ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ"

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Σηµειώσεις Μεταπτυχιακού Μαθήµατος Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου Μάρτιος 2007

2 Copyrght: Βασίλης Σ. Κουϊκόγλου, 2007

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΙΑ ΜΗΧΑΝΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΜΑΛΑ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ακριβή Αποτελέσµατα Ασκήσεις (Σειρά ) ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Τοπική (Γειτονική) Έρευνα - Neghborhood (Local) Search υναµικός Προγραµµατισµός - Dynamc Programmng Αλγόριθµος ιακλάδωσης και Φράγµατος - Branch and Bound Ασκήσεις (Σειρά 2) ΥΝΑΜΙΚΑ KΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ακριβή Αποτελέσµατα Ασκήσεις (Σειρά 3) ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Συνολικός Χρόνος Περάτωσης Μέσος Χρόνος Περάτωσης Ασκήσεις (Σειρά 4) ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ Εισαγωγή Αλγόριθµος Johnson Αλγόριθµος Φ των Ignall-Schrage και Lomnck Ασκήσεις (Σειρά 5) ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΚΑΙ ΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΕ ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...38

4 4.2 ANAΛΥΣΗ ΙΚΤΥΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Βασικές Έννοιες Απλά Συστήµατα Αναµονής ίκτυα Jackson Κλειστά ίκτυα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Bελτιστοποίηση µε περιορισµούς ισότητας Συνθήκες Kuhn-Tucker Mέθοδος Συναρτήσεως Ποινής (Penalty Functon Method) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΚΑΙ ΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Αιτιοκρατικοί Χρόνοι Κατεργασιών Στοχαστικοί Χρόνοι Κατεργασιών - Περιορισµοί Αποθέµατος Ασκήσεις (Σειρά 6) ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΙΑ ΜΗΧΑΝΗ ΥΠΟΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΠΟΘΗΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 'Ακυκλα ίκτυα Μη Ακυκλα ίκτυα Ασκήσεις (Σειρά 7) ΕΡΓΑΣΙΑ BΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Προγραµµατισµός είναι το σχέδιο εκτέλεσης ενός πλήθους δραστηριοτήτων οι οποίες δεσµεύουν πόρους (χρήµα, χρόνο, µηχανές, συστήµατα µεταφοράς, ανθρώπινο δυναµικό κλπ.). Στα συστήµατα παραγωγής οι δραστηριότητες περιλαµβάνουν µεταφορά προϊόντων σε διάφορα στάδια παραγωγής, κατεργασίες που εκτελούνται από µηχανές και εργαζόµενους, προετοιµασία µηχανών (αλλαγές εργαλείων κοπής, φόρτωση/εκφόρτωση κοµµατιών). Στόχος του προγράµµατος παραγωγής είναι ο συνδυασµός των ακόλουθων (α) αύξηση παραγωγικότητας (β) ικανοποίηση πελατών - έγκαιρη παράδοση προϊόντων - ποιότητα (γ) ελαχιστοποίηση κόστους παραγωγής Το πρόβληµα του προγραµµατισµού περιπλέκεται λόγω του πλήθους περιορισµών οι οποίοι συνδέουν πόρους και δραστηριότητες. Τέτοιες περιπτώσεις αποτελούν τον κανόνα σε πραγµατικά συστήµατα και η επίλυση του προβλήµατος παρουσιάζει αξεπέραστες µαθηµατικές δυσκολίες. Φαντασθείτε ότι αντιµετωπίζετε το εξής πρόβληµα: Ένα εργοστάσιο παράγει δύο τύπους προϊόντων, καθένα µε διαφορετικό κόστος παραγωγής, τιµή πώλησης, ελάχιστο επίπεδο ικανοποίησης της ζήτησης, είδη και χρόνους κατεργασιών. Ζητούνται οι ποσότητες παραγωγής ώστε να µεγιστοποιείται το κέρδος, να ικανοποιούνται οι ελάχιστες απαιτήσεις της ζήτησης, και οι µηχανές να έχουν χρόνο για συντήρηση και επισκευές. Όταν η αντικειµενική συνάρτηση και οι περιορισµοί είναι γραµµικές συναρτήσεις, η βέλτιστη παραγωγή προκύπτει από την επίλυση προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού. Μείωση του κόστους λειτουργίας και βελτίωση της λύσης µπορεί να επιτευχθεί αν διατίθενται προβλέψεις για την ζήτηση ώστε τα λειτουργικά χαρακτηριστικά των µηχανών οι οποίες θα εγκατασταθούν να ταιριάζουν στη συγκεκριµένη ζήτηση. Ίσως ακόµη να ήταν προτιµότερο το σύστηµα να παρήγαγε άλλους τύπους προϊόντων, τα οποία αποφέρουν περισσότερο κέρδος. Αντιλαµβάνεται κανείς ότι το γενικό πρόβληµα της παραγωγής αποσυντίθενται σε υποπροβλήµατα ή βαθµίδες. Κάθε βαθµίδα αντιµετωπίζει προβλήµατα που αναφέρονται σε συγκεκριµένη κλίµακα και συγκεκριµένο χρονικό ορίζοντα (επιλογή προϊόντωνσχεδίαση συστήµατος-προγραµµατισµός παραγωγής). Βαθµίδα : Μακροπρόθεσµος Σχεδιασµός (Desgn) Αποφασίζονται: επέκταση του συστήµατος, χωροθέτηση τµηµάτων παραγωγής, κύκλος ζωής του συστήµατος, τεχνολογία που θα χρησιµοποιηθεί. Ορίζοντας : Μέχρι 5 έτη. Βαθµίδα 2 : Μεσοπρόθεσµος Σχεδιασµός (Aggregate Plannng) Αποφασίζονται: γενικές πολιτικές προσαρµογής του συστήµατος σε εποχικές 3

6 µεταβολές της ζήτησης (πρόσληψη - απόλυση εποχικού προσωπικού, υπεργολαβίες µε άλλους κατασκευαστές, µετακινήσεις πόρων από το ένα τµήµα στο άλλο, υπερωρίες). Ορίζοντας : Μέχρι έτος. Βαθµίδα 3 : Βραχυπρόθεσµος Σχεδιασµός (Master Schedulng, MRP) Αποφασίζονται: προγραµµατισµός απαιτήσεων τελικών προϊόντων (master schedule) και υλικών για αυτά (materal requrements plannng - MRP). Εδώ γίνονται εκτίµηση χρόνων παράδοσης για κάθε τύπο προϊόντος, υπολογισµός χρόνων παραγγελίας πρώτων υλών και προβλέψεις. Ορίζοντας : -6 µήνες. Βαθµίδα 4 : Προγραµµατισµός Το σύστηµα MRP έχει δώσει τις προβλέψεις. Ο ορίζοντας της προηγούµενης βαθµίδας χωρίζεται σε περιόδους 2-6 εβδοµάδων. Ο προγραµµατισµός απαιτήσεων επαναλαµβάνεται κάθε εβδοµάδα ή συντοµότερα έτσι ώστε να αντιµετωπίζονται προβλήµατα απρόβλεπτων παραγγελιών, διαθεσιµότητας πόρων, και παράλληλα το εβδοµαδιαίο πρόγραµµα να ταιριάζει µε τα προγράµµατα των επόµενων εβδοµάδων. Τα συγκεκριµένα προβλήµατα θα αναπτυχθούν σε επόµενο εδάφιο. Βαθµίδα 5 : Επαναπρογραµµατισµός - Έλεγχος παραγωγής Βλάβες µηχανών, καθυστερήσεις πρώτων υλών, ακριβείς περιορισµοί σε δραστηριότητες σε πόρους εξετάζονται λεπτοµερώς. ιορθώνονται τυχόν αποκλίσεις από την προβλεπόµενη παραγωγή, καθορίζονται προτεραιότητες σε πραγµατικό χρόνο. Ο ορίζοντας εκτείνεται από µία βάρδια έως µερικές ηµέρες. Ο προγραµµατισµός παραγωγής αποτελεί ένα εποχιακό πρόβληµα. Με τον όρο προγραµµατισµό συνήθως εννοούµε τέτοιας κλίµακας προβλήµατα ή ακόµη πιο βραχυπρόθεσµα..2 ΤΟΠΟΛΟΓΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Θα περιγράψουµε τα συστήµατα στα οποία αντιµετωπίζονται προβλήµατα της Βαθµίδας 4. Ως εργασία θεωρείται η παραγωγή παρτίδας ενός τύπου προϊόντος ή η ικανοποίηση µίας παραγγελίας. Τα προβλήµατα διαφοροποιούνται ως προς τον τρόπο εκτέλεσης εργασιών και το είδος του συστήµατος παραγωγής. ιακρίνουµε τα ακόλουθα συστήµατα. Κλασσικό Κατάστηµα Εργασιών (Classc Job Shop). Eκτελεί πολλές εργασίες (παράγει πολλά είδη προϊόντων). Στο σύστηµα υπάρχουν n µηχανές, µία για κάθε κατεργασία. Κάθε εργασία (προϊόν) απαιτεί n κατεργασίες. ιαφορετικές εργασίες µπορεί να έχουν διαφορετικά µονοπάτια µέσα στο σύστηµα. 4

7 Οι παραγγελίες είναι συγκεκριµένες και κάθε κατεργασία αφορά προϊόν που προορίζεται για συγκεκριµένο πελάτη. Εποµένως, τα βέλη που περιγράφουν τη ροή µίας εργασίας έχουν µία αρχή και ένα τέλος (δεν υπάρχουν διακλαδώσεις). Ειδική περίπτωση αποτελούν καταστήµατα στα οποία οι παραγγελίες είναι µοναδικές και ανεπανάληπτες (έργα - projects). Aνοικτό Κατάστηµα Εργασιών (Open Job Shop). Οι παραγγελίες ίδιου τύπου προϊόντος ή παρόµοιων είναι συχνές. Μπορεί να γίνονται διαφορετικές κατεργασίες σε µία µηχανή. Ανάλογα µε τις προτεραιότητες που έχουν καθοριστεί, µία εργασία ή µέρος της δύναται να αλλάξει προορισµό από έναν πελάτη προς άλλον. Για την αντιµετώπιση εκτάκτων παραγγελιών του ίδιου προϊόντος υπάρχουν αποθέµατα σε ενδιάµεσα στάδια της παραγωγής, καθώς και απόθεµα τελικού προϊόντος. Όταν ο βαθµός οµοιότητας των εργασιών (τελικών προϊόντων) είναι µεγάλος, τότε η ροή διά µέσου του συστήµατος είναι οµοιόµορφη και συµφέρει η κατεργασία ανά παρτίδες παρά ανά κοµµάτι (π.χ. κλωστοϋφαντουργία). Κατάστηµα Ροής (Flow Shop). Η ακολουθία εκτέλεσης εργασιών είναι σταθερή και κάθε κοµµάτι επισκέπτεται έναν σταθµό κατεργασίας µία µόνον φορά. Κάθε σταθµός µπορεί να αποτελείται από παράλληλες µηχανές οι οποίες εκτελούν την ίδια κατεργασία. Στη συνέχεια εξετάζουµε προβλήµατα προγραµµατισµού παραγωγής σε συστήµατα µίας µηχανής. 5

8 2 ΜΙΑ ΜΗΧΑΝΗ 2. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Εξετάζουµε συστήµατα που αποτελούνται από µία µόνο µηχανή, η οποία εκτελεί διάφορες εργασίες. Οι "εργασίες" αυτές µπορεί να περιγράφουν παραγγελίες ή πρώτες ύλες που πρέπει να υποστούν κατεργασία. Αυτές µπορεί να είναι διαθέσιµες στην αρχή (τη στιγµή 0) ή να έρχονται σε µελλοντικούς χρόνους. Ορίζουµε τις ακόλουθες ποσότητες : p : διάρκεια εκτέλεσης εργασίας (processng tme) r : χρόνος άφιξης της εργασίας (παραγγελίας) στο σύστηµα, (ready tme) d : προθεσµία, µέγιστος επιτρεπτός χρόνος παράδοσης (due date) Είναι δυνατόν να έχουµε πλήρη πληροφορία σχετικά µε τις ποσότητες αυτές ή µερική πληροφορία µε τη µορφή µέσων τιµών (E(p ) = γνωστή, ) ή πιθανοτήτων (P(p = x) = γνωστή για κάθε x, ). Στην πρώτη περίπτωση, έχουµε αιτιοκρατικούς χρόνους και στη δεύτερη έχουµε στοχαστικούς. Το πρόβληµα είναι η εύρεση της σειράς (ακολουθίας) εκτέλεσης των εργασιών ώστε να ικανοποιείται κάποιο µέτρο απόδοσης. Συνήθη µέτρα απόδοσης περιλαµβάνουν τις εξής ποσότητες: C : χρόνος συµπλήρωσης (παράδοσης) της εργασίας (completon tme) F =C r : χρόνος ροής = συνολικός χρόνος αναµονής της στο σύστηµα (flow tme) L =C d : θετική ή αρνητική απόκλιση από την προθεσµία παράδοσης, βραδύτητα (lateness) T =max{l, 0}: υπέρβαση της προθεσµίας, καθυστέρηση (tardness) E =max{ L, 0}: αρνητική απόκλιση από την προθεσµία, "ενωρίτητα" (earlness) N : πλήθος εργασιών που καθυστέρησαν Στόχοι : Ελαχιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης Ζ. Η Ζ εκφράζει το κόστος λειτουργίας το οποίο µπορεί να αναλυθεί ως: Κόστος εξ αιτίας καθυστερήσεων (ποινικές ρήτρες). Όταν το C είναι µεγαλύτερο από την προθεσµία d τότε οι καθυστερήσεις L, T είναι θετικές και υπάρχουν Ν>0 εκπρόθεσµες εργασίες. Κέρδος εξ αιτίας ενωρίτερου χρόνου παράδοσης όταν το E είναι µεγάλο. Κόστος αναµονής ή αποθέµατος F. Όταν το προϊόν είναι ηµιτελές, δεν προσφέρεται στον αγοραστή και δεν υπάρχουν έσοδα από αυτό. Αν η τιµή του προϊόντος είναι 00 6

9 δρχ και το επιτόκιο τραπέζης είναι 2% ανά έτος=% ανά µήνα, τότε µείωση του χρόνου F κατα µήνα συνεπάγεται κέρδος δρχ από την αποταµίευση 00 δραχµών επι µήνα στην τράπεζα. Συχνά, επίσης, υπάρχει κόστος συντήρησης που είναι ανάλογο του χρόνου παραµονής F (πχ. σε γαλακτοκοµικά προϊόντα). Σταθµισµένο άθροισµα : Fw = wf, σταθµισµένο πλήθος καθυστερήσεων µε w =βάρος=κόστος ανά µονάδα χρόνου αναµονής, και αντίστοιχα oρίζονται τα L w, T w. Θεωρούµε ότι τα w είναι 0 και εκφράζουν κάποιο συντελεστή κόστους ή ποινής. Σταθµισµένο πλήθος καθυστερήσεων: Ν w = w ( > ) I T 0 όπου Ι(x)= αν x=αληθής, και 0 αν x=ψευδής είναι η ενδεικτική συνάρτηση. Όταν w =, τότε Ν w =Ν. + Συναρτήσεις των ανωτέρω : Z f ( C ) Z = ( w T u E ) = Σε προβλήµατα µε στοχαστικούς χρόνους, η αντικειµενική συνάρτηση εκφράζεται µε τη µορφή της µέσης τιµής. Ε(Ζ). Τα προβλήµατα χαρακτηρίζονται ως: στατικά, αν οι παραγγελίες είναι από την αρχή καθορισµένες, οπότε r =0 C =F, ή δυναµικά αν οι χρόνοι αφίξεων παραγγελιών διαφέρουν µη διακοπτόµενων (non preemptve) εργασιών, αν µία εργασία δεν δύναται να διακοπεί προτού περατωθεί, ή διακοπτόµενων (preemptve) εργασιών, αλλιώς. οµαλά (regular), αν η συνάρτηση Ζ είναι αύξουσα ως προς C. 2.2 ΟΜΑΛΑ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2.2. Ακριβή Αποτελέσµατα Θα διατυπώσουµε στατικά προβλήµατα µε οµαλές αντικειµενικές συναρτήσεις και λύσεις οι οποίες έχουν τη µορφή απλών κανόνων. Μία τεχνική επίλυσης προβληµάτων συνδυαστικής βελτιστοποίησης είναι η εφαρµογή επιχειρηµάτων αµοιβαίας αντιµετάθεσης ή εναλλαγής (nterchange arguments). Αν το πρόβληµα χωρίζεται σε βαθµίδες, τότε θεωρούµε µία αυθαίρετη σύνθετη πολιτική πολλών βαθµίδων. Εξετάζουµε δύο διαδοχικές βαθµίδες και εναλλάσσουµε τις αποφάσεις που ελήφθησαν οπότε προκύπτει µία νέα πολιτική την οποία συγκρίνουµε µε την αρχική. Επιλέγουµε την καλύτερη και συνεχίζουµε τις συγκρίσεις µέχρις ότου βρούµε την πολιτική η οποία δεν επιδέχεται περαιτέρω βελτίωση. Η τεχνική αυτή έχει περιορισµένη εφαρµογή σε προβλήµατα βελτιστοποίησης. Ωστόσο, χρησιµεύει στις αποδείξεις θεωρηµάτων όπως θα δούµε στη συνέχεια. Πρόταση 2.. Για το στατικό πρόβληµα mn F w η βέλτιστη πολιτική είναι να εκτελείται η εργασία που έχει το µικρότερο [p /w ]. Η πολιτική αυτή ονοµάζεται 7

10 σταθµισµένος µικρότερος χρόνος κατεργασίας (weghted shortest processng tme, WSPT). Απόδειξη : Εις άτοπον απαγωγή. Yποθέστε ότι η βέλτιστη ακολουθία εκτέλεσης των n εργασιών είναι η S=(, 2,...,, +,..., n) και επί πλέον ότι o κανόνας WSPT δεν ισχύει. Εκτελούµε αντιµετάθεση των εργασιών και (+) και προκύπτει η ακολουθία S =(, 2,..., +,,..., n). Υπολογίζουµε τους σταθµισµένους χρόνους ροής F w (S) και F w (S ) για κάθε ακολουθία. Eπειδή η S είναι η βέλτιστη ακολουθία, προφανώς θα πρέπει F w (S)< F w (S ). Έχουµε Χρόνοι ροής: S : F,..., F, F =F +p, F + =F +p +p +, F +2,..., F n (*) S : F =F,..., F = F, F + =F +p +, F =F +p + +p = F +, F +2 =F +2,..., F n =F n Συνάρτηση κόστους: n F w (S) = w j F j + w ( F + p ) + w+ ( F + p + p+ ) + w j F j j= j= + 2 n F w (S ) = w j F j + w+ ( F + p+ ) + w ( F + p+ + p ) + w j F j j= j= + 2 Τώρα, από τη σχέση F w (S)< F w (S ) προκύπτει w + p + < w p p w p < w Η σχέση αυτή ικανοποιεί τον κανόνα WSPT. Επί πλέον αυτό πρέπει να ισχύει για κάθε. Εποµένως η αρχική υπόθεση είναι άτοπη. + + O κανόνας WSPT διατυπώνεται και ως p w [] [] p[2] p w w όπου [j] συµβολίζει το δείκτη της εργασίας η οποία εκτελείται j-οστή. [2] Αν τα βάρη είναι ίσα τότε µπορούµε χωρίς βλάβη της γενικότητας να θέσουµε w =/n. Η αντικειµενική συνάρτηση ισούται µε τον µέσο χρόνο ροής, η βέλτιστη ακολουθία είναι τέτοια ώστε p []... p []... p [n] και ονοµάζεται SPT (shortest processng tme). [ n] [ n] Πρόταση 2.2. Ο κανόνας WSPT ελαχιστοποιεί τις συναρτήσεις (α) F w (β) C w (γ) L w και (δ) n w := µέσο σταθµισµένο απόθεµα ανά µονάδα χρόνου. 8

11 Απόδειξη: Οι (β) και (γ) εκφράζονται συναρτήσει της (α) και ο κανόνας WSPT προκύπτει από την Πρόταση 2..Έστω C(t) = σύνολο εργασιών που δεν έχουν εκτελεσθεί τη χρονική στιγµή t. Η συνάρτηση I C(t) είναι η ενδεικτική συνάρτηση της πρότασης "η δεν έχει εκτελεσθεί τη στιγµή t". Αν η δεν έχει εκτελεσθεί τότε ευρίσκεται αποθηκευµένη. n Τη στιγµή t υπάρχουν συνολικά = I C ( t) εργασίες που αποµένουν να εκτελεσθούν. Λαµβάνοντας υπ' όψιν και τα βάρη κάθε εργασίας η (δ) προκύπτει ως εµβαδόν: Fmax n n w (S) = [ w I C () t ] dt, Fmax 0 όπου F max = p p n. Αναλυτικά, αν S = (, 2,..., n) είναι µία ακολουθία εκτέλεσης τότε από τις (*) προκύπτει n w (S) = [( w + w wn ) p + ( w wn ) p wn pn ]. Fmax Εφαρµόζουµε αντιµετάθεση γειτονικών αποφάσεων και αποδεικνύουµε ότι ένα πρόγραµµα δεν είναι βέλτιστο αν δεν ισχύει ο κανόνας WSPT. = Πρόταση 2.3. Για το στατικό πρόβληµα µε προθεσµίες παράδοσης d, d 2,..., d n η πολιτική ενωρίτερων προθεσµιών (earlest due date - EDD), d []... d []... d [n] ελαχιστοποιεί τη µέγιστη βραδύτητα L max και τη µέγιστη καθυστέρηση T max. Απόδειξη : Απο Γ. Φίλη "Συστήµατα Παραγωγής", σηµειώσεις µαθήµατος. Εις άτοπον απαγωγή. Υποθέτουµε ότι η βέλτιστη λύση είναι η (,...,, +,...n) αλλά δεν είναι τύπου EDD. Εκτελούµε αντιµετάθεση των εργασιών και (+). Για να είναι το νέο πρόγραµµα χειρότερο από το βέλτιστο πρέπει να ισχύει ο EDD. Άτοπο. Πρόταση 2.4. (Αλγόριθµος Hodgson) Στατικό πρόβληµα mn N (ελαχιστοποίηση του πλήθους εκπρόθεσµων εργασιών). Αλγόριθµος : () ιάταξε τις εργασίες σύµφωνα µε τον κανόνα EDD. (2) Αν δεν υπάρχουν καθυστερήσεις ή υπάρχει µόνο µία, τότε αυτή είναι η βέλτιστη διάταξη. (3) Σάρωσε τις εργασίες από αριστερά προς το τέλος. Βρες την πρώτη εργασία που καθυστερεί. Έστω ότι αυτή είναι η εργασία. (4) Από τις εργασίες που προηγούνται της, και της συµπεριλαµβανοµένης, βρες αυτήν που έχει µεγαλύτερο χρόνο εκτέλεσης. Βάλε την εργασία αυτή τελευταία στη διάταξη, δηλαδή n-οστή. (5) Υπολόγισε τις καθυστερήσεις και επανάλαβε το βήµα 2. Για το βήµα 4 του αλγορίθµου εφαρµόζεται µία παραλλαγή την οποία θα περιγράψουµε στη συνέχεια. 9

12 εν θα αποδείξουµε την Πρόταση 2.4. Θα δόσουµε µία διαισθητική αιτιολόγηση. Φαντασθείτε το πρόγραµµα EDD: (, 2, 3, 4, 5) όπου οι εργασίες 2 και 4 παραβιάζουν τις προθεσµίες τους. Το πρόγραµµα αυτό δεν είναι το βέλτιστο. Μπορούµε αντί αυτού να ακολουθήσουµε το (, 3, 4, 5, 2) στο οποίο η εργασία 2 έχει µεταφερθεί στο τέλος και είναι εκπρόθεσµη επίσης. Όµως οι υπόλοιπες εργασίες τελειώνουν συντοµότερα. Υπάρχει λοιπόν πιθανότητα η 4 να γίνει εµπρόθεσµη. Υπάρχει καλύτερη ακολουθία; Αν ο χρόνος εκτέλεσης της ήταν µεγαλύτερος από το χρόνο εκτέλεσης της 2, P >P 2, τότε αντί της 2 συµφέρει να στείλουµε την στο τέλος. Πράγµατι, επειδή το πρόγραµµα (, 2, 3, 4, 5) είναι EDD d d 2... d 5. Εκτελώντας την τελευταία, την κάνουµε εκπρόθεσµη (γιατί;) αλλά η 2 γίνεται εµπρόθεσµη (γιατί;). Τώρα το πρόγραµµα είναι (2, 3, 4, 5, ). Η εργασία 4 έχει ακόµη µεγαλύτερη πιθανότητα να γίνει εµπρόθεσµα, επειδή η που έχει µεγάλο χρόνο εκτέλεσης έπεται, ενώ στο προηγούµενο βελτιωµένο πρόγραµµα (, 3, 4, 5, 2) η προηγείται της 4. Παράδειγµα p d mn N= ; Θα εφαρµόσουµε έναν ισοδύναµο αλγόριθµο µε εκείνον του Hodgson, µε τη διαφορά ότι στο βήµα 4 αντί να τοποθετούµε την εργασία στο τέλος, θα την τοποθετούµε σε ένα σύνολο (όχι διατεταγµένο) Ε των εκπρόθεσµων εργασιών. Στην αρχή οι εργασίες τοποθετούνται µε τη σειρά EDD και σχηµατίζεται το διατεταγµένο σύνολο Α των αταξινόµητων εργασιών. Στο βήµα 5 εξετάζουµε το σύνολο Α µόνον. () Α = ( ) Ε = C = ( ) (2) Εκπρόθεσµες 5, 6, 4, 7, 3 (3),(4) Αφαιρείται η 5 από το Α : Α = ( ) Ε = {5} (5) C = ( ) (2) Eκπρόθεσµες 4, 7, 3 (3),(4) Αφαιρείται η 6 από το Α : Α = ( ) Ε = {5, 6} (5) C = ( ) (2) Eκπρόθεσµες 7, 3 (3),(4) Αφαιρείται η 7 : Α = (-2-4-3) Ε = {5, 6, 7} (5) C = ( ) Οι εργασίες του Α είναι εµπρόθεσµες. Το βέλτιστο πρόγραµµα είναι ( {5, 6, 7}) και οι εργασίες 5, 6, 7 του συνόλου Ε µπορούν να εκτελεσθούν µε αυθαίρετη σειρά. Ν = 3. 0

13 Μία άλλη τεχνική επίλυσης προβληµάτων µε προθεσµίες και ακέραιους χρόνους εφαρµόζει την λεγόµενη unt preempton την οποία θα µετέφραζα ως ελευθερία επιλογής µονάδας έργου. Κάθε εργασία διάρκειας p αποσυντίθεται σε p µικροεργασίες διάρκειας µονάδας χρόνου, οι οποίες µπορούν να εκτελεσθούν διάσπαρτα. Αντί του αρχικού προβλήµατος : mn Z δοθέντος ότι κάθε µία από τις εργασίες =,..., n εκτελείται χωρίς διακοπή (δηλαδή αποκλειστικά) λύνεται το πρόβληµα mn Z δοθέντος ότι οι µικροεργασίες εκτελούνται µε οιαδήποτε σειρά. Στο δεύτερο πρόβληµα οι περιορισµοί είναι λιγότερο αυστηροί γιατί µία εργασία µπορεί να διακοπεί και να παρεµβληθούν άλλες µικροεργασίες. Εποµένως, η τιµή mn Z στο δεύτερο πρόβληµα θα είναι καλύτερη (=µικρότερη) από την τιµή mn Z του πρώτου προβλήµατος. Η τεχνική αυτή ανήκει στην κατηγορία των µεθόδων χαλάρωσης (relaxaton methods) οι οποίες δίδουν κάτω όρια σε προβλήµατα βελτιστοποίησης. Εδώ θα µελετήσουµε περιπτώσεις όπου η λύση του χαλαρού προβλήµατος είναι ίδια µε τη λύση του αυστηρού-αρχικού. Εξετάζουµε το πρόβληµα ελαχιστοποίησης της µέγιστης καθυστέρησης mn L max της Πρότασης 2.3. Πρόταση 2.3α. Αν p j = για κάθε εργασία j τότε η ακολουθία EDD ελαχιστοποιεί το L max. Aπόδειξη: Εις άτοπον απαγωγή. Υποθέστε ότι το βέλτιστο πρόγραµµα δεν είναι τύπου EDD δηλαδή, υπάρχουν δύο (µικρο)εργασίες, έστω j και j+, έτσι ώστε η j εκτελείται αµέσως πριν από την j+ και d j > d j+. Έστω ότι ο χρόνος περάτωσης της πρώτης εργασίας είναι C j =C. Ο χρόνος περάτωσης της δεύτερης είναι C j+ =C+. Τότε Lmax = max max L, C dj, C+ dj+ j, j+ Τώρα φτειάχνουµε ένα άλλο πρόγραµµα αντιµεταθέτοντας τις εργασίες j και j+. Τότε C j+ =C και C j =C+, οπότε η νέα καθυστέρηση είναι Lmax = max max L, C dj+, C+ dj j, j+ Όµως τότε, επειδή d j > d j+ d j+ < d j, ο τελευταίος όρος του L max είναι µεγαλύτερος από τους C d j, C d j+, C+ d j. Άρα Lmax Lmax, πράγµα άτοπο. Aποδεικνύουµε τώρα την Πρόταση 2.3 µε διαφορετικό τρόπο όταν οι διάρκειες

14 εργασιών είναι ακέραιοι αριθµοί. Γενικά οι διάρκειες εργασιών είναι διαφορετικές. Χωρίζουµε την εργασία σε p υποεργασίες (, j) διάρκειας, και για κάθε µία θέτουµε προθεσµία d j = d. Η ακολουθία που ελαχιστοποιεί τη µέγιστη καθυστέρηση υποεργασίας (, j), mn L maxj, είναι τύπου EDD. Επειδή έχουµε ίδιες προθεσµίες στις υποεργασίες κάθε εργασίας, η λύση θα έχει τη µορφή (, ) - (, 2) (, p ) - (2, ) (2, p 2 ) -... αν και µόνο αν οι προθεσµίες είναι d = d =... = d d =... = d... 2 p 2 2 p2 Αυτό είναι συνέπεια της Πρότασης 2.3α. Παρατηρούµε ότι, αν και οι υποεργασίες δύνανται να εκτελεσθούν µε αυθαίρετη σειρά, στη βέλτιστη ακολουθία διατάσσονται διαδοχικά. Από τις p πρώτες υποεργασίες, η τελευταία (, p ) έχει την µεγαλύτερη βραδύτητα L p = p d = L. Από τις p 2 επόµενες, η τελευταία (2, p 2 ) έχει την µεγαλύτερη βραδύτητα L 2p2 = (p +p 2 ) d 2 = L 2, κ.ο.κ. Άρα L maxj =max L =L max δηλ., η λύση στο πρόβληµα των υποεργασιών µοναδιαίας διάρκειας και η λύση του αρχικού προβλήµατος είναι ίδιες. Πρόταση 2.5. Σε προβλήµατα µε προθεσµίες, η ποσότητα d p είναι το περιθώριο (slack) καθυστέρησης έναρξης της ώστε να περατωθεί εγκαίρως. Η εκτέλεση εργασιών κατα σειρά αυξανόµενων περιθωρίων µεγιστοποιεί το L mn. Aπόδειξη : Άσκηση. Η πρόταση αυτή λέει ότι αν θεωρήσουµε ως "επείγουσες" εκείνες τις εργασίες που έχουν µικρό περιθώριο και τις εκτελέσουµε πρώτες, τότε δεν βελτιστοποιούµε κανένα από τα µέτρα απόδοσης που συνήθως ενδιαφέρουν την διοίκηση του συστήµατος. Υποθέτουµε τώρα ότι το κόστος καθυστέρησης της εργασίας είναι w. Το πρόβληµα είναι η ελαχιστοποίηση του σταθµισµένου πλήθους εργασιών που καθυστερούν, το οποίο συµβολίζεται N w. Πρόταση 2.6. α. Για το πρόβληµα mn N w ο αλγόριθµος υποβέλτιστης ακολουθίας είναι: Βήµα : ιάταξη κατα EDD. Βήµα 2: Aν δεν υπάρχουν καθυστερήσεις τότε ΤΕΛΟΣ. Βήµα 3: Βρές την πρώτη εργασία που θα καθυστερήσει µε αυτό το πρόγραµµα και ονόµασέ την άκρη της αλυσίδας. Βήµα 4: Παρατήρησε τις εργασίες της αλυσίδας εργασιών από την πρώτη µέχρι την άκρη της αλυσίδας. Προσδιόρισε µία "κατάλληλη εργασία" για να µπει στο τέλος της ακολουθίας. Ως κατάλληλες εργασίες θεωρούνται η άκρη της αλυσίδας, ή κάποια ενδιάµεση εργασία j που ευρίσκεται µεταξύ της πρώτης εργασίας που εκτελείται 2

15 και της άκρης της αλυσίδας, τέτοια ώστε να µην υπάρχει άλλη εργασία της αλυσίδας η οποία να έχει ταυτόχρονα µεγαλύτερη διάρκεια p και µικρότερο βάρος w από τις αντίστοιχες ποσότητες της "κατάλληλης εργασίας". Βήµα 5: Bάλε µία από τις κατάλληλες εργασίες στο τέλος της ακολουθίας και υπολόγισε τους νέους χρόνους περάτωσης. Αν τώρα υπάρχει εργασία που καθυστερεί, τότε ονόµασέ την άκρη της αλυσίδας και επανάλαβε το βήµα 4. Βήµα 6: Όλες οι εργασίες που έχουν µεταφερθεί στο τέλος θεωρούνται εκπρόθεσµες. Υπολόγισε πάλι τους χρόνους εκτέλεσης και τις καθυστερήσεις. Πήγαινε στο βήµα 2. Η απόδειξη παραλείπεται Ασκήσεις (Σειρά ) (35%). Αποδείξατε την Πρόταση (50%). Υποθέσατε ότι µε την ακολουθία EDD µία µόνον εργασία περατώνεται εκπρόθεσµα. Θεωρώντας ένα γενικό πρόβληµα µε n εργασίες, αποδείξατε τα "γιατί" της Πρότασης 2.4 και ότι δεν υπάρχει άλλη ακολουθία µε την οποία όλες οι εργασίες εκτελούνται εµπρόθεσµα. 3 (5%). Το κόστος περάτωσης της εργασίας την χρονική στιγµή F ισούται µε F 0 Ae Bt dt, µε A, B>0. Εύρετε το έναν αλγόριθµο για την ελαχιστοποίηση του κόστους εκτέλεσης n εργασιών µε διάρκειες p, =,..., n. 2.3 ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Μέχρι τώρα έχουµε εξετάσει προβλήµατα τα οποία λύνονται µε επιχειρήµατα αντιµετάθεσης γειτονικών πολιτικών (adjacent nterchange arguments), και την τεχνική διακοπτόµενων µικροεργασιών. Στην παράγραφο αυτή περιγράφουµε µεθόδους επίλυσης γενικότερων προβληµάτων. Οι περισσότερες από αυτές είναι προσεγγιστικές Τοπική (Γειτονική) Έρευνα - Neghborhood (Local) Search Tα βήµατα της µεθόδου είναι : (α) Ξεκίνησε από ένα αρχικό πρόγραµµα εκτέλεσης (β) Βρες όλα τα παρόµοια (γειτονικά) προγράµµατα (γ) Επίλεξε το καλύτερο βάσει κάποιου κριτηρίου 3

16 (δ) Αποφάσισε αν αυτό το πρόγραµµα είναι ικανοποιητικό και περάτωσε τη διαδικασία, αλλιώς εύρε νέα γειτονιά µε προγράµµατα και πήγαινε στο (γ). Τα βήµατα (β) και (δ) έχουν διάφορες παραλλαγές. Αν το τρέχον πρόγραµµα είναι (, 2, 3,..., n) ως γειτονικά προγράµµατα µπορούν να εξετασθούν εκείνα που προκύπτουν από αντιµεταθέσεις γειτονικών εργασιών : (2,, 3,..., n) (, 3, 2,..., n)... (, 2, 3,..., n, n ). ιαφορετική γειτονιά προκύπτει θεωρώντας όλες τις δυνατότητες για την εργασία που θα εκτελεσθεί πρώτη, αφήνοντας τις υπόλοιπες µε την σειρά που είχαν στην αρχή : (2,, 3,..., n, n) (3,, 2,..., n, n)... (n,, 2, 3,..., n ). Οι δύο ανωτέρω διαδικασίες παράγουν γειτονιές (n ) προγραµµάτων στο βήµα (β). Για το βήµα (δ) υπάρχουν διάφορες δυνατότητες. Η οικονοµικότερη είναι να υπολογίζουµε την αντικειµενική συνάρτηση για κάθε γειτονικό πρόγραµµα µέχρις ότου κάποιο πρόγραµµα βρεθεί να είναι καλύτερο από το αρχικό. Τότε περατώνουµε τη διαδικασία χωρίς να εξετάσουµε τα υπόλοιπα, και θεωρούµε αυτό σαν αρχικό πρόγραµµα για την επόµενη επανάληψη (β). Εναλλακτικά, υπολογίζουµε όλα τα προγράµµατα της γειτονιάς. Αν βρεθεί κάποιο καλύτερο πηγαίνουµε στο βήµα (β) θεωρώντας αυτό ως αρχικό. ιαφορετικά, είτε περατώνουµε την βελτιστοποίηση, είτε διευρύνουµε τη γειτονιά (βρίσκουµε γειτονιές των γειτονικών σηµείων). Η µέθοδος αυτή αποδίδει περισσότερη πληροφορία αλλά είναι υπολογιστικά ακριβότερη. Παράδειγµα p d Ζητάµε το πρόγραµµα που ελαχιστοποιεί το πλήθος Ν εκπρόθεσµων εργασιών. Αλγόριθµος (α) Πρόγραµµα SPT (β) Γειτονιά από αντιµεταθέσεις γειτονικών εργασιών (γ) Εύρεση βελτίστου (δ) Τέλος, αν δεν υπάρχει βελτίωση. 4

17 Επανάληψη Αρχικό : Ν = 3 Γειτονιά : Ν = Ν = Ν = 2 βέλτιστο Ν = 3 Επανάληψη 2 Αρχικό : Ν = 2 Γειτονιά : Ν = Ν = Ν = Ν = υναµικός Προγραµµατισµός - Dynamc Programmng O δυναµικός προγραµµατισµός είναι µία µέθοδος βελτιστοποίησης συστηµάτων στα οποία οι αποφάσεις λαµβάνονται διαδοχικά ή κατά βαθµίδες. Αναπτύχθηκε στη δεκαετία του '50 από τον µαθηµατικό Rchard Bellman, αν και είχε χρησιµοποιηθεί κατα την προηγούµενη δεκαετία χωρίς, ωστόσο, να της δοθεί ιδιαίτερη σηµασία. Την κεντρική ιδέα της µεθόδου αποτελεί η αρχή του βελτίστου (prncple of optmalty) σύµφωνα µε την οποία σε ένα πρόβληµα λήψης διαδοχικών αποφάσεων, η βέλτιστη ακολουθία αποφάσεων πρέπει να περιέχει µόνον βέλτιστες υπακολουθίες αποφάσεων. Συγκεκριµένα, η βέλτιστη στρατηγική λήψης Ν διαδοχικών αποφάσεων είναι τέτοια ώστε, για κάθε αρχική απόφαση και κάθε αρχικό σύνολο επιτρεπτών αποφάσεων, οι επόµενες αποφάσεις να συνιστούν µία βέλτιστη ακολουθία Ν αποφάσεων για ένα νέο πρόβληµα παρόµοιο µε (αλλα µικρότερο από) το αρχικό. Η αρχή του βελτίστου περιγράφεται στο επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα. Η συντοµότερη διαδροµή από την πόλη α στην πόλη ε είναι τέτοια ώστε αν περιλαµβάνει τον δρόµο α β, τότε περιλαµβάνει και τη συντοµότερη διαδροµή από την β προς την ε. α β δ Π.χ. αν α β δ ε είναι η συντοµότερη διαδροµή (δηλαδή µικρότερη από τις α β γ ε, α β γ δ ε, και α δ ε), τότε η µικρότερη διαδροµή από την πόλη β γ ε 5

18 προς τον προορισµό είναι η β δ ε. Αν δεν συνέβαινε αυτό και πχ. η β γ ε ήταν µικρότερη, τότε θα έπρεπε και η α β γ ε να είναι η µικρότερη αρχική διαδροµή (άτοπο). Η αρχή του βελτίστου είναι µάλλον προφανής (ρωτήστε τους ταξιτζήδες). Η εφαρµογή της είναι λιγότερο προφανής. Στη γενική περίπτωση το πρόβληµα είναι να ρυθµίσει κανείς την εξέλιξη ενός συστήµατος εκτελώντας µία σειρά ελέγχων, έτσι ώστε να βελτιστοποιηθεί κάποιο µέτρο απόδοσης. Η επίλυση του προβλήµατος γίνεται εξετάζοντας διαδοχικά όλο και µεγαλύτερα προβλήµατα µέχρις ότου φθάσουµε στο αρχικό. Κάθε πρόβληµα χρησιµοποιεί τις βέλτιστες λύσεις που έχουν ευρεθεί σε προηγούµενα (υπο)προβλήµατα. Θεωρούµε το πρόβληµα του βέλτιστου ελέγχου ενός συστήµατος το οποίο εξελίσσεται στο χρόνο. Υποθέτουµε ότι ο χρόνος είναι διακριτός (π.χ. µεταβάλλεται κατά ηµέρες, εβδοµάδες, κλπ) και λαµβάνει τιµές n =, 2,..., Ν. Η εξέλιξη του συστήµατος περιγράφεται από τις καταστάσεις s n που έχει το σύστηµα τις χρονικές στιγµές, 2,..., n,..., N. Η κατάσταση ορίζεται ως ένα σύνολο µεταβλητών οι οποίες παρέχουν πληροφορίες για την περιγραφή του συστήµατος το σύνολο δυνατών αποφάσεων που µπορεί να ληφθούν τη χρονική στιγµή n (=περιορισµοί). Αν τη χρονική στιγµή n η κατάσταση του συστήµατος είναι s n και εφαρµοσθεί ο έλεγχος x n, τότε την επόµενη στιγµή (n+) η κατάσταση θα είναι s n+ = g(s n, x n ). Εξίσωση αυτή ονοµάζεται εξίσωση καταστάσεως (state equaton). Το κόστος που συνεπάγεται µία τέτοια απόφαση είναι d(s n, x n ). Υποθέστε ότι η αρχική κατάσταση s είναι γνωστή, και ότι επιθυµούµε να ελέγξουµε το σύστηµα έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος λειτουργίας στο διάστηµα µεταξύ της χρονικής στιγµής και της Ν. Έστω Κ n το κόστος λειτουργίας του συστήµατος από τη στιγµή n µέχρι το τέλος. Το συνολικό κόστος ισούται µε το Κ, δηλ. το κόστος λειτουργίας από τη στιγµή µέχρι το τέλος, και µπορεί να γραφεί ως άθροισµα Κ (s, x, s N, x N )= d(s, x )+d(s 2, x 2 )+ + d(s N, x N ). Κατ' ανάλογο τρόπο µπορούµε να θεωρήσουµε και άλλα υποπροβλήµατα για το κόστος από τη στιγµή 2 µέχρι το τέλος, ή, γενικά, από τη στιγµή n µέχρι το τέλος: Κ 2 (s 2, x 2, s N, x N )= d(s 2, x 2 )+ + d(s N, x N ) = κόστος λειτουργίας από την 2 µέχρι τη Ν και, γενικότερα, Κ n (s n, x n, s N, x N )= d(s n, x n )+ + d(s N, x N ) = κόστος λειτουργίας από τη στιγµή n µέχρι τη N 6

19 Oι αντικειµενικές συναρτήσεις των προβληµάτων αυτών συνδέονται µε τις σχέσεις Κ n (s n, x n, s N, x N )= d(s n, x n )+ Κ n+ (s n+, x n+, s N, x N ) n=, 2,, N (2.) Παρατηρείστε ότι η συνάρτηση Κ n είναι αύξουσα ως προς την Κ n+. Κάθε κατάσταση s n συνδέεται µε τις προηγούµενες καταστάσεις και αποφάσεις: s 2 = g(s, x ), s 3 = g(s 2, x 2 ) = g[g(s, x ), x 2 ],. s n+ = g(s n, x n ) = g{g g[g(s, x )] } Έστω ότι, από κάθε πιθανή κατάσταση s n+ της βαθµίδας (n+), το ελάχιστο κόστος µετάβασης στην βαθµίδα Ν έχει υπολογισθεί και ισούται µε f n+ ( s ) mn K ( s,x,,s, x ) n+ =. (2.2) xn+,...xn n+ Οµοίως, συµβολίζουµε f n (s n ) το άγνωστο ελάχιστο κόστος µετάβασης από κάποια κατάσταση s n της βαθµίδας n στην βαθµίδα Ν. Αν ληφθεί η απόφαση x n, τότε η επόµενη κατάσταση θα είναι η s n+ = g(s n, x n ) για την οποία το κόστος υποτίθεται οτι είναι γνωστό. Eπειδή το f n+ είναι, εξ ορισµού, ελάχιστο θα είναι και Κ n+ για κάθε s n+. Συνεπώς K ( s,x,...,s,x ) = d( s,x ) + K g( s,x ),x,,s, x n n n N n+ n+ N n n n + [ n n n + N N ] ( s,x ) + f [ g( s, x )], d n n n+ H τελευταία ανισότητα γίνεται ισότητα όταν η x n συµβεί να είναι η βέλτιστη απόφαση για την κατάσταση s n. Εποµένως, f n n ) = mn{ d( s,x ) + f [ g( s, x )]}, n=, 2,..., N. (2.3) n ( sn n n n+ xn Η εξίσωση (3) είναι η µαθηµατική έκφραση της Αρχής του Βελτίστου: n n N N "Η βέλτιστη διαδροµή µήκους f n περιέχει βέλτιστη υποδιαδροµή µήκους f n+, η f n+ περιέχει βλετιστη υποδιαδροµή µήκους f n+2, κ.ο.κ." Το πρόβληµα, έτσι όπως το περιγράψαµε, ταιριάζει σε συστήµατα αυτοµάτου ελέγχου περισσότερο, παρά σε προβλήµατα προγραµµατισµού. Στον προγραµµατισµό, αντί για χρονικές στιγµές n, έχουµε βαθµίδες αποφάσεων. Ο προγραµµατισµός εργασιών, για παράδειγµα, περιλαµβάνει την απόφαση για την εργασία που θα εκτελεσθεί πρώτη (στη βαθµίδα ), κατόπιν την απόφαση για τη δεύτερη (στη βαθµίδα 2), κ.ο.κ. Γι' αυτό το λόγο η µεταβλητή n θα αναφέρεται συχνά ως βαθµίδα και όχι χρονική στιγµή. Παρατηρείστε τώρα ότι η εξίσωση του δυναµικού προγραµµατισµού (2.3) δίδει το ελάχιστο κόστος µίας βαθµίδας όταν κανείς γνωρίζει το ελάχιστο κόστος της επόµενης βαθµίδας. Εποµένως η λύση του προβλήµατος προχωρά αντίστροφα : 7

20 Βήµα Ν Προσδιορίζουµε τις δυνατές (ή πιθανές) καταστάσεις του προβλήµατος στην βαθµίδα Ν. Για κάθε µία s N από αυτές, ανεξάρτητα από το αν είναι βέλτιστη η όχι, εφαρµόζουµε την (2.3) f N ( s ) mn[ d( s,x ) + f ] N = N N N + xn όπου όµως εδώ ίσως η f N+ αλλα ακόµη και η d να είναι 0 γιατί στην τελική κατάσταση Ν δεν υπάρχει άλλη απόφαση ούτε µετάβαση. Αντιστοιχίζουµε σε κάθε πιθανή κατάσταση s N την βέλτιστη απόφαση x N και το ελάχιστο κόστος f N (s N ). Βήµα n = Ν, Ν 2,, 2 Εδώ γνωρίζουµε τα f n+ καθώς και τις βέλτιστες αποφάσεις x n+ που πρέπει να ληφθούν σε κάθε πιθανή κατάσταση s n+ της επόµενης βαθµίδας. Προσδιορίζουµε τις δυνατές καταστάσεις s n στην n και εφαρµόζουµε την (2.3) f ( s ) = mn{ d( s,x ) + f [ g( s, x )]}, n n xn n για κάθε s n. Αντιστοιχίζουµε σε κάθε s n την βέλτιστη απόφαση x n και το ελάχιστο κόστος f n (s n ). Bήµα Εδώ γνωρίζουµε τα ελάχιστα κόστη f 2 (s 2 ) της βαθµίδας 2 για κάθε πιθανή κατάσταση s 2. Επίσης η αρχική κατάσταση s είναι γνωστή εξ υποθέσεως. Άρα n n+ f (s )= ελάχιστο κόστος = mn{ d( s,x ) + f [ g( s,x )]} και βρίσκουµε την απόφαση x που την ελαχιστοποιεί. Βήµα 0 Βέλτιστος συνδυασµός αποφάσεων. Ανασύρουµε τα ζεύγη (s k,x k ): x n n 2 s x s 2 =g(s,x ) s 2 x 2 s 3 =g(s 2,x 2 ) s 3 x 3 Στο επόµενο παράδειγµα περιγράφεται η µέθοδος σε ένα πρόβληµα προγραµµατισµού και η χρήση των µεταβλητών καταστάσεων s n. Παράδειγµα 2. Τέσσερις εργασίες, 2, 3, 4 εκτελούνται περιοδικά από µία µηχανή και συνθέτουν τον κύκλο παραγωγής µίας µονάδας προϊόντος. Όταν η µηχανή περατώνει µία εργασία χρειάζεται κάποιο χρόνο προετοιµασίας για να αναλάβει µία άλλη. Οι εργασίες µπορεί να γίνουν µε οιαδήποτε σειρά ή να υπάρχουν προτεραιότητες. Έστω d(, j) ο χρόνος προετοιµασίας της µηχανής από την εργασία στην j. Ζητάµε τη βέλτιστη σειρά εκτέλεσης εργασιών ώστε να ελαχιστοποιείται ο συνολικός χρόνος αδράνειας (προετοιµασίας) της µηχανής µέχρις ότου οι εργασίες ολοκληρωθούν και η µηχανή προετοιµασθεί για να τις επαναλάβει. Αυτό είναι ίδιο µε το πρόβληµα του περιπλανώµενου πωλητή (travelng salesman 8

21 problem), όπου αντί για εργασίες εξετάζονται πόλεις και αντί για χρόνους προετοιµασίας έχουµε κόστος/χρόνους µετακίνησης (σηµειώστε ότι d(,j) d(j,) γιατί η πρώτη διαδροµή µπορεί να είναι κατηφορική και ευκολοδιάβατη ενώ η δεύτερη ανηφορική). Λόγω περιοδικότητας µπορούµε αυθαίρετα να θεωρήσουµε ότι η εργασία εκτελείται πρώτη. Το πρόβληµα είναι να βρούµε τη συντοµότερη διαδροµή που ξεκινά από την "πόλη", διανύει τις {2, 3, 4} και καταλήγει πάλι στην (για να συνεχίσει η παραγωγή του επόµενου προϊόντος). Όταν δεν υπάρχουν προτεραιότητες και οι χρόνοι προετοιµασίας είναι γνωστοί, το πρόβληµα λύνεται ως εξής. Οι βαθµίδες του προβλήµατος ορίζονται ως εξής. Ο αριθµός της βαθµίδας δηλώνει το πλήθος των εργασιών οι οποίες αποµένουν να εκτελεσθούν πριν φθάσουµε στην τελευταία εργασία. Η κατάσταση s n του συστήµατος στη βαθµίδα n είναι ένα ζεύγος που περιέχει την εργασία που έχει εκτελεσθεί πιο πρόσφατα και ένα σύνολο Α n των εργασιών οι οποίες αποµένουν να εκτελεσθούν (εκτός της ). Έτσι στη βαθµίδα 0 υπολείπονται 0 εργασίες και εποµένως το σύνολο υπολειπόµενων εργασιών είναι πάντοτε. Οι πιθανές καταστάσεις είναι (2, ), (3, ), (4, ). Τέλος, ώς απόφαση x n θεωρούµε την εργασία του συνόλου Α n η οποία θα εκτελεσθεί αµέσως µετά. Συνολικά: Βαθµίδα, n Πιθανές Καταστάσεις, (,A n ) πλήθος εργασιών που υπολείπονται σύνολο εργασιών που πρέπει να εκτελεσθούν µετά από την 0 (2, ) (3, ) (4, ) (2, {3}) (2, {4}) (3, {2}) (3, {4}) (4, {2}) (4, {3}) 2 (2, {3,4}) (3, {2,4}) (4, {2,3}) 3 ( {2, 3, 4} ) Την τελευταία βαθµίδα τη συµβολίζουµε διαφορετικά για λόγους πληρότητας. Ξεκινάµε από το τέλος, όταν δηλαδή αποµένει µία µόνον εργασία πρίν καταλήξουµε στην. Κατόπιν λύνουµε το πρόβληµα µε 2 υπολειπόµενες εργασίες, κοκ. Γενικά στη βαθµίδα n και µία από τις πιθανές καταστάσεις της (, A n ). Έστω f n (, A n ) o mn συνολικός χρόνος προετοιµασίας που αποµένει προκειµένου µετά την εργασία να εκτελέσουµε τις n εργασίες του συνόλου Α n και τέλος να προετοιµάσουµε τη µηχανή για την εργασία (προκειµένου να αρχίσει το επόµενο προϊόν). Από την αρχή του βελτίστου προκύπτει f (,A ) mn[ d(,j) + f ( j,a { j} )] n n = n j An όπου j = x n (η απόφαση) και d(,j) ο χρόνος προετοιµασίας από την j. Bαθµίδα 0 f 0 (2, ) = d(2, ) f 0 (3, ) = d(3, ) f 0 (4, ) = d(4, ) Bαθµίδα n 9

22 f (2, {3}) = d(2, 3) + f 0 (3, ) f (2, {4}) = d(2, 4) + f 0 (4, ) f (3, {2}) = d(3, 2) + f 0 (2, ) f (3, {4}) = d(3, 4) + f 0 (4, ) f (4, {2}) = d(4, 2) + f 0 (2, ) f (4, {3}) = d(4, 3) + f 0 (3, ) Bαθµίδα 2 f 2 (2, {3, 4}) = mn [d(2, 3) + f (3, {4}), d(2, 4) + f (4, {3})] f 2 (3, {2, 4}) = mn [d(3, 2) + f (2, {4}), d(3, 4) + f (4, {2})] f 2 (4, {2, 3}) = mn [d(4, 2) + f (2, {3}), d(4, 3) + f (3, {2})] Βαθµίδα 3 f 3 ( {2, 3, 4} ) = mn[d (, 2) + f 2 (2, {3, 4}), d (, 3) + f 2 (3, {2, 4}), d (, 4) + f 2 (4, {2, 3})] Η βέλτιστη ακολουθία βρίσκεται παρατηρώντας τις βέλτιστες υπακολουθίες στα βήµατα. Παράδειγµα 3. Εξετάζουµε πάλι το πρόβληµα ελαχιστοποίησης του αριθµού Ν εκπρόθεσµων εργασιών του Εδαφίου p d Εδώ το πρόβληµα είναι απλούστερο. Οι βαθµίδες περιγράφουν τον αριθµό των εργασιών που έχουν εκτελεσθεί. Συµβολίζουµε s n ένα σύνολο n εργασιών που εκτελούνται πρώτες και f n (s n ) το µικρότερο αριθµό εκπρόθεσµων από αυτές (=mn κόστος) ο οποίος αντιστοιχεί στη βέλτιστη διάταξη του s n. Eπίσης, συµβολίζουµε C n (s n ) το χρόνο εκτέλεσης όλων των εργασιών του συνόλου s n και Ι(x) την ενδεικτική συνάρτηση που ισούται µε, αν η πρόταση x είναι αληθής, και 0 διαφορετικά. Σε κάθε βαθµίδα n και για κάθε πιθανό σύνολο s n υπολογίζουµε το χρόνο συµπλήρωσης των εργασιών C n (s n ) και το µικρότερο δυνατό πλήθος εκπρόθεσµων, χρησιµοποιώντας προηγούµενα αποτελέσµατα, και την C n (s n ) Tα πιθανά σύνολα s n προκύπτουν από τα s n προσθέτοντας µία ακόµη εργασία. Βαθµίδα 20

23 C ()=p = f ()=I[C ()>d ]=0 C (2)=p 2 =5 f (2)=I[C (2)>d 2 ]=0 C (3)=p 3 =3 f (3)=I[C (3)>d 3 ]=0 Όµοια εξετάζουµε τις καταστάσεις {4} και {5} Βαθµίδα 2 C 2 (,2) = C ()+p 2 = C (2)+p = 6 f 2 (,2) = mn [ f( 2) + I[ C2 (, > d],f( ) + I[ C2 (, 2) > d 2 ] = mn (0+,0+0) =0 Άρα για τις {, 2} η σειρά 2 είναι προτιµότερη από την 2 ( * ) C 2 (,3) = C ()+p 3 = +3 = 4 f 2 (,3) = mn f() 3 + I[ C2 ( 3, ) > d],f( ) + I C2 (, 32) > d = mn (0+,0+0) =0 Άρα η σειρά 3 είναι προτιµότερη ( * ). [ [ ] Όµοια εξετάζουµε τις καταστάσεις {,4}, {,5}, {2,3},, {4,5} Βαθµίδα 3 3 (, 2, 3) C2 (, 2) p3 ( 23) = [ ( 23) + [ ( 23) > ] f2( 3, ) + I[ C3( 23,, ) > d2], f2( 2, ) + I[ C3( 23,, ) > d3]] C = + =9 για όλες τις εναλλακτικές διατάξεις f,, mn f, I C,, d, =mn (0+, 0+, 0+)=, Άρα οποιαδήποτε από τις, 2, 3 µπορεί να εκτελεσθεί στην τρίτη θέση (οι δύο πρώτες αποφασίζονται στη βαθµίδα 2). ( * ) Όµοια για τις {,2,4},{,2,5},{,3,4},{,3,5},{,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5} Βαθµίδα 4 Όµοια εξετάζουµε τις {,2,3,4}, {,2,3,5}, {,2,4,5}, {,3,4,5}, {2,3,4,5} Βαθµίδα 5 C 5 (, 2, 3, 4, 5) = C4 (, 2, 3, 4) + p5 = 25 f 5 (, 2, 3, 4, 5) = mn[ f 4 ( 2, 3, 4, 5) + I( 25 > d ), f 4 ( 3,, 4, 5) + I( 25 > d 2 ),... ] Η βέλτιστη ακολουθία βρίσκεται παρατηρώντας τις βαθµίδες από το τέλος προς την αρχή 3 2

24 και λαµβάνοντας µία από τις βέλτιστες ακολουθίες ( * ) σε κάθε βαθµίδα Αλγόριθµος ιακλάδωσης και Φράγµατος - Branch and Bound H µέθοδος διακλάδωσης και φράγµατος ( Φ) εφαρµόζεται σε πολλούς τύπους συνδυαστικών προβληµάτων. Η ιδέα της διακλάδωσης είναι να δει κανείς το πρόβληµα σαν δένδρο αποφάσεων. Κάθε κόµβος του δέντρου αντιστοιχεί σε µία σειρά ειληµµένων αποφάσεων. Από κάθε κόµβο αναφύονται νέα κλαδιά που αντιστοιχούν σε απλές αποφάσεις, και οδηγούν σε κατάντεις κόµβους που αντιστοιχούν σε πιο πλήρεις σειρές αποφάσεων. Η απαρίθµηση όλων των κόµβων θα ισοδυναµούσε µε την εξέταση όλων των δυνατών αποφάσεων και αυτό θα είχε µεγάλο υπολογιστικό κόστος. Εκεί ακριβώς εφαρµόζεται η διαδικασία φραγµού η οποία προσδιορίζει τις αποφάσεις "που δεν θα έχουν καλή τύχη" και επιταχύνει τους υπολογισµούς. P P P j P n P 2 P n P k j P j P n j P n P n n P σ Θα περιγράψουµε τη µέθοδο µε ένα παράδειγµα προγραµµατισµού n εργασιών ώστε να ελαχιστοποιείται η σταθµισµένη καθυστέρηση Z = n = wt. Μία σχηµατική παράσταση της διαδικασίας Φ φαίνεται στο σχήµα. Έστω P το αρχικό πρόβληµα στο οποίο το σύνολο εργασιών που έχουν τοποθετηθεί είναι κενό,. Το πρόβληµα αποσυντίθεται σε n προβλήµατα P, P 2,..., P n. Στο P j η εργασία j έχει τοποθετηθεί στο τέλος (διακλάδωση) και ζητάµε τη βέλτιστη σειρά των άλλων εργασιών. Σε κάθε ένα από αυτά τα προβλήµατα µπορούµε να υπολογίσουµε την σταθµισµένη καθυστέρηση των εργασιών που είναι τελευταίες. Π.χ. για το P j, n Ζ j = w j T j = w j max(c j d j, 0) = w j max[ ( p ) d j ],0 H Z j είναι ένα κάτω φράγµα του Ζ για το πρόβληµα P j, γιατί, αφού δεν έχουν καθορισθεί οι άλλες εργασίες, το άθροισµα Z = n = wt θα υπερβαίνει το Z j. Στη συνέχεια επιλέγουµε κάπως ένα από τα προβλήµατα αυτά, έστω P σ, και το διακλαδίζουµε σε υποπροβλήµατα P σ. Στο P σ η εργασία είναι προτελευταία και η σ τελευταία. Σε κάθε ένα από αυτά τα υποπροβλήµατα υπολογίζουµε ένα νέο κάτω φράγµα = 22

25 Z σ που προκύπτει προσθέτοντας στο προηγούµενο Z σ έναν νέο όρο w T. Yπάρχουν δύο κριτήρια επιλογής του P σ το οποίο θα διακλαδιστεί. Με το πρώτο επιλέγουµε το πρόβληµα P σ το οποίο έχει καλύτερο Ζ σ, και ονοµάζεται έρευνα βελτίστου (best frst search ή jumptrackng). Το δεύτερο ονοµάζεται έρευνα εις βάθος (depth frst search ή backtrackng), και ψάχνει το καλύτερο Ζ στα προβλήµατα P σ που έχουν ήδη τις περισσότερες αποφάσεις (µεγαλύτερο βάθος). Στη συνέχεια το σ συµβολίζει µία σειρά από εργασίες που εκτελούνται τελευταίες. Κατά την εκτέλεση του αλγορίθµου θα πληθαίνουν οι εργασίες που µπορεί κάποιο πρόβληµα P σ να έχει εξαντληθεί, δηλαδή η ακολουθία σ να έχει όλες τις εργασίες. Τότε η Ζ σ ονοµάζεται δόκιµη λύση (tral soluton). Αν κάποιο άλλο ηµιτελές πρόβληµα P s έχει Ζ s >Z σ, τότε δεν υπάρχει λόγος να το διακλαδίσουµε περαιτέρω γιατί θα δώσει ακόµη µεγαλύτερο κόστος και το διαγράφουµε (fathom). Αυτό είναι το υπολογιστικό κέρδος της µεθόδου Φ. n = α. Αλγόριθµος Φ µε έρευνα βελτίστου για το πρόβληµα wt n ) (Αρχή) Θέσε σ=. Βάλε το πρόβληµα P σ σε λίστα µε τιµές Ζ σ =0 και Cσ = = p. To C σ είναι ο χρόνος περάτωσης της τελευταίας εργασίας από εκείνες που, ακόµη, δεν έχουν καθοριστεί στο P σ. 2) Από τη λίστα βρες το πρόβληµα P σ µε το µικρότερο Ζ σ. Αν ο συνδυασµός σ έχει n εργασίες τότε αυτός είναι ο βέλτιστος και τέλος, αλλιώς 3) Βγάλε το P σ από τη λίστα και βάλε στη θέση του νέα προβλήµατα βάζοντας κάποια εργασία j να εκτελεσθεί πριν από τις σ. Συµβόλισε τα νέα προβλήµατα P jσ και υπολόγισε: Zjσ = Zσ + wj max ( Cσ dj,0 ) και τον χρόνο περάτωσης C jσ των πρώτων εργασιών που δεν έχουν διαταχθεί ακόµη, C = C p. Πήγαινε στο βήµα (2). jσ σ j n = β. Αλγόριθµος Φ µε έρευνα εις βάθος για το πρόβληµα wt ) Ίδιο 2) Βρες τα προβλήµατα P σ που έχουν µεγαλύτερο βάθος, δηλ. το σ έχει τις πιο πολλές εργασίες. Από αυτά διάλεξε ένα µε το µικρότερο φράγµα Ζ σ. Αν ο συνδυασµός σ έχει n εργασίες τότε το Ζ σ αποτελεί τη νέα δόκιµη λύση (τη βέλτιστη ως τώρα). ιάγραψε όλα τα προβλήµατα P s για τα οποία Z s >Z σ. Αν έχει µείνει µόνο το P σ στη λίστα τότε ο συνδυασµός σ είναι ο βέλτιστος και ΤΕΛΟΣ, αλλιώς Ίδιο. Ο αλγόριθµος Φ είναι σχετικά απλός σε προβλήµατα µίας µηχανής. Στην εργασία J. D. C. Lttle, K. G. Murty, D. W. Sweeny and C. Karel, "An algorthm for the travellng salesman problem," Operatons Research,, , 963 προτάθηκε η εφαρµογή του αλγορίθµου για το πρόβληµα του περιπλανώµενου πωλητή 23

26 την οποία περιγράφουµε στη συνέχεια µε ένα παράδειγµα. γ. Αλγόριθµος Φ για το πρόβληµα του περιπλανώµενου πωλητή Πρέπει να βρούµε την µικρότερη διαδροµή µέσω 5 πόλεων η οποία καταλήγει στην πόλη από όπου ξεκινά. ίνεται ο πίνακας αποστάσεων d j από την στην j. j Γνωρίζουµε ότι έτσι κι αλλιώς η βέλτιστη διαδροµή θα περνά από κάθε πόλη, προς κάποια κατεύθυνση. Εποµένως, η βέλτιστη διαδροµή δεν αλλάζει αν µειώσουµε τις αποστάσεις της πόλης από τις υπόλοιπες κατά τόσο ώστε κάποια απόσταση d j να γίνει 0. Το κάνουµε αυτό για όλες τις γραµµές του πίνακα. Γνωρίζουµε επίσης ότι έτσι κι αλλιώς η βέλτιστη διαδροµή θα περνά από κάθε πόλη j, εισερχόµενη από κάποια άλλη πόλη. Εποµένως, η βέλτιστη διαδροµή δεν αλλάζει αν από τα στοιχεία της στήλης j αφαιρέσουµε µήκος ίσο προς την ελάχιστη απόσταση, και έτσι προκύψει µία απόσταση j ίση µε 0. Ο νέος ελαττωµένος πίνακας [d j ] είναι ( 4) µείωση γραµµής ( 5) " " ( 4) " " ( 2) " " ( 5) " " Μετά την µείωση γραµµών, εκτελούµε ανάλογη διαδικασία µειώσεων στις στήλες. Για το παράδειγµα που εξετάζουµε δεν χρειάζεται να µειωθούν τα στοιχεία κάποιας στήλης γιατί µετά τις µειώσεις γραµµών, οι στήλες που προκύπτουν έχουν από ένα 0 τουλάχιστον. Το άθροισµα των µειώσεων είναι 20 και αυτό αποτελεί ένα κάτω φράγµα της βέλτιστης διαδροµής. Θεωρούµε το πρόβληµα P που αντιστοιχεί στον ελαττωµένο πίνακα, και προχωράµε στη διακλάδωση. Απο το πρόβληµα αυτό, δύο πιθανές διακλαδώσεις προκύπτουν αν θεωρήσουµε µία στοιχειώδη διαδροµή j εντός ή εκτός της συνολικής διαδροµής. Συµβολίζουµε τα προβλήµατα αυτά P j και P j αντίστοιχα. Επειδή υπάρχουν πολλές υποψήφιες διαδροµές j, διαλέγουµε εκείνη η οποία αν θεωρηθεί απαγορευµένη (εκτός), τότε η λύση του προβλήµατος P j έχει, πιθανότατα, µεγάλο µήκος. Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι να διαλέξουµε ένα µηδενικό στοιχείο d j του ελαττωµένου πίνακα για το οποίο το άθροισµα του ελάχιστου στοιχείου της γραµµής στην οποία ανήκει και του ελάχιστου στοιχείου της στήλης στην οποία ανήκει, 24

27 εξαιρουµένου του d j, να είναι το µεγαλύτερο δυνατόν. Στον πίνακα φαίνονται τα αθροίσµατα αυτά ως εκθέτες * Επιλέγουµε το στοιχείο d 2 : 0 5 (*). Προκύπτουν τα υποπροβλήµατα P 2 και P 2. Πρέπει να δούµε ποιό από τα δύο συµφέρει να διακλαδωθεί. Στο πρόβληµα P 2 η διαδροµή 2 είναι υποχρεωτική. Εποµένως απογορεύονται οι διαδροµές (α) 2 j για j, (β) για 2, και (γ) η διαδροµή 2. Οι απαγορεύσεις αυτές εκφράζονται θέτοντας αποστάσεις. Κατόπιν ελαττώνουµε τον πίνακα όπως πριν και διαλέγουµε νέα στοιχειώδη διαδροµή k l µε τη διαδικασία των εκθετών που περιγράψαµε. Πρόβληµα P 2 Eλαττωµένος πίνακας P ( 2) ( 2) Το άθροισµα των µειώσεων είναι 4 και το κάτω φράγµα για το P 2 γίνεται 24. Περνάµε τώρα στο πρόβληµα P 2. Εδώ απαγορεύεται η διαδροµή 2. Πρόβληµα P 2 Eλαττωµένος πίνακας P ( 2) ( 3) Το άθροισµα των µειώσεων είναι 5 και το κάτω φράγµα για το P 2 γίνεται 25. Η συνέχεια είναι παρόµοια. ιαγράφεται το αρχικό πρόβληµα, επιλέγεται ένα πρόβληµα από τα P 2 και P 2. Υιοθετώντας έρευνα βελτίστου θα πρέπει να επιλέξουµε το P 2 που έχει µικρότερο φράγµα, και για την έρευνα εις βάθος πάλι το P 2 γιατί έχει τα περισσότερα στοιχεία και φαίνεται ότι είναι πιό κοντά στην εύρεση εφικτής λύσης. Στον ελαττωµένο πίνακα P 2 υπάρχουν πολλά στοιχεία 0 2 που µπορούν να επιλεγούν και 25

28 αυθαίρετα επιλέγεται το (5,4). Το πρόβληµα P 2 διαγράφεται και στη λίστα ηµιτελών προβληµάτων εισάγονται τα P 2,54 και P 2, 54. Από τα προβλήµατα P 2, P 2,54 και P 2, 54 επιλέγεται το κατάλληλο για διακλάδωση και η διαδικασία συνεχίζεται µέχρις ότου κάποιος πίνακας έχει τόσα στοιχεία ίσα µε, ώστε η λύση να προκύπτει µονοσήµαντα (δηλ να υπάρχει µία µόνον σειρά εκτέλεσης εργασιών). Αν αυτή η λύση είναι µικρότερη από κάποια φράγµατα των ηµιτελών προβληµάτων της λίστας τότε τα προβλήµατα εκείνα αφαιρούνται γιατί πιθανή διακλάδωσή των θα έδινε χειρότερες λύσεις. Επίσης, αν η λύση αυτή είναι µικρότερη από κάποια άλλη εφικτή λύση που υπάρχει στη λίστα, τότε αφαιρείται και εκείνη. Αν η λύση αυτή έχει εκτοπίσει όλες τις άλλες λύσεις και όλα τα κάτω φράγµατα, τότε είναι και η βέλτιστη. ιαφορετικά επιλέγεται ένα ηµιτελές υποπρόβληµα διαγράφεται από τη λίστα, και από αυτό προκύπτουν 2 ακόµη τα οποία µελετώνται όπως τα P 2 και P 2. Η βέλτιστη λύση είναι µε µήκος 25. P 20 P 2 24 P 2 25 P 2,54 26 P 2,54 26 P 2,23 29 P 2, P 2,54, , 54, 43 P 29 2, 23, 2 P 3 2, 23, 2 P 25 P 2, 23, 2, P 2, 23, 2, Ασκήσεις (Σειρά 2). Θεωρήστε το πρόβληµα του περιπλανώµενου πωλητή για την ελαχιστοποίηση της διαδροµής από µία πόλη προς όλες τις άλλες και προς την αρχική πάλι, µε δεδοµένα 26

29 /j F L Λύστε το µε τη µέθοδο Φ. Ως F, L θα χρησιµοποιήσετε τους αριθµούς που προκύπτουν αθροίζοντας τα δύο πρώτα γράµµατα: F =του ονόµατος, L =του επωνύµου σας (για την περίπτωσή µου είναι F=ΒΑ=2+=3, L=ΚΟ=0+5=25). 2. Λύστε το ίδιο πρόβληµα µε δυναµικό προγραµµατισµό. 2.4 ΥΝΑΜΙΚΑ KΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2.4. Ακριβή Αποτελέσµατα Θεωρούµε τώρα ότι στην αρχή δεν έχουµε όλες τις παραγγελιες για τις εργασίες. Αντίθετα, καθώς ο χρόνος περνά φθάνουν νέες παραγγελίες. Έστωσαν r, r 2,..., r,... οι χρόνοι άφιξης των παραγγελιών για την εκτέλεση των εργασιών, 2,...,,.... Υπόθεση. Η εκτέλεση µίας εργασίας µπορεί να διακοπεί προκειµένου να αρχίσει µία άλλη εργασία. Τότε, η πρώτη εργασία θα εκτελεσθεί αργότερα, και θα συνεχισθεί από το στάδιο που διεκόπη. Σε κάθε χρονική στιγµή η ποσότητα p ισούται µε τον υπολειπόµενο χρόνο περάτωσης της εργασίας. Για την δυναµική περίπτωση ισχύει η αντίστοιχη της Πρότασης 2.2: Πρόταση 2.2. Αν, κάθε φορά που µία εργασία περατώνεται ή µία νέα παραγγελία φθάνει, επιλέγεται εργασία σύµφωνα µε τον κανόνα SPT των υπολειπόµενων χρόνων περάτωσης, τότε ελαχιστοποιείται ο µέσος χρόνος ροής. Απόδειξη : Άσκηση. Ανάλογη της Πρότασης 2.3 είναι η επόµενη Πρόταση 2.3. Για το δυναµικό πρόβληµα µε προθεσµίες παράδοσης d, d 2,..., d n η πολιτική ενωρίτερων προθεσµιών (EDD), d [] d [2]... d [n] ελαχιστοποιεί τη µέγιστη βραδύτητα. Απόδειξη : Άσκηση. Για τα στατικά προβλήµατα µε στοχαστικές διάρκειες εργασιών και στοχαστικές προθεσµίες, συµβολίζουµε Ε(p ) και Ε(d ) τις µέσες τιµές των αντίστοιχων µεγεθών της 27

30 εργασίας. Από τη θεωρία πιθανοτήτων αποδεικνύεται (άσκηση) ότι για στοχαστικά προβλήµατα ισχύει η Πρόταση 2.2(α) ενώ η Πρόταση 2.3 ισχύει για τη µέγιστη βραδύτητα µόνον Ασκήσεις (Σειρά 3). Αποδείξατε τις Προτάσεις 2.2, 2.3 για δυναµικά προβλήµατα µε αιτιοκρατικούς χρόνους. 2. Αποδείξατε τις Προτάσεις 2.2(α), 2.3 για στατικά στοχαστικά προβλήµατα. ίνονται οι µέσες διάρκειες εκτέλεσης Ε(p ) οι µέσες προθεσµίες Ε(d ) και ζητείται η ακολουθία που ελαχιστοποιεί το µέσο αναµενόµενο κόστος σε κάθε περίπτωση, δηλ. κόστος = (αναµενόµενος µέσος χρόνος ροής) για την 2.2(α) και κόστος = (µέγιστη αναµενόµενη βραδύτητα) για την 2.3. Σύνοψη θεωρίας πιθανοτήτων. Ένα πείραµα τύχης ορίζεται από το σύνολο Ω των δυνατών εξαγοµένων του ω και µία συνάρτηση P η οποία σε κάθε υποσύνολο του Ω αντιστοιχίζει µία πιθανότητα. Τα υποσύνολα του Ω ονοµάζονται ενδεχόµενα ή γεγονότα. Για παράδειγµα, η ρίψη ενός ιδανικού ζαριού έχει Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} και Ρ() = /6 για κάθε εξαγόµενο. Το σύνολο Α = {ω: ω = άρτιος αριθµός} = {2, 4, 6} είναι ένα ενδεχόµενο. Η ένωση αυθαίρετου αριθµού ενδεχοµένων αποτελεί επίσης ενδεχόµενο. Η ένωση εκφράζει το ενδεχόµενο Α Α 2 = "το αποτέλεσµα ανήκει είτε στο σύνολο Α, είτε στο Α 2, είτε ". Το συµπληρωµατικό ενός ενδεχοµένου Α είναι επίσης ένα ενδεχόµενο που απαρτίζεται από τα στοιχεία του Ω τα οποία δεν ανήκουν στο Α. Ο Kolmogorov έδωσε τον αυστηρό ορισµό ενός πειράµατος τύχης µε τα Αξιώµατα θεωρίας πιθανοτήτων: () Για κάθε ενδεχόµενο Α, έχουµε Ρ(Α) 0. (2) Ρ(Ω) =. (3) Η ένωση ενδεχοµένων που δέν έχουν κοινά στοιχεία, ικανοποιεί την Ρ(Α Α 2 ) = Ρ(Α ) + Ρ(Α 2 ) + Παράδειγµα: Για τη ρίψη ζαριού, το ενδεχόµενο "άρτιο αποτέλεσµα" γράφεται {2, 4, 6} = {2} {4} {6} και έχει πιθανότητα /6 + /6 + /6 = 0.5. Mία τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) X µε πραγµατικές τιµές είναι µία συνάρτηση Χ(ω) ενός πειράµατος τύχης τέτοια ώστε P[Χ(ω) = ] = P[Χ(ω) = ] = 0 και η Χ να είναι µετρήσιµη (measurable) συνάρτηση ήτοι το σύνολο {ω: Χ(ω) x} να αποτελεί ενδεχόµενο για κάθε πραγµατικό αριθµό x. Για µία τ.µ. Χ ορίζουµε την συνάρτηση κατανοµής F X (x) = P(X x), για κάθε x (, ). Αν η τ.µ. λαµβάνει διακεκριµένες τιµές x, x 2, µε πιθανότητες p = P(X = x ), τότε η µέση ή αναµενόµενη τιµή της ορίζεται Ε(Χ ) = x p + Αν η τ.µ. είναι συνεχής στο διάστηµα (, ) και επί πλέον η F X είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο x, τότε ορίζουµε και την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) = df X (x)/dx. Τότε η µέση τιµή της Χ υπολογίζεται από τον τύπο Ε(Χ ) = xf X ( x) dx. Μία συνάρτηση g(x) της τ.µ. Χ µπορεί να θεωρηθεί τυχαία µεταβλητή, µε Ε[g(Χ )] = g(x ) p + ή g( x) f x dx X ( ). Ο τελεστής Ε είναι γραµµικός, ήτοι για κάθε σταθερές α, β, και γ και τ.µ. Χ και Υ έχουµε Ε(αX + βυ + γ) = αε(x ) + βε(υ ) + γ. Iσχυρός Νόµος Μεγάλων Αριθµών (Kolmogorov): Έστωσαν Χ,..., X n,..., ανεξάρτητες ισόνοµες τ.µ. (δηλ. µε ίδιες συναρτήσεις κατανοµής), µε αναµενόµενη τιµή µ <. Οι δειγµατικές µέσες τιµές (Χ X n )/n, n=, 2, είναι επίσης τ.µ. οι οποίες για n συγκλίνουν στο µ µε πιθανότητα. 28

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Προγραµµατισµός Παραγωγής Εισαγωγή Ορισµοί Προβλήµατα µίας µηχανής Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Ορισµός Προγραµµατισµού Παραγωγής Είδη προβληµάτων

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης! Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Γενικά " Ντετερµινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι αποφάσεις σχετικά µε την διαχείριση ή «πολιτική» των αποθεµάτων που πρέπει να πάρει κάποιος, ασχολείται µε το «πόσο» πρέπει να παραγγείλει (ή να παράγει) και «πότε» να παραγγείλει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Δυναμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων 2 Εισαγωγή (1) Ο όρος απόθεμα αναφέρεται σε προϊόντα και υλικά που αποθηκεύονται από την επιχείρηση για μελλοντική χρήση Τα αποθέματα μπορεί να περιλαμβάνουν Πρώτες ύλες

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εισαγωγή Ο Δυναμικός Προγραμματισμός (ΔΠ) είναι μία υπολογιστική μέθοδος η οποία εφαρμόζεται όταν πρόκειται να ληφθεί μία σύνθετη απόφαση η οποία προκύπτει από τη σύνθεση επιμέρους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση ΙΙ και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 2 Σεπτεµβρίου 2005 5:00-8:00 Σχεδιάστε έναν αισθητήρα ercetro

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0. Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4

(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Το Πρόβληµα Μεταφοράς Άλλες µέθοδοι επιλογής τοποθεσίας Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Ορισµός του προβλήµατος µεταφοράς συσχέτιση µε πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εφαρμογή σε Άλλα Προβλήματα Διαχείρισης Έργων Π. Γ. Υψηλάντης ΓΠ στη Διοίκηση Έργων Προβλήματα μεταφοράς και δρομολόγησης Αναθέσεις προσωπικού Επιλογή προμηθευτών Καθορισμός τοποθεσίας

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις

Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Στέλλα Σοφιανοπούλου Καθηγήτρια Πειραιάς 2012 Ενότητα 7.1.2 Παράδειγμα προβλήματος χρονικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn) MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

... a b c d. b d a c

... a b c d. b d a c ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α) Σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις

Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Στέλλα Σοφιανοπούλου Καθηγήτρια Πειραιάς 2012 Ενότητα 7.1.2 Παράδειγμα προβλήματος χρονικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /11/011 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/11/011

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευµένη Simplex Γενικευµένη Simplex

Γενικευµένη Simplex Γενικευµένη Simplex Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, 24000 µεταβλητές) Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, 24000 µεταβλητές) Μεγάλα µεγέθη (30 περιορισµοί, 190000 µεταβλητές) Πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Προγραµµατισµός Παραγωγής Προβλήµατα µε πολλές µηχανές Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Προβλήµατα Παράλληλων Μηχανών Ελαχιστοποίηση χρόνου ροής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 1 η ενότητα: Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων

Αλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Αλγόριθµοι Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Ορισµένες γενικές αρχές για τον σχεδιασµό αλγορίθµων είναι: ιαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) υναµικός Προγραµµατισµός

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα