητα στη βάση ενός μονόπακτου τοίχου δεν σημαίνει απαραίτητα και στροφή αυτού. Η ροπή στην άκρη της δοκού που ευθύνεται για τη μοναδιαία στροφή του ελατηρίου, σύμφωνα με τις κλασικές μεθόδους επίλυσης των υπερστατικών φορέων είναι ίση με EIθ, dw H,, dw = δεξιόστροφη, ενώ οι αντιδράσεις στις στηρίξεις θα είναι ίδιες αλλά θα σχηματίζουν ζεύγος 179

184 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης δυνάμεων ώστε να αντισταθμίζουν την παραπάνω ροπή. Θα είναι ίσες με: EIθ H Από εδώ και στο εξής θεωρείται ότι ο τοίχος είναι εύκαμπτος ( dw ), για να μπορεί να υπάρχει στροφική ενδοσιμότητα στη βάση του. Εάν ο τοίχος είναι δύσκαμπτος, και περιορίζεται έναντι οριζόντιας μετατόπισης στη βάση και στην κορυφή του δεν είναι δυνατόν να έχουμε στροφή στη βάση του, ακόμα και αν αυτή περιλαμβάνει στροφικό ελατήριο, επειδή αυτό θα σήμαινε ότι ο τοίχος αναγκαστικά θα καμπτόταν. Το διάγραμμα ροπών της δοκού θα είναι το: [ M ] = [ M ] θ = EIθ H dw = dθ dw dθ Σχήμα 4.. Διάγραμμα ροπών μονόπακτων και στροφικά ενδόσιμων στη βάση τοίχων. Δηλαδή: EIθ y M( y) = 1 H H (4.1) Αλλά από το γνωστό τύπο της Στατικής: w M( y) = EI y (4.) Απαλείφοντας τη ροπή από τις (4.1) και (4.) και ολοκληρώνοντας δύο φορές κατά μέλη προκύπτει: θ y y wy ( ) = + Ay+ Bdw, H 6H wy ( ) = dw= (4.) Οι αρχικές συνθήκες που οφείλονται στις στηρίξεις στα άκρα της δοκού είναι: 18

185 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης w() = B = w y y= = θ A = θ (4.4) Συνεπώς: θ y y wy ( ) = + θ y H 6H (4.5) Και επειδή h = y/ H η (4.5) γίνεται: θ hh hh hh hh w( y) = + θhh = θ + θhh = H 6 6 h h = + h Hθ = φ Hθ = φ q Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι: o ( ) h h φ h = + h (4.6) Και: q () t = Hθ () t (4.7) Επόμενο βήμα είναι η εύρεση των ιδιομορφών ταλάντωσης του μονόπακτου τοίχου. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (1.1) του προηγούμενου κεφαλαίου είναι η: όπου φ ( x) = C sin bx+ C cosbx+ C sinh bx+ C cosh bx (4.8) 1 4 b ω = (4.9) EI 4 m Η λύση περιέχει τέσσερις σταθερές και μια ιδιοσυχνότητα ω. Επιβολή των τεσσάρων συνοριακών συνθηκών της δοκού, δύο για κάθε άκρο της, θα έχει ως αποτέλεσμα την έκφραση των τριών σταθερών συναρτήσεις της τέταρτης και τον υπολογισμό της ιδιοσυχνότητας ω. Για x = η μετατόπιση και η κλίση του τοίχου είναι μηδέν (θεωρούμε τοίχο καθαρά καμπτόμενο καθόσον την ιδιομορφή που οφείλεται σε στροφή περί τη βάση θα τη βρούμε παρακάτω), δηλαδή: 181

186 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης u(, t) = φ() = C + C = (4.1) 4 u x φ = = φ( x) = Cb 1 + Cb = (4.11) x x= x= δηλαδή Για x C 1 C = H η ροπή είναι μηδέν εφόσον έχουμε άρθρωση: + = (4.1) φ( x) M( H, t) = EI = x x= H C (sin bh + sinh bh ) + C (cosbh + cosh bh ) = 1 (4.1) Για x = H η μετατόπιση είναι επίσης μηδέν: uht (, ) = φ( H) = C (sin bh sinh bh ) + C (cosbh cosh bh ) = 1 (4.14) Γράφοντας τις (.19) και (.) σε μητρωική μορφή έχουμε: sinbh + sinhbh cosbh + coshbh C1 sin bh sinh bh cosbh cosh bh C = (4.15) Για να ικανοποιείται η τελευταία πρέπει είτε τα C1, C να είναι μηδέν (μηδενική λύση) είτε ο τετραγωνικός πίνακας να έχει ορίζουσα μηδέν. Φυσικά μας ενδιαφέρει η δεύτερη περίπτωση, εφόσον για C1 = C = ο τοίχος δεν ταλαντώνεται καθόλου. Από την εξίσωση της ορίζουσας με το μηδέν θα προκύψει και η τιμή της ιδιοσυχνότητας b : sin bh + sinh bh cosbh + cosh bh det = sin bh sinh bh cosbh cosh bh (4.16) tan bh = tanh bh Η (.) λύνεται αριθμητικά για να μας δώσει: bh j = λ =.966 j (4.17) κ.ο.κ. Οι δε ιδιομορφές ταλάντωσης του τοίχου, μία για κάθε τιμή του bl n είναι: 18

187 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης ( j ) ( ) φ j( x) = C 1 cosh bx j cosbx j aj sinh bx j sin bx = C 1 cosh λjh cos λjh aj sinh λjh sin λjh (4.18) όπου a n cosh λ j + cos λ j = sinh λ + sin λ j j (4.19) Συμβολίζουμε το βέλος του τοίχου, δηλαδή την συνάρτηση που δίνει την απόσταση ενός τυχαίου σημείου του, όταν ο τοίχος είναι παραμορφωμένος, από τη θέση του ίδιου σημείου, όταν ο τοίχος είναι απαραμόρφωτος, με wht (, ). Για λόγους ευκολίας των υπολογισμών, αυτό μπορεί να γραφεί ως άθροισμα γινομένων μιας συνάρτησης του χρόνου, που ταυτόχρονα δίνει το μέγεθος του βέλους του τοίχου qt () συνάρτησης που δίνει το σχήμα του τοίχου φ ( h) δηλαδή θα δίνεται από τη σχέση:, και μιας wht (, ) = φ j( hq ) j( t) j= 1 (4.) Η τελευταία σχέση ισχύει στην περίπτωση που οι τοίχοι δεν είναι στροφικά ενδόσιμοι στη βάση [Veletsos and Younan, ]. Στο προσομοίωμα όμως που μελετάται στο παρόν κεφάλαιο, πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και την στροφική ενδοσιμότητα. Αυτή λαμβάνεται υπόψη αν συμπεριληφθεί στο παραπάνω άθροισμα και η ιδιομορφή που υπολογίστηκε αρχικά και που οφείλεται μόνο στη στροφή του ελατηρίου. Συνεπώς το βέλος του τοίχου θα είναι: wht (, ) = φ j( hq ) j( t) j= (4.1) Η εξαγωγή της εξίσωσης κίνησης του τοίχου από τις εξισώσεις Larane καθώς και ο υπολογισμός των γενικευμένων δυνάμεων ισχύουν εδώ ακριβώς όπως περιγράφηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. Αυτό που αλλάζει είναι οι τιμές των διαφόρων μητρώων που υπεισέρχονται στον υπολογισμό. Τα μητρώα υπολογίζονται με τις ίδιες μεθόδους που υπολογίστηκαν και στο προηγούμενο κεφάλαιο. Εδώ παρατίθενται μόνο οι τιμές των ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται στα διάφορα μητρώα και εξισώσεις που χρειάζεται να επιλυθούν για να υπολογιστούν τα δυναμικά μεγέθη με βάση τα οποία θα σχεδιαστεί τελικά ο τοίχος. 18

188 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης ψ, ψ n k.5, n = k =, n k (4.) 1, j = k φj, φk =, j k, j = k = 15 (4.) φ φ '' '' j, k, 4 λ j, j = k = j k, j = k = (4.4) ψ,1 n 1 = π n 1 (4.5) ψ, h n = π n n+ 1 4 ( 1) ( 1) (4.6) φ 1/8, j = = + + λ j 1,1 ( 1) j + j aj aj 1 aj 1, j (4.7) φ, h j 7 /1, j = j = λ j ( 1) aj + 1+ aj 1, j λ j (4.8) φ, ψ j n ( ) n π n ( 1) 1 + 1(n 1) π + 4, j = 4 4 π (n 1) = n 1 j 1 λε j n ( 1) λ + j ( 1) aj 1 aj , j 4 4 λ n 1 j j ε n ( 1) λε j n ( 1) aj + 1 aj 1 (4.9) όπου στην τελευταία είναι: ε n (n 1) π = (4.) 184

189 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης 4... Διαγράμματα ωθήσεων Στη συνέχεια φαίνονται διαγράμματα των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων που αναπτύσσονται πίσω από τους τοίχους. Αυτό που πρέπει να προσεχθεί εδώ είναι ότι οι ωθήσεις στην πραγματικότητα είναι ακριβώς όπως έχουν σχεδιαστεί, εκτός ελαχίστων περιπτώσεων. Αυτό δεν συνέβαινε γενικά στο προηγούμενο κεφάλαιο επειδή οι εφελκυσμοί στην κορυφή των τοίχων παριστάνονταν με θετικό πρόσημο. Πρώτα παρατίθενται τα διαγράμματα των στατικών ωθήσεων για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τοίχων και μετά οι ωθήσεις στο συντονισμό και σε δυναμική διέγερση. Παρατηρούνται τα εξής: (α) Μεγαλύτερη ευκαμψία ή στροφική ενδοσιμότητα των τοίχων δεν σημαίνει απαραίτητα και μικρότερες ωθήσεις πίσω τους. Για παράδειγμα στην περίπτωση που dw = 5, dθ = 1 οι ωθήσεις παρουσιάζουν σχεδόν την ίδια κατανομή με αυτές στην περίπτωση dw = 5, dθ = 5, αλλά το μέγιστο των ωθήσεων στην πρώτη περίπτωση είναι σαφώς μικρότερο από αυτό στη δεύτερη περίπτωση. Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά σε σχέση με τους πρόβολους τοίχους αντιστήριξης, όπου είχε προκύψει ότι όσο αυξάνεται η ενδοσιμότητα των τοίχων, τόσο μειώνονται και οι αναπτυσσόμενες σε αυτούς ωθήσεις, με εξαίρεση ίσως το γεγονός ότι οι εφελκυστικές ωθήσεις στην κορυφή τους δεν μειώνονται πάντα με την αύξηση της ευκαμψίας των τοίχων. (β) (γ) Εν γένει όσο αυξάνεται η απόσταση των τοίχων, τόσο αυξάνονται και οι ωθήσεις που δέχονται. Αυτό όμως δεν είναι γενικός κανόνας, μπορεί να υπάρχουν και εξαιρέσεις. Αυτό συμβαίνει για τους ίδιους λόγους που αναφέρθηκαν και στο προηγούμενο κεφάλαιο. Η αύξηση αυτή παύει να υφίσταται με την αύξηση της απόστασης μεταξύ των τοίχων, από ένα σημείο και μετά. Δεν παρατηρούνται εφελκυστικές ωθήσεις σε κανένα σημείο καθ ύψος των τοίχων. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει περίπτωση αποκόλλησης των τοίχων από το έδαφος στη διεπιφάνεια. Παρόλα αυτά πρέπει να γίνεται έλεγχος του υλικού που υπάρχει στη θλιβόμενη περιοχή του εδάφους, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται ότι αυτό παραμένει στην γραμμικά ελαστική περιοχή. 185

190 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = 1 1. dw = dθ =.8.6 y/ H σ / ρhx x Σχήμα 4.4. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος δύσκαμπτων τοίχων με απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους L/ H = 1 1. dw = dθ = y/ H σ / ρhx x Σχήμα 4.5. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ =.5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 186

191 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης L/ H = 1 1. dw = dθ = y/ H σ / ρhx x Σχήμα 4.6. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος με dw =, dθ = 1 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους L/ H = 1 1. dw = dθ = y/ H σ / ρhx x Σχήμα 4.7. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 187

192 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = 1.6 y/ H.4 dw = 1 dθ = σ / ρhx x Σχήμα 4.8. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 1, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 1. dw = 1 dθ =.5 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα 4.9. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 1, dθ =.5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 188

193 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης dw = 1 dθ = 1 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα 4.1. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 1, dθ = 1 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 1. dw = 1 dθ = 5 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 1, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 189

194 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1. dw = 5 dθ =.8 L/ H = y/ H σ / ρ HX x Σχήμα 4.1. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 5, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 1. dw = 5 dθ =.5.8 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα 4.1. Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 5, dθ =.5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 19

195 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης 1. dw = 5 dθ = 1 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 5, dθ = 1 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 1. dw = 5 dθ = 5 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 5, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 191

196 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης dw = 4 dθ = L/ H = y/ H. 4 1 σ / ρ HX x Σχήμα Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. dw = 4 dθ =.5 L/ H = 1 1, y/ H σ / ρhx x Σχήμα Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ =.5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 19

197 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης dw = 4 dθ = y/ H L/ H = σ / ρhx x Σχήμα Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = 1 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. dw = 4 dθ = L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα Αδιαστατοποιημένες στατικές εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. 19

198 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης (δ) Στην περίπτωση που οι τοίχοι είναι δύσκαμπτοι ( dw = ), εξαιτίας των συνθηκών στήριξης στα άκρα τους, δεν θα υπάρχει στροφή στη βάση τους, ανεξάρτητα από την τιμή της δυστρεψίας του στροφικού ελατηρίου. Συνεπώς δεν θα υπάρχει παραμόρφωση του τοίχου, και αυτός θα συμπεριφέρεται ως τελείως άκαμπτος. Δηλαδή η συνθήκη dw = στους μονόπακτους τοίχους και η συνθήκη dw =, dθ = στους πρόβολους τοίχους υποδηλώνουν το ίδιο ακριβώς πράγμα: μηδενική παραμόρφωση του τοίχου και συνεπώς ούτε καμπτική ούτε στροφική ενδοσιμότητα. Οι τοίχοι αυτοί επιλύονται όπως και στο δεύτερο κεφάλαιο. (ε) Για αυξημένες ενδοσιμότητες, οι ωθήσεις που αναπτύσσονται πίσω από τους τοίχους είναι μεν τριγωνικές αλλά η τριγωνική κατανομή δεν φτάνει μέχρι την κορυφή, αλλά σε σημείο πιο κάτω από αυτή. Από εκεί και πάνω η τριγωνική κατανομή αντιστρέφεται, με τις ωθήσεις να παρουσιάζουν τη μέγιστη τιμή τους στην κορυφή των τοίχων. Η μέγιστη τιμή των ωθήσεων παρουσιάζεται γενικά στη βάση των τοίχων. Η τιμή των ωθήσεων στην κορυφή είναι μεν η μέγιστη της άνω τριγωνικής κατανομής, αλλά οπωσδήποτε μικρότερη από αυτή στη βάση. (στ) Για τοίχους στροφικά ενδόσιμους στη βάση και εύκαμπτους, όσο αυξάνεται η απόσταση μεταξύ τους και μειώνεται η ευστρεψία στη βάση, για δεδομένη τιμή της ευκαμψίας, τόσο κατεβαίνει η θέση μηδενισμού των ωθήσεων, ή η θέση στην οποία αυτές ελαχιστοποιούνται, αν δεν μηδενίζονται. (ζ) Όσο αυξάνεται η ευκαμψία των τοίχων, ενώ αυτοί έχουν τέλεια πάκτωση στη βάση, τόσο η κατανομή των ωθήσεων από πίσω τους τείνει να λάβει τη διπλή τριγωνική μορφή, ξεκινώντας βέβαια από τη σχεδόν παραβολική μορφή που έχει στην περίπτωση που dw =. Συμπέρασμα των παραπάνω είναι ότι οι ωθήσεις στην περίπτωση δύσκαμπτων τοίχων προσεγγίζουν πάλι αυτές του Wood [197] όπως και στην περίπτωση των πρόβολων τοίχων αντιστήριξης. Για την περίπτωση όμως των εύκαμπτων και στροφικά ενδόσιμων στη βάση τοίχων, οι οποίοι έχουν άρθρωση ή κύλιση στην κορυφή, δεν υπάρχουν γνωστές κατανομές ωθήσεων από προγενέστερες μεθόδους. Έτσι δεν μπορούν να γίνουν συγκρίσεις. Η προσεγγιστικότητα της μεθόδου παραμένει. Εντούτοις, τα αποτελέσματα που δίνει είναι αξιόπιστα, όσο αυτά μπορούν να ελέγχονται. Ακολουθούν τα διαγράμματα των δυναμικών εδαφικών ωθήσεων για τις περιπτώσεις της συχνότητας συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης και της υψίσυχνης διέγερσης. 194

199 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης L/ H = y / H ω = πv /H dw = dθ = s σ / ρhx x Σχήμα 4.. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους L/ H = y/ H.4 ω = πv /H s dw = dθ = σ / ρhx x Σχήμα 4.1. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 195

200 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1..8 L/ H = y / H ω = πv /H s dw = 4 dθ = σ / ρhx x Σχήμα 4.. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους ω = πv /H s dw = 4 dθ = 5 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα 4.. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 196

201 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης Όσον αφορά τις ωθήσεις σε περίπτωση συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης, παρατηρείται ότι ισχύουν τα εξής: (α) Πρέπει να γίνεται έλεγχος έτσι ώστε να εξασφαλίζεται ότι το υλικό του αντιστηριζόμενου εδάφους παραμένει στην ελαστική περιοχή (οι θλιπτικές τάσεις να μην ξεπερνούν το όριο αναλογίας). (β) Σε όλες τις περιπτώσεις οι εδαφικές ωθήσεις για L/ H = 1 είναι αυξημένες σε σχέση με τις υπόλοιπες, για όλες τις τιμές ευκαμψίας των τοίχων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα συστήματα με L/ H = 1 έχουν ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης πιο κοντά σε αυτήν της επιβαλλόμενης διέγερσης από οποιοδήποτε άλλο σύστημα με διαφορετική τιμή L / H. Έτσι, όπως έχει αναφερθεί και στην αντίστοιχη παράγραφο των δυναμικών ωθήσεων στο προηγούμενο κεφάλαιο αυτά τα συστήματα βρίσκονται σε συντονισμό. Τα επόμενα διαγράμματα (Σχήματα 4.4 έως 4.7) δίνουν τις δυναμικές εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση της δυναμικής απόκρισης των συστημάτων που μελετώνται (συχνότητα τριπλάσια από αυτή του συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης) για διάφορες ευκαμψίες των τοίχων. Παρατηρούμε τα εξής: (α) Είναι δυνατόν να αναπτύσσονται πίσω από τους τοίχους και εφελκυστικές τάσεις, εκτός από τις θλιπτικές. Για παράδειγμα στα Σχήματα 4. και 4.4 παρατηρείται ότι ανάμεσα στα ύψη.6h και.95h αναπτύσσονται εφελκυστικές τάσεις, οι οποίες έχουν σχεδιαστεί στα θετικά του οριζόντιου άξονα, ακριβώς όπως οι εφελκυσμοί στην περίπτωση των πρόβολων τοίχων αντιστήριξης. Αυτό δεν είναι εύκολα αντιληπτό, επειδή οι τοίχοι, σαν μονόπακτοι, δίνουν την αίσθηση ότι για κάθε διέγερση υφίστανται θλιπτικές ωθήσεις. Αργότερα όμως, μόλις φανούν οι παραμορφώσεις που παίρνουν οι τοίχοι, θα κατανοηθεί περισσότερο η ύπαρξη εφελκυστικών ωθήσεων. Όπως και με τους πρόβολους τοίχους, αυτό που επηρεάζει περισσότερο την εναλλαγή εφελκυσμού και θλίψης είναι η ευκαμψία των τοίχων και πολύ λιγότερο η στροφική ενδοσιμότητα στη βάση τους. Τα σημεία εναλλαγής του προσήμου των ωθήσεων εξαρτώνται από τη δυσκαμψία του συστήματος και την απόσταση μεταξύ των τοίχων. Τόσο οι θλιπτικές όσο και οι εφελκυστικές ωθήσεις χρειάζονται έλεγχο έτσι ώστε να μην υπερβαίνουν το όριο αναλογίας του υλικού του αντιστηριζόμενου εδάφους. 197

202 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = y/ H.4 ω = πv /H dw = dθ = s σ / ρ HX x Σχήμα 4.4. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. L / H = y/ H ω = πv /H dw = dθ = 5 s σ / ρhx x Σχήμα 4.5. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw =, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 198

203 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης 1..8 ω = πv /H dw = 4 dθ = s.6 y/ H.4 L/ H = σ / ρhx x.4. Σχήμα 4.6. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 1. ω = πv /H s dw = 4 dθ = 5 L/ H = 1 L/ H = 1.5 L/ H = L/ H = L/ H = 5 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα 4.7. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις πίσω από τους τοίχους συστήματος τοίχων με dw = 4, dθ = 5 και απλή στήριξη στην κορυφή για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ τους. Η συχνότητα διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ιδιότητες με αυτές του αντιστηριζόμενου εδάφους. 199

204 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης (β) Όταν υπάρχει τέλεια πάκτωση στη βάση ( dθ = ) τότε παρατηρείται μεγάλη ενίσχυση των ωθήσεων για συστήματα με L/ H = 1, για τους λόγους που αναφέρθηκαν και στο αντίστοιχο κομμάτι του προηγούμενου κεφαλαίου. (γ) Οι ωθήσεις για L/ H = 5 δεν διαφέρουν ουσιαστικά από αυτές για L/ H = 1. Αυτό σημαίνει ότι οι ωθήσεις για αποστάσεις τοίχων L/ H > 1 αυτές που αντιστοιχούν για τις παραπάνω αποστάσεις μεταξύ των τοίχων. σταθεροποιούνται σε 4... Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων Όπως τονίστηκε και στο προηγούμενο κεφάλαιο, σκόπιμο είναι να διαπιστωθεί εάν το αντιστηριζόμενο έδαφος περνά σε κατάσταση πλαστικοποίησης, ή αν παραμένει στην ελαστική περιοχή. Γι αυτό θα εξεταστούν οι παραμορφωμένες γεωμετρίες των τοίχων, οι οποίες φαίνονται στα διαγράμματα που ακολουθούν (Σχήματα 4.8 έως 4.6). Να υπενθυμιστεί ότι για dw = οι τοίχοι δεν παραμορφώνονται, ανεξάρτητα από τη δυστρεψία του ελατηρίου της βάσης (δηλαδή το dθ ), και συνεπώς οι περιπτώσεις με dw = δεν λαμβάνονται υπόψη στα διαγράμματα. Με τα δεδομένα του προηγούμενου κεφαλαίου, όπου για μέγιστη αδιαστατοποιημένη παραμόρφωση των τοίχων.65 είχε αποδειχθεί ότι το έδαφος παραμένει στην ελαστική περιοχή, και με την παρατήρηση ότι η χειρότερη περίπτωση για τους μονόπακτους τοίχους από θέμα παραμορφώσεων φαίνεται στο Σχήμα 4.1 όπου η μέγιστη απόσταση της καμπύλης της παραμορφωμένης γεωμετρίας από αυτήν της αρχικής απαραμόρφωτης είναι., βγαίνει το συμπέρασμα ότι και πάλι δεν υπάρχει πρόβλημα πλαστικοποίησης του αντιστηριζόμενου εδάφους. Αυτό παραμένει στην ελαστική περιοχή. Κάτι άλλο που πρέπει να σημειωθεί εδώ είναι ότι γενικά, για την ίδια συχνότητα διέγερσης και για τον ίδιο συνδυασμό ευκαμψίας των μονόπακτων τοίχων και στροφικής ενδοσιμότητας στη βάση τους, όσο αυξάνεται η απόσταση μεταξύ τους τόσο αυξάνεται το ύψος από τη βάση, στο οποίο ο καθένας παίρνει τη μέγιστη παραμόρφωση, καθώς και η παραμόρφωση αυτή. Τέλος, όπως θα περίμενε κανείς, το μέγιστο βέλος των εύκαμπτων και στροφικά ενδόσιμων στη βάση τοίχων, είναι μεγαλύτερο από αυτό των εύκαμπτων αλλά στροφικά ανένδοτων στη βάση τοίχων.

205 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης L/ H = dθ = 5, dw= 4 dθ =, dw= y/ H w. st V s X H..1 Σχήμα 4.8. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = λόγω στατικής διέγερσης για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. dθ = 5, dw= 4 dθ =, dw= 4 1. L/ H = y/ H w st.4 s V X H. Σχήμα 4.9. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 λόγω στατικής διέγερσης για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. 1

206 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης dθ = 5, dw= 4 dθ =, dw= 4 1. ω = πv /H s L / H =.8.6 y/ H V w X H s Σχήμα 4.. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη. dθ = 5, dw= 4 dθ =, dw= 4 1. ω = πv /H s L / H = y/ H V w X H s Σχήμα 4.1. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη.

207 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης dθ = 5, dw= 4 dθ =, dw= 4 1. ω = πv /H s L/ H =.8.6 y/ H s V w X H.5 Σχήμα 4.. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη. dθ = 5, dw= 4 dθ =, dw= 4 1. ω = πv /H s L/ H = y / H V w X H s. 4. Σχήμα 4.. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = 1 για διάφορους συνδυασμούς της καμπτικής και στροφικής ενδοσιμότητας των τοίχων, οι οποίοι φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη.

208 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης dw = 5, dθ = dw = 4, dθ = 1. L/ H =.8.6 y/ H w st V s X H.4. Σχήμα 4.4. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = λόγω στατικής διέγερσης για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τέλεια πακτωμένων στη βάση τοίχων, που φαίνονται στο Σχήμα. dw = 5, dθ = dw = 4, dθ = 1. ω = πv /H s L / H =.8.6 y/ H V w X H s.4. Σχήμα 4.5. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τέλεια πακτωμένων στη βάση τοίχων, που φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη. 4

209 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης dw = 5, dθ = dw = 4, dθ = 1. ω = πv /H s L/ H =.8.6 y/ H V w X H. s.1 Σχήμα 4.6. Παραμορφωμένη γεωμετρία των τοίχων συστήματος με L/ H = για διάφορες τιμές της ευκαμψίας των τέλεια πακτωμένων στη βάση τοίχων, που φαίνονται στο Σχήμα. Η συχνότητα της διέγερσης είναι ίση με το τριπλάσιο της ιδιοσυχνότητας της άπειρης εδαφικής στρώσης που έχει τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες με την αντιστηριζόμενη Τέμνουσα και ροπή στις στηρίξεις Ενώ όμως οι ωθήσεις και οι παραμορφώσεις δίνουν μια ποιοτική εικόνα για το τι συμβαίνει πίσω από και στους τοίχους αντίστοιχα, τα μεγέθη με τα οποία σχεδιάζονται οι τοίχοι είναι η τέμνουσα και η ροπή στη βάση, αλλά και η τέμνουσα στην κορυφή, όπου υπάρχει η άρθρωση ή κύλιση. Επειδή ο υπολογισμός των παραπάνω αντιδράσεων απαιτεί πολύπλοκους υπολογισμούς υπερστατικών φορέων, οι οποίοι αναλύονται παρακάτω, δεν έγινε δυνατή η δημιουργία διαγραμμάτων αυτών των μεγεθών εξαιτίας προβλημάτων του κώδικα προγραμματισμού. Ο υπολογισμός των δυνάμεων και ροπών στα άκρα των τοίχων γίνεται αναλυτικά ως εξής: Θεωρώντας υπερστατικό μέγεθος την αντίδραση στην κορυφή του τοίχου, και αφαιρώντας την αντίστοιχη στήριξη, προκύπτει ο ισοστατικός φορέας [] του Σχήματος που ακολουθεί. Ο ίδιος φορέας με μοναδιαία δύναμη στην κορυφή θα είναι o [1]: 5

210 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Q 1 F 1 X F 1 = ρ X H 11 X F 1 = ρ XH 11 H σ ( h) σ ( h) M Q 1 M = H σ ( h) hdh M = ρ X H M = ρ X H θ 1 H θ = σ( hhdh ) * R θ ρ X H θ = * R θ ρ X H θ = * R θ [] [1] [1] Αρχικός υπερστατικός φορέας Ισοστατικός φορέας Δυνατός φορέας Δυνατός φορέας Σχήμα 4.7. Επίλυση του μονόπακτου τοίχου αντιστήριξης με τη μέθοδο των δυνάμεων που βασίζεται στην αρχή των δυνατών έργων. Σκοπός είναι ο υπολογισμός των αντιδράσεων σαν συνάρτηση της συνάρτησης κατανομής των ωθήσεων σ ( h) πίσω από τον τοίχο. Παίρνοντας τις παραμορφώσεις στον ισοστατικό φορέα (με την αρχική φόρτιση) και τις δράσεις στο δυνατό, θα έχουμε από την εξίσωση της αρχής των δυνατών έργων: ρ + ρ σ = * * 1 Rθ E wiw (4.1) F X H X H ( h) hdh M ( h) M ( h) dh Η ροπή στη βάση του ισοστατικού φορέα θα είναι: 1 M () = H σ ( h) hdh (4.) Η τέμνουσα στη βάση του ίδιου φορέα θα είναι: V () = H σ ( h) dh 1 (4.) Άρα το διάγραμμα ροπών του αρχικού ισοστατικού φορέα είναι: 1 1 h (4.4) M ( h) = H σ( h) hdh + hh σ( h) dh + H σ( t)( t h) dt το οποίο προκύπτει με τομή του φορέα σε τυχαίο σημείο και ισορροπία ροπών ως προς το 6

211 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης σημείο τομής. Το διάγραμμα ροπών του δυνατού φορέα είναι κάπως πιο εύκολο: M h = X H h (4.5) ( ) (1 ) 1 ρ και προκύπτει με τον ίδιο τρόπο. Το έργο παραμόρφωσης λόγω τέμνουσας δεν λαμβάνεται υπόψη επειδή αποδεικνύεται ότι είναι αμελητέο σε σύγκριση με το έργο παραμόρφωσης που οφείλεται στις ροπές. Αντικαθιστώντας τις (4.4) και (4.5) στην (4.1) και μετά από πράξεις προκύπτει η σχέση: H ( ) H F σ h hdh σ( h) h h = + dh * * Rθ E 6 wiw (4.6) Παίρνοντας τις δράσεις στον δυνατό φορέα και τις παραμορφώσεις στο δυνατό πάλι φορέα, θα προκύψει από την εφαρμογή της σχέσης της αρχής των δυνατών έργων: ρ X H F ρ X H = M ( h) M ( h) dh (4.7) * * 1 1 Rθ EwIw η οποία μετά την αντικατάσταση της σχέσης (4.5) και πράξεις γίνεται ως εξής: F H 1 = ρ X H + (4.8) 11 * * EI w w R θ Η παραμόρφωση της κορυφής του τοίχου είναι μηδενική, εφόσον εκεί υπάρχει κύλιση. Για το λόγο αυτό και επειδή ο τοίχος αντιστηρίξεως βρίσκεται στην ελαστική περιοχή, εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας των μετατοπίσεων πρέπει να επιβληθεί η συνθήκη: F ρ X H + QF = (4.9) όπου με Q 1 συμβολίζεται η τέμνουσα που ασκείται στην κορυφή του τοίχου. Για να βρεθεί αυτή, λύνεται η (4.9) ως προς Q 1 και στη συνέχεια αντικαθίστανται οι σχέσεις (4.6) και (4.8) για να προκύψει το αποτέλεσμα: Q 1 = 1 1 H H h h ( hhdh ) ( h) dh * * R σ θ E 6 wi σ w 1 H + R * * θ E w I w (4.4) Για να υπολογιστεί η τέμνουσα που ασκείται στη βάση του μονόπακτου τοίχου, αφαιρείται από τη συνολική τέμνουσα δύναμη που ασκείται στη βάση του αντίστοιχου 7

212 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης προβόλου τοίχου (δηλαδή του αρχικού ισοστατικού φορέα) η παραπάνω τέμνουσα, δηλαδή για την τέμνουσα που ασκείται στη βάση του μονόπακτου τοίχου που εξετάζεται εδώ θα ισχύει η σχέση: 1 Q = H σ ( h) dh Q = H H h h ( h) * ( 1 h) dh ( h) 1 dh * R σ + E wi σ + θ w = 1 H + R E I * * θ w w (4.41) Απομένει να υπολογισθεί η αναπτυσσόμενη βρίσκεται εάν ληφθεί ισορροπία ροπών στη βάση: ροπή στη βάση του τοίχου η οποία 1 M = HQ H σ ( h) hdh (4.4) 1 Και αντικαθιστώντας το Q 1 από την (4.4) θα προκύψει μετά από πράξεις: M = 1 H h h σ ( h) + h dh 1 H + R E I * EI w w * * θ w w (4.4) Το θετικό ή αρνητικό πρόσημο στην αρχή της εξίσωσης της ροπής εξαρτάται από τη φορά που έχει επιλεγεί ως θετική. Θετική θεωρείται η ροπή που προκαλεί εφελκυσμό της δεξιάς ίνας αναφοράς (ενώ οι ωθήσεις στο Σχήμα 4.7 θεωρούνται ότι πηγαίνουν από αριστερά προς τ α δεξιά). Η στροφή που θα εμφανιστεί στη βάση του τοίχου θα είναι αναπτυσσόμενης ροπής προς τη δυστρεψία του στροφικού ελατηρίου * R θ : το πηλίκο της θ = 1 H h h σ ( h) + * EI w w * HRθ 1+ * EI w w h dh (4.44) Λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις: D * w * GH Et EI = = = dw 1(1 ν ) 1 ν * * w w w w w w (4.45) 8

213 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης * * GH Rθ = (4.46) dθ και γράφοντας την (4.45) ως: ( ν ) GH = (4.47) dw 1 * * w w w EI Οι σχέσεις (4.4), (4.41), (4.4) και (4.44) γράφονται ως εξής: Q 1 = H 1 1 dw h h dθ σ( h) hdh σ( h) dh 1 ( ν ) w dw dθ + 1 ( ν w ) (4.48) Q = H 1 1 dw h h dθ σ h h dh h d ( ) ( ) 1 + σ( ) ( ν ) h w dw dθ + 1 ( ν w ) (4.49) M = H 1 dw h h σ ( h) + h 1 ( ν ) dh w dw dθ + 1 ( ν w ) (4.5) 1 θ = G * 1 dw h h σ ( h) + h 1 ( ν ) dh w dw 1+ 1 dθ ( νw ) (4.51) Με βάση τις τελευταίες σχέσεις παρατηρούνται τα εξής: (α) Όταν οι τοίχοι είναι τέλεια πακτωμένοι στη βάση ( dθ = ) τότε τόσο η τέμνουσα και η ροπή που αναπτύσσονται στη βάση των τοίχων όσο και η τέμνουσα στην κορυφή, δεν εξαρτώνται από την ευκαμψία των τοίχων dw. Αυτό σημαίνει ότι ένας πιο εύκαμπτος τοίχος δεν θα δεχθεί λιγότερη τέμνουσα ή ροπή στις στηρίξεις του. (β) Όταν ο τοίχος είναι δύσκαμπτος ( dw = ) τότε τόσο η ροπή που αναπτύσσεται στη βάση του όσο και η στροφή σε αυτή, είναι μηδενικές, ανεξάρτητα από την τιμή της ευστρεψίας του ελατηρίου στη βάση. Αυτό είναι εύκολα αντιληπτό. Μια δύσκαμπτη δοκός δεν αναπτύσσει ποτέ ροπή σε άκρο της το οποίο στηρίζεται είτε με απλή 9

214 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης στήριξη (κύλιση, άρθρωση) ή με πάκτωση. Επίσης, στην περίπτωση αυτή δεν χρειάζονται πρόσθετα διαγράμματα για τον υπολογισμό της τέμνουσας στη βάση ή την κορυφή των τοίχων. Αν στις εξισώσεις (4.48) και (4.49) αντικατασταθεί όπου dw = τότε μετά τις πράξεις θα προκύψουν αντίστοιχα: 1 1 Q = H σ ( h) hdh 1 ( ) Q = H σ ( h) 1 h dh (4.5) (4.5) M = (4.54) θ = (4.55) Από τις τελευταίες συμπεραίνουμε ότι η αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στην κορυφή ενός δύσκαμπτου μονόπακτου τοίχου ισούται με την αδιαστατοποιημένη ροπή στη βάση του αντίστοιχου δύσκαμπτου πρόβολου τοίχου (δηλαδή τη ροπή που ασκείται στη βάση εάν ο μονόπακτος τοίχος αντικατασταθεί με άκαμπτο και άστρεπτο πρόβολο) Q1, αδιαστ. M b, αδιαστ., προβ ό λου = (4.56) Επίσης, η τέμνουσα στη βάση προκύπτει αν από την αδιαστατοποιημένη τέμνουσα που ασκείται στη βάση του δύσκαμπτου και δύστρεπτου πρόβολου τοίχου αφαιρεθεί η αδιαστατοποιημένη ροπή που ασκείται στη βάση πάλι του δύσκαμπτου και δύστρεπτου τοίχου Q = Q M (4.57), αδιαστ. b, αδιαστ., προβ όλου b, αδιαστ., προβ όλου Τα παραπάνω χρησιμεύουν στο ότι από εδώ και στο εξής για να βρεθούν οι τέμνουσες στα άκρα των δύσκαμπτων μονόπακτων τοίχων, οι οποίοι έχουν στη βάση στροφικό ελατήριο οποιασδήποτε δυστρεψίας, ο αναγνώστης θα μπορεί να ανατρέχει στα διαγράμματα τεμνουσών και ροπών των τοίχων του προσομοιώματος του Wood. Να σημειωθεί ότι στις σχέσεις (4.56) και (4.57) τα μεγέθη είναι αδιαστατοποιημένα. Ένα παράδειγμα δίνεται στη συνέχεια: Έστω το ίδιο σύστημα δύσκαμπτων μονόπακτων τοίχων με προηγουμένως, για το οποίο ισχύει L/ H = 1, ν =., δ =.1 και η διέγερση είναι στατική. Η ευστρεψία και η απόσβεση υλικού του τοίχου δεν παίζουν ρόλο στη διαμόρφωση των αποτελεσμάτων. Η αδιαστατοποιημένη τέμνουσα που αναπτύσσεται στη βάση των τοίχων ενός τέτοιου 1

215 Κεφάλαιο 4: Σύστημα Εύκαμπτων Μονόπακτων Τοίχων Αντιστήριξης συστήματος, αν υποτεθεί ότι αυτοί είναι δύσκαμπτοι, φαίνεται στο Σχήμα.4 ότι ισούται με.96. Η αδιαστατοποιημένη ροπή προκύπτει παρομοίως από το Σχήμα.5 ίση με.55. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στην κορυφή θα είναι ίση με.55 και η αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση ίση με =.41. Η ροπή στη βάση του μονόπακτου θα είναι μηδενική. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι ένας δύσκαμπτος τοίχος, δέχεται πολύ μεγαλύτερες δράσεις στις στηρίξεις του όταν είναι πρόβολος από ότι όταν είναι μονόπακτος. Επομένως, συμφέρει γενικά από θέμα σχεδιασμού η κατασκευή μονόπακτων και όχι πρόβολων τοίχων αντιστήριξης, όταν αυτοί είναι δύσκαμπτοι. Ένα άλλο συμπέρασμα που βγαίνει από τη σχέση (4.57) είναι ότι αφού η τέμνουσα στη βάση του μονοπάκτου είναι πάντα θετική, η αδιαστατοποιημένη τέμνουσα στη βάση δύσκαμπτου προβόλου θα είναι μεγαλύτερη από την αδιαστατοποιημένη ροπή (κάτω από τις ίδιες συνθήκες), λόγω της (4.57). Το ότι Q > προκύπτει από την (4.5) όπου σ ( h) ως μέτρο μιγαδικού αριθμού, και 1 h εξ ορισμού, οπότε και το ολοκλήρωμα θα είναι θετικό. Τα παραπάνω αποτελέσματα φαίνονται σχηματικά στο επόμενο Σχήμα: L/ H = 1, ν =., δ =.1, στατικ ήδιέγερση.6 ρ X H dw = dw = 4 dw = 1. ρ X H.4 ρ X H.4 ρ X H dθ = dθ = dθ.6 ρ X H.6 ρ X H Α Β Γ Σχήμα 4.8. Προσομοιώματα τοίχων αντιστήριξης που λύθηκαν σε διάφορα σημεία της παρούσας εργασίας. Τοίχος: Α) Πρόβολος δύσκαμπτος και στροφικά ανένδοτος στη βάση (Κεφάλαιο ), Β) Πρόβολος εύκαμπτος και στροφικά ανένδοτος στη βάση (Κεφάλαιο ), Γ) Μονόπακτος δύσκαμπτος και στροφικά ενδόσιμος στη βάση (Κεφάλαιο 4). Ο τελευταίος μπορεί να έχει στη βάση και απλή στήριξη, χωρίς στροφικό ελατήριο. 11

216 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Παρατηρείται ότι ο εύκαμπτος και τέλεια πακτωμένος τοίχος αναπτύσσει στη βάση του την ίδια τέμνουσα με τον δύσκαμπτο, αλλά αμφιαρθρωτό. Στη δεύτερη περίπτωση όμως, υπάρχει μεγαλύτερη τέμνουσα στην κορυφή από ότι στη βάση, πράγμα που σημαίνει ότι ο τοίχος στηρίζεται περισσότερο στην κορυφή παρά στη βάση του. Ταυτόχρονα φαίνεται και η ευεργετική επίδραση της ευκαμψίας των τοίχων όπου στην περίπτωση του παραπάνω Σχήματος υποδιπλασιάζεται η τέμνουσα στη βάση και υποδεκαπλασιάζεται η ροπή. 1

217 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία 5. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 5.1. ΓΕΝΙΚΑ Μέχρι τώρα το προσομοίωμα των δυο τοίχων αντιστήριξης που συνδέονται μονολιθικά με την άκαμπτη βάση εξετάστηκε μόνο μέσω αναλυτικών λύσεων. Άλλες ήταν ακριβείς, όπως η ανάπτυξη μεθοδολογίας για επίλυση του συστήματος που διεγείρεται με δυναμική διέγερση στη βάση, παρόμοιας με αυτή που αναπτύχθηκε από τον Wood [197] για στατικά διεγειρόμενο σύστημα. Άλλες ήταν προσεγγιστικές όπως η γενίκευση της μεθόδου των Veletsos and Younan [1994,1997,] οι οποίες όμως υπήρξαν και οι μοναδικές που μπορούν να βρούν εφαρμογή στα εύκαμπτα συστήματα. Οι αναλυτικές λύσεις έχουν το πλεονέκτημα ότι μπορούν να εκφραστούν πάντα σε μορφή από την οποία μπορεί κανείς να συμπεράνει το πώς η μεταβολή κάποιου μεγέθους θα επηρεάσει κάποιο άλλο. Εκτός όμως από τις αναλυτικές λύσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω, υπάρχουν και οι λεγόμενες αριθμητικές μέθοδοι, που χρησιμοποιούνται για την επίλυση διαφόρων προσομοιωμάτων. Αυτές συνίστανται στον υπολογισμό διαφόρων μεγεθών που ζητούνται από την ανάλυση ενός προσομοιώματος, με μεθόδους που είναι μόνο χωρικά και χρονικά προσεγγιστικές. Δηλαδή με αυτές τα προσομοιώματα, καθώς και η χρονική διάρκεια που διαρκεί η δυναμική ανάλυση, χωρίζονται πρώτα σε επιμέρους τμήματα. Καθένα από τα τμήματα (ή στοιχεία) στα οποία χωρίζεται το προσομοίωμα σαν κατασκευή θεωρείται ότι έχει απειροστές διαστάσεις. Τα στοιχεία θεωρούνται ότι συνδέονται μεταξύ τους σε διακριτά σημεία, τους κόμβους. Σε κάθε κόμβο κάθε στοιχείου αντιστοιχεί ένας αριθμός γενικευμένων μετατοπίσεων, δηλαδή μετατοπίσεων ή παραγώγων τους, ή αλλιώς κομβικών παραμέτρων. Επίσης, καθένα από τα βήματα στα οποία έχει χωριστεί η χρονική διάρκεια θεωρείται ότι έχει απειροστή χρονική διάρκεια. Εδώ η προσέγγιση δεν γίνεται με εξίσωση κάποιας ανισότητας μεταξύ δυο φυσικών μεγεθών, όπως γίνεται συνήθως κατά την εξαγωγή μιας προσεγγιστικής αναλυτικής λύσης για να διευκολυνθεί κανείς στους μαθηματικούς υπολογισμούς. Η προσέγγιση οφείλεται στο γεγονός ότι αντί το αρχικό προσομοίωμα να χωριστεί σε άπειρα στοιχεία, έτσι ώστε να είναι δυνατή η εξαγωγή αριθμητικών αποτελεσμάτων ολοκληρώνοντας τα διάφορα μεγέθη που προκύπτουν για το ένα κομμάτι επάνω στην επιφάνεια (ή στο χώρο), χωρίζεται σε πολλά αλλά όχι άπειρα σε αριθμό μικρά 1

218 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης τμήματα καθένα από τα οποία επιλύεται αναλυτικά και των οποίων τα εξαγόμενα αθροίζονται και δεν ολοκληρώνονται για να προκύψει το τελικό αποτέλεσμα. Είναι προφανές ότι η ακρίβεια της αριθμητικής μεθόδου αυξάνεται όσο αυξάνεται ο αριθμός των στοιχείων στα οποία χωρίζεται το προς επίλυση προσομοίωμα. Εξάλλου το γεγονός ότι εξάγονται αριθμητικά αποτελέσματα για έναν συγκεκριμένο αριθμό μικρών τμημάτων τα οποία μπορεί να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, (δηλαδή η συμπεριφορά του ενός να επηρεάζεται και από τη συμπεριφορά ενός άλλου) παραπέμπει σε γραμμικά συστήματα (εφόσον η ανάλυση που κάνουμε είναι γραμμική) και συνεπώς σε άλγεβρα πινάκων και μητρωική ανάλυση. Η χρήση μητρώων είναι ζωτικής σημασίας στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η αριθμητική μέθοδος που περιγράφηκε πιο πάνω ονομάζεται μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων. Η διαφορά των πεπερασμένων στοιχείων με τη μητρωική ανάλυση των κατασκευών είναι ότι στη θέση των ράβδων έχουμε στοιχεία. Τα διάφορα στοιχεία στα οποία χωρίζεται το αρχικό προσομοίωμα αποτελούν ένα δίκτυο που ονομάζεται δίκτυο των πεπερασμένων στοιχείων. Η επίλυση των μητρώων αυτών με το χέρι είναι πρακτικά αδύνατη, επειδή η δημιουργία σφάλματος κατά την επίλυση είναι σχεδόν βέβαια, και αν στην καλύτερη περίπτωση δεν υπάρξει λάθος το χρονικό διάστημα που θα απαιτηθεί για να ολοκληρωθεί η λύση θα είναι απαγορευτικό. Όσο πυκνώνει το δίκτυο των πεπερασμένων στοιχείων τόσο πιο μεγάλα μητρώα χρησιμοποιούνται για την επίλυση του προσομοιώματος, και συνεπώς αυξάνεται το κόστος σε χρόνο και ενέργεια, όταν τα μητρώα αυτά επιλύονται από ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Έτσι η απόλυτα ακριβής λύση μέσω της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων είναι αδύνατη καθώς θα απαιτούσε άπειρο χρονικό διάστημα επίλυσης και θα πρέπει να βρίσκεται πάντα η χρυσή τομή μεταξύ ακρίβειας της μεθόδου και κόστους χρονικού και υπολογιστικού. Αντίθετα, με τις αναλυτικές μεθόδους δεν θεωρούμε διακριτοποιημένο το σύστημα προς επίλυση, αλλά ως ένα συνεχές μέσο στο οποίο ολοκληρώνονται μεν τα μεγέθη χωρικά και χρονικά, αλλά οι σχέσεις που χρησιμοποιούνται για την έκφραση αυτών των μεγεθών συχνά είναι προσεγγιστικές, αλλά όχι πάντα. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων εμφανίζει πολλά πλεονεκτήματα σε σχέση με τις αναλυτικές μεθόδους. Με τη μέθοδο αυτή μπορεί να αντιμετωπιστεί οποιοδήποτε προσομοίωμα, όσο πολύπλοκο και αν είναι, και να εξαχθούν λύσεις που πλησιάζουν με οποιαδήποτε προσέγγιση επιθυμεί κανείς τα πραγματικά αποτελέσματα. Αυτοί είναι οι λόγοι που κατέστησαν ευρεία την εφαρμογή της στη σημερινή εποχή στα έργα πολιτικού 14

219 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία μηχανικού και όχι μόνο. Στις περιπτώσεις που η ακριβής αναλυτική μέθοδος είναι μια ουτοπία, τα πεπερασμένα στοιχεία με κατάλληλες προσομοιώσεις μπορούν να κάνουν θαύματα. Συγχρόνως όμως η μέθοδος αυτή αποτελεί και ένα «μαύρο κουτί» υπό την έννοια ότι τα αποτελέσματα που δίνει δεν είναι εύκολο να ελεγχθούν με βάση μαθηματικές μεθόδους, που οπωσδήποτε είναι πιο προσιτές στο μηχανικό. Αν γίνει δηλαδή λάθος κατά την εισαγωγή των δεδομένων, μπορεί και να μη γίνει αντιληπτό μέσω των αποτελεσμάτων ακριβώς γιατί δεν μπορεί να ειπωθεί με σιγουριά αν είναι σωστά ή λάθος. 5.. ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Στην παρούσα διπλωματική εργασία πραγματοποιήθηκαν και αναλύσεις με αριθμητικές μεθόδους. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήθηκε ο κώδικας πεπερασμένων στοιχείων PLAXIS. Εφόσον τα αποτελέσματα των αναλυτικών λύσεων είναι σε αδιαστατοποιημένη μορφή, θεωρήθηκε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι οι τοίχοι έχουν ύψος 8 m, πλάτος. m και αβαρείς ( m = ). Επίσης θεωρήθηκε πυκνότητα αντιστηριζόμενου εδάφους w 1.8 tn / m και διέγερση στη βάση ως αρμονική επιτάχυνση πλάτους.1 m/ s. Το έδαφος θεωρήθηκε ότι συμπεριφέρεται ως ιξωδοελαστικό υλικό. Το μέτρο διάτμησης του αντιστηριζόμενου εδάφους δεν επηρεάζει τις σεισμικές εδαφικές ωθήσεις σε μεγάλο βαθμό. Παίζει ρόλο περισσότερο στην ιδιοσυχνότητα του αντιστηριζόμενου εδάφους και στην ευκαμψία του τοίχου, μέσω των συντελεστών σχετικής δυσκαμψίας. Έτσι, για όλες τις αναλύσεις θεωρήθηκαν ρ = 1.8 t/ m και V = 1 m/ s. Ο λόγος Poisson και ο συντελεστής απόσβεσης για το έδαφος θεωρήθηκαν ν =. και ξ =.5 αντίστοιχα. Τα δίκτυα Πεπερασμένων Στοιχείων για δύο τυπικές περιπτώσεις φαίνονται στα Σχήματα 5.1 και 5., όπου με το πιο σκούρο χρώμα συμβολίζεται το πολύ δύσκαμπτο υλικό που θεωρούμε ότι αντιστοιχεί στους τοίχους και την ανένδοτη βάση. Τα βέλη στην βάση των προσομοιωμάτων αναπαριστούν την επιβαλλόμενη χρονοϊστορία επιτάχυνσης. Στο Σχήμα 5. οι έντονες γραμμές αριστερά και δεξιά του εδαφικού υλικού αντιστοιχούν στους εύκαμπτους τοίχους αντιστήριξης. Η κυκλική συχνότητα της διέγερσης, ω, έλαβε τρείς χαρακτηριστικές τιμές: ω = ω /6 1 (οιονεί στατική φόρτιση), 1 ω = ω (συντονισμός του αντιστηριζόμενου εδαφικού στρώματος), s 15

220 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Σχήμα 5.1. Δίκτυο Πεπερασμένων Στοιχείων για το σύστημα δύσκαμπτων τοίχων με L/H =. Σχήμα 5.. Δίκτυο Πεπερασμένων Στοιχείων για το σύστημα εύκαμπτων τοίχων με L/H =. 16

221 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία ω = ω (δυναμική φόρτιση),όπου: 1 ω = π f f Vs = 4H όπου f 1 η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα του εδαφικού στρώματος απείρου μήκους το οποίο έχει τις ίδιες ακριβώς φυσικές ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο. Όσον αφορά τη διεπιφάνεια τοίχου-εδάφους, έγιναν οι ίδιες παραδοχές με αυτές των Veletsos and Younan [1994a], δηλαδή ότι δεν έχουμε ούτε αποκόλληση ούτε σχετική ολίσθηση του εδάφους με τον τοίχο. Αυτό βέβαια έρχεται σε αντίθεση με τις παραδοχές του Wood ότι στη διεπιφάνεια τοίχων-εδάφους οι διατμητικές τάσεις μηδενίζονται, δηλαδή ότι μπορούμε να έχουμε σχετική ολίσθηση. Στο διδακτορικό του όμως ο Wood αναφέρει ότι λίγο επηρεάζονται τα αποτελέσματα που δίνει η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων όταν μεταβάλλεται η διεπιφάνεια τοίχων-εδάφους από εγκόλλητη σε λεία και αντιστρόφως. Επειδή δεν υπάρχει δυνατότητα προσομοίωσης του στροφικού ελατηρίου στη βάση των τοίχων στον κώδικα PLAXIS, όλες οι αναλύσεις έγιναν για πακτωμένους στη βάση τοίχους ( dθ = ) Διαγράμματα αποτελεσμάτων αριθμητικών αναλύσεων Εξετάστηκαν αρχικά οι ωθήσεις που αναπτύσσονται πίσω από τον τοίχο. Για διευκόλυνση του αναγνώστη, πάνω από κάθε διάγραμμα με αποτελέσματα των αριθμητικών αναλύσεων παρατίθενται και το αντίστοιχο των αναλυτικών λύσεων. Κατά σειρά παρουσιάζονται οι εξής περιπτώσεις: (α) Οιονεί στατική διέγερση (Σχήματα 5. έως 5.9). (β) (γ) Διέγερση που συντονίζει το άπειρο εδαφικό στρώμα το οποίο έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο (Σχήματα 5.1 έως 5.1). Δυναμικής διέγερσης με συχνότητα τριπλάσια της συχνότητας της διέγερσης που συντονίζει το άπειρο εδαφικό στρώμα το οποίο έχει τις ίδιες ιδιότητες με το αντιστηριζόμενο (Σχήματα 5.14 έως 5.17). Στη συνέχεια, υπολογίστηκε η τέμνουσα στη βάση των τοίχων για τις περιπτώσεις της οιονεί στατικής διέγερσης και του συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης. Για τη δυναμική διέγερση (με συχνότητα τριπλάσια αυτής που συντονίζει την άπειρη εδαφική 17

222 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης στρώση) δεν παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των αριθμητικών αναλύσεων, επειδή στην περίπτωση διαγράμματος Q L/ H οι κορυφές και οι κοιλάδες που δίνουν οι αναλυτικές λύσεις δύσκολα μπορούν να σχεδιαστούν με τη βοήθεια λίγων μεμονωμένων σημείων, που προκύπτουν από την επίλυση με πεπερασμένα στοιχεία. Τα διαγράμματα που αναπτύχθηκαν φαίνονται στα Σχήματα 5.18 έως 5. Επίσης έγιναν διαγράμματα αδιαστατοποιημένης τέμνουσας-ευκαμψίας των τοίχων για τις δύο διεγέρσεις (οιονεί στατική και συντονισμό) για συγκεκριμένη απόσταση μεταξύ των τοίχων κάθε φορά (συγκεκριμένο προσομοίωμα), και φαίνονται στα Σχήματα 5.4 έως 5.7. Η ίδια ακριβώς διαδικασία εφαρμόστηκε και για τις ροπές στη βάση των τοίχων (Σχήματα 5.8 έως 5. και 5.4 έως 5.7) ω = πv /1H s ξ =.5 ν =., dθ = dw= L/ H = 1 L/ H = L/ H = L/ H = 5 L/ H = y/ H σ / ρhx x Σχήμα 5.. Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για διάφορες τιμές της αδιαστατοποιημένης αποστασης μεταξύ των τοίχων. 18

223 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία L/ H = 1 1. dw = dθ =.8.6 y/ H σ / ρhx x Σχήμα 5.4. Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ). L/H=1 L/H= L/H= L/H=5 L/H=1 ω = πv /1H s ξ =.5 ν =., dθ = dw= h σ / ρhx x.4. Σχήμα 5.5. Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ). 19

224 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 1. dw = 5 dθ = L/ H = 1.4 y/ H σ / ρhx x Σχήμα 5.6. Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 5 ). ω = π V L/H=1 L/H= L/H= L/H=5 L/H=1 s /1H ξ =.5 ν =., dθ =, dw = h σ / ρhx x. -. Σχήμα 5.7. Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 5 ).

225 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία 1. dw = 4 dθ =.8.6 y/ H L/ H = σ / ρhx x Σχήμα 5.8. Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 ). L/H=1 L/H= L/H= L/H=5 L/H=1 ω = πv /1H s ξ =.5 ν =., dθ =, dw= h σ / ρhx x Σχήμα 5.9. Αδιαστατοποιημένες οιονεί στατικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 ). 1

226 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = y/ H ω = πv /H dw = dθ = s σ / ρhx x Σχήμα 5.1. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ). L/H=1 L/H= L/H= L/H=5 L/H=1 ω = πv /H s ξ =.5 ν =., dθ = dw= h σ / ρhx x 1 Σχήμα Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ).

227 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία 1..8 L/ H = y/ H ω = πv /H s dw = 4 dθ = σ / ρhx x Σχήμα 5.1. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 ). L/H=1 L/H= L/H= L/H=5 L/H=1 ω = πv /H s ξ =.5 ν =., dθ =, dw= h 6 4 σ / ρhx x Σχήμα 5.1. Αδιαστατοποιημένες εδαφικές ωθήσεις στην περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 ).

228 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης L/ H = y/ H.4 ω = πv /H dw = dθ = s σ / ρhx x Σχήμα Αδιαστατοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ). L/H=1 L/H= L/H= L/H=5 L/H=1 ω = πv /H s ξ =.5 ν =., dθ = dw= h σ / ρhx x.5 Σχήμα Αδιαστατοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ). 4

229 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία 1..8 ω = πv /H dw = 4 dθ = s.6 y/ H.4 L/ H = σ / ρhx x.4. Σχήμα Αδιαστατοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 ). L/H=1 L/H= L/H= L/H=5 L/H=1 ω = πv /H s ξ =.5 ν =., dθ =, dw= h σ / ρhx x -. Σχήμα Αδιαστατοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για σύστημα εύκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= 4 ). 5

230 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης dw = Q / ρ b H X ω = πv /1H ν =., dθ = s Η απόσβεση ξ είναι ανεξάρτητη της συχνότητας L/ H Σχήμα Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. dw = dw = 1 dw = 5 Q / ρ b H X dw = 4 ω = πv /1H ξ =.5, ξ =. ν =., dθ = s w L/ H Σχήμα Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους. 6

231 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία Q / ρ b H X ω = πv /1H ξ =.5 ν =., dθ = s dw= dw=5 dw= L/ H Σχήμα 5.. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους. dw = Q / ρ b H X ω = πv /H ν =., dθ = Η απόσβεση ξ είναι ανεξάρτητη της συχνότητας s L/ H Σχήμα 5.1. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση του συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. 7

232 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης..5 ω = π V /H ξ =.5, ξ =. ν =., d θ = s w dw = dw = 1 dw = 5 Qb / ρ H X dw = L / H Σχήμα 5.. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους. Q / ρ b H X ω = πv /H ξ =.5 ν =., dθ = s dw= dw=5 dw= L/ H Σχήμα 5.. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για την περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους. 8

233 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία / ρ Qb H X dθ = L / H = ξ =.5, ξ w =. ν =. static ω = πvs /H ω = π Vs / H dw Σχήμα 5.4. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης Q / ρ b H X ω=πvs/1h ω=πvs/h ξ =.5, ξ =. w ν =., dθ = L/ H = dw Σχήμα 5.5. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης. 9

234 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Qb / ρ H X dθ = L / H = 1 ξ =.5, ξ w =. ν =. static ω = πvs /H ω = πvs /H dw Σχήμα 5.6. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = 1 σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης..5.5 ω=πvs/1h ω=πvs/h ξ =.5, ξ =. w ν =., dθ = L/ H = 1 Q / ρ b H X dw Σχήμα 5.7. Αδιαστατοποιημένη τέμνουσα για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = 1 σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης.

235 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία dw = M b / ρ H X ω = πv /1H ν =., dθ = s Η απόσβεση ξ είναι ανεξάρτητη της συχνότητας L/ H Σχήμα 5.8. Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων. dw = dw = 1 M b / ρ H X ω = πv /1H ξ =.5, ξ =. ν =., dθ = s w dw = 5 dw = 4 L/ H Σχήμα 5.9. Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους. 1

236 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης M / ρ b H X ω = πv /1H ξ =.5 ν =., dθ = dw= dw=5 dw=4 s L/ H Σχήμα 5.. Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση οιονεί στατικής διέγερσης σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους. dw = M b / ρ H X ω = πv /H ν =., dθ = s Η απόσβεση ξ είναι ανεξάρτητη της συχνότητας L/ H Σχήμα 5.1. Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση του συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης σύμφωνα με την προτεινόμενη ακριβή αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα του Wood [197] για σύστημα δύσκαμπτων τοίχων ( dθ =, dw= ) συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων.

237 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία. 1.5 ω = πv /H ξ =.5, ξ =. ν =., dθ = s w dw = dw = 1 dw = 5 M b / ρ H X 1..5 dw = L/ H Σχήμα 5.. Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους ω = πv /H ξ =.5, ξ =. ν =., dθ = s w dw= dw=5 dw=4 M b / ρ H X L/ H Σχήμα 5.. Αδιαστατοποιημένη ροπή για την περίπτωση του συντονισμού σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης απόστασης μεταξύ των τοίχων, για διάφορες τιμές της ευκαμψίας τους.

238 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης dθ = L / H = static ω = π V /H ω = π Vs /H s M b / ρ H X dw Σχήμα 5.4. Αδιαστατοποιημένη ροπή για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης ω=πvs/1h ω=πvs/h dθ = L/ H = M b / ρ H X dw Σχήμα 5.5. Αδιαστατοποιημένη ροπή για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = σύμφωνα με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης. 4

239 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία. 1.5 dθ = L / H = 1 static ω = πvs /H ω = πvs /H M b / ρ H X dw Σχήμα 5.6. Αδιαστατοποιημένη ροπή για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = 1 σύμφωνα με την προτεινόμενη αναλυτική λύση με βάση το προσομοίωμα των Veletsos et al. [1995], με τις τροποποιήσεις του προσομοιώματος των Veletsos and Younan [1994], συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης ω=πvs/1h ω=πvs/h dθ = L/ H = 1 M b / ρ H X dw Σχήμα 5.7. Αδιαστατοποιημένη ροπή για αδιαστατοποιημένη απόσταση μεταξύ των τοίχων L/ H = 1 σύμφωνα με τη μέθοδο τω ν πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσει της ευκαμψίας των τοίχων για διάφορες συχνότητες διέγερσης. 5.. ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ-ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Όπως φαίνεται και στα σχήματα, απόλυτη συμφωνία μεταξύ των δύο αναλυτικών 5

240 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης λύσεων και της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων δεν υπάρχει. Τα αποτελέσματα όμως των διαφόρων μεθόδων είναι εν γένει παραπλήσια και έτσι μπορούν να γίνουν συγκρίσεις. Οι διαφορές μεταξύ των αποτελεσμάτων οφείλονται σε διάφορα αίτια, κυριότερα από τα οποία είναι τα παρακάτω: Κάθε προσομοίωμα, είτε αυτό αναφέρεται σε αναλυτική λύση είτε αναφέρεται σε πεπερασμένα στοιχεία, έχει ένα ορισμένο αριθμό παραδοχών, μερικές από τις οποίες δεν είναι κοινές για τα τρία προσομοιώματα που εξετάστηκαν στην παρούσα εργασία. Στο προσομοίωμα που επιλύθηκε με βάση αυτό του Wood [197] δεν υπάρχουν διατμητικές τάσεις μεταξύ τοίχων και εδάφους στη διεπιφάνεια αυτών, συνεπώς υπάρχει ολίσθηση. Αντίθετα, τόσο στο τροποποιημένο προσομοίωμα σύμφωνα με αυτό των Veletsos and Younan [1994] όσο και σε αυτό των πεπερασμένων στοιχείων, δεν υπάρχει ολίσθηση στη διεπιφάνεια τοίχων-εδάφους. Το τροποποιημένο προσομοίωμα σύμφωνα με αυτό του Wood [197] δεν λύνεται με βάση κάποιες παραδοχές όσον αφορά το αντιστηριζόμενο έδαφος, ενώ αντίθετα στο τροποποιημένο προσομοίωμα σύμφωνα με αυτό των Veletsos and Younan [1994] έχει γίνει η παραδοχή της προσέγγισης διατμητικής δοκού και σε αυτό των πεπερασμένων στοιχείων έχει γίνει η παραδοχή ότι το αντιστηριζόμενο έδαφος δεν είναι συνεχές μέσο, αλλά διακριτοποιημένο σε δίκτυο, κάθε τμήμα του οποίου συνδέεται με τα γειτονικά του με κόμβους οι οποίοι έχουν περιορισμένο βαθμό ελευθερίας κινήσεων. Στο προσομοίωμα των πεπερασμένων στοιχείων η απόσβεση τόσο του αντιστηριζόμενου εδάφους όσο και του τοίχου μεταβάλλονται, εξαρτώμενες από την εκάστοτε συχνότητα διέγερσης. Αντίθετα, στα προσομοιώματα των αναλυτικών λύσεων η τιμή τη ς απόσβεσης δεν μεταβάλλεται και παραμένει σταθερή για τις διάφορες συχνότητες διέγερσης. Το πρόβλημα με την απόσβεση στο προσομοίωμα των πεπερασμένων στοιχείων αντιμετωπίζεται μέσω των σταθερών Rayleih a και b. Αυτές επιτρέπουν μια παραβολική μεταβολή της απόσβεσης με τη συχνότητα έτσι ώστε η απόσβεση να παίρνει την επιθυμητή τιμή σε δύο τιμές συχνοτήτων: στην ιδιοσυχνότητα του ταλαντούμενου συστήματος και στη συχνότητα διέγερσης. Έτσι προσεγγίζεται η επιθυμητή απόσβεση στο φάσμα συχνοτήτων που ενδιαφέρει, δηλαδή μεταξύ των δυο παραπάνω συχνοτήτων. Από τα παραπάνω βγαίνει το συμπέρασμα ότι στην ουσία και τα τρία προσομοιώματα είναι εν γένει διαφορετικές προσεγγίσεις της πραγματικότητας, και δεν μπορούν να υπάρξουν στη φύση όπως έχουν περιγραφεί. Δυστυχώς δεν είναι δυνατόν να επιλυθεί το 6

241 Κεφάλαιο 5: Ελαστική Ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία προσομοίωμα που ταυτίζεται με την πραγματικότητα. Συνεπώς κανένα από τα τρία εκάστοτε αποτελέσματα δεν μπορεί να θεωρηθεί σωστό και τα άλλα δύο λάθος, και, εν γένει, υπάρχει συμφωνία μεταξύ τους. Το πραγματικό αποτέλεσμα βρίσκεται κάπου ανάμεσά τους. Ο αναγνώστης μπορεί στο κεφάλαιο αυτό να συγκρίνει αποτελέσματα και να βγάλει συμπεράσματα. Υπάρχει βέβαια και η περίπτωση να πυκνώσει κανείς το δίκτυο των πεπερασμένων στοιχείων, έτσι ώστε να πετύχει όση ακρίβεια επιθυμεί. Όλα τα παραπάνω εναπόκεινται στην κρίση και στην εμπειρία του μηχανικού. 7

242

243 Παράρτημα 1 6. Παράρτημα 1: Κώδικες σε γλώσσα συμβολικού προγραμματισμού MAPLE 6.1. ΓΕΝΙΚΑ Παραθέτουμε εδώ διάφορα δείγματα από τους κώδικες που χρησιμοποιήθηκαν για την εξαγωγή διαγραμμάτων που φαίνονται σε διάφορα σημεία της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Μαζί με κάθε κώδικα φαίνεται και το τελικό διάγραμμα που προκύπτει ως αποτέλεσμα αυτού. Το διάγραμμα αυτό δεν είναι αναγκαίο να είναι ταυτόσημο με αυτό που τελικά εικονίζεται στην εργασία. Στην πραγματικότητα κανένα διάγραμμα δεν εικονίζεται ολόιδιο με αυτό που προκύπτει ως αποτέλεσμα του «τρεξίματος» του MAPLE. Η επεξεργασία των διαγραμμάτων για να πάρουν την τελική τους μορφή έγινε στο Microsoft PowerPoint. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε καμία υπορουτίνα δεν υπάρχει περιθώριο λάθους, εφόσον όταν ο κώδικας MAPLE αναγνωρίζει συντακτικό λάθος, δεν δίνει αποτελέσματα. Για να τρέξει σωστά κάθε τμήμα κώδικα, πρέπει στην αρχή να προστεθούν οι εντολές: > restart; > with(linearalebra): > ν:=ν: > H:=H: > h:=h: > νw:=νw: > tw:=tw: > μw:=μw: > δw:=δw: > A:=A: > G:=G: > δ:=δ: > dw:=dw: > dθ:=dθ: > ρ:=ρ: > ω:=ω: > l:=l: 9

244 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης 6.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Υπολογισμός των σεισμικών εδαφικών ωθήσεων για ω=1 rad/s για διάφορες τιμές του L/H σύμφωνα με την προτεινόμενη λύση για τροποποίηση της λύσης του Wood στην παρούσα διπλωματική εργασία: > ξ:=ξ: > an:=/(n*pi)*(1-(-1)^n): >B:=Matrix([[n^*Pi^/(l^*R),,Q,],[,1,,1],[S^/R*cosh(R),S^/R*sinh(R),Q*cosh(Q),Q*sinh(Q)],[*n^*Pi^/l^*sinh(R), *n^*pi^/l^*cosh(r),(q^+n^*pi^/l^)*sinh(q),(q^+n^*pi^ /l^)*cosh(q)]]): > E:=Vector([-n*Pi/l*ρ*H^*A*an*(1-*ν)/(R^*G*(1+I*δ)*(- *ν)),,ν*n*pi/l*ρ*h^*a*an/(r^*g*(1+i*δ)*(-*ν)),]): > J:=LinearSolve(B,E): > C1:=J[1]: > C:=J[]: > C:=J[]: > C4:=J[4]: > R:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))*(1-*ν)/(- *ν)): > Q:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))): > S:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(*G*(1+I*δ))): > σx1:=1/(ρ*h*a)*sum(g*(1+i*δ)/h*((-*n^*pi^/(l^*r)- ω^*ρ*h^/(r*g*(1+i*δ))*ν/(1-ν))*(c1*cosh(r*h)+c*sinh(r*h))- *Q*(C*cosh(Q*h)+C4*sinh(Q*h)))- ρ*h*n*pi/l*a*an/r^,n=1..): > σx:=1/(ρ*h*a)*sum(g*(1+i*δ)/h*((-*n^*pi^/(l^*r)- ω^*ρ*h^/(r*g*(1+i*δ))*ν/(1-ν))*(c1*cosh(r*h)+c*sinh(r*h))- *Q*(C*cosh(Q*h)+C4*sinh(Q*h)))- ρ*h*n*pi/l*a*an/r^,n=1..5): >evσχχ1:=eval(σx1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=., l=1.,ω=1.}): >evσχχ:=eval(σx1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=., l=1.5,ω=1.}): >evσχχ:=eval(σx1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=., l=.,ω=1.}): >evσχχ4:=eval(σx,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=., l=.,ω=1.}): >evσχχ5:=eval(σx,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=., l=5.,ω=1.}): >evσχχ6:=eval(σx,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=., l=1.,ω=1.}): > nevσχχ1:=evalf(evσχχ1): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ4:=evalf(evσχχ4): > nevσχχ5:=evalf(evσχχ5): 4

245 Παράρτημα 1 > nevσχχ6:=evalf(evσχχ6): > nornevσχχ1:=sqrt(re(nevσχχ1)^+im(nevσχχ1)^): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ4:=sqrt(re(nevσχχ4)^+im(nevσχχ4)^): > nornevσχχ5:=sqrt(re(nevσχχ5)^+im(nevσχχ5)^): > nornevσχχ6:=sqrt(re(nevσχχ6)^+im(nevσχχ6)^): >plot([nornevσχχ1,nornevσχχ,nornevσχχ,nornevσχχ4,nornevσχχ5,nornevσχχ6],h=..1,color=[black,black,black,black,black,blac k]); 6... Υπολογισμός της δυναμικής τέμνουσας στη βάση των τοίχων για διάφορες τιμές της απόστασης μεταξύ των τοίχων, συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης στη βάση, σύμφωνα με την προτεινόμενη τροποποιημένη μέθοδο κατά Wood: > an:=/(n*pi)*(1-(-1)^n): >B:=Matrix([[n^*Pi^/(l^*R),,Q,],[,1,,1],[S^/R*cosh(R),S^/R*sinh(R),Q*cosh(Q),Q*sinh(Q)],[*n^*Pi^/l^*sinh(R), *n^*pi^/l^*cosh(r),(q^+n^*pi^/l^)*sinh(q),(q^+n^*pi^ /l^)*cosh(q)]]): > E:=Vector([-n*Pi/l*ρ*H^*A*an*(1-*ν)/(R^*G*(1+I*δ)*(- *ν)),,ν*n*pi/l*ρ*h^*a*an/(r^*g*(1+i*δ)*(-*ν)),]): > J:=LinearSolve(B,E): > C1:=J[1]: > C:=J[]: > C:=J[]: > C4:=J[4]: > R:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))*(1-*ν)/(- *ν)): > Q:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))): > S:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(*G*(1+I*δ))): 41

246 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης > Un:=sin(n*Pi*ξ/l)*(l/(n*Pi)*(1- *ν)*q^*(c1/r*cosh(r*h)+c/r*sinh(r*h)+c/q*cosh(q*h)+c4/q*s inh(q*h))-l/(n*pi)*(- *ν)*(c1*r*cosh(r*h)+c*r*sinh(r*h)+c*q*cosh(q*h)+c4*q*sinh( Q*h))-ρ*H^*A*an*(1-*ν)/(R^*G*(1+I*δ)*(-*ν))): >Vn:=(C1*sinh(R*h)+C*cosh(R*h)+C*sinh(Q*h)+C4*cosh(Q*h))*co s(n*pi*ξ/l): > Q1:=1/(ρ*H^*A)*sum(-(-*ν)/(1- *ν)*g*(1+i*δ)*(n^*pi^/l^*1/r^*(c1*sinh(r)+c*(cosh(r)- 1))+C*sinh(Q)+C4*(cosh(Q)-1))+*ν/(1- *ν)*g*(1+i*δ)*(c1*sinh(r)+c*cosh(r)+c*sinh(q)+c4*cosh(q))- n*pi*ρ*h^*a*an/(l*r^),n=1..1): >evσχχ1:=eval(q1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,l =1.}): >evσχχ:=eval(q1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,l =1.5}): >evσχχ:=eval(q1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,l =.}): >evσχχ4:=eval(q1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,l =.}): >evσχχ5:=eval(q1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,l =5.}): >evσχχ6:=eval(q1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,l =1.}): > nevσχχ1:=evalf(evσχχ1): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ4:=evalf(evσχχ4): > nevσχχ5:=evalf(evσχχ5): > nevσχχ6:=evalf(evσχχ6): > nornevσχχ1:=sqrt(re(nevσχχ1)^+im(nevσχχ1)^): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ4:=sqrt(re(nevσχχ4)^+im(nevσχχ4)^): > nornevσχχ5:=sqrt(re(nevσχχ5)^+im(nevσχχ5)^): > nornevσχχ6:=sqrt(re(nevσχχ6)^+im(nevσχχ6)^): >plot([nornevσχχ1,nornevσχχ,nornevσχχ,nornevσχχ4,nornevσχχ5,nornevσχχ6],ω=1..1,color=[black,black,black,black,black,bl ack],linestyle=[solid,dash,dashdot,dot,solid,dash],thickness= [,,,,,]); 4

247 Παράρτημα Διαγράμματα της δυναμικής ροπής στη βάση των τοίχων συναρτήσει της απόστασης μεταξύ τους για διάφορες τιμές συχνότητας διέγερσης σύμφωνα με την τροποποιημένη λύση κατά Wood: > an:=/(n*pi)*(1-(-1)^n): >B:=Matrix([[n^*Pi^/(l^*R),,Q,],[,1,,1],[S^/R*cosh(R),S^/R*sinh(R),Q*cosh(Q),Q*sinh(Q)],[*n^*Pi^/l^*sinh(R), *n^*pi^/l^*cosh(r),(q^+n^*pi^/l^)*sinh(q),(q^+n^*pi^ /l^)*cosh(q)]]): > E:=Vector([-n*Pi/l*ρ*H^*A*an*(1-*ν)/(R^*G*(1+I*δ)*(- *ν)),,ν*n*pi/l*ρ*h^*a*an/(r^*g*(1+i*δ)*(-*ν)),]): > J:=LinearSolve(B,E): > C1:=J[1]: > C:=J[]: > C:=J[]: > C4:=J[4]: > R:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))*(1-*ν)/(- *ν)): > Q:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))): > S:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(*G*(1+I*δ))): > Un:=sin(n*Pi*ξ/l)*(l/(n*Pi)*(1- *ν)*q^*(c1/r*cosh(r*h)+c/r*sinh(r*h)+c/q*cosh(q*h)+c4/q*s inh(q*h))-l/(n*pi)*(- *ν)*(c1*r*cosh(r*h)+c*r*sinh(r*h)+c*q*cosh(q*h)+c4*q*sinh( Q*h))-ρ*H^*A*an*(1-*ν)/(R^*G*(1+I*δ)*(-*ν))): >Vn:=(C1*sinh(R*h)+C*cosh(R*h)+C*sinh(Q*h)+C4*cosh(Q*h))*co s(n*pi*ξ/l): > M1:=1/(ρ*H^*A)*sum((-*ν)/(1-*ν)*G*H*(1+I*δ)*((1- *ν)*q^*(c1*sinh(r)/r^+c*cosh(r)/r^+c*sinh(q)/q^+c4*cos h(q)/q^)-(- *ν)*(c1*sinh(r)+c*cosh(r)+c*sinh(q)+c4*cosh(q))-(1- *ν)*q^*(c1*(cosh(r)-1)/r^+c*sinh(r)/r^+c*(cosh(q)- 1)/Q^+C4*sinh(Q)/Q^)+(-*ν)*(C1*(cosh(R)- 1)/R+C*sinh(R)/R+C*(cosh(Q)-1)/Q+C4*sinh(Q)/Q))- 4

248 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης n*pi/(l*)*ρ*a*h^*an/r^+*ν/(1- *ν)*g*h*(1+i*δ)*(c1*sinh(r)+c*cosh(r)+c*sinh(q)+c4*cosh(q) )-*ν/(1-*ν)*g*(1+i*δ)*h*(c1*(cosh(r)- 1)+C*sinh(R)+C*(cosh(Q)-1)+C4*sinh(Q)),n=1..8): >evσχχ1:=eval(m1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,ω =1.}): >evσχχ:=eval(m1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,ω =.}): >evσχχ:=eval(m1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,ω =4.}): >evσχχ4:=eval(m1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,ω =6.}): >evσχχ5:=eval(m1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,ω =8.}): >evσχχ6:=eval(m1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.,ω =1.}): > nevσχχ1:=evalf(evσχχ1): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ4:=evalf(evσχχ4): > nevσχχ5:=evalf(evσχχ5): > nevσχχ6:=evalf(evσχχ6): > nornevσχχ1:=sqrt(re(nevσχχ1)^+im(nevσχχ1)^): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ4:=sqrt(re(nevσχχ4)^+im(nevσχχ4)^): > nornevσχχ5:=sqrt(re(nevσχχ5)^+im(nevσχχ5)^): > nornevσχχ6:=sqrt(re(nevσχχ6)^+im(nevσχχ6)^): >plot([nornevσχχ1,nornevσχχ,nornevσχχ,nornevσχχ4,nornevσχχ5,nornevσχχ6],l=1..,color=[black,black,black,black,black,bla ck],linestyle=[solid,dash,dashdot,dot,solid,dash],thickness=[,,,,,]); 44

249 Παράρτημα Τρισδιάστατο διάγραμμα όπου στη βάση του απεικονίζονται τα σημεία του αντιστηριζόμενου μέσου και στον κατακόρυφο άξονα απεικονίζεται η κατά την οριζόντια διεύθυνση ορθή δυναμική τάση που ασκείται σε κάθε ένα από αυτά. Προτεινόμενη τροποποιημένη μέθοδος του Wood. Αντιστηριζόμενο μέσο με μήκος και ύψος 1: > an:=/(n*pi)*(1-(-1)^n): >B:=Matrix([[n^*Pi^/(l^*R),,Q,],[,1,,1],[S^/R*cosh(R),S^/R*sinh(R),Q*cosh(Q),Q*sinh(Q)],[*n^*Pi^/l^*sinh(R), *n^*pi^/l^*cosh(r),(q^+n^*pi^/l^)*sinh(q),(q^+n^*pi^ /l^)*cosh(q)]]): > E:=Vector([-n*Pi/l*ρ*H^*A*an*(1-*ν)/(R^*G*(1+I*δ)*(- *ν)),,ν*n*pi/l*ρ*h^*a*an/(r^*g*(1+i*δ)*(-*ν)),]): > J:=LinearSolve(B,E): > C1:=J[1]: > C:=J[]: > C:=J[]: > C4:=J[4]: > R:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))*(1-*ν)/(- *ν)): > Q:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))): > S:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(*G*(1+I*δ))): > Un:=sin(n*Pi*ξ/l)*(l/(n*Pi)*(1- *ν)*q^*(c1/r*cosh(r*h)+c/r*sinh(r*h)+c/q*cosh(q*h)+c4/q*s inh(q*h))-l/(n*pi)*(- *ν)*(c1*r*cosh(r*h)+c*r*sinh(r*h)+c*q*cosh(q*h)+c4*q*sinh( Q*h))-ρ*H^*A*an*(1-*ν)/(R^*G*(1+I*δ)*(-*ν))): >Vn:=(C1*sinh(R*h)+C*cosh(R*h)+C*sinh(Q*h)+C4*cosh(Q*h))*co s(n*pi*ξ/l): > Q1:=1/(ρ*H^*A)*sum(G*(1+I*δ)*((-*ν)/(1- *ν)*diff(un,ξ)+*ν/(1-*ν)*diff(vn,h)),n=1..): >evσχχ1:=eval(q1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,l=., ω=19.91}): > nevσχχ1:=evalf(evσχχ1): > nornevσχχ1:=sqrt(re(nevσχχ1)^+im(nevσχχ1)^): > plotd(nornevσχχ1,ξ=..,h=..1); 45

250 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Τρισδιάστατο διάγραμμα όπου στη βάση του απεικονίζονται τα σημεία του αντιστηριζόμενου μέσου και στον κατακόρυφο άξονα απεικονίζεται η οριζόντια μετατόπιση που υφίσταται κάθε ένα από αυτά. Προτεινόμενη τροποποιημένη μέθοδος του Wood. Αντιστηριζόμενο μέσο με μήκος και ύψος 1: > an:=/(n*pi)*(1-(-1)^n): >B:=Matrix([[n^*Pi^/(l^*R),,Q,],[,1,,1],[S^/R*cosh(R),S^/R*sinh(R),Q*cosh(Q),Q*sinh(Q)],[*n^*Pi^/l^*sinh(R), *n^*pi^/l^*cosh(r),(q^+n^*pi^/l^)*sinh(q),(q^+n^*pi^ /l^)*cosh(q)]]): > E:=Vector([-n*Pi/l*ρ*H^*A*an*(1-*ν)/(R^*G*(1+I*δ)*(- *ν)),,ν*n*pi/l*ρ*h^*a*an/(r^*g*(1+i*δ)*(-*ν)),]): > J:=LinearSolve(B,E): > C1:=J[1]: > C:=J[]: > C:=J[]: > C4:=J[4]: > R:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))*(1-*ν)/(- *ν)): > Q:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(G*(1+I*δ))): > S:=sqrt(n^*Pi^/l^-ω^*ρ*H^/(*G*(1+I*δ))): > Un:=sin(n*Pi*ξ/l)*(l/(n*Pi)*(1- *ν)*q^*(c1/r*cosh(r*h)+c/r*sinh(r*h)+c/q*cosh(q*h)+c4/q*s inh(q*h))-l/(n*pi)*(- *ν)*(c1*r*cosh(r*h)+c*r*sinh(r*h)+c*q*cosh(q*h)+c4*q*sinh( Q*h))-ρ*H^*A*an*(1-*ν)/(R^*G*(1+I*δ)*(-*ν))): >Vn:=(C1*sinh(R*h)+C*cosh(R*h)+C*sinh(Q*h)+C4*cosh(Q*h))*co s(n*pi*ξ/l): > Q1:=1/H*sum(Un,n=1..): >evσχχ1:=eval(q1,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,l=., ω=19.91}): > nevσχχ1:=evalf(evσχχ1): > nornevσχχ1:=sqrt(re(nevσχχ1)^+im(nevσχχ1)^): > plotd(nornevσχχ1,ξ=..,h=..1); 46

251 Παράρτημα Σύγκριση της προτεινόμενης τροποποιημένης μεθόδου με την δημοσιευμένη μέθοδο των Veletsos et al.(1995). Υπολογίζεται η δυναμική τέμνουσα στη βάση των τοίχων σε περίπτωση συντονισμού του συστήματος τοίχων-εδάφους, συναρτήσει της απόστασης μεταξύ των τοίχων: > ψ:=sqrt(/(1-ν)): > Vs:=sqrt(G/ρ): > φn:=sqrt(1+4*ψ^/l^)/(*n-1): > ξ:=x/h: > Λn:=1-φn^/(1+I*δ): > GG:=G*(1+I*δ): > Rn:=/Pi^4*H/G*1/(*n-1)^4*1/(1-φn^+I*δ): > ψe:=sqrt((-ν)/(1-ν)): > an:=(*n-1)*pi/(*ψe)*sqrt(λn): > σχχ:=ψ^*gg/h*sum(rn*(an*cosh(an*ξ)-an*cosh(an*(lξ)))/sinh(an*l),n=1..1): > σ:=-8*ψ/pi^*sum(1/(*n-1)^*sqrt((1+i*δ)/(1- φn^+i*δ))*tanh(an*l/)*sin((*n-1)*pi*h/),n=1..1): > σx:=int(σ,h=..1): >evσχχ1:=eval(σx,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=.}) : >evσχχ:=eval(σχχ,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,x=.} ): >evσχχ:=eval(σx/l,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ξ=. }): >evσχχ4:=eval(σχχ/l,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,x=.}): > nevσχχ1:=evalf(evσχχ1): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ4:=evalf(evσχχ4): > nornevσχχ1:=sqrt(re(nevσχχ1)^+im(nevσχχ1)^): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ4:=sqrt(re(nevσχχ4)^+im(nevσχχ4)^): >plot([nornevσχχ1,nornevσχχ,nornevσχχ,nornevσχχ4],l=.1.. 1,colour=[black,black,black,black]); 47

252 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Διάγραμμα της αδιαστατοποιημένης δυναμικής ροπής στη βάση των τοίχων συναρτήσει της αδιαστατοποιημένης συχνότητας διέγερσης σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο που αποτελεί τροποποίηση αυτής των Veletsos et al.(1995): > Vs:=sqrt(G/ρ): > φn:=ω/(*n-1): > h:=z/h: > ξ:=x/h: > Λn:=1-φn^/(1+I*δ): > ψ:=/(1-ν): > GG:=G*(1+I*δ): > Rn:=64/Pi^5*H/G*1/(*n-1)^5*1/(1-φn^+I*δ): > ψe:=sqrt((-ν)/(1-ν)): > an:=(*n-1)*pi/(*ψe)*sqrt(λn): > σχχ:=-ψ*gg/h*sum(rn*(an*cosh(an*ξ)-an*cosh(an*(lξ)))/sinh(an*l)*cos(n*pi),n=1..1)*exp(i*ω*t): >evσχχ1:=eval(σχχ,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,x=., t=1.,l=1.}): >evσχχ:=eval(σχχ,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,x=., t=1.,l=5.}): >evσχχ:=eval(σχχ,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,x=., t=1.,l=1.}): >evσχχ4:=eval(σχχ,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,x=., t=1.,l=1.}): > nevσχχ1:=evalf(evσχχ1): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nevσχχ4:=evalf(evσχχ4): > nornevσχχ1:=sqrt(re(nevσχχ1)^+im(nevσχχ1)^): 48

253 Παράρτημα 1 > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > nornevσχχ4:=sqrt(re(nevσχχ4)^+im(nevσχχ4)^): >plot([nornevσχχ1,nornevσχχ,nornevσχχ,nornevσχχ4],ω=..1,c olor=[black,black,black,black],linestyle=[solid,dash,solid,da SH],thickness=[,,,]); Τρισδιάστατο διάγραμμα στο οποίο η βάση απεικονίζει τα διάφορα σημεία του αντιστηριζόμενου μέσου και ο κατακόρυφος άξονας την οριζόντια μετατόπισή τους κατά τη διάρκεια της διέγερσης, σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο που αποτελεί τροποποίηση αυτής των Veletsos et al.: > Vs:=sqrt(G/ρ): > φn:=*ω*h/((*n-1)*pi*vs): > ξ:=ξ: > Λn:=1-φn^/(1+I*δ): > ψ:=/(1-ν): > GG:=G*(1+I*δ): > Rn:=16/Pi^*ρ*H^/G*1/(*n-1)^*1/(1-φn^+I*δ): > ψe:=sqrt((-ν)/(1-ν)): > an:=(*n-1)*pi/(*ψe)*sqrt(λn): > Un:=sum(Rn/H*((sinh(an*(l-ξ))+sinh(an*ξ))/sinh(an*l)- 1)*sin((*n-1)*h*Pi/),n=1..1): >evax:=eval(un,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,l=.,ω= 19.91}): > nevax:=evalf(evax): > nornevax:=sqrt(re(nevax)^+im(nevax)^): > plotd(nornevax,ξ=..,h=..1); 49

254 Αντισεισμικός Σχεδιασμός Συστημάτων Αντιστήριξης Τρισδιάστατο διάγραμμα στο οποίο η βάση απεικονίζει τα διάφορα σημεία του αντιστηριζόμενου μέσου και ο κατακόρυφος άξονας την οριζόντια ορθή δυναμική τάση κατά τη διάρκεια της διέγερσης, σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο που αποτελεί τροποποίηση αυτής των Veletsos et al.: > L:=L: > Vs:=sqrt(G/ρ): > φn:=*ω*h/((*n-1)*pi*vs): > ξ:=ξ: > Λn:=1-φn^/(1+I*δ): > ψ:=/(1-ν): > GG:=G*(1+I*δ): > Rn:=16/Pi^*H/G*1/(*n-1)^*1/(1-φn^+I*δ): > ψe:=sqrt((-ν)/(1-ν)): > an:=(*n-1)*pi/(*ψe)*sqrt(λn): > σχχ:=-ψ*gg/h*sum(rn*(an*cosh(an*ξ)-an*cosh(an*(lξ)))/sinh(an*l)*sin((*n-1)*pi*h/),n=1..1): >evσχχ:=eval(σχχ,{a=1.,ν=.,g=18.,δ=.1,h=8.,ρ=1.8,ω=19.9 1,l=.}): > nevσχχ:=evalf(evσχχ): > nornevσχχ:=sqrt(re(nevσχχ)^+im(nevσχχ)^): > plotd(nornevσχχ,ξ=..,h=..1); 5

255 Παράρτημα Υπολογισμός των εδαφικών ωθήσεων στην περίπτωση συντονισμού της άπειρης εδαφικής στρώσης, για διάφορες τιμές της απόστασης μεταξύ των τοίχων. Τοίχοι εύκαμπτοι. > Vs:=sqrt(G/ρ): > φn:=*ω*h/((*n-1)*pi*vs): > ξ:=x/h: > Rθ:=G*H^/dθ: > Dw:=G*H^/dw: > DDw:=Dw*(1+I*δw): > Λn:=1-φn^/(1+I*δ): > ψ:=/(1-ν): > GG:=G*(1+I*δ): > ψe:=sqrt((-ν)/(1-ν)): > an:=(*n-1)*pi/(*ψe)*sqrt(λn): > Kn:=ψ/ψe*(*n-1)*Pi/*G/H*sqrt((1-φn^+I*δ)*(1+I*δ))*(1- cosh(an*l))/(*sinh(an*l/)-sinh(an*l)): > λ1:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=..): > λ:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=..5): > λ:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=5..8): > λ4:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=8..11): > λ5:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=11..15): > λ6:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=17..): > λ7:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=..1): > λ8:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=1..4): > λ9:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=4..7): > λ1:=fsolve(cos(x)*cosh(x)=-1,x=7..): > b1:=/(λ1^): > b:=/(λ^): > b:=/(λ^): 51