ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών
|
|
- Βεελζεβούλ Μήτζου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων» ή «πολύ μικρών» τιμών σε τυχαία πειράματα. Η θεωρία αυτή μπορεί χοντρικά να χωριστεί σε δύο μέρη: - το πιθανοθεωρητικό μέρος που αφορά τη μελέτη της στοχαστικής συμπεριφοράς ακραίων παρατηρήσεων, και - το στατιστικό μέρος που αποτελείται από μοντέλα ερμηνείας, εκτιμήσεων και προβλέψεων ακραίων συμβάντων με βάση πραγματικά δεδομένα. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 1
2 Εφαρμογές Σε πάρα πολλές ερευνητικές περιοχές και αφορούν την μοντελοποίηση και μακροπρόθεσμη πρόβλεψη εμφανίσεων ακραίων συμβάντων, π.χ. : Ακραίων καιρικών φαινομένων όπως τυφώνες, έντονες χιονοπτώσεις, μεγάλες πλημμύρες κ.ο.κ. (Μετεωρολογία Μεγάλων σεισμικών δονήσεων σε συγκεκριμένες γεωγραφικές περιοχές (Σεισμολογία Πολύ υψηλών ή πολύ χαμηλών επιπέδων στάθμης των υδάτων σε συγκεκριμένες λίμνες, ποτάμια, φράγματα κ.ο.κ. (Υδρολογία Καταστροφικών βλαβών ή αποτυχιών μηχανημάτων ή εξαρτημάτων, δηλαδή αποτυχιών που γίνονται σε σύντομο χρονικό διάστημα από την έναρξη λειτουργίας τους, πολύ πριν το μέσο χρόνο λειτουργίας ή ζωής τους (Αξιοπιστία Συστημάτων Ηλιακών καταιγίδων που επηρεάζουν τις τηλεπικοινωνίες ή εκρήξεων υπερκαινοφανών (Αστρονομία κ.ο.κ Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 2
3 Εφαρμογές στην Ασφάλιση και στα Χρηματοοικονομικά Τα περισσότερα παραπάνω παραδείγματα μπορεί να οδηγήσουν σε απαιτήσεις πολύ μεγάλων αποζημιώσεων, ή σε πολύ μεγάλες ζημιές σε χαρτοφυλάκια που περιέχουν τίτλους των οποίων η αξία μπορεί να επηρεάζεται από ακραία ή γενικότερα «σπάνια» συμβάντα. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 3
4 Τυπικές ερωτήσεις - Ποια είναι η πιθανότητα η ταχύτητα του ανέμου σε μια συγκεκριμένη περιοχή, το επόμενο έτος, να υπερβεί ένα προκαθορισμένο υψηλό κατώφλι; - Δεδομένων των μετρήσεων της στάθμης του ύδατος σε ένα φράγμα τα τελευταία 10 έτη, ποια είναι η πρόβλεψη για την υψηλότερη στάθμη στα επόμενα 100 χρόνια; - Ποιο είναι το ύψος του ποσού το οποίο δεν θα υπερβεί καμία απαίτηση ζημιάς (για το επόμενο έτος με πιθανότητα 0.1%;. κ.ο.κ. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 4
5 Παράδειγμα Μία μεγάλη ασφαλιστική εταιρία έχει καταγράψει τις ημερήσιες απαιτήσεις ζημίας που κλήθηκε να καλύψει τα προηγούμενα τρία έτη. ( > ευρώ. Θεωρούμε ότι δεν εμφανίζουν κάποια περιοδικότητα και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. (πρόκειται για ημερήσιες απαιτήσεις, και επομένως, αν υπάρχει κάποιο ακραίο γεγονός που «γεννά» πολλές απαιτήσεις ταυτόχρονα, αυτές θα μετρηθούν ως μια απαίτηση. Τα δεδομένα καταγράφονται στο επόμενο γράφημα: στον οριζόντιο άξονα αναπαρίσταται ο χρόνος, ενώ στον κάθετο άξονα αναπαρίσταται το ύψος της ημερήσιας απαίτησης ζημίας (σε χιλιάδες ευρώ: i. 1st Quarter eia ea 3r Quarter a Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 5
6 Επίσης το ιστόγραμμα, το γράφημα της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής, το θηκόγραμμα, καθώς και το Q-Q plot ως προς την εκθετική κατανομή αντίστοιχα είναι Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 6
7 Διαφαίνεται ότι οι παρατηρήσεις ίσως προέρχονται από κάποια κατανομή με βαριά δεξιά ουρά. (Χοντρικά μπορούμε να πούμε ότι ορισμένες παρατηρήσεις μπορεί να είναι πάρα πολύ μεγάλες σε σχέση με τις περισσότερες. Παρατηρούμε ότι, ενώ η μέση παρατηρήση είναι 15.4, έχουμε πολλές παρατηρήσεις πάνω από 30, 40 ακόμη και 50, με μεγαλύτερη την Επίσης από το παραπάνω Q-Q plot των παρατηρήσεων ως προς την εκθετική κατανομή, διαφαίνεται ότι η δεξιά ουρά της κατανομής των παρατηρήσεων είναι πιο βαριά από την εκθετική. Ερωτήματα: - ποια είναι η κατανομή των «πολύ υψηλών» απαιτήσεων ζημιάς; - ποιο είναι το κατώφλι p το οποίο δεν θα υπερβεί καμία απαίτηση ζημιάς (π.χ. για τις επόμενες ημέρες με κάποια δεδομένη πιθανότητα 1 p (π.χ. 99%; κ.ο.κ. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 7
8 Μια πρώτη προσέγγιση του προβλήματος: Υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις X 1,..., X (π.χ. απαιτήσεις ζημιάς προέρχονται από κάποια συγκεκριμένη κατανομή F θ (π.χ. κανονική ή εκθετική, Εκτιμούμε τις άγνωστες παραμέτρους θ (π.χ. μ, σ 2 από τα δεδομένα Μελετούμε την συμπεριφορά της ουράς με βάση την Για παράδειγμα: Το κατώφλι p που αναζητείται παραπάνω προσδιορίζεται από την εξίσωση και επομένως P(ma{X 1,,Χ } < p 1 p P(X 1 < p,, X < p 1 p F θˆ P(X 1 < p P(X < p 1 p F θ ( p 1 p 1 1/ F ((1 p 1 1/ ˆ p Fˆ ((1 p θ p θ Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 8
9 Η παραπάνω διαδικασία σπάνια θα οδηγήσει σε ασφαλείς προβλέψεις διότι: 1 1/ ˆ (1 p 1/ 1 και επομένως η p Fˆ ((1 p βασίζεται αποκλειστικά στη θ μορφή της δεξιάς ουράς της πραγματικής κατανομής των δεδομένων Παρατηρούμε όμως ότι: (1 Η επιλογή της F θ είναι αυθαίρετη και τίποτε δεν εγγυάται ότι η δεξιά ουρά της παρουσιάζει την ίδια συμπεριφορά με την πραγματική ουρά των δεδομένων. (2 Οι εκτιμήσεις, θˆ, πιθανότατα θα γίνουν με βάση το σύνολο των παρατηρήσεων και επομένως ελάχιστα θα βασίζονται στις ακραίες παρατηρήσεις (που υποδηλώνουν τη μορφή της δεξιάς ουράς της πραγματικής κατανομής των δεδομένων. (3 Ακόμη και να έχει γίνει σωστή επιλογή της F θ, ελάχιστες αποκλίσεις των εκτιμήσεων θˆ από τις πραγματικές τιμές θ, μπορεί να οδηγήσει σε πολύ μεγάλες αποκλίσεις στις εκτιμήσεις που γίνονται «κοντά» στο δεξί όριο της F θ. (4 Πολλές φορές έχουμε στη διάθεσή μας είτε μέγιστες τιμές ανά χρονικές υποπεριόδους (π.χ. μέγιστα ανά εβδομάδα, μήνα ή έτος ή περικομμένα δεδομένα (π.χ. παρατηρήσεις μεγαλύτερες από μία συγκεκριμένη τιμή με αποτέλεσμα να μην μπορούμε εύκολα να εκτιμήσουμε την F θ. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 9
10 Επομένως: Θα πρέπει αναγκαστικά να επικεντρωθούμε αποκλειστικά στην μελέτη της συμπεριφοράς της δεξιάς ουράς της κατανομής των παρατηρήσεων. Ειδικότερα θα πρέπει να βασιστούμε: - Στην κατανομή της μέγιστης παρατήρησης (ανά χρονική περίοδο ή - Στην κατανομή των παρατηρήσεων πάνω από ένα υψηλό κατώφλι. Οι παραπάνω κατανομές προφανώς εξαρτώνται από την κατανομή F των παρατηρήσεων X 1,..., X. Από την στιγμή όμως που η F δεν είναι γνωστή ή δεν μπορεί να εύκολα να εκτιμηθεί, θα πρέπει με κάποιο τρόπο να βασιστούμε - Στην οριακή κατανομή της μέγιστης παρατήρησης (αν υπάρχει ή - Στην οριακή κατανομή των παρατηρήσεων πάνω από ένα υψηλό κατώφλι (αν υπάρχει Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 10
11 Η μορφή της κατανομής της μέγιστης παρατήρησης Έστω Χ, Χ 1, Χ 2,... ii, μη ιδιάζουσες τ.μ. με κοινή σ.κ. F και { X, X } ma 1 2,..., X. Από την μελέτη της μπορούν εύκολα να προκύψουν συμπεράσματα και για την ελάχιστη τιμή διότι, mi{ X1, X 2,..., X } ma{ X1, X 2,..., X }, Η ακριβής σ.κ. της Μ θα είναι P { X, X,..., X } P( X,..., X F( ( P(ma 1 2 1, R. Δεν πρέπει να βασιστούμε στην F, θα πρέπει να προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε την παραπάνω κατανομή, για μεγάλο, ανεξαρτήτως της F Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 11
12 Η σύγκλιση της κατανομής της όταν Συμβολίζουμε με F, το δεξιό άκρο του στηρίγματος της F, F sup{ R : F( < 1}, Το F μπορεί να είναι πεπερασμένο, αλλά μπορεί να ισούται και με άπειρο. Είναι διαισθητικά προφανές ότι, για, ma{x 1, X 2,, X } F Πράγματι: - αν F τότε, για, P( F( 0, R, - ενώ αν F <, τότε P( F( 0, < 1, > F F Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 12
13 Ομοιότητες με τον Νόμο των Μεγάλων Αριθμών και το ΚΟΘ Παρατηρούμε ότι η σχέση θυμίζει την (Νόμος Μεγάλων Αριθμών F X μ H ταχύτητα της σύγκλισης X μ περιγράφεται από το ΚΟΘ (για σ < X σ / μ N(0,1. Παρόμοια, θα μπορούσαμε, «τυποποιώντας» το Μ, να πάρουμε κάτι ανάλογο; Ερώτημα: κάτω από ποιες συνθήκες ισχύει το παραπάνω, και αν ισχύει, ποιες μπορεί να είναι οι ακολουθίες,, 1,2, και η οριακή κατανομή G;. G Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 13
14 Παράδειγμα 1.2. (Χ i ~ Εκθετική Θεωρούμε ότι οι ii τ.μ. Χ 1, Χ 2,..., Χ ~ Εκθετική (λ. Aν πάρουμε λ -1 l, 1/λ, τότε P l λ l + l + ( P( P( (1 F ( 1 λ λ λ + e e λ l λ (1 e (1 e, R, Δηλαδή, το κανονικοποιημένο μέγιστο συγκλίνει στην σ.κ. e Λ ( e, R. Ερωτήματα: (α το ίδιο ισχύει για όλες τις κατανομές; (β η κατανομή Λ (Gumbel είναι η μοναδική οριακή κατανομή οριακού μέγιστου; (γ αν αλλάξουμε τα, μπορεί να προκύψει διαφορετική οριακή κατανομή; Γενικότερα: Αν Χ 1, Χ 2,..., Χ ~ F (άγνωστη που μπορεί να συγκλίνει η Μ ; Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 14
15 Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 15 Για οποιεσδήποτε ακολουθίες, θα ισχύει ότι ( ( P P +,..., ( 1 X X P + < + < F F + + ( 1 ( 1 ( Επομένως, αποδεικνύεται η ακόλουθη πρόταση*: Πρόταση 1.3. Για, R, ( ( e P λ αν και μόνο αν ( ( F λ + όπου λ( [0, ]. *Το αποτέλεσμα αυτό ουσιαστικά οφείλεται στο νόμο των μικρών αριθμών (προσέγγιση της Διωνυμικής ( 1 X I Y i i + > από την κατανομή Poisso.
16 Παραδείγματα μη ύπαρξης οριακής κατανομής του μέγιστου Υπάρχουν περιπτώσεις κατανομών F για τις οποίες δεν μπορούν να βρεθούν ακολουθίες,, ώστε, για κάποια μη-εκφυλισμένη κατανομή G, να ισχύει ότι ( / G. Π.χ. όταν F < και P(Χ i F > 0 (π.χ. Χ i διακριτή με πεπερασμένο πλήθος δυνατών τιμών Για να υπάρχει μια οριακή μη εκφυλισμένη G θα πρέπει lim F ( / F ( 1 (Αν Χ i ~ διακριτή κατανομή στο N {0, 1,... }, θα πρέπει F ( / F ( 1 1 F _ Π.χ. για την κατανομή Poisso * (λ και τη Γεωμετρική * (p κατανομή ισχύει ότι F ( / F ( 1 0 και 1 p < 1 αντίστοιχα και επομένως, για αυτές τις κατανομές, δεν υπάρχει οριακή κατανομή G. *Σε αυτές τις περιπτώσεις, η κατανομή του (Μ / «συγκεντρώνεται» σε μία περιοχή αλλά λόγω του διακριτού της κατανομής «ταλαντεύεται». Για κατάλληλες υπακολουθίες της (Μ / θα υπάρχουν διαφορετικές οριακές κατανομές (πρόκειται για μετατοπίσεις της ίδιας G. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 16
17 Κατανομές που μπορούν να προκύψουν ως όρια μεγίστων: a-stable κατανομές Συμβολίζουμε με D το σύνολο των (μη-εκφυλισμένων κατανομών που μπορούν να προκύψουν ως όριο κάποιου κανονικοποιημένου μέγιστου. Όταν Χ i ~ Εκθετική αποδείξαμε ότι Λ D e Λ( e, R, άρα Ερώτημα: - Είναι η Λ (Gumbel η μοναδική κατανομή που ανήκει στο D, ή μπορούν να προκύψουν και άλλες κατανομές ως όρια κανονικοποιημένου μέγιστου τ.μ. ; Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 17
18 Θα διερευνήσουμε από ποιές κατανομές F, το κανονικοποιημένο μέγιστο (Μ / ακολουθεί και πάλι την ίδια F. Ονομάζουμε ma-stable (μέγιστο-ευσταθή οποιαδήποτε (μη-εκφυλισμένη κατανομή F με την παραπάνω ιδιότητα. Προφανώς ma-stable D Η κατανομή Λ (Gumbel που είδαμε παραπάνω είναι ma-stable: αν Χ i ~ Λ, και επιλέξουμε l και 1, P (l + e e ( P( l + Λ(l + e e. Ερώτημα: Υπάρχουν κατανομές στην κλάση D που δεν είναι ma-stable; Απάντηση (Θεώρημα 1.7: ma-stable D Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 18
19 Σχέδιο Απόδειξης: Aρκεί ν.δ.ο. αν G D τότε G ma-stable - Αν G D, θα υπάρχουν ανεξ. τ.μ. X 1, Χ 2, ~ F ώστε (Μ / G - Θεωρούμε τα μέγιστα σε k το πλήθος ανεξάρτητες -άδες των Χ i : ma{ X ( i1 + 1, X ( i1 + 2,..., X ( i1 }, i 1,2,,k. ( i + ( i - Θα είναι Y ( / G i - Παρατηρούμε ότι ένα κατάλληλα κανονικοποιημένο μέγιστο των Υ 1, Υ 2,, Y, ma{ Y 1,..., Y k k / } k ma{ (1,..., k ( k } k k k k G - Δηλαδή (αν, το κανονικοποιημένο μέγιστο των Y 1, Y 2,, Y που ακολουθούν την G, ακολουθεί και πάλι την G (διότι γράφεται και ως κανονικοποιημένο μέγιστο των X i. Άρα η G θα είναι ma-stable. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 19
20 Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 20 Κατανομές ιδίου τύπου Δύο X, Y (αντ. κατανομές είναι του ίδιου τύπου αν X Y + για κάποια,. Παρατηρούμε ότι αν υπάρχουν, και G έτσι ώστε G, Τότε για ~, ~, για R, 0, G + + ~ ~ και η G είναι ιδίου τύπου με την G. Επομένως, οι ακολουθίες, που εξασφαλίζουν ότι ( / συγκλίνει σε μια οριακή κατανομή G δεν είναι μοναδικές. Μπορούμε δηλαδή να βρούμε και άλλες, και να καταλήξουμε σε μια άλλη οριακή κατανομή G. Αποδεικνύεται όμως ότι καταλήγουμε πάντοτε σε οριακές κατανομές ιδίου τύπου ( / (( ( G G.
21 Προσδιορισμός της κλάσης D Επιθυμούμε να προσδιορίσουμε την κλάση D (δηλ. ποιες κατανομές μπορούν να εμφανιστούν ως όρια κανονικοποιημένων μέγιστων Αφού D ma-stable, αρκεί να προσδιορίσουμε την κλάση των ma-stable κατανομών Έχουμε ήδη βρεί ότι η Λ (Gumbel είναι ma - stable Ερώτημα: Ποιες κατανομές είναι ma-stable; Υπάρχουν και άλλες ma-stable κατανομές εκτος της Gumbel; Tο επόμενο θεώρημα δίνει την απάντηση σε αυτό το ερώτημα: Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 21
22 Το Θεμελιώδες Θεώρημα των Fisher-Tippett Έστω Χ 1, Χ 2,... μια ακολουθία από ii τ.μ. Αν υπάρχουν ακολουθίες > 0, R και μια μη-εκφυλισμένη κατανομή G ώστε ma{ X X 1,..., } G τότε η G θα είναι του ιδίου τύπου με μια από τις τρείς ακόλουθες κατανομές: Frehet: 0, 0 Φ a ( a, a > 0 e, > 0 Weibull: Gumbel: a ( e, 0 Ψa (, a > 0 1, > 0 e Λ( e, R. Οι κατανομές Φ α, Ψ α, Λ καλούνται τυπικές κατανομές ακροτάτων ενώ κατανομές που είναι του ιδίου τύπου με αυτές καλούνται κατανομές ακροτάτων. Σχέδιο Απόδειξης: Αποδεικνύεται ότι οι μόνες (μη-εκφυλισμένες λύσεις της συναρτησιακής εξίσωσης που προκύπτει από τον ορισμό των ma-stable κατανομών, είναι οι τρείς παραπάνω. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 22
23 1 0.8 a 3 a 3 a a 2 a 1 a Frehet (Φ a Weibull (Ψ a Gumbel (Λ Οι κατανομές Φ a και Λ έχουν F, ενώ η Ψ a έχει F 0. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 23
24 Παρατηρήσεις (α Από το Θ. F-T, η ασυμπτωτική κατανομή, G, του ( / των ii Χ 1,,Χ ~ F για οποιαδήποτε σ.κ. F, θα είναι (αν υπάρχει ίση με για κάποιες σταθερές,. (β Οι Λ, Φ α, Ψ α συνδέονται ως εξής: Λ(( / ή Φ α (( / ή Ψ α (( / X ~ Λ e X / a ~ Φ a e X / a (γ Η κατανομή Ψ α αναφέρεται παραπάνω ως κατανομή Weibull. Ουσιαστικά όμως πρόκειται για μια αντεστραμμένη (reverse κατανομή Weibull. (δ Οι κατανομές Frehet, Weibull και Gumbel είναι (οι μόνες ma-stable κατανομές. Αποδεικνύεται εύκολα ότι - αν Χ 1, Χ 2,... ~ Φ α τότε Μ / 1/a ~ Φ α, - αν Χ 1, Χ 2,... ~ Ψ α τότε Μ / 1/a ~ Ψ α - αν Χ 1, Χ 2,... ~ Λ τότε Μ l ~ Λ ~ Ψ a Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 24
25 Ροπογεννήτρια της Gumbel και Ροπές των κατανομών ακροτάτων Αν Χ ~ Λ, αποδεικνύεται ότι E( e tx Γ(1 t, t < 1 (Γ :συνάρτηση Γάμμα. Παραγωγίζοντας την παραπάνω ροπογεννήτρια ως προς t λαμβάνουμε: E (X Γ (1 1 όπου γ lim( l είναι η σταθερά Euler. k k 1 γ Επίσης, αποδεικνύεται ότι V ( X π / 6. 2 Aν Χ ~ Λ, τότε η Y e X/a ~ Φ a και W e X/a ~ Ψ a και άρα E( Y E( e X / a Γ(1 1/ a, a > 1, E( W E( e X / a Γ(1 + 1/ a, a > 0. ενώ αν a 1, η μέση τιμή της Frehet θα είναι E(Y. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 25
26 Παράδειγμα με οριακή κατανομή κανον. μεγίστου την κατανομή Frehet Έστω ii Χ 1, Χ 2,... ~ Cauhy ( F με σ.π.π. f 1 R π (1 +, ( 2 Αν πάρουμε 0, /π, τότε π P( P( P( (1 F ( π π και επειδή, 2 lim F ( f ( lim lim 1, ( π π 1+ 2 προκύπτει τελικά ότι,, R, lim( 1 F ( π lim( 1 F ( ( π π π 1 F ( ep( lim( ( π π π 1 e 1, και επομένως εδώ η οριακή κατανομή είναι η Φ 1. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 26
27 Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 27 Παράδειγμα με οριακή κατανομή κανον. μεγίστου την κατανομή Weibull Έστω ii Χ 1, Χ 2,... ~ Ομοιόμορφη στο [0,1] ( F 1 Επιλέγοντας 1/ και 1, η κατανομή του κανονικοποιημένου μέγιστου θα είναι 1 ( ( ( P P P +, e F (, < 0, η οποία είναι η Ψ 1.
28 Περιοχές έλξης μιας κατανομής ακροτάτων Είδαμε ότι η οριακή κατανομή ενός κανονικοποιημένου μεγίστου ( / των X i έχει τον ίδιο τύπο με μια από τις Λ, Φ α, Ψ α. Επομένως: Σε κάθε κατανομή F των X i, θα αντιστοιχεί μια μοναδική οριακή κατανομή, μία από τις Λ, Φ α, Ψ α (αρκεί το ( / να συγκλίνει, Ερώτημα: Σε ποιες κατανομές F αντιστοιχεί η Λ, σε ποιες η Φ α και σε ποιες η Ψ α ; Ορισμός Μια τ.μ. Χ (ή αντίστοιχα η κατανομή της, F ανήκει «στην περιοχή έλξης μιας κατανομής ακροτάτων G» αν υπάρχουν ακολουθίες > 0, R έτσι ώστε η ( / G. (συμβολικά, Χ ή F DA(G. Είδαμε ότι: Εκθετική DA(Λ, Cauhy DA(Φ a, Ομοιόμορφη DA(Ψ a. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 28
29 Συναρτήσεις ομαλής κύμανσης Ορισμός Μια θετική συνάρτηση h στο (0, καλείται ομαλής κύμανσης (regularly varyig στο με δείκτη a (συμβ. h R a αν h( t lim t h( a, t 0. - Αν a 0 τότε καλείται βραδείας κύμανσης (slowly varyig. - Aν a (t a αν t (0,1 ή 0 αν t (1, καλείται ταχείας κύμανσης (rapily varyig Κάθε συνάρτηση h R a, a R, μπορεί να γραφεί ως h( a L(, όπου L R 0. Παραδείγματα: - Συναρτήσεις βραδείας κύμανσης: οι σταθερές συναρτήσεις, οι συναρτήσεις που συγκλίνουν σε μια σταθερά (στο, και συναρτήσεις που μεταβάλλονται «πολύ αργά» στο όπως η λογαριθμική συνάρτηση, κ.ο.κ. - Συναρτήσεις ομαλής κύμανσης είναι π.χ.: οι συναρτήσεις a, a l(1+ κ.ο.κ. - Συναρτήσεις ταχείας κύμανσης είναι π.χ. οι εκθετικές συναρτήσεις e -. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 29
30 Κατανομές ισοδύναμης ουράς Δύο σ.κ. F, G μπορούν να έχουν διαφορετική μορφή στο R αλλά η δεξιά ουρά τους να έχει την ίδια συμπεριφορά. Θα καλούμε δύο τέτοιες κατανομές «ισοδύναμης ουράς» (tail-equivalet. Ορισμός Δύο σ.κ. F, G έχουν ισοδύναμη ουρά αν F G και, για κάποιο > 0, F ( lim, F G ( Αν δύο σ.κ. έχουν ισοδύναμη ουρά τότε ανήκουν στην ίδια περιοχή έλξης μιας κατανομής ακροτάτων (με τις ίδιες ακολουθίες,. Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 30
31 Μορφή των ακολουθιών, που κανονικοποιούν το Αν Χ i ~ F (συνεχείς τότε οι τ.μ. Y i F(X i, ~ Ομοιόμορφη κατανομή το [0,1] Επομένως: ma{y i } ma{f(x i } F(ma {X i } F( 1 1 (διότι η ma{y i } από ομοιόμορφες τ.μ. έχει μέση τιμή 1 1. Άρα, γενικά, F 1 (1 1 και είναι λογικό να εξετάσουμε αν μπορούμε να επιλέξουμε F 1 (1 1 ή F 1 (1 1. Για να αντιμετωπίσουμε και την περίπτωση που η F δεν αντιστρέφεται ορίζουμε την γενικευμένη αντίστροφη μιας σ.κ. F: F ( t if F 1 ([ t,1] if{ R : F( [ t,1]}, 0 < t < 1. (αν η F είναι αντιστρέψιμη τότε F 1 F Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 31
32 Η περιοχή έλξης της Φ α (Frehet Για την a a Φ ( 1 e, a > 0, ισχύει ότι a a a ( t a1 ( t a ( t Φa ( t 1 e ( a( t t e t e a lim lim a lim a lim a t, Φ a a ( e 1 1 ( a e e και επομένως, Φa R -a (ομαλής κύμανσης με δείκτη a. Ερώτηση: Οι κατανομές με την «ίδια» ουρά (δηλ. ομαλής κύμανσης με δείκτη a ανήκουν όλες στην περιοχή έλξης της Φ a ; Απάντηση: ΝΑΙ Μια σ.κ. F DA(Φ a αν και μόνο αν F R -a, a > 0. Αν F DA(Φ a τότε F και όπου F (1 1 και 0. / Φ, Παραδείγματα: Pareto, Cauhy, Loggamma DA(Φ a a Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 32
33 Η περιοχή έλξης της Ψ α (Weibull 1 Παρατηρούμε ότι Φa ( Ψa (0 και επειδή Φa ( R -a έπεται ότι και 1 1 Ψa (0 Ψa ( F R -a (η Ψ a έχει F 0. 1 Ερώτηση: οι σ.κ. F με F ( F R -a θα ανήκουν πάντοτε στην DA(Ψ a ; Απάντηση: ΝΑΙ 1 Μια σ.κ. F DA(Ψ a αν και μόνο αν F < και F ( F R -a, a > 0. Αν F DA(Ψ a τότε όπου 1 F (1, F F. Ψ a, Παραδείγματα: Ομοιόμορφη, Βήτα DA(Ψ a Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 33
34 Η περιοχή έλξης της Λ (Gumbel Ισχύει ότι lim Λ( / e 1 και άρα, Δηλαδή, Λ (ταχείας κύμανσης. R Λ ( ( e, όπου ( 1 για. Ερώτηση: Η κλάση DA(Λ περιλαμβάνει μόνο κατανομές με F R ; Απάντηση: ΝΑΙ, αρκεί F. Αλλά υπάρχουν και F στην DA(Λ με F <. Γενικά αποδ. ότι: μια σ.κ. F DA(Λ αν και μόνο αν μπορεί να αναπαρασταθεί F ( ( e z g( t t a( t για κάποιο z < F, όπου, g είναι συναρτήσεις με ( 0 > 0, g( 1 όταν F, και lim a ( 0. F Επίσης, αν μια κατανομή F DA(Λ έχοντας την παραπάνω αναπαράσταση, τότε 1 ( / Λ όπου F (1, a(. Παραδείγματα: Εκθετική, Weibull, Κανονική, Λογαριθμοκανονική κ.α., z < < F Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 34
35 Συνοψίζοντας, παρατίθεται ο ακόλουθος πίνακας: Weibull (Reverse Weibull Gumbel Frehet Ψ a ( e ( a, 0, a > 0 Λ( e e, R a Φa ( e, > 0, a > 0 F ( F 1 DA: F <, a L( R (L R 0 a F ( ( e DA: F, z g( t t a( t ( 0 > 0, g( 1, a ( 0, F, z < < F F ( DA: F, a L( R (L R 0 F F (1-1, F a(, F (1-1 F (1-1, 0 Uiform, Beta, Epoetial, Weibull (ot reverse, Gamma, Normal, Logormal a Cauhy, Pareto, Loggamma, Burr, Etreme Value Theory (slies, , Boutsikas ihael 35
Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών
Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΠροπαρασκευαστικό μάθημα: Αναλογισμός. Κ. Πολίτης. Πανεπιστήμιο Πειραιά, Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Οκτώβριος 2014
ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Προπαρασκευαστικό μάθημα: Αναλογισμός Κ. Πολίτης Πανεπιστήμιο Πειραιά, Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Οκτώβριος 2014 1 Τι είναι αναλογισμός;
Διαβάστε περισσότεραΜονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση
4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Εκτιμητική
Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΞέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.
Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή
Διαβάστε περισσότεραX = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Διαβάστε περισσότερα3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 7/07/207 Πρωί: Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αρχές Αναλογιστικής Προτυποποίησης, Κατασκευή και Αξιολόγηση Αναλογιστικών Προτύπων. Οι αναλογιστές μιας εταιρείας μοντελοποιούν την
Διαβάστε περισσότερα( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή
ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι τα εβδομαδιαία έσοδα μιας επιχείρησης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 1000 και τυπική απόκλιση 15. α. Ποια η πιθανότητα i. η επιχείρηση να έχει έσοδα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 2 ου κεφαλαίου Σταύρος Χατζόπουλος 20/02/2017, 06/03/2017, 13/03/2017 1 Κεφάλαιο 2. Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Τα προβλήματα ελέγχου υποθέσεων απορρέουν από παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη12)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη) Για διακριτή τυχαία μεταβλητή ισχύει μία συνάρτηση πιθανότητας ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: (α) ( ) 0, για κάθε i,, i (β) ( i ) i S Παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραPr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές Η Χρήση των Θεωρητικών
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών
ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών ΜΕΜ 74 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 9 Ζήτημα Α Α. Δείξτε ότι αν p, q πραγματιϰά πολυώνυμα ίδιου βαϑμού, τότε p q ϰαϑώς ±. Λύση. Αρϰεί να δείξουμε ότι για με αρϰετά μεγάλο
Διαβάστε περισσότεραΜαρκοβιανές Αλυσίδες
Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό
Διαβάστε περισσότεραg(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης
Διαβάστε περισσότερα2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2 dx = 1. (13.1) e x2 dx. e y2 dy, I = 2. e (y2 +z 2) dy dz.
Κεφάλαιο 3 Κ.Ο.Θ.: Λίγη θεωρία και αποδείξεις Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε τέσσερις αποδείξεις αποτελεσμάτων που σχετίζονται με την κανονική κατανομή και το Κ.Ο.Θ., οι οποίες είναι αρκετά πιο απαιτητικές,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΥ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών
Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών επεξεργασιών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραII. Τυχαίες Μεταβλητές
II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο
Διαβάστε περισσότεραΌριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς
Διαβάστε περισσότερα4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.
8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.kouras@fm.aga.gr Τηλ: 7035468 Κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν
Διαβάστε περισσότεραΖημιοκατανομές και Θεωρία Ακραίων Τιμών
Ζημιοκατανομές και Θεωρία Ακραίων Τιμών Χατζηκωνσταντής Παναγιώτης ΜΑΕ/07023 Τμήμα Στατιστικής Επιστήμης και Ασφαλίσεων Υγείας M.Sc. Aναλογιστικής Επιστήμης και Risk Mgemet Πανεπιστήμιο Πειραιώς (2007)
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην κανονική κατανομή και την χρήση της στην Υδρολογία Σ.Η.Καραλής
Βασική στατιστική Υδρολογία Εισαγωγή στην κανονική κατανομή και την χρήση της στην Υδρολογία Σ.Η.Καραλής 1. Ορολογία 2. Ιστογράμματα συχνοτήτων 3. Ιδιότητες κανονικής κατανομής 4. Πίνακες τυποποιημένης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΣύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις
Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραDunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA
Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραf(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)
Κεφάλαιο 11 Συνεχείς κατανομές και ο Ν.Μ.Α. Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε την έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, και είδαμε τις βασικές της ιδιότητες. Εδώ θα περιγράψουμε κάποιους ιδιαίτερους τύπους
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Διαβάστε περισσότερασ.π.π. Γεωμετρικής Κατανομής με p=0, Αριθμός επιτυχιών μέχρι την πρώτη επιτυχία
Ν(n) 2.11 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν αντί της ερώτησης "πόσες επιτυχίες σημειώνονται σε n δοκιμές Bernoulli;" ενδιαφέρει η ερώτηση "πόσες δοκιμές απαιτούνται μέχρι να σημειωθεί η πρώτη επιτυχία;", οδηγούμαστε
Διαβάστε περισσότεραΌταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.
Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+
Διαβάστε περισσότεραΓνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή
Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραΥ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών
Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότερα2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
.5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραf(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου
Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής
Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ
Διαβάστε περισσότεραΤο Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Διαβάστε περισσότεραf I X i I f i X, για κάθεi I.
47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα
Διαβάστε περισσότερα(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π
Κεφάλαιο Στατιστικές έννοιες στην Υδρολογία Τα φυσικά γεγονότα όπως είναι οι βροχοπτώσεις, η εξατμισοδιαπνοή και η απορροή είναι από τη φύση τους τυχαία. Οι παρατηρήσεις μας γι αυτά συχνά περιλαμβάνουν
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές
Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Η σ.κ.π. F() είναι παντού συνεχής F PX t dt H σ.π.π. df d Ισχύει ότι d F Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 () Πιθανότητες & Στατιστική
Διαβάστε περισσότεραΤο Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΚατανομές Πιθανοτήτων. Γεωργία Φουτσιτζή, Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ.
Κατανομές Πιθανοτήτων Γεωργία Φουτσιτζή, Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ. Έτος 2018-2019 1 Περιεχόμενα Ενότητας Βασικές έννοιες από τη θεωρία Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,
Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο
Διαβάστε περισσότεραpdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 8-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Κατ αρχάς θα δούμε μια πολλή απλή πρόταση. 0xx x x ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι ο έχει την εξής ιδιότητα: x για κάθε x > 0. Τότε 0. Απόδειξη. Για να καταλήξουμε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!
Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραΚ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!!
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 25/6/2018 Πρωί: Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αρχές Αναλογιστικής Προτυποποίησης, Κατασκευή και Αξιολόγηση Αναλογιστικών Προτύπων Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α!!!!! 1/15 1. Η κατανομή
Διαβάστε περισσότεραΟι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο
ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Μια βιοτεχνία καθαρισμού ρούχων λειτουργεί καθημερινά 8 ώρες. Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 4 παραγγελίες την ημέρα για καθαρισμό ενδυμάτων. (ι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης
Διαβάστε περισσότερα