Θεωρία και πράξη της Αριστοποίησης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία και πράξη της Αριστοποίησης"

Transcript

1 Ενότητα 2 Θεωρία και πράξη της Αριστοποίησης 2.1 Το άριστο ως ενότητα των αντιθέτων Στην προηγούμενη ενότητα αναφερθήκαμε στην παραμετρική αριστοποίηση ως επιλογή (μέσω μαθηματικών τεχνικών ή εμπειρικών κριτηρίων) των άριστων συνθηκών λειτουργίας μιας παραγωγικής εγκατάστασης. Επίσης, αναφερθήκαμε στη δομική αριστοποίηση ως ανάλογη επιλογή της καλύτερης από ένα σύνολο υποψήφιων δομών της εγκατάστασης, όταν αυτές οι δομές θεωρείται ότι λειτουργούν στις αντίστοιχες άριστες συνθήκες. Αν ως παραμετρική αριστοποίηση θεωρήσουμε αυτή που λαμβάνει χώρα όταν οι αδρές γραμμές της δομής της παραγωγικής διαδικασίας είναι καθορισμένες, δηλαδή έχουμε ένα συγκεκριμένο διάγραμμα ροής στα χέρια μας, τότε στην παραμετρική αριστοποίηση πρέπει να περιλάβουμε επίσης τον καθορισμό επιμέρους λεπτομερειών, το σχεδιασμό και την αριστοποίηση επιμέρους διεργασιών, τον καθορισμό του μεγέθους ενός αντιδραστήρα, των βαθμίδων διαχωρισμού σε μια στήλη κλασματικής απόσταξης, τη διάμετρο των σωληνώσεων κλπ. Τι είναι όμως αυτό που κάνει κάποιες τιμές καλύτερες από κάποιες άλλες; Γιατί τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά ώστε όσο περισσότερο αυξήσω τη μεταβλητή χ τόσο καλύτερο θα είναι το αποτέλεσμα ψ ; Αν και δεν αποκλείεται να συναντήσει κανείς και τέτοιες απλές περιπτώσεις, ξέρουμε ότι δεν είναι πάντα εύκολα τα πράγματα. Για να καταλάβουμε τι ακριβώς κρύβεται πίσω από την ύπαρξη των άριστων τιμών που αναζητώνται κατά το σχεδιασμό, ας αναλύσουμε μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα: Κλασματική απόσταξη και λόγος αναρροής Από τις Φυσικές Διεργασίες θυμόμαστε ότι ο λόγος αναρροής σε μια στήλη κλασματικής απόσταξης παίζει σημαντικό ρόλο. Η σχεδίαση μιας αποστακτικής μονάδας ξεκινά με δεδομένη τη σύσταση, θερμοκρασία και παροχή τροφοδοσίας και με ζητούμενες τις προδιαγραφές όσον αφορά το βαθμό διαχωρισμού, δηλαδή τη σύσταση αποστάγματος και υπολείμματος που θέλουμε να επιτύχουμε. Για να ικανοποιηθούν οι ζητούμενες προδιαγραφές του προϊόντος, πρέπει να προσδιορίσουμε το μέγεθος της στήλης (διάμετρο και αριθμό δίσκων) και το λόγο αναρροής. Με την αύξηση του λόγου αναρροής, ο αριθμός βαθμίδων ή δίσκων μειώνεται. Επομένως, υψηλός λόγος αναρροής συνεπάγεται χαμηλότερο κόστος κατασκευής της στήλης (πάγιο). Συγχρόνως, αυξάνεται το κόστος λόγω του θερμικού φορτίου του αναβραστήρα και της παροχής ψυκτικού στο συμπυκνωτήρα (λειτουργικό), αλλιώς θα έχουμε μικρότερο βαθμό διαχωρισμού. Η οικονομική ανάλυση (βλ. και επόμενη ενότητα) θα δείξει ότι το συνολικό κόστος (λειτουργικό + ετήσιες αποσβέσεις για το πάγιο που περιλαμβάνει τη στήλη, τον αναβραστήρα και το συμπυκνωτήρα) ελαχιστοποιείται για συγκεκριμένη τιμή του λόγου αναρροής. Ως εμπειρικός κανόνας ισχύει ότι ο λόγος αναρροής R = 1.2 R min είναι μια καλή επιλογή. Συχνά βρίσκεται ότι η τιμή 1.1 R min είναι ακόμα καλύτερη αλλά από εκεί και κάτω, το μέγεθος της στήλης και το αντίστοιχο κόστος αυξάνονται απότομα (ας θυμηθούμε ότι στον ελάχιστο λόγο αναρροής απαιτούνται άπειροι δίσκοι για την επίτευξη συγκεκριμένου διαχωρισμού!). Αντίθετα, σε μεγαλύτερες τιμές, η αύξηση του κόστους είναι πολύ πιο αργή. Γι' αυτό το λόγο, αλλά και επειδή στην πράξη τα δεδομένα των υπολογισμών μας αναθεωρούνται συχνά, είναι πιο ασφαλές να κινείται κανείς σε τιμές μεταξύ 1.2 και 1.5 του ελάχιστου λόγου αναρροής. Αυτό εγγυάται ότι θα βρισκόμαστε πάντα κοντά σε συνθήκες τέτοιες όπου τα αντιτιθέμενα κόστη αθροίζονται κοντά σε 2-1

2 μια ελάχιστη συνολική τιμή. Θερμική μόνωση σωλήνων Οι σωλήνες που μεταφέρουν ρευστό συγκεκριμένης θερμοκρασίας από μια διεργασία σε άλλη πρέπει να μονώνονται i) γιατί η θερμότητα μας χρειάζεται π.χ. σε μια διαδικασία εναλλαγής ώστε να προ-θερμανθεί κάποιο άλλο ρευστό πριν εισέλθει σε έναν αντιδραστήρα ή φυσικό διαχωριστήρα ii) γιατί το ίδιο το ρευστό είναι ανάγκη να βρίσκεται σε συγκεκριμένες συνθήκες για την καλύτερη απόδοση συγκεκριμένων διεργασιών όπου εισέρχεται iii) για τη διατήρηση σταθερών συνθηκών σε ορισμένα όρια για λόγους ασφάλειας κλπ. Ο ρυθμός απώλειας θερμότητας, όπως γνωρίζουμε, είναι ανάλογος με τη διαφορά θερμοκρασίας ρευστού-περιβάλλοντος, ανάλογος με την επιφάνεια του σωλήνα και αντιστρόφως ανάλογος των αντιστάσεων στη μεταφορά θερμότητας που είναι με τη σειρά τους συναρτήσεις της επιφάνειας, του πάχους του τοιχώματος και της θερμικής αντίστασης του υλικού (= το αντίστροφο της αγωγιμότητας). Όπως θα δούμε σε σχετικό παράδειγμα στην Ενότητα 3, όταν βάζουμε μονωτικό υλικό με μεγάλη θερμική αντίσταση, τότε η αύξηση του πάχους του υλικού μειώνει τη ροή θερμότητας και οδηγεί σε εξοικονόμηση ενέργειας και μείωση λειτουργικού κόστους. Επειδή οι απώλειες είναι αντιστρόφως ανάλογες του πάχους του μονωτικού, x, η εξοικονόμηση αυξάνεται με το x. Το μονωτικό όμως, έχει ένα κόστος που είναι ανάλογο με το πάχος του, καθώς και ένα σταθερό κόστος εγκατάστασης. Το άθροισμά τους είναι το πάγιο κόστος της εγκατάστασης. Αν θεωρήσουμε ότι η μόνωση πρέπει να αλλάζει π.χ. κάθε 5 χρόνια, τότε μπορούμε να μοιράσουμε το αρχικό πάγιο κόστος σε ίσα ποσά κάθε χρόνο. Αυτό είναι η απόσβεση του πάγιου κόστους την οποία αφαιρούμε από το εξοικονομούμενο κόστος ενέργειας. Η απόσβεση αυξάνεται ανάλογα με το πάχος και αντισταθμίζει το κέρδος από την εξοικονόμηση ενέργειας. Τότε, μπορεί να βρεθεί ένα άριστο πάχος μόνωσης όπου έχουμε το μέγιστο δυνατό κέρδος. Εναλλάκτες θερμότητας Ανάλογο σκεπτικό εφαρμόζεται και με τις συσκευές εναλλαγής θερμότητας. Όσο μεγαλύτερη είναι η επιφάνειά τους τόσο περισσότερη θερμότητα μπορούν να μεταφέρουν. Αλλά και η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ των δύο ρευστών που έρχονται σε θερμική επαφή αυξάνει αναλόγως και τη ροή ανταλλασσόμενης θερμότητας από το θερμό στο ψυχρό. Δηλαδή, η ίδια ροή θερμότητας επιτυγχάνεται είτε χρησιμοποιώντας μεγαλύτερη επιφάνεια εναλλαγής είτε μεγαλύτερη διαφορά θερμοκρασιών. Αν η διαφορά θερμοκρασίας είναι μικρή χρειαζόμαστε μεγάλη επιφάνεια, πράγμα που συνεπάγεται μεγάλο κόστος κατασκευής ή αγοράς αλλά και ανάδυση πρακτικών ζητημάτων όπως χώρος που θα χρειαστεί για τον εναλλάκτη. Μπορούμε να ορίσουμε ένα μέγιστο μέγεθος που μπορεί να έχει ο εναλλάκτης που θα εγκασταστήσουμε και μια ελάχιστη επιτρεπτή διαφορά θερμοκρασίας. Χημική ισορροπία και χημική κινητική Η σύνθεση του προϊόντος Χ από τις πρώτες ύλες Α και Β είναι εξώθερμη αντίδραση, επομένως θέλει χαμηλή θερμοκρασία για να έχουμε υψηλή απόδοση, γιατί τότε είναι που έχουμε μετατόπιση της χημικής ισορροπίας προς τα προϊόντα. Όμως, η ποσότητα προϊόντος που θα πάρουμε είναι ανάλογη και με το ρυθμό της αντίδρασης, ο οποίος μειώνεται όσο χαμηλώνουμε τη θερμοκρασία. Επομένως, υπάρχει μια ενδιάμεση θερμοκρασία όπου η λαμβανόμενη ποσότητα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου είναι μέγιστη. Η σύνθεση της αμμωνίας που αποτελεί εξώθερμη αντίδραση αλλά διεξάγεται σε υψηλή θερμοκρασία είναι ένα πολύ γνωστό παράδειγμα αυτής της περίπτωσης. Κόστος σωληνώσεων Στην οικονομική ανάλυση της εγκατάστασης οποιουδήποτε εξοπλισμού έχουμε να λάβουμε υπ' 2-2

3 όψιν δύο είδη κόστους: το κόστος λειτουργίας και το πάγιο κόστος αγοράς (ή παραγγελίας ή κατασκευής) και εγκατάστασης. Το τελευταίο το κατανέμουμε σε ίσα μέρη για κάθε έτος προβλεπόμενης διάρκειας του συγκεκριμένου επενδυτικού σχεδίου (αποσβέσεις), οπότε, σε συνδυασμό με το λειτουργικό κόστος, μπορούμε να βρούμε το συνολικό ετήσιο κόστος. Όταν εγκαθιστούμε σωληνώσεις για την άντληση υγρού από ένα σημείο σε ένα άλλο, το λειτουργικό κόστος είναι ανάλογο προς την απαιτούμενη ισχύ της αντλίας. Αυτό με τη σειρά του, είναι αντιστρόφως ανάλογο της διαμέτρου των σωληνώσεων. Αντίθετα, το πάγιο κόστος αυξάνει ανάλογα με τη διάμετρο. Όταν τα προσθέσουμε, θα δούμε ότι υπάρχει μία διάμετρος όπου το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται. Μπορούμε να υπολογίσουμε ακριβώς αυτή τη διάμετρο, x. Αν το συνολικό κόστος γραφεί στη μορφή c = c 1 /x + c 2 x, τότε θέτοντας dc/dx=0, εύκολα βρίσκουμε ότι x = c 1 /c 2. Αυτό που διαπιστώνουμε σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις είναι η ύπαρξη ανταγωνιστικών παραγόντων. Για κάθε τι που βάζουμε ως στόχο υπάρχει μια μεταβλητή μέσω της οποίας μπορούμε να τον προσεγγίσουμε αλλά ταυτόχρονα με αυτή τη μεταβλητή συνδέεται και κάποιο κόστος που θα πληρώσουμε. Το κόστος αυτό μπορεί να σχετίζεται με τα επιπλέον υλικά που θα χρησιμοποιήσουμε, την εργασία για την εγκατάστασή τους, με φυσικοχημικούς και θερμοδυναμικούς περιορισμούς και πολλά άλλα. Οι ανταγωνιστικοί παράγοντες που οδηγούν στην ανάγκη για συμβιβασμό μέσω μιας βέλτιστης λύσης μπορεί να φαίνονται καθαρά στην αντικειμενική συνάρτηση ως διαφορά δύο εκφράσεων που αντιστοιχούν στις δύο αντιτιθέμενες τάσεις. Τέτοια ήταν η περίπτωση (ε) ανωτέρω, όπου το κόστος των σωληνώσεων ήταν διαφορά δύο συναρτήσεων της διαμέτρου με αντίθετη συμπεριφορά (αύξηση, μείωση). Παρόμοια είναι και η περίπτωση όπου αντικειμενική συνάρτηση είναι το κέρδος από τις πωλήσεις ενός προϊόντος ως διαφορά λειτουργικών εξόδων και ετήσιων αποσβέσεων από τα συνολικά έσοδα πωλήσεων. Το ηθικό δίδαγμα είναι πως το άριστο που αναζητούμε μέσω του σχεδιασμό δεν είναι (τουλάχιστον όχι πάντα) το ιδανικό και το τέλειο, αλλά μάλλον η έκφραση του καλύτερου δυνατού συμβιβασμού μεταξύ αντιτιθέμενων τάσεων και παραγόντων 1. Προεκτείνοντας το συλλογισμό μας ένα βήμα πιο πέρα, θα λέγαμε ότι οι περιορισμοί που υπεισέρχονται στο πρόβλημα του ακρότατου με τον τρόπο που συζητήσαμε στην Ενότητα 1, εντάσσονται σε μια γενική κατηγορία παραγόντων που υποχρεώνουν σε συμβιβαστικές λύσεις. Σε μεγάλο βαθμό, αυτή είναι και η δουλειά του μηχανικού: να κάνει ο,τι καλύτερο μπορεί, με δεδομένα και συχνά περιορισμένα μέσα και σε ένα περιβάλλον που χαρακτηρίζεται από αλληλοαναιρούμενες τάσεις, διαρκείς αλλαγές δεδομένων και περιπλοκότητα. Γι' αυτό, τα μαθηματικά εργαλεία που περιγράφουμε εδώ είναι ένα πολύτιμο εργαλείο αλλά δεν πρέπει να υπερεκτιμώνται. Σε τελική ανάλυση θα χρειαστεί κάποια πρωτοβουλία βασισμένη στην κριτική ικανότητα και τη διαθέσιμη πείρα. Η κριτική ματιά στο τελικό αποτέλεσμα ενός υπολογισμού είναι πάντα απαραίτητη και χρήσιμη και δεν αποκλείεται ακόμη και να οδηγήσει σε απόρριψη κάποιου συμπεράσματος που φαίνεται πολύ καλό από υπολογιστική άποψη, για άλλους λόγους, όχι πάντα υπολογίσιμους 1 Πρέπει να τονιστεί με τον πιο εμφατικό τρόπο ότι ο συμβιβασμός δύο αντίθετων παραγόντων γενικά οδηγεί σε ένα ακρότατο με τη μαθηματική έννοια. Αυτό συνήθως είναι το επιδιωκόμενο άριστο. Υπάρχουν όμως, ειδικές περιπτώσεις προβλημάτων όπου αυτή η λύση συνδυάζει όχι τα καλύτερα αλλά τα χειρότερα στοιχεία των αλληλοαναιρούμενων τάσεων. Στην ενότητα περί εγγενούς ασφάλειας θα δούμε συγκεκριμένο παράδειγμα όπου ο συμβιβασμός μεταξύ μεγέθους χημικού αντιδραστήρα και συνθηκών λειτουργίας οδηγεί στην πιο επικίνδυνη, από την άποψη της ασφάλειας, επιλογή. Θα ήταν μεγάλο σφάλμα να υιοθετήσουμε το... χείριστο νομίζοντας ότι πρόκειται για το άριστο! Γι' αυτό πρέπει να αποσαφηνίζουμε τι ακριβώς είναι αυτό που μεγιστοποιείται ή ελαχιστοποιείται και πώς μεταβάλλεται συναρτήσει των θεωρούμενων παραγόντων. Σε τέτοιες, εξαιρετικές περιπτώσεις, πρέπει να υιοθετηθεί μια από τις ακραίες επιλογές παρά οποιοσδήποτε συμβιβαστικός συνδυασμός τους. 2-3

4 αλλά εξ ίσου σημαντικούς. Σαν επιβεβαίωση των παραπάνω, αξίζει να μεταφέρουμε ένα γλαφυρό απόσπασμα από το βιβλίο των Peters, Timmerhaus και West, Plant Design and Economics for Chemical Engineers (με δικά μας σχόλια μέσα σε αγκύλες [ ] και πλάγια στοιχεία): «Ο μηχανικός δεν πρέπει ποτέ να χάσει από τα μάτια του τους πρακτικούς περιορισμούς που περιλαμβάνονται σε ένα σχεδιασμό. Μπορεί να έχει τη δυνατότητα να προσδιορίσει την ακριβή διάμετρο σωληνώσεων για έναν άριστο οικονομικό σχεδιασμό, αλλά αυτό δε συνεπάγεται ότι αυτό το ακριβές μέγεθος πρέπει να χρησιμοποιηθεί στον τελικό σχεδιασμό. Ας υποθέσουμε ότι η άριστη διάμετρος ήταν m. Δε θα ήταν πρακτικό να παραγγείλουμε την κατασκευή ενός ειδικού σωλήνα με αυτή την εσωτερική διάμετρο [Σκεφτείτε τι θα γινόταν αν για κάθε συσκευή ενός εργοστασίου που διαστασιολογείται γινόταν παραγγελία για κατασκευή στο ακριβές μέγεθος που έδωσαν οι υπολογισμοί. Η κατασκευή του εργοστασίου δε θα τελείωνε ποτέ! χώρια που η παραγγελία ανεβάζει το κόστος]. Αντίθετα, ο μηχανικός θα επέλεγε ένα πρότυπο μέγεθος σωληνώσεων που να μπορούν να αγοραστούν σε κανονικές τιμές της αγοράς. Σε αυτή την περίπτωση θα ήταν πιθανά μια πρότυπη διάμετρος 3 ½ ιντσών, με εσωτερική διάμετρο m [δηλαδή την πλησιέστερη προς τα m που μπορεί να βρεθεί στην αγορά]. Αν τυχόν ο μηχανικός έβλεπε με ζήλο το θέμα της επαρκούς απόδοσης κάθε επένδυσης, θα μπορούσε να αναρωτηθεί: μια πρότυπη σωλήνωση των 3 ιντσών θα απαιτούσε μικρότερη επένδυση και πιθανά θα αύξανε μόνο λίγο το συνολικό κόστος [βλ. και παράδειγμα (ε) ανωτέρω]. Επομένως, νομίζω ότι θα έπρεπε να συγκρίνουμε τα κόστη κάθε σωλήνωσης πριν πάρουμε την τελική απόφαση. Θεωρητικά, ο ευσυνείδητος μηχανικός σε αυτή την περίπτωση έχει δίκιο. Υποθέστε ότι το συνολικό κόστος της εγκατεστημένης σωλήνωσης των m είναι $5000 και το ολικό κόστος για αυτή των m είναι $4500. Αν η ολική ετήσια εξοικονόμηση σε ενέργεια και σταθερό κόστος για τη χρήση της σωληνώσεως με τη μεγαλύτερη διάμετρο αντί για τη μικρότερη ήταν $25 [λόγω μείωσης της απαιτούμενης ισχύος αντλίας], το ποσοστό της ετήσιας επιστρεφόμενης επένδυσης για τα επιπλέον $500 θα ήταν μόνο 5%. Αφού τα επιπλέον $500 θα μπορούσαν να επενδυθούν κάπου αλλού για να αποφέρουν περισσότερο από 5%, φαίνεται ότι η σωλήνωση με τη μικρότερη διάμετρο θα προτιμηθεί έναντι της μεγαλύτερης. (...) Αν και η άριστη οικονομικά διάμετρος ήταν m, ο πρακτικός μηχανικός ξέρει ότι αυτό είναι απλώς ένα ακριβές μαθηματικό αποτέλεσμα και μπορεί να ποικίλει από μήνα σε μήνα καθώς οι τιμές ή οι συνθήκες λειτουργίας αλλάζουν. Άρα, ο,τι περιμένει κανείς από αυτό το συγκεκριμένα οικονομικό υπολογισμό είναι μια καλή εκτίμηση της καλύτερης διαμέτρου, οπότε οι συγκρίσεις των επενδύσεων μπορεί να μη χρειάζονται. Ο πρακτικός μηχανικός κατανοεί τα φυσικά προβλήματα που περιλαμβάνονται στην τελική λειτουργία και συντήρηση του σχεδιαζόμενου εξοπλισμού. Κατά την ανάπτυξη της διάταξης του εργοστασίου, βαλβίδες ελέγχου με κρίσιμη σημασία, πρέπει να τοποθετηθούν σε σημεία όπου να είναι εύκολα προσπελάσιμες από τους χειριστές. Πρέπει να υπάρχει αρκετός χώρος για τους υπεύθυνους συντήρησης που θα ελέγξουν, αποσυναρμολογήσουν και επιδιορθώσουν τον εξοπλισμό. Ο μηχανικός πρέπει να συνειδητοποιήσει ότι οι εργασίες καθαρισμού απλοποιούνται αν τα υγρά που αφήνουν στερεές επικαθήσεις διοχετεύονται μέσα από τους σωλήνες παρά από το κέλυφος των εναλλακτών. Προφανώς, πρέπει να υπάρχει αρκετός διαθέσιμος χώρος ώστε το προσωπικό συντήρησης να μπορεί να αφαιρέσει την κεφαλή του εγκατεστημένου εναλλάκτη και να περάσει μέσα από τους σωλήνες βούρτσες καθαρισμού ή και να αφαιρέσει τελείως τη συστοιχία των σωλήνων, αν χρειαστεί. Ο θεωρητικός σχεδιασμός μιας αποστακτικής μονάδας μπορεί να δείχνει ότι η τροφοδοσία πρέπει να εισέλθει σε κάποιο συγκεκριμένο δίσκο του πύργου. Αντί να προδιαγράψει μόνο μία 2-4

5 είσοδο στην υπολογισμένη βαθμίδα του πύργου, ο πρακτικός μηχανικός θα περιλάβει σημεία εισόδου σε αρκετούς δίσκους πάνω και κάτω από το υπολογισμένο σημείο τροφοδοσίας, αφού οι πραγματικές συνθήκες λειτουργίας μπορεί να αλλάξουν και οι υποθέσεις που περιλαμβάνονταν στον υπολογισμό καθιστούν αδύνατο το να εγγυηθεί κανείς απόλυτη ακρίβεια. (...) Στην εργασία του σχεδιασμού, οι θεωρητικές και οικονομικές αρχές πρέπει να συνδυαστούν με μια κατανόηση των κοινών πρακτικών προβλημάτων που θα προκύψουν όταν η διεργασία τελικά έρθει στο φως με τη μορφή ενός ολόκληρου εργοστασίου ή μιας ολόκληρης μονάδας». Έχοντας απευθύνει με το παραπάνω απόσπασμα και τα προηγούμενα σχόλια, την πιο ξεκάθαρη προειδοποίηση για την ορθή χρήση των μαθηματικών αποτελεσμάτων και για τη σχετικότητα της αξίας που μπορεί να έχει και ο πιο ακριβής υπολογισμός, μπορούμε να επανέλθουμε στη μαθηματική περιγραφή και ανάλυση του σχεδιαστικού προβλήματος Είδη μεταβλητών στο πρόβλημα του σχεδιασμού Μετά από την αντικειμενική συνάρτηση, το σημαντικότερο μαθηματικό αντικείμενο είναι το σύνολο των εξισώσεων και ανισοτήτων που εκφράζουν τους περιορισμούς του προβλήματος αριστοποίησης. Από αυτές, ξεχωρίζουν ιδιαίτερα τα ισοζύγια μάζας και ενέργειας. Αυτά συνήθως αποτελούν ένα σύνολο αλγεβρικών εξισώσεων. Στην πραγματικότητα όμως, είναι διαφορικές εξισώσεις αφού το αλγεβρικό άθροισμα των εισόδων και των εξόδων μας δίνει το ρυθμό αύξησης ή μείωσης ενός ποσού ύλης ή ενέργειας στον θεωρούμενο όγκο ελέγχου, δηλαδή μία χρονική παράγωγο. Τότε λέμε ότι το μοντέλο είναι δυναμικό. Αυτή η παράγωγος μηδενίζεται όταν η εγκατάσταση βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση λειτουργίας (steady state). Τότε, τα ισοζύγια παίρνουν όντως τη μορφή αλγεβρικών εξισώσεων, δηλαδή το μοντέλο γίνεται στατικό. Η έκφραση των ισοζυγίων υπό μορφή δυναμικού μοντέλου, ενδιαφέρει στη μελέτη της μεταβατικής κατάστασης (transient state), δηλαδή το σταμάτημα και ξεκίνημα, για να μας δώσει μια ιδέα των χαρακτηριστικών χρόνων του συστήματος. Κυρίως όμως, ενδιαφέρει σε σχέση με το θέμα της αυτόματης ρύθμισης της διεργασίας. Η ανάγκη για ρύθμιση απορρέει από την ύπαρξη διαταραχών και διακυμάνσεων που μπορεί να προέρχονται από ποικίλες εξωτερικές αιτίες. Στη μόνιμη κατάσταση που αντιστοιχεί στο παραμετρικό άριστο, οι είσοδοι και οι όροι δημιουργίας εξισορροπούνται από τις εξόδους και τους όρους κατανάλωσης 2. Όταν προστίθεται μια διαταραχή στο σύστημα (π.χ. αλλάζει η σύσταση των εισερχόμενων πρώτων υλών), αυτή η δυναμική ισορροπία παύει να υπάρχει. Το σύστημα μπορεί να γίνει ασταθές, δηλαδή να μην επανέλθει στις προηγούμενες συνθήκες. Στην καλύτερη περίπτωση, μπορεί να αργήσει να επιστρέψει στην αρχική του κατάσταση. Ένα κύκλωμα αυτόματης ρύθμισης θα βοηθήσει στην ταχύτερη επαναφορά και στη σταθερότητα της διεργασίας. Αυτό το πρόβλημα από τη φύση του περιέχει ρητά το χρόνο και για το λόγο αυτό, για το σχεδιασμό της αυτόματης ρύθμισης χρειαζόμαστε ισοζύγια γραμμένα ως διαφορικές εξισώσεις. Το πρόβλημα των συστημάτων αυτόματης ρύθμισης θα συζητηθεί λεπτομερώς στην οικεία ενότητα. Ως τότε, μας αρκεί το στατικό μοντέλο, επομένως θα εστιάσουμε την προσοχή μας στην επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Θεωρούμε ένα σύστημα Ν εξισώσεων με Μ μεταβλητές (αγνώστους) x 1, x 2,... x M, που αναφέρεται και ως Ν Χ Μ. Οι μεταβλητές του (όλες ή 2 Παρεμπιπτόντως, αξίζει να σημειωθεί η συνάφεια με τη συζήτηση περί ανταγωνιστικών παραγόντων στην προηγούμενη υποενότητα. Για παράδειγμα, η είσοδος υλικού σε μια διεργασία προκαλεί συσσώρευση. Αλλά αύξηση της συσσωρευμένης ποσότητας προκαλεί επίσης και ανάλογη αύξηση της εξόδου που δρα αντισταθμιστικά και τελικά ο ρυθμός συσσώρευσης μηδενίζεται αφού πρώτα έχει συγκεντρωθεί μια ορισμένη ποσότητα από το υλικό. Αν η συσσώρευση θεωρηθεί ως ένα είδος αντικειμενικής συνάρτησης, τότε η μόνιμη κατάσταση αντιπροσωπεύει το άριστο. 2-5

6 ένα μέρος αυτών) είναι και μεταβλητές μιας αντικειμενικής συνάρτησης. Το σύστημα των εξισώσεων μπορεί να αντιστοιχεί σε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: Μ = Ν. Το σύστημα είναι πλήρως ή καλά ορισμένο. Αν πρόκειται για σύστημα γραμμικών εξισώσεων, τότε θα έχει μία λύση (εκτός αν η ορίζουσά του είναι μηδενική). Αν περιέχει ανώτερες δυνάμεις κάποιων μεταβλητών ή γενικά περιέχει μη γραμμικές εξισώσεις, τότε μπορεί να έχει περισσότερες λύσεις. Μ < Ν. Το σύστημα είναι υπερορισμένο. Εφόσον οι εξισώσεις είναι ανεξάρτητες, δηλαδή καμία δεν προκύπτει ως κατάλληλος συνδυασμός των άλλων (οπότε θα μπορούσε να παραλειφθεί μειώνοντας το Ν), το σύστημα, στη γενική περίπτωση, δεν έχει λύση. Δεν αποκλείεται να υπάρχουν τέτοια συστήματα που να έχουν λύση, αλλά τότε οι Ν-Μ εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν με τη βοήθεια των άλλων επομένως δε μας δίνουν περισσότερη ουσιαστική πληροφορία. Μ > Ν. Το σύστημα είναι υποορισμένο. Τότε, οι εξισώσεις δεν επαρκούν για να περιορίσουν τις μεταβλητές σε μία λύση ή ένα πεπερασμένο σύνολο. Αν διαλέξουμε Μ-Ν μεταβλητές, έστω τις πρώτες, x 1, x 2,..., x M-N και τους δώσουμε κάποιες τιμές, μπορούμε να λύσουμε ως προς τις υπόλοιπες μεταβλητές, x M-N+1, x M-N+2,..., x M. Αν δώσουμε άλλες τιμές στις x 1, x 2,..., x M-N θα πάρουμε και άλλη λύση για τις x M-N+1, x M-N+2,..., x M. Αυτό μπορεί να επαναλαμβάνεται επ' άπειρον. Αν οι συναρτήσεις που υπεισέρχονται σε κάθε εξίσωση είναι συνεχείς, τότε καταλαβαίνουμε ότι οι λύσεις του συστήματος που μπορούμε να πάρουμε δίνοντας τιμές στις Μ-Ν μεταβλητές, είναι άπειρες. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέμε ότι το μοντέλο που αποτελείται από αυτές τις εξισώσεις, έχει Μ-Ν βαθμούς ελευθερίας. Σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις που θα μας απασχολήσουν, θα έχουμε να κάνουμε με υποορισμένα συστήματα, δηλαδή κάποιες μεταβλητές θα περισσεύουν. Αυτό είναι που μας δίνει και τα απαραίτητα περιθώρια για αριστοποίηση: μόνο μεταβάλλοντας αυτές τις ελεύθερες μεταβλητές, τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος, μπορούμε να βρούμε διάφορες τιμές για την αντικειμενική συνάρτηση και να διαλέξουμε την καλύτερη. Μερικά απλά παραδείγματα θα δώσουν σαφή εικόνα των παραπάνω. Το σύστημα 2 Χ 2 x y = -1 2x y = 1 είναι πλήρως ορισμένο και έχει τη μοναδική λύση (x, y) = (2, 3). Αυτό απεικονίζεται στο Σχήμα 2.1(α) όπου κάθε εξίσωση αντιστοιχεί σε μια ευθεία και το σημείο τομής τους αντιπροσωπεύει τη λύση. Στο Σχ. 2.1 (β) απεικονίζεται ένα σύστημα μη γραμμικό το οποίο και έχει δύο λύσεις.προέκυψε από την αντικατάσταση της δεύτερης εξίσωσης στο προηγούμενο σύστημα, από την y = (x-2) 2 Και αυτό επίσης είναι καλά ορισμένο και οι λύσεις του αντιπροσωπεύονται από τα δύο σημεία τομής της παραβολής με την ευθεία. Η απλούστερη μορφή υποορισμένου συστήματος που μπορεί να υπάρξει είναι μία εξίσωση με δύο αγνώστους (1 Χ 2), δηλαδή 2-1 = 1 βαθμό ελευθερίας. Π.χ. στη x y = -1, για κάθε x θα πάρουμε ένα y και έτσι υπάρχουν άπειρα ζεύγη (x, x+1) που την ικανοποιούν. Αυτό φαίνεται στο Σχ. 2.2 (α), ενώ στο 2.2 (β) έχουμε ένα υπερορισμένο σύστημα. 2-6

7 (α) 2.1 (β) Σχήμα 2.1 Πλήρως ορισμένα συστήματα. Γραμμικό (α) και μη γραμμμικό (β) C Β Α (α) 2.2 (β) Σχ. 2.2 Ένα υποορισμένο (αν και τετριμμένο!) σύστημα (α) και ένα υπερορισμένο (β). Συγκεκριμένα, στο Σχ. 2.2 (β) απεικονίζεται το σύστημα (1) x y = -1 (2) 2x y = 1 (3) x 2y = -6 Σε αυτό, οι εξισώσεις (1) και (2) συναληθεύουν στο σημείο Α του σχήματος, οι (1) και (3) στο σημείο Β και οι (2) και (3) στο σημείο C. Δεν υπάρχει σημείο όπου να τέμνονται και οι τρεις ευθείες, δηλαδή το σύστημα δεν έχει λύση. Αν υπήρχε, η μία εξίσωση θα ήταν γραμμικός συνδυασμός των άλλων δύο και δε θα χρειαζόταν για τον προσδιορισμό της λύσης. Παρατήρηση: Πρέπει να πούμε, ότι ακόμη και τα υπερορισμένα προβλήματα επιδέχονται κάποια λύση ακόμη και αν αυτή δεν ικανοποιεί πλήρως καμία από τις εξισώσεις. Πράγματι, αν το σύστημα γραφεί ως G i (x) = 0, x = (x 1, x 2,..., x M ), i = 1, 2,..., N τότε, για κάθε τιμή που μπορεί να αποδοθεί στις μεταβλητές x οι εξισώσεις θα δίνουν και έναν 2-7

8 αριθμό ως αποτέλεσμα: G i (x) = c i Αν ορίσουμε τη συνάρτηση f(x) = c c c N 2, τότε, για πλήρως ορισμένα συστήματα αυτή μηδενίζεται όταν x = x o που παριστάνει κάποια λύση του συστήματος. Για υπερορισμένα συστήματα, αυτό είναι αδύνατο να συμβεί, μπορούμε όμως, να αναζητήσουμε τέτοιες τιμές των x που να ελαχιστοποιούν την f, δηλαδή να ταιριάζουν όσο γίνεται καλύτερα τις απαιτήσεις που εκφράζουν οι εξισώσεις. Δηλαδή η λύση ενός ορισμένου ή υπερορισμένου συστήματος ισοδυναμεί με ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Φυσικά, αυτό που περιγράψαμε εδώ δεν είναι τίποτε άλλο από τη γνωστή διαδικασία των ελαχίστων τετραγώνων που εφαρμόζουμε και όταν θέλουμε να κάνουμε προσαρμογή ενός θεωρητικού μοντέλου σε πειραματικά δεδομένα. Πάντως, τα περισσότερα προβλήματα που μας ενδιαφέρουν θα διατυπώνονται ως υποορισμένα συστήματα. Αυτό σημαίνει ότι η λύση τους δε μπορεί να είναι ανεξάρτητη από τη λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης της Αντικειμενικής Συνάρτησης αλλά αυτά τα δύο προβλήματα συνδυάζονται. Η ύπαρξη του συστήματος Μ Χ Ν σημαίνει ότι οι Ν μεταβλητές εξαρτώνται ή μπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις των Μ-Ν. Αυτές με τη σειρά τους πρέπει να προσδιοριστούν κάπως και αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να ελαχιστοποιήσουμε την Αντικειμενική Συνάρτηση ως προς αυτές. Αλλά κάτι τέτοιο απαιτεί επίσης γνώση των Ν εξαρτημένων μεταβλητών που απαιτεί γνώση των προσδιοριστέων Μ-Ν ανεξάρτητων μεταβλητών. Δηλαδή έχουμε μια κυκλική αλληλεξάρτηση. Αυτού του είδους τα προβλήματα μπορούν να λυθούν με επαναληπτικές μεθόδους κατά τις οποίες υποθέτουμε κάποιες αρχικές τιμές για ορισμένες μεταβλητές, βρίσκουμε τις ποσότητες που εξαρτώνται από αυτές και μέσω αυτών, ξανά τις αρχικές μεταβλητές μέχρι που τα διαδοχικά αποτελέσματα να σταθεροποιηθούν σε κάποιες τιμές. Μπορούμε να περιγράψουμε εδώ μια τέτοια επαναληπτική διαδικασία κατάλληλα για την αριστοποίηση διεργασιών, αλλά πρώτα θα δώσουμε μερικούς ορισμούς εννοιώς που θα συναντούμε συνεχώς από εδώ και μετά. Αν το μοντέλο μας, διατυπωμένο ως Ν εξισώσεις, έχει M μεταβλητές που θα παραστήσουμε συλλογικά ως Χ, τότε θα τις χωρίσουμε σε δύο υποσύνολα D και S. Το πρώτο θα περιέχει Μ-Ν μεταβλητές που θα ονομάσουμε μεταβλητές σχεδιασμού (design variables) και το δεύτερο έχει τις υπόλοιπες Ν που θα ονομάσουμε μεταβλητές επίλυσης. Τότε, η επαναληπτική μας μέθοδος θα μπορούσε να έχει τα εξής βήματα: Βήμα 1: δίνουμε αρχικές τιμές στις μεταβλητές σχεδιασμού D. D = D o Βήμα 2: με δεδομένες τις τιμές των D λύνουμε το σύστημα εξισώσεων του μοντέλου ως προς τις μεταβλητές επίλυσης S G i (S n ; D n-1 ) = 0 Βήμα 3: με δεδομένες τις τιμές των S ελαχιστοποιούμε την αντικειμενική συνάρτηση ως προς τις μεταβλητές σχεδιασμού D. min F(D n ; S n ) Βήμα 4: ελέγχουμε αν η μέχρι στιγμής λύση πληροί κάποιο κριτήριο σύγκλισης, π.χ. οι μεταβολές των S και D στον n-στό κύκλο βημάτων σε σχέση με τον προηγούμενο κύκλο να είναι κάτω από ένα όριο που έχουμε θέσει εμείς. Αν ναι, θεωρούμε ότι η λύση βρέθηκε. Αν όχι, πηγαίνουμε ξανά στο Βήμα 2. Στις επόμενες ενότητες, θα δούμε διάφορες επαναληπτικές τεχνικές παρόμοιες με αυτή τη φιλοσοφία. Το ερώτημα είναι με ποιο κριτήριο επιλέγονται οι μεταβλητές σχεδιασμού και 2-8

9 επίλυσης. Ο διαχωρισμός γίνεται αυθαίρετα ή βάσει κάποιου κανόνα; Η απάντηση είναι ότι κατ' αρχήν δεν υπάρχει περιορισμός, δηλαδή κάθε συνδυασμός είναι επιτρεπτός από μαθηματική άποψη. Αλλά υπάρχουν πρακτικοί λόγοι που επιβάλλουν τον ένα ή τον άλλο τρόπο διαχωρισμού ώστε να λυθεί πιο εύκολα το πρόβλημα. Σε αντίστοιχη ενότητα, θα συζητήσουμε τόσο πρακτικούς κανόνες όσο και συγκεκριμένη αλγοριθμική μέθοδο για τον προσδιορισμό των μεταβλητών σχεδιασμού αλλά και την πιο εξυπηρετική από πρακτική άποψη, σειρά επίλυσης των εξισώσεων του συστήματος. Πριν, όμως, φτάσουμε σε αυτό το σημείο, ανοίγουμε μια παρένθεση για το θέμα της οικονομικής ανάλυσης των βιομηχανικών συστημάτων. Ο λόγοι είναι ότι: α) οι συχνότερα απαντώμενες αντικειμενικές συναρτήσεις προς μεγιστοποίηση ανάγονται στη διαφορά εξόδων από έσοδα. β) τα οικονομικά δεδομένα είναι εφικτό να διατυπωθούν μαθηματικά ενώ συγχρόνως είναι εύκολα στο χειρισμό τους Επομένως, η γνωριμία με αυτό το πεδίο μας επιτρέπει να έχουμε στο εξής μια συγκεκριμένη εικόνα για το περιεχόμενο των συναρτήσεων και των μοντέλων όπου θα αναφερόμαστε, η οποία συγχρόνως είναι γειωμένη στη βιομηχανική πρακτική. 2-9

10 2-10

Σχεδιασμός Χημικών Διεργασιών και Βιομηχανιών Διάλεξη 6

Σχεδιασμός Χημικών Διεργασιών και Βιομηχανιών Διάλεξη 6 Σχεδιασμός Χημικών Διεργασιών και Βιομηχανιών Διάλεξη 6 Δευτέρα, 14 Απριλίου 008 Οικονομική Ανάλυση Βιομηχανιών και Διεργασιών 1 Εισαγωγή Αριστοποίηση: ενός κριτηρίου (αντικειμενικής συνάρτησης) πολυκριτηριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Κεφάλαιο Πρόλογος i Κατάλογος Σχημάτων και Εικόνων v Ενότητα 1: Εισαγωγή 1-1 1.1 Το μαθηματικό πρότυπο: ισοζύγια και άλλες σχέσεις. 1-1 1.2 Αριστοποίηση 1-2 1.3 Αλλαγή κλίμακας (scale

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Βελτιστοποίηση εναλλακτών θερμότητας

Βελτιστοποίηση εναλλακτών θερμότητας Βελτιστοποίηση εναλλακτών θερμότητας Το πρώτο βήμα για την εύρεση των βέλτιστων διαστάσεων ή/και συνθηκών λειτουργίας, είναι ο καθορισμός του μεγέθους που θα βελτιστοποιηθεί, δηλαδή της αντικειμενικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ ΜΑΔ, 2013

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ ΜΑΔ, 2013 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΥ ΜΑΔ, 2013 1 Ισορροπία Φάσεων Ανάλογα με τη φύση των συστατικών του μίγματος (ή της ολικής πίεσης του συστήματος) οι τάσεις διαφυγής υπολογίζονται - ανάλογα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ Μ. Κροκίδα ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓ. ΣΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Στόχος: Επεξεργασία συγκεκριμένης τροφοδοσίας (ροή

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Κινητική Γενικές Υποδείξεις 1. Τάξη Αντίδρασης 2. Ενέργεια Ενεργοποίησης

Χημική Κινητική Γενικές Υποδείξεις 1. Τάξη Αντίδρασης 2. Ενέργεια Ενεργοποίησης Χημική Κινητική Γενικές Υποδείξεις 1. Τάξη Αντίδρασης Γενικά, όταν έχουμε δεδομένα συγκέντρωσης-χρόνου και θέλουμε να βρούμε την τάξη μιας αντίδρασης, προσπαθούμε να προσαρμόσουμε τα δεδομένα σε εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1. Άρα, είναι ο κλάδος που αφορά παραγωγή προϊόντων σε βιομηχανική κλίμακα, βασισμένη σε φυσικοχημικές διεργασίες.

Διάλεξη 1. Άρα, είναι ο κλάδος που αφορά παραγωγή προϊόντων σε βιομηχανική κλίμακα, βασισμένη σε φυσικοχημικές διεργασίες. Διάλεξη 1 1. Εισαγωγή η έννοια του σχεδιασμού Ο σχεδιασμός (design) χημικών διεργασιών (unit processes) και χημικών εργοστασίων (chemical plants) ή ολόκληρων βιομηχανικών είναι η πιο ολοκληρωμένη έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Ειδική Ενθαλπία, Ειδική Θερµότητα και Ειδικός Όγκος Υγρού Αέρα

Ειδική Ενθαλπία, Ειδική Θερµότητα και Ειδικός Όγκος Υγρού Αέρα θερµοκρασία που αντιπροσωπεύει την θερµοκρασία υγρού βολβού. Το ποσοστό κορεσµού υπολογίζεται από την καµπύλη του σταθερού ποσοστού κορεσµού που διέρχεται από το συγκεκριµένο σηµείο. Η απόλυτη υγρασία

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Απορρόφηση Αερίων (2)

Απορρόφηση Αερίων (2) Απορρόφηση Αερίων (2) Λεπτομερής Ανάλυση Θεωρούμε έναν πύργο απορρόφησης που μπορεί να περιέχει δίσκους ή να είναι τύπου πληρωτικού υλικού ή άλλου τύπου. Τελικός σκοπός είναι να βρούμε το μέγεθος του πύργου.

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ. όπου το κ εξαρτάται από το υλικό και τη θερμοκρασία.

ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ. όπου το κ εξαρτάται από το υλικό και τη θερμοκρασία. Εισαγωγή Έστω ιδιότητα Ρ. ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ α) Ρ = Ρ(r, t) => μη μόνιμη, μεταβατική κατάσταση. β) P = P(r), P =/= P(t) => μόνιμη κατάσταση (μη ισορροπίας). γ) P =/= P(r), P(t) σε μακροσκοπικό χωρίο =>

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Υπολογισμοί ισορροπίας φάσεων υγρού-υγρού

5.3 Υπολογισμοί ισορροπίας φάσεων υγρού-υγρού 5.3 Υπολογισμοί ισορροπίας φάσεων υγρού-υγρού Η αρχική εξίσωση που χρησιμοποιείται για τους υπολογισμούς της ΙΦΥΥ είναι η ικανοποίηση της βασικής θερμοδυναμικής απαίτησης της ισότητας των τάσεων διαφυγής

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό.

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό. Βασικές Εξισώσεις Σχεδιασμού (ΣΔΟΥΚΟΣ 2-, 2-) t = n i dn i V n i R και V = n i dn i t n i R Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρίβεια αποτελεσμάτων σχεδιασμού διεργασιών ΜΑΔ, 2013

Ακρίβεια αποτελεσμάτων σχεδιασμού διεργασιών ΜΑΔ, 2013 Ακρίβεια αποτελεσμάτων σχεδιασμού διεργασιών ΜΑΔ, 2013 1 ΣΚΟΠΟΣ και ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΘΧΜ Σκοπός της θερμοδυναμικής χημικής μηχανικής είναι η παροχή των κατάλληλων θεωρητικών γνώσεων και των απαραίτητων υπολογιστικών-μεθοδολογικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η Επιστήμη της Θερμοδυναμικής ασχολείται με την ποσότητα της θερμότητας που μεταφέρεται σε ένα κλειστό και απομονωμένο σύστημα από μια κατάσταση ισορροπίας σε μια άλλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματη ρύθμιση αποστακτικών στηλών

Αυτόματη ρύθμιση αποστακτικών στηλών Αυτόματη ρύθμιση αποστακτικών στηλών Στόχοι-Αναγκαιότητα Παραγωγή προϊόντων επιθυμητών προδιαγραφών και ποσοτήτων Ασφάλεια εγκατάστασης (όρια πίεσης και θερμοκρασίας) Διατήρηση λειτουργικών συνθηκών (αποφυγή

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ Εισαγωγή Διαδικασία σχεδιασμού αντιδραστήρα: Καθορισμός του τύπου του αντιδραστήρα και των συνθηκών λειτουργίας. Εκτίμηση των χαρακτηριστικών για την ομαλή λειτουργία του αντιδραστήρα. μέγεθος σύσταση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Γραμμική Άλγεβρα Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας 5 Από τη Θερμότητα στη Θερμοκρασία - Η Θερμική Ισορροπία

Φύλλο Εργασίας 5 Από τη Θερμότητα στη Θερμοκρασία - Η Θερμική Ισορροπία Φύλλο Εργασίας 5 Από τη Θερμότητα στη Θερμοκρασία - Η Θερμική Ισορροπία α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι Στο βιβλίο των φυσικών του δημοτικού σχολείου της Ε τάξης υπάρχει η παρακάτω αναφορά στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής

Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Δ' Εξάμηνο ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ. Ερωτήσεις Επανάληψης

Δ' Εξάμηνο ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ. Ερωτήσεις Επανάληψης Δ' Εξάμηνο ΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ Ερωτήσεις Επανάληψης 1 0.8 0.6 x D = 0.95 y 0.4 x F = 0.45 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x B = 0.05 Σχήμα 1. Δεδομένα ισορροπίας y-x για δυαδικό μίγμα συστατικών Α και Β και οι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Ακετόνης από ρεύμα αέρα (κεφάλαιο 12)

Ανάκτηση Ακετόνης από ρεύμα αέρα (κεφάλαιο 12) Ανάκτηση Ακετόνης από ρεύμα αέρα (κεφάλαιο 12 1 Διδάσκων: Β. Ράπτης Πρόβλημα: αποβαλλόμενο ρεύμα αέρα F = 0.2kg ξηρού α./s με P F = 1 bar και T F = 80 o C περιέχει ακετόνη σε συγκέντρωση Χ F =0.1kg ακετόνης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΚΑΜΙΝΑΔΑΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΚΑΜΙΝΑΔΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΚΑΜΙΝΑΔΑΣ Η βασική σχέση που περιγράφει την λειτουργία της καμινάδας είναι Η σχέση αυτή προέρχεται από την εφαρμογή της αρχής διατήρησης ενέργειας στην καμινάδα σύμφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Προσομοίωση

Μοντελοποίηση Προσομοίωση Μοντελοποίηση Προσομοίωση Σχεδιασμός είναι η διαδικασία μετατροπής των φυσικών νόμων σε μαθηματικές εξισώσεις είναι το κατάλληλο λογισμικό το οποίο χρησιμοποιώντας το μαθηματικό μοντέλο προβλέπει τη συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δρ. Πολ. Μηχ. Κόκκινος Οδυσσέας Σχεδιασμός αντικειμένων, διεργασιών, δραστηριοτήτων (π.χ. τεχνικά έργα, έπιπλα, σκεύη κτλ) ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ (conceptual design) ΠΡΟΜΕΛΕΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

Εναλλαγή θερμότητας. Σχ. 4.1 (α) Διάταξη εναλλάκτη θερμότητας καθ` ομορροή (πάνω) και αντίστοιχο θερμοκρασιακό προφίλ (κάτω)

Εναλλαγή θερμότητας. Σχ. 4.1 (α) Διάταξη εναλλάκτη θερμότητας καθ` ομορροή (πάνω) και αντίστοιχο θερμοκρασιακό προφίλ (κάτω) Εναλλαγή θερμότητας Σχ. 4.1 (α) Διάταξη εναλλάκτη θερμότητας καθ` ομορροή (πάνω) και αντίστοιχο θερμοκρασιακό προφίλ (κάτω) Σχ. 4.1 (β) Διάταξη εναλλάκτη θερμότητας καντ` αντιρροή (πάνω) και αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Ο Δυναμικός Προγραμματισμός (ΔΠ) είναι μία υπολογιστική μέθοδος η οποία εφαρμόζεται όταν πρόκειται να ληφθεί μία σύνθετη απόφαση η οποία προκύπτει από τη σύνθεση επιμέρους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Κατακερματισμός (Hashing)

Κατακερματισμός (Hashing) Κατακερματισμός (Hashing) O κατακερματισμός είναι μια τεχνική οργάνωσης ενός αρχείου. Είναι αρκετά δημοφιλής μέθοδος για την οργάνωση αρχείων Βάσεων Δεδομένων, καθώς βοηθάει σημαντικά στην γρήγορη αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 166 Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΤΥΠΟΥ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 1. Να αναφέρεται παραδείγματα φαινομένων που μπορούν να ερμηνευτούν με την μελέτη των ρευστών σε ισορροπία. 2. Ποια σώματα ονομάζονται ρευστά;

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Σελίδα από Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς Η ανισότητα α β α ± β α + β με α, β C χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. και η Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός, Ιούνιος 008 Α. Εισαγωγή Το κείμενο αυτό ξεκίνησε να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ. Μ. Κροκίδα ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΙΙ Μ. Κροκίδα ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΞΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓ. ΣΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Διαφορική (batch) Rectifying column Stripping column

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 Εισαγωγή 1.1 Το μαθηματικό πρότυπο: ισοζύγια και άλλες σχέσεις ισοζυγίων μάζας ενέργειας μαθηματικό πρότυπο (μοντέλο) περιορισμούς

Ενότητα 1 Εισαγωγή 1.1 Το μαθηματικό πρότυπο: ισοζύγια και άλλες σχέσεις ισοζυγίων μάζας ενέργειας μαθηματικό πρότυπο (μοντέλο) περιορισμούς Ενότητα 1 Εισαγωγή 1.1 Το μαθηματικό πρότυπο: ισοζύγια και άλλες σχέσεις Κατά τη μελέτη των Φυσικών και των Χημικών Διεργασιών συναντήσαμε συχνά και σε ποικίλες μορφές, την έννοια των ισοζυγίων μάζας και

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης. 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers)

1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exchangers) 1. Εναλλάκτες θερµότητας (Heat Exangers) Οι εναλλάκτες θερµότητας είναι συσκευές µε τις οποίες επιτυγχάνεται η µεταφορά ενέργειας από ένα ρευστό υψηλής θερµοκρασίας σε ένα άλλο ρευστό χαµηλότερης θερµοκρασίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1 ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Προβλήματα μεταφοράς θερμότητας παρουσιάζονται σε κάθε βήμα του μηχανικού της χημικής βιομηχανίας. Ο υπολογισμός των θερμικών απωλειών, η εξοικονόμηση ενέργειας και ο σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ρεύμα και Αντίσταση Εικόνα: Οι γραμμές ρεύματος μεταφέρουν ενέργεια από την ηλεκτρική εταιρία στα σπίτια και τις επιχειρήσεις μας. Η ενέργεια μεταφέρεται σε πολύ υψηλές τάσεις, πιθανότατα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό η μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

Τελεστικοί Ενισχυτές

Τελεστικοί Ενισχυτές Τελεστικοί Ενισχυτές Ενισχυτές-Γενικά: Οι ενισχυτές είναι δίθυρα δίκτυα στα οποία η τάση ή το ρεύμα εξόδου είναι ευθέως ανάλογη της τάσεως ή του ρεύματος εισόδου. Υπάρχουν τέσσερα διαφορετικά είδη ενισχυτών:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 10: Σχεδιασμός εγκαταστάσεων Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα