Πρόχειρες σημειώσεις. Βασισμένες στο βιβλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ. Μέρος Α: Κυκλώματα συνεχούς ρεύματος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόχειρες σημειώσεις. Βασισμένες στο βιβλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ. Μέρος Α: Κυκλώματα συνεχούς ρεύματος"

Transcript

1 Πρόχειρες σημειώσεις Βσισμένες στο ιλίο του Σ.Γ. ΦΡΑΓΚΟΠΟΥΛΟΥ: ΒΑΣΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Μέρος Α: Κυκλώμτ συνεχούς ρεύμτος Κ. Μουτζούρης Τμήμ Ηλεκτρονικής, ΤΕΙ Αθήνς Θερινό εξάμηνο 009 Σελ.

2 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ: ΜΕΓΕΘΗ, ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ, ΜΟΝΑΔΕΣ Μεέθη Τ μεέθη είνι «χρκτηριστικά» που επιδέχοντι «ντικειμενική» μέτρηση (δηλδή ποσοτικό προσδιορισμό) νεξάρτητ πό τις «ικνότητες» κι «ιδιιτερότητες» του πρτηρητή. Προσοχή! Είνι ο χρόνος μέεθος; Είνι το μήκος μέεθος; Είνι η μάζ μέεθος; Είνι η ομορφιά μέεθος; ( ) ( ) ( ) (Χ) Πρόσθεση-φίρεση επιτρέπετι μόνο μετξύ ομοειδών μεεθών! Πολλπλσισμός-διίρεση-ύψωση σε δύνμη επιτρέπετι κι μετξύ ετεροειδών μεεθών! Δικρίνουμε: () Βσικά μεέθη (δεν επιδέχοντι μελύτερη πλοποίηση) () Πράω μεέθη (ορίζοντι συνρτήσει δύο ή περισσότερων σικών μεεθών) () Συντελεστές νλοίς (στθερά μεέθη που συνδέουν ποσοτικά δύο άλλ μεέθη) Το μήκος είνι σικό μέεθος Η τχύτητ είνι πράωο μέεθος Η επιτάχυνση ρύτητς είνι συντελεστής νλοίς Διστάσεις Διάστση (dimension, dim) ενός μεέθους ονομάζετι η πράστση που σχετίζει το μέεθος υτό με τ σικά μεέθη. Προφνώς, διάστση ενός σικού μεέθους είνι ο ευτός του! dim(χρόνος) χρόνος dim(μήκος) μήκος dim(τχύτητ) μήκος / χρόνος dim(επίπεδη ωνί) μήκος /μήκος Πρτηρείστε ότι η διάστση της επίπεδης ωνίς (ή πλά ωνίς) είνι μήκος / μήκος, δηλδή μονδιί. Γι ν το κτνοήσετε υτό, θυμηθείτε τον ορισμό της επίπεδης ωνίς: Γωνί (μήκος τόξου κύκλου) / μήκος κτίνς κύκλου. Συνεπώς, η ωνί έχει μονδιί διάστση, ή διφορετικά είνι διάσττο μέεθος. Μονάδες Οι μονάδες επιτρέπουν τον ποσοτικό προσδιορισμό μεεθών: Έν μέεθος ισούτι ποσοτικά με το ινόμενο ενός ριθμού (που είνι το μέτρο του) κι μίς μονάδς. Συμολίζουμε τη μονάδ ενός μεέθους ως: [μέεθος]. Σωστή χρήση μονάδων είνι σικόττο ζήτημ κι υθίρετη επιλοή μονάδων οδηεί σε σφάλμτ, σύχυση κι έλλειψη επικοινωνίς! Στόχος ενός συστήμτος μονάδων είνι ν ορίσει έν ελάχιστο ριθμό σικών μονάδων (δηλδή μονάδων που ντιστοιχούν σε σικά μεέθη). Είνι επιθυμητό το πλήθος των πράωων μονάδων (δηλδή μονάδων που ντιστοιχούν σε πράω μεέθη) ν συνδέετι με τις σικές μονάδες του συστήμτος χωρίς ριθμητικούς συντελεστές. Έν σύστημ που το επιτυχάνει υτό ονομάζετι συνρμονισμένο. Σελ.

3 Διεθνές σύστημ μονάδων Στις μέρες μς χρησιμοποιούμε σχεδόν ποκλειστικά το διεθνές σύστημ μονάδων. Πίνκς σικών μεεθών διεθνούς συστήμτος Μέεθος/Διάστση Σύμολο Μονάδ Μήκος l m Μάζ m Kg Χρόνος t s Έντση ρεύμτος A Θερμοκρσί T (ή θ) K Ποσότητ ουσίς N mol Φωτεινή έντση ν cd Ενδεικτικές πράωες μονάδες του διεθνούς συστήμτος: Ισχύς P W Ενέρει Ε J Δύνμη F Ν Σημντική πρτήρηση: Ανφέρμε προηουμένως ότι η ωνί έχει μονδιί διάστση. Ορίζετι στο διεθνές σύστημ («κτχρηστικά») ως μονάδ ωνίς το rad. Προφνώς, rad μήκος/μήκος! Αξίζει εδώ ν προσθέσουμε κάποι κόμη σικά σχόλι. Οι τριωνομετρικές συνρτήσεις (ημίτονο, συνημίτονο, εφπτόμενη) έχουν όρισμ ωνί. Κτά συνέπει, δεν επιτρέπετι σε κμί περίπτωση το όρισμ τριωνομετρικής συνάρτησης ν είνι ποσότητ με διστάσεις μονάδες! Το ίδιο κριώς ισχύει κι ι τους λοάριθμους. Οι φοιτητές θ πρέπει ν είνι πολύ προσεκτικοί σε υτό το ζήτημ! Γι ν ποφευχθούν οποιεσδήποτε πρεξηήσεις, πρέπει ν προστεθεί το εξής σχόλιο: Σε ντίθεση με τ κθρά μθημτικά, στη φυσική οι τριωνομετρικές συνρτήσεις μπορούν ν εκφράζουν μεέθη που δεν είνι διάσττ. Σκεφτείτε ι πράδειμ τη ρφική πράστση δύο μεεθών που συνδέοντι ρμμικά, π.χ. δύνμη ρύτητς κι μάζ (λέπε διπλνό σχήμ). Η κλίση της ευθείς του διράμμτος, δηλδή η εφπτομένη της ωνίς φ, εκφράζει το μέεθος της επιτάχυνση της ρύτητς g (σε m/s ). Συνεπώς, η εφπτομένη δεν είνι διάσττη. Πρόλ υτά, το όρισμ της εφπτομένης είνι η ωνί φ κι είνι διάσττο μέεθος! Σελ.

4 Προθέμτ μονάδων Γι λόους συντομίς, είνι συχνή η χρήση προθεμάτων των μονάδων. Έτσι ι πράδειμ, ντί 000 m, μπορούμε ν ράψουμε km. 0-8 a (άττο) 0 8 E (έκσ) Πίνκς σικών προθεμάτων 0-5 f (φέμτο) 0 5 P (πέτ) 0 - p (πίκο) 0 T (τέρ) 0-9 n (νάνο) 0 9 G (ί) 0-6 μ (μίκρο) 0 6 M (μέ) 0 - m (μίλι) 0 k (κίλο) Άλλ προθέμτ: 0 - : c (σάντι) 0 : h (εκτό) 0 - : d (ντέσι) 0 : da (δέκ) Πρτήρηση! Στο ιλίο του μθήμτος (σελ. 8-9) υπάρχει λίστ «υτονόητων» (λλά συχνά πρεξηήσιμων) κνόνων χρήσης προθεμάτων κι μονάδων. Εδώ σημειώνουμε μί πό υτές, που είνι ιδιίτερ σημντική: Ότν μί μονάδ υψώνετι σε δύνμη, η δύνμη ισχύει κι ι το πρόθεμ! Πράδειμ. Υποθέστε σύστημ με μονάδες μήκους το cm, χρόνου το s, κι τχύτητς το m/s. Είνι υτό το σύστημ μονάδων συνρμονισμένο; [τχύτητ] m/s 00 cm/s 00 [μήκος]/[χρόνος]: Δεν είνι συνρμονισμένο Πράδειμ. Υπολοίστε σε m την επιφάνει Α τετρώνου με πλευρά mm. Α (mm) () (mm) (0 - m) 0-6 m Πράδειμ. () Το μήκος, () ο χρόνος, () η τχύτητ, () η έντση ρεύμτος κι (5) το Α (Ampere) είνι: () μέεθος () διάστση () μονάδ () (a) κι () () () κι () () () () () (5) () Σελ.

5 Πράδειμ. Μεττρέψτε: km σε nm, m σε km, μm σε nm, kν/cm σε Ν/m () nm 0-9 m, άρ: m 0 9 nm Έτσι: km 0 m 0 (0 9 nm) 0 nm () km 0 m, άρ: m 0 - km Έτσι: m (0 - km) 0-6 km () μm 0-6 m, κόμη nm 0-9 m Έτσι: μm m 0 nm Κι τελικά: μm (0 nm) 0 9 nm () kν/cm (0 N) / (0 - m) (0 / 0 - ) N/m 0 7 N/m Πράδειμ.5 Γνωρίζετε ότι η κυκλική συχνότητ ω (σε rad/s ή πλά s - ) συνδέετι με τη συχνότητ f (σε Hz) μέσω της σχέσης ωπf. Βρείτε την τιμή της f που ντιστοιχεί σε ω 6, μs -. Θεωρήστε ότι π 6,. ω 6, μs - 6, (0-6 s) - 6, 0 6 s - Έτσι: f ω/(π) (6, 0 6 s - ) / 6, 0 6 s - MHz Πράδειμ.6 Υποθέστε ότι κάποιο μέεθος Α ορίζετι μέσω της σχέσης Α ημ(κ Ι / U - ), όπου είνι έντση ρεύμτος (σε A) κι U τάση (σε V). Υπολοίστε τις μονάδες του μεέθους Κ. Το όρισμ πρέπει ν είνι διάσττο: [Κ] [Ι / ] [U - ] [K] [Ι -/ ] [U ] A -/ V Πράδειμ.7 Γνωρίζετε ότι ο λοάριθμος ινομένου ισούτι με: log(a b) log(a) log (b). Γνωρίζετι κόμη ότι η κυκλική συχνότητ ω έχει μονάδες rad/s (ή πλά s - ). Αννωρίστε ποιες πό τις πρκάτω μθημτικές εκφράσεις είνι σωστές κι ποιες όχι. log(ωt) log(ω) log(t) log(ωt) log(ωt) log(ωt) log(ωt) log(ω t ) log(ω ) log(t ) log(ωt) log(ω) log(t) : Λάθος [δεν ορίζετι το log(ω) κι το log(t)] log(ωt) log(ωt) log(ωt): Σωστό log(ωt) log(ω t ) log(ω ) log(t ): Λάθος [δεν ορίζετι το log(ω ) κι το log(t )] Σελ. 5

6 Πράδειμ.8 Γνωρίζετε ότι η ηλεκτρική τάση U (σε V) συνδέετι με την έντση του ηλεκτρικού ρεύμτος (σε A) μέσω της σχέσης ΙU/, όπου η ντίστση (σε Ω). Υπολοίστε τις εντάσεις που προκύπτουν πό τις ποσότητες: VV mmmm, VV mmmm VV 0 ΩΩ 0,5 0 AA 500 AA μμμμ μμμμ 06 VV 0 6 0,5 AA ΩΩ 0,0kkVV ΩΩ μμμμ μμμμ, 0 0 VV ΩΩ 0,0kkVV ΩΩ, VV MMMM, 5 AA VV MMMM VV 0 6 ΩΩ 0,5 06 AA 0,5 μμaa mmmm 00kkkk 0 VV 0 0 ΩΩ 0 VV 0 5 ΩΩ 0,5 08 ΑΑ ΑΑ 5 nnnn μμμμ kkωω 06 VV 0 ΩΩ 0,5 09 AA 0,5 nnnn 0kkkk 0MMΩΩ 0 0 VV ΩΩ 0,5 0 AA 0,5 mmmm 0VV 0nnΩΩ 0 VV ΩΩ 0,5 09 AA 0,5 GGGG mmmm 00kkkk, 0,mmmm 0,ΩΩ 0 0 VV 0 ΩΩ 0,5 0 AA 0,5 mmmm μμμμ kkωω, 0kkVV 0ΜΜΩΩ, 0VV 0nnΩΩ, 0,mmVV 0,ΩΩ Σελ. 6

7 ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Φορτίο Η δημιουρί του ρεύμτος οφείλετι σε κίνηση ηλεκτρικών φορτίων. Φορτίο Q είνι ιδιότητ της ύλης, ι την οποί διτυπώνουμε ξιωμτικά τέσσερις πρδοχές:. Υπάρχουν δύο ειδών φορτί : το θετικό () κι το ρνητικό (-).. Φορές του μικρότερου δυντού φορτίου (στοιχειώδες φορτίο ή κάντο) είνι το ηλεκτρόνιο ( q 8 e 0,6 0 C ).. Σε έν πομονωμένο σύστημ το φορτίο διτηρείτι.. Το φορτίο σε έν σώμ δε μετάλλετι με την κίνηση (σε ντίθεση με τη μάζ). dim(q) φορτίο [Q] C (Coulomb) Αωιμότητ Η ωιμότητ (δηλ. η ιδιότητ κάποιων υλικών ν επιτρέπουν τη δημιουρί ηλεκτρικού ρεύμτος) εμφνίζετι κτά κύριο λόο σε μέτλλ (ωοί ης κτηορίς). Εμφνίζετι επίσης κι σε οξέ, άσεις κι διλύμτ λάτων (ωοί ης κτηορίς) Τ μέτλλ είνι υλικά που ποτελούντι πό άτομ τοποθετημέν σε «συκεκριμένες» θέσεις (η δομή υτή συχνά νφέρετι κι ως τομικό πλέμ). Σε μί πλουστευμένη εικόν (πρότυπο Bohr/utherford) όλ τ άτομ ποτελούντι πό: Τον πυρήν στο κέντρο («ήλιος») κι πό ηλεκτρόνι-δορυφόρους («πλνήτες»). Ο πυρήνς περιέχει ουδέτερ (νετρόνι) κι θετικά φορτισμέν (πρωτόνι) σωμτίδι. Ο ριθμός των πρωτονίων ισούτι με τον ριθμό των ηλεκτρονίων κι άρ το άτομο είνι ηλεκτρικά ουδέτερο. Τ άτομ κινούντι σε κθορισμένες τροχιές ύρω πό τον πυρήν. Κάθε τροχιά, μπορεί ν φιλοξενεί συκεκριμένο ριθμό ηλεκτρονίων. Σε θερμοκρσί 0Κ, τ ηλεκτρόνι κτλμάνουν τις τροχιές ποιό κοντά στον πυρήν (δηλ. τροχιές ελάχιστης ενέρεις Αρχή ελχιστοποίησης της ενέρεις) Κθώς η θερμοκρσί νείνει, τ ηλεκτρόνι μπορούν ν μετούν σε νώτερες τροχιές, κι στδικά ν ξεφύουν πό το άτομο. Τ ελεύθερ υτά ηλεκτρόνι (νέφος ηλεκτρονίων) περιφέροντι στο τομικό πλέμ κι είνι φορείς της ωιμότητς. Σε θερμοκρσί δωμτίου, η τάξη μεέθους του ριθμού ελεύθερων ηλεκτρονίων στ μέτλλ είνι 0 νά κυικό εκτοστό. Σε ντιδιστολή με τους ωούς, υπάρχουν κι τ ηλεκτρομονωτικά (ή πλά μονωτικά) υλικά, με πολύ μικρότερο ριθμό ελεύθερων ηλεκτρονίων κι άρ μικρότερη (σχεδόν μηδενική) ωιμότητ. Υπάρχουν κόμη υλικά «ενδιάμεσ», νωστά ως ημιωοί. Ν σημειωθεί ότι η κίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων είνι άτκτη: η κτεύθυνσή τους λλάζει διρκώς λόω συκρούσεων με πυρήνες κι άλλ ηλεκτρόνι του πλέμτος. Αυτή η κίνηση δε συνιστά ηλεκτρικό ρεύμ! Αν όμως ο ωός ρεθεί στην επιρροή ενός εξωτερικού πεδίου, τότε τ ηλεκτρόνι θ εκτελέσουν, πράλληλ με την προηούμενη άτκτη κίνησή τους, κι μι συνιστώσ κίνηση προς την κτεύθυνση που επιάλει το πεδίο! Αυτή η κίνηση συνιστά το ηλεκτρικό ρεύμ! Ο προσδιορισμός ποιό φορτίο είνι θετικό κι ποιό ρνητικό, έινε με υθίρετο τρόπο. Η θερμοκρσική εξάρτηση της ωιμότητς σε μέτλλ κι ημιωούς θ εξετστεί νλυτικά στην Ηλεκτρονική Φυσική. Σελ. 7

8 ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΤΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Έντση κι πυκνότητ ρεύμτος Θεωρείστε τον κυλινδρικό μετλλικό ωό του σχήμτος, με διτομή S, μήκος l κι πυκνότητ ελεύθερων ηλεκτρονίων n e (σε cm - ). Προφνώς, σε όκο V l S του ωού, περιέχετι συνολικό φορτίο Q q n V. e e Ας υποθέσουμε ότι υπό την επιρροή πεδίου, τ ελεύθερ ηλεκτρόνι που περιέχοντι στον όκο V περνούν πό τη διτομή του κυλινδρικού ωού S, σε χρόνο t. Ας υποθέσουμε κόμη ότι τ ηλεκτρόνι έχουν ίδι κι στθερή τχύτητ v e. Τότε ορίζετι η έντση του ηλεκτρικού ρεύμτος ως το πηλίκο: ΙΙ QQ qq eenn ee VV TT tt Σημειώστε ότι στη ενικότερη περίπτωση, η τχύτητ των ηλεκτρονίων μπορεί ν μετάλλετι (κτά μέτρο ή/κι κτά διεύθυνση) με το χρόνο. Αυτή η πρτήρηση επιάλει την εισωή ενός ενικότερου ορισμού της έντσης του ρεύμτος. Ποιό συκεκριμέν, ν θεωρήσουμε ότι σε χρόνο Δt περνά τη διτομή S του ωού έν φορτίο ΔQ, τότε η έντση του ρεύμτος ορίζετι ως: ΔΔQQ ii llllll ΔΔtt 0 ΔΔtt dddd dddd Πρτηρείστε ότι στην πρώτη περίπτωση (στθερή τχύτητ ηλεκτρονίων, κι άρ στθερό ή χρονικά μετάλητο ρεύμ) χρησιμοποιούμε κεφλίο συμολισμό. Στη δεύτερη περίπτωση (χρονικά μετλλόμενο ρεύμ) χρησιμοποιούμε μικρά ράμμτ. Συχνά χρησιμοποιούμε την πυκνότητ του ηλεκτρικού ρεύμτος J, η οποί ορίζετι ως η έντση του ρεύμτος νά επιφάνει. Η πυκνότητ ρεύμτος μς επιτρέπει ν συκρίνουμε ποσοτικά διφορετικά ρεύμτ νεξάρτητ πό τη εωμετρί των ωών στους οποίους νπτύσσοντι. Λμάνοντς υπόψη ότι V l S (λ. Σχήμ), τότε: JJ SS nn eeqq ee l nn tt ee qq ee νν ee Πρτηρείστε κόμη ότι η έντση του ρεύμτος ορίστηκε σν πράωο μέεθος, συνρτήσει του φορτίου κι του χρόνου. Είδμε όμως προηούμεν ότι στο διεθνές σύστημ η έντση ρεύμτος ποτελεί σικό (κι όχι πράωο) μέεθος. Η νκολουθί υτή οφείλετι σε μεθοδολοικούς λόους κι έχει στόχο την κλύτερη κτνόηση. Με υτή την πρτήρηση κτά νου, κι δεδομένες τις μονάδες μέτρησης φορτίου, μπορούμε ν ράψουμε: dim(ι) φορτίο / χρόνος [Ι] C/s A (Ampere) dim(j) έντση / επιφάνει [Ι] Α/m Ανφερόμστε σφλώς στη συνιστώσ εκείνη της τχύτητς των ηλεκτρονίων που χρκτηρίζει την κτευθυνόμενη κίνησή τους εξιτίς του πεδίου, κι όχι στην τυχί θερμική τους κίνηση. Είνι επίσης σφές, όπως υποδεικνύετι στο σχήμ, ότι το μέτρο της τχύτητς υτής ισούτι με l / t Σελ. 8

9 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΤΑΣΗ Εξηήσμε προηούμεν πώς δημιουρείτι το ηλεκτρικό ρεύμ ως κτευθυνόμενη κίνηση φορτίων κι ορίσμε την έντση κι την πυκνότητ του ρεύμτος. Γι το ίτιο, όμως, που προκλεί το ρεύμ, νφερθήκμε «όριστ» στην έννοι του πεδίου. Θ ορίσουμε ποιό νλυτικά το ηλεκτρικό δυνμικό ως ίτιο δημιουρίς του ρεύμτος. Γι την κλύτερη κτνόηση των μεεθών που φορούν στο ρεύμ, θ χρησιμοποιήσουμε νλοίες με μηχνικά φινόμεν. Συκεκριμέν, θ θεωρήσουμε τη ροή τον ηλεκτρονίων στον κυλινδρικό ωό νάλοη της ροής ρευστού σε κυλινδρικό σωλήν: Συνεπώς, ίτιο της ροής του ρευστού είνι η διφορά πίεσης σε δύο σημεί Α κι Β του σωλήν: ΔΔpp AAAA pp AA pp BB (όπου pp AA κι pp BB η πίεση στ σημεί Α κ Β). Υποθέτουμε ότι προυσί διφοράς πιέσεως μετκινείτι όκος V ρευστού. Η ενέρει του όκου του ρευστού στ σημεί Α, Β είνι: EE AA pp AA VV, EE BB pp BB VV Το έρο που πράετι πό τη μετκίνηση του όκου V του ρευστού είνι: WW AAAA EE AA EE BB pp AA VV pp BB VV WW AAAA ΔΔpp AAAA VV Σε πόλυτη νλοί, ορίζουμε ι το ηλεκτρικό ρεύμ το δυνμικό ως το φυσικό μέεθος που νλοεί στην πίεση (με υτή τη σκέψη, μπορούμε ν κάνουμε την νλοί του «σωλήν» με «ωό», του «ρευστού» με «ηλεκτρόνι», κι του «όκου» με «φορτίο»): Συνεπώς, ίτιο της ροής ηλεκτρονίων είνι η διφορά δυνμικού σε δύο σημεί Α κι Β του ωού: ΔΔφφ AAAA φφ AA φφ BB (όπου φφ ΑΑ κι φφ ΒΒ το δυνμικό στ σημεί Α κ Β) Υποθέτουμε ότι προυσί διφοράς δυνμικού μετκινείτι φορτίο Q ηλεκτρονίων. Η ενέρει του φορτίου στ σημεί Α, Β είνι: EE AA φφ AA VV, EE BB φφ BB VV Το έρο που πράετι πό τη μετκίνηση του φορτίου Q του ρευστού είνι: WW AAAA EE AA EE BB φφ AA VV φφ BB VV WW AAAA ΔΔφφ AAAA VV Ηλεκτρική τάση, ή πλά τάση, ονομάζετι η διφορά δυνμικού: UU AAAA ΔΔφφ AAAA Πρτηρήστε ότι τάση ορίζετι πάντ μετξύ δύο σημείων (δεν έχει νόημ η φράση «τάση στο σημείο Α...». Επίσης, είνι προφνές ότι ισχύει: U AB U BΑ dim(φ) dim(u) έρο / φορτίο [φ] [U] J/C Nm/As V (Volt) Σελ. 9

10 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ Έχουμε δει την τάση U ως ίτιο του ηλεκτρικού ρεύμτος. Προφνώς, το ίτιο (τάση) κι το ποτέλεσμ (έντση) πρέπει ν συνδέοντι με κάποι μθημτική έκφρση. Υπό προϋποθέσεις (κι όχι πάντ), η έκφρση υτή είνι ρμμική κι κλείτι Νόμος του Ohm: G U Όπου G μί στθερά νλοίς που κλείτι ωιμότητ κι είνι χρκτηριστική του υλικού του ωού: εκφράζει πόσο εύκολ διέρχετι το ρεύμ στον ωό! Συχνότερ, ντί της ωιμότητς χρησιμοποιούμε την ντίστση: GG OOhmm UU Πρτηρείστε ότι διπλσισμός της τάσης συνεπάετι το διπλσισμό του ρεύμτος, υποδιπλσισμός της τάσης συνεπάετι τον υποδιπλσισμό ρεύμτος, κ.ο.κ. Πρτηρείστε κόμ ότι η ντίστση/ωιμότητ ενός ωού εξρτάτι () πό το υλικό, () πό τη θερμοκρσί κι () πό τη εωμετρί του. Γι το ίδιο υλικό, η ντίστση θ είνι τόσο μελύτερη όσο μελύτερο είνι το μήκος του l κι τόσο μικρότερη όσο μικρότερη είνι η διτομή του S. (Γι την ωιμότητ προφνώς ισχύει το κριώς ντίστροφο). Γι ν συκρίνουμε κτευθείν την ωιμότητ/ντίστση διφορετικών υλικών χωρίς ν μς πσχολεί η εωμετρί των ντίστοιχων ωών, ορίζουμε την ειδική ντίστση ρ κι την ειδική ωιμότητ ως εξής: ρ l SS κκκκκκ GG SS l dim(g) ρεύμ/τάση, [G] A/V S (Siemens) dim() τάση/ρεύμ, [] V/A Ω (Ohm) dim(ρ) ντίστση επιφάνει / μήκος, [ρ] Ω m /m dim() ωιμότητ μήκος / επιφάνει, [] S m/m Είδμε ότι στ μέτλλ η ύξηση της θερμοκρσίς υξάνει τον ριθμό ελεύθερων ηλεκτρονίων. Πράλληλ όμως, υξάνει κι τη θερμική κίνηση (τλάντωση) των τόμων του πλέμτος ύρω πό τη θέση ισορροπίς, φινόμενο που μειώνει την ευκινησί των ελεύθερων ηλεκτρονίων. Σ συνέπει, στ περισσότερ μέτλλ (όχι σε όλ), η ωιμότητ μειώνετι με την ύξηση της θερμοκρσίς! Το ντίθετο πρτηρείτι στους ημιωούς! Σημειώστε ότι σε πολύ χμηλές θερμοκρσίες (κοντά στους 0Κ) σε κάποι υλικά, πρτηρείτι ξφνική ύξηση της ωιμότητς. Αυτό το φινόμενο είνι νωστό ως υπερωιμότητ. Ανλυτικά υτά τ ζητήμτ θ εξετστούν στην Ηλεκτρονική Φυσική. Σελ. 0

11 Είδμε ότι σε πολλούς ωούς το ρεύμ συνδέετι ρμμικά με την τάση. Μι τέτοι συμπεριφορά ονομάζετι ρμμική ή Ωμική. Προφνώς, σε υτή την περίπτωση, η ρφική πράστση ρεύμτος τάσης είνι μί ευθεί, όπως υτή του διπλνού σχήμτος. Δείτε ότι σε κάθε σημείο της ρφικής πράστσης ο λόος U/Ι πρμένει στθερός κι ισούτι με την ντίστση. Συνεπώς, η τιμή της ντίστσης είνι στθερή (Ωμική ντίστση) κι ισούτι με την ντίστροφη εφπτομένη της ωνίς a. Γρμμική κι μη-ρμμική ντίστση Σε πολλά ηλεκτρονικά στοιχεί, το ρεύμ συνδέετι με μη-ρμμικό τρόπο με την τάση. Μι τέτοι συμπεριφορά ονομάζετι μη-ρμμική ή μη-ωμική. Προφνώς, σε υτή την περίπτωση, η ρφική πράστση ρεύμτος τάσης είνι μί κμπύλη που δεν είνι ευθεί, όπως υτή του διπλνού σχήμτος. Δείτε ότι σε κάθε σημείο της ρφικής πράστσης ο λόος U/Ι δεν πρμένει στθερός. Συνεπώς, δε μπορούμε ν ορίσουμε Ωμική ντίστση ι υτό το στοιχείο όπως προηουμένως (ως τη στθερά νλοίς, δηλδή, μετξύ ρεύμτος κι τάσης). Γι ν περιράψουμε μη-ωμικά στοιχεί ορίζουμε σε κάθε σημείο της χρκτηριστικής κμπύλης τους ρεύμτος-τάσης την διφορική ή δυνμική ντίστση r d : ΔΔUU rr dd llllll ΔΔ 0 ΔΔ dddd dddd Πράδειμ. Γι το νθρώπινο σώμ έν ρεύμ μελύτερο των 50 mα είνι επικίνδυνο. Η ντίστση του νθρώπινου σώμτος κυμίνετι πό kω ως 50 kω. Υπολοίστε την ελάχιστη τάση που μπορεί ν προκλέσει λάες στον άνθρωπο. Από το Νόμο του Ohm: U. Άρ η ελάχιστη επικίνδυνη τάση υπολοίζετι με ντικτάστση της ελάχιστης ντίστσης του νθρώπινου σώμτος: U 50 ma kω 50 V Η ντίστση πρμένει στθερή σε κάθε σημείο της ευθείς: δηλδή είνι νεξάρτητη πό την τάση στ άκρ της. Σελ.

12 Πράδειμ. Υπολοίστε την κτίν χάλκινου κυλινδρικού ωού μήκους m ώστε υτός ν έχει ντίστση mω. Δίνετι η ειδική ωιμότητ του χλκού σε θερμοκρσί περιάλλοντος: 56 S m / mm Δίνετι ότι mω, άρ G / 000 S. Έτσι: GG SS l SS GG l SS 000 SS mm 56 SS mm mmmm 7,85 mmmm SS ππrr rr SS ππ,8 mmmm Αλλά: Πράδειμ. Υποθέστε ρεύμ έντσης 5 Α το οποίο διρρέει κυλινδρικό ωό διτομής mm. Θεωρείστε κόμη ότι η πυκνότητ ελεύθερων ηλεκτρονίων στον ωό λμάνει τη ρελιστική τιμή 0 cm. Γνωρίζετε τέλος το φορτίο του ηλεκτρονίου q e 0,6 0-8 C. Υπολοίστε την τιμή της συνιστώσς της τχύτητς των ελεύθερων ηλεκτρονίων που συνιστά το ηλεκτρικό ρεύμ. Από τον ορισμό της πυκνότητς ρεύμτος (λ. σελίδ 7) έχουμε: JJ SS nn eeqq ee l tt nn ee qq ee νν ee νν ee SSnn ee qq ee 5AA νν ee mmmm 0 cccc 0,6 0 8 CC 0, mmmm ss Πρτηρήστε ότι η τχύτητ της κτευθυνόμενης κίνησης που δημιουρεί το ρεύμ είνι πολύ μικρή (κι σφώς πολύ μικρότερη πό την άτκτη (θερμική) κίνηση των ηλεκτρονίων, η οποί είνι της τάξης των 00 km/s). Πράδειμ. Το ρεύμ στις ηλεκτρονικές λυχνίες εξρτάτι πό την τάση μετξύ νόδου-κθόδου ως εξής: ΙΚU /, όπου Κ 6 μa/v /. Na ρεθεί η δυνμική ντίστση ι τιμή της τάσης V. ΙΚU / ή ισοδύνμ U (/K) /. Έτσι: r du/d / K -/ -/ / K -/ (KU / ) -/ / K - U -/ πό όπου υπολοίζουμε ότι r 0 KΩ Σελ.

13 ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ KCHHOFF Διευκρινίζουμε τον ορισμό της θετικής φοράς ρεύμτος: - Από θετικό πόλο σε ρνητικό - Στη φορά της πτώσης τάσης - Αντίθετ πό την κίνηση των ηλεκτρονίων ος Νόμος Kirchhoff: Νόμος των κόμων Από το τρίτο ξίωμ που διτυπώσμε ι το φορτίο, μπορούμε ν ισχυριστούμε ότι σε έν κόμο στον οποίο συνντάτι ένς ριθμός ωών, το ολικό φορτίο διτηρείτι: - Ι qq qq qq qq 0 ddqq dddd ddqq dddd ddqq dddd ddqq dddd 0 0 Δείξμε ότι το λερικό άθροισμ των ρευμάτων σε κάθε κόμο είνι ίσο με μηδέν. (Πρτηρείστε ότι ι ν εφρμόσουμε τον πρώτο νόμο του Kirchhoff σε έν κόμο, επιλέουμε τ ρεύμτ που οδεύουν προς τον κόμο ως θετικά κι υτά που πομκρύνοντι πό υτόν ως ρνητικά, ή το ντίστροφο) ος Νόμος Kirchhoff: Νόμος των ρόχων Από την ρχή διτήρησης της ενέρεις, μπορούμε ν ισχυριστούμε ότι σε έν κλειστό ρόχο στον οποίο συνυπάρχουν πηές κι κτνλωτές (ντιστάσεις) η ενέρει διτηρείτι: WW ππ WW ΚΚ WW ΚΚ WW ΚΚ WW ΚΚ QQQQ ππ QQQQ ΚΚ QQQQ ΚΚ QQQQ ΚΚ QQQQ ΚΚ UU ππ UU ΚΚ UU ΚΚ UU ΚΚ UU ΚΚ Γενικεύοντς ι τυχίο ριθμό πηών: UU ππ UU ππ UU ππ UU ππ UU ΚΚ UU ΚΚ UU ΚΚ UU ΚΚ Δείξμε ότι το λερικό άθροισμ των τάσεων σε κάθε κλειστό ρόχο είνι ίσο με μηδέν. Συμτικός τρόπος εφρμοής του ου Νόμου Kirchhoff σε κλειστό ρόχο: - Σημειώνουμε την τάση των πηών με έν έλος πό το στο -. - Σημειώνουμε (υθίρετ) τη φορά της πτώσης τάσης στις ντιστάσεις με έν έλος - Σημειώνουμε (υθίρετ) ριστερόστροφη ή δεξιόστροφη φορά συσχετισμού. Πράδειμ. Με τις φορές που ορίσμε στο διπλνό σχήμ, μπορούμε ν ράψουμε: Uπ U U Uπ U Uπ 0 Προφνώς, οποιδήποτε «λνθσμένη» επιλοή φοράς θ διφνεί με ποτέλεσμ που έχει ρνητική τιμή. Σελ.

14 ΠΗΓΕΣ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Ανεξάρτητη πηή τάσης () () () Μί ιδνική νεξάρτητη πηή τάσης πρέχει στθερή τάση U o στ άκρ της (σχήμ ). Πρτηρείστε ότι στην πρμτικότητ δεν υπάρχει τέτοι πηή! Αυτό μπορείτε ν το κτλάετε ν σκεφτείτε τι θ συμεί ρχυκυκλώνοντς τ άκρ της πηής: Τότε η τάση της πηής θ ισούτι με την πτώση τάσης κτά μήκος του ρχυκυκλώμτος, δηλδή με μηδέν: Αυτό το ποτέλεσμ είνι προφνώς πράδοξο. Μί πρμτική πηή τάσης περιράφετι κλύτερ πό μί ιδνική πηή τάσης σε σειρά με μί «εσωτερική» ντίστση o (σχήμ ). Αν εφρμοστεί η τάση της πηής σε κτνλωτή L (σχήμ ): ος Νόμος Kirchhoff: UUUU UU UU LL Νόμος του Ohm: UU κκκκκκ UU LL ΙΙ LL Συνδυάζοντς τις πρπάνω σχέσεις ρίσκουμε ότι: UUUU UU UU LL ΙΙ LL ΙΙ( LL ) ΙΙ UUUU LL Κτά συνέπει, η τάση στ άκρ του κτνλωτή δίνετι πό τη σχέση: UU LL ΙΙ LL LL UUUU (UU LL < UUUU) LL Πρτηρήστε τις εξής δύο κρίες περιπτώσεις: Αν ο κτνλωτής έχει μηδενική ντίστση (η πηή ρχυκυκλωμένη): LL 0 UU LL 0 Αν ο κτνλωτής έχει άπειρη ντίστση (η πηή νοιχτοκυκλωμένη): Σχολισμός: LL UU LL UUUU. Τμήμ της ενέρεις που πρέχει η ιδνική πηή κτνλώνετι στην εσωτερική της ντίστση. Αυτό εξηεί ιτί οι πρμτικές πηές θερμίνοντι κτά τη λειτουρί τους.. Αν ρχυκυκλώσουμε πρμτική πηή τάσης, η πηή πρέχει μηδενική τάση στον κτνλωτή, κθώς όλη η τάση της «ιδνικής» πηής κτνλώνετι στην εσωτερική ντίστση. Λύνετι λοιπόν το πράδοξο που πρτηρήθηκε προηούμεν.. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η ντίστση του κτνλωτή είνι πολύ μελύτερη πό την εσωτερική ντίστση της πηής τάσης. Κτά συνέπει, στις περισσότερες περιπτώσεις μπορούμε ν θεωρούμε σχεδόν «άπειρη» την L κι άρ UU LL UUUU. Σελ.

15 Aνεξάρτητη πηή ρεύμτος () () () Μί ιδνική νεξάρτητη πηή ρεύμτος πρέχει στθερή έντση Ι o στ άκρ της (σχήμ ). Πρτηρείστε ότι στην πρμτικότητ δεν υπάρχει τέτοι πηή! Αυτό μπορείτε ν το κτλάετε ν σκεφτείτε τι θ συμεί νοιχτοκυκλώνοντς τ άκρ της πηής: Τότε η έντση του ρεύμτος της πηής θ ισούτι με μηδέν: Αυτό το ποτέλεσμ είνι προφνώς πράδοξο. Μί πρμτική πηή ρεύμτος περιράφετι κλύτερ πό μί ιδνική πηή ρεύμτος πράλληλ με μί «εσωτερική» ντίστση o (σχήμ ). Αν εφρμοστεί το ρεύμ της πηής σε κτνλωτή L (σχήμ ): ος Νόμος Kirchhoff: 0 LL 0 Νόμος του Ohm: UU κκκκκκ LL UU LL Συνδυάζοντς τις πρπάνω σχέσεις ρίσκουμε ότι: 0 UU UU UU OO 0 LL OO 0 OO LL LL OO LL Κτά συνέπει, το ρεύμ στ άκρ του κτνλωτή δίνετι πό τη σχέση: LL UU OO LL OO 0 ( LL < 0 ) LL Πρτηρήστε τις εξής δύο κρίες περιπτώσεις: Αν ο κτνλωτής έχει μηδενική ντίστση (η πηή ρχυκυκλωμένη): LL 0 LL 0 Αν ο κτνλωτής έχει άπειρη ντίστση (η πηή νοιχτοκυκλωμένη): Σχολισμός: LL LL 0. Τμήμ της ενέρεις που πρέχει η ιδνική πηή κτνλώνετι στην εσωτερική της ντίστση. Αυτό εξηεί ιτί οι πρμτικές πηές θερμίνοντι κτά τη λειτουρί τους.. Αν νοιχτοκυκλώσουμε πρμτική πηή ρεύμτος, η πηή πρέχει μηδενικό ρεύμ στον κτνλωτή, κθώς όλο το ρεύμ της «ιδνικής» πηής κτνλώνετι στην εσωτερική ντίστση. Λύνετι λοιπόν το πράδοξο που πρτηρήθηκε προηούμεν.. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η ντίστση του κτνλωτή είνι πολύ μικρότερη πό την εσωτερική ντίστση της πηής ρεύμτος. Κτά συνέπει, στις περισσότερες περιπτώσεις μπορούμε ν θεωρούμε σχεδόν «μηδενική» την L κι άρ ΙΙ LL ΙΙ ΟΟ. Σελ. 5

16 Εξρτημένες πηές () () () (δ) Συχνά χρησιμοποιούμε εξρτημένες πηές τάσης κι ρεύμτος ως υποθετικά στοιχεί κυκλώμτος, τ οποί πρέχουν στθερή τάση ή ρεύμ. Αυτές οι πηές συμπεριφέροντι όπως οι νεξάρτητες πηές, με τη διφορά ότι το πρεχόμενο πό υτές μέεθος (τάση ή έντση) εξρτάτι πό κάποι άλλη τάση ή έντση στο κύκλωμ. Στο πρπάνω σχήμ φίνοντι τ σύμολ: () ιδνικής εξρτημένης πηής τάσης, () εξρτημένης πηής τάσης με εσωτερική ντίστση o συνδεδεμένη σε σειρά, () ιδνικής εξρτημένης πηής ρεύμτος, κι (δ) εξρτημένης πηής ρεύμτος με εσωτερική ντίστση o συνδεδεμένη πράλληλ. ΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Βσικές πρδοχές Έν κύκλωμ μπορεί ν περιλμάνει δύο ειδών στοιχεί: () Ενερά: Πράουν ενέρει κι την πρέχουν στο κύκλωμ (πηές τάσεις κι ρεύμτος) () Πθητικά: Απορροφούν ενέρει κι είτε την κτνλώνουν, μεττρέποντάς την σε άλλη μορφή ενέρεις, είτε την ποθηκεύουν. Πθητικά στοιχεί: Στο πλίσιο της σικής ηλεκτροτεχνίς, πθητικά στοιχεί: - Αντιστάσεις (Κτνλώνουν ενέρει μεττρέποντάς τη σε θερμική) - Πυκνωτές (δικόπτης στο συνεχές) Αποθηκευτές - Πηνί (ρχυκύκλωμ στο συνεχές) ενέρεις Γι υτό το λόο, οι όροι κτνλωτής κι ντίστση χρησιμοποιούντι ως ισοδύνμοι. Στ επόμεν, θ μελετήσουμε σικά κυκλώμτ συνεχούς ρεύμτος κάνοντς τις εξής πρδοχές (εκτός κι ν δηλώνετι ντίθετ): () Όλες οι πηές είνι ιδνικές () Η χρκτηριστικές ρεύμτος-τάσης είνι ρμμικές (Ωμική ή ρμμική συμπεριφορά) () Οι κτνλωτές είνι ποκλειστικά ωμικές ντιστάσεις (δ) Οι ωοί σύνδεσης έχουν μηδενική ντίστση (κι άρ δεν υπάρχει πτώση τάσης στ άκρ τους). Σελ. 6

17 Επάλληλη σύνδεση (ή σύνδεση σε σειρά) Επάλληλη σύνδεση στοιχείων: Τ δύο στοιχεί διρρέοντι πό ίδιο ρεύμ! () () Επάλληλες ντιστάσεις (σχήμ ): ος Νόμος Kirchhoff: UU σσσσσσ UU UU Νόμος του Ohm: ΙΙ UU UU Συνδυάζοντς τις πρπάνω σχέσεις ρίσκουμε ότι: UU σσσσσσ ( ) UU σσσσσσ Μπορούμε ν ορίσουμε την ισοδύνμη ολική ντίστση: Δείτε κόμη ότι ισχύει: Κθώς επίσης: σσσσσσ UU σσσσσσ ΙΙ ΙΙ UU UU UU σσσσσσ σσσσσσ UU ΙΙ σσσσσσ UU σσσσσσ UU ΙΙ σσσσσσ UU σσσσσσ Από τις τελευτίες σχέσεις είνι σφές ότι η επάλληλη συνδεσμολοί λειτουρεί ως διιρέτης τάσης. Επάλληλες πηές τάσης (σχήμ ): Ιδνικές πηές τάσεις μπορούν ν συνδεθούν περιόριστ σε επλληλί. Με άση το πράδειμ του σχήμτος, προφνώς: UU σσσσσσ UU οο UU οο UU οο UU οο Επάλληλες πηές ρεύμτος Ιδνικές πηές ρεύμτος μπορούν ν συνδεθούν επάλληλ μόνο ν πρέχουν ρεύμ ίδις έντσης (διφορετικά δεν θ ίσχυε ο ος Νόμος Kirchhoff!). Αυτή η σύνδεση είνι άσκοπη ιτί χρησιμοποιούμε δύο πηές (ντί μίς μόνο) χωρίς κάποιο όφελος. Σελ. 7

18 Πράλληλη σύνδεση Πράλληλη σύνδεση στοιχείων: Τ δύο στοιχεί έχουν στους κροδέκτες τους ίδι τάση! () () Πράλληλες ντιστάσεις (σχήμ ): ος Νόμος Kirchhoff: ΙΙ σσσσσσ ΙΙ ΙΙ Νόμος του Ohm: UU Συνδυάζοντς τις πρπάνω σχέσεις ρίσκουμε ότι: σσσσσσ UU UU UU UU σσσσσσ Μπορούμε ν ορίσουμε την ισοδύνμη ολική ντίστση: σσσσσσ UU ή σσσσσσ σσσσσσ Δείτε κόμη ότι ισχύει: Κθώς επίσης: UU ΙΙ σσσσσσ σσσσσσ ΙΙ UU σσσσσσ σσσσσσ ΙΙ σσσσσσ ΙΙ UU σσσσσσ σσσσσσ ΙΙ σσσσσσ Από τις τελευτίες σχέσεις είνι σφές ότι η πράλληλη συνδεσμολοί λειτουρεί ως διιρέτης ρεύμτος. Πράλληλες πηές τάσης: Ιδνικές πηές τάσης μπορούν ν συνδεθούν πράλληλ μόνο ν πρέχουν ίδι τάση (διφορετικά δε θ ίσχυε ο ος Νόμος Kirchhoff!). Αυτή η σύνδεση είνι άσκοπη ιτί χρησιμοποιούμε δύο πηές (ντί μίς μόνο) χωρίς κάποιο όφελος. Πράλληλες πηές ρεύμτος (σχήμ ) Ιδνικές πηές ρεύμτος μπορούν ν συνδεθούν περιόριστ με πράλληλο τρόπο. Με άση το πράδειμ του σχήμτος, προφνώς: ΙΙ σσσσσσ ΙΙ οο ΙΙ οο ΙΙ οο ΙΙ οο Σελ. 8

19 Πράδειμ. Ζητείτι η συνολική ντίστση AB στο δίπολο του διπλνού σχήμτος. AB {[()//]}//() [(//)]//() Αλλά: // // 5 AAAA [(//) ]// άρ: κι τελικά: Πράδειμ. Ζητείτι η συνολική ντίστση AB στο δίπολο του διπλνού σχήμτος. Με τους διδοχικούς μετσχημτισμούς του κυκλώμτος, όπως υτοί φίνοντι στ κόλουθ σχήμτ, κτλήουμε ότι: AAAA ( // ) ( // ) Πράδειμ. Ζητείτι η συνολική ντίστση AB στο δίπολο του διπλνού σχήμτος. Με τους διδοχικούς μετσχημτισμούς του κυκλώμτος, όπως υτοί φίνοντι στ κόλουθ σχήμτ, κτλήουμε ότι: AAAA (( )//( ) Σελ. 9

20 Πράδειμ.5 Η τάση στους κροδέκτες ποτενσιόμετρου με ντίστση Ω είνι U 0 V. Υπολοίστε την τάση U AB ότν ο δρομές τοποθετηθεί έτσι ώστε η ντίστση μετξύ των σημείων Β κι Γ ν είνι 50 Ω. Πρόκειτι ι επάλληλη συνδεσμολοί κι συνεπώς: 0 AAAA ΒΒΒΒ AAAA 600ΩΩ 50ΩΩ 50ΩΩ Από διιρέτη τάσης: AAAA 50 UU AAAA UU AAAA 0 VV 7 VV ΒΒΒΒ 600 Πράδειμ.6 Το ποτενσιόμετρο του σχήμτος έχει ντίστση 600 Ω κι χρησιμοποιείτι ι τη ρύθμιση του συνολικού ρεύμτος. Ν τοποθετηθεί κτάλληλ ο δρομές (δηλ. ν υπολοιστούν οι κι ) ώστε το ρεύμ ν είνι Ι συν,6 Α. Η κοινή τάση U της συνδεσμολοίς είνι 00 V. Πρόκειτι ι πράλληλη συνδεσμολοί κι άρ: σσσσσσ UU σσσσσσ Ακόμη: 600ΩΩ ή 600ΩΩ Έτσι τελικά: UU (600ΩΩ ) σσσσσσ 00VV,6AA (600ΩΩ ) 600ΩΩ (600ΩΩ ) 00VV600ΩΩ 75000ΩΩ,6AA 600ΩΩ 75000ΩΩ 0 Λύνοντς τη δευτεροάθμι εξίσωση: 77,5ΩΩ (κκκκκκ άρρρρ,5ωω), ή,5ωω (κκκκκκ άρρρρ 77,5ΩΩ) Πράδειμ.7 Στους κροδέκτες ΑΒ του σχήμτος επιάλλετι τάση 0 V. Ζητείτι η τάση U ΓΔ. Πρόκειτι ι διιρέτη τάσης: U ΓΔ 5Ω U ΑΒ όπου 5 Ω 0Ω Ω 5 Ω Ω 5 Ω Ω Ω 7.5 Ω.5 Ω Κι άρ τελικά: U ΓΔ,5 Ω 0V 0,9 V,5 Ω5Ω Σελ. 0

21 Πράδειμ.8 Ν υπολοιστεί η τάση μετξύ των σημείων Α κι Β στο κύκλωμ του διπλνού σχήμτος (ΗΛΕΚΤΡΙΚΉ ΓΕΦΥΡΑ). Από διιρέτες τάσης: UU UU OO UU UU OO Από ο Νόμο Kirchhoff: UU AAAA UU UU 0 UU AAAA UU OO UU OO UU OO UU AAAA UU ( ) ( ) OO,68 VV ( ) ( ) Πρτηρήσεις: Κτλήξτε ενλλκτικά στην ίδι έκφρση, υπολοίζοντς πό διιρέτη τάσης τ U kai U. Πρτηρείστε κόμη ότι ι κτάληλες τιμές των ντιστάσεων η τάση μετξύ των σημείων Α κι Β μηδενίζετι. Το κύκλωμ υτό είνι νωστό ως ηλεκτρική έφυρ. Πράδειμ.9 Ν υπολοιστεί η ντίστση AB στο δίπολο του διπλνού κυκλώμτος. Δίνετι ότι 0 ms. Από ορισμό της ισοδύνμη ντίστσης AB του διπόλου: AB U AB Από ο Νόμο του Kirchhoff: 0 U 0 Από το νόμο του Ohm: U O Ω Τέλος,πό τη σειρική σύνδεση των δύο ντιστάσεων U AB (60 ) Ω 7 Ω Συνδυάζοντς κτάλληλ τις ποιο πάνω σχέσεις: AB U AB 7 Ω U 0 U O Ω 7 Ω U O Ω U 0 7 Ω Ω Ω 0 0 S 6 8, 0 S 0 0 S 8,7 Ω Πράδειμ.0 Ν υπολοιστεί το ρεύμ που διρρέει κάθε ντίστση του διπλνού κυκλώμτος. Δίνοντι: U 0 00V, 5 Ω, 0 Ω, 5 Ω, 0 Ω. σσσσσσ //( ) ( ) ( ) 6,8 ΩΩ Έτσι: ΙΙ UU 0 σσσσσσ Από ο Νόμο Kirchhoff: UU 0 ΙΙ ΙΙ ΙΙ UU 0ΙΙ 00VV,8 AA 6,8 ΩΩ 00 VV,8 AA 5 ΩΩ 0 ΩΩ,0 ΑΑ Από Ο Νόμο του Kirchhoff: ΙΙ (,8,0) AA,8 AA Σελ.

22 Πράδειμ. Συμουλευτείτε τ πρρτήμτ () κι () ι ν υπολοίστε το ρεύμ Ι του διπλνού κυκλώμτος. Δίνοντι: U o 0 V, o 6 ma, 0, kω, 5 kω, kω, kω. Τ τέσσερ άνωστ ρεύμτ μπορούν ν υπολοιστούν ν κτστρώσουμε σύστημ πό τέσσερις νεξάρτητες εξισώσεις. Οι τρεις κόμοι του κυκλώμτος πρέχουν άμεσ δύο νεξάρτητες εξισώσεις: Κόμος (): ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0 ή ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0ΙΙ 0 Κόμος (): ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0 0 ή 0ΙΙ 0ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0 Ανζητούμε δύο κόμη εξισώσεις, τις οποίες πρέχουν οι δύο ρόχοι: Βρόχος (): UU 0 UU UU 0 ή ΙΙ ΙΙ 0ΙΙ 0ΙΙ UU 0 Βρόχος (): UU UU UU 0 ή 0ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0 Το σύστημ τεσσάρων εξισώσεων έχει ορίζουσες: ΙΙ ΔΔ κκκκκκ ΔΔ 0 0 ΙΙ 0 UU Ανπτύσσοντς τη Δ ως προς τη δεύτερη ρμμή έχουμε: 0 ΔΔ ΔΔ { ( )} { ( ) ( )} ( ) ( ) Αντικθιστώντς τις τιμές: ΔΔ kkωω (0, kkωω 5 kkωω) 0, kkωω (5 kkωω kkωω) 5 kkωω kkωω 5,6 kkωω,8 kkωω 0 kkωω ΔΔ 7, kkωω 7, 0 6 ΩΩ Ανπτύσσοντς τη ΔΔ ΙΙ ως προς την πρώτη ρμμή έχουμε: ΔΔ ΙΙ 0 ΙΙ 0 0 ΙΙ 0 UU 0 0 UU 0 0 ΙΙ 0 0 UU ΙΙ 0 UU 0 ΔΔ ΙΙ {ΙΙ 0 ( ) ( UU 0 )} { (ΙΙ 0 )} ΙΙ 0 UU 0 ΙΙ 0 ΙΙ 0 ( ) UU 0 Αντικθιστώντς τις τιμές: ΔΔ ΙΙ 6 0 AA kkωω (0, kkωω5 kkωω ) 5 kkωω 0 VV 6 0 5,6 AA kkωω 00 kkωω VV ΔΔ ΙΙ 9,6 0 AA kkωω 00 kkωω VV 9,6 0 AA ΩΩ 00 0 ΩΩ VV 6, AA ΩΩ Άρ τελικά: ΙΙ ΔΔ ΙΙ ΔΔ 6, AA ΩΩ 7, 0 6 ΩΩ 0,7 0 ΑΑ 0,7 mmmm Σελ.

23 Πράδειμ. Συμουλευτείτε τ πρρτήμτ () κι () ι ν υπολοίστε το ρεύμ Ι 5 του διπλνού κυκλώμτος. Δίνοντι: U o 00V, U o 60V, Ω, 6Ω, 5Ω, 0Ω, 5 5Ω Όμοι με το προηούμενο πράδειμ: Κόμος (): ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0 ή ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0ΙΙ 5 0 Κόμος (): ΙΙ ΙΙ ΙΙ 5 0 ή ΙΙ 0ΙΙ ΙΙ 0ΙΙ ΙΙ 5 0 Βρόχος (): UU 0 UU UU 0 ή ΙΙ 0ΙΙ ΙΙ 0ΙΙ 0ΙΙ 5 UU 0 Βρόχος (): UU 5 UU UU 0 ή 0ΙΙ 0ΙΙ ΙΙ ΙΙ 5 ΙΙ 5 0 Βρόχος (): UU 0 UU UU 0 ή 0ΙΙ ΙΙ 0ΙΙ ΙΙ 0ΙΙ 5 UU 0 Το σύστημ πέντε εξισώσεων έχει ορίζουσες: ΔΔ κκκκκκ ΔΔ ΙΙ 0 0 UU UU 0 Εκτελώντς τις πράξεις (φήνετι ως ερσί ι το σπίτι) ρίσκουμε ότι: ΔΔ 09,088 ΩΩ κκκκκκ ΔΔ ΙΙ VV ΩΩ Άρ τελικά: ΙΙ 5 ΔΔ ΙΙ 5 ΔΔ 6700 VV ΩΩ 0,6 AA 09,088 ΩΩ Πράδειμ. Υπολοίστε τ ρεύμτ στις ντιστάσεις του διπλνού σχήμτος. Θεωρείστε ότι οι ντιστάσεις είνι όλες ίσες με Ω κι η πηή πρέχει τάση V. Εύκολ μπορούμε ν δούμε ότι η ισοδύνμη ντίστση συν είνι ίση με: [{[ ( ) ]// }// ]//, 6Ω συν // Άρ μπορούμε ν ράψουμε: U 0, 68A 0 συν Εφρμόζοντς ενλλάξ τον ο κι τον ο Νόμο του Kirchhoff, ρίσκουμε: U 0 0, 8Α 5 Ι5 0, 6Α 55 0, 6Α Ι Ι 0, 09Α , 056Α Ι Ι9 0, 0Α 0, 0Α Ι Ι 0, 0Α Σελ.

24 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ. Έχουμε δει ότι οι ντιστάσεις πράουν θερμικό έρο κτνλώνοντς ηλεκτρική ενέρει. Έχουμε επίσης δει ότι το πρόμενο θερμικό έρο είνι νάλοο της διφοράς δυνμικού στ άκρ της ντίστσης κι του μετκινούμενου στο ηλεκτρικό κύκλωμ φορτίου: W UQ Γνωρίζουμε κόμη ότι, υπό την προϋπόθεση χρονικά μετάλητου ρεύμτος, η έντση συνδέετι με το φορτίο μέσω της σχέσης Qt W Ut Είνι κτνοητό πό την κθημερινή μς πείρ πως μί μηχνή δεν χρκτηρίζετι μόνο πό το πόσο έρο μπορεί ν πράει, λλά κι πό το πόσο ρήορ μπορεί ν πράει το έρο υτό. Η τχύτητ (ρυθμός) πρωής έρου ονομάζετι ισχύς: W P U t Με χρήση του νόμου του Ohm, θεωρώντς ντίστση που έχει στους κροδέκτες της τάση U κι διρρέετι πό ρεύμ, μπορούμε ν υπολοίσουμε τις κόλουθες (ισοδύνμες μετξύ τους) εκφράσεις ισχύος: P U U Πρτηρείστε ότι η ενέρει που κτνλώνει σε χρόνο Δt μί ντίστση η οποί πράει ισχύ P ισούτι με: W P t Θ πρέπει πό την προηούμενη σχέση ν σς είνι σφές ότι η ρχή διτήρησης της ενέρεις επιάλει κι τη διτήρηση της ισχύος σε έν σύστημ. Τέλος, σημειώστε ότι οι πρπάνω εκφράσεις ισχύουν μόνο ι χρονικά μετάλητ ρεύμτ. Όπως έχουμε ξνδεί προηούμεν, ότν υπάρχει χρονική μετολή στο ρεύμ οι σχέσεις πρέπει ν τροποποιηθούν κτάλληλ με εισωή διφορικών μεεθών. Τότε, μπορούμε ν ράψουμε ότι: dw P dt ui Γι ν ποκτήσετε ίσθηση της τάξης των μεεθών, σημειώστε ότι οι λμπτήρες φωτισμού έχουν συνήθη ισχύ 0 00 W, συνηθισμένες οικικές συσκευές (π.χ. πλυντήριο) κάποι kw, ενώ η ΔΕΗ πρέχει ισχύ σε ώρες υψηλής κτνάλωσης της τάξης του -0 GW. Προσέξτε κόμη ότι το Βτ είνι μονάδ ισχύος, ενώ τώρ (Wh) μονάδ ενέρεις! dim(p) ενέρει/χρόνος τάση ρεύμ [P] J/s VA W Σελ.

25 ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΟΧΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΙΣΧΥΟΣ. Υποθέστε σύστημ τ ενερά στοιχεί (πηές) του οποίου πρέχουν ολική ισχύ P. Αυτή η ολική ισχύς διτίθετι στο σύστημ σε δύο μορφές: () ως ωφέλιμη ισχύς P ωφ κι () ως ισχύς πωλειών P π. Προφνώς, πό την ρχή διτήρησης της ενέρεις ισχύει: P PP ωωωω PP Θεωρείστε ι πράδειμ το πλό σύστημ θέρμνσης του κόλουθου σχήμτος, το οποίο ποτελείτι πό: -πρμτική πηή τάσης U o με εσωτερική ντίστση o, -ωούς σύνδεσης. -κι μί ντίστση θέρμνσης. Η πηή πρέχει την ολική ισχύ του κυκλώμτος, η οποί κτνλώνετι: () στην ντίστση θέρμνσης (ωφέλιμη ισχύς), κι () στην εσωτερική ντίστση της πηής (ισχύς πωλειών). Γι ν προσδιορίσουμε ποσοτικά το θμό πωλειών ενός συστήμτος, ορίζουμε τον θμό πόδοσής του: nn PP ωωωω PP PP PP PP PP PP Δείτε τώρ ότι στο πράδειμά μς τ ρεύμ Ι κι η τάση U στ άκρ της ντίστσης δίνοντι πό τις σχέσεις: Ι UU oo U UU oo o o Κτά συνέπει, η ωφέλιμη ισχύς του συστήμτος (δηλ. η ισχύς στην ντίστση ) υπολοίζετι ως: PP ωωωω U UU OO ( o ) Μπορεί κνείς ν δει εύκολ ότι η ωφέλιμη ισχύς μηδενίζετι στις κρίες τιμές 0 κι. Μετξύ των κρίων υτών τιμών, υπάρχει κάποι τιμή της ντίστσης (ς ονομάσουμε την τιμή υτή πρ ), ι την οποί η ωφέλιμη ισχύς μειστοποιείτι. Από τ μθημτικά νωρίζουμε ότι μί συνάρτηση λμάνει κρόττη τιμή ότν μηδενίζετι η πράωός της. Κτά συνέπει: dpp ωωωω d ππππ 0 Αλλά: dpp ωωωω d dd dddd UU OO ( o ) UU OO dd dddd ( o ) UU OO ( o ) ( o ) Έτσι τελικά: UU OO o ( o ) ( o ) UU OO o ( o ) dpp ωωωω d ππππ 0 UU OO o ππππ o ππππ 0 o ππππ Σημειώστε ότι στην πράξη πώλειες ισχύος έχουμε κι στους ωούς σύνδεσης, οι οποίοι έχουν μικρή, λλά όχι μηδενική ντίστση. Σελ. 5

26 Διπιστώσμε λοιπόν ότι ι ν ποδοθεί μέιστη ισχύς στο φορτίο η ντίστση του φορτίου πρέπει ν είνι ίση με την εσωτερική ντίστση της πηής. Αυτή η συνθήκη λειτουρίς του κυκλώμτος ονομάζετι προσρμοή ισχύος ή προσρμοή φορτίου. Ας εξετάσουμε τώρ τη συνθήκη κτά την οποί μειστοποιείτι ο θμός της πόδοσης ισχύος. Ίσως φνεί εύλοο ότι η πόδοση μειστοποιείτι ότν μειστοποιείτι η ωφέλιμη ισχύς. Αυτή η πρότση μοιάζει στην ρχή λοική, είνι όμως λάθος! Δείτε ότι στο πράδειμά μς, η ολική ισχύς που πρέχει η πηή είνι: Συνεπώς, ο θμός πόδοσης ισούτι με: nn PP ωωωω PP PP UU oo UU OO o UU OO ( o ) UU OO o o o Δείτε ότι η μέιστη τιμή του θμού πόδοσης (n, μηδενικές πώλειες) προκύπτει ότν η εσωτερική ντίστση της πηής μηδενιστεί. Επειδή υτό είνι πρκτικά δύντο (μηδενική εσωτερική ντίστση σημίνει «ιδνική» πηή), στην πράξη επιτυχάνουμε μειστοποίηση του θμού πόδοσης επιδιώκοντς ελχιστοποίηση του όρου o (ή ισοδύνμ o ). Δείτε τέλος, ότι στη συνθήκη προσρμοής ( πρ o ) ο θμός πόδοσης λμάνει την τιμή: nn ππππ o ππππ Κτά συνέπει, στην προσρμοή ποδίδετι μεν μέιστη ωφέλιμη ισχύς, ωστόσο ο θμός πόδοσης είνι μόλις 50%. Αυτό σημίνει ότι στην προσρμοή έχουμε μεάλη ωφέλιμη ισχύ, κι άλλες τόσες πώλειες. Στην πράξη, σχεδόν πάντ προτιμούμε ν επιτύχουμε μειστοποίηση της πόδοσης, εκλέοντς ντίστση φορτίου όσο το δυντό μελύτερη πό την εσωτερική ντίστση της πηής. Τότε μειώνετι μεν η ωφέλιμη ισχύς σε σχέση με την προσρμοή, λλά πολύ περισσότερο μειώνοντι οι πώλειες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΒΑΣΗ ΠΡΟΣΗΜΩΝ ΙΣΧΥΟΣ Πρτηρήστε ότι κολουθώντς τη νωστή σύμση ι τη φορά του ρεύμτος κι της τάσης, έν οποιοδήποτε στοιχείο «X» ενός κυκλώμτος πορροφά ισχύ ότν η τάση στους κροδέκτες του είνι ομόρροπη με το ρεύμ που το διρρέει. Το στοιχείο διθέτει ή πρέχει ισχύ στο κύκλωμ ότν το ρεύμ κι η τάση είνι ντίρροπες. Πρτηρήστε ότι σε μί ντίστση το ρεύμ κι η τάση είνι πάντ ομόρροπες, κθώς (πολύ λοικά) οι ντιστάσεις μπορούν μόνο ν κτνλώνουν ισχύ! Σελ. 6

27 Πράδειμ. Ένς ηλεκτροκινητήρς συνεχούς ρεύμτος πρέχει ισχύ kw κι πορροφάει ρεύμ Ι5 Α, ότν συνδεθεί σε δίκτυο με τάση 0V. Ζητείτι η ισχύς πωλειών κι ο θμός πόδοσης του κινητήρ. Η ολική ισχύς: PP UUUU 0 V 5 A, kw. Η ωφέλιμη ισχύς δίνετι στην εκφώνηση κι είνι W. Άρ η ισχύς πωλειών είνι 0, kw κι ο θμός πόδοσης W/,W 90,9 % Πράδειμ. Υπολοίστε την ισχύ σε κάθε στοιχείο του κυκλώμτος του διπλνού σχήμτος. Δίνοντι: U o 0V, U o 60V, Ω, 5Ω κι Ω. Κτστρώνουμε ι το κύκλωμ τρεις εξισώσεις ι τους τρεις νώστους, χρησιμοποιώντς κτά τ νωστά μί φορά τον ο κι δύο φορές το ο Νόμο του Kirchhoff: ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0 UU oo UU oo ΙΙ ΙΙ ΙΙ UU oo UU oo ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0VV ΩΩ 6ΩΩ UU oo ΙΙ ΙΙ ΙΙ 55AA 60VV (55AA ) 5ΩΩ ΩΩ ΙΙ ΙΙ ΙΙ 55AA 60VV 75VV 9ΩΩ 7,6AA ΙΙ ΙΙ ΙΙ,AA 7,6AA ΙΙ 9,7AA,AA 7,6AA Πρτηρούμε ότι το ρεύμ Ι έχει ντίθετη φορά πό υτή που επιλέξμε ρχικά υθίρετ. Γι την ισχύ που πορροφά κάθε μι πό τις τρεις ντιστάσεις μπορούμε ν ράψουμε: PP 0,78kkkk, PP 0,0kkkk, PP,kkkk Γι τις δύο πηές μπορούμε νε ράψουμε: PP UU0 UU 0,7kkkk, PP UU0 UU 0 0,kkkk Πρτηρούμε ότι η πηή U o διθέτει ισχύ στο κύκλωμ, ενώ U o η πορροφά! Αυτό σημίνει πως, ν θεωρήσουμε την πηή ως ηλεκτρική μηχνή η οποί μεττρέπει κίνηση σε τάση ή ντίστροφ, η μεν πρώτη πηή λειτουρεί ως εννήτρι, η δε δεύτερη ως κινητήρς. Γι ν επληθεύσουμε τ ποτελέσμτά μς, μπορούμε ν ελέξουμε ν η ολική διτιθέμενη ισχύς στο κύκλωμ ισούτι με την ολική πορροφούμενη: PP UU0,7kkkk, PP UU0 PP PP PP (0, 0,78 0,0,)kkkk,7kkkk Σελ. 7

28 Πράδειμ. Υπολοίστε την διτιθέμενη πό την πηή ισχύ, την ωφέλιμη ισχύ κι το θμό πόδοσης του κυκλώμτος του διπλνού σχήμτος. Δίνοντι: ισχύ σε κάθε στοιχείο του κυκλώμτος του διπλνού σχήμτος. Δίνοντι: U o 00V, 0 5Ω, Ω. Το ρεύμ στο κύκλωμ ισούτι με: ΙΙ UU OO 0 00VV 9ΩΩ 5,6AA Συνεπώς, η ισχύς στ τρί στοιχεί του κυκλώμτος υπολοίζετι ως: PP UU0 ΙΙUU 0 56, WW, PP 0 ΙΙ 0 8,5 WW, PP ΙΙ 87,8 WW Η διτιθέμενη πό την πηή ισχύς είνι 56, W. Οι πώλειες του συστήμτος είνι ίσες με την ισχύ που πορροφά η εσωτερική ντίστση της πηής (δηλ. 8,5 W), ενώ η ωφέλιμη ισχύς είνι η ισχύς που πορροφά το φορτίο (δηλ. 87,8 W). Κτά συνέπει, ο θμός πόδοση ισούτι με: nn PP ωωωω PP PP PP 7,7 % Πράδειμ. Το κύκλωμ του διπλνού σχήμτος λειτουρεί στην προσρμοή (δηλ. η πηή ν πρέχει μέιστη ισχύ στην x ). Υπολοίστε την τιμή της ντίστσης x, την τιμή της ισχύος στην x, κι το θμό πόδοσης του κυκλώμτος. Θεωρείστε πώλει την ισχύ που πορροφούν οι κι. Δίνοντι: U o 00V, V, κι 6V Η ισχύς που πορροφά η μετλητή ντίστση ισούτι με: PP xx UU xx Από διιρέτη τάσης έχουμε UU ( xx// ) UU ( xx // ) 0 xx UU UU xx xx 0 Συνδυάζοντς τις δύο σχέσεις: PP xx xx UU xx xx 0 UU 0 ( xx // ) UU ( xx ) 0 xx xx xx ( xx ) UU 0 Στην προσρμοή, η πράωος της ισχύος ως προς την x ισούτι με μηδέν: dd dddd PP xx UU xx xx 0 xx UU xx xx 0 dd dddd xx xx UU 0 Σελ. 8

29 dd PP dddd xx UU xx xx 0 xx UU xx xx 0 UU 0 ( ) ( xx xx ) dd dddd PP xx UU xx xx 0 UU xx xx 0 xx UU 0 ( ) ( xx xx ) Άρ στην προσρμοή: dd dddd PP xx 0 UU xx xx 0 xx UU 0 ( ) ( xx xx ) 0 UU xx xx 0 xx UU 0 ( ) ( xx xx ) xx ( ) xx xx xx ( ) xx xx xx ( ) xx ( ) xx, ΩΩ Υπολοίσμε την τιμή της μετλητής ντίστσης στην προσρμοή, πρτηρώντς ότι ισούτι με τον πράλληλο συνδυσμό των κι. Εύκολ τώρ μπορούμε ν υπολοίσουμε την τιμή της ισχύος στην κτάστση προσρμοής, υπολοίζοντς πρώτ την τιμή της τάσης U: xx,ωω 6ΩΩ UU UU xx xx 0 00VV 0VV,ΩΩ ΩΩ,ΩΩ 6ΩΩ ΩΩ 6ΩΩ Κι άρ: PP xx UU (0VV) 75WW xx,ωω Γι ν υπολοίζουμε τέλος το θμό πόδοσης, χρειζόμστε τη συνολικά ποδιδόμενη πό την πηή ισχύ, η οποί ρίσκετι πό τη σχέση: PP 0 UU 0 οο Όπου η 0 είνι η συνολική ισοδύνμη ντίστση που συνδέετι στην πηή κι προφνώς ισούτι με: 0 ( // XX ) XX ΩΩ 6ΩΩ,ΩΩ 5,7ΩΩ XX 6ΩΩ,ΩΩ Έτσι: PP 0 UU 0 (00VV) 750WW οο 5,7ΩΩ Κι τελικά ο θμός πόδοσης του κυκλώμτος ισούτι με: nn PP xx PP 0 75WW 750WW,% Σελ. 9

30 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΝΑΤΟΣ Έχουμε δει μι σειρά πρδειμάτων επίλυσης κυκλωμάτων με χρήση των νόμων του Kirchhoff. Πρτηρήσμε ότι όσο ποιό πολύπλοκο ίνετι έν κύκλωμ, τόσο υξάνει ο ριθμός των νώστων κι, κτά συνέπει, ο ριθμός των νεξάρτητων εξισώσεων που πρέπει ν επιλυθούν. Ιδιίτερ πολύπλοκ κυκλώμτ (τ οποί συχνά νφέροντι ως δικτυώμτ, χωρίς ωστόσο ν υπάρχει σφής διχωρισμός μετξύ των δύο εννοιών) μπορούν ν επιλυθούν: - Είτε με την νλυτική-ενική μέθοδο που έχουμε εξετάσει μέχρι τώρ (λέπε πράρτημ ), κάτι που πιτεί χρόνο ή ειδικά προράμμτ ηλ. υπολοιστή - Είτε με χρήση μις σειράς επιμέρους μεθόδων, οι οποίες διευκολύνουν κάποιες ειδικές περιπτώσεις δικτυωμάτων. Τέτοιες μεθόδους θ εξετάσουμε σε υτή την ενότητ. Αρχικά, θ επιχειρήσουμε μι σύντομη νφορά κι κτηοριοποίηση των μεθόδων υτών, κι στη συνέχει θ επιλύσουμε σειρά πρδειμάτων που θ επιτρέψουν την κλύτερη κτνόηση. Περισσότερες πληροφορίες κι επεξηήσεις μπορεί κνείς ν ρει στη σχετική ιλιορφί του μθήμτος. Γενική ρχή μεθόδου: Μέθοδος της επλληλίς (ή υπέρθεσης) Κάθε ρμμικό σύστημ που διεείρετι πό δύο ή περισσότερες πηές έχει λύση η οποί ισούτι με το άθροισμ της συμολής κάθε πηής ξεχωριστά. Προσοχή: Η ρχή της επλληλίς ισχύει σε ρμμικά συστήμτ μόνο ι ρεύμτ κι τάσεις, όχι ι την ισχύ κι την ενέρει οι οποίες συνδέοντι μη-ρμμικά με το ρεύμ! Ανλυτική μεθοδολοί εφρμοής της ρχής επλληλίς: Πρώτο ήμ: Δικόπτετι η λειτουρί όλων των νεξάρτητων πηών του δικτυώμτος εκτός πό μί. Διευκρινίζετι ότι δικοπή πηής τάσης σημίνει ρχυκύκλωμ των άκρων της, ενώ δικοπή πηής ρεύμτος σημίνει νοιχτοκύκλωμ των άκρων της. Δεύτερο ήμ: Με υτή μόνο την πηή υπολοίζοντι τ επιμέρους άνωστ ρεύμτ σε κάθε κλάδο. Τρίτο ήμ: Επνλμάνετι η διδικσί ι όλες τις πηές. Τέτρτο ήμ: Τ επιμέρους ρεύμτ που υπολοίστηκν θροίζοντι λερικά μετξύ τους προσδιορίζοντς έτσι τ συνολικά ρεύμτ των κλάδων. Βλέπε πρδείμτ Σελ. 0

31 Γενική ρχή μεθόδου: Μέθοδος των ισοδύνμων πηών (τάσης: θεώρημ Thevenin, & ρεύμτος: θεώρημ Norton) Κάθε ρμμικό ενερό δίκτυο (δηλ. διάτξη που περιλμάνει πηές κι Ωμικές ντιστάσεις) με εξωτερικούς κροδέκτες Α κι Β μπορεί ν ντικτστθεί πό έν πλό ισοδύνμο κύκλωμ που ποτελείτι: () είτε πό πηή τάσης V ισ σε σειρά με μί ντίστση ισ (θεώρημ Thevenin) () είτε πό πηή ρεύμτος ισ πράλληλ με μί ντίστση ισ (θεώρημ Norton) * Η τάση V ισ της πηής Thevenin είνι ίση με την τάση νοιχτού κυκλώμτος στους κροδέκτες Α, Β. * Το ρεύμ ισ της πηής Norton ισούτι με το ρεύμ ρχυκυκλώμτος στους κροδέκτες Α, Β. * Η ντίστση ισ ισούτι με την ντίστση που φίνετι στους κροδέκτες εξόδου ότν δικοπούν οι πηές του κυκλώμτος (λέπε σχετικό σχόλιο στην προηούμενη σελίδ). Τ δύο πλά ισοδύνμ Thevenin κι Norton είνι πολύτως ισοδύνμ μετξύ τους: η ισοδύνμη ντίστση ισ είνι κοινή κι στις δύο περιπτώσεις, ενώ η τάση V ισ κι το ρεύμ ισ συνδέοντι μέσω της σχέσης: V ισ ισ ισ Ανλυτική μεθοδολοί εφρμοής των Θεωρημάτων Thevenin / Norton: Πρώτο ήμ: Αποσυνδέετι το τμήμ του δικτυώμτος, στους κροδέκτες Α κι Β του οποίου, πρέπει ν υπολοιστούν η τάση κι το ρεύμ. Δεύτερο ήμ: Υπολοίζετι η τάση νοιχτού κυκλώμτος V ισ στους κροδέκτες με όλες τις πηές σε κνονική λειτουρί (ή ενλλκτικά ρχυκυκλώνοντι οι κροδέκτες κι υπολοίζετι το ρεύμ ρχυκυκλώσεως ισ ). Τρίτο ήμ: Δικόπτετι η λειτουρί των νεξάρτητων πηών (λέπε σχόλιο προηούμενης σελίδς) κι υπολοίζετι η ντίστση μετξύ των κροδεκτών Α κι Β. Τέτρτο ήμ: Σχημτίζετι ισοδύνμο κύκλωμ με: () ιδνική πηή τάσης ίση με V ισ (ή πηή ρεύμτος ίση με ισ ) () εσωτερική ντίστση ίση με ισ κι () φορτίο εκείνο το τμήμ του δικτυώμτος που ποσυνδέθηκε κτά το Πρώτο ήμ. Βλέπε πρδείμτ 5., 5.5 Σελ.

32 Γενική ρχή μεθόδου: Μέθοδος νεξάρτητων ρευμάτων ρόχων Η μέθοδος νεξάρτητων ρευμάτων των ρόχων, σίζετι στην υπόθεση ότι κάθε κλειστός ρόχος του δικτυώμτος διρρέετι πό έν χρκτηριστικό ρεύμ. Το ρεύμ του ρόχου υπολοίζετι χρησιμοποιώντς το ο Νόμο Kirchhoff. Η επίλυση ολοκληρώνετι κθορίζοντς το ρεύμ κάθε κλάδου πό έν πό τ ρεύμτ ρόχων ή πό κτάλληλο λερικό άθροισμ υτών. Προσοχή: Η μέθοδος των ρευμάτων ρόχων χρησιμοποιείτι μόνο ν το δικτύωμ περιέχει μόνο πηές τάσης (διφορετικά, η μέθοδος μπορεί ν χρησιμοποιηθεί με ντικτάστση των πηών ρεύμτος πό πηές τάσης με άση τ ισοδύνμ Thevenin/Norton). Ανλυτική μεθοδολοί εφρμοής των νεξάρτητων ρευμάτων ρόχων: Πρώτο ήμ: Αννωρίζουμε τους νεξάρτητους ρόχους του δικτυώμτος κι υποθέτουμε ότι κθένς πό υτούς διρρέετι πό έν χρκτηριστικό ρεύμ. Δεύτερο ήμ: Με υτή την υπόθεση, κτστρώνουμε ι κάθε ρόχο μί εξίσωση χρησιμοποιώντς τον ο Νόμο του Kirchhoff. Κτλήουμε σε έν ριθμό εξισώσεων ίσο με τον ριθμό των άνωστων ρευμάτων ρόχων. Από υτό το σύστημ εξισώσεων υπολοίζουμε τ νεξάρτητ ρεύμτ ρόχων Τρίτο ήμ: Η επίλυση ολοκληρώνετι κθορίζοντς το ρεύμ κάθε κλάδου πό έν πό τ ρεύμτ ρόχων ή πό κτάλληλο λερικό άθροισμ υτών. Βλέπε πρδείμτ Άμεση εφρμοή της μεθόδου: Όπως θ διπιστώσετε στ πρδείμτ που κολουθούν, το σύστημ εξισώσεων που προκύπτει με χρήση ρευμάτων ρόχων μπορεί πάντ ν επιλυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών, κι με την εξής τυποποιημένη διδικσί: Ας υποθέσουμε ι πράδειμ δικτύωμ με τρείς νεξάρτητους ρόχους (κι άρ τρί άνωστ ρεύμτ ρόχων). Η ορίζουσ του συστήμτος είνι της μορφής: κάθε στοιχείο της διωνίου ii περιέχει το άθροισμ όλων των a a a a a a ντιστάσεων του i ρόχου του δικτυώμτος, κάθε στοιχείο ij έξω πό την κύρι διώνιο περιέχει το άθροισμ των ντιστάσεων που είνι κοινές στους ρόχους i κι j. Αν τ ρεύμτ των ρόχων είνι ομόρροπ σε μί ντίστση, τότε το ντίστοιχο στοιχείο είνι θετικό, διφορετικά είνι ρνητικό. Γι το πρώτο άνωστο ρεύμ ρόχου (με τη σειρά που υθίρετ επιλέξμε) ορίζετι κόμη η ορίζουσ η οποί προκύπτει ν ντικτστήσουμε διδοχικά τ στοιχεί της πρώτης στήλη της ορίζουσς Δ με τις ντίστοιχες τιμές των πηών τάσεων που συνντάμε στους ρόχους (πρώτο στοιχείο πρώτος ρόχος, κ.ο.κ). Αν το ρεύμ του ρόχου εξέρχετι πό τον θετικό πόλο μις πηής τάσης, η ντίστοιχη τιμή είνι θετική, διφορετικά ρνητική. Έχοντς κθορίσει τις Δ κι, το πρώτο ρεύμ ρόχου προκύπτει κτά τ νωστά ως: Όμοι υπολοίζουμε τ υπόλοιπ ρεύμτ. Ι / Δ Σελ.

33 Γενική ρχή μεθόδου: Μέθοδος νεξάρτητων δυνμικών κόμων Η μέθοδος νεξάρτητων δυνμικών των κόμων, σίζετι στην υπόθεση ότι το δυνμικό σε κάθε κόμο του δικτυώμτος μπορεί ν υπολοιστεί σχετικά με το δυνμικό ενός κόμουνφοράς, ο οποίος επιλέχθηκε ρχικά με υθίρετο τρόπο. Το δυνμικό κάθε κόμου υπολοίζετι χρησιμοποιώντς το ο Νόμο Kirchhoff. Η επίλυση ολοκληρώνετι κθορίζοντς το ρεύμ κάθε κλάδου με άση το νόμο του Ohm. Προσοχή: Η μέθοδος των δυνμικών κόμων χρησιμοποιείτι μόνο ν το δικτύωμ περιέχει μόνο πηές ρεύμτος (διφορετικά, η μέθοδος μπορεί ν χρησιμοποιηθεί με ντικτάστση των πηών τάσης πό πηές ρεύμτος με άση τ ισοδύνμ Thevenin/Norton). Ανλυτική μεθοδολοί εφρμοής των νεξάρτητων ρευμάτων ρόχων: Πρώτο ήμ: Επιλέουμε «κόμο νφοράς» κτά προτίμηση υτόν με τους περισσότερους κλάδους κι τον ειώνουμε (δυνμικό κόμου νφοράς ίσο με μηδέν). Δεύτερο ήμ: Σημειώνουμε τ δυνμικά των υπόλοιπων κόμων V, V, V, κ.ο.κ. Εφρμόζουμε τον ο Νόμο Kirchhoff ι όλους τους υπόλοιπους κόμους εκτός της είωσης. Επιλύοντς το σύστημ εξισώσεων που προκύπτει, υπολοίζουμε τις τιμές των δυνμικών κάθε κόμου. Τρίτο ήμ: Η επίλυση ολοκληρώνετι κθορίζοντς το ρεύμ κάθε κλάδου με άση το νόμο του Ohm. Βλέ δ ί Άμεση εφρμοή της μεθόδου: Όπως θ διπιστώσετε στ πρδείμτ που κολουθούν, το σύστημ εξισώσεων που προκύπτει με χρήση δυνμικών κόμων μπορεί πάντ ν επιλυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών, κι με την εξής τυποποιημένη διδικσί: Ας υποθέσουμε ι πράδειμ δικτύωμ με τέσσερις κόμους (κι άρ τρί άνωστ δυνμικά, κθώς ο ένς κόμος είνι η νφορά-είωση). Η ορίζουσ του συστήμτος είνι της μορφής: κάθε στοιχείο της διωνίου ii περιέχει το άθροισμ όλων των ντίστροφων ντιστάσεων (δηλ. ωιμοτήτων) που κτλήουν στον κόμο i. a a a κάθε στοιχείο ij έξω πό την κύρι διώνιο περιέχει την ντίστροφη a a a ντίστση (δηλ. ωιμότητ) του κλάδου που συνδέει τους κόμους i κι j, με εισωή ρνητικού πρόσημου. Αν οι κόμοι δεν συνδέοντι άμεσ, το στοιχείο είνι μηδέν. Γι το πρώτο άνωστο δυνμικό κόμου (με τη σειρά που υθίρετ επιλέξμε) ορίζετι κόμη η ορίζουσ V η οποί προκύπτει ν ντικτστήσουμε διδοχικά τ στοιχεί της πρώτης στήλης της ορίζουσς Δ με τις ντίστοιχες τιμές των πηών ρεύμτος που συνδέοντι στους κόμους (πρώτο στοιχείο πρώτος κόμος, κ.ο.κ.). Αν το ρεύμ μις πηής κτευθύνετι προς τον κόμο, η ντίστοιχη τιμή είνι θετική, διφορετικά ρνητική. Έχοντς κθορίσει τις Δ κι V, το πρώτο ρεύμ ρόχου προκύπτει κτά τ νωστά ως: V V / Δ Όμοι υπολοίζουμε κι τ υπόλοιπ δυνμικά. Σελ.

34 Πράδειμ 5. Στο δικτύωμ του σχήμτος, υπολοίστε την τάση V ΑΒ, χρησιμοποιώντς την ρχή της επλληλίς. Δικόπτοντς τη λειτουρί της δεύτερης πηής ρεύμτος (τ άκρ της νοιχτό κύκλωμ): Ι Α, Ι 0Α, μπορούμε πό διιρέτη ρεύμτος ν υπολοίσουμε το ρεύμ που διρρέει τον κλάδο ΑΒ: (0ΩΩ ΩΩ) ΙΙ AAAA ΑΑ,ΑΑ (0ΩΩ ΩΩ) 5ΩΩ Κι άρ: VV AAAA ΙΙ AAAA,AA 5ΩΩ 7,06VV Δικόπτοντς τη λειτουρί της πρώτης πηής ρεύμτος (τ άκρ της νοιχτό κύκλωμ): Ι 0Α, Ι Α, μπορούμε πό διιρέτη ρεύμτος ν υπολοίσουμε το ρεύμ που διρρέει τον κλάδο ΑΒ: ΩΩ ΙΙ AAAA ΑΑ 0,7ΑΑ (0ΩΩ 5ΩΩ) ΩΩ Κι άρ: VV AAAA ΙΙ AAAA 0,7ΑΑ 5ΩΩ,5VV Η ρχή επλληλίς δίνει τελικά: VV AAAA VV AAAA VV AAAA 9,VV Πράδειμ 5. Στο δικτύωμ του σχήμτος, υπολοίστε το ρεύμ, την τάση κι την ισχύ στην ντίστση, χρησιμοποιώντς την ρχή της επλληλίς. Δικόπτοντς τη λειτουρί της πηής ρεύμτος (τ άκρ της νοιχτό κύκλωμ): Ι 0 0Α, V 0 6V, μπορούμε πό διιρέτη τάσης ν υπολοίσουμε την τάση στ άκρ της : 0ΩΩ VV 6VV,59VV (0ΩΩ 7ΩΩ) Κι άρ: ΙΙ VV 0,5AA Δικόπτοντς τη λειτουρί της πηής τάσης (τ άκρ της ρχυκύκλωμ): Ι 0 0,8Α, V 0 0V, μπορούμε πό την πράλληλη συνδεσμολοί των δύο ντιστάσεων ν υπολοίσουμε την τάση στ άκρ της : (0ΩΩ 7ΩΩ) VV 0,8ΑΑ 0ΩΩ 7ΩΩ,9VV Κι άρ: ΙΙ VV 0,9AA Η ρχή της επλληλίς δίνει τελικά: VV VV VV 0,5VV κι ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0,0ΑΑ Ασφλώς η ρχή της επλληλίς δεν ισχύει ι την ισχύ, η οποί ισούτι με: PP VV ΙΙ 0,0056WW 5,6mmmm Σελ.

35 Πράδειμ 5. Στο δικτύωμ του σχήμτος, υπολοίστε το ρεύμ στην ντίστση 0, χρησιμοποιώντς την ρχή της επλληλίς. Δικόπτοντς τη λειτουρί της δεύτερης κι της τρίτης πηής τάσης (τ άκρ των πηών ρχυκύκλωμ): V 0 V, V 0 0V, V 0 0V, μπορούμε εύκολ ν δικρίνουμε ότι η τάση στ άκρ της 0 είνι ίση με V 0, συνεπώς: ΙΙ 0 VV 0 AA 0 Δικόπτοντς τη λειτουρί της πρώτης κι της τρίτης πηής τάσης (τ άκρ των πηών ρχυκύκλωμ): V 0 0V, V 0 V, V 0 0V, μπορούμε εύκολ ν δικρίνουμε ότι η τάση στ άκρ της 0 είνι ίση με μηδέν, συνεπώς: ΙΙ 0 0 Δικόπτοντς τη λειτουρί της πρώτης κι της δεύτερης πηής τάσης (τ άκρ των πηών ρχυκύκλωμ): V 0 0V, V 0 0V, V 0 V, μπορούμε εύκολ ν δικρίνουμε ότι η τάση στ άκρ της 0 είνι ίση με -V 0, συνεπώς: ΙΙ 0 VV 0 AA 0 Η ρχή της επλληλίς δίνει τελικά: ΙΙ 0 ΙΙ 0 ΙΙ 0 ΙΙ 0 0 Πράδειμ 5. Στο δικτύωμ του σχήμτος, συνδέουμε στους κροδέκτες Α κι Β ντίστση φορτίου L Ω. Υπολοίστε την ισχύ που κτνλώνει το φορτίο με χρήση ισοδύνμου Thevenin. Το ποσυνδεδεμένο (πό το φορτίο) δικτύωμ με άκρ Α κι Β ποτελείτι πό κλειστό ρόχο, ο οποίος διρρέετι πό ρεύμ Ι. Από το ο Νόμο Kirchhoff: 0VV 0VV 5ΩΩ ΙΙ 5ΩΩ 0 0VV 0ΩΩ 0,5ΑΑ Ακόμη, πό το ο Νόμο Kirchhoff: UU AAAA 0VV 5ΩΩ 0 UU AAAA 0VV,5VV,5VV Έχουμε υπολοίσει την τάση νοιχτού κυκλώμτος στους κροδέκτες Α κι Β, δηλ την V ισ : VV ιιιι,5vv Σελ. 5

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα

Κεφάλαιο 2 ο. Γραμμικά Δικτυώματα Κεφάλιο 2 ο Γρμμικά Δικτυώμτ Έν ηλεκτρικό κύκλωμ ή δικτύωμ ποτελείτι πό ένν ριθμό πλών κυκλωμτικών στοιχείων, όπως υτά που νφέρθηκν στο Κεφ.1, συνδεδεμένων μετξύ τους. Το κύκλωμ θ περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε μ ν ριθμούς ij, i,,, μ κι j,,, ν τοποθετημένους σε μ γρμμές κι v στήλες Το σύμολο μ μ ν ν λέγετι πίνκς διάστσης μ ν Οι ριθμοί ij λέγοντι στοιχεί του πίνκ Α Ο πίνκς Α μπορεί ν συμολιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ορισμός Έλλειψης

3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ορισμός Έλλειψης 0 33 Η ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός Έλλειψης Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου Ονομάζετι έλλειψη με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ E κι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 63

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 63 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 6 ΑΣΚΗΣΗ. ύο σφίρες φορτίου q κι µάζς m g, κρέµοντι πό το ίδιο σηµείο µε νήµτ µήκους 40cm. Αν οι σφίρες ισορροπούν ότν τ νήµτ σχηµτίζουν γωνί φ 60 ο, ν ρεθεί το φορτίο q. ίνοντι g 0m/s

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6. Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)

Ευθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα) Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν

ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν ΣΤΟΙΧΕΙ Τ Ρ Ι Ω Ν Ω Ν Θυμάμι ότι... ˆ + ˆ + ˆ = 180 ο ντί ν ράφουμε συνέχει «το τρίωνο» μπορούμε ν ράφουμε Δ. ΠΛΕΥΡΕΣ = = = ΩΝΙΕΣ = = = ν χωρίσουμε τ τρίων σε κτηορίες, με κριτήριο τ κύρι στοιχεί τους,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το

= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών Προτεινόµενες Ασκήσεις στ Στοιχεί δύο Ακροδεκτών πό το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργρη Πρόβληµ. Σ' έν πηνίο µε υτεπγωγή =5H το ρεύµ έχει τη µορφή του Σχ.. Σχεδιάστε την τάση στ άκρ του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. Θεωρί - Αποδείξεις Θεωρί Αποδείξτε ότι η δινσμτική κτίν το θροίσμτος των μιδικών κι δ είνι το άθροισμ των δινσμτικών κτίνων τος. Αν Μ κι Μ δ είνι οι εικόνες των κι δ ντιστοίχως στο μιδικό επίπεδο τότε

Διαβάστε περισσότερα

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ

α Κατά τη μεταφορά με δεξαμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όγκου. Λ γ Κατά την εκφόρτωση υπό πίεση. Λ ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΔΕΞΑΜΕΝΗ 30 Τ κπάκι των νθρωποθυρίδων μπορούν ν πρμένουν νοικτά: Κτά τη μετφορά με δεξμενή φορτωμένη 15% του συνολικού όκου. Κτά τις ερσίες κθρισμού της δεξμενής (gasfree). Κτά την εκφόρτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου ο Επνληπτικό Διγώνισμ Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου Θέμ Α: (Γι τις ερωτήσεις Α. έως κι Α.4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της πρότσης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πρότση.) Α. Στην ευθύγρμμη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΕΦΥΡΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη µέτρηση της ωµικής λλά κι της σύνθετης ντίστσης µε υψηλή κρίβει χρησιµοποιούντι οι γέφυρες µέτρησης. Γι τη µέτρηση της ωµικής ντίστσης η πηγή τροφοδοσίς της γέφυρς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7 ΧΟΗ ΕΠΑΓΓΕΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΗ ΜΕΤΑΦΟΡΕΩΝ ΕΚOMEE (ΑDR) ΘΕΑΙΑ & ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΑΔΟ ΓΡΑΦΕΙΑ & ΑΙΘΟΥΕ ΔΙΔΑΚΑΙΑ: ΚΟΥΤΑΡΕΙΑ 12 ΜΕΙΑOΝΟ (ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΙΡΑΙΩ) Τ.Κ.: 38333 ΒΟΟ ΤΗ.: 24210 34944 / 6977 280182

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ίνετι η εξίσση Πόσες λύσεις έχει η εξίσση υτή; Σε ποι σηµεί η ευθεί, τέµνει τους άξονες; Ν κάνετε τη ρφική πράστση της προηούµενης ευθείς..

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση

έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) και σταθερό άθροισµα 2α. 2. * Η εξίσωση Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες Ε (- γ, 0), Ε (γ, 0) κι στθερό άθροισµ.. * Η εξίσωση x + y = µε = γ πριστάνει έλλειψη µε εστίες

Διαβάστε περισσότερα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα EI.3 ΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ.Αξί κτνάλωσης.λεόνσμ κτνλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.λεόνσμ προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνσμ. ργμτική ξί (Χρησιμότητ) της κτνάλωσης Η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = () έχει κτρχήν την γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι.

(iii) Ο συντελεστής διεύθυνσης λ κάθε ευθείας κάθετης προς την ΓΔ έχει με. τον συντελεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με -1. Αρα θα είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011:

Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2011: ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξετάσεων Φεβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδες Πρέπει με κυβικές b-splnes ν πρεμβάλετε, κτά σειρά, τ εξής σημεί:,,,,,,,8, 7, κι,. Ας είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 ΕΚΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ 19 ΙΟΥΛΙΟΥ 2004

ΦΥΕ 14 ΕΚΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ 19 ΙΟΥΛΙΟΥ 2004 Άσκηση (5 µονάδες) ΦΥΕ 4 ΕΚΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ 9 ΙΟΥΛΙΟΥ 4 Τρί σηµεικά φορτί τοποθετούντι στις κορυφές ενός τετργώνου πλευράς όπως φίνετι στο σχήµ. Υπολογίστε την διεύθυνση κι το µέτρο του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities)

Το υπόδειγµα Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Παραγωγικές Εξωτερικότητες Κεφαλαίου (Romer-type externalities) Το υπόδειγµ Άριστης Οικονοµικής Μεγέθυνσης µε Πργωγικές Εξωτερικότητες Κεφλίου Romer-ype exernales Α. Αποκεντρωµένη Οικονοµί Υποθέστε µί κλειστή οικονοµί η οποί πρτίζετι πό πλήθος νοικοκυριών κι πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα Ηλεκτρομγνητισμός (6-7-9) Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 A. Έν σωμάτιο με φορτίο -6. n τοποθετείτι στο κέντρο ενός μη γώγιμου σφιρικού φλοιού εσωτερικής κτίνς c κι εξωτερικής 5 c. Ο σφιρικός φλοιός περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ 2 ΥΝ ΤΗ Υ Τ ΤΗΝ ΥΗ 363 ΜΤΗΗ Μ ΛΥ ΤΩΝΥ ΥΝΤΗ ΤΩΝ ΛΛΩΝ ΛΥΩΝ ΤΥ ΤΩΝ ΛΩΝ ΤΗ ΥΤ Μστροιάννης Ν. νάρυρος Μθημτικός πιμορφωτής Ν.Τ. ΛΗΗ Το θέμ προς διπρμάτευση νφέρετι στη σχέση των εμδών που σχημτίζοντι σε τρίωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

Είναι ένα πιστοποιητικό που επιτρέπει τη μεταφορά επικίνδυνων εμπορευμάτων ακόμα και εάν η μονάδα μεταφοράς δεν είναι κατάλληλη.

Είναι ένα πιστοποιητικό που επιτρέπει τη μεταφορά επικίνδυνων εμπορευμάτων ακόμα και εάν η μονάδα μεταφοράς δεν είναι κατάλληλη. ΚΕΦΑΑΙΟ 1: ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟ ΠΑΙΙΟ - ΤΑΞΙΝΟΜΗΗ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΩΝ ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΩΝ 1 Ποιος έχει την υποχρέωση ν πρδώσει στον οδηό τις ρπτές οδηίες σχετικές με τη μετφερόμενη επικίνδυνη ύλη; Ο πρλήπτης. Η τροχί. Ο ποστολές.

Διαβάστε περισσότερα