έτος 200 τεύχη 01-4 Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός

Transcript

1 Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός Ξεκίνησε να δημοσιεύεται κάθε Τετάρτη στην Εφημερίδα ''Γραμμή '' της Κοζάνης το 006 καθ όλη τη διάρκεια του έτους. Ένα μεγάλο μέρος της έχει φιλοξενηθεί στην ιστοσελίδα του Παραρτήματος της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Κοζάνης, η οποία για αντικειμενικούς λόγους πλέον δεν λειτουργεί. Στην συνέχεια την φιλοξένησε το ηλεκτρονικό περιοδικό ''Όπερ Έδει Δείξαι'' των Γιάννη Απλακίδη και Νίκο Ζανταρίδη, επειδή η διεύθυνσή του ''πιστεύει ότι παρουσιάζει ενδιαφέρον για κάθε ένα που ασχολείται με τα Μαθηματικά καθώς και με την Ιστορία των Μαθηματικών''. Φιλοξενεί ασκήσεις και γενικότερα ιδέες από αξιόλογους συναδέλφους μαθηματικούς καθώς και επιλεγμένες ασκήσεις από την ελληνική και ξένη βιβλιογραφία. επικοινωνίας έτος 00 τεύχη 0-4

2 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 9 Ιανουαρίου 008 /4 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών N:95 o Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Όμοιοι στερεοί αριθμοί Κατά την εξομοίωση δύο στερεών αριθμών Α και Β χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των δύο μέσων αναλόγων και y των ποσοτήτων a και b, οι οποίες όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενα φύλλα συνδέονται με τη σχέση: a y y b Για το νόημα αυτών των κατασκευών ο Πλάτωνας αναφέρεται στην «Επινομίδα» ως εξής: «Εκείνο όμως που είναι θείο και θαυμαστό σε όσους τη διακρίνουν καθαρά και σκέφτονται πάνω σε αυτή, είναι πως, αφού η δύναμη και το αντίστροφό της κάνουν κύκλους γύρω από το διπλάσιο, κάθε φύση αποτυπώνει την κάθε αναλογία ενός καθορισμένου είδους και γένους.(π ) Η πρώτη λοιπόν αναλογία ακολουθεί τον λόγο του διπλασίου, σύμφωνα με την αριθμητική σχέση του ενός προς δύο, ενώ είναι διπλάσια στη δύναμη.(π ) Διπλάσια είναι επίσης εκείνη που αναφέρεται στο στερεό και το απτό περνώντας στο ένα όγδοο»(π ) (Επινομίς, στιχοι:990e-99a. Μετάφραση: Φιλολογική ομάδα ΚΑΚΤΟΥ). Είναι φανερό ότι ο σημερινός αναγνώστης του κειμένου αυτού συναντά δυσκολίες στην ευρύτερη μαθηματική του ερμηνεία. Για το λόγο αυτό και ο B.L.Van der Waerden στο έργο του, «Η αφύπνιση της Επιστήμης»(σελ. 78), γράφει: «Με ένα ύφος μεγαλοπρεπές και μια αινιγματική φλυαρία, η Επινομίς (ένα οψίγονο έργο του Πλάτωνος το οποίο, κατά ορισμένους κύκλους, ολοκλήρωσε ο Φίλιππος ο Μενδαίος) παρουσιάζει μια επισκόπηση της ύλης των μαθηματικών που πρέπει να διδάσκονται οι μέλλοντες ηγέτες της ιδανικής πλατωνικής πολιτείας». Κι ακόμα συμπληρώνει: «Οι δυσκολίες που παρουσίαζε το θέμα αυτό για τους φιλόλογους ήταν ανυπέρβλητες και μόνον οι μαθηματικοί μπόρεσαν τα τελευταία χρόνια να ρίξουν λίγο φως. Όπως αποδείχθηκε αφορούσε ιδιαιτέρως τα μαθηματικά του Αρχύτα του Ταραντίνου». Πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση της παραγράφου αυτής αξίζει να παραθέσουμε τη μετάφραση των χωρίων αυτών από τον B.L.Van der Waerden. (Π ): «Εκείνο δε το οποίο είναι θείο και θαυμαστό στους εξετάζοντες με προσοχή και στους στοχαζόμενους, είναι ότι δια της δυνάμεως, η οποία στρέφεται πάντοτε περί το διπλάσιο, και δια της αντίθετής της(δυνάμεως) ως προς κάθε αναλογία, η φύση ολόκληρη αποτυπώνεται κατά είδος και κατά γένος» Στην μετάφραση αυτή φαίνεται καθαρότερα ότι το θέμα που πραγματεύεται είναι η «δύναμη» και η «αντίθετη δύναμη».

3 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 9 Ιανουαρίου 008 /4 Η «δύναμη» είναι εκείνη η διαδικασία(πράξη), η οποία καταφέρνει να διπλασιάσει μια ποσότητα που μπορεί είναι ένας αριθμός, ένα εμβαδόν, ένας όγκος ή ακόμα και ένας λόγος. Η επανάληψη ενός λόγου όπου διπλασιάζονται τα μέλη του, όπως για παράδειγμα: δημιουργεί τη γενικότερη σχέση: a y y b η οποία ως γνωστόν είναι η βάση του Δηλίου προβλήματος. Η «αντίθετη δύναμη» είναι επίσης μια διαδικασία σύμφωνα με την οποία δημιουργούνται διάφοροι τύποι αναλογιών, όπως μέσος γεωμετρικός, μέσος αριθμητικός και ο μέσος αρμονικός δύο ποσοτήτων. Μέσα από αυτές τις επεξεργασίες η φύση αποτυπώνεται στις ιδέες και στα αισθητά πράγματα.(είδος- γένος). Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 9. Να λυθεί η ανίσωση: Λύση Η ανισότητα () γίνεται: Μελετούμε στη συνέχεια το πρόσημο του τριωνύμου του δευτέρου μέλους. Άρα προκύπτει ο κατωτέρω πίνακας: χ χ -5χ Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Έστω τότε η οποία ισοδυναμεί με την: και επειδή η συνάρτηση f με f ( ) είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει ότι: ή ακόμα: 6

4 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 9 Ιανουαρίου 008 / από τις σχέσεις () και (4) συμπεραίνεται ότι στο διάστημα, η ζητούμενη ανισότητα () δεν ικανοποιείται. Έστω ότι τότε με τον ίδιο τρόπο δείχνεται ότι η () δεν ικανοποιείται. και Έστω ότι. Τότε πάλι είναι: και η ζητούμενη () προφανώς ικανοποιείται. Άρα η λύση της () είναι το ανοιχτό διάστημα ,. Η γραφική ερμηνεία της συσχέτισης των τιμών των συναρτήσεων φαίνεται στο σχήμα Για την άλλη φορά 49. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και η παράγωγος της συνάρτησης: t F( ) e ln t dt (Αντώνης Κυριακόπουλος, Μαθηματικός, Αθήνα. Περιοδικό «Απολλώνιος» ΕΜΕ Ημαθίας,Τεύχος 5, Οκτ. 007, σελ.7) 50. Σε μια εκκλησιά ενός χωριού την ημέρα των Χριστουγέννων παραβρέθηκαν 00 πιστοί, άνδρες, γυναίκες και παιδιά. Κατά την περιφορά του δίσκου συγκεντρώθηκαν 00 δραχμές. Αν γνωρίζουμε ότι όλοι οι

5 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 9 Ιανουαρίου 008 4/4 άνδρες έριξαν από πέντε δραχμές ο καθένας, οι γυναίκες από μία δραχμή και τα παιδιά από μία δεκάρα, να βρεθεί πόσοι άνδρες, πόσες γυναίκες και πόσα παιδιά βρέθηκαν τα Χριστούγεννα στην εκκλησιά εκείνης της εποχής. Θυμίζουμε ότι η δραχμή είχε 00 λεπτά και η δεκάρα είχε 0 λεπτά. 5. Δίνεται η συνάρτηση f με: e f ( ),, (Ι) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και ακρότατα. (ΙΙ) Να δείξετε ότι: a b e e a, b, a b e (Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γ. Παιδ. του Γ. Μιχαηλίδη-Oct. N. Stanasila. Σελ.59) 5. Αν οι παρατηρήσεις 0 και μέση τιμή ίση με t, t,..., n t, μιας μεταβλητής χ έχουν άθροισμα n 9 (Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γ. Παιδ. του Γ. Μιχαηλίδη-Oct. N. Stanasila. Σελ.86), να βρείτε το μέγεθος του δείγματος. 5. Στο κατωτέρω σχήμα να βρεθεί η θέση του μεταβλητού σημείου Μ της διαμέτρου ΑΒ ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο γραμμοσκιασμένων ημικυκλίων να είναι ελάχιστο. Μ 54. Να λυθεί η εξίσωση: 0. Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 5000 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

6 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 6 Ιανουαρίου 008 /4 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών N:96 o Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Η αντίθετη δύναμη και σχέση με τη μουσική «Η άλλη (η αντίθετη δύναμη) ασχολείται με το μέσο του διπλασίου, και το κάθε μέσο(αριθμητικός μέσος) απέχει το ίδιο από τα άκρα, αφού ξεπερνά το πιο μικρό με την ίδια αναλογία που ξεπερνιέται από το μεγάλο. Τέλος η άλλη αναλογία(μέσος αρμονικός) ξεπερνά τα άκρα και ξεπερνιέται από εκείνα με το ίδιο κλάσμα. Έτσι στο μέσο του διαστήματος από το έξι στο δώδεκα, σχηματίζεται το ένα και ένα δεύτερο αλλά και το ένα και ένα τρίτο» (Επινομίς, στίχοι 99b. Μετάφραση: Φιλολογική ομάδα ΚΑΚΤΟΥ» Αναλύοντας κανείς τους στίχους αυτούς της Επινομίδος του Πλάτωνα αντιλαμβάνεται ότι ομιλεί για τον μέσο αριθμητικό και τον μέσο αρμονικό δύο αριθμών. Με τη σημερινό συμβολισμό των αριθμών λοιπόν μπορούμε να πούμε: Έστω δύο αριθμοί a και b. Ονομάζουμε μέσο αριθμητικό των δύο αυτών αριθμών τον αριθμό a που a b δίνεται από τη σχέση: a () Ονομάζουμε μέσο αρμονικό των δύο αυτών αριθμών τον αριθμό δίνεται από τη σχέση: h ab a b () Ας θεωρήσουμε το παράδειγμα τώρα που χρησιμοποιεί ο Πλάτωνας. Δηλαδή a 6 και b. Τότε: και h a a b ab a b 6 8 h που Στη συνέχεια ας δούμε τη σχέση των αριθμών αυτών πάνω σε μια ευθεία γραμμή για να αντιληφθούμε πως συσχετίζονται με τους a και b.

7 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 6 Ιανουαρίου 008 /4 Παρατηρούμε (Σχ.) ότι ο μέσος αριθμητικός 9 των 6 και απέχει από τα άκρα εξίσου, δηλαδή μονάδες. Είναι δηλαδή: 6 9 και 9. Παρατηρούμε(Σχ. ) ότι ο μέσος αρμονικός 8 των 6 και απέχει από τα άκρα κατά το ίδιο κλασματικό τους μέρος. Δηλαδή: Το 8 υπερέχει του 6 κατά το ένα τρίτο του 6 δηλαδή κατά. Το 8 υπολείπεται του κατά το ένα τρίτο του δηλαδή κατά 4. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 40. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 4 d, I d I ln Λύση: Υπολογισμός του ολοκληρώματος Ι. ln I d, I ln d ln d ln ln d ln 4 ln ln d 4 ln 4 ln ln d 4 ln 4 ln ln d ln 4 4 ln ln d ln 4 4 ln d 4 4 ln 4 ln d ln 4 ln ln d

8 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 6 Ιανουαρίου 008 /4 4 ln 4 ln ln ln d 4 ln 4 ln ln 4 ln d 4 ln 4 ln ln ln d 4 ln 4 ln ln 4 ln d 4 ln 4 ln ln 4 ln ln d άρα: 4 ln 4 ln ln 4 ln 4 d 4 ln 4 ln ln 4 ln 4 c I c 4 ln 4 ln ln 4 ln 4 όπου c μια ελεύθερη σταθερά. Υπολογισμός του ολοκληρώματος Ι. 0 0 I d d d d d d d d d άρα: Υπολογισμός του ολοκληρώματος Ι I I ln d ln d ln ln d ln d ln d 7

9 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 6 Ιανουαρίου 008 4/4 ln ln ln d c 9 άρα: όπου c μια ελεύθερη σταθερά. I ln c 9 Για την άλλη φορά 55. Αν a, b, c 0 και abc τότε να δειχθεί ότι ισχύει: a b c a b c (Ζανταρίδης Νίκος, Μαθηματικός. Έδεσσα) 56. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς cm και μέσα σ αυτό τοποθετούνται τυχαία πέντε(5) σημεία τα: Μ,Μ,Μ,Μ 4,Μ 5. Να δειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστο δύο από αυτά που η μεταξύ των απόσταση είναι μικρότερη από το cm. Γενίκευση Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς cm και μέσα σ αυτό τοποθετούνται τυχαία n, n,,,... πλήθος σημείων. Να δειχθεί ότι υπάρχουν τουλάχιστο δύο από αυτά που η μεταξύ των απόσταση είναι μικρότερη ή ίση από το -n cm. 57. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και γωνα=0 0. Στα σημεία Α και Γ θεωρούμε τις εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ που τέμνονται στο Δ. (α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι όμοια. (β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ συναρτήσει της πλευράς ΒΓ = α, του τριγώνου ΑΒΓ. Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 5000 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

10 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Ιανουαρίου 008 /4 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών N:97 o Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Η αντίθετη δύναμη και σχέση με τη μουσική Ο μέσος αριθμητικός και ο μέσος αρμονικός, όπως περιγράφονται με συγκεκριμένο παράδειγμα στους στίχους της Επινομίδας(99b) αποτελούν δύο μεγέθη που κατά την εποχή του Πλάτωνα φαίνεται ότι αποτελούσαν θεμελιακές έννοιες όχι μόνο στα Μαθηματικά αλλά και γενικότερα στη φιλοσοφία και στη Μουσική. Σήμερα στη γλώσσα της Στατιστικής οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται μέτρα θέσης μιας γενικότερης διασποράς δεδομένων στοιχείων. Οι δύο ιδιότητες που περιγράφονται από τον Πλάτωνα για τον μέσο αριθμητικό και για τον μέσο αρμονικό αφορούν τους δύο αριθμούς 6 και. Όμως οι ιδιότητες αυτές γενικεύονται σε δύο οποιουσδήποτε αριθμούς έστω a και b. η Ιδιότητα: Επειδή a a b και b, μπορούμε να γράψουμε ακόμα: είναι ο μέσος αριθμητικός ή αλλιώς μέση τιμή των a a b a a a b a a b a όμως η σχέση () δηλώνει ότι η απόσταση της μέσης τιμής a από τους αριθμούς a και b είναι ίση. Αυτό φαίνεται και από το σχήμα (). Δηλαδή το σημείο Μ που αντιστοιχεί στο μέσο του διαστήματος των σημείων Α και Β με συντεταγμένες a και b αντίστοιχα είναι η θέση του μέσου αριθμητικού ή της μέσης τιμής των συντεταγμένων των άκρων του διαστήματος.

11 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Ιανουαρίου 008 /4 Σήμερα η έννοια της μέσης τιμής επεκτείνεται και πέραν των δύο αριθμών. Έτσι ένας ευρύτερος ορισμός του μέσου αριθμητικού ή της μέσης τιμής ν πλήθους,,,..., δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: αριθμών Από τη σχέση () προκύπτει η σχέση: η οποία είναι η ισοδύναμη της ιδιότητας (). Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 4 4. Ο αριθμός 5 7 έχει πολλά ψηφία άμα αναπτυχθεί στη δεκαδική του μορφή. Χωρίς να αναπτυχθεί δείξτε ότι ένα τουλάχιστο ψηφίο εμφανίζεται τουλάχιστο τέσσερις φορές. (Centrale maths. Janvier 007) Λύση Θεωρούμε το δεκαδικό λογάριθμο του αριθμού αυτού προσπαθώντας να διαπιστώσουμε μεταξύ ποιων ακεραίων παρεμβάλλεται ο αριθμός αυτός. Άρα: 4 log 5 7 log 5 4 log Ακόμα θα είναι: 4 9 log () Επειδή τώρα η εκθετική συνάρτηση f με f ( ) 0 είναι γνησίως αύξουσα, από την () προκύπτει: 4 f (9) f (log(5 7 ) f (0) ή ακόμα: και τέλος log(57 ) () 4 Η σχέση () δηλώνει ότι ο αριθμός 5 7 περιέχει 0 ψηφία. Τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης είναι τα γνωστά δέκα ψηφία: 0,,,, 4,5,6,7,8,9 () 4 Υποθέτουμε ότι στην αναλυτική γραφή του αριθμού 5 7 εμφανίζονται τα ψηφία της σειράς () από τρεις φορές το καθένα. Στην περίπτωση αυτή τότε το άθροισμα των ψηφίων είναι: και σύμφωνα με το κριτήριο διαιρετότητας του ο αριθμός 5 7 θα είναι διαιρετός με το. Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού είναι οι 5 και 7.

12 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Ιανουαρίου 008 /4 Το συμπέρασμα λοιπόν που εξάγεται είναι ότι δεν μπορεί να εμφανίζονται όλα τα ψηφία από φορές το καθένα. Άρα κάποιο θα εμφανιστεί λιγότερες φορές και αντίστοιχα κάποιο άλλο περισσότερες φορές. Άρα ένα τουλάχιστο ψηφία θα εμφανιστεί τουλάχιστο τέσσερις φορές. Επαλήθευση: Με έναν υπολογιστή μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό αυτό. Έτσι έχουμε ότι: άρα το 8 εμφανίζεται 5 φορές καθώς επίσης και το Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και ημιευθεία Αχ//ΒΓ(η Αχ βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το σημείο Γ ως προς την ευθεία ΑΒ). Στην ημιευθεία Αχ θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΒΓΔΕ να είναι ρόμβος(το σημείο Ε βρίσκεται ανάμεσα στο Α και στο Δ). Στο σημείο Δ θεωρούμε την κάθετη ευθεία στη ΔΓ που τέμνει την προέκταση της πλευράς ΒΑ στο Ζ. Να αποδειχθεί: α) Ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο β) Ότι το Ε είναι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΓΖ. (68ος Παν. Μαθ. Διαγωνισμός στα Μαθηματικά «ο Θαλής» της ΕΜΕ Νοέμβριος 007) Λύση (α) Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΓΔΖ προκύπτει ότι: α α γων(δζγ)=γων(δαγ)=45 0 γιατί ΑΔ εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Α του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Για τον ίδιο λόγο είναι: γων(δγζ) = γων(δαζ) = Άρα το τρίγωνο (ΓΔΖ) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Άρα: ΔΓ= ΔΖ () Επίσης ΔΓ=ΔΕ () ως πλευρές του ρόμβου ΒΓΔΕ.

13 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Ιανουαρίου 008 4/4 Από τις () και () προκύπτει ότι: ΔΖ=ΔΕ (). Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΓΖ με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος προκύπτει: άρα: (4) Παρατηρώντας τώρα το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΖ διαπιστώνουμε ότι η ΑΓ=α και ΓΖ=α. Άρα η γων(γζα)=0 0 (5). Από τη σχέση (5) προκύπτει ότι και γων(αδγ)=0 0. Άρα και γων(εδζ)=60 0. Άρα το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο. Είναι: Άρα: (β) Θα δείξουμε ότι η ΖΕ είναι διχοτόμος της γων(αζγ). γων(δζα)=γων(δζγ)+γων(γζα)= =75 0. (6) γων(αζε)=γων(δζα)-γων(εζδ)= =5 0 (7) Από την (7) προκύπτει ότι η ΖΕ είναι διχοτόμος της γων(αζγ). Επειδή ακόμα και η ΑΕ είναι διχοτόμος της ΓΑΖ προκύπτει ότι το Ε είναι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΓΖ. Για την άλλη φορά 58. Να δειχθούν οι ανισότητες: e α) de 0 b b a d b a β) ln b ln ln για a b a a (Θ.Ν. Καζαντζή. Ολοκληρώματα. Ασκ.5 και 6) 59. Να δείξετε ότι για 0 ισχύει θα είναι: 0 ημ - και κατόπιν ότι 6 7 d 8 (Θ.Ν. Καζαντζή. Ολοκληρώματα. Ασκ.46) 60. Δίδονται δύο ομόκεντροι κύκλοι (Ο, R) και (O, r) με R r. Να χαραχθεί μια χορδή ΑΔ του μεγάλου κύκλου η οποία να αποκόπτει χορδή ΒΓ στο μικρό κύκλο έτσι ώστε: ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ. Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 5000 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

14 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 0 Ιανουαρίου 008 /4 N:98 o Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Η αντίθετη δύναμη και σχέση με τη μουσική Η αντίθετη δύναμη κατά την πλατωνική έννοια είναι, όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα, η διαδικασία σύμφωνα με την οποία δημιουργούνται διάφοροι τύποι αναλογιών όπως είναι ο μέσος αριθμητικός, ο μέσος γεωμετρικός και ο μέσος αρμονικός. η Ιδιότητα Η δεύτερη ιδιότητα που περιγράφεται στην Επινομίδα του Πλάτωνα αφορά τον μέσο αρμονικό των αριθμών 6 και. Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή ο μέσος αρμονικός των 6 και είναι ο 8 και υπερέχει του αριστερού άκρου, δηλαδή του 6, κατά μονάδες, δηλαδή κατά το / του αριθμού 6. Επίσης είναι μικρότερος του δεξιού άκρου του, δηλαδή του, κατά 4, το οποίο είναι πάλι το / του αριθμού αυτού, δηλαδή του. Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται και αποδείχνεται σε κάθε περίπτωση αριθμών, όπως και στην περίπτωση του μέσου αριθμητικού. Ο ορισμός που χρησιμοποιείται σήμερα για την εισαγωγή του μέσου αρμονικού Χ h δύο μη μηδενικών αριθμών a και b, ή γενικότερα δύο ποσοτήτων, είναι ο εξής: «Ο Χ h είναι ο μέσος αρμονικός των μη μηδενικών αριθμών a και b με a b, αν και μόνον εάν οι αντίστροφοι αυτών:,, a b X h αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου». Το ίδιο θα ήταν αν λέγαμε ότι ο X h Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό θα είναι: a b X h άρα: αποτελεί τον μέσο αριθμητικό των a b X ab h, a b. και τελικά ο μέσος αρμονικός των a και b θα δίνεται από τον τύπο: ab Xh a b Θεωρούμε στη συνέχεια πάνω σε έναν άξονα τις τιμές των τριών αυτών ποσοτήτων δηλαδή του Χ h και των a, b με a b (Σχ. ). Θα υπολογίσουμε τις αποστάσεις του σημείου Μ από τα άκρα Α και Β. Πράγματι λοιπόν στην περίπτωση αυτή θα είναι:

15 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 0 Ιανουαρίου 008 /4 Άρα: ab AM = Xh a a a b ab a ab ab a b aa a b a b a b b a AM = ka όπου k () a b Αν εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο θα διαπιστώσουμε ακόμα ότι: b a MB = kb όπου k () a b Οι σχέσεις () και () δηλώνουν μαθηματικά ότι ο μέσος αρμονικός υπερέχει από το αριστερό άκρο κατά το ίδιο κλασματικό μέρος k κατά το οποίο υπολείπεται του δεξιού άκρου. Αυτό ακριβώς δηλώνουν και οι ακόλουθοι στίχοι 99b της «Επινομίδας»: «το δ έτερον(δηλαδή ο μέσος αρμονικός) τω αυτώ μέρει των άκρων αυτών υπερέχον τε και υπερεχόμενον» οι οποίοι στη σημερινή γλώσσα σημαίνουν: «τέλος η άλλη αναλογία (δηλ. ο μέσος αρμονικός) ξεπερνά το άκρο Α και ξεπερνιέται από το άκρο Β με το ίδιο κλάσμα» Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 4. Αν, y, z R *, να λυθεί το σύστημα: Λύση 70 y yz z 7y z 4z 56 y () z y yz (68ος Παν. Μαθ. Διαγωνισμός στα Μαθηματικά «ο Θαλής» της ΕΜΕ Νοέμβριος 007) Διαιρώντας τα μέλη των τριών εξισώσεων του συστήματος με τους,, z y yz αντίστοιχα προκύπτει το ισοδύναμο με το () σύστημα:

16 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 0 Ιανουαρίου 008 /4 y yz 70 z z y z z y y z y yz yz y yz 70 z yz z () y z y y z Αν θέσουμε τώρα νέους αγνώστους a, b, c οι οποίοι ορίζονται από τις σχέσεις: y yz z a, b, c () z y τότε το σύστημα () θα γίνει γραμμικό: a b 70 7b 4c 56 (4) 5c 6a 5 Προσθέτοντας όλες τις εξισώσεις του συστήματος αυτού προκύπτει: ή ακόμα: 9a 9b 9c 78 a b c 4 (5) Θεωρούμε το σύστημα που προκύπτει από την πρώτη εξίσωση του (4) και την (5). τότε είναι: a b c 4 a b 70 a b c 6 a b 70 τέλος αφαιρώντας κατά μέλη τις τελευταίες εξισώσεις προκύπτει: b c 56 6 Συνδυάζοντας την (6) με τη δεύτερη εξίσωση του (4) έχουμε: που δίνει ως λύσεις: Από τις σχέσεις () προκύπτει: b c 56 7b 4c 56 b και c 8. Στη συνέχεια από την (5) έχουμε a.

17 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 0 Ιανουαρίου 008 4/4 y, yz, z 8 (7) z y Αν πάλι πολλαπλασιάσουμε τις σχέσεις αυτές μεταξύ των θα προκύψει: yz 5 (8), η οποία συνδυαζόμενη με κάθε μια από τις (7) θα δώσει: 4, y 8, z 6 τελικά οι λύσεις του συστήματος θα είναι:, y, z : 4,8,6, 4, 8,6, 4, 8, 6, 4,8, 6 Σημείωση: Τα πρόσημα επιλέγονται σύμφωνα με την (7) ή την (8). Παρατήρηση: Το σύστημα (4) είναι ένα γραμμικό σύστημα Χ και μπορεί να λυθεί ακόμα με τη μέθοδο του Cramer χρησιμοποιώντας ορίζουσες ή και με τη μέθοδο του επαυξημένου πίνακα χρησιμοποιώντας τη θεωρία των πινάκων. Στη δεύτερη περίπτωση βοήθεια καλή μας παρέχει το λογισμικό του Function Probe, το οποίο διαχειρίζεται πράξεις πινάκων. Για την άλλη φορά 6. Αν οι αριθμοί, y, z είναι τέτοιοι ώστε 0, y 0, z 0 και y z, να αποδείξετε ότι: y y z z y y z z Για ποιες τιμές των, y, z ισχύει η ισότητα; (Μαθητικός διαγωνισμός της ΕΜΕ ο «Ευκλείδης» 9//08) 6. Δίνεται η ακολουθία a n με πρώτο όρο ακέραιο αριθμό και * n N, για την οποία ισχύει: * an an n, για κάθε n N. Να αποδείξετε ότι το γινόμενο δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων της ακολουθίας είναι επίσης όρος της ακολουθίας. (Μαθητικός διαγωνισμός της ΕΜΕ ο «Ευκλείδης» 9//08) 6. Έστω Σ εσωτερικό σημείο οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Οι ευθείες ΑΣ, ΒΣ κα ΓΣ τέμνουν τις πλευρές ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ στα σημεία Α, Β και Γ αντίστοιχα, ώστε:, και. και z, να αποδείξετε ότι: 4 4 y 4 z y z y z Αν θέσουμε, y (Μαθητικός διαγωνισμός της ΕΜΕ ο «Ευκλείδης» 9//08) Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 5000 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

18 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 6 Φεβρουαρίου 008 /4 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών N ο :99 Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Η αντίθετη δύναμη και η σχέση της με τη μουσική Ο μέσος αριθμητικός και ο μέσος αρμονικός δύο ποσοτήτων έχουν πολλές και ποικίλες ιδιότητες καθώς και αξιόλογες εφαρμογές στα μαθηματικά, στην αρχιτεκτονική, στην οικονομία, στη στατιστική και σε όλες σχεδόν τις ανθρώπινες δραστηριότητες. Στην «Επινομίδα» του Πλάτωνα(στιχ.99b)διαβάζουμε ακόμα: «εν μέσω δε του έξ προς τα δώδεκα συνέβη το τε ημιόλιον και το επίτριτον». Οι λέξεις «ημιόλιον» και «επίτριτον» ερμηνεύονται ως λόγοι οι οποίοι προκύπτουν ως εξής: Ημιόλιον λέγεται ο λόγος του έξι προς τον αριθμητικό μέσο των έξι και δώδεκα. Επίτριτον λέγεται ο λόγος του έξι προς τον αρμονικό μέσο των έξι και δώδεκα. Με μαθηματική γραφή οι ορισμοί αυτοί εμφανίζονται ως εξής: Ημιόλιον 6 ό έ ό 6, Επίτριτον 6 ί έ ό 6, Τελικά μετά από απλοποιήσεις είναι : 6 6 Ημιόλιον και 9 Επίτριτον = 8 4 Οι λέξεις αυτές την εποχή του Πλάτωνα έχουν μεγάλη σημασία γιατί συνδέονται άμεσα με τους φθόγγους της μουσικής κλίμακας. Οι πρώτες αναφορές στην ερμηνεία των θέσεων των μουσικών φθόγγων τις συναντάμε στον Πυθαγόρα, στον Α ρχύτα τον Ταραντίνο και κατόπιν στον Πλάτωνα. «Τούτη η αναλογία που στρέφεται στο μέσο των τελευταίων σχέσεων, μοίρασε στους ανθρώπους την ανάγκη της συμφωνίας και της συμμετρίας με τη μορφή παιχνιδιού ρυθμού και αρμονίας που δίνεται με τον ευτυχισμένο χορό των Μουσών» (Επινομίς 99b) Αξίζει στο σημείο αυτό να αναφέρουμε και την άποψη ενός μεγάλου φιλοσόφου του 8ου αιώνα, του Leibniz(646-8), ο οποίος για τη σχέση της μουσικής και των μαθηματικών είπε: «Η μουσική είναι μια άσκηση μυστικής αριθμητικής και αυτός που ασχολείται μ αυτήν αγνοεί ότι παίζει με τους αριθμούς».

19 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 6 Φεβρουαρίου 008 /4 Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 44. Θεωρούμε την εξίσωση: 0, κ,λ,μ 0 () i) Να δειχθεί ότι η εξίσωση () έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα: (-, ). ii) Αν οι δύο ρίζες είναι οι ρ και ρ, να δείξετε ότι: () (Τράπεζα θεμάτων ΚΕΕ) Λύση i) Θεωρούμε τη συνάρτηση που ορίζεται με τον τύπο ο οποίος προκύπτει από το πρώτο μέλος της εξίσωσης () μετά την απαλοιφή των παρονομαστών. Δηλαδή τη συνάρτηση f με: f ( ) ( ) ( ) ( ) () Η συνάρτηση αυτή ως πολυωνυμική είναι ορισμένη και συνεχής σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Θεωρούμε τις τιμές της συνάρτησης για:, 0, Δηλαδή: f ( ) 0, f (0) και f ( ) 0 (4) Θεωρώντας τώρα τη συνάρτηση f ορισμένη στο κλειστό διάστημα,0 μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Bolzano γιατί: Η f είναι ορισμένη και συνεχής στο κλειστό διάστημα,0 f ( ) f (0) k 0, γιατί κ,λ 0 Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε,0 f. Είναι 0 αυτονόητο ότι η τιμή αυτή είναι και ρίζα της αρχικής εξίσωσης (). Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο δείχνουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε 0, εξίσωσης (). Η συνάρτηση f, το οποίο θα είναι και ρίζα της αρχικής 0 f είναι πολυωνυμική και μάλιστα ως εξίσωση δευτέρου, βαθμού θα έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. Κατά συνέπεια οι δύο ρίζες θα είναι και οι μοναδικές που μηδενίζουν την f. Άρα λοιπόν η εξίσωση () έχει δύο ακριβώς ρίζες στο ανοιχτό διάστημα, ii) Η συνάρτηση f γράφεται διαφορετικά ως εξής: f ( )

20 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 6 Φεβρουαρίου 008 /4 Οι ρίζες του τριωνύμου αυτού είναι οι, και ισχύει: Άρα: Άρα: Δηλαδή η (). 45. Αν η εικόνα ενός μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο Ο(0,0) και ακτίνας ρ=4, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού: Λύση Είναι z 4. z 6 f ( z) () z (Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γ.Λ.Μαυρίδη, τόμος Ι) Η σχέση () μετασχηματίζεται στην ακόλουθη: f ( z) z f ( z) 6 και αν πάρουμε τα μέτρα των δύο μελών τότε έχουμε: f ( z) z f ( z) 6 f ( z) z f ( z) 6 Αν θέσουμε όπου 4 z τότε θα ισχύει: 4 f ( z) f ( z) 6 Υψώνοντας στο τετράγωνο την τελευταία έχουμε: 6 f ( z) f ( z) 6 f z f z f z f z 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( )

21 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 6 Φεβρουαρίου 008 4/4 και μετά από πράξεις εύκολες είναι: f ( z) 4 που σημαίνει ότι ο μιγαδικός αριθμός f ( z ) έχει εικόνα πάνω σε κύκλο που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και ακτίνα ίση με 4. Παρατήρηση: Αν ονομάσουμε με Μ την εικόνα του μιγαδικού z (Σχ.) με την εικόνα Μ 4 του μιγαδικού f(z) τότε θα παρατηρήσουμε τα εξής: 7 7 Μ4 - z- Μ - z- Σχ. 7 Επειδή η σχέση () γράφεται και με τη μορφή f ( z) z θα προκύψουν οι εξής γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ώστε από το z να δημιουργηθεί το f ( z ) : Μια παράλληλη μεταφορά από το Μ στο Μ με διεύθυνση τον άξονα των πραγματικών αριθμών και σε απόσταση αριστερά Μια «αντιστροφή» του Μ ως προς κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και με δύναμη -7 ώστε να προκύψει η εικόνα του Μ και Μια παράλληλη μεταφορά του Μ στο Μ 4 με διεύθυνση τον άξονα των πραγματικών αριθμών και σε απόσταση δεξιά. Συμπέρασμα: Το σημείο Μ και το σημείο Μ 4 θα κινούνται στον ίδιο κύκλο με ακτίνα 4 αλλά ποτέ δεν θα συμπίπτουν εκτός από δύο περιπτώσεις.(ποιες είναι αυτές;) Για την άλλη φορά 64. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη y 4 και την ευθεία y. Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 5000 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

22 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Φεβρουαρίου 008 /4 N o :00 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Η αντίθετη δύναμη και η σχέση της με τη μουσική Η μυστική αριθμητική που στηρίζει γενικότερα την οργάνωση και δομή των στοιχειωδών ήχων σε ευρύτερα ακουστικά σύνολα είναι εκείνη που μελετήθηκε για πρώτη φορά από τους πυθαγόρειους. Σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο ο οποίος έζησε τον ο μ.χ. αιώνα (50-0μ.Χ.), ο Πυθαγόρας μια μέρα καθώς περνούσε έξω από το εργαστήριο ενός σιδηρουργού, άκουσε τα χτυπήματα των σφυριών, τα οποία ανάλογα με το βάρος τους, παρήγαγαν και διαφορετικό ήχο. Τότε ο μεγάλος φιλόσοφος παρατήρησε ότι δύο ήχοι ήταν αρμονικοί, δηλαδή ευχάριστοι στην ακοή, μόνον όταν οι μάζες των δύο σφυριών βρίσκονταν σε σχέση απλή με τους φυσικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι αν ένα σφυρί έχει βάρος κιλά και το άλλο κιλό, τότε οι δύο φθόγγοι που θα παραχθούν θα είναι αρμονικοί. Μάλιστα στην περίπτωση αυτή ο φθόγγος του βαρύτερου σφυριού θα απέχει από το φθόγγο του ελαφρύτερου σφυριού κατά μια οκτάβα. Δηλαδή αν ο φθόγγος του πρώτου ονομαστεί ως ΝΤΟ τότε το δεύτερο σφυρί θα παράγει το αμέσως υψηλότερο ΝΤΟ. Έτσι η αρμονικότητα των δύο αυτών ήχων (Ντο χαμηλό και Ντο υψηλό) προκύπτει σύμφωνα με την πυθαγόρεια αντίληψη από την απλή σχέση των μαζών των δύο σφυριών η οποία είναι προς ή ακόμα :. Αν φύγουμε από το μοντέλο των σφυριών του σιδηρουργού και πάμε στους ήχους που παράγονται από τη δόνηση μιας χορδής, θα παρατηρήσουμε ότι ισχύει παρόμοια σχέση. Δηλαδή αν θεωρήσουμε μια χορδή που έχει μήκος λ και άλλη μια που έχει μήκος λ/, τότε ο ήχος που παράγει η πρώτη σε σχέση με τον ήχο που παράγει η δεύτερη θα είναι μια οκτάβα χαμηλότερη. Στο σχήμα θεωρούμε μια χορδή ΑΒ που έχει μήκος λ και στο σχήμα τη χορδή ΓΔ με μήκος λ/. Σύμφωνα με την παρατήρηση του Πυθαγόρα αν ο ήχος της πρώτης θεωρηθεί ότι είναι το ΝΤΟ τότε ο ήχος της δεύτερης θα είναι το επόμενο ΝΤΟ. Δηλαδή όπως λένε στη θεωρία της

23 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Φεβρουαρίου 008 /4 μουσικής θα είναι ο ήχος που βρίσκεται μια οκτάβα υψηλότερα. Και αυτό συμβαίνει γιατί ο λόγος των μηκών, όπως και στην περίπτωση των σφυριών, είναι προς, δηλαδή :. Γενικά λοιπόν μπορούμε να πούμε η σχέση προς των μηκών δύο όμοιων χορδών δημιουργεί τα όρια μέσα στα οποία θα τοποθετηθεί μια σειρά από άλλους φθόγγους και θα δημιουργηθεί η λεγόμενη μουσική κλίμακα. Ο τρόπος με τον οποίο θα τοποθετηθούν όλοι οι υπόλοιποι φθόγγοι δίνεται από το κριτήριο του Πυθαγόρα. Άρα είναι εκείνοι που συνδέονται μεταξύ των με απλές αριθμητικές σχέσεις, ή ακόμα πιο απλά, που συσχετίζονται με απλά κλάσματα. Στην Επινομίδα ο Πλάτωνας αναφέρει τα κλάσματα / και /4 και τα ονομάζει ημιόλιον και επίτριτον αντίστοιχα. Αντιστρέφοντας τα κλάσματα αυτά έχουμε τα / και 4/ για τα οποία ισχύει ότι: 4. Άρα στα δύο αυτά κλάσματα αντιστοιχούν δύο φθόγγοι οι οποίοι είναι αρμονικοί κατά την άποψη του Πλάτωνα. Οι φθόγγοι αυτοί είναι το ΦΑ και το ΣΟΛ. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 46. Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z, z αντιστοίχως και z z z να δείξετε ότι όταν το πρώτο κινείται στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ= τότε το δεύτερο κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ όπου Α(-,0) και Β(,0). (Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γ.Λ.Μαυρίδη, τόμος Ι) Λύση z a bi όπου a, b R. ος τρόπος. Θεωρούμε ότι Τότε η σχέση () γίνεται: a bi z a bi a bi a bi a b και επειδή η εικόνα του z κινείται πάνω σε κύκλο μοναδιαίας ακτίνας και κέντρου Ο, θα είναι: Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι: Επίσης από την () προκύπτει ότι z a b a bi z a bi a bi a bi a 4 a b a 5 a άρα και Άρα από τις (4) και (5) θα είναι: z a δηλαδή ο αριθμός z θα είναι πραγματικός και ακόμα a. Άρα τελικά θα είναι z. ος τρόπος z Θεωρούμε ότι Άρα θα είναι: z. i γιατί

24 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Φεβρουαρίου 008 /4 z z i ( ) i ( ) z Άρα ο z θα είναι πραγματικός και θα μεταβάλλεται μεταξύ του - και του. Γεωμετρική ερμηνεία Στο μιγαδικό επίπεδο(σχ.) ο μιγαδικός z αντιστοιχεί στο σημείο Μ. Στο συμμετρικό του Μ ως προς τον οριζόντιο άξονα, δηλαδή στο Μ αντιστοιχίζεται ο / z. Άρα στο άθροισμα αυτών, που γεωμετρικά βρίσκεται με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, αντιστοιχεί το σημείο Μ. Αν δούμε το σχήμα με μια κινητικότητα κατά την οποία το Μ διατρέχει δεξιόστροφα τον κύκλο τότε εύκολα διαπιστώνουμε ότι το σημείο Μ θα διατρέχει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ κατά την αντίθετη φορά προς τη θετική κατ/νση του άξονα των πραγματικών αριθμών. Άρα ο μετασχηματισμός αυτός μετατρέπει τον κύκλο σε ευθύγραμμο διάστημα και μάλιστα χωρίς ποτέ να ταυτίζεται το αρχέτυπο με την εικόνα του. M A B O - - M M - Σχήμα 47. Να δείξετε ότι αν: και B y y A y y τότε το Α διαιρεί το Β. (The USSR Olympiad problem Book, Shklarsky κλπ ) Λύση: Είναι γνωστό ότι η παράσταση Α μπορεί να γραφεί ως εξής: A y y y y Για να διαιρείται η παράσταση Β από το Α αρκεί η παράσταση Β να διαιρείται από τους παράγοντες:, y, y

25 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Φεβρουαρίου 008 4/4 Επειδή A(, y ) για γίνεται A(, y) 0 άρα η παράσταση Α διαιρείται από τον παράγοντα. Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται ότι διαιρείται και από τους y, y Άρα η παράσταση Β διαιρείται από την παράσταση Α.. Σημείωση. Ο αριθμητικός συντελεστής δεν εξετάζεται διότι η διαιρετότητα αφορά τις παραστάσεις Α και Β τις οποίες θεωρεί πολυώνυμα ως προς, y Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: (The USSR Olympiad problem Book, Shklarsky κλπ ) a Λύση: Η παράσταση Α με τη βοήθεια της ταυτότητας γράφεται: Άρα: Κι ακόμα: Επίσης: a a, a a , Αν εκτελέσουμε τη διαίρεση του τότε θα βρούμε Άρα είναι τελικά: με το Για την άλλη φορά 65. Δίνεται μεταβλητό σημείο Μ εντός οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Να βρεθεί η θέση του σημείου αυτού ώστε το άθροισμα: ΜΑ+ΜΒ+ΜΓ= ελάχιστο. (Μίταλας Δημήτριος. Μαθηματικός ου ΓΕΛ Κοζάνης) Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 5000 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

26 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 0 Φεβρουαρίου 008 /4 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών N o :0 Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Η αντίθετη δύναμη και η σχέση της με τη μουσική Αποτελεί αξιοθαύμαστη δημιουργία η συμπλήρωση των αρμονικών φθόγγων της μουσικής κλίμακας από τον Πυθαγόρα, ο οποίος θεωρούσε ως αρχή των πάντων τους φυσικούς αριθμούς. Ο Πλάτων στην Επινομίδα μίλησε για τον ημιόλιο και τον επίτριτο αριθμό, ο οποίος αντιστοιχεί στο φθόγγο ΦΑ και ΣΟΛ αντίστοιχα και μαζί με τους αριθμούς και που αντιστοιχούν στα άκρα του μουσικού διαστήματος μιας οκτάβας, αποτελούν τους τέσσερες θεμελιώδεις φθόγγους της πυθαγορικής κλίμακας. Αν, αντί για βάρη σφυριών και για μήκη χορδών, θεωρήσουμε τη συχνότητα του ήχου που παράγει γενικά μια ηχητική πηγή, τότε τα πράγματα αρχίζουν να παίρνουν την οριστική τους μορφή. Από τη φυσική είναι γνωστό ότι συχνότητα ενός ήχου, που παράγεται από τη δόνηση ενός σώματος, είναι ένας αριθμός που δηλώνει το πλήθος των παλμών με τις οποίες δονείται το σώμα αυτό στη μονάδα του χρόνου και μετριέται σε Hertz. Το ανθρώπινο αυτί συλλαμβάνει ήχους που εκτείνονται από 0 μέχρι και Hertz. Μπορούμε να θεωρήσουμε ένα φθόγγο ως βάση μιας μουσικής κλίμακας, δηλαδή ως ένα ΝΤΟ, και να υποθέσουμε ότι η συχνότητα του φθόγγου αυτού είναι ίση με. Η συχνότητα του επόμενου ΝΤΟ θα είναι τότε ίση με. Αυτό γίνεται αντιληπτό με το μοντέλο μιας τεντωμένης χορδής ΑΒ = λ, η οποία όταν πάλλεται παράγει έναν θεμέλιο φθόγγο, π.χ. το ΝΤΟ και όταν κοπεί στη μέση και γίνει ΓΔ = λ/, παράγει το αμέσως επόμενο ΝΤΟ.(Σχ.) Η απόσταση των φθόγγων αυτών λέγεται ως γνωστό οκτάβα ή διαπασών και είναι ένα μουσικό διάστημα που συμβολίζεται με το κλάσμα: f f : Γενικότερα: Μουσικό διάστημα είναι η απόσταση μεταξύ δύο φθόγγων με συχνότητες και f, το οποίο συμβολίζεται με την αναλογία f : y f η με το λόγο y f f y. f

27 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 0 Φεβρουαρίου 008 /4 Μια άλλη έννοια των μουσικών διαστημάτων είναι το «μέγεθος». Η έννοια αυτή προέκυψε από το νόμο των Weber Fechner σύμφωνα με τον οποίο, η ένταση του αισθήματος είναι ανάλογη προς τον λογάριθμο της έντασης του ερεθίσματος. Έτσι το μέγεθος ενός μουσικού διαστήματος αποτελεί κατά κάποιο τρόπο «μέτρηση της ποσότητας συχνοτήτων» που εμπεριέχεται στο διάστημα αυτό και δίνεται από τον τύπο: f y dk ( f y, f ) k log f d f f περιέχει μια σταθερά τιμή k η οποία μπορεί ανάλογα με την Το μέγεθος (, ) k y κατασκευή της μουσικής κλίμακας να πάρει διάφορες τιμές. Παράδειγμα: Το μέγεθος του διαστήματος μιας οκτάβας είναι: f dk ( f y, f ) k log k log k log k k f Έτσι μπορούμε να πούμε ότι το k εκφράζει το μέγεθος μιας οκτάβας. Ο τύπος () βοηθάει στην θεμελίωση των τεσσάρων πράξεων, όπως πρόσθεση μουσικών διαστημάτων, αφαίρεση καθώς και τον πολλαπλασιασμό ενός μουσικού διαστήματος με έναν θετικό και ακέραιο αριθμό. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 49. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και η παράγωγος της συνάρτησης: t F( ) e ln t dt (Αντώνης Κυριακόπουλος, Μαθηματικός, Αθήνα. Περιοδικό «Απολλώνιος» ΕΜΕ Ημαθίας, Τεύχος 5, Οκτ. 007, σελ.7) Λύση Θεωρία Στο σχολικό βιβλίο Μαθηματικά Θετ και Τεχνολογικής Κατ. Γ Τάξης, του ΟΕΣΒ διατυπώνεται το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού το οποίο λέει: (Ι). Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα a, b. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο, a b, τότε: b f ( ) d G b G a. a Το θεώρημα αυτό αποδείχνεται με τη βοήθεια ενός άλλου θεωρήματος το οποίο μας εξασφαλίζει μια παράγουσα συνάρτηση της συνεχούς συναρτήσεως f στο διάστημα a, b. Το θεώρημα αυτό υποστηρίζει: (ΙΙ). Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και είναι ένα σημείο του, τότε η συνάρτηση:, () F f t dt είναι μια παράγουσα της f στο. Δηλαδή ισχύει: a

28 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 0 Φεβρουαρίου 008 /4 a f t dt f, για κάθε Στη γενικότερη βιβλιογραφία το πρώτο θεώρημα(ι) αναφέρεται και ως «Πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού» και το δεύτερο θεώρημα(ιι), ως «Δεύτερο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού». Η αξία του δεύτερου θεωρήματος είναι μεγάλη γιατί μας δίνει την παράγουσα ή αρχική μιας οποιασδήποτε συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ, με έναν γενικό τύπο, ο οποίος άλλοτε μας δίνει αποτέλεσμα ως έκφραση των στοιχειωδών συναρτήσεων και άλλοτε όχι. Ο τύπος () περιέχει μεταβλητό το άνω όριο. Θα μπορούσε να έχει μεταβλητό το κάτω όριο, δηλαδή: Είναι αληθές ότι: a, () F f t dt Και στις δύο αυτές περιπτώσεις () και (), το πεδίο ορισμού της F συμπίπτει με το διάστημα που ορίζεται η f και στο οποίο ανήκει το. Ερώτημα: Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της F όταν δεν μας δίνεται το Δ, όπου είναι ορισμένη η f ; Και γενικότερα: Τι γίνεται με το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων της μορφής: ( ) a ( ), 4 5 F f t dt ή F f t dt ή F f t dt a ( ) ( ) Γενικός κανόνας Το πεδίο ορισμού της F, θα πρέπει είναι εκείνο το D, το οποίο θα συμπεριλαμβάνει όλα εκείνα τα R, για τα οποία η f είναι ολοκληρώσιμη στο κλειστό διάστημα που ορίζεται από το άνω και κάτω όριο, δηλαδή τα A( ) και B( ). Για την αναζήτηση του πεδίου ορισμού D της F ακολουθούμε τα βήματα: ο ) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f, το οποίο είναι γενικά ένα διάστημα ή ένωση διαστημάτων και στα οποία η f είναι ολοκληρώσιμη. ο ) Προσδιορίζουμε στη συνέχεια τις συνθήκες ώστε τα A( ) και B( ) να βρίσκονται στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f, με αποτέλεσμα η f να είναι ολοκληρώσιμη στο κλειστό διάστημα που ορίζουν τα όρια αυτά. Λύση της άσκησης: Αναζήτηση του Πεδίου Ορισμού Είναι f ( ) e ln d και έχει πεδίο ορισμού το,0 0 *, R. Επίσης το κάτω και άνω όριο είναι αντίστοιχα: και B ( ) Ζητούμε τα όρια αυτά να βρίσκονται ταυτόχρονα στο διάστημα,0 ή στο 0,

29 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 0 Φεβρουαρίου 008 4/4 Άρα πρέπει: 0 Οι σχέσεις αυτές γίνονται: ή ακόμα ή 0 ή 0 0 ή. Άρα το πεδίο ορισμού της F είναι το D,, Υπολογισμός της παραγώγου στο διάστημα Είναι t t F( ) όπου 0 (Γιατί;). Η (6) γίνεται: και αν θεωρήσουμε ότι: t e F( ) ln t dt e t e ln t dt, ln t dt t e t e ln dt ln dt (7) 6 t ( ) e ln t dt,,0 ό ( ) e k ln,,0 τότε η σχέση (7) γίνεται: F( ) ( ) ( ) F( ) ( ) ( ) και η παράγωγός της είναι: και τελικά: F( ) e ln e ln, Την ίδια παράγωγο θα βρούμε αν βρεθούμε στο διάστημα, αρκεί βέβαια να θεωρήσουμε το 0 Για την άλλη φορά 66. Να δείξετε ότι 7 όπου ν ένας φυσικός αριθμός. 67. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθούν τα σημεία Κ,Λ,Μ στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα ώστε η περίμετρος του τριγώνου ΚΛΜ να είναι ελάχιστη.(πρόβλημα του Fagnano) Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 5000 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

30 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 008 /4 N o :0 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Η αντίθετη δύναμη και η σχέση της με τη μουσική Πρόσθεση μουσικών διαστημάτων Έστω δύο μουσικά διαστήματα «απόσταση» του φθόγγου a με συχνότητα f f a b και f f y, όπου το κλάσμα f a από το φθόγγο b με συχνότητα f f a b εκφράζει την f b καθώς και το την «απόσταση» των φθόγγων χ και y με συχνότητες f και f y αντίστοιχα. Βέβαια πάντοτε θα πρέπει να θεωρούμε ότι προχωρούμε από χαμηλές συχνότητες προς τις υψηλές, δηλαδή: f f, f y f για το λόγο αυτό πάντα θα είναι: f f a b b a f, f y Άθροισμα των διαστημάτων αυτών θα είναι ένα διάστημα που θα συμβολίζεται με το κλάσμα εκείνο που προκύπτει από το γινόμενο των δύο κλασμάτων. Δηλαδή το Παράδειγμα: Μέχρι τώρα έγινε αναφορά για το διάστημα της οκτάβας, η οποία συμβολίζεται με το κλάσμα : ή. Αν θυμηθούμε και τη σχέση του Πλάτωνα από την Επινομίδα με την οποία εισάγεται η θεμελίωση του ημιόλιου και του επίτριτου φθόγγου, δηλαδή της σχέσης: f f a f f b y.(ι) f f y 4, τότε εννοούμε εύκολα τα διαστήματα της «τετάρτης» και της «πέμπτης». Είναι οι αποστάσεις του χαμηλού ΝΤΟ από το ΦΑ και του ΝΤΟ από το ΣΟΛ αντίστοιχα. Είναι οι αποστάσεις του πρώτου φθόγγου της μουσικής κλίμακας από τον τέταρτο φθόγγο και από τον πέμπτο φθόγγο αντίστοιχα. Άρα είναι: Το διάστημα της «τετάρτης» είναι αυτό που συμβολίζεται με το κλάσμα: 4 : ή 4. Το διάστημα της «πέμπτης» είναι εκείνο που συμβολίζεται με το κλάσμα: : ή

31 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 008 /4 Προχωρώντας στην πρόσθεση των δύο αυτών διαστημάτων θα έχουμε σύμφωνα με τον ορισμό (Ι) της πράξης αυτής ένα νέο διάστημα το οποίο θα αντιστοιχεί σε ένα κλάσμα που θα προκύψει από τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων που αντιπροσωπεύουν τα δύο αυτά διαστήματα. Δηλαδή: 4 6 Παρατηρείται λοιπόν ότι το άθροισμα του διαστήματος της «τετάρτης» και του διαστήματος της «πέμπτης» ισούται με το διάστημα μιας οκτάβας. Είναι πραγματικά μια θαυμάσια μαθηματική σχέση! Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 50. Σε μια εκκλησιά ενός χωριού την ημέρα των Χριστουγέννων παραβρέθηκαν 00 πιστοί, άνδρες, γυναίκες και παιδιά. Κατά την περιφορά του δίσκου συγκεντρώθηκαν 00 δραχμές. Αν γνωρίζουμε ότι όλοι οι άνδρες έριξαν από πέντε δραχμές ο καθένας, οι γυναίκες από μία δραχμή και τα παιδιά από μία δεκάρα, να βρεθεί πόσοι άνδρες, πόσες γυναίκες και πόσα παιδιά βρέθηκαν τα Χριστούγεννα στην εκκλησιά εκείνης της εποχής. Θυμίζουμε ότι η δραχμή είχε 00 λεπτά και η δεκάρα είχε 0 λεπτά. Λύση: Υποθέτουμε ότι από τους 00 πιστούς την ημέρα εκείνη, οι άνδρες ήταν, οι γυναίκες ήταν y και τα παιδία ήταν z. Τότε μεταξύ των, y, z N ισχύει: y z 00 () Από τις 00 δραχμές που συγκεντρώθηκαν οι 5 ήταν των ανδρών, οι y των γυναικών και οι 0,0 των παιδιών. Άρα ισχύει ακόμα: 5 y 0,0z 00 () Από την () προκύπτει ότι: y 00 z και μετά την αντικατάσταση στη () θα είναι: Η τελευταία ακόμα γίνεται: 5 (00 z) 0,0z ,90z z 0 () η οποία είναι μια διοφαντική εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Μία προφανής ακέραια λύση της είναι η 0 0 και y0 0. Άρα η απειρία των λύσεών της δίνεται από τους τύπους: όπου k Z. Επιπλέον θέλουμε:, y, z 0, άρα: ή ακόμα: k. Δηλαδή k 0, k, k 9 9k y y 40k 40 40k 9 9k k0

32 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 008 /4 Από τις άπειρες αυτές τιμές, δεκτές είναι οι k 0, k, οι οποίες δίνουν αντίστοιχα: 9 (άνδρες), y 5(γυναίκες) κα z 40 (παιδιά) ή 8(άνδρες), y (γυναίκες) κα z 80 (παιδιά) 5. Δίνεται η συνάρτηση f με: e f ( ),, (Ι) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και ακρότατα. (ΙΙ) Να δείξετε ότι: a b e e a, b, a b e (Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γ. Παιδ. του Γ. Μιχαηλίδη-Oct. N. Stanasila. Σελ.59) Λύση: (Ι) Μονοτονία-Ακρότατα Η πρώτη παράγωγος της f είναι: e f,, της οποίας το πρόσημα φαίνονται στον κατωτέρω πίνακα ο οποίος συμπεριλαμβάνει τη μονοτονία καθώς και το ελάχιστο της συνάρτησης f. / e Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα:, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. Για λαμβάνει την ελάχιστη τιμή η οποία είναι f ( ). Έτσι γενικά e ισχύει: (ΙΙ). Εφόσον a, b, άρα και f ( ),, e από την () θα είναι: f ( a) e και f ( b) e

33 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 008 4/4 και τέλος: f ( a) f b e a b e e a b e 5. Αν οι παρατηρήσεις άθροισμα 0 και μέση τιμή ίση με t, t,..., n n 9 t, μιας μεταβλητής χ έχουν, να βρείτε το μέγεθος του δείγματος. (Μαθηματικά Γ Λυκείου, Γ. Παιδ. του Γ. Μιχαηλίδη-Oct. N. Stanasila. Σελ.86) Λύση: Από τα δεδομένα είναι: και Άρα: Ακόμα: t t... t n 0 t t... t n n 0 n n nn n 9 () () Η εξίσωση () είναι μια διοφαντική εξίσωση τρίτου βαθμού η οποία λύνεται εύκολα. Αναζητούμε τις τιμές του n που είναι ίσες με κάποιο παράγοντα του 0 και βέβαια η τιμή άλλος παράγοντας του 0. Έτσι καταλήγουμε στη μοναδική τιμή Δηλαδή Για την άλλη φορά n 9 να είναι ο n η οποία επαληθεύει τη (). 68. Αν οι πραγματικοί αριθμοί, y, z είναι θετικοί και μικρότεροι του και επιπλέον το άθροισμα των τετραγώνων των είναι ίσο με το, τότε να δείξετε ότι: y z y z (Από το διαγωνισμό Αρχιμήδης της //08 της ΕΜΕ) Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 5000 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

34 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Μαρτίου 008 /4 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών N o :0 Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Η αντίθετη δύναμη και η σχέση της με τη μουσική Συνεχίζοντας την αναφορά στην πυθαγόρεια κλίμακα είναι απαραίτητο να ορισθούν και οι υπόλοιπες πράξεις μεταξύ των μουσικών διαστημάτων. Σε προηγούμενο σημείωμα έγινε αναφορά για την πρόσθεση δύο μουσικών διαστημάτων. Αντίστοιχα ορίζεται η αφαίρεση δύο διαστημάτων, το γινόμενο ενός μουσικού διαστήματος με έναν θετικό και πραγματικό αριθμό και τέλος το πηλίκο ενός μουσικού διαστήματος με έναν θετικό ακέραιο αριθμό. Αφαίρεση δύο μουσικών διαστημάτων: Έστω ένα μουσικό διάστημα Τότε ως διαφορά του f f y από το f f a b f f a b μεγαλύτερο από το μουσικό διάστημα f f y, δηλαδή ονομάζεται ένα νέο διάστημα που ορίζεται από τη σχέση: f f a f b a y b Γινόμενο μουσικού διαστήματος με ένα θετικό πραγματικό αριθμό α Έστω το μουσικό διάστημα f f a b f y f f f f f f f a. b f y και ο θετικός πραγματικός αριθμός α. Τότε ως γινόμενο του διαστήματος αυτού με τον α ονομάζεται ένα νέο διάστημα που ορίζεται από τη σχέση: Πηλίκο μουσικού διαστήματος με ένα θετικό ακέραιο ν. Έστω το μουσικό διάστημα f f a b f f a b a και ο θετικός ακέραιος αριθμός ν. Τότε ως πηλίκο του διαστήματος αυτού με τον ν ονομάζεται ένα νέο διάστημα που ορίζεται από τη σχέση: f f a b

35 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Μαρτίου 008 /4 Με τις τέσσερις αυτές πράξεις θεμελιώνεται μια καλή άλγεβρα των μουσικών διαστημάτων μέσα από την οποία μπορεί να ερμηνεύσει κανείς τη δομή μιας μουσικής κλίμακας. Ας εφαρμόσουμε το λογισμό αυτό σε ένα θεώρημα που αποδίδεται ως δωδέκατο θεώρημα του Ευκλείδη και αναφέρεται στο έργο του με την ονομασία «Θεωρήματα μουσικά». Το θεώρημα αυτό μιλά για το μουσικό διάστημα 9 8 το οποίο ο Ευκλείδης αποκαλεί ως επόγδοο τόνο. Το διάστημα αυτό 9 προκύπτει από την αφαίρεση του επίτριτου από το ημιόλιο. Δηλαδή:. 4 8 Θεώρημα του Ευκλείδη «Έξι επόγδοι τόνοι αποτελούν ένα διάστημα μεγαλύτερο της οκτάβας» Απόδειξη: Ο πολλαπλασιασμός του διαστήματος ενός επόγδοου με τον αριθμό έξι, σύμφωνα με τις πράξεις των μουσικών διαστημάτων δίνεται από τη σχέση: και είναι μεγαλύτερο του που είναι το διάστημα μιας οκτάβας. (Χρόνης Μωυσιάδης- Χ. Σπυρίδης. Εφαρμοσμένα Μαθηματικά στην Επιστήμη της Μουσικής. Εκδόσεις Ζήτη. Σελ. 4) Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 5. Στο κατωτέρω σχήμα να βρεθεί η θέση του μεταβλητού σημείου Μ της διαμέτρου ΑΒ ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο γραμμοσκιασμένων ημικυκλίων να είναι ελάχιστο. R Ε χ Μ Ε Λύση: Έστω ότι. Τότε η διάμετρος του πρώτου ημικυκλίου είναι R και του δευτέρου R. Άρα το άθροισμα των εμβαδών των δύο αυτών ημικυκλίων θα είναι:

36 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Μαρτίου 008 /4 ή ακόμα: R R R R 8 και αν εκτελέσουμε τις πράξεις θα προκύψει: 4 Από την τελευταία σχέση προκύπτει εύκολα ότι: Η σχέση () δηλώνει ότι το εμβαδόν E έχει για 0 ελάχιστη τιμή την για R μέγιστη τιμή την R R R R ή 4 4 R E R 4 4 R R Γεωμετρική Ερμηνεία: Στο ακόλουθο σχήμα είναι ΟΜ =ΟΜ=χ. Από τον τύπο () προκύπτει ότι το μεταβλητό εμβαδόν E είναι το γραμμοσκιασμένο χωρίο (ΑΕΔΜ ΓΑ), διότι στην κάθετο διάμετρο ΗΘ προς την οριζόντια ΑΒ, ορίσαμε τμήμα ΟΜ =ΟΜ. Έτσι από το πυθαγόρειο θεώρημα είναι: διάμετρο ΘΗ. Άρα θα είναι: E( ) R R. Εξάλλου η γων(ηαθ) = 90 0, γιατί βαίνει στη 4 Μεταβάλλοντας τώρα το σημείο Μ από τη θέση Ο μέχρι τη θέση Β θα έχουμε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή αντίστοιχα του εμβαδού αυτού, όπως φαίνεται στα ακόλουθα σχήματα.

37 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Μαρτίου 008 4/4 Σχήμα Θα μπορούσαμε βέβαια και με άλλους τρόπους να απεικονίσουμε τις μεταβολές αυτές. Για την άλλη φορά 69. Έστω 5 ακέραιοι αριθμοί από το σύνολο,,,4,...99,00. Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστο δύο από αυτούς οι οποίοι να είναι μεταξύ των πρώτοι. Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου 5000 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

38 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Μαρτίου 008 /4 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών N o :04 Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικά ερανίσματα από την «Επινομίδα» του Πλάτωνα Η σημασία των αριθμών και της μέτρησης Η αντίθετη δύναμη και η σχέση της με τη μουσική Αξίζει να επιμείνει κανείς στη διερεύνηση και το σχολιασμό της πυθαγορικής σχέσης που αναφέραμε σε προηγούμενα σημειώματα, δηλαδή της σχέσης που δηλώνεται με τους διαδοχικούς λόγους: : : : 4 () Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως τετρακτύς και σύμφωνα με την πυθαγορική αντίληψη την οποία συναντούμε επίσης στον Πλάτωνα, αποτελεί τη βάση της κατασκευής της μουσικής κλίμακας. Η σχέση () εκφράζει μουσικά τα εξής μουσικά διαστήματα: οκτάβα, πέμπτη και τετάρτη. Πράγματι αν θέλουμε να κατανοήσουμε την πρακτική σημασία των αριθμών της σειράς (), τότε θα πρέπει να θυμηθούμε τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ των λόγων: 4 οι οποίοι εκφράζουν τα εξής διαστήματα: : εκφράζει το διάστημα της οκτάβας και αν θυμηθούμε το παράδειγμα της χορδής, τότε ο λόγος σημαίνει ότι αν ο ήχος μιας χορδής είναι το ΝΤΟ, τότε η μισή από τη χορδή αυτή θα παράγει το επόμενο ΝΤΟ. : εκφράζει το διάστημα της πέμπτης. Αν θεωρήσουμε πάλι μια χορδή με ένα μήκος λ και πάρουμε τα / της χορδής αυτής, τότε ο ήχος που θα προκύψει από αυτήν θα είναι μια πέμπτη υψηλότερα. Δηλαδή, αν η χορδή μήκους λ παράγει το ΝΤΟ (Σχ.), τότε τα / αυτής θα παράγουν το ΣΟΛ (Σχ.).

39 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Μαρτίου 008 /4 : 4 εκφράζει το διάστημα της τετάρτης. Έτσι πάλι με το παράδειγμα της χορδής μήκους λ και μέσα από τα σχήματα και 4 γίνεται αντιληπτό το χτίσιμο του διαστήματος της τετάρτης. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις ασκήσεις 54. Να λυθεί η εξίσωση: 0 Λύση ος τρόπος. Θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος αναζήτησης ρητών ριζών που στηρίζεται στο ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα: Αν η εξίσωση: n a a... a a 0 n n n 0 με ακέραιους συντελεστές έχει μια ρητή ρίζα την p q, όπου p,q είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε θα είναι: p/a 0 και q/a n Πράγματι στην εξίσωση () είναι: n, a και a0. Άρα οι υποψήφιες ρίζες p της θα είναι της μορφής όπου p διαιρέτης του και q διαιρέτης του. Άρα το q ζητούμενο σύνολο θα είναι:, S. Δοκιμάζοντας τις τιμές αυτές παρατηρούμε ότι η τιμή αποτελεί ρίζα της εξίσωσης (). Στη συνέχεια εφαρμόζοντας το σχήμα του Horner όπως φαίνεται στον κατωτέρω πίνακα: Η τιμή επομένως ρ = είναι μια ρίζα της εξίσωσης (). Από την τελευταία γραμμή του σχήματος του Horner προκύπτουν οι συντελεστές του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου δια του. Άρα: