V kk a k V. a k a k a k, (14.1)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "V kk a k V. a k a k a k, (14.1)"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS Σε χαµηλές θερµοκρασίες, τα µεταλλικά συστήµατα εµφανίζουν συχνά το φαινό- µενο της υπεραγωγιµότητας ως συνέπεια της ύπαρξης µιας ελκτικής ενεργού αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου. Στους συνήθεις υπεραγωγούς η εν λόγω αλληλεπίδραση αποτελεί τη συνισταµένη δύο αντιτιθέµενων όρων: α) της θωρακισµένης και εποµένως βραχείας εµβέλειας απωστικής αλληλεπίδρασης Coulomb, και β) µιας έµµεσης ελκτικής αλληλεπίδρασης που προχωρεί µέσω της σύζευξης των ηλεκτρονίων µε τις ταλαντώσεις του ιοντικού πλέγµατος φωνόνια). Όπως συζητήθηκε εκτενώς στο Κεφάλαιο 7, η ενεργός Χαµιλτονιανή BCS που περιγράφει τέτοιου είδους συστήµατα έχει τη µορφή 7.6) H µ ˆN = ε o k µ)a kσ a kσ V kk a k V a k a k a k, 4.) k,σ k,k όπου οι τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής επιπέδων κυµάτων, a kσ και a kσ, υπακούουν τις αντιµεταθετικές σχέσεις 5.2), ενώ η σχέση διασποράς έχει τη γενική ιδιότητα συµµετρίας: ε o k = εo k. Υπενθυµίζουµε ότι το ενεργό δυναµικό, V kk, το οποίο περιγράφει την ελκτική ενεργό αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου, θεωρείται ως µια συνάρτηση πραγµατικών τιµών που ικανοποιεί τις απλές ιδιότητες συµµετρίας 7.62). Σκοπός του παρόντος κεφαλαίου είναι µια σύντοµη παρουσίαση της µικροσκοπικής θεωρίας BCS για την υπεραγώγιµη φάση των µεταλλικών συστηµάτων που περιγράφονται από την 4.), χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των εξισώσεων κίνησης των συναρτήσεων Green, σε συνδυασµό µε την προσέγγιση αποσύζευξης Hartree-Fock- Bogoliubov, που συνοψίζεται στις 3.3) 3.4). Τα αποτελέσµατα που θα προκύψουν αποτελούν γενίκευση, σε πεπερασµένες θερµοκρασίες, των αποτελεσµάτων του Κεφαλαίου 7, τα οποία αφορούσαν αποκλειστικά τη µηδενική θερµοκρασία.

2 452 Κεφ. 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS Υπενθυµίζεται ότι αφετηρία της θεωρίας BCS υπήρξε η πρόταση του Cooper σύµφωνα µε την οποία: η θεµελιώδης κατάσταση ενός κανονικού µεταλλικού συστήµατος, δηλ. η θάλασσα Fermi, γίνεται ασταθής, παρουσία της ελκτικής αλληλεπίδρασης V kk µεταξύ των ηλεκτρονίων. Είναι λοιπόν χρήσιµο, ως προοίµιο της µελέτης της υπεραγώγιµης φάσης, να παρουσιάσουµε στην πρώτη παράγραφο αυτού του κεφαλαίου µια σύντοµη µελέτη της αστάθειας Cooper της κανονικής φάσης του συστήµατος, δηλ. της φάσης υψηλών θερµοκρασιών, χρησιµοποιώντας την προσέγγιση T -πίνακα. εδοµένης της πρακτικά µηδενικής εµβέλειας της αλληλεπίδρασης V kk στον πραγµατικό χώρο, η χρήση της προσέγγισης T -πίνακα σε αυτό το πλαίσιο είναι, κατ αρχήν, επιτρεπτή. Παρ όλα αυτά, ο ελκτικός χαρακτήρας της αλληλεπίδρασης αποδεικνύεται καταλυτικός σε χαµηλές θερµοκρασίες, οδηγώντας στην κατάρρευση της προσέγγισης T -πίνακα σε µια ορισµένη κρίσιµη τιµή της θερ- µοκρασίας. Το γεγονός αυτό σηµατοδοτεί την αστάθεια της κανονικής φάσης του συστήµατος και την είσοδό του στην υπεραγώγιµη φάση. 4. Η αστάθεια Cooper Συµβολίζοντας συλλογικά τους κβαντικούς αριθµούς ορµής και σπιν µε α = k α, σ α ), β = k β, σ β ),..., η ενεργός Χαµιλτονιανή BCS 4.) έχει τη γενική µορφή 2.53). Τα στοιχεία πίνακα της ενεργού αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίουηλεκτρονίου, v αβ,γδ, δίνονται από τον τύπο v αβ,γδ = [ ] V V kαkγ δ σα,σγ δ kα+k β, δ kγ+k δ, δ σα+σ β, δ σγ +σ δ,, 4.4) ικανοποιώντας τόσο τις γενικές ιδιότητες συµµετρίας 3.28) 3.29) όσο και τις σχέσεις 3.26) 3.264), οι οποίες είναι χαρακτηριστικές των οµογενών συστηµά- Το ενεργό δυναµικό 7.86), V kk, που προτάθηκε από τους BCS, αντιστοιχεί στον πραγµατικό χώρο σε ένα ελκτικό δυναµικό αλληλεπίδρασης δύο-σωµάτων της µορφής vx, x ) = gδx x ), µε g >. 4.2) Η παρουσία της δ-συνάρτησης στην 4.2) είναι χαρακτηριστική της µηδενικής εµβέλειας της αλληλεπίδρασης, αν και είναι σηµαντικό να υπενθυµίσουµε ότι αυτή αφορά αποκλειστικά τα ηλεκτρόνια που βρίσκονται µέσα σε έναν ενεργειακό φλοιό πάχους ω D πάνω και κάτω από την επιφάνεια Fermi. Για την αντίστοιχη µορφή της ενεργού Χαµιλτονιανής BCS 4.) στον χώρο των θέσεων, έχουµε ότι H µ ˆN ) = d 3 x ψ σx) 2 2m µ ψ σx) g d 3 x ψ x)ψ x)ψ x)ψ x), 4.3) σ όπου οι τελεστές πεδίου ψ σx), ψ σx) υπακούουν τις αντιµεταθετικές σχέσεις 3.4), µε ζ =.

3 4. Η αστάθεια Cooper 453 των. Επιπλέον, από το δεξιό µέλος της 4.4) γίνεται φανερό ότι η εν λόγω αλληλεπίδραση διατηρεί το σπιν µε άλλα λόγια, η κατάσταση σπιν ή του κάθε ηλεκτρονίου διατηρείται στη διεργασία σκέδασης. Ας θεωρήσουµε τώρα την περιοχή υψηλών θερµοκρασιών όπου το µεταλλικό σύστηµα βρίσκεται στην κανονική του φάση. Στο πλαίσιο της προσέγγισης T -πίνακα, και υιοθετώντας για τα στοιχεία πίνακα T αβ,γδ z) µια δοµή αντίστοιχη της 4.4) T αβ,γδ z) = [ V T kαkγ z)δ σα,σγ ] δ kα+k β, δ kγ+k δ, δ σα+σ β, δ σγ+σ δ,, 4.5) η εξίσωση Bethe-Salpeter 3.2) ανάγεται στην παρακάτω γραµµική ολοκληρωτική εξίσωση T kk z) = V kk V k V kk 2fε k ) z 2ε k µ) T k k z), 4.6) όπου fε) είναι η συνάρτηση κατανοµής Fermi-Dirac 4.96). 2 Σύµφωνα µε τη φυσική ερµηνεία του T -πίνακα που αναπτύξαµε στην παράγραφο 3.4.3, τα στοιχεία T kk z) περιγράφουν την ενεργό αλληλεπίδραση δύο-ηλεκτρονίων και συγκεκριµένα τη διεργασία όπου: δύο ηλεκτρόνια µε αρχική κατάσταση k, k ) οδηγούνται µέσα από µιαν αλληλουχία πολλαπλών µεταξύ τους σκεδάσεων στην τελική κατάσταση k, k ). Τα υπόλοιπα ηλεκτρόνια του συστήµατος επηρεάζουν την εν λόγω ενεργό αλληλεπίδραση µόνο µέσω της συνάρτησης κατανοµής fε k ), η οποία εµφανίζεται στην 4.6) και η οποία περιορίζει τις διαθέσιµες ενδιάµεσες καταστάσεις σκέδασης k, k ) του αλληλεπιδρώντος ζεύγους ηλεκτρονίων βλ. Σχήµα 4.. Η αντίστοιχη ιδιοενέργεια 3.23) του ηλεκτρονίου, στην προσέγγιση T -πίνακα, είναι διαγώνια στους κβαντικούς αριθµούς ορµής και σπιν, όπως άλλωστε είναι ανα- µενόµενο για το παρόν οµογενές σύστηµα. Μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι Σ kσ z) = V fε k)t kk z + ε k µ). 4.7) 2 Ακολουθώντας µια πάγια τακτική στη θεωρία της υπεραγωγιµότητας, θεωρούµε ότι: η ποσότητα ε k που εµφανίζεται στην 4.6), καθώς και στις υπόλοιπες εξισώσεις αυτής της παραγράφου, ισούται µε την αρχική µονοσωµατιδιακή σχέση διασποράς των ηλεκτρονίων ε o k περιλαµβανοµένων όµως και όλων των τετριµµένων σε αυτήν διορθώσεων τύπου Hartree-Fock. Οι εν λόγω διορθώσεις θεωρούνται ότι είναι ανεξάρτητες του σπιν, άρτιες συναρτήσεις του k, και ίδιες τόσο στην κανονική όσο και στην υπεραγώγιµη φάση του συστήµατος. Σε πρακτικούς υπολογισµούς χρησιµοποιείται η συνήθης παραβολική µορφή: ε k = k 2 /2m).

4 454 Κεφ. 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS k k k k k k k T = + T k k k k k k k = Σχήµα 4.: Γραφική παράσταση του T -πίνακα σκιασµένο τετράγωνο) ως η ενεργός αλληλεπίδραση δύο-ηλεκτρονίων, T kk z), που µας υποβάλλει η εξίσωση Bethe-Salpeter 4.6). Η συχνότητα z χαρακτηρίζει την ολική ενέργεια του ζεύγους k, k ) των εισερχοµένων ηλεκτρονίων. Η έκφραση 4.7) για την ιδιοενέργεια είναι ανεξάρτητη του σπιν σ και, συνεπώς, το ίδιο θα ισχύει για τη σχέση διασποράς των ηλεκτρονίων E k που προκύπτει τώρα από το γενικό αποτέλεσµα 2.) και τη συζήτηση που το ακολουθεί E k = ε k V fε k)re[t r kk2ε k µ))], 4.8) όπου Tkk r ω) = T kk ω + iη) είναι ο retarded T -πίνακας. Το αποτέλεσµα 4.8) αναδεικνύει την ιδιαίτερη σηµασία του retarded T -πίνακα σε µηδενική συχνότητα, δεδοµένου ότι: η τιµή Tkk r ) προσδιορίζει τη διόρθωση στη σχέση διασποράς των ηλεκτρονίων που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια Fermi, δηλ. των ηλεκτρονίων µε κυµατανύσµατα τέτοια ώστε ε k = µ. Η εξίσωση Bethe-Salpeter 4.6) επιλύεται υιοθετώντας για το ενεργό δυναµικό, V kk, τη χωριζόµενη µορφή 7.86) V kk = gθω D ξ k )θω D ξ k ), 4.9) όπου, εξ ορισµού, ξ k = ε k µ. 4.) Πράγµατι, σε αυτήν την περίπτωση ελέγχεται εύκολα από την 4.6) ότι τα στοιχεία πίνακα T kk z) έχουν την αντίστοιχη χωριζόµενη µορφή T kk z) = T z)θω D ξ k )θω D ξ k ), 4.)

5 4. Η αστάθεια Cooper 455 µε τη συνάρτηση T z) να δίνεται από τον τύπο [ T z) = g + g θω D ξ k ) tanhβξ ] k/2). 4.2) V z 2ξ k k Μετατρέποντας το k-άθροισµα σε ολοκλήρωµα µε τη βοήθεια της πυκνότητας καταστάσεων 7.89), Nξ), και χρησιµοποιώντας τη συνήθη προσέγγιση 7.9), η παραπάνω έκφραση για τη συνάρτηση T z) γράφεται τελικά µε τη µορφή [ ωd T z) = g + gn) dξ tanhβξ/2) ]. 4.3) ω D z 2ξ Η τιµή N) ταυτίζεται µε την πυκνότητα καταστάσεων στην επιφάνεια Fermi, που προσδιορίζεται από το χηµικό δυναµικό µ. Λόγω του ελκτικού χαρακτήρα g > ) του δυναµικού αλληλεπίδρασης, η συνάρτηση T z) εµφανίζει µιαν ανεπίτρεπτη συµπεριφορά σε χαµηλές θερµοκρασίες: εµφανίζει µιγαδικούς πόλους, δηλ. πόλους εκτός του πραγµατικού άξονα, για τιµές του z κοντά στο. Προκειµένου να αναδείξουµε αυτήν τη συµπεριφορά, ας υπολογίσουµε τη συνάρτηση T z) για φανταστικές τιµές του z, δηλ. z = iy, όπου y είναι ένας µη µηδενικός πραγµατικός αριθµός. Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση 4.3) ανάγεται στην T z = iy) = g [ ωd gn) dξ Εάν η θερµοκρασία είναι αρκετά υψηλή, έτσι ώστε > gn) ωd dξ tanhβξ/2) ξ ] 4ξ tanhβξ/2) y 2 + 4ξ ), 4.5) τότε η 4.4) δεν έχει πόλους για πραγµατικές τιµές του y, δηλ. για µιγαδικές τιµές του z. Από την άλλη µεριά, εάν η θερµοκρασία είναι αρκετά χαµηλή, έτσι ώστε gn) ωd dξ tanhβξ/2) ξ, 4.6) θα υπάρχουν πόλοι για πραγµατικές τιµές του y. Πράγµατι, για αρκετά χαµηλές θερµοκρασίες η τιµή του ολοκληρώµατος στην 4.4) µπορεί να γίνει οσοδήποτε µεγάλη. Για παράδειγµα, στο όριο µηδενικής θερµοκρασίας β ) έχουµε tanhβ ξ /2) = και εποµένως ωd dξ 4ξ y 2 + 4ξ 2 = 2 ln [ y 2 + 4ω 2 D y 2 ]. 4.7)

6 456 Κεφ. 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS Το ολοκλήρωµα 4.7) µπορεί λοιπόν να γίνει οσοδήποτε µεγάλο επιλέγοντας µιαν αρκετά µικρή τιµή της παραµέτρου y. Συµπερασµατικά, σε υψηλές θερµοκρασίες τα στοιχεία πίνακα T kk z) δεν εµφανίζουν µιγαδικούς πόλους και εποµένως η προσέγγιση T -πίνακα είναι απολύτως συνεπής. Αντιθέτως, σε χαµηλές θερµοκρασίες έχουµε την εµφάνιση µιγαδικών πόλων, γεγονός που παραβιάζει τις αναλυτικές ιδιότητες του T -πίνακα. Η εµφάνιση µιγαδικών πόλων στη συνάρτηση T z) υποδηλώνει ότι η κανονική φάση του συστή- µατος, στο πλαίσιο της οποίας εφαρµόζεται η προσέγγιση T -πίνακα, γίνεται ασταθής λόγω κάποιας δραστικής µεταβολής των ιδιοτήτων του συστήµατος σε χαµηλές θερ- µοκρασίες. Συγκεκριµένα, η εµφάνιση µιγαδικών πόλων οφείλεται στο γεγονός ότι: σε χαµηλές θερµοκρασίες, ζεύγη σωµατιδίων πάνω στην επιφάνεια Fermi, µε µηδενική ολική ορµή και αντιπαράλληλα σπιν, δηµιουργούν δέσµιες καταστάσεις ζεύγη Cooper προκαλώντας τη µετάβαση του συστήµατος στην υπεραγώγιµη φάση. Η κρίσιµη θερµοκρασία, T c, στην οποία εµφανίζεται η εν λόγω µετάβαση ταυτίζεται µε τη θερµοκρασία στην οποία η συνθήκη 4.6) ισχύει µε το σύµβολο της ισότητας. Με άλλα λόγια, έχουµε ότι 3 ωd = gn) dξ tanhβ c ξ/2) 2e γ ) ω D = gn) ln, 4.8) ξ πk B T c όπου β c = k B T c ) και γ.577 είναι η σταθερά του Euler Α.6). Από την 4.8) έπεται ισοδύναµα ότι k B T c = 2eγ π ω D e /gn).3 ω D e /gn). 4.9) Η έκφραση 4.9) για την κρίσιµη θερµοκρασία µάς βεβαιώνει ότι στο όριο ασθενούς σύζευξης, gn), έχουµε: k B T c ω D. Ένας άλλος τρόπος να συµπεράνουµε την κατάρρευση της προσέγγισης T - πίνακα σε χαµηλές θερµοκρασίες είναι µέσω του υπολογισµού της retarded συνάρτησης, T r ω) = T ω + iη), για την τιµή ω =. Πράγµατι, δεν είναι δύσκολο να δείξουµε ότι [ T r ) = g gn) ln 2e γ )] ω D, µε k B T ω D. 4.2) πk B T Για το υπό µελέτη ελκτικό δυναµικό g > ) το δεξιό µέλος της παραπάνω έκφρασης απειρίζεται λογαριθµικά ακριβώς στην κρίσιµη θερµοκρασία T = T c βλ. 4.8). 3 Ο λεπτοµερής υπολογισµός του ξ-ολοκληρώµατος 4.8) στη συνήθη περιοχή θερµοκρασιών, k BT ω D, παρουσιάζεται αργότερα βλ. 4.49) 4.5).

7 4.2 Οι εξισώσεις κίνησης 457 Ο εν λόγω απειρισµός συνεπάγεται τον αντίστοιχο απειρισµό της σχέσης διασποράς 4.8), E kσ, των ηλεκτρονίων που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια Fermi, δηλ. των ηλεκτρονίων µε κυµατανύσµατα τέτοια ώστε ε k = µ. Ο απαράδεκτος από φυσική άποψη αυτός απειρισµός σηµατοδοτεί την κατάρρευση της προσέγγισης T -πίνακα σε χαµηλές θερµοκρασίες και κατ επέκταση την αστάθεια της κανονικής φάσης του συστήµατος ως προοίµιο της εισόδου του στην υπεραγώγιµη φάση. Όπως θα δείξου- µε στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου, η έκφραση 4.9) ταυτίζεται πράγµατι µε το περίφηµο αποτέλεσµα της θεωρίας BCS για την κρίσιµη θερµοκρασία µετάβασης T c ενός υπεραγωγού βλ. 4.53). 4.2 Οι εξισώσεις κίνησης Στο υπόλοιπο αυτού του κεφαλαίου θα θεωρήσουµε την περιοχή χαµηλών θερµοκρασιών όπου το µεταλλικό σύστηµα βρίσκεται πλέον στην υπεραγώγιµη φάση του. Επιστρέφοντας στη Χαµιλτονιανή BCS 4.) και χρησιµοποιώντας το κεντρικό αποτέλεσµα 2.2), έχουµε για την εξίσωση κίνησης της συνάρτησης Green ενόςσωµατιδίου ότι z a k ; a k z = {a k, a k } + [a k, H µ ˆN]; a k z. 4.2) Χρησιµοποιώντας τις αντιµεταθετικές σχέσεις 5.2) και την ταυτότητα 3.74) για τον υπολογισµό των µεταθετών, η εξίσωση κίνησης 4.2) παίρνει την ισοδύναµη µορφή άσκηση) [z ε o k µ)] a k ; a k z = V k V kk a k a k a k ; a k z. 4.22) Για την καινούργια συνάρτηση Green δύο-σωµατιδίων που εµφανίζεται στο δεξιό µέλος της 4.22) πραγµατοποιούµε τώρα την προσέγγιση αποσύζευξης Hartree- Fock-Bogoliubov 3.3), µε ζ =. Συγκεκριµένα, έχουµε την προσέγγιση a k a k a k ; a k z a k a k a k ; a k z a k a k a k ; a k z + a k a k a k ; a k z. 4.23) Ως συνήθως, η προσέγγιση αποσύζευξης συµπληρώνεται και απλουστεύεται υποθέτοντας αυτοσυνεπώς την ιδιότητα 3.3), δηλαδή a kσ a k σ = δ σσ δ kk a kσ a kσ. 4.24)

8 458 Κεφ. 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS Η 4.24) αποτελεί µια λογική παραδοχή, όσον αφορά τουλάχιστον την περιγραφή της οµογενούς υπεραγώγιµης και κανονικής φάσης του συστήµατος. Με τη βοήθεια των 4.23) 4.24) η εξίσωση κίνησης 4.22) παίρνει την τελική µορφή z ξ k ) a k ; a k z + k a k ; a k z =, 4.25) όπου k είναι η λεγόµενη συνάρτηση χάσµατος BCS, η οποία ορίζεται από τη σχέση k = V kk a k V a k, 4.26) k σε αναλογία µε την 7.2). Στην 4.25) σηµειώνουµε µε ξ k την ποσότητα 4.), ξ k = ε k µ, όπου, εξ ορισµού: ε k = ε o k V V kk a k a k. Στο θερµοδυναµικό όριο V ) που µας ενδιαφέρει έχουµε, προφανώς, ότι: ε k = ε o k. Εποµένως, η ποσότητα ε k είναι, πράγµατι, ανεξάρτητη του σπιν σ και έχει την ιδιότητα συµµετρίας: ε k = ε k. Γενικότερα, η ποσότητα ε k θεωρείται ότι ενσωµατώνει όλες τις τετριµµένες διορθώσεις τύπου Hartree-Fock στη µονοσωµατιδιακή σχέση διασποράς των ηλεκτρονίων. Οι διορθώσεις αυτές θεωρούνται ότι είναι ανεξάρτητες του σπιν, άρτιες συναρτήσεις του k, και ίδιες τόσο στην κανονική όσο και στην υπεραγώγιµη φάση του συστήµατος. Σε πρακτικούς υπολογισµούς χρησιµοποιείται η συνήθης παραβολική µορφή: ε k = k 2 /2m). Προκειµένου να οδηγηθούµε σε ένα κλειστό σύστηµα εξισώσεων κίνησης, πρέπει τώρα να γράψουµε και την εξίσωση κίνησης για την ανώµαλη συνάρτηση Green a k ; a k z που εµφανίζεται στην 4.25). Σύµφωνα µε το κεντρικό αποτέλεσµα 2.2), η εξίσωση κίνησης για την εν λόγω συνάρτηση Green έχει τη µορφή z a k ; a k z = {a k, a k } + [a k, H µ ˆN]; a k z, 4.27) απ όπου έπεται ισοδύναµα ότι άσκηση) [z + ε o k µ)] a k ; a k z = V kk a k V a k a k ; a k z. 4.28) k Για την καινούργια συνάρτηση Green δύο-σωµατιδίων που εµφανίζεται στο δεξιό µέλος της 4.28) πραγµατοποιούµε την προσέγγιση αποσύζευξης Hartree-Fock- Bogoliubov 3.4), µε ζ =. Συγκεκριµένα, έχουµε την προσέγγιση a k a k a k ; a k z a k a k a k ; a k z a k a k a k ; a k z + a k a k a k ; a k z. 4.29)

9 4.2 Οι εξισώσεις κίνησης 459 Με τη βοήθεια της παραπάνω προσέγγισης αποσύζευξης και χρησιµοποιώντας την υπόθεση 4.24), καθώς και την απλή ιδιότητα 4.4), η εξίσωση κίνησης 4.28) παίρνει την τελική µορφή z + ξ k ) a k ; a k z + k a k ; a k z =. 4.3) Οι 4.25) και 4.3) αποτελούν πλέον ένα κλειστό σύστηµα εξισώσεων η λύση του οποίου οδηγεί αµέσως στις παρακάτω απλές εκφράσεις για την κανονική και την ανώµαλη συνάρτηση Green ενός-σωµατιδίου: a k ; a k z = z + ξ k z 2 ξ 2 k + k 2 ) = z + ξ k z 2 E 2 k a k ; a k z = z 2 ξk 2 + k 2 ) = z 2 Ek 2, όπου, σε αναλογία µε την 7.75), η ποσότητα E k ορίζεται από τη σχέση E k = k, k 4.3) ξ 2 k + k ) Τα αποτελέσµατα 4.3) µπορούν να γραφούν και µε την παρακάτω χρήσιµη ισοδύναµη µορφή: a k ; a k z = + ξ ) k + ξ ) k, 2 E k z E k 2 E k z + E k ) 4.33) a k ; a k z = k. 2E k z E k z + E k Οι συναρτήσεις Green ενός-σωµατιδίου 4.33) έχουν πόλους στις ενέργειες ±E k. Εποµένως, η ποσότητα E k που ορίζεται από τον τύπο 4.32) προσδιορίζει τη σχέση διασποράς των οιονεί-σωµατιδίων στον υπεραγωγό. Έτσι λοιπόν, στην περίπτωση όπου k έχουµε, πράγµατι, την εµφάνιση ενός χάσµατος k στο ενεργειακό φάσµα των οιονεί-σωµατιδίων του συστήµατος. Από τον ορισµό 4.26) της συνάρτησης χάσµατος k και µε τη βοήθεια της 4.4) και της ταυτότητας 9.52), µε ζ =, έπεται ότι k = V kk a k V a k k = V kk e iωnη a βv k ; a k iω n. 4.34) k n

10 46 Κεφ. 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS Το ω n -άθροισµα στην 4.34) είναι πάνω στις φερµιονικές ζ = ) θερµικές συχνότητες 9.5), δηλ. πάνω στις συχνότητες ω n = 2n + )π/β, µε n =, ±, ±2,.... Ο τύπος 4.34) είναι εξαιρετικά χρήσιµος διότι επιτρέπει τον αυτοσυνεπή υπολογισµό της συνάρτησης χάσµατος ξεκινώντας από το αντίστοιχο αποτέλεσµα για την ανώµαλη συνάρτηση Green. Πράγµατι, αξιοποιώντας την ταυτότητα.32), µε ζ =, έχουµε διαδοχικά από τις 4.33) 4.34) ότι k = k V ) kk e iωnη V 2E k k β n iω n E k iω n + E k = ) k V kk V 2E k k e βe k + e βe k + = ) k tanh V 2E k 2 βe k, 4.35) k V kk απ όπου, παίρνοντας τον µιγαδικό συζυγή και των δύο µελών, έπεται τελικά ότι k = V k V kk 2E k k ) tanh 2 βe k. 4.36) Η µη γραµµική ολοκληρωτική εξίσωση 4.36), γνωστή και ως η εξίσωση χάσµατος BCS, προσδιορίζει αυτοσυνεπώς τη συνάρτηση χάσµατος k σε πεπερασµένες θερµοκρασίες, γενικεύοντας έτσι το παλαιότερο αντίστοιχο αποτέλεσµα 7.79) που αφορούσε αποκλειστικά τη µηδενική θερµοκρασία. Σε πρακτικούς υπολογισµούς είναι χρήσιµη και η παρακάτω, λιγότερο συµπαγής αλλά ισοδύναµη, µορφή της εξίσωσης χάσµατος BCS, που προκύπτει επίσης άµεσα από τις 4.33) 4.34) k = βv V kk n k k ω 2 n + E 2 k. 4.37) Σηµειώνουµε ότι η παρουσία του ω 2 n στον παρανοµαστή του δεξιού µέλους της 4.37) εξασφαλίζει τη σύγκλιση του ω n -αθροίσµατος, γεγονός που µας επέτρεψε να αγνοήσουµε τον παράγοντα e iωnη, δηλ. να θέσουµε ευθύς εξαρχής η =. Η ισοδυναµία της 4.37) µε την 4.36) γίνεται επίσης φανερή και από την ταυτότητα.48). Για να έχουµε µια πιο πλήρη εικόνα των συναρτήσεων Green ενός-σωµατιδίου, είναι χρήσιµο να επαναλάβουµε την παραπάνω διαδικασία υπολογισµού για τις συναρτήσεις µε δείκτες που προκύπτουν από τους αρχικούς µε την πράξη αντιστροφής χρόνου : k, σ) k, σ). Με άλλα λόγια, είναι χρήσιµο να υπολογίσουµε την

11 4.2 Οι εξισώσεις κίνησης 46 κανονική συνάρτηση Green a k ; a k z και την αντίστοιχη ανώµαλη συνάρτηση Green a k ; a k z. Ο υπολογισµός αυτός δεν παρουσιάζει καµία νέα δυσκολία και οδηγεί στα απλά αποτελέσµατα άσκηση): a k ; a k z = a k ; a k z = 2 + ξ k E k ) + ξ ) k, z E k 2 E k z + E k ) a k ; a k z = a k ; a k z = k. 2E k z E k z + E k 4.38) Ενόψει των εκφράσεων 4.33), τα αποτελέσµατα 4.38) είναι αναµενόµενα διότι, απουσία εξωτερικού µαγνητικού πεδίου, η πράξη αντιστροφής χρόνου k, σ) k, σ) αφήνει αναλλοίωτη τη Χαµιλτονιανή 4.) ενώ παράλληλα οδηγεί, λόγω της αντιµεταθετικότητας a k a k = a k a k, στην αντικατάσταση: k k βλ. ορισµό 4.26). Ας σηµειωθεί ότι το παραπάνω αποτέλεσµα για την ανώµαλη συνάρτηση Green a k ; a k z µπορεί να αποδειχθεί και µε έναν άµεσο τρόπο χρησιµοποιώντας τη ρητή µορφή 4.33) της ανώµαλης συνάρτησης Green a k ; a k z και την ταυτότητα.38), µε ζ =. Με τη βοήθεια της 4.38), ο αριθµός σωµατιδίων για δοσµένο χηµικό δυναµικό υπολογίζεται άσκηση) από την 2.89) ως ˆN = e iωnη a kσ ; a kσ β iω n k,σ n = [ ξ )] k tanh E k k 2 βe k. 4.39) Η 4.39) αποτελεί τη γενίκευση, σε πεπερασµένες θερµοκρασίες, του παλαιότερου αντίστοιχου αποτελέσµατος 7.8), που αφορούσε αποκλειστικά τη µηδενική θερ- µοκρασία. Οι απλές ιδιότητες συµµετρίας 7.62) που ικανοποιεί η ελκτική ενεργός αλληλεπίδραση V kk, σε συνδυασµό µε την 4.36), ή ισοδύναµα την 4.37), οδηγούν στο συµπέρασµα ότι: η συνάρτηση χάσµατος k σε πεπερασµένες θερµοκρασίες µπορεί να θεωρηθεί αυτοσυνεπώς ως µια άρτια συνάρτηση του κυµατανύσµατος k, δηλαδή k = k, 4.4) σε αντιστοιχία µε το αποτέλεσµα 7.7) για µηδενικές θερµοκρασίες. Στο εξής, σε όλο το παρόν κεφάλαιο, θα εννοείται πάντα ότι η συνάρτηση χάσµατος k ικανοποιεί την ιδιότητα συµµετρίας 4.4). Ενόψει της 4.38), µια άµεση απόρροια της

12 462 Κεφ. 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS 4.4) είναι η παρακάτω ισότητα a k ; a k z = a k ; a k z. 4.4) Η αντισυµµετρικότητα της ανώµαλης συνάρτησης Green στην εναλλαγή των δεικτών του σπιν, όπως σηµειώνεται στην 4.4), αντιστοιχεί στο φυσικό γεγονός ότι καθένα από τα δέσµια ζεύγη ηλεκτρονίων της υπεραγώγιµης φάσης, δηλ. καθένα ζεύγος Cooper, βρίσκεται σε µια σπιν-µονοµελή spin-singlet) κατάσταση. Ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού Τα ρητά αποτελέσµατα 4.38) για τις συναρτήσεις Green µπορούν να εξαχθούν εµπεδώνοντας την προσέγγιση Hartree-Fock-Bogoliubov όχι µε τη συνήθη µορφή αποσύζευξης των εξισώσεων κίνησης αλλά, ισοδύναµα, µε τη µορφή προσέγγισης του ίδιου του τελεστή αλληλεπίδρασης των σωµατιδίων που εµφανίζεται στη Χαµιλτονιανή BCS 4.). Συγκεκριµένα, ακολουθώντας την αναλογία µε την προσέγγιση Hartree-Fock-Bogoliubov για τις µέσες τιµές 3.5), και υποθέτοντας αυτοσυνεπώς την ιδιότητα 4.24), προσεγγίζουµε τον τελεστή αλληλεπίδρασης δύο-σωµάτων µε έναν τελεστή ενός-σώµατος a k a k a k a k δ kk a k a k a k a k + δ kk a k a k a k a k + a k a k a k a k + a k a k a k a k. 4.42) Η προσέγγιση 4.42) περιγράφεται συνοπτικά λέγοντας ότι αγνοούµε τις διακυµάνσεις των τελεστών a kσ a kσ, a k a k, a k a k, γύρω από τις αντίστοιχες µέσες τιµές τους a kσ a kσ, a k a k, a k a k. Με τη βοήθεια της προσέγγισης 4.42) η Χαµιλτονιανή BCS 4.) απλουστεύεται στην παρακάτω τετραγωνική µορφή άσκηση) H µ ˆN = ξ k a kσ a kσ k,σ k k a k a k + ka k a k ), 4.43) όπου k είναι η συνάρτηση χάσµατος η οποία ορίζεται από τη σχέση 4.26) και ξ k = ε k µ, όπως σηµειώνεται στην 4.). Η ποσότητα ε k που εµφανίζεται στην 4.) ενσωµατώνει στη µονοσωµατιδιακή σχέση διασποράς των ηλεκτρονίων τις τετριµµένες διορθώσεις τύπου Hartree-Fock που προκύπτουν από τους δύο πρώτους όρους του δεξιού µέλους της 4.42). Υπενθυµίζουµε ότι οι εν λόγω διορθώσεις θεωρούνται ότι είναι ανεξάρτητες του σπιν, άρτιες συναρτήσεις του k εποµένως,

13 4.3 Επίλυση της εξίσωσης χάσµατος 463 ε k = ε k ), και ίδιες τόσο στην κανονική όσο και στην υπεραγώγιµη φάση του συστήµατος. Ξεκινώντας από την απλουστευµένη µορφή της Χαµιλτονιανής BCS 4.43), είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης για τις συναρτήσεις Green ταυτίζονται, χωρίς περαιτέρω προσεγγίσεις, µε τις 4.25) και 4.3). Επο- µένως, οδηγούµαστε στα ίδια ρητά αποτελέσµατα 4.38) για τις συναρτήσεις Green τα οποία επιτρέπουν, µεταξύ άλλων, τον αυτοσυνεπή υπολογισµό των µέσων τιµών που εµφανίζονται στο δεξιό µέλος της 4.42). Ειδικότερα για τη συνάρτηση χάσµατος k προκύπτει, όπως είναι αναµενόµενο, η εξίσωση χάσµατος BCS 4.36) ή η ισοδύναµη µορφή της 4.37). Οι παραπάνω παρατηρήσεις αιτιολογούν τη χρήση της Χαµιλτονιανής 4.43) ως αφετηρίας διαφόρων απλών υπολογισµών στη θεωρία της υπεραγωγιµότητας. 4.3 Επίλυση της εξίσωσης χάσµατος Τα ρητά αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου επιτρέπουν, χωρίς περιορισµό της γενικότητας, να θεωρήσουµε τη συνάρτηση χάσµατος k ως µια συνάρτηση πραγµατικών τιµών, δηλ. k = k. Η δυνατότητα µιας τέτοιας απλούστευσης, την οποία στο εξής υιοθετούµε, οφείλεται στη συµµετρία αντιστροφής χρόνου της Χαµιλτονιανής, απουσία εξωτερικού µαγνητικού πεδίου. Οι δύο ισοδύναµες µορφές της εξίσωσης χάσµατος για πεπερασµένες θερµοκρασίες 4.36) 4.37) επιλύονται υιοθετώντας, όπως και στην περίπτωση µηδενικής θερµοκρασίας, τη χωριζόµενη µορφή 4.9) για την ελκτική ενεργό αλληλεπίδραση V kk. Σε αυτήν την περίπτωση συµπεραίνουµε εύκολα ότι η συνάρτηση χάσµατος k έχει τη γενική µορφή k = T )θω D ξ k ), 4.44) όπου η µη µηδενική παράµετρος χάσµατος BCS, T ), γνωστή και ως ενεργειακό χάσµα BCS, εξαρτάται από τη θερµοκρασία και ικανοποιεί την εξίσωση gn) = 2 β = ωd ωd ω 2 n + ξ2 + 2 T ) dξ n [ dξ ξ ξ T ) tanh 2 β T ) ] 4.45). 4.46) Οι δύο ισοδύναµες µορφές της εξίσωσης χάσµατος 4.45) 4.46) προκύπτουν από τις 4.36) 4.37) υιοθετώντας τη συνήθη προσέγγιση 7.9) και ακολουθώντας

14 464 Κεφ. 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS µια διαδικασία ανάλογη µε αυτήν που οδηγεί στην 7.9), της οποίας και αποτελούν γενίκευση σε πεπερασµένες θερµοκρασίες. Η τιµή N) ταυτίζεται µε την πυκνότητα καταστάσεων στην επιφάνεια Fermi, που προσδιορίζεται από το χηµικό δυναµικό µ, σύµφωνα µε τον γενικό ορισµό 7.89). Σε µηδενική θερµοκρασία, T, η εξίσωση χάσµατος 4.46) ανάγεται στην 7.9) και εποµένως, στο όριο ασθενούς σύζευξης gn) ), προβλέπει την τιµή 7.92) για την παράµετρο χάσµατος, δηλαδή T = ) = 2ω D exp ) gn). 4.47) Μια άλλη εξαιρετικά ενδιαφέρουσα τιµή είναι αυτή της κρίσιµης θερµοκρασίας µετάβασης T c όπου, εξ ορισµού, η παράµετρος χάσµατος µηδενίζεται: T c ) =. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση χάσµατος 4.45) 4.46) ανάγεται στη συνθήκη gn) = 2 β c ωd dξ n ω 2 n + ξ 2 = ωd dξ ξ tanh ξ 2k B T c ), 4.48) όπου β c = /k B T c ) και το ω n -άθροισµα εκτείνεται πάνω στις αντίστοιχες φερµιονικές θερµικές συχνότητες, ω n = 2n + )π/β c. Από την 4.48) γίνεται ήδη φανερό ότι στο όριο ασθενούς σύζευξης gn) ) θα έχουµε: k B T c ω D. Με αφορ- µή την τελευταία παρατήρηση, πρέπει να τονίσουµε γενικότερα ότι, στο πλαίσιο της θεωρίας BCS, µας ενδιαφέρει µόνο η περιοχή θερµοκρασιών T όπου ικανοποιείται η ανισότητα: k B T ω D. Είναι λοιπόν χρήσιµο να υπολογίσουµε το παρακάτω άθροισµα 4 για τυχαία θερµοκρασία T στην εν λόγω περιοχή 2 ωd dξ β n ω 2 n + ξ 2 = = ωd [ dξ ξ ξ tanh 2k B T ln x tanh x ωd ln 2k B T ] x=b ) ) b = b dx ln x x= cosh 2 x dx dx x tanh x ln x cosh 2 x, 4.49) όπου ορίσαµε την αδιάστατη παράµετρο b = ω D /2k B T ) και χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι: b. Για το ορισµένο ολοκλήρωµα έχουµε ότι dx ln x 4e γ ) cosh 2 x = ln, 4.5) π 4 Η πρώτη ισότητα στην 4.49) προκύπτει άµεσα από την ταυτότητα.48).

15 4.3 Επίλυση της εξίσωσης χάσµατος 465 όπου γ.577 είναι η σταθερά του Euler Α.6). Συµπερασµατικά, από τις 4.49) 4.5) έπεται ο παρακάτω χρήσιµος τύπος για την άθροιση πάνω στις φερµιονικές θερµικές συχνότητες 2 ωd dξ β n 2e γ ) ωn 2 + = ln ω D ξ2 πk B T Ενόψει της 4.5), η συνθήκη 4.48) παίρνει τη µορφή 2e γ ) gn) = ln ω D πk B T c, µε k B T ω D. 4.5), 4.52) απ όπου έπεται το περίφηµο αποτέλεσµα της θεωρίας BCS για την κρίσιµη θερµοκρασία µετάβασης T c k B T c = 2eγ π ω D e /gn).3 ω D e /gn). 4.53) Η 4.53) αποδεικνύει ότι το T c είναι ανάλογο της χαρακτηριστικής φωνονικής συχνότητας Debye, ω D M /2, προσφέροντας έτσι µιαν απλή εξήγηση του ισοτοπικού φαινοµένου που συζητήσαµε στην εξίσωση 7.28). 5 Είναι αξιοσηµείωτο ότι η παραπάνω έκφραση για το T c ταυτίζεται µε την πρόβλεψη 4.9) της προσέγγισης T -πίνακα για την κρίσιµη θερµοκρασία όπου η κανονική φάση του συστήµατος γίνεται ασταθής, λόγω της εµφάνισης δέσµιων καταστάσεων ζευγών Cooper. Η σύγκριση των αποτελεσµάτων 4.47) και 4.53) δείχνει ότι, τόσο η παράµετρος χάσµατος σε µηδενική θερµοκρασία,, όσο και η θερµοκρασία µετάβασης, T c, έχουν µια εκθετικά ευαίσθητη εξάρτηση από την αδιάστατη παράµετρο gn). Η εξάρτηση όµως αυτή απαλείφεται σχηµατίζοντας το αδιάστατο πηλίκο 2 k B T c = 2πe γ 3.53, 4.55) 5 Η εξάρτηση ω M /2 είναι χαρακτηριστικό γνώρισµα των φωνονικών συχνοτήτων ω ενός κρυστάλλου µε ιοντική µάζα M, όπως προκύπτει από τον τύπο 2.96). Επιπλέον, στους συνήθεις υπεραγωγούς ασθενούς σύζευξης έχουµε τυπικά ότι: ω D/k B 5 K και gn). Εποµένως, από 3 την 4.53) έπεται ότι T c.3 5 exp 3) = 28. K, ή γενικότερα, T c 3 4 K. 4.54) Η συνθήκη 4.54) ικανοποιείται στα τυπικά µέταλλα, όχι όµως και στους υπεραγωγούς υψηλού T c.

16 466 Κεφ. 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS η τιµή του οποίου είναι µια οικουµενική σταθερά, δηλ. ανεξάρτητη από όλες τις παραµέτρους της θεωρίας, και εποµένως ίδια για όλα τα υλικά. Είναι αξιοσηµείωτο ότι, παρά τις δραστικές προσεγγίσεις της θεωρίας, οι τιµές του αδιάστατου πηλίκου 2 /k B T c ) που προκύπτουν από ανεξάρτητες πειραµατικές µετρήσεις των και T c, στους συνήθεις υπεραγωγούς ασθενούς σύζευξης, βρίσκονται σε καλή συµφωνία µε την πρόβλεψη 4.55). Το γεγονός αυτό δείχνει την ορθότητα της βασικής φυσικής έννοιας της θεωρίας της υπεραγωγιµότητας, δηλ. της έννοιας του ζεύγους Cooper και της συνακόλουθης ύπαρξης µη µηδενικών ανώµαλων µέσων τιµών, a k a k. Με τη βοήθεια των παραπάνω αποτελεσµάτων, είναι δυνατό να απλουστεύσουµε τη γενική µορφή της εξίσωσης χάσµατος 4.45) 4.46) θεωρώντας το όριο ασθενούς σύζευξης, gn), και τη συνήθη περιοχή θερµοκρασιών, k B T ω D, όπου ικανοποιούνται οι συνθήκες k B T c ω D µ και ω D / T ). 4.56) Συγκεκριµένα, πραγµατοποιώντας στην 4.46) την αλλαγή µεταβλητής s = ξ/ T ) και εκφράζοντας την υπερβολική εφαπτοµένη tanh) µε τη βοήθεια της εκθετικής συνάρτησης exp), έχουµε ισοδύναµα ότι gn) = ωd/ T ) ds + s 2 2 ds + s 2 exp[β T ) + s 2 ] ) Σηµειώνουµε ότι στο δεύτερο ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους της 4.57) επεκτείναµε το πάνω όριο της ολοκλήρωσης στο άπειρο δεδοµένου ότι: α) θεωρούµε το όριο ασθενούς σύζευξης και την περιοχή θερµοκρασιών T T c όπου ικανοποιούνται οι συνθήκες 4.56), και β) το προκύπτον s-ολοκλήρωµα συγκλίνει. Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος 4.47) και υπολογίζοντας το πρώτο ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους της 4.57) µε τρόπο ανάλογο της 7.9), έχουµε ισοδύναµα ότι [ ] T ) ln = 2 ds + s 2 exp[β T ) + s 2 ] ) Αντιστοίχως, προσθέτοντας και αφαιρώντας την έκφραση 4.5) στο δεξιό µέλος της 4.45), έχουµε ισοδύναµα ότι 2e γ ) gn) = ln ω D + 2 πk B T β n [ dξ ωn 2 + ξ2 + 2 T ) ωn 2 + ξ2 ]. 4.59)

17 4.3 Επίλυση της εξίσωσης χάσµατος 467 Σηµειώνουµε ότι στο δεξιό µέλος της 4.59) εναλλάξαµε τη σειρά της άθροισης πάνω στις συχνότητες ω n µε την ολοκλήρωση πάνω στη µεταβλητή ξ και επεκτείναµε το πάνω όριο της ολοκλήρωσης στο άπειρο ω D ) δεδοµένου ότι: α) θεωρούµε το όριο ασθενούς σύζευξης και την περιοχή θερµοκρασιών T T c όπου ικανοποιούνται οι συνθήκες 4.56), και β) το προκύπτον ω n -άθροισµα συγκλίνει. Πραγµατοποιώντας τώρα το ολοκλήρωµα πάνω στη µεταβλητή ξ, µε τη βοήθεια του τύπου Α.34), και χρησιµοποιώντας τη συνθήκη 4.52) για τη θερµοκρασία µετάβασης T c, η 4.59) γράφεται ισοδύναµα ως εξής ) T ln = π Tc β [ n ω 2 n + 2 T ) ω n ]. 4.6) Οι ισοδύναµες µορφές της εξίσωσης χάσµατος BCS 4.58) και 4.6) προσφέρονται για άµεσο αριθµητικό υπολογισµό της παραµέτρου T ) και αναδεικνύουν, ενόψει της 4.55), το σηµαντικό γεγονός ότι: στο όριο ασθενούς σύζευξης, το πηλίκο T )/ είναι µια οικουµενική συνάρτηση της παραµέτρου T/T c. Το αποτέλεσµα του αριθµητικού υπολογισµού τής εν λόγω συνάρτησης παρουσιάζεται στο Σχήµα 4.2 και βρίσκεται σε καλή συµφωνία µε αντίστοιχες πειραµατικές µετρήσεις σε υπεραγωγούς ασθενούς σύζευξης. T )/ T/T c Σχήµα 4.2: Εξάρτηση της παραµέτρου χάσµατος BCS, T ), από τη θερµοκρασία T, σύµφωνα µε την 4.6). Η τιµή του αδιάστατου πηλίκου /k B T c ) προσδιορίζεται από την 4.55). Στο υπόλοιπο αυτής της παραγράφου θα εξετάσουµε αναλυτικά την ασυµπτωτική συµπεριφορά της παραµέτρου χάσµατος, T ), στην περιοχή χαµηλών θερµοκρασιών καθώς και στην περιοχή κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία µετάβασης. Για τον προσδιορισµό της συµπεριφοράς της παραµέτρου χάσµατος στο όριο χαµηλών θερµοκρασιών T T c ), όπου β T ), ξεκινάµε από την εξίσωση χάσµατος στη µορφή 4.58). Σε αυτήν την περίπτωση, από τον ορισµό Α.67)

18 468 Κεφ. 4 Η µικροσκοπική θεωρία BCS της τροποποιηµένης συνάρτησης Bessel K x) και το ασυµπτωτικό της ανάπτυγµα Α.68) για µεγάλες τιµές του ορίσµατος, x = β T ), έχουµε διαδοχικά ότι [ ] T ) ln ds 2 exp[ β T + s 2 ) + s 2 ] = 2K [β T )] 2πk B T e /k B T ). 4.6) Αναπτύσσοντας µε τη βοήθεια της Α.5) τον λογάριθµο του αριστερού µέλους της παραπάνω εξίσωσης σε δυνάµεις της µικρής παραµέτρου, [ T )/ ], έχουµε τελικά ότι, σε πρώτη προσέγγιση, η εξάρτηση της παραµέτρου χάσµατος από τη θερµοκρασία δίνεται από τη σχέση T ) = 2π k B T e /k B T ), µε T T c. 4.62) Για τον προσδιορισµό της συµπεριφοράς της παραµέτρου χάσµατος κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία µετάβασης T c είναι πιο εύχρηστο να ξεκινήσουµε από την εξίσωση χάσµατος στη µορφή 4.6). Πράγµατι, κοντά στο T c η τιµή της παραµέτρου χάσµατος είναι µικρή και εποµένως µπορούµε να αναπτύξουµε µε τη βοήθεια της Α.4) την τετραγωνική ρίζα του δεξιού µέλους της εξίσωσης 4.6) σε δυνάµεις του T ) ) T ln Tc = π β [ ] 2 T ) 2 ω n T ) 8 ω n 5 n = 2 T ) πk B T ) 2 n= 2n + ) T ) 4 πk B T ) 4, 4.63) n= 2n + ) 5. Με τη βοήθεια της ταυτότητας Α.54), που ικανοποιεί η ζήτα συνάρτηση του Riemann, ζz), και λαµβάνοντας υπ όψιν την 4.55), συµπεραίνουµε από την 4.63) ότι ) T ln = 7ζ3) T c 8 2 T ) πk B T c ) 2 + O ) T ) ) k B T c Αναπτύσσοντας µε τη βοήθεια της Α.5) τον λογάριθµο του αριστερού µέλους της παραπάνω εξίσωσης σε δυνάµεις της µικρής παραµέτρου T/T c ), έχουµε τελικά

19 4.4 Θερµοδυναµικές ιδιότητες 469 ότι, σε πρώτη προσέγγιση, η εξάρτηση της παραµέτρου χάσµατος από τη θερµοκρασία δίνεται από τη σχέση 8 T ) = πk B T c T 7ζ3) T c 3.6k B T c T T c, µε T c T T c, 4.65) όπου για την ζ3) χρησιµοποιήσαµε την αριθµητική τιµή Α.53). Από την 4.65) συµπεραίνουµε ότι, όταν η θερµοκρασία T τείνει στην κρίσι- µη τιµή T c, η παράµετρος χάσµατος τείνει στο µηδέν µε συνεχή τρόπο, T ) T c T ) β, όπου ο λεγόµενος κρίσιµος εκθέτης critical exponent) β έχει την τιµή: β = /2. Το αποτέλεσµα αυτό βρίσκεται σε πλήρη συµφωνία µε τις προβλέψεις της φαινοµενολογικής θεωρίας µέσου πεδίου του Landau για µεταβολές φάσης δευτέρου είδους, όπου τον ρόλο µιας χωρικά οµογενούς παραµέτρου τάξης τον παίζει η παράµετρος χάσµατος T ). 4.4 Θερµοδυναµικές ιδιότητες 4.4. Μεγάλο δυναµικό και ελεύθερη ενέργεια Στη συγκριτική µελέτη των θερµοδυναµικών ιδιοτήτων της υπεραγώγιµης s) και της κανονικής n) φάσης, σε πεπερασµένες θερµοκρασίες T T c, πρέπει να παρατηρήσουµε, σε αναλογία µε την παράγραφο 7.6.4, ότι: για µια δοσµένη τιµή του χηµικού δυναµικού µ, ο αριθµός σωµατιδίων στις δύο φάσεις παραµένει αµετάβλητος, δηλ. ˆN s = ˆN n. 6 Το γεγονός αυτό συνεπάγεται ισοδύναµα ότι: για έναν δοσµένο αριθ- 6 Πράγµατι, από το γενικό αποτέλεσµα 4.39), τη ρητή µορφή της συνάρτησης χάσµατος 4.44), και την 7.9), έπεται διαδοχικά ότι ˆN s ˆN n [ tanhβ ξk /2) = θω D ξ k )ξ k ξ k k V N) ωd ω D dξ ξ tanhβ ξ /2) ξ tanhβe ] k/2) E k tanh ) β ξ T )/2 =. 4.66) ξ2 + 2 T ) Η τελευταία ισότητα οφείλεται στο γεγονός ότι η ολοκληρωτέα ποσότητα είναι περιττή ως προς τη µεταβλητή ξ.

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3)

4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. (0.1) όπου z = x + iy. Όταν z = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή. e dz = (0.3) 4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση την σχέση e, ή exp( ) όπως εναλλακτικά συμβολίζεται, ορίζεται από x e = e (os y+ isin y) (0.) όπου = x + iy. Όταν = iy τότε ο ανωτέρω

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Εστω μη ϰενά διαστήματα J, I R, με 0 Ī. Ονομάζουμε μεταβλητή το x J ϰαι ασυμπτωτιϰή (ή διαταραϰτιϰή) παράμετρο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1)

( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1) ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι η κατάσταση είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας των µη µετατιθέµενων ερµιτιανών τελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0 5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση

Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. spiroskonstantogiannis@gmail.com Δεκεμβρίου 07 //07 Coprigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Για ένα φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από τις συντεταγµένες όπου συνεχής συµµετρία είναι ένας συνεχής µετασχηµατισµός των συντεταγµένων που αφήνει αναλλοίωτη

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα θέµατα που ακολουθούν καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα διαφόρων περιοχών των Μαθηµατικών. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Υπεραγωγιμότητα. Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία :

Υπεραγωγιμότητα. Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία : Βασικά Φαινόμενα: Ηλεκτροδυναμική: Επιφανειακή Ενέργεια: Κβαντικά Φαινόμενα: Μικροσκοπική Θεωρία : Υπεραγωγιμότητα Μηδενική Αντίσταση Missn, Κρίσιμο Πεδίο, Θερμοδυναμική Κρίσιμο Ρεύμα Εξισώσεις London,

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017 Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT ΕΝΤΡΟΠΙΑ-ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNO Η εντροπία είναι το φυσικό µέγεθος το οποίο εκφράζει ποσοτικά το βαθµό αταξίας µιας κατάστασης ενός θερµοδυναµικού συστήµατος. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα