ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 23/9/2015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

Transcript

1 ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 23/9/2015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη οριζόντια και λεία τροχιά με τη θέση του σε συνάρτηση με το χρόνο, x(t), να δίνεται στο διπλανό σχήμα όπου η αρχή των αξόνων είναι το σημείο (0,0). Για t = 0 δίνεται ότι υ = 0. Αρχικά, για t [0,2] s, το σώμα κινείται με ομαλά μεταβαλλόμενη ταχύτητα και το ίδιο ισχύει για t [4,5] s. α) να υπολογίσετε τη συνάρτηση α(t), για το διάστημα 0 t 5 s. (0.5 μονάδα) β) να υπολογίσετε την ταχύτητα σε συνάρτηση με το χρόνο, υ(t), για το διάστημα 0 t 5 s. (0.5 μονάδα) γ) να βρείτε τη συνάρτηση της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, x(t), για το διάστημα 0 t 5 s. δ) να δώσετε το γράφημα της δύναμης που ασκείται στο σώμα, F(t), για το διάστημα 0 t 5 s. (0.5 μονάδα) ε) να υπολογίσετε τη μεταβολή της ταχύτητας στο διάστημα 0-5 s χρησιμοποιώντας το θεώρημα της ώθησης. Να δείξετε ότι το αποτέλεσμά σας είναι το ίδιο με εκείνο που προκύπτει από τη συνάρτηση υ(t) του ερωτήματος β. α) Σύμφωνα με την εκφώνηση, αφού για t [0,2] s και για t [4,5] s το σώμα κινείται με ομαλά μεταβαλλόμενη ταχύτητα στα χρονικά αυτά διαστήματα η κίνηση είναι ομαλά μεταβαλλόμενη. Για το χρονικό διάστημα [2,4] s βλέπουμε από το γράφημα ότι η θέση είναι ανάλογη του χρόνου. Επομένως, για t [2,4] s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή με α = 0. Τώρα, για t [0,2] s από το γράφημα βλέπουμε ότι πρόκειται για ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και με αφού για t = 0 δίνεται ότι υ = 0 θα έχουμε ότι για το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα θα ισχύει: x(t) = 1 2 α 1t 2 (1) υ(t) = α 1 t (2) Παρατηρώντας ότι για t = 2s έχουμε x = 4m εύκολα βρίσκουμε ότι α 1 = 2 m s 2. Επιπλέον, για t [4,5] s από το γράφημα βλέπουμε ότι πρόκειται για ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση και για το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα θα ισχύει: x(t) = x 0 + υ 0 t 1 2 α 2t 2 (3) όπου x 0 = 12m και, με βάση τη σχέση (2), υ 0 = 4 m. Παρατηρώντας ότι για t = 5s έχουμε x = s

2 14m βρίσκουμε ότι α 2 = 4 m s 2. Προσοχή: για να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (3) για το χρονικό διάστημα t [4,5] s λαμβάνουμε ως αρχικό χρονικό σημείο το t = 4s, επομένως η χρονική στιγμή t = 5s αντιστοιχεί σε χρονικό διάστημα 1s. Τελικά, η επιτάχυνση δίνεται από τη συνάρτηση: 2, t [0,2] s α = { 0, t [2,4] s 4, t [4,5] s (4) β) Από τη σχέση (2) είναι: υ(t) = 2t, t [0,2] s Για t [2,4] s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή, άρα: υ(t) = 4, t [2,4] s και τέλος για t [4,5] s θα ισχύει: υ(t) = υ 0 α 2 t = 4 4(t 4) Τελικά, η ταχύτητα δίνεται από τη συνάρτηση: 2t, t [0,2] s υ(t) = { 4, t [2,4] s 4 4(t 4), t [4,5] s (5) γ) Από τη σχέση (1) είναι: x(t) = 1 2 α 1t 2 = t 2, t [0,2] s Για t [2,4] s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή, με ταχύτητα 4 m/s, άρα: x(t) = (t 2), t [2,4] s Τέλος, για t [4,5] s από τη σχέση (3) έχουμε: x(t) = x 0 + υ 0 (t 4) 1 2 α 2(t 4) 2 = (t 4) 2(t 4) 2 Τελικά, η θέση x(t) δίνεται από τη συνάρτηση: t 2, t [0,2] s x(t) = { (t 2), t [2,4] s (t 4) 2(t 4) 2, t [4,5] s δ) Αφού F = mα και m = 1Kg, με χρήση της σχέσης (4) η δύναμη είναι: 2, t [0,2] s F = { 0, t [2,4] s 4, t [4,5] s (7) ε) Από το ερώτημα β) η μεταβολή της ταχύτητας στο διάστημα 0-5 s είναι: Δυ = υ(5) υ(0) = 0 Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της ώθησης: 5 0 Fdt = mδυ και με βάση τη σχέση (7) έχουμε ότι: Fdt = 0 Δυ = 0 5 0

3 ΑΣΚΗΣΗ 2 Δύο σώματα με ίσες μάζες m 1 και m 2 κινούνται πάνω σε οριζόντιο και λείο επίπεδο με ταχύτητες υ 1 και υ 2, όπως στο σχήμα. Τα σώματα συγκρούονται πλαστικά στο σημείο Ο. α) να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ταχύτητας του συσσωματώματος με τον οριζόντιο άξονα του σχήματος. (0.5 μονάδα) β) να προσδιορίσετε το ποσοστό της αρχικής ενέργειας που χάθηκε κατά την κρούση. α) Η ορμή διατηρείται, οπότε: m 1 υ 1 + m 2 υ 2 = (m 1 + m 2 )υ (1) υ φ και αφού m 1 = m 2, η σχέση (1) γίνεται: m 1 +m 2 υ 1 + υ 2 = 2υ (2) Λόγω των αρχικών διευθύνσεων των διανυσμάτων υ 1 και υ 2 και της σχέσης (2) ισχύει ότι: υ x = υ 1, υ 2 y = υ 2 2 δηλαδή ο συντελεστής διεύθυνσης της ταχύτητας του συσσωματώματος με τον οριζόντιο άξονα του σχήματος θα είναι: tan φ = υ y υ x = υ 2 υ 1 β) Αφού η κρούση γίνεται πάνω σε οριζόντιο και λείο επίπεδο, η αρχική ενέργεια είναι (για ευκολία θέτουμε m = m 1 = m 2 ): Ε Α = 1 2 m 1υ m 2υ 2 2 = 1 2 m(υ υ 2 2 ) (3) Η τελική ενέργεια είναι: Ε Τ = 1 2 (m 1 + m 2 )υ 2 = mυ 2 (4) Από τη σχέση (2), για τα μέτρα των διανυσμάτων ισχύει: υ 2 = 1 4 (υ υ 2 2 ) (5) δηλαδή η σχέση (4) γράφεται: Ε Τ = mυ 2 = 1 4 m(υ υ 2 2 ) = E A 2 Επομένως, το ποσοστό της αρχικής ενέργειας που χάθηκε κατά την κρούση είναι ίσο με 50%.

4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R αφήνεται με οριζόντια ταχύτητα υ 0 πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστές τριβής ολίσθησης μ και στατικής τριβής μ σ χωρίς να περιστρέφεται. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της είναι Ι = 2/5 MR 2. Αρχικά, σε πρώτη φάση η σφαίρα θα εκτελέσει τόσο μεταφορική όσο και περιστροφική κίνηση ολισθαίνοντας πάνω στο οριζόντιο επίπεδο έως ότου, σε δεύτερη φάση, συνεχίσει με κύλιση χωρίς ολίσθηση. α) Να κάνετε τα διαγράμματα ελεύθερου σώματος για τη σφαίρα στις δύο φάσεις κίνησης της εξηγώντας αναλυτικά τις δυνάμεις που θεωρείτε. (2 μονάδες) β) Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης για την πρώτη φάση. γ) Να δείξετε ότι ο χρόνος της πρώτης φάσης, δηλαδή ο χρόνος μέχρις ότου η σφαίρα ξεκινήσει την κίνηση της κύλισης χωρίς ολίσθηση, δίνεται από τη σχέση t = 2υ 0 /7μg. (2 μονάδες) α) Στην πρώτη φάση ολίσθησης, το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη σφαίρα είναι: N T k Οι δυνάμεις είναι το βάρος, mg, η αντίδραση, Ν, και η τριβή ολίσθησης, T k. Το βάρος ασκείται στο κέντρο της σφαίρας ενώ οι υπόλοιπες δύο δυνάμεις ασκούνται στο σημείο επαφής της σφαίρας με το οριζόντιο δάπεδο. Στη δεύτερη φάση της κύλισης, το διάγραμμα ελεύθερου σώματος για τη σφαίρα είναι: mg N T σ Οι δυνάμεις είναι το βάρος, mg, η αντίδραση, Ν, και η στατική τριβή, T σ. Το βάρος ασκείται στο κέντρο της σφαίρας ενώ οι υπόλοιπες δύο δυνάμεις ασκούνται στο σημείο επαφής της σφαίρας με το οριζόντιο δάπεδο. β) Στην πρώτη φάση έχουμε για τη μεταφορική κίνηση: mg T k = mα (1) Ενώ για την περιστροφική με σημείο αναφοράς το κέντρο της σφαίρας: T k R = I C α γ (2) γ) Οι εξισώσεις (1) και (2) δίνουν: T k = mα μmg = mα α = μg (3)

5 T k R = I C α γ μmgr = 2 5 mr2 α γ α γ = 5 2 μg R (4) Συνεπώς, για τη μεταφορική κίνηση: υ C = υ 0 αt = υ 0 μgt (5) και για την περιστροφική: ω = α γ t = 5 2 μg R t Για την κίνηση της κύλισης χωρίς ολίσθηση θα ισχύει ότι: υ C = ωr υ 0 μgt = 5 2 μgt t (7 2 μg) = υ 0 t = 2υ 0 7μg