ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. Μεταπτυχιακό ίπλωµα: Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρµογές, Σχολή ΕΜΦΕ του ΕΜΠ, Τοµέας Φυσικής, Οκτώβριος 2000, Βαθµός 9.36/10.

Transcript

1 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Όνοµα: Παύλος Πασιπουλαρίδης Ηµεροµηνία Συντάξεως: 28/03/2009 ιεύθυνση: Αργοναυτών Κοµνηνών 3, ροσιάς Αττικής, Τ.Κ , Ελλάδα Τηλέφωνο: Ηµεροµηνία Γέννησης: 30/08/1972 Εκπαίδευση ιδακτορικό: Θεωρητική Φυσική Υψηλών Ενεργειών, Σχολή ΕΜΦΕ (Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών) του ΕΜΠ, Τοµέας Φυσικής, Ιούνιος Μεταπτυχιακό ίπλωµα: Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρµογές, Σχολή ΕΜΦΕ του ΕΜΠ, Τοµέας Φυσικής, Οκτώβριος 2000, Βαθµός 9.36/10. Πτυχίο: Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών, Ηλεκτρονικά και Τηλεπικοινωνίες, ΕΜΠ, Ιούλιος 1996, Βαθµός 8.35/10. ιατριβή Τίτλος: «Ενεργός δράση επαγόµενη από τα φερµιόνια παρουσία ενός σωληνοειδούς µαγνητικής ροής». Κατά την διάρκεια της διατριβής µου µελέτησα και εξειδικεύτηκα στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Στο πλαίσιο αυτό υπολόγισα αριθµητικά την Heisenberg- Euler Lagrangian παρουσία µαγνητικών πεδίων µε µορφή σωληνοειδών µαγνητικής ροής. Μαθήµατα Μεταπτυχιακού ιπλώµατος 1) Κλασσική Μηχανική: 10 2) Ηλεκτροµαγνητισµός Ι: 10

2 3) Ηλεκτροµαγνητισµός ΙI: 8 4) Μαθηµατικά Ι: 10 5) Μαθηµατικά ΙI: 10 6) Στατιστική Μηχανική: 9 7) Κβαντοµηχανική Ι: 10 8) Κβαντοµηχανική ΙΙ: 9 9) Γενική Σχετικότητα: 8 10) Στοιχειώδη σωµατίδια: 10 11) Κβαντική θεωρία πεδίων Ι: 9 12) Κβαντική θεωρία πεδίων ΙΙ: 8 Θέσεις : Μεταδιδακτορικός ερευνητής στον Τοµέα Φυσικής της Σχολής Ε.Μ.Φ.Ε. του Ε.Μ.Π, στο πλαίσιο του προγράµµατος Πυθαγόρας του Υπουργείου Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων. ηµοσιεύσεις σε περιοδικά 1) Pavlos Pasipoularides, Fermion-induced effective action in the presence of a static inhomogeneous magnetic field, Physical Review D, Volume 64, (2001), hep-th/ ) Pavlos Pasipoularides, Strong magnetic field asymptotic behavior for the fermion-induced effective energy in the presence of a magnetic flux tube, Phys. Rev. D, Volume 67, (2003), hep-th/ ) K. Farakos and P. Pasipoularides, Effective potential analysis for 5D SU(2) gauge theories at finite temperature and radius, Nucl. Phys. B705 (2005) , hep-ph/ ) K. Farakos and P. Pasipoularides, Extra-Dimensions effects on the fermion-induced quantum energy in the presence of a constant magnetic field, Phys. Rev. D71 (2005) , hep-th/ ) P. Pasipoularides, Phase shift approach in the case of a magnetic flux tube, hep-th/ (αδηµοσίευτο). 6) K. Farakos and P. Pasipoularides, Gravity-induced instability and gauge field localization, Phys.Lett. B621 (2005) , hepth/

3 7) K. Farakos and P. Pasipoularides, Second Randall-Sundrum brane world scenario with a nonminimally coupled bulk scalar field, Phys.Rev. D73 (2006) , hep-th/ ) K. Farakos and P. Pasipoularides, Gauss-Bonnet gravity, brane world models, and non-minimal coupling, Phys. Rev. D75 (2007) , hep-th/ ) K. Farakos, G. Koutsoumbas, P. Pasipoularides, Graviton localization and Newton's law for brane models with a nonminimally coupled bulk scalar field, Phys.Rev.D76: (2007), [hep-th]. 10) J. Alexandre, K. Farakos, N.E. Mavromatos, P. Pasipoularides, Neutrino oscillations in a stochastic model for space-time foam, Phys.Rev.D77:105001, [hep-ph]. 11) K. Farakos, N.E. Mavromatos, P. Pasipoularides, Bulk photons in Asymmetrically Warped Spacetimes and Non-trivial Vacuum Refractive Index, JHEP 0901:057, 2009, [hep-th]. 12) J. Alexandre, K. Farakos, N.E. Mavromatos and P. Pasipoularides, Neutrino oscillations in a Robertson-Walker Universe with space time foam, [hep-ph], έχει σταλεί για δηµοσίευση στο Phys. Rev. D. ηµοσιεύσεις σε πρακτικά συνεδρίων 1) K. Farakos and P. Pasipoularides, Brane world scenario in the presence of a non-minimally coupled bulk scalar field, Prepared for 12th Conference on Recent Developments in Gravity (NEB XII), Nafplio, Greece, 29 Jun - 2 Jul 2006, Published in: J.Phys.Conf.Ser.68:012041,2007, hep-th/ ) K. Farakos, N. E. Mavromatos and P. Pasipoularides, Asymmetrically Warped Brane Models, Bulk Photons and Lorentz Invariance, Prepared for 13th Conference on Recent Developments in Gravity (NEB XIIΙ), Thessaloniki, Greece, 4-6 Jun 2008, [hep-th]

4 Παρουσιάσεις 1) BUSSTEP Αγγλία 2000: Οµιλία µε τίτλο «Ενεργός δράση παρουσία εξωτερικών µαγνητικών πεδίων σε συστήµατα δύο διαστάσεων». 2) Scalar field instability and gauge field localization, HEP2005 Workshop on Recent Advances in Particle Physics and Cosmology, Thessaloniki, April ) Stable Solutions for 5D Gravity with a non Minimally Coupled Scalar Field, THIRD AEGEAN SUMMER SCHOOL: The Invisible Universe Dark Matter and Dark Energy, Chios, 26-1 September ) Brane world models with a scalar field non-minimally coupled with gravity, HEP2006 Recent Developments in High Energy Physics and Cosmology, Ioannina, April ) Brane world scenario in the presence of a non-minimally coupled scalar field, Recent Developments in Gravity (NEB XII), Nafplio, 29 June- 2 July ) Linearized Gravity for brane models with a Non-Minimally Coupled Bulk Scalar field, Fourth Aegean Summer School on Black Holes, Mytilene September ) Asymmetrically warped Brane Models, Recent Developments in Gravity (NEB XIII), Thessaloniki, 4-6 June Συµµετοχή σε θερινά σχολεία και συνέδρια: 1) Θερινό σχολείο στην Κρήτη ) Corfu Summer Institute on Elementary Particle Physics, Κέρκυρα ) Meeting of Greek HEP society, Θεσσαλονίκη ) Corfu Summer Institute on Elementary Particle Physics, Workshop on common trends in particle and condensed matter Physics, Κέρκυρα ) 8 th Hellenic School on Elementary Particle Physics, Κέρκυρα 2005

5 6) Meeting of Greek HEP society, Ολυµπία ιδακτική εµπειρία και προϋπηρεσία: 1) Eργαστήρια του Τοµέα Φυσικής του Ε.Μ.Π: Εαρινό εξάµηνο , 2 ώρες/εβδ., Χηµικοί Μηχ. Χειµερινό εξάµηνο , 2 ώρες/εβδ., Χηµικοί Μηχ. Εαρινό εξάµηνο , 4 ώρες/εβδ., Ηλεκτρολόγοι Μηχ. Χειµερινό εξάµηνο , 4 ώρες/εβδ., Χηµικοί Μηχ. Εαρινό εξάµηνο , 4 ώρες/εβδ., Ηλεκτρολόγοι Μηχ. Χειµερινό εξάµηνο , 4 ώρες/εβδ., Πολιτικοί και Ηλεκτρολόγοι Μηχ. Εαρινό εξάµηνο , 4 ώρες/εβδ., Ηλεκτρολόγοι Μηχ. και Τοπογράφοι Μηχ. 2) Ωροµίσθιος καθηγητής στη ΣΤΥΑ (Σχολή Τεχνικών Υπαξιωµατικών Αεροπορίας) στον τοµέα των ηλεκτρονικών κατά τα ακαδηµαϊκά έτη , , και , Τα µαθήµατα τα οποία έχω διδάξει είναι: Πληροφορική, Μικροεπεξεργαστές, Ηλεκτρονικά Ι, Ηλεκτρονικά ΙI, Ηλεκτρονικά ΙΙΙ, Ψηφιακή Σχεδίαση Ι, Ψηφιακή Σχεδίαση ΙΙ, Κεραίες. 3) Ωροµίσθιος καθηγητής στη ΣΙ (Σχολή Ικάρων) στο µάθηµα Αρχές Ηλεκτρονικών Συστηµάτων (Ψηφιακή Σχεδίαση) κατά τα ακαδηµαϊκά έτη και ) Θέση 407 στη βαθµίδα του λέκτορα, Νέες Τεχνολογίες στην Εκπαίδευση (εκµάθηση γλώσσας HTML για την κατασκευή ιστοσελίδων), Σχολή ΕΜΦΕ του ΕΜΠ, Εαρινά εξάµηνα των ακαδηµαϊκών ετών και ) Θέση 407 στη βαθµίδα του λέκτορα, Εργαστηριακή Φυσική Ι, Σχολή ΕΜΦΕ του ΕΜΠ, Εαρινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους Υποτροφίες 1) Υποτροφία από το Ευγενίδιο ίδρυµα για ένα έτος ( ).

6 2) Υποτροφία από το Ε.Μ.Π. για τρία έτη ( ). Γνωρίζω αγγλικά και έχω πτυχίο First Certificate in English. Έχω εκτελέσει τις στρατιωτικές µου υποχρεώσεις. ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ Η ερευνητική µου δραστηριότητα εντάσσεται στο γενικότερο πλαίσιο του κλάδου της Θεωρητικής Φυσικής Υψηλών Ενεργειών, η οποία έχει ως τελικό στόχο την κατανόηση και ενοποίηση των τεσσάρων βασικών αλληλεπιδράσεων που διέπουν τα φυσικά φαινόµενα, δηλαδή της ηλεκτροµαγνητικής, της ασθενούς πυρηνικής, της ισχυρής πυρηνικής και της βαρυτικής αλληλεπίδρασης, κάτω από το πρίσµα µιας ενιαίας τελικής θεωρίας. Η ηλεκτροµαγνητική και η ασθενής πυρηνική έχουν ενοποιηθεί σύµφωνα µε την Ηλεκτρασθενή Θεωρία, ενώ η ισχυρή πυρηνική δύναµη περιγράφεται από την θεωρία της Κβαντικής Χρωµοδυναµικής. Η δύο αυτές θεωρίες συνήθως διατυπώνονται σε ένα ενιαίο σχήµα, µια κβαντική θεωρία πεδίου µε τοπική συµµετρία βαθµίδας SU(3)XSU L (2)XU Y (1), η οποία ονοµάζεται Καθιερωµένο Πρότυπο, και ως τώρα βρίσκεται σε πλήρη συµφωνία µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα των επιταχυντών στοιχειωδών σωµατιδίων. Ωστόσο, απέχει κατά πολύ από το να µπορεί να χαρακτηριστεί ως µια πλήρης θεωρία που να περιγράφει όλες τις στοιχειώδης αλληλεπιδράσεις, κυρίως λόγω του ότι δεν περιλαµβάνει τις βαρυτικές αλληλεπιδράσεις. Ένας δεύτερος λόγος είναι ότι δεν περιλαµβάνει τις πρόσφατες παρατηρήσεις πάνω στις ταλαντώσεις των νετρίνως.

7 Το αποκορύφωµα της προσπάθειας ενοποίησης είναι η λεγόµενη θεωρία των υπερχορδών (1984 M. Green, J. Schwarz ). Στη θεωρία αυτή τα σηµειακά σωµατίδια αναπαρίστανται πλέον από χορδές. Οι χορδές εκτελούν ταλαντώσεις διαφόρων συχνοτήτων οι οποίες αντιστοιχούν σε όλα τα σωµατίδια-πεδία που είναι οι φορείς των τεσσάρων βασικών αλληλεπιδράσεων, συµπεριλαµβανοµένου και ενός σωµατιδίου µε σπιν 2, του βαρυτονίου, που είναι ο φορέας της βαρυτικής αλληλεπίδρασης. Σύµφωνα µε αυτή την φιλοσοφία αυτή η θεωρία των χορδών επιχειρεί την ενοποίηση των βασικών αλληλεπιδράσεων, αλλά και την ενοποίηση Γενικής Σχετικότητας του Einstein µε την Κβαντική Μηχανική δίνοντας έτσι µια κβαντική θεωρία βαρύτητας. Επίσης, ένα άλλο σηµαντικό στοιχείο της θεωρίας των χορδών είναι ότι φαίνεται να επιλύει το πρόβληµα των απειρισµών που εµφανίζεται στις συνηθισµένες θεωρίες κβαντικής βαρύτητας. Παρόλα τα θετικά της σηµεία, η θεωρία των χορδών όπως διαπιστώθηκε από την επιστηµονική κοινότητα δεν µπορεί να αναπαράγει µε συνεπή τρόπο το Καθιερωµένο Πρότυπο. Πιο συγκεκριµένα αντιστοιχεί σε ένα τεράστιο πλήθος αποδεκτών θεωριών, και άρα δεν µπορεί να κάνει καµία απολύτως πρόβλεψη µε την οποία θα µπορούσε να επιβεβαιωθεί ή να διαψευστεί, όπως θα έπρεπε για µια φυσική θεωρία. Ο τεράστιος αριθµός θεωριών εν µέρει οφείλεται στο ότι για να είναι συνεπής η θεωρία των χορδών θα πρέπει αναγκαστικά ο αριθµός των διαστάσεων του χωροχρόνου να είναι 26 (µποζονική χορδή), 10 (φερµιονική χορδή) και 11 (Μtheory). Γύρω στο 1990 η θεωρία τον χορδών, λόγω του κλήµατος πεσιµισµού που είχε δηµιουργηθεί, έτεινε να εγκαταλειφτεί. Ωστόσο το 1995 πυροδοτήθηκε καινούργιο ενδιαφέρον λόγω νέων ιδεών οι οποίες διατυπώθηκαν από φυσικούς, όπως ο Witten, o Polchinsky, o Horava και ο Μaldacena. Οι ιδέες αυτές είναι εκτενείς και δεν είναι δυνατό να αναπτυχθούν στον περιορισµένο χώρο που διαθέτουµε εδώ. Το βασικό σηµείο είναι ότι η θεωρία τον χορδών έχει έως και σήµερα διασωθεί, ωστόσο υπάρχει ένα κλήµα έντονου σκεπτικισµού και αναθεώρησης πολλών αρχικών ιδεών. Παράδειγµα αποτελεί η «ανθρωπική αρχή» την οποία αναγκάστηκε να ασπαστεί ένα µεγάλο µέρος των θεωρητικών που ασχολούνται µε την θεωρία χορδών. Η αρχή αυτή φιλοδοξεί να δώσει µια λύση στον τεράστιο αριθµό των κενών τα οποία επιδέχεται η θεωρία

8 χορδών, εκ των οποίων το καθένα αντιστοιχεί σε µια διαφορετική θεωρία για τον κόσµο που ζούµε. Στο πλαίσιο της παραπάνω γενικής εισαγωγής, για το αντικείµενο και τα κίνητρα ανάπτυξης της θεωρητικής φυσικής υψηλών ενεργειών, το επιστηµονικό µου έργο κατατάσσεται ως εξής: 1) Κβαντική ηλεκτροδυναµική: Υπολογισµός φερµιονικής ορίζουσας παρουσία εξωτερικών µαγνητικών πεδίων. 2) Συµπεριφορά ιαγράµµατος Φάσης διαστατικά ελαττωµένων Θεωριών Βαθµίδας 3) Μοντέλα µεµβρανών σε χώρους µε επιπλέον διαστάσεις: α) Μελέτη µοντέλων µεµβρανών µε ένα µη ελάχιστα συζευγµένο βαθµωτό πεδίο. β) Μη συµµετρικά καµπυλωµένα µοντέλα µεµβρανών. 4) Ταλαντώσεις νετρίνως παρουσία κβαντικών διακυµάνσεων βαρύτητας. 1) Κβαντική ηλεκτροδυναµική: Υπολογισµός φερµιονικής ορίζουσας παρουσία εξωτερικών µαγνητικών πεδίων. Κατά την διάρκεια του διδακτορικού µου ασχολήθηκα κυρίως µε κβαντική θεωρία πεδίου (κβαντική ηλεκτροδυναµική) και πιο συγκεκριµένα µε τον υπολογισµό της αποκαλούµενης φερµιονικής ορίζουσας παρουσία ενός εξωτερικού µαγνητικού πεδίου. Η φερµιονική ορίζουσα είναι µια σηµαντική ποσότητα που εµφανίζεται στην κβαντική ηλεκτροδυναµική όταν ολοκληρώσουµε τους φερµιονικούς βαθµούς ελευθερίας στο δροµικό ολοκλήρωµα το οποίο ορίζει την θεωρία. Ο αριθµητικός υπολογισµός της φερµιονικής ορίζουσας έγινε παρουσία ενός ανοµοιογενούς στατικού µαγνητικού πεδίου µε την µορφή ενός σωληνοειδούς µαγνητικής ροής. Για τον εν λόγω αριθµητικό υπολογισµό αναπτύχθηκε µια καινούργια αριθµητική µέθοδος η οποία είναι γνωστή ως «µέθοδος των µετατοπίσεων φάσης». Τα αποτελέσµατα δηµοσιεύτηκαν στο περιοδικό Physιcal Review D (βλέπετε αναφορά [1], στο βιογραφικό µου στην παράγραφο δηµοσιεύσεις). Επίσης µελετήθηκε το όριο του

9 ισχυρού µαγνητικού πεδίου στην αναφορά [2] (Physical Review D), ενώ στην αναφορά [3] γίνεται σύγκριση των αριθµητικών αποτελεσµάτων της µεθόδου µε άλλες προσεγγιστικές µεθόδους όπως η θεωρία διαταραχών και το ανάπτυγµα σε παράγωγους. Επίσης η αναλυτική µελέτη και υπολογισµός της φερµιονικής ορίζουσας στην περίπτωση συνεπτυγµένων επιπλέων διαστάσεων, παρουσία ενός οµογενούς µαγνητικού πεδίου, έγινε αργότερα στην αναφορά [5] (Physical Review D). 2) Συµπεριφορά ιαγράµµατος Φάσης διαστατικά ελαττωµένων Θεωριών Βαθµίδας Κατά την διάρκεια της µεταδιδακτορικής µου έρευνας στο πλαίσιο του προγράµµατος Πυθαγόρας, µελετήθηκαν πενταδιάστατα µοντέλα θεωρίας βαθµίδας, σε πεπερασµένη θερµοκρασία, στα οποία η πέµπτη διάσταση θεωρείται συµπαγοποιηµένη σε ένα κύλινδρο ακτίνας R. Τα µοντέλα αυτά επιδέχονται δυο διακριτές συµµετρίες γνωστές ως Ζ T (Ν) και Ζ M (Ν) οι οποιες αµφότερες καθορίζονται από µια παράµετρο τάξης (order parameter) η οποία καλείται «Polyakov-Loop». Στόχος µας ήταν η διεξοδική µελέτη του διαγράµµατος φάσης που αφορά τις δύο αυτές συµµετρίες. Ανάλογα µε τις τιµές των παραµέτρων Τ (Θερµοκρασία) και Μ (Μ=1/R) το επίπεδο Μ-Τ χωρίζεται σε τέσσερεις περιοχές οι οποίες αντιστοιχούν στις τέσσερεις φάσεις της θεωρίας βαθµίδας. Πιό συγκεκριµένα, ανάλογα µε τις τιµές των παραµέτρων Τ και Μ λαµβάνουµε τις εξής τέσσερεις περιπτώσεις: Ι) Τ<Λ4d και M<Λ4d: η συµµετρία Ζ Τ (Ν) Ζ Μ (Ν) δεν παραβιάζεται, όπου Λ4d είναι η κλίµακα µάζας της τετραδιάστατης θεωρίας (5d Su(N)). II) M>Λ4d και T<Tc(M): η συµµετρία Ζ Μ (Ν) παραβιάζεται («4d SU(N)+adjoint matter»). Όπου Tc(M) µια κρίσιµη θερµοκρασία η οποία φαίνεται να εξαρτάται από την κλίµακα µάζας Μ. ΙΙΙ) Μ< Mc(Τ) και Τ> Λ4d: η συµµετρία Ζ Τ (Ν) παραβιάζεται (4d SU(N)+adjoint matter). Όπου Mc(T) µια κρίσιµη κλίµακα µάζας η οποία φαίνεται να εξαρτάται από την θερµοκρασία Τ. ΙV) Μ> Μc(Τ) και T>Tc(M): η συµµετρία Ζ Τ (Ν) Ζ Μ (Ν) παραβιάζεται. Τότε λάµβάνει χώρα διαστατική µείωση από τις πέντε διαστάσεις στις τρεις και η διαστατικά µειωµένη θεωρία χαρακτηρίζεται ως «3d SU(N)+adjoint matter». Στην περίπτωση αυτή έχουµε δύο βαθµωτά πεδία τα οποία αντιστοιχούν στις συνιστώσες Α 4 και Α 5 του πεδίου «Yang-Mills».

10 Προκειµένου να γίνει η µελέτη του διαγράµµατος φάσης υπολογίστηκε το δυναµικό ενός βρόχου δια τα πεδία Α 4 και Α 5. Ωστόσο, η αδυναµία να παραχθεί το διάγραµµα φάσης µε διαταραχτικά επιχειρήµατα (δηλαδή µόνο από το δυναµικό ενός βρόχου), οδήγησε σε αριθµητικούς υπολογισµούς (στο πλέγµα) για ένα απλό φαινοµενολογικό µοντέλο που περιλάµβανε κινητικούς όρους για τα πεδία Α 4 και Α 5 καθώς και το δυναµικό αλληλεπίδρασης τους. Τα αποτελέσµατα που προέκυψαν επιβεβαίωσαν πλήρως και τις τέσσερεις φάσεις του διαγράµµατος, και κυρίως την αποκατάσταση της συµµετρίας Ζ(Ν) Μ για µεγάλες θερµοκρασίες. Αν όντως συνέβει µια τέτοια µετάβαση φάσης στο πρώιµο σύµπαν, η άµµεση συνέπεια θα ήταν να δηµιουργηθούν «Domain Wall», δηλαδή το σύµπαν θα έπρεπε να παρουσιάζει ανισοτροπίες. Η µη παρατηρησηµότητα ανισότροπου σύµπαντος, µέσω της κοσµικής ακτινοβολίας υπόβαθρου (CBR), θα µπορούσε να είναι περιοριστική ως προς την αποδοχή κάποιων θεωριών στοιχειωδών σωµατιδίων πέρα των καθιερωµένων. Η παραπάνω µελέτη έχει δηµοσιευτεί στο περιοδικό Nuclear Physics Β [3]. 3) Μοντέλα µεµβρανών σε χώρους µε επιπλέον διαστάσεις: α) Μελέτη µοντέλων µεµβρανών µε ένα µη ελάχιστα συζευγµένο βαθµωτό πεδίο. β) Μη συµµετρικά καµπυλωµένα µοντέλα µεµβρανών. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΕΜΒΡΑΝΩΝ Πρώτα παρουσιάζουµε µια σύντοµη εισαγωγή στα µοντέλα µεµβράνων προκειµένου να γίνει κατανοητό το αντικείµενο των δηµοσιεύσεων [6,7,8,9,10,12]. Το ενδεχόµενο ο βασικός χώρος που ζούµε να συνίσταται από περισσότερες των τριών χωρικών διαστάσεων, τις οποίες δεν είµαστε ακόµη σε θέση να παρατηρήσουµε, δεν µπορεί να αποκλειστεί. Το κεντρικό επιχείρηµα των φυσικών υπέρ των πολλών διαστάσεων, είναι ότι οι θεωρίες οι οποίες σήµερα θεωρούνται θεµελιώδεις (π.χ. η θεωρία των χορδών) για να είναι συνεπείς, αναγκαστικά διατυπώνονται σε πολυδιάστατους χώρους. Εποµένως, ένας τρόπος να επεκτείνουµε τη συµβατική τετραδιάστατη φυσική, αναζητώντας νέα φαινόµενα τα οποία υπό κατάλληλες συνθήκες (υψηλές ενέργειες) θα µπορούσαµε

11 να παρατηρήσουµε, είναι η θεώρηση µοντέλων κβαντικών θεωριών πεδίου µε µια ή και περισσότερες επιπλέον διαστάσεις. Τα φαινοµενολογικά µοντέλα µε επιπλέον διαστάσεις µπορούν να χωριστούν σε δυο βασικές κατηγορίες: (1) σε αυτά τα οποία ακολουθούν το κλασσικό σενάριο των Kaluza-Klein και είναι γνωστά ως UXD Models (Models with Universal Extra Dimensions) και (2) σε αυτά τα οποία ακολουθούν το Βrane World σενάριο, ή σενάριο των µοντέλων µεµβρανών. Το Βrane World σενάριο, είναι το πιο µοντέρνο σενάριο το οποίο όπως λέγεται είναι εµπνευσµένο από την θεωρία των χορδών. Το σενάριο αυτό έχει προσελκύσει το έντονο ενδιαφέρον πολλών ερευνητών την τελευταία δεκαετία. Σύµφωνα µε αυτό, ο κόσµος που ζούµε είναι µια τρισδιάστατη µεµβράνη (Βrane World) η οποία είναι εµβαπτισµένη σε ένα πολυδιάστατο χώρο (bulk). Η συνηθισµένη ύλη, που περιλαµβάνει όλα τα σωµατίδια του καθιερωµένου προτύπου, είναι παγιδευµένη πάνω στην µεµβράνη, ενώ οι φορείς αλληλεπίδρασης της βαρύτητας, δηλαδή τα βαρυτόνια, µπορούν και διαδίδονται στις επιπλέον διαστάσεις, δηλαδή µόνο τα βαρυτόνια επιδέχονται διεγέρσεις ΚΚ. Η επιτυχία του εν λόγω σεναρίου συνίσταται στο ότι επιλύει το πρόβληµα της ιεραρχίας και προβλέπει νέα φαινόµενα, ακόµη και στην ενεργειακή κλίµακα του TeV, στην οποία αναµένεται να λειτουργήσει ο επιταχυντής LHC στο CERN. Ακόµη θέτει σε νέα βάση θεµελιώδη προβλήµατα, όπως είναι το πρόβληµα της κοσµολογικής σταθεράς. Θα προσπαθήσουµε να αναπτύξουµε σύντοµα τα σηµαντικότερα µοντέλα, χώρων µε µορφή µεµβράνης εµβαπτισµένων σε πολυδιάστατες πολλαπλότητες, που περιλαµβάνουν θεωρία βαρύτητας. Το βασικό χαρακτηριστικό τους είναι ότι σε κάποια από αυτά οι επιπλέον διαστάσεις µπορούν να είναι µεγάλες, δηλαδή της τάξεως του 0.1 mm (ADD Model µε δυο επιπλέον διαστάσεις), η ακόµη και άπειρες, δηλαδή µη συµπαγείς (RS2-Model). Το πλέον αντιπροσωπευτικό µοντέλο εµβαπτισµένων χώρων είναι γνωστό ως µοντέλο ADD (Arkani-Hammed, Dimopoulos and Dvali) [1]. Στο εν λόγω µοντέλο οι επιπλέον διαστάσεις είναι συµπαγής σε ένα πολυδιάστατο τόρο ακτίνας R. Ωστόσο, η

12 ακτίνα R, σε αντίθεση µε το κλασσικό σενάριο των Kaluza-Klein, µπορεί να είναι µεγάλη εώς και 160µm (εφόσον δεν είναι ορατή από τα σωµατίδια του καθιερωµένου προτύπου). Τα 160µm είναι η µικρότερη απόσταση µέχρι την οποία έχει ελεγχθεί ο νόµος του Newton για την βαρύτητα. Στην περίπτωση δυο ή περισσότερων επιπλέον διαστάσεων το µοντέλο αυτό µπορεί να δώσει φαινόµενα ισχυρής βαρύτητας ακόµη και στην ενεργειακή κλίµακα του TeV. Η περίπτωση της µίας επιπλέον διάστασης έχει αποκλειστεί. Εκτός από τα µοντέλα στα οποία η πολυδιάστατη πολλαπλότητα είναι επίπεδη, όπως το µοντέλο ADD, υπάρχουν και µοντέλα στα οποία η καµπυλότητα του πολυδιάστατου χώρου είναι µη µηδενική. Το τυπικό παράδειγµα µοντέλου χώρου µορφής µεµβράνης µη µηδενικής καµπυλότητας µε µια άπειρη επιπλέον διάσταση z (warped extra dimension), είναι το δεύτερο µοντέλο Randall-Sundrum (RS2-model). Στο µοντέλο αυτό έχουµε µια µεµβράνη θετικής πυκνότητας ενέργειας σ (τάση), ενώ o πενταδιάστατος χώρος έχει µια αρνητική κοσµολογική σταθερά Λ. Οι εξισώσεις Einstein επιδέχονται λύση µόνο όταν µεταξύ των παραµέτρων σ και Λ ισχύει η συνθήκη (fine tuning) Λ=-8πG5σ2/6, όπου G5 είναι η πενταδιάστατη σταθερά του Newton. Η λύση των εξισώσεων Einstein σε αυτή την περίπτωση συνεπάγεται µια γεωµετρία AdS5 (σταθερή αρνητική καµπυλότητα) γύρω από την µεµβράνη, ενώ ο χώρος πάνω στην µεµβράνη είναι Minkowski µε µηδενική τετραδιάστατη κοσµολογική σταθερά. Το µοντέλο αυτό αν και πολύ ενδιαφέρον δεν δίνει καινούργια φαινοµενολογία στην κλίµακα του TeV. Ωστόσο προβλέπει αποκλίσεις από τον νόµο του Νεύτωνα σε µικρές αποστάσεις, η οποίες θα µπορούσαν να µετρηθούν στο εργαστήριο όταν η ακτίνα καµπυλότητας του χώρου AdS5 είναι πολύ µικρή της τάξεως του δέκατου του χιλιοστού. Παραλαγή του προηγούµενου µοντέλου, η οποία δίνει φαινόµενα ισχυρής βαρύτητας στην κλίµακα του TeV, είναι γνωστή ως πρώτο µοντέλο των Randall-Sundrum (RS1-model),και προκύπτει αν συµπεριλάβουµε µια δεύτερη µεµβράνη αρνητικής πυκνότητας ενέργειας -σ. Στο µοντέλο αυτό η επιπλέον διάσταση θεωρείται συµπαγοποιηµένη σε ένα orbifold S1/Z2 ακτίνας rc, ενώ οι δυο µεµβράνες µε τάσεις σ και -σ είναι τοποθετηµένες στα σταθερά σηµεία του orbifold z=0 και z=π rc αντιστοίχως. Η συνηθισµένη ύλη δεχόµαστε ότι είναι εντοπισµένη πάνω στην µεµβράνη αρνητικής τάσης, η οποία

13 καλείται «ορατή µεµβράνη», ενώ η µεµβράνη θετικής τάσης καλείται «κρυµµένη µεµβράνη». Εκτός από τα τρία βασικά µοντέλα που περιγράψαµε παραπάνω, στην βιβλιογραφία υπάρχει ένα µεγάλο πλήθος παραλλαγών µοντέλων µεµβρανών. Οι πολυδιάστατες πολλαπλότητες εκτός από πενταδιάστατες, µπορούν να θεωρηθούν και ως εξαδιάστατες, ή ακόµη και µε παραπάνω διαστάσεις. Επίσης έχουν κατασκευαστεί µοντέλα στα οποία η µεµβράνη προκύπτει µε ένα δυναµικό τρόπο, δηλαδή σχηµατίζεται από τοπολογικά σολιτόνια στον επιπλέον χώρο. Στην περίπτωση των πέντε διαστάσεων το τοπολογικό σολιτόνιο µπορεί να είναι ένα kink, στις έξη διαστάσεις ένα vortex, και στις εφτά διαστάσεις ένα µονόπολο. Επίσης έχουν µελετηθεί: µοντέλα µε πολλές µεµβράνες, µοντέλα µε βαθµωτά πεδία, τα οποία φιλοδοξουν να λύσουν το πρόβληµα της κοσµολογικής σταθεράς, ή ακόµη και µοντέλα στα οποία οι λύσεις έχουν µετρική όχι της καθιερωµένης µορφής (δηλαδή µε µέγιστη δυνατή συµµετρία). Επιπλέον έχουν µελετηθεί µοντέλα στα οποία έχει συµπεριληφθεί ένας όρος Gauss-Bonnet στη δράση της θεωρίας. Ένα βασικό ερώτηµα, στα µοντέλα µεµβρανών, είναι η εύρεση ενός συνεπή µηχανισµού που να οδηγεί στην παγίδευση της συνηθισµένης ύλης πάνω στην µεµβράνη. Προκειµένου να επιτευχθεί η παγίδευση της συνηθισµένης ύλης πάνω στην µεµβράνη έχουν προταθεί διάφοροι µηχανισµοί. Για την παγίδευση των φερµιονίων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τοπολογικά σολιτόνια στο χώρο των επιπλέον διαστάσεων, τότε η κατάσταση µηδενικής ενέργειας (zero mode) στο φάσµα των φερµιονίων µιµείται την τετραδιάστη ύλη. Ωστόσο, αυτός ο µηχανισµός εν γένει αποτυγχάνει στον εντοπισµό πεδίων βαθµίδας. Ένα έξυπνος µηχανισµός, ο οποίος µπορεί να οδηγήσει στον άµεσο εντοπισµό πάνω στην µεµβράνη όλων των σωµατιδίων του καθιερωµένου προτύπου, είναι γνωστός ως µηχανισµός των Dvali-Shifman, ή µηχανισµός της στρωµατικής φάσης. Ο µηχανισµός αυτός βασίζεται στην κατασκευή µια θεωρίας βαθµίδας, η οποία να εµφανίζει φάση απεγκλεισµού πάνω στην τετραδιάστατη µεµβράνη και φάση εγκλεισµού στην πολυδιάστατη πολλαπλότητα. Συνεπώς όλα τα πεδία βαθµίδας, και γενικότερα όλα τα φερµιόνια και µποζόνια µε φορτίο βαθµίδας, είναι αδύνατο να ξεφύγουν από την µεµβράνη, έκτος εάν τους δώσουµε ενέργεια ίση µε το ενεργειακό χάσµα ΛG της θεωρίας βαθµίδας, το οποίο

14 προκύπτει από την µη-διαταρακτική δυναµική της θεωρίας όταν αυτή βρίσκεται στη φάση εγκλεισµού. α) Μελέτη µοντέλων µεµβρανών µε ένα µη ελάχιστα συζευγµένο βαθµωτό πεδίο Στο πλαίσιο µελέτης της στρωµατικής φάσης, έγινε η λεπτοµερής µελέτη µοντέλων εµβαπτισµένου χώρου παρουσία βαθµωτών πεδίων µη ελάχιστα συζευγµένων µε την βαρύτητα. ιαπιστώθηκε ότι για κάποιες τιµές της παραµέτρου ξ (ξ είναι η αδιάστατη σταθερά σύζευξης µεταξύ του βαθµωτού πεδίου και της βαρύτητας) το µοντέλο γίνεται ασταθές ως προς µικρές διαταραχές του βαθµωτού πεδίου. Εποµένως το σύστηµα αναµένεται να ισορροπήσει σε µια νέα ευσταθή λύση µε µη µηδενική τιµή για το βαθµωτό πεδίο. Από τον όρο αλληλεπίδρασης µεταξύ βαθµωτού πεδίου και βαρύτητας, ο οποίος δρα σαν όρος µάζας, διαπιστώθηκε ότι η µορφή του αναµενοµένου προφίλ του βαθµωτού πεδίου, κατά µήκος της επιπλέον διάστασης, αντιστοιχεί σε µη µηδενική τιµή του πεδίου πάνω στην µεµβράνη και µηδενική τιµή του πεδίου στο Bulk. Η µορφή αυτή, τουλάχιστον σε κλασσικό επίπεδο, µπορεί να δώσει την ζητούµενη στρωµατική φάση, και να οδηγήσει στον εντοπισµό της ύλης πάνω στην µεµβράνη. Ωστόσο, ο µόνος τρόπος να βρεθεί αν όντως το βαθµωτό πεδίο έχει την µορφή που αναφέραµε, είναι να λύσουµε τις εξισώσεις Einstein µε τις κατάλληλες συνοριακές συνθήκες στην µεµβράνη. Από την αριθµητική επίλυση των εξισώσεων Einstein διαπιστώθηκε ότι ανάλογα µε τις τιµές της παραµέτρου ξ (non-minimal coupling) λαµβάνουµε τρεις κλάσεις στατικών λύσεων µε διαφορετικά χαρακτηριστικά. Η πρώτη κλάση λύσεων χαρακτηρίζεται από µια γυµνή ανωµαλία στο bulk, η δεύτερη από ένα βαθµωτό πεδίο µη µηδενικό πάνω στην µεµβράνη το οποίο µηδενίζεται γρήγορα στο Bulk (ο πολυδιάστατος χώρος σε αυτή την περίπτωση είναι ασυµπτωτικά AdS5), ενώ η τρίτη κλάση από τον γρήγορο απειρισµό του βαθµωτού πεδίού στο Bulk. Ακόµη βρέθηκε ότι οι λύσεις αυτές συνεχίζουν να υπάρχουν ακόµη και όταν το fine tunning του µοντέλου RS παραβιάζεται. Οι λύσεις χρησιµοποιήθηκαν για την κατασκευή ρεαλιστικών µοντέλων µεµβρανών. Η παραπάνω µελέτη έχει δηµοσιευτεί στα περιοδικά Physics Letters [6] και Physical Review D [7]. Ως γνωστό, η δράση της βαρύτητας µπορεί να τροποποιηθεί εάν συµπεριλάβουµε όρους καµπυλότητας ανώτερης τάξης. Στην

15 περίπτωση που οι διαστάσεις είναι περισσότερες από τέσσερεις, κατάλληλος συνδυασµός των όρων ανώτερης τάξης οδηγεί σε εξισώσεις κίνησης δεύτερης τάξης. Η αναλλοίωτη ποσότητα που προκύπτει χαρακτηρίζεται ως όρος Gauss- Bonnet. Το επιπλέον κίνητρο, να συµπεριλάβουµε όρους της εν λόγω µορφής, είναι ότι προκύπτουν ως διορθώσεις στην θεωρία των χορδών. Στο πλαίσιο αυτό έγινε η µελέτη πενταδιάστατων µοντέλων µε µη-ελάχιστα συζευγµένα βαθµωτά πεδία, τα οποία περιλαµβάνουν στη δράση όρους Gauss-Bonnet. Η µελέτη αυτή ολοκληρώθηκε, χωρίς τελικά να εξαλειφτούν οι γυµνές ανωµαλίες στις οποίες αναφερθήκαµε στην προηγούµενη παράγραφο. Η παραπάνω µελέτη έχει δηµοσιευτεί στο περιοδικό Physical Review D [9]. Στην αναφορά [10] (Physical Review D) γίνεται η µελέτη της βαρύτητας πάνω στην µεµβράνη στην περίπτωση που έχουµε το µη ελάχιστα συζευγµένο µαγνητικό πεδίο. Τα παραπάνω αποτελέσµατα ανακοινώθηκαν στα συνέδρια [2], [3], [4], [5], [6]. β) Μη συµµετρικά καµπυλωµένα µοντέλα µεµβρανών. Το ενδιαφέρον των θεωρητικών φυσικών, έως τώρα, έχει εστιαστεί κυρίως σε µοντέλα στα οποία η συµµετρία Lorentz δεν παραβιάζεται, όπως για παράδειγµα είναι το µοντέλο RS1. Ωστόσο, υπάρχουν µοντέλα µεµβρανών στα οποία ο warp factor a 2 (z) (συντελεστής εξαρτώµενος από την επιπλέον διάσταση z) στο χρονικό κοµµάτι της πενταδιάστατης µετρικής υπόβαθρου είναι διαφορετικός από τον αντίστοιχο warp factor b 2 (z) του χωρικού µέρους, µε αποτέλεσµα την παραβίαση της συµµετρίας Lorentz στο Bulk. Πενταδιάστατες µετρικές µε διαφορετικό χρονικό και χωρικό warp factor, οι οποίες είναι λύσεις των εξισώσεων Einstein, έχουν κατασκευαστεί σε διάφορες δηµοσιεύσεις. Ωστόσο, σε όλες τις περιπτώσεις απαιτείται η ύπαρξη κάποιου τανυστή ενέργειας ορµής ο οποίος να είναι παρόν στο Bulk. Οι εν λόγω λύσεις, λόγω της αναγκαιότητας επιπλέον ύλης η οποία να «ζει» στο Bulk, στερούνται την απλότητα που χαρακτηρίζει το µοντέλο RS. Εδώ τίθεται το σηµαντικό ερώτηµα για το αν θα έπρεπε τα εν λόγω µοντέλα µεµβρανών να απορριφθούν εφόσον παραβιάζουν την συµµετρία Lorentz στο Bulk. Στην κλασσική εκδοχή των µοντέλων µεµβρανών τα σωµατίδια του καθιερωµένου πρότυπου δεν έχουν καµία πρόσβαση στο Bulk,

16 εποµένως τα σωµατίδια αυτά αντιλαµβάνονται µόνο την επαγόµενη µετρική στην µεµβράνη η οποία είναι αναλλοίωτη σε µετασχηµατισµούς Lorentz. Σήµατα παραβίασης της συµµετρίας Lorentz είναι δυνατό να προέλθουν µόνο από βαρυτικά φαινόµενα, δεδοµένου ότι τα µόνα σωµατίδια τα οποία επιτρέπετε να κινούνται στο Bulk είναι τα βαρυτόνια. Παράδειγµα ενός τέτοιου φαινοµένου, σύµφωνα µε το οποίο ενδέχεται τα βαρυτόνια να κινούνται µε ταχύτητα µεγαλύτερη από αυτή των φωτονίων. Επειδή τα βαρυτόνια δεν έχουν ανιχνευθεί ακόµη δεν είναι δυνατό να θέσουµε κάποιους περιορισµούς ή να αποκλείσουµε τα εν λόγω µοντέλα. Ωστόσο έχουν κατασκευαστεί µοντέλα µεµβρανών στα οποία τα σωµατίδια του καθιερωµένου πρότυπου, ή τουλάχιστον κάποια από αυτά, επιτρέπεται να κινούνται στο Bulk. Χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι µια παραλλαγή του πρώτου µοντέλου RS στο οποία τα σωµατίδια του καθιερωµένου πρότυπου (φερµίονια και Gauge πεδία) επιτρέπεται να κινούνται στο Bulk, µε µόνη εξαίρεση το πεδίο Higgs το οποίο θα πρέπει αναγκαστικά να είναι εντοπισµένο στην µεµβράνη µε αρνητική τάση (προκειµένου το πρόβληµα της ιεραρχίας να επιδέχεται λύση). Στην περίπτωση που τα σωµατίδια του καθιερωµένου πρότυπου «βλέπουν» το Bulk θα «αντιλαµβάνονται» την διαφορά που υπάρχει µεταξύ του χρονικού και χωρικού warp factor, το οποίο σηµαίνει ότι η παραβίαση της συµµετρίας Lorentz µπορεί να λάβει χώρα ακόµη και στο πλαίσιο του καθιερωµένου πρότυπου, οπότε θα πρέπει να επιβληθούν ισχυροί περιορισµοί στις ελεύθερες παραµέτρους των µοντέλων ή ακόµη και κάποια µοντέλα να αποκλειστούν. Στο πλαίσιο των µοντέλων µεµβρανών σε µη συµµετρικά καµπυλωµένους χωροχρόνους, µελετήθηκαν πενταδιάστατα πεδία βαθµίδας (U(1) Gauge Fields) τα οποία ζουν στο «Bulk». ιατυπώθηκαν και επιλύθηκαν οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης. Το αποτέλεσµα που προέκυψε είναι ότι η συνηθισµένη σχέση διασποράς για τα φωτόνια στις τέσσερεις διαστάσεις τροποποιείται από µη γραµµικές διορθώσεις, µε τελικό αποτέλεσµα η φασική ταχύτητα του φωτός να εξαρτάται από την ενέργεια των φωτονίων. Ακόµη συγκρίναµε τα αποτελέσµατα µας µε τα πειραµατικά δεδοµένα του τηλεσκόπιου Magic, το οποίο υπαινίσσεται χρονική καθυστέρηση των φωτονίων µε υψηλές ενέργειες, και µε αυτό

17 τον τρόπο βάλαµε περιορισµούς στα µοντέλα που εξετάσαµε. Τα αποτελέσµατα έχουν σταλεί για δηµοσίευση στο περιοδικό JHEP. Στο µέλλον θα µελετηθούν φερµιόνια και διαταραχές της µετρικής (βαρυτόνια) σε µη συµµετρικά µοντέλα µεµβρανών τα οποία αναµένεται να δώσουν παρόµοια αποτελέσµατα. 4) Ταλαντώσεις νετρίνως παρουσία κβαντικών διακυµάνσεων βαρύτητας. Έως τώρα δεν υπάρχει µια αποδεκτή κβαντική θεωρία βαρύτητας. Ωστόσο υπάρχουν θεωρητικά µοντέλα τα οποία επιχειρούν να περιγράψουν την κβαντική βαρύτητα σε ηµικλασσικό επίπεδο. Τα µοντέλα αυτά ενσωµατώνουν το φαινόµενο της «αφρώδους» δοµής του χωροχρόνου (spacetime foam ), σύµφωνα µε το οποίο οι µικροσκοπικές κβαντικές διακυµάνσεις της µετρικής του χώρου, προσδίδουν στο χώρο ιδιότητες αντίστοιχες µε αυτές ενός στοχαστικού µέσου. Η αλληλεπίδραση του στοχαστικού µέσου (περιβάλλοντος) µε την κβαντική ύλη, για παράδειγµα µε σωµατίδια νετρίνος, έχει ως αποτέλεσµα το φαινόµενο που είναι γνωστό ως «Quantum Decoherence». Σύµφωνα µε το εν λόγω φαινόµενο η επίδραση του περιβάλλοντος κάνει το σύστηµα να εξελίσσεται µε µη αντιστρεπτό τρόπο, µε αποτέλεσµα η δυναµική του να µην υπακούει σε µια απλή εξίσωση Schrodinger, αλλά να είναι αρκετά περίπλοκη. Η πιθανότητα τα νετρίνος να έχουν µη µηδενική µάζα έχει ως άµεση συνέπεια το φαινόµενο των ταλαντώσεων, δηλαδή της µη µηδενικής πιθανότητας µετάβασης από νετρίνος µιας γεύσης σε νετρίνος µια άλλης γεύσης. Τα θεωρητικά µοντέλα κβαντικής βαρύτητας, στα οποία αναφερθήκαµε στην προηγούµενη παράγραφο, θα µπορούσαν να ελεγχθούν κάτω από το πρίσµα γνωστών φαινοµένων, όπως είναι αυτό των ταλαντώσεων των νετρίνος. Εάν ληφθεί η υπόψη η κβαντική «αφρώδης» δοµή του χωροχρόνου οι νόµοι που διέπουν τις ταλαντώσεις των νετρίνος τροποποιούνται σηµαντικά µε κυρίαρχο χαρακτηριστικό µια εκθετική απόσβεση µε την απόσταση, η οποία ενδέχεται να παρατηρηθεί πειραµατικά. Στο πλαίσιο τον παραπάνω έχει γίνει έρευνα σε µοντέλα που ενσωµατώνουν το φαινόµενο της «αφρώδους» δοµής του χωροχρόνου µε κύρια κατεύθυνση τις ταλαντώσεις των

18 νετρίνος. Το αποτέλεσµα που προέκυψε είναι ότι ανάλογα µε την συνάρτηση κατανοµής διακυµάνσεων της µετρικής, βρήκαµε εκθετική απόσβεση ταλαντώσεων νετρίνων που εξαρτάται τετραγωνικά από τον χρόνο για Gaussian κατανοµή και γραµµική απόσβεση για κατανοµή Cauchy-Lorentz. Στόχος µας είναι µια πληρέστερη ανάλυση του φαινόµενου λαµβάνοντας υπ όψη και την χρονική εξέλιξη του σύµπαντος. Τα αποτελέσµατα αυτά έχουν δηµοσιευτεί στο περιοδικό Physical Review D [11].