6. GAIA: Oinarrizko estatistika

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6. GAIA: Oinarrizko estatistika"

Transcript

1 6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea

2

3 Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika Estatistika deskribatzailea Taula estatistikoa Parametro estatistikoak Adierazpen grafikoak Probabilitate-Teoria Probabilitatea Zorizko aldagaiak Parametroak Banaketak Inferentzia estatistikoa Puntu-estimatzaileak eta konfiantza-tarteak KT populazio-batezbestekorako KT populazio-bariantzarako KT populazio-proportziorako KT bi populazio-batezbestekoen diferentziarako KT bi populazio-bariantzen zatidurarako KT bi populazio-proportzioen diferentziarako iii

4

5 6. gaia Oinarrizko estatistika. Naturako fenomenoetan oinarrituta dauden zenbakizko datuak aztertzeko, eta baieztapen edo lege batzuk onar daitezkeen ebazteko metodoak ematen dituen zientzia da Estatistika. Naturako fenomenotzat honako hauek joko ditugu: alde batetik, natura bizidun eta bizigabean pertsonaren kontrolik gabe gertatzen direnak eta beste aldetik, ikertzaileak partzialki eragindakoak, bere kontrolaren menpean. Azken fenomeno horiei esperimentu izena emango diegu. Fenomeno horiek Estatistikaren bidez aztertu ahal izateko, bete behar dituzten baldintzak honako hauek dira: Errepikapena: baldintza egonkorren multzo baten menpean hainbat aldiz errepika daitezke. Zoria: proba bakoitzean ezin daiteke lortuko den emaitza aurresan. Egonkortasuna: egindako proben kopurua emendatuz doan neurrian, emaitza bakoitzaren maiztasun erlatiboak zenbaki batean egonkortasunera jotzen du. Ikerketa zientifiko esperimental batean ondoko urratsak egon ohi dira: 1) populazio eta esperimentuaren helburua (hipotesien planteamendua) argi eta garbi definitzea; 2) laginketaren prozedura edo esperimentua diseinatzea; 3) datuak jasotzea eta aztertzea; 4) lagin-datuetan oinarrituta, populazioari buruzko inferentzia-metodoak burutzea; 5) aurrreikuspenak egitea, ondorioak eta erabakiak hartzea, fidagarritasuna edo konfiantza-maila zehaztuz. Estatistika bi arlo nagusitan banatzen da: Estatistika deskribatzailea eta Inferentzia estatistikoa. 1

6 2 6. gaia. Oinarrizko estatistika Estatistika deskribatzailea. Esperimentuen datuak biltzeaz, aztertzeaz, antolatzeaz eta laburtzeaz arduratzen den Estatistikaren arloa Estatistika deskribatzailea da. Horretarako, taulak, parametro estatistikoak (zenbakizko laburpenak) eta grafikoak erabiltzen dira. Azterketa estatistikoaren helburua den elementu multzoari populazio deitzen zaio. Populazio osoa aztertzea zaila denean lagin bat aukeratzen da. Populazioaren elementuen azpimultzoari zorizko lagin deitzen zaio, non elementu bakoitzaren aukera askea baita eta aukeratua izateko probabilitatea ezaguna baita. Populazioaren elementu guztiek aukeratuak izateko probabilitate berdina duten zorizko laginari zorizko lagin bakun deitzen zaio. Laginaren tamaina laginaren elementu-kopurua da, eta n-ren bidez adierazten da. Izaera aztertzen den populazioaren propietatea da, eta izaerak izan dezakeen era edo egoera bakoitza modalitatea da. Izaerak mota honetakoak izan daitezke: Kualitatiboak: modalitateak ezin daitezke zenbaki eran adierazi. Bi motakoak izan daitezke: ordinalak, modalitateak ordenatu ahal direnean eta nominalak, ordenatu ezin direnean. Kuantitatiboak: modalitateak neurgarriak dira. Bi motakoak ere izan daitezke: diskretuak, modalitateek hartzen duten balio-kopurua (finitua edo infinitua) zenbakigarria denean eta jarraituak, modalitateek hartzen duten balioa, tarte baten barnean, edozein izan daitekeenean. Izaeraren modalitateen neurketari dagokion zenbaki multzoari aldagai estatistiko deitzen zaio. Esate baterako, kutsadura-maila aldagai kualitatibo ordinala izan daiteke, bere modalitateak: oso altua, altua, ertaina, baxua, oso baxua eta nulua izanik; jaioterria, berriz, aldagai kualitatibo nominala da. Aldagai kuantitatibo diskretu baten adibidea adina da, modalitateak {0, 1, 2, 3,...} multzoan daudelako; hala ere, pisua, aldagai kuantitatibo jarraitu moduan kontsidera dezakegu, modalitateak tarte batean hartzen dituztelako balioak.

7 Taula estatistikoa Taula estatistikoa. Demagun populazio edo lagin batean aldagai bat aztertu nahi dela. Estatistika deskribatzaileak ematen duen lehenengo urratsa hauxe da: aztertu nahi den fenomenoari buruzko datuak arduraz biltzea. Datuak bildu eta gero, taula estatistiko edo maiztasun-taula izenekoan ordenatuta aurkeztea da bigarren urratsa. Taula estatistikoan datu hauek adierazten dira: 1. zutabean, X aldagaia eta haren balioak, x i, txikienetik handienera ordenaturik. 2. zutabean, aldagaiaren balio bakoitzari dagokion laginaren ale-kopurua edo maiztasun absolutua, f i. Propietate hauek betetzen dituzte: i) 0 f i n, i = 1,..., k eta ii) k i=1 f i = n, non k aldagaiaren balio desberdinen kopurua den. 3. zutabean, aldagaiaren balio bakoitzari dagokion maiztasun metatua, F i ; hots, txikiagoak diren balio guztien eta horien maiztasun absolutuen batura, F i = i j=1 f j. Propietatea hau betetzen dute: F k = n. 4. zutabean, aldagaiaren balio bakoitzari dagokion maiztasun erlatiboa, h i ; hots, maiztasun absolutua eta lagin tamainaren arteko zatidura, h i = f i /n. Betetzen dituzten propietateak: i) 0 h i 1, i = 1,..., k eta ii) k i=1 h i = 1. Gainera, 100 h i aleen ehunekoa da, portzentajea. 5. zutabean, aldagaiaren balio bakoitzari dagokion maiztasun metatu erlatiboa, H i ; hots, txikiagoak diren balio guztien eta horien maiztasun erlatiboen batura, H i = i j=1 h j. Propietate hau betetzen dute: H k = 1. Gainera, 100 H i portzentaje metatua da. Askotan taulari bi zutabe gehitzen zaizkio, x i f i eta x 2 i f i, parametro estatistikoen kalkulua errazteko asmoz, azken lerroan datuen batura eta karratuen batura adierazten baitira.

8 4 6. gaia. Oinarrizko estatistika adibidea. Laborategi batean plastiko berri baten ezaugarriak aztertu nahi dituzte. Horretarako, zorizko lagin bat kontsideratzean propietate batzuk aztertu dira, haien artean apurtze-erresistentzia. Beraz, izan bedi X = apurtze-erresistentzia izeneko zorizko aldagaia. Lortutako datuak hauek dira: Datu horien azterketa egin baino lehen, jar ditzagun maiztasun-taula estatistikoan. Aurrerago ikusiko dugunez, datuak txikienetik handienera ordenatzeak estatistiko batzuen kalkulua errazteko balio du. Esate baterako, behaketen % 75ek 7.0 edo gutxiagoko apurtze-erresistentzia dauka. Taula 6.i. Maiztasun-taula. x i f i F i h i H i x i f i x 2 i f i Aldagai kuantitatiboetan eta kualitatibo ordinaletan, aipatutako datu guztiak kalkula daitezke. Hala ere, aldagai kualitatibo nominaletan, ordez, soilik dauka zentzurik maiztasun absolutuak eta erlatiboak kalkulatzea.

9 Parametro estatistikoak Parametro estatistikoak. Aztertutako aldagaiaren propietateak laburki eta zehazki deskribatzen dituen zenbakizko balioari estatistiko deitzen zaio. Estatistikoen sailkapena honako hau da: Joera zentraleko estatistikoak: neurriak bere inguruan, nolabait, biltzen dira. Esate baterako, batezbesteko aritmetikoa, mediana eta moda. Posizio-estatistikoak: alde batean behaketen ehuneko zehatz bat uzten dutenak. Pertzentilak, koartilak, dezilak. Sakabanatze-estatistikoak: zentralizazioarekiko sakabanatzea edo kontzentrazioa adierazten duten neurriak. Adibidez, batezbestekoarekiko desbideratzea, heina, koartilarteko heina, bariantza, desbideratze estandarra, kuasibariantza, kuasidesbideratze estandarra, aldakuntzakoefizientea. Forma-estatistikoak: banaketaren itxura adierazten duten zenbakizko balioak. Alborapena eta asimetria koefizientea simetria adierazteko, kurtosia zapaltasuna neurtzeko, besteak beste. Definizioa: Datu bakoitzaren baturaren eta laginaren gai kopuruaren arteko zatidura batezbestekoa da, x. x = n i=1 x i n = k i=1 x if i. n Lagin-fluktuazioekiko sentikorra izan daiteke, muturretan jartzen diren balio bitxiek eragina daukatelako batezbestekoan. Oztopo hau ekiditeko, mediana izeneko estatistikoa dugu, banaketa asimetrikoak ditugunean, joera zentraleko estatistikorik adierazgarriena dena. Definizioa: Mediana, M e, alde bakoitzean ale-kopuru berdina daukan aldagaiaren balioa da, txikienetatik handienera ordenatuta daudela ale horiek; hau da, alde bakoitzean elementuen % 50 uzten duen aldagaiaren balioa. Mediana kalkulatzeko taula estatistikoan %50eko portzentaje metatua bilatu. Baldin H i = 0.50, orduan Me = x i+x i+1 2. Bestela, izan bedi H i, %50eko portzentaje metatutik goitik hurbilen dagoena, hots, H i 1 < 0.50 < H i, orduan, Me = x i.

10 6 6. gaia. Oinarrizko estatistika. Definizioa: Moda, M o, maiztasun handiena daukan aldagaiaren balioa da; hots, aldi-kopuru gehienetan agertzen den neurria. Ez du zertan bakarra izan ezta erdialdean egon. Haren kalkuluan lagineko datu bakar bat erabiltzen denez, informazio asko galtzen da adibidea. Kalkula ditzagun adibideko joera zentraleko estatistikoak apurtze-erresistentzia aldagairako. Em.: Batezbesteko aritmetikoa, x = 132.7/20 = Mediana kalkulatzeko, maiztasun erlatibo metatuen zutabean 0.50 agertzen ez denez, handiagoa den lehenengoa 0.55 da, hots, H 7 < 0.50 < H 8 eta horri dagokion aldagaiaren balioa x 8 = 6.70 da; alegia, Me = Azkenik, maiztasun absoluturik handiena 3 da, eta horri dagokion aldagaiaren balioa 6.50; orduan, Mo = Definizioa: Lagin ordenatua 100 zati berdinetan banatzen dituzten aldagaiaren balioak pertzentilak deitzen dira, p 1, p 2, p 3,..., p 99, p 100 adierazirik. Orokorrean, j. pertzentila, bere ezkerrean balioen %j-a uzten duen aldagaiaren balioa da. j. pertzentila kalkulatzeko taula estatistikoan %j-ko portzentaje metatua bilatu. Baldin H i = j/100, orduan p j = x i+x i+1 2. Bestela, izan bedi H i, %j-ko portzentaje metatutik goitik hurbilen dagoena, hots, H i 1 < j/100 < H i, orduan, p j = x i adibidea. Kalkula ditzagun adibideko 25. eta 75. pertzentilak. Em.: Alde batetik, 25. pertzentila kalkulatzeko, maiztasun erlatibo metatuen zutabean H 5 = 0.25 agertzen denez, p 25 = x 5 + x 6 2 = = Beste aldetik, 75. pertzentila kalkulatzeko, maiztasun erlatibo metatuen zutabean H 11 = 0.75 agertzen denez, p 75 = x 11 + x 12 2 = = Beraz, apurtze-erresistentzia aldagaiaren behaketa zentralen %50a 6.40 eta 7.05 balioen artean dago. Aurreko estatistikoek ez digute ematen laginaren kontzentrazioari buruzko informaziorik. Horretarako hurrengo sakabanatze-estatistikoak ikusiko ditugu.

11 Parametro estatistikoak. 7 Definizioa: Laginaren bariantza batezbestekoarekiko desbideratzeen karratuen batezbestekoa da, eta s 2 n adierazten da. k s 2 i=1 n = (x i x) 2 f i. n Kalkulua errazteko baliokide den ondoko formula erabil daiteke: s 2 n = k i=1 x2 i f i n x 2. Definizioa: Laginaren desbideratze estandarra, s n, bariantzaren erro karratu positiboa da. Batzuetan sakabanatze absolutua edota desbideratze tipikoa ere deitzen diogu. s n = + s 2 n Definizioa: Laginaren kuasibariantza s 2 n 1 adierazten da, eta honela kalkulatzen da: k s 2 i=1 n 1 = (x i x) 2 f i. n 1 Bariantzaren eta kuasibariantzaren arteko erlazioa honako hau da: s 2 n 1 = n n 1 s2 n. Definizioa: Laginaren kuasidesbideratze estandarra, s n 1, kuasibariantzaren erro karratu positiboa da. s n 1 = + s 2 n 1 Definizioa: Laginaren Pearson-en aldakuntza-koefizientea desbideratze estandarraren eta batezbestekoaren arteko zatidura da. Ehunekotara ekarri ondoren, CV (Coeficiente de Variación) adierazten da. Ezin da erabili batezbestekoa nulua denean: CV = s n x 100. Batzuetan sakabanatze erlatiboa ere deitzen diogu, sakabanatzea konparatzeko erabiltzen da eta. Datuek aldakuntzarik ez daukatenean edozein sakabanatze-estatistikoren balioa zero izango da; beste kasuetan balio positiboak bakarrik hartzen dituzte. Zenbat eta sakabanatze handiagoa izan, estatistikoen balioa handiagoa izango da. x, Me, Mo, p i, s n eta s n 1 aldagaiaren unitatetan adierazten dira; s 2 n eta s 2 n 1 aldagaiaren unitate karratutan eta CV dimentsio gabeko kantitatea da eta ehunekotan adierazten da.

12 8 6. gaia. Oinarrizko estatistika. Aldagai kuantitatiboen edozein estatistiko kalkula daiteke. Hala ere, aldagai kualitatibo ordinaletan, soilik Me, Mo eta p i eta azkenik, aldagai kualitatibo nominaletan M o kalkulatzea baino ez dauka zentzurik adibidea. Kalkula itzazu aurreko adibideko sakabanatze estatistikoak apurtze-erresistentzia aldagairako. Em: s 2 x 2 i n = n x 2 = = unitate 2. s n = s 2 n = unitate. s 2 n 1 = = unitate2. s n 1 = = unitate. CV = s 2 n = % Adierazpen grafikoak. Adierazpen grafikoek informazio orokorra, arina eta ulertzeko erraza eskaintzen digute. Aldagaiaren motaren arabera sailka daitezke. Aldagai kuantitatibo diskretuetan, hurrengo grafikoak erakitzen dira: barra-grafikoa, grafiko metakorra, zurtoin eta hosto grafikoa eta kutxadiagrama, besteak beste. * Barra-grafikoa gehien erabiltzen direnetariko bat da. Abzisa-ardatzean aldagaiaren balioak eta ordenatu-ardatzean maiztasun absolutua edo erlatiboak (f i edo h i ) adierazten dira, eta batzuen eta besteen arteko egokitasuna barra-sistema baten bidez deskribatzen dira. Barra guztiek zabalera berdinekoak izan behar dute. Grafiko honetan, moda aurkitzea begibistakoa da. * Grafiko metakorrean, ordenatu-ardatzean maiztasun metatuak edo metatu erlatiboak (F i edo H i ) adierazten dira. Grafiko honetan mediana eta edozein pertzentil arin aurki daitezke. * Zurtoin eta hosto grafikoa, grafiko eta taularen nahasketa da; balio bikoitza osagai bitan banandu: hosto-osagaia (azken zifra) eskuinaldeko zutabe batean eta zurtoin-osagaia (gainontzekoa) ezkerraldeko zutabean adierazita. * Kutxa-diagrama, kutxa batean behaketa zentralen %50 adierazten da (p 25, p 50 eta p 75 erabiliz). Muturretan balio arraroak edo outlierrak daude: (M 1, m 1 ) eta (m 3, M 3 ) tarteetan daudenak outlier moderatuak deitzen dira, adierazirik eta (, M 1 ) eta (M 3, ) tarteetan daudenak izugarrizko outlierrak deitzen dira, * adierazirik; barne hesiak m 1 = p (p 75 p 25 ) eta m 3 = p (p 75 p 25 ) dira eta

13 Adierazpen grafikoak. 9 kanpo hesiak M 1 = p 25 3(p 75 p 25 ) eta M 3 = p (p 75 p 25 ) dira. Behin outlierrak kenduta, balio maximo eta minimoa, kutxatik kanpo marra baten bidez adierazten dira adibidea. Egin itzazu aurreko adibideko apurtze-erresistentzia aldagaiaren grafikoak. Em.: Aipatutako lau grafikoak irudian ikus daitezke. Barra-grafikoa (f) Barra-grafiko metakorra (H) 3 100,0% 80,0% Recuento 2 1 Porcentaje acumulado 60,0% 40,0% 20,0% 0 4,00 5,80 6,10 6,20 6,30 6,50 6,60 6,70 6,80 6,90 7,00 7,10 7,20 8,60 0,0% 4,00 5,80 6,10 6,20 6,30 6,50 6,60 6,70 6,80 6,90 7,00 7,10 7,20 8,60 Apurtze-erresistentzia Apurtze-erresistentzia Kutxa-diagrama 9, ,00 7,00 6,00 5,00 4,00 19 Apurtze-erresistentzia 6.1. irudia. Adibideko grafikoak. Kutxa-diagraman behatu ahal denez bi outlier daude: 4.00 balioa (19. datua) izugarrizko outlierra da eta 8.60 balioa (20. datua) outlier moderatua da. Izan ere, M 1 = 4.45, m 1 = 5.425, m 3 = eta M 3 = 9 direnez, 4.00 (, M 1 ) eta 8.60 (m 3, M 3 ) baitira. Aldagai kuantitatibo jarraituetan, hurrengo adierazpenak erabiltzen dira: barra-grafikoa eta grafiko metakorra (barra ukitzaileekin), histograma, maiztasun-poligonoa, ojiba edo maiztasun-poligono metakorra eta kutxadiagrama, besteak beste.

14 10 6. gaia. Oinarrizko estatistika. Aldagai kualitatibo nominaletan, soilik maiztasun absolutuak eta erlatiboak kalkulatzen direnez, ondoko grafikoak eraiki daitezke: barragrafikoa, sektore-grafikoa, piktograma (irudia) eta kartograma (mapa) eta abar Probabilitate-Teoria Probabilitatea. Esperimentua egin aurretik haren emaitza ezagutzea ezinezkoa denean zorizko deitzen zaio, teorikoki baldintza berdinen menpean etengabe errepika daiteke eta emaitza posible guztien multzoa ezaguna da. Multzo horri zorizko esperimentuaren lagin-espazioa deitzen zaio, eta Ω-ren bidez adierazten da. Lagin-espazioaren azpimultzoei gertaera deitzen zaie, eta letra larrien bidez adierazten dira; haien artean multzo hutsa (ezinezko gertaera, ) eta lagin-espazioa bera (gertaera segurua, Ω) azpimultzo gisa kontuan izan behar dira. Elementu bakar batek osaturiko gertaerei oinarrizko gertaera deitzen zaie, eta elementu batek baino gehiagok osaturikoei gertaera konposatu adibidea. Demagun zorizko esperimentua bi dado botatzean datzala. Eraiki ezazu lagin-espazioa eta edozein gertaera. Em.: Lagin-espazioa: Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)}. Gertaera ugari kontsidera daitezke, izan bedi A = batura 5 izatea gertaera, orduan A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} gertaera konposatua da. Definizioak: A gertaera ez jazotzea beste gertaera bat da eta A-ren kontrako gertaera deitzen da, A adierazirik, A = {x Ω : x / A}. A eta B gertaeren arteko bat gutxienez jazotzea beste gertaera bat da. Gertaera berri honi, A eta B-ren arteko bildura deritzogu, A B adierazirik, A B = {x Ω : x A x B}. A eta B gertaerak batera gertatzen direnean, jazotzen den gertaera A eta B-ren ebakidura deitzen da, A B adierazten delarik, A B = {x Ω : x A x B}.

15 Zorizko aldagaiak. 11 A eta B gertaera bateraezinak dira baldin eta soilik baldin A B = betetzen bada. Beraz, bi gertaera batera jazo ezin direnean, gertaera bateraezinak direla esaten da. Definizioa: Zorizko esperimentu bati loturiko gertaera guztiek osaturiko multzoari Ω-ren parteen multzoa deitzen zaio, hau da, Ω-ren azpimultzo guztiek osaturiko multzoari. P(Ω) adierazten da. Definizioa: Izan bedi zorizko esperimentu bati lotutako Ω lagin-espazioa. P(Ω) [0, 1] definitutako P funtzioa probabilitatea deituko diogu: P : P(Ω) [0, 1] A P (A) ondoko axiomak betetzen baditu: i) P (Ω) = 1 eta ii) A, B P(Ω) non A eta B bateraezinak diren, P (A B) = P (A) + P (B). Propietatea: Izan bedi Ω = A 1 A 2... A n, non A i oinarrizko gertaera guztiak baterazinak eta ekiprobableak baitira (hots, P (A i ) = 1/n, i = 1, 2,..., n). Baldin A = A 1 A 2... A k bada, k n, orduan P (A) = Kard(A) Kard(Ω) = k n = A-ren aldeko oinarrizko gertaera kopurua oinarrizko gertaera kopurua 6.7. adibidea. Aurreko zorizko esperimentuan, zein da 5eko batura lortzeko probabilitatea? Em.: P (A) = Kard(A) Kard(Ω) = 4 36 = 1 9 = Beraz, bi dado airera botatzean, bost lortzeko probabilitatea %11.11-koa da. Definizioa: A eta B gertaera askeak edo independenteak dira baldin P (A) > 0 eta P (B) > 0 izanik, ondokoa betetzen bada: P (A B) = P (A) P (B). Independentziaren esanahia bataren jazoerak bestearengan eraginik ez izatea da Zorizko aldagaiak. Zorizko esperimentu bati lotutako ezaugarri bakoitzari zorizko aldagaia deitzen zaio, aldagaia balioz aldatzen delako, eta zorizkoa bere portaera zoriaren menpean dagoelako eta ezin daitekeekalo aurresan. Horrela, X zorizko aldagaia Ω lagin-espazioan definituta egonik IR-ren balioak hartzen dituen funtzioa da. X : Ω IR. Zorizko aldagaiak letra larriz adierazten dira, eta haientzat egiaztaturiko balioak letra txikiz.

16 12 6. gaia. Oinarrizko estatistika. Zorizko aldagaiak hartzen duten zenbakizko balio motaren arabera, hurrengo bi multzotan sailkatzen dira. X zorizko aldagaia diskretua izango da, baldin hartzen duen zenbakizko balio mota finitua edo infinitu zenbagarria (hau da, zenbaki arrunta) bada. X zorizko aldagaia jarraitua izango da, baldin zenbaki erreal positibo guztiak edo zuzenki edo zuzenerdi baten balio guztiak har baditzake. Zorizko aldagai diskretuak Definizioa: Zorizko aldagai diskretuaren probabilitate-legea aldagaiaren balio bakoitzari bere gertagarritasunaren neurria ematen dion f : IR [0, 1] definitutako funtzioa da: f : IR [0, 1] x f(x) = P (X = x) X aldagaiak hartu ahal dituen balioen multzoa aldagaiaren heina da, finitua Irudi(X) = {x 1, x 2,..., x n } edo infinitu zenbakigarria Irudi(X) = {x 1, x 2,...}. f(x i ) = P (X = x i ) adierazten dugu x i Irudi(X), eta aldagaiak hartzen ez dituen x balio guztientzat f(x) = P (X = x) = 0 betetzen da. Propietateak: 1. f(x) 0, x IR 2. f(x) = x IR x i Irudi(X) P (X = x i ) = 1. Definizioa: Izan bedi X zorizko aldagai diskretua, X-ren banaketafuntzioa F : IR [0, 1] funtzioa da, non F (x) = P (X x) = a x f(a) baita adibidea. Aurreko adibideari lotuta, defini ezazu edozein aldagai diskretu eta interpreta itzazu f eta F funtzioak. Em.: Defini dezagun X = bi dadoen puntuazioaren batura z. a. diskretua. Izan ere, aldagaiaren heina Irudi(X) = {2, 3,..., 12} zenbakigarria baita. Orain, batura 5 izatea izeneko gertaera, (X = 5) moduan adieraz daiteke. Probabilitatea legeak, f(x) = P (X = x), batura posible bakoitza agertzeko probabilitatea adierazten du eta banaketa

17 Zorizko aldagaiak. 13 funtzioak, F (x) = P (X x), x balioa edo gutxiagokoa batzeko probabilitatea. 0, baldin x < 2 1/36, baldin 2 x < 3 3/36, baldin 3 x < 4 1/36, baldin x {2, 12} 6/36, baldin 4 x < 5 2/36, baldin x {3, 11} 10/36, baldin 5 x < 6 3/36, baldin x {4, 10} 15/36, baldin 6 x < 7 f(x) = 4/36, baldin x {5, 9} F (x) = 21/36, baldin 7 x < 8 5/36, baldin x {6, 8} 26/36, baldin 8 x < 9 6/36, baldin x = 7 30/36, baldin 9 x < 10 0, baldin x / I(X) 33/36, baldin 10 x < 11 35/36, baldin 11 x < 12 1, baldin x 12 Probabilitate legea Banaketa funtzioa f(x) 0.5 F(x) X X 6.2. irudia. f eta F funtzioen adierazpen grafikoak. Definizioa: X eta Y bi aldagai diskretuak askeak dira baldin eta solik baldin P ((X = x i ) (Y = y j )) = P (X = x i ) P (Y = y j ) bada. Zorizko aldagai jarraituak Definizioa: Zorizko aldagai jarraituen dentsitate-funtzioa f : IR IR funtzioa da, non axioma hauek betetzen baitira: i) f(x) 0, x IR. ii) f(x)dx = 1. Hau da, f-ren grafikoa eta OX ardatzaren artean geratzen den azalera 1 da. iii) a, b IR, P (a X b) = b a f(x)dx. Hau da, X aldagaia a eta b balioen artean egoteko probabilitatea f-ren grafikoaren x = a eta x = b zuzenen eta OX ardatzaren arteko azalera da.

18 14 6. gaia. Oinarrizko estatistika. Propietateak: 1. a IR, P (X = a) = P (a X a) = a a f(x)dx = a, b IR, P (a < X < b) = P (a X b) = P (a X < b) = P (a < X b). Definizioa: Izan bedi X zorizko aldagai jarraitua, X-ren banaketa funtzioa F : IR [0, 1] funtzio hau da: F (x) = P (X x) = x f(t)dt. Hau da, F -k f-ren grafikoaren eta OX ardatzaren bitartean dagoen azalera adierazten du, x baino txikiagoak diren balioentzat adibidea. Aurreko adibideari lotuta, defini ezazu edozein aldagai jarraitu eta interpreta itzazu f eta F funtzioak. Em.: Demagun bi dadoak 2 metroko luzera duen mahai baten gainean botatzen direla, defini dezagun Y = dado bakoitzetik mahaiaren ertzerainoko distantzien biderkadura (metrotan) z. a. Argi dago jarraitua dela, izan ere, aldagaiaren heina Irudi(Y ) = [0, 4] zenbakigarria ez baita. Defini dezagun ondoko dentsitate funtzioa { 1 f(y) = 4, baldin y [0, 4] 0, baldin y [0, 4] Berez, dentsitate funtzioa da, f(y) 0, y eta f(y)dy = dy = 1 4 (4 0) = 1 axiomak betetzenbaitira. Banaketa hau, konstante baten bidez adierazita, uniformea deitzen da, edozein bi luzera berbereko azpitartetan jausteko probabilitatea berdina delako; izan ere, a, b [0, 4], P (a < Y < b) = b a f(y)dy = b a 4. Banaketa funtzioak, F (y) = P (Y y), distantzien biderkadura y edo gutxiagoko balioa hartzeko probabilitatea adierazten du. Kasu honetan, 0, baldin y < 0 1 F (y) = 4y, baldin y [0, 4] 1, baldin y > 4

19 Parametroak. 15 Dentsitate funtzioa Banaketa funtzioa f(y) 0.5 F(y) Y Y 6.3. irudia. f eta F funtzioen adierazpen grafikoak. Definizioa: X eta Y bi aldagai jarraituak askeak dira baldin eta solik baldin P ((X x) (Y y)) = P (X x) P (Y y) bada Parametroak. Populazioaren ezaugarri bat adierazten duen zorizko aldagai baten propietateak laburki deskribatzen dituen neurriari parametro deitzen zaio. Parametroak letra grekoen bidez adieraziko ditugu. Definizioa: Izan bedi X zorizko aldagai diskretua, haren probabilitatelegea f izanik. X-ren batezbestekoa edo itxaropen matematikoa honela definitzen da: µ = E(X) = x i f(x i ) Definizioa: Izan bedi X zorizko aldagai jarraitua eta haren dentsitatefuntzioa f. X-ren batezbestekoa edo itxaropen matematikoa honela definitzen da: µ = E(x) = i=1 x f(x)dx E(X) geometrikoki irudika daiteke, eta X-ren dentsitate-funtzioaren grafikoan oreka-puntua adierazten du. Probabilitate-masa bere inguruan metatzen den balioa adierazten duen zentralizazio-neurria da. Itxaropen matematikoa aldagaiaren unitate berdinetan adierazten da. Propietateak: 1. E(a) = a 2. E(aX) = ae(x) 3. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). Partikularki, E(a + X) = a + E(X) 4. X eta Y aldagai askeak badira, E(X Y ) = E(X) E(Y )

20 16 6. gaia. Oinarrizko estatistika adibidea. Kalkulatu aurreko adibidearen itxarotako batura eta itxarotako distantzien biderkadura. Em.: µ X = E(X) = 12 x=2 3) P (X = 12) = 7 puntu eta µ Y = E(Y ) = y f(y)dy = x P (X = x) = 2 P (X = 2) + 3 P (X = 4 0 y 1 4 dy = = 2 metro. Definizioa: Izan bedi X zorizko aldagai diskretua, non µ = E(X) baita, X-ren bariantza honela definitzen da: σ 2 = V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (x i µ) 2 f(x i ). i=1 Definizioa: Izan bedi X zorizko aldagai jarraitua, non µ = E(X) baita, X-ren bariantza honela definitzen da: σ 2 = V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (x µ) 2 f(x)dx. Definizioa: Izan bedi X zorizko aldagai diskretu edo jarraitua, X-ren desbideratze estandarra bariantzaren erro karratu positibo gisa definitzen da: σ = V ar(x). Batezbestekoa eta desbideratze estandarra aldagaiaren unitate berdinetan adierazten da. Hala ere, bariantzaren unitateak aldagaiaren unitate karratuak dira. Propietateak: 1. V ar(x) = E(X 2 ) (EX) 2 2. V ar(x) 0 3. V ar(x) = 0 X z.a. konstantea bada (X = a). 4. V ar(a X) = a 2 V ar(x) 5. X eta Y z. aldagai askeak badira, V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) eta V ar(x Y ) = V ar(x) + V ar(y ) adibidea. Kalkulatu aurreko adibidearen bariantza eta desbideratze estandarra.

21 Banaketak. 17 Em.: σx 2 = V ar(x) = E(X2 ) E(X) 2 adierazpena erabiliko dugu. E(X 2 ) = 12 x=2 x2 P (X = x) = 2 2 P (X = 2) P (X = 3) P (X = 12) = puntu 2. Hortaz: σx 2 = E(X2 ) E(X) 2 = = puntu 2 eta σ = puntu. E(Y 2 ) = y f(y)dy = y2 dy = = 16 3 m2. Hortaz: σy 2 = E(Y 2 ) E(Y ) 2 = = 4 3 m2 eta σ = m Banaketak. Zientzia esperimentaletan agertzen diren zorizko fenomeno ugariren eredutzat har daitezkeen banaketak aurkitzea Probabilitate-Teoriaren helburuetariko bat da. Oinarrizko banaketa diskretuen artean, Bernoulli-rena, binomiala, Poisson-ena, hipergeometrikoa eta multinomiala ditugu, besteak beste. Beharbada gehien erabiltzen dena gertaera baten proben errepikapenari dagokion banaketa da, alegia, banaketa binomiala. Banaketa binomiala Demagun zorizko esperimentu bat, non proba bakoitzean arrakasta (A gertaera) edo porrota (A gertaera) lortzen den, P (A) = p eta P (A) = 1 p = q direlarik. Horrelako esperimentuari Bernoulli-ren proba deitzen diogu. Demagun n IN Bernouilliren proba egiten ditugula, probak askeak izanik. Lagin-espazio honen gainean, X = arrakasta-kopurua, zorizko aldagai binomiala definitzen dugu, bere heina Irudi(X) = {0, 1, 2,..., n} izanik, X : Bin(n, p) adierazirik eta haren probabilitate-legea honako hau da: ( n ) f(x) = P (X = x) = p x q n x, x = 0, 1, 2,..., n x Propietateak: 1. Itxaropen matematikoa µ = E(X) = n p da. 2. Bariantza σ 2 = n p q eta desbideratze estandarra σ = n p q. Oharra: Excel programaren bidez, P (X = x) = ( n x ) p x q n x probabilitatea kalkula daiteke DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) adierazpena erabiliz.

22 18 6. gaia. Oinarrizko estatistika adibidea. Lantegi batean pieza mota berezi bat egiten da. Kutxa bateko pieza akastunen kopurua Bin(100, 0.01) banaketa binomialari darraio. Kutxa bat zoriz irekitzen bada, erantzun itzazu ondoko galderak: a) zein da pieza akastun bakar bat aurkitzeko probabilitatea? b) zein da gehienez pieza akastun bat aurkitzekoa? c) zein da espero dugun pieza akastunen kopurua? d) zein da desbideratzea? Em.: Pieza bakoitza kontsideratzean, interesatzen zaigun gertaera (arrakasta gertaera) A = akastuna izatea bada, ondoko aldagaia definitu dezakegu: X = kutxako pieza akastunen kopurua : Bin(n, n) non n = 100 kutxako pieza kopurua den eta p = 0.01 pieza bakoitza akastuna izateko probabilitatea den. a) Orduan, pieza akastun bakar bat aurkitzeko probabilitatea P (X = 1) = ( ) p 1 q 99 = = da. b) Gehienez pieza akastun bat aurkitzeko probabilitatea P (X 1) = P (X = 0) + (X = 1) = ( ) p 0 q = = = da. c) Espero dugun pieza akastuen kopurua µ = E(X) = = 1 pieza d) Desbideratze estandarra σ = V ar(x) = = 0.99 = pieza. Oinarrizko banaketa jarraituen artean, normala, uniformea, esponentziala, beta, gamma, Pearson-en ji karratu, Student-en t, eta Fisher- Snedecor-en F ditugu, besteak beste. Banaketa normala Familia normala zorizko aldagai jarraituen familia garrantzitsuena da. Izan ere, aplikazio praktiko anitz ditu eta interes handiko beste zenbait banaketaren sortzailea da.

23 Banaketak. 19 Definizioa: Izan bedi X zorizko aldagai jarraitua, non haren heina ardatz erreal osoa baita, batezbestekoa µ IR, desbideratze estandarra σ > 0 eta dentsitate-funtzioa: f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x IR Orduan X-k banaketa normalari jarraitzen dio, X : N (µ, σ) adierazirik. Propietateak: 1. Itxaropen matematikoa E(X) = µ. 2. Bariantza V ar(x) = σ 2, eta desbideratze estandarra σ. 3. Banaketa normalaren f dentsitate-funtzioaren grafikoa kanpai itxurako kurba simetrikoa da, eta zentroa µ batezbestekoan dauka, zeina maximoa baita. 4. x = µ σ eta x = µ + σ abzisako puntuak kurbaren inflexio-puntuak dira. (µ σ, µ+σ) tartean ahurtasun negatiboa du kurbak, eta handik kanpo, ahurtasun positiboa. Zenbat eta handiagoa izan σ, orduan eta leunagoa da kurba. simetria ardatza inflexio puntua inflexio puntua x µ σ µ µ+σ 6.4. irudia. N (µ, σ) banaketa normalaren dentsitate-funtzioa. Gauss-en kanpai guztien artean, µ = 0 eta σ = 1 baliodunei kanpai tipiko deritzegu, eta ordenatu-ardatzarekiko simetrikoa da. Banaketa horrek aparteko garrantzia du, zeren eta beste edozein banaketa normali dagozkion probabilitateak kalkulatzeko erreferentzia gisa erabiliko baita. Definizioa: Izan bedi Z : N (0, 1) z.a. eta α [0, 1], P (Z > z α ) = α baldintza betetzen duen balioa, z α adierazten da eta α esangura-mailari dagokion puntu kritikoa deitzen da. Puntu hau aldagaiaren balioa da non balio horren eskuinaldean dentsitate-kurbaren azpian azalera α den. Oharra: Excel programaren bidez, α = P (Z > z α ) = 1 F (z α ) probabilitatea eta z α = F 1 (1 α) puntu kritikoa kalkula daitezke 1- DISTR.NORM.ESTAND(z α ) eta DISTR.NORM.ESTAND.INV(1 α) adierazpenak erabiliz, hurrenez hurren.

24 20 6. gaia. Oinarrizko estatistika adibidea. N (0, 1) banaketaren taula erabiliz, kalkulatu a) P (Z 1.56), b) P (Z < 1.56), c) P (Z 1.56), d) P (Z > 1.56), e) P ( 1.72 Z 1.8), f) a P (Z a) = 0.025, g) a P ( a Z a) = Em.: a) Taulan, puntu batekiko eskuinerantz dagoen azalera agertzen da, 1. zutabean puntu kritikoa, 1. lerroan puntu kritikoaren bigarren hamartarra eta taula barruan azalerak, beraz: P (Z 1.56) = irudia. Banaketa normala: puntu-kritikoa eta banaketafuntzioa. Eta banaketaren simetria erabiliz, b) P (Z < 1.56) = 1 P (Z 1.56) = = c) P (Z 1.56) = P (Z 1.56) = d) P (Z > 1.56) = 1 P (Z 1.56) = 1 P (Z 1.56) = = e) P ( 1.72 Z 1.8) = 1 P (Z > 1.8) P (Z < 1.72) = 1 P (Z > 1.8) P (Z > 1.72) = = Alderantzizko balioak aurkitzeko: f) P (Z a) = P (Z a) = z = a a = 1.96 a = g) P ( a Z a) = P (Z > a) = 0.95 P (Z > a) = a = z a = 1.96.

25 Banaketak. 21 Demagun X : N (µ, σ) dugula eta x 1, x 2 IR, nola kalkula daiteke P (x 1 < X < x 2 ) probabilitatea? Teorikoki, honela: P (x 1 < X < x 2 ) = x2 x 1 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ 2 Hala ere, integral horren kalkulua ez da erraza, eta, horretaz gain, µ-ren eta σ-ren balio bakoitzerako kalkulu berriak egin beharko genituzke teorema. Izan bedi X zorizko aldagaia, non X : N (µ, σ) baita. Orduan: Z = X µ σ aldagai berriari aldagai normal tipifikatu deritzogu, eta haren banaketa hauxe da: Z : N (0, 1). Prozesu horren izena tipifikazioa da, eta ondorioz, planteaturiko edozein probabilitate honela kalkula daiteke: ( ) x1 µ P (x 1 < X < x 2 ) = P σ < X µ σ < x 2 µ σ dx. P (z 1 < Z < z 2 ) adibidea. Izan bedi X = Kubako tenperatura N(30, 5) banaketari darraion aldagaia, N (0, 1) banaketaren taula eta tipifikazioa erabiliz, kalkulatu a) P (X > 36), b) P (X < 40), c) P (25 < X < 35), d) P (20 < X < 40), e) P (15 < X < 45). Em.: a) P (X > 36) = P ( X 30 5 > ) = P (Z > 1.20) = b) P (X < 40) = P ( X 30 5 < ) = P (Z < 2.00) = 1 P (Z 2.00) = = c) P (25 < X < 35) = P ( < X 30 5 < ) = P ( 1.00 < Z < 1.00) = 1 2P (Z 1.00) = = d) P (20 < X < 40) = P ( < X 30 5 < ) = P ( 2.00 < Z < 2.00) = 1 2P (Z 2.00) = = e) P (15 < X < 45) = P ( < X 30 5 < ) = P ( 3.00 < Z < 3.00) = 1 2P (Z 3.00) = = Propietatea: Izan bitez X 1, X 2,..., X n z.a. normalak eta askeak eta α 1, α 2,..., α n IR, orduan, X = α 1 X 1 + α 2 X α n X n z.a. banaketa normalari darraio, non EX = α 1 E(X 1 ) + α 2 E(X 2 )

26 22 6. gaia. Oinarrizko estatistika. α n E(X n ) eta V ar(x) = α1v 2 ar(x 1 ) + α2v 2 ar(x 2 ) αnv 2 ar(x n ) diren. Partikularki, izan bitez X 1, X 2,.., X n z.a. askeak, non X i : N (µ, σ), i = 1, 2,..., n. Orduan, 1. Σ n X 1 + X X n : N (nµ, σ n). Edo baliokideki, Σ n z.a.-ren aldagai tipikikatua Σ n nµ : N (0, 1). 2. X X 1+X X n n : N ( µ, σ n ). σ n Edo baliokideki, X z.a.-ren aldagai tipikikatua X µ σ n : N (0, 1). Banaketa normalari (doi-doi ala gutxi gorabehera) jarraitzen zaion z.a. jarraien kopurua izugarri handia da. Honen azalpen matematikoa, limitearen teorema zentrala delakoa da, teoria estatistikoaren garrantzitsuenetariko bat. Z.a. ugariak, batzen diren oso antzeko bariantza finituko faktore txiki askeen konkurrentziaz sortzen dira teorema. Limitearen Teorema Zentrala Izan bitez X 1, X 2,..., X n, µ batezbesteko eta σ 2 0 bariantza finituko z.a. aske eta berdinki banatuen segida. Orduan, Σ n = X 1 + X X n z.a. asintotikoki N (nµ, σ n) da. Edo era baliokide batera esanda, Σ n nµ σ n N (0, 1) n, aldagai kopurua, zenbat eta handiagoa izan, hurbilketa gero eta hobea izango da. Praktikan, n 30 denean, onartuko dugu hurbilketa hau. Korolarioa: Izan bitez X 1, X 2,..., X n, µ batezbesteko eta σ 2 0 bariantza finituko z.a. aske eta berdinki banatuen segida. Orduan, X X ( ) 1 + X X n σ N µ, n n Edo era baliokide batera esanda, X µ σ/ n N (0, 1)

27 Banaketak adibidea. Demagun aurreko 6.12 adibideari lotuta, 90 kutxa irekitzen direla eta pieza akastunen kopuru osoa zenbatzen dela. Erantzun itzazu ondoko galderak: a) zein da espero dugun pieza akastunen kopuru osoa? b) zein da bariantza? c) zein da pieza akastunen kopuru osoaren banaketa? d) zein da pieza akastunen kopuru osoa 100 baino txikiagoa izateko probabilitatea? Em.: Kutxa bakoitzeko ondoko aldagaia definitzen dugu: X i = i. kutxako pieza akastunen kopurua : Bin(100, 0.01), i = 1, 2,..., 90. Orduan, X 1, X 2,..., X 90 z.a. askeak eta berdinki banatuak dira. Beraz, pieza akastunen kopuru osoa ondoko aldagaia da: = X X 90. a) E( ) = 90 E(X i ) = 90 1 = 90 pieza. b) V ar( ) = 90 V ar(x i ) = = 89.1 pieza 2. c) Beraz, limitearen teorema zentrala erabil daiteke, N (90, 9.44) d) Eskatutako probabilitatea ondokoa da: P ( < 100) = [tipifikatuz] = P ( < teorema. Moivre-ren Teorema ) = P (Z < 1.06) = = Izan bedi X banaketa binomiala duen aldagaia, X : Bin(n, p), non p 0, 1 eta n handia baitira. Orduan, X np npq N (0, 1) Edo bestela esanda, X N (np, npq) Praktikan, n > 50 eta p (0.1, 0.9) direnean edo baliokideki, np > 5 eta nq > 5 direnean, onartzen da hurbilketa hau: Bin(n, p) N (np, npq)

28 24 6. gaia. Oinarrizko estatistika. ji karraturen banaketa Definizioa: Izan bedi p > 0, gamma funtzioa ondoko aldagai errealeko funtzio erreala da: Γ(p) = x p 1 e x dx. 0 Definizioa: X z.a. n IN askatasun-gradutako ji karratu banaketari darraio, baldin { ( 1 2 f(x) = ) n 2 Γ( n 2 ) x n 2 1 e x 2, baldin x > 0 0, baldin x 0 X : χ 2 n adierazten delarik. Propietateak: 1. Itxaropen matematikoa E(X) = n 2. Bariantza V ar(x) = 2n eta desbiderapen estandarra 2n 3. Dentsitate funtzioa [0, + ) tartean definituta dago, jarraitua da eta ez da simetrikoa. 4. n emendatzerakoan, n, beraren grafikoa normalarenera hurbilduz doa. Bereziki, n > 30 bada, ondoko hurbilketa erabiltzen da: χ 2 α;n 1 2 (z α + 2n 1) 2 5. Izan bitez Z 1, Z 2,.., Z n z.a. independenteak, guztiak N (0, 1) izanik. Orduan, Z1 2 + Z Zn 2 : χ 2 n. Definizioa: Izan bedi X : χ 2 n z.a. eta α [0, 1], P (X > χ 2 α;n) = α baldintza betetzen duen balioa, χ 2 α;n adierazten da eta α esangura-mailari dagokion puntu kritikoa deitzen da. Puntu hau aldagaiaren balioa da non balio horren eskuinaldean dentsitate-kurbaren azpian azalera α den. Oharra: Excel programaren bidez, α = P (χ 2 n > χ 2 α;n) probabilitatea eta χ 2 α;n puntu kritikoa kalkula daitezke hurrenez hurren ondoko adierazpenak erabiliz: DISTR.CHI(χ 2 α;n; n) eta PRUEBA.CHI.INV(α; n) adibidea. χ 2 n banaketaren taula erabiliz kalkula itzazu: a) P (χ ), b) P (χ ), c) P (χ 2 11 > 20), d) P ( χ ), e) χ ;16, f) χ ;10, g) χ 2 0.1;100, h) P (χ > 72). Em.: a) Taulan puntu batekiko eskuinerantz dagoen azalerak agertzen direnez, (1. lerroan azalerak, 1. zutabean askatasun-graduak eta taula barruan puntu kritikoak), beraz: P (χ ) = 0.99

29 Banaketak irudia. Ji karraturen banaketa: adibideak eta puntukritikoa. b) P (χ ) = 1 P (χ 2 10 > ) = = 0.01 c) P (χ 2 11 > 20) kalkulatzeko, 20 zenbakia taulan agertzen ez denez, P (χ 2 11 > ) = 0.05 eta P (χ 2 11 > ) = kontuan hartuta, ontzat hartuko dugun hurrengo hurbilketa lortuko dugu: P (χ 2 11 > 20) d) P ( χ ) = P (χ ) P (χ 2 10 > ) = = 0.95 e) χ ;16 = f) χ ;10 kalkulatzeko, 0.80 probabilitatea taulan agertzen ez denez, P (χ 2 10 > ) = 0.10 eta P (χ 2 10 > ) = 0.90 kontuan hartuta, interpolatuz χ ; Ji-karraturen propietateak erabiliz g) χ 2 0.1; (z ) 2 = 1 2 ( ) 2 = h) P (χ > 72) = α χ 2 α;100 = (z α ) (z α + 199) 2 z α = = α = P (Z > ) 1 P (Z > 2.11) = = Student-en t banaketa Definizioa: Izan bitez p, q > 0, beta funtzioa ondoko aldagai biko funtzio erreala da: β(p, q) = 1 0 xp 1 (1 x) q 1 dx. Definizioa: X z.a. n IN askatasun-gradutako Student-en t banaketari darraio, baldin f(x) = 1 β( 1 2, n 2 ) 1 1 n (1 + x2 n ), x IR n+1 2

30 26 6. gaia. Oinarrizko estatistika. X : t n adierazten delarik. Propietateak: 1. Itxaropen matematikoa E(X) = 0 2. Bariantza V ar(x) = n n 2 > 1 (baldin n > 2 bada) eta lim n V ar(x) = 1 3. Dentsitate funtzioa IR-n definituta dago, jarraitua eta simetrikoa da 4. Banaketa normalarekin konparatuz, t banaketa erdialdean normal tipikatua baino baxuagoa da eta isatsetan altuagoa da. Baldin n, orduan t n N (0, 1). Bereziki, n > 30 denean, t n Z : N (0, 1) hurbilketa onartzen da. 5. Izan bitez Z : N (0, 1) z.a. eta X : χ 2 n n askatasun gradutako jikarratu z.a. askeak. Orduan, Z : t n. X/n Definizioa: Izan bedi X : t n z.a. eta α [0, 1], P (X > t α;n ) = α baldintza betetzen duen balioa, t α;n adierazten da eta α esangura-mailari dagokion puntu kritikoa deitzen da. Puntu hau aldagaiaren balioa da non balio horren eskuinaldean dentsitate-kurbaren azpian azalera α den. Oharra: Excel programaren bidez, α = P (t n > t α;n ) probabilitatea eta t α;n puntu kritikoa kalkula daitezke ondoko adierazpenak, hurrenez hurren, erabiliz: DISTR.T(t α;n ; n) eta DISTR.T.INV(2 α; n) adibidea. t n banaketaren taula erabiliz kalkula itzazu: a) P (t 10 > 2), b) P (1 < t 5 < 3), c) t 0.05;10, d) a non P (t 10 a) = 0.90, e) b non P (t 10 b) = 0.20, f) d non P ( d t 10 d) = 0.95, g) t 0.025;900. Em.: Taulan puntu batekiko eskuinerantz dagoen azalerak agertzen direnez, (1. lerroan azalerak, 1. zutabean askatasun-graduak eta taula barruan puntu kritikoak), beraz: 6.7. irudia. Student-en t banaketa: adibideak eta puntukritikoa.

31 Banaketak. 27 a) P (t 10 > 2) kalkulatzeko, 2 zenbakia taulan agertzen ez denez, P (t 10 > ) = 0.05 eta P (t 10 > ) = kontuan hartuta, interpolatuz ontzat hartuko dugun hurrengo hurbilketa lortuko dugu P (t 10 > 2) b) P (1 < t 5 < 3) = P (t 5 > 1) P (t 5 3) eta 1 zein 3 taulan agertzen ez direnez, P (t 5 > ) = 0.20, P (t 5 > ) = 0.10, P (t 5 > ) = eta P (t 5 > ) = kontuan hartuta, interpolatuz P (1 < t 5 < 3) = P (t 5 > 1) P (t 5 3) = c) P (t 10 t 0.05;10 ) = 0.05 t 0.05;10 = d) P (t 10 a) = 0.90 P (t 10 a) = 0.10 a = t 0.10;10 = e) P (t 10 b) = 0.20 P (t 10 b) = 0.20 b = t 0.20;10 b = t 0.20;10 = f) P ( d t 10 d) = P (t 10 > d) = 0.95 P (t 10 > d) = d = t 0.025;10 = g) t 0.025;900 z = 1.96 Fisher-Snedecor-en banaketa Definizioa: X z.a. m IN eta n IN askatasun-graduetako Fisher- Snedecor-en banaketari darraio, baldin f(x) = { 1 β( m 2, n 2 ) ( m n ) m 2 x m 2 1 (1+ m x n ) m+n 2, baldin x > 0 0, baldin x 0 X : F m,n adierazten delarik. Propietateak: 1. Itxaropen matematikoa E(X) = m m 2 (baldin m > 2 bada) 2. Bariantza V ar(x) = 2m2 (m+n 2) n(m 2) 2 (m 4) 1 (baldin m > 4 bada) 3. Dentsitate funtzioa [0, + ) tartean definituta dago, jarraitua da baina ez da simetrikoa 4. Izan bitez X : χ 2 m eta Y : χ 2 n z.a. askeak. Orduan, X/m Y/n : F m,n z.a. m eta n askatasun gradutako Fisher-Snedecor-en banaketari darraio. 5. P (F m,n < a) = P (F n,m > 1 a ), a > 0 6. F 1 α;m,n = 1/F α;n,m

32 28 6. gaia. Oinarrizko estatistika. Definizioa: Izan bedi X : F m,n z.a. eta α [0, 1], P (X > F α;m,n ) = α baldintza betetzen duen balioa, F α;m,n adierazten da eta α esanguramailari dagokion puntu kritikoa deitzen da. Puntu hau aldagaiaren balioa da non balio horren eskuinaldean dentsitate-kurbaren azpian azalera α den. Oharra: Excel programaren bidez, α = P (F m,n > F α;m,n ) probabilitatea eta F α;m,n puntu kritikoa kalkula daitezke DISTR.F(F α;n ; m; n) eta DISTR.F.INV(α; m; n) adierazpenak erabiliz, hurrenez hurren adibidea. F m,n banaketaren taula erabiliz kalkula itzazu: a) F 0.01;10,12, b) F 0.95;15,20, c) P (2.5 F 10,20 3), d) a P (F 10,15 a) = 0.95, e) b P (F 10,14 < b) = 0.01, f) c P (F 10,16 c) = Em.: Taulan puntu batekiko eskuinerantz dagoen azalerak agertzen direnez, (1. lerroan zenbakitzaileen a.g, 1. zutabean izendatzaileen a.g., 2. zutabean azalerak eta taula barruan puntu kritikoak), beraz: a) F 0.01;10,12 = irudia. Fisher-Snedecor-en banaketa: adibideak eta puntu-kritikoa. b) F 0.95;15,20 = 1/F 0.05;20,15 = 1/ = c) P (2.5 F 10,20 3) = P (F 10,20 2.5) P (F 10,20 > 3) kalkulatzeko P (F 10,20 > ) = 0.05, P (F 10,20 > ) = eta P (F 10,20 > ) = 0.01 kontuan hartuta, interpolatuz P (2.5 F 10,20 3) = P (F 10,20 2.5) P (F 10,20 > 3) = d) P (F 10,15 a) = 0.95 P (F 10,15 > a) = 0.05 a = F 0.05;10,15 =

33 Puntu-estimatzaileak eta konfiantza-tarteak. 29 e) P (F 10,14 < b) = 0.01 P (F 14,10 > 1/b) = /b = F 0.01;14,10 b = 1/ = f) P (F 10,16 c) = 0.99 c = F 0.99;10,16 = 1/F 0.01;16,10 = 1/ = Inferentzia estatistikoa. Edozein ikerkuntza estatistikoren helburua da aurrez finkaturiko populazioko aleetan agertzen den ezaugarri (aldagai) bat aztertzea. Populazioa osatzen duten ale guztien informazioa ezagutzen denean, zentsua egiten dela esaten da. Baina, hori ez da beti posiblea edo egokia izaten. Bai populazioa infinitua delako, edo proba hondagarriak direlako, edo elementu potentzialek osatutako populazio bat aztertzen ari garelako, edo luzeegia edota garestiegia izango litzatekeelako. Inferentzia estatistikoa, Probabilitate-Teorian oinarritua, ondoko helburuak betetzen dituen metodo multzoa da: emaitzen inferentziak edo orokortzeak egitea eta haien konfiantza-maila neurtzea; eta aurreko etapan lortutako emaitzak interpretatzea eta erabakiak hartzea. Inferentzia estatistikoa arlo bitan sailka daiteke: Estimazioa: laginean lortutako estatistikoen bidez, populazioko parametro ezezagunetara hurbiltzea da. Hipotesi-kontrastea: hipotesia planteatu ondoren, lagineko estatistikoen balioen arabera hipotesia onartzeko edo errefusatzeko metodoan datza. Hipotesiak populazioko parametro bati edo batzuei buruzkoak izan daitezke edo doikuntz egokitasunari, askatasunari, homogeneotasunari, zorizkotasunari eta abarreri buruzkoak Puntu-estimatzaileak eta konfiantza-tarteak. Estimazioa populazio parametroak estimatzean datza. Bereziki, populazio-batezbestekoa, µ, eta populazio-bariantza, σ 2, estimatu nahi izango ditugu. Partikularki, X aldagai binomiala den kasuan, bere populazioproportzioa, p, interesatuko zaigu. Populazioaren parametro batera hurbiltzeko erabiltzen den estatistikoa estimatzailea da. Estimatzaile posible guztien artean hoberenak kontsideratzen dira, hots, estatistikoki zentratuak eta efizienteenak direnak.

34 30 6. gaia. Oinarrizko estatistika. Definizioa: Izan bedi µ batezbestekoa eta σ 2 bariantza dituen populaziotik ateratako X 1, X 2,..., X n zorizko lagin bakuna. Orduan: X = X 1 + X X n, n lagin-batezbestekoa izeneko zorizko aldagaia µ-ren puntu-estimatzailea da. Definizioa: Izan bedi µ batezbestekoa eta σ 2 bariantza dituen populaziotik ateratako X 1, X 2,..., X n zorizko lagin bakuna. Orduan, S 2 n 1 = 1 n 1 n (X i X) 2, lagin-kuasibariantza izeneko zorizko aldagaia σ 2 -ren puntu-estimatzailea da. Definizioa: Izan bedi X, n eta p parametroetako banaketa binomialari darraion zorizko aldagaia, X : Bin(n, p). Orduan, ˆP = X n i=1 = n probatan arrakasta-kopurua proba-kopurua lagin-proportzioa izeneko zorizko aldagaia populazio-proportzioaren, p, puntu-estimatzailea da. Estimatzaileak lagin berezi batean hartzen duen zenbakizko balioari parametroaren estimazioa deitzen zaio eta letra xehez adierazten da. Laburbilduz, ˆµ = x, ˆσ = s n 1 eta ˆp = ˆp. Baina, zein da estimatzailearen doitasuna? Lagin-balioak zein puntutaraino dira populazio osoaren adierazgarriak? Zer konfianza-maila daukate ondorioak? Galdera hauek erantzuteko populazioari buruzko hipotesiak eta lagin-errorea aztertu behar ditugu. Ikertzaileak konfiantza-maila finkatzen du, hots, lagin-balioa populazioparametrotik errorea baino gehiago ez urruntzeko probabilitatea. Konfiantza-maila %100tik hurbil dagoen portzentajea denez, %(1 α) 100 moduan adierazten da, non α [0, 1] balioa nahi duen bezain txikia den. Izan bedi θ populazio-parametroa, orduan P (B < θ < G) = 1 α bada, I 1 α θ = (B, G) konfiantza-tartea (KT) da. Esate baterako, maiz erabiltzen den α balioa 0.05 da, hau da, 1 α = 0.95 eta %95eko konfiantza mailari dagokio; P (B < θ < G) = 0.95 Iθ 0.95 = (B, G). Ikertzaileak ere lagin-errorea, ε, finka dezake, hots, populazio-balioaren

35 Puntu-estimatzaileak eta konfiantza-tarteak. 31 eta zorizko lagin baten bidez estimatutako balioen artean espero izandako desberdintasun handiena. Matematikoki, populazio-batezbestekoa estimatzerakoan, P ( µ ˆµ < ε) = P (ˆµ ε < µ < ˆµ + ε) = 1 α eta konfiantza-tartea Iµ 1 α = (µ ε, µ + ε) da. Gure helburua µ, σ 2 eta p populazio parametroetarako konfiantza-tarteak eraikitzea da, hots, lagin-erroreak kalkulatzea, lagin bakar baten kasuan, hots, Iµ 1 α, I 1 α σ eta I 1 α 2 p. Gainera, bi populazio kasuan, batezbestekoen diferentziarako, barientzen zatidurarako eta proportzioen diferentziarako, hau da, Iµ 1 α 1 µ 2, I 1 α eta I σ1 2/σ2 p 1 α 1 p adibidea. Ezaguna denez, automobilen CO 2 -aren isurien arabera A letratik G letrarainoko ondoko sailkapena dugu. A B C D E F G 100 gr/km gr/km gr/km gr/km gr/km gr/km > 225 gr/km A, B eta C kategoriatan daudenak garbiak kontsideratzen dira. Eusko Jaurlaritzako Ingurumen Sailak, emisioak aztertzeko asmoz, talde ikertzaile bati ikerketa bat eskatu zion. Taldeak hurrengo galderak aztertu behar zituen Eukal Autonomia Erkidego osorako: ko autoak garbiak ziren, batez beste? 2. Nolakoa zen 2004ko autoen emisioen sakabanapena? ko diesel motordun autoen %92a eta gasolinazko %40a garbiak ziren? 4. Lur orotako ibilgailu eta monobolumenen batezbesteko emisioen eta gainontzeko autoen arteko diferentzia 30 gramokoa zen 2004 urtean? urtean CO 2 -aren isuriak 10 gramo jaitsi dira 2004 urtearekiko? 6. Bi motako autoen isurien sakabanapena berdina zen 2004 urtean? ko diesel motordun auto garbien eta gasolinazkoen artean, diferentzia esanguratsurik dago? Talde ikertzaileak galdera hauek aztertzeko, hasierako ikerketa batean 14 autoren lagina kontsideratu zuen, beraien emisioak 2004 urtean eta 2008 urtean neurtuz. Alde batetik, autoak erregaiaren arabera sailkatu

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i 7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela

Διαβάστε περισσότερα

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza

Διαβάστε περισσότερα

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( ) DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Estatistika deskribatzailea.

6.1. Estatistika deskribatzailea. 6. gaia Ariketak. 6.1. Estatistika deskribatzailea. 1. Zerrenda honek edari-makina baten aurrean dauden 15 bezerok txanpona sartzen duenetik edaria atera arteko denbora (segundotan neurtuta) adierazten

Διαβάστε περισσότερα

I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua

I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua I. ikasgaia: Probabilitateen kalkulua 1 Eranskina: Konbinatoria 2 Probabilitate kontzeptua 2.1 Laplaceren erregela 2.2 Maiztasun-ikuspuntua 2.3 Ikuspuntu subjektiboa 3 Gertakizunen aljebra 3.1 Aurkako

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral

Διαβάστε περισσότερα

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune

Διαβάστε περισσότερα

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. 1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi

Διαβάστε περισσότερα

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Josemari Sarasola Gizapedia Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Zer den proba parametrikoa Proba parametrikoak hipotesi parametrikoak (hau da parametro batek hartzen duen balioari buruzkoak) frogatzen

Διαβάστε περισσότερα

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

Aldagai Anitzeko Funtzioak

Aldagai Anitzeko Funtzioak Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x

Διαβάστε περισσότερα

Definizioa. 1.Gaia: Estatistika Deskribatzailea. Definizioa. Definizioa. Definizioa. Definizioa

Definizioa. 1.Gaia: Estatistika Deskribatzailea. Definizioa. Definizioa. Definizioa. Definizioa Defiizioa 1Gaia: Estatistika Deskribatzailea Cristia Alcalde - Aratxa Zatarai Doostiako Uibertsitate Eskola Politekikoa - UPV/EHU Populazioa Elemetu multzo bate ezaugarrire bat ezagutu ahi duguea elemetu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n 5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S

Διαβάστε περισσότερα

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua

Διαβάστε περισσότερα

4. Hipotesiak eta kontraste probak.

4. Hipotesiak eta kontraste probak. 1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa

Διαβάστε περισσότερα

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako

Διαβάστε περισσότερα

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten

Διαβάστε περισσότερα

I. ebazkizuna (1.75 puntu)

I. ebazkizuna (1.75 puntu) ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko uztailaren 7a, 15:00 Iraupena: Ordu t erdi. 1.75: 1.5: 1.25: 1.5: 2: I. ebazkizuna (1.75 puntu) Bi finantza-inbertsio hauek dituzu

Διαβάστε περισσότερα

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN

Διαβάστε περισσότερα

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)

Διαβάστε περισσότερα

GIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1

GIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1 BINOMIALA ETA NORMALA 1 PROBABILITATEA Maiztasu erlatiboa: fr i = f i haditze bada, maiztasuak egokortzera joko dira, p zebaki batera hurbilduz. Probabilitatea p zebakia da. Probabilitateak maiztasue idealizazioak

Διαβάστε περισσότερα

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak 5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen

Διαβάστε περισσότερα

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK

Διαβάστε περισσότερα

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste

Διαβάστε περισσότερα

Estatistika deskribatzailea Excel-en bidez

Estatistika deskribatzailea Excel-en bidez Estatistika deskribatzailea Excel-en bidez Marta Barandiaran Galdos Mª Isabel Orueta Coria EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak 4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. Azterketa ebatziak ikasturtea Donostiako Ekonomia eta Enpresa Fakultatea. EHU

ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. Azterketa ebatziak ikasturtea Donostiako Ekonomia eta Enpresa Fakultatea. EHU ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA Azterketa ebatziak. 2018-2019 ikasturtea Donostiako Ekonomia eta Enpresa Fakultatea. EHU Egilea eta irakasgaiaren irakaslea: Josemari Sarasola Gizapedia gizapedia.hirusta.io

Διαβάστε περισσότερα

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko 9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua

Διαβάστε περισσότερα

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak 9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin

Διαβάστε περισσότερα

1. Aldagaiak. 0. Sarrera. Naturan dauden ezaugarriak neurtzen baditugu, zenbakiengatik ordezka ditzakegu. Horrela sor ditzakegu:

1. Aldagaiak. 0. Sarrera. Naturan dauden ezaugarriak neurtzen baditugu, zenbakiengatik ordezka ditzakegu. Horrela sor ditzakegu: Bioestatistika eta Demografía (. edizioa):. Aldagaiak. Xabier Zupiria 7. Debekatua fotokopiak egitea. Aldagaiak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Aldagai ezberdinak ezberdintzeko:

Διαβάστε περισσότερα

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa 1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten

Διαβάστε περισσότερα

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k 7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a

Διαβάστε περισσότερα

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

Zirkunferentzia eta zirkulua

Zirkunferentzia eta zirkulua 10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................

Διαβάστε περισσότερα

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad

Διαβάστε περισσότερα

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK

Διαβάστε περισσότερα

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore

Διαβάστε περισσότερα

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA: 3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak

Διαβάστε περισσότερα

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa

Διαβάστε περισσότερα

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia

Διαβάστε περισσότερα

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK 4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale

Διαβάστε περισσότερα

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten

Διαβάστε περισσότερα

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a 1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3 K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 13 14 3 K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 31 FUNTZIOAK:

Διαβάστε περισσότερα

Ekuazioak eta sistemak

Ekuazioak eta sistemak 4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10

Διαβάστε περισσότερα

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043 KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa) PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:

Διαβάστε περισσότερα

Oxidazio-erredukzio erreakzioak

Oxidazio-erredukzio erreakzioak Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/

Διαβάστε περισσότερα

ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA

ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE PROBA MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA MODULUA ARIKETAK ERANTZUNAK BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA Modulua MATEMATIKA Oinarrizko Prestakuntza -. maila Erdi Mailako heziketa-zikloetarako

Διαβάστε περισσότερα

Ordenadore bidezko irudigintza

Ordenadore bidezko irudigintza Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa 7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. BIGARREN ZATIA: Praktika. Data: 2012ko ekainaren 25. Ordua: 12:00

ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. BIGARREN ZATIA: Praktika. Data: 2012ko ekainaren 25. Ordua: 12:00 ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA. BIGARREN ZATIA: Praktika. I. ebazkizuna Data: 2012ko ekainaren 25. Ordua: 12:00 Makina bateko erregai-kontsumoa (litrotan) eta ekoizpena (kilotan) jaso dira ordu batzuetan

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak 6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Solido zurruna

5. GAIA Solido zurruna 5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK 1.-100 m 3 aire 33 Km/ordu-ko abiaduran mugitzen ari dira. Zenbateko energia zinetikoa dute? Datua: ρ airea = 1.225 Kg/m 3 2.-Zentral hidroelektriko batean ur Hm

Διαβάστε περισσότερα

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en

Διαβάστε περισσότερα

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma)

Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Termodinamika Gaiari lotutako EDUKIAK (127/2016 Dekretua, Batxilergoko curriculuma) Erreakzio kimikoetako transformazio energetikoak. Espontaneotasuna 1. Energia eta erreakzio kimikoa. Prozesu exotermikoak

Διαβάστε περισσότερα

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2 Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,

Διαβάστε περισσότερα

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Sarrera: telekomunikazio-sistemak

1.1 Sarrera: telekomunikazio-sistemak 1 TELEKOMUNIKAZIOAK 1.1 Sarrera: telekomunikazio-sistemak Telekomunikazio komertzialetan bi sistema nagusi bereiz ditzakegu: irratia eta telebista. Telekomunikazio-sistema horiek, oraingoz, noranzko bakarrekoak

Διαβάστε περισσότερα

UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK ATOMOAREN EGITURA ETA SISTEMA PERIODIKOA. LOTURA KIMIKOA

UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK ATOMOAREN EGITURA ETA SISTEMA PERIODIKOA. LOTURA KIMIKOA UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK ATOMOAREN EGITURA ETA SISTEMA PERIODIKOA. LOTURA KIMIKOA 1. (98 Ekaina) Demagun Cl - eta K + ioiak. a) Beraien konfigurazio elektronikoak idatz itzazu, eta elektroi

Διαβάστε περισσότερα

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira:

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: 1 Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: T= 2,000 C eta P= 50,000 a 100,000 atmosfera baldintza hauek bakarrik ematen dira sakonera 160 Km-koa denean eta beharrezkoak dira miloika eta

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK

2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK 2. ERDIEROALEEN EZAUGARRIAK Gaur egun, dispositibo elektroniko gehienak erdieroale izeneko materialez fabrikatzen dira eta horien ezaugarri elektrikoak dispositiboen funtzionamenduaren oinarriak dira.

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak 1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta

Διαβάστε περισσότερα

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.

Διαβάστε περισσότερα

10. GAIA Ingurune jarraituak

10. GAIA Ingurune jarraituak 10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417 418 10 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko,

Διαβάστε περισσότερα

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,

Διαβάστε περισσότερα

1. Oinarrizko kontzeptuak

1. Oinarrizko kontzeptuak 1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili

Διαβάστε περισσότερα

KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA

KONPUTAGAILUEN TEKNOLOGIAKO LABORATEGIA eman ta zabal zazu Euskal Herriko Unibertsitatea Informatika Fakultatea Konputagailuen rkitektura eta Teknologia saila KONPUTGILUEN TEKNOLOGIKO LBORTEGI KTL'000-00 Bigarren parteko dokumentazioa: Sistema

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko ekainaren 27a, 15:00 - Iraupena: Ordu t erdi. EBAZPENA

ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko ekainaren 27a, 15:00 - Iraupena: Ordu t erdi. EBAZPENA ESTATISTIKA ETA DATUEN ANALISIA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko ekainaren 27a, 15:00 - Iraupena: Ordu t erdi. I. ebazkizuna (2.5 puntu) EBAZPENA Kontxako hondartzan bainu-denboraldian zehar jasotako

Διαβάστε περισσότερα

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA 1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa

Διαβάστε περισσότερα

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak

Διαβάστε περισσότερα

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK 1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA Indar zentralak

4. GAIA Indar zentralak 4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:

Διαβάστε περισσότερα

2011 Kimikako Euskal Olinpiada

2011 Kimikako Euskal Olinpiada 2011 Kimikako Euskal Olinpiada ARAUAK (Arretaz irakurri): Zuzena den erantzunaren inguruan zirkunferentzia bat egin. Ordu bete eta erdiko denbora epean ahalik eta erantzun zuzen gehien eman behar dituzu

Διαβάστε περισσότερα

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da. 9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak

Διαβάστε περισσότερα

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat.

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. EN ETIKA Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. Kantek esan zuen bera baino lehenagoko etikak etika materialak zirela 1 etika materialak Etika haiei material esaten zaie,

Διαβάστε περισσότερα

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md LOGIKA F. Xabier Albizuri - 2018 fx.albizuri@ehu.eus go.ehu.eus/ii-md Logikako bi gaiak: 1. LOGIKA PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU LOGIKA Ikasliburuak: 1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science

Διαβάστε περισσότερα