W = 6.34 kn (2) F = u 2 f = u2 i + 2a(x f x i ) a = u2 f u2 i 2x f. F = d U(x) (5)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-2: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 208 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Λύσεις 3ου Φροντιστηρίων Ασκηση. Επιλέγουµε ως σύστηµα τη σφάιρα. Το σύστηµα είναι µη αποµονωµένο. (αʹ) Από Θεώρηµα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας - Εργου, έχουµε K = ΣW = K f 0 = ΣW = K f = 4.56 kj () (ϐʹ) είτε την παραπάνω απάντηση, αφού K = ΣW. (γʹ) Από τον ορισµό, είναι F = W r cos θ = 6.34 kn (2) (δʹ) Από τις εξισώσεις της κίνησης, έχουµε u 2 f = u2 i + 2a(x f x i ) a = u2 f u2 i 2x f = 422 km/s 2 (3) (εʹ) Είναι ΣF = ma = 6.34 kn (4) (ϛʹ) Οι δυνάµεις είναι ίδιες. Αναµενόµενο. :) Ασκηση 2. (αʹ) Γνωρίζουµε ότι για ένα σύστηµα στο οποίο δρα µια εσωτερική συντηρητική δύναµη ισχύει F = d U(x) (5) dx Είναι είτε το Σχήµα F = d dx ( x3 + 2x 2 + 3x) = 3x 2 4x 3 (6) (ϐʹ) Η F = 0 όταν x =.87 και x = (γʹ) Σηµεία ευσταθούς ισορροπίας είναι στη ϑέση x = 0.535, που είναι σηµείο ελαχίστου της U(x). Σηµείο ασταθούς ισορροπίας είναι στη ϑέση x =.87, που είναι σηµείο µεγίστου της U(x). Ασκηση 3. Η συνιστώσα της δύναµης του ϐάρους που είναι παράλληλη στο επικλινές είναι mg sin θ, και επιταχύνει το σώµα προς τα κάτω, σε απόσταση d µέχρι να συναντήσει το ελατήριο, όπου και η δύναµη του ελατηριου αντιτίθεται στη ϐαρυτική δύναµη και επιβραδύνει το σώµα σε απόσταση x µέχρι το σώµα να έρθει σε στιγµιαία ακινησία. Η δύναµη του ϐάρους παράγει ϑετικό έργο στο σώµα όσο αυτό ολισθαίνει προς τα κάτω σε συνολική απόσταση d + x, και η δύναµη του ελατηρίου παράγει

2 Φυσική Ι - 208/Λύσεις 3ου Φροντιστηρίων 2 Σχήµα : υναµική ενέργεια και δύναµη συναρτήσει της ϑέσης x. αρνητικό έργο στο σώµα όσο ολισθαίνει σε απόσταση x. Υπόλοιπες δυνάµεις δεν παράγουν έργο. Εφαρµόζοντας το Θεώρηµα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας - Εργου, έχουµε K f K i = W g + W s (7) 2 mu2 f 2 mu2 i = mg(d + x) sin θ + 2 kx2 i 2 kx2 f (8) 0 2 mu2 i = mg(d + x) sin θ kx2 (9) 2 u2 i + g(d + x) sin θ k 2m x2 = 0 (0) k 2m x2 (g sin θ)x u2 i 2 (g sin θ)d = 0 () ( ) g sin θ ± (g sin θ) 2 4 k 2m u2 i 2 (g sin θ)d x = Αντικαθιστώντας και κρατώντας τη ϑετική λύση, έχουµε 2 k 2m (2) x = 0.3 m (3) Ασκηση 4. (αʹ) Θετουµε y = 0 στην επιφάνεια του τραπεζιού. ενέργειας στο σύστηµα Γη-σώµατα, έχουµε Με χρήση της διατήρησης της (µηχανικής) E sys = 0 K + U = 0 K f K i + U f U i = 0 (4) µε το δείκτη f να δηλώνει την τελική στιγµή της κίνησης, ακριβώς πριν το µεγάλο σώµα χτυπήσει στην επιφάνεια. Αν ϑεωρήσουµε ως διάταξη µηδενικής ϐαρυτικής δυναµικής ενέργειας την αρχική διάταξη, τότε 2 (m + m 2 )u 2 f 0 + m 2gh m gh = 0 (5)

3 Φυσική Ι - 208/Λύσεις 3ου Φροντιστηρίων 3 και λύνοντας ως προς u f έχουµε u f = 2(m m 2 )gh m + m 2 = 4.43 m/s (6) (ϐʹ) Τώρα εφαρµόζουµε την αρχή διατήρησης της (µηχανικής) ενέργειας για το σύστηµα του σώµατος µάζας 3 kg και της Γης κατά την κίνηση ανάµεσα στη στιγµή που το σχοινί αρχίζει να κινείται στην τροχαλία και τη στιγµή που το σώµα µάζας 3 kg ϕτάνει το µέγιστο ύψος του. Είναι K + U = 0 (7) K = U (8) K f K i = U i U f (9) 0 2 m 2u 2 = m 2 g y (20) y = u 2 2g = (2) (22) Οπότε y max = 4 + y = 5 m (23) Ασκηση 5. (αʹ) Οταν ένα παιδί εκτελεί ένα άλµα, µετατρέπει χηµική ενέργεια σε µηχανική ενέργεια υπό την έννοια ότι το σύστηµα παιδί-γη έχει ϐαρυτική δυναµική ενέργεια όταν το παιδί ϐρίσκεται στο µέγιστο ύψος του άλµατος. Η ενέργεια αυτή είναι mgy = = 88.2 J. Για όλα τα άλµατα µαζί, είναι =. 0 9 J. (ϐʹ) Η σεισµική ενέργεια είναι και σε κλίµακα Richter είναι E = =. 0 5 J (24) M = log E = 0.2 (25) Ασκηση 6. (αʹ) Η µεταβολή στην κινητική ενέργεια είναι K = = 60 J (26) (ϐʹ) Η µεταβολή στη ϐαρυτική δυναµική ενέργεια είναι U = U f U i = mgh = mgd sin(θ) = sin 30 o = 73.5 J (27) (γʹ) Το µη αποµονωµένο σύστηµα ϑα περιγράφεται ενεργειακα ως K + U = ΣW other f k d = 0 f k d (28) Η δύναµη τριβής είναι η µόνη άγνωστη, και τη ϐρίσκουµε ως f k = K U d = 28.8 N (29)

4 Φυσική Ι - 208/Λύσεις 3ου Φροντιστηρίων 4 (δʹ) Οι δυνάµεις κάθετες στο επικλινές πρέπει να αθροίζουν στο µηδέν λόγω ισορροπίας του κουτιού στον άξονα y y, δηλ. Σ F y = 0 = n mg cos 30 o = 0 (30) και αφού n = mg cos 30 o = 42.4 N, ϑα είναι f k = µ k n = µ k = 0.68 (3) Ασκηση 7. (αʹ) Η µηχανική ενέργεια του συστήµατος σώµατα-γη διατηρείται : m 2 gy = 2 (m + m 2 )u 2 f (32) ( 2m2 gy ) /2 u f = (33) m + m 2 = 2.49 m/s (34) (ϐʹ) Για το σώµα µάζας 3.5 kg, ισχύει η διατήρηση της ενέργειας από τη στιγµή που το σώµα αφήνει την επιφάνεια ως τη στιγµή ακριβώς πριν χτυπήσει στο πάτωµα, άρα η µόνη δύναµη που ασκείται είναι αυτή του ϐάρους, που είναι συντηρητική και άρα µπορούµε να εφαρµόσυµε την αρχή διατήρηςη της µηχανικής ενέργειας ως K + U = 0 (35) K f K i + U f U i = 0 (36) 2 m 2u 2 f 2 m 2u 2 + m 2 gy = 0 (37) u f = 2gy + u 2 = 5.45 m/s (38) αφού η u που ϐρήκαµε στο προηγ. ερώτηµα είναι η αρχική ταχύτητα u i στο ερώτηµα αυτό. (γʹ) Θέλουµε το ελάχιστο µήκος του σχοινιού ώστε να µην τεντωθεί αυτό κατά την εκτέλεση της ϐολής του σώµατος m. Η οριζόντια συνιστώσα της µετατόπισης είναι x = u f t = =.23 m (39) αφού η κίνηση στον x άξονα είναι ευθύγραµµη οµαλή και ο χρόνος πτήσης του κουτιού δίνεται από τη σχέση y f = y i + u yi t 2 gt2 0 = y i 2 gt2 = t = s (40) Ασκηση 8. (αʹ) Η µέγιστη ταχύτητα συµβαίνει αφού η ϐελόνα ϕύγει από το ελατήριο, και πριν εισέλθει στο σώµα. Υποθέτουµε ότι η ϐελόνα εισέρχεται σε οριζόντια διεύθυνση. Τότε ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας ως µε T k τη δύναµη αντίστασης των ιστών. E sys = 0 (4) K + U sf T k d = 0 (42) K f K i + U sf U si T k d = 0 (43) 2 kx2 = 2 mu2 max + 0 (44) u max = 2 m/s (45)

5 Φυσική Ι - 208/Λύσεις 3ου Φροντιστηρίων 5 (ϐʹ) Η ενέργεια του πρώτου ερωτήµατος µετατρέπεται εν µέρει σε εσωτερική ενέργεια στο µαλακό ιστό, εν µέρει σε εσωτερική ενέργεια στα όργανα, και εν µέρει σε κινητική ενέργεια της ϐελόνας ακριβώς πριν σταµατήσει. Ας γράψουµε τη διατήρηση της ενέργειας για αυτό το πρόβληµα : E sys = 0 (46) K + U sf T k d = 0 (47) K f K i + U sf U si T k d T k2 d 2 = 0 (48) 2 kx2 T k d T k2 d 2 = 2 mu2 f + 0 (49) u f = 6. m/s (50) µε T i τις δυνάµεις αντίστασης των ιστών και των οργάνων.