Διακριτές Μαθηματικές Δομές για την Επιστήμη των Υπολογιστών

Transcript

1

2 ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Α. ΓΕΩΡΓΙΟΥ Καθηγητής Πολυτεχνικής Σχολής Δ.Π.Θ. ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΥ Επίκουρος Καθηγητής Α.Τ.Ε.Ι. ΑΝΕΣΤΗΣ ΧΑΤΖΗΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ Επιστημονικός Συνεργάτης Τ.Ε.Ι. Αν. Μακεδονίας & Θράκης Διακριτές Μαθηματικές Δομές για την Επιστήμη των Υπολογιστών

3 Διακριτές Μαθηματικές Δομές για την Επιστήμη των Υπολογιστών Συγγραφή Δημήτριος Α. Γεωργίου Ευστάθιος Αντωνίου Ανέστης Χατζημιχαηλίδης Κριτικός αναγνώστης Δημήτριος Σούντρης Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική επιμέλεια: Σοφία Τρομάρα, Νερίνα Κιοσέογλου Γραφιστική επιμέλεια: Φαίδρα Στραγάλη Τεχνική επεξεργασία: Φαίδρα Στραγάλη ISBN: Copyright ΣΕΑΒ, 2015 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου

4 Στη Λένα, στον Αλέξανδρο και τον Βασίλη.

5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... 4 Πίνακας Συντομεύσεων-Ακρωνύμια... 7 Πρόλογος... 8 Εισαγωγή Κεφάλαιο: ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Γενικά περί Συνόλων Τα Σύνολα υπό την Κλασική αυτών Έννοια Αξίωμα της Επεκτασιμότητας Αξίωμα του Κενού Συνόλου και Ζεύγους Αξίωμα της Εξειδίκευσης ή του Διαχωρισμού Αξίωμα του Δυναμοσυνόλου Αξίωμα της Ένωσης Αξίωμα του Απείρου Αξίωμα Επιλογής Καρτεσιανό Γινόμενο Πράξεις των Συνόλων Άλγεβρα Συνόλων Νόμοι της Άλγεβρας των Συνόλων Ισότητα των Συνόλων Ασαφή Σύνολα Μορφές Συναρτήσεων Συμμετοχής Η Έννοια της Ασάφειας Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Κριτήρια Αξιολόγησης Απάντηση: Κεφάλαιο: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Συμπλέγματα Γενικά περί Συμπλεγμάτων Απλές Μεταθέσεις Μεταθέσεις Στοιχείων Διαφορετικών Ειδών σε Αντίστοιχες Ομάδες Κυκλικές Μεταθέσεις Διατάξεις Επαναληπτικές Διατάξεις Συνδυασμοί Επαναληπτικοί Συνδυασμοί Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Κριτήρια Αξιολόγησης Απάντηση: Απάντηση: Απάντηση: Απάντηση: Απάντηση: Απάντηση: Απάντηση: Απάντηση: Κεφάλαιο: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Αναδρομή Ιδιότητες Αναδρομικών Συνόλων Εφαρμογές... 73

6 Τεχνολογικές Εφαρμογές της Άλγεβρας Fibonacci (Συμμετρικός Αναλογικο-Ψηφιακός Μετατροπέας / DAC) Ψηφιακός Καταχωρητής Συνέλιξης (Convolusion Register) Βασισμένος στην Άλγεβρα Fibonacci Τεχνολογικές Εφαρμογές της Άλγεβρας Fibonacci στην Επεξεργασία Σημάτων Γενικά περί Αλγόριθμων Κριτήρια Αλγόριθμου Περιγραφή και Αναπαράσταση Βασικές Εντολές Δομή Ακολουθίας Δομή Επιλογής Δομή Επανάληψης Τυποποιημένοι Αλγόριθμοι Εφαρμογή των Αλγόριθμων Υπολογιστική Επιλυσιμότητα και Πολυπλοκότητα Είδη Προβλημάτων Αιτιοκρατικές Μηχανές Turing Xρονική Πολυπλοκότητα και Πολυωνυμικός Χρόνος Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Κριτήρια Αξιολόγησης Λύση: Λύση: Λύση: Κεφάλαιο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ, ΠΥΛΕΣ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Εισαγωγή στη Μαθηματική Λογική Λογική Πρώτου Βαθμού Διακόπτες και Πύλες Κυκλώματα και Προτάσεις Άλγεβρα Boole Ελάχιστες Μορφές Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Κριτήρια Αξιολόγησης Κριτήρια Αξιολόγησης Απάντηση/Λύση Απάντηση/Λύση Απάντηση/Λύση Απάντηση/Λύση Κεφάλαιο: ΓΡΑΦΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΩΝ Εισαγωγικές Έννοιες Δένδρα Δένδρα με Αφετηρία Κώδικες Huffman Ανιχνεύσεις Δένδρων Γράφοι του Euler Κυκλώματα Hamilton Κώδικες Gray Ελάχιστες Διαδρομές και Κυκλώματα Δένδρα Σύνδεσης Εφαρμογή στα Δίκτυα Υπολογιστών Εφαρμογή στην Τεχνητή Νοημοσύνη Εφαρμογή στην Παράλληλη Επεξεργασία Εφαρμογή στις Βάσεις Δεδομένων Επίπεδοι Γράφοι Θεωρία Χρωματισμού Γράφων

7 5.13. Δίκτυα Διάδοση Σφαλμάτων Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Κριτήρια Αξιολόγησης Απάντηση/Λύση Απάντηση/Λύση Απάντηση/Λύση Απάντηση/Λύση Απάντηση/Λύση Κεφάλαιο: ΜΗΤΡΟΕΙΔΗ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΩΝ Βασικοί 0ρισμοί και Σημαντικά Θεωρήματα Μητροειδή και Γραμμική Άλγεβρα Μητροειδή και Γράφοι Δυαδικότητα Απόγονοι Μητροειδών (Minors) Αντιπροσωπευσιμότητα Συνεκτικότητα Ισοζυγισμένα Πολύγωνα Αντιπροσωπευσιμότητα Ενός Προσημασμένου Γράφου Είδη Πολωμένων Μητροειδών Προσημασμένων Γράφων Μητροειδή και Αλγόριθμοι Τομές Μητροειδών Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Κριτήρια Αξιολόγησης Κεφάλαιο: ΜΗΧΑΝΕΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙΔΗ Σχέσεις, Εγκλεισμοί και Σχέσεις Ισοδυναμίας Μερικώς Διατεταγμένα Σύνολα, Πλέγματα και Άλγεβρες Boole Μονοειδή και Ομάδες Συμμετρίες, Μεταθέσεις, Δακτύλιοι και Πεδία Μηχανές Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Κριτήρια Αξιολόγησης Απάντηση/Λύση ΓΛΩΣΣΑΡΙΟ OΡΩΝ

8 Πίνακας Συντομεύσεων-Ακρωνύμια Δ.Μ. Σ.Δ.Μ. D.A.C. Διαζευκτική Μορφή Σύντομη Διαζευκτική Μορφή Digital Analog Converter (Ψηφιακός Αναλογικός Μετατροπέας) 7

9 Πρόλογος Η εξέλιξη της επιστήμης των υπολογιστών (computer science) στηρίζεται στην έρευνα για την ανάπτυξη υλισμικού (hardware), όσο και σε εκείνη που αφορά το λογισμικό (software). Ακρογωνιαίος λίθος στη στήριξη της έρευνας και στις δυο αυτές περιοχές είναι τα διακριτά μαθηματικά. Ειδικότερα, οι περιοχές της μαθηματικής λογικής, της Συνδυαστικής ανάλυσης, της θεωρίας των γράφων, της γραμμικής άλγεβρας, των κυκλωμάτων με διακόπτες, και αλγεβρικές δομές (όπως τα μονοειδή και οι μηχανές) συμβάλλουν στην ανάπτυξη της επιστήμης των υπολογιστών. Η ενασχόληση με τους τομείς αυτούς των εφαρμοσμένων μαθηματικών επιτρέπει στον ηλεκτρολόγο μηχανικό και στον μηχανικό υπολογιστών να κατανοήσουν τη λειτουργία των υπολογιστικών συστημάτων, καθώς και τη διαχείριση των δικτύων υπολογιστών. Επιπλέον, για όσους αργότερα ενδιαφερθούν για την έρευνα στον επιστημονικό αυτό τομέα, τα Διακριτά Μαθηματικά θα αποτελέσουν το κατώφλι εισόδου στον χώρο των υπολογιστικών μαθηματικών, που βρίσκονται πίσω από ό,τι θαυμαστό παρουσιάζεται στις οθόνες των ηλεκτρονικών σας υπολογιστών. Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας επιχειρεί να παρουσιάσει μερικές βασικές έννοιες των Διακριτών Μαθηματικών, δηλαδή των μαθηματικών που αναφέρονται στα διακριτά σύνολα (crisp sets). Καθώς το μάθημα των Διακριτών Μαθηματικών διδάσκεται ως υποχρεωτικό μάθημα στα πρώτα εξάμηνα του προγράμματος σπουδών των Πολυτεχνείων της Ελλάδας και του εξωτερικού, τα κείμενα είναι αναλυτικά και υπάρχουν πολλά παραδείγματα που συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση του θέματος. Σε ό,τι αφορά τις προαπαιτούμενες για την κατανόηση του βιβλίου γνώσεις, καταβλήθηκε προσπάθεια ελαχιστοποίησης των απαιτήσεων αυτών. Απαιτείται μόνο μερική γνώση βασικών εννοιών της γραμμικής άλγεβρας, που ίσως να έχουν αποκτηθεί και κατά τη θήτευση στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, ενώ σε ό,τι αφορά γνώσεις ηλεκτρονικών υπολογιστών θα λέγαμε ότι δεν είναι απαραίτητες. Για όσους όμως εκ των αναγνωστών έχουν μια προηγούμενη ενασχόληση με γλώσσες προγραμματισμού, προσανατολισμένες είτε προς τον χρήστη είτε προς τη μηχανή, θα γίνει ευκολότερα κατανοητή η σημασία των Διακριτών Μαθηματικών για την ανάπτυξη των υπολογιστών. Ένας επιπλέον στόχος του βιβλίου είναι η ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, όπως: της αναλυτικοσυνθετικής ικανότητας, της επαγωγικής αποδεικτικής διαδικασίας, της ανάλυσης δεδομένων, της οργάνωσης διαγραμμάτων ροής και εννοιολογικών χαρτών. Ως εκπαιδευτικό βοήθημα το βιβλίο αυτό φιλοδοξεί να εξυπηρετήσει τον σκοπό της εκπαίδευσης, που είναι η ανάπτυξη της ικανότητας του εγκεφάλου να μαθαίνει, και όχι βέβαια η στείρα αναπαραγωγή της πληροφορίας. Η μεν ικανότητα του «μανθάνειν» επιτρέπει την ανάπτυξη της δημιουργικότητας του ανθρώπου (μια ιδιότητα απαραίτητη στον ηλεκτρολόγο μηχανικό και τον μηχανικό υπολογιστών, ενώ η στείρα αναπαραγωγή της πληροφορίας δεν επιτρέπει παρά μόνο την αντιγραφή και την επανάληψη. Το περιεχόμενο του βιβλίου ακολουθεί τη σειρά των πανεπιστημιακών παραδόσεων του ομότιτλου γνωστικού αντικειμένου, όπως αυτές παρουσιάζονται από το ακαδημαϊκό έτος έως σήμερα. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται στοιχεία από τη θεωρία σαφών συνόλων, καθώς και από εκείνη των ασαφών συνόλων. Τεχνικές απαρίθμησης σαφών συνόλων και συμπλεγμάτων αναλύονται στο δεύτερο κεφάλαιο. Πρόκειται για τη λεγόμενη Συμπλεκτική (ή Συνδυαστική) Ανάλυση που είναι όπως θα διαπιστωθεί αργότερα απαραίτητη για τη διαχείριση προβλημάτων και της θεωρίας πιθανοτήτων. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται (με τον συντομότερο δυνατό τρόπο) μια περιγραφή μεθόδων και πράξεων της μαθηματικής λογικής, στις οποίες στηρίχθηκε η διαχείριση κυκλωμάτων με διακόπτες. Η κωδικοποίηση της λογικής, με τη βοήθεια της γενικής αλγεβρικής θεωρίας, αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής, που είναι γνωστή και ώς Άλγεβρα Boole. Το κεφάλαιο αυτό συμβάλλει στη διαμόρφωση «οικονομικότερων» τυπωμένων κυκλωμάτων. Στο τέταρτο κεφάλαιο ο αναγνώστης θα βρει πληροφορίες για τη Θεωρία Γράφων i (ή γραφημάτων). Παρουσιάζονται κυρίως ορισμοί και ορολογία, ενώ παραλείπονται θεωρητικά αποτελέσματα που δεν εξυπηρετούν τους στόχους του βιβλίου αυτού. Παρουσιάζεται επίσης, ένας αριθμός γνωστών αλγόριθμων, ιδιαίτερα χρήσιμων για την ανίχνευση δένδρων, την εύρεση ελάχιστων διαδρομών ή τον χρωματισμό χαρτών. Τα εκτιθέμενα στοιχεία της Θεωρίας Γράφων θα αποτελέσουν τη βάση για την επίλυση προβλημάτων στα δίκτυα υπολογιστών, για την ανάπτυξη τεχνολογίας στους δρομολογητές (routers) ή στις εφοδιαστικές i Graph Theory. 8

10 αλυσίδες (logistics) ή στη δόμηση έμπειρων συστημάτων. Τέλος, με τέσσερα παραδείγματα ειδικών εφαρμογών της θεωρίας γράφων ολοκληρώνεται η παρουσίαση των στοιχειωδών αρχών της θεωρίας αυτής. Δημήτριος Α. Γεωργίου Αύγουστος

11 Εισαγωγή Ένα από τα σημαντικά ερωτήματα που αντιμετώπισα, στα 40 χρόνια, που δίδαξα σε ελληνικά και ξένα πανεπιστήμια, υπήρξε εκείνο που θέτουν οι φοιτητές περί της χρησιμότητας της διδασκαλίας των μαθηματικών. Συχνά στα αμφιθέατρα οι φοιτητές έθεταν το ερώτημα περί της σκοπιμότητας της διδασκαλίας των μαθηματικών. Το ερώτημα έδινε έναυσμα για συζήτηση, στην οποία ακολουθούσαν και άλλα ερωτήματα σχετικά με το πρώτο. Συνήθως, ακολουθούσε το ζήτημα περί της αποτελεσματικότητας της ενασχόλησης με τα μαθηματικά και της επίδρασής της στη μετέπειτα επαγγελματική τους σταδιοδρομία. Στα ερωτήματα αυτά συνήθως απέφευγα να τοποθετηθώ. Όχι γιατί δεν γνωρίζω την απάντηση, αλλά γιατί η απάντηση δεν μπορεί να ικανοποιήσει τον νέο ή τη νέα των 18 ετών. Πολύ αργότερα, όσοι ασχοληθούν στη ζωή τους με την επιστήμη των μαθηματικών θα αντιληφθούν την επίδρασή της στην ανάπτυξη της λογικής και στην ικανότητα του ανθρώπου να διακρίνει και να ελέγχει τις αποφάσεις που πηγάζουν από το συναίσθημα. Με απλά λόγια, στο ερώτημα «ποιος ο ρόλος των μαθηματικών στην εκπαίδευση του μηχανικού;» η απάντηση θα έπρεπε να είναι: «για να αναπτυχθεί η ικανότητα του ορθολογισμού». Γιατί αυτό ακριβώς είναι το ζητούμενο στις επιστήμες, όπου ο ορθός λόγος είναι το μοναδικό εργαλείο που διαθέτουμε για να αντιληφθούμε ό,τι είναι επέκεινα του επιστητού. Για να υποστηριχθεί η μαθηματική παιδεία, γράφτηκαν και γράφονται εκατοντάδες πανεπιστημιακά συγγράμματα για διάφορες περιοχές της Επιστήμης των Μαθηματικών. Το ηλεκτρονικό αυτό σύγγραμμα, ως ένα από αυτά, αναφέρεται σε μια ειδική περιοχή της επιστήμης των Μαθηματικών: τα μαθηματικά που αφορούν τη διαχείριση διακριτών συνόλων. Εδώ η έννοια της συνέχειας δεν ενδιαφέρει, παρά το γεγονός ότι χρησιμοποιείται ευρύτατα η έννοια του ορίου των ακολουθιών, καθώς και η εξ αυτής εκπορευόμενη έννοια της σύγκλισης. Ο λόγος που ενδιαφερόμαστε σήμερα τόσο πολύ για τα Διακριτά Μαθηματικά είναι ότι σε αυτά οφείλεται η ανάπτυξη των υπολογιστικών συστημάτων, των δικτύων και της τεχνητής νοημοσύνης. Τμήματα της περιοχής των Διακριτών Μαθηματικών χρησιμοποιούνται και στη Στατιστική και βεβαίως στη Μαθηματική Θεωρία Μέτρου Πιθανότητας. Είναι δε πολλοί που περιλαμβάνουν τη Θεωρία Πιθανοτήτων στην περιοχή των Διακριτών Μαθηματικών, γνώμη όμως την οποία οι συγγραφείς αυτού του συγγράμματος δεν συμμερίζονται. Η εξέλιξη της επιστήμης των υπολογιστών (computer science) στηρίζεται τόσο στην έρευνα για την ανάπτυξη υλισμικού (hardware), όσο και σε εκείνη που αφορά το λογισμικό (software). Ακρογωνιαίος λίθος στη στήριξη της έρευνας που συντελείται στις δυο αυτές περιοχές είναι τα διακριτά μαθηματικά. Ειδικότερα, οι περιοχές της Μαθηματικής Λογικής, της Συνδυαστικής, της Θεωρίας των Γράφων, της Γραμμικής Άλγεβρας, των Κυκλωμάτων με Διακόπτες, και αλγεβρικές δομές (όπως τα μονοειδή και οι μηχανές), συμβάλλουν στην ανάπτυξη της Επιστήμης των Υπολογιστών. Η ενασχόληση με τους τομείς αυτούς των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών επιτρέπει στον ηλεκτρολόγο μηχανικό και στον μηχανικό υπολογιστών να κατανοήσουν τη λειτουργία των υπολογιστικών συστημάτων, καθώς και τη διαχείριση των δικτύων υπολογιστών. Επιπλέον, για όσους αργότερα ενδιαφερθούν για την έρευνα στον επιστημονικό αυτό τομέα, τα Διακριτά Μαθηματικά θα αποτελέσουν το κατώφλι εισόδου στον χώρο των υπολογιστικών μαθηματικών, που βρίσκονται πίσω από ό,τι θαυμαστό παρουσιάζεται στις οθόνες των ηλεκτρονικών σας υπολογιστών. Το βιβλίο που βλέπετε στην οθόνη σας επιχειρεί να παρουσιάσει μερικές βασικές έννοιες των Διακριτών Μαθηματικών, δηλαδή των μαθηματικών που αναφέρονται στα διακριτά σύνολα (crisp sets). Καθώς το μάθημα των Διακριτών Μαθηματικών διδάσκεται ως υποχρεωτικό μάθημα στα πρώτα εξάμηνα του προγράμματος σπουδών των Πολυτεχνείων της Ελλάδας και του εξωτερικού, τα κείμενα είναι αναλυτικά και υπάρχουν πολλά παραδείγματα που συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση του θέματος. Τα πρώτα κεφάλαια αναπτύσσουν στοιχεία των περιοχών της Θεωρίας Συνόλων με αναφορά και στα Ασαφή Σύνολα, τη Συνδυαστική, τη Θεωρία Αλγορίθμων, την Άλγεβρα της Λογικής και τη Θεωρία Γράφων. Τα τελευταία δυο κεφάλαια αναφέρονται σε νέες σχετικά περιοχές της επιστήμης των μαθηματικών, τα μητροειδή, τις μηχανές και τα μονοειδή. Όπως θα διαπιστώσει ο αναγνώστης, οι περιοχές αυτές επιχειρούν να συνθέσουν σε μια ενιαία δομή όσα περιλαμβάνονται στα πρώτα πέντε κεφάλαια του συγγράμματος. Σε ό,τι αφορά τις προαπαιτούμενες για την κατανόηση του βιβλίου γνώσεις, καταβλήθηκε προσπάθεια ελαχιστοποίησης των απαιτήσεων αυτών. Απαιτείται μόνο μερική γνώση βασικών εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας, που ίσως να έχουν αποκτηθεί και κατά τη θήτευση στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, ενώ σε ό,τι αφορά γνώσεις ηλεκτρονικών υπολογιστών θα λέγαμε ότι δεν είναι απαραίτητες. Από όσους όμως εκ των αναγνωστών έχουν μια προηγούμενη ενασχόληση με γλώσσες προγραμματισμού, προσανατολισμένες είτε προς τον χρήστη είτε 10

12 προς τη μηχανή, θα γίνει ευκολότερα κατανοητή η σημασία των Διακριτών Μαθηματικών για την ανάπτυξη των υπολογιστών. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στην αρχή αυτής της εισαγωγής, ένας επιπλέον στόχος του βιβλίου είναι η ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, που περιλαμβάνει την αναλυτικοσυνθετική ικανότητα, την επαγωγική αποδεικτική διαδικασία, την ανάλυση δεδομένων, την οργάνωση διαγραμμάτων ροής και των εννοιολογικών χαρτών. Ως εκπαιδευτικό βοήθημα το βιβλίο αυτό φιλοδοξεί να εξυπηρετήσει τον σκοπό της εκπαίδευσης που είναι η ανάπτυξη της ικανότητας του εγκεφάλου να μαθαίνει, και όχι βέβαια η στείρα αναπαραγωγή της πληροφορίας. Η μεν ικανότητα του «μανθάνειν» επιτρέπει την ανάπτυξη της δημιουργικότητας του ανθρώπου (μια ιδιότητα απαραίτητη στον ηλεκτρολόγο μηχανικό και τον μηχανικό υπολογιστών), ενώ η στείρα αναπαραγωγή της πληροφορίας δεν επιτρέπει παρά μόνο την αντιγραφή και την επανάληψη. Το περιεχόμενο του συγγράμματος αυτού ακολουθεί τη σειρά των πανεπιστημιακών παραδόσεων του ομότιτλου γνωστικού αντικειμένου, όπως αυτές παρουσιάζονται από το ακαδημαϊκό έτος έως σήμερα στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Δημοκρίτειου Πανεπιστημίου Θράκης. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται στοιχεία από τη Θεωρία Συνόλων υπό την κλασική τους έννοια, ενώ στη συνέχεια γίνεται και μια σύντομη αναφορά στα ασαφή σύνολα. Η περιορισμένη έκταση του πρώτου κεφαλαίου δεν επιτρέπει την εκτενή αναφορά στη θεωρία των συνόλων, όπως αυτή εξελίσσεται μέχρι και τις μέρες μας. Ο αναγνώστης, με αφορμή τις σύντομες αναφορές στα ειδικά θέματα της βασικής θεωρίας και της άλγεβρας των συνόλων, θα μπορέσει να εμβαθύνει και περαιτέρω χρησιμοποιώντας την πλουσιότατη βιβλιογραφία του τομέα αυτού. Τεχνικές απαρίθμησης συνόλων με την κλασική τους έννοια καθώς και συμπλεγμάτων αναλύονται στο δεύτερο κεφάλαιο. Πρόκειται για τη λεγόμενη Συνδυαστική (ή Συμπλεκτική) που είναι, όπως θα διαπιστωθεί αργότερα, απαραίτητη για τη διαχείριση προβλημάτων απαρίθμησης αλλά και προβλημάτων της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Ένα σημαντικό τμήμα της Συνδυαστικής είναι η μελέτη σχεδιαστικών μορφών, δηλαδή συνόλων και των υποσυνόλων τους που είναι διατεταγμένα σε πολύ συμμετρικές ή ακόμα και σε ασύμμετρες δομές. Τέτοιες γνωστές δομές είναι τα λατινικά τετράγωνα και τα επακολουθήματά τους, γνωστά ως SUDOKU (διατάξεις στοιχείων σε ορθογώνιο πίνακα χωρίς επαναλήψεις στοιχείων στις σειρές ή τις στήλες). Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται στοιχεία για τη Θεωρία Αλγόριθμων. Η ανάπτυξη των αλγόριθμων, που ακολούθησαν την ανάπτυξη των υπολογιστών, επιτρέπει στους επιστήμονες να δημιουργήσουν προσομοιώσεις φυσικών διαδικασιών αποφεύγοντας τη χρήση αιτιοκρατικών ή στοχαστικών αναπαραστάσεων. Αυτή η νέα δυνατότητα, που δόθηκε στην επιστήμη από την ανάπτυξη της τεχνολογίας των υπολογιστικών συστημάτων, οδήγησε στην ανάπτυξη της μαθηματικής θεωρίας των Αλγόριθμων. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται προσπάθεια να παρουσιαστεί η Θεωρία των Αλγόριθμων και ο τρόπος που κατηγοριοποιούνται τα προβλήματα που την απασχολούν. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται (με το συντομότερο δυνατό τρόπο) μια περιγραφή μεθόδων και πράξεων της μαθηματικής λογικής, στις οποίες στηρίχθηκε η διαχείριση κυκλωμάτων με διακόπτες. Η κωδικοποίηση της λογικής, με τη βοήθεια της γενικής αλγεβρικής θεωρίας, αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής, που είναι γνωστή και ώς Άλγεβρα Boole. Το κεφάλαιο αυτό συμβάλλει στη διαμόρφωση «οικονομικότερων» τυπωμένων κυκλωμάτων, πάντα όμως αναφερόμενο στις βασικές αρχές της Λογικής. Ο αναγνώστης θα διαπιστώσει αργότερα ότι η σχεδίαση ολοκληρωμένων κυκλωμάτων μεγάλης κλίμακας δεν στηρίζεται αποκλειστικά στις αρχές της Άλγεβρας Boole, αλλά τη χρησιμοποιεί σε συνδυασμό με την Ηλεκτρο-Μαγνητική Θεωρία. Στο πέμπτο κεφάλαιο ο αναγνώστης θα βρει πληροφορίες για τη Θεωρία Γράφων [1] (ή γραφημάτων). Παρουσιάζονται κυρίως ορισμοί και ορολογία, ενώ παραλείπονται θεωρητικά αποτελέσματα που δεν εξυπηρετούν τους στόχους του βιβλίου αυτού. Παρουσιάζεται επίσης, ένας αριθμός γνωστών αλγόριθμων, ιδιαίτερα χρήσιμων για την ανίχνευση δένδρων, την εύρεση ελάχιστων διαδρομών ή τον χρωματισμό χαρτών. Τα εκτιθέμενα στοιχεία της θεωρίας γράφων θα αποτελέσουν τη βάση για την επίλυση προβλημάτων στα δίκτυα υπολογιστών, για την ανάπτυξη τεχνολογίας στους δρομολογητές (routers) ή στις εφοδιαστικές αλυσίδες (logistics) ή στη δόμηση έμπειρων συστημάτων. Τέλος, με τέσσερα παραδείγματα ειδικών εφαρμογών της Θεωρίας Γράφων ολοκληρώνεται η παρουσίαση των στοιχειωδών αρχών της θεωρίας αυτής. Το ηλεκτρονικό αυτό σύγγραμμα περιλαμβάνει στο επόμενο κεφάλαιο (έκτο κεφάλαιο) μια σύντομη περιγραφή των μητροειδών. Τα μητροειδή εκφράζουν συγκεκριμένες μορφές κανονικών γράφων και συγχρόνως απαριθμούν τα στοιχεία των γράφων αυτών. Για τον λόγο αυτόν τα μητροειδή (matroids) μπορούν να εξεταστούν ως γενικευμένες γεωμετρίες και γι αυτό συμπεριλαμβάνονται επίσης στη Συνδυαστική. Ας 11

13 σημειωθεί ότι οι γράφοι είναι μορφές, και σε ό,τι αφορά τη Συνδυαστική, συμπεριλαμβάνονται μόνο τα κανονικά γραφήματα, όπως τα πλήρη, τα γραφήματα Kuratowsky κ.ά.. Τέλος, παρουσιάζεται σύντομη περιγραφή του επίπεδου Fano των επτά σημείων που ανήκουν σε εφτά «ευθείες» (καθεμία με τρία σημεία). Το επίπεδο αυτό δείχνει τη σχέση προς τις πεπερασμένες γεωμετρίες. (Τα επίπεδα αυτά, εφοδιασμένα με κατάλληλα αξιώματα, έχουν τη μορφή γεωμετριών υπέρ πεπερασμένων πεδίων, αν και τα πεπερασμένα επίπεδα είναι πολύ πιο ευέλικτα.). Στο τελευταίο κεφάλαιο περιγράφεται η βασική μαθηματική θεωρία των μηχανών πεπερασμένης κατάστασης. Οι μηχανές, ως αλγεβρικές δομές, αποτελούν τον συγκερασμό όλων όσα αναπτύσσονται στα κεφάλαια 1 έως 6. Το σύνολο των προηγούμενων καταστάσεων, που αποτελούν την εμπειρία της μηχανής, μαζί με το σύνολο των εισόδων και τον αλγόριθμο που ορίζει τη σύνθεση όλων των προηγούμενων, προδιαγράφουν την έξοδό της. Έτσι, μηχανές όπως τα πεπερασμένα αυτόματα ή οι ντετερμινιστικές μηχανές Turing μάς επιτρέπουν να κατανοήσουμε τις δυνατότητες αναπαράστασης της ανθρώπινης νοητικής λειτουργίας και να σχεδιάσουμε προσομοιωτές της ανθρώπινης συμπεριφοράς σε πλείστους όσους τομείς, όπως την ιατρική διάγνωση, την εξατομικευμένη εκπαίδευση, τη διαχείριση εφοδιαστικών αλυσίδων ή την εξειδικευμένη γεωργία με χρήση των Γεωγραφικών Πληροφοριακών Συστημάτων (GIS). Παραδείγματα, Εφαρμογές και Ασκήσεις που θέτουν ερωτήματα σχετικά με την κατανόηση των γνωστικών (μαθησιακών) αντικειμένων βρίσκονται σε όλη την έκταση του ηλεκτρονικού αυτού συγγράμματος. Ο αναγνώστης επίσης θα βρει σε πολλά σημεία αλληλεπιδραστικές εφαρμογές (Java applets) που σκοπό έχουν να τον βοηθήσουν στην καλύτερη κατανόηση των αλγόριθμων και των μεθόδων που οδηγούν στη λύση των προβλημάτων. Ο αναγνώστης, τέλος, καλείται να επικοινωνήσει με τους συγγραφείς για να κάνει υποδείξεις, να υποβάλλει ερωτήσεις και να αμφισβητήσει ακόμα και τον τρόπο με τον οποίο παρουσιάζονται τα διάφορα θέματα του συγγράμματος. Η μορφή του ηλεκτρονικού συγγράμματος μάς επιτρέπει να επεμβαίνουμε συνεχώς για να το εμπλουτίσουμε ή και να διορθώσουμε ακόμα όποια σημεία είναι απαραίτητο. Η συνεργασία των συγγραφέων με τους αναγνώστες του συγγράμματος αυτού μπορεί να οδηγήσει σε συνεχή βελτίωση, μία ακόμα δυνατότητα που δεν έχουν τα έντυπα βιβλία, αλλά την επιβάλλει η διαθέσιμη τεχνολογία. Για τη συγγραφική ομάδα, Δημήτριος Α. Γεωργίου, Καθηγητής. Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης, Αύγουστος

14 1. Κεφάλαιο: ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Σύνοψη Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται περιορισμένη αναφορά στην κλασική έννοια του συνόλου καθώς και στην άλγεβρα των συνόλων. Τα παραδείγματα εξυπηρετούν τους παρακάτω μαθησιακούς στόχους: την κατανόηση της σημασίας των συνόλων στη διαμόρφωση και τη διαχείριση δομών δεδομένων, τις κατηγοριοποιήσεις και τις ταξινομήσεις των στοιχείων αυτών, τη διαμόρφωση της λογικής και της αναγνώρισης προτύπων. Στην πρώτη παράγραφο σκιαγραφείται με σύντομο τρόπο η εξέλιξη της θεωρίας από τον Cantor στη σύγχρονη θεωρία των ασαφών συνόλων. Στην εξέλιξη αυτή ιδιαίτερο ρόλο διαδραμάτισε ο εντοπισμός των παραδόξων και η αμφισβήτηση των θέσεων που διατυπώθηκαν αρχικά. Στη δεύτερη, την τρίτη και την τέταρτη παράγραφο παρουσιάζονται οι βασικές αρχές της άλγεβρας των συνόλων με την κλασική τους έννοια. Βασικές σχέσεις μεταξύ των συνόλων αναφέρονται στην πέμπτη παράγραφο, ενώ οι τελευταίες δυο παράγραφοι αναφέρονται στα ασαφή σύνολα και την τοπολογία των ασαφών συνόλων. Αναπτύσσονται οι μέθοδοι εισαγωγής μέτρου με τις συναρτήσεις συμμετοχής και παρουσιάζονται παραδείγματα συνόλων με στοιχεία, τα οποία και διακρίνονται λόγω των ποιοτικών χαρακτηριστικών τους, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο η συνάρτηση συμμετοχής καθορίζει τον βαθμό συμμετοχής των στοιχείων στο ασαφές σύνολο. Πέρα από τη χρήση της ως θεμελιώδους συστήματος, η θεωρία συνόλων απαρτίζει από μόνη της έναν κλάδο των μαθηματικών με ενεργή ερευνητική κοινότητα. Η σύγχρονη έρευνα στη συνολοθεωρία περιλαμβάνει μια ποικίλη συλλογή από θέματα, που φτάνουν από τη δομή της γραμμής των πραγματικών αριθμών έως τη μελέτη της συνέπειας για μεγάλους πληθάριθμους. Προαπαιτούμενη Γνώση Δεν απαιτείται. 1. Γενικά περί Συνόλων Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική. Ως πρωταρχική έννοια δεν είναι δυνατό να οριστεί μια θέση η οποία με σαφή τρόπο υποδείχτηκε από τον Bertrand Russell. Έτσι, η θεωρία στηρίζεται σε μια σειρά αξιωμάτων και γι αυτό είναι μια αξιωματική θεωρία, όπως άλλωστε και άλλες θεωρίες (μαθηματική θεωρία μέτρου, τοπολογία, Θεωρία Πιθανοτήτων, κ.λπ.). Η σύγχρονη μελέτη των συνόλων ξεκίνησε από τον Georg Cantor και τον Dedekind τη δεκαετία του Στις αρχές του 20ού αιώνα, μετά τον εντοπισμό παραδόξων και αντιφάσεων στην αρχική, άτυπη θεωρία συνόλων, προτάθηκαν νέα συστήματα αξιωμάτων, το πιο γνωστό από τα οποία η «Zermelo Fraenkel» θεωρία συνόλων με το αξίωμα επιλογής Τα Σύνολα υπό την Κλασική αυτών Έννοια Ο Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) έθεσε τις βάσεις της Θεωρίας Συνόλων και τους υπεραριθμήσιμους αριθμούς. Σύμφωνα με τον Cantor, η Θεωρία Συνόλων ή συνολοθεωρία είναι η θεωρία που μελετά τα σύνολα, σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι). Αν και κάθε είδος συλλογής αντικείμενων μπορεί να στοιχειοθετήσει την έννοια του συνόλου, η Θεωρία Συνόλων αποφεύγει την αναφορά στη φύση των στοιχείων των συνόλων και τα αντιμετωπίζει με γενικευμένη προσέγγιση, δηλαδή με την καθαρά μαθηματική λογική. Παρότι, όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, δεν υπάρχει ορισμός του συνόλου, για τον Cantor ο ορισμός του συνόλου διατυπώνεται ως εξής: Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που γίνονται αντιληπτά διά της εμπειρίας μας ή της διανόησής μας, είναι καλώς ορισμένα και διακρίνονται ευκρινώς μεταξύ τους. 13

15 Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται «στοιχεία ή μέλη» του συνόλου. Ο Cantor κάνοντας χρήση της έννοιας της ισχύος (ή πληθικού αριθμού), που είχε προηγουμένως ορίσει ο Gottlob Frege, περιγράφει το σύνολο Α ως συλλογή στοιχείων που δημιουργούν την κλάση όλων των ℵ(Α) συνόλων με Α ℵ(Α). Η έννοια του πληθάριθμου αναφέρεται μόνο σε πεπερασμένα σύνολα. Ορισμός Ισχύς του συνόλου Α ή και πληθικός αριθμός αυτού είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των στοιχείων που περιέχει το Α. Συμβολίζεται με ℵ(A) ή και με Α. Στη βιβλιογραφία συναντάται και η χρήση του P αντί του εβραϊκού γράμματος ℵ. Ο συμβολισμός όμως της ισχύος του συνόλου Α με το P(Α) δημιουργεί σύγχυση, γιατί χρησιμοποιείται ακριβώς ο ίδιος για να εκφράσει το μέτρο πιθανότητας στην αξιωματική θεωρία των Πιθανοτήτων. Τέλος, αναφέρεται και ο πολύ συνηθισμένος συμβολισμός card(.) (από το cardinality). Είναι σαφές ότι η πρωταρχική έννοια του συνόλου γίνεται αντιληπτή από τον άνθρωπο με τα ποιοτικά της χαρακτηριστικά. Για να δημιουργηθεί μια μαθηματική θεωρία, είναι απαραίτητο να οριστούν τα ποσοτικά χαρακτηριστικά των οντοτήτων που θα αποτελέσουν το αντικείμενό της. Η ισχύς του συνόλου εκφράζει ακριβώς αυτό: ένα μετρήσιμο μέγεθος, ικανό να θέσει ερωτήματα που αφορούν τη σύγκριση συνόλων ή τη σύνθεση συνόλων για να δημιουργηθούν νέα σύνολα. Στην κατεύθυνση αυτή εργαζόμενος, ο Cantor ανήγγειλε το θεώρημα συγκρισιμότητας πληθαρίθμων το Το 1899, σκιαγράφησε μια κάπως προβληματική απόδειξη. Πρόθεση του Cantor ήταν να επεκτείνει τις έρευνές του με τους πληθάριθμους στα άπειρα σύνολα, την έννοια του φυσικού αριθμού ως μέτρου του πλήθους των στοιχείων τους. Ένα σύνολο είναι «καλώς ορισμένο» όταν τα στοιχεία του μπορούν να γίνονται απολύτως αντιληπτά. Για παράδειγμα, η αναφορά στο σύνολο των μεγάλων πραγματικών αριθμών δεν περιγράφει σύνολο, σύμφωνα με τον Cantor, διότι δεν υπάρχει σαφής τρόπος, που να καθορίζει αν ένας πραγματικός αριθμός είναι ή δεν είναι μεγάλος. Αν όμως θεωρήσει κάποιος τους πραγματικούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 10 6, τότε αυτοί αποτελούν καλώς ορισμένο σύνολο. Ο Zadech το 1965 θεμελίωσε μια νέα περιοχή στη μαθηματική επιστήμη αναφερόμενος στα ασαφώς ορισμένα σύνολα. Για τη θεωρία των ασαφών συνόλων θα αναφέρουμε στοιχεία στο τέλος του κεφαλαίου αυτού. Η Θεωρία Συνόλων, που τυποποιείται με χρήση της λογικής πρώτου βαθμού, είναι το πιο διαδεδομένο θεμελιώδες σύστημα για τα μαθηματικά. Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι συναρτήσεις, και έννοιες της Συνολοθεωρίας εντοπίζονται σε όλα τα διδακτέα προγράμματα μαθηματικών. Ο λόγος της προσοχής που αποδίδεται από τη μαθηματική επιστήμη στη Συνολοθεωρία είναι ακριβώς αυτή: συνδέει με άμεσο τρόπο τη διαισθητική αντίληψη του ανθρώπου για το περιβάλλον του με την καθαρά λογική διαδικασία. Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και την ιδιότητα στοιχείου-μέλους συνόλου μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, με τη βοήθεια των διαγραμμάτων του Venn, για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. O Venn με τα διαγράμματά του πέτυχε ακριβώς αυτό: να καταστήσει αντιληπτή δια των αισθήσεων (όρασης) τον τρόπο διαχείρισης των συνόλων δια της Αλγεβρας των Συνόλων. Βασικές πράξεις όπως η ένωση και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν με τη βοήθεια των διαγραμμάτων. Όπως προαναφέρθηκε, προχωρημένες έννοιες, όπως η ισχύς (ή πληθικός αριθμός) συνόλου, συνέδεσαν τα σύνολα με τη θεωρία μέτρου συνόλων. Η Θεωρία Συνόλων από τα τέλη του 19ου αιώνα μέχρι τις αρχές του 20ού, βασιζόμενη στις εικασίες του Cantor, προσέγγισε έστω και με αυτή τη μορφή (της εικασίας) τη λύση προβλημάτων σύγκρισης της ισχύος (ή πληθικότητας) άπειρων συνόλων, ενώ είχε σημαντικές εφαρμογές στην ανάλυση και τη μελέτη των αριθμητικών πράξεων (πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, ύψωσης σε δύναμη) για απειροσύνολα. Ανάμεσα σε σημαντικά αποτελέσματα της μαθηματικής σκέψης του Cantor είναι και η απόδειξη ότι το σύνολο των ρητών αριθμών έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το σύνολο των ακεραίων. Επίσης, ανάμεσα στα σημαντικά θεωρήματά του συμπεριλαμβάνεται και το ότι το ανοικτό διάστημα (0,1) R δεν είναι αριθμήσιμο. Η τελευταία απόδειξη έχει μείνει στην ιστορία των μαθηματικών ως η «διαγώνιος μέθοδος του Cantor». Η αναγνώριση του έργου του είναι ευρύτατη. Ήδη, από το 1900, ο Hilbert υποστήριζε ότι «κανείς δεν πρόκειται να μας στερήσει τον παράδεισο που δημιούργησε ο Cantor για μας». Μέχρι τότε, δύο ήταν τα βασικά προβλήματα σχετικά με την έννοια της ισοπληθικότητας, τα οποία δεν είχαν απαντηθεί. Τα προβλήματα αυτά, που αποτέλεσαν το αντικείμενο της έρευνας στην εξέλιξη της συνολοθεωρίας, είναι η εικασία συγκρισιμότητας της ισχύος δυο συνόλων. Για όλα τα σύνολα Α, Β, είτε ℵ(Α) ℵ(Β) ή.ℵo(α) ℵ(A). 14

16 Η υπόθεση του συνεχούς (Continuum Hypothesis), σύμφωνα με την οποία δεν υπάρχει σύνολο πραγματικών αριθμών X με πλήθος ενδιάμεσο αυτών του N και του R. Οι δύο εικασίες μαζί συνεπάγονται ότι οι φυσικοί αριθμοί N και οι πραγματικοί αριθμοί R εκπροσωπούν τις δύο ελάχιστες «τάξεις απείρου». Η Θεωρία Συνόλων από τα τέλη του 19ου αιώνα μέχρι τις αρχές του 20ού, βασιζόμενη στη διαισθητική προσέγγιση του Cantor, πλησίαζε έστω και με τη μορφή εικασίας στη λύση προβλημάτων σύγκρισης της ισχύος άπειρων συνόλων, ενώ είχε σημαντικές εφαρμογές στην ανάλυση και στη μελέτη των αριθμητικών πράξεων (πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, δύναμης) για άπειρα σώματα. Την ίδια σχεδόν εποχή (1902) ο sir Bertrand Russell αμφισβητεί τη βασική αρχή της Θεωρίας Συνόλων, που μέχρι τότε στηρίζονταν στην έννοια του συνόλου κατά Cantor, ότι δηλαδή σύνολο Α είναι η συλλογή όλων των στοιχείων x τα οποία ορίζουν τόσα υποσύνολα όσος και ο πληθάριθμος του Α={x/P(x)}. Ο Russell παρατήρησε ότι από τη γενική αρχή εγκλεισμού του Cantor προκύπτει ότι το σύνολο όλων των συνόλων δεν είναι σύνολο, αφού ως σύνολο θα έπρεπε να περιέχεται στον εαυτό του. Για να γίνει καλύτερα κατανοητή η σκέψη αυτή θεωρήστε το σύνολο V όλων των συνόλων V={x/το x είναι σύνολο} τότε V V. Όπως όμως είναι γνωστό, τα σύνολα με την κλασική τους έννοια, δεν περιέχουν τον εαυτό τους. Αν δηλαδή R={x/ το x είναι σύνολο και το x x}. Τότε όμως, προκύπτει η αντίφαση R R( )R R. Η παρατήρηση αυτή ονομάστηκε ως παράδοξο του Russell. Η θεμελιώδης φύση του παραδόξου του Russell έκανε πολλούς μαθηματικούς να αναθεωρήσουν τη Θεωρία Συνόλων στο σύνολό της, δημιουργώντας έτσι το κατάλληλο έδαφος για να αναθεωρηθεί εκ βάθρων η αντίληψη των μαθηματικών για τη θεωρία αυτή. Δεν θα ήταν υπερβολή αν έλεγε κανείς ότι η κρίση αυτή χρειάστηκε σχεδόν τριάντα έτη για να αντιμετωπιστεί. Τα προβλήματα αυτά, καθώς και διάφορα άλλα προβλήματα αντιφατικότητας αντιμετωπίστηκαν με την αξιωματική θεμελίωση της Θεωρίας Συνόλων. Κατασκευάστηκαν, δηλαδή συστήματα από «θεμελιώδεις» ιδιότητες, οι οποίες καλούνται «αξιώματα», την αλήθεια των οποίων δεχόμαστε άνευ αποδείξεως. Ένα τέτοιο σύστημα αξιωμάτων, για να είναι αποδεκτό, πρέπει να έχει τα εξής γνωρίσματα: να είναι πλήρες, να είναι ανεξάρτητο και να είναι ελεύθερο αντιφάσεων. Ο Zermelo πρότεινε το 1908 μια πρώτη αντιμετώπιση του προβλήματος. Ξεκινώντας από την παραδοχή ότι σύμφωνα με το περίφημο πλέον παράδοξο του Russell η γενική αρχή εγκλεισμού του Cantor είναι λανθασμένη (παράδοξο του Russell), παρατήρησε ότι η χρησιμότητά της στην απόδειξη βασικών θεωρημάτων της Συνολοθεωρίας ήταν ελάχιστη. Διαφώνησε με αυτούς που απαξίωναν ολόκληρη τη Θεωρία Συνόλων και, ξεκινώντας από τα τότε άκρα της προχωρώντας προς τα πίσω, προσπάθησε να προσδιορίσει τα αξιώματα, που είναι απαραίτητα για την εδραίωσή της. Ως πρότυπο για την αξιωματική θεμελίωση του Zermelo χρησιμοποιήθηκε η αξιωματική ευκλείδεια γεωμετρία. Η αξιωματική βάση της θεωρίας στηρίζεται σε ένα μείγμα W αντικειμένων τα οποία είναι σύνολα ή άτομα μαζί με σχέσεις-συνθήκες. Με τον τρόπο αυτό ο Zermelo αντικατέστησε τις εικασίες του Cantor με επτά αξιώματα Αξίωμα της Επεκτασιμότητας Αν A, B σύνολα για τα οποία ισχύει ότι A=B x/x A x B. Σχόλιο: Ισχύει λοιπόν ότι {α,β}={β,α}. Για να αποδείξουμε ότι δύο σύνολα A και, B ταυτίζονται, αρκεί να δείξουμε αμφότερες τις σχέσεις A B και B A Αξίωμα του Κενού Συνόλου και Ζεύγους Υπάρχει ένα σύνολο Ø που δεν έχει κανένα περιεχόμενο στοιχείο, και καλείται κενό σύνολο. Εξ ορισμού, το κενό σύνολο περιέχεται (ανήκει) σε κάθε σύνολο. Για κάθε x,y A={x,y} με μόνα μέλη τα x,y τέτοια ώστε t A t=x ή t=y. 15

17 Αξίωμα της Εξειδίκευσης ή του Διαχωρισμού σύνολο Α και κάθε οριστική συνθήκη P (μονομελής) υπάρχει σύνολο Β τέτοιο ώστε x B [x A και ℵ(x)] δηλαδή Β={x A/ℵ(x)}. Αποτελεί περιορισμό της γενικής αρχής εγλεισμού του Cantor με αποτέλεσμα το σύνολο όλων των συνόλων δεν είναι σύνολο Αξίωμα του Δυναμοσυνόλου Για ένα σύνολο A ένα σύνολο Β με μόνα μέλη όλα τα υποσύνολα του Α. Αν x B το x είναι σύνολο, και x A, ( t) [t x t A] το Β=O(A) δυναμοσύνολο του Α. Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α είναι σύνολο και καλείται «δυναμοσύνολο του συνόλου Α» Αξίωμα της Ένωσης Για κάθε αντικείμενο ℇ υπάρχει σύνολο Β με μέλη τα μέλη των μελών του ℇ τέτοιο ώστε t B ( x ℇ) [t x]. B= ℇ ένωση του E={t/( x ℇ)[t x]}. A B= {A,B} Αξίωμα του Απείρου Υπάρχει σύνολο Ι που περιέχει το Ø και το μονοσύνολο κάθε μέλους του, δηλαδή: Ø Ι και ( x) [x I {x} I], τότε το Ι είναι άπειρο, διότι: Ø Ι και {Ø} Ι {{Ø}} Ι. Τέλος, η μοναδικότητα εξασφαλίζεται από το αξίωμα επιλογής Αξίωμα Επιλογής Για κάθε διμελή σχέση P (A B) σε σύνολα Α, Β, ισχύει ( x A)( ψ B)[xPψ] ( f:a B)( x A(xPf(x))). Δηλαδή, το αξίωμα αυτό λέει ότι το καρτεσιανό γινόμενο μιας συλλογής μη κενών συνόλων είναι μη κένο. Πιο συγκεκριμένα, αναφέρει ότι για κάθε παράγοντα-σύνολο του καρτεσιανού γινομένου Α 1 Α 2 Α n μη κενών συνόλων υπάρχει μια οικογένεια x i στοιχείων, τέτοια ώστε x i A i, i {1,2,...,n}. Το αξίωμα επιλογής έχει στη Θεωρία Συνόλων τη θέση που έχει στην Ευκλείδεια Γεωμετρία το περίφημο αίτημα των παραλλήλων. Όταν οικοδομούμε τα μαθηματικά επάνω σε μία αξιωματική θεωρία συνόλων, έχουμε δύο δυνατότητες: μαθηματικά με το αξίωμα επιλογής, και μαθηματικά χωρίς αυτό. Ακριβώς όπως έχουμε Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Το αξίωμα του Zermelo είναι θεμελιώδες, γιατί είναι το μόνο που στηρίζει λογικά τη δυνατότητα μετάβασης με καλά διαταγμένη πορεία από το αριθμήσιμο στο μη αριθμήσιμο. Μαζί δε με το αξίωμα της έκτασης είναι τα μόνα που δεν αποτελούν ειδική περίπτωση της Γενικής Αρχής Εγκλεισμού. Το έβδομο αξίωμα του Zermelo ήταν και το πλέον αμφισβητούμενο από τους μαθηματικούς της εποχής εκείνης. Για να γίνει αντιληπτή η χρησιμότητά του, θα πρέπει να αναφερθεί κανείς στο κλασικό παράδειγμα του Russell, όπου το Α είναι ένα σύνολο ζευγών υποδημάτων, P(A)=ᴗA και xρψ ψ x. Η συνάρτηση f(x)={το αριστερό παπούτσι του x}, (x A), προφανώς επιλέγει ακριβώς ένα παπούτσι από κάθε ζευγάρι, συμβολικά ( x A){xPf(x)}. Αν όμως το Α είναι σύνολο από ζευγάρια κάλτσες, τότε δεν μπορούμε να ορίσουμε συνάρτηση: A A που διαλέγει ακριβώς μία κάλτσα f(x) x από κάθε ζευγάρι, επειδή ένα ζευγάρι κάλτσες αποτελείται από δύο τελείως όμοια αντικείμενα. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση επιλογής f υπάρχει αν το Α είναι πεπερασμένο, με επαγωγή στον αριθμό μελών του Α Καρτεσιανό Γινόμενο Ο Rene Descartes ή Καρτέσιος, όπως είναι γνωστός στην Ελλάδα, για πρώτη ίσως φορά, αντιστοίχισε ένα προς ένα τα σημεία του χώρου ακεραίας διάστασης με ένα σύνολο στοιχείων. Με τον τρόπο αυτό, δηλαδή δίνοντας σε κάθε σημείο του n-διάστατου χώρου ένα μοναδικό όνομα, άνοιξε το δρόμο για την ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας. Το σύνολο των ονομάτων του n-διάστατου χώρου, γνωστό ως Καρτεσιανό γινόμενο, θα οριστεί μετά από την παρουσίαση του επόμενου παραδείγματος. 16

18 Παράδειγμα Θεωρούμε τα σύνολα: Α=(α,β,γ,δ) και Β=(3,4,5). Κάθε στοιχείο του Α μπορεί να αντιστοιχηθεί με κάθε ένα στοιχείο του συνόλου Β. Έτσι δημιουργούνται 4 3 ζεύγη (x,y). Τα ζεύγη αυτά καλούνται διατεταγμένα ζεύγη επειδή έχει σημασία η διάταξη, δηλαδή η τοποθέτηση των στοιχείων σε αυτά. Για παράδειγμα, ένα από αυτά θα μπορούσε να είναι το (β,4). Αν ονομάσουμε το σύνολο αυτών των διατεταγμένων ζευγών με το σύμβολο Α Β, τότε αυτό είναι ένα νέο σύνολο, με στοιχεία όλα τα δυνατά διατεταγμένα ζεύγη που προκύπτουν από το συνδυασμό των στοιχείων των συνόλων Α και Β. Το πρώτο στοιχείο κάθε ζεύγους προέρχεται πάντα από το πρώτο σύνολο και το δεύτερο από το δεύτερο. Στο παράδειγμα που εξετάζουμε έχουμε: Α Β={(α,β)}α:α Α και β:β Β}. Με βάση τον ορισμό, το καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β είναι: Α Β={(α,3), (α,4), (α,5),(β,3), (β,4), (β,5), (γ,3), (γ,4), (γ,5), (δ,3), (δ,4), (δ,5)}. Ορισμός Το σύνολο των διατεταγμένων ν-άδων που ορίζονται από το σύνολο Α 1 Α 2 Α n ={(x 1,x 2,,x n ) x i A i,i=1,2, v} καλείται καρτεσιανό γινόμενο των Α 1,Α 2,,Α ν. Το στοιχείο x i είναι η i συντεταγμένη της διατεταγμένης ν-άδας. Θεώρημα Του Cantor Για κάθε σύνολο Α, ισχύει A O(A), όπου το O(A) είναι το δυναμοσύνολο του συνόλου Α. Δηλαδή το Α έχει μικρότερο πληθικό αριθμό από το δυναμοσύνολο του Α. Απόδειξη Έχουμε μια συνάρτηση: f:a P(A), καθώς x {x} που αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο x του Α το μονοσύνολο x με ένα μόνο στοιχείο, το x. Παρατηρούμε ότι η fείναι: Καλά ορισμένη: f(x) ανήκει στο Ρ(Α) {x} A f(x) P(A). Είναι: 1-1.{x}={y} x=y (Από το Αξίωμα επέκτασης) f(x)=f(y) x=y. (Όπως θα δούμε παρακάτω στο Zermelo). Δια της εις άτοπον απαγωγής: Δεχόμαστε ότι υπάρχει Ρ:Α ℵ(A). Έστω ότι η Ρ είναι επιμορφισμός. Δηλαδή δείχνει ότι Α=Ρ(Α). Ορίζουμε τώρα το στο σύνολο: Β={x Α/x f(x)}. Αφού το Β είναι υποσύνολο του Α και υποθέσαμε ότι η Ρ είναι επί, πρέπει να υπάρχει κάποιο b ανήκει στο Α ώστε Β=Ρ(b). Άρα b ανήκει στο Β ή b δεν ανήκει στο Β. Αλλά b ανήκει στο Β, οπότε συνεπάγεται ότι b ανήκει στο Ρ(b), άρα το b δεν ικανοποιεί τη συνθήκη ορισμού του Β και επομένως b δεν ανήκει στο Β. Άτοπο. Στην αντίθετη περίπτωση, b δεν ανήκει στο Β, συνεπάγεται b δεν ανήκει Ρ(b).Οπότε το b δεν ικανοποιεί τη συνθήκη ορισμού του Β και άρα b ανήκει στο Β. Άρα δεν υπάρχει ο επιμορφισμός π. Ορισμός Ένα σύνολο S λέγεται αριθμήσιμο ή μετρήσιμο αν είναι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο και υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη (1-1) απεικόνιση των στοιχείων του στους φυσικούς αριθμούς. Θεώρημα Το Διαγώνιο Επιχείρημα του Cantor. Ο Cantor απέδειξε ότι το σύνολο των ρητών αριθμών έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το σύνολο των ακεραίων, και ότι το ανοικτό διάστημα (0,1) R δεν είναι αριθμήσιμο. Η τελευταία απόδειξη έχει μείνει στην ιστορία των μαθηματικών ως η «διαγώνιος μέθοδος του Cantor». Ονομάζεται και επιχείρημα της Διαγωνοποίησης και δημοσιεύτηκε το 1891 από τον Cantor. Το διαγώνιο Επιχείρημα είναι μια απόδειξη για τη μη μετρησιμότητα των πραγματικών αριθμών. 17

19 Απόδειξη Ένα μη μετρήσιμο σύνολο: Η προέλευση της απόδειξης του Cantor, θεωρεί μια άπειρη ακολουθία του τύπου (x 1,x 2,x 3,...) όπου κάθε στοιχείο x i είναι είτε 0 ή 1. Θεωρώντας μια λίστα από κάποιες από τις ακολουθίες, έχουμε: s 1 =(0,0,0,0,0,0,0,...) s 2 =(1,1,1,1,1,1,1,...) s 3 =(0,1,0,1,0,1,0,...) s 4 =(1,0,1,0,1,0,1,...) s 5 =(1,1,0,1,0,1,1,...) s 6 =(0,0,1,1,0,1,1,...) s 7 =(1,0,0,0,1,0,0,...)... Γενικά θα γράφεται: s n =(s n,1,s n,2,s n,3,s n,4,...). Το οποίο λέει ότι το s n,m είναι το m στοιχείο της n ακολουθίας της λίστας. Έτσι κατασκευάζουμε μια ακολουθία s 0 με στοιχεία των ακολουθιών της λίστας ως εξής: To 1ο στοιχείο της s 0 είναι διαφορετικό από το 1ο στοιχείο της 1ης ακολουθίας στη λίστα. Και γενικά το n στοιχείο της s 0 είναι διαφορετικό από το n στοιχείο της n ακολουθίας στη λίστα. Έτσι: s 1 =(0,0,0,0,0,0,0,...) s 2 =(1,1,1,1,1,1,1,...) s 3 =(0,1,0,1,0,1,0,...) s 4 =(1,0,1,0,1,0,1,...) s 5 =(1,1,0,1,0,1,1,...) s 6 =(0,0,1,1,0,1,1,...) s 7 =(1,0,0,0,1,0,0,...)... Και δημιουργείται η ακολουθία s 0 : s 0 =(1,0,1,1,1,0,1,...). Τα στοιχεία s 1,1,s 2,2, που είναι υπογραμμισμένα δείχνουν την προέλευση του ονόματος «Διαγώνιο Επιχείρημα». Έστω Τ={s 1,s 2,s 3,,s n, }. Η καινούργια ακολουθία s 0 είναι ξεχωριστή από τις άλλες ακολουθίες στη λίστα.αυτό συνεπάγεται ότι το σύνολο Τ περιέχεται από όλες τις άπειρες ακολουθίες του 0 και του 1. Αυτές οι ακολουθίες δεν μπορούν να μπουν σε μια λίστα s 1, s 2, Το Τ περιέχει όλες τις ακολουθίες, άρα πρέπει να περιέχει και την s 0. Αλλά το s 0 δεν εμφανίζεται πουθενά στη λίστα, άρα το Τ δεν περιέχει το s 0. Το Τ δεν μπορεί να τοποθετηθεί σε 1-1 αντιστοιχία με τους Φυσικούς αριθμούς. Άρα είναι μη αριθμήσιμο. Πορίσαματα του Θεωρήματος της Διαγωνιοποίησης Το σύνολο των Πραγματικών είναι μεγαλύτερο από το σύνολο των Φυσικών αριθμών. Το σύνολο των Πραγματικών δεν είναι αριθμήσιμο. Το ανοικτό διάστημα (0,1) δεν είναι αριθμήσιμο. Τα Σύνολα των Φυσικών, των Ακεραίων και των Ρητών είναι αριθμήσιμα. Οι άπειρες ακολουθίες δεν είναι αριθμήσιμες. Αν τα Α 1,..Α n είναι αριθμήσιμα τότε και το Καρτεσιανό Γινόμενο τους είναι αριθμήσιμο. Θεώρημα Για κάθε ακολουθία Α 0,Α 1, αριθμήσιμων συνόλων, η ένωση A=A 0 A 1 είναι επίσης αριθμήσιμο σύνολο. Παράδειγμα Το σύνολο των Ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμο γιατί γράφεται στη μορφή: Q= Z(1/n), n Z. 18

20 Ο Cantor απέδειξε ότι τα μέλη του συνόλου των ακεραίων και του συνόλου των κλασμάτων αντιστοιχίζονται ένα προς ένα χωρίς να περισσεύει κανένα. Θετικοί Ρητοί Q+={1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1,1/4, }. Θετικοί Ρητοί Q+={1/1,1/1,1/2,2/1,2/2,1/3,3/1,2/3,3/2,3/3,1/4,4/4, }. Στην πρώτη ακολουθία, εμφανίζονται πρώτα τα κλάσματα με αριθμητή και παρανομαστή ίσο με 2, μετά τα κλάσματα με αριθμητή και παρανομαστή ίσο με 3 και έτσι συνεχίζουμε. Ένα κλάσμα p/q θα εμφανιστεί όταν απαριθμούμε τα κλάσματα με αριθμητή και παρανομαστή ίσο με p+q. Στη δεύτερη ακολουθία, κάθε κλάσμα p/q ακολουθείται από το αντίστροφο του q/p. Παρατηρούμε ότι τα κλάσματα στις περιττές θέσεις, έχουν αριθμητή μικρότερο ή ίσο με τον παρανομαστή και ότι πρώτα είναι όλα τα κλάσματα με παρανομαστή 1 και μετά όλα τα κλάσματα με παρανομαστή 2, κτλ. Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι αν τροποποιήσουμε τις παραπάνω ακολουθίες, τότε θα περιέχουν και τους αρνητικούς ρητούς. Άρα το σύνολο των ρητών είναι αριθμήσιμο Πράξεις των Συνόλων Μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων και των μεταξύ τους σχέσεων γίνεται με τα διαγράμματα Venn. Οι πράξεις (θα τις συναντήσετε αργότερα και ως «διμελείς σχέσεις») στην Άλγεβρα των Συνόλων είναι δυο. Η ένωση και η τομή. Για δύο σύνολα A και B ορίζονται. Ορισμός Βασικό ή Καθολικό Σύνολο U (Universal Set) καλείται το σύνολο στο οποίο ανήκει ένα πλήθος υποσυνόλων τα οποία είναι παράγοντες στις πράξεις της άλγεβρας των συνόλων. Έστω U={1,2,3,...,10} ένα βασικό σύνολο (Universal) και δύο υποσύνολά του: Α={1,2,3,4} και Β={3,4,5,6}. Το σύνολο {1,2,3,4,5,6}, που έχει ως στοιχεία τα κοινά και τα μη κοινά στοιχεία των Α και Β, δηλαδή το σύνολο των στοιχείων του U που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα Α και Β λέγεται «ένωση των συνόλων» Α και Β. Ορισμός Η Ένωση συνόλων ( ):A B={x x A x B}. Το αποτέλεσμα της πράξης είναι ένα νέο σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του Α και του Β. 19

21 Σχήμα Αναπαράσταση Venn της πράξης της ένωσης δυο συνόλων. A B Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου U λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με A B. Το σύνολο {3,4} που έχει ως στοιχεία τα κοινά μόνο στοιχεία των Α και Β λέγεται τομή των Α και Β. Ορισμός Η τομή συνόλων ( ):A B={x x A x B}. Η πράξη της τομής παράγει ένα σύνολο που περιέχει μόνο τα στοιχεία των δύο συνόλων που είναι κοινά σε αυτά. Σχήμα Αναπαράσταση Venn της πράξης της τομής δυο συνόλων. Α Β Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με Α Β. Στην περίπτωση που δύο σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή όταν Α Β=0, τα δύο σύνολα λέγονται ξένα μεταξύ τους. Το συμπλήρωμα συνόλου (. c ):A c ={x x A}. Το συμπλήρωμα ενός συνόλου Α, είναι ένα σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του καθολικού συνόλου του Α που δεν ανήκουν στο Α. 20

22 Το σύνολο {5,6,7,8,9,10} που έχει ως στοιχεία τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α, λέγεται συμπλήρωμα του συνόλου Α. Ορισμός Η διαφορά συνόλων ( ):B A={x x B x A} είναι το σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία του Β, που δεν ανήκουν όμως στο Α. Προφανώς, αν το Β είναι το καθολικό σύνολο του Α, τότε το Β-Α είναι το συμπλήρωμα του Α. Ένας άλλος τρόπος να εκφραστεί το Β-Α, είναι με χρήση της τομής και του συμπληρώματος: Β-Α=B A c. Σχήμα Η χρωματισμένη περιοχή είναι η διαφορά συνόλων B A. Ορισμός Η συμμετρική διαφορά δύο συνόλων Α και Β συμβολίζεται με Α Β και είναι το σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο Α ή στο Β αλλά όχι και στα δύο. Σχήμα Η χρωματισμένη περιοχή είναι η συμμετρική διαφορά Α Β των συνόλων Α και Β. Η τομή περισσότερων συνόλων επιτρέπει την εποπτική διαχείρισή της με τη χρήση των διαγραμμάτων Venn. Αυτό είναι εφικτό όταν ο αριθμός των όρων (συνόλων) που εμπλέκονται στην τομή δεν είναι εξαιρετικά μεγάλος. Στο Σχήμα φαίνεται η περίπτωση τεσσάρων συνόλων και των κοινών περιοχών τους. Οι 21

23 κοινές περιοχές αντιστοιχούν στην τομή των συνόλων είτε αυτές αντιστοιχούν σε δύο σύνολα, είτε σε τρία ή τέσσερα. Σχήμα Διάγραμμα Venn της τομής τεσσάρων συνόλων Α, Β, Γ και Δ. Δεν είναι όμως το ίδιο εύκολο να εκφραστεί το διάγραμμα Venn για περισσότερα σύνολα. Στο Σχήμα γίνεται μια προσπάθεια να περιγραφεί το σύνολο των 64 δυνατών συνδυασμών τομής των συνόλων ανά 1, 2, 3, 4, 5 και 6 Ο αριθμός 64 προκύπτει από το άθροισμα των συνδυασμών = Η σχεδίαση του διαγράμματος έχει καταστεί εξαιρετικά δύσκολη. Σχήμα Διάγραμμα Venn της τομής 6 συνόλων. 22

24 1.3. Άλγεβρα Συνόλων Το σύνολο περιγράφεται δια των στοιχείων του. Συνήθως τα στοιχεία ενός συνόλου είναι ομοειδή, αλλά αυτό δεν είναι απαίτηση, καθώς είναι δυνατό σε ένα σύνολο να περιλαμβάνονται και μη ομοειδή στοιχεία. Για παράδειγμα το σύνολο της γραφικής ύλης που βρίσκεται στο γραφείο σας μπορεί να αποτελείται από διαφορετικά ήδη (στυλό, τετράδια, συνδετήρες κ.λπ.). Στη βιβλιογραφία η αναφορά σε ένα σύνολο γίνεται με δυο τρόπους. Με αναφορά των στοιχείων μέσα σε μύστακες ({}), όπως για παράδειγμα: {1,2,3,4}. Με περιγραφή των στοιχείων του συνόλου μέσα σε μύστακες όπως για παράδειγμα: {2x x n}. Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους: 1. Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα με το κόμμα. Έτσι π.χ., αν το σύνολο Α έχει ως στοιχεία τους αριθμούς 2, 4 και 6, γράφουμε Α={2,4,6}. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε έναν παρόμοιο συμβολισμό και για σύνολα που έχουν πολλά ή άπειρα στοιχεία, γράφοντας μερικά μόνο από αυτά και αποσιωπώντας τα υπόλοιπα, αρκεί να είναι σαφές ποια είναι αυτά που παραλείπονται. Έτσι για παράδειγμα το σύνολο Β των ακεραίων από το 1 μέχρι το 100 συμβολίζεται ως εξής: Β={1,2,3,...,100},ενώ το σύνολο των κλασμάτων της μορφής, όπου ν θετικός ακέραιος, συμβολίζεται ως εξής: Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου με αναγραφή των στοιχείων του». 2. Αν από το σύνολο των πραγματικών αριθμών επιλέξουμε εκείνους που έχουν την ιδιότητα να είναι θετικοί, τότε φτιάχνουμε το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με: {x R x>0} και διαβάζεται «Το σύνολο των x R, όπου x>0». Ομοίως το σύνολο των άρτιων ακεραίων συμβολίζεται: {x Z x άρτιος}. Γενικά, αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι, τότε φτιάχνουμε ένα νέο σύνολο που συμβολίζεται με {x Ω x έχει την ιδιότητα Ι} και διαβάζεται «Το σύνολο των x D, όπου x έχει την ιδιότητα Ι». Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου με περιγραφή των στοιχείων του». Ας θεωρήσουμε τα σύνολα Α={1,2,3,...,15}.και Β={1,2,3,...,100}. Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το Α είναι υποσύνολο του Β. Ορισμός Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Υποσύνολο ενός συνόλου είναι επίσης σύνολο. Για τα σύνολα Α και Β, η παράσταση A B σημαίνει ότι για όλα τα x A, θα ισχύει ότι x B. Αυτό σημαίνει ότι το Α είναι υποσύνολο του Β. Με άλλα λόγια ένα σύνολο Α είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β όταν όλα τα στοιχεία του Α είναι και στοιχεία του Β. Στο Σχήμα το διάγραμμα του Venn, αποδίδει τη σχέση των συνόλων. 23

25 Σχήμα Διάγραμμα στο οποίο φαίνεται ότι τα στοιχεία του συνόλου Β ανήκουν στο σύνολο A. Αν Α Β, τότε το Β παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό της κλειστής καμπύλης που παριστάνει το Α. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε Α Β. Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι: Α Α, για κάθε σύνολο Α. Αν Α Β και Β Γ, τότε Α Γ. Αν Α Β και Β Α, τότε Α=Β. Θα λέμε ότι A B ανν (A B) (A B). Μετά από αυτά, η έκφραση {2x x n} σημαίνει ότι πρόκειται για το σύνολο όλων των αριθμών της μορφής 2x τέτοιοι ώστε το x είναι στοιχείο των Φυσικών Αριθμών. Το ίδιο σύνολο μπορεί να παρασταθεί με αναφορά των στοιχείων {0,2,4,6,...}, όπου τα αποσιωπητικά ερμηνεύονται ότι τα στοιχεία συνεχίζουν να εμφανίζονται δίχως άνω φράγμα. Κάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται «Βασικό ή Καθολικό Σύνολο» και συμβολίζεται με U. Για παράδειγμα, τα σύνολα R, Z και Q, είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου U=R. Το σύνολο που συμβολίζεται (Ø) είναι το σύνολο που στερείται στοιχείων, το «κενό σύνολο». Συμβολίζεται και με τους μύστακες. Οι συμβολισμοί Ø, {0}, and 0 δεν αποδίδουν τις ίδιες έννοιες. Ας αναζητήσουμε τα στοιχεία του συνόλου Α={x R x 2 =-1}. Είναι φανερό ότι τέτοια στοιχεία δεν υπάρχουν, αφού η εξίσωση x 2 =-1 είναι αδύνατη στο R. Το σύνολο αυτό, που δεν έχει κανένα στοιχείο, λέγεται «κενό σύνολο» και συμβολίζεται με Ø ή { }. Ορισμός Κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία. Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. Οι πρώτοι αφορούν σύνολα (το κενό και το μονοσύνολο που περιλαμβάνει το στοιχείο 0), ενώ ο τρίτος είναι ένα στοιχείο και δεν είναι σύνολο. Τα πλέον συνηθισμένα σύνολα που συναντούμε στα μαθηματικά κείμενα είναι: 24

26 Z={0,1,-1,2,-2,...} (το σύνολο των ακεραίων αριθμών). N={0,1,2,3,...} (το σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων). Z + ={1,2,3,...} (το σύνολο των θετικών ακεραίων). Q={a/b a,b Z b 0} (το σύνολο των ρητών αριθμών). R το σύνολο των πραγματικών αριθμών. C το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Νόμοι της Άλγεβρας των Συνόλων (A c ) c =A Νόμος της ενέλιξης. (A B) c =A c B c (A B) c =A c B c A B=B A A B=B A A (B C)=(A B)) C. A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) (A C). A (B C)=(A B) (A C) A A=A. A A=A A Ø=A. A U=A A A=U. A A=Ø A U=U. A Ø=Ø A (A B)=A. A (A B)=A Νόμοι De Morgan. Νόμοι αντιμετάθεσης. Προσεταιριστικοί νόμοι. Επιμεριστικοί νόμοι. Νόμοι του ταυτοδύναμου. Ταυτοτικοί νόμοι. Νόμοι του συμπληρώματος. Νόμοι της επικράτησης. Νόμοι της Απορρόφησης Ισότητα των Συνόλων Ας θεωρήσουμε τώρα τα σύνολα: Α={1,2} και B={x R (x-1)(x-2)=0}. Επειδή οι λύσεις της εξίσωσης (x-1)(x-2)=0 είναι οι αριθμοί 1 και 2, το σύνολο Β έχει τα ίδια ακριβώς στοιχεία με το Α. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι τα σύνολα Α και Β είναι ίσα. Ορισμός Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα σύνολα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Με άλλα λόγια: «Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α». Στην περίπτωση αυτή γράφουμε A=B. Η ισότητα συνόλων αποδεικνύεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους. Οι δυο πρώτοι ακολουθούν την ίδια μεθοδολογία που ακολουθείται και για την απόδειξη ισότητας στην άλγεβρα Boole. 25

27 Με χρήση των νόμων της Άλγεβρας των Συνόλων. Με χρήση πινάκων λειτουργίας. Ιδιότητες των διμελών σχέσεων στην Άλγεβρα των συνόλων. Παράδειγμα Θα δείξουμε ότι A=(A B) (A B). Απόδειξη Για κάθε ζεύγος συνόλων Α και Β, ισχύει: (A B) (A B) =(A B c ) (A B), Εκ του ορισμού της διαφοράς. =A (B c B), Επιμεριστικός νόμος. =A U, Νόμος του αντιστρόφου. =A, Ταυτοτικός Νόμος. Άλλος τρόπος για να δείξουμε ότι δυο σύνολα είναι ίσα είναι με τη βοήθεια πίνακα στον οποίο παρουσιάζεται το αποτέλεσμα της πράξης (ή των πράξεων) για κάθε ζεύγος στοιχείων, που λαμβάνονται από το πρώτο και το δεύτερο σύνολο αντίστοιχα. Γενικεύοντας, και επειδή η ισότητα σημαίνει ότι αν x A x B, για ένα οποιοδήποτε στοιχείο, τότε η αμφίδρομη αυτή σχέση θα οδηγήσει στη σύγκριση των τιμών του πίνακα. Η ισότητα A=(A B) (A B) μα οδηγεί να συγκρίνουμε τις στήλες, που δημιουργούνται στα δύο μέλη. Πίνακας Πίνακας λειτουργίας. A B A-B A B (A B) (A B) Τέλος, ένας τρίτος τρόπος για να δείξουμε ότι δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα στηρίζεται στην ταυτόχρονη απόδειξη A B και B A. Η παρουσίαση αυτής τα τρίτης μεθόδου θα γίνει επί του παραδείγματος A=(A-B) (A B). Μέρος 1: Δείξτε ότι A B(A-B) (A B). Έστω ένα στοιχείο x A. Πρέπει να δείξουμε ότι x (A-B) (A B). Υποθέτουμε ότι x B. Εξ ορισμού, γνωρίζουμε ότι x (A B), και συνεπώς πρέπει να ανήκει και στο (A-B) (A B), επειδή το (A-B) είναι υποσύνολο του (A-B) (A B). Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση όταν x B. Σε αυτή την περίπτωση, εξ ορισμού είναι γνωστό ότι x A B από όπου συνεπάγεται ότι x (A-B) (A B), που δείχνει ότι ισχύει το πρώτο μέρος. Μέρος 2: Θα δείξουμε ότι (A-B) (A B) A. Είναι αρκετό να δειχτεί ότι ((A-B) A) και ((A B) A). Για να ισχύει ότι x (A-B) πρέπει το x A, που δείχνει το 1ο μέρος. Επιπλέον, μια απαίτηση για να ισχύει ότι x (A -B) είναι να ισχύει ότι x A, που ολοκληρώνει την απόδειξη του 2ου μέρους. Δείχτηκε λοιπόν ότι (A-B) (A B) A Ασαφή Σύνολα Όταν τα χαρακτηριστικά των στοιχείων ενός συνόλου είναι ποιοτικά, δύσκολα μπορούμε να αποφασίσουμε αν ένα έκαστο εξ αυτών ανήκει στο σύνολο. Για παράδειγμα χαρακτηριστικά όπως «ψηλός» «έξυπνος», «ταχύς», που ορίζουν ποιοτικά έναν άνθρωπο, επιτρέπουν υποκειμενική απόφαση περί της ένταξης ενός συγκεκριμένου ανθρώπου στα σύνολα των ψηλών, των έξυπνων ή των ταχέων ανθρώπων. Είναι προφανές ότι 26

28 η έννοια του κλασικού συνόλου, όπως την ορίσαμε μέχρι τώρα, δεν εξυπηρετεί καθώς εδώ διακρίνεται ασάφεια ως προς την έννοια του «ανήκειν». Για να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα αυτό, αναπτύχθηκε μια νέα περιοχή στη Θεωρία Συνόλων και στην Τοπολογία. Πρόκειται για την θεωρία των ασαφών συνόλων, που έκανε την εμφάνισή της το Η βασική ιδέα για τον ορισμό των Ασαφών Συνόλων από τον Lotfi Aliaskerzadeh (L.Zadech), υπήρξε η γενίκευση της συνάρτησης συμμετοχής ενός συνόλου. Ως γνωστόν κάθε στοιχείο Χ ενός κλασικού (μη ασαφούς) συνόλου Α μπορεί να εκφραστεί με τη συνάρτηση συμμετοχής I x :A {0,1}. Πράγματι, αν ορίσουμε το σύνολο {0,1} A ={f/f:a {0,1}} τότε η δομή Ρ(Α)= Ρ(Α),,, c,f είναι ισόμορφη με τη δομή I(A)= {0,1} Α,max(.,.),min(.,.),,0,1 X όπου max(.,.) και min(.,.) είναι σχέσεις μεταξύ φραγμένων συναρτήσεων. Επίσης με 0 και 1 στη δομή Ι(Α) συμβολίζουμε τις αντίστοιχες σταθερές συναρτήσεις ελπίζοντας πως δε δημιουργείται σύγχυση. Τέλος η μονομελής πράξη " " ορίζεται ως εξής: f:=1-f. Στα ασαφή σύνολα ένα στοιχείο συμμετέχει στο σύνολο με έναν βαθμό - τιμή που ανήκει στο διάστημα [0,1] και καλείται βαθμός συμμετοχής. Ο βαθμός συμμετοχής του κάθε στοιχείου x στο σύνολο δίνεται από τη συνάρτηση συμμετοχής f Α [0,1]. Αν U είναι ο χώρος των στοιχείων x, τότε ένα ασαφές σύνολο Α ορίζεται στον U σαν ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών Α={x,f(x)/x U}, όπου f(x) [0,1]. Ανάλογα με το αν το πεδίο ορισμού U αποτελείται από διακριτά στοιχεία ή είναι ένας συνεχής χώρος, τότε τα ασαφή σύνολα διακρίνονται σε διακριτά και συνεχή αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι η τιμή της συνάρτησης συμμετοχής ενός υποσυνόλου Χ του Α για κάθε στοιχείο x του Α εκφράζει τον βαθμό (0 ή 1) με τον οποίο το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο Α. Γενικεύοντας τώρα, ορίζουμε ως «Ασαφές Υποσύνολο» του Α κάθε συνάρτηση f Α [0,1], όπου η τιμή f(x) για κάθε στοιχείο x του Α δηλώνει τον βαθμό (degree) με τον οποίο το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο f. Ο όρος «ασαφές» δικαιολογείται ως εξής: Αν για κάποιο στοιχείο x είναι 0<f(x)<1, τότε δεν είναι ξεκάθαρο αν το x ανήκει ή δεν ανήκει στο f. Το σύμβολο [0,1] Α στο εξής θα παριστάνει το σύνολο των παραπάνω συναρτήσεων (ασαφών υποσυνόλων του Α). Οι πράξεις μεταξύ των ασαφών συνόλων ορίζονται με τη βοήθεια των αντίστοιχων συναρτήσεων, όπως ακριβώς στη δομή Ι(Α). Για τον ορισμό της πράξης της «τομής» μεταξύ ασαφών συνόλων μπορεί να χρησιμοποιηθεί μία συνάρτηση (διμελής πράξη στο [0,1]): Τ:[0,1] [0,1] [0,1] που ικανοποιεί τις ιδιότητες: Τ(x,1)=x, x [0,1] Τ(x,y) T(z,w), x z y w Τ(x,y) T(y,x), x,y [0,1] Τ(x,T(y,z))=T(T(x,y),z),x,y,z [0,1]. Μία τέτοια συνάρτηση Τ λέγεται t-norm. Σε κάθε t-norm αντιστοιχεί μία συνάρτηση, η οποία ορίζεται από τη σχέση: S(x,y)=1-T(1-x,1-y)y) και λέγεται t-conorm. Για τον ορισμό της πράξης της «ένωσης» μεταξύ δύο ασαφών συνόλων που αντιστοιχεί σε μία «τομή» χρησιμοποιείται η αντίστοιχη t-conorm. Τελικά οδηγούμαστε στη δομή F(A)= [0,1] A,S(.,.),T(.,.), c,0,1 που είναι η δομή των ασαφών υποσυνόλων του A. Εννοείται ότι μπορούμε να ορίσουμε πολλές «τομές» και «ενώσεις» μεταξύ των ασαφών συνόλων. Θεωρητικά μπορούμε να ορίσουμε τόσες «τομές» και «ενώσεις», όσες είναι οι t-norms και οι αντίστοιχες t-conorms. Πράγματι στη θεωρία ασαφών συνόλων βλέπουμε να ορίζονται πολλές τέτοιες πράξεις με ιδιαίτερη ονομασία η κάθε μία. Παρατηρούμε ότι ο περιορισμός όλων των t-norms στο {0,1} είναι η πράξη min(.,.), ενώ ο περιορισμός των t-conorms είναι η πράξη max(.,.). Επίσης παρατηρούμε πως το σύνολο των ασαφών υποσυνόλων του Χ είναι επέκταση του δυναμοσυνόλου του Χ. Έτσι ο περιορισμός όλων των «τομών» των ασαφών συνόλων στα κλασικά (crisps) σύνολα είναι η γνωστή πράξη της τομής μεταξύ των κλασικών συνόλων και ο περιορισμός όλων των «ενώσεων» των ασαφών συνόλων στα κλασικά σύνολα είναι η γνωστή πράξη της ένωσης μεταξύ των κλασικών συνόλων. Οι δυο βασικές πράξεις της άλγεβρας συνόλων που ορίστηκαν όπως παρακάτω: A B={x x A x B} A B={x x A x B} A c ={x x A}. 27

29 Μπορούν να εκφραστούν με ανάλογο τρόπο λαμβάνοντας υπόψη τις συναρτήσεις συμμετοχής των Α και Β: Ορισμός Ασαφής ένωση καλείται η ένωση δύο ασαφών συνόλων Α και Β είναι ένα ασαφές σύνολο το οποίο συμβολίζεται με C=A B. Η συνάρτηση συμμετοχής του C προκύπτει από τις συναρτήσεις συμμετοχής των Α και Β ως εξής: f c (x)=max(f A (x),f B (x))=f A (x) f B (x), x, U. Ορισμός Ασαφής Τομή καλείται η τομή δύο ασαφών συνόλων Α και Β είναι ένα ασαφές σύνολο το οποίο συμβολίζεται με C=A B.Η συνάρτηση συμμετοχής του C προκύπτει από τις συναρτήσεις συμμετοχής των Α και Β ως εξής: f c (x)=min(f A (x),f B (x))=f A (x) f B (x) x, U Ορισμός Ισχύει ότι f A C(x)=1-f A (x) x A. Τέλος, αναφέρεται η πράξη της ασαφούς διχοτόμησης, η οποία ορίζεται ως εξής: Ορισμός Ασαφής Διχοτόμηση είναι μια συνάρτηση t:[0,1] [0,1] [0,1] η οποία λαμβάνει ως είσοδο τις συναρτήσεις συμμετοχής των ασαφών συνόλων A και Β και επιστρέφει ως έξοδο τη συνάρτηση συμμετοχής της τομής των Α και Β, δηλαδή t[f A (x),f B (x)]=f A B (x). Στην περίπτωση της ασαφούς τομής, ισχύει f C (x)=max(f AB (x),f B (x))=min(f AB (x),f B (x)). Πρόκειται λοιπόν για ένα τελεστή (δηλαδή μια απεικόνιση συναρτησιακών χώρων σε συναρτησιακούς χώρους), που εκτός από τον ορισμό με χρήση της min norm, συναντάται στη βιβλιογραφία και με τρεις άλλους ορισμούς, όπως: Αλγεβρικού γινομένου: t[f A (x),f B (x)]=f A (x)f B (x). f όταν f = 1) A B Δραστικού γινομένου : tf [ ( x) ) f ( x) ] = f όταν f = 1) A B B Α 0 στις λοιπ ές περιπτ ώσεις Γινόμενου του Einstein: t[f A (x),f B (x)]=(f A (x)f Β (x))/(2-(f A (x)+f Β (x)-f A (x)f Β (x)) Μορφές Συναρτήσεων Συμμετοχής Η γενική μορφή των συναρτήσεων συμμετοχής είναι παραμετρική και έτσι δίνεται η ευκαιρία στους χρήστες να της δώσουν τη μορφή που επιθυμούν. Η πλέον χρησιμοποιούμενη συνάρτηση συμμετοχής είναι η τριγωνική. Εκτεταμένη επίσης χρήση έχει και η συνάρτηση συμμετοχής παραλληλόγραμμου, καθώς και εκείνη του τραπεζίου. Οι μορφές αυτές χρησιμοποιούνται σε πιο εξειδικευμένες μορφές προτύπων. Η τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής δίνεται από τη σχέση: ) x a x a ) a x b f( xabc ))) ) = b a c x ) b x c c b ) c x Η ίδια συνάρτηση συμμετοχής μπορεί να γραφεί και ως f(x,a,b,c)=max{min((x-a)/(b-a),(c-x)/(c-b)),0} 28

30 Σχήμα Γραφική παράσταση τριγωνικής συνάρτησης συμμετοχής. Παράδειγμα Για την αναπαράσταση του συνόλου των ενήλικων Ελλήνων ανδρών, ως προς το βάρος τους κατηγοριοποιούμε τον πληθυσμό σε τρεις υποκατηγορίες: λιποβαρείς, κανονικού βάρους και υπέρβαροι. Η κλίμακα βάρους εκτείνεται από τα 40 kgr έως τα 210 kgr. Θεωρούμε ότι η κατηγορία «λιποβαρείς» αναφέρεται σε βάρη από 40 έως 75 kgr. Έτσι, η τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής διαμορφώνεται σε: Σχήμα Τρεις τριγωνικές συναρτήσεις συμμετοχής που περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο γίνεται αντιληπτό το βάρος ενηλίκων Ελλήνων. Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι ο χώρος αναφοράς X είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων. Ένα ασαφές υποσύνολο του χώρου αυτού είναι οι ψηλοί άνθρωποι. Τα πιθανά ύψη έστω ότι κυμαίνονται από 1.20 μέχρι Η λέξη «ψηλός» μπορεί να συσχετισθεί με μια καμπύλη η οποία δείχνει κατά πόσο ένας άνθρωπος είναι ψηλός ή όχι. Αν χρησιμοποιήσουμε τις αρχές των κλασικών συνόλων, τότε για να ορίσουμε το σύνολο των ψηλών ανθρώπων θα πρέπει να ορίσουμε μια συγκεκριμένη τιμή ύψους, η οποία θα διαχωρίζει τους ανθρώπους σε ψηλούς και κοντούς. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η τιμή αυτού του ύψους είναι 1.75m. τότε ένας άνθρωπος με ύψος 1.74 θα χαρακτηρίζεται κοντός ενώ ένας άνθρωπος με ύψος 1.76 θα χαρακτηρίζεται ψηλός. Ο παραπάνω διαχωρισμός φαίνεται παράλογος αφού έχουμε αντιστοιχίσει σε δύο ανθρώπους με αμελητέα διαφορά ύψους δύο αντίθετες μεταξύ τους έννοιες. 29

31 Σχήμα Κατηγοριοποίηση με σαφή συνοριακό διαχωρισμό. Ένας άλλος τρόπος να ορίσουμε την έννοια «ψηλός» είναι μέσω μιας καμπύλης που έχει ομαλή διακύμανση και μεταβαίνει από την έννοια ψηλός στην έννοια κοντός. Αυτή η καμπύλη είναι η συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου των ψηλών ανθρώπων. Με άλλα λόγια δεχόμαστε ότι όλοι οι άνθρωποι είναι σε κάποιο βαθμό ψηλοί άλλα δεν είναι όλοι στον ίδιο βαθμό ψηλοί. Σχήμα Κατηγοριοποίηση με ασαφή συνοριακό διαχωρισμό (διακρίνεται μεταβολή του βαθμού συμμετοχής μεταξύ των δύο αναπαραστάσεων ανθρώπων). Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι υποκειμενικοί παράγοντες ενυπάρχουν στα χαρακτηριστικά της δομής ενός ασαφούς συνόλου. Η μορφή δηλαδή της καμπύλης δεν μπορεί να είναι η ίδια όταν αναφερόμαστε σε ενήλικες και ανήλικες, σε γυναίκες και άντρες κ.λπ. Η μορφή επίσης της καμπύλης επιλέγεται αυθαίρετα σύμφωνα με την αντίληψη που έχει κάθε άνθρωπος για την έννοια «ψηλός». Η μόνη προϋπόθεση που πρέπει να ικανοποιεί μια συνάρτηση συμμετοχής είναι να βρίσκεται στο διάστημα τιμών [0 1]. Το σχήμα της επιλέγεται μεν αυθαίρετα, αλλά και με τρόπο που να διασφαλίζει όσο είναι δυνατό την απλότητα. Οι απλούστερες συναρτήσεις συμμετοχής είναι αυτές που σχηματίζονται από ευθείες γραμμές. Η απλούστερη από αυτές είναι η τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής, που δεν είναι τίποτε άλλο από ένα τρίγωνο. Στην ίδια κατηγορία ανήκει και η τραπεζοειδής συνάρτηση συμμετοχής. Αυτές οι δύο συναρτήσεις εξασφαλίζουν την απαίτηση για απλότητα. Η μαθηματική έκφραση της τριγωνικής συνάρτησης συμμετοχής είναι η εξής: 30

32 ) x a ) x ) A = b a c x ) x ) c b ) ( ab) ( bc) Και σχηματικά αναπαριστάται: Σχήμα Τριγωνική Συνάρτηση Συμμετοχής. Παρακάτω δίνονται η μαθηματική έκφραση και η απεικόνιση της τραπεζοειδούς συνάρτησης συμμετοχής: x a x a ) x ( ab ) ) b a A= 1) x ( bc ) ) d x ) x ( cd ) ) d c x d Σχήμα Συνάρτηση Συμμετοχής τύπου τραπεζίου. Δύο συναρτήσεις συμμετοχής που είναι δομημένες πάνω στη μορφή της κατανομής Gauss είναι μια απλή γκαουσιανή και μια σύνθεση δύο διαφορετικών γκαουσιανών. Η γενικευμένη συνάρτηση συμμετοχής με μορφή καμπάνας έχει τρεις παραμέτρους, μία παραπάνω από την γκαουσιανή. Η γκαουσιανή και η καμπάνα 31

33 μπορούν να χρησιμοποιούνται συχνά στα ασαφή σύνολα λόγω της ομαλότητάς τους. Έχουν δε το πλεονέκτημα να διατηρούν μη μηδενικές τιμές σε όλα τα σημεία. Σχήμα Άλλες μορφές Συναρτήσεων Συμμετοχής. Παρά το γεγονός ότι η γκαουσιανή συνάρτηση συμμετοχής και η συνάρτηση καμπάνας επιτυγχάνουν ομαλή διακύμανση, δεν μπορούν να ορίσουν ασύμμετρες συναρτήσεις συμμετοχής που είναι χρήσιμες σε πολλά πρακτικά προβλήματα. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιείται η σιγμοειδής συνάρτηση συμμετοχής, η οποία είναι ασύμμετρη και ανοικτή είτε προς τα δεξιά είτε προς τα αριστερά. Κλειστές συναρτήσεις συμμετοχής αυτού του τύπου μπορούν να παραχθούν αν συνθέσουμε δύο σιγμοειδείς. Έτσι, προκύπτει η διαφορά μεταξύ δύο σιγμοειδών και το άθροισμά τους. Σχήμα Συναρτήσεις Συμετοχής τύπου Ζ, S και Π. Επίσης υπάρχουν πολλές πολυωνυμικές καμπύλες που τις χρησιμοποιούμε ως συναρτήσεις συμμετοχής. Τρεις από αυτές είναι η Ζ η S και η Π οι οποίες έχουν ονομαστεί έτσι εξαιτίας του σχήματός τους. Η Ζ είναι μια ασύμμετρη πολυωνυμική καμπύλη που είναι ανοικτή στα αριστερά, η S είναι η κατοπτρική της Z και η Π είναι μια ασύμμετρη κλειστή καμπύλη σχήματος Π. Σχήμα Άλλες Συναρτήσεις Συμετοχής. 32

34 1.8. Η Έννοια της Ασάφειας Ο Καθηγητής του Πανεπιστημίου Πατρών κ. Κων/νος Δρόσος εισάγει την ιδέα πως η μετάβαση από τα συμβατικά (κλασικά) μοντέλα της συνολοθεωρίας στα μη συμβατικά θα γινόταν με την εισαγωγή μη κλασικών αντικειμένων, όπου η λογική των σχετικών μοντέλων θα ήταν πλειότιμη. Έτσι λοιπόν η ασάφεια θα μπορούσε να εκφραστεί καλύτερα με τη βοήθεια της μη συμβατικής θεωρίας και της θεωρίας των μοντέλων του Boole. Στην ενότητα αυτή εκθέτουμε τη βασική ιδέα της προσέγγισης κατά Boole της ασάφειας. Στην Παράγραφο 1.6 είδαμε τη δομή Ι(Α), που στηρίζεται στο σύνολο {0,1} εφοδιασμένο με αλγεβρικές πράξεις, ως ισόμορφη της δομής P(Α). Αν όμως στηριχθούμε στην τετριμμένη άλγεβρα Boole 2={0,1}με τις γνωστές πράξεις και ορίσουμε τη δομή 2(Α)= {0,1} x, (.,.), (.,.), c,0,1 τότε αποδεικνύεται εύκολα ότι και oι δομές P(A) και 2(A) είναι ισόμορφες. Στη δομή 2(A) τις τιμές των χαρακτηριστικών συναρτήσεων των υποσυνόλων του A τις ερμηνεύουμε ως τιμές αλήθειας των αντίστοιχων προτάσεων, δηλ. I X (x)= x X. Αν τώρα θεωρήσουμε το σύνολο B A ={f/f:a B} όπου B μια γενικότερη άλγεβρα Boole, τότε κάθε στοιχείο (συνάρτηση) του παραπάνω συνόλου ορίζει ένα ασαφές υποσύνολο του A. Επειδή όμως οι τιμές των συναρτήσεων αυτών είναι στοιχεία μιας άλγεβρας Boole, τα ασαφή αυτά σύνολα τα λέμε «ΙΒ-ασαφή υποσύνολα του A». Οι τιμές f(x) των στοιχείων του παραπάνω συνόλου εκφράζουν τις τιμές αλήθειας των αντίστοιχων προτάσεων, δηλ. f(x)= x f. Υπενθυμίζουμε πως το σύνολο A εδώ είναι ένα κλασικό σύνολο. Αν ορίσουμε την τομή και την ένωση των B-ασαφών συνόλων με τη βοήθεια των πράξεων της άλγεβρας Boole B, όπως ακριβώς και στη δομή 2(A), τότε οδηγούμαστε στη δομή B(Α)= B x, (.,.), (.,.), c,0,1 που είναι η δομή των B-ασαφών υποσυνόλων του Χ. Το πλεονέκτημα της παραπάνω δομής είναι ότι η λογική που χρησιμοποιείται στο σχετικό μοντέλο είναι η κλασική λογική, δηλ. η λογική που στηρίζεται σε άλγεβρες Boole. Στην παραπάνω όμως δομή η κλασική λογική δεν είναι η δίτιμη, διότι οι άλγεβρες Boole που χρησιμοποιούμε είναι γενικά πλειότιμες και όχι η τεριμμένη. Ένα άλλο πλεονέκτημα της μπουλιανής περίπτωσης είναι ότι για τον ορισμό ενός ΙΒ-ασαφούς υποσυνόλου του Χ, είτε στο Χ η ισότητα ορίζεται δίτιμα (συμβατικά μοντέλα) είτε πλειότιμα (μοντέλα του Boole) δεν απαιτείται συνάρτηση με πεδίον ορισμού (dom(f)) όλο το X, αλλά μία συνάρτηση με πεδίον ορισμού ένα υποσύνολο του Χ. Στην περίπτωση αυτή η τιμή αλήθειας για τη σχέση του «ανήκειν» για κάθε στοιχείο x του Χ ορίζεται ως εξής: Αξίζει να σημειωθεί ότι μπορούμε να ορίσουμε και άλλες «τομές» και «ενώσεις» μεταξύ των B- ασαφών συνόλων οι οποίες θα στηρίζονται σε νέες πράξεις μιας άλγεβρας Boole που θα ικανοποιούν τις ιδιότητες της t-norm και της t-conorm αντίστοιχα. Ο περιορισμός των πράξεων αυτών στα κλασικά σύνολα συμπίπτει με τις γνωστές πράξεις της τομής και της ένωσης. Τέλος αναφέρουμε ότι όσα εκτέθηκαν παραπάνω αποτελούν τη βασική φιλοσοφία της έννοιας των ασαφών συνόλων. Αξίζει τον κόπο να μελετήσει κανείς και τις δύο προσεγγίσεις της ασάφειας για να δει πώς ορίζονται και πώς εφαρμόζονται σε ασαφές περιβάλλον οι συνήθεις έννοιες της συνολοθεωρίας. 33

35 Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Bollobás, B. (1979). Graph Theory: An Introductory Course. new York: Springer-Verlag. Bollobás, B. (1998). Modern Graph Theory. new York: Springer-Verlag. Borel, A. (1991). Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126 (2nd ed.). Berlin, new York: Springer-Verlag, ISBn , MR Cannon, J. J. (1969). Computers in group theory: A survey. Communications of the Association for Computing Machinery 12: 3 12, doi: / , MR Carter, n.c. (2009). Visual group theory. Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, ISBn , MR Du Sautoy, M. (2009). Θεωρία Ομάδων: ο μαθηματικός, η συμμετρία, και το τέρας (Μετάφραση: Κωνσταντίνος Σίμος), Αθήνα: Εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ, ISBn: Elwes, R. (2006). An enormous theorem: the classification of finite simple groups. Plus Magazine, Issue 41, December. Frucht, R. (1939). Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe. Compositio Mathematica 6: , ISSn X. Gorenstein, D. (1985). The Enormous Theorem. Scientific American, December, pp Harary, F. (1994). Graph Theory. Reading, MA: Addison-Wesley. Hodges, A. (1983). Alan Turing: The Enigma. new York: Simon and Shuster. Judson, T. W. (1997). Abstract Algebra: Theory and Applications. Ελεύθερα προσβάσιμο PDF με άδεια ανοικτού κώδικα GFDL. Kleiner, I., (1986). The evolution of group theory: a brief survey. Mathematics Magazine 59(4): , doi: / , ISSn X, JSTOR , MR Dubois, Didier & Prade, Henri M. (eds.) (2000). Fundamentals of fuzzy sets. The Handbooks of Fuzzy Sets Series 7, Springer. La Harpe, P. (2000). Topics in geometric group theory, Chicago: University of Chicago Press, ISBn Lin, T.Y. & Cercone, n. (eds.), (1997). Fuzzy Systems and Knowledge Discovery: Third International Conference. Boston: Kluwer Academic Publishers,, pp Livio, M. (2005). The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Simon & Schuster, ISBn Αναδεικνύει στην πράξη τη σημασία της θεωρίας ομάδων, ερμηνεύοντας πως αυτή η θεωρία δείχνει τις συμμετρίες στη φυσική καθώς και σε άλλες επιστήμες. Mumford, David (1970). Abelian varieties, Oxford University Press, ISBn , OCLC Moore, R.E. (1966). Interval Analysis. new York: Prentice-Hall. Yao, Y.Y. Combination of rough and fuzzy sets based on ζ-level sets. in: Rough Sets and Data Mining: Analysis for Imprecise Data, Zimmermann, Hans-Jürgen (2001). Fuzzy set theory and its applications (4th ed.). Boston: Kluwer Academic Publishers. Ronan M. (2006). Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBn

36 Rotman, Joseph (1994). An introduction to the theory of groups. new York: Springer-Verlag, ISBn Saaty, T. L. & Kainen, P. C. (1986). The Four-Color Problem: Assaults and Conquest. new York: Dover. Schupp, Paul, E. Lyndon, & Roger C. (2001). Combinatorial group theory. Berlin, new York: Springer- Verlag, ISBn Scott, W. R. (1987) [1964]. Group Theory, new York: Dover, ISBn Shatz, S. S. (1972). Profinite groups, arithmetic, and geometry. Princeton: Princeton University Press, ISBn , MR Trudeau, R. J. (1994). Introduction to Graph Theory. new York: Dover. Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press, ISBn , OCLC , MR Γεωργίου Δ. Α. (1994). Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά για την Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Ξάνθη: Εταιρεία Αξιοποίησης Πανεπιστημιακής Περιουσίας του Δ.Π.Θ.. Γιαννόπουλος Α., 834. (2013). *Θεωρία Ομάδων, ΕΚΠΑ.. Ανακτήθηκε 20 Οκτωβρίου Κεχαγιάς Ε., Εισαγωγή στη Θεωρία των Ομάδων, Σημειώσεις του μαθήματος, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Ανακτήθηκε 20 Οκτωβρίου Κουτσουπιάς Σημειώσεις «Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ». Μοσχοβάκης: «Συνολοθεωρία» Σημειώσεις: «Μαθηματικά για την Πληροφορική» b/l_a_algebra_arial_28b/l_a_algebra_bm_(1-54)_28b.doc

37 Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Κριτήρια Αξιολόγησης Τι ονομάζουμε ζεύγος; Ποιο είναι το αντίστροφο του ζεύγους (α,β) ταυτοτικού ή όχι; Πότε δύο ζεύγη (α,β) και (γ,δ) λέγονται ίσα; Τι ονομάζουμε καρτεσιανό γινόμενο ενός συνόλου Α επί ένα σύνολο Β; Τι ονομάζουμε διαγώνιο ενός καρτεσιανού γινομένου Α Β. Για ποια Β εχει νόημα; Δωστε παράδειγμα. Πώς ορίζεται το καρτεσιανό γινόμενο: Α Β Γ; Αναφέρατε σχετικό παράδειγμα; Αναφέρατε τρόπους αναπαράστασης του (τουλάχιστον τρεις)!! Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Από τα στοιχεία του συνόλου {1,2,3} να σχηματισθούν όλα τα δυνατά ζεύγη. Το ίδιο από τα στοιχεία του συνόλου: {α,β,#,0}. Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Να συμπληρωθούν τα δεύτερα μέλη των παρακάτω τεσσάρων ισοδυναμιών: (α,β)=(1,4) (;) (3,β)=(α,7) (;). (α,1)=(1,β) (;) (γ,δ)=(2,2) (;). Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Να αποδείξετε ότι: (x,y) A A (y,x) A A; Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Ένα σύνολο Α έχει ν στοιχεία. Πόσα στοιχεία έχει το καρτεσιανό γινόμενο A A και πόσα η διαγώνιός του; Πόσα διμελή σύνολα μπορούμε να σχηματίσουμε από τα ν στοιχεία του Α; Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Να αποδείξετε ότι : A Β=Γ Δ (Α=Γ και Β=Δ). Κριτήριο Αξιολόγησης 7 Να αποδείξετε ότι : A Β=A Γ Β=Γ Α=Ø. Κριτήριο Αξιολόγησης 8 Από τα σύνολα: Α={1,2,3} και Β={3,4} να σχηματιστούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα A Β,Β Α,A 2 =A Α,B 2 =Β Β καθώς και τα σύνολα (A Β) (Β Α) και A 2 Β 2. Επιπλέον να κατασκευαστούν τα γραφήματα και τα διαγράμματα των τεσσάρων πρώτων συνόλων. Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Από τα σύνολα Α={α,β,γ},Β={γ,δ},Γ={δ,ε,ζ} να σχηματιστούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα γινόμενα A (Β Γ),(Α Β) Γ,A (Β Γ),(Α Β) Γ καθώς και τα σύνολα (A Β) (A Γ),(A Γ) (Β Γ),(Α Β) (A Γ),(A Γ) (Β Γ). Έπειτα, με τη βοήθεια των εξαγομένων να επαληθευτεί η επιμεριστική ιδιότητα του καρτεσιανού γινομένου ως προς την ένωση και την τομή δύο συνόλων. 36

38 Κριτήριο Αξιολόγησης 10 (1) Α Γ και Β Γ Α Β Γ Γ (2) Α Γ και Β Δ Α Β Γ Δ (3) Α Β Α Β Β Β και Α Α Α Β (4) Α Β Α Α Β Β και Α Γ Β Γ. Κριτήριο Αξιολόγησης 11 Δίνονται τα σύνολα: Α={1,2,3}, Β={1,2}, Γ={1,2,3,4}. Να σχηματιστούν τα καρτεσιανά γινόμενα: Α Α Α και Α Β Γ. Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Έστω U, W ένα σύνολο και Α 1, Α 2 U και Β 1, Β 2 W. Χρησιμοποιήστε τα διαγράμματα Venn για να διαπιστώσετε ότι (Α 1 Α 2 ) (B 1 B 2 )=(Α 1 Α 2 ) (Α 1 Α 2 ). Στη συνέχεια να αποδείξετε την παραπάνω σχέση γενικά. Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Να εξετάσετε αν ισχύει ότι : αν Α 1 U 1 και Α 2 U 2, τότε (U 1 U 2 ) (Α 1 Α 2 )=[(U 1 -A 1 ) U 2 ] [U 1 (U 2 A 2 )]. Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Πόσες διαμερίσεις που κάθεμια να αποτελείται από 4 σύνολα μπορούμε να βρούμε σε ένα 7μελές σύνολο; Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Πόσες είναι όλες οι διαμερίσεις που μπορούμε να φτιάξουμε σε ένα τριμελές σύνολο; Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Να απαντήσετε αν είναι σωστή ή λάθος κάθεμια από τις προτάσεις που ακολουθούν. Τα σύνολα Α={x/x2 1=0} και Β={x/x Z* με 1 x 1} είναι ίσα (περιλαμβάνεται και οι 0+i, 0-i) 0=Ø. α {α}. Ø {α}. {α} {α,{α}}. Το σύνολο Α={Ø,1,α} έχει 6 υποσύνολα: Αν Α={x/ x >1} και Β={x/x (1,+ ) τότε Α=Β. Αν Α={0,{0},Ø,{Ø},1} και Β={1,{1},0,2,{2},Ø} τότε A B={0,1,2,{0},{1},{2},{Ø},Ø}. Αν Α={0,{0},Ø,{Ø},1} και Β={1,{1},0,2,{2},Ø} τότε A B={0,1,{Ø}}. Αν Α={0,{0},Ø,{Ø},1} και Β={1,{1},0,2,{2},Ø} τότε A B={0,{Ø}}. Αν Ω={0,{0},Ø,{Ø},1} και Α={0,1} τότε A ={{0},Ø,{Ø}}. Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Να δείξετε ότι ισχύει η ισότητα ((A B) C) c B c ) c =(B C). 37

39 Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Να δείξετε ότι: Για οποιοδήποτε σύνολο P, το P είναι υποσύνολο του P. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιοδήποτε συνόλου, αλλά το κενό σύνολο δεν είναι πάντα στοιχείο ενός οποιουδήποτε συνόλου. Το σύνολο {Ø} δεν είναι υποσύνολο του {{Ø}}, αν και είναι στοιχείο του συνόλου {{Ø}}. P Q. Κριτήριο Αξιολόγησης 19 Να σχεδιάσετε τα σύνολα: z-2+i >1 2z+3 >4 z-2+i >1 Απάντηση: Θέτω z=x+yi x+yi-2+i <1 (x-2)+(y+1)i <1 2 2 ( x 2) + ( y + 1) < 1 (x-2) 2 +(y+1) 2 <1 O γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο το (2,-1) και ρ=1. 2z+3 >4 ΙΙ) Έστω z=x+yi 2z+3 >4 2x+2yi+3 >4 2 2 (2x + 3) + (2 y ) > 4 38

40 (2x+3) 2 +(2y) 2 >16 (2x+3/2) 2 +y 2 >4 Ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία εκτός του κύκλου με Κ(-3/2,0) και ρ=2. Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης 39

41 2. Κεφάλαιο: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Σύνοψη Σε πολλές περιπτώσεις, η απαρίθμηση των στοιχείων ενός συνόλου είναι χρονοβόρα και επίπονη εργασία. Αυτό οφείλεται στην ειδική μορφή που έχουν τα στοιχεία που συνθέτουν τέτοια σύνολα. Διαχρονικά, τέτοιες δυσκολίες απαρίθμησης αποτέλεσαν πρόκληση για τα μαθηματικά. Μια διαδικασία απαρίθμησης προϋποθέτει την κατανόηση της δομής του συνόλου, τα στοιχεία του οποίου επιθυμούμε να απαριθμήσουμε. Επιπλέον, απαιτείται και μια πιο σύνθετη αναλυτική προσέγγιση στη δομή των στοιχείων αυτών. Συνήθως, τα στοιχεία των συνόλων που επιθυμούμε να απαριθμήσουμε είναι συμπλέγματα στοιχείων κάποιου συνόλου. Οι ιδιότητες των συμπλεγμάτων θα πρέπει να είναι κατανοητές και οι ιδιότητές τους καλώς ορισμένες. Η θεωρία συνόλων υπήρξε η βάση από την οποία ξεκινά η ανάπτυξη της Συνδυαστικής και των μεθόδων της για τον υπολογισμό του πληθικού αριθμού τέτοιων συνόλων. Η Συνδυαστική είναι η περιοχή των μαθηματικών που ασχολείται με την ανάπτυξη τεχνικών απαρίθμησης συμπλεγμάτων. Για τον λόγο αυτό, συχνά αναφέρεται και ως «Συμπλεκτική». Συμπλέγματα είναι οικογένειες συνόλων (συνήθως πεπερασμένες) με συγκεκριμένες χαρακτηριστικές δομές στα στοιχεία ή τα υποσύνολά τους. Οι μέθοδοι της Συνδυαστικής επιτρέπουν την ταχεία απαρίθμηση των στοιχείων τέτοιων συμπλεγμάτων. Ο όρος «απαρίθμηση των στοιχείων ενός συμπλέγματος», που χρησιμοποιούμε στο παρόν κείμενο, αναφέρεται σε αρκετές βασικές δομές συμπλεγμάτων, όπως εκείνη της απαρίθμησης όλων των δυνατών συνδυασμών n στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου που αποτελείται από μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων από το n. Συνεπώς, είναι δύσκολο να αναφέρουμε σ αυτή τη σελίδα όλα τα θέματα που μπορεί να αντιμετωπίσει κάποιος στην πρώτη του προσέγγιση στη Συνδυαστική. Επίσης, επειδή το θέμα είναι εξαιρετικά χρήσιμο, η Συνδυαστική αποτελεί προαπαιτούμενη γνώση για την κατανόηση της Στοιχειώδους Θεωρίας Πιθανοτήτων, της Στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών και της Θεωρίας Γραφημάτων. Για τη Θεωρία Πιθανοτήτων η χρησιμότητα της Συνδυαστικής εντοπίζεται κυρίως στην απαρίθμηση των στοιχείων των πεπερασμένων δειγματικών χώρων. Αυτό οφείλεται στην ειδική μορφή που έχουν τα στοιχεία που συνθέτουν τέτοια σύνολα. Τέτοιες δυσκολίες απαρίθμησης αποτέλεσαν πρόκληση για τα μαθηματικά, που σύντομα ανάπτυξαν μεθόδους υπολογισμού του αριθμού των στοιχείων τέτοιων συνόλων. Η Συνδυαστική περιλαμβάνει τις ταξινομημένες αυτές μεθόδους. Έτσι, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο αποτελεσματικών μεθόδων τεχνικών απαρίθμησης. Στη Συνδυαστική περιλαμβάνονται και πλέον πολύπλοκες μέθοδοι αρίθμησης συνόλων. Για παράδειγμα, οι δείκτες ακολουθιών συνόλων συχνά απεικονίζονται σε σειρές δυνάμεων που μορφοποιούν έτσι τις γεννήτριες συναρτήσεις, οι οποίες μπορούν μετά να αναλυθούν χρησιμοποιώντας τεχνικές της Μαθηματικής Ανάλυσης. Καθώς πολλές μέθοδοι απαρίθμησης περιλαμβάνουν διωνυμικούς συντελεστές, δεν εκπλήσσεται κανείς από την εμφάνιση της υπεργεωμετρικής συνάρτησης. Σε μερικές περιπτώσεις η αρίθμηση είναι ασυμπτωτική, όπως για παράδειγμα είναι οι εκτιμήσεις για το πλήθος των διαμερισμών ενός ακεραίου. Σε αρκετές περιπτώσεις η αρίθμηση μπορεί να γίνει με έναν καθαρά συνθετικό τρόπο, χρησιμοποιώντας «στοιχειώδη λογισμό». Συνδυαστικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό των συντελεστών χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό ταυτοτήτων μεταξύ συναρτήσεων, ειδικά μεταξύ απείρων αθροισμάτων ή γινομένων όπως οι γνωστές ταυτότητες Ramanujan. Μια περιοχή της Συνδυαστικής, που δεν εντάσσεται όμως στην περιοχή των τεχνικών απαρίθμησης, είναι η μελέτη των μορφών σχεδίασης, δηλαδή συνόλων και των υποσυνόλων τους διατεταγμένων σε πολύ συμμετρικές ή ασύμμετρες μορφές. Από αυτές, ίσως τα πιο γνωστά είναι τα λατινικά τετράγωνα (διατάξεις στοιχείων σε ορθογώνιο πίνακα χωρίς επαναλήψεις σε σειρές ή στήλες). Επίσης γνωστό είναι το επίπεδο Fano (επτά σημεία που ανήκουν σε επτά «ευθείες», κάθε μία με τρία σημεία), που υποδεικνύει τη σχέση με πεπερασμένες γεωμετρίες. (Με κατάλληλη αξιωματική θεμελίωση, αυτά τείνουν να έχουν τη μορφή γεωμετριών υπέρ πεπερασμένων πεδίων, αν και τα πεπερασμένα επίπεδα είναι πιο ευέλικτα.) Τα μητροειδή (matroids) μπορούν να εξεταστούν ως γενικευμένες γεωμετρίες και γι αυτό συμπεριλαμβάνονται επίσης στη Συνδυαστική. Ας σημειωθεί ότι τα γραφήματα είναι μορφές αποτελούμενες από σύνολο σημείων και σύνολο ακμών που συνδέουν ζεύγη σημείων, και σε ό,τι αφορά τη Συνδυαστική συμπεριλαμβάνονται μόνο τα κανονικά γραφήματα, όπως τα πλήρη, τα γραφήματα Kuratovsky κ.ά. 40

42 Προαπαιτούμενη Γνώση Άλγεβρα Πινάκων, Στοιχειώδης θεωρία συνόλων, Άλγεβρα συνόλων. 2. Συμπλέγματα Σε πολλές περιπτώσεις, η απαρίθμηση των στοιχείων ενός συνόλου είναι χρονοβόρα και επίπονη εργασία. Αυτό οφείλεται στην ειδική μορφή που έχουν τα στοιχεία που συνθέτουν τέτοια σύνολα. Τέτοιες δυσκολίες απαρίθμησης αποτέλεσαν πρόκληση για τα μαθηματικά, που σύντομα ανέπτυξαν μεθόδους υπολογισμού του πληθικού αριθμού τέτοιων συνόλων. Η Συμπλεκτική ή Συνδυαστική περιλαμβάνει τις ταξινομημένες αυτές μεθόδους. Έτσι, η Συνδυαστική μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο αποτελεσματικών μεθόδων τεχνικών απαρίθμησης Γενικά περί Συμπλεγμάτων Ορισμός Μια συλλογή στοιχείων που σχηματίστηκε με έναν συγκεκριμένο τρόπο καλείται σύμπλεγμα. Μια µάλλον προφανής πρόταση, η οποία είναι γνωστή ως η βασική αρχή της απαρίθµησης, προκύπτει από μια διαδικασία η οποία μπορεί να χωριστεί σε δυο διακριτές φάσεις, έτσι ώστε η πρώτη φάση να είναι εφικτή με m τρόπους, ενώ η δεύτερη φάση να πραγματοποιείται με n τρόπους, τότε η διαδικασία αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με m n τρόπους. Έστω τώρα ότι ένα έργο µπορεί να ολοκληρωθεί σε n στάδια. Υπάρχουν m 1 τρόποι να υλοποιηθεί το πρώτο στάδιο. Για καθέναν από αυτούς τους m 1 τρόπους υπάρχουν m 2 τρόποι να εκτελέσουµε το δεύτερο στάδιο. Για καθέναν από αυτούς τους m 2 τρόπους υπάρχουν m 3 τρόποι να εκτελέσουµε το τρίτο στάδιο, κ.ο.κ. Τότε ο ολικός αριθµός των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορεί να ολοκληρωθεί το έργο αυτό δίνεται από το γινόµενο n m 1 m 2 m n. Ορισμός Κανόνας του Γινομένου. Αν μια διαδικασία μπορεί να χωριστεί σε δυο διακριτές φάσεις, έτσι ώστε η πρώτη φάση να είναι εφικτή με m τρόπους ενώ η δεύτερη φάση να πραγματοποιείται με n τρόπους, τότε η διαδικασία αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με m n τρόπους. Η απαρίθμηση συμπλεγμάτων που αποτελούνται από ομοειδή υποσύνολα είναι ακριβώς η ίδια με την περίπτωση δημιουργίας συμπλεγμάτων από ένα σύνολο m στοιχείων, όπου όμως κάθε φορά που επιλέγεται ένα στοιχείο από τα m (για να ενταχθεί στο σύμπλεγμα), επανατοποθετείται στο σύνολο από το οποίο γίνεται η επιλογή. Παράδειγμα Παράδειγμα δημιουργίας συμπλεγμάτων 13 θέσεων με επιλογή από σύνολο τριών συμβόλων είναι οι στήλες του ΠΡΟ ΠΟ. Το σύνολο από όπου αντλούνται τα σύμβολα που διαμορφώνουν τις στήλες (συμπλέγματα των 13 θέσεων) είναι το σύνολο 1,2,Χ. Μετά από κάθε επιλογή στη διαδικασία δημιουργίας μιας στήλης, το σύμβολο που επιλέχθηκε επανατοποθετείται. Έτσι, το σύνολο από όπου γίνεται η επιλογή, παραμένει αναλλοίωτο. Σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, το σύνολο των συμπλεγμάτων (στήλες 13 θέσεων) θα είναι ίσο με 3 3 3=3 13 = Η διαδικασία αυτή, όπου η επιλογή γίνεται με επανατοποθέτηση και τα συμπλέγματα διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τη σειρά τοποθέτησης των συμβόλων στις αριθμημένες θέσεις, καλείται «μεταθέσεις με επανατοποθέτηση». 41

43 Σχήμα Σχηματική παράσταση όπου διακρίνονται οι βασικές δομές της Συνδυαστικής που αναφέρονται στο Κεφάλαιο Απλές Μεταθέσεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν από τις εναλλαγές των θέσεων n διακεκριμένων στοιχείων. Οι μεταθέσεις αναφέρονται σε συμπλέγματα, όπου έχει σημασία η σειρά τοποθέτησης των n αυτών σημείων και τα στοιχεία αυτά δεν επαναλαμβάνονται μέσα στο σύμπλεγμα. Οι μεταθέσεις n στοιχείων δίνονται από τη σχέση P n =n!. Οι μεταθέσεις απαντούν συνήθως στο ερώτημα: με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε n διαφορετικά αντικείμενα σε n διαφορετικές αριθμημένες θέσεις, με τον περιορισμό ότι μία θέση δέχεται ένα μόνο αντικείμενο; Ορισμός Μεταθέσεις των n στοιχείων καλούνται τα συμπλέγματα που έχουν τα n στοιχεία σε ισάριθμες θέσεις. Οι μεταθέσεις διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τη θέση των n στοιχείων. Για το πρώτο αντικείμενο υπάρχουν διαθέσιμες n επιλογές θέσεων, ενώ για το δεύτερο υπάρχουν n-1 επιλογές ελεύθερων θέσεων, καθώς η τοποθέτηση του προηγούμενου (πρώτου) έχει καταλάβει μια θέση. Τέλος, και για το τελευταίο αντικείμενο υπάρχει 1 τελευταία εναπομένουσα κενή θέση. Συνολικά, σύμφωνα με τον πολλαπλασιαστικό κανόνα υπάρχουν n(n-1)(n-2) 1 διαφορετικές τοποθετήσεις. Το γινόμενο το n πρώτων κατά σειρά φυσικών αριθμών καλείται n-παραγοντικό και συμβολίζεται ως n!. Άρα το πλήθος των μεταθέσεων n αντικειμένων είναι n!=1 2 n. Μερικά παραδείγματα συμπλεγμάτων που αντιστοιχούν σε απλές μεταθέσεις είναι: Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν σε μια σειρά 14 μαθητές; Αν καθίσουν γύρω από ένα τραπέζι πόσοι τρόποι υπάρχουν; Πόσες «λέξεις» σχηματίζονται με τους αναγραμματισμούς της λέξης «ΑΡΗΣ»; Κατά πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια 5-μελής επιτροπή (πρόεδρος-αντιπρόεδροςγραμματέας-ταμίας-μέλος) από 5 μαθητές; Παράδειγμα Το σύνολο των αριθμών δέκα ψηφίων του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης, στους οποίους κάθε ψηφίο, όταν χρησιμοποιηθεί, δεν επαναλαμβάνεται, είναι οι μεταθέσεις των 10 ψηφίων του συστήματος. Είναι 42

44 δηλαδή Ρ ν =10!= Ο αριθμός αυτός είναι πολύ μικρότερος από τον των αριθμών δέκα ψηφίων Μεταθέσεις Στοιχείων Διαφορετικών Ειδών σε Αντίστοιχες Ομάδες Ας θεωρήσουμε n στοιχεία τα οποία ανήκουν σε r διαφορετικά είδη με k 1,k 2,k 3,k r στοιχεία αντίστοιχα, όπου k 1 +k 2 +k k r =n. Το πρόβλημα της εύρεσης του αριθμού των διατάξεων των n αυτών στοιχείων λαμβανομένων ανά k, μελετάται πιο εύκολα με τη βοήθεια των γεννητριών συναρτήσεων. Για την ειδική περίπτωση όπου k=n, έχουμε το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα O αριθμός των μεταθέσεων n στοιχείων, τα οποία κατηγοριοποιούνται σε r διαφορετικά είδη με k 1 +k 2 +k k r =n, είναι ίσος με n!/(k 1!k 2!k 3!...k r ). Απόδειξη Έστω x ο ζητούμενος αριθμός των μεταθέσεων. Αν τα k 1 ταυτόσημα στοιχεία ήταν όλα διαφορετικά, τότε ο αριθμός των μεταθέσεων θα ήταν k!=x, διότι από κάθε παλιά μετάθεση θα προέκυπταν k 1! μεταθέσεις οι οποίες αντιστοιχούν στις μεταθέσεις των k 1 διακεκριμένων στοιχείων. Αν υποθέσουμε ότι και τα k 2 ταυτόσημα στοιχεία του δεύτερου είδους ήταν διακεκριμένα, τότε με τον ίδιο παραπάνω συλλογισμό προκύπτει ότι ο αριθμός των μεταθέσεων θα ήταν ίσος με k 1!k 2!=x. Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία μέχρις ότου θεωρήσουμε τα r διακεκριμένα υποσύνολα ομοειδών στοιχείων στις οποίες έχουν κατηγοριοποιηθεί τα n στοιχεία, θα μας δώσει k 1!k 2!k 3!!k r =x διαφορετικές μεταθέσεις και επειδή ο αριθμός αυτός των μεταθέσεων v διακεκριμένων στοιχείων είναι ίσος με v! συνεπάγεται το συμπέρασμα του θεωρήματος. Παράδειγμα Kατά πόσους διαφορετικούς τρόπους 20 νεοσύλλεκτοι μπορούν να τοποθετηθούν σε 4 διαφορετικά σώματα στρατού, 5 σε κάθε σώμα; Έχουμε ν=20 και k 1 =k 2 =k 3 =k 4 =5 άρα υπάρχουν 20!/(5!) 4 = διαφορετικοί τρόποι. Παράδειγμα Πόσες διαφορετικές διαδρομές υπάρχουν για να κινηθεί κανείς από το σημείο Α στο σημείο Β της σκακιέρας, αν σε κάθε μετακίνηση επιτρέπονται μόνο κινήσεις δεξιά και άνω; 43

45 Σχήμα Μια από τις πολλές διαδρομές σημειώνεται με λευκή γραμμή. Παρατηρήστε ότι κάθε επιτρεπτή διαδρομή από το Α στο Β ορίζεται από μια διατεταγμένη αλληλουχία 14 «βημάτων» από τα οποία τα 7 προς τα δεξιά (Δ) και τα 6 προς τα πάνω (Π). Για παράδειγμα, η διαδρομή που έχει σημειωθεί στο σχήμα με λευκή γραμμή ορίζεται από τη διατεταγμένη 14-άδα, Π Π Δ Δ Δ Δ Π Π Δ Π Δ Π Π Δ. Πρόκειται για απαρίθμηση των μεταθέσεων 2 ειδών στοιχείων από τα οποία, τα 7 είναι είδους Π και τα 7 είναι είδους Π. Άρα υπάρχουν 14!/7!7!=3432 διαφορετικές διαδρομές Κυκλικές Μεταθέσεις Όταν το σύμπλεγμα έχει κυκλική δομή, δεν παρατηρείται αρχή και τέλος, σε αντίθεση με τα γραμμικά 0 συμπλέγματα. Στην περίπτωση αυτή, το πλήθος των συμπλεγμάτων συμβολίζεται και είναι P =(n-1)! n Σε κάθε κυκλική μετάθεση, π.χ. των αντικειμένων α 1,α 2,α 3,,α n, αντιστοιχούν n το πλήθος απλές μεταθέσεις, όπως προκύπτει και από το παρακάτω σχήμα. Αυτές είναι οι εξής: (α 1,α 2,α 3,,α n ), (α 1,α 2,,α n,α 1 ), (α n,α 1,α 2, α 3,,α n-1 ). Επομένως το πλήθος όλων των δυνατών κυκλικών μεταθέσεων n αντικειμένων, έστω 0 P θα είναι n n=p n. Μερικά παραδείγματα συμπλεγμάτων που αντιστοιχούν σε κυκλικές μεταθέσεις είναι με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν 14 μαθητές γύρω από ένα τραπέζι; Με πόσους τρόπους 4 νέες και 5 νέοι μπορούν να χορέψουν σε κύκλο ελληνικούς χορούς; Παράδειγμα Έχουμε n αντρόγυνα που κάθονται σε κυκλικό τραπέζι. Να βρεθεί η πιθανότητα σε k συγκεκριμένα από αυτά οι σύζυγοι να κάθονται ο ένας δίπλα στον άλλο. Όλοι οι δυνατοί τρόποι τοποθέτησης 2n ατόμων γύρω από ένα τραπέζι είναι (2n-1)!, επειδή έχουμε 0 κυκλικές P μεταθέσεις. Άρα n=(2n-1)!. n Οι ευνοϊκοί τρόποι έτσι ώστε τα k ανδρόγυνα να είναι μαζί, βρίσκονται ως εξής. Θεωρούμε τα k ανδρόγυνα που είναι μαζί, με τα 2n-2k άτομα των υπόλοιπων ανδρόγυνων σαν 2n-2k+k-2n-k αντικείμενα που τοποθετούνται σε κύκλο με (2n-k-1)! τρόπους. Σε κάθε τέτοια τοποθέτηση, όμως, τα άτομα των k ανδρόγυνων μπορούν να αντιμετατίθενται μεταξύ τους με 2 k τρόπους. Άρα n A =2 k (2n-k-1)! 0 P n 44

46 Τελικά, σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, η πιθανότητα που ψάχνουμε θα είναι P=n A /n P=2 k (2n-k-1)!/(2n-1)! Ο σχηματισμός μιας διάταξης των n αντικειμένων ανά k μπορεί να γίνει σε k διαδοχικές φάσεις. Στην πρώτη επιλέγουμε το πρώτο στοιχείο της διάταξης με n τρόπους, αφού όλα τα στοιχεία είναι δυνατό να επιλεγούν. Στη δεύτερη φάση επιλέγουμε το δεύτερο στοιχείο. Παράδειγμα Αν θεωρήσουμε τις μεταθέσεις των 12 ωρών επί του δίσκου του ωρολογίου, οι μεταθέσεις 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12 και 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1 δεν διαφέρουν μεταξύ τους, επειδή ακριβώς είναι τοποθετημένες σε κύκλο. Υπάρχουν λοιπόν 12 τέτοιες «αναγνώσεις» του ωρολογίου, όπως ακριβώς υπάρχουν 12 «αναγνώσεις» της μετάθεσης 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11, 12 ή της μετάθεσης 2, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 7, 8, 5, 6, 9, 10, 11, Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν από τις εναλλαγές των θέσεων ενός υποσυνόλου k διακεκριμένων στοιχείων που ανήκουν σε ένα υπερσύνολο n διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις των n-k στοιχείων του υπερσυνόλου. Οι διατάξεις ii των k στοιχείων από το k δεδομένο σύνολο n στοιχείων, δίνονται με τη σχέση P =n!/(n-k)!. Οι διατάξεις των k από τα n στοιχεία n αναφέρονται σε συμπλέγματα όπου έχει σημασία η σειρά τοποθέτησης των n αυτών σημείων και τα στοιχεία αυτά δεν επαναλαμβάνονται μέσα στο σύμπλεγμα. Θεωρούμε ένα πεπερασμένο σύνολο n αντικειμένων, τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους λόγω κάποιας χαρακτηριστικής ιδιότητας, όπως π.χ. χρώμα, μέγεθος, αύξων αριθμός κ.λπ. Σχηματίζουμε μια συλλογή k αντικειμένων (α 1,α 2,α 3,,α k ), επιλέγοντας k από τα αντικείμενα που δόθηκαν. Για να οδηγηθούμε σ αυτόν τον τύπο υπολογισμού, εργαζόμαστε ως εξής: Θα βρούμε πρώτα τον τύπο που μας δίνει το πλήθος μιας διάταξης των n πραγμάτων ανά k, έπειτα θα αναγάγουμε αυτό τον τύπο για μια μετάθεση των n πραγμάτων και τον τελευταίο θα τον χρησιμοποιήσουμε για να αποδείξουμε τον επιθυμητό τύπο. Έχοντας επιλέξει το πρώτο στοιχείο, το δεύτερο έχει n-1 δυνατότητες. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, στην τρίτη φάση έχουμε n-2 δυνατότητες, ενώ στην k έχουμε n- k+1 δυνατότητες. Άρα το πλήθος όλων των δυνατών περιπτώσεων είναι: n(n-1)(n-k+1)=n!/(k-1)!. Εάν στον παραπάνω τύπο θέσουμε k=1, προκύπτει ο τύπος που δίνει το πλήθος των δυνατών απλών μεταθέσεων και ο οποίος είναι P n =n!. Ορισμός Κάθε σύμπλεγμα k στοιχείων που παίρνουμε από ένα σύνολο n (διαφόρων μεταξύ τους) στοιχείων και τα οποία (κατά συνέπεια) διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τη φύση και ως προς τη θέση θα καλείται απλή διάταξη. Παράδειγμα Προκειμένου να συγκροτηθεί μια τριμελής επιτροπή με συμμετοχή ενός Ηλεκτρολόγου Μηχανικού, ενός Συγκοινωνιολόγου και ενός Στατιστικού, διατίθενται 7 Ηλεκτρολόγοι, 3 Συγκοινωνιολόγοι και 4. Στατιστικοί. Η επιτροπή μπορεί να συσταθεί με 7x3x4=84 τρόπους, γιατί σε κάθε 1. Συγκοινωνιολόγο αντιστοιχούν 4. Στατιστικοί, ενώ σε κάθε ζεύγος συγκοινωνιολόγων-στατιστικών αντιστοιχούν 7. Ηλεκτρολόγοι Μηχανικοί. Οι συνθέσεις των επιτροπών αυτών απεικονίζονται και με το ακόλουθο δένδρο (Σχήμα 2.5.1), όπου η κάθε γενεά αντιστοιχεί σε μια επαγγελματική ειδικότητα. ii Permutations. 45

47 Σχήμα To πλήθος των καταληκτικών κορυφών είναι Το παράδειγμα απαντά στο ερώτημα: Με πόσους τρόπους είναι δυνατό να τοποθετηθούν k διαφορετικά αντικείμενα σε n διαφορετικά αριθμημένες θέσεις με τον περιορισμό ότι σε μία θέση αντιστοιχεί μόνο ένα αντικείμενο; Για το πρώτο αντικείμενο έχουμε n επιλογές θέσεων, για το δεύτερο αντικείμενο υπάρχουν n-1 επιλογές ελεύθερων θέσεων και συνεχίζοντας έτσι κάθε φορά που καταλαμβάνεται μια από τις αριθμημένες θέσεις, παρατηρούμε ότι για το k αντικείμενο υπάρχουν (n-k+1) ελεύθερες θέσεις. Συνεπώς υπάρχουν n(n-1)(n-2) (n-k+1) διαφορετικές ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ των k από n αντικείμενα. Για το k γινόμενο αυτό χρησιμοποιούμε το σύμβολο P. n Παράδειγμα Οι διατάξεις των v-4 γραμμάτων α,β,γ,δ ανά k=2 είναι οι ακόλουθες: αβ,βα,αγ,γα,αδ,δα,βγ,γβ,βδ,δβ,γδ,δγ. Επειδή υπάρχουν 4 τρόποι εκλογής του πρώτου γράμματος και 3 τρόποι εκλογής του δεύτερου, προκύπτει σύμφωνα με την κανόνα του γινομένου ότι υπάρχουν 4.3=12 διατάξεις των 4 γραμμάτων ανά 2. Με την απαρίθμησή τους μπορεί εύκολα αυτό να επαληθευθεί. Παράδειγμα Με πόσους τρόπους μπορούν να σχηματιστούν συμβολοσειρές από τέσσερα διαφορετικά γράμματα; Εδώ υπονοείται ότι πρόκειται για το ελληνικό αλφάβητο των 24 γραμμάτων. Έτσι το πρόβλημα ανάγεται σε ένα πρόβλημα διάταξης 4 από 24 αντικείμενα. Επειδή τα γράμματα σε κάθε συμβολοσειρά (λέξη) πρέπει να είναι διαφορετικά, αντιλαμβανόμαστε ότι πρόκειται για διαδικασία άνευ επαναλήψεων (χωρίς επανατοποθέτηση γραμμάτων που επιλέχθηκαν). Όπως και πριν, θεωρούμε ότι για τη πρώτη θέση υπάρχουν 24 επιλογές γραμμάτων, για τη δεύτερη θέση υπάρχουν 23 επιλογές γραμμάτων (από τα υπόλοιπα 23 γράμματα), για τη τρίτη θέση υπάρχουν 22 επιλογές γραμμάτων (από τα υπόλοιπα 22 γράμματα), και για τη τέταρτη θέση υπάρχουν 21 επιλογές (από τα υπόλοιπα 21 γράμματα). Άρα ο συνολικός αριθμός των k διαφορετικών συμβολοσειρών με τέσσερα διαφορετικά γράμματα είναι P = = n Παράδειγμα Σε συνέχεια του Παραδείγματος 2.5.3, θα μπορούσε να υπολογιστεί το πλήθος των τετραψήφιων αριθμών που είναι μικρότεροι από 3.000; Ένας τετραψήφιος αριθμός είναι μικρότερος από όταν το πρώτο ψηφίο του είναι μικρότερο του 3. Άρα θα πρέπει πρώτα να τοποθετήσουμε στη θέση του πρώτου ψηφίου έναν από τους αριθμούς 1 και 2 και στη συνέχεια να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις θέσεις των υπόλοιπων ψηφίων. Πρώτα υπολογίζονται οι τρόποι τοποθέτησης ενός από τους αριθμούς 1 και 2 στη πρώτη θέση; Η 1 προφανής απάντηση είναι P =2. 3 Στη συνέχεια υπολογίζονται οι τρόποι τοποθέτησης των υπόλοιπων αριθμών στις τρεις υπόλοιπες 2 θέσεις; Η απάντηση είναι P =22 21=

48 Από τον κανόνα του γινομένου υπάρχουν 2 462=924 αριθμοί μικρότεροι του Ορισμός Δύο διατάξεις θεωρούνται διάφοροι, όταν δεν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία ή (στην περίπτωση που αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία) διαφέρουν ως προς την κατάταξή τους. Πόρισμα Δύο διατάξεις θεωρούνται διάφοροι, όταν δεν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία ή (στην περίπτωση που αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία) διαφέρουν ως προς την κατάταξή τους. O αριθμός των μεταθέσεων n n διακεκριμένων στοιχείων είναι ίσος με P =n (n-1) (n-2) n Προφανώς, όταν οι διαθέσιμες θέσεις είναι όσες και τα στοιχεία που θα τοποθετηθούν οι απλές διατάξεις γίνονται απλές μεταθέσεις των n στοιχείων. Πόρισμα n Ο αριθμός P =n! των μεταθέσεων των ν στοιχείων ικανοποιεί την αναγωγική εξίσωση Ρ(ν)=νΡ(ν-1),ν=1,2 n με αρχική συνθήκη Ρ(0)=1. Θεώρημα k Για τον αριθμό P των διατάξεων n διακεκριμένων στοιχείων λαμβανομένων ανά k, ισχύει η αναγωγική n k k 1 k σχέση: P = kp + P. Απόδειξη n n 1 n 1 k Παρατηρούμε ότι κάθε μια από τις P διατάξεις των n διακεκριμένων στοιχείων λαμβανομένων ανά k, είτε n θα περιλαμβάνει ένα συγκεκριμένο στοιχείο, έστω το α 1 είτε δεν θα το περιλαμβάνει. Ο αριθμός των k k k 1 k διατάξεων P των n ανά k θα είναι ίσος με το άθροισμα του αριθμού P = kp + P. n n n 1 n 1 k των διατάξεων των n ανά k που περιλαμβάνουν το α 1 και του αριθμού P των διατάξεων των n ανά k που n 1 δεν περιλαμβάνουν το α 1. Η αναγωγική αυτή σχέση μπορεί να ελεγχθεί και αναλυτικά με τη βοήθεια του προηγούμενου θεωρήματος: k 1 k k kp + P = k ( n 1) ( n 2 ) ( n k + 1) + ( n 1) ( n 2) ( n k) = k + n k ( n 1) ( n 2) ( n k + 1) = P n 1 n 1 n Παράδειγμα Στο δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιούνται, εκτός από τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος, και τα γράμματα A,B,C,D,E και F. Σε έναν αριθμό με 16 ψηφία, στον οποίο όμως τα ψηφία καταλαμβάνουν τη θέση τους χωρίς τη δυνατότητα επανατοποθέτησης, οι δυνατές τοποθετήσεις των 6 αλφαβητικών ψηφίων είναι =16!/10!= Παράδειγμα Από μια κληρωτίδα που περιέχει ν κλήρους (λαχνούς) αριθμημένους από το 1 μέχρι το ν κληρώνονται διαδοχικά κ κλήροι χωρίς, μετά από κάθε κλήρωση να επανατοποθετείται στην κληρωτίδα ο αριθμός που κληρώνεται. Ο πρώτος λαχνός που κληρώνεται κερδίζει ένα μεγάλο σε αξία δώρο, ενώ οι επόμενοι κερδίζουν δώρα κάθε φορά μικρότερης αξίας από τον προηγούμενο. Έστω ότι μας ενδιαφέρει το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων της κλήρωσης. Για τον υπολογισμό του αριθμού αυτού παρατηρούμε ότι ένα οποιοδήποτε δυνατό αποτέλεσμα συγκροτείται από κ αριθμούς από τους {1,2.Ν} Η σειρά με την οποία εξάγονται οι αριθμοί από την κληρωτίδα ενδιαφέρει επειδή αυτή καθορίζει και τα διανεμόμενα δώρα. Επομένως, σε κάθε δυνατό αποτέλεσμα αντιστοιχεί μία και μόνη διάταξη των ν ανά κ, και έτσι το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων της κλήρωσης είναι ίσο με (ν) κ =ν(ν-1)(ν-2).(ν-κ+1), το πλήθος των διατάξεων των ν ανά κ. 16 P 6 47

49 2.6. Επαναληπτικές Διατάξεις Ας θεωρήσουμε v διαφορετικά είδη με απεριόριστο αριθμό στοιχείων από κάθε είδος. Οι διατάξεις που σχηματίζονται από τα στοιχεία αυτά καλούνται επαναληπτικές διατάξεις, γιατί κάθε στοιχείο μπορεί να εμφανίζεται σε μια διάταξη απεριόριστο αριθμό φορών. Έτσι, λέμε ότι Επαναληπτικές Διατάξεις είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν από τη χρήση k.διακεκριμένων προς άλληλα στοιχείων σε συμπλέγματα m στοιχείων. Η χρήση κάθε στοιχείου μπορεί να επαναληφθεί μέχρι και m φορές και για τον λόγο αυτό αναφερόμαστε σε επαναληπτική διαδικασία. Ο αριθμός των επαναληπτικών διατάξεων k από m στοιχεία ενός συνόλου προσδιορίζεται με τη σχέση EP =m k. k m Θεώρημα Ο αριθμός των διατάξεων n διακεκριμένων στοιχείων λαμβανομένων ανά k, αν κάθε στοιχείο μπορεί να επαναλαμβάνεται απεριόριστο αριθμό φορών, είναι n k. Απόδειξη Κάθε ένα από τα στοιχεία μιας διάταξης μπορεί να επιλεγεί κατά n διαφορετικούς τρόπους και επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου, το πλήθος των διατάξεων αυτών είναι n k. Παράδειγμα Κατά τη ρίψη νομίσματος 3 φορές υπάρχουν 2 3 =8 συνολικά διαφορετικά αποτελέσματα. Πραγματικά, εδώ v=2, δηλαδή K, Γ και κ=3 και τα δυνατά αποτελέσματα είναι: ΚΚΚ, ΓΚΚ, ΚΓΚ, ΚΚΓ, ΓΓΚ, ΓΚΓ, ΚΓΓ, ΓΓΓ. Παράδειγμα Οι πινακίδες κυκλοφορίας που μπορεί να δοθούν από το Υπουργείο Συγκοινωνιών χρησιμοποιούν τα 14 γράμματα που είναι κοινά στο ελληνικό και λατινικό αλφάβητο. Δεδομένου ότι σε κάθε πινακίδα χρησιμοποιούνται 3 γράμματα, το σύνολο των πινακίδων αυτών έχει 3 14 = στοιχεία. Αν τώρα σκεφτεί κανείς ότι στις ίδιες πινακίδες χρησιμοποιούνται και τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος για να καταλάβουν 4 άλλες θέσεις, ο αριθμός των επαναληπτικών διατάξεων για τη δημιουργία τετραψήφιων αριθμών ανέρχεται σε Συνολικά, και επειδή σε κάθε μία διάταξη των 14 αλφαβητικών χαρακτήρων αντιστοιχεί το σύνολο των διατάξεων των αριθμών που προαναφέρθηκαν, το σύνολο των πινακίδων αυτοκινήτων στην Ελλάδα μπορεί να ανέλθει με το παρόν σύστημα αριθμοδότησης σε , όταν ο πληθυσμός είναι 10,5 εκατομμύρια μόνο Συνδυασμοί Αν από ένα σύνολο με n στοιχεία επιλεγεί ένα υποσύνολο k στοιχείων και αν η σειρά επιλογής των στοιχείων αυτών δεν ενδιαφέρει, τότε το σύνολο αυτό αποτελεί ένα σύμπλεγμα που καλείται συνδυασμός των k στοιχείων από τα n στοιχεία του συνόλου. Ορισμός Συνδυασμοί ενός αριθμού στοιχείων που επιλέγονται από ένα σύνολο μεγαλύτερου αριθμού στοιχείων καλούνται τα συμπλέγματα στα οποία δεν ενδιαφέρει η θέση (ή σειρά τοποθέτησης), αλλά μόνο ο χαρακτήρας των στοιχείων. Σύμφωνα με τον ορισμό δεν καταμετριέται το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν από τις εναλλαγές των θέσεων ενός υποσυνόλου k διακεκριμένων στοιχείων που ανήκουν σε ένα υπερσύνολο n διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ ενδιαφέρει το σύνολο των n-k στοιχείων του συμπληρωματικού συνόλου, καθώς για κάθε σύνολο που επιλέγεται από αυτά για να αντικαταστήσει ισάριθμα στοιχεία του συμπλέγματος, προκύπτει ένας διαφορετικός συνδυασμός. Αυτό σημαίνει ότι συμπλέγματα συγκεκριμένου πλήθους k στοιχείων του υπερσυνόλου, που διαφέρουν ως προς τη θέση τους στο σύμπλεγμα, δεν καταμετριούνται ως 48

50 διαφορετικά στοιχεία του συνόλου των συμπλεγμάτων. Οι συνδυασμοί των k στοιχείων από το δεδομένο n k n! σύνολο n στοιχείων δίνονται με τη σχέση: C = = n k k!( ( n k)! Οι διατάξεις των k από τα n στοιχεία αναφέρονται σε συμπλέγματα όπου έχει σημασία η σειρά τοποθέτησης των n αυτών σημείων και τα στοιχεία αυτά δεν επαναλαμβάνονται μέσα στο σύμπλεγμα. Παράδειγμα Αν στις πινακίδες κυκλοφορίας που μπορεί να δοθούν από το Υπουργείο Συγκοινωνιών χρησιμοποιηθούν τα 14 γράμματα που είναι κοινά στο ελληνικό και λατινικό αλφάβητο, αλλά χωρίς επανάληψη, και δεδομένου ότι σε κάθε πινακίδα χρησιμοποιούνται 3 γράμματα, το σύνολο των πινακίδων αυτών έχει 14!/(3!)(11!)=364 συνδυασμούς γραμμάτων. (Στην πραγματικότητα αυτό δεν συμβαίνει και σε πολλές περιπτώσεις παρατηρούμε πινακίδες με επανάληψη γραμμάτων, όπως ΝΒΝ κ.λπ.). Παράδειγμα Πέντε διακεκριμένα σημεία επί της περιφερείας ενός κύκλου ορίζουν 5 5! 2 = = = 1 3 3! ( 5 3 )! 2 τρίγωνα. Σχήμα Το Διώνυμο του newton: Αριστερά στο επίπεδο διακρίνονται δυο τετράγωνα και ένα δυο ίσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Δεξιά στον τρισδιάστατο χώρο, διακρίνονται δύο άνισοι κύβοι και έξι παραληλεπίεδα (3α 2 β και 3αβ 2 ). Επειδή: (α+β) ν =(α+β)(α+β)...(α+β)=(αα...α)+(αα...αβ)+(αα...βα)+(βα...ααα)+...+(αα...ββ)+...+(ββ...ββ). Είναι προφανές ότι κάθε όρος του αναπτύγματος σε άθροισμα έχει v παράγοντες. Διακρίνουμε: 49

51 1 όρο με ν παράγοντες, που είναι όλοι τους α ν όρους με ν παράγοντες, όπου ν-1 εξ αυτών είναι α και ένας μόνο είναι β περισσότερους όρους με ν-2 παράγοντες α και 2 παράγοντες β 1 όρο με ν παράγοντες, που είναι όλοι τους β Παρατηρούμε ότι οι όροι των v παραγόντων με κ α και ν-κ β έχουν τα α και τα β σε διάφορες θέσεις. Οι δυνατοί συνδυασμοί των κ α από ν συνολικά παράγοντες, απαριθμούν το σύνολο των όρων που έχουν κ ακριβώς α και τα υπόλοιπα ν-κ είναι β στη θέση των παραγόντων αυτών των όρων. κ ν ν ν! κ ν κ Γράφουμε λοιπόν ότι: ( α + β) = ( α + β) = α β. ( ν κ)! κ! i= Παρατηρούμε τη συμμετρία των διωνυμικών συντελεστών ως προς τον κεντρικό ή τους δύο κεντρικούς όρους (όταν ν άρτιο ή περιττό αντιστοίχως) Επαναληπτικοί Συνδυασμοί Συνδυασμός με επαναλήψεις, μεγέθους m από ένα σύνολο S n στοιχείων, ορίζεται από μία αλληλουχία m στοιχείων του S, που δεν είναι απαραίτητα διακριτά μεταξύ τους. Επειδή δεν λαμβάνεται υπόψη η σειρά επιλογής των στοιχείων, δύο αλληλουχίες που διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά επιλογής των στοιχείων είναι αντιπρόσωποι του ίδιου συμπλέγματος. Έτσι, για τον υπολογισμό του αριθμού των m συμπλεγμάτων στα οποία κατανέμονται τα n στοιχεία του S δεν λαμβάνονται υπόψη διαφορετικές διατάξεις εναπόθεσης σε των στοιχείων σε κάθε σύμπλεγμα αλλά λαμβάνονται υπόψη η διάταξη των συμπλεγμάτων ως προς το πλήθος των στοιχείων που τοποθετούνται σε κάθε ένα από αυτά (π.χ.: αν το S περιέχει 5 στοιχεία που θα κατανεμηθούν σε τρία αποθετήρια, οι αποθέσεις {2,1,2} και {1,2,2}) εκλαμβάνονται ως διαφορετικές κατανομές). Οι Επαναληπτικοί Συνδυασμοί των m στοιχείων του S σε n συμπληρωματικά υποσύνολα αυτού συμβολίζονται με n και υπολογίζεται με τη βοήθεια των συνδυασμών των m+n-1 ανά n m n m + n 1 =. Είναι προφανές ότι ισχύει m + n 1 m + n 1 =. m n n m 1 Παράδειγμα Δεκαέξι όμοιες σφαίρες τοποθετούνται σε εννέα κάλπες. Να υπολογιστούν οι τρόποι με τους οποίους μπορεί να κατανεμηθούν οι σφαίρες στις κάλπες. Οι κάλπες είναι διακριτές και αριθμούνται από 1 έως 9. Έτσι, στην 16 σφαίρες μπορεί να τοποθετηθούν στην 1η κάλπη, ενώ οι λοιπές θα μείνουν κενές. Το ίδιο μπορεί να συμβεί αν οι 16 σφαίρες τοποθετηθούν σε μια από τις λοιπές. Αν εξακολουθήσουμε αυτού του τύπου την ανάλυση, θα βρούμε ότι 15 σφαίρες μπορεί να τοποθετηθούν σε μία κάλπη, ενώ η εναπομείνασα μπορεί να τοποθετηθεί σε μία από τις λοιπές 8. Συνολικά αυτές δίνουν 9 8 περιπτώσεις. Πρόκειται λοιπόν για την ανάπτυξη συμπλεγμάτων που είναι συνδυασμοί με επανάληψη. Ο υπολογισμός θα γίνει με χρήση της σχέσης: = 24 = Ορισμός Προσέγγιση του n! κατά Stirling. Μία βοηθητική και ευρέως εφαρμοζόμενη προσεγγιστική σχέση για τον υπολογισμό του παραγοντικού n n «μεγάλων αριθμών» είναι η προσέγγιση του Stirling: n! n e 2π n 50

52 Μία βοηθητική και ευρέως εφαρμοζόμενη προσεγγιστική σχέση για τον υπολογισμό του παραγοντικού n n «μεγάλων αριθμών» είναι η προσέγγιση του Stirling: n! n e 2π n n n 1 Μία ελαφρώς πιο ακριβής προσέγγιση είναι η ακόλουθη: n! n e 2π n 1+ 12n αλλά στις περισσότερες των περιπτώσεων η διαφορά είναι μικρή. Αυτός ο επιπρόσθετος όρος μπορεί να συντελέσει στην αποτίμηση για το κατά πόσο η προσέγγιση παρουσιάζει μεγάλο σφάλμα. Η προσέγγιση του Stirling είναι επίσης χρήσιμη στον προσεγγιστικό υπολογισμό του λογαρίθμου (1og) του παραγοντικού ενός αριθμού, που βρίσκει εφαρμογή στον υπολογισμό της εντροπίας σχετικά με τη θεωρία της πολυπλοκότητας. Ο λογάριθμος του παραγοντικού αριθμού n ισούται με: 1n! n = n1n n n+ 1n 2π n αλλά ο τελευταίος όρος μπορεί, και συνήθως παραλείπεται, ώστε μια ( ) λειτουργική προσέγγιση να είναι η εξής: 1n n!=n1n n-n. Θυμίζουμε ότι Ν!=Ν(Ν-1)(Ν-2) Ενώ ο Stirling παρουσίασε την εξής υπέροχη σχέση: n! (2π/Ν+1) 1/2 e N+1 (N+1) (n+1). Αυτή η σχέση παρουσιάζει σφάλμα περίπου 8% για το 1!, και 0,8% για το 10! και ολοένα και καλύτερες προσεγγίσεις για το n!, καθώς ο αριθμός n όλο και μεγαλώνει. Στην πραγματικότητα, το κλασματικό λάθος πλησιάζει αρκετά την ποσότητα 1/12n: αν η σχέση του Stirling πολλαπλασιασθεί με 1+1/12n, προκύπτει μια νέα βελτιωμένη και ταχύτερη σχέση (με σφάλμα ανάλογο του 1/n2. Σημειώνεται εδώ ότι 0!=1, επειδή ισχύει ότι Ν!=Ν (Ν-1)!, οπότε (n 1)!=n!/n, επομένως συνεπάγεται ότι 0!=1. (Για παράδειγμα: 3!=3 2 1=6, 2!-2=3!/3, 1!=1=2!/2, άρα 0!=1!/1=1). Αν εφαρμόσουμε τη σχέση σε αρνητικούς ακέραιους, παρατηρούμε ότι (-1)!=1/0=, (-2)!=(-1)!/(-1)=, (-3)!=(-2)!/(-2)= /2=. Δηλαδή, n! είναι άπειρο, όταν ο αριθμός n είναι αρνητικός ακέραιος. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι η σχέση για τον αριθμό (z-1)! (όπου z=n+1) έχει μηδενική ακτίνα σύγκλισης, ακριβώς όπως οι σειρές της ποσότητας 1/z, ιδιότητα που οφείλεται στα παραπάνω άπειρα μεγέθη. Μια μη μηδενική ακτίνα σύγκλισης του 1/z θα έπρεπε να περιλαμβάνει μερικές αρνητικές τιμές οι οποίες βρίσκονται κοντά στο μηδέν που συνεπάγεται και μεγάλους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Από τότε που αυτή η συνάρτηση με το παραγοντικό (z-1)! (γνωστή και ως Gamma συνάρτηση) έχει ως αποτέλεσμα το άπειρο για όλους τους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς, δεν είναι δυνατό να περιγραφεί από συγκλίνουσες σειρές. Δεν μπορεί να συγκλίνει για 10!, διότι δεν πρέπει να συγκλίνει για (-12)!. Παράδειγμα Υπολογίστε το 50!. Για μεγάλο n ισχύει! n e n n n 2π n άρα 50! sqrt(2π50) e -50 =n. Χρησιμοποιώντας δεκαδικούς λογάριθμους, βρίσκουμε 1ogn=1og[sqrt(100π) e - 50 ]=1/2 1og100+1/2 1ogπ+501og50-501oge=64,4836 οπότε προκύπτει ότι n=3, Θεώρημα Η Βασική Αρχή του Περιστερώνα (Pigeon-Hole Principle). Αν n αντικείμενα τοποθετηθούν μέσα σε k κιβώτια, όπου n και k είναι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε n>k, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα κιβώτιο, στο οποίο θα πρέπει να μπουν τουλάχιστον δυο αντικείμενα. Απόδειξη Έστω ότι δεν ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος, δηλαδή, έστω ότι δεν υπάρχει κανένα κιβώτιο με τουλάχιστον δυο αντικείμενα. Αυτό σημάνει ότι κάθε κιβώτιο περιέχει ένα ή κανένα αντικείμενο. Έστω ότι m είναι το πλήθος των κενών κιβώτιων, οπότε 0 m k. Αρα, προφανώς, το πλήθος των κιβώτιων που περιέχουν ένα ακριβώς αντικείμενο είναι k-m, που σημαίνει ότι το συνολικό πλήθος των αντικείμενων είναι k-m. Αλλά, τότε k-m k<n, κάτι που αντιφάσκει με την υπόθεση ότι το συνολικό πλήθος των αντικείμενων είναι ίσο με n. Παράδειγμα Εστω η ακολουθία 7,77,777,7777,... Αποδείξτε ότι υπάρχει κάποιος όρος αυτής της ακολουθίας, ο οποίος είναι διαιρετός με το

53 Απόδειξη Ας συμβολίσουμε την ακολουθία αυτή με {α n }n=1,2,, όπου, λόγω της (δεκαδικής) αναπαράστασης των n 1 k όρων της, a = 7 1 n για κάθε θετικό ακέραιο n. Βασικά, θα αποδείξουμε κάτι το ισχυρότερο: μεταξύ k = των πρώτων 2003 όρων της ακολουθίας αυτής, υπάρχει κάποιος όρος διαιρετός με το Ας υποθέσουμε όμως το αντίθετο, δηλαδή, ότι, μεταξύ των πρώτων 2003 όρων της ακολουθίας αυτής, κανένας όρος δεν είναι διαιρετός με το Αυτό σημαίνει ότι για κάθε 1 n 2003, αν το r n συμβολίζει το υπόλοιπο της διαίρεσης του α n με το 2003, τότε θα είναι 1 r n Επειδή όμως συνολικά έχουμε 2003 υπόλοιπα (αντικείμενα του θεωρήματος) και 2002 τιμές που το καθένα τους μπορεί να πάρει (κιβώτια), η αρχή του περιστερώνα συνεπάγεται ότι υπάρχουν δύο (διαφορετικοί) όροι, μεταξύ των πρώτων 2003 όρων της ακολουθίας αυτής, οι οποίοι έχουν το ίδιο ακριβώς υπόλοιπο. Ας συμβολίσουμε με α i και α j τους όρους αυτούς, για 1 i<j 2002, και με r το κοινό τους υπόλοιπο. Προφανώς, τότε, υπάρχουν δυο μη αρνητικοί ακέραιοι p i και p j τέτοιοι ώστε α i =2003p i +r και α j =2003p j r, οπότε α j α i =2003(p i pi), δηλαδή, η διαφορά α j α i είναι διαιρετή με j 1 i 1 j 1 j i 1 k k k m i i Επιπλέον, όμως, a a = = 7 1, = 7 j i 1 1 = a 1 και, καθώς το 10 i j i k= k= k= i m = δεν διαιρείται με το 2003 (για κανένα i), συμπεραίνεται ότι ο όρος α (j-i) θα διαιρείται. Παράδειγμα Σε ένα τουρνουά σκακιού παίζουν n σκακιστές μεταξύ τους σε μονούς αγώνες (δηλαδή, κάθε ζευγάρι παίζει έναν μόνο αγώνα). Με τη βοήθεια της βασικής αρχής του περιστερώνα, εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι σε κάθε χρονική στιγμή υπάρχουν δυο σκακιστές που έχουν παίξει τον ίδιο αριθμό αγώνων. Απόδειξη Παρατηρεί κανείς ότι σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή ένας σκακιστής μπορεί να έχει παίξει, να μην έχει παίξει ακόμα ή να έχει ήδη παίξει 1 ή το πολύ σε n-1 αγώνες. Επιπλέον, αν σε κάποια χρονική στιγμή ένας σκακιστής έχει συμπληρώσει όλους τους n-1 αγώνες του, τότε δεν θα υπάρχει κανένας σκακιστής με 0 αγώνες, που σημάνει ότι οι τιμές 0 και n-1 δεν μπορούν να εμφανίζονται μαζί για τον αριθμό των αγώνων που έχουν παιχτεί ως μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Έτσι, οι δυνατότητες για τον αριθμό των αγώνων (αντιστοιχούν στα κιβώτια της αρχής του περιστερώνα) είναι το πολύ n-1, ενώ οι παίχτες (αντιστοιχούν στα αντικείμενα της αρχής του περιστερώνα) είναι n και άρα, έπεται το ζητούμενο συμπέρασμα από την Αρχή του Περιστερώνα. Θεώρημα Γενικευμένης Αρχής του Περιστερώνα. Εστω ότι βάζουμε n όμοια αντικείμενα μέσα σε m όμοιες θήκες, όπου n>rm, για n, m, r θετικούς ακεραίους. Τότε, υπάρχει τουλάχιστον μια θήκη, στην οποία θα πρέπει να τοποθετηθούν τουλάχιστον r+1 αντικείμενα. Έστω ότι ισχύει το αντίθετο, δηλαδή, ισχύει ότι κάθε θήκη μπορεί να περιέχει το πολύ r αντικείμενα. Αυτή η υπόθεση οδηγεί στο συμπέρασμα ότι σε όλες τις θήκες, θα μπορούσαν να τοποθετηθούν το πολύ rm αντικείμενα. Ένα τέτοιο όμως συμπέρασμα αντίκειται στην υπόθεση επειδή rm<n, ότι, δηλαδή, το συνολικό πλήθος των αντικειμένων είναι ίσο με n. Παράδειγμα Εστω 10 σημεία μέσα στο μοναδιαίο τετράγωνο (δηλαδή, τετράγωνο μήκους ακμής 1 μονάδας). Τότε, υπάρχουν δυο σημεία των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι μικρότερη του 0,48 της μονάδας και τρία σημεία που ανήκουν σε κύκλο ακτίνας 0,5 της μονάδας. 52

54 Απόδειξη Διαμερίζεται το μοναδιαίο τετράγωνο σε 9 μικρότερα τετράγωνα (μήκους πλευράς 1/3 της μονάδας το καθένα). Σύμφωνα με τη γενικευμένη Αρχή του Περιστερώνα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα από τα 9 μικρότερα τετράγωνα που περιέχει δυο από τα 10 σημεία. Τότε η μέγιστη απόσταση των δυο αυτών σημείων θα φράζεται από τη διαγώνιο του τετράγωνου μήκους ακμής 1/3, δηλαδή, από 2/3<0,48. Με ανάλογο τρόπο, διαμερίζοντας το μοναδιαίο τετράγωνο, σε 4 ισοσκελή τρίγωνα (με τη βοήθεια των διαγωνίων του τετραγώνου), η γενικευμένη Αρχή του Περιστερώνα συνεπάγεται ότι τουλάχιστον ένα από τα τρίγωνα αυτά θα περιέχει τρία από τα 10 σημεία και, άρα, τα σημεία αυτά θα καλύπτονται από τον μικρότερο περιγεγραμμένο του τριγώνου κύκλο, δηλαδή, που έχει διάμετρο ίση με 1. 53

55 Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Balakrishnan, V. K. (1995). Schaum's Outline of Combinatorics, including Concepts of Graph Theory. new York: McGraw-Hill. Erickson, M. J. (1996). Introduction to Combinatorics. new York: Wiley. Graham, R. L., Knuth, D. E., & Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley. Knuth, D. E. (ed.) (1997). Stable Marriage and Its Relation to Other Combinatorial Problems. Providence, RI: Amer. Math. Soc. Marcus, D. (1998). Combinatorics: A Problem Oriented Approach. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., Rosen, K. H. (ed.) (2000). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, FL: CRC Press. Stanley, R. P. (1997, 1999). Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2. Cambridge University Press. ISBn , ISBn Uspensky, J. V. (1931). On Ch. Jordan's Series for Probability. Annals of Mathematics. Second Series 32 (2): Γεωργίου, Δ. Α. (1994). Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά για την Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Ξάνθη: Εταιρεία Αξιοποίησης Πανεπιστημιακής Περιουσίας του Δ.Π.Θ. Μπουντουρίδης Μ. Α. ιακριτά Μαθηματικά: ΙΙ. Συνδυαστική. Παπαδόπουλου, Γ.,

56 Κριτήρια Αξιολόγησης Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Αν χρησιμοποιηθούν τα 5 ψηφία του πενταδικού συστήματος αρίθμησης, πόσες «λέξεις» μήκους n με άρτιο πλήθος από 1 μπορεί κανείς να δημιουργήσει; Απάντηση: Ο αριθμός των «λέξεων» χωρίς 0 και 1 είναι 3 n. Από τις υπόλοιπες 5 n 3 n, οι μισές περιέχουν άρτιο πλήθος 1. Καθεμία από αυτές, περιέχει μια υπακολουθία με 0 και 1. Έτσι, οι μισές υπακολουθίες έχουν άρτιο πλήθος 1. Τελικά: 3 n +(5 n -3 n )/2=(5 n +3 n )/2 Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Πόσες δυνατότητες επιλογής 3 αριθμών από το σύνολο Ν [1,300] υπάρχουν, ώστε το άθροισμά τους να είναι διαιρετό με το 3; Απάντηση: Οι ακέραιοι 1 έως 300 κατηγοριοποιούνται σε τρία υποσύνολα των 100 στοιχείων. Η κατηγοριοποίηση γίνεται με το mod3. Για να είναι το άθροισμά τους διαιρετό με τρία θα πρέπει να προέρχονται είτε 3 από ίδια ομάδα (εκείνη της οποίας τα στοιχεία διαιρούνται με με 3 δηλαδή xmod3=0 είτε με επιλογή ενός από κάθε ομάδα Έτσι, 3C =. Κριτήριο Αξιολόγησης 3 3 Πόσοι διψήφιοι αριθμοί υπάρχουν; Πόσοι τριψήφιοι άρτιοι αριθμοί υπάρχουν; Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί υπάρχουν με άθροισμα των δύο πρώτων ψηφίων του 5; Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να κρεμάσουμε σε μια κρεμάστρα με 7 θέσεις 10 σακάκια; Σε μία κάλπη υπάρχουν 4 ερυθρά και 5 μαύρα σφαιρίδια. Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 4 σφαιρίδια, ώστε: α) και τα τρία να είναι ερυθρά; β) δύο να είναι ερυθρά; γ) ένα τουλάχιστον να είναι ερυθρό; δ) το πολύ ένα να είναι ερυθρό; Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Στο τυχερό παιχνίδι του ΛΟΤΤΟ 6 από 49, πόσες είναι οι δυνατές επιλογές των 6 στοιχείων από τα 49; Στο τυχερό παιχνίδι του JOCKER 5+1 από 39+10, πόσες είναι οι δυνατές επιλογές των 5 στοιχείων από τα 39, πόσες οι επιλογές του ενός αριθμού (Jocker) από του 10 και τελικά, πόσες είναι οι δυνατές επιλογές που δίνονται σε έναν παίκτη για να επιλέξει; Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Αν κάποιος διαθέτει 3 σακάκια, 4 παντελόνια, 5 πουκάμισα, 10 ζευγάρια κάλτσες και 2 ζευγάρια παπούτσια, με πόσους τρόπους μπορεί να ντυθεί, φορώντας από όλα τα είδη; Ποια είναι η πιθανότητα να φοράει ένα ορισμένο σακάκι; 55

57 Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Πόσες «λέξεις» μήκους 24 χαρακτήρων μπορούν να συντεθούν από 7 Α, 8 Β, 5 Γ, και 4 Δ όπου συναντάται το διατεταγμένο ζεύγος ΓΑ ; Απάντηση: Οι «λέξεις» μήκους 19 (προς το παρόν εξαιρούνται τα 5 Γ) είναι 19!/(7!8!4!). Σε αυτές τις λέξεις διακρίνονται 20 διακεκριμένες θέσεις για τα 5 Γ( μία πριν από κάθε γράμμα και μια μετά). Από αυτές πρέπει να εξαιρεθούν 7 θέσεις πριν από κάθε Α, οπότε απομένουν 13 διακεκριμένες «υποδοχές» στις οποίες μπορεί να διανεμηθούν 17 τα 5 Γ με C. Τέλος με χρήση του κανόνα του γινομένου: [19!/(7!8!4!)] [17!/(5!12!)]. 5 Κριτήριο Αξιολόγησης 7 Με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν σε μια σειρά 12 μαθητές; Αν καθίσουν κυκλικά πόσοι τρόποι υπάρχουν; Κριτήριο Αξιολόγησης 8 Να υπολογιστεί ο αριθμός των ακεραίων διατεταγμένων τετράδων (x 1,x 2,x 3,x 4 ) που είναι λύσεις της εξίσωσης x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =20. Απάντηση: Αν x i 0 τότε, C = C = C = = Αν x i 1 τότε, C C C. Αν τέλος, x i 2, x 2 4, x 3 1 και x 4 5, τότε C C. = = Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες α και β. Στην α ορίζουμε 10 σημεία και στην β 20 σημεία. Λαμβάνονται ως κορυφές τριγώνων μια κορυφή από τη μία ευθεία και δυο κορυφές από την άλλη. Πόσα τρίγωνα ορίζουν τα σημεία αυτά; Κριτήριο Αξιολόγησης 10 Από έναν σύλλογο καθηγητών με 7 άνδρες και 6 γυναίκες επιλέγουμε τυχαίως 4 άτομα. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν να συντεθεί μια ομάδα από 4 γυναίκες, μια ομάδα από 2 γυναίκες και δυο άνδρες Κριτήριο Αξιολόγησης 11 Σε έναν κύκλο δίνονται 8 σημεία A1, A2,..., A8. Πόσα ευθύγραμμα τμήματα ορίζουν τα σημεία αυτά; Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Κατά πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια 5-μελής επιτροπή (πρόεδρος-αντιπρόεδροςγραμματέας-ταμίας-μέλη) από 12 αιρετούς δημοτικούς συμβούλους; 56

58 Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Μία ομάδα συνέδρων αποτελείται από 5 Έλληνες, 4 Ρώσους, 6 Τούρκους, και 2 Ιταλούς. Κατά πόσους τρόπους μπορούν οι σύνεδροι αυτοί να καθίσουν έτσι, ώστε τα μέλη κάθε εθνικότητας να βρίσκονται μαζί: α) στα καθίσματα μιας σειράς ενός αμφιθεάτρου και β) γύρω από ένα κυκλικό τραπέζι. Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τα στοιχεία του συνόλου Ω={1,2,3,4,α,β} σε μία γραμμή, έτσι ώστε τα γράμματα να είναι μαζί (όμοια για κυκλική τοποθέτηση); Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Πόσοι διψήφιοι αριθμοί δεν περιλαμβάνουν το ψηφίο 4; Απάντηση: 72 Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Πόσους διψήφιους αριθμούς (χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία) μπορείτε να δημιουργήσετε αν επιλέγετε στοιχεία από το σύνολο {1,2,,5}; Απάντηση: 20 Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Σε έναν επιστημονικό σύλλογο συμμετέχουν 8 μαθηματικοί, 10 Πληροφορικοί και 14 εκπαιδευτικοί. Με πόσους τρόπους μπορεί να εκλεγεί πενταμελές προεδρείο αν όλοι πρέπει να είναι από τον ίδιο επιστημονικό κλάδο. Απάντηση: Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Α. Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία είναι δυνατόν να σχηματιστούν από τα ψηφία 2,3,5,7,8; Β. Πόσοι από αυτούς είναι άρτιοι; Απάντηση: Α. 6 P = =120 4 Β. Στη θέση του τελευταίου ψηφίου τοποθετείται ένας από τους αριθμούς 2, και 8 και στη συνέχεια οι υπόλοιποι αριθμοί τοποθετούνται στις προηγούμενες θέσεις. Υπολογίζουμε με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν από τους αριθμούς 2 και 8 στη τελευταία θέση; Η προφανής απάντηση είναι P =

59 Στη συνέχεια υπολογίζουμε με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις. Η απάντηση είναι P = Σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου υπάρχουν 2 24=48 άρτιοι αριθμοί. 5 3 Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης 58

60 3. Κεφάλαιο: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Σύνοψη Η προσπάθεια της επιστήμης να κωδικοποιήσει και να περιγράψει με μαθηματικά μοντέλα τα φυσικά, τα κοινωνικά και τα οικονομικά φαινόμενα στηρίχθηκε κύρια στις αιτιοκρατικές και τις πιθανοκρατικές περιγραφές. Με την εμφάνιση όμως των υπολογιστικών μηχανών, μια τρίτη προσέγγιση απασχόλησε τον επιστημονικό κόσμο. Πρόκειται για την ανάπτυξη των αλγόριθμων και την τυποποίηση σε επιστημονικό κλάδο της Αλγοριθμικής θεωρίας. Η σχεδίαση ενός αλγόριθμου μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους. Ένας όμως από αυτούς είναι «καλύτερος» από τους άλλους. Ο προσδιορισμός της έννοιας «καλύτερος αλγόριθμος», καθώς και ο προσδιορισμός της μεθοδολογίας που οδηγεί με ασφάλεια στη σχεδίαση του «καλύτερου» αλγόριθμου, αποτελούν αντικείμενο της Θεωρίας Αλγόριθμων. Στην εξέλιξη των αλγόριθμων πρωταρχική είναι η σημασία της αναδρομής. Μια στοιχειώδης διαδικασία έκφρασης μιας εξελισσόμενης φυσικής κατάστασης μπορεί να εκφραστεί μέσα από την αναδρομή και τις αναδρομικές σχέσεις. Οι σχέσεις αυτές αποτελούν μια εξαιρετικά απλή οργάνωση κανόνων που παράγουν σειρές αποτελεσμάτων. Στις σχετικές παραγράφους, αναπτύσσεται η μεθοδολογία και οι ιδιότητες των αναδρομικών σχέσεων με ιδιαίτερη αναφορά στις ακολουθίες Fibonacci και τις εφαρμογές τους. Ιδιαίτερη αναφορά γίνεται στην αλγεβρική δομή που αναφέρεται ως «άλγεβρα των αριθμών Fibonacci» και τη σχέση της με τη χρυσή τομή. Γίνεται επίσης μια σύντομη παρουσίαση των επιμέρους κεφαλαίων της συγκεκριμένης άλγεβρας αριθμών και αναφέρεται περιληπτικά και όσο συντομότερα είναι δυνατόν η εμφάνιση των αριθμών Fibonacci στον περιβάλλοντα κόσμο. Μετά, ακολουθούν οι τεχνολογικές εφαρμογές της στην επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, στα ψηφιακά ηλεκτρονικά και τέλος στις έννοιες των τηλεπικοινωνιών και ιδιαίτερα στην επεξεργασία σημάτων. Η Θεωρία Αλγόριθμων είναι η περιοχή της Επιστήμης των Υπολογιστών που πραγματεύεται τον σχεδιασμό αποδοτικών αλγόριθμων για την επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων. Κάθε αλγόριθμος πρέπει να αναλύεται μαθηματικά, ώστε να τεκμηριώνεται η ορθότητά του και να μετριέται ποσοτικά η απόδοσή του σε σχέση με διάφορα είδη υπολογιστικών πόρων, όπως είναι ο χρόνος και το μέγεθος της διαθέσιμης μνήμης. Η διαδικασία της ανάλυσης και τεκμηρίωσης που εισάγουν οι μέθοδοι της θεωρίας αυτής επιτρέπει την εξαγωγή συμπερασμάτων για την ορθότητα των αποτελεσμάτων του αλγόριθμου, καθώς και την εκ των προτέρων γνώση για την ποσότητα των υπολογιστικών πόρων που απαιτεί η εφαρμογή του αλγόριθμου σε συγκεκριμένες συνθήκες. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης διαφορετικών αλγόριθμων για το ίδιο ή παρόμοια προβλήματα επιτρέπουν τη σύγκριση μεταξύ τους και την επιλογή του καταλληλότερου για συγκεκριμένες πρακτικές εφαρμογές. Η εξέλιξη των υπολογιστικών συστημάτων επέτρεψε την ανάπτυξη σύνθετων και εκτεταμένων αλγόριθμων. Η πολυπλοκότητα των σύγχρονων αλγόριθμων έδωσε νέα ώθηση στη Θεωρία των Αλγόριθμων και οδήγησε στην ανάπτυξη της Θεωρίας Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας, που εστιάζει στη μελέτη διαφορετικών υπολογιστικών μοντέλων και στην επίδραση που αυτά έχουν στη δυνατότητα και την ποσότητα υπολογιστικών πόρων που χρειάζονται για την επίλυση ενός προβλήματος. Σε σχέση με τη θεωρία αλγόριθμων, η θεωρία υπολογιστικής πολυπλοκότητας παρέχει μια συμπληρωματική οπτική γωνία στην έννοια του υπολογισμού. Για κάθε υπολογιστικό μοντέλο, η Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας μελετά αν ένα υπολογιστικό πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί ή όχι. Αν το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί, η Θεωρία Πολυπλοκότητας μελετά την ελάχιστη ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτούνται για την επίλυση του προβλήματος στο συγκεκριμένο μοντέλο. Με βάση τις απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα, τα υπολογιστικά προβλήματα εντάσσονται σε κλάσεις πολυπλοκότητας, οι οποίες αποτελούνται από προβλήματα που εμφανίζουν παρόμοια συμπεριφορά ως προς την επιλυσιμότητά τους σε κάποιο συγκεκριμένο υπολογιστικό μοντέλο. Η εξέλιξη τέλος της ίδιας της Θεωρίας Αλγόριθμων οδήγησε στην ανάπτυξη της Αλγοριθμικής Θεωρίας Παιγνίων. Στο κεφάλαιο αυτό δεν θα γίνει σχετική αναφορά, αλλά ο αναγνώστης μπορεί να αναζητήσει σχετικά κείμενα ώστε να κατατοπιστεί στο ειδικό αυτό θέμα. Η Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων (Algorithmic Game Theory) αποτελεί ένα διεπιστημονικό πεδίο έρευνας στα όρια των περιοχών της Επιστήμης των Υπολογιστών (Computer Science) της Θεωρίας Παιγνίων (Game Theory) και της Θεωρίας Οικονομικών (Economic Theory). Τα τελευταία 10 χρόνια έχει γνωρίσει τεράστια ανάπτυξη, διότι κατανοεί την ουσία, περιγράφει ποσοτικά και 59

61 ποιοτικά και αναλύει αυστηρά, σύνθετα προβλήματα εγωιστικής αλληλεπίδρασης σε δίκτυα μεγάλης κλίμακας (Διαδίκτυο, Χρηματιστήριο, Διεθνείς Αγορές, κ.λπ.). Εξαιτίας της φύσης τους, τα προβλήματα αυτά δεν ελέγχονται από μια κεντρική αρχή. Για παράδειγμα, δεν μας απασχολεί μόνο η ύπαρξη ισορροπιών μεταξύ των οντοτήτων που συμμετέχουν, αλλά και ο εντοπισμός μιας τέτοιας ισορροπίας σε αποδοτικό χρόνο, πώς μπορούμε να συγκλίνουμε σε κάποια από αυτές όσο το δυνατόν ταχύτερα (και ενδεχομένως με τα κατάλληλα κίνητρα για τους συμμετέχοντες), πώς μπορούμε να διακρίνουμε και ενδεχομένως να επιβάλουμε (ως διαχειριστές ενός συστήματος) ισορροπίες που είναι περισσότερο επιθυμητές για το σύστημα από άλλες, πώς μπορούμε να σχεδιάσουμε αποδοτικούς μηχανισμούς που επηρεάζουν το παιχνίδι προς όφελος ολόκληρου του συστήματος, κ.λπ. Προαπαιτούμενη Γνώση Aκολουθίες και σειρές Αναδρομή Η πλέον απλή διαδικασία υπολογισμού του πλήθους ενός κλασικού συνόλου είναι η μέτρηση των στοιχείων του. Αν όμως τα στοιχεία του συνόλου αυτού ταξινομούνται σε μια ακολουθία υποσυνόλων, τότε η μέτρηση των στοιχείων αυτών (των υποσυνόλων) είναι αδύνατη. Εξαίρεση αποτελούν τα υποσύνολα των οποίων το πλήθος των στοιχείων τους προκύπτει με κάποια σχέση των στοιχείων των αμέσως προηγούμενων συνόλων. Η σχέση αυτή, όταν υπάρχει, καλείται αναδρομή. Η Αναδρομή θεωρία προέρχεται από τη δεκαετία του 1930, με το έργο των Gödel, Church, Turing και Kleene, καθώς επίσης και τη συνεισφορά του Emil Post (1944). Ένας δόκιμος ορισμός της έννοιας αυτής είναι ο ακόλουθος: Ορισμός Αναδρομή είναι η διαδικασία δημιουργίας μια ιεραρχημένης κλάσης συνόλων, κάθε ένα από τα οποία δημιουργείται χάρη σε μια σχέση των προηγούμενων αυτού συνόλων. Εκτός από σύνολα, η αναδρομή μπορεί να προσδιορίζει και κανόνες για τη διάσπαση πολύπλοκων περιπτώσεων σε απλούστερες. Παραδείγματα αναδρομής, είναι γνωστά στον αναγνώστη. Αναφέρουμε το χαρακτηριστικό παράδειγμα υπολογισμού του παραγοντικού ακέραιου αριθμού n, που συμβολίζεται με n!. Παράδειγμα Το παραγοντικό του αριθμού n ορίζεται ως n!=1 2 n, η διαφορετικά με την αναδρομική σχέση: 1 αν κ = κ! =. κ ( κ 1! ) διαϕορετικ ά Παρατηρούμε ότι στην αναδρομική σχέση ο ορισμός του n! γίνεται με χρήση του προηγούμενου (n- 1)! Αυτό σημαίνει ότι το πλέον σύνθετο πρόβλημα αναλύεται σε ένα απλούστερο, και αυτό με τη σειρά του σε άλλο ακόμη πιο απλό. Στον προγραμματισμό με C, γράφουμε τον κώδικα: int Factorial(int n) { if (n == 0) return 1; return (n * Factorial(n-1)); } Πολυπλοκότερα προβλήματα από αυτό του Παραδείγματος μπορούν να λυθούν με τη βοήθεια της αναδρομής. Ένα τέτοιο πρόβλημα είναι και ο υπολογισμός των κινήσεων που απαιτούνται για τη μεταφορά του πύργου του Ανόι. Από τις απλούστερες προγραμματιστικές εφαρμογές της αναδρομής, έως τις πλέον σύνθετες, η βασική αναδρομική σχέση καλεί τον εαυτό της έως ότου τερματίσει. Η σύνθεση των λύσεων του αναδρομικού τύπου σε κάθε επανάληψη είναι το τελικό αποτέλεσμα. Για να αντιμετωπιστεί ο κίνδυνος της ατέρμονης επανάληψης, θα πρέπει να προβλεφτεί η συνθήκη τερματισμού. Διαφορετικά, η μηχανή θα δώσει ένδειξη «overflow». Η ένδειξη αυτή σημαίνει ότι καταγράφηκε υπερχείλιση του διαθέσιμου 60

62 αποθηκευτικού χώρου της στοίβας στην οποία καταχωρούνται τα αποτελέσματα διαδοχικών επαναλήψεων του βρόγχου. Στη μαθηματική επιστήμη η αποδεικτική μέθοδος της επαγωγής στηρίζεται στην έννοια της αναδρομής. Επίσης, στις γεωμετρίες κλασματικής διάστασης, η αναδρομή συναντάται ως επανάληψη των δομών καθώς η κλίμακα αναπαράστασης αλλάζει. Σχήμα Η εξέλιξη του τριγώνου Sierpinski καθώς η δομή αποτυπώνεται στα τρίγωνα εντός των τριγώνων. Διακρίνονται νέες πανομοιότυπες δομές εντός των προηγοιύμενων. Η αναδρομή αποτελεί μια από τις κλασικές διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι αλγόριθμοι. Κάθε αλγόριθμος είναι μια λίστα με σαφώς καθορισμένες οδηγίες για την ολοκλήρωση μιας εργασίας. Ξεκινώντας από την αρχική κατάσταση, οι οδηγίες που περιγράφουν έναν υπολογισμό, ο οποίος εξελίσσεται μέσα από μια καλώς ορισμένη ακολουθία διαδοχικών προτάσεων (που εκφράζουν λογικές και εκτελέσιμες λειτουργίες), τελικά καταλήγουν σε μια τελική κατάσταση. Η μετάβαση από μια πρόταση (λογική εντολή) στην επόμενη δεν είναι κατ ανάγκη αιτιοκρατούμενη. Ορισμένες αλγόριθμοι, που είναι γνωστοί ως τυχαιοποιημένοι αλγόριθμοι, ενσωματώνουν την έννοια της τυχαιότητας στην επιλογή της διαδοχής των προτάσεων. Μια μερική τυποποίηση της έννοιας ξεκίνησε με τις προσπάθειες για την επίλυση του Entscheidungsproblem (το «πρόβλημα της απόφασης») που έθεσε ο David Hilbert το Μεταγενέστερες μορφοποιήσεις της έννοιας του αλγόριθμου διαμορφώθηκαν ως απόπειρες να οριστεί η «αποτελεσματική υπολογισιμότητα» ή η «αποτελεσματική μέθοδος». Οι μορφοποιήσεις αυτές περιλαμβάνονται στις αναδρομικές συναρτήσεις των Gödel-Herbrand-Kleene του 1930, 1934 και 1935, λογισμός λάμδα του Alonzo Church του 1936, και του Emil Post στη «Μορφοποίηση 1» του Τέλος και ο Alan Turing στις «Μηχανές Turing» του και 1939 έδωσε έναν βελτιωμένο φορμαλισμό της πολυσυζητημένης έννοιας του Αλγόριθμου. Ένα πρωτότυπο παράδειγμα αλγόριθμου είναι ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο ακεραίων (Χ και Υ), η οποίοι είναι μεγαλύτεροι από 1. Ο αλγόριθμος ακολουθεί μια σειρά από βήματα, που παρουσιάζονται με την αναλυτική του περιγραφή. Στο i βήμα, διαιρούμε Χ δια Υ (Χ είναι μεγαλύτερος του Υ) για να προκύψει το υπόλοιπο, το οποίο ονομάζουμε R 1. Στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στο (i+1) βήμα, όπου θα διαιρέσουμε Υ δια του R 1 για να βρούμε το υπόλοιπο, το οποίο ονομάζουμε R 2. Αν R 2 =0, σταματάμε και καταλήγουμε ότι R 1 είναι μέγιστος κοινός διαιρέτη των Χ και Υ. Αν δεν είναι, θα συνεχίσουμε, μέχρι R n =0. Στη συνέχεια, R (n-1) είναι το μέγιστο κοινό τμήμα των Χ και Υ. Η διαδικασία αυτή περατώνεται μετά από πεπερασμένο πλήθος επαναλήψεων, των οποίων ο αριθμός των διαδοχικών διαιρέσεων που απαιτούνται είναι πάντα μικρότερος από τον μεγαλύτερο εκ των δύο αριθμών. Κάθε στοιχείο μιας ακολουθίας αριθμών προκύπτει με δυο τρόπους. Ένας εξ αυτών στηρίζεται σε μια συνάρτηση της μεταβλητής n, με πεδίο ορισμού τους φυσικούς αριθμούς, όπως φαίνεται στο Παράδειγμα Ο δεύτερος κάνει χρήση ενός ή περισσότερων προηγούμενων στοιχείων της ακολουθίας που χρησιμοποιούνται με μια συγκεκριμένη και αναλλοίωτη διαδικασία. Συνήθως, η διαδικασία αυτή συγκροτείται από αριθμητικές πράξεις που διαμορφώνουν τον αναδρομικό τύπο της ακολουθίας (Παράδειγμα 3.1.2). Παράδειγμα Η ακολουθία {α n }, οι όροι της οποίας ικανοποιούν τη σχέση α n =1/n, έχει τους έξη πρώτους όρους αυτής, 1=1/21/31/41/51/6, Η αναδρομικότητα είναι η διαδικασία δημιουργίας των όρων μιας ακολουθίας με συγκεκριμένο τρόπο χρήσης πεπερασμένου πλήθους των αμέσως προηγούμενων όρων αυτής. Για παράδειγμα, κάθε όρος 61

63 της ακολουθίας Fibonacci δημιουργείται όταν δυο διαδοχικοί όροι της προστίθενται για να δημιουργήσουν τον επόμενο. Αυτό συνοψίζεται στον αναδρομικό τύπο α (n+2) =α (n+1) +α n. Παράδειγμα Η ακολουθία {β n }, οι όροι της οποίας δίνονται με τον αναδρομικό τύπο β n+2 =β n+1 -β n /β n-1. με αρχικές τιμές 2, 4, 6 διαμορφώνουν την ακολουθία της οποίας οι επτά πρώτοι όροι είναι 2,6,10,2,4/31/31/2, Κάθε διαφοροποίηση των αρχικών τιμών μιας ακολουθίας, που ορίζεται με αναδρομικό τύπο, παράγει μια διαφορετική ακολουθία αριθμών. Έτσι ο αναδρομικό τύπος στο Παράδειγμα οδηγεί σε μια άλλη ακολουθία, όπως φαίνεται στο επόμενο Παράδειγμα Παράδειγμα Η ακολουθία {β n }, οι όροι της οποίας δίνονται με τον αναδρομικό τύπο του Παραδείγματος 3.1.2, αλλά με αρχικές τιμές 2, 8, 16, έχει τους εξής επτά πρώτους όρους, 2,8,16,4,-6,-5,1/2,... Είναι γνωστό από τη θεωρία συνόλων, ότι ένα σύνολο με άπειρο πλήθος στοιχείων καλείται αριθμήσιμο εάν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία των στοιχείων του με τους φυσικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε στοιχείο του συνόλου μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν φυσικό αριθμό. Κανένα από τα στοιχεία του συνόλου δεν θα λάβει τον ίδιο αριθμό με την αντιστοίχιση. Στη Θεωρία Υπολογισιμότητας, που ονομάζεται και Θεωρία Αναδρομικότητας, ένα σύνολο φυσικών αριθμών Ω καλείται αναδρομικά αριθμήσιμο, αν υπάρχει κατάλληλος αλγόριθμος, ο οποίος απαριθμεί τα στοιχεία του συνόλου. Ένα τέτοιο σύνολο καλείται και «Αναγνωρίσιμο κατά Turing». Κάθε αναδρομικό σύνολο είναι αναδρομικά αριθμήσιμο Ιδιότητες Αναδρομικών Συνόλων Ένα αναδρομικό σύνολο αριθμών που αποτελείται από τα στοιχεία μια ακολουθίας, που ορίζεται με μια αναδρομική σχέση, είναι δυνατό να συγκλίνει ή να αποκλίνει ή τέλος να παρουσιάζει μια περιοδικότητα. Η τελευταία ιδιότητα σημαίνει ότι υπάρχει ένα πεπερασμένο υποσύνολο αριθμών το οποίο επαναλαμβάνεται αδιάλειπτα. Το υποσύνολο αυτό καλείται και «σύνολο ισορροπίας» (equilibrium) του αναδρομικού συνόλου. Στη μη γραμμική δυναμική, εμφανίζονται αναδρομικά συστήματα αριθμών των οποίων τα στοιχεία δεν είναι επαναλήψεις των στοιχείων του συνόλου ισορροπίας, αλλά απέχουν από αυτά μεταβαλλόμενες αποστάσεις, που αυξομειώνονται με απρόβλεπτο τρόπο. Σε αυτές τις περιπτώσεις το σύνολο των σημείων από τα οποία απομακρύνονται για να πλησιάσουν αργότερα τα σημεία του αναδρομικού συνόλου, καλούνται «παράξενοι ελκυστές» (strange atractors). Ένα σύνολο φυσικών αριθμών καλείται αναδρομικό (recursive) ή υπολογίσιμο (computable) αν κάθε στοιχείο του προκύπτει από έναν αλγόριθμο που λειτουργεί σε πεπερασμένο χρόνο. Ο ίδιος αλγόριθμος θα πρέπει να δικρίνει και τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο δοσμένο σύνολο. Ένα σύνολο που δεν είναι υπολογίσιμο λέγεται «μη υπολογίσιμο» (non-computable) ή «μη αποφασίσιμο» (undecidable). Ο τελευταίος όρος χρησιμοποιείται κυρίως στη θεωρία αποφάσεων. Μια γενικότερη κατηγορία συνόλων αποτελείται από τα αναδρομικά αριθμήσιμα σύνολα. Για τα σύνολα αυτά, απαιτείται μόνο να υπάρχει αλγόριθμος που αποκρίνεται σωστά όταν ένας αριθμός ανήκει στο σύνολο. Ο αλγόριθμος μπορεί να μην απαντήσει ποτέ για αριθμούς που δεν είναι στο σύνολο, αλλά αν δώσει απάντηση δεν θα είναι ποτέ λάθος. Ο Kleene διατύπωσε δυο θέσεις σχετικά με την υπολογισιμότητα. Η κάθε μία συνδέθηκε με τις απόψεις περί υπολογίσιμων συνόλων του Turing και το Church, αλλά σήμερα συνοψίζονται σε μια ενιαία πρόταση, την περίφημη «Θέση Church-Turing» σύμφωνα με την οποία, κάθε λειτουργία που είναι υπολογίσιμη από τον αλγόριθμο, είναι μια υπολογίσιμη συνάρτηση. Καθώς ένας αλγόριθμος αποτελείται, όπως είδαμε, από επί μέρους μικρότερα τμήματα, καθένα από τα οποία λύνει ένα μικρότερο πρόβλημα, η θέση των Church-Turing δημιουργεί υπολογίσιμα σύνολα που περιέχουν τιμές των υπολογίσιμων συναρτήσεων. Αυτά τα σύνολα, εφοδιασμένα με κατάλληλες πράξεις και τις ιδιότητές τους, θέτουν τις βάσεις της θεωρίας αλγόριθμων. Φυσικά, μετά από όσα αναφέρθηκαν, μπορούμε να θεωρήσουμε ως βάση της υπολογισιμότητας την αναδρομικότητα, αφού αυτή παράγει αποτελέσματα για τα πλέον στοιχειώδη προβλήματα. Έτσι, ένα υπολογίσιμο σύνολο θα μπορούσε να είναι το σύνολο των τιμών μιας αναδρομικής σχέσης. 62

64 Ορισμός Ένα υποσύνολο S των φυσικών αριθμών λέγεται αναδρομικό αν υπάρχει μια ολικά υπολογίσιμη 1 αν x S συνάρτηση f τέτοια ώστε: ( x ) = 0 αν x S. Για τα αναδρομικά σύνολα είναι γνωστό ότι ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις. Οι προτάσεις παρατίθενται χωρίς απόδειξη. Πρόταση Ισχύει ότι αν το A είναι αναδρομικό σύνολο τότε το συμπλήρωμα του A είναι αναδρομικό σύνολο. Πρόταση Αν A και B είναι αναδρομικά σύνολα τότε τα σύνολα A B, A B και το A B υπό την συνάρτηση ζεύγους του Cantor, είναι επίσης αναδρομικά σύνολα. Πρόταση Ένα σύνολο A είναι αναδρομικό αν και μόνο αν το A και το συμπλήρωμά του είναι και τα δύο αναδρομικά αριθμήσιμα. Πρόταση Η προεικόνα ενός αναδρομικού συνόλου υπό μια ολικά υπολογίσιμη συνάρτηση είναι αναδρομικό σύνολο. Πρόταση Η εικόνα ενός υπολογίσιμου συνόλου μέσω μιας ολικά υπολογίσιμης συνάρτησης είναι υπολογίσιμη. Πρόταση Ένα σύνολο είναι αναδρομικό αν και μόνο αν ανήκει στο επίπεδο Δ 0 1 ( της αριθμητικής ιεραρχίας Πρόταση Ένα σύνολο είναι αναδρομικό αν και μόνο αν είναι είτε το πεδίο τιμών μιας ασθενώς αύξουσας ολικά υπολογίσιμης συνάρτησης ή το κενό σύνολο. Πρόταση Η εικόνα ενός υπολογίσιμου συνόλου, μέσω μιας ασθενώς αύξουσας ολικής υπολογίσιμης συνάρτησης, είναι υπολογίσιμη. Θεώρημα (Rice). Κάθε μη τετριμμένη ιδιότητα γλώσσας αναγνωρίσιμης από μια μηχανή Turing δεν είναι αναδρομική. Σημειώνεται ότι μια ιδιότητα καλείται «μη τετριμμένη», αν υπάρχει τουλάχιστον μία μηχανή Turing που έχει την ιδιότητα και συγχρόνως μία τουλάχιστον άλλη μηχανή που δεν την έχει. Έτσι, η σημασία του Θεωρήματος γίνεται αντιληπτή αν σκεφτούμε μια ιδιότητα γλώσσας που επιθυμούμε να εξετάσουμε. Έστω εξετάζεται η ιδιότητα της κανονικότητας. Ορίζουμε ως C το σύνολο όλων των γλωσσών που έχουν την ιδιότητα της κανονικότητας. Έστω L C το σύνολο των μηχανών Turing που αναγνωρίζουν γλώσσες που έχουν τη συγκεκριμένη ιδιότητα. Το θεώρημα του Rice λέει ότι, αν υποτεθεί ότι κάθε μηχανή Turing αναγνωρίζει μια γλώσσα με τη συγκεκριμένη ιδιότητα, και επιπλέον αν υποθέσουμε ότι καμία μηχανή Turing δεν αναγνωρίζει γλώσσες με την συγκεκριμένη ιδιότητα, τότε το L C δεν είναι αναδρομικό. Ας σημειωθεί στο σημείο αυτό ότι και οι δυο υποθέσεις του παραδείγματος είναι εσφαλμένες. Ορισμός Αναδρομική ακολουθία τάξης k καλείται μια ακολουθία της οποίας ο κάθε όρος με δείκτη μεγαλύτερο ή ίσος του k, δημιουργείται με αναδρομικό τύπο στον οποίο περιλαμβάνονται όλοι οι k-1 όροι. 63

65 Τα κριτήρια σύγκλισης των αναδρομικών ακολουθιών είναι τα γενικά κριτήρια σύγκλισης των ακολουθιών, όπως το κριτήριο Cauchy ή το κριτήριο d Alembert. Επιπλέον όμως είναι δυνατό να εξαχθούν συμπεράσματα και από τον αναδρομικό τύπο. Παραθέτουμε τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις εντοπισμού του αναγωγικού τύπου. Στο Παράδειγμα εξετάζεται η περίπτωση της γραμμικής μορφής του γενικού όρου, ενώ στο Παράδειγμα και στο Παράδειγμα εξετάζονται οι περιπτώσεις όπου ο γενικός όρος της ακολουθίας έχει τη μορφή α n =cx n +d και α n =c/n. Παράδειγμα Αν ο γενικός όρος της ακολουθίας είναι ο α n =cn+d, ο επόμενος όρος αυτής, θα είναι ο α (n+1) =c(n+1)+d=α n +c. Έτσι, ο αναγωγικός τύπος θα έχει τη μορφή α (n+1) =α n +c n n-{0}. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας θα είναι α 1 =c+d. Παράδειγμα Αν ο γενικός όρος της ακολουθίας είναι ο α n =cd n +M, ό επόμενος όρος αυτής, θα είναι ο α (n+1) =cd (n+1) +M=d(cd n +M)-dM+M=dα n +M(1-d). Έτσι, ο αναγωγικός τύπος θα έχει τη μορφή α (n+1) =dα n +M(1- d) n N-{0}. Ο πρώτος όρος της ακολουθίας θα είναι α 1 =cd+m. Παράδειγμα Αν ο γενικός όρος της ακολουθίας είναι ο α n =1/n, τότε με κατάλληλες πράξεις ο επόμενος όρος θα είναι α n+1 =1/(n+1)=1/n n/(n+1)=1/n (1-1/(n+1))=α n (1-α n+1 ) α n+1 =α n /(1+α n ),α 1 =1 Παράδειγμα Ο πύργος του Ανόι είναι ένα κλασικό παράδειγμα αναδρομικά αριθμήσιμου συνόλου κινήσεων για τη μεταφορά των δίσκων του πύργου. Ο πύργος αποτελείται από ένα αριθμό δίσκων, κάθε ένας από τους οποίους έχει ακτίνα διαφορετική από τους υπόλοιπους. Οι δίσκοι είναι τοποθετημένοι σε μια περόνη χάρη σε μια οπή που βρίσκεται στο κέντρο τους. Συνθήκη για την τοποθέτηση των δίσκων είναι να μη βρίσκεται ποτέ δίσκος μικρότερης ακτίνας κάτω από δίσκο μεγαλύτερης ακτίνας. Σχήμα Ο πύργος του Ανόι: Στη διαδικασία μεταφοράς του πύργου σε έναν διαθέσιμο στύλο, δεν θα πρέπει να βρεθεί δίσκος μεγαλύτερης ακτίνας επάνω από δίσκο μικρότερης ακτίνας. Παράδειγμα Ακολουθία FIBOnACCI και η Χρυσή Τομή. Με το παράδειγμα αυτό θα επιχειρηθεί να παρουσιαστεί μια εφαρμογή των ακολουθιών Fibonacci στη διαχείριση ηλεκτρικής ενέργειας και στις τηλεπικοινωνίες. Η εργασία εκπονήθηκε στο πλαίσιο του μαθήματος το 2004 από τον φοιτητή κ. Σάββα Γιαγλυτικό, υπό την εποπτεία του καθηγητή Δ.Α. Γεωργίου. Ο Leonardo Fibonacci, στο βιβλίο του Liber Abaci, έθεσε ένα πρόβλημα με μία ιστορία που συνοψίζεται παρακάτω. Υποθέτουμε ότι την πρώτη μέρα του Γενάρη υπάρχει σε κάποιο κλειστό μέρος ένα ζευγάρι κουνέλια, το ζευγάρι αυτό παράγει ένα ζευγάρι κουνέλια την πρώτη μέρα του Φλεβάρη, καθώς και ένα κάθε 64

66 πρώτη του μήνα που ακολουθεί, κάθε νέο ζευγάρι ωριμάζει σε ένα μήνα και μετά παράγει ένα νέο ζευγάρι την πρώτη μέρα κάθε μήνα που ακολουθεί. Το πρόβλημα είναι να βρεθεί πόσα ζευγάρια κουνελιών θα βρίσκονται στο μέρος αυτό την πρώτη μέρα του ερχόμενου Γενάρη μετά τη γέννηση της μέρας εκείνης. Στο διάγραμμα συμβολίζουμε κάθε ενήλικο ζευγάρι με Α και κάθε ανήλικο ζευγάρι με Β. Ημερομηνία Ζευγάρια Πλήθος Α ζευγών Πλήθος Β ζευγών 1 η Μαρτίου ΑΒΑ η Απριλίου ΑΒΑΑΒ η Μαϊου ΑΒΑΑΒΑΒΑ η Ιουνίου ΑΒΑΑΒΑΒΑΑΒΑΑΒ 8 5 Οπότε ο πίνακας για όλο το έτος γενικεύεται σε: Ημερομηνία Πλήθος Α ζευγών Πλήθος Β ζευγών Ολικό πλήθος ζευγών 1 η Ιανουαρίου η Φεβρουαρίου η Μαρτίου η Απριλίου η Μαϊου η Ιουνίου η Ιουλίου η Αυγούστου η Σεπτεμβρίου η Οκτωβρίου η Νοεμβρίου η Δεκεμβρίου η Ιανουαρίου Έτσι βλέπουμε με τις συνθήκες του προβλήματος το πλήθος των ζευγών των κουνελιών θα είναι σε ένα έτος 377. Γενικά ένα σύνολο αριθμών σε σειρά όπως αυτά του παραπάνω πίνακα ονομάζεται ακολουθία. Μία ακολουθία μπορεί να έχει άπειρο πλήθος όρων ή πεπερασμένο. Ένα παράδειγμα ακολουθίας είναι η αριθμητική πρόοδος. Η ακολουθία 1,1,2,3,5,8,13,, λέγεται ακολουθία Fibonacci και οι όροι της αριθμοί Fibonacci. Θα εξετάσουμε τη συνέχεια τη σχέση της ακολουθίας Fibonacci με την αναλογία των αριθμών, που είναι γνωστή ως χρυσή τομή. Μας δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ζητάμε να βρούμε το σημείο Γ (ανάμεσα στα Α & Β) τέτοιο ώστε το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος να είναι το μέσο ανάλογο ανάμεσα στο μήκος του όλου τμήματος και στο μήκος του μικρότερου τμήματος. Σχήμα Τα τρία ευθύγραμμα τμήματα ικανοποιούν τη χρυσή τομή, Όπου AB 0,ΑΓ 0,ΓΒ 0. Βρίσκουμε πρώτα τη θετική αριθμητική τιμή του λόγου ΑΒ/ΑΓ. Για ευκολία θέτουμε x=αβ/αγ,(x>0) Τότε θα έχουμε x=αβ/αγ=(αγ+γβ)/αγ=1+1/(αγ/γβ)=1+1/(αβ/αγ)=1+1/χ Από την x=1+1/x με απαλοιφή του παρανομαστή προκύπτει x 2 =x+1 ή x 2 -x-1=0. Οι ρίζες αυτής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι β=(1+ 5)/2. και β=(1-5)/2. Παρατηρούμε πως α>0 και β<0 και υπολογίζουμε ότι α=1,618 και β=-0,618 Έτσι παίρνουμε τη θετική ρίζα α σαν την τιμή του ζητούμενου λόγου: AB/AΓ=(1+ 5)/2. Χρησιμοποιούμε τώρα αυτή την αριθμητική τιμή για να βρούμε μία μέθοδο καθορισμού της θέσης του Γ στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Στο τρίγωνο του σχήματος ισχύουν BΔ=ΔE, AΓ=AE. 65

67 Σχήμα Εφαρμογή της χρυσής τομής σε ορθογώνιο τρίγωνο με λόγο καθέτων πλευρών ½. Τότε ΑΒ=2ΒΔ, EΔ=BΔ και με το πυθαγόρειο θεώρημα ΑΔ= 5 ΒΔ. Ώστε ΑΓ=ΑΕ=ΑΔ=( 5-1)ΒΔ,ΑΒ/ΑΓ=2ΒΔ/( 5-1)ΒΔ=(2( 5+1))/(5-1)=( 5+1)/2. Ο υπολογισμός αυτός επαληθεύει ότι η κατασκευή καθορίζει πράγματι τη θέση του Γ στο ΑΒ έτσι ώστε AB/AΓ=(1+ 5)/2. Επειδή α είναι η ρίζα της εξίσωσης x 2 -x-1=0 έχουμε α 2 =α+1. Κάνοντας πράξεις στους παραπάνω τύπους καταλήγουμε στον F x =(α n -β n )/(α-β), n=1,2,3, που λέγεται τύπος του Binet για του αριθμούς Fibonacci, από το όνομα του Γάλλου μαθηματικού Jacques-Phillipe-Marie Binet ( ). Επειδή οι ρίζες της εξίσωσης x 2 -x-1=0, σχετίζονται με τους αριθμούς Fibonacci η εξίσωση λέγεται Δευτεροβάθμια εξίσωση Fibonacci. Οπότε θα λέμε τη θετική ρίζα της α=(1+ 5)/2, Χρυσή τομή. Αυτή συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ.το σημείο Γ που διαιρεί το ΑΒ έτσι ώστε α=αβ/αγ=(1+ 5)/2 λέμε ότι διαιρεί το ΑΒ σε Χρυσή τομή. Στο ορθογώνιο του παρακάτω σχήματος έχουμε ΒΓ/ΕΒ=ΑΒ/ΔΑ,τότε αν ΔA=AE=BΓ=x και ΕΒ=y θα έχουμε x/y=(x+y)/x x/y=1+y/x. Σχήμα Τα δυο παραλληλόγραμμα έχουν διαστάσεις οριζόμενες εκ της χρυσής τομής. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της τελευταίας επί x/y και βρίσκουμε (x/y) 2 =x/y+1 (x/y) 2 -x/y-1=0. που είναι της ίδιας μορφής με την εξίσωση x 2 -x-1=0. Αφού x και y θετικοί, αναζητούμε την θετική τιμή του x/y. Έτσι, x/y=α=(1+ 5)/2. Δηλαδή ο λόγος μήκους προς το πλάτος του ορθογωνίου BΓFE καθώς και του ABΓΔ είναι η χρυσή τομή. Ένα τέτοιο ορθογώνιο λέγεται Χρυσό Ορθογώνιο. Οι αναλογίες του χρυσού ορθογωνίου εμφανίζονται συχνά στην κλασική ελληνική τέχνη και την αρχιτεκτονική. Όπως απέδειξαν οι ψυχολόγοι Gustav Theodor Fechner ( ) και Wilhelm Wundt 66

68 ( ), σε μία σειρά από ψυχολογικά πειράματα, οι περισσότεροι άνθρωποι προτιμούν υποσυνείδητα τις χρυσές διαστάσεις, όταν επιλέγουν διάφορα ορθογώνια αντικείμενα, όπως πίνακες, κάρτες. Παρακάτω φαίνεται η εντύπωση ενός καλλιτέχνη στο πρόσωπο του Ιησού Χριστού με βάση τη Σινδόνη του Τορίνου και διορθωμένος για να ταιριάξει με του Dr. Stephen Marquardt τη μάσκα. Σχήμα Xρήση του προσωπείου Marquardt σε απεικόνιση του Ιησού Χριστού επί της Σινδόνης του Τορίνου. To προσωπείο έχει υποστεί μετασχηματισμό κατά την οριζόντια διάσταση. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται ένα θέμα γεωμετρικών υπολογισμών που στηρίζεται στη χρυσή τομή. Με τη βοήθεια υπολογισμών αυτού του είδους, αναπτύσσεται ο αρμονικός έλεγχος δισδιάστατων αναπαραστάσεων. Υποθέτουμε ότι από το ορθογώνιο ABCD θέλουμε να αποκόψουμε 3 ισεμβαδικά ορθογώνια τρίγωνα PAQ, QBC, CDP όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα Σύνθετο σχήμα με εφαρμογή του χρυσού κανόνα στις δυο πλευρές του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Για να καθοριστεί η θέση των σημείων P και Q. Παίρνουμε AQ=x, QB=y, AP=w, PD=z. Τότε, αφού τα εμβαδά των τριγώνων PAQ, QBC, CDP είναι ίσα, έχουμε: ½xw=½y(w+z)=½z(x+y) xw=yw+yz=xz+yz. Από την yw+yz=xz+yz έχουμε yw=xz w/z=x/y. Επίσης από την xw+y(w+z), έχουμε x/y=(w+z)/w=1+z/w=1+1/(w/z). 67

69 Επειδή w/z=x/y, έχουμε x/y=1+1/(x/y), ή (x/y) 2 -x/y-1=0. Παίρνοντας πάλι τη θετική ρίζα έχουμε x/y=α=(1+ 5)/2. Αλλά ισχύει επίσης w/z=x/y=α, και έτσι τα σημεία P και Q πρέπει να χωρίζουν τις πλευρές AD και ΑΒ αντίστοιχα στηχρυσή τομή έτσι ώστε ΑP/PD=ΑQ/QB=α. Πρόσθετο υλικό για τη χρυσή τομή δίνεται στα δύο άρθρα του Marvin Holt: Mystery Puzzler and Phi, και The Golden Section. To «χρυσό κυβοειδές» πραγματεύεται σε άρθρο με τον ίδιο τίτλο ο H. Huntley στο περιοδικό The Fibonacci Quarterly. Άλλη μια ενδιαφέρουσα πηγή είναι το βιβλίο Patterns in Space του συνταγματάρχη R S. Beard. To βιβλίο αυτό περιέχει πολλές περιπτώσεις Χρυσής Τομής σε παραλλαγές κανονικών στερεών. Τέλος ένα τρίγωνο καλείται Χρυσό Τρίγωνο, όταν του αποκόψουμε ένα όμοιό του τρίγωνο, έτσι ώστε ο λόγος του εμβαδού του προς το εμβαδόν του τριγώνου που μένει να είναι α=1,618.το χρυσό τρίγωνο εμφανίζεται στις σελίδες του βιβλίου The Bequest of the Greeks του Tobias Dantzig, καθώς και στην σελίδα 42 του βιβλίου The Fibonacci numbers του Ν. Ν. Vorobyov. Μπορείτε ακόμα να ανατρέξετε στο άρθρο Golden Triangles, Rectangles and Cuboids, της Marjorie Bicknell και του Verner E. Hoggat, Jr., Για περισσότερες πληροφορίες βλ. Οδηγό περαιτέρω μελέτης στο τέλος του κεφαλαίου. Αμέσως μετά παρατίθενται στοιχεία για εκτενέστερη μελέτη ιδιοτήτων των ακολουθιών Fibonacci. Από τα όσα παρατέθηκαν προηγουμένως θυμόμαστε ότι οι ρίζες της εξίσωσης Fibonacci. x 2 -x-1=0 είναι α=(1+ 5)/2 και β=(1+ 5)/2, και έτσι α 2 =α+1 και β 2 =β+1. Έχουμε ακόμα α+β=1 και α- b= 5. Επίσης έχουμε α n+2 =α n+1 +α n και β n+2 =β n+1 +β n. Χρησιμοποιήσαμε αυτές τις ισότητες και βρήκαμε ότι οι αριθμοί Fibonacci γράφονται με τους τύπους του Binet: F_ n =(α n -b n )/(α-β)=(α n -b n )/ 5, n=1,2,3,. Προσθέτοντας τα παραπάνω μέλη έχουμε (α n+2 +β n+2 )=(α n+1 +β n+1 )+(α n +β n ). Αν θέσουμε L n =α n +β n, n=1,2,3,.έτσι έχουμε τον τύπο του Binet για την ακολουθία Lucas. Ας συγκρίνουμε τώρα τους αριθμούς Fibonacci με τους αριθμούς Lucas: F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L Σημειώστε ότι F 1 +F 3 =L 2, F 2 +F 4 =L 3. Μπορεί να αποδειχθεί ότι γενικά ισχύει L n =F n-1 +F n+1, από την οποία αφού F n+1 =F n +F n-1, προκύπτει L n =F n +2F n-1. Μπορείτε να επαληθεύσετε την τελευταία σχέση σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, να διαπιστώσετε δηλαδή ότι L 6 =F 6 +2F 5, έχουμε έτσι εκφράσει τους L n και F n. Αν λάβουμε υπόψη ότι α-b= 5, τότε από τον τύπο του Binet έχουμε: 5F n =α n -b n,l n =α n +b n. Με πρόσθεση βρίσκουμε ότι 2a n =L_n+ 5F n (L n + 5F n )/2. Επίσης με αφαίρεση κατά μέλη b n -(L n + 5F n )/2. Ας θυμηθούμε πως είχαμε ορίσει τον F 0 σαν F 2 -F 1. Όμοια μπορούμε να ορίσουμε τον L 0 σαν L 2 -L 1 =3-1=2 και επειδή L 1 =α+β=1 η σχέση μπορεί να γραφεί σαν L n =L 1 F n +L 0 F n-1. Άρα λοιπόν τους αρνητικούς τους ορίζουμε ως εξής F n-1 =F n+1 -Fn και L n-1 =L n+1 -L n. Έτσι θα έχουμε και τους αρνητικούς F -4 F -3 F -2 F -1 F 0 F 1 F 2 F 3 F L -4 L -3 L -2 L -1 L 0 L 1 L 2 L 3 L Βρίσκουμε τώρα τους πρώτους 14 διαδοχικούς λόγους (F n+1 )/F n, (L n+1 )/L n, οι τιμές των διαδοχικών λόγων όπως φαίνονται παρακάτω πλησιάζουν και στις δύο περιπτώσεις όλο και περισσότερο την τιμή του α., καθώς παίρνουμε μεγαλύτερες τιμές του n. Μπορεί να παρατηρηθεί ότι ο πρώτος όρος των αριθμών Fibonacci είναι μικρότερος του α, ο δεύτερος είναι μεγαλύτερος κ.λπ. Ενώ στους αριθμούς Lucas o πρώτος λόγος είναι μεγαλύτερος του α, ο δεύτερος μικρότερος κ.λπ. Άρα λοιπόν: 68

70 F2/F1<a<L2/L1 F3/F2<a<L3/L2 F(n+1)/Fn L(n+1)/Ln 1/1=1,000 3/1=3,000 2/1=2,000 4/3=1,333 3/2=1,500 7/4=1,750 5/3=1,667 11/7=1,5714 8/5=1,600 18/11=1, /8=1,625 29/18=1, /13=1, /29=1, /21=1,619 76/47=1, /34=1, /76=1, /55=1, /123=1, /89=1, /199=1, /144=1, /322=1, /233=1, /521=1, /377=1, /843=1,6180 Όπου το α 1, Πίνακας Οι πρώτοι 14 όροι της ακολουθίας Fibonacci. F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F Στον Πίνακα παρατηρούμε τα ακόλουθα: Κάθε τρίτος F n είναι άρτιος και ο F 3 =2 διαιρεί τους F (3+3i),i=1,2,. Για παράδειγμα βλέπουμε ότι ο F 3 διαιρεί τους F 6 =8, F 9 =34, F 12 =144, F 15 =610, O F 4 =3 διαιρεί τους F 8 =21, F 12 =144, O F 5 =5 διαιρεί τους F 10 =55, F 15 =610, O F 6 =8 διαιρεί τον F 12 =144, O F 7 =13 διαιρεί τον F 14 =377, Τα παραδείγματα αυτά μας οδηγούν στα ακόλουθα θεωρήματα. Θεώρημα Κάθε αριθμός Fibonacci F k διαιρεί κάθε αριθμό Fibonacci F nk για n=1,2,3, ή αν ο r διαιρείται δια του s τότε ο F r διαιρείται δια του F s. Θεώρημα O Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (συμβολίζεται με gcd) δύο αριθμών της ακολουθίας Fibonacci είναι εκείνος ο αριθμός Fibonacci που έχει δείκτη τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των δεικτών των δύο αυτών αριθμών. Δηλαδή gcd(f m,f n )=F (m,n). To θεώρημα ΙΙ μπορεί να αποδειχθεί με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη ή σαν λύση μιας Διοφαντικής εξίσωσης. Βλέπε Glenn Michael, A new Proof for an Old Property. Θεώρημα O αριθμός F n διαιρείται δια του F m, αν και μόνον αν ο n διαιρείται δια του m. Θεώρημα O αριθμός L n διαιρεί τον F m, αν και μόνον αν m=2kn,n>1. Θεώρημα O αριθμός L n διαιρεί τον L m, αν και μόνον αν m=(2k-1)n, n>1. Θεώρημα Ισχύει ότι gcd(f n+2 ),F (n+1) )=1. 69

71 Θεώρημα Ισχύει ότι gcd(l (n+2),l (n+1) )=1. Παρατηρήσεις σχετικά με την περιοδικότητα των αριθμών Fibonacci & Lucas Παρατηρήσαμε ήδη ότι αν θεωρήσουμε την ακολουθία των πρώτων αριθμών της ακολουθίας Fibonacci ότι: O 2 διαιρεί τους F 3 και F 6 κ.λπ. O 3 διαιρεί τους F 4 και F 8 κ.λπ. O 5 διαιρεί τους F 5 και F 10 κ.λπ. O 7 διαιρεί τους F 8, κατά συνέπεια και τον F 16, κ.λπ. O 11 διαιρεί τους F 10, κατά συνέπεια και τον F 20, κ.λπ. O 13 διαιρεί τους F 7 και F 14 κ.λπ. Από τις παρατηρήσεις αυτές έχουν προκύψει μια σειρά προτάσεων που παραθέτουμε στη συνέχεια. Θεώρημα Κάθε ακέραιος αριθμός m διαιρεί κάποιον αριθμό Fibonacci (>F 0 ) του οποίου ο υποδείκτης δεν υπερβαίνει τον m 2. Για παράδειγμα Κ 7 =16. Θεώρημα Αν ο F n διαιρεθεί δια του F m (n>m), τότε είτε το υπόλοιπο R είναι αριθμός Fibonacci, είτε ο αριθμός F m -R είναι ο αριθμός Fibonacci. Π.χ. 89= , ή F 11 =2 F 9 +F 8 ή 144= , ή F 12 =6 F Θεώρημα Αν ο L n διαιρεθεί δια του L m (n>m), τότε είτε το υπόλοιπο R είναι μηδέν ή ο R είναι αριθμός Lucas ή ο L m - R είναι ο αριθμός Lucas. Π.χ. 76=19 4+0, ή L 9 =19 L 3 +0 & 18=1 11+7, ή L 6 =1 L 5 +L 4 & 47=6 7+5, ή L 8 =6 L 4 +(L 4 -L 0 ). Μια απόδειξη της «Ιδιότητας των Υπολοίπων» βρίσκεται στο άρθρο του John H. Halton με τίτλο Fibonacci Residues. H ιδιότητα αυτή για τους αριθμούς Lucas αναπτύσσεται από τον Laurence Taylor στο άρθρο του Residues of Fibonacci-Like Sequences. Στο ίδιο άρθρο βλέπουμε ότι οι ακολουθίες Fibonacci και Lucas είναι οι μόνες που πληρούν την αναδρομική ιδιότητα u n+2 =u n+1 +u n και έχουν τις ιδιότητες που καθορίζουν το Θεώρημα και το Θεώρημα Το Τρίγωνο του Pascal και οι Αριθμοί Fibonacci Αν θεωρήσουμε τα διωνυμικά αναπτύγματα (x+y) n για n=0,1,2,3,4,5,, μπορούμε να τα γράψουμε με την μορφή: (x+y) 0 =x 0 y 0 (x+y) 1 =x 1 y 0 +x 0 y 1 (x+y) 2 =x 2 y 0 +2x 1 y 1 +x 0 y 2 (x+y) 3 =x 3 y 0 +3x 2 y 1 +3x 1 y 2 +x 0 y 3 (x+y) 4 =x 4 y 0 +4x 3 y 1 +6x 2 y 2 +4x 1 y 3 +x 0 y 4 (x+y) 5 =x 5 y 0 +5x 4 y 1 +10x 3 y 2 +10x 2 y 3 +10x 1 y 4 +x 0 y 5 Αφού x 0 =y 0 =1 (x και y μη μηδενικοί), μπορούμε να γράψουμε τους συντελεστές στην ακόλουθη μορφή που λέγεται τρίγωνο του Pascal:

72 Γράφοντας διαδοχικές γραμμές του τριγώνου του Pascal μπορούμε να βρούμε οποιοδήποτε διωνυμικό συντελεστή, μπορούμε όμως να τους βρίσκουμε και με άμεσο τρόπο. Ας είναι n=n! Και n n! 0!=1. Αποδεικνύεται τότε ότι = m m! ( n m )!. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στους αριθμούς Fibonacci και στο τρίγωνο του Psacal; Γράφοντας το τρίγωνο όπως παρακάτω έχουμε: Βλέπουμε έτσι πως τα αθροίσματα κατά μήκος των ανερχόμενων διαγωνίων είναι οι αριθμοί Fibonacci. F 1 =1, F 2 =1, F 3 =1+1, F 4 =1+2, F 5 =1+3+1, F 6 =1+4+3, F 7 = , κλπ. Γενικά αποδεικνύεται ότι F n + 1 n/2 n i =, όπου x είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υπερβαίνει το x. i i= Πίνακες 2 2 που Σχετίζονται με τους Αριθμούς Fibonacci a b Ένας πίνακας 2 2 συμβολίζεται με Α=, όπου α,b,c,d είναι πραγματικοί αριθμοί που λέγονται c d στοιχεία. Σε αυτό το κεφάλαιο δεν θα ασχοληθούμε με τη γραμμική άλγεβρα πινάκων, αλλά θα δείξουμε την σχέση των μητρώων με τους αριθμούς Fibonacci. Θεώρημα H ορίζουσα, det AB, του γινομένου δύο πινάκων Α και Β, ισούται προς το γινόμενο των οριζουσών, deta και detb. Δηλαδή det AB=(detA)(detB). Θεώρημα Για n 1, η n-οστή δύναμη του Q είναι Q F F. n n+ 1 n = F F n n 1 Απόδειξη: Θα χρησιμοποιήσουμε μαθηματική επαγωγή. Για n=1. F F Q = =. FF F F k k+ 1 k Υποθέτουμε ότι Q =. F F k k 1 F F 11 F F F F F k+ 1 k 1 k+ 1 k k+ 1 k k+ 1 k+ 2 k+ 1 Τότε Q = QQ = = η απόδειξη είναι πλήρης με μαθηματική F F 1 F F F F F k k 1 k k 1 k k+ 1 k 71

73 επαγωγή. Θεώρημα Ισχύει ότι detq n =(-1) n, n 1. Μεγάλο τεχνικό ενδιαφέρον στην άλγεβρα των πινάκων έχει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Για έναν πίνακα Α το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ορίζεται ως: a b 1 0 a b x 0 a x b 2 P ( x ) = det ( A x1) = x = + = = x ( a + d ) x + ( ad bc ) c d 1 c d x c d x Η εξίσωση P(x)=0 ή x 2 -(α+d)x+(αd-bc)=0. Λέγεται χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα Α. Για τον πίνακα 1 1 x 1 x 1 2 Q το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: det ( Q xf ) = = = x x 1 και η 1 x 1 x χαρακτηριστική εξίσωση είναι η x 2 -x-1=0 που την έχουμε ονομάσει δευτεροβάθμια εξίσωση Fibonacci. Οι χαρακτηριστικές του ρίζες είναι α=(1+ 5)/2 και β=(1+ 5)/2. Για να βρούμε τώρα τη χαρακτηριστική εξίσωση και τις χαρακτηριστικές ρίζες του Qn έχουμε ότι x 2 -L n x+(-1)n=0. Οι χαρακτηριστικές ρίζες ( ) 2 L ± L 4 1 n n βρίσκονται από τον τύπο x =. 2 Έτσι λοιπόν οι ρίζες θα είναι x=(l n +F n 5)/2 και x=(l n +F n 5)/2. Έτσι ακολουθεί το θεώρημα τέσσερα. n Θεώρημα Οι χαρακτηριστικές ρίζες του πίνακα Q n είναι οι ν-οστές δυνάμεις των χαρακτηριστικών ριζών του Q και το ίχνος του Q n είναι ο L n. Μπορεί εύκολα να επαληθευτεί ότι Q 2 =Q+I ή Q 2 -Q-I=Z. Έτσι μπορεί να λεχθεί ότι ο Q ικανοποιεί τη χαρακτηριστική εξίσωση x 2 -x-1=0. Αυτή είναι μία περίπτωση του παρακάτω θεωρήματος που δίνουμε χωρίς απόδειξη. Θεώρημα (Θεώρημα W. R Hamilton Arthur Cayley). Κάθε τετραγωνικός πίνακας ικανοποιεί τη δική του χαρακτηριστική εξίσωση. 72

74 3.3. Εφαρμογές Σχήμα Άνθη φυτών με αριθμό πετάλων, που ανήκουν στο σύνολο των αριθμών Fibonacci. Το νυχτολούλουδο έχει 2 πέταλα (παρόλο που είναι βαθιά χωρισμένα ώστε να φαίνονται τέσσερα). Έτσι τα πιο πάνω λουλούδια έχουν 2,3,5 ή 8 (αριθμοί Fibonacci) ή 4 (αριθμός Lucas) ή 6 πέταλα ή πεταλοειδή μέρη. Ο αριθμός των πεταλοειδών μερών ενός λουλουδιού όπως το Aster compositae, το Cosmos compositae, η μαργαρίτα ή το Gaillardia compositae στη σύνθετη οικογένεια είναι σταθερά ένας αριθμός Fibonacci ή είναι πολύ κοντά σε κάποιο. Ένα λουλούδι μιας μόνον ποικιλίας Gaillardia compositae μπορεί να έχει 13 τέτοια μέρη. Ο Frank Land στο The Language of Mathematics αναφέρει ότι βρήκε 21,34,55,89 πέταλα σε μαργαρίτες και σε άλλα μέλη της ίδιας οικογένειας. Μπορούμε να βρούμε ακόμα αριθμούς Fibonacci στη διάταξη των φύλλων ή κλαδιών στον κορμό ενός δένδρου. Πάρτε σαν αφετηρία ένα φύλλο και μετρήστε προς τα έξω τα φύλλα του κορμού, μέχρι να φθάσετε σε ένα φύλλο ακριβώς πάνω από το αρχικό. Ο αριθμός των φύλλων που θα βρείτε είναι συνήθως ένας αριθμός Fibonacci. Ας υποθέσουμε ότι με μία κλωστή τυλίγουμε τον κορμό ακολουθώντας τα φύλλα. Ό αριθμός των στροφών που θα κάνει η κλωστή γύρω από το κλαδί από την αφετηρία, ώσπου να φθάσει το πρώτο φύλλο ακριβώς πάνω από το σημείο αφετηρίας, είναι συνήθως ένας αριθμός Fibonacci. Το αποτέλεσμα δηλώνεται συνήθως με τον λόγο αριθμός στροφών/αριθμός φύλλων. Μερικά απλουστευμένα παραδείγματα φαίνονται στο Σχήμα Η φοινικιά έχει λόγο 1/3 και η ιτιά η αμερικανική έχει λόγο 5/13! Τέτοια διάταξη των φύλλων σε ένα κλαδί λέγεται φυλλόταξη. Σχήμα Η ανάπτυξη των κλάδων σε ένα αριθμό δένδρων ακολουθεί τους αριθμούς Fibonacci. 73

75 Τα πιο γνωστά παραδείγματα εμφάνισης αριθμών Fibonacci στη φύση είναι ο αριθμός των σπειρών των σπόρων του ηλιοτροπίου και ο αριθμός των λεπιών των σπειρών των κουκουναριών. Ένα ηλιοτρόπιο μπορεί να έχει 89 σπείρες προς τα δεξιά και 55 προς τα αριστερά και ένα άλλο, με διάμετρο 18 ίντζες, που είχε 144 σπείρες προς τα δεξιά, 89 προς τα αριστερά και 55 ρηχές σπείρες προς τα δεξιά. Ένα ιδιαίτερα ενδιαφέρον είδος ηλιοτροπίου διαθέτει ο Brother Alfred Brousseau του St. Mary s College, California. Σχήμα Κουκουνάρα, στήμονες άνθους ηλιοτροπίου Brousseau και δυο παχύφυλλα όπου φαίνεται η ανάπτυξη σύμφωνα με ακολουθίες αριθμών Fibonacci. Οι μετρήσεις των σπειρών έδειξαν 127 προς τα δεξιά, 76 προς τα αριστερά και 47 ρηχές σπείρες προς τα δεξιά ένα ηλιοτρόπιο με αριθμούς Lucas. Ο Brother Alfred Brousseau συνέλεξε και ταξινόμησε, σύμφωνα με τον αριθμό των σπειρών τους (που είναι αριθμοί Fibonacci), κουκουναριές από όλα τα 20 είδη πεύκων της California. Βλ. Οδηγό περαιτέρω μελέτης στο τέλος του κεφαλαίου. Υπάρχουν τρεις τρόποι μετάδοσης της κίνησης: ο μηχανικός, ο υδραυλικός και ο πνευματικός. Τα κριτήρια επιλογής κάποιου από αυτά τα συστήματα είναι η ικανοποίηση της συγκεκριμένης ανάγκης (άρα η ικανότητα μεταφοράς της συγκεκριμένης ισχύος) με βάση την οικονομία και την αξιοπιστία Τεχνολογικές Εφαρμογές της Άλγεβρας Fibonacci (Συμμετρικός Αναλογικο-Ψηφιακός Μετατροπέας / DAC) Είναι γνωστό ότι οι διαιρέτες αντίστασης με τις «δυαδικές» αναλογίες είναι η βάση του κυκλώματος του κλασικού «δυαδικού» αναλογικου-ψηφιακού μετατροπέα. Ακολουθεί ο σχεδιασμός του διαιρέτη αντιστάσεων με τις αναλογίες του χρυσού αριθμού στον τύπο r 2 =(3+ 5)/2. 74

76 Σχήμα Διαιρέτης αντιστάσεων b. c. d. Ισοδύναμες διατάξεις. Ο διαιρέτης αντιστάσεων στο Σχήμα αποτελείται από τους οριζόντιους και κάθετους αντιστάτες δύο τιμών R και τr. Οι ηλεκτρικές είσοδοι A,B,C,D,E συνδέουν τους αντιστάτες του διαιρέτη. Στο α παρουσιάζεται διαιρέτης αντιστάσεων 5-ψηφίων με τα παραπάνω σημεία σύνδεσης. Το σημείο C σύνδεσης αντιστοιχεί στο ψηφίο 0. Οι ισοδύναμες του διαιρέτη ηλεκτρικές διατάξεις παρουσιάζονται στα σχήματα b,c,d. Το δεξί τμήμα του διαιρέτη που θεωρεί στα σημεία d,e σύνδεσης έχει τη μορφή στο σχήμα b. Aς υπολογίσουμε την ισοδύναμη αντίσταση της παράλληλης ένωσης των αντιστατών R και τr στο σχήμα b: R_ e1 =(R τr)/(r+τr)=τ (-1) R. Αλλά ίδια τιμή έχει η ισοδύναμη αντίσταση του διαιρέτη στο αριστερό τμήμα θεωρώντας στο σημείο Β. Η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος στο Σχήμα b θεωρώντας στο σημείο d είναι ίση με R+ τ -1 R=τR. Εάν πάρουμε στον διαιρέτη αντιστάσεων στο Σχήμα a κάποιο αυθαίρετο «οριζόντιο» αντιστάτη R με τα σημεία σύνδεσης Α (το αριστερό σημείο σύνδεσης) και B (το δεξί σημείο σύνδεσης), έπειτα είναι εύκολο να δείξει ότι σύμφωνα με την πρώτη εξίσωση, η ισοδύναμη αντίσταση των αριστερών και δεξιών μερών του διαιρέτη σύμφωνα με τους κόμβους σύνδεσης Α και Β είναι αντίστοιχα ίσο με το τ -1 R. Κατόπιν μπορούμε να παρουσιάσουμε το ισοδύναμο κύκλωμα του διαιρέτη για κάποιο αυθαίρετο «οριζόντιο» αντιστάτη R όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα c. Το τελευταίο επιτρέπει τον υπολογισμό του συντελεστή μετάδοσης τάσης από τον κόμβο Α στον κόμβο Β: U B =U A /(R+τ (-1) R)τ (-1) R=U A /τ 2. Ας εξετάσουμε κάποιο αυθαίρετο σημείο C του κυκλώματος στο Σχήμα a. Κατόπιν με τη χρήση της δεύτερης εξίσωσης είναι εύκολο να δειχτεί ότι η ισοδύναμη αντίσταση της αλυσίδας διαιρετών στο αριστερό και στο δικαίωμα για το αυθαίρετο σημείο C είναι ίση με tr. Κατόπιν το ισοδύναμο κύκλωμα του διαιρέτη που θεωρώντας το σημείο C μπορεί να παρουσιαστεί στη μορφή του Σχήματος d. Με τη χρήση των ισοδύναμων κυκλωμάτων στο Σχήμα d, είναι εύκολο να υπολογιστεί η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος στο Σχήμα d ως παράλληλη ένωση των 3 αντιστατών tr, R και tr: R e2 (τr τ (-1) R)/(τR τ (-1) R)=1/2R. Κατά συνέπεια, η έρευνα για το διαιρέτη στo Σχήμα a επιτρέπει τη διατύπωση των ακόλουθων ηλεκτρικές ιδιότητες του διαιρέτη. 75

77 Ο συντελεστής μετάδοσης τάσης μεταξύ μερικών γειτονικών σημείων σύνδεσης του διαιρέτη (όπως τα σημεία Α και Β) είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το τετράγωνο του χρυσού τμήματοσ τ 2 Η ισοδύναμη αντίσταση του διαιρέτη στο αυθαίρετο σημείο σύνδεσης C είναι σταθερή και είναι ίση με ½R. Σημειώστε ότι η ιδιότητα (1) είναι μια μεγάλη έκπληξη! Πραγματικά, είναι αδύνατο να φανταστούμε ότι η απλούστερη ηλεκτρική διάταξη στο Σχήμα a περιέχει το τετράγωνο της χρυσής αναλογίας! Αλλά αυτό το γεγονός τονίζει ακόμα περισσότερο τον θεμελιώδη χαρακτήρα της χρυσής αναλογίας, η οποία εμφανίζεται απροσδόκητα σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα! O παραπάνω διαιρέτης αντιστάσεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον σχεδιασμό του συμμετρικού ψηφιακό-αναλογικού μετατροπέα (D to A converter) Σχήμα Το τελευταίο αποτελείται από τα πέμπτα (n στη γενική περίπτωση) ψηφία. Το μέσο σημείο C αντιστοιχεί στο 0-s ψηφίο α 0 του ανακλαστικούσυμμετρικού κώδικα εισαγωγής a 2 α 0 α -1 α -2 (α m α m-1...a 0-1 α -2...α -μ στη γενική περίπτωση) του αριθμού n. Τα ψηφία α i (ι=0,±1,±2,±m) ελέγχεται από το ειδικό κύκλωμα I 0 που συνδέεται με τα αντίστοιχα σημεία σύνδεσης του συμμετρικού-ανακλαστικού διαιρέτη. Το ειδικό κύκλωμα I 0 αποτελείται από την τυποποιημένη ηλεκτρική γεννήτρια I 0 και το ηλεκτρικό κλειδί 3-θέσεων, οι οποίες ελέγχονται από τα τριαδικά ψηφία α i σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα. Εάν α i =1 τότε το τυποποιημένο ηλεκτρικό ρεύμα διαρέεται στο αντίστοιχο σημείο του συμμετρικού διαιρέτη αντιστάσεων -στο θετικό-, +I 0. Εάν α i =-1 τότε το τυποποιημένο ηλεκτρικό ρεύμα διαρέεται στο αντίστοιχο σημείο του συμμετρικού διαιρέτη αντιστάσεων -στο αρνητικό-, -I 0. Τέλος, εάν α i =0 τότε το τυποποιημένο ηλεκτρικό ρεύμα I 0 δεν διαρέεται στο αντίστοιχο σημείο σύνδεσης. Σχήμα D/A μετατροπέας (converter). Ο παραπάνω ψηφιακό-αναλογικός μετατροπέας (DAC) έχει δύο συμμετρικά αποτελέσματα, U1 και U2. Λαμβάνοντας υπόψη τις βασικές ιδιότητες (1)-(4) του συμμετρικού διαιρέτη, κάποιος μπορεί να δείξει ότι τα συμμετρικά αποτελέσματα U1 και U2 εκφράζονται, σε συνάρτηση από το συμμετρικό κώδικα εισαγωγής α m M I α m-1 α 0 α -1 α -2 α -m στην ακόλουθη μορφή: = = τ 2 t U U a. 1 2 i 2 I= M Η θεμελιώδης ιδιότητα ελέγχου των τελευταίων είναι η ισότητα U 1 =U 2 αυτή η ισότητα επιβεβαιώνει την ακρίβεια της λειτουργίας του συμμετρικού DAC. Αλλά η παραβίαση της ισότητας (6) είναι η ένδειξη λάθους στο DAC. Κατά συνέπεια ο συμμετρικός-ανακλαστικός ψηφιακό-αναλογικός μετατροπέας (DAC) στο Σχήμα είναι αυτοδιορθώμενος επιτρέποντας τον DAC να συνεχίζει να λειτουργεί σύμφωνα με τη σχέση (6). 76

78 Ψηφιακός Καταχωρητής Συνέλιξης (Convolusion Register) Βασισμένος στην Άλγεβρα Fibonacci Οι διαδικασίες της συνέλιξης, της μετάβασης και της μείωσης στην ελάχιστη μορφή είναι οι κύριες διαδικασίες των τεχνολογικών εφαρμογών της αριθμητικής Fibonacci. Εξετάζουμε σε αυτό το κεφάλαιο μια απλή ηλεκτρονική συσκευή για την πραγματοποίηση της συνέλιξης Fibonacci. Σαν βάση της συσκευής συνελίξεων μπορούμε να επιλέξουμε τον δυαδικό καταχωρητή που αποτελείται από flip-flops. Αυτός ο καταχωρητής έχει τα λογικά κυκλώματα για την εκτέλεση των συνελίξεων. Κάθε ψηφίο του καταχωρητή περιλαμβάνει δυαδικό flip-flop και τα λογικά στοιχεία. Η «συνέλιξη» ( ) μπορεί να παρουσιαστεί ως αντιστροφή των καταστάσεων των flip-flop. Η αντιστροφή της κατάστασης του flip-flop εκτελείται πολύ εύκολα για το flip-flop με τις ρυθμιζόμενες και μετρούμενες εισόδους. Μια από τις πιθανές παραλλαγές του καταχωρητή συνελίξεων εμφανίζεται στο κύκλωμα. Ο καταχωρητής «συνελίξεων» αποτελείται από τα πέντε R-S FFs και τα λογικές πύλες AnD, OR οι οποίες προορίζονται για την πραγματοποίηση της συνέλιξης. Η «συνέλιξη» εκτελείται από το χαμηλότερο flip-flop T1 προς το υψηλότερο flip-flop T5 με τη βοήθεια των λογικών στοιχείων AnD1-AnD5 και τα αντίστοιχα λογικά στοιχεία ΟR πριν από τις RS εισόδους των flip-flops. Το λογικό στοιχείο-πύλη AnD1 πραγματοποιεί τη «συνέλιξη» του 1ου ψηφίου στο 2ο ψηφίο. Οι δύο είσοδοί της πύλης συνδέονται με την άμεση έξοδο του flip-flop T1 και την αντίστροφη έξοδο του flip-flop T2. Η τριών ψηφίων είσοδος συνδέεται με την είσοδο C του συγχρονισμού. Το λογικό στοιχείο AnD1 αναλύει τις καταστάσεις Q1 και Q2 του flip-flops T1 και του T2. Εάν Q1=1 και Q2=0 αυτό σημαίνει ότι ο όρος «συνελίξεων» τηρείται για τα 1α και 2α ψηφία. Το σήμα συγχρονισμού C=1 προκαλεί μια εμφάνιση του λογικού 1 στην έξοδο του στοιχείου AnD1. Το τελευταίο προκαλεί τη μετατροπή του flip-flops T1 και του T2. Αυτό οδηγεί στη συνέλιξη ψηφίων (01 10). Το λογικό στοιχείο AnDk του Κ - ψηφίο (Κ=2,3,4,5) πραγματοποιούν τη «συνέλιξη» (Κ-1) ψηφίου και του Κ - ψηφίου. Τρεις είσοδοί της συνδέονται με τα άμεσα αποτελέσματα των flip-flops Tk -1 και Tk και την αντίστροφη έξοδο flip-flop Tk + 1. Η 4η είσοδος συνδέεται με την είσοδο συγχρονισμού C. Το λογικό στοιχείο AnDk αναλύει τις καταστάσεις Qk -1, Qk και Qk + 1 flip-flops Tk -1, Tk και Tk + 1. Εάν Qk -1 =1, Qk=1 και Qk + 1 = 0 αυτό σημαίνουν ότι ο όρος της συνέλιξης διατηρείται. Το σήμα συγχρονισμού C=1 οδηγεί στη αντιστροφή των flip-flops Tk -1, Tk, και Tk + 1.Οπότε η συνέλιξη των αντίστοιχων ψηφίων ( ) τελειώνει. Σημειώστε ότι όλα τα στοιχεία-πύλες AnD1-AnD5 συνδέονται μέσω του κοινού στοιχείου ORc με την έξοδο ελέγχου του καταχωρητή συνελίξεων. Ο καταχωρητής συνελίξεων στο Σχήμα λειτουργεί με τον ακόλουθο τρόπο. Οι πληροφορίες κώδικα εισόδου στέλνονται στις εισόδους πληροφοριών 1-5 του καταλόγου συνελίξεων και εισάγουν τις S-εισόδους flip-flops μέσω των αντίστοιχων λογικών στοιχείων-πυλών OR. 77

79 Σχήμα Καταχωρητής 5 συνελίξεων. Ο καταχωρητής συνελίξεων διαδραματίζει έναν σημαντικό ρόλο στον επεξεργαστή Fibonacci ως αυτοδιορθώμενη (self-checking) συσκευή. Ας εξετάσουμε τον καταχωρητή συνελίξεων του κυκλώματος από αυτήν την άποψη. Οι έξοδοι των λογικών στοιχείων AnD1-AnD5 του καταχωρητή συνελίξεων του σχήματος συνδέονται με την έξοδο ελέγχου του καταχωρητή μέσω του κοινού στοιχείου ΟR. Αυτή η έξοδος διαδραματίζει έναν σημαντικό ρόλο ως έξοδος ελέγχου του καταχωρητή συνέλιξης. Προκύπτει από τον τρόπο λειτουργίας του καταχωρητή συνελίξεων ότι το λογικό 1 εμφανίζεται στην έξοδο ελέγχου μόνο για δύο καταστάσεις. Ο συνδυασμός δυαδικού κώδικα που γράφεται στον καταχωρητή «συνελίξεων» δεν έχει την ελάχιστη μορφή. Σημαίνει ότι ο όρος συνελίξεων ισχύει ακόμη και για αυτόν τρία γειτονικά flip-flops του καταχωρητή «συνελίξεων». Αυτό προκαλεί την εμφάνιση του λογικού 1 στην έξοδο του αντίστοιχου στοιχείου AnD. Ως εκ τούτου, σε αυτήν την περίπτωση η εμφάνιση του λογικού 1 στην έξοδο ελέγχου του καταχωρητή συνελίξεων δείχνει ότι η διαδικασία συνελίξεων δεν τελειώνει. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε μια δυνατότητα να δείξουμε τη λήξη της διαδικασίας συνελίξεων με τη βοήθεια της παρατήρησης της εξόδου ελέγχου του καταχωρητή «συνελίξεων». Η εμφάνιση του σταθερού λογικού 1 στην έξοδο ελέγχου είναι η ένδειξη της βλάβης στον καταχωρητή συνελίξεων. Ως εκ τούτου ο καταχωρητής συνελίξεων είναι η φυσική self-checking συσκευή. Για τη «ερμηνεία» του η καθιέρωση της αλληλοεπικοινωνίας μεταξύ του «αιτίου» και του «αιτιατού» πραγματοποιείται με τη χρησιμοποίηση flip-flop ελέγχου. Η «αιτία» οργανώνει αντίστοιχο «flip-flop 78

80 ελέγχου» στην κατάσταση 1 αλλά η σωστή εκπλήρωση της μικροϋπολογιστικής-λειτουργίας αναγκάζει τα «flip-flop ελέγχου» να μεταβούν στην κατάσταση 0. Εάν τα «flip-flop ελέγχου» μεταβούν στην κατάσταση 1 αυτό το γεγονός είναι η ένδειξη σφάλματος. Ο έλεγχος των πληροφοριών «που γράφονται» στον καταχωρητή εκπληρώνεται με τη βοήθεια της σύγκρισης των πληροφοριών εξόδου των καταχωρητών μετά από το «γράψιμο» με τις πληροφορίες εισόδου καταλόγων. Εάν αναλύσουμε τα «αίτια» και τα «αιτιατά» για κάθε βασική μικροϋπολογιστική-λειτουργία, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι κάθε «επίδραση» είναι η αντιστροφή «της αιτίας της», δηλαδή όλες οι μικροϋπολογιστικές-λειτουργίες θα μπορούσαν να μειωθούν στην αντιστροφή των ψηφίων (flip-flops) που περιλαμβάνονται στις μικροϋπολογιστικές-λειτουργίες. Το block diagram δεδομένων της μονάδας Fibonacci για την πραγματοποίηση της αρχής «της αιτίαςεπίδρασης» εμφανίζεται στο παρακάτω σχήμα. Η μονάδα του σχεδίου αποτελείται από τους καταχωρητές πληροφοριών και ελέγχου, οι οποίοι συνδέονται με τη βοήθεια των λογικών κυκλωμάτων «αιτίου» και «αιτιατού». Το λογικό κύκλωμα «αιτίας» αναλύει τις πληροφορίες κώδικα που εισάγονται στον καταχωρητή πληροφοριών μέσω της «εισόδου». Ως εκ τούτου, εάν έχουμε τον συνδυασμό μηδενικών στον καταχωρητή ελέγχου μετά από τη λήξη όλων των διαδικασιών του μικροϋπολογιστή σημαίνει ότι όλες οι «αιτίες» αντιστοιχούν «στα αποτελέσματά τους», δηλ. όλες οι διαδικασίες του μικροϋπολογιστή εκτελούνται σωστά. Εάν ο κατάλογος ελέγχου περιέχει τουλάχιστον το μόνο δυαδικό 1 σε κάποιο flip-flop αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον η μόνη βασική λειτουργία μικροϋπολογιστών δεν είναι σωστή. Το σημαντικότερο πλεονέκτημα της αρχής ελέγχου «αιτίας επίδρασης», που πραγματοποιείται στη μονάδα Fibonacci του block-diagram, είναι η ανίχνευση των σφαλμάτων στη στιγμή της εμφάνισής τους. Η διόρθωση του σφάλματος της μικροϋπολογιστικής-λειτουργίας πραγματοποιείται από την επανάληψη αυτής της μικροϋπολογιστικήςλειτουργίας. Σχήμα Αυτοελεγχόμενη μονάδα Fibonacci για την προσομοίωση της ντετερμινιστικής αρχής «αίτιο-αποτέλεσμα». 79

81 Η πιο πάνω αναφερόμενη λειτουργία της αρχής «αιτίας αποτελέσματος» τέθηκε στη βάση της αυτοδελεγχόμενης (self-checking) μονάδας Fibonacci, η οποία υλοποιήθηκε με τη χρήση της τεχνολογίας LSI. Η μονάδα πραγματοποιεί τις ακόλουθες μικροϋπολογιστικές-λειτουργίες: γράψιμο, ανάγνωση, συνέλιξη, μετάβαση, αντικατάσταση, απορρόφηση, πρόσθεση Fibonacci, αφαίρεση Fibonacci, μείωση στην ελάχιστη μορφή, κυκλική μετατόπιση. Η διαθεσιμότητα στήν έξοδο ελέγχου του bit-σφάλματος είναι το σημαντικό πλεονέκτημα της μονάδας Fibonacci. Εάν στην έξοδο ελέγχου εμφανισθεί το δυαδικό σήμα 1 («σφάλμα») όλα τα ενημερωτικά αποτελέσματα της μονάδας εμποδίζονται. Για να διορθώσει το «σφάλμα» είναι απαραίτητο να επαναληφθεί η προηγούμενη μικροϋπολογιστική-λειτουργία. Εάν προκύψει το δυαδικό σήμα 0 στην έξοδο «του σφάλματος» αυτό σημαίνει ότι το «σφάλμα» είναι αποτέλεσμα «μόνιμης βλάβης» στη μονάδα. Αυτή η μονάδα Fibonacci μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό επεξεργαστών «ανίχνευσης βλαβών» με τη χρήση δύο αυτοδιορθώμενων (self-checking) μονάδων Fibonacci. Εφαρμογές και χρήση των επεξεργαστών Fibonacci έχουμε στην επεξεργασία σύγχρονων κρυπτογραφικών συστημάτων. Πολλά κρυπτογραφικά συστήματα είναι βασισμένα στους υπολογισμούς μεγάλων πεπερασμένων πεδίων. Η υλοποίηση (hardware) τέτοιων υπολογιστικών μονάδων ή επεξεργαστών απαιτεί χιλιάδες πύλες λογικής. Είναι δύσκολη και δαπανηρή η ανάπτυξη τέτοιων υπολογιστικών μονάδων ή επεξεργαστών με τη χρήση χιλιάδων πυλών λογικής, όπου πάντα παραμονεύει κάποιο σφάλμα κατασκευής. Αυτό σημαίνει ότι η ανάπτυξη των επεξεργαστών Fibonacci είναι λύση για αξιόπιστους υπολογισμούς στο σημαντικό πρόβλημα σχεδιασμού αξιόπιστων κρυπτογραφικών συστημάτων Τεχνολογικές Εφαρμογές της Άλγεβρας Fibonacci στην Επεξεργασία Σημάτων Η επόμενη εικόνα δείχνει τη δειγματοληψία από ένα αναλογικό ημιτονικό σήμα, με σκοπό να ληφθούν τα στοιχεία για τη δημιουργία ενός CD. Για κάθε δείγμα μια ψηφιακή λέξη παράγεται και αποθηκεύεται. Ένας ψηφιακός παλμογράφος χρησιμοποιεί την ίδια ιδέα. Σχήμα Ημιτονικός παλμός και επιλογή διακριτού σήματος σε αυτόν. Σε ένα CD υπάρχει ένας αναλογικός σε ψηφιακό μετατροπέας (AD C) που μετατρέπει τα ψηφιακά στοιχεία στα αναλογικά σήματα, με τη βοήθεια κάποιου φιλτραρίσματος. Μπορείτε να δείτε ότι από τα μαύρα σημεία στοιχείων, δεν πρέπει να είναι δύσκολο να επαναδημιουργηθεί κάτι πολύ παρόμοιο με το ημιτονικό σήμα. Σχήμα Ημιτονικός παλμός και επιλογή διακριτού σήματος σε αυτόν. 80

82 Αν και η συχνότητα σημάτων έχει αυξηθεί κατά έναν παράγοντα δέκα, τα δείγματα δεν απεικονίζουν αυτό. Η περίοδος του ημιτόνου που αντιπροσωπεύεται από τα μαύρα στοιχεία είναι πραγματικά λίγο πιό μεγάλη από πριν. Η συχνότητα σημάτων είναι πάρα πολύ υψηλή για το δείγμα-ποσοστό, που έχει το σύστημα. Το σήμα στο CD έχει μεταλλαχθεί σε περίπου 44 khz, έτσι ώστε το τμήμα υψηλότερης συχνότητας που θα μπορούσε να καταγραφεί σωστά είναι σε 22 khz. Ένα σήμα σε 23 khz θα ακουγόταν ως 21 khz, 24 khz ως 20 khz, και τα λοιπά. Αυτές οι ψεύτικες συχνότητες καλούνται «ψευδώνυμα». Βλέπετε αυτό στις ταινίες του κινηματογράφου, όταν μπορούν να εμφανιστούν οι ρόδες βαγονιών εμπορευμάτων να περιστρέφονται στη λανθασμένη κατεύθυνση. Το βλέπετε επίσης στις τουρμπίνες ενός αεροσκάφους όταν ξεκινούν και επιταχύνονται έπειτα. Ο προωστήρας θα αρχίσει κατά τρόπο κανονικό, και θα εμφανιστεί έπειτα να επιβραδύνει και να πηγαίνει προς τα πίσω, αντίστοιχος στις αρνητικές συχνότητες. Αυτό συμβαίνει επειδή η κινούμενη εικόνα αποτελείται από πολλές ακίνητες εικόνες που προβάλλονται στη διαδοχή. Παρά όλες τις δεξιότητες της βιομηχανίας κινηματογράφων, καμία δεν μπορεί να αγνοήσει τη θεωρία δειγματοληψίας, η οποία απαιτεί εκεί να είναι τουλάχιστον δύο δείγματα ανά κύκλο στη μέγιστη συχνότητα σημάτων. Αυτό που συμβαίνει στα συστήματα δειγματοληψίας είναι ότι το φάσμα συχνότητας είναι διπλωμένο επάνω και συσκευασμένο σε μια ζώνη που πηγαίνει μόνο στη μισή συχνότητα δειγματοληψίας. Και αυτός είναι αυτό που βλέπουμε στις εγκαταστάσεις. Αυτοί οι αριθμοί Fibonacci είναι ψευδώνυμα των πραγματικών διαδικασιών και των συχνοτήτων. Οι επόμενες τρεις εικόνες παρουσιάζουν το αποτέλεσμα της χρησιμοποίησης κάθε 5ου σημείου, κάθε 8ου σημείου, κάθε 13ου σημείου, και κάθε 21ου σημείου, σε μία σειρά των κύκλων των οποίων η συχνότητα αφορά τη δειγματοληψία-ποσοστό από τη χρυσή αναλογία. Σημειώστε πώς οι γραμμές ισιώνουν προς τα έξω όσο το διάστημα αυξάνεται, που αντιστοιχούν σε μεγάλες περιόδους του σήματος-πληροφορίας. Σχήμα Στη σύνδεση ανά 5σημεία φαίνεται ότι η γραμμή τάσης παρουσιάζει ταλαντώσεις. Σχήμα Στη σύνδεση ανά 8 σημεία φαίνεται ότι η γραμμή τάσης παρουσιάζει σημείο καμπής. 81

83 Σχήμα Στη σύνδεση ανά 13 σημεία φαίνεται ότι η γραμμή τάσης παρουσιάζει φθίνουσα πορεία. Σχήμα Στη σύνδεση ανά 21 σημεία φαίνεται ότι η γραμμή τάσης παρουσιάζει αυξητική πορεία. Η επόμενη εικόνα παρουσιάζει συχνότητα εξόδου (άξονας Υ) συναρτήσει της συχνότητας εισόδου (άξονας Χ). Μόνο οι συχνότητες εισαγωγής μέχρι F n η συχνότητα nyquist έχουν οποιαδήποτε πιθανότητα της καταγραφής σωστά. Το F n είναι το ένα δεύτερο της συχνότητας δειγματοληψίας. Σημειώστε ότι εάν ένα σήμα αποτελεσθεί από ένα σφάλμα περιόδου τριών κύκλων ενός ημιτόνου 1 khz, ένα ποσοστό δειγματοληψίας 2 ksa/s δεν θα αρκέσει. Το εύρος ζώνης ενός τέτοιου σήματος είναι περισσότερο από 1 khz, επειδή το σήμα περιλαμβάνει αποτελεσματικά ένα 1 khz ημίτονο, εύρος που διαμορφώνεται από έναν απότομο παλμό 3msec. Οι πλευρικές ζώνες συχνοτήτων που απαιτούνται για να χαρακτηρίσουν αυτό είναι εκτενείς. Σχήμα Απεικόνιση συχνοτήτων nyquist εισόδου και εξόδου. 82

84 Η επόμενη εικόνα παρουσιάζει το φάσμα των περιόδων ενός ψευδωνύμου για Ν=1 έως 300. Βλέπουμε σαφώς την αιχμή στο κόκκινο στους Fibonacci αριθμούς και 233, που αντιστοιχούν στα μακροχρόνια μήκη κύματος ανωτέρω. Μεταξύ αυτών, για τα σημεία τμημάτων, υπάρχουν θυγατρικές αιχμές, και στο χρυσό τμήμα εκείνοι, ακόμα μικρότερες αιχμές. Αυτό είναι ένα σημαντικό διάγραμμα. Χρησιμοποιώντας μόνο το τμήμα χρυσής τομής - GS - και καμία άλλη παράμετρο, παράγει τους αριθμούς Fibonacci. Σχήμα Φάσμα περιόδων για τιμές Ν=1 έως 300. Διακρίνονται με ερυθρό χρώμα θετικές και αρνητικές εξάρσεις (peaks) στις 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 και 144. Τέλος, κατωτέρω, το διάγραμμα αντιπροσωπεύει τη σειρά των τιμών Ν=0 έως 1000, συμπεριλαμβανομένων των αριθμών Fibonacci και 987, με τη διαίρεση των κάθετων τιμών με το Ν, για να παρουσιάσουν ευκρινέστερα πολλαπλάσια χρυσά τμήματα. Αυτοί παρουσιάζονται από οριζόντιες γραμμές. Οι σύντομες οριζόντιες γραμμές χαρακτηρίζουν τα δύο χρυσά σημεία τμημάτων (GS) σε κάθε τμήμα. Εάν το μήκος μιας μακροχρόνιας οριζόντιας γραμμής λαμβάνεται ως 1, κατόπιν τα τρία τμήματα έχουν τα μήκη GS 2, GS 3 και GS 2 αντίστοιχα. GS 2 και GS 3 προσθέτει GS. Οι τιμές είναι: GS= GS 2 = GS 3 =

85 Σχήμα Το διάγραμμα φάσματος περιόδων τιμών Ν=0 έως 100 (συμπεριλαμβανόμενων των αριθμών Fibonacci 377, 610 και 987) παρατηρούνται οι δομές να αναπαράγονται μέσα στις ίδιες δομές με συνεχώς μειούμενη κλίμακα. Το διάγραμμα μοιάζει με ένα μονοδιάστατη απεικόνιση fractal Γενικά περί Αλγόριθμων Η αναδρομικότητα και οι σχέσεις που τη χαρακτηρίζουν παράγουν ακολουθίες αριθμών. Ως εκ της φύσεως αυτής οι αναδρομικές σχέσεις παράγουν ακολουθίες-λύσεις σε συγκεκριμένης μορφής προβλήματα. Χρησιμοποιώντας την αναδρομικότητα ως αρχή, η ενασχόληση με πλέον σύνθετα προβλήματα οδηγεί στη δημιουργία των αλγόριθμων. Η θεωρία των αλγόριθμων έχει μεγάλη παράδοση και η ηλικία μερικών αλγόριθμων αριθμεί χιλιάδες χρόνια, όπως για παράδειγμα ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών ή το λεγόμενο κόσκινο του Ερατοσθένη για την εύρεση των πρώτων αριθμών από 1 ως n. Σήμερα το πεδίο της Θεωρίας Αλγόριθμων είναι ένα ιδιαίτερα ευρύ και πλούσιο πεδίο. Πληθώρα συγγραμμάτων έχει εμφανιστεί στη βιβλιογραφία ενώ συνεχίζεται η περαιτέρω εμβάθυνση σε νέα σύγχρονα προβλήματα. Οι περισσότεροι από τους αλγόριθμους που συνήθως εξετάζονται στα σχετικά βιβλία έχουν προταθεί τα τελευταία 25 χρόνια, όση περίπου είναι και η ηλικία της πληροφορικής ως μιας νέας αυθύπαρκτης επιστήμης. Η λέξη αλγόριθμος (algorithm) προέρχεται από μια μελέτη του Πέρση μαθηματικού Abu Ja far Mohammed ibn Musa al Khowarizmi που έζησε περι το 825 μ.χ. Πέντε αιώνες αργότερα η μελέτη αυτή μεταφράστηκε στα λατινικά και άρχιζε με τη φράση Algoritimi dixit (ο αλγόριθμος λέει...). Η μελέτη του al Khowarizmi υπήρξε η πρώτη πλήρης πραγματεία άλγεβρας (όρος που και αυτός προέρχεται από το αραβικό al-jabr=αποκατάσταση), γιατί ένας από τους σκοπούς της άλγεβρας είναι και η αποκατάσταση της ισότητας σε μια εξίσωση. Ο όρος αλγόριθμος επέζησε επί χίλια χρόνια ως σπάνιος όρος που σήμαινε κάτι σαν «συστηματική διαδικασία αριθμητικών χειρισμών». Τη σημερινή του αξία την απέκτησε από την αρχή του 20ού αιώνα με την ανάπτυξη της ομώνυμης θεωρίας και φυσικά με την επικαιρότητα των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ως αλγόριθμος ορίζεται μια πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην επίλυση ενός προβλήματος. Η έννοια του αλγόριθμου γίνεται ευκολότερα αντιληπτή με το παρακάτω παράδειγμα. Αν κάποιος επιθυμεί να γευματίσει θα πρέπει να εκτελέσει κάποια συγκεκριμένα βήματα: να συγκεντρώσει τα υλικά, να προετοιμάσει τα σκεύη μαγειρικής, να παρασκευάσει το φαγητό, να στρώσει το τραπέζι, να ετοιμάσει τη σαλάτα, να γευματίσει, να καθαρίσει το τραπέζι και να πλύνει τα πιάτα. Προφανώς, η προηγούμενη αλληλουχία οδηγεί στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Δεν είναι όμως η μοναδική για την επίτευξη του σκοπού, αφού μπορεί να αλλάξει η σειρά των βημάτων (π.χ. πρώτα να ετοιμάσει τη σαλάτα και μετά να στρώσει το τραπέζι). Ωστόσο το νόημα είναι πως η κατάτμηση μιας σύνθετης εργασίας σε διακριτά βήματα που εκτελούνται διαδοχικά, είναι ο ποιο πρακτικός τρόπος επίλυσης πολλών προβλημάτων Η έννοια του αλγόριθμου είναι θεμελιώδης για την επιστήμη της πληροφορικής. Η μελέτη των αλγόριθμων είναι πολύ ενδιαφέρουσα, γιατί είναι η πρώτη ύλη για τη μελέτη και εμβάθυνση, αν όχι σε όλες, τουλάχιστον σε πάρα πολλές γνωστικές περιοχές της επιστήμης αυτής. Η πληροφορική, λοιπόν, μπορεί να οριστεί ως η επιστήμη που μελετά τους αλγόριθμους από τις ακόλουθες σκοπιές. 84

86 Υλικού (hardware). Η ταχύτητα εκτέλεσης ενός αλγόριθμου επηρεάζεται από τις διάφορες τεχνολογίες υλικού δηλαδή από τον τρόπο που είναι δομημένα σε μία ενιαία αρχιτεκτονική τα διάφορα συστατικά του υπολογιστή (δηλαδή ανάλογα με το αν ο υπολογιστής έχει κρυφή μνήμη και πόση, ανάλογα με την ταχύτητα της κύριας και δευτερεύουσας μνήμης κ.ο.κ.). Γλωσσών προγραμματισμού (programming languages).το είδος της γλώσσας προγραμματισμού που χρησιμοποιείται (δηλαδή χαμηλότερου ή υψηλότερου επιπέδου) αλλάζει τη δομή και τον αριθμό των εντολών ενός αλγόριθμου. Γενικά μία γλώσσα που είναι χαμηλότερου επιπέδου (όπως η assembly ή η γλώσσα C) είναι ταχύτερη από μία άλλη γλώσσα που είναι υψηλότερου επιπέδου (όπως η Basic ή Pascal). Ακόμη σημειώνεται ότι διαφορές συναντώνται μεταξύ των γλωσσών σε σχέση με το πότε εμφανίστηκαν. Για παράδειγμα, παλαιότερα μερικές γλώσσες προγραμματισμού δεν υποστήριζαν την αναδρομή (έννοια που θα εξετάσουμε σε βάθος αργότερα). Θεωρητική (theoretical). Το ερώτημα που συχνά τίθεται είναι αν πράγματι υπάρχει ή όχι κάποιος αποδοτικός αλγόριθμος για την επίλυση ενός προβλήματος. Η εξέταση αυτού του ερωτήματος είναι δύσκολο να σχολιαστεί στο πλαίσιο του βιβλίου αυτού, επειδή απαιτεί μεγάλη θεωρητική κατάρτιση. Ωστόσο η προσέγγιση αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική, γιατί προσδιορίζει τα όρια της λύσης που θα βρεθεί σε σχέση με ένα συγκεκριμένο πρόβλημα. Αναλυτική (analytical). Μελετώνται οι υπολογιστικοί πόροι (computer resources) που απαιτούνται από έναν αλγόριθμο, όπως για παράδειγμα το μέγεθος της κύριας και της δευτερεύουσας μνήμης, ο χρόνος για λειτουργίες CPU και για λειτουργίες εισόδου/εξόδου κ.λπ. Οι αλγόριθμοι δεν υλοποιούνται μόνο ως προγράμματα υπολογιστών, αλλά συχνά επίσης και με άλλα μέσα, όπως π.χ. σε ένα βιολογικό νευρικό δίκτυο, ή σε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα, ή σε μια μηχανική συσκευή. Η ανάλυση και η μελέτη των αλγόριθμων είναι ένας τομέας της επιστήμης της πληροφορικής και συχνά ασκείται αφαιρετικά (χωρίς τη χρήση μιας συγκεκριμένης γλώσσας προγραμματισμού ή άλλη εφαρμογή). Από αυτή την άποψη, μοιάζει με άλλους μαθηματικούς τομείς, συγκεκριμένα στο ότι η εστίαση της ανάλυσης είναι πάνω στις βασικές αρχές του αλγορίθμου, και όχι σε οποιαδήποτε ιδιαίτερη εφαρμογή του. Ένας τρόπος απεικόνισης ενός αλγόριθμου είναι το γράψιμο του ψευδοκώδικα. Άλλοι τρόποι είναι: με ελεύθερο κείμενο, με φυσική γλώσσα περιγράφοντας τα βήματα και με λογικό διάγραμμα. Ορισμός Αλγόριθμος είναι μια ιεραρχημένη διαδοχή οδηγιών που αφορούν ενέργειες των οποίων η εκτέλεση έχει ως αποτέλεσμα ένα επιδιωκόμενο αποτέλεσμα ή τη λύση ενός προβλήματος. Η συνταγή για τα πασχαλινά κουλουράκια της γιαγιάς είναι ένα είδος αλγόριθμου. Ο όρος έλκει την καταγωγή του από την κατά την αρχαιότητα υφιστάμενη χώρα του Χορέζμ που βρισκόταν εκεί όπου σήμερα οι περιοχές Καζακστάν, Τουρκμενιστάν και Ουζμπεκιστάν. Περί το 825 μ.χ. είδε το φως η κεφαλαιώδης εργασία σχετικά με την άλγεβρα και το ινδικό σύστημα αρίθμησης, του Μοχάμεντ, γιου του Μουσά από το Χορέζμ (Mohammed ibn Musa al-khowarizmi). Το 1857 το κείμενο μεταφράστηκε στη λατινική γλώσσα. Σε ελεύθερη απόδοση του λατινικού κειμένου το βιβλίο αρχίζει ως εξής: «Ο Αλγόριθμος μίλησε..». Ακριβέστερα από το κείμενο του al-khowarizmi Χισάμπ αλ τζαμπρ β αλ μουκαλαμπάχ προήλθε ο αγγλοσαξονικός όρος άλτζεμπρα και εξ αυτού ο ελληνικός «άλγεβρα». Ο πρώτος αλγόριθμος αφορά τη σχέση των ινδοαραβικών αριθμητικών. Στο παρόν κείμενο θα ασχοληθούμε με αλγόριθμους για την επίλυση προβλημάτων τόσο στα μαθηματικά, όσο και στην επεξεργασία δεδομένων. Ας θεωρήσουμε τη βασική σχέση αx=β, όπου α και β είναι δεδομένοι αριθμοί. Αναζητούμε έναν αλγόριθμο που επιλύει το πρόβλημα, όταν είναι γνωστοί οι αριθμοί α και β. Ο τύπος x=β/α λύνει το πρόβλημα, αρκεί ο α να είναι μη μηδενικός αριθμός. Επειδή ο αλγόριθμος πρέπει να είναι αποτελεσματικός χωρίς εξαιρέσεις, θα πρέπει η εξαιρετική περίπτωση α=0 να συμπεριληφθεί στον σχεδιασμό. Αν β 0, δεν υπάρχουν αριθμοί x που να ικανοποιούν την 0x=β, αλλά αν β=0 τότε κάθε αριθμός αποτελεί λύση. Με την ανάλυση αυτή μπορούμε να περιγράψουμε τον αλγόριθμο. Για να λυθεί η αx=β απαιτείται η διερεύνηση περί της ύπαρξης και της μοναδικότητας της λύσης, που σχηματοποιείται στον Αλγόριθμο

87 Αλγόριθμος Αν α 0, τότε η απάντηση είναι β/α. Αν α=0 και β 0, τότε δεν υπάρχει απάντηση. Αν α=0 και β=0, τότε κάθε αριθμός είναι λύση. Ένας αλγόριθμος θα πρέπει να έχει είσοδο δεδομένων, επεξεργασία και έξοδο αποτελεσμάτων: Ένα ή περισσότερα δεδομένα εισόδου, πρέπει να εισάγονται κατά την εκκίνηση εκτέλεσης του αλγόριθμου. Δίνει τουλάχιστον ένα μέγεθος σαν αποτέλεσμα που εξαρτάται κατά κάποιο τρόπο από τις αρχικές εισόδους. Ορισμός Κάθε είσοδος που ικανοποιεί τις προδιαγραφές του προβλήματος καλείται νόμιμη και λέμε πως ορίζει ένα συγκεκριμένο στιγμιότυπο του προβλήματος. Η ιεραρχημένη δομή των εντολών επεξεργάζεται τα στιγμιότυπα εισόδου και παράγει μια λύση του προβλήματος στην έξοδο. Προφανώς δυο διαφορετικοί αλγόριθμοι παράγουν με διαφορετικό τρόπο λύσεις, οι οποίες δεν είναι πάντα οι ίδιες. Προφανώς μεταξύ δυο λύσεων μια είναι ακριβέστερη της άλλης. Θα λέμε ότι μια λύση είναι ακριβέστερη μια άλλης, εφόσον το περιεχόμενο σφάλμα είναι μικρότερο του σφάλματος της δεύτερης λύσης. Ορισμός Ένας αλγόριθμος επιλύει ένα πρόβλημα, όταν για κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος τερματίζει μετά από πεπερασμένο χρόνο, παράγοντας σωστή έξοδο. Η επίλυση του προβλήματος εξαρτάται από ένα αριθμό παραγόντων που σχετίζονται με τη δομή του αλγόριθμου. Η εξέταση αυτών των παραγόντων και η αξιολόγησή τους ώστε να προκύπτουν συμπεράσματα για την επάρκειά του, έχουν αποδελτιοποιηθεί σε ένα αριθμό κριτηρίων που παρουσιάζονται στην Παράγραφο Κριτήρια Αλγόριθμου Μεταξύ διαφόρων και διαφορετικών αλγόριθμων που μπορεί να προτείνονται για τη λύση ενός προβλήματος, αναζητείται ο «καλύτερος». Τι εννοεί όμως κάποιος όταν αναφέρεται στον καλύτερο αλγόριθμο; Μια μέθοδος είναι δια της συγκρίσεως των αλγόριθμων ως προς την αποδοτικότητά τους. Ορισμός Αποδοτικότητα είναι μια συνάρτηση του πλήθους των δυνατών καταστάσεων συνθηκών του προβλήματος για τον υπολογισμό χρόνου ή χώρου. Συγκρίνουμε τους αλγόριθμους με βάση την αποδοτικότητά τους ως συνάρτηση του μεγέθους των περιπτώσεων του προβλήματος για τον υπολογισμό χρόνου ή χώρου. Διακρίνονται: η θεωρητική προσέγγιση που χρησιμοποιείται το μοντέλο της Μηχανής Turing για την κατάταξή τους σε κλάσεις πολυπλοκότητας και η εμπειρική προσέγγιση στην οποία ως μηχανή εκτέλεσης χρησιμοποιείται το μοντέλο της Μηχανής Τυχαίας Προσπέλασης (RAM). Οι στοιχειώδεις πράξεις που μπορεί να εκτελέσει μια μηχανή RAM έχουν κάποιο κόστος σε χρόνο. Μέτρηση μοναδιαίου κόστους: σταθερό, πεπερασμένο κόστος ανεξαρτήτως του μήκους της δυαδικής αναπαράστασης των τελεστών. Μέτρηση λογαριθμικού κόστους: η πράξη παίρνει χρόνο ανάλογο με το μήκος της δυαδικής αναπαράστασης. Θεώρημα Κάθε υπολογιστική διαδικασία μιας μηχανής Turing, με κόστος πολυωνυμικό στο μέγεθος της εισόδου, μπορεί να εξομοιωθεί από μία υπολογιστική, πολυωνυμική στο μέγεθος της εισόδου, διαδικασία μιας μηχανής RAM και αντίστροφα. H αποδοτικότητα χαρακτηρίζεται ως συνάρτηση του μεγέθους του προβλήματος. 86

88 Με τον όρο μέγεθος αναφερόμαστε σε οποιοδήποτε ακέραιο που με κάποιο τρόπο «μετράει» τον αριθμό των συστατικών μερών μιας περίπτωσης του προβλήματος. Το μέγεθος εισόδου σε ένα πρόβλημα ταξινόμησης είναι το πλήθος n των προς διάταξη αντικειμένων. Σε έναν αλγόριθμο εύρεσης ελάχιστου επικαλυπτόμενου δένδρου σε γράφο με σύνολο κορυφών V και σύνολο ακμών E, η είσοδος έχει μέγεθος n= V + E. Στην εξαγωγή αποτελέματος πολλαπλασιασμών μεταξύ μεγάλων ακεραίων το μέγεθος εισόδου είναι το συνολικό μήκος σε αριθμό bit της δυαδικής αναπαράστασής τους (όχι το πλήθος τους). Παράδειγμα (Πρόβλημα της Ταξινόμησης). To πρόβλημα της ταξινόμησης έχει απασχολήσει πολλούς αναλυτές συστημάτων. Διακρίνονται πολλές διαδικασίες για τη λύση του, ανάλογα πάντα με την ταξινομούμενη οντότητα, που μπορεί να είναι αριθμοί, πίνακες, φραγμένες συναρτήσεις κ.λπ. Αναφέρονται οι μέθοδοι ευθείας εισαγωγής, ευθείας ανταλλαγής, ευθείας επιλογής, η ταξινόμηση με ελεούμενες αυξήσεις, η ταξινόμηση με διαμερισμό και ανταλλαγή και η ταξινόμηση με σωρό. Αυτές αποτελούν μικρό μόνο μέρος των αλγόριθμων που είναι σε χρήση. Περισσότερη πληροφορία για αυτές τις μεθόδους ο αναγνώστης μπορεί να βρει εδώ. Παρακάτω θα αναφέρουμε μια περιγραφή του Αλγόριθμου της φυσαλίδας (bubble-sort). Ο αλγόριθμος φυσαλίδας είναι ένας απλός στην κατανόησή του αλγόριθμος που χρησιμοποιείται στην ταξινόμηση, αύξουσα ή φθίνουσα, των στοιχείων ενός πίνακα. Το όνομά του οφείλεται στην ιδιότητα που έχουν οι φυσαλίδες να αναδύονται μια μια προς την επιφάνεια ενός υγρού. Με την ίδια λογική και οι αριθμοί ενός πίνακα, όσο μεγαλύτεροι (κατά φθίνουσα) ή μικρότεροι (κατά αύξουσα σειρά) είναι καταλαμβάνουν τις πρώτες θέσεις του πίνακα που ζητήθηκε να ταξινομηθεί. Ένα παράδειγμα σε ψευδογλώσσα του συγκεκριμένου αλγόριθμου είναι το εξής (κατά αύξουσα σειρά). Πρόγραμμα BUBBLESORT(A) 1 for i 1 to length[a] 2 do for j length[a] downto i do if A[j] < A[j - 1] 4 then exchange A[j] A[j - 1] Συγκεκριμένα, στο 1ο βήμα γίνεται, μέσω μίας επανάληψης, καταχώρηση ενός αριθμού στην μεταβλητή «i». Αυτοί οι αριθμοί θα είναι οι αριθμοί του πίνακα όπως ήταν αρχικά τοποθετημένοι και σε κάθε καινούργια επανάληψη θα καταχωρείται στη μεταβλητή ο αριθμός που βρίσκεται στην αμέσως μεγαλύτερη θέση του πίνακα, ξεκινώντας από την 1η. Στο 2ο βήμα επαναλαμβάνεται σχεδόν η ίδια διαδικασία με τη διαφορά ότι σε αυτή την περίπτωση καταχωρούνται οι αριθμοί του πίνακα ξεκινώντας από την τελευταία θέση έως και τη 2η. Στο 3ο βήμα γίνεται ο έλεγχος για το αν μια θέση είναι μικρότερη από την προηγούμενή της και τέλος στο 4ο βήμα, εφόσον ισχύει το 3ο, γίνεται αντικατάσταση του ενός αριθμού από τον άλλον. Έτσι ουσιαστικά, συγκρίνουμε ένα προς ένα τα στοιχεία ενός πίνακα, το καθένα από αυτά με όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα, και αναλόγως τι σειρά θέλουμε να ακολουθηθεί, τα τοποθετούμε στις πρώτες ή στις τελευταίες θέσεις του πίνακα. Οι αλγόριθμοι θα πρέπει επίσης να πληρούν κάποια πρότυπα και να διατυπώνονται με συγκεκριμένο τρόπο. Έτσι ένας αλγόριθμος πρέπει να ικανοποιεί τα επόμενα κριτήρια: Καθοριστικότητα: Κάθε κανόνας του ορίζεται επακριβώς και η αντίστοιχη διεργασία είναι συγκεκριμένη. Περατότητα: Κάθε εκτέλεση είναι πεπερασμένη, δηλαδή τελειώνει ύστερα από έναν πεπερασμένο αριθμό διεργασιών ή βημάτων. Αποτελεσματικότητα: Είναι μηχανιστικά αποτελεσματικός, δηλαδή όλες οι διαδικασίες που περιλαμβάνει μπορούν να πραγματοποιηθούν με ακρίβεια και σε πεπερασμένο χρόνο «με μολύβι και χαρτί». Επεκτασιμότητα: Κατά την εκκίνηση εκτέλεσης του αλγόριθμου καμία, μία ή περισσότερες τιμές δεδομένων πρέπει να δίνονται ως είσοδοι στον αλγόριθμο. Η περίπτωση που δεν δίνονται τιμές δεδομένων εμφανίζεται όταν ο αλγόριθμος δημιουργεί και επεξεργάζεται κάποιες πρωτογενείς τιμές με τη βοήθεια συναρτήσεων παραγωγής τυχαίων αριθμών ή με τη βοήθεια άλλων απλών εντολών. 87

89 Υπολογιστικό κόστος: Αποτιμάται σε έναν αριθμό που εκφράζει το πλήθος των ενεργειών που θα εκτελέσει ο αλγόριθμος. Κάθε ενέργεια θεωρητικά εκτελείται σε συγκεκριμένη σταθερή χρονική διάρκεια. Έτσι εκτιμάται και ο υπολογιστικός χρόνος εκτέλεσης ενός αλγόριθμου. Οι βρόχοι for και while θα χρεώνονται το πλήθος των επαναλήψεων επί το πλήθος των εντολών που εκτελούνται σε κάθε επανάληψη. Διακρίνονται επίσης κάποιες πράξεις, οι οποίες καλούνται κυρίαρχες πράξεις, δηλαδή αυτές που παίζουν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στη συμπεριφορά του αλγόριθμου. Για παράδειγμα, στους αλγόριθμους ταξινόμησης οι κυρίαρχες πράξεις είναι οι συγκρίσεις και οι ανταλλαγές στοιχείων μεταξύ δύο θέσεων του πίνακα εισόδου. Παράδειγμα Θα αναλύσουμε τον χρόνο λειτουργίας του αλγόριθμου selectionsort (X) που διατάσσει τα στοιχεία του πίνακα Χ. Ο αλγόριθμος αυτός είναι: for (i=0;i<n;i++) start t 1 n+1 min=i; t 2 n for (j=i+1;j<=n;j++) t 3 n j j n j if (a[j]<a[min]) min=j; t 4 j n temp=a[i]; t 5 n a[i]=a[min]; t 6 n a[min]=temp; t 7 n end Όπου t 1 ο σταθερός χρόνος εκτέλεσης κάθε εντολής. Συνολικός χρόνος αλγορίθμου (Παράγραφος 3.13) f(n) είναι f(n)=(t 3 +t 4 ) n 2 /2 +(t 1 +t 2 + ½ (t 3 -t 4 )+t 5 +t 6 +t 7 ) n+t Περιγραφή και Αναπαράσταση Οι αλγόριθμοι περιγράφονται με διαφορετικούς τρόπους όπως της λεκτικής περιγραφής, του λογικού διαγράμματος ή του κώδικα λογισμικού. Τέσσερις είναι οι βασικοί τρόποι αναπαράστασης ενός αλγόριθμου: Ελεύθερο κείμενο, που αποτελεί τον πιο αδόμητο τρόπο παρουσίασης αλγόριθμου. Ελλοχεύει η δημιουργία μιας μη εκτελέσιμης κατάστασης παραβιάζοντας έτσι το κριτήριο της αποτελεσματικότητας. Η αναπαράσταση με ελεύθερο κείμενο (free text), αποτελεί τον πιο ανεπεξέργαστο και αδόμητο τρόπο παρουσίασης αλγορίθμου. Έτσι εγκυμονεί τον κίνδυνο ότι μπορεί εύκολα να οδηγήσει σε μη εκτλέσιμη παρουσίαση παραβιάζοντας το τελευταίο χαρακτηριστικό των αλγόριθμων δηλαδή την αποτελεσματικότητα. Διάγραμμα ροής (diagramming techniques), που συνιστά έναν γραφικό τρόπο παρουσίασης του αλγορίθμου. Από τις διάφορες διαγραμματικές τεχνικές που έχουν επινοηθεί, η πιο παλιά και η πιο γνωστή ίσως είναι το διάγραμμα ροής (flow chart). Ωστόσο η χρήση διαγραμμάτων ροής για την παρουσίαση αλγορίθμων δεν αποτελεί την καλύτερη λύση, γι αυτό και εφαρμόζονται όλο και σπανιότερα στην πράξη. Φυσική γλώσσα που εκτελείται κατά βήματα. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να παραβιαστεί το κριτήριο του καθορισμού μεταξύ των βημάτων. Χρειάζεται προσοχή, γιατί μπορεί να παραβιαστεί το τρίτο βασικό χαρακτηριστικό ενός αλγόριθμου, όπως προσδιορίστηκε προηγουμένως, δηλαδή το κριτήριο του καθορισμού. Κωδικοποίηση (coding) του αλγόριθμου σε ψευδογλώσσα ή γλώσσα προγραμματισμού. Έτσι ο αλγόριθμος παρουσιάζεται πιο συνοπτικός, συμπαγής ενώ πληρεί και τις προϋποθέσεις του Δομημένου προγραμματισμού. Επειδή η λεκτική περιγραφή δεν είναι πάντα ακριβής και επιτρέπει διαφορετικές ερμηνείες, συχνά χρησιμοποιούνται μεταβλητές και αριθμητικές περιγραφές σύμφωνα με την τυποποίηση γλωσσών ανθρώπου- 88

90 μηχανής. Έτσι, σε BASIC format το 3x και το x 2 αποδίδεται με 3 x και x 2, ενώ ως παράδειγμα χρήσης λεκτικών μεταβλητών παρατίθεται το. Παράδειγμα «Το 19x πρωθυπουργός ήταν ο P». Αν x=78 και Ρ=Κωνσταντίνος Καραμανλής, τότε η πρόταση διαβάζεται: «Το 1978 πρωθυπουργός ήταν ο Κωνσταντίνος Καραμανλής». Όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα, το ίδιο πρόβλημα μπορεί να λυθεί με διαφορετικούς τρόπους. Οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούν τον πιο απλό και προφανή τρόπο για την επίλυση ενός προβλήματος καλούνται στη διεθνή βιβλιογραφία αλγόριθμοι brute-force. Η λειτουργία τους απαιτεί την εξάντληση όλων των δυνατών συνδυασμών χρήσης των στιγμιότυπων. Η εξέλιξη των μηχανών και η συνεχώς αυξανόμενη υπολογιστική τους ικανότητα επιτρέπει την βελτίωση της αποτελεσματικότητας με τη σχεδίαση πλέον σύνθετων αλγόριθμων. Ορισμός Αλγόριθμοι των οποίων η λειτουργία δεν ακολουθεί συγκεκριμένη αλλά μεταβλητή ροή, καλούνται αλγόριθμοι οπισθοδρόμησης. Οι αλγόριθμοι οπισθοδρόμησης σε κάθε (ή σε μερικά) βήματα εξετάζουν το αποτέλεσμα της απόφασης στην οποία έχουν καταλήξει και κατευθύνουν τον έλεγχο εκτέλεσης εντολής σε διαφορετικά σημεία της ροής. Αναφέρουμε δε και μια άλλη κατηγορία αλγόριθμων που έχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να διαιρούν το πρόβλημα σε μικρότερα όμοια προς το αρχικό προβλήματα των οποίων οι λύσεις συνδυαζόμενες να παράγουν το τελικό αποτέλεσμα στην έξοδο. Τους αλγόριθμους αυτούς συνήθως συναντούμε με την ονομασία «διαίρει και βασίλευε». Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα ότι θέλουμε να γευματίσουμε και επομένως πρέπει να εκτελέσουμε τις επόμενες ενέργειες: να συγκεντρώσουμε τα υλικά, να προετοιμάσουμε τα σκεύη μαγειρικής, να παρασκευάσουμε το φαγητό, να ετοιμάσουμε τη σαλάτα, να στρώσουμε το τραπέζι, να γευματίσουμε, να καθαρίσουμε το τραπέζι,και να πλύνουμε τα πιάτα και τα κουζινικά. Είναι ευνόητο ότι η προηγούμενη αλληλουχία των ενεργειών οδηγεί στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Βέβαια, αυτή η αλληλουχία δεν είναι η μοναδική για την επίτευξη του σκοπού, αφού, για παράδειγμα, μπορούμε πρώτα να ετοιμάσουμε τη σαλάτα και μετά να παρασκευάσουμε το φαγητό, ενώ ακόμη μπορούμε πρώτα να πλύνουμε τα πιάτα και μετά να καθαρίσουμε το τραπέζι. Ωστόσο, το παράδειγμα θέλει να δείξει, ότι η θεώρηση μίας σύνθετης εργασίες με διακριτά βήματα που εκτελούνται διαδοχικά, είναι ένας πολύ χρήσιμος και πρακτικός τρόπος σκέψης για την επίλυση πολλών (αν όχι όλων) προβλημάτων. Παράδειγμα (Μετατροπή Αριθμού από το Δεκαδικό στο Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης). Το δυαδικό σύστημα είναι η «γλώσσα» που χρησιμοποιείται από τους υπολογιστές και αποτελείται από τα ψηφία 0 και 1.Το σύστημα αυτό μπορεί να μετατραπεί στο γνωστό μας δεκαδικό (0-9), ώστε να γίνεται κατανοητό από τους ανθρώπους. Επιτεύξιμη είναι επίσης και η αντίστροφη διαδικασία αλγόριθμος που ακολουθείται προκειμένου να επιτευχθεί αυτό είναι ο εξής: Διαιρούμε τον προς μετατροπή δεκαδικό αριθμό με το 2 (λόγω δυαδικού συστήματος). 89

91 Από την παραπάνω διαίρεση προκύπτει ένα ακέραιο πηλίκο και ένα ακέραιο υπόλοιπο, το οποίο, εφόσον διαιρούμε με το 2, μπορεί να είναι 0 ή 1. Το υπόλοιπο το αντιγράφουμε χωριστά σε μια στήλη. Το ακέραιο πηλίκο από την προηγούμενη διαίρεση το διαιρούμε ξανά με το 2 και γράφουμε στην στήλη, κάτω από το πρώτο, το νέο υπόλοιπο. Η διαδικασία αυτή ακολουθείται έως ότου να προκύψει διαίρεση με ακέραιο πηλίκο μηδέν και υπόλοιπο 1. Τέλος, ο δυαδικός αριθμός που αναζητούμε είναι η στήλη των υπολοίπων γραμμένη αντίστροφα, δηλαδή ξεκινώντας από το τελευταίο υπόλοιπο μέχρι το πρώτο [2]. Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε να μετατρέψουμε το δεκαδικό αριθμό 41 στο δυαδικό σύστημα. Ακολουθώντας τα βήματα του παραπάνω αλγορίθμου προκύπτει: ακέραιο πηλίκο ακέραιο υπόλοιπο 41/2= /2= /2= 5 0 5/2= 2 1 2/2= 1 0 1/2= 0 1 Και άρα ο αριθμός που αναπαριστά τον 41 στο δυαδικό σύστημα είναι ο , δηλαδή (41) 10 =(101001) 2. Παράδειγμα (Μετατροπή Αριθμού από το Δυαδικό στο Δεκαδικό Σύστημα Αρίθμησης). Σε αυτή τη φάση της εργασίας θα κάνουμε ακριβώς την αντίθετη μετατροπή από πριν. Δηλαδή θα μετατρέψουμε έναν αριθμό από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα, ώστε να είναι κατανοητός από τον άνθρωπο. Ο αλγόριθμος που ακολουθείται για αυτή τη διαδικασία είναι ο εξής: Γράφουμε τον δυαδικό αριθμό οριζόντια και ξεκινώντας από το τελευταίο ψηφίο, αριθμούμε το κάθε ψηφίο από το μηδέν ως εκεί που φτάνει ο αριθμός. Πχ: έστω έχουμε τον αριθμό 1101 του δυαδικού συστήματος αρίθμησης. Τον γράφουμε με αυτή τη μορφή. Δυνάμεις του Συντελεστές Ο αριθμός που ψάχνουμε στο δεκαδικό σύστημα είναι το άθροισμα των γινομένων του αριθμού τις άσπρης στήλης επί το 2 υψωμένο στη δύναμη που υποδεικνύει ο αριθμός της πορτοκαλί στήλης. Δηλ: x= , x= , x=13. Και τελικά ο αριθμός που αναζητάμε είναι ο αριθμός 13. Η σχεδίαση αλγόριθμων που επιτρέπει την εφαρμογή μεθόδων βελτιστοποίησης της απόδοσης κάθε ενός, ή ενός μέρους των ιεραρχημένων εντολών τους, επιτρέπει τη δυναμική βελτίωση των ιδιοτήτων που υπακούν στα προηγούμενα κριτήρια. Οι αλγόριθμοι αυτοί είναι αρκετά χρονοβόροι (time consuming) από εκείνους που δεν διαθέτουν τη δυνατότητα αυτή. Για να τους διακρίνουμε, θα τους καλούμε άπληστους αλγόριθμους (greedy algorithms) και θα τους ορίζουμε σύμφωνα με τον επόμενο ορισμό. Παράδειγμα (Αλγόριθμος Bellman-Ford). Διατύπωση του Προβλήματος Να βρεθεί η διαδρομή ελάχιστου βάρους, που συνδέει τις κορυφές s και u στον γράφο G(V,E,w) του σχήματος. 90

92 Σχήμα Προσανατολισμένος γράφος με βάρη (Κεφάλαιο 6). Όπου w=w(v,u) το βάρος της ακμής μεταξύ των κορυφών v και u. Κατανόηση του Προβλήματος Ξεκινώντας από την αρχική κορυφή s, θα πρέπει να εξετάσουμε για κάθε μία από τις άλλες κορυφές όλες τις διαδρομές μήκους i. Προφανώς θα πρέπει για όλες αυτές τις διαδρομές να υπολογιστεί και το συνολικό βάρος. Θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη η ύπαρξη αρνητικών βαρών, δεδομένου ότι η ύπαρξή τους θα μπορούσε να παράγει και διαδρομές αρνητικού βάρους (διαδρομή s-d-b-c). Στη συνέχεια θα πρέπει να συγκριθούν (ως προς τα βάρη) οι διαδρομές του ίδιου μήκους. Λύση του Προβλήματος Μια διαδικασία που θα μπορούσε να δώσει λύση στο πρόβλημα εντοπισμού διαδρομής ελάχιστου βάρους μπορεί να είναι η ακόλουθη. Δοκιμάζονται όλες οι ακμές σε κάθε πιθανή θέση για το συντομότερο s v μονοπάτι (ταυτόχρονα για όλες τις v). Στην εκκίνηση ο συσσωρευτής D[v] λαμβάνει τιμές D[s]=0 και D[v]=. Εισάγεται και μια μεταβλητή που καταχωρεί τις κορυφές που ελέγχονται σε ένα βρόγχο. D(v,i)=μήκος συντομότερου s v μονοπ. με i ακμές. Αρχικά D(s,0)=0 και D(v,0)= για κάθε v s. Από ΣΜ με i ακμές σε ΣΜ με i+1 ακμές. (Απλό) μονοπάτι έχει n 1 ακμές D(v,n 1)=d(s,v). D(v,n)<D(v,n 1)ανν κύκλος αρνητικού μήκους. Διατύπωση του Αλγόριθμου Ο κώδικας που προκύπτει από τον σχεδιασμό έχει ως ακολούθως. Αλγόριθμος for all v V do D[v]) ; p[v]) null; D[s]) 0; for i) 1 to n-1 do for all (u,v) E do if D[v]>D[u]+w(u,v) then D[v]) D[u]+w(u,v); P[v]) u; for all (u,v) E do 91

93 if D[v]>D[u]+w(u,v) then return (neg-cycle); Ορισμός Άπληστοι Αλγόριθμοι είναι εκείνοι οι αλγόριθμοι που προχωρούν χρησιμοποιώντας διαδοχικές επιλογές, που αφορούν στο βέλτιστο αποτέλεσμα κάθε βήματος. Ένας Άπληστος αλγόριθμος ακολουθεί την ευρηστική (heuristic) διαδικασία επίλυσης προβλήματος προκειμένου να φθάσει τοπικά (σε κάθε φάση επίλυσης του προβλήματος) στη βέλτιστη επιλογή λύσης. Η εφαρμογή όλων των φάσεων (υποπροβλήματα του αρχικού) ολοκληρώνεται με την προοπτική να παράσχει την βέλτιστη συνολικά λύση. Να σημειωθεί ότι η εφαρμογή ενός άπληστου αλγόριθμου δεν οδηγεί πάντα σε βέλτιστο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα του περιοδεύοντα πωλητή, θα μπορούσε να εφαρμοστεί μια διαδικασία επιλογής σε κάθε πόλη μόνο των πλησιέστερων πόλεων. Αυτή η διαδικασία απαιτεί περισσότερες πράξεις, που επιβραδύνουν τον συνολικό χρόνο λειτουργίας του αλγόριθμου, αλλά μπορεί να παράγει μια διαδρομή που να είναι λιγότερο δαπανηρή (σε χρόνο και κόστος) από τη διαδρομή που προτείνει ένας άλλος αλγόριθμος. Καθώς η επιστήμη των μαθηματικών εξελισσόμενη εστιάζει το ενδιαφέρον της στην ακριβέστερη μοντελοποίηση των φυσικών, κοινωνικών και οικονομικών φαινομένων, εισάγει τη μη γραμμική δυναμική ως κύριο εργαλείο ανάλυσης. Έτσι, και στη θεωρία αλγορίθμων παρατηρείται η στροφή προς τον δυναμικό προγραμματισμό. Οι αλγόριθμοι δυναμικού προγραμματισμού αποσυνθέτουν το πρόβλημα σε μικρότερα επι μέρους προβλήματα, τα οποία επιλύονται σταδιακά. Η σύνθεση των λύσεων των μικρότερων και άρα απλούστερων υποπροβλημάτων εμφανίζεται στην έξοδο ως τελική λύση. Αναφέρονται επίσης ως ειδικές κατηγορίες, οι αλγόριθμοι αναγνώρισης συμβολοσειρών, οι αριθμητικοί αλγόριθμοι, οι αλγόριθμοι σημασιολογικής ανάλυσης (compilers) και οι αλγόριθμοι γράφων (Κεφάλαιο 6). Σχετική βιβλιογραφία υποδεικνύεται στο τέλος του κεφαλαίου. Ορισμός Ένας κώδικας είναι μια αλυσίδα εντολών που αρχίζει με την πρώτη και συνεχίζει με την επόμενη, εκτός αν μεσολαβήσει μια εντολή ελέγχου που κατευθύνει την εκτέλεση σε άλλο σημείο της αλυσίδας. Ορισμός Μια εντολή ελέγχου κατευθύνει την εκτέλεση του προγράμματος είτε σε προηγούμενο, είτε σε επόμενο σημείο της ροής. Δυο είναι οι βασικοί τύποι εντολών: οι υπό συνθήκη εντολές και οι εντολές απόδοσης τιμών. μια υπό συνθήκη εντολή έχει τη μορφή: Αν κατάσταση, τότε δράση. Όταν η ροή του αλγόριθμου φθάνει σε εντολή αυτού του είδους, ελέγχεται η ισχύς της κατάστασης και αν η τιμή ελέγχου είναι TRUE εκτελείται η δράση ενώ αν η τιμή είναι FALSE η ροή προχωρεί στην επόμενη εντολή. Η εκτέλεση της επόμενης εντολής πολλές φορές μπορεί να περιλαμβάνεται σε μια υπό συνθήκη εντολή με τη μορφή: Αν κατάσταση, τότε δράση ; αλλοιώς δράση. Μια εντολή απόδοσης τιμών έχει τη μορφή x y (στη βιβλιογραφία απαντάται και ως x:=y) που αναγνωρίζεται ως «απόδωσε στο x την τιμή y». Από τη στιγμή όπου θα αποδοθεί στο x μια τιμή, η τιμή αυτή θα παραμείνει μέχρι να αποδοθεί νέα τιμή στο x. Αν η επόμενη εντολή είναι «x x+4» στη x θα αποδοθεί η τιμή 7. Αν η επόμενη εντολή είναι «x x 2» στη x θα αποδοθεί η τιμή 49. Θα παρατεθεί τώρα ο Αλγόριθμος Αλγόριθμος Αν α=0 τότε πήγαινε στην εντολή 4 γ) β/α «Η απάντηση είναι γ.» STOP Αν β=0 τότε πήγαινε στην εντολή 6 «Δεν υπάρχει απάντηση.» STOP «Κάθε αριθμός αποτελεί απάντηση.» STOP 92

94 Με εισαγωγικά σημειώνονται σχόλια που εμφανίζονται όταν ο έλεγχος της ροής οδηγήσει στην εκτέλεση της εντολής που τα περιλαμβάνει. Στη συνέχεια παραθέτονται τρεις εφαρμογές του Αλγόριθμου Εφαρμογή Να λυθεί η 7x=14 {α=7; β=14} α=0. FALSE {7 0} γ) 2{β/α=14/7=2} Η απάντηση είναι 2 Εφαρμογή Να λυθεί η 0x=-5 {α=0; β=-5} α=0. TRUE {Μετάβαση στην 4} β=0. FALSE {-5 0} Δεν υπάρχει απάντηση Εφαρμογή Να λυθεί η 0x =0 {α=0; β=0} α=0. TRUE {Μετάβαση στην 4} β=0. TRUE {Μετάβαση στην 6} Κάθε αριθμός είναι απάντηση Μια άλλη εφαρμογή αποτελεί ο αλγόριθμος μετατροπής αριθμού από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Για να μετατραπεί ένα αριθμός n από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα ζητείται ο μέγιστος ακέραιος p τέτοιος ώστε 2 p n. αυτό σημαίνει ότι η έκφραση του αριθμού θα έχει p ψηφία το πρώτο εκ των οποίων θα είναι 1. Εξετάζεται στη συνέχεια ο n-2 p. Αν 2p-1 >n, τοποθετείται στην επόμενη θέση 0 άλλως τοποθετείται 0 και συνεχίζεται η διαδικασία στην επόμενη θέση μέχρι να συμπληρωθεί και η τελευταία από τις p θέσεις. Την περιγραφή αυτή ακολουθεί η παράθεση του αλγόριθμου. Αλγόριθμος p 0 Αν 2 p+1 > n μετάβαση στο 5 (αυτό είναι το μεγαλύτερο 2 p n) p p+1. Μετάβαση στο 2 Αν 2 p > n τότε μετάβαση στο 8 «1» Αν p=0 τότε STOP n n-2 p, p p-1. Μετάβαση στο 4 «0» Αν p=0 τότε STOP p p-1. Μετάβαση στο 4. Αν το πρόγραμμα τρέξει για n=9,να γραφεί ο αριθμός 9 στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης. p 0 2 p+1 >9 FALSE {2 0+1 =2} p 1 2 p+1 >9 FALSE {2 1+1 =4} 93

95 p 2 2 p+1 >9 FALSE {2 2+1 =8} p 3 2 p+1 >9 TRUE{2 3+1 =16} 1 p=0 FALSE {p=3} n 1 p 2{9-23 =1, 3-1 =2} 2 p >1 TRUE {2 2 =4} 0 p=0 FALSE {p=2} p 1 2 p >1 TRUE {2 1 =2} 0 p=0 FALSE {p=1} p 0 2 p >1 FALSE {20=1} 1 p=0 TRUE 1001 Διότι 1001=1x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +1x2 0 = = Βασικές Εντολές Οι εντολές προγραμματισμού στις γλώσσες ανθρώπου-μηχανής ταξινομούνται σε τρεις κύριες κατηγορίες. Στις εντολές που έχουν τη δομή της ακολουθίας, εκείνες που έχουν τη δομή της επιλογής και τέλος στις εντολές που επιβάλλουν την επανάληψη μιας ιεραρχημένης σειράς άλλων εντολών (δομή της επανάληψης) Δομή Ακολουθίας Η δόμηση των διαδικασιών σε τέτοια μορφή, έτσι ώστε οι διαδικασίες να εκτελούνται με τη σειρά από τον υπολογιστή Δομή Επιλογής Η προγραμματιστική δομή που περικλείει τον έλεγχο μιας συνθήκης και δύο ομάδες εντολών από τις οποίες εκτελείται η πρώτη, αν ισχύει η συνθήκη, ή η δεύτερη αν δεν ισχύει Δομή Επανάληψης Η προγραμματιστική δομή που περικλείει τον συνεχή έλεγχο μίας συνθήκης και μία ομάδα εντολών, η εκτέλεση των οποίων επαναλαμβάνεται όσο ισχύει η συνθήκη. Οι εντολές των γλωσσών 4ης γενιάς είναι λιγότερες και περισσότερο περιεκτικές από τις αντίστοιχες μιας συμβατικής γλώσσας προγραμματισμού, άρα έχουμε μικρότερα προγράμματα και λιγότερα λάθη. Έχουν δυναμικές εντολές με τις οποίες ο χρήστης μπορεί εύκολα να δημιουργεί και να ενημερώνει αρχεία, να σχεδιάζει οθόνες κλπ. Οι γλώσσες 4ης γενιάς είναι διαλογικές και συνήθως αποτελούν εργαλεία πακέτων για Συστήματα Διοίκησης Βάσεων Δεδομένων, όπως πχ. InGLES, ORACLE κλπ. Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τις εντολές (εντολές κώδικα μηχανής και εντολές συμβολικών γλωσσών), ο αναγνώστης θα αναζητήσει στα βιβλία που αναφέρονται στον προγραμματισμό. 94

96 3.8. Τυποποιημένοι Αλγόριθμοι Οι αλγόριθμοι είναι σημαντικοί γιατί σχετίζονται άμεσα με τον τρόπο τον οποίο οι υπολογιστές επεξεργάζονται πληροφορίες. Ένα πρόγραμμα υπολογιστών είναι ουσιαστικά ένας αλγόριθμος που λέει στον υπολογιστή ποια συγκεκριμένα βήματα να εκτελέσει (σε ποια συγκεκριμένη σειρά) προκειμένου να επιτευχθεί ένας συγκεκριμένος στόχος, όπως π.χ. ο υπολογισμός των μισθών των υπαλλήλων ή η εκτύπωση των έλεγχων των μαθητών. Κατά συνέπεια, ένας αλγόριθμος μπορεί να θεωρηθεί οποιαδήποτε ακολουθία εντολών που μπορεί να εκτελεσθεί από ένα turing-πλήρες σύστημα. Χαρακτηριστικά, όταν ένας αλγόριθμος συνδέεται με την επεξεργασία πληροφοριών, τα δεδομένα διαβάζονται από μια συσκευή εισόδου, γράφονται σε μια συσκευή εξόδου, και / ή αποθηκεύονται για την περαιτέρω χρήση. Τα αποθηκευμένα στοιχεία θεωρούνται ως τμήμα της εσωτερικής κατάστασης του συστήματος που εκτελεί τον αλγόριθμο. Για οποιαδήποτε τέτοια υπολογιστική διαδικασία, ο αλγόριθμος πρέπει να οριστεί αυστηρά: να είναι ορισμένος για όλες τις πιθανές περιστάσεις που θα μπορούσαν να προκύψουν. Δηλαδή οποιαδήποτε υπό όρους βήματα πρέπει να εξεταστούν συστηματικά, και σε κάθε περίπτωση τα κριτήρια πρέπει να είναι σαφή (και υπολογίσιμα). Επειδή ένας αλγόριθμος είναι ένας ακριβής κατάλογος βημάτων ακριβείας, η σειρά του υπολογισμού θα είναι σχεδόν πάντα κρίσιμη για τη λειτουργία του αλγόριθμου. Οι εντολές συνήθως απαριθμούνται ρητά, και περιγράφονται σαν να ξεκινούν «από την κορυφή» και πηγαίνοντας «προς το κατώτατο σημείο», μια ιδέα που περιγράφεται τυπικά με τον όρο της «ροής ελέγχου». Μέχρι τώρα, σε αυτήν η συζήτηση για την τυποποίηση του αλγόριθμου, έχουμε δεχθεί σαν βάση τον διαδικαστικό προγραμματισμό. Αυτή είναι και η πιο κοινή αντίληψη, η οποία προσπαθεί να περιγράψει ένα έργο με διακεκριμένα, «μηχανικά» μέσα. Μοναδικός σε αυτήν την αντίληψη των αλγόριθμων είναι ο ρόλος της λειτουργίας ανάθεσης (ο καθορισμός της τιμής μιας μεταβλητής) ο οποίος προέρχεται από τη ιδέα «της μνήμης» σαν πρόχειρο τετράδιο. Δείτε ακόμα το λειτουργικό προγραμματισμό και τον λογικό προγραμματισμό για εναλλακτικές αντιλήψεις για το τι αποτελεί έναν αλγόριθμο Εφαρμογή των Αλγόριθμων Οι αλγόριθμοι μπορούν να υλοποιηθούν από προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών, μολονότι συχνά σε περιορισμένες μορφές. Ένα λάθος στον σχεδιασμό ενός αλγόριθμου για τη λύση ενός προβλήματος μπορεί να οδηγήσει σε αποτυχίες/βλάβες στο εφαρμοσμένο πρόγραμμα. Οι αλγόριθμοι δεν υλοποιούνται μόνο ως προγράμματα υπολογιστών, αλλά συχνά επίσης και με άλλα μέσα, όπως π.χ. σε ένα βιολογικό νευρικό δίκτυο, ή σε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα, ή σε μια μηχανική συσκευή. Η ανάλυση και η μελέτη των αλγορίθμων είναι ένας τομέας της επιστήμης της πληροφορικής, και ασκείται συχνά αφαιρετικά (χωρίς τη χρήση μιας συγκεκριμένης γλώσσας προγραμματισμού ή άλλη εφαρμογή). Από αυτή την άποψη, μοιάζει με άλλους μαθηματικούς τομείς, συγκεκριμένα στο ότι η εστίαση της ανάλυσης είναι πάνω στις βασικές αρχές του αλγόριθμου, και όχι σε οποιαδήποτε ιδιαίτερη εφαρμογή του. Ένας τρόπος απεικόνισης ένας αλγόριθμου είναι το γράψιμο του ψευδοκώδικα. Άλλοι τρόποι είναι: με ελεύθερο κείμενο, με φυσική γλώσσα περιγράφοντας τα βήματα και με λογικό διάγραμμα Υπολογιστική Επιλυσιμότητα και Πολυπλοκότητα Ως πολυπλοκότητα στη Θεωρία Αλγορίθμων αναφέρεται το τμήμα της υπολογιστικής νοημοσύνης, κοστολογεί τους αλγόριθμους ως προς τις απαιτήσεις τους στη χρήση των υπολογιστικών και διαδικτυακών πόρων που απαιτεί η λειτουργία τους. Η θεωρία αλγοριθμικής πολυπλοκότητας ασχολείται με την ανάλυση αλγορίθμων και έτσι αποτελεί σημαντικό τομέα της έρευνας που αφορά την επιστήμη των υπολογιστών. Οι συνηθέστεροι πόροι για τους οποίους ενδιαφερόμαστε είναι ο υπολογιστικός χρόνος, οπότε μιλάμε για τη χρονική πολυπλοκότητα του αλγόριθμου, δηλαδή πόσα «βήματα» χρειάζεται να εκτελέσει ο 95

97 αλγόριθμος συναρτήσει της εισόδου του, και ο υπολογιστικός χώρος, οπότε μιλάμε για τη χωρική πολυπλοκότητα, δηλαδή πόση έκταση μνήμης απαιτεί ο αλγόριθμος συναρτήσει της εισόδου του. Εκτός από αυτούς τους πόρους, κατά περίπτωση, μπορεί να ενδιαφερόμαστε και για άλλους, όπως για παράδειγμα πόσοι παράλληλοι επεξεργαστές χρειάζονται για να λυθεί ένα πρόβλημα με τεχνικές παράλληλης επεξεργασίας. Το επόμενο θεώρημα εξασφαλίζει την επιλυσιμότητα μεγάλου αριθμού αλγόριθμων. Θεώρημα (Δόγμα Church Turing). Κάθε μη τετριμμένη ιδιότητα γλώσσας αναγνωρίσιμης από μια μηχανή Turing δεν είναι αναδρομική. Αν υπάρχει κάποια μέθοδος (αλγόριθμος) μέσω της οποίας μπορούμε να διεκπεραιώσουμε κάποιο υπολογισμό, τότε ο ίδιος υπολογισμός μπορεί να διεκπεραιωθεί μέσω μιας μηχανής Turing. Ανεπίλυτα προβλήματα: Προβλήματα για τα οποία δεν υπάρχει κανένας αλγόριθμος που να τα επιλύει π.χ. το πρόβλημα του τερματισμού. Επιλύσιμα προβλήματα: Προβλήματα για τα οποία υπάρχει αλγόριθμος/μηχανή Turing που τα επιλύει Πολυπλοκότητα. Πόσος χρόνος/μνήμη απαιτείται για την επίλυση του προβλήματος; Είναι η επίλυση του προβλήματος πρακτικά εφικτή; Ορισμός Χρονικής Πολυπλοκότητας. Έστω Μ μια ντετερμινιστική ΤΜ που τερματίζει σε κάθε είσοδο. O χρόνος εκτέλεσης ή η χρονική πολυπλοκότητα της Μ είναι η συνάρτηση f:n N όπου f(n) είναι το μέγιστο πλήθος βημάτων που είναι δυνατόν να πραγματοποιήσει η Μ όταν το μήκος της εισόδου της είναι n. Προφανώς, οι τιμές f(n) της f είναι μη αρνητικές για κάθε n. Ορισμός Λέμε ότι f(n)=o(g(n)), αν υπάρχει ακέραιος n 0 και μία σταθερά c>0 έτσι ώστε για όλους τους ακέραιους n n 0, να ισχύει ότι f(n) cg(n). Το πλέον σημαντικό εργαλείο εκτίμησης της πολυπλοκότητας αλγόριθμων είναι η Ασυμπτωτική Ανάλυση. Δια της Ασυμπτωτικής Αναλύσεως επιτυγχάνονται δυο στόχοι. Εκτιμάται ο απαιτούμενος χρόνος λειτουργίας του αλγόριθμου σε μεγάλα δεδομένα εισόδου Παρέχεται η δυνατότητα σύγκρισης του χρόνου εκτέλεσης διαφορετικών αλγόριθμων. Στα επόμενα παραδείγματα θα εφαρμοστούν απλές μέθοδοι σε προβλήματα των κλάσεων Ρ και ΝΡ. Παράδειγμα Έστω αλγόριθμος με χρονική πολυπλοκότητα f(n)= 6n 3 +2n 2 +20n+45. Με την ασυμπτωτική ανάλυση εξετάζουμε τον μεγιστοβάθμιο όρος. Τότε λέμε ότι η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου είναι ασυμπτωτικά το πολύ n 3 f(n)=o(n 3 ). Είναι προφανές ότι και κάθε άλλη μεγαλύτερη δύναμη του n αποτελεί συνάρτηση προς την οποία η f είναι ασυμπτωτικά ισοδύναμη. Παράδειγμα Έστω αλγόριθμος με χρονική πολυπλοκότητα: f(n)=5n+24. Αν c=1, τότε f(n)=5n+24 n 2 n 2-5n (n-8)(n+3) 0. Άρα, για n 8, f(n) =O(n 2 ). Ορισμός Έστω f και g δύο συναρτήσεις από το σύνολο N στο σύνολο R +. Ορίζουμε f(n)=ο(g(n)), αν υπάρχουν ακέραιοι c>0 και n 0 0 τέτοιοι ώστε για κάθε n n 0 να ισχύει f(n) cg(n). Ο συμβολισμός f(n)=ο(g(n)) σημαίνει ότι η f είναι της τάξης g(n). Σε αυτήν την περίπτωση g(n) είναι ασυμπτωτικό άνω φράγμα της f, δηλαδή είναι μεγαλύτερη ή ίση της f. 96

98 Σχήμα f(n)=ο(g(n)). Ορισμός Θεωρούμε τη συνάρτηση f(n)=o(g(n)). Αν για κάθε συνάρτηση h(n) έτσι ώστε f(n)=o(h(n)), ισχύει επίσης ότι g(n)=o(h(n)), τότε λέμε ότι η g(n) είναι ένα στενό ασυμπτωτικό όριο της f(n). Ορισμός Συμβολίζεται με f(n)=0(g(n)) η σχέση δυο συναρτήσεων f:n R +. και g:n R +, για τις οποίες ισχύει lim n (f(n))/(g(n))=0 Η σύγκριση αλγόριθμων που επιλύουν το ίδιο πρόβλημα γίνεται με σύγκριση της αποτελεσματικότητάς τους. Η αποτελεσματικότητα θεωρείται ως συνάρτηση του πλήθους των δεδομένων εισόδου και τον δαπανούμενο υπολογιστικό χρόνο και πόρους μνήμης. Η αποτελεσματικότητα προσεγγίζεται θεωρητικά με χρήση μοντέλου μηχανής Turing, ή εναλλακτικά, με εμπειρική προσέγγιση μηχανής Τυχαίας Προσπέλασης (Random Access Machine-RAM) Είδη Προβλημάτων Ένα σημαντικό ζήτημα στη θεωρία αλγοριθμικής πολυπλοκότητας είναι η ταξινόμηση των προβλημάτων σε κλάσεις ισοδυναμίας. Κριτήριο της ταξινόμησης είναι ο βαθμός δυσκολίας που παρουσιάζει ένα έκαστο των προβλημάτων. Ιδιαιτέρου ενδιαφέροντος στο πλαίσιο αυτό είναι οι κλάσεις P (Deterministic Polynomial Time) και np (non Deterministic Polynomial Time). Γενικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι η κλάση P περιλαμβάνει τα περισσότερα προβλήματα της np. Θα προχωρήσουμε σε πιο τυπικούς ορισμούς οι οποιοι επαλυθεύουν τη διαίσθηση ότι η κλάση των προβλημάτων P είναι μικρότερη της κλάσεως των προβλημάτων np. Τονίζεται ότι οι κλάσεις P και np αφορούν την ταξινόμηση προβλημάτων απόφασης. Στα προβλήματα απόφασης, ζητούνται απαντήσεις κατάφασης ή άρνησης (ΝΑΙ ή ΟΧΙ) Αιτιοκρατικές Μηχανές Turing Εκτενή περιγραφή της στοιχειώδους μηχανής Turing και της λειτουργίας της, ο αναγνώστης θα βρει στο Κεφάλαιο 7 του βιβλίου αυτού. Στη θεωρία πολυπλοκότητας το βασικό μοντέλο μηχανής, που χρησιμοποιείται είναι οι μηχανές Turing με πολλαπλές ταινίες. Ως Αιτιοκρατικές (ή ντετερμινιστικές), θεωρούμε μηχανές Turing (DTM) με πολλαπλές ταινίες έχει k (k 1) ταινίες από τις οποίες μπορεί να διαβάσει και να γράψει συγκεκριμένα σύμβολα στα κελιά που βρίσκονται πίσω από τα k παράθυρα του αναγνώστη. Κάθε χρονική στιγμή του διακριτού χρόνου n, η μηχανή βρίσκεται σε μια κατάσταση που έχει προσδιοριστεί από τη συνάρτηση μετάβασης (Κεφάλαιο 7). 97

99 3.13. Xρονική Πολυπλοκότητα και Πολυωνυμικός Χρόνος Το βασικότερο ίσως κριτήριο για την αποδοτικότητα ενός αλγόριθμου είναι ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται για την επίλυση του προβλήματος. Στην περίπτωση μιας μηχανής Turing L, σαν χρονική μονάδα ορίζεται το υπολογιστικό βήμα της L, που συνίσταται σε μία εφαρμογή της συνάρτησης μετάβασης. Η χρονική πολυπλοκότητα ενός προβλήματος Π είναι μια συνάρτηση που φράσσει άνω τον αριθμό των στοιχειωδών βημάτων που χρειάζεται μια μηχανή Turing για να αποφασίσει το Π, δηλαδή φράσσει τον υπολογιστικό χρόνο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποφασιστεί ένα στιγμιότυπο του Π. Συγκεκριμένα, έστω μία DTM L που τερματίζει σε κάθε είσοδο. Ορισμός Η κλάση P περιλαμβάνει όλα εκείνα τα προβλήματα απόφασης, τα οποία επιλύονται από ένα ντετερμινιστικό αυτόματο σε πολυωνυμικό χρόνο. Ορισμός Η κλάση np περιλαμβάνει όλα τα προβλήματα απόφασης που επιλύονται από ένα μη ντετερμινιστικό αυτόματο σε πολυωνυμικό χρόνο. Ένας ισοδύναμος ορισμός της κλάσης np έχει ως εξής: Η κλάση np περιλαμβάνει όλα τα προβλήματα απόφασης για τα οποία αν μας δοθεί ένα πιστοποιητικό καταφατικής απάντησης, μπορούμε να επαληθεύσουμε σε πολυωνυμικό χρόνο ότι η απάντηση είναι σωστή. Να σημειωθεί ότι οι κλάσεις αυτές δεν είναι αρκετές για να κατηγοριοποιήσουν το σύνολο των προβλημάτων τα οποία καλούμαστε να λύσουμε. Ένα μεγάλο μέρος προβλημάτων μένουν εκτός των κατηγοριών P και np. Για παράδειγμα αναφέρεται ότι τέτοια προβλήματα θα μπορούσαν να έχουν εκθετική πολυπλοκότητα. Είναι ακόμα δυνατό προβλήματα που ανήκουν στην κλάση P να παράγουν μη βέλτιστες λύσεις. Με την ΝΡπληρότητα αναγνωρίζεται μια άλλη μεγάλη κατηγορία προβλημάτων που δεν ανήκει στις προηγούμενες. Παράδειγμα Το πρόβλημα εντοπισμού μιας διαδρομής ή ενός μονοπατιού μήκους k, σε ένα γράφο G (Κεφάλαιο 5) είναι np πρόβλημα. Στην είσοδο, εκτός από το πλήθος k των ακμών, δίνονται επίσης οι κορυφές s και t (αρχική και καταληκτική αντίστοιχα). Ο αλγόριθμος λειτουργεί με την επιλογή ΝΑΙ ή ΟΧΙ σε κάθε νέο κόμβο, προκειμένου να ακολουθήσει την επιθυμητή διαδρομή. Παράδειγμα Ο αλγόριθμος κρυπτογράφησης RSA εκτελεί κάποια απλή αριθμητική ακεραίων στον κώδικα και την κλείδα. η οποία αποτελείται από ένα ζεύγος (p,q) μεγάλων πρώτων αριθμών. Κάποιος μπορεί να εκτελέσει την κρυπτογράφηση μόνο γνωρίζοντας το γινόμενο p q, αλλά για να αποκρυπτογραφήσει τον κωδικό πρέπει να γνωρίζει το γινόμενο (p-1) (q-1). Μια τυπική διαδικασία στην κρυπτογραφία είναι η «known-plaintext attack» όπου υπάρχει πρόσβαση και στο κείμενο (crib) και στηνκρυπτογραφημένη εκδοχή (chphertext) προκειμένου να εξαχθεί το κείμενο του μηνύματος. Στόχος είναι να χρησιμοποιηθούν αυτές τις πληροφορίες για να εντοπιστεί το κλειδί, έτσι ώστε να μπορεί να αποκρυπτογραφήσει τα άλλα μηνύματα που αποστέλλονται χρησιμοποιώντας το ίδιο κλειδί. Η διαδικασία αυτή επισημοποιήθηκε ως np το πρόβλημα, καθώς η επιδίωξη είναι να εντοπιστεί ένα κλειδί κωδικοποίησης=rsa (κλειδί, κείμενο). Το δύσκολο ερώτημα είναι, πώς θα εντοπιστεί το κλειδί, Και εδώ πάντως είναι η διαδικασία επιλογής γραμμάτων, όπου σε κάθε ερώτημα επιλογής γράμματος η απάντηση είναι του τύπου ΝΑΙ ή ΟΧΙ. Ορισμός Ένα πρόβλημα np-πλήρες (np-complete) είναι ένα πρόβλημα της κλάσης ΝΡ στο οποίο μετασχηματίζεται πολυωνυμικά κάθε άλλο πρόβλημα της κλάσης ΝΡ. Ως ΝΡ-πλήρη αναγνωρίζονται προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν με αλγόριθμους των οποίων η χρόνοι να είναι είτε πολυωνυμικοί είτε μη αιτιοκρατικά πολυωνυμικοί. Για να λυθούν προβλήματα που χαρακτηρίζονται ως ΝΡ-πλήρη, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει ευρηστικούς αλγόριθμους (heuristic 98

100 algorithms). Εναλλακτικά μπορεί να το λύσει προσεγγιστικά Αντί να βρει την ακριβή λύση), ή να χρησιμοποιήσει λύση εκθετικού χρόνου, ή τέλος να απλουστεύσει το πρόβλημα αγνοώντας κάποιο (ή κάποια) από τα στοιχεία και του παράγοντες που θα του επέτρεπαν να τεθεί το πρόβλημα στην κλάση ΝΡ. Άλλες κλάσεις προβλημάτων είναι οι PSPACE, EXPTIME και η Undecidable. Στην κλάση PSPACE εντάσσονται προβλήματα που δεν λύνονται με χρήση μιας εύλογου μεγέθους έκτασης μνήμης. Στην κλάση αυτή τα προβλήματα καταναλίσκουν πολυωνυμικό χρόνο, ο οποίος όμως είναι εξαιρετικά μεγάλος. Στην κλάση EXPTIME ανήκουν τα προβλήματα που λύνονται σε εκθετικό χρόνο. Τέλος, στην κλάση Undecidable ταξινομούνται προβλήματα για τα οποία αποδεικνύεται ότι δεν λύνονται αλγοριθμικά, όσο χρόνο και χώρο μνήμης και αν διαθέσουμε. 99

101 Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Beard, R. S. (1973). Patterns in Space. Creative Pubns, First edition. Bicknell, Μ., & Hoggat, V. E. Jr. (1969). Golden Triangles, Rectangles and Cuboids. The Fibonacci Quarterly, Vol. 7, no 1 (February, pp Brousseau, A. (1968). On the trail of the California Pine. The Fibonacci Quarterly, Vol. 6, no 1 (February, pp Cormen, T., Leiserson, C., & Rivest, R. (1990). Introduction to Algorithms. Cambridge Mass.: MIT Press. (Το βιβλίο κυκλοφορεί μεταφρασμένο από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης σε δύο μέρη.) Cutland, n. (1980). Computability. Cambridge-new York: Cambridge University Press,. ISBn ; ISBn Dantzig, Τ. (1955), The Bequest of the Greeks. new York: Charles Scribner s Sons, Glenn, M. (1964). A new Proof for an Old Property. The Fibonacci Quarterly, Vol. 2, no. 1 (February), pp Goodrich, Μ. Τ. & Tamassia, R. (2004). Data Structures and Algorithms in Java, John Wiley & Sons, Inc., 4th edition. Goodrich, Μ. Τ., Tamassia, R.& Mount, D. M. (2011). Data Structures and Algorithms in C++, John Wiley & Sons, Inc. Halton, J. H. (1964). Fibonacci Residues. The Fibonacci Quarterly, Vol. 2, no. 3 (October), pp Holt, Μ. (1965). Mystery Puzzler and Phi. The Fibonacci Quarterly, Vol. 3, no 2 (April), pp Holt, Μ. (1964). The Golden Section. Pentagon, Spring,, pp Huntley, Η. (1964). The Fibonacci Quarterly, Vol. 2, no 3 (October), pp.184. Hoggatt, V. E. (1983). Αριθμοί Fibonacci και Lucas. Αθήνα: εκδόσεις Gutenberg. Land, Frank (1960). The Language of Mathematics. London : John Murray. Lewis, Η. & Denenberg, L., (1991). Data Structures and Their Algorithms. new York: Harper Collins Publishers, Inc. Lipschutz, S., & Lipson, M. (2003). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: εκδόσεις Τζιόλα - σειρά Schaum. Post, E. (1944). Recursively enumerable sets of positive integers and their decision problems. Bulletin of the American Mathematical Society, 50, pp Sahni, S. (2004). Δομές Δεδομένων, Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στη C++. Μετάφραση: Γιάννης Θεοδωρίδης & Γιάννης Μανωλόπουλος. Αθήνα: Εκδόσεις Τζιόλα. Taylor, L. (1967). Residues of Fibonacci-Like Sequences. The Fibonacci Quarterly, Vol. 5, no. 3 (October), pp Vorobyov, Ν. Ν. (1963). The Fibonacci numbers. Boston: D.C. Heath and Company. Γεωργακόπουλος, Γ. Φ. (2002). Δομές Δεδομένων: Έννοιες, Τεχνικές, Αλγόριθμοι. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Μανωλόπουλος, Ι. (2003). Δομές Δεδομένων, Μια προσέγγιση με Pascal. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Art of Text. Μοσχοβάκης, Γ. Ν. (2011). Αναδρομή και υπολογισιμότητα, Μποζάνης, Π. (2003). Δομές δεδομένων. Αθήνα: Εκδόσεις Τζιόλας,ISBn Χ,. %CE%BF%CF%

102

103 Κριτήρια Αξιολόγησης Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας αριθμός ρ (1,2), τέτοιος ώστε η ακολουθία (x n ), n 0, που ορίζεται με τη 3 x 3x 1 n n αναδρομική σχέση: x = x. n+ 1 n 2 3x 3 n n=0,1,2, να συγκλίνει στο ρ για κάθε αρχική τιμή του x 0 (1,2). Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Να εξετάσετε την τάξη της αναδρομικής ακολουθίας Fibonacci. Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Να βρεθεί ο αναδρομικός τύπος για τον υπολογισμό των απαιτούμενων κινήσεων για τη μετακίνηση του πύργου του Ανόι σε κενό στύλο. Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Να εξετάσετε ως προς τη σύγκλισή της, την ακολουθία α ν =1/(ν+1) Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Να βρείτε τον γενικό όρο της ακολουθίας α (n+2) =ma (n+1) +qa n. Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Βρείτε τον γενικό όρο της ακολουθίας { αn} Κριτήριο Αξιολόγησης 7 Να βρείτε τον αριθμό Fibonacci F 16 α 16 / 5. 4 n = 1 = 6a 9. n n 2 an Λύση: Ισχύει ότι log α 16 / 5 16 log a-log 2, 236. Επειδή θα πολλαπλασιάσουμε το loga επί τον 16 τον παίρνουμε με πιο πολλά δεκαδικά ψηφία από εκείνα που σχεδιάζουμε να πάρουμε τους άλλους υπολογισμούς. Παίρνοντας α=(1+ 5)/2=α=( )/ , και χρησιμοποιώντας το calculator τσέπης βρίσκουμε ότι log α=0,20898 Έτσι λοιπόν έχουμε 1og a 16 / που συνεπάγεται ότι α 16 / Ώστε F 16 =987. Για μεγαλύτερους δείκτες βρίσκουμε με ακρίβεια τα τρία δεκαδικά ψηφία του αριθμού. 102

104 Κριτήριο Αξιολόγησης 8 2 F F Δίνεται ότι ο 610 είναι ένας αριθμός Fibonacci. Mε βάση τον τύπο = n n F, n 4 n Να βρεθεί ο επόμενος αριθμός. Λύση: F = F = F = = = F n n n n ένας εναλλακτικός τρόπος εκτέλεσης των πράξεων είναι: F = F = = = = + + F F n n n n Για ποιο μεγάλους αριθμούς Fibonacci θα χρειαστεί να πάρετε την 5 με πιο πολλά δεκαδικά ψηφία. Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Παίρνοντας Α= a b = =, B e f, C i j c d g h k l (Α+Β)+C=A+(B+C). και τον ορισμό της πρόσθεσης, να δείξετε ότι Λύση: Ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab e f i j a + e + i e + f + j a + e + i e + f + j A+ B + C = + + = = cd gh kl c g k d h l c g k d h l ab e f i j = + + = A+ B + C cd gh kl Κριτήριο Αξιολόγησης 10 Δείξτε ότι Q 2 =Q+I ή Q 2 -Q-I=Z Λύση: 11 ef Q + = Q + I = = Q 10 gh ( ) Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης 103

105 4. Κεφάλαιο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ, ΠΥΛΕΣ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σύνοψη Τα κυκλώματα που διαθέτουν διακόπτες ροής ηλεκτρικού φορτίου χρησιμοποιούνται σε διατάξεις που αναπαράγουν λογικές διαδικασίες για τη λήψη αποφάσεων. Στην ενότητα αυτή εξετάζονται διακόπτες αυτού του είδους, οι οποίοι καλούνται λογικοί διακόπτες. Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν οι μεθοδολογίες εκείνες που επιτρέπουν την κατασκευή πολύπλοκων λογικών διακοπτών με χρήση των στοιχειωδών εξ αυτών. Προαπαιτούμενη Γνώση Αλγεβρα Πινάκων Εισαγωγή στη Μαθηματική Λογική Μια φορά και έναν καιρό, ζούσε σε ένα απομονωμένο χωριό ένας κουρέας. Μερικοί λένε ότι έζησε στη Σεβίλλη, αλλά αυτό δεν έχει ιδιαίτερη σημασία. Στο μέρος εκείνο υπήρχε ένας απαράβατος κανόνας: οι άνδρες είτε ξυρίζονταν μόνοι τους ή τους ξύριζε ο κουρέας. Επιπλέον συνθήκη στον κανόνα αυτόν ήταν ότι ο κουρέας ξύριζε μόνο τους άντρες που δεν γνώριζαν την τεχνική του ξυρίσματος, δηλαδή εκείνους που δεν ξύριζαν τον εαυτό τους. Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα: Πώς ξυριζόταν ο κουρέας; Ας δεχθούμε ως απάντηση ότι ξυριζόταν μόνος του και ας υποθέσουμε ότι η απάντηση είναι καταφατική. Προκύπτει όμως ότι η απάντηση αυτή αντίκειται στον περιορισμό ότι ξύριζε μόνο όσους δεν ξυριζόταν μόνοι τους. Καταλήγουμε λοιπόν στην εναλλακτική απάντηση: Δεν ξυριζόταν μόνος. Και αυτή η θέση αντίκειται στον περιορισμό, ότι δηλαδή όλοι οι άνδρες της πόλης εκείνης είτε ξυρίζονταν μόνοι τους ή τους ξύριζε ο κουρέας. Τι σημαίνει λοιπόν αυτή η αντίφαση; Γιατί πρόκειται περί αντίφασης, εκτός αν ο κουρέας ζούσε εκτός της πόλης, ή αν ήταν γυναίκα, ή σπανός. Τίποτε από αυτά όμως δεν συμβαίνει γιατί η ιστορία αναιρεί κάθε προσπάθεια τέτοιας ερμηνείας, καθώς αναφέρεται στον κουρέα με το αριθμητικό προσδιορισμό «ένας» και όχι «μια» και θέτει ερώτημα για το ξύρισμα του κουρέα, που σημαίνει ότι δεν ήταν σπανός. Το παράδειγμα αυτό, είναι ένα από τα πολλά γνωστά παραδείγματα που οδηγούν σε αδιέξοδο τη λογική. Ονομάζεται το παράδοξο του Russell καθώς αναφέρθηκε πρώτα από τον Bertrand Russell, που θεωρείται ως μια εκ των σημαντικότερων μορφών που ασχολήθηκαν με τη μαθηματική Λογική. Στη λογική, προτάσεις που αντικρούουν η μια την άλλη καλούνται ασυνεπείς προς άλληλες ή αντίνομες. Δεν είναι ψευδείς, καθώς η αλήθεια της μίας συνεπάγει την άρνηση της άλλης. Με το παράδειγμα αυτό ο Russell θέλει να δείξει ότι η έννοια του συνόλου των συνόλων παρουσιάζει μια λογική ασυνέπεια. Αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι το σύνολο των συνόλων πρέπει να περιέχει τον εαυτό του. Παρουσιάζει λοιπόν ταυτόχρονα τις ιδιότητες του περιέχειν και περιέχεσθαι. Αυτό οδηγεί σε μια σειρά από λογικές αντινομίες. Ο Russell αλληλογράφησε με τον Frege σχετικά με τις εμπλοκές αυτές. Αργότερα με το θέμα ασχολήθηκε ο Wintgenstein. Τελικά, απάντηση στα ερωτήματα του Russell έδωσe ο Gödel όταν δημοσίευσε τα περίφημα θεωρήματα της μη πληρότητας που έδωσαν τέλος στην προσπάθεια των μαθηματικών του 20 αιώνα να στηρίξουν την άποψη του Hilbert περί της μη αποδοχής του ignorabimus iii. Με το παράδειγμα αυτό φαίνονται ορισμένες «εμπλοκές» στη νοητική διαδικασία του ανθρώπου που οδηγούν στην ανάγκη υιοθέτησης κανόνων και κωδίκων, ικανών να οργανώσουν τη λογική με αναλλοίωτο τρόπο. Φυσική συνέπεια αυτής της ανάγκης υπήρξε η ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής, που οφείλει τη γέννησή της στο έργο του John Boole iv. iii Ότι δηλαδή δεν υπάρχει μη αποδεικτέα πρόταση (από τη λατινική λέξη ignoramus, που σημαίνει άγνοια). iv 104

106 Η μαθηματική λογική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών και της επιστήμης υπολογιστών, με στενή σχέση και με τη φιλοσοφική λογική.[1] Το πεδίο περιλαμβάνει τη μαθηματική μελέτη της λογικής και τις εφαρμογές της τυπικής λογικής σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Οι βασικότερες ιδέες στη μαθηματική λογική περιλαμβάνουν τη μελέτη της εκφραστικής ισχύος των τυπικών συστημάτων και της συμπερασματικής ισχύος των συστημάτων τυπικών αποδείξεων. Η μαθηματική λογική διαιρείται συχνά στα υποπεδία θεωρία συνόλων, θεωρία μοντέλων, θεωρία αναδρομής και θεωρία αποδείξεων και κατασκευαστικά μαθηματικά. Οι περιοχές αυτές μοιράζονται βασικά αποτελέσματα πάνω στη λογική, και ειδικά στη λογική πρώτου βαθμού και την ορισιμότητα. Από τη γέννησή της, η μαθηματική λογική έχει συμβάλει αλλά και ωθείται από τη μελέτη των θεμελίων των μαθηματικών. Η μελέτη αυτή ξεκίνησε στο τέλος του 19ου αιώνα με την ανάπτυξη των αξιωματικών πλαισίων για τη γεωμετρία, την αριθμητική και την ανάλυση. Στην αρχή του 20ού αιώνα διαμορφώθηκε από το πρόγραμμα του David Hilbert για την απόδειξη της συνέπειας των θεμελιακών θεωριών. Η εργασία πάνω στη θεωρία συνόλων έδειξε ότι σχεδόν όλα τα συνηθισμένα μαθηματικά μπορούν να διατυπωθούν με βάση τα σύνολα, αν και υπάρχουν κάποια θεωρήματα που δεν μπορούν να αποδειχθούν στα συνήθη αξιωματικά συστήματα για τη θεωρία συνόλων. Η σύγχρονη μελέτη στα θεμέλια των μαθηματικών συχνά εστιάζει στο να θεσπίσει ποια κομμάτια των μαθηματικών μπορούν να διατυπωθούν σε συγκεκριμένα τυπικά συστήματα, και όχι στο να αναπτύξει θεωρίες από όπου αναπτύσσονται όλα τα μαθηματικά. Η σύγχρονη μαθηματική λογική διαιρείται περίπου σε τέσσερις περιοχές: θεωρία συνόλων, θεωρία μοντέλων, θεωρία αναδρομής, και θεωρία αποδείξεων και κατασκευαστικά μαθηματικά. Κάθε μια απο αυτές τις περιοχές έχει ιδιαίτερο αντικείμενο μελέτης, αν και πολλές τεχνικές και αποτελέσματα είναι κοινά. Τα σύνορα μεταξύ των πεδίων αυτών, και ακόμα μεταξύ της μαθηματικής λογικής και άλλων πεδίων των μαθηματικών δεν είναι πάντα καθαρά. Για παράδειγμα, το θεώρημα μη-πληρότητας του Γκέντελ όχι μόνο αποτελεί σταθμό στη θεωρία αναδρομής και τη θεωρία αποδείξεων, αλλά και έχει οδηγήσει στο θεώρημα Λόεμπ, το οποίο είναι σημαντικό στην τροπική λογική. Το μαθηματικό πεδίο της θεωρίας κατηγοριών χρησιμοποιεί πολλές τυπικές αξιωματικές μεθόδους που θυμίζουν αυτές που χρησιμοποιούνται στη μαθηματική λογική, αλλά η θεωρία κατηγοριών δεν θεωρείται συνήθως υποπεδίο της μαθηματικής λογικής. Στον πυρήνα της, η μαθηματική λογική χειρίζεται μαθηματικές έννοιες που εκφράζονται χρησιμοποιώντας τυπικά συστήματα λογικής. Τα συστήματα αυτά, αν και διαφέρουν σε πολλές λεπτομέρειες, μοιράζονται την κοινή ιδιότητα του να εξετάζουν μόνο εκφράσεις σε κάποια συγκεκριμένη τυπική γλώσσα. Το σύστημα της λογικής πρώτου βαθμού (first-order logic) έχει μελετηθεί περισσότερο λόγω της εφαρμογής του στα θεμέλια των μαθηματικών και λόγω των επιθυμητών του ιδιοτήτων.[2] Μελετώνται επίσης εκφραστικότερες κλασικές λογικές όπως η λογική δευτέρου βαθμού (second-order logic) ή η απειρική λογική (infinitary logic), αλλά και μη κλασικές λογικές όπως, η διαισθητική λογική (intuitionistic logic) Λογική Πρώτου Βαθμού Η λογική πρώτου βαθμού είναι ένα συγκεκριμένο λογικό σύστημα. Η σύνταξή της περιέχει μόνο πεπερασμένες εκφράσεις ως καλά ορισμένες προτάσεις, ενώ η σημασιολογία της χαρακτηρίζονται από τον περιορισμό όλων των ποσοδεικτών σε κάποιο συγκεκριμένο πεδίo. Αρχικά αποτελέσματα για την τυπική λογική θέσπισαν περιορισμούς για την πρωτοβάθμια λογική. το θεώρημα Löwenheim Skolem (1919) έδειξε ότι αν ένα σύνολο προτάσεων σε μια αριθμήσιμη πρωτοβάθμια γλώσσα έχει ένα άπειρο μοντέλο, τότε έχει τουλάχιστον ένα μοντέλο από κάθε άπειρη πληθικότητα. Αυτό δείχνει ότι είναι αδύνατο για ένα σύνολο από πρωτοβάθμια αξιώματα να χαρακτηρίζει τους φυσικούς αριθμούς, τους πραγματικούς, ή οποιαδήποτε άλλη άπειρη δομή διαφέρει μέχρι ένα ισομορφισμό. Δεδομένου ότι ο στόχος των αρχικών θεμελιακών μελετών ήταν να παραχθούν αξιωματικές θεωρίες για όλα τα κομμάτια των μαθηματικών, βλέπουμε ότι προέκυπτε ένας ιδιαίτερα άκαμπτος περιορισμός. Το θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ (Gödel 1929) θέσπισε την ισοδυναμία μεταξύ σημασιολογικών και συντακτικών ορισμών της λογικής συνέπειας στην πρωτοβάθμια λογική. Δείχνει ότι αν μια συγκεκριμένη πρόταση είναι αληθής σε κάθε μοντέλο που ικανοποιεί ένα συγκεκριμένο σύνολο αξιωμάτων, τότε θα πρέπει να υπάρχει πεπερασμένος συλλογισμός που συμπεραίνει την πρόταση από τα αξιώματα. Το θεώρημα συμπαγότητας (compactness theorem) πρώτα εμφανίστηκε ως λήμμα στην απόδειξη του θεωρήματος πληρότητας του Γκέντελ, και χρειάστηκαν αρκετά χρόνια μέχρι να κατανοηθεί η σημασία του και να φτάσει να εφαρμόζεται τακτικά. Αναφέρει ότι ένα σύνολο προτάσεων έχει μοντέλο αν και μόνο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο έχει μοντέλο, ή με άλλα λόγια ότι ένα ασυνεπές σύνολο από προτάσεις θα 105

107 πρέπει να έχει κάποιο πεπερασμένο ασυνεπές υποσύνολο. Τα θεωρήματα πληρότητας και συμπαγότητας επιτρέπουν εξελιγμένη ανάλυση της λογικής συνέπειας στην πρωτοβάθμια λογική, και την ανάπτυξη της θεωρίας μοντέλων, και αποτελούν βασικό λόγο για τη διάδοση της λογικής πρώτου βαθμού στα μαθηματικά. Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ (Gödel 1931) θεσπίζουν περαιτέρω όρια στις πρωτοβάθμιες αξιωματικοποιήσεις. Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας αναφέρει ότι κανένα επαρκώς ισχυρό, αποτελεσματικό λογικό σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει τη συνέπεια του εαυτού του, παρά μόνο αν δεν είναι στην πραγματικότητα συνεπές. Λέγοντας αποτελεσματικό εννοούμε ότι είναι δυνατό να αποφασιστεί, δεδομένης μιας πρότασης στη γλώσσα του συστήματος, αν αυτή η πρόταση είναι αξίωμα. Όταν εφαρμόζεται στην πρωτοβάθμια λογική, το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας συνεπάγεται ότι κάθε πρωτοβάθμια θεωρία που είναι αρκετά ισχυρή, συνεπής και αποτελεσματική έχει μοντέλα που δεν είναι στοιχειωδώς ισοδύναμα. Αυτό είναι ισχυρότερος περιορισμός από αυτόν που τίθεται λόγω του θεωρήματος Löwenheim Skolem. Το δεύτερο θεώρημα μη-πληρότητας εκφράζει ότι κανένα επαρκώς ισχυρό, συνεπές, αποτελεσματικό αξιωματικό σύστημα για την αριθμητική δεν μπορεί να αποδείξει τη συνέπεια του εαυτού του, πράγμα που σημαίνει ότι το πρόγραμμα του Χίλμπερτ δεν γίνεται να υλοποιηθεί Διακόπτες και Πύλες Έστω ότι ο βομβητής που ειδοποιεί τον οδηγό ενός οχήματος για μια ενέργεια ή μια σειρά ενεργειών που πρέπει να κάνει για να αυξήσει τις συνθήκες ασφάλειας στάθμευσης ή οδήγησης του οχήματος ενεργοποιείται για ένα ή περισσότερους από τiς ακόλουθες καταστάσεις: Υ1 Τα φώτα πορείας είναι αναμμένα. Υ2 Το κλειδί της μηχανής βρίσκεται στη θέση του. Υ3 Ο κινητήρας είναι σε κατάσταση λειτουργίας. Υ4 Η πόρτα είναι ανοιχτή. Υ5 Η ζώνη ασφαλείας του οδηγού είναι δεμένη. Οι καταστάσεις αυτές αποτελούν λογικές προτάσεις και ως τέτοιες υπακούν στην αρχή του δυϊσμού: είτε είναι αληθείς είτε είναι ψευδείς. Έτσι, η εξακρίβωση της ισχύος κάθε μιας από αυτές θα μπορούσε να συνδυαστεί με κατάλληλη τροφοδότηση με ισχύ του βομβητή, έτσι ώστε να τον ενεργοποιεί όταν προκύπτει θέμα ασφάλειας. Αν λόγου χάρη η Υ1 είναι αληθής και η Υ2 ψευδής, τότε ο βομβητής ηχεί επειδή ο οδηγός ξέχασε τα φώτα αναμμένα. Αν η Υ2, Υ3 και Υ4 είναι αληθής, ο βομβητής πρέπει να ενεργοποιείται. Το παράδειγμα αυτό περιγράφει μια ακόμα γνωστή εφαρμογή των κυκλωμάτων διακοπτών που περιλαμβάνει μια πλειάδα διακοπτών. Κάθε διακόπτης μπορεί να ανοίγει χάρη στην παροχή ενός ρεύματος διακόπτη, όπως φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα Η λειτουργία του διακόπτη, όπου διακρίνεται η πηγή που παρέχει ισχύ στον διακόπτη (ρεύμα διακόπτη). Στους ηλεκτρονικούς αυτοματισμούς και τους υπολογιστές χρησιμοποιούνται μεγάλες συλλογές διακοπτών. Οι διακόπτες αυτοί συνδέονται με διάφορους τρόπους, έτσι ώστε η συνδυασμένη δράση τους να εκτελεί σχετικά σύνθετες λογικές διαδικασίες. Τα κυκλώματα αυτά καλούνται κυκλώματα διακοπτών v. Με τη διέλευση ηλεκτρικού ρεύματος κάθε διακόπτης επιτρέπει η απαγορεύει τη διέλευση του ρεύματος στο σημείο του κυκλώματος όπου είναι τοποθετημένος. Το ρεύμα που διαρρέει έναν διακόπτη καλείται ρεύμα v Switching circuits. 106

108 διακόπτου vi. Όταν ένας διακόπτης είναι κλειστός διαρρέεται από ρεύμα έντασης 1, ενώ όταν είναι ανοιχτός το διερχόμενο ρεύμα έχει ένταση 0. Διακρίνονται διάφοροι τρόποι σύνδεσης του βασικού αυτού διακόπτη σε ένα κύκλωμα διακοπτών. Οι πλέον βασικοί τρόποι είναι αυτοί οι οποίοι προσομοιώνουν τρεις βασικές λογικές διεργασίες: την άρνηση, τη σύζευξη και τη διάζευξη. Τα αντίστοιχα κυκλώματα καλούνται πύλες, που ονομάζονται πύλη ΝΟΤ, πύλη OR και AnD. Η πύλη not, που καλείται και πύλη αντιστροφής, παρεμβάλλει στο κύκλωμα έναν διακόπτη που Σχήμα Λειτουργία της πύλης ΝΟΤ (αντιστροφέας). τροφοδοτείται από μια πηγή με το ρεύμα διακόπτη. Η παροχή ρεύματος διακόπτη διακόπτει την παροχή από την έξοδο της πύλης, ενώ αντίθετα, η διακοπή του ρεύματος διακόπτη στην είσοδο της πύλης επιτρέπει την παροχή ρεύματος στην έξοδο της πύλης. Ορισμός Πίνακας λειτουργίας του κυκλώματος είναι ό πίνακας που περιγράφει τις καταστάσεις της (ή των εισόδων) και της εξόδου μιας λογικής πύλης. Πίνακας Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης not και η γραφική της παράσταση. α α' Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ο τρόπος λειτουργία της πύλης not. Όταν στην είσοδο παρέχεται το συγκεκριμένο σήμα, στην έξοδο λαμβάνεται ανεστραμμένο. Σχήμα Η πύλη not και παράδειγμα ψηφιακού σήματος στην είσοδο και στην έξοδο αυτής. Οι πύλες AnD και OR έχουν δυο εισόδους. Η πρώτη από αυτές αποτελείται από δυο διακόπτες συνδεμένους εν σειρά, όπως φαίνεται στο Σχήμα vi Switch current. 107

109 Σχήμα Η πύλη AnD και οι διακόπτες τοποθετημένοι εν σειρά. Οι είσοδοι φέρουν ρεύμα διακόπτη και ενεργοποιούν τους δυο διακόπτες. Η συνδεσμολογία αυτή δεν επιτρέπει να υπάρχει ρεύμα στην έξοδο αν δεν είναι κλειστοί και οι δυο διαόπτες. Η πύλη AnD επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος όταν υπάρξει ρεύμα διακόπτου και στις δυο εισόδους, ενώ αποκλείει την έξοδο όταν τουλάχιστον μια εκ των δύο εισόδων δεν δέχεται ρεύμα διακόπτη. Αν οι καταστάσεις εισόδου δηλωθούν με α και β τότε η έξοδος θα είναι α β που σημαίνει α και β. Ο Πίνακας περιγράφει τη λειτουργία της πύλης AnD. Πίνακας Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης AnD και η γραφική της παράσταση. α β αλβ Πύλες AnD με περισσότερες εισόδους διαμορφώνονται σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφηκε. Για παράδειγμα η πύλη AnD τριών εισόδων θα έχει την μορφή: Σχήμα Πύλη AnD τριών εισόδων. Η πύλη δυο εισόδων OR, που συχνά καλείται και πύλη διάζευξης δυο σημείων, αποτελείται από δυο διακόπτες συνδεμένους παράλληλα. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.2.6, κάθε διακόπτης παραμένει ανοιχτός αν δεν παρέχεται ρεύμα διακόπτη. Σχήμα Πύλη IF δυο εισόδων. Αν οι καταστάσεις εισόδου δηλώνονται με α και β, τότε η κατάσταση εξόδου είναι αvβ (α ή β). Στον Πίνακα αποτυπώνεται η λειτουργία του διακόπτη. 108

110 Πίνακας Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης IF και η γραφική της παράσταση. α β αvβ Μια πύλη OR με περισσότερες από μια εισόδους περιέχει αντίστοιχο με αυτές αριθμό διακοπτών. Στο Σχήμα απεικονίζεται μια πύλη τριών εισόδων. Σχήμα Πύλη IF τριών εισόδων. Στον Πίνακα αποτυπώνονται οι δυνατές καταστάσεις των πυλών AnD και OR τριών εισόδων. Πίνακας Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης IF και η γραφική της παράσταση. α β γ αλβλ γ αvβvγ Η εναλλαγή των στοιχείων στnν n-στη στήλη ενός πίνακα n εισόδων γίνεται με εναλλαγή 2n το πλήθος μηδενικών (0) και μονάδων (1) Κυκλώματα και Προτάσεις Είναι δυνατό να κατασκευαστούν πολλά διαφορετικά κυκλώματα-διακόπτες, αν συνδεθούν με διαφορετικό τρόπο οι βασικές πύλες, που προηγουμένως περιγράφηκαν. Ένας απλός αλγόριθμος για τον σχεδιασμό ενός κυκλώματος με προκαθορισμένη λειτουργία είναι ο Αλγόριθμος Πριν όμως προχωρήσουμε στην παρουσίαση και ανάλυση της λειτουργίας του αλγόριθμου αυτού, θα αναφέρουμε μερικούς νέους χρήσιμους όρους και ορισμούς. Ας θεωρήσουμε το άγνωστο κύκλωμα-διακόπτη, με n εισόδους α, β, γ,..., ω και μια έξοδο Φ, όπως φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα Διάταξη πολλαπλών εισόδων και μιας εξόδου. 109

111 Η λειτουργία του κυκλώματος αυτού, περιγράφεται πλήρως με τη βοήθεια ενός πίνακα που δίνει τις τιμές 0 ή 1 σε κάθε δυνατό συνδυασμό των 0 και 1, που αντιστοιχούν στις καταστάσεις εισόδου α, β, γ,..., ω. Ο πίνακας αυτός καλείται πίνακας λειτουργίας. Αν οι είσοδοι είναι n, πίνακας λειτουργίας που αντιστοιχεί στις εισόδους α 1, α 2,, α n, έχει 2 n στήλες. Την παρατήρηση αυτή μπορείτε να επαληθεύσετε αμέσως, αν παρατηρήσετε 2 τους πίνακες 4.1, 4.2, 4.3 και 4.4. Το σύνολο πινάκων με n εισόδους είναι 2 n. Σύμφωνα με αυτή την παρατήρηση ο συνολικός αριθμός πινάκων με δύο εισόδους είναι ισοδύναμα, αν περιγράφονται με τον ίδιο πίνακα λειτουργίας =16. Δύο κυκλώματα λέγονται Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τις εξόδους κυκλωμάτων, που είναι κατασκευασμένα εξ ολοκλήρου με πύλες AnD, OR και not. Οι είσοδοι σε τέτοια κυκλώματα ονομάζονται μεταβλητές. Η έξοδος τέτοιου κυκλώματος καλείται πρόταση (ή και φράση). Έτσι λοιπόν, η πρόταση στις μεταβλητές α 1,α 2,,α n είναι κάθε πρόταση που μπορεί να δομηθεί από τις α 1,α 2,,α n όπου κάθε μεταβλητή μπορεί να χρησιμοποιηθεί όσες φορές θέλουμε, δια μέσου πεπερασμένου αριθμού αρνήσεων (χρήση της πύλης not), συζεύξεων (χρήση της πύλης AnD) και διαζεύξεων (χρήση της πύλης OR). Το επόμενο είναι ένα παράδειγμα μια φράσης στις α 1,α 2, α 3, με έξοδο f: [[(α 2 α 3 ) (α 1 α 2 α 3 )] α 3 ] =f(1). Οι μεταβλητές και οι αρνήσεις του θα καλούνται στο εξής γραμματικά στοιχεία (literals). Όροι θα καλούνται είτε μεμονωμένα γραμματικά στοιχεία, είτε οι συζεύξεις (ή διαζεύξεις) πεπερασμένου αριθμού γραμματικών στοιχείων. Έτσι, στην πρόταση (1) τα γραμματικά στοιχεία είναι α 1 α 1,α 2, α 2, α 3, α 3 ενώ οι όροι είναι α 2,α 3,α 1 α 2 α 3 και α 3. Με όσα είπαμε παραπάνω είναι τώρα εύκολο να σχεδιάσουμε μια πρόταση. Για τη φράση (1), λόγου χάρη, σχεδιάζουμε πρώτα τους όρους: Σχήμα Φάση Α. στη συνέχεια συνδέουμε του δύο πρώτους με AnD: 110

112 Σχήμα Φάση Β. συνδέουμε το σχήμα αυτό με τον τελευταίο όρο με ένα OR και αντιστρέφουμε την έξοδο με ένα not: Σχήμα Φάση Γ. Τελικά συνδέουμε τις κοινές εισόδους, όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα. Σχήμα Φάση Δ. Στη συνέχεια θα δούμε πως δομείται μια πρόταση με τη βοήθεια πληροφοριών που παίρνουμε από ένα πίνακα λειτουργίας. Για να πετύχουμε κάτι τέτοιο, εισάγουμε έναν τύπο φράσης που θα καλείται διαζευτική μορφή. Ορισμός Η διαζευκτική μορφή είναι ένας μοναδικός όρος, ή σε άλλες περιπτώσεις διάζευξη όρων, όπου κάθε όρος είναι είτε γραμματικό στοιχείο ή σύζευξη γραμματικών στοιχείων. 111

113 Ας υποθέσουμε, γα παράδειγμα, πως ένα κύκλωμα έχει μια έξοδο f και τέσσερεις εισόδους α 1, α 2, α 3 και α 4. Ο όρος αυτός παίρνει την τιμή 1 εάν και μόνον εάν α 1 =1, α 2 =0, α 3 =0, α 4 =1. Για κάθε άλλη τιμή των μεταβλητών ο όρος αυτός είναι 0. Αν καταγράψουμε περισσότερους όρους στους οποίους, για κατάλληλες καταστάσεις των μεταβλητών, η f παίρνει την τιμή 1, τότε η διάζευξη αυτών των όρων θα είναι η απαιτούμενη φράση. Αλγόριθμος Για να γράψουμε τη διαζευτική μορφή για κύκλωμα με εισόδους α 1,α 2,,α n και έξοδο f. Εάν f=0, για όλες τις τιμές, τότε γράφουμε τη μορφή α 1 α 1, αν f=1 για όλες τις τιμές γράφουμε μορφή α 1 α 1. Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε. e e e 1 2 Για κάθε συνδυασμό τιμών που δίνουν f=1 γράφουμε: a a a n όπου: eι a είναι 1 2 n ι eι α 1 αν α 1 =1 και a είναι α ι 1 αν α 1 =0 Αν μόνο ένας όρος έχει γραφεί, τότε αυτή είναι η τελική μορφή. Σε κάθε άλλη περίπτωση η τελική μορφή είναι η διάζευξη όλων των όρων, που έχουν γραφεί. Πρόβλημα Σχεδιάστε ένα κύκλωμα τριών εισόδων, που έχει έξοδο 1 αν και μόνον αν τουλάχιστον δύο είσοδοι είναι 1. Λύση Το πρώτο βήμα του Αλγόριθμου δεν εφαρμόζεται, για αυτό εφαρμόζουμε το βήμα 2 ως εξής: είσοδος που δίνει f=1. Πίνακας α 1 α 2 α 3 Όρος που αντιστοιχεί α 1 α 2 α α 1 α 2 α α 1 α 2 α α 1 α 2 α 3 Τότε, f=(α'₁ α₂ α₃) (α₁ α'₂ α₃) (α₁ α₂ α'₃) (α₁ α₂ α₃). To σχέδιο του κυκλώματος είναι στην παρακάτω εικόνα του Σχήματος Σχήμα Η υλοποίηση σε κύκλωμα διακοπτών της πρότασης f=( a'₁ a₂ a₃) (a₁ a'₂ a₃) ( a₁ a₂ a'₃) ( a₁ a₂ a₃). 112

114 Αν ένα κύκλωμα-διακόπτης με n εισόδους έχει έξοδο f=1 για περισσότερους από τους μισούς συνδυασμούς καταστάσεων εισόδων, δηλαδή για περισσότερο από το 2 n-1 τέτοιων συνδυασμών τότε η ακόλουθη προσαρμογή θα οδηγήσει σε σχεδιασμό κυκλώματος με λιγότερες πύλες. Με χρήση του Αλγόριθμου σχεδιάζουμε κύκλωμα με έξοδο f'. Αντιστρέφουμε το σήμα εξόδου δια μέσου μιας πύλης αντιστροφής ΝΟΤ, για να καταλήξουμε το σήμα εξόδου f. Πρόβλημα Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τέσσερις εισόδους που έχει έξοδο 1 αν και μόνο αν δύο ή περισσότερες είσοδοι είναι 1. Λύση Υπάρχουν 2 4 =16 συνδυασμοί καταστάσεων εισόδου. Συνολικά μόνο 5 από αυτούς δίνουν έξοδο f=0. Έτσι το κανονικό διάγραμμα θα αποτελείται από 11 πύλες AnD, 4 πύλες ΝΟΤ και μία πύλη OR. Εφόσον f=1 για 16-5=11 συνδυασμούς καταστάσεων εισόδου, επιλέγουμε τον αναπροσαρμοσμένο αλγόριθμο που μόλις περιγράψαμε. Θεωρούμε μόνο εκείνες τις περιπτώσεις συνδυασμών εισόδου για τις οποίες f =1, που σημαίνει f=0. Πίνακας Καταστάσεις για τις οποίες f=0. α 1 α 2 α 3 α 4 Όρος που αντιστοιχεί α 1 α 2 α 3 α α 1 α 2 α 3 α α 1 α 2 α 3 α α 1 α 2 α 3 α α 1 α 2 α 3 α 4 Άρα: f=[(α 1 ' α 2 ' α 3 ' α 4 ') (α 1 ' α 2 ' α 3 ' α 4 'α 1 ' α 2 ' α 3 ' α 4 ') (α 1 ' α 2 ' α 3 ' α 4 'α 1 ' α 2 ' α 3 ' α 4 ')]'. Το σχέδιο είναι στο Σχήμα 4.3.7, που ακολουθεί. Σχήμα Αυτό το κύκλωμα έχει 5 πύλες AnD, 5 πύλες ΝΟΤ και μια πύλη OR Άλγεβρα Boole Δυο προτάσεις x και y είναι ισοδύναμες, αν έχουν τον ίδιο πίνακα λειτουργίας. Η ισοδυναμία των προτάσεων παριστάνεται με την έκφραση x y. 113

115 Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές x και y, οι τιμές αυτές είναι ίδιες. Εφαρμογή Να δειχτεί ότι οι προτάσεις x=β α και y=α (β α) είναι ισοδύναμες. Πράγματι, ο πίνακας λειτουργίας είναι: α β β α α (β α) x y Η ύπαρξη ισοδύναμων προτάσεων μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε πρόταση μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετικές μορφές, αρκεί για κάθε νέα διατύπωσή της να είναι ισοδύναμη με τις προηγούμενες. Η υπόθεση αυτή είναι πραγματοποιήσιμη εφόσον οι αναδιατυπώσεις της αρχικής προκύπτουν μετά από την εφαρμογή ενός ή περισσότερων νόμων της άλγεβρας Boole. Μια σημαντική εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας είναι η διατύπωση μιας λογικής πρότασης με τον πιο οικονομικό τρόπο, δηλαδή μια σύντομη μορφή. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας Αλγόριθμος 4.4.1, που μετατρέπει μια λογική πρόταση στη Σύντομη Διαζευκτική Μορφή (Σ.Δ.Μ). Προηγουμένως όμως θα πρέπει να αναφερθεί μια σειρά από ορισμούς και προτάσεις, απαραίτητες για την ανάπτυξη του αλγόριθμου για την αναδιατύπωση πρότασης στη Σ.Δ.Μ. της. Τα αποτελέσματα της Εφαρμογής γενικεύονται αν στη θέση των μεταβλητών α και β τεθούν οι λογικές προτάσεις x και y, όποτε προκύπτει η ισοδυναμία x (y x) y x(1). Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η αρχή της αντικατάστασης. Θεώρημα Σε μια ισοδυναμία κάθε μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από μια πρόταση και κάθε πρόταση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πρόταση. Πρόβλημα Να δειχτεί ότι (α β') [(γ' δ ε) (α ')] (γ' δ ε) (α β'). Είναι προφανής η ισχύς της πρότασης, διότι αυτή έχει προέλθει από την (1) με αντικαταστάσεις του x=(α β')και y=γ' δ ε. Πρόκειται στη συνέχεια να παρουσιάσουμε έναν αριθμό ισοδυναμιών, οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διαδικασία επαναδιατύπωσης των προτάσεων. Οι ισοδυναμίες αυτές ονομάζονται και νόμοι της Άλγεβρας Boole, προς τιμή του George Boole ( ). Η χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole επιτρέπει τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμη συντομότερη μορφή. Σημειώνουμε με 1 την πρόταση της οποίας η τιμή παραμένει 1 για κάθε συνδυασμό τιμών των λογικών στοιχείων που τη συγκροτούν. Σε ένα κύκλωμα διακόπτη, 1 σημαίνει μόνιμα ανοικτό. Για όλες τις προτάσεις x, y και z: Πίνακας Οι νόμοι της άλγεβρας Boole για τους οποίους ισχύει η αρχή του δυισμού ως προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης. Ονοματολογία Ιδιότητες Ταυτοτικοί Νόμοι x x x και x x x Αντιμεταθετικοί νόμοι x y y x και x y y x Προσεταιριστικοί νόμοι x (y z) (x y) (x z) και x (y z) (x y) (x z) Επιμεριστικοί νόμοι x (y z) (x y) z και x (y z) (x y) z Νόμοι της απορρόφησης x (y z) x και x (x y) x Νόμοι του φραγμένου x 0 0 και x 1 1, x 1 x και x 0 0 Νόμοι του συμπληρώματος x x' 0 και x x' 1 Νόμοι της ενέλιξης (x') x Νόμοι De Morgan (x y)' x' y' και (x y)' x' y' 114

116 Αρχή του Δυϊσμού Για κάθε ισοδυναμία προτάσεων που είναι εν ισχύ, η ισοδυναμία που προκύπτει με εναλλαγή των πράξεων σύζευξης και διάζευξης ή και των τιμών 0 και 1 των λογικών στοιχείων είναι επίσης εν ισχύ. Εφαρμογή Η ισχύς της αποδεικνύεται με διαδοχική εφαρμογή του αντιμεταθετικού, επιμεριστικού, ταυτοτικού και τέλος πάλι του αντιμεταθετικού νόμου x (y x) x (y x) x (y x) x x y x. Σύμφωνα με την αρχή του δυισμού, ισχύει και η ισοδυναμία x (y x) x y. Οι νόμοι της άλγεβρας Boole αποδεικνύονται εύκολα με τη βοήθεια πινάκων λειτουργίας και την αρχή του δυισμού. Εφαρμογή Απόδειξη του πρώτου νόμου De Morgan. x y x y (x y) x y' x' y Έτσι, (x y)'x^' y'. x y z y z x (y z) x y x z (x y) (x z) Συνεπώς, x (y z) (x y) (x z). Οι νόμοι της άλγεβρας Boole γενικεύονται κα για περισσότερες προτάσεις x₁,x₂,,x n. Σύμφωνα με το γενικό προσαιτεριστικό νόμο, κάθε τρόπος εισαγωγής παρενθέσεων στην x₁ x₂ x n δίνει ισοδύναμες προτάσεις. Έτσι, (x 1 x 2 ) (x 3 x 4 ) x 1 [x 2 (x 3 x 4 )] [x₁ (x₂ x₃) x₄] και ούτω καθεξής. Για τον λόγο αυτό μπορούμε να x₁ x₂ x n χωρίς παρενθέσεις. Σύμφωνα με τον γενικό αντιμεταθετικό νόμο, κάθε αναδιάταξη των προτάσεων στη x₁ x₂ x n δίνει ισοδύναμη πρόταση. Άρα, x₁ x₂ x₃ x₂ x₃ x₁ και ούτω καθεξής. Σύμφωνα με τους παραπάνω νόμους και το γενικό ταυτοτικό νόμο, όλες οι επαναλήψεις των προτάσεων στην x₁ x₂ x n μπορούν να παραληφθούν. Ότι απομένει είναι μια ισοδύναμη πρόταση. Ετσι, x₁ x₂ x₃ x₂ x₃ x₂ x₃ x₁ x₂ x₃. Σύμφωνα με τους νόμους του φραγμένου και του συμπληρώματος, αν η x₁,x₂,,x n περιέχει 0 ή περιέχει μία πρόταση και την άρνηση της τότε x₁ x₂ xn 0. Ακόμη, αλλά τα 1 στην x₁ x₂ x n μπορεί να αγνοηθούν, εκτός αν η τιμή της πρότασης είναι 1. Έτσι, x 1 x 2 x 3 0 0, x 1 x 2 x 3 x 3 ' 0, 1 x 1 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 3. Συμβολίζουμε με x [n] την έκφραση ( (x ) ), όπου n ακέραιος, n ακέραιος, n 2. Σύμφωνα με τον νόμο της ενέλιξης, x [n] x, αν n είναι άρτιος και x [n] x' αν n είναι περιττός. Έτσι, ((((x')')')')' x' και (((x')')')' x. Τελικά, ο επιμεριστικός νόμος και οι νόμοι De Morgan είναι αντίστοιχα, x (x 1 x 2 x n (x x 1 ) (x x 2 ) (x x n ), (x 1 x 2 x n )' x' 1 x' 2 x' n καθώς και οι δυαδικές εκφράσεις. 115

117 Ο πρώτος νόμος της απορρόφησης χρησιμοποιείται μερικές φορές για να σβήσει όρους από μια διαζευκτική μορφή. Θυμίζουμε, στο σημείο αυτό, ότι όρος σε διαζευκτική μορφή είναι ένα γραμματικό στοιχείο ή η σύζευξη γραμματικών στοιχείων. Ένας όρος u περιέχει ένα όρο x αν κάθε γραμματικό στοιχείο στο x είναι και στο u. Για παράδειγμα, α 1 α 2 α 3 περιέχει τα α 1 α 2 και το α 3. Μπορείτε, στο σημείο αυτό να αποδείξετε ότι η σύζευξη n γραμματικών στοιχείων περιέχει 2 n -1 διαφορετικούς όρους. Υποθέστε ότι u και x είναι όροι μιας διαζευκτικής μορφής f=u x και ότι u περιέχει το x. Θα δείξουμε ότι το u μπορεί να απαλειφθεί. Ας σημειώσουμε ότι αν το u δεν είναι ίσο με το x τότε το u έχει περισσότερα γραμματικά στοιχεία από το x. Είναι ο μακρύτερος όρος που μπορεί να απαλειφθεί. Ο λόγος είναι απλός. Σύμφωνα με τον ταυτοτικό νόμο μπορούμε να επαναλαμβάνουμε κάθε γραμματικό στοιχείο στο u ου βρίσκεται και στο x και έτσι προκύπτει ότι u u x Άρα f (u x) x x Σύμφωνα με τον πρώτο νόμο της απορρόφησης. Εφαρμογή Από την διαζευκτική μορφή (u v' z x) (z u x) (u' x) (u z) (x w u'), διαγράψτε όσους περισσότερους όρους σας επιτρέπουν οι νόμοι της άλγεβρας Boole. Ο πρώτος όρος περιέχει το δεύτερο, ο δεύτερος περιέχει τον τέταρτο και ο πέμπτος περιέχει τον τρίτο. Έτσι, ο πρώτος, δεύτερος και πέμπτος όρος μπορούν να απαλειφθούν και τελικά παραμένει η ισοδύναμη μορφή (u' x) (u z). Ο επόμενος αλγόριθμος αναδιατυπώνει μια πρόταση σε ισοδύναμη Σ.Δ.Μ. Αλγόριθμος Για να γράψετε μια έκφραση Boole σε Σ.Δ.Μ. Εφαρμόστε τους νόμους De Morgan και τον νόμο της ενέλιξης, όσες φορές είναι δυνατό. Εφαρμόστε τον δεύτερο επιμεριστικό νόμο όσες φορές είναι δυνατόν. Η πρόταση είναι τώρα σε διαζευκτική μορφή (δ.μ.). Εφαρμόστε τον ταυτοτικό νόμο και τους νόμους φραγμένου και συμπληρώματος όσες φορές είναι δυνατόν. Εφαρμόστε τον πρώτο νόμο της απορρόφησης όσες φορές είναι δυνατόν. Η πρόταση είναι τώρα σε Σ.Δ.Μ. Πρόβλημα Επαναδιατυπώστε την πρόταση (1) στην Παράγραφο 4.2 σε σ. δ. μ. ([(α 2 ' α 3 ) (α 1 ' α 2 α 3 )] α 3 ' ([(α 2 ' α 3 ) (α 1 ' α 2 α 3 )]' α 3 ([(α 2 ' α 3 )^' (α 1 ' α 2 α 3 )'] α 3 ) [(α 2 α 3 ') (α 1 α 2 ' α 3 ')] α 3 [(α 2 α 3 ') α 3 ] [(α 1 α 2 ' α 3 ') α 3 (α 2 α 3 ' α 3 ) (α 1 α 3 ) (α 2 ' α 3 ) (α 3 ' α 3 ) (α 1 α 3 ) (α 2 ' α 3 ). Το κύκλωμα διακόπτη για αυτή τη σ. δ. μ. που απεικονίζεται στο Σχήμα Σχήμα Υπάρχουν μερικές περιπτώσεις όπου η Σ.Δ.Μ. δεν αντιπροσωπεύει την απλούστερη μορφή. Για παράδειγμα αναφέρουμε την πρόταση α (β γ), που έχει Σ.Δ.Μ. την πρόταση (α β) (α γ) της οποίας ο σχεδιασμός απαιτεί τρεις διακόπτες, αντί δύο. Το πρόβλημα της εύρεσης ενός κυκλώματος με ελάχιστο αριθμό 116

118 διακοπτών, που είναι ισοδύναμο με ένα δοσμένο κύκλωμα, παραμένει ανοικτό (δεν έχει λυθεί). Στην επόμενη παράγραφο θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την ελάχιστη Σ.Δ.Μ. για ένα δοσμένο κύκλωμα. Αν και μερικές φορές δεν μπορούμε να βρούμε την τέλεια λύση σε ένα τέτοιο πρόβλημα, οι μέθοδοί μας οδηγούν στην καλύτερη δυνατή λύση. Τα κυκλώματα διακόπτες έχουν μια ισοδύναμη διατύπωση με τη βοήθεια της μαθηματικής λογικής, στην οποία κάθε μεταβλητή εισόδου εκπροσωπείται με μια πρόταση, που μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Αν η πρόταση, που δηλώνεται με την μεταβλητή α είναι αληθής, γράφουμε α=1. Αν είναι ψευδής, γράφουμε α=0. Η πραγματική τιμή (1 ή 0 κατά περίπτωση) οποιασδήποτε πρότασης μπορεί εύκολα να υπολογιστεί όταν οι αληθείς τιμές των παραγόντων προτάσεων είναι γνωστές. Πρόβλημα Να εξετάσετε την ισχύ (αληθής ή ψευδής) της πρότασης: Τέσσερα ισούται με πέντε ή τρία είναι το μισό του έξι και δεν ισχύει ότι τέσσερα δεν ισούται με πέντε και επτά είναι το μισό του δεκαπέντε. Απάντηση Έστω ότι α είναι η πρόταση 4=5, β η πρόταση 3=(1/2)6 και γ είναι η πρόταση 7=(1/2)15. Τότε η πρόταση γράφεται ως (α β) (α' γ)'. Επειδή α=0, β=1 και γ=0, έπεται ότι: α β=1, α'=1, (α' γ)'=1 και (α β) (α' γ)'=1 η πρόταση είναι αληθής. Οι υπολογισμοί αυτοί μπορούν να γραφούν ως εξής: (α β) (α' γ)'=0 1) (0' 0)^'=1 0'=1 1=1. Ένας άλλος τρόπος είναι να γράψουμε την πρόταση σε Σ.Δ.Μ. (α β) (α' γ)' (α β) (α γ') α (β γ'). Τότε, α (β γ')=0 (1 0')=0 1=1. Ορισμός Ταυτολογία είναι μια πρόταση που έχει αληθή τιμή 1 για όλες τις τιμές των παραγόντων προτάσεων. Ορισμός Αντιλογία είναι μια πρόταση με αληθή τιμή 0 για όλες τις τιμές των παραγόντων προτάσεων. Συνεπώς, μια πρόταση fείναι ταυτολογία αν f=1 ενώ είναι αντιλογία αν f=12 ενώ είναι αντιλογία αν f=0. Πρόβλημα Αποδείξτε ότι η πρόταση f=[(α' β) (γ α')] (γ α) είναι ταυτολογία. Απάντηση Ο πίνακας λειτουργίας (καλείται και πίνακας αληθείας) της f είναι: Πίνακας Ταυτολογία. α β γ α' α' β γ α (α' β) γ α ) γ α f Αυτή η μέθοδος απόδειξης ονομάζεται απόδειξη κατά περιπτώσεις. Σε αυτή κάθε δυνατός συνδυασμός τιμών α, β και γ ελέγχεται. Είναι όμως δυνατή και απόδειξη με τη βοήθεια της άλγεβρας Boole. 117

119 [(α' β) (γ α')] (γ α) α' α (β γ') γ 1 (β γ') γ 1. Πρόβλημα Να δείξετε με τη βοήθεια πίνακα αληθείας, και με τους νόμους της άλγεβρας Boole, ότι η πρόταση g=(α β) (α β) είναι αντιλογία. Απάντηση Ο πίνακας λειτουργίας είναι: Πίνακας Αντιλογία. α β α β α' β' α' β g Με εφαρμογή του δεύτερου νόμου de Morgan στον όρο (α' β'), g (α β) (α' β') (α β) (α β)' 0. Μια σημαντική λογική σχέση είναι και η γνωστή συνεπαγωγή. Για τις προτάσεις x και y, ο συμβολισμός x y σημαίνει x συνεπάγει το y ή αν x τότε y. Η συνεπαγωγή έχει τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας: Πίνακας Συνεπαγωγή. x y x y Η συνεπαγωγή μπορεί να κατασκευαστεί με τη χρήση μιας πύλης ΝΟΤ και μιας πύλης OR, όπως φαίνεται από την ισοδυναμία x y x' y (2). Είναι εύλογο να θεωρεί κανείς ότι η πρόταση αν x τότε x ή y είναι πάντα ορθή δηλαδή είναι ταυτολογία. Εύκολα αποδεικνύεται αυτό και με τη βοήθεια της άλγεβρας Boole και της ισοδυναμίας (2). x (x y ) x' (x y) (x' x) y 1 y 1. Γενικά, αν f=x 1 x 2 x 3... x n, τότε, x 1 f, x 2 f και x n f είναι ταυτολογίες. Έτσι, κάθε όρος σε μια διαζευκτική συνεπάγει τη μορφή. Με ανάλογο τρόπο ο αναγνώστης μπορεί να δείξει ότι η x y x είναι ταυτολογία. Υποθέστε ότι η Θ και x είναι όροι μιας διαζευκτικής μορφής. Αν επιπλέον ισχύει ότι Θ περιέχει την x, τότε Θ=Θ x και αυτό συνεπάγεται ότι Θ x. Η πρόταση (x y) (y x) γράφεται συνήθως ως x y, που σημαίνει x αν μόνο αν y. Πρόβλημα Αποδείξτε ότι η πρόταση f=[(α' β) (γ α')] (γ α). Είναι ταυτολογία. Απάντηση Θέτουμε για χάρη συντομίας f=(x y) (x y)'. Ο πίνακας λειτουργίας της πρότασης διαμορφώνεται ως εξής: 118

120 x y x y y x x y xλy xvy (xvy) f Αν αντί του πίνακα λειτουργίας χρησιμοποιήσουμε τους νόμους της άλγεβρας Boole, για να δείξουμε την ισοδυναμία της x y και της f, έχουμε: x y (x' y) (y' x) [(x' y) y] [(x' y) x] [(x' y') (y y;)] [(x' x) (x y)] (x' y') (y x) (x y) (x' y') (x yx y) (x y)' f Ελάχιστες Μορφές Η βέλτιστη μορφή στην οποία μια πρόταση μπορεί να γραφτεί εξαρτάται από τους όρους που την συγκροτούν. Για χάρη συντομίας θα εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας μόνο στις διαζευκτικές μορφές. Έτσι, στα επόμενα η λέξη όρος θα εκφράζει είτε ένα γραμματικό στοιχείο ή μια σύζευξη γραμματικών στοιχείων. Παραδείγματα όρων θα μπορούσαν να είναι τα α, β, α β ή ο α β' γ. Μια πρόταση στην οποία υπάρχει μια σειρά διαζεύξεων όρων καλείται διαζευκτική μορφή Μια πρόταση f μπορεί να έχει διαφορετικές αλλά ισοδύναμες διαζευκτικές μορφές. Ένας αριθμός από αυτές έχουν μικρότερο πλήθος όρων από τις υπόλοιπες. Από τις διαζευκτικές μορφές μπορεί να διακρίνουμε μερικές που έχουν τον ελάχιστο αριθμό γραμματικών στοιχείων. Αυτές είναι οι «βέλτιστες» διαζευκτικές μορφές, που στη συνέχεια θα καλούνται «ελάχιστες μορφές της f». Ορισμός Ελάχιστη μορφή πρότασης είναι μια διαζευκτική μορφή, τέτοια ώστε καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή δεν έχει λιγότερους όρους και καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή με τον ίδιο αριθμό όρων δεν έχει λιγότερα γραμματικά στοιχεία (επαναλήψεις) αρίθμησης). Επειδή: (α β') (β' γ) (α γ) (α γ') α (α β' γ) (α' β' γ) συμπεραίνεται ότι (α β') (β' γ) (α γ) (α γ') (α γ) (β' γ) (α γ'). Στην τελευταία σχέση η διαζευκτική μορφή στο αριστερό μέρος της ταυτότητας έχει τέσσερις όρους, ενώ η διαζευκτική μορφή στο δεξιό μέρος της ταυτότητας έχει τρεις όρους. Παρατηρείται επίσης ότι το δεξιό μέλος της πρώτης (ενδιάμεσης) σχέσης περιλαμβάνει επτά γραμματικά στοιχεία, ενώ η δεξιά μορφή στην επόμενη σχέση περιλαμβάνει μόνο έξι γραμματικά στοιχεία. Αν συνεχίσει κάποιος να εφαρμόζει τους νόμους της άλγεβρας Boole, μπορεί να καταλήξει στη διαζευκτική μορφή α (β' γ). Έτσι, η μορφή (3) δεν είναι επίσης ελάχιστη. Τελικά, μπορεί να αποδειχτεί ότι καμιά διαζευκτική μορφή ισοδύναμη προς τη μορφή (4) δεν έχει μόνο έναν όρο, και ότι κάθε διαζευκτική μορφή που είναι ισοδύναμη προς την τελευταία διαζευκτική μορφή των δυο όρων δεν έχει λιγότερους (δηλαδή ένα) όρους. Επίσης, κάθε διαζευκτική μορφή ισοδύναμη με την τελευταία περιλαμβάνει τουλάχιστον τρία γραμματικά στοιχεία. Συμπεραίνεται λοιπόν ότι η τελευταία διαζευκτική μορφή είναι μια ελάχιστη διαζευκτική μορφή. Πράγματι, χρησιμοποιώντας τους αλγόριθμους που θα παρουσιαστούν σε αυτό το μέρος του βιβλίου, μπορεί να αποδειχτεί η ελάχιστη διαζευκτική μορφή που παρουσιάστηκε παραπάνω είναι και η μοναδική ελάχιστη διαζευκτική μορφή των προτάσεων στο παράδειγμα. Σε άλλες όμως περιπτώσεις μπορεί να υπάρχουν περισσότερες της μίας ελάχιστες μορφές. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ένας αλγόριθμος ο οποίος βρίσκει και παρουσιάζει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας οποιασδήποτε πρότασης. Αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν το ίδιο αποτέλεσμα υπάρχουν και άλλοι αλλά για μικρές προτάσεις που χρησιμοποιούνται σε αυτό το ηλεκτρονικό βιβλίο, κρίνεται ότι ο αλγόριθμος 119

121 που επιλέχθηκε είναι ο καλύτερος χάρη στην απλότητά του. Ως μικρές προτάσεις εννοούμε προτάσεις 6 το πολύ μεταβλητών. Για την εύρεση ελάχιστων διαζευκτικών μορφών προτάσεων με μικρό αριθμό γραμματικών στοιχείων, συχνά χρησιμοποιούνται διαγραμματικές παραστάσεις γνωστές ως πίνακες Karnaugh. Παρά το γεγονός ότι είναι εύκολες στην κατανόηση και τη χρήση, είναι δύσκολο να γραφεί κώδικας για τη χρήση τους με υπολογιστικά συστήματα. Η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για χρήση σε υπολογιστές είναι η μέθοδος Quine McCluskey. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε γενικές προτάσεις, αλλά δεν είναι εύκολο συχνά να περιγραφεί. Πιο εύκολα μπορεί να περιγραφεί η μέθοδος της ομόφωνης επέκτασης και επιλογής (consensus expansion and selection), δεν παρουσιάζει τα προβλήματα των προηγούμενων δυο μεθόδων. Αυτή η μέθοδος βρίσκει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας πρότασης f και αυτό το επιτυγχάνει σε δυο βήματα. Στον Αλγόριθμο βρίσκουμε όλους τους όρους, που μπορεί να απαντώνται σε οποιαδήποτε ελάχιστη μορφή της f. Στον Αλγόριθμο βρίσκουμε όλα τα υποσύνολα του συνόλου των όρων που βρέθηκαν με τη βοήθεια του Αλγόριθμου Ας σημειωθεί, ότι μερικές φορές μερικοί όροι που εντοπίζονται με τον Αλγόριθμο 4.5.1, δεν εντοπίζονται από τον Αλγόριθμο Ο Αλγόριθμος κάνει χρήση του ακόλουθου αποτελέσματος της άλγεβρας Boole, που είναι γνωστός ως νόμος της ομοφωνίας (consensus law). Νόμος της Ομοφωνίας Έστω τρεις προτάσεις x, y, και z. Για κάθε τριάδα τέτοιων προτάσεων ισχύει: (x z) (y z') (x z) (y z') (x y). Η απόδειξη με χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole έχει ως εξής: (x z) (y z') (x y) (x z) (y z')[x (z z') y] (x z) (y z') (x z y) (x z y) (x z) (y z'). Για να γίνει κατανοητός ο τρόπος που λειτουργεί ο νόμος της ομοφωνίας, θα εξηγήσουμε πρώτα τι εννοούμε με την έκφραση «οι όροι u και v βρίσκονται σε ομοφωνία». Ορισμός Οι όροι u και v είναι όροι σε ομοφωνία αν υπάρχει ακριβώς ένα γραμματικό στοιχείο στο u του οποίου η άρνηση βρίσκεται στο v. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα. Παράδειγμα Οι όροι α b c και α' c d βρίσκονται σε ομοφωνία. Το γραμματικό στοιχείο α βρίσκεται στον πρώτο. Η άρνηση του α βρίσκεται στο δεύτερο. Κανένα άλλο γραμματικό στοιχείο δεν έχει αυτή την ιδιότητα. Οι όροι α b και b c d βρίσκονται σε ομοφωνία για τους ίδιους λόγους, που όμως σε αυτή την περίπτωση αφορούν το γραμματικό στοιχείο b. Οι όροι α b' και b' c d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία, οι αρνήσεις των α και b δεν συναντώνται στο δεύτερο όρο. Αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία, θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους «γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία» και «όρος σε ομοφωνία». Ορισμός Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το γραμματικό στοιχείο που είναι και αιτία ύπαρξης της ομοφωνίας. 120

122 Ορισμός Όρος σε ομοφωνία είναι η σύζευξη δύο όρων χωρίς τη συμμετοχή του γραμματικού στοιχείου σε ομοφωνία και της αρνήσεώς του. Ο ταυτοτικός νόμος μάς επιτρέπει να παραλείψουμε επαναλήψεις των γραμματικών στοιχείων στον όρο σε ομοφωνία. Ας ξαναδούμε τους όρους του Παραδείγματος Παράδειγμα Οι όροι α b c και α c d βρίσκονται σε ομοφωνία. Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το α και όρος σε ομοφωνία είναι το (b c)(c d) b c d. Οι όροι α b και b c d βρίσκονται σε ομοφωνία. Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το b και όρος σε ομοφωνία είναι ο α c d. Οι όροι α και b' c d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία. Ας προσέξουμε και πάλι τον νόμο της ομοφωνίας (5): (x z) (y z ) (x z) (y z ) (x y). Σημειώστε ότι στην αριστερή πλευρά βρίσκονται δύο όροι σε ομοφωνία. Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία. Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το z και ο όρος σε ομοφωνία είναι ο x y.ο νόμος της ομοφωνίας λέει ότι αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία, μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο σε ομοφωνία και έτσι να προκύψει μία ισοδύναμη πρόταση. Κάτι τέτοιο φαίνεται αρκετά παράξενο, αφού το δεξί μέρος της (5) φαίνεται επιμηκέστερο και πιο πολύπλοκο από το αριστερό. Δίνεται η εντύπωση ότι η προσάρτηση του όρου σε ομοφωνία δυσκολεύει τα πράγματα. Αυτό είναι αλήθεια αλλά μας επιτρέπει να πούμε: «βραχυπρόθεσμη αλήθεια». Αιτία της φαινομενικής αυτής δυσκολίας είναι ο νόμος της απόσβεσης. Συνήθως η δεξιά πλευρά της (5) απλοποιείται γιατί ένας «μακρύς» όρος περιέχει ένα «βραχύτερο» και έτσι ο «μακρύτερος» αποσβήνεται, δηλαδή «σβήνεται». Στη γενική έκφρασή της (5), καμία απόσβεση δεν συντελείται. Σύντομα όμως θα έχουμε την ευκαιρία να δείξουμε τον αλγόριθμο και ένα παράδειγμα όπου θα φανεί πως μια προσωρινή πολυπλοκότητα οδηγεί σε μια ικανοποιητική απλούστευση. Η ιδέα επί της οποίας στηρίζεται ο Αλγόριθμος είναι απλή: Αν δυο όροι της f βρίσκονται σε ομοφωνία και έχουν όρο σε ομοφωνία Χ και αν αυτός ο όρος σε ομοφωνία δεν περιλαμβάνει κανέναν όρο που βρίσκεται ήδη στην f, τότε ο όρος Χ θα πρέπει να συμπεριληφθεί στην f. Αυτό σημαίνει ότι η f αντικαθίσταται από την f X. Ο κανόνας αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι το σημείο όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί πλέον. Στο σημείο αυτό ολοκληρώνεται η διαδικασία εφαρμογής του αλγόριθμου. Αλγόριθμος Εύρεση της εν ομοφωνία επέκτασης μιας πρότασης f σε Σ.Δ.Μ.. Αν υπάρχουν δυο όροι που έχουν έναν όρο σε ομοφωνία (ο οποίος δεν περιέχει έναν όρο, που βρίσκεται ήδη στην μορφή), προσαρτήστε στη μορφή αυτόν τον όρο σε ομοφωνία. Σε κάθε άλλη περίπτωση ακολουθήστε το βήμα 4. Απαλείψτε όλους τους προηγούμενους όρους που περιέχουν τον όρο που μόλις προστέθηκε. Πηγαίνετε στο βήμα 1. ΤΕΛΟΣ: Η εν ομοφωνία επέκταση της f, έχει οριστεί. Αυτή είναι η διάζευξη όλων των όρων που θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται σε μια ελάχιστη μορφή ισοδύναμη της f. Παράδειγμα Να βρεθεί η εν ομοφωνία επέκταση της πρότασης: f = a b c a c a b d a' c a b c d '. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Η πρόταση βρίσκεται ήδη σε Σ.Δ.Μ.. Οι όροι 1 και 2 βρίσκονται σε ομοφωνία με όρο σε ομοφωνία τον α b. Όταν αναφέρουμε τα βήματα εφαρμογής του αλγόριθμου, γράφουμε 1-2 για να δηλώσουμε ότι οι όροι 1 και 2 έχουν συγκριθεί, ή γράφουμε 1-2α b για να δηλώσουμε και τον όρο σε ομοφωνία. Ο όρος α b δεν 121

123 περιέχει κανέναν από τους επόμενους όρους ως τον όρο 5 και για αυτό προστίθεται αφού χαρακτηριστεί με 6 τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό, που είναι ο 6: a b f = a b c a c a b d a c a b c d a b ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ' ' ) ( ) Αν ο νέος όρος περιέχει έναν όρο που ήδη περιέχει, μπορούμε να τον προσθέσουμε, αλλά εξυπακούεται ότι αμέσως θα απορροφηθεί. Τώρα οι όροι 1 και 3 περιέχουν τον όρο 6, τους σβήνουμε f = a b c a c a b d a' c a' b' c' d a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = a c a c a b c d a b ( ) ( ' ) ( ' ' ' ) ( ) και στη συνέχεια ξαναγυρίζουμε στην εντολή 1 του αλγόριθμου. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4. Οι όροι 2 και 4 δεν βρίσκονται σε ομοφωνία και έτσι γράφουμε 2-4 και συνεχίζουμε. Καταγράφουμε στη συνέχεια τα πρώτα 8 βήματα. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4. Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και Όρος σε ομοφωνία ο ' ' ' f = a c a' c a' b' c' d a b b c d. Απορροφάται ο όρος 5, b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = a c a c a b b c d. ( ) ( ' ) ( ) ( ) Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 6. Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 7. 8 Όρος σε ομοφωνία ο b c, f = ( a c ) ( a' c) ( a b) ( b c d ) ( b c ). Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 6. Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 8 (όχι 4-7), γιατί κάθε φορά που ένας νέος όρος προστίθεται, πηγαίνουμε πίσω στην πρώτη σύγκριση που δεν έχει γίνει ακόμα. Όρος σε ομοφωνία ο αλb, ο οποίος περιέχει (στην ουσία είναι ίσος) τον όρο 6. Η πρόταση δεν εμπλουτίζεται. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 7. Όρος σε ομοφωνία ο α Λb Λd f = ( a c ) ( a' c) ( a b) ( b c d ) ( b c) ( a Λb Λ d ). Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 9. Όρος σε ομοφωνία ο b Λc Λd που είναι ίδιος με τον όρο 7, γι αυτό απορροφάται f = ( a c ) ( a' c) ( a b) ( b c d ) ( b c) ( a Λb Λ d ). Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 8. Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 9. Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και

124 Όρος σε ομοφωνία ο αλc Λd (περιέχει το 2) και για αυτό απορροφάται. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8. Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8. Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9. Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία. Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9. Όρος σε ομοφωνία ο α ΛcΛd (περιέχει τον όρο 4). STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι. f=(αλc')v(α'λc)v(αλb)v(b'λc'λd)v(bλc)v(α'λb'λd'). Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια: Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους, ενώ η αρχική είχε μόνο 4. Και οι δύο έχουν 14 γραμματικά στοιχεία. Όπως και προηγουμένως, αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα, που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή. Ο Αλγόριθμος 4.5.2, που στη συνέχεια θα περιγράψουμε, εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία. Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 4.5.2, θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς. Ορισμός Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος, αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους. Έτσι, αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές α,b,c και d, τότε οι όροι α b c d και α b d c είναι πλήρεις όροι, ενώ α c d, c α, b δεν είναι. Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν. Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου. Παράδειγμα Θεωρήστε, για παράδειγμα, τον όρο x=α c d σε μια πρόταση με μεταβλητές α,b,c και d. Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x, είναι α b Λ c d και α b c d και έτσι έχουμε: (α' b c d') (α' b' c d') α' (b b') c d' α' 1 c d' α' c d'. Το Παράδειγμα υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y. Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u, αλλά ούτε η u', δεν βρίσκονται στην y, γράψτε τη διάζευξη u u'. Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1. Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή. Αυτή είναι η επέκταση πλήρους όρου του y. Στο τέλος του παραδείγματος 4.4 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=α c. Οι μεταβλητές b και d, καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α, έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις b b και d d. Σχηματίζουμε τη σύζευξη α (b b ) c (d d ), και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε, για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(α b' c' d) (α b' c' d) (α b c' d') (α b' c' d') (α b c' d). Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων. Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε, υπάρχουν 2 n διαφορετικοί πλήρεις όροι. 123

125 Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση. Με τον Αλγόριθμο 4.5.2, που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου, επιτυγχάνεται η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας. Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία, για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους. Στο παράδειγμά μας, η πλήρης επέκταση της πρότασης f έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει =20 όρους. Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία. Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή, χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία. Για να αρχίσουμε, χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου. Πρώτα, βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους. Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι α,β,γ,δ,, θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά, ενώ αν έχουν τη μορφή α 1,α 2,α 3,, κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών. Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό, γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο, και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής. Για παράδειγμα, οι πλήρεις όροι α β' γ' δ', α β' γ' δ, α β γ' δ', α β γ δ, στην πλήρη επέκταση του Α, όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω, κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000, 1001, 1100 και Τελικά, για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων, καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος. Έτσι, οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα,8, 9, 12 και 14. Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 1,2,3,,2 n-1. Αντίστροφα, κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται, αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών. Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςα,β,γ,δ και ε. Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο α' β' γ δ ε'. Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές, τότε ο 22 αντιστοιχεί στον , και ο πλήρης όρος είναι α' β γ' δ' ε ζ'. Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου, οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται. Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=α γ'. Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_. Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης: 8=(1000), 9=(1001), 12=(1100), 13=(1101). Αλγόριθμος Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία. Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία, γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου. Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα, που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου. Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά. Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του. Στη συνέχεια, σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της. Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης. Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο. Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών, τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων. Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε. Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο, γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη. Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης. Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε Σ.Δ.Μ.. Ονομάστε την Π. 124

126 Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό πλήρων όρων. Για κάθε διατηρούμενο όρο του Π, μετρήστε το πλήθος των γραμματικών στοιχείων (περιλαμβανομένων και των επαναλήψεων), που βρίσκονται στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και η οποία εμφανίζεται σε εκείνο τον όρο του Π. Παραλείψτε όλους τους όρους που διατηρήθηκαν, εκτός από εκείνους για τους οποίους η μέτρηση αυτή έδωσε τον μικρότερο αριθμό. Για κάθε εναπομένοντα όρο του Π, οι όροι της εν ομοφωνία επέκτασης (που εμφανίζονται σε αυτόν), μαζί με τους ουσιώδεις όρους που βρέθηκαν στο βήμα 3, αποτελούν τους όρους της ελάχιστης μορφής της αρχικής πρότασης. Να σημειωθεί ότι η ελάχιστη μορφή που βρέθηκε δεν είναι μοναδική. Εφαρμογή Αναφερόμαστε στο αποτέλεσμα του Παραδείγματος που έχει καταλήξει στην εν ομοφωνία πρόταση: f=(α c') (α' c) (α b) (b' c' d') (b c) (α' b' d'). Βήμα 1. Γράψτε την επέκταση πλήρους όρου κάθε πρώτου αριθμού στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Για την πρόταση f είναι: Όρος Δυαδική Μορφή Όροι στην επέκταση πλήρους όρου Α 1 _ 0 _ 8, 9, 12, 13 Β 0 _ 1 _ 2,3,6,7 Γ , 13, 14, 15 Δ _ , 8 Ε _ 1 1 _ 6, 7, 14, 15 Ζ 0 0 _ 0 0, 2 Βήμα ΙΙ. Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές, που έχουν στην πρώτη στήλη τους όρους της f. Στον ίδιο πίνακα οι επόμενες στήλες έχουν επικεφαλίδες τη δεκαδική έκφραση των όρων που εμφανίζονται τουλάχιστον σε μια επέκταση πλήρους όρου. Σημειώστε με V κάθε επέκταση πλήρους όρου των όρων της f. Πίνακας Α V V V V Β V V V V Γ V V V V Δ V V Ε V V V V Ζ V V Κάθε σύνολο όρων, των οποίων η διάζευξη είναι ισοδύναμη προς την πρόταση, πρέπει να περιλαμβάνει κάθε πλήρη όρο του πίνακα. Ας σημειωθεί ότι ο πλήρης όρος με κώδικα 3 εμφανίζεται μόνο στον όρο Β. Ο Β καλείται ουσιώδης όρος. Ένας ουσιώδης όρος περιέχεται σε κάθε ελάχιστη μορφή. Αφού λοιπόν ο Β πρέπει να περιλαμβάνεται, οι πλήρεις όροι 2, 6 και 7 λαμβάνονται υπόψη. Ουσιώδης όρος είναι και ο Α (εξαιτίας του 9) και έτσι, 8, 12 και 13 πρέπει επίσης να ληφθούν υπόψη. Βήμα ΙΙΙ: Τοποθετήστε σε κύκλο κάθε V που είναι μοναδικό στη στήλη του. Στη συνέχεια, σημειώστε με αστερίσκο κάθε επέκταση σε ομοφωνία που έχει μόνο έναν κύκλο στη γραμμή της. Όσοι όροι σημειώθηκαν με αστερίσκο είναι ουσιώδεις όροι. Τέλος, βάλτε σε κύκλο κάθε πλήρη όρο που αντιστοιχεί σε όρους που έχουν σημειωθεί με αστερίσκο. Στο παράδειγμα, ο πίνακας γίνεται: 125

127 Πίνακας (2) (3) (6) (7) (8) (9) (12) (13) Α* V (V) V V Β* V (V) V V Γ V V V V Δ V V Ε V V V V Ζ V V Στον Πίνακα οι πλήρεις όροι 0, 14 και 15 παραμένουν προς διαπραγμάτευση. Η διαδικασία πρέπει να συνεχιστεί, καθώς οι όροι Γ, Δ, Ε και Ζ δεν έχουν συμπεριληφθεί στην τελική μορφή. Ο πλήρης όρος 0 μπορεί να προέλθει είτε από τον όρο Δ είτε από τον όρο Ζ. Ο πλήρης όρος 14 μπορεί να προέλθει είτε από τον όρο Γ είτε από τον όρο Ε. Τέλος, ο πλήρης όρος 15 μπορεί επίσης να προέλθει είτε από τον όρο Γ ή από τον όρο Ε. Η μαθηματική έκφραση αυτών των παρατηρήσεων είναι (Δ Ζ) (Γ Ε) (Γ Ε). Αυτή είναι η πρόταση Petric για την αρχική πρόταση. Το επόμενο βήμα είναι γενική οδηγία: Βήμα IV: Για κάθε πλήρη όρο στην πρώτη γραμμή του πίνακα (που δεν έχει σημειωθεί με κύκλο), γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλής γραμμών και φέρουν V στη στήλη αυτή. Τότε γράψτε τη σύζευξη όλων των όρων, που έχετε σημειώσει με τον τρόπο αυτό. Η επόμενη οδηγία κάνει χρήση του Αλγόριθμου Βήμα V: Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε Σ.Δ.Μ. Στο παράδειγμα που χρησιμοποιούμε θα είναι: (Δ Ζ) (Γ Ε) (Γ Ε) (Δ Ζ) (Γ Ε) (Γ Δ) (Γ Ζ) (Ε Δ) (Ε Ζ) Π. Κάθε όρος της Π, μαζί με τους ουσιώδεις όρους, αποδίδει ένα σύνολο όρων, των οποίων η διάζευξη είναι ισοδύναμη με την αρχική πρόταση, από την οποία προήλθαν. Για να πάρουμε τις ελάχιστες μορφές, συνεχίζουμε τον αλγόριθμο ως εξής: Βήμα VI: Διατηρήστε εκείνους τους όρους του Π, που διαθέτουν τον ελάχιστο αριθμό πλήρων όρων. Στο παράδειγμα, κάθε όρος από τους όρους (Γ Δ), (Γ Ζ), (Ε Δ) και (Ε Ζ), διατηρείται στη μορφή. Αν λόγου χάρη ο όρος (Γ Δ Ζ) είχε συμπεριληφθεί, τότε έπρεπε να απορριφθεί. Βήμα VII: Ο όρος (Γ Δ) απότελείται από τους όρους Γ=(α b) και Δ=(b' c' d'), οι οποίοι περιλαμβάνουν ένα σύνολο από 5 γραμματικά στοιχεία. Στην πραγματικότητα, κάθε ένας από τους όρους (Γ Ζ), (Ε Δ) και (Ε Ζ), περιέχει επίσης πέντε γραμματικά στοιχεία. Έτσι, κανένας από τους όρους δεν παραλείπεται. Βήμα VIII: Τελικά, η αρχική πρόταση f έχει τέσσερεις ελάχιστες μορφές: τη διάζευξη των όρων Α, Β, Γ και Δ, ή τη διάζευξη των όρων Α, Β, Γ και Ζ, ή εκείνη των Α, Β, Δ και Ε, ή τέλος, τη διάζευξη των Α, Β, Ε και Ζ. f (α c') (α' c) (a b) (b' g' d') (α c') (α' c) (α b) (α' b' d') (α c') (α^' c) (b' c' d') (b c) (α c') (α' c) (b c) (α' b' d'). Αυτές είναι οι τέσσερις ελάχιστες μορφές της f. Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια περίληψη της μεθόδου. 126

128 Αλγόριθμος Εύρεση των Ελάχιστων Μορφών μιας Πρότασης. Γράψτε την πρόταση σε Σ.Δ.Μ. Χρησιμοποιήστε τον νόμο της ομοφωνίας για να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία. Βρείτε την επέκταση πλήρους όρου και εκφράστε κάθε όρο με τη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. Καταστρώστε έναν πίνακα για να βρείτε τους ουσιώδεις όρους και την πρόταση Petric. (Αν δεν υπάρχει η πρόταση Petric, τότε η σύζευξη των ουσιωδών όρων είναι η μοναδική ελάχιστη μορφή). Γράψτε την πρόταση Petric σε Σ.Δ.Μ. Διατηρήστε μόνο τους όρους με τις λιγότερες μεταβλητές. Από αυτούς, διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους, για τους οποίους οι όροι της επέκτασης σε ομοφωνία έχουν τα λιγότερα γραμματικά στοιχεία. Η διάζευξη των όρων της επέκτασης σε ομοφωνία του κάθε ενός διατηρούμενου όρου, μαζί με τους ουσιώδεις όρους, αποτελεί μια ελάχιστη μορφή. Κάθε ελάχιστη μορφή βρίσκεται με αυτόν τον τρόπο. 127

129 Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Althoen, Steven C., & Bumcrot, Robert J. (1988). Introduction to Discrete Mathematics. Boston: PWS-KEnT Publishing Company. Givant, S. R., & Halmos, P. R. (2009). Introduction to Boolean algebras. Springer, pp ISBn Halmos, Paul (1963). Lectures on Boolean Algebras. van nostrand. Hausman, Alan, Kahane, Howard, Tidman, Paul (2010) [2007]. Logic and Philosophy: A Modern Introduction. Wadsworth Cengage Learning. Heindorf, L., & Shapiro, L. (1994). nearly projective Boolean algebras, Lecture notes in Mathematics no. 1596, Berlin: Springer-Verlag. Holton, D. A. & Sheehan, J. (1994). The Petersen Graph. Cambridge, England: Cambridge University Press. Jech, T. (1997).Set Theory, 2nd corrected edition. Berlin, new York: Springer-Verlag. Koppelberg S. (1989). General Theory of Boolean Algebras. Handbook of Boolean Algebras, Vol. 1 (ed. J. Donald Monk with Robert Bonnet). Amsterdam: north Holland. Monk, J. D. (2014). Cardinal Invariants on Boolean Algebras, Second Revised Edition. Basel: Birkaüser. Monk, J. D., & Bonnet, R. (eds.), (1989). Handbook of Boolean algebras, 3 volumes. Amsterdam: north- Holland. O'Regan, Gerard (2008). A brief history of computing. Berlin: Springer, p.33. Shannon C (1949). The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits. Bell System Technical Journal 28: Venn J.(1880). On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings. Philosophical Magazine and Journal of Science, Series 5, vol.10, no. 59, July. Γεωργίου, Δημήτριος Α. (1994). Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά για την Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Ξάνθη: Εταιρεία Αξιοποίησης Πανεπιστημιακής Περιουσίας του Δ.Π.Θ. 128

130 Κριτήρια Αξιολόγησης Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Έστω ότι οι καταστάσεις εισόδου, στη διάρκεια 7 sec δίδονται με τις επόμενες γραφικές παραστάσεις: Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Στις επόμενες ασκήσεις σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των σημάτων εξόδου. 1. c. 2. b. 3. α b. 4. d c. 129

131 5. α c. b c. Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα για α1 α2 α3 α4. Σχεδιάστε ένα κύκλωμα για α1 α2 α3 α4. Συμπληρώστε ένα πίνακα που περιγράφει τη λειτουργία των πυλών τεσσάρων εισόδων των δύο προηγούμενων ερωτήσεων Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Χρησιμοποιώντας διακόπτες, αντί για πύλες, σχεδιάστε κυκλώματα που έχουν έξοδο: 1. α b. 2. α b. 3. (α b). 4. (α b). 5. (α b) c. 6. (α b) (c b). Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Συμπληρώστε τους πίνακες που περιγράφουν την έξοδο των 6 περιπτώσεων κριτηρίου αξιολόγησης

132 Κριτήρια Αξιολόγησης Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ακριβώς μία είσοδος είναι 1. (Ένα τέτοιο κύκλωμα καλείται αποκλειστική πύλη OR). Απάντηση/Λύση Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν οι είσοδοι δεν είναι και οι δύο 1. Ένα τέτοιο κύκλωμα καλείται πύλη nand, συμβολίζεται με: Απάντηση/Λύση Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ούτε μία είσοδος είναι 1. Ένα τέτοιο κύκλωμα καλείται πύλη nor και συμβολίζεται με: Απάντηση/Λύση Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με εισόδους α 1, α 2 που έχει έξοδο 1 ανν α 1 =0. 131

133 Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ακριβώς μία είσοδος είναι 1. Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν είτε καμία είσοδος είναι 1 είτε όλοι οι είσοδοι είναι 1. Κριτήριο Αξιολόγησης 7 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με πέντε εισόδους του οποίου η έξοδος είναι πάντα 1. Κριτήριο Αξιολόγησης 8 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με έξι εισόδους του οποίου η έξοδος δεν είναι ποτέ 1. Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Στις ασκήσεις 1-9 που ακολουθούν, θα δείξετε ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με συνδυασμούς μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών AnD δύο εισόδων, όπως επίσης ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με χρήση μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών OR δύο εισόδων. Κατασκευάστε πύλη AnD 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών AnD 2 εισόδων. Κατασκευάστε πύλη OR 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών OR 2 εισόδων. Κατασκευάστε πύλη AnD n εισόδων, όπου n>2, με τη βοήθεια πυλών AnD 2 εισόδων. Πόσες τέτοιες πύλες απαιτούνται; Επαναλάβατε την άσκηση 3 για πύλες OR. Κατασκευάστε πύλη OR 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης AnD 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ. Κατασκευάστε πύλη AnD 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης OR 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ. Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 3 και 5, εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες AnD 2 εισόδων. Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 4 και 6, εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες OR 2 εισόδων. Εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες n OR 2 εισόδων. 132

134 Κριτήριο Αξιολόγησης 10 Στις ασκήσεις 1 έως 4 κατασκευάστε τον πίνακα για τα δεδομένα κυκλώματα. Στη συνέχεια σχεδιάστε ισοδύναμα κυκλώματα που έχουν μικρότερο αριθμό πυλών Κριτήριο Αξιολόγησης 11 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα ισοδύναμο με εκείνο του Σχήματος με τέσσερις μόνο πύλες ΝΟΤ. Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Στις ασκήσεις 1-4 χρησιμοποιήστε πίνακες λειτουργίας για να αποδείξετε τους αναφερόμενους νόμους. 1. Τον ταυτοτικό και τον νόμο της ενέλιξης. 2. Τον νόμο του φραγμένου και τον νόμο του συμπληρώματος. 4. Τον αντιμεταθετικό και τον νόμο της απορρόφησης. 4. Τον προσεταιριστικό και τον επιμεριστικό νόμο. 133

135 Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Στις ασκήσεις 5-8 χρησιμοποιήστε άλγεβρα του Boole, για να αποδείξετε τις δεδομένες ισοδυναμίες. 4. (x y) (z w) (x z) (x w) (y z) (y w). 6. (x y) (x y ) y. 7. x y y x [Νόμος της αντιστροφής]. 8. (x y) (y z) (z x) (y x) ( z y) (x z). Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Στις ασκήσεις 9-12 ξαναγράψτε τη δοσμένη πρόταση σε Σ.Δ.Μ. 9. [(α₁ α₂ ) α₃ ] [α₂ α₃] [α₂ (α₃ α₁ )]. 10. [(α₃ α₂) (α₁ α₄ )] [α₁ α₂ α₃) α₄ ]. 11. α₁ ([(α₂ α₃) (α₂ α₁ )] ( α₂ α₃ )). 12. (α₁ α₂ α₃ α₄ α₅) (α₂ α₃ α₅). Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Αν α₁=0, α₂=0 και α₃=1, βρείτε την αληθή τιμή των προτάσεων στις εξισώσεις 9 και 11. Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Για ποιες αληθείς τιμές των μεταβλητών, η πρόταση της άσκησης 10 είναι αληθής; Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Για ποιες τιμές των α 1,α 2,α 3 και α 4 το κύκλωμα της άσκησης 15 δεν επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος; Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Στις ασκήσεις αποφασίστε αν οι προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς. 17. Αν τα τετράγωνα είναι κυκλικά, τότε οι κύκλοι έχουν γωνίες. 18. Αν οι κύκλοι έχουν γωνίες, τότε τα τετράγωνα έχουν γωνίες. 19. Τα τετράγωνα είναι κυκλικά και οι κύκλοι δεν έχουν γωνίες, και δεν είναι αλήθεια ότι τα τρίγωνα δεν είναι επίπεδα και τα παραλληλόγραμμα έχουν πέντε πλευρές. 20. Αν ένα τετράγωνο έχει τέσσερις γωνίες και ένα τρίγωνο δεν είναι στρόγγυλο, τότε ένα τετράγωνο έχει πέντε γωνίες. Κριτήριο Αξιολόγησης 19 Στις ασκήσεις αποφασίστε εάν κάθε πρόταση είναι ταυτολογία, αντιλογία ή τίποτε από αυτά. 21. α (a b). 22. α (b α). 24. (α b) (b α). 24. (α b) (b α ). 24. (α b) (α b ). 26. (α b) (α b ). 27. [(α b) (b c)](α c) [νόμος της αλληλουχίας]. 28. b (α b)= α. 134

136 Κριτήριο Αξιολόγησης 20 Να εξετάσετε αν οι όροι στις ακόλουθες παραστάσεις είναι σε ομοφωνία. α β' δ, α' β γ. α' β γ, α γ' δ β' γ ε, α γ' ε ζ. α' γ' δ', α' δ ε' ζ'. Κριτήριο Αξιολόγησης 21 Στις επόμενες προτάσεις να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία. (α β') (β' γ) (α γ) (α γ'). (α β' γ) (α β' γ') (α β γ'). (α β γ δ) (α' β γ δ) (α' β' γ δ) (α' β' γ' δ) (α' β' γ' δ'). (α β' δ) (α δ') (α β γ') (α' δ) (α' β' γ' δ'). Κριτήριο Αξιολόγησης 22 Να γραφεί η επέκταση πλήρους όρου για κάθε ένα από τους δοσμένους όρους, χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές α, β, γ, δ των όρων που δίνονται στη συνέχεια. (α' β δ'). (γ' δ). (α δ). β'. Κριτήριο Αξιολόγησης 23 Να κωδικοποιήσετε σε αριθμούς πέντε ψηφίων του δυαδικού, και στη συνέχεια του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης τους όρους που ακολουθούν. 1. (α β' γ δ' ε). 2. (α' β γ' δ ε'). 3. (α' β' γ' δ ε). 4. (α' β γ δ ε). Απάντηση/Λύση Η απάντηση ή λύση στην αντίστοιχη ερώτηση/άσκηση/πρόβλημα. Κριτήριο Αξιολόγησης 24 Με χρήση των μεταβλητών που δίνονται παρακάτω, να γράψετε τους πλήρεις όρους που αντιστοιχούν στους δοσμένους κώδικες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης α,β,γ,δ 14,6,2. α,β,γ,δ,ε 5,18,30. Κριτήριο Αξιολόγησης 25 Να βρείτε όλες τις ελάχιστες μορφές των δοσμένων προτάσεων: Την πρόταση 5 του κριτήριου αξιολόγησης 2. Την πρόταση 6 του κριτήριου αξιολόγησης 2. Την πρόταση 7 του κριτήριου αξιολόγησης 2. Την πρόταση 8 του κριτήριου αξιολόγησης 2. (α β γ ε) (α γ') (α β δ') (α' γ) (α' β' γ' δ' ε'). 135

137 (α β) (α' γ) (β' γ) (β' δ) (δ' ε) (ε' ζ). [(α' β δ') (β γ' δ)'] (α' δ)'. (α' β γ) (α' δ') (β γ δ') (γ' δ'). [(α β' δ)' (γ' δ)'] (α' β' δ'). (β' γ δ') (α' β' γ) (α' γ' δ'). Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης 136

138 5. Κεφάλαιο: ΓΡΑΦΟΙ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΩΝ Σύνοψη Η ανάγκη για αναπαράσταση συσχετιζόμενων εννοιών οδήγησε στην ανάπτυξη της μαθηματικής οντότητας που ονομάζεται γράφος ή γράφημα (graph). Με τη βοήθεια των γράφων επιτυγχάνεται η απεικόνιση σύνθετων φυσικών καταστάσεων που είναι εξαρτημένοι από πλήθος εννοιών και απαιτούν έναν σημαντικό αριθμό λογικών διαδικασιών. Αν απεικονιστούν οι έννοιες σε σημεία του χώρου και συνδεθούν ανά δύο εκείνα τα σημεία που απεικονίζουν έννοιες που συσχετίζονται, προκύπτει ένας γράφος. Ας σημειωθεί ότι η χρήση του όρου «γράφος» θα μπορούσε να δημιουργήσει σύγχυση, καθώς χρησιμοποιείται και για την αναπαράσταση συνεχών συναρτήσεων στο καρτεσιανό (ή άλλο) σύστημα συντεταγμένων. Προσεκτικότερη όμως μελέτη του ορισμού, που παρατίθεται πιο κάτω, δείχνει τη συνάφεια των αναπαραστάσεων αυτών σε συνεχείς και σε διακριτούς χώρους. Πρόκειται λοιπόν για μία ακόμα αποτύπωση λογικών διαδικασιών και εννοιών, αποτύπωση η οποία αποτέλεσε τη βάση για την εξέλιξη μίας ακόμα διακριτής μαθηματικής θεωρίας. Με την ανάπτυξη της επιστήμης των υπολογιστών και της μηχανικής του διαδικτύου, οι γράφοι αποδείχτηκαν ιδιαίτερα σημαντικά βοηθήματα για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων. Αναφέρονται εδώ δυο τουλάχιστον λόγοι: Πρώτα διότι συμβάλλουν στην ανάπτυξη των υπολογιστικών συστημάτων, καθώς χρησιμοποιούνται για τον σχεδιασμό τον κυκλωμάτων, την ανάλυση πολύπλοκων συστημάτων, προκειμένου να αναπτυχθούν κώδικες, τη σχεδίαση των δικτύων και τη βελτιστοποίηση της λειτουργίας των δρομολογητών (Routers). Επίσης, επειδή προσφέρουν σημαντική βοήθεια στην αντιμετώπιση πολύπλοκων προβλημάτων μετρήσεων που αφορούν τον υπολογιστικό χρόνο. Οι γράφοι χρησιμοποιούνται επίσης για την επίλυση προβλημάτων διαχείρισης αποφάσεων στην Επιχειρησιακή Έρευνα και τη Διαχείριση Εφοδιαστικών Αλυσίδων (Supplying Chain Management). Η πολυπλοκότητα των προβλημάτων αυτών απαιτεί τη χρήση υπολογιστικών συστημάτων. Στην ενότητα της Θεωρίας Γράφων παρουσιάζεται μια σύντομη θεμελίωση της θεωρίας για να δοθεί ιδιαίτερη έμφαση στους αλγόριθμους για την επίλυση γνωστών προβλημάτων ελαχιστοποίησης, οργάνωσης και σχεδίασης κυκλωμάτων. Στόχος του τρόπου παρουσίασης της θεωρίας Γράφων και των εφαρμογών αυτής, είναι η εξοικείωση του χρήστη με τη χρηστικότητα των γράφων για την επίλυση προβλημάτων δικτύων. Στην ενότητα περιλαμβάνονται Μπεϋσιανά δίκτυα, Ασαφείς Γνωστικές (ή Γνωσιακές) Απεικονίσεις καθώς και δίκτυα Petri με παραδείγματα διαχείρισης δικτύων. Προαπαιτούμενη Γνώση Ο αναγνώστης αυτού του κεφαλαίου θα πρέπει να είναι εξοικειωμένος με στοιχεία της Γραμμικής Άλγεβρας Εισαγωγικές Έννοιες Η Θεωρία Γράφων είναι κλάδος των Διακριτών Μαθηματικών, με εφαρμογές στην Πληροφορική, τη Μηχανική, τη Χημεία και την Κοινωνιολογία. Αν και οι απαρχές της θεωρίας θεμελιώθηκαν κατά τον 18ο αιώνα, το μεγαλύτερο μέρος της αναπτύχθηκε μεταπολεμικά ως ιδιαίτερος κλάδος των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Στην ελληνική βιβλιογραφία οι όροι «Θεωρία Γράφων» και «Θεωρία Γραφημάτων» χρησιμοποιούνται σχεδόν με την ίδια συχνότητα. Προτιμάται ο όρος «γράφος», για ορισμένες αναγκαίες διαφοροποιήσεις από εκείνη του όρου «γράφημα», που χρησιμοποιείται για να ορίσει και άλλες οντότητες, όπως εκείνη του γραφήματος μιας συνάρτησης που αποδίδει τη γραφική παράσταση συνάρτησης. Ανάμεσα στους ποικίλους ορισμούς που απαντώνται, διακρίνεται ένας που ορίζει πως η θεωρία γράφων είναι η μελέτη των γράφων και των σχέσεών τους και χρησιμοποιείται ευρύτατα στη θεωρία δικτύων. Οι μαθηματικοί υπολογισμοί των γράφων στηρίζονται σε αλγόριθμους. Όσον αφορά στα δίκτυα, το διάγραμμα ενός δικτύου είναι ένας απλός γράφος, υπολογισμένος με τον κατάλληλο αλγόριθμο. Ο μαθηματικός ορισμός του γράφου είναι ο ακόλουθος: 137

139 Ορισμός Γράφος είναι το διατεταγμένο ζεύγος G=(V,E), όπου V σύνολο σημείων και E διμελής σχέση πάνω στο V. Τα στοιχεία του V καλούνται κορυφές (απαντώνται και ως κόμβοι). Τα στοιχεία του Ε καλούνται ακμές (απαντώνται και ως τόξα) οι οποίες είναι ευθύγραμμα ή καμπύλα τμήματα με άκρα ένα ή δύο στοιχεία του συνόλου V. Ορισμός Δυο κορυφές λέγονται παρακείμενες εφόσον συνδέονται με μία ή περισσότερες ακμές. Οι παρακείμενες κορυφές απαντώνται στην ελληνική βιβλιογραφία και ως γειτονικές ή ακόμα και ως γειτνιάζουσες. Σχήμα Μια κορυφή είναι αρακείμενη σε τρεις άλλες και κάθε μια από αυτές είναι παρακείμενη σε μια μόνο. Είναι δυνατό δυο κορυφές να συνδέονται με περισσότερες της μίας ακμής. Η σύνδεση αυτή καλείται πολλαπλή σύνδεση. Μπορεί επίσης μια ακμή να έχει την ίδια κορυφή ως αρχή και τέλος. Σε αυτήν την περίπτωση η ακμή καλείται «βρόγχος». Ορισμός Ψευδογράφος (pseudograph) καλείται ένας γράφος που περιέχει πολλαπλές ακμές ή/και βρόγχους. 138

140 Σχήμα Απλές συνδέσεις, βρόγψοι και πολλαπλές συνδέσεις σε ένα ψευδογράφο. Τα διατεταγμένα ζεύγη G=(V,E) που δεν είναι ψευδογράφοι θα καλούνται απλοί γράφοι (ή γράφοι). Ορισμός Όταν τα στοιχεία του Ε είναι διατεταγμένα ζεύγη (v 1,v 2 ), όπου v 1 V, ο γράφος ονομάζεται προσανατολισμένος (ή κατευθυνόμενος) γράφος. Ορισμός Δοσμένου ενός γράφου, σημειώνουμε καθεμία από τις ακμές είτε με πρόσημο + είτε με πρόσημο -. Ο γράφος αυτός ονομάζεται προσημασμένος. Αναλυτικότερα μπορούμε να πούμε ότι, προσημασμένος γράφος είναι ένα ζευγάρι (G, σ) που αποτελείται από έναν γράφο G=(V,E) και έναν χάρτη προσήμων σ ανάμεσα στις ακμές E και το σύνολο συμβόλων {+, -}. Ο γράφος μπορεί να έχει επαναληπτικές ακμές (loops), όπου τα δύο άκρα είναι το ίδιο σημείο, πολλές ακμές σε ένα άκρο αλλά και ακμή με ένα μόνο άκρο (half edge) ή και καθόλου άκρα (loose edge). Οι δύο τελευταίοι τύποι ακμών δεν λαμβάνουν πρόσημο, ενώ ο λόγος ύπαρξης των ακμών χωρίς άκρα είναι κυρίως για να έχουμε πάντα τη δυνατότητα διαγραφής ακμής. To πρόσημο ενός κύκλου (ένα σετ ακμών που δημιουργεί κύκλο) ορίζεται από το γινόμενο των προσήμων των ακμών του. Με άλλα λόγια, το πρόσημο του κύκλου είναι θετικό όταν περιέχει ζυγό αριθμό αρνητικών ακμών και αρνητικό όταν περιέχει μονό αριθμό αρνητικών ακμών. Ένας προσημασμένος γράφος ή υπογράφος λέγεται «ισοζυγισμένος» όταν όλοι οι κύκλοι που περιέχει είναι θετικοί. Η ιδέα των προσημασμένων γράφων εισάχθηκε πρώτη φορά από τον αμερικανό μαθηματικό Frank Harary, ώστε να καταστεί δυνατός ο χειρισμός ενός προβλήματος κοινωνικών σχέσεων το Ένα πολύγωνο είναι θετικό όταν το γινόμενο όλων των προσήμων των ακμών του είναι θετικό. Σε διαφορετική περίπτωση το πολύγωνο είναι αρνητικό. Ένας υπογράφος λέγεται ισοζυγισμένος όταν όλα τα πολύγωνα που ανήκουν σε αυτόν είναι θετικά. Σε αντίθετη περίπτωση είναι μη ισοζυγισμένος. Αν όλα τα πολύγωνα είναι αρνητικά τότε ονομάζεται αντίθετα ισοζυγισμένος. Ορισμός Βαθμός κορυφής είναι ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των παρακείμενων κορυφών της. Σχετικά με τον βαθμό των κορυφών, έχουν σημειωθεί σημαντικές προτάσεις που συνδέουν τον βαθμό των κορυφών ενός απλού γράφου με γενικότερες ιδιότητες του γράφου στον οποίο ανήκουν. Ορισμός Ο αριθμός των κορυφών του γράφου καλείται τάξη (order) του γράφου. 139

141 Ορισμός Ο αριθμός των ακμών του γράφου καλείται μέγεθος (size) του γράφου. Ορισμός Κάθε ακμή είναι προσκείμενη στις κορυφές που ενώνει. Ορισμός Ισομορφισμός f δυο γράφων Η και G είναι η μία προς μία απεικόνιση των συνόλων V(H) και V(G) των κορυφών τους, τέτοιος ώστε κάθε ζεύγος προσκείμενων κορυφών u και v του Η, οι αντίστοιχες κορυφές f(u) και f(v) είναι επίσης προσκείμενες. Οι γράφοι για τους οποίους υπάρχει ισομορφισμός θα καλούνται ισόμορφοι. Ορισμός Αυτομορφισμός γράφου G καλείται ο ισομορφισμός του G στον εαυτό του. Προφανώς κάθε γράφος έχει πλήθος αυτόμορφων γράφων. Ο αριθμός των αυτόμορφων γράφων εξαρτάται από το πλήθος των κορυφών του. Για παράδειγμα, ο άνω αριστερά γράφος τεσσάρων κορυφών του Σχήματος έχει αυτόμορφους γράφους όλους τους γράφους του ίδιου σχήματος. Το σύνολο των αυτόμορφων γράφων προκύπτει από τις διατάξεις των παρακείμενων κορυφών του γράφου G. Η φυσική ερμηνεία των αυτομορφισμών γράφου είναι διά της συμμετρίας αναπαράσταση του γράφου σε ένα πλήθος γράφων, που όμως εξακολουθούν να διατηρούν τη γειτνίαση των κορυφών, όπως και σημειώνεται στον γράφο προέλευσης. Σχήμα Ισόμορφοι γράφοι που προκύπτουν με περιστροφή περί άξονα συμμετρίας(κατακόρυφο, οριζόντιο και διαγωνιο). Όλοι οι άξονες διέρχονται από τοσημείο τομής των διαγωνίον του τετραγώνου. Ένα παράδειγμα ισόμορφων γράφων είναι και αυτό που φαίνεται στο Σχήμα Οι παρακείμενες κορυφές σε κάθε ένα από τους εικονιζόμενους γράφους διατηρούν αυτή την ιδιότητα (της γειτνίασης) στους άλλους δυο. Ο ισομορφισμός των γράφων φαίνεται αν δημιοργήσουμε τον πίνακα πρόσπτωσης των πινάκων. Το γεγονός ότι παίρνουμε τον ίδιο πίνακα για κάθε μία από τις τρεις εικόνες του Σχήματος 5.1.4, μας λέει ότι αυτές αντιπροσωπεύουν τον ίδιο ψευδογράφο. 140

142 Διαδραστικό Αντικείμενο Δοκιμάστε να ανγνωρίσετε ισόμορφους γράφους εδώ. Ο χρήστης επιλέγει και μετακινεί κορυφές ενός γράφου προκειμένου να τον προσαρμόσει σε ένα πρότυπο. Δοκιμάστε να αναγνωρίσετε ισόμορφους γράφους εδώ. Ο χρήστης επιλέγει και μετακινεί κορυφές ενός γράφου προκειμένου να τον προσαρμόσει σε ένα πρότυπο. Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. Ορισμός Σε κάθε γράφο G=(V,E) αντιστοιχεί ένας πίνακας πρόσπτωσης (incidence) Β(G)=[bij] ως εξής: bij=1 αν και μόνο εάν η ακμή ej έχει αρχή την κορυφή vi, bij=-1 αν και μόνο εάν η ακμή ej έχει αρχή την κορυφή vi και bij=0. Σχήμα Ισόμορφοι ψευδογράφοι. Παρατηρήστε τις κορυφές και τις ακμές που έχουν άκρο κάθε μια από τις κορυφές αυτές. Για τους ψευδογράφους του Σχήματος 5.1.4, ο πίνακας προσπτώσεων Πίνακας Ο πίνακας προσπτώσεων των ψευδογράφων του Σχήματος v v v v v e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e Το γεγονός ότι παίρνουμε τον ίδιο πίνακα για κάθε μία από τις τρεις εικόνες του Σχήματος 5.1.4, μας λέει ότι αυτές αντιπροσωπεύουν τον ίδιο ψευδογράφο. Το στοιχείο α i,j είναι ίσο με 1 αν η κορυφή v i ανήκει στην ακμή e j. Όταν η κορυφή v i δεν ανήκει στην ακμή e j τότε το στοιχείο α i,j είναι ίσο με 0. Επειδή κάθε ακμή ψευδογράφου συνδέει μία ή δυο κορυφές, κάθε στήλη έχει ένα ή δύο στοιχεία ίσα με 1 και τα υπόλοιπα ίσα με 0. Ο πίνακας προσπτώσεων γράφου έχει σε όλες τις στήλες δύο μονάδες και δεν υπάρχουν δυο στήλες ίδιες. 141

143 Ορισμός Παρακείμενες (ή γειτονικές) λέγονται δυο ακμές του G εφόσον συνδέονται με μία τουλάχιστον ακμή. Ορισμός Ο πίνακας γειτνίασης (adjacency matrix) A του γράφου G(V,E) είναι τετραγωνικός πίνακας Α(G)=[α ij ], όπου τα στοιχεία του ορίζονται ως εξής: α ij =1 αν και μόνο εάν η κορυφή v j συνδέεται με την κορυφή v i. Σε διαφορετική περίπτωση α ij =0. Στην περίπτωση ψευδογράφου, ο αριθμός που βρίσκεται καταχωρημένος στη θέση (i,j) δείχνει το πλήθος των ακμών που συνδέουν το v i και το v j. Αν το στοιχείο στη θέση (i,j) δεν είναι μηδέν, οι κορυφές v i και v j είναι παρακείμενες (adjacent) ή γειτνιάζουσες. Χωρίς τον αυστηρά μαθηματικό φορμαλισμό, θα μπορούσε να πει κάποιος ότι ο πίνακας γειτνίασης (adjacency matrix) ενός ψευδογράφου είναι ένας m m πίνακας του οποίου οι γραμμές και οι στήλες αντιστοιχούν στις κορυφές του ψευδογράφου. Προφανώς κάθε πίνακας γειτνίασης είναι συμμετρικός. Είναι ακόμη προφανές ότι αν όλα τα στοιχεία της γραμμής i είναι 0, τότε η κορυφή v i είναι απομονωμένη (isolated). Ο πίνακας γειτνίασης του ψευδογράφου των εικόνων του Σχήματος είναι: Πίνακας Ο πίνακας γειτνίασης του ψευδογράφου των εικόνων του Σχήματος v v v v v v v v v v Σημειώστε ότι ο πίνακας γειτνίασης ενός γράφου έχει μόνο 0 στην κύρια διαγώνιό του, ενώ έχει 0 και 1 εκτός αυτής. Ο πίνακας γειτνίασης ορίζει με απόλυτο τρόπο ένα ψευδογράφο. Κάθε συμμετρικός πίνακας με μη αρνητικά ακέραια στοιχεία είναι πίνακας γειτνίασης ενός ψευδογράφου. Πότε δύο ψευδογράφοι G 1 (V,E) και G 2 (V,E) είναι ίσοι; Το ερώτημα δεν μπορεί να απαντηθεί εύκολα καθώς η ισότητα των προσκείμενων πινάκων τους δεν αποτελεί ασφαλή συνθήκη για την ισότητα αυτών. Υπάρχουν περιπτώσεις, όπου διαφορετικοί πίνακες m n, μετά από μια σειρά γραμμοπράξεις να μετασχηματίζονται σε ίσους πίνακες. Σε τέτοιες περιπτώσεις οι δύο ψευδογράφοι είναι ίσοι. Το ερώτημα αυτό θα μας απασχολήσει λίγο πιο κάτω. Ορισμός Πλήρης γράφος n κορυφών ονομάζεται ο γράφος του οποίου κάθε κορυφή είναι παρακείμενη σε όλες τις άλλες. Ο πλήρης γράφος των n κορυφών συμβολίζεται με K n. Ο πίνακας γειτνίασης ενός K n έχει όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγώνιου ίσα με 0 ενώ όλα τα άλλα είναι ίσα με 1. Ορισμός Κλίκα σε έναν γράφο G καλείται ένας υπογράφος Η αυτού που είναι πλήρης. Είναι δυνατό να υπάρχουν περισσότερες της μίας κλίκες σε έναν γράφο G. Η κλίκα με το μέγιστο δυνατό μέγεθος καλείται «μέγιστη κλίκα». Ως ανώτερου μεγέθους κλίκα ορίζεται εκείνη η οποία δεν δύναται να μπορεί να επεκταθεί με την πρόσθεση μίας ή περισσότερων προσκείμενων κορυφών στις κορυφές της. Οι μέγιστες κλίκες είναι ανώτερου μεγέθους κλίκες, αλλά το αντίστροφο αυτού δεν είναι αληθές. Οι κλίκες απαντώνται σε μεγάλο αριθμό εφαρμογών, τόσο στη Θεωρία Γράφων όσο και στη Συνδυαστική. Μια κλίκα μεγέθους k θα καλείται k-κλίκα. Έτσι, 1-κλίκα θα καλείται μια κορυφή, 2-κλίκα θα ονομάζεται μια ακμή και 3-κλίκα ένας πλήρη γράφου K

144 Ορισμός Πλήρης διμερής γράφος K n,m καλείται ο γράφος που αποτελείται από δυο διακεκριμένα σύνολα κορυφών των οποίων κάθε κορυφή συνδέεται με όλες τις κορυφές της άλλης ομάδας. Η ομάδες των κορυφών αποτελούνται, η μεν πρώτη από m, ενώ η δεύτερη από n κορυφές. Σχήμα Πλήρης γράφος 6 κορυφών και ο πληρης διμερής γράφος 3 έναντι 4 κορυφών. Θεωρούμε τον ψευδογράφο G. Επιλέγεται ζεύγος κορυφών e i, e j, που δεν είναι υποχρεωτικά παρακείμενες. Αν υπάρχει σύνολο διαδοχικών ακμών του G, η πρώτη εκ των οποίων να έχει ένα άκρο στο e i και η τελευταία να έχει ένα άκρο στο e i τότε τα υποσύνολα E p και V p αποτελούν ένα υπογράφο P(V p,e p ) του G(V,E). Ορισμός Περίπατος καλείται μια ακολουθία ακμών, κάθε μια από αυτές έχει αρχή το τέλος της προηγούμενής της, εκτός από την πρώτη. Η τελευταία ακμή της ακολουθίας καταλήγει σε μια κορυφή που καλείται καταληκτική. Ορισμός O υπογράφος P(V p,e p ) καλείται διαδρομή (path) από το e i στο e j. Στη διαδρομή κάθε ακμή συμμετέχει μια μόνο φορά, αλλά δεν ισχύει το ίδιο για τις κορυφές. Η διαδρομή απαντάται στην ελληνική βιβλιογραφία και ως «μονοπάτι» ή «ίχνος». Ορισμός Μονοπάτι (trail) είναι μια διαδρομή στην οποία κάθε κορυφή συμμετέχει μια μόνο φορά. 143

145 Σχήμα Παράδειγμα επίπεδου γράφου. Μπορείτε να δημιουργήσετε ένα ισόμορφο του οποίου οι ακμές δεν θα τέμνονται; Στο Σχήμα ένας περίπατος θα μπορούσε να είναι το σύνολο {α,v 1,θ,v 2,η,v 3,α,v 1,θ}. Μία διαδρομή θα μπορούσε να είναι το σύνολο {θ,v 2,η,v 3,α,v 1,θ,v 4,δ}. Τέλος, παράδειγμα μονοπατιού θα μπορούσε να είναι το σύνολο {η,v 3,α,v 1,θ,v 4,δ}. Ορισμός To μήκος διαδρομής εκφράζει τον αριθμό των ακμών που περιλαμβάνει. Ορισμός Ένας ψευδογράφος καλείται συνεκτικός (connected), αν κάθε ζεύγος κορυφών του v i, v j μπορεί να συνδεθεί με μια διαδρομή. Ορισμός Απόσταση dist(v i, v j ) δυο κορυφών v i και v j καλείται το μήκος της διαδρομής με το μικρότερο μήκος (μήκος συντομότερου μονοπατιού από τη v i στη v j λέγεται και «γεωδεσιακό μονοπάτι». Ορισμός «Κλειστή διαδρομή» καλείται μια διαδρομή της οποίας η αρχή και το τέλος συμπίπτουν στην ίδια κορυφή. Ορισμός Κύκλωμα είναι μια διαδρομή που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: (α) Είναι κλειστή διαδρομή. β) Σε ένα κύκλωμα είναι δυνατό μία ή περισσότερες κορυφές να επαναλαμβάνονται. Ορισμός Κύκλος είναι ένα κύκλωμα που ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη: Καμία κορυφή της διαδρομής δεν επαναλαμβάνεται (κλειστό μονοπάτι). Να σημειωθεί ότι κάθε κύκλος είναι κύκλωμα, ενώ κάθε κύκλωμα δεν είναι απαραίτητα κύκλος. 144

146 Για παράδειγμα θεωρούμε τον ψευδογράφο του Σχήματος Σχήμα Ψευδογράφος. Στο Σχήμα διακρίνεται μια διαδρομή, στο Σχήμα ένα κύκλωμα και στο Σχήμα ένας κύκλος. Σχήμα Διαδρομή. 145

147 Σχήμα Κύκλωμα. Σχήμα Κύκλος Δένδρα Τα σύνολα των κορυφών και των ακμών που συνθέτουν έναν γράφο δεν είναι διατεταγμένα σύνολα. Η αναφορά των στοιχείων αυτών θα μπορούσε να γίνει με διάφορους τρόπους, αρκεί στις διατάξεις να μην επαναλαμβάνονται στοιχεία των συνόλων. Με τον όρο «ανίχνευση» θα αναφερόμαστε στο εξής στον τρόπο με τον οποίο τοποθετούμε σε ακολουθίες τις κορυφές ενός γράφου. Σε ό,τι ακολουθεί στη συνέχεια, θα αφορά μια ειδική κατηγορία γράφων που καλούνται δένδρα. Ορισμός Δένδρο (tree) είναι ένα συνεκτικός γράφος, στο οποίο δεν υπάρχουν απλά κυκλώματα. Στην επιστήμη των υπολογιστών δένδρα καλούνται οι δομές δεδομένων που έχουν διάταξη δένδρου (ή δενδροειδή μορφή). Τα δένδρα είναι άκυκλοι συνδεδεμένοι γράφοι, ενώ δάσος είναι ένας γράφος που έχει ως συνιστώσες δένδρα. 146

148 Η μορφή των δένδρων είναι ισχυρά συσχετιζόμενη με το πλήθος n των κορυφών του γράφου. Στο Σχήμα παρουσιάζονται δένδρα με n κορυφές, όπου n=1,2,3 και 4. Σχήμα Δένδρα. Σημείωση Υπάρχει μια διαδεδομένη χρήση του όρου «γενεαλογικό δένδρο», για την περιγραφή της γενεαλογικής εξέλιξης. Πρόκειται για εσφαλμένη χρήση του όρου, καθώς φαίνεται ότι όλοι μας κάπου στο βάθος του χρόνου έχουμε κοινούς προγόνους. Αυτή η διαπίστωση οδηγεί στην ύπαρξη απλών κύκλων στον γράφο της γενεαλογικής μας εξέλιξης. Πράγματι, σε έναν γράφο, όπου οι ακμές παριστούν τη σχέση γονέα-παιδιού, παρατηρούμε ότι ένα άτομο έχει δυο γονείς, καθένας από τους οποίους έχει δυο γονείς κ.ο.κ. Έτσι, το άτομο αυτό έχει 2 n προγόνους. Αν όλοι αυτοί ήταν διαφορετικοί, θα έπρεπε πριν από 60 γενεές, δηλαδή το 210 μ.χ. ένας μόνο σημερινός κάτοικος του πλανήτη μας, να έχει περίπου 2 60 = προγόνους. Επειδή δε η συνολική επιφάνεια (συμπεριλαμβανόμενων και των υδάτινων επιφανειών) του πλανήτη μας είναι μόλις , είναι προφανές ότι δεν θα είχαν τόπο να σταθούν. Με βάση τον ορισμό του δένδρου, οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: Τ είναι δένδρο. Κάθε ζεύγος κορυφών του Τ συνδέεται με μοναδική απλή διαδρομή. Το Τ είναι συνεκτικός γράφος και το πλήθος των ακμών του είναι κατά μια μονάδα μικρότερος του πλήθους των κορυφών του Δένδρα με Αφετηρία Ένα δένδρο με αφετηρία είναι ένα δένδρο του οποίου μια κορυφή έχει ονομαστεί αφετηρία, ή ρίζα. Σχήμα Η κορυφή είναι μια ενώ τα φύλλα μπορει να είναι περισσότερα του ενός. 147

149 Σε κάθε ακμή ενός δένδρου διακρίνουμε την κορυφή που βρίσκεται πλησιέστερα προς τη ρίζα και την κορυφή που βρίσκεται μακρύτερα. Η πρώτη καλείται γονέας και η δεύτερη τέκνο. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.3.2, οι νοητές (γκρίζες) γραμμές στις οποίες βρίσκονται οι κορυφές ενός δένδρου θα καλούνται επίπεδα ή στοιβάδες. Σχήμα Γονείς και τέκνα. Σε κάθε διαδρομή οι κορυφές που προηγούνται μιας κορυφής καλούνται πρόγονοι, ενώ όσες έπονται καλούνται απόγονοι. Οι κορυφές όπου καταλήγει μια διαδρομή, χωρίς τη δυνατότητα να επεκταθεί άλλο, καλούνται φύλλα του δένδρου. Το ύψος μιας κορυφής είναι ο αριθμός των προγόνων της, συμπεριλαμβανόμενης και της ρίζας του δένδρου. Το ύψος της ρίζας είναι 0. Ορισμός Δυαδικό (binary) καλείται ένα δένδρο του οποίου κάθε κορυφή έχει το πολύ δυο τέκνα. Δυαδικά δένδρα χρησιμοποιούνται στην ανάλυση σύνθετων εξελικτικών μοντέλων. Το επόμενο παράδειγμα αφορά τη χρήση δυαδικού δένδρου για την ανάλυση ενός αγώνα volley ball. Παράδειγμα Θεωρούμε δυο ομάδες Α και Β. Στο δένδρο που εμφανίζεται στο Σχήμα 5.3.3, Α σημαίνει ότι η ομάδα Α επικράτησε της Β στο σετ. Το δένδρο ξεκινά με την επικράτηση στο 1ο σετ της ομάδας Α. 148

150 Σχήμα Η έκβαση των αγώνων δηνιουργεί δυαδικό δένδρο. Ο αριθμός των πράσινων καταληκτικών κορυφών (φύλλων) του δυαδικού γράφου δίνει το σύνολο των νικηφόρων για την Β ομάδα εκβάσεων του αγώνα, υπό την προϋπόθεση ότι η ομάδα αυτή επικράτησε της Α στο πρώτο set. Το σύνολο διατάξεων των 3 έως 5 set για τελική επικράτηση της ομάδας Β (ανεξάρτητα της έκβασης του πρώτου set είναι 10. Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει και ως συνδυασμός των 3 set από 5 που μπορεί να διαρκέσει ένα αγώνας volley. Το δυαδικό δένδρο του Σχήματος απαντά και σε άλλα ερωτήματα, όπως: Πόσοι τρόποι υπάρχουν ώστε να νικήσει η ομάδα Β σε τέσσερα set, εφόσον επικρατήσει στο πρώτο από αυτά; (Μετρήστε τις πράσινες κορυφές επιπέδου 2). Πόσοι τρόποι υπάρχουν ώστε να νικήσει η ομάδα Β σε τέσσερα set, χωρίς συνθήκη για την έκβαση του πρώτου set; (Μετρήστε όλες τις κορυφές επιπέδου 2). Παράδειγμα Τα κοινά γράμματα του ελληνικού και του λατινικού αλφαβήτου που χρησιμοποιεί το Υπουργείο Επικοινωνιών και Μεταφορών στις πινακίδες κυκλοφορίας των αυτοκινήτων είναι 14. Οι πινακίδες αποτελούνται από «λέξεις» τριών γραμμάτων και τετραψήφιους αριθμούς. Θα υπολογίσουμε τον αριθμό των οχημάτων που μπορούν να κυκλοφορήσουν με άδεια από το συγκεκριμένο υπουργείο. Θέτουμε καταχρηστικά μια επιπλέον συνθήκη «δεν χρησιμοποιούνται γράμματα ή αριθμοί με διαδοχική επανάληψη». Τη συνθήκη αυτή χρησιμοποιούμε για να απεικονίσουμε το πρόβλημα με δένδρο. Για τον σκοπό αυτόν απαιτούνται δυο δένδρα. Το πρώτο αφορά τις «λέξεις» και γι αυτό έχει τρία επίπεδα πέραν του μηδενικού. Το δεύτερο έχει τέσσερα επίπεδα πέραν του μηδενικού και θα χρησιμοποιηθεί για τη σύνθεση των αριθμών: Το πρώτο δένδρο έχει: Στο 1ο επίπεδο 14 γράμματα. Στο 2ο επίπεδο 13 γράμματα ως τέκνα κάθε γονέα του 1ου επιπέδου. στο 3ο επίπεδο 13 γράμματα ως τέκνα κάθε γονέα του 2ου επιπέδου. 149

151 Το δεύτερο δένδρο έχει: Στο 1ο επίπεδο 9 αριθμούς (αποκλείεται το 0). Στο 2ο επίπεδο 9 αριθμούς (αποκλείονται αριθμοί/τέκνα ίσα με τους αριθμούς/γονείς). Στο 3ο επίπεδο 9 αριθμούς (αποκλείονται αριθμοί/τέκνα ίσα με τους αριθμούς/γονείς). Στο 4ο επίπεδο 9 αριθμούς (αποκλείονται αριθμοί/τέκνα ίσα με τους αριθμούς/γονείς). Η διαδοχική ανάπτυξη των δυο δένδρων δίνει ένα δένδρο 8 επιπέδων με συνολικό αριθμό καταληκτικών κορυφών (φύλλων) που είναι Παράδειγμα Οι αριθμητικές πράξεις εκτελούνται με προτεραιότητα στους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις. Μια έκφραση της μορφής α+(b c)]-[(c/d)+ε +[(e f) g], γίνεται αντιληπτή από τη μηχανή όταν γραφεί. α+b c- (c/d+e+e f e. Η μορφή αυτή δημιουργεί έναν γράφο μεθόδου (process graph). Οι γράφοι μεθόδου χρησιμοποιούνται για την παρακολούθηση του σφάλματος στρογγυλοποίησης, όπως αυτό εξελίσσεται (διαχέεται) κατά την εκτέλεση μιας ακολουθίας πράξεων του δυαδικού συστήματος στους επεξεργαστές. Το Σχήμα παριστάνει τον γράφο μεθόδου για την παράσταση που αναφέρεται εδώ. Σχήμα Δυαδικό δένδρο αναπαράστασης αλγεβρικής έκφρασης Κώδικες Huffman Δυαδικά δένδρα με αφετηρία χρησιμοποιούνται στη δημιουργία κωδικοποιημένων μηνυμάτων. Για να μετατραπεί ένα κείμενο σε δυαδικό ψηφιακό κώδικα, αρκεί η χρήση πενταψήφιων δυαδικών αριθμών για κάθε αλφαριθμητικό στοιχείο. Για παράδειγμα θα μπορούσε να τεθεί για το Α, για το Β κ.ό.κ. Αν ληφθούν υπόψη και τα σημεία στίξης, καθώς και τα λοιπά σύμβολα που χρησιμοποιούνται στη γραπτή επικοινωνία, φαίνεται ότι οι πενταψήφιοι αριθμοί του δυαδικού συστήματος αρίθμησης δεν επαρκούν. Οι 150

152 αριθμοί με έξι ψηφία είναι πολλοί περισσότεροι από όσους πραγματικά χρειαζόμαστε. Αν χρησιμοποιηθούν αριθμοί με έξι ψηφία, θα δαπανηθεί μεγάλη έκταση της μνήμης χωρίς λόγο. Αυτή η παρατήρηση οδήγησε στη δημιουργία των κωδίκων Huffman που αφορούν το λατινικό αλφάβητο. Οι κώδικες αυτοί κάνουν χρήση δυαδικών δένδρων και για παράδειγμα χρησιμοποιούμε το δένδρο του Σχήματος Σχήμα Αναπαράσταση πρότασης με κώδικα Huffman. Το υποτυπώδες αλφάβητο που χρησιμοποιείται στο παράδειγμα έχει 5 γράμματα. Η παράσταση των γραμμάτων αυτών δεν μπορεί να γίνει με διψήφιους αριθμούς γιατί το σύνολό τους είναι 2 2 =4 και δεν επαρκούν για να αντιστοιχηθούν τα 5 γράμματα του αλφαβήτου στο παράδειγμα. Αν χρησιμοποιηθούν τριψήφιοι αριθμοί του δυαδικού συστήματος αρίθμησης, θα έχουμε 2 3 =8 διαθέσιμα στοιχεία για 5 μόνο γράμματα του αλφάβητου. Ο Hoffman πρότεινε να περιοριστεί η χρήση θέσεων μνήμης (bits) με την αντιστοίχηση ψηφιακών αριθμών διαφορετικού μήκους. Όπως φαίνεται στον Πίνακα στα γράμματα Α και Ε αντιστοιχούνται διψήφιοι αριθμοί, ενώ στα γράμματα Λ, Ν, Η και Ι τριψήφιοι. Οι αριθμοί αυτοί προκύπτουν από τη σειρά που έχουν στις διαδρομές του δένδρου (από τη ρίζα στα φύλλα). Έτσι, έχουμε τον Πίνακα Πίνακας Ηαντιστοίχιση της αλάβητου με αριθμούς του δυαδικού συστήματος Α 01 Ε 00 Λ 100 Ν 101 Η 110 Ι 111 Ένα σημαντικό πλεονέκτημα της χρήσης δυαδικού δένδρου είναι ότι δεν χρειάζεται να χρησιμοποιηθούν κενά μεταξύ των γραμμάτων ή ακόμα και μεταξύ των λέξεων. Η λέξη ΛΕΝΑ αντιστοιχεί στην ακολουθία ψηφίων Επιπλέον, χάρη στο δένδρο η αποκωδικοποίηση είναι απλή: Η ανάγνωση αρχίζει με 1, συνεχίζει με 0 ακολουθώντας τον κλάδο και στη συνέχεια 1. Επειδή εκεί υπάρχει φύλλο, καταχωρεί το γράμμα Λ. Επιστρέφει στη ρίζα του δένδρου για να ακολουθήσει άλλες ή τις ίδιες διαδρομές, σύμφωνα με τα ψηφία που αναγνωρίζει. 151

153 Για να κατασκευαστούν πλέον εύχρηστοι κώδικες, γίνεται χρήση δυαδικών δένδρων με βάρη στα φύλλα τους (weighted binary trees). Τα βάρη στα φύλλα εκφράζουν ένα μετρήσιμο μέγεθος σχετικό με το φυσικό πρόβλημα που θα απεικονιστεί. Έστω Τ ένα δυαδικό δένδρο με βάρη στα φύλλα w 1, w 2, w 3,..., w n. Το συνολικό βάρος του Τ προκύπτει από τη σχέση h 1 w 1 +h 2 w 2 +h n w n, όπου οι αριθμοί h 1, h 2,..., h n δηλώνουν τα επίπεδα που βρίσκονται τα φύλλα. Αν στο Σχήμα προσαρτήσουμε βάρη στα φύλλα, προκύπτει το δυαδικό δένδρο με βάρη του Σχήματος Σχήμα Στο δυαδικόδένδρο έχουν σημειωθεί οι συχνότητες εμφάνισης των γραμμάτων, ώστε γράμματα με μεγαλύτερη συχνότητα να βρίσκονται σε προηγούμενη γενεά από εκείνη των γραμμάτων με μικρότερη συχνότητα εμφάνισης στα κειμενα. Το δυαδικό δένδρο του σχήματος κωδικοποιεί την πρόταση ΑΝΝΑ ΛΕΕΙ Η ΛΕΝΑ. Στην πρόταση αυτή τα γράμματα Η και Ι εμφανίζονται με μικρότερη συχνότητα, ενώ τα γράμματα Α, Ν, Ε και Λ με μεγαλύτερη. Η χρήση των γραμμάτων με μεγαλύτερη συχνότητα σε φύλλα επιπέδου 2 εξοικονομεί μεγαλύτερο μέρος της μνήμης αποθήκευσης. Η διαδικασία κωδικοποίησης κειμένου με χρήση δυαδικού δένδρου με βάρη, συνοψίζεται ως εξής: υπολογίστε τη συχνότητα για κάθε αλφαριθμητικό χαρακτήρα. Κατασκευάστε το δυαδικό δένδρο ελαχίστου βάρους, του οποίου τα φύλλα έχουν τις υπολογισμένες συχνότητες ως βάρη. Στη συνέχεια παρατίθεται αλγόριθμος για το βήμα 2. Αλγόριθμος Κατασκευή Δυαδικού Δένδρου Ελάχιστου Βάρους με Αφετηρία για n Βάρη. Προσαρτήστε n βάρη σε n απομονωμένες κορυφές v 1, v 2, v 3,..., vn. Αν δεν υπάρχουν τουλάχιστον δυο κορυφές με προσαρτημένα βάρη ο έλεγχος στο βήμα 4 Επιλέξτε δυο κορυφές με τα μικρότερα βάρη Ονομάστε τις κορυφές v 1 και v 2 και τα βάρη τους w 1, w 2 αντίστοιχα. Προσθέστε μια νέα κορυφή v n+1 και συνδέστε την με τις κορυφές v 1 και v 2 Προσαρτήστε βάρος w 1 +w 2 στην v n+1 και απαλείψτε αυτά τα βάρη από τις κορυφές v 1 και 152

154 v 2. Ο έλεγχος στο βήμα 2. Ονομάστε την τελευταία κορυφή που αριθμήθηκε «αφετηρία», απαλείψτε το βάρος της και επαναπροσαρτήστε στις αρχικές n κορυφές τα βάρη τους. Παράδειγμα Κατασκευάστε ένα δυαδικό δένδρο ελαχίστου βάρους για τα βάρη 1, 3, 5, 6, 8, 9, 14. Απάντηση Γίνονται 6 επαναφορές στο βήμα 3, όπως φαίνονται στο Σχήμα Στην τελευταία αναπαράσταση του δένδρου γίνεται ανασχεδιασμός για να φαίνεται καλύτερα η διαφορά των υψών. Σχήμα Στο 4ο βήμα επιλέχτηκαν οι κορυφές με βάρη 6 και 8 επειδή το άθροισμά τους είναι μικρότερο από το άθροισμα των κορυφών με βάρη 9 και

155 Σχήμα Η τελική διαμόρφωση του δένδρου ελάχιστου βάρους. Διαδραστικό Αντικείμενο Κατασκευή δυαδικού δένδρου ελάχιστου βάρους. Δυαδικό δένδρο ελαχίστου βάρους Το εν λόγω διαδραστικό αντικείμενο είναι διαθέσιμο από τον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων. Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού Ανιχνεύσεις Δένδρων Για την ιεραρχική διαμόρφωση δομών βάσεων δεδομένων συχνά χρησιμοποιούνται δένδρα. Τέτοιου του είδους δομές δεδομένων έχουν ανάμεσα σε άλλα πλεονεκτήματα και εκείνο της αυτόματης εναπόθεσης νέων δεδομένων, όταν είναι γνωστός ο «γονέας». Οι «ανιχνεύσεις δένδρων» (tree search) εξυπηρετούν την «ανάσυρση δεδομένων» (data retrieval), καθώς λειτουργούν με συγκεκριμένες ροές εντολών (αλγόριθμους). Ορισμός Ανίχνευση δένδρου με αφετηρία είναι η καταγραφή των κορυφών του με συγκεκριμένη σειρά. Παρατίθενται στη συνέχεια πέντε (5) διαδικασίες ανίχνευσης δένδρων. Πρώτη ανίχνευση σε βάθος. Πρώτη ανίχνευση σε πλάτος. Προδιατεταγμένη ανίχνευση δυαδικού δένδρου. Διατεταγμένη ανίχνευση δυαδικού δένδρου. Προϋπόθεση για τη λειτουργία αυτών των ανιχνεύσεων είναι να συμπίπτει η ρίζα με την αφετηρία ανίχνευσης. 154

156 Πρώτη Ανίχνευση σε Βάθος Στο Σχήμα οι κορυφές αριθμούνται από την αφετηρία προς τα κάτω, μέχρι να αριθμηθεί το πρώτο φύλλο που βρίσκεται στον αριστερό κλάδο. Στη συνέχεια, επιστρέφει ο έλεγχος στην πρώτη διακλάδωση, για να κατέβει ακολουθώντας την αριστερή διαδρομή που δεν έχει ακολουθήσει προηγούμενα και μέχρι την καταληκτική κορυφή (φύλλο) αυτής. Επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία, μέχρι να εξαντληθούν όλοι οι κλάδοι (διαδρομές). Σχήμα Οι κορυφές αριθμούνται από την αφετηρία προς τα κάτω. Η καταγραφή της ανίχνευσης εξαρτάται από τον τρόπο σχεδίασης του δένδρου. Στο Σχήμα

157 Σχήμα Καταγραφή της ανίχνευσης. Απεικονίζεται το ισόμορφο του δένδρου στο Σχήμα 5.5.1, που έχει σχεδιαστεί με διαφορετικό τρόπο. Πρώτη Ανίχνευση κατά Πλάτος Στην ανίχνευση κατά πλάτος η καταγραφή των κορυφών γίνεται με εξάντληση των κορυφών κάθε γενεάς (από αριστερά προς τα δεξιά) αρχίζοντας από τη ρίζα-αφετηρία και συνεχίζοντας με τις κορυφές της πρώτης γενεάς. Ακολουθεί η καταγραφή των κορυφών από αριστερά προς τα δεξιά των επόμενων γενεών μέχρι την εξάντλησή των. Όπως και στην πρώτη ανίχνευση σε βάθος, έτσι και εδώ ο τρόπος σχεδιασμού του δένδρου είναι καθοριστικός. Η σύγκριση των δυο μεθόδων ανίχνευσης φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα. 156

158 Σχήμα Οι επιλογές κίνησης καταγράφονται σε κάθε επίπεδο του δένδρου: αριστερά (α), εμπρός (ε), δεξιά (δ). Η διέλευση του λαβύρινθου απαιτεί μια σειρά από αποφάσεις προσδιορισμού της πορείας. Η επιλογή μπορεί να είναι μια από τις δυνατότητες κατεύθυνσης δεξιά (Δ), ευθεία (Ε) και αριστερά (Α). Η έξοδος από τον λαβύρινθο προϋποθέτει δυο επιλογές αριστερά και καμία άλλη επιλογή μετά από αυτές. Παρατηρείται εδώ ότι μια πρώτη ανίχνευση σε βάθος οδηγεί σε αδιέξοδο. Στη συνέχεια, θα επιστρέψει κανείς πίσω στον πρώτο κόμβο αποφάσεων, για να οδηγηθεί και πάλι σε αδιέξοδο. Σε αντίθεση με την πρώτη ανίχνευση σε βάθος, η πρώτη ανίχνευση κατά πλάτος, εξαντλεί σε κάθε γενεά τις περιπτώσεις, και έτσι η έξοδος γίνεται σε μικρότερο χρόνο. Στην περίπτωση του Σχήματος η πρώτη ανίχνευση σε πλάτος δίνει (αφετηρία), Α, Δ, Ε, Α, (έξοδος) Η διαφορά του χρόνου ολοκλήρωσης μεταξύ των δυο ανιχνεύσεων φαίνεται στο δένδρο του Σχήματος Θα πρέπει να σημειωθεί ότι και σε αυτήν την περίπτωση η ταχύτητα υπολογισμών εξαρτάται από τη σχεδίαση του δένδρου. Προδιατεταγμένη Ανίχνευση Δυαδικού Δένδρου Ο βασικός κανόνας για την προδιατεταγμένη ανίχνευση δένδρου είναι: ΑΦΕΤΗΡΙΑ-ΑΡΙΣΤΕΡΑ-ΔΕΞΙΑ. Η εφαρμογή του κανόνα γίνεται στο Σχήμα Σχήμα Για διαμορφωθεί το συγκεκριμένο δένδρο, το τέκνο κάθε κορυφής βαθμού δύο, τοποθετείται είτε δεξιά είτε αριστερά κάτω από τον γονέα στην γενεά του. Στο Σχήμα η κορυφή 1 είναι αριστερή κορυφή ενώ η 10 είναι δεξιά κορυφή. Ο κανόνας ΑΦΕΤΗΡΙΑ-ΑΡΙΣΤΕΡΑ-ΔΕΞΙΑ, εφαρμόζεται ως εξής: Καταχώρηση της Αφετηρίας 157

159 Ο έλεγχος μεταφέρεται αριστερά. Η αριστερή κορυφή θεωρείται ως αφετηρία του υπογράφου που βρίσκεται από την κορυφή αυτή και στις επόμενες γενεές. Εφαρμογή του κανόνα ΑΦΕΤΗΡΙΑ-ΑΡΙΣΤΕΡΑ-ΔΕΞΙΑ μέχρι την καταχώρηση των καταληκτικών κορυφών. Διαδραστικό Αντικείμενο Ανιχνεύσεις δένδρων. Παρακολουθήστε την εφαρμογή της προδιατεταγμένης ανίχνευσης Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο αλγόριθμος αυτής της εφαρμογής (στο δένδρο του Σχήματος 5.5.4). Κορυφή (30). Καταγράφεται ως αφετηρία. Κορυφή (12). Μεταφορά του ελέγχου αριστερά. Εφαρμογή του κανόνα στο δένδρο με κορυφή (12). Κορυφή (02). Κίνηση αριστερά. Εφαρμογή του κανόνα στο δένδρο με κορυφή (02). Κορυφή (01). Καταγραφή της κορυφής (1) Σημ. Ολοκληρώθηκε η καταγραφή του αριστερού κλάδου. Ο έλεγχος επιστρέφει στην κορυφή (12) και από εκεί δεξιά. Κορυφή (11). Καταγράφεται ως αφετηρία του υποκείμενου δένδρου. Κορυφή (09). Μεταφορά του ελέγχου αριστερά. Κορυφή (03). Μεταφορά του ελέγχου αριστερά. Κορυφή (08). Μεταφορά του ελέγχου δεξιά της κορυφής (09). Κορυφή (07). Κορυφή (06). Κορυφή (04). Κορυφή (05). Ολοκλήρωση καταγραφής της αριστερής πλευράς του υπογράφου με ρίζα την κορυφή (11). Κορυφή (10). Μεταφορά του ελέγχου στην κορυφή (30) και μεταφορά του ελέγχου στη δεξιά διαδρομή. Κορυφή (29). Κορυφή (17). Κορυφή (16). Κορυφή (13). Κορυφή (13). Κορυφή (15). Κορυφή (14). Ολοκλήρωση καταγραφής της αριστερής πλευράς του υπογράφου με ρίζα την κορυφή (29). Κορυφή (28). Κορυφή (26). Κορυφή (25). Κορυφή (21). Κορυφή (23). Κορυφή (27). Διατεταγμένη Ανίχνευση Δυαδικού Δένδρου Ο μνημονικός κανόνας της διατεταγμένης ανίχνευσης δυαδικού δένδρου είναι ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΑΦΕΤΗΡΙΑ ΔΕΞΙΑ. Σε αυτήν την περίπτωση δεν καταγράφεται η αφετηρία πριν την ολοκλήρωση καταγραφής του δένδρου, που υπόκειται της κορυφής στην γενεά 1. Ακολουθεί καταγραφή της διατεταγμένης ανίχνευσης του δένδρου στο Σχήμα Κορυφή (30). Δεν καταγράφεται ως αφετηρία η κορυφή (30). Κορυφή (01). Μεταφορά του ελέγχου στην αριστερή κορυφή (01). Κορυφή (02). Καταγράφεται η (01). Δεν υπάρχει δεξιά κορυφή. Κορυφή (12). Καταγράφεται η (12). Μεταφορά του ελέγχου δεξιά. Δεν καταγράφεται η (11). Μεταφορά του ελέγχου αριστερά. Δεν καταγράφεται η (09). Κορυφή (03). 158

160 Κορυφή (09). Μεταφορά του ελέγχου δεξιά της (09). Δεν καταγράφεται η (08). Μεταφορά του ελέγχου αριστερά της (08). Κορυφή (07). Δεν υπάρχει αριστερά κορυφή σε επόμενη γενεά μετά την (07). Καταγράφεται ως αφετηρία. Μεταφορά του ελέγχου δεξιά της. Δεν καταγράφεται η (06). Κορυφή (04). Μεταφορά του ελέγχου αριστερά. Κορυφή (06). Αφετηρία Κορυφή (05). Μεταφορά του ελέγχου δεξιά. Επειδή εξαντλήθηκε ο υπογράφος-δένδρο αριστερά καταγράφεται η κορυφή (08). Κορυφή (08). Κορυφή (11). Κορυφή (10). Κορυφή (30). Καταγραφή της 30. Ο έλεγχος μεταφέρεται δεξιά. Κορυφή (13). Κορυφή (16). Κορυφή (14). Κορυφή (15). Κορυφή (17). Κορυφή (29). Κορυφή (18). Κορυφή (20). Κορυφή (19). Κορυφή (18). Κορυφή (21). Κορυφή (25). Κορυφή (22). Κορυφή (24). Κορυφή (23). Κορυφή (26). Κορυφή (28). Κορυφή (27). Μεταδιατεταγμένη Ανίχνευση Δυαδικού Δένδρου. Η εφαρμογή είναι η ίδια. Σε αυτή την περίπτωση ο μνημονικός κανόνας είναι: ΑΡΙΣΤΕΡΑ-ΔΕΞΙΑ-ΑΦΕΤΗΡΙΑ Καταγράφετε την αφετηρία στο τέλος. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η ανίχνευση του δυαδικού δέντρου που αφορά διαδικασία εκτέλεσης αλγεβρικών πράξεων. Η προδιατεταγμένη ανίχνευσή αποδίδει τον πολωνικό εξοπλισμό. Η διατεταγμένη ανίχνευση αποδίδει τον προκαθορισμένο συμβολισμό (infix notation), η οποία είναι η συνήθης σειρά εκτέλεσης αλγεβρικών πράξεων με τη βοήθεια παρενθέσεων. Η μεταδιατεταγμένη ανίχνευση δίνει τον αντίστροφο πολωνικό συμβολισμό. Ακολουθεί η καταγραφή των τριών ανιχνεύσεων που αφορούν το Σχήμα

161 Σχήμα Προδιατεταγμένη ανίχνευση: +-+a bc+/cde efg. Διατεταγμένη ανίχνευση: a+b c-c/d+e+e f g. Αυτή είναι η τάξη στην οποία τα σύμβολα είναι συνήθως καταγραμμένα στην άλγεβρα, αλλά χωρίς παρενθέσεις. Μεταδιατεταγμένη ανίχνευση: abc +cd/e+-ef g +. Αυτή είναι η τάξη με την οποία πρέπει να εισάγετε τις ποσότητες και τα σύμβολα των πράξεων για να κάνετε τους υπολογισμούς σε έναν υπολογιστή, που χρησιμοποιεί τον αντίστροφο πολωνικό συμβολισμό. Ακριβέστερα, πρέπει να εισάγετε τα εξής: a, enter, b, entar, c,, +, c, enter, d, /, e, a, enter, f,,g,,+. Η κλείδα "enter" πρέπει να χρησιμοποιηθεί τέσσερις φορές για να ενημερώσει τον υπολογιστή πότε ένας αριθμός τελειώνει και αρχίζει ο επόμενος Γράφοι του Euler Ένας περιοδεύων πωλητής ή ένας ταχυδρομικός διανομέας επισκέπτεται τα σπίτια σε μια γειτονιά. Καθώς κινείται από πόρτα σε πόρτα αναρωτιέται αν υπάρχει τρόπος να μη διανύει τμήματα της διαδρομής δυο ή περισσότερες φορές, μέχρι να επισκεφθεί όλες τις πόρτες τις γειτονιάς. Μια σειρά από ερωτήματα μπορεί να προκύψουν από τον προβληματισμό αυτόν. Αν το σημείο εισόδου στη γειτονιά διαφέρει από το σημείο εξόδου, τότε ο περιοδεύων πωλητής διανύει μια διαδρομή. Διακρίνονται οι ακόλουθες δυνατότητες: Να περνά από όλες τις πόρτες μια φορά (διαγράφει διαδρομή Hamilton). Να περνά από κάποιες πόρτες δυο ή περισσότερες φορές (διαγράφει διαδρομή Euler). Αν το σημείο εισόδου ταυτίζεται με το σημείο εξόδου, τότε ο περιοδεύων πωλητής διανύει κύκλωμα. Διακρίνονται οι ακόλουθες δυνατότητες: Να περνά από όλες τις πόρτες μία φορά (κύκλωμα Hamilton). Να περνά από κάποιες πόρτες δυο ή περισσότερες φορές (κύκλωμα Euler). 160

162 Με αφετηρία αυτά τα ερωτήματα, ανακύπτουν και άλλα ιδιαίτερα ενδιαφέροντα ερωτήματα, όπως: ποια είναι η συντομότερη διαδρομή που θα μπορούσε να κάνει ο περιοδεύων πωλητής, πριν καταλήξει στο σημείο όπου τελειώνει τη διανομή; Τα ερωτήματα που περιγράφηκαν παραπάνω αφορούν τη συγκεκριμένη δραστηριότητα. Ανάλογα ερωτήματα προκύπτουν σε πάρα πολλές λειτουργίες ατόμων ή επιχειρήσεων και οργανισμών, που απεικονίζονται με τη βοήθεια γράφων. Ο Leonard Euler ( ) ασχολήθηκε με μια σειρά παρεμφερών προβλημάτων, για να καταλήξει σε μια σειρά από προτάσεις που απαντούν σε ερωτήματα όπως εκείνα του περιοδεύοντος πωλητού. Αναφέρεται στη βιβλιογραφία ότι ο Euler έστρεψε την προσοχή του στο συγκεκριμένο πρόβλημα με αφορμή έναν γρίφο που αναφερόταν στις γέφυρες της πόλης Königsberg. Σχήμα Αποτύπωση του γράφου που αναπαριστά τον περίπατο στο Königsberg. Ο γρίφος που απασχόλησε τότε τους κατοίκους του Königsberg αφορούσε την ανακάλυψη μιας διαδρομής που θα επέτρεπε σε έναν περιπατητή να διέλθει από όλες τις γέφυρες της πόλης, χωρίς όμως να περάσει δυο φορές από κάποια ή κάποιες από αυτές. Στον γράφο που αντιπροσωπεύει τις διαδρομές, το πρόβλημα περιγράφηκε ως το πρόβλημα εύρεσης της διαδρομής που περνά από όλες τις ακμές. Ο Euler κατάληξε σε μια σειρά από προτάσεις που δίνουν απάντηση σε ερωτήματα αυτού του τύπου. Για να παρουσιαστούν οι προτάσεις, είναι χρήσιμο να οριστεί μια σειρά από έννοιες. Ορισμός Διαδρομή Euler (Euler path) καλείται η διαδρομή της οποίας όλες ακμές εμφανίζονται ακριβώς μία φορά. Ορισμός Σε ένα γράφο G, κύκλος του Euler (Euler cycle) καλείται ο κύκλος στον οποίο κάθε κορυφή όπως και κάθε ακμή εμφανίζεται ακριβώς μία φορά. Για γράφημα G=({v},Ø) υποθέτουμε ότι υπάρχει κύκλος Euler μηδενικού μήκους. Στην περίπτωση αυτή ο κύκλος C είναι η κορυφή v. Παράδειγμα (Το Πρόβλημα του Κινέζου Ταχυδρόμου.). Το 1962, ένας κινέζος μαθηματικός ονομαζόμενος Khan Mei-Ko ήταν ταχυδρόμος διανομής αλληλογραφίας σε μια σειρά από δρόμους και ήθελε να ακολουθήσει τη διαδρομή που θα του εξασφάλιζε την ελάχιστη συνολική απόσταση. 161

163 Παρατηρούμε ότι εάν ένα γράφημα έχει 4 κορυφές μονού βαθμού, τότε δεν είναι δυνατόν να το διασχίσουμε χωρίς να επαναλαμβάνεται τουλάχιστον μία του πλευρά. Εάν ένα γράφημα έχει 2 κορυφές μονού βαθμού, τότε δεν είναι δυνατόν να το διασχίσουμε, αλλά η αρχή και το τέλος θα είναι διαφορετικές. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το ακόλουθο: Κορυφή Βαθμός a 3 b 4 c 4 d 3 e 2 Μια διαδρομή Euler είναι δυνατή, αν και μόνο αν κάθε κορυφή του γράφου είναι άρτιου βαθμού. Διαδραστικό Αντικείμενο Εντοπίστε διαδρομές ή κυκλώματα Euler. Δοκιμάστε μόνοι σας εδώ διαδρομές ή κυκλώματα Euler Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. Παράδειγμα Να προσδιοριστεί μια διαδρομή Euler στο ακόλουθο γράφημα: Κορυφή Βαθμός a 4 b 4 c 4 d 4 e 2 f 2 Για να προχωρήσουμε στη λύση του προβλήματος πρέπει να βρούμε έναν τρόπο για να συνδέσουμε τις κορυφές μονού βαθμού μεταξύ τους. Εάν υπάρχουν 2 κορυφές μονού βαθμού, τότε υπάρχει μόνο ένας τρόπος σύνδεσής τους 162

164 Εάν υπάρχουν 4 κορυφές μονού βαθμού, τότε υπάρχουν 3 τρόποι σύνδεσης μεταξύ τους. Όταν υπάρχουν παραπάνω κορυφές υπάρχει ένας πρακτικός αλγόριθμός με τον οποίο μπορούμε να βρούμε γρήγορα τον αριθμό των πιθανών τρόπων σύνδεσής τους. Αριθμός των κορυφών μονού βαθμού Αριθμός πιθανών τρόπων σύνδεσης = = =105 ν (ν-1) (ν-3)...1 Θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα για τη διευκόλυνσή μας. Στο παρακάτω παράδειγμα ένας ταχυδρόμος πρέπει, ξεκινώντας από το Α, να περπατήσει και τους 13 δρόμους και να επιστρέψει στη κορυφή Α. Οι αριθμοί σε κάθε άκρο αντιπροσωπεύουν το μήκος σε μέτρα από κάθε δρόμο. Το πρόβλημα είναι να βρεθεί ένα μονοπάτι που θα χρησιμοποιεί όλες τις άκρες της και θα έχει το ελάχιστο συνολικό μήκος. Για να βρούμε την ελάχιστή διαδρομή για τον κινέζο ταχυδρόμο πρέπει να περπατήσουμε κατά μήκος της κάθε ακμής τουλάχιστον μία φορά και επιπλέον να περπατήσουμε μία φορά παραπάνω τις κορυφές με μονό βαθμό. Ένας αλγόριθμος για την επίλυσή του κινέζου ταχυδρόμου είναι ο εξής: Αλγόριθμος (Κινέζου Ταχυδρόμου). Βήμα 1: καταγράφουμε όλες τις κορυφές με μονό βαθμό. Βήμα 2: καταγράφουμε όλα τα δυνατά ζευγάρια κορυφών μονού βαθμού. Βήμα 3: για κάθε ζευγάρι βρίσκουμε τις κορυφές που συνδέουν τις πλευρές με το ελάχιστο μήκος. Βήμα 4: βρίσκουμε τα ζεύγη των οποίων το άθροισμα είναι το ελάχιστο. Βήμα 5: στο αρχικό διάγραμμα προσθέτουμε τις ακμές που βρέθηκαν στο βήμα 4. Βήμα 6: το μήκος της βέλτιστης διαδρομής για τον κινέζο ταχυδρόμο είναι το άθροισμα όλων των ακμών προστιθέμενο στο σύνολο που βρέθηκε στο βήμα 4. Βήμα 7: μια διαδρομή που αντιστοιχεί σε αυτό το ελάχιστο μήκος είναι πλέον εύκολο να βρεθεί με την παρακάτω διαδικασία, εκτός από πολύπλοκα δίκτυα όπου μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο. -Βήμα Α: στο αρχικό διάγραμμα προσθέτουμε το τρόπο σύνδεσης των κορυφών με μονό βαθμό για να γίνει το Εurelian γράφημα. -Βήμα Β: φτιάχνουμε έναν πίνακα με τον βαθμό της κάθε κορυφής. Σε αυτό το στάδιο κάθε κορυφή θα έχει 163

165 ζυγό βαθμό. -Βήμα Γ: ο αριθμός των φορών που θα εμφανιστεί το κάθε άκρο σε ένα πρόβλημα κινέζου τηλεκατευθυνόμενου κινέζου θα είναι το ήμισυ του βαθμού του, με εξαίρεση την κορυφή (έναρξη και λήξη) η οποία θα εμφανιστεί μία επιπλέον φορά. Εφαρμογή αλγόριθμου στο παράδειγμά μας. Θα φτιάξουμε έναν πίνακα, για να διαπιστώσουμε αν πρόκειται για ανοιχτή διαδρομή ή απλά διαδρομή Euler συμφώνα με τα παραπάνω. Κορυφή Βαθμός a 3 b 4 c 4 d 4 e 2 f 4 g 2 h 3 Εφόσον υπάρχουν οι κορυφές (A και H) με μονό βαθμό, το πρόβλημα είναι ανοιχτή διαδρομή Euler. Βήμα 1: οι κορυφές με μονό βαθμό όπως είδαμε παραπάνω είναι Α και Η. Βήμα 2: υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να ενώσουμε αυτές τις 2 κορυφές, η διαδρομή ΑΗ. Βήμα 3-4: η διαδρομή με τη συνολικά μικρότερη απόσταση για να τη διανύσουμε είναι ΑΒ,ΒF,FH με συνολικό μήκος 160 μέτρων. Βήμα 5: Βήμα 6: το μήκος της βέλτιστης διαδρομής είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του αρχικού δικτύου, το οποίο είναι 840 μέτρα καθώς επίσης και η απάντηση του βήματος 4 που είναι 160 μέτρα. Επομένως το μήκος της βέλτιστης διαδρομής για τον κινέζο ταχυδρόμο είναι μέτρα. Βήμα 7: μια πιθανή διαδρομή είναι η ADCGHCABDFBEFHFBA. -Βήμα Α: 164

166 -Βήμα Β: Κορυφή Βαθμός a 4 b 6 c 4 d 4 e 2 f 6 g 2 h 4 -Βήμα Γ: Ο αριθμός όπου θα εμφανιστεί κάθε κορυφή για τη λύση του προβλήματος είναι: Κορυφή Βαθμός a 3 b 3 c 2 d 2 e 1 f 3 g 1 h 2 165

167 Ο αριθμός των κορυφών που θα διασχίσει ο ταχυδρόμος στη βέλτιστη πορεία του είναι 17. Η σειρά μπορεί να είναι διαφορετική αλλά πρέπει η κάθε κορυφή να εμφανιστεί τον αριθμό πού αναφέρεται στον πίνακα. Ορισμός Ψευδογράφος Euler καλείται κάθε «ψευδογράφος» στον οποίο εντοπίζεται ένα κύκλωμα του οποίου κάθε ακμή εμφανίζεται ακριβώς μία φορά. Σχήμα Στο Σχήμα δοκιμάστε να διαπιστώσετε αν ο γράφος είναι ψευδογράφος Euler. Θα διαπιστώσετε ότι η μέθοδος δοκιμής και λάθους είναι χρονοβόρος και συχνά ανεπιτυχής. Για την αποφυγή αυτής της χρονοβόρου διαδικασίας, ο Euler παρουσίασε ένα ακόμα σημαντικό θεώρημα. Παρατίθεται πρώτα το θεώρημα που εξασφαλίζει την ύπαρξη διαδρομής Euler. Θεώρημα Ένας συνεκτικός ψευδογράφος G περιέχει μία διαδρομή Euler P (η οποία δεν είναι κύκλωμα) αν και μόνο αν αυτό έχει ακριβώς δύο κορυφές περιττού βαθμού. Παρατίθεται στη συνέχεια το θεώρημα του Euler που χαρακτηρίζει τους ψευδογράφους Euler. Θεώρημα (Euler 1736). Ένας συνεκτικός ψευδογράφος G είναι κύκλωμα Euler αν και μόνο αν ο βαθμός κάθε κορυφής είναι άρτιας τάξης (Θεώρημα ύπαρξης κυκλώματος Euler). Οι συνθήκες είναι αναγκαίες γιατί προφανώς αν υπάρχει μια διαδρομή Euler, τότε ο γράφος πρέπει να είναι συνεκτικός και ο αριθμός των κορυφών περιττού βαθμού να είναι 0 (αντίστοιχα 2). Σε διαφορετική περίπτωση δεν θα υπήρχε δυνατότητα να περάσει μια διαδρομή από όλες τις ακμές (από μία τουλάχιστον θα περνούσε δύο φορές, οπότε δεν θα ήταν διαδρομή). Οι συνθήκες είναι και ικανές γιατί: Ισχύουν προφανώς για Ε =2. 166

168 Έστω ότι ισχύουν και για Ε >2. Ένας άλλος τρόπος για να διαπιστώσει κάποιος την ισχύ του θεωρήματος είναι ο ακόλουθος. Έστω ότι ο G είναι γράφος Euler και έστω ακόμη ότι C είναι ένα κύκλωμα Euler, που περιέχεται στον G. Επιπλέον, θεωρούμε την κορυφή v ως αρχή και καταληκτική κορυφή του C. Κάθε κορυφή u v ανήκει στο C, άρα deg(u) είναι άρτιος αριθμός. Καθώς, το C περιέχει όλες τις ακμές του G, ο βαθμός όλων των κορυφών (εκτός της v) είναι άρτιος αριθμός. Τέλος, σε ότι αφορά την κορυφή v, αυτή είναι τέλος και αρχή της διαδρομής Euler, άρα και ο βαθμός αυτής είναι άρτιος αριθμός. Συμπεραίνεται από τα παραπάνω ότι G δεν έχει κορυφές περιττού βαθμού. Ας θεωρήσουμε έναν περίπατο P ξεκινώντας από μία κορυφή α. Έστω ότι ο περίπατος P θέλουμε να περνά από διάφορες κορυφές, έως ότου φτάσει σε μία κορυφή β αφού όμως συμπεριλάβει το σύνολο των ακμών (θεωρούμε α=β αν δεν υπάρχει κορυφή περιττού βαθμού). Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν ακμές που δεν χρησιμοποιήθηκαν. Αν οι χρησιμοποιημένες ακμές αγνοηθούν, τότε απομένει ένας υπογράφος G που δεν είναι απαραίτητα συνεκτικός. Συνάγεται ότι ο υπογράφος G περιέχει μόνο κορυφές άρτιου βαθμού και σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής κάθε συνιστώσα του περιέχει ένα ίχνος Euler. Εφόσον ο γράφος G είναι συνδεδεμένος πρέπει ο περίπατος Ρ να περνά τουλάχιστον από μία κορυφή κάθε συνιστώσας του G. Συνεπώς, μπορεί να κατασκευαστεί ένα ίχνος Euler για τον γράφο G εισάγοντας στον περίπατο και τα ίχνη των συνιστωσών του υπογράφου. Τώρα δοκιμάστε και πάλι να απαντήσετε αν ο γράφος είναι γράφος Euler. Η χρησιμότητα των προτάσεων αυτών για την ανάπτυξη των μεθόδων των Εφοδιαστικών Αλυσίδων (Supplying Chains/Logistics) είναι προφανής. Επίσης, προφανής είναι και η χρήση στη λειτουργία των δρομολογητών (routers) στον παγκόσμιο ιστό. Παρατήρηση Χάρη στα θεωρήματα αυτά μπορεί να διαπιστώσει κάποιος ότι το πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg δεν έχει λύση, δηλαδή δεν υπάρχει δυνατότητα ο περιπατητής να περάσει από όλες τις γέφυρες του ποταμού Pregel μια μόνο φορά και να βρεθεί στο σημείο που ξεκίνησε τον περίπατό του. Στον γράφο του Σχήματος φαίνεται ότι οι βαθμοί των κορυφών είναι περιττοί αριθμοί. Ο παρατηρητής εύκολα διαπιστώνει ότι αν εμπλουτιστεί κατάλληλα με νέες ακμές ο γράφος του Σχήματος 5.6.3, τότε είναι δυνατό να προκύψει ψευδογράφος Euler. Σχήμα

169 Ένα κύκλωμα Euler είναι το Κ={ν 3,e 1,ν 1,e 3,ν 4,e 7,ν 2,e 6,ν 1,e 2,ν 3,e 9,ν 4,e 4,ν 1,e 5,ν 2,e 8,ν 3 }.Στους ψευδογράφους που περιέχουν υποψευδογράφους Euler, ο προσδιορισμός του πλήθους αυτών αποτελεί ένα θέμα προς διαπραγμάτευση. Ένα άλλο ενδιαφέρον ερώτημα είναι εκείνο της εύρεσης κυκλώματος Euler ελάχιστου μήκους. Το πρόβλημα εύρεσης μιας κλειστής διαδρομής ελάχιστου μήκους θα μας απασχολήσει αργότερα. Η εύρεση μιας διαδρομής Euler σε έναν γράφο (ή ψευδογράφο) απασχόλησε την επιστημονική κοινότητα, με αποτέλεσμα να προταθούν διάφοροι αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν το ζητούμενο αποτέλεσμα. Αναφέρονται εδώ οι αλγόριθμοι του Hierholtzer (1873), του Fleury (1921) καθώς και εκείνος του Alan Tucker (1976). Ο αλγόριθμος του Tucker στηρίζεται σε μια απόδειξη του θεωρήματος του Euler που χρησιμοποιεί την έννοια της αλύσου (αλυσίδα). Ορισμός Σε έναν γράφο G, κάθε κορυφή με δύο παρακείμενες σε αυτήν κορυφές και τις ακμές που τις συνδέουν θα καλείται άλυσος (chain). Η απόδειξη του Tucker έχει ως εξής: Για κάθε κορυφή του γράφου σχηματίστε το σύνολο των αλύσων που της αντιστοιχούν. Αυτό που προκύπτει είναι ένα σύνολο αλύσεων που, καθώς δεν έχουν τέλος, σχηματίζουν κυκλώματα. Συνδέστε διαδοχικά τα κυκλώματα που διαθέτουν κοινή κορυφή, μέχρι να μην μπορεί να φθάσετε σε κυκλώματα όπου τα σύνολα των κορυφών τους είναι ξένα μεταξύ τους. Επειδή ο γράφος είναι συνεκτικός, υπάρχει ένα μόνο κύκλωμα Euler. Παράδειγμα (Εφαρμογή του Θεωρήματος του Euler). Του αλγόριθμου Tucker στο γράφο του Σχήματος Σχήμα Καταγράφονται οι άλυσοι για όλες τις κορυφές του γράφου: , 9 5 6, 1 5 6, 1 5 4, , 5 6 7, , , , , , , 6 7 3, Για να δημιουργηθεί ένα κύκλωμα, εντοπίζονται πρώτα οι κορυφές που έχουν μοναδική άλυσο. Από αυτές επιλέγουμε μία με τυχαίο τρόπο. Έστω ότι επιλέγεται η Στη συνέχεια επιλέγεται και μετά η

170 6. Για κάθε ακμή που επιλέγεται και συμπληρώνει τη διαδρομή που σχηματίστηκε, απαλείφεται η άλυσος που την περιέχει από τον πίνακα των αλύσων που διαμορφώθηκε στο πρώτο βήμα. Έτσι αρχικά απαλείφονται οι ακμές 5 1, 1 2, 2 3, 3 7, 7 11, 11 6, 6 10, και Οι εναπομένουσες άλυσοι είναι: , 9 5 6, Τώρα απομένει μοναδική επιλογή για να συμπεριληφθεί η κορυφή 6. Στη συνέχεια, συμπληρώνεται το κύκλωμα με τον ίδιο τρόπο για να προκύψει το Παρατηρεί κανείς ότι η διαδρομή έχει περάσει από όλες τις ακμές χωρίς να επαναλάβει κάποια από αυτές. Οι κορυφές 5, 6 και 7 έχουν επαναληφθεί Κυκλώματα Hamilton Ο ταξιδιώτης που επισκέπτεται διάφορα νησιά του Αιγαίου δεν επιθυμεί να περάσει δυο φορές από το ίδιο νησί. Ζητά από τον ταξιδιωτικό του πράκτορα να βρει τα κατάλληλα δρομολόγια πλοίων που θα ικανοποιήσουν αυτήν του την απαίτηση. Ο ταξιδιωτικός πράκτορας, που έχει στη διάθεσή του έναν γράφο με κορυφές όλα τα νησιά του Αιγαίου, απομονώνει τον υπογράφο που περιλαμβάνει μόνο τους προορισμούς που ενδιαφέρουν τον πελάτη. Στη συνέχεια, προσπαθεί να διαπιστώσει αν ο υπογράφος αυτός είναι γράφος Hamilton. Ποιος όμως ήταν ο Hamilton και τι είναι ένας γράφος Hamilton; Ο sir William Rowan Hamilton ( ) δημιούργησε to 1857 ένα παιχνίδι-γρίφο, που το ονόμασε «Γύρο του Κόσμου» (the icosian game). Στο παιχνίδι αυτό οι παίκτες προσπαθούσαν να ανακαλύψουν ένα κύκλωμα που να διέρχεται από κάθε πόλη του κόσμου μία μόνο φορά. Σχήμα Ως πόλεις του κόσμου, στο παιχνίδι αυτό νοούνται τα άσπρα εμφυτεύματα, που στον αντίστοιχο γράφο των είκοσι κορυφών αντιπροσωπεύουν τις κορυφές. Το ερώτημα που καλούνται να απαντήσουν οι παίκτες του παιχνιδιού αυτού είναι σχετικό με την ανακάλυψη ενός κυκλώματος Hamilton. Στην εικόνα έχει σημειωθεί με ερυθρό χρώμα ένα από τα κυκλώματα Hamilton, στα οποία θα μπορούσε κάποιος να καταλήξει. 169

171 Ορισμός Διαδρομή Hamilton (Hamilton path) καλείται η διαδρομή ή οποία περνάει από όλους τους κόμβους του γράφου ακριβώς μία φορά. Ορισμός Κύκλωμα Hamilton είναι η κλειστή διαδρομή που διατρέχει τις κορυφές του γράφου χωρίς όμως να περάσει από την ίδια κορυφή δυο φορές. Σχήμα Η αεροπορική σύνδεση πόλεων αναπαρίσταται με έναν γράφο. Η επίσκεψη σε όλες τις πόλεις από μία μοναδική φορά είναι ένα πρόβλημα στο οποίο απαντά η ύπαρξη κυκλώματος Hamilton. Η συνηθέστερη εφαρμογή της αναζήτησης ενός κυκλώματος Hamilton είναι εκείνη του περιοδεύοντος πωλητή. Στην προσπάθειά του να επισκεφθεί όλες τις πόλεις που φαίνονται να συνδέονται με αεροπορικές γραμμές, επιθυμεί να βρει τρόπο ώστε να μην περάσει από την ίδια πόλη δυο ή περισσότερες φορές. Αναζητά λοιπόν ένα κύκλωμα Hamilton. Ο οδικός-αεροπορικός χάρτης του Σχήματος 5.7.2, με τις συγκοινωνιακές γραμμές ως ακμές και τις πόλεις ως κορυφές, είναι ένας ψευδογράφος για το οποίο όμως δεν υπάρχει καμία εγγύηση πως περιλαμβάνει ένα κύκλωμα Hamilton. Τα βασικά ερωτήματα που πρέπει να απαντηθούν είναι εκείνα της ύπαρξης, της μοναδικότητας και του τρόπου εντοπισμού μιας διαδρομής ή ενός κυκλώματος Hamilton. Ένα επίσης σημαντικό ερώτημα που χρειάστηκε να απαντηθεί και το οποίο είναι (np-complete) αφορά τη διατύπωση ικανής και αναγκαίας συνθήκης ώστε να είναι ένας γράφος Hamilton. Διατυπώθηκαν τα ακόλουθα θεωρήματα. Θεώρημα Κάθε πλήρης γράφος είναι γράφος Hamilton. Θεώρημα Κάθε πλήρης γράφος έχει (n-1)/2 κύκλους Hamilton ξένους ως προς τις ακμές. 170

172 Θεώρημα (Ore 1960). Κάθε απλός γράφος με n 3 και d(g) n/2 είναι γράφος Hamilton. Για τον εντοπισμό μιας διαδρομής ή ενός κυκλώματος Hamilton (υπό την προϋπόθεση ύπαρξής τους), χρειαζόμαστε κατάλληλο αλγόριθμο. Εδώ πρέπει να πούμε ότι οι γνώσεις μας σχετικά με τα κυκλώματα Hamilton δεν είναι αρκετές. Κανένας μέχρι τώρα δεν έχει βρει έναν εύκολο τρόπο διαπίστωσης ότι ένας ψευδογράφος έχει (ή δεν έχει) ένα κύκλωμα Hamilton. Ακόμα και όταν ένας ψευδογράφος έχει ένα κύκλωμα Hamilton, δεν υπάρχει εύκολος τρόπος για τον προσδιορισμό του. Υπάρχουν μερικοί αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται σε υπολογιστές και ελέγχουν τους ψευδογράφους με σκοπό τον εντοπισμό κυκλωμάτων Hamilton. Αν και κανένας τους δεν είναι φημισμένος για την αρτιότητά του, εκείνος των Roberts and Flores (1966) εφαρμόζεται με σχετική ασφάλεια σε ψευδογράφους λογικού μεγέθους. Ο αλγόριθμος αυτός είναι στη πραγματικότητα μια πρώτη ανίχνευση σε βάθος για κυκλώματα Hamilton και διαδρομές Hamilton. Ο αλγόριθμος των Roberts and Flores κάνει χρήση ενός πίνακα των παρακείμενων κορυφών που καταρτίζεται ως εξής: Παράδειγμα Ονομάστε τις κορυφές του ψευδογράφου. (Αποφύγετε τη χρήση των u 1,u 2,,u n ). Γράψτε τα ονόματα σε μια γραμμή. Κάτω από κάθε όνομα κορυφής, γράψτε σε στήλη τα ονόματα των προσκείμενων κορυφών. Σχήμα Θεωρήστε, για παράδειγμα, τον γράφο στο Σχήμα Ο πλήρης πίνακας που προκύπτει από τον αλγόριθμο είναι: α β γ δ ε ζ β α β β α β ε γ δ γ δ γ δ ζ ε ζ ε ζ Ο πίνακας δημιουργήθηκε με την ακόλουθη διαδικασία: Αναγράφονται οι κορυφές στην πρώτη γραμμή. Κάτω από το όνομα της πρώτης κορυφής γράφονται οι παρακείμενές της κορυφές, Ο αλγόριθμος των Roberts και Flores εντοπίζει διαδρομές Hamilton και κυκλώματα σε γράφους με n κορυφές Ο αλγόριθμος αρχίζει ονομάζοντας τις κορυφές v 1, v 2,... Σε κάθε βήμα νέα κορυφή είναι μια κορυφή που δεν έχει ακόμα ονομαστεί. Η λέξη «πρώτη» θα σημαίνει η αμέσως επόμενη υψηλότερα τοποθετημένη στη στήλη. 171

173 Θεώρημα (Dirac 1973). Έστω G(V,E) απλός μη κατευθυνόμενος γράφος με n κορυφές. Αν όλες οι κορυφές του G έχουν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του n/2, το G έχει κύκλο Hamilton. Αλγόριθμος Των Roberts & Flores. Ονομάστε μια κορυφή v 1. Θεωρήστε το v 1 ως πρώτο στοιχείο του καταλόγου κορυφών της διαδρομής ή του κυκλώματος που αναζητείται. i 1. Αν η στήλη του v 1 δεν έχει νέα κορυφή, ο έλεγχος να μεταφερθεί στο βήμα 12. Ονομάστε v i+1 την πρώτη νέα κορυφή στη στήλη της v 1 και τοποθετήστε την στον κατάλογο. i i+1. Αν i n, ο έλεγχος να μεταφερθεί στο βήμα 3. Μήνυμα: v 1, v 2,, v n είναι κορυφές Διαδρομής Hamilton. Αν δεν υπάρχει ακμή από το v n στο v 1, ο έλεγχος να μεταφερθεί στο βήμα 12. Μήνυμα: Η διαδρομή είναι κύκλωμα Hamilton. Μήνυμα: Αν θέλετε να ανιχνεύσετε και άλλη διαδρομή ή κύκλωμα Hamilton, ο έλεγχος να μεταφερθεί στο βήμα 12. Τερματισμός του αλγόριθμου. Αν i 1, ο έλεγχος να μεταφερθεί στο βήμα 14. Μήνυμα: Έχουν εντοπιστεί όλα τα κυκλώματα που υπάρχουν και όλες τις διαδρομές Hamilton που υπάρχουν και αρχίζουν από το v i. Τερματισμός του αλγόριθμου. u u i. Διαγράψτε την v 1 από τον κατάλογο i i-1. Αν δεν υπάρχει καμία κορυφή στη στήλη της v i κάτω από την υ, ο έλεγχος να μεταφερθεί στο 12. Ο έλεγχος να μεταφερθεί στο 4. Παράδειγμα (Εφαρμογή του Αλγόριθμου των Roberts και Flores). Η εκτέλεση του αλγόριθμου των Roberts και Flores, στον γράφο του Σχήματος 5.7.3, παράγει τον ακόλουθο πίνακα: α, 1 αβγδε, 5 αβγ, δ, 3 αβγζε, δ, 5 αβδ, 3 αβ, 2 αβγδεζ, 6 Δ αβγζ, 4 αβγζ, ε, 4 αβδγ, 4 αβγ, 3 αβγδε, ζ, 5 αβγζε, 5 αβγ, ζ, 3 αβδγζ, 5 αβγδ,4 αβγδ, 4 αβγζεδ, 6, Δ αβ, γ, 2 αβδγζε, 6 Κ Όπου Κ συμβολίζει Κύκλωμα και Δ διαδρομή. Η εκτέλεση του αλγόριθμου συνεχίζεται, για να προκύψει το σύνολο των διαδρομών και κυκλωμάτων. αβδγεζ, ε, 5 αβδ, ε, 3 αβζ, γ, 3 αε, 2 αεδβζγ, 6 Δ αεδγ, β, 4 αεζβ, 4 αεζβ, δ, 4 αβδγ, ζ, 4 αβ, δ, 2 αβζε, 4 αεδ, 3 αεδβζ, γ, 5 αεδγζ, 5 αεζβγ, 5 αεζ, β, 3 αβδ, γ, 3 αβζ, 3 αβζεδ, 5 αεδβ, 4 αεδβ, ζ, 4 αεδγζβ, 6 Κ αεζβγδ, 6, Δ αεζγ, 4 αβδε. 4 αβζγ, 4 αβζεδγ, 6 Δ αεδβγ, 5 αεδ, ζ, 3 αεδγζ, β, 5 αεζβγ, δ, 5 αεζγβ, 5 αβδεζ, 5 αβζγδ, 5 αβζε, δ, 5 αεδβγζ, 6 Δ αεδγ, 4 αεδγ, ζ, 4 αεζβ, γ, 4 αεζγβδ, 6, Δ αβδεζγ, 6 Δ αβζγδε, 6 Κ αβζ, ε, 4 αεδβγ, ζ, 5 αεδγβ, 5 αεδ, γ, 3 αβδεζγ, 6 Δ αεζγβ, δ, 5 αβδεζ, γ, 5 αβζγδ, ε, 5 αβ, ζ, 3 αεδβ, γ, 4 αεδγβζ, 6 Δ αε, δ, 2 αεζβδγ, 6, Δ αεζγ, β, 4 αβδε, ζ, 5 α, β, 1 αεδβζ, 5 αεδγβ, ζ, 5 αεζ, 3 αεζβδ, γ, 5 αεζγδ, 5 αεζγδβ, 6 Κ Η εκτέλεση του αλγόριθμου απέδωσε 4 Χαμιλτονιανά κυκλώματα και δέκα Χαμιλτονιανές διαδρομές που αρχίζουν από την κορυφή α. Υπάρχουν και άλλες Χαμιλτονιανές διαδρομές, όπως η διαδρομή εαβζγδ. Για τον εντοπισμό όλων των Χαμιλτονιανών διαδρομών απαιτείται η εκτέλεση του αλγόριθμου με αρχή κάθε μία από τις λοιπές κορυφές του γράφου. Είναι προφανές ότι σε κάθε νέα εκτέλεση του αλγόριθμου θα προκύπτουν τα ίδια τέσσερα κυκλώματα. 172

174 Ο αλγόριθμος των Roberts και Flores αποτελεί μια πρώτη ανίχνευση σε βάθος του δένδρου που απεικονίζεται στο Σχήμα Σχήμα Απεικόνιση της λειτουργίας του αλγόριθμου των Roberts και Flores. Διαδραστικό Αντικείμενο Εφαρμογή του Αλγόριθμου των Roberts και Flores. Εφαρμογή του Αλγόριθμου των Roberts και Flores Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. Όπως φαίνεται στον σχεδιασμό του δένδρου, δεν επαναλαμβάνονται ακμές που οδηγούν προς τα πίσω τον έλεγχο. Έτσι, δεν εμφανίζονται τα κυκλώματα που κλείνουν με ακμές από τις κορυφές β και ε προς την κορυφή α. Ο αλγόριθμος των Roberts και Flores απαλλάσσει τον μελετητή από το επαχθέστατο έργο σχεδιασμού του δένδρου, που είναι εξαιρετικά δύσκολο όταν ο γράφος έχει μεγάλο πλήθος κορυφών και ακμών, όπως εκείνα του παγκόσμιου ιστού ή του παγκόσμιου χάρτου αεροπορικών συγκοινωνιών Κώδικες Gray Οι κώδικες Gray αντιστοιχούν κάθε αριθμό n ψηφίων του δυαδικού συστήματος αρίθμησης σε μια θέση ενός πλέγματος που βρίσκεται σε έναν χώρο διάστασης n. Για παράδειγμα, ο εξαψήφιος αριθμός , αντιστοιχείται στη θέση (0,0,1,1,0,1) του χώρου διάστασης 6. Ο κώδικας Gray για χώρους διάστασης 3, θα είναι: 0 (0,0,0) 1 (0,0,1) 2 (0,1,0) 3 (0,1,1) 4 (1,0,0) 5 (1,0,1) 6 (1,1,0) 7 (1,1,1) Στους κώδικες Gray τα διανυσματικά μεγέθη στις παρακείμενες κορυφές του γράφου διαφέρουν ακριβώς κατά μία συνιστώσα. 173

175 Σχήμα Κύβοι σε χώρους διάστασης 1, 2, 3 και 4. Ο μοναδιαίος n-κύβος αντιστοιχεί σε γράφο που έχει κορυφές τους αριθμούς του δυαδικού συστήματος με n ψηφία. Δύο αριθμοί είναι προσκείμενοι αν διαφέρουν κατά ένα μόνο ψηφίο. Ένα κύκλωμα Hamilton σε αυτό ο γράφος αντιστοιχεί στον κώδικα Gray, δεδομένου ότι προσκείμενες κορυφές διαφέρουν ακριβώς κατά ένα μόνο ψηφίο. Επειδή η δημιουργία των κωδίκων στηρίζεται σε επαγωγική διαδικασία, συμπεραίνεται ότι υπάρχει κύκλωμα Hamilton για κάθε n. Στο Σχήμα απεικονίζονται μοναδιαίοι κύβοι για n=1,2,3,4. Σύμφωνα με τις ιδιότητες του κύβου τα σχήματα έχουν 2 n κορυφές, κάθε κορυφή έχει βαθμό n και επίσης οι ακμές που την συνδέουν με τις προσκείμενες κορυφές έχουν όλες το ίδιο μήκος. Η τελευταία ιδιότητα δεν είναι αντιληπτή στις ανθρώπινες αισθήσεις, καθώς λειτουργούν αυτές στον τρισδιάστατο χώρο Ελάχιστες Διαδρομές και Κυκλώματα Σε αυτήν την ενότητα θα ασχοληθούμε με τους συνεκτικούς ψευδογράφους, οι ακμές των οποίων έχουν εφοδιαστεί με αριθμούς που ονομάζονται βάρη. Τα βάρη συμβολίζουν συνήθως μονάδες μήκους, μονάδες χρόνου ή οικονομικές μονάδες. Θα μπορούσαν βέβαια να αναπαριστούν και άλλα μεγέθη, ανάλογα με το φυσικό πρόβλημα, που αναπαριστούν. Οι οδικοί χάρτες, όπου παράπλευρα στους οδικούς άξονες αποτυπώνονται οι χιλιομετρικές αποστάσεις, είναι ένα παράδειγμα σταθμισμένων ψευδογράφων. Ορισμός Σταθμισμένος ψευδογράφος καλείται ένας ψευδογράφος στις ακμές του οποίου έχουν προσαρτηθεί βάρη. Δυο σημαντικά προβλήματα που αναφέρονται στα σταθμισμένους γράφους είναι: Η εύρεση διαδρομής ελάχιστου βάρους που συνδέει δύο κορυφές Η εύρεση κυκλώματος ελάχιστου βάρους που περιλαμβάνει το σύνολο των ακμών σταθμισμένου συνεκτικού ψευδογράφου. Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι το κύκλωμα διέρχεται από κάθε ακμή του συνεκτικού ψευδογράφου τουλάχιστον μια φορά. Αν θεωρηθεί ότι το βάρος εκφράζει απόσταση, τότε ένα τέτοιο κύκλωμα θα ενδιέφερε τους ταχυδρομικούς διανομείς αλληλογραφίας, τους οδοκαθαριστές, τους ελεγκτές των μετρητών κατανάλωσης καθώς και τις εταιρείες που διαθέτουν εφοδιαστικές αλυσίδες. Είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι ένας ψευδογράφος που έχει ένα κύκλωμα Euler τότε αυτό το κύκλωμα έχει ελάχιστο βάρος (επειδή περιλαμβάνει κάθε ακμή μόνο μία φορά). Σε κάθε άλλη περίπτωση το κύκλωμα ελάχιστου βάρους περιλαμβάνει κάποιες εκ ων ακμών του περισσότερες από μια φορές. Σε έναν σταθμισμένο συνεκτικό ψευδογράφο υπάρχουν περισσότερες της μιας διαδρομές (από την κορυφή r στην κορυφή s. Σε κάθε μια από αυτές αντιστοιχεί ένα βάρος που προκύπτει από το άθροισμα των βαρών όλων των ακμών που ανήκουν στη διαδρομή. Ο αλγόριθμος του Dijkstra (διαβάζεται Ντάικστρα) προσδιορίζει τη διαδρομή ελάχιστου βάρους σε σταθμισμένους γράφους. Για την παρουσίασή του απαιτείται η χρήση των ακόλουθων συμβολισμών: 174

176 Το βάρος που αντιστοιχεί στην ακμή που συνδέει τις παρακείμενες κορυφές v i,v j, θα συμβολίζεται με w(v i,v j ). Αν οι κορυφές v i,v j συνδέονται με πολλαπλή σύνδεση, τότε w(v i,v j ) δηλώνει το μικρότερο βάρος, που έχει προσαρτηθεί σε αυτές τις ακμές. Τα βάρη βρόγχων παραλείπονται. Στο Σχήμα μερικά από τα βάρη είναι w(v 3,v 5 )=6,w(v 5,v 7 )=8, ενώ το w(v 1,v 4 ) δεν ορίζεται. Χρησιμοποιείται το σύμβολο για να δηλώσει πολύ μεγάλους αριθμούς. Τέλος, με L(v i ) συμβολίζεται το βάρος της διαδρομής από την αρχή μέχρι την κορυφή v i. Να σημειωθεί ότι αν ο γράφος περιέχει αρνητικά βάρη, ο αλγόριθμος του Dijkstra δεν δίνει σωστό αποτέλεσμα. Για γράφους που μπορεί να έχουν αρνητικά βάρη στις ακμές, χρησιμοποιούνται πιο περίπλοκοι αλγόριθμοι, όπως αυτός των Bellman και Ford ή των Floyd-Warshall. Ο αλγόριθμος του Dijkstra είναι άπληστος (Κεφάλαιο 3). Δηλαδή, σε κάθε βήμα επιλέγει την τοπικά βέλτιστη λύση, ώσπου στο τελευταίο βήμα συνθέτει μια συνολικά βέλτιστη λύση. Αλγόριθμος Του Dijkstra. Βήμα 1: Για κάθε ζεύγος παρακείμενων κορυφών v i, v j του G, w(v i,v j ) είναι το μικρότερο βάρος που έχει προσαρτηθεί στις ακμές που τις συνδέουν. Βήμα 2: L(r) 0 (για όλες τις άλλες κορυφές v i r, θέτουμε L(r). Βήμα 3: Επιλέξτε μια κορυφή v i, που έχει σημειωθεί με ελάχιστο L(v i ). Σημειώστε την v i με ένα κύκλο. Βήμα 4: Αν προκύπτει από προηγούμενο βήμα, να σβηστούν οι κύκλοι των κορυφών μέχρι εκείνο το σημείο. Βήμα 5: Για κάθε παρακείμενη κορυφή v j της v i, υπολογίστε τα L(v i ) min{l(v j ),L(v i )+w(v i,v j )} Βήμα 6: Αν s δεν έχει σημειωθεί σε κύκλο, πήγαινε στο 3. Σε άλλη περίπτωση ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ Για να δούμε όλες τις λύσεις, κατασκευάζουμε ένα δένδρο με ρίζα r τοποθετημένη στην αριστερή πλευρά και κλάδο από το v i στο v j αν και μόνο αν L(v i )-w(v i,v j )=L(v j ). Απαντήσεις είναι όλες οι διαδρομές από το r στο s, αν στον αλγόριθμο αντικαταστήσουμε το βήμα 4 με το ακόλουθο: βήμα 4: Αν δεν έχουν σημειωθεί όλες οι κορυφές, πήγαινε στο 2. Διαφορετικά, ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ Παράδειγμα Η εφαρμογή του αλγόριθμου θα γίνει στον γράφο της εικόνας. 175

177 Σχήμα Σήμανση διαδρομής ελάχιστου βάρους από την αρχή στο τέλος. Σημειώστε με κύκλο το r. L(r) 0. L(v1) min{,0+1}=1. L(v3) min{,0+5}=5. L(v4) min{,0+4}=4. Σημειώστε με κύκλο το ν 1. (Εναλλακτική δυνατότητα επιλογής του v 4 ). L(v2) min{,1+7}=8. L(v3) min{5,1+2}=5. Σημειώστε με κύκλο το v3. L(v2) min{8,3+4}=7. L(v5) min{,3+6}=9. L(v4) min{4,3+1}=4. Σημειώστε με κύκλο το v4. L(v5) min{9,4+3}=7. L(v6) min{,4+8}=12. Σημειώστε με κύκλο το ν 2. (Εναλλακτική δυνατότητα επιλογής του v 5 ). L(s) min{,7+9}=16. Σημειώστε με κύκλο το ν 5. L(s) min{16,7+8}=15. L(v6) min{12,7+3}=10. Σημειώστε με κύκλο το v 6. L(v4) min{4,3+1}=4. L(s) min{15,10+5}=15. Σημειώστε με κύκλο το s - ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ. 176

178 Λύσεις r=ν0,ν1,ν3,ν4,ν5,ν7=s r=ν0,ν1,ν3,ν4,ν5,ν6,ν7=s r=ν0,ν4,ν5,ν6,ν7=s r=ν0,ν4,ν5,ν7=s Κάθε διαδρομή έχει βάρος 16. Η εικόνα δείχνει το δένδρο που αντιστοιχεί στις διαδρομές ελάχιστου βάρους. Σχήμα Δένδρο που αντιστοιχεί στις διαδρομές ελάχιστου βάρους. Στη συνέχεια θα γίνει παρουσίαση μιας μεθόδου για τον εντοπισμό σε ένας ψευδογράφος ή σε έναν γράφο των κυκλωμάτων ελάχιστου βάρους. Το ζήτημα αυτό είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον για τις εφαρμογές που έχει σε διαφορά προβλήματα. Το πρόβλημα στη διεθνή βιβλιογραφία εμφανίζεται ως «το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή» (travel salesman problem). Αφορά την εύρεση της οικονομικότερης επιλογής κλειστής διαδρομής που θα επιτρέψει στον πωλητή να επιστρέψει στη βάση του. Στη λειτουργία του διαδικτύου, αν θεωρήσουμε ότι τα βάρη στους διαύλους επικοινωνίας είναι αντιστρόφως ανάλογα προς τη χωρητικότητα των διαύλων, τότε ο εντοπισμός των κυκλωμάτων ελάχιστου βάρους θα εξασφαλίζει τη βέλτιστη δυνατότητα μεταφοράς ψηφιακού σήματος. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η κίνηση των φορτηγών στο οδικό δίκτυο, για τη διανομή εμπορευμάτων σε μια σειρά από παραλήπτες. Το πρόβλημα αυτό απασχολεί τις εταιρείες εφοδιαστικών αλυσίδων. Ας υποτεθεί ότι έχει δοθεί συνεκτικό σταθμισμένο γράφο G. Αν το G δεν αποτελεί Οϊλεριανό γράφο, τότε θα πρέπει να εντοπιστούν οι ακμές που θα συμπεριληφθούν δυο φορές, ώστε να καταστεί δυνατό κάτι τέτοιο. Έχοντας υπόψη ότι ένας ψευδογράφος που περιλαμβάνει κορυφές περιττού βαθμού, δεν μπορεί να αποτελεί Οϊλεριανό γράφο, θα πρέπει να εξεταστεί η δυνατότητα ένταξης επιπλέον ακμών. Η δυνατότητα αυτή εξαρτάται από τον αριθμό των ακμών περιττού βαθμού. Είναι όμως προφανές ότι σε κάθε ψευδογράφος το πλήθος των περιττών κορυφών είναι άρτιο. Χωρίς την ένταξη των νέων ακμών η διαδρομή που θα διανυθεί θα έπρεπε να διέλθει από τις ακμές αυτές δυο φορές. Με τη βοήθεια του αλγόριθμου του Dijkstra, προσδιορίζονται οι διαδρομές που θα διανυθούν δυο φορές. Ο καλύτερος τρόπος να δείξουμε μια ακμή που πρέπει να διανυθεί δυο φορές είναι η επανάληψή της σο ψευδογράφος. Την πρώτη φορά που θα διανυθεί μια επαναλαμβανόμενη ακμή χρησιμοποιείται το όνομά της, ενώ στην επανάληψη χρησιμοποιείται το αντίστροφο της ονομασίας της. Στον αλγόριθμο που ακολουθεί, δημιουργείται ένας ψευδογράφος G δια της προσθήκης σε ορισμένες ακμές του G δεύτερα, ή και τρίτα αντίτυπα των ακμών που πρέπει να χρησιμοποιηθούν περισσότερο από μια φορά. Έτσι, επιτυγχάνεται ο ψευδογράφος G να έχει ένα Οϊλεριανό κύκλωμα, που παριστά το κύκλωμα ελάχιστου βάρους στο G. 177

179 Για να βρεθεί το κύκλωμα ελάχιστου μήκους που περιέχει όλες τις ακμές ενός συνεκτικού ψευδογράφου με βάρη θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο: Αλγόριθμος Του Christofides. Αν δεν υπάρχουν κορυφές μηδενικού βαθμού πήγαινε στο 7. Έστω, v 1,v 2,v 3,...,v 2m είναι κορυφές περιττού βαθμού. Χρησιμοποιήστε τον αλγόριθμο του Dijkstra για να βρείτε την ελάχιστη απόσταση και τη διαδρομή ελάχιστου βάρους από την κορυφή v i, στην v j, για κάθε ζεύγος κορυφών περιττού βαθμού. Κατηγοριοποιήστε τις κορυφές περιττού βαθμού σε διμελείς ομάδες, έτσι ώστε το συνολικό βάρος όλων των διαδρομών ελάχιστου βάρους να είναι το ελάχιστο. Αντιγράψτε κάθε ακμή του G, η οποία αντιστοιχεί σε ελάχιστη διαδρομή που συνδέει ζεύγη κορυφών που επιλέχθηκαν στο βήμα 4. Ονομάστε ο ψευδογράφος που προέκυψε G. Βρείτε ένα Οϊλεριανό κύκλωμα για το G. Αυτό αντιστοιχεί σε κύκλωμα ελάχιστου βάρους για το G. Κάθε ακμή που δεν είναι στο G αντιστοιχεί σε ακμή του G που περιλαμβάνεται στο κύκλωμα περισσότερο από μια φορά. Το Οϊλεριανό κύκλωμα για το G είναι το κύκλωμα ελάχιστου βάρους. ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή του βήματος 4 του αλγόριθμου είναι brute force, καθώς κάθε άλλη διαδικασία απαιτεί πολύ μεγαλύτερο υπολογιστικό χρόνο. Όταν καταγραφεί το σύνολο των ζευγών διαπιστώνεται ότι το πλήθος τους είναι (2m-1)! Για κάθε κατάσταση ζευγών υπολογίζεται η συνολική απόσταση που της αντιστοιχεί και στη συνέχεια επιλέγεται η κατάσταση ζευγών με την ελάχιστη απόσταση. Για την επίλυση του προβλήματος «της ελάχιστης κατάστασης ζευγών», έχουν καταγραφεί και άλλοι, πλέον λειτουργικοί αλγόριθμοι. Η περιγραφή αυτών δεν προσθέτει αξία στους εκπαιδευτικούς στόχους του παρόντος ηλεκτρονικού βιβλίου, και γι αυτό δεν θα αναφερθούν. Για προβλήματα που αναφέρονται σε γράφους με περιορισμένης έκτασης καταστάσεις ζευγών, ο αλγόριθμος που περιγράφηκε είναι επαρκής. 178

180 Παράδειγμα Σχήμα Παράδειγμα ψευδογράφου. Οι κορυφές a, e, g, j είναι κορυφές περιττού βαθμού. Με την εφαρμογή του αλγόριθμου Dijkstra σε κάθε ζεύγος, δίνει τις ακόλουθες διαδρομές ελάχιστου βάρους: διαδρομή a-b-e (ή a-b-f-e) με βάρος w(a,e)=6. διαδρομή a-d-h-k-g με βάρος w(a,g)=8. διαδρομή a-d-i-j με βάρος w(a,j)=7. διαδρομή e-h-k-g με βάρος w(e,g)=10. διαδρομή e-f-j (ή e-i-j) με βάρος w(e,j)=7. διαδρομή g-k-i-j με βάρος w(g,j)=8. Υπάρχουν τρεις τρόποι να συνδυαστούν οι τέσσερεις κορυφές a, e, g και j σε ζεύγη με αθροίσματα βαρών; 1. w(a,e)+w(g,j)=6+8= w(a,g)+w(e,j)=8+7= w(a,j)+w(e,g)=7+10=17. Επιλέγεται το πρώτο σύστημα ζευγών και προστίθενται οι αντίστοιχες διαδρομές (a-b-e) και (g-k-i-j) στον γράφο G για να προκύψει ο γράφος G'. 179

181 Σχήμα Συμπλήρωση του Ψευδογράφου του Σχήματος μετά την εφαρμογή του αλγόριθμου. Διακρίνονται οι διαδρομές (a-b-e) και (g-k-i-j). Επειδή κάθε κορυφή είναι άρτιου βαθμού, ο γράφος G' διαθέτει τουλάχιστον ένα Οϊλεριανό κύκλωμα. Το θεώρημα του Euler αναφέρεται στην ύπαρξη, αλλά όχι στη μοναδικότητα των Οϊλεριανών κυκλωμάτων στο G'. Έτσι, μπορούμε να εντοπίσουμε περισσότερα του ενός Οϊλεριανά κυκλώματα στο G'. Στο Παράδειγμα μετά την εφαρμογή του αλγόριθμου του Christofides, καταγράφουμε κάθε ακμή, σημειώνοντας τις δυο κορυφές, που αποτελούν τα άκρα της. Καταγράφηκαν επίσης και τα αντίστοιχα βάρη κάθε ακμής. Συμβολίζονται με (*) οι ακμές από τις οποίες διέρχεται δεύτερη φορά μια διαδρομή. Πίνακας Ακμή Βάρος Ακμή Βάρος Ακμή Βάρος Ακμή Βάρος Ακμή Βάρος ab 1 ki 4 de 7 il 3 jl 4 bb 5 ik* 4 ed 5 li* 2 lk 6 bd 3 kh 2 be* 5 id 3 kg* 2 dc 4 hi 4 ef 2 da 2 gc 5 ch 3 ie 5 fi 4 ab* 1 ca 6 hg 7 eh 6 ij 2 bf 3 gk 2 hd 2 ji* 2 fj 5 Το συνολικό βάρος του κυκλώματος είναι Δένδρα Σύνδεσης Σε κάθε συνεκτικό γράφο G διακρίνουμε ένα τουλάχιστον υπογράφο G, που έχει τη δομή δένδρου σύνδεσης. Ορισμός Δένδρο σύνδεσης, σε ένα συνεκτικό ψευδογράφο G, είναι κάθε δένδρο Τ του G που είναι δένδρο και περιλαμβάνει όλες τις ακμές του G. 180

182 Για παράδειγμα στο γράφο G. Σχήμα Παράδειγμα γράφου για τον εντοπισμό δένδρων σύνδεσης. Ένα από τα δένδρα σύνδεσης του G μπορεί να είναι το: Σχήμα Ένα από τα δένδρα σύνδεσης που εντοπίζονται στον γράφο του Σχήματος Στο επόμενο Σχήμα φαίνεται ένας γράφος τεσσάρων κορυφών. Σκεφτείτε πόσα δένδρα σύνδεσης υπάρχουν, πριν ζητήσετε να δείτε την απάντηση. 181

183 Σχήμα Στο κέντρο ο γράφος και γύρω του τα δυνατά δένδρα σύνδεσης. Καθώς τα δένδρα σύνδεσης είναι υπογράφοι των αρχικών που έχουν το σύνολο των κορυφών και τα ελάχιστα σύνολα ακμών, είναι ιδιαίτερα χρήσιμα για τον προσδιορισμό των οικονομικότερων λύσεων τηλεπικοινωνιακής ή άλλης μορφής σύνδεσης γεωγραφικών σημείων. Η σημασία των δένδρων σύνδεσης μπορεί να γίνει κατανοητή με το εξής παράδειγμα: οι οδικοί χάρτες περιλαμβάνουν όλους τους οδικούς άξονες που συνδέουν τις πόλεις και τα χωριά της χώρας. Κάθε δένδρο σύνδεσης στον οδικό χάρτη διατηρεί μεν τη σύνδεση όλων των πόλεων και χωριών, αλλά σε πολλές περιπτώσεις αυξάνει πολύ το μήκος των διαδρομών. Σε περίοδο οικονομικής ύφεσης, η συντήρηση όλων των οδικών αξόνων θα έχει πολύ μεγαλύτερο κόστος από ό,τι η συντήρηση των αξόνων που βρίσκονται επί του δένδρου σύνδεσης. Αν η συντήρηση των δρόμων κοστίζει περίπου το ίδιο ανά χιλιόμετρο, θα πρέπει να βρεθεί το δένδρο σύνδεσης με τους δρόμους εκείνους των οποίων το κόστος συντήρησης είναι το ελάχιστο (σε σύγκριση με εκείνο των άλλων δένδρων σύνδεσης). Δεν υπάρχουν κορυφές μηδενικού βαθμού. Πρόβλημα 1ο: Να σχεδιαστεί ένα δένδρο σύνδεσης σε ένα γράφο G. Πρόβλημα 2ο: Να σχεδιαστεί ένα δένδρο σύνδεσης ελάχιστου βάρους σε ένα σταθμισμένο συνεκτικό γράφο G. Πρόβλημα 3ο: Να υπολογιστεί το πλήθος των δένδρων σύνδεσης σε έναν συνεκτικό ψευδογράφο. Σε κάθε συνεκτικό γράφο G διακρίνουμε ένα τουλάχιστον υπογράφο Τ, που έχει τη δομή δένδρου σύνδεσης. Κάθε συνεκτικός γράφος έχει ένα δένδρο σύνδεσης, που μπορεί να προκύψει αφαιρώντας ακμές μέχρι το σημείο που ο απομένων γράφος Τ είναι ακυκλικός. Στην πράξη μια τέτοια διαδικασία θα ήταν χρονοβόρα. Ο πρώτος αλγόριθμος ελέγχει την ύπαρξη κυκλώματος σε έναν συνεκτικό ψευδογράφο. Ο αλγόριθμος αυτός είναι απαραίτητος για την ανάπτυξη των επόμενων που αφορούν στα δένδρα σύνδεσης. Αλγόριθμος Ελέγχου ύπαρξης κυκλώματος. G G με απόσυρση όλων των κορυφών μηδενικού βαθμού. Αν G δεν έχει μία μόνο κορυφή, πήγαινε στο 4. "Ο ψευδογράφος δεν έχει κυκλώματα". ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ. Αν G έχει μια κορυφή βαθμού ένα, πήγαινε στο 6. "Ο ψευδογράφος έχει ένα κύκλωμα". ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ. 182

184 G G με απόσυρση όλων των κορυφών βαθμού ένα και όλων των προσαρτημένων σε αυτές ακμών. Πήγαινε στο 1. Ακολουθούν δυο παραδείγματα: Παράδειγμα Έστω ο γράφος G. Σχήμα Εφαρμογή του αλγόριθμου για τον εντοπισμό ύπαρξης κυκλώματος. 1. G G με απόσυρση όλων των κορυφών μηδενικού βαθμού.ϊ Σχήμα Εξέλιξη του αλγόριθμου για τον εντοπισμό ύπαρξης κυκλώματος. 2. Αν G δεν έχει μία μόνο κορυφή, ο έλεγχος στο Αν G έχει μια κορυφή βαθμού ένα, ο έλεγχος στο G G με απόσυρση όλων των κορυφών βαθμού ένα και όλων των προσαρτημένων σε αυτές ακμών. Σχήμα Εξέλιξη του αλγόριθμου για τον εντοπισμό ύπαρξης κυκλώματος. 7. Ο έλεγχος στο 1. Σχήμα Εξέλιξη του αλγόριθμου για τον εντοπισμό ύπαρξης κυκλώματος 1. G G με απόσυρση όλων των κορυφών μηδενικού βαθμού. 183

185 3. "Ο ψευδογράφος δεν έχει κυκλώματα". ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παράδειγμα Έστω ο γράφος G. Σχήμα Εφαρμογή του αλγόριθμου για τον εντοπισμό ύπαρξης κυκλώματος. 1. G G με απόσυρση όλων των κορυφών μηδενικού βαθμού. Σχήμα Μετά την απομάκρυνση των κορυφών μηδενικού βαθμού. 4. Αν G έχει μια κορυφή βαθμού ένα, πήγαινε στο

186 Σχήμα Τερματισμός αλγόριθμου. Το κύκλωμα εντοπίστηκε. 5. "Ο ψευδογράφος έχει ένα κύκλωμα". ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ. Ερώτηση Πώς απομονώνεται ένα δένδρο σύνδεσης από έναν ψευδογράφο με n κορυφές και m ακμές; Απάντηση στο ερώτημα αυτό δίνει ο αλγόριθμος που ακολουθεί. Είναι γνωστό (βλέπε 5.6 Δένδρα Σύνδεσης) ότι ένα δένδρο με n κορυφές έχει n-1 ακμές. Θα πρέπει πρώτα να αποσύρουμε όλες τις ακμές και στη συνέχεια να επανατοποθετήσουμε εκείνες μόνο που δεν κλείνουν κύκλωμα. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας σχετικός αλγόριθμος. Ζήτημα 1 Στη συνέχεια θα αναπτυχθεί μια διαδικασία για τον προσδιορισμό ενός δένδρου σύνδεσης σε ένας ψευδογράφος. Έστω ο ψευδογράφος G με n κορυφές και m ακμές. Όπως αναφέρθηκε ότι ένα δένδρο με n κορυφές έχει n-1 ακμές. Η διαδικασία πρώτα, αποσύρει όλες τις ακμές από το G, αφήνοντας μόνο τις κορυφές. Στη συνέχεια επανασχεδιάζει τις ακμές παραλείποντας όσες κλείνουν κυκλώματα. Μόλις σχεδιαστούν n-1 ακμές, έχει βρεθεί ένα δένδρο σύνδεσης. Το επόμενο είναι ένα σύντομο πρόγραμμα που εκτελεί αυτή τη διαδικασία. Αλγόριθμος Προσδιορισμού Δένδρου Σύνδεσης. Προσδιορισμός δένδρου σύνδεσης επί συνεκτικού ψευδογράφου με n κορυφές και m ακμές τις e 1,e 2,...e m, όπου m>1. Έστω L 0, j 0, i 1. j=n-1; Αν όχι τότε ο έλεγχος στο 4. "L είναι το σύνολο των των ακμών του δένδρου σύνδεσης". H G είναι τον υπογράφο του G με σύνολο ακμών τις ακμές του L {e i }. Εφαρμογή του Αλγόριθμου Ελέγχου Ύπαρξης Κυκλώματος. Αν το Η περιέχει ένα κύκλωμα, τότε ο έλεγχος στο 7. L L {ei}, j=j+1. L L, i=i

187 O έλεγχος στο 2. Θα εφαρμόσουμε τώρα τον αλγόριθμο αυτόν στον γράφο του Σχήματος Δεδομένου ότι ο γράφος έχει 8 κορυφές, θέτουμε n=8. Στο πρόγραμμα ο δείκτης i δηλώνει ποια ακμή θα επιχειρήσουμε να περιλάβουμε στο επόμενο βήμα. Ο δείκτης j αντιπροσωπεύει τον αριθμό των ακμών που περιλαμβάνονται στο υπό κατασκευή δένδρο σύνδεσης. Σχήμα Βήμα I. Το πρόγραμμα αποδίδει πρώτα τις ακμές e 0,e 1,e 2,e 3 στο δένδρο σύνδεσης L (Σχήμα 5.9.2). Στο σημείο I=5(e 5 έπεται) και j=4 (υπάρχουν μέχρι στιγμής 4 ακμές στο L). 186

188 Σχήμα Η αρχική διαμόρφωση του δένδρου μετά το 1ο βήμα. Βήμα II. Προσαρτώνται στο δένδρο οι ακμές e 4, e 5 και e 6, αλλά διαπιστώνουμε ότι αυτές δημιουργούν κύκλωμα. Τώρα i=7 και j=4. Βήμα III. Προσαρτάται η e 7, e 8 και η e 9 Η ακμή e 10 θα προκαλούσε τη δημιουργία ενός κυκλώματος. Το ίδιο και οι λοιπές ακμές. Τώρα υπάρχουν 7 ακμές στην L. Δεδομένου ότι 7=8-1, το L είναι τώρα ένα δένδρο σύνδεσης (Σχήμα ). 187

189 Σχήμα Το δένδρο σύνδεσης μετά τον τερματισμό του αλγόριθμου. Παράδειγμα Αν οι ακμές ενός ψευδογράφου G έχουν προσαρτημένα βάρη, είναι δυνατό να αναζητήσουμε μέσα σε αυτό ένα δένδρο σύνδεσης ελάχιστου βάρους. Για παράδειγμα, αν οι ακμές έχουν εφοδιαστεί με τιμές που είναι είτε μήκος είτε κόστος, τότε μπορούμε να βρούμε το συντομότερο ή το φθηνότερο δένδρο σύνδεσης. Ο αλγόριθμος του Kruskal λύνει αυτό το πρόβλημα. Η ιδέα είναι σχετικά απλή. Πρώτα σβήνουμε όλες τις ακμές και αφήνουμε μόνο τις n κορυφές. Στη συνέχεια, επανατοποθετούμε τις ακμές τη μια μετά την άλλη, κατά αύξουσα τάξη βάρους, αλλά προσέχουμε να αγνοήσουμε κάθε ακμή που θα συμπλήρωνε ένα κύκλωμα. Η διαδικασία τελειώνει με την τοποθέτηση της n-1 ακμής. Αλγόριθμος του Kruskal για τον προσδιορισμό δένδρου σύνδεσης ελάχιστου βάρους σε ένα συνεκτικό σταθμισμένο γράφο. Αλγόριθμος Του Kruskal. Αριθμήστε τις ακμές του G,κατά την τάξη μεγέθους των βαρών. Ονομάστε S ο γράφος που αποτελείται μόνο από τις ακμές του G. 1 i. Αν το S έχει n-1 ακμές, ο έλεγχος στο 8. Αν η προσάρτηση της ακμής e i κλείνει κύκλωμα, ο έλεγχος στο 7. Προσάρτησε στο S την e i του G. Ονόμασε το νέο γράφο, S. i+1 j, έλεγχος στο 4. S είναι δένδρο σύνδεσης ελάχιστου βάρους. STOP. 188

190 Διαδραστικό Αντικείμενο Εφαρμογή του Αλγόριθμου του Kruskal. Εφαρμογή Αλγόριθμου Kruskal Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. Παράδειγμα Χρησιμοποιήστε τον αλγόριθμο του Kruskal για να βρείτε το δένδρο σύνδεσης ελάχιστου βάρους στον γράφο του Σχήματος Σχήμα Παράδειγμα γράφου για την εφαρμογή του αλγόριθμου Kruskal. Τα διατεταγμένα ζεύγη των ακμών εκφράζουν δια της πρώτης συνιστώσας τον αύξοντα αριθμό της ακμής, ενώ δια της δεύτερης συνιστώσας το προσαρτώμενο βάρος σε αυτές, να σημειωθεί ότι η αρίθμηση πρέπει να γίνεται με τρόπο ώστε το βάρος της ακμής e i να είναι μικρότερο ή ίσο του βάρους της ακμής e i+1 για i=1,2,,19. Θεωρούμε τον γράφο V των εννέα κορυφών. i=1, V={e 1 }. i=2, V={e 1,e 2 }. i=3, V={e 1,e 2,e 3 }. i=4, V={e 1,e 2,e 3,e 4 }. i=5, Επειδή e 3,e 4,e 5 κλείνουν κύκλωμα, δεν προσαρτάται η e 5 στο V. i=6, V={e 1,e 2,e 3,e 4,e 6 }. i=7, Επειδή e 3,e 6,e 7 κλείνουν κύκλωμα, δεν προσαρτάται η e 7 στο V. i=8, V={e 1,e 2,e 3,e 4,e 6,e 8 }. i=9, V={e 1,e 2,e 3,e 4,e 6,e 8,e 9 }. i=10, Επειδή e 3,e 4,e 9,e 10 κλείνουν κύκλωμα, δεν προσαρτάται η e 10 στο V. i=11, Επειδή e 1,e 2,e 12 κλείνουν κύκλωμα, δεν προσαρτάται η e 11 στο V. i=12, Επειδή e 3,e 6,e 7 κλείνουν κύκλωμα, δεν προσαρτάται η e 12 στο V. i=13, Επειδή e 2,e 3,e 4,e 13 κλείνουν κύκλωμα, δεν προσαρτάται η e 13 στο V. i=14, Επειδή e 4,e 8,e 14 κλείνουν κύκλωμα, δεν προσαρτάται η e 14 στο V. i=15, V={e 1,e 2,e 3,e 4,e 6,e 8,e 9,e 15 }. 189

191 Τώρα, ο αριθμός των ακμών στο V είναι 8 και γι αυτό ο αλγόριθμος τερματίζεται. Στο Σχήμα εμφανίζεται το δένδρο σύνδεσης, όπως αυτό προέκυψε από την εφαρμογή του αλγόριθμου. Το δένδρο αυτό έχει βάρος 14 μονάδων. Σχήμα Το δένδρο σύνδεσης ελάχιστου βάρους, μετά την εφαρμογή του αλγόριθμου Kruskal. Σημείωση Οι αλγόριθμοι του Kruskal, του Prim και του Borvka επιτυγχάνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι τρεις αλγόριθμοι για να γίνει η σύγκριση των πλεονεκτημάτων και των μειονεκτημάτων τους. Τέλος, παρουσιάζεται μια εφαρμογή σε δίκτυα υπολογιστών. Η Ιδέα του Αλγόριθμου Kruskal Αρχικά ταξινομούμε τις ακμές με βάση τα βάρη τους. Στη συνέχεια, σχεδιάζουμε τις ακμές από την ελαφρύτερη προς τη βαρύτερη φροντίζοντας πάντα η προσθήκη μιας νέας ακμής να μην οδηγεί σε κυκλικό γράφημα. Αν συμβαίνει κάτι τέτοιο, δεν σχεδιάζουμε τη συγκεκριμένη ακμή, αλλά την υπερπηδούμε και ασχολούμαστε με την αμέσως βαρύτερη. Όλη αυτή η διαδικασία λαμβάνει χώρα μέχρις ότου ο αριθμός που έχουν σχεδιαστεί είναι κατά ένα μικρότερος από τον αριθμό των κορυφών του γραφήματος. Αντιλαμβάνεστε ότι αυτή η συνθήκη τερματισμού δεν είναι τίποτε περισσότερο από έναν τελικό και σύντομο έλεγχο κυκλικότητας αφού ένα γράφημα με n κορυφές και n-1 ακμές δεν μπορεί να είναι κυκλικό! Από την παραπάνω περιγραφή φαίνεται ότι τα τρία βασικά κομμάτια του αλγόριθμου είναι: η ταξινόμηση των ακμών με βάση το βάρος τους, ο έλεγχος της μη κυκλικότητας του γραφήματος πριν την προσθήκη μιας νέας ακμής, και ο σχεδιασμός της εκάστοτε νέας ακμής. Το δυσκολότερο από τα τρία παραπάνω κομμάτια του αλγόριθμου του Kruskal είναι ο έλεγχος της μη κυκλικότητας του γραφήματος που, όπως θα δούμε στην υλοποίηση, ξεκινά από μια κορυφή και σιγά σιγά απλώνεται. Ο έλεγχος της μη κυκλικότητας είναι από μόνος του ένας ανεξάρτητος αλγόριθμος που προγραμματιστικά θα δούμε ότι καλείται σαν μια εξωτερική συνάρτηση. Στη συνέχεια ακολουθεί ένα συγκεκριμένο παράδειγμα σε φυσική γλώσσα για να γίνει πιο κατανοητός ο αγόριθμος. Κατόπιν θα συνδέουμε σιγά σιγά τις προτάσεις της ανθρώπινης γλώσσας με τις προαναφερθείσες μαθηματικές έννοιες του προσκείμενου πίνακα, του βαθμού μιας κορυφής και της κυκλικότητας ενός γραφήματος. Αν το επιτύχουμε αυτό, θα είναι εύκολο να μετατρέψουμε τη γλώσσα ανθρώπου σε γλώσσα προγραμματισμού, στη συγκεκριμένη περίπτωση σε MATLAB. 190

192 Παράδειγμα Σχήμα Ταξινομούμε τις ακμές Σχεδιάζουμε την πιο ελαφριά, ελέγχουμε τη μη κυκλικότητα. Σχεδιάζουμε τη δεύτερη πιο ελαφριά, ξαναελέγχουμε τη μη κυκλικότητα κ.ο.κ. Η πιο ελαφριά είναι η AD και άρα τη σχεδιάζουμε. Η δεύτερη πιο ελαφριά έναι η AB,την οποία σχεδιάζουμε επίσης. Σχήμα Η τρίτη πιο ελαφριά κορυφή είναι η BD με βάρος 3, την οποία όμως δεν σχεδιάζουμε γιατί σχηματίζεται ο κύκλος ABDΑ. Άρα, ασχολούμαστε με την κορυφή CG. Συνεχίζουμε τον σχεδιασμό με το ίδιο σκεπτικό μέχρι την ακμή AC, την οποία όμως δεν σχεδιάζω, γιατί κλείνει κύκλο ABFGCA. Ο αριθμός των ακμών με τη προσθήκη της ακμής CE (αφού η ακμή AC δεν προστέθηκε) είναι 6, ένας δηλαδή λιγότερος από τον αριθμό των κορυφών που είναι 7. Άρα, ο αλγόριθμος τερματίζει και το τελικό αποτέλεσμα είναι: 191

193 Σχήμα Prim_2. Tα βήματα του αλγόριθμου είναι συνοπτικά: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΜΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΒΑΡΗ ΑΝΑΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΣΤΗΛΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΟΥ ΠΙΝΑΚΑ G ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΙΑ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΤΩΝ ΑΚΜΩΝ ΜΕ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΚΥΚΛΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ ΚΑΘΕ ΦΟΡΑ ΠΟΥ ΕΙΣΑΓΕΤΑΙ ΜΙΑ ΝΕΑ ΑΚΜΗ. ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΤΑΝ ΟΙ ΑΚΜΕΣ ΠΟΥ ΕΙΣΗΧΘΗΣΑΝ ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑ ΜΙΑ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΩΝ ΚΟΡΥΦΩΝ. Αυτά τα τέσσερα βήματα αντιστοιχούν σε ανεξάρτητα τμήματα κώδικα, τα οποία παραθέτονται παρακάτω. Ταξινόμηση των ακμών με βάση τα βάρη και ανακατανομή των στηλών του πίνακα G. Πρόκειται για την κλασική μέθοδο bubble sort κατά την οποία σαρώνεται ο εκάστοτε πίνακας και κάθε στοιχείο συγκρίνεται με το διπλανό του (το διπλανό κατά τη φορά της σάρωσης). Π.χ.: το πρώτο με το δεύτερο, το δεύτερο με το τρίτο κ.ο.κ. Αν από μία σύγκριση προκύψει ότι το μικρότερο (ελαφρύτερο) στοιχείο έπεται του μεγαλύτερου (βαρύτερου), τότε αντιμετατίθενται (swap). Μία σημαία (flag) κρατά το αν κατά μία σάρωση έγιναν αντιμεταθέσεις. Αν έγιναν, σημαίνει ότι ο πίνακας θα ξανασαρωθεί. Αν δεν έγιναν, τότε ο πίνακας είναι ταξινομημένος και ο αλγόριθμος τερματίζει. Οι διαδοχικές συγκρίσεις που γίνονται κατά τις συνεχείς σαρώσεις εμφανίζουν το ελαφρύτερο στοιχείο στην κορυφή, ακολουθεί το δεύτερο ελαφρύτερο, το τρίτο, κ.ο.κ. (για αυτό και ο αλγόριθμος λέγεται bubble sort η πιο ελαφριά η φυσαλίδα ανεβαίνει στην κορυφή). Στο παραπάνω παράδειγμα ο R είναι ένας πίνακας του οποίου θέλουμε να ταξινομήσουμε τα στοιχεία. Στο δικό μας πρόβλημα αυτός ο R θα είναι ο πίνακας βαρών (WEIGHT), ο οποίος περιέχει τα βάρη των ακμών. Επίσης, θα πρέπει να εντάξουμε και κάποιες ακόμα εντολές, ώστε ο προσκείμενος πίνακας G να ανασχηματιστεί ανάλογα με αυτήν την ταξινόμηση. Το τελικό αποτέλεσμα με μορφή παραδείγματος θα είναι G = ο προσκείμενος πίνακας V = ο πίνακας που περιέχει τις συντεταγμένες κάθε κορυφής είναι απαραίτητος για την τελική σχεδίαση. 192

194 Έλεγχος Κυκλικότητας και Σχεδιασμός Ακμών Ο έλεγχος της κυκλικότητας είναι ένα θεμελιώδες πρόβλημα για την επίτευξη του αλγόριθμου. Πριν καταλήξουμε στην παρουσίαση του αλγόριθμου επιβάλλεται να εξηγήσουμε το σκεπτικό του. Ο έλεγχος κυκλικότητας βασίζεται σε μια πολύ απλή παρατήρηση. Κάθε κορυφή σε έναν κύκλο είναι τουλάχιστον βαθμού δύο (δηλαδή καταλήγουν σε αυτήν τουλάχιστον δύο ακμές). Άρα, αποσύροντας όλες τις κορυφές βαθμού ένα και βαθμού μηδέν μπορούμε να καταλήξουμε στον κύκλο του γραφήματος. Αν όμως καταλήξουμε σε ένα κενό γράφημα (ένα γράφημα χωρίς καμία κορυφή και καμία ακμή), τότε απλούστατα το γράφημά μας δεν είχε κύκλο. Δηλαδή, εάν μετά από τις αποσύρσεις όλων των κορυφών βαθμού ένα και μηδέν καταλήξουμε σε κορυφές βαθμού δύο, το γραφημα G έχει κύκλο. Αν πάλι καταλήξουμε σε κενό γράφημα, το G δεν έχει κύκλο. Το δύσκολο σημείο του προγραματισμού για τον έλεγχο κυκλικότητας είναι η προγραμματιστική και κατ επέκταση μαθηματική ερμηνεία των λέξεων: βαθμός κορυφής και απόσυρση ακμής. Για να βρούμε τον βαθμό (rank) μιας κορυφής θα πρέπει να πάμε στη γραμμή του πίνακα G όπου αντιστοιχεί αυτή η κορυφή και να σαρώσουμε όλη τη γραμμή (περνώντας δηλαδή από όλες τις στήλες-ακμές) μετρώντας τους άσσους που συναντάμε. Το πλήθος των άσσων που υπάρχουν στη γραμμή είναι και ο βαθμός της κορυφής που αντιστοιχεί σ αυτήν τη γραμμή. Για να αποσύρουμε μια ακμή, θα πρέπει να μηδενίσουμε όλους του άσσους που υπάρχουν στη στήλη που την αντιπροσωπεύει. Αυτό θα ερμηνευτεί αργότερα κατά τη σχεδίαση ότι απλούστατα αυτή η ακμή δεν ακουμπά σε καμία κορυφή και άρα δεν θα σχεδιαστεί. (Εξαρτάται βέβαια και από τον αλγόριθμο σχεδίασης που υλοποίησε ο προγραμματιστής). Εάν επιχειρήσετε να υλοποιήσετε σε MATLAB το παραπάνω διάγραμμα ροής λαμβάνοντας υπόψη σας τις παρατηρήσεις περί βαθμού και απόσυρσης, το πρόγραμμά σας θα είναι κάπως έτσι: Κώδικας υλοποίησης σε MATLΑB. Το μόνο που απέμεινε είναι η σύνδεση όλων αυτών των «κομματιών» για να οδηγηθούμε στην τελική και ολοκληρωμένη μορφή του προγράμματος. Χαρακτηριστικά του Αλγόριθμου του Kruskal-Πολυπλοκότητα και Ταχύτητα Για να γίνουν αντιληπτές οι έννοιες της πολυπλοκότητας και της ταχύτητας (time complexity) θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα: Έστω ότι σε έναν τηλεφωνικό κατάλογο με ονόματα αναζητούμε το δικό μας. Μία απλή στρατηγική είναι να ταξινομήσουμε τα ονόματα σε δυο κατηγορίες: μια από το Α μέχρι το Μ και η άλλη από το Ν μέχρι το Ω. Επιλέγουμε την κατηγορία στην οποία ανήκει το όνομά μας και αγνοούμε την άλλη. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται με διαδοχικούς διαμελισμούς και επιλογές της κατηγορίας στην οποία ανήκει το συγκεκριμένο στοιχείο (στην περίπτωση αυτήμ το όνομά μας). Η διαδικασία τερματίζει όταν στην κατηγορία δεν έχει μείνει άλλο στοιχείο παρά μόνο το ζητούμενο. Η μέθοδος αυτή, γνωστή ως μέθοδος των κιβωτισμών στην Αριθμητική Ανάλυση, είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική και δεν απαιτεί εκτεταμένο υπολογιστικό χρόνο. Με τον αλγόριθμο αυτόν υλοποιείται η ανίχνευση αριστερά-δεξιά σε ένα δυαδικό δέντρο απόφασης, όπου κάθε φορά συγκρίναμε τους δύο κόμβους (ομάδες ονομάτων) και ανάλογα με την απόφαση διασχίζαμε την αντίστοιχη ακμή (κλάδο του δέντρου). Η χρονική πολυπλοκότητα της παραπάνω διαδικασίας είναι logn με βάση λογάριθμου το 2 γιατί συγκρίνουμε τις ομάδες ονομάτων ανά 2! Τι κοινό έχει το παραπάνω παράδειγμα με τον αλγόριθμό μας; Αν αναλογιστούμε πως η εύρεση ενός ονόματος σε έναν ταχυδρομικό κατάλογο με την παραπάνω μέθοδο συνιστά και έναν τρόπο ταξινόμησης παρόμοιο με τη μέθοδο της bubble sort που υλοποιήσαμε, θα εντοπίσουμε κατευθείαν την ομοιότητα! Άρα η μέθοδος του τηλεφωνικού καταλόγου θα έχει την ίδια πολυπλοκότητα με τη bubble sort! Όταν συγκρίνουμε n στοιχεία ανά (υλοποιώντας ένα δένδρο απόφασης), τότε η χρoνική πολυπλοκότητα της σύγκρισης στη χειρότερη περίπτωση (worst case) είναι Ο(nlogn), όπου η βάση του λογάριθμου εξαρτάται από τα στοχεία που συγκρίνουμε κάθε φορά. Εδώ συγκρίναμε πάντα δύο στοιχεία τη φορά και ανάλογα τα υποδιαιρούσαμε. Άρα, στη συγκεκριμένη περίπτωση ο λογάριθμος έχει βάση το δύο. Το πρόγραμμά μας όμως στο δεύτερο σκέλος του ασχολείται με την ανάσυρση (retrieving) από την ταξινομημένη σειρά βάρους των ακμών στο γράφημα και τον έλεγχο της κυκλικότητας, προκειμένου να τις 193

195 αποσύρουμε ή όχι. Εδώ για να μελετήσουμε τη χρονική πολυπλοκότητα, πρέπει να ξαναθυμηθούμε ποιο είναι το σκεπτικό της μεθόδου (παρουσιάστηκε στις προηγούμενες σελίδες) και να κάνουμε κάποιες απλές σκέψεις, με βάση τη θεωρία γράφων. Στη μέθοδο ελέγχου της κυκλικότητας αναφέραμε πως σε ένα κυκλικό γράφημα κάθε κόμβος είναι τουλάχιστον βαθμού δύο (έχει δύο προσκείμενες ακμές). Άρα rank>=2. Όμως ο μεγαλύτερος βαθμός που μπορεί να έχει γενικά μία κορυφή είναι m-1, όπου m ο αριθμός των κορυφών, ουσιαστικά να επικοινωνεί με όλες τις άλλες κορυφές: ΠΡΟΤΑΣΗ 1 Επιπλέον μία κορυφή, έστω rank=k, έχει το πολύ n 2 k κορυφές με βαθμό μικρότερο από m-1: ΠΡΟΤΑΣΗ 2. Αν συνδυάσουμε τις προτάσεις 1 και 2 καταλαβαίνουμε πως στη χειρότερη περίπτωση χρονικής πολυπλοκότητας (worst case) θα έχουμε οποωσδήποτε n κορυφές βαθμού m-1. Άρα θα υπάρχουν και n/2 m-1 κορυφές μικρότερου βαθμού. Φυσικά όλα τα παραπάνω είναι λογικό να ισχύουν όσο οι κορυφές είναι περισσότερες ή ίσες με μία για να υπάρχει γράφημα. Άρα: n/2 m-1 >=1 m- 1 log 2n m log 2n+1=log 2n+log2=log 2(2n). Άρα τελικά στη χειρότερη περίπτωση (worst case) οι κορυφές που θα ελεχθούν από τον αλγόριθμο κυκλικότητας είναι m=o(log 2 (2n)). Άρα συνοψίζοντας για την πολυπλοκότητα του αλγόριθμου Kruskal έχουμε: Μέγιστος Αλγοριθμικός Χρόνος Πολυπλοκότητας του αλγόριθμου Kruskal. Αλγόριθμος ταξινόμησης (bubblesort) Ο(nlog 2 n). Αλγόριθμος ελέγχου κυκλικότητας Ο(nlog 2 (2n)). ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ KRUSKAL ΣΥΝΟΛΙΚΑ: Ο(nlog 2 n+nlog 2 (2n)))=O(log 2 (2n 4 )). Ο Αλγόριθμός του Prim Για την εξήγηση θα χρησιμοποιήσουμε το ίδιο παράδειγμα που χρησιμοποιήσαμε στον αλγόριθμο Kruskal. Πρόβλημα (συνέχεια). Σχήμα Όπως στους προηγούμενους, έτσι και στον αλγόριθμο αυτόν έχουμε αρχικά ταξινόμηση των ακμών. Η ταξινόμηση δίνει την εξής σειρά πλευρών: ΑD-AB-BD-CG-FG-BF-CE-AC. Εδώ όμως έχουμε μία βασική διαφορά ως προς τον έλεγχο της κυκλικότητας. Ενώ στον αλγόριθμο του Kruskal μετά την προσθήκη κάθε νέας ακμής ελέγχαμε ξανά την κυκλικότητα, ο Prim πρότεινε κάτι που μειώνει σημαντικά τη χρονοβόρα αυτή διαδικασία. Προσθέτει αφενός τις ακμές με βάση το βάρος τους, αλλά συνδυάζει και ένα ακόμα κριτήριο. ΠΡΕΠΕΙ Η ΝΕΑ ΕΛΑΦΡΥΤΕΡΗ ΚΟΡΥΦΗ ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΣΤΕΘΕΙ ΝΑ ΕΧΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΙΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΜΙΑ ΚΟΙΝΗ ΚΟΡΥΦΗ ΜΕ ΤΟ ΗΔΗ ΣΧΕΔΙΑΣΜΕΝΟ ΓΡΑΦΗΜΑ. Έτσι, ο Prim ταυτόχρονα 194

196 έλεγχε και την κυκλικότητα. Όμως, ας το δούμε σε εφαρμογή μέσα από το παράδειγμά μας, για να γίνει πιο κατανοητό. Πρώτα θα σχεδιαστεί η AD ως ελαφρύτερη. Άρα, οι δύο κορυφές που χρησιμοποιήθηκαν είναι οι Α και η D. Η επόμενη υποψήφια να προστεθεί είναι η ΑΒ. Θα πρέπει όμως να έχει μία και μόνο μία κοινή κορυφή με αυτές που υπάρχουν στο γράφημα. Αυτό ισχύει αφού ακουμπά στην κορυφή Α που προϋπήρχε στο γράφημα. Άρα, τώρα οι χρησιμοποιούμενες κορυφές είναι οι Α, Β και D. Αμέσως επόμενη είναι η BD. Η BD όμως έχει και τις δύο κορυφές της κοινές με αυτές που προυπάρχουν στο γράφημα. Άρα δεν θα σχεδιαστεί! Γλιτώσαμε έτσι την κυκλικότητα. Στην περίπτωση του Kruskal θα προσθέταμε την ακμή και μετά θα ελέγχαμε την κυκλικότητα για το νέο γράφημα, θα βλέπαμε ότι είναι κυκλικό, και εντέλει θα την αφαιρούσαμε. Ο Prim όμως παρατήρησε ότι οι ακμές που δημιουργούν τον κύκλο είναι αυτές που έχουν και τα δυο τους άκρα κοινά με το ήδη υπάρχον γράφημα. Έτσι, μετά από τρεις ελέγχους το γράφημά μας θα είναι το εξής: Σχήμα Kruskal-Prim 2. Στη συνέχεια, η CG θα σχεδιαστεί ανεμπόδιστα αφού δεν έχει καμία κοινή κορυφή με το γράφημα, και σύμφωνα με τον αλγόριθμο θα πρέπει να έχει ΤΟ ΠΟΛΥ μία κοινή κορυφή για να σχεδιαστεί. Άρα, και καμία κοινή κορυφή να μην υπάρχει αυτό είναι αποδεκτό. Τώρα οι χρησιμοποιούμενες κορυφές είναι οι: Α,B,D,C,G. Ανεμπόδιστα θα σχεδιαστεί και η FG, αφού έχει μία μόνο κοινή κορυφή με το παλιό γράφημα, τη G, καθώς και οι BF και CE. Δεν θα σχεδιαστεί όμως η επόμενη ακμή CA, που έχει δύο κοινές κορυφές με τη γράφο-την C και την A. Ξαναγλιτώσαμε την κυκλικότητα! Έτσι το τελικό αποτέλεσμα θα είναι: Σχήμα Prim_2. 195

197 Καταλήξαμε επομένως στο ίδιο αποτέλεσμα με αυτό του Kruskal, αλλά μέσα από μια πιο άνετη και απλή διαδικασία που προγραμματιστικά ερμηνεύεται σε κέρδος ταχύτητας και πολυπλοκότητας. Επίσης, με βάση την παραπάνω ανάλυση φαίνεται πως ο προγραμματισμός του αλγορίθμου του Prim είναι ευκολότερος. Άρα τα βήματα του αλγόριθμου είναι συνοπτικά: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΜΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΒΑΡΗ ΑΝΑΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΣΤΗΛΩΝ ΤΟΥ ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΟΥ ΠΙΝΑΚΑ G ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΙΑ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΤΩΝ ΑΚΜΩΝ ΜΕ ΕΛΕΓΧΟ ΤΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝ ΑΚΜΩΝ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΟ ΥΠΑΡΧΟΝ ΓΡΑΦΗΜΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΠΡΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΑΚΜΗ. (ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΥΚΛΙΚΟΤΗΤΑΣ) ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΤΑΝ ΟΙ ΑΚΜΕΣ ΠΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΤΗΚΑΝ ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑ ΜΙΑ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΩΝ ΚΟΡΥΦΩΝ. Κάθε ένα από τα παραπάνω βήματα αντιστοιχεί σε ένα ξεχωριστό κομμάτι κώδικα. Τα δύο πρώτα τα αναλύσαμε κατά την παρουσίαση του αλγόριθμου Kruskal. Το τρίτο, είναι το σημαντικότερο, και είναι και αυτό που διαφοροποιεί τους δύο αλγόριθμους ως προς τη λογική και ως προς την ταχύτητα. Κυκλικότητα στον Αλγόριθμο του Prim - O Προγραμματισμός της Χρησιμοποιήσαμε στην παραπάνω ανάλυση πολύ συχνά τον προσδιορισμό «παλιά» για μια κορυφή που είχε σχεδιαστεί προκειμένου να ελέγξουμε μετά την κυκλικότητα. Αυτό προγραμματιστικά ερμηνεύεται με καταχώρηση κάθε κορυφής που σχεδιάστηκε. Κάθε καινούργια ακμή που πρόκειται να σχεδιαστεί έχει στα άκρα της δύο κορυφές. Είναι οι γραμμές στις οποίες υπάρχει άσσος στην εκάστοτε στήλη, που αντιπροσωπεύει μια ακμή του προσκείμενου πίνακα G. Εάν, δηλαδή, η δεύτερη στήλη έχει άσσο στην τρίτη και στην πέμπτη γραμμή, αυτό σημαίνει ότι ενώνει την τρίτη με την τέταρτη κορυφή. Αν κάθε φορά που πρόκειται να σχεδιάσουμε μία νέα ακμή διατρέχουμε τις γραμμές της στον πίνακα G, μπορούμε να καταχωρούμε τις κορυφές της. Αυτές τις δύο κορυφές θα τις συγκρίνουμε με τις «παλιές» που έχουν σχεδιαστεί και είναι καταχωρημένες σ εναν πίνακα. Αν η σύγκριση δείξει ότι μια από τις νέες κορυφές ταυτίζεται με μία από τις «παλιές», τότε ένας μετρητής θα αυξάνεται κατά ένα. Η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο μετρητής είναι δύο, αφού για μία ακμή το πολύ και οι δύο κορυφές της να ταυτίζονται με τις προυπάρχουσες. Αν η τιμή του μετρητή για μία ακμή είναι 0 ή 1 τότε αυτή η ακμή επιτρέπεται να σχεδιαστεί. Αν η τιμή του μετρητή για μία ακμή είναι 2, τότε αυτό σημαίνει ότι η εισαγωγή αυτής της ακμής θα δημιουργήσει κύκλο και άρα δεν πρέπει να σχεδιαστεί. Πρέπει να πούμε πως αν ο μετρητής δείχνει 0 ή 1 για μια ακμή, αυτό δεν σημαίνει μόνο ότι θα τη σχεδιάσουμε αλλά και ότι θα καταχωρήσουμε και τη νέα ή τις νέες κορυφές της στον πίνακα με τις «παλιέςήδη χρησιμοποιημένες» κορυφές. Το τμήμα του κώδικα που υλοποιεί όλα τα παραπάνω σε MATLAB είναι το ακόλουθο: Κώδικας MATLAB Χαρακτηριστικά του Αλγόριθμου του Prim - Πολυπλοκότητα και Ταχύτητα Χρησιμοποιώντας ένα δυαδικό δένδρο, ο αλγόριθμος του Prim μπορεί να αποδειχθεί ότι τρέχει σε χρόνο Ο(ΕlogV), όπου Ε ο αριθμός των ακμών και V είναι ο αριθμός των κόμβων. Χρησιμοποιώντας το λεγόμενο Fibonacci Heap vii, μπορούμε να οδηγηθούμε σε μεγαλύτερη ταχύτητα (Ε+VlogV), που είναι σημαντικά μεγαλύτερη όταν έχουμε πυκνό δέντρο. vii Με το Fibonacci Heap αναλύουμε το δένδρο σε «γονείς» και «παιδιά» με σχεδιασμό από πάνω (γονείς) προς τα κάτω (παιδιά), και ακολουθώντας την παραδοχή ότι τα παιδιά θα έχουν πάντα μεγαλύτερα βάρη από τους γονείς. Έτσι, οι συνδυασμοί ελέγχου που κάνει ο Ρrim για την ταξινόμηση, καθώς και για τον έλεγχο της κυκλικότητας, είναι πολύ λιγότεροι. 196

198 Ο Αλγόριθμος του Borvka Πρόκειται για έναν πολύ ταχύτερο αλγόριθμο από τους πρόηγούμενους δύο που παρουσιάσαμε. Ο αλγόριθμος του τσέχου μαθηματικού Otakar Βorvka αναπτύχθηκε το 1926, προκειμένου να καλύψει τις σχεδιαστικές ανάγκες ενός δικτύου διανομής ηλεκτρικής ενέργειας στη Βοημία. Το πόσο γρήγορά αλλά και παράλληλα αναπτύσεται το ελάχιστο δένδρο σύνδεσης έχει καταστήσει τον αλγόριθμο ευρέως διαδεδομένο στις τεχνολογίες παράλληλης επεξεργασίας με εφαρμογή στα ψηφιακά συστήματα υπολογιστών. Συνήθως συναντάμε τον αλγόριθμο με το όνομα Sollin s algorithm διότι ο Sollin αν και πολύ αργότερα ήταν ο μόνος Δυτικός που επινόησε τον αλγόριθμο. Θα δούμε τώρα τη λειτουργία του αλγόριθμου μέσα από το κλασικό μας παράδειγμα, που χρησιμοποιήσαμε και στους προηγούμενους δύο αλγόριθμους. Έστω ότι έχουμε την παρακάτω συνεκτική γράφο Ε: Σχήμα Δίπλα από αυτόν τον γράφο διατάξτε τους κόμβους του μόνο (χωρίς τις ακμές) όπως ακριβώς διατάσσονται αυτοί στον γράφο Ε. Ονομάστε τον νέο γράφο χωρίς κόμβους S.Ο.S., επομένως είναι ένας μη συνεκτικός γράφος καθώς κάθε κόμβος του συνιστά μία συνεκτική συνιστώσα που δεν επικοινωνεί με τις υπόλοιπες συνιστώσες (κόμβους). Κάθε κόμβος δηλαδή του Ε είναι μια συνεκτική συνιστώσα για το S: Σχήμα Με βάση τα βάρη τώρα στις ακμές του Ε σχεδιάζουμε για κάθε συνεκτική συνιστώσα του S την ελαφρύτερη ακμή που ξεκινά από αυτήν, αδιαφορώντας αν η ακμή αυτή αποτελεί και επιλογή ενός άλλου κόμβου. Άρα, στον παραπάνω γράφο Ε κοιτώντας τον κόμβο Α, θα σχεδιάσουμε για τη συνεκτική συνιστώσα Α στον γράφο S, την ακμή με βάρος 1. Ταυτόχρονα από τη συνεκτική συνιστώσα Β θα σχεδιάσουμε την ακμή με βάρος 2, εφόσον αυτή είναι η ελαφρύτερη ακμή που ξεκινά από τον κόμβο Β στο γράφημα της Ε. Στη συνέχεια θα κάνουμε το ίδιο και για τις συνεκτικές συνιστώσες C και D. Για τη C θα σχεδιάσουμε την ακμή με βάρος 4, 197

199 ενώ προσέξτε ότι για τη D θα ξανασχεδιάσουμε την ακμή με βάρος 1, άσχετα αν αυτή αποτελεί επιλογή σχεδιασμού και για τη συνεκτική συνιστώσα Α. Βλέπουμε ότι με αυτόν τον τρόπο ο αλγόριθμος του Borvka κάνει έναν ταχύτατο έλεγχο κυκλικότητας. Δεν υπήρχε περίπτωση ο κόμβος D να έδινε μία ακμή που θα έκανε κύκλο, γιατί για να σχεδιαστεί μία ακμή θα πρέπει να είναι η μικρότερη που ξεκινά από τον D και αυτή αναγκαστικά θα είναι και η μικρότερη (στη συγκεκριμένη περίπτωση) που ξεκινά από τον Α. Άρα θα έχουμε τον σχεδιασμό της ίδιας ακμής δύο φορές αλλά όχι κυκλικότητα! Συνεχίζοντας η Ε θα σχεδιάσει την ακμή με βάρος 7 η F την ακμή με βάρος 5 και η G την ακμή με βάρος 4. Έτσι, μετά την πρώτη παράλληλη εκτέλεση του αλγόριθμου Borvka έχουμε για το S: Σχήμα Όπως βλέπετε, έχουν σχηματιστεί δύο συνεκτικές συνιστώσες: η ABD και η ECGF. Πηγαίνοντας στη δεύτερη εκτέλεση ακολουθούμε τον ίδιο κανόνα. Με βάση το γράφημα Ε διαγράφουμε την ελαφρύτερη ακμή που συνδέει μία συνεκτική συνιστώσα με το υπόλοιπο γράφημα. Θυμηθείτε ότι στην πρώτη εκτέλεση οι συνεκτικές συνιστώσες θεωρούνταν οι ίδιοι οι κόμβοι. Ενώ τώρα οι συνεκτικές συνιστώσες είναι δύο. Διατρέχω όλες τις κορυφές της πρώτης συνεκτικής γράφου και βλέπω ότι η ελαφρύτερη ακμή που φεύγει από τον γράφο προς το υπόλοιπο γραφημα είναι η ακμή με βάρος 6 που ξεκινά από την κορυφή B και καταλήγει συγκεκριμένα στην κορυφή F. Κάνοντας το ίδιο και για τη δεύτερη συνεκτική συνιστώσα καταλήγω στον σχεδιασμό της ακμής με βάρος 6, αυτή τη φορά από το F προς το B. Έτσι έχουμε: Σχήμα Prim_2. 198

200 Προγραμματιστική Υλοποίηση του Αλγόριθμου Borvka Η δυσκολία της υλοποίησης του αγ Borvka έγκειται στην αναγνώριση των επιμέρους συνεκτικών χωρίων τα οποία προοδευτικά θα ενωθούν με τα ελάχιστα βάρη για να δώσουν το τελικό ελάχιστο δέντρο σύνδεσης. Δεν υπάρχει η δυσκολία ταξινόμησης ή ανακατανομής των πλευρών (στήλες του προσκείμενου πίνακα G) με βάση την ταξινόμηση. Θυμόμαστε ότι ο νέος γράφος S σχηματίζεται από τον παλιό γράφο Ε. Αυτό προγραμματισιτικά μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο προσκείμενος πίνακας για το S θα είναι αρχικά γεμάτος μηδενικά αφού καμία ακμή δεν έχει σχεδιαστεί. Οι άσσοι θα μπαίνουν στον πίνακα του S με βάση τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τη σάρωση του πίνακα E και του πίνακα WEIGHTS. Σαρώνουμε το προσκείμενο πίνακα του Ε κατά γραμμή και σταματάμε κάθε φορά που συναντάμε άσσο. Η στήλη στην οποία συναντήσαμε άσσο είναι μία ακμή που ακουμπά στον κόμβο τον οποίο αντιπροσωπεύει η γραμμή που σαρώνουμε. Κατόπιν από τον αύξοντα αριθμό της στήλης αυτής πάμε στον πίνακα WEIGHTS ο οποίος έχει μία ένα προς ένα σχέση με τον προσκείμενο πίνακα G και βλέπουμε το βάρος της ακμής αυτής. Καταχωρούμε αρχικά την ακμή αυτή ως την ελαφρύτερη, αλλά δεν τη σχεδιάζουμε! Στη συνέχεια, μόλις συναντήσουμε και νέο άσσο στη γραμμή που εξετάζουμε (δηλαδή βρούμε νέα ακμή που ακουμπά στον κόμβο που εξετάζουμε), πάμε και στον πίνακα WEIGHTS και βλέπουμε το βάρος της. Το συγκρίνουμε με το βάρος της προηγούμενης ακμής που είχαμε σαν ελαφρύτερη. Αν είναι πιο ελαφριά, καταχωρούμε αυτή σαν τη νέα ελαφρύτερη, αλλιώς συνεχίζουμε προς αναζήτηση νέας ακμής. Μόλις βρούμε την ελαφρύτερη ακμή για έναν κόμβο, τότε μόνο πάμε στον πρόσκείμενο πίνακα της γράφου S και βάζουμε έναν άσσο στην ίδια γραμμή και στην ίδια στήλη που βρέθηκε η ελαφρύτερη ακμή στον προσκείμενο πίνακα της Ε. Μόλις τελειώσει αυτή η διαδικασία για κάθε κόμβο τότε έχει τελειώσει και η πρώτη επανάληψη του αλγόριθμου Borvka. Εδώ βρίσκεται και το πιο συναρπαστικό κομμάτι του αλγόριθμου Borvka. Αρχικά κάνουμε έναν έλεγχο αν το χωρίο μας είναι συνεκτικό, συγκρίνοντας το πλήθος των κόμβων με το πλήθος των ακμών. Για να είναι συνεκτικό θα πρέπει το πλήθος των ακμών να είναι κατά ένα μικρότερο από το πλήθος των κόμβων. Στη συνέχεια, σε περίπτωση που το γράφημά μας δεν είναι συνεκτικό και συνεπώς αποτελείται ακόμα από συνεκτικές συνιστώσες θα βρούμε ποια συνιστώσα θα ενωθεί με ποια και πώς. Στο σημείο αυτό πρέπει να αναλογιστούμε πως οι ακμές που θα συνδέουν τα συνεκτικά χωρία, θα ακουμπούν σε κόμβους που έχουν βαθμό στον προσκείμενο πίνακα της γράφου Ε τουλάχιστον δύο. Επίσης, εφόσον το δένδρο δεν σχηματίστηκε ακόμη και το συνολικό χωρίο δεν είναι συνεκτικό, αυτές οι κορυφές δευτέρου βαθμού δεν ακουμπούν μεταξύ τους μέσω ακμής. Τέτοια ζεύγη στο παράδειγμά μας είναι τα εξής: (Α,C) (B,F) και (B,D). Υπάρχει όμως περίπτωση ένα από τα ζεύγη αυτά να ανήκει στο ίδιο χωρίο, όπως συμβαίνει με το ζεύγος (Β,D) που δίνει κύκλο αν ενωθεί. Για να αποφευχθεί κάτι τέτοιο πήραμε τα μέτρα μας ήδη από το προηγούμενο βήμα. Οταν ενώναμε πχ. το Α με το Β αν και βάλαμε άσσο μόνο στη σύνδεσή τους, εντούτοις μετά τη συμπλήρωση όλου του προσκείμενου πίνακα της S θεωρήσαμε ότι ο Α μπορεί να επικοινωνήσει με οποιονδήποτε έχει επικοινωνία ο Β στον νέο προσκείμενο πίνακα και αντίστροφα. Βέβαια δεμ σχεδιάζαμε αυτές τις ενδιάμεσες συνδέσεις γιατί κάτι τέτοιο απαγορεύεται από τον ίδιο αλγόριθμο Borvka. Ωστόσο φτιάχνοντας έναμ πίνακα Prohibition βάλαμε άσσο σ αυτές τις ενδιάμεσες συνδέσεις. Έτσι στο σημείο αυτό συμβουλευόμαστε τον πίνακα Prohibition και βλέπουμε ότι το ζεύγος (Β,D) επικοινωνεί έμμεσα μέσω του Α. Άρα τα μόνα ζεύγη που απομένει να εξεταστούν είναι τα (Α,C) και (B,F). Επιλέγοντας το ελάχιστο από αυτά οδηγούμαστε στον σχεδιασμό της ακμής BD και έχουμε φτάσει στο τελικό αποτέλεσμα. Κώδικας MATLAB Ο αλγόριθμος του Borvka αποδεικνύεται ότι «τρέχει» σε χρόνο Ο(ΕlogV), όπου Ε ο αριθμός των ακμών του προσκείμενου πίνακα G και V o αριθμός των κόμβων Εφαρμογή στα Δίκτυα Υπολογιστών Όταν ένας νέος δρομολογητής εισέρχεται στον χώρο του διαδικτύου μπορεί να ανιχνευτεί με το λεγόμενο αλγόριθμο link state ο οποίος δεν είναι τίποτε άλλο από την υλοποίηση του αλγόριθμου του Dijkstra. Ο αλγόριθμος τρέχει από τους δρομολογητές ανά τακτά χρονικά διαστήματα για να επιτευχθεί η συνεχής ενημέρωση των δρομολογητών μεταξύ τους. Θα εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο του Dijkstra στο Παράδειγμα

201 Σχήμα Θεωρήστε ότι κάθε κόμβος είναι και ένας δρομολογητής. Κάθε δρομολογητής έχει σαν στόχο να καταρτίσει ένα πίνακα που να τον πληροφορεί για το πώς θα πάει σε οποιονδήποτε άλλο με το ελάχιστο κόστος. Έστω ότι θέλουμε να καταρτίσουμε τον πίνακα αυτό για τον δρομολογητή Α. Ο Α βλέπει τους προσκείμενους γείτονές του και παρατηρεί ότι ο πλησιέστερος είναι ο Β, και οπότε θεωρεί τη σύνδεσή του με το Β μέσω της διαδρομής με κόστος 2. Παράλληλα, όμως, θυμάται και τους άλλους γείτονές του και τις αποστάσεις που έχει από αυτούς, χωρίς όμως να θεωρήσει τις αποστάσεις αυτές ως τις ιδανικότερες, όπως έκανε με το Β. Μόλις ο Β θεωρηθεί δεδομένος από τον Α τότε ενημερώνει και αυτός με τη σειρά του τον Α για τους δικούς του γείτονες. Έτσι π.χ. ενώ μέχρι τώρα ο Α ήξερε ότι μπορεί να πάει στον D με κόστος 1 άμεσα, τώρα ξέρει ότι μπορεί να πάει στον D και μέσω του Β με κόστος (2+3) 5. Επίσης πληροφορείται από τον Β ότι μπορεί να πάει στο F μέσω του B με κόστος (2+6) 8. Η διαδρομή με το μικρότερο κόστος ανάμεσα στις νέες που προέκυψαν λόγω του Β και στις αρχικές που μπορούσε να δει ο Α είναι η AD με κόστος 1. Έτσι μονιμοποιεί αυτή τη διαδρομή, διαγράφει οποιαδήποτε άλλη διαδρομή για το D και κρατά όλα τα υπόλοιπα ενδεχόμενα ανοικτά για τους υπόλοιπους δρομολογητές. Είναι τώρα σειρά του D να τον ενημερώσει για τους γείτονές του, κ.ο.κ. Έτσι αυτό που θα προκύψει είναι το ίδιο με τους αλγόριθμους του Kruskal, Prim και Borvka. Σχήμα Prim_2. Επίσης, σε επίπεδο τοπικού δικτύου (LAn-Local Area network) ο λεγόμενος αλγόριθμος δρομολόγησης πακέτων που εφαρμόζει το πρωτόκολλο Ethernet είναι ένας συνδυασμός των παραπάνω αλγορίθμων. 200

202 Εφαρμογή στην Τεχνητή Νοημοσύνη Στο γνωστό πρόβλημα του clustering που υπάρχει στην αναγνώριση προτύπων πέρα από τα κλασικά νευρωνικά δίκτυα S.O.F.M. (Self-Organizing Feature Maps) υπάρχουν και πολλοί άλλοι ανταγωνιστικοί αλγόριθμοι που βασίζονται στα M.S.T. Ως «clusters» μπορούμε να θεωρήσουμε αρχικά κάποιους κόμβους και με βάση τις αποστάσεις των υπόλοιπων προτύπων-κόμβων να φτιάξουμε ένα δένδρο. Τρέχοντας στη συνέχεια έναν από τους αλγόριθμους βλέπουμε πόσο «απέχουν» τα πρότυπα μεταξύ τους. Τα τελικά μη συνεκτικά χωρία θα είναι και τα τελικά clusters Εφαρμογή στην Παράλληλη Επεξεργασία Ο αλγόριθμος του Borvka συνιστά από μόνος του μια μεθοδολογία που μπορεί να υποδείξει το βέλτιστο τρόπο παράλληλης επεξεργασίας για την επίλυση ενός προβλήματος. Έτσι προτείνονται και λύσεις για νέες αρχιτεκτονικές παράλληλων επεξεργαστών. Επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υποδείξει όχι τον γρηγορότερο αλλά τον λιγότερο δαπανηρό από άποψη μνήμης τρόπο επίλυσης, δίνοντας έτσι μία πρόταση για δυναμική διαχείριση μνήμης Εφαρμογή στις Βάσεις Δεδομένων Στο δύσκολο πρόβλημα του προγραμματισμού βάσεων δεδομένων καθώς και των κατάλληλων μηχανών αναζήτησης που θα βρίσκουν τα επιθυμητά δεδομένα με βάση τα επιθυμητά κριτήρια, τα MST αποτελούν ένα κλασικό εργαλείο. Κάθε κόμβος και ένα κριτήριο και τα βάρη των ακμών αναπροσαρμόζονται ανάλογα με την κατηγορία αναζήτησης που έκανε ο χρήστης της μηχανής αναζήτησης. Απομένει ο τελικός αλγόριθμος MST για να παρουσιάσει στον χρήστη τα αποτελέσματα αναζήτησης, από το σημαντικότερο (ελαφρύτερη ακμή) προς στο λιγότερο σημαντικό (βαρύτερη ακμή). Παράδειγμα Υπολογισμός του Πλήθους των Δένδρων Σύνδεσης. Υπολογισμός του πλήθους των δένδρων σύνδεσης ενός γράφου G. Ο αριθμός t(g) των δένδρων σύνδεσης που ανήκουν σε έναν συνεκτικό γράφο είναι ένα σημαντικό, αναλλοίωτο μέγεθος. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι εύκολο να υπολογιστεί το t(g) άμεσα. Σε γράφους με μεγάλο αριθμό κορυφών και ακμών απαιτείται η χρήση ενός θεωρήματος, που δημοσιεύτηκε το 1847 από τον Kirchhoff. Το θεώρημα αυτό χρησιμοποιείται ευρύτατα σε δομές δεδομένων και σε διάφορες γλώσσες προγραμματισμού. Θεώρημα (Kirchhoff 1874) Υπολογισμός του πλήθους t(g) των δένδρων σύνδεσης ενός γράφου G. Έστω A= α ij n n ο πίνακας γειτνίασης του γράφου G με κορυφές e 1,e 2,,e n. Έστω ακόμη B= b ij n n ο πίνακας με στοιχεία b ij =α ij όταν i j και b ij =deg[ vi ]. Αν S ο (n-1) (n-1) πίνακας που αντιστοιχεί στο στοιχείο max( 1 i n )b ij. Τότε, το πλήθος των δένδρων σύνδεσης του γράφου G είναι det [S]. Αν S υποπίνακας του Β, που αντιστοιχεί στο στοιχείο b ij, τότε det[s]=-1 i+j )det[s]. Μερική περίπτωση: αν G είναι δέντρο, προκύπτει ότι, t(g)=1, ενώ αν G είναι C n κυκλικός γράφος με n κορυφές, τότε t(g)=n. Για κάθε γράφο G, το t(g) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ορίζουσα του πίνακα γειτνίασης του Kirchhoff. Παράδειγμα Υπολογισμός του πλήθους των δένδρων σύνδεσης στον γράφο του Σχήματος

203 Σχήμα Γράφος για τον υπολογισμό του πλήθους των δένδρων σύνδεσης. Ο πίνακας γειτνίασης είναι: A = Ο αντίθετός του είναι: A = Οι βαθμοί των κορυφών είναι: Κορυφή: v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Βαθμός:

204 Εισάγουμε τους αριθμούς αυτούς ως διαγώνια στοιχεία και προκύπτει ο πίνακας Β: B = Παρατηρείτε ότι το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής είναι 0. Επίσης παρατηρείτε ότι για τον υπολογισμό της ορίζουσας θα είναι πιο εύκολο να θεωρήσουμε τον υποπίνακα που αντιστοιχεί στο b 55 =4, παρά εκείνον που αντιστοιχεί στο b 11 =2. Επειδή το b 55 είναι στην πέμπτη γραμμή και στήλη πρέπει να 2 1 πολλαπλασιάσουμε την ορίζουσα με (-1) 5+5 =1. Ο πίνακας S είναι: = S Μετά από την τριγωνοποίησή του, προκύπτει η διακρίνουσα: 2 1 5/2 1 D = = 21. S 13 / / 13 Το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου δίνει την ορίζουσα του πίνακα: (2)(5/2)(13/5)(21/13)=21 Άρα υπάρχουν 21 δένδρα σύνδεσης. Παράδειγμα Υπολογισμός του πλήθους των δένδρων σύνδεσης στο K n. Επειδή στο K n υπάρχει μία ακμή ανάμεσα σε κάθε ζεύγος διακεκριμένων κορυφών, και κάθε κορυφή είναι βαθμού n-1, ο πίνακας S θα είναι πίνακας (n-1) (n-1) με όλα τα στοιχεία του ίσα με -1, εκτός από τα στοιχεία της κυρίας διαγώνιου, τα οποία θα είναι ίσα με n-1. Σε αυτόν τον πίνακα όταν αφαιρεθεί η πρώτη γραμμή από τις άλλες γραμμές και προστεθούν οι στήλες 2 έως (n-1) στην πρώτη στήλη, προκύπτει ένας άνω τριγωνικός πίνακας με n-1 από τα στοιχεία της κυρίας διαγώνιου να είναι ίσα με n και ένα μόνο να είναι ίσο με 1. Συνεπώς, η ορίζουσα του πίνακα ισούται με n n-2. Ο αριθμός αυτός εκφράζει και το πλήθος των δένδρων σύνδεσης του K n. Ο αριθμός των δένδρων σύνδεσης του γράφου G, θα συμβολίζεται με t(g). Το επόμενο αποτέλεσμα οφείλεται στον Άγγλο μαθηματικό Arthur Cayley ( ), και δημοσιεύτηκε στα Θεώρημα (Cayley 1874). Ο αριθμός των δένδρων σύνδεσης σε ένα πλήρη γράφο K n είναι t(g)=n n-2. Σημείωση Τύπος Cayley μπορεί να αποδειχθεί και με τη βοήθεια πίνακα του Kirchhoff, ή μέσω του κώδικα Prufer. Θεώρημα Αν G είναι πλήρης διμερής K p,q, τότε t(g)=p q-1 )q p-1 ). 203

205 5.11. Επίπεδοι Γράφοι Μετά την εισαγωγή στη θεωρία γράφων του πέμπτου κεφαλαίου έχει διαμορφωθεί το γνωστικό υπόβαθρο για την παρουσίαση νέων προβλημάτων που ανήκουν σε αυτή την περιοχή. Τέσσερα από αυτά τα προβλήματα θα παρουσιαστούν. Πρώτα ο σχεδιασμός γράφου στο επίπεδο, έτσι ώστε οι ακμές του να μην έχουν άλλα κοινά σημεία παρά μόνο εκείνα των κορυφών. Για έναν τέτοιο σχεδιασμό θα παρουσιαστεί κατάλληλος αλγόριθμος, ο οποίος οδηγείται σε αδιέξοδο μόνο όταν ο ζητούμενος γράφος δεν μπορεί να σχεδιαστεί στο επίπεδο. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί το πρόβλημα του χρωματισμού γράφων. Η αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού επιτρέπει τη διαχείριση μεγάλου αριθμού εφαρμογών. Ο αλγόριθμος, που θα παρουσιαστεί επιτρέπει τη χρήση του ελάχιστου δυνατού αριθμού χρωμάτων για τον χρωματισμό ενός γράφου. Στην τρίτη ενότητα, θα παρουσιαστεί ένας αλγόριθμος ιδιαίτερα χρήσιμος αλγόριθμος για τη διοίκηση επιχειρήσεων. Πρόκειται για έναν αλγόριθμο που βρίσκει τον μέγιστο όγκο υλικού ή πληροφορίας που μπορεί να διακινηθεί μέσα από ένα δίκτυο, όπως είναι τα δίκτυα σιδηροδρόμων, τα τηλεφωνικά ή τα δίκτυα ύδρευσης και τα δίκτυα υπολογιστών. Τέλος, το τέταρτο πρόβλημα που παρουσιάζεται είναι εκείνο της ρύθμισης των αριθμητικών υπολογισμών με στόχο την ελαχιστοποίηση του παραγόμενου σφάλματος υπολογισμών. Ένας ψευδογράφος καλείται επίπεδος (planar) αν αυτός μπορεί να σχεδιαστεί στο επίπεδο, έτσι ώστε οι ακμές του να μη έχουν άλλα κοινά σημεία παρά μόνο στις κορυφές. Στο Σχήμα διακρίνονται τρεις διαφορετικές σχεδιάσεις του προσαρτημένου πίνακα: Α= Οι τρεις αυτοί γράφοι είναι: Σχήμα Τρεις ισόμορφοι γράφοι, από τους οποίους μόνο ο πρώτος είναι επίπεδος. Η πρώτη αναπαράσταση δεν είναι επίπεδος γράφος. Οι επόμενες δύο όμως είναι. Το ερώτημα είναι αν μπορούμε για κάθε γράφος να διακρίνουμε τη δυνατότητα να παρασταθεί ως επίπεδος γράφος. Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή του προβλήματος αναπαράστασης γράφου ως επίπεδου γράφου είναι η αποτύπωση ενός ηλεκτρονικού κυκλώματος σε μια μόνο επιφάνεια πλακέτας. Αν το ηλεκτρονικό κύκλωμα απεικονίζει επίπεδος γράφος, τότε η διαμόρφωση του τυπωμένου κυκλώματος δεν απαιτεί ανισόπεδες παρακάμψεις για την αποφυγή βραχυκυκλωμάτων. Διαδραστικό Αντικείμενο Διαπιστώστε δοκιμάζοντας αν οι γράφοι της εφαρμογής είναι επίπεδοι. Δοκιμάστε Εντοπισμός Επίπεδων Γράφων Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. 204

206 Το πιο γνωστό πρόβλημα διάγνωσης περί του επιπέδου (ή μη) γράφου, είναι εκείνο του Κ 3,3. Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως το πρόβλημα των τριών μονοκατοικιών και των τριών εταιρειών παροχής υπηρεσιών, όπως Ύδρευσης, Ηλεκτρισμού, Τηλεπικοινωνιών. Η ερώτηση αναφέρεται στη δυνατότητα σύνδεσης των τριών μονοκατοικιών με τις τρεις εταιρείες, χωρίς να διασταυρωθούν οι γραμμές παροχής. Σχήμα Το παιχνίδι των τριών σπιτιών και των τριών εταιρειών ύδρευσης, ενέργειας και επικοινωνιών. Η απόδειξη ότι το Κ 3,3 δεν μπορεί να σχεδιαστεί στον διδιάστατο χώρο χωρίς να τέμνονται τουλάχιστον δυο από τις ακμές του μπορεί να γίνει είτε με τη βοήθεια του θεωρήματος του Euler ή διαφορετικά με το θεώρημα διαχώρισης των Jordan-Brouwer (Jordan-Brouwer separation theorem). Ένα άλλο πρόβλημα που επίσης αφορά μη επίπεδο γράφο είναι εκείνο των πέντε κάστρων των οποίων οι στρατιώτες κατά τις μετακινήσεις τους από ένα σε οποιοδήποτε άλλο κάστρο δεν πρέπει να συναντήσουν στρατιώτες από άλλο κάστρο. Ο γράφος που αντιστοιχεί στο μοντέλο αυτό είναι ένας πλήρης γράφος πέντε κορυφών Κ 5. Το πρόβλημα αφορά τη δυνατότητα σχεδίασης του Κ 5 στον χώρο των δυο διαστάσεων, χωρίς οι ακμές του να τέμνονται. Η απάντηση και σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του θεωρήματος του Euler. Το θεώρημα του Euler κάνει χρήση της έννοιας της όψης σε επίπεδους γράφους. Διαδραστικό Αντικείμενο Αναπαράσταση γράφων σε ισόμορφους προς τους αρχικούς επίπεδους γράφους. Δείτε το με κίνηση Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. 205

207 Σχήμα Ο γράφος Κ 5. Όψη είναι η περιοχή του επιπέδου που περιβάλλεται από ένας κύκλος (κύκλο). Ένας κύκλος χωρίζει το επίπεδο σε δυο όψεις: την εσωτερική και το εναπομένον τμήμα του επιπέδου στο εξωτερικό του κύκλου, που επίσης ικανοποιεί τον παραπάνω ορισμό της όψης. Ας σημειωθεί ότι η όψη σχετίζεται ισχυρά με το τοπολογικό θεώρημα της καμπύλης των Jordan-Brouwer. Είναι πρωτοφανές ότι κάθε επίπεδος ψευδογράφος διαιρεί το επίπεδο σε έναν αριθμό όψεων. Σχήμα Με κεφαλαίους χαρακτήρες σημειώνονται οι όψεις στον επίπεδο γράφο. Θεώρημα (Euler 1752). Σε κάθε επίπεδο συνεκτικό ψευδογράφο ισχύει ότι V-E+F=2, Όπου V το πλήθος των κορυφών, Ε το πλήθος των ακμών και F το πλήθος των όψεων. 206

208 Πόρισμα Αν G είναι ένας επίπεδος γράφος με k συνιστώσες, τότε ισχύει, n+r=m+k+1 (Εφαρμογή του τύπου του Euler σε κάθε συνιστώσα λαμβάνοντας μία μόνο φορά την άπειρη περιοχή). Λήμμα (Λήμμα Χειραψίας για επίπεδους γράφους): Για κάθε απλό επίπεδο συνδεδεμένο γράφο G ισχύει: r= m n+ 2 i= 1 ( i ) 2m = d r όπου d(ri) είναι ο βαθμός της περιοχής ri δηλ. ο αριθμός των ακμών που περικλείουν την i περιοχή. Απόδειξη Σε κάθε επίπεδο γράφο κάθε ακμή επειδή βρίσκεται στο σύνορο 2 περιοχών, συνεισφέρει ακριβώς 2 στο άθροισμα των βαθμών των περιοχών. Μέγιστος (maximal) ή τριγωνοποιημένος (triangulated) επίπεδος γράφος είναι εκείνος ο γράφος στον οποίο η εισαγωγή μιας νέας ακμής τον καθιστά μη επίπεδο. Στο Σχήμα , διακρίνονται επτά όψεις (F=7), οκτώ κορυφές (V=8) και δεκατρείς (Ε=13) και οκτώ ακμές Ε=8. Η απόδειξη του θεωρήματος γίνεται με επαγωγή στον αριθμό των όψεων. Αν ο ψευδογράφος δεν έχει κυκλώματα, τότε αυτό είναι δένδρο. Όπως είναι γνωστό κάθε δένδρο έχει n κορυφές, n-1 ακμές και μια μόνο όψη αφού δεν έχει κύκλους ή κυκλώματα. Για τα δένδρα λοιπόν ισχύει η σχέση του Euler. Αν ένας ψευδογράφος έχει ένα μόνο κύκλο, τότε V=E και F-=2. Υποθέτουμε ότι ο τύπος ισχύει για ψευδογράφους με k όψεις. Θεωρούμε ψευδογράφος με k+1 όψεις. Απαλείφοντας μια όψη (δια της απομάκρυνσης των ακμών που την περιβάλλουν και βρίσκονται στο εσωτερικό του ψευδογράφου). Στο Σχήμα παρουσιάζονται τρία παραδείγματα απαλοιφής ακμών για τον περιορισμό των όψεων. Σχήμα Με διακεκομμένη γραμμή σημειώθηκαν οι ακμές που θα μπορούσαν να σβηστούν. Επειδή ο νέος ψευδογράφος G έχει k όψεις, ο τύπος του Euler ισχύει. Έστω τώρα ότι V, E και F ο αριθμός των κορυφών, των ακμών και των όψεων αυτού του υποψευδογράφου. Τότε θα είναι V -E +F =2. Υποθέστε τώρα ότι απαλείφθηκαν e ακμές από το G για να προκύψει το G. Τότε, E=E +e, V=V +e-1 και F=F +1. Έτσι, V-Ε+F=(V +e-1)-(e +e)+(f +1)=V -E +F =2. Με τη βοήθεια του τύπου του Euler, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι οι γράφοι K 3,3 και K 5 δεν είναι επίπεδοι γράφοι. Για το K 3,3 ισχύει ότι V=6 και Ε=9. Αν το K 3,3 είναι επίπεδο, τότε από τον τύπο του Euler θα ήταν F=5. Θα δείξουμε ότι αυτοί οι αριθμοί οδηγούν σε άτοπο. Πρώτα θα πρέπει να σημειωθεί ότι για τον συγκεκριμένο γράφο ισχύει ότι κάθε όψη έχει τουλάχιστον τέσσερεις ακμές στο κύκλωμα που την περικλείει. Πράγματι, αν κάποιο κύκλωμα περιβαλλόταν μόνο από 207

209 τρεις ακμές, θα έπρεπε να αρχίζει από μια κορυφή της α ομάδας κορυφών (τα στοιχεία της οποίας συνδέονται αποκλειστικά με στοιχεία της ομάδος β ) και να καταλήγει σε κορυφή της ομάδας β. Με αυτόν τον τρόπο δεν θα έκλεινε κύκλωμα. Έτσι, η επίπεδη αναπαράσταση πρέπει να έχει τουλάχιστον τέσσερις ακμές, και ότι η επίπεδη αναπαράσταση πρέπει να έχει τουλάχιστον 4F/2 ακμές. Αυτό συμβαίνει επειδή καμία κορυφή δεν έχει βαθμό 1, κάθε ακμή φράσσει δυο όψεις. Έτσι, αν ο αριθμός των ακμών είναι 4F θα μετρούσε κάθε ακμή δυο φορές. Ας σημειωθεί ότι μερικές από τις όψεις μπορεί να περιβάλλονται από περισσότερες των τεσσάρων ακμών. Αυτό σημαίνει ότι 4F 2E. Αλλά F=5 και Ε=9. Από αυτά συνεπάγεται ότι το Κ 3,3 δεν είναι επίπεδος γράφος. Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι το K 5 δεν είναι επίπεδος γράφος. Στους γράφους αυτά είναι V=5 και F=7. Επειδή κάθε όψη έχει τουλάχιστον τρεις ακμές στο κύκλωμα που την περιβάλλει και επειδή επιπλέον κάθε ακμή χωρίζει δυο όψεις, θα ισχύει ότι 3F/2 E. Αν όμως αντικαταστήσουμε τις τιμές των F και Ε προκύπτει ότι 21/2 10, που οδηγεί σε άτοπο. Συμπέρασμα της συλλογιστικής αυτής είναι ότι το K 5 δεν είναι επίπεδος γράφος. Σχήμα Ο τύπος του Euler για επίπεδες απεικονίσεις απλών πολύεδρων. Ο τύπος του Euler ισχύει και για απλά πολύεδρα. Αυτό δεν είναι τυχαίο: κάθε απλό πολύεδρο μπορεί να μετατραπεί σε έναν συνεκτικό, επίπεδο γράφο, χρησιμοποιώντας τις κορυφές του πολύεδρου ως κορυφές του γράφου και τις ακμές του πολύεδρου ως ακμές του γράφου. Οι όψεις του επίπεδου γράφου τότε αντιστοιχούνται στις πλευρές του πολύεδρου. Για παράδειγμα, στον επίπεδο γράφο που απεικονίζεται εδώ αντιστοιχεί σε ένα τετράεδρο. Δεν ισχύει όμως ότι κάθε συνεκτικός, επίπεδος γράφος ανήκει σε ένα απλό πολύεδρο. Χαρακτηριστική περίπτωση είναι τα δένδρα τα οποία προφανώς δεν είναι πολύεδρα. Θεώρημα Steinitz. Οι πολύεδροι γράφοι που αντιστοιχούν σε κυρτά πολύεδρα είναι πεπερασμένα 3-συνεκτικοί επίπεδοι γράφοι. 208

210 Σχήμα Απεικόνιση γράφου σε χώρο διάστασης 3 κατά την περιστροφή του περί άξονα διερχόμενου από την πράσινη κορυφή και καθέτου στο επίπεδο των άλλων κορυφών του. Εξωτερικά επίπεδοι γράφοι καλούνται οι γράφοι των οποίων οι κορυφές βρίσκονται επί κλειστής κυρτής καμπύλης και οι ακμές του βρίσκονται εξολοκλήρου στο εσωτερικό του φραγμένου από την καμπύλη χώρου, αλλά καμία εξ αυτών δεν τέμνει μια άλλη ακμή του γράφου. Κάθε εξωτερικός επίπεδος γράφος είναι επίπεδος, αλλά το αντίθετο δεν ισχύει: για παράδειγμα ο Κ 4 είναι επίπεδο, αλλά δεν είναι εξωτερικός επίπεδος γράφος. Ο Κ 4 είναι ο μικρότερος μη εξωτερικός επίπεδος γράφος: Ένα θεώρημα παρόμοιο με εκείνο του Kuratowski αναφέρει ότι ένας πεπερασμένος γράφος είναι εξωτερικός επίπεδος γράφος, αν και μόνο αν δεν περιέχει υπογράφο, ο οποίος είναι μια επέκταση του Κ 4 ή Κ 2,3. Στη θεωρία γράφων η συστολή ακμής είναι η πράξη κατά την οποία η ακμή αφαιρείται ενώ ταυτόχρονα οι κορυφές που συνέδεει εκφυλίζονται σε μια. Η πράξη της συστολής ακμής χρησιμοποιείται στην επαγωγική απόδειξη πλήθους προτάσεων στη θεωρία γράφων. Ένας γράφος ονομάζεται «μέγιστος επίπεδος γράφος» (ή τριγωνικός γράφος) αν είναι επίπεδος, και η πρόσθεση κάθε νέας ακμής τον καθιστά μη επίπεδο. Όλες οι όψεις (ακόμη και η εξωτερική) φράσσονται από τρεις ακμές, γεγονός που εξηγεί την εναλλακτκή ονομασία αυτών των γράφων ως τριγωνικών γράφων. Εάν ένας τριγωνικός γράφος έχει v κορυφές με v>2, τότε θα έχει ακριβώς 3v-6 ακμές και 2v-4 όψεις. Η σημασία της ιδιότητας αυτής των Κ 3,3 και Κ 5 είναι ιδιαίτερα σημαντική χάρη σε ένα αποτέλεσμα σχετικής έρευνας που παρουσίασε ο πολωνός μαθηματικός Kasimir Kuratowski. Το 1930 ο Kuratowski απόδειξε ότι κάθε μη επίπεδος γράφος περιέχει έναν υπογράφο, ο οποίος είναι Κ 5 ή Κ 3,3 προκύπτει από αυτά με προσθήκη μιας ή περισσότερων κορυφών βαθμού δύο. Για παράδειγμα οι γράφοι του Σχήματος δεν είναι Κ 3,3 και Κ 5 γιατί έχει προστεθεί κορυφή βαθμού 2. Σχήμα Στους γράφους της εικόνας, διακρίνονται ο Κ 3,3 και ο Κ 5. Την απόδειξη του θεωρήματος του Kuratowski μπορεί κανείς να διαβάσει στο Για τη διερεύνηση της επιπεδικότητας ενός γράφου θα παρουσιαστεί στη συνέχεια ένας αλγόριθμος που οφείλεται στους De Moucron, Malgrange και Peruiset (1964). Ο αλγόριθμος, που δημοσιεύτηκε το 1964, οδηγεί στην επανασχεδίαση ενός γράφου στο επίπεδο, εφόσον αυτό είναι δυνατό. Να σημειωθεί ότι ο αλγόριθμος αυτός εφαρμόζεται σε γράφους και όχι σε 209

211 ψευδογράφους. Είναι δε επαρκής η γνώση μας για τη δυνατότητα σχεδίαση ενός γράφου σε επίπεδο, καθώς φαίνεται από το σκεπτικό που παρατίθεται στη συνέχεια. Υποθέστε ότι G είναι ψευδογράφος. Σχηματίστε τον γράφο G απομακρύνοντας όλους τους βρόγχους και αφήστε μόνο μια ακμή μεταξύ των κορυφών πολλαπλής σύνδεσης. Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τον επόμενο αλγόριθμο για να σχεδιάσετε το G στο επίπεδο. Αν αυτό δεν είναι εφικτό, τότε δεν είναι εφικτή και η σχεδίαση του G στο επίπεδο. Ας υποθέσουμε ότι το G είναι επίπεδος γράφος. Ακολουθεί η σχεδίαση του G με την σχεδιάση των πολλαπλών ακμών και των βρόγχων που είχαν απαληφθεί. Σχήμα Οι γράφοι α και β είναι επίπεδοι γράφοι, όπως φαίνεται στους ισόμορφους αυτών δ και γ αντίστοιχα. Εισάγεται εδώ η έννοια του συμπληρώματος. Συμπλήρωμα S του S, είναι ένας υπογράφος του G, που αποτελείται από όλες τις ακμές του G οι οποίες δεν ανήκουν στο S και όλες τις κορυφές που ορίζουν αυτές τις ακμές. Σχήμα Ο υπογράφος S είναι συμπλήρωμα του S ως προς τον αρχικό γράφο G. Ορισμός Αρχική κορυφή μιας διαδρομής e 1,e 2,e 3,,en ορίζεται η κορυφή της e 1 που δεν ανήκει στην e 2. Ορισμός Καταληκτική κορυφή της ίδιας διαδρομής e 1,e 2,e 3,,e n η κορυφή της e n που δεν ανήκει στην e n

212 Ορισμός Ένας συνεκτικός υπογράφος S του γράφου G, καλείται γέφυρα του S αν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Η γέφυρα του S στο G είναι ένας συνεκτικός υπογράφος του S, που αποτελείται από μια ή περισσότερες ακμές Κάθε ακμή στο συμπλήρωμα S ανήκει σε μια μόνο γέφυρα. Αν μια ακμή στο συμπλήρωμα έχει και τις δυο της κορυφές στο S, τότε αυτή αποτελεί μια γέφυρα στο S. Δυο ακμές βρίσκονται στην ίδια γέφυρα, αν βρίσκονται σε μια απλή διαδρομή της οποίας τόσο η αρχική, όσο και οι καταληκτικές κορυφές είναι οι μόνες κορυφές που ανήκουν στη γέφυρα και το S. Παρατηρείται ότι η ιδιότητα 4 εκφράζει και τις ιδιότητες 1 έως 3, οι οποίες όμως αναφέρονται στη βιβλιογραφία και ως ειδικές περιπτώσεις της 4. Έστω Χ και Υ δύο υπογράφοι ενός δεδομένου γράφου που δεν έχουν κοινές ακμές, και έστω Ζ ένας υπογράφος, τέτοιος ώστε κάθε διαδρομή από τον Χ στον Υ περιέχει μια κορυφή του Ζ. Ο γράφος Ζ αποτελεί φράγμα μεταξύ του Χ και του Υ. Αξίζει να σημειώσουμε ότι για ένα δεδομένο Ζ μπορεί να υπάρχουν πολλοί υπογράφοι Χ και Υ. Τα Χ και Υ με μέγιστο αριθμό κορυφών είναι γέφυρες του Ζ. Ο Ζ αποτελεί φράγμα μεταξύ των γεφυρών του. Μια σημαντική γέφυρα του Ζ περιέχει τουλάχιστον μία κορυφή που δεν ανήκει στο Ζ. Τονίζουμε ότι ένας γράφος είναι k-συνεκτικός, αν δεν υπάρχει υποσύνολο κορυφών με μέγεθος k ή μεγαλύτερο που να περιέχει δύο ή περισσότερες σημαντικές γέφυρες. Στο Σχήμα απεικονίζεται γράφος G στον οποίο ο υπογράφος S εμφανίζεται με ερυθρή γραμμή. Με χρήση της πρώτης ανίχνευσης σε βάθος, εντοπίζονται οι γέφυρες. Για παράδειγμα, με την επιλογή της α 1 ως πρώτης ακμής της γέφυρας Α καταγράφονται οι ακμές μιας διαδρομής, μέχρι της εξάντλησης των ακμών που δεν έχουν επιλεγεί. Η διαδρομή που καταγράφεται με την πρώτη ανίχνευση σε βάθος είναι α 1, α 2, α 3, α 4. Στο σημείο αυτό δεν μπορεί να επιλεγεί η α 6 αλλά ούτε και η β 1 γιατί στη διαδικασία της ανίχνευσης που ακολουθήθηκε, υπήρξαν δύο διακλαδώσεις. Σχήμα Εντοπισμός γεφυρών 211

213 Διαδραστικό Αντικείμενο Εντοπισμός γεφυρών σε επίπεδο γράφο. Εντοπισμός γεφυρών Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. Επειδή η διαδρομή κατέληξε σε κορυφή που ανήκει στο S, επιστρέφει ο έλεγχος στην πρώτη κορυφή που υπάρχει διακλάδωση και η πρώτη ανίχνευση σε βάθος συνεχίζεται από το σημείο αυτό: α 5, α 6. Πάλι δεν ολοκληρώθηκε η ανίχνευση της γέφυρας γιατί στην ανίχνευση της διαδρομής υπήρξε διακλάδωση. Τώρα καταγράφεται η α 7 και επιστρέφει ο έλεγχος στην πρώτη διακλάδωση για να καταγραφεί και ο κλάδος α 8, α 9, α 10. Στη συνέχεια καταγράφονται και οι γέφυρες {β 1,β 2 }, {γ 1,γ 2,γ 3,γ 4 }, {δ 1,δ 2,δ 3,} κ.λπ. η ακμή ζ είναι και αυτή γέφυρα σύμφωνα με την 3η ιδιότητα. Κάθε όψη ενός επίπεδου γράφου έχει ένα περιβάλλον κύκλωμα. (Η «εξωτερική» όψη φράσσεται από τις εξωτερικές ακμές). Η καταγραφή μιας όψης γίνεται με την καταχώρηση των κορυφών του περιβάλλοντος κυκλώματος. Σχήμα Γράφος πέντε όψεων. Στο Σχήμα οι όψεις είναι {α,β,δ,α}, {α,ζ,ε,γ,δ,α}, {β,δ,γ,α}, {η,θ,ι,η} και η εξωτερική: {α,ζ,ε,η,θ,ι,η,ε,γ,β,α}. Αλγόριθμος Demoucron et al. (Σχεδίαση γράφου στο επίπεδο). Αν ο γράφος δεν έχει κανένα κύκλωμα, πήγαινε στο 8. Σχεδίασε ένα από τα κυκλώματα του γράφου στο επίπεδο. Ονόμασε το κύκλωμα S. Αν S=G, πήγαινε στο 9. Αν υπάρχει μία γέφυρα Β για το S στο G, η οποία περιέχει μόνο μία κορυφή του S, προσάρτησε έναν επίπεδο ψευδογράφο του Β (είναι πιθανό να αποτελείται μόνο από μία ακμή) σε μία όψη του S. Ονόμασε τον γράφο που προέκυψε S. Πήγαινε στο 3. Για κάθε γέφυρα Β για το S στο G, ονόμασε F(B) τον αριθμό των όψεων του S που περιέχουν όλες τις κορυφές επαφής για το Β. Αν υπάρχει μια γέφυρα για την οποία F(B)=0, τότε πήγαινε στο 7. Αν υπάρχει μία γέφυρα για την οποία F(B)=1, ονόμασέ την Β. Αν δεν υπάρχει τέτοια γέφυρα, διάλεξε μία άλλη τυχαία και ονόμασέ την Β. Έστω F είναι μια όψη του S που περιέχει όλες τις κορυφές επαφής του Β. Διάλεξε δύο τυχαίες κορυφές επαφής του Β και προσάρτησε μία διαδρομή στο Β μεταξύ τους στο F. Ονόμασε τον υπογράφο S. Πήγαινε στο 3. Ο γράφος δεν είναι επίπεδος. STOP. 212

214 Σχεδιάστε τον γράφο στο επίπεδο. Ο γράφος σχεδιάστηκε στο επίπεδο. STOP. Θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια δύο παραδείγματα χρήσης του αλγόριθμου αυτού. Ένα για την περίπτωση ενός γράφου και ένα για να δειχθεί ότι το Κ 3,3 δεν είναι επίπεδος γράφος. Παράδειγμα Να σχεδιαστεί μια επίπεδη αναπαράσταση του γράφου στο Σχήμα Θα χρησιμοποιηθεί ο Αλγόριθμος Για να γίνει πλέον αποδοτική η εφαρμογή του αλγόριθμου θα γίνει προσπάθεια σχεδιασμού του μέγιστου δυνατού κύκλου, που θα αποτελέσει τον υπογράφο S. Σχήμα Παράδειγμα γράφου για την εφαρμογή του Αλγόριθμου Ένας τέτοιος κύκλος είναι ο α, β, γ, ζ, δ, ε, θ, η. Με την επιλογή αυτού του κύκλου ως υπογράφου S, η σχεδίαση του γράφου ως επίπεδου γράφου είναι προφανής ακόμα και χωρίς χρήση του αλγόριθμου. Προκειμένου όμως να γίνει εφαρμογή του αλγόριθμου, επιλέγεται ένας πολύ μικρότερος κύκλος: ό α, ε, δ, ζ. 213

215 Σχήμα Παράδειγμα αρχικά επιλεγμένου κύκλου Στο Σχήμα έχει σχεδιαστεί το κύκλωμα, όπως αυτό εμφανίζεται στον αρχικό γράφο και έτσι αναγνωρίζονται καλύτερα οι γέφυρες. Υπάρχουν τρεις γέφυρες: {α,η,θ,δ}, {α,δ} και {α,β,γ,ζ} {β,δ}. Σχήμα Διακρίνονται τρεις γέφυρες: {α,η,θ,δ}, {α,δ} και {α,β,γ,ζ} {β,δ}. Διαδραστικό Αντικείμενο Ανάπτυξη Γράφου σε ισόμορφο επίπεδο με τον Αλγόριθμο του DeMoucron. Εφαρμογή του Αλγόριθμου DeMoucron για την ανάπτυξη επίπεδου γράφου σε ισόμορφο γράφο με μη τεμνόμενες ακμές. Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. 214

216 Παράδειγμα Ως δεύτερο παράδειγμα θα χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο για τη σχεδίαση του Κ 3,3. Στο Σχήμα σχεδιάσαμε το επιμηκέστερο κύκλωμα που μπορέσαμε να βρούμε στον γράφο. Σχήμα Παράδειγμα επιλογής κύκλου στον Κ 3,3. Σχήμα Επίπεδο ανάπτυγμα του κύκλου. Σχήμα Οι εναπομένουσες ακμές. 215

217 Σχήμα Δύο μόνο εκ των τριών ακμών του Σχήματος συμπληρώνουν επίπεδο γράφο. Η σύνδεση των κορυφών γ και ζ είναι αδύνατη στο επίπεδο. Στο Σχήμα σχεδιάσαμε τις τρεις γέφυρες, όπως αυτές εμφανίζονται στον αρχικό γράφο. Κάθε γέφυρα πρέπει να προσαρμόζεται και στις δύο πλευρές. Η γέφυρες {ε,β} και {α,δ} σχεδιάζονται χωρίς να αλληλοτέμνονται. Αποφασίζουμε να περιλάβουμε τη γέφυρα {γ,ζ}. Επειδή δεν μπορεί να σχεδιαστεί σε καμία από τις τέσσερις όψεις, συμπεραίνουμε ότι ο γράφος δεν είναι επίπεδος. Παράδειγμα Ελάχιστος αριθμός των διασταυρώσεων ακμών ενός μη επίπεδου γράφου. Όταν μη επίπεδοι γράφοι σχεδιαστούν σε ένα επίπεδο, παρατηρείται ότι ένας αριθμός ακμών του γράφου διασταυρώνονται με άλλες ακμές. Αν αυτοί οι γράφοι αποτελούν γραφικές αναπαραστάσεις τυπωμένων ηλεκτρονικών διατάξεων, η υλοποίηση των διατάξεων αυτών απαιτεί μια παράκαμψη σε κάθε διασταύρωση. Ο προσδιορισμός του ελάχιστου αριθμού διασταυρώσεων ακμών που απαιτούνται για τη σχεδίαση μη επίπεδου γράφου σε επίπεδη επιφάνεια αποκτά ιδιαίτερη οικονομική αξία. «Αριθμός διασταυρώσεων» (crossing number) του γράφου G καλείται αριθμός που εκφράζει το πλήθος των κοινών σημείων ακμών του γράφου G, που δεν είναι όμως κορυφές. Ο αριθμός αυτός συμβολίζεται με cr(g). Θεώρημα Σε κάθε πλήρη διμερή γράφο Κ r,s ισχύει ότι cr(k r,s )=[r/2][(r-1)/2][s/2][(s-1)/2], για r 6 και s ή r=7 ή 8 και s 10. Θεώρημα (Paul Turan, 2007). Σε κάθε πλήρη γράφο Κr, ίσχύει ότι cr(k r )=1/4[r/2][(r-1)/2][(r-2)/2][(r-3)/2], για r 12. Ο υπολογισμός του αριθμού διασταυρώσεων σε πολύ μεγάλους, μη επίπεδους γράφους είναι επίπονη διαδικασία. Η εκτίμηση όμως του ελάχιστου αριθμού των διασταυρώσεων μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της ανισότητας του αριθμού διασταυρώσεων. Σύμφωνα με αυτήν, αν v είναι το πλήθος των κορυφών e το πλήθος των ακμών και αν επιπλέον ισχύει ότι e 7v, τότε: cr(g) e 3 /29v 2. Η σχέση αυτή ορίζει τον ελάχιστο αριθμό διασταυρώσεων Θεωρία Χρωματισμού Γράφων Ο χρωματισμός γράφων είναι ένα από τα πλέον συζητημένα προβλήματα των μαθηματικών. Το 1852, μόλις μερικούς μήνες μετά την περάτωση των σπουδών του στο University College του Λονδίνου, ο Francis Guthrie σε επιστολή του προς τον αδελφό του Frederic (μαθητή του Augustus de Morgan) του υπέδειξε να εξετάσει την εικασία ότι κάθε γεωγραφικός πολιτικός χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με τέσσερα μόνο χρώματα. Στον χρωματισμό πολιτικών χαρτών, περιοχές που έχουν κοινό σύνορο χρωματίζονται με διαφορετικά χρώματα. Το ερώτημα εξειδικεύτηκε στη δυνατότητα ύπαρξης μαθηματικής 216

218 διατύπωσης και απόδειξης προτάσεων σχετικών με το πρόβλημα αυτό. Καθώς ο Frederic δεν γνώριζε προηγούμενες απόπειρες μαθηματικής θεμελίωσης και απάντησης στο πρόβλημα, υπέβαλε με τη σειρά του το ερώτημα στον De Morgan, χωρίς όμως να πάρει απάντηση. Στο διάστημα των 124 ετών που ακολούθησαν, το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων του Guthrie απασχόλησε τόσο τους μαθηματικούς όσο και φοιτητές ή ακόμα και μαθητές γυμνασίου που αγαπούσαν την ενασχόληση με τα μαθηματικά. Τελικά, στα 1976 η εικασία του Guthrie αποδείχτηκε σωστή από τους Kenneth Appel και Wolfgang Haken (The solution to the four-color-map problem, Scientific American, October 1977). Το περίφημο πρόβλημα έχει ως εξής. Να χρωματιστούν οι κορυφές επίπεδου γράφου μόνο με τέσσερα χρώματα. Η χρήση γράφου αντί γεωγραφικού πολιτικού χάρτη γίνεται διότι κάθε γεωγραφική περιοχή μπορεί να παρασταθεί με μια κορυφή γράφου, και δυο κορυφές αυτού θα συνδέονται με ακμή εφόσον οι περιοχές που αντιπροσωπεύουν έχουν κοινό σύνορο. Κάθε χώρα, νομός ή περιοχή αντιστοιχεί σε μία κορυφή. Δυο κορυφές ενώνονται με μια ακμή αν οι αντίστοιχες περιοχές έχουν κοινό σύνορο. Στο Σχήμα παρουσιάζεται ένας γράφος που αντιστοιχεί στον χάρτη της βόρειας Ελλάδας. Σχήμα Οι Περιφέρειες Δυτικής, Κεντρικής Μακεδονίας και Αν. Μακεδονίας &Θράκης με τον γράφο που συνδέει τους όμορους νομούς τους. Δεν είναι δύσκολο να δει κανείς ότι όλοι οι γράφοι που αντιστοιχούν σε πολιτικούς χάρτες είναι επίπεδοι γράφοι. Το πρόβλημα του Guthrie γίνεται τώρα: «Μπορεί κανείς να χρωματίσει τις κορυφές ενός επίπεδου γράφου αν χρησιμοποιήσει μόνο τέσσερα χρώματα και επιδιώξει, ώστε παρακείμενες κορυφές να έχουν διαφορετικά χρώματα;». Οι Appel και Haken απόδειξαν ότι η απάντηση είναι καταφατική. Στα 124 χρόνια που μεσολάβησαν από την παρουσίαση του προβλήματος του Guthrie μέχρι τη λύση του, ακολούθησαν δύο διαδικασίες. Στη μια οι μαθηματικοί μετέτρεπαν το πρόβλημα σε ένα ισοδύναμο που μπορούσε να μελετηθεί κατά περιπτώσεις. Στην άλλη οι ειδικοί των ηλεκτρονικών υπολογιστών ανάπτυξαν μηχανές που ήταν αρκετά γρήγορες για να επιλύσουν τον μεγάλο αριθμό των απαραίτητων περιπτώσεων. Η τελική λύση απαίτησε ώρες υπολογιστικού χρόνου. Το πρόβλημα του χρωματισμού γράφων έχει μεγάλη σημασία για τις εφαρμογές. Ένα απλό παράδειγμα που μπορεί κανείς να αναφέρει είναι ο καταρτισμός του προγράμματος εξετάσεων στο τμήμα μας, κάτω από κάποιες πιεστικές συνθήκες. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι για τον καταρτισμό του προγράμματος πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι στο ίδιο χρονικό διάστημα η τεχνική υπηρεσία του πανεπιστημίου θέλει να βάψει τις αίθουσες. Πρέπει λοιπόν να χρησιμοποιηθούν όσο το δυνατόν λιγότερα τρίωρα εξετάσεων. Για να βρούμε αυτόν τον ελάχιστο αριθμό, κατασκευάζουμε έναν γράφο με τον ακόλουθο τρόπο. Έστω ότι οι κορυφές αντιστοιχούν στα εξεταζόμενα μαθήματα. Συνδέουμε δύο κορυφές με μια ακμή εφόσον υπάρχουν φοιτητές που θα εξεταστούν σε αμφότερα τα μαθήματα. Βρείτε τώρα τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων που θα χρειαστούν για τον χρωματισμό των κορυφών, έτσι ώστε γειτονικές κορυφές να έχουν διαφορετικά χρώματα. Κάθε χρώμα θα αντιστοιχεί σε διαφορετικούς χρόνους εξέτασης. Καταλαβαίνει εύκολα κανείς ότι ο γράφος που αντιστοιχεί στην ανάλυση του προηγούμενου προβλήματος σχεδιασμού δεν είναι επίπεδος. Συνεπώς το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων δεν δίνει απάντηση στον προγραμματισμό των εξετάσεων. Αυτό που χρειαζόμαστε είναι μια μέθοδος που θα μας 217

219 βοηθήσει να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων για τον χρωματισμό των κορυφών μη επίπεδων γράφων. Στα 1972 ο J.Randall Brown δημοσίευσε έναν αλγόριθμο χρωματισμού γράφων που δίνει λύση στο πρόβλημα. Με τη βοήθεια του αλγόριθμου αυτού, προγραμματίστηκαν οι τελικές εξετάσεις στο M.I.T. και δόθηκε η απάντηση ότι χρειάζονταν 15 εξεταστικές χρονικές περίοδοι. Η απάντηση απαίτησε προγραμματιστικό χρόνο 0,4sec. Αν και δεν είναι μοναδικός ο αλγόριθμος του Brown, θα τον παρουσιάσουμε ως τον πλέον εύκολα περιγραφόμενο. Πρώτα σημειώστε ότι μπορούμε χωρίς περιορισμό της γενικότητας να περιορίσουμε τη μελέτη μας σε γράφους και όχι σε ψευδογράφους. Ιδιαίτερη σημασία παρουσιάζει η γειτνίαση των κορυφών του γράφου. Ο αριθμός των ακμών που συνδέουν ένα συγκεκριμένο ζεύγος κορυφών δεν παρουσιάζει καμία σημασία. Μόνο το γεγονός της σύνδεσής τους ενδιαφέρει. Δεν έχουν επίσης σημασία οι βρόγχοι που πιθανώς να υπάρχουν σε ορισμένες κορυφές, αφού συνδέουν τις κορυφές αυτές με τον εαυτό τους και έτσι δεν χρωματίζονται. Κατά δεύτερο λόγο, μπορούμε επίσης να υποθέσουμε ότι ο γράφος είναι συνεκτικός. Σε κάθε άλλη περίπτωση χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο για να χρωματίσουμε κάθε τμήμα χωριστά. Ο αλγόριθμος παρουσιάζεται σε δυο τμήματα. Στον Αλγόριθμο απαριθμούνται οι κορυφές και στον Αλγόριθμο χρωματίζονται. Ο τρόπος με τον οποίο οι κορυφές ονομάζονται έχει επίσης σημασία. Ονομάστε μια οποιαδήποτε κορυφή v 1 και στη συνέχεια ονομάστε μια παρακείμενη κορυφή v 2. Στη συνέχεια, εφόσον είναι εφικτό, ονομάστε v 3 μια κορυφή που είναι παρακείμενη και στις δύο προηγούμενες. Διαφορετικά, επιλέξτε κορυφή που είναι παρακείμενη σε μια εκ των v 1 ή v 2. Συνεχίστε για τη v 4, παρακείμενη αν είναι δυνατόν στις τρεις προηγούμενες. Αν δεν υπάρχει τέτοια κορυφή, επιλέξτε κορυφή παρακείμενη σε δυο από τις v 1, v 2 και v 3. Αν ούτε αυτό είναι εφικτό, επιλέξτε κορυφή που είναι παρακείμενη σε μία μόνο εκ των τριών. Συνεχίστε επιλέγοντας κορυφές που είναι παρακείμενες σε όσο δυνατόν περισσότερες από τις κορυφές που έχουν ήδη χαρακτηριστεί. Ακολουθεί σχετικός αλγόριθμος. Αλγόριθμος Χαρακτηρίστε μια τυχαία κορυφή v 1. i 2 Χαρακτηρίστε vi μια μη χαρακτηρισμένη κορυφή, παρακείμενη σε όσο το δυνατόν περισσότερες χαρακτηρισμένες κορυφές. Αν I=n STOP. i i+1, πήγαινε στο 3. Μετά την εφαρμογή του αλγόριθμου χαρακτηρισμού των κορυφών είναι δυνατή η εφαρμογή αλγόριθμου χρωματισμού κορυφών. Ο Αλγόριθμος επιδιώκει τον χαρακτηρισμό και την ταξινόμηση των χρωμάτων. Οι προσδιορισμοί «υψηλότερος» και «χαμηλότερος» αναφέρονται σε δείκτες χρωμάτων ή και κορυφών. Ο αλγόριθμος είναι ευέλικτος και έχει τη δυνατότητα να επαναφέρει τον έλεγχο στα ήδη επεξεργασμένα σημεία, ώστε να επιφέρει βελτιώσεις. Κάθε φορά που η τελευταία κορυφή επαναχρωματίζεται, η διαδικασία χρωματισμού χρησιμοποιεί λιγότερα χρώματα. Ο αλγόριθμος σταματά όταν η προς τα πίσω επαναφορά του ελέγχου φθάνει στη v 1. Αλγόριθμος Χρησιμοποιήστε τον Αλγόριθμο για να χαρακτηρίσετε τις κορυφές v 1,v 2,,v n. Χαρακτηρίστε τα χρώματα c 1,c 2,...,c n, i 1. Χρωματίστε την κορυφή v 1 με το χαμηλότερο χρώμα που δεν έχει χρησιμοποιηθεί για τις προκείμενες κορυφές. Αν i=n τότε πηγαίνετε στο 5. i i+1. Πηγαίνετε στο 2. Έστω C η τρέχουσα διαδικασία χρωματισμού κορυφών. Q το πλήθος των χρωμάτων που χρησιμοποιήθηκε. C q μεγαλύτερο χρώμα που χρησιμοποιήθηκε. V r μεγαλύτερη κορυφή που χρωματίστηκε c q. V s μεγαλύτερη κορυφή παρακείμενη στο v r, s<r. C t χρώμα της v s. Αν s 1 πηγαίνετε στο 9. «C είναι μια διαδικασία χρωματισμού που χρησιμοποιεί τα λιγότερα χρώματα.» STOP. 218

220 j s c t χαμηλότερο χρώμα με u>t που δεν έχει χρησιμοποιηθεί σε καμία v k, με κ<s, παρακείμενη στη v j. Αν u<q πηγαίνετε στο 13. Σβήστε όλα τα χρώματα για τις κορυφές v k, με k<j. Πηγαίνετε στο 6. Χρωματίστε την v s με cu. j s+1. C u χαμηλότερο χρώμα που δεν χρησιμοποιήθηκε σε καμία κορυφή παρακείμενη στην u j. Αν u<q πηγαίνετε στο 17. j j 1. Πηγαίνετε στο 12. Επαναχρωματίστε v j με το χαμηλότερο εφικτό χρώμα. Αν j=n πηγαίνετε στο 5. j j+1. Πηγαίνετε στο 14. Διαδραστικό Αντικείμενο Ανάπτυξη γράφου σε ισόμορφο επίπεδο με τον αλγόριθμο το. Αλγόριθμος χρωματισμού γράφων Αν έχετε προβλήματα με την πρόσβαση σε εφαρμογές Java χρησιμοποιώντας το Chrome, η Oracle συνιστά τη χρήση του Firefox, Internet Explorer ή Safari αντ 'αυτού. Παράδειγμα Θα εφαρμόσουμε τώρα αυτό το πρόγραμμα στον χάρτη του Σχήματος (a). Πρώτα μετατρέπουμε τον χάρτη σε έναν γράφο, όπως αυτόν του Σχήματος Σχήμα Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον Αλγόριθμο για να χαρακτηρίσουμε τις κορυφές αυτού του γράφου. Επιλέγουμε την κορυφή α και τη χαρακτηρίζουμε v 1. Τώρα υπάρχουν τρεις παρακείμενες κορυφές στην v 1 : η β, η γ και η δ. Σχήμα

221 Έστω ότι επιλέγουμε τη β ως v 2. Οι κορυφές δ, ε και ζ είναι παρακείμενες σε μία μόνο από τις v 1 και v 2. Επιλέγουμε γ ως v 3. Δεν υπάρχει κορυφή παρακείμενη και στις τρεις κορυφές v 1, v 2 και v 3. Η δ είναι η μόνη παρακείμενη σε δύο κορυφές. Έτσι είμαστε υποχρεωμένοι να επιλέξουμε τη δ ως v 4. Παρατηρούμε ότι τόσο η ε όσο και η ζ είναι προσκείμενες σε δύο χαρακτηρισμένες κορυφές. Ονομάζουμε v 5 την ε και v 6 τη ζ. Ο γράφος έχει πλέον χαρακτηρισμένες κορυφές και μπορεί να αρχίσει η διαδικασία χρωματισμού. Αρχικά ορίζεται ένας χρωματισμός με τις εντολές 2, 3 και 4 του αλγόριθμου. Έστω ότι ο χρωματισμός αυτός είναι: [(v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 )/(c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 )], Q=4, q=4, r=6, s=5, t=1. Επειδή ο δείκτης s δεν είναι 1 (εντολή 7), συνεχίζουμε s=j=5 (εντολή 9) και u=4. Επειδή η u δεν είναι μικρότερη της Q παρακάμπτεται η εντολή 11 και αφαιρείται το χρώμα από τη v6 (εντολή 12). Ο έλεγχος τώρα μεταφέρεται στην εντολή 5. Η νέες τιμές των μεταβλητών του αλγόριθμου είναι: q=3,r=4, s=3, t=2. Επειδή ο δείκτης s δεν είναι 1 (εντολή 7), συνεχίζουμε s=j=3 (εντολή 9) και u=3. Επειδή η u είναι μικρότερη της Q o έλεγχος μεταφέρεται στην εντολή 13 και επαναχρωματίζουμε: [(v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 )/(c 1 c 2 c 3 c 2 c 1 c 3 )], Q=3, q=3, r=6, s=5, t=1. Επειδή ο δείκτης s δεν είναι 1 (εντολή 7), συνεχίζουμε s=j=5 (εντολή 9) και u=3. Επειδή η u=q αφαιρούνται τα χρώματα από όλες τις κορυφές με δείκτες i>j=5: [(v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 )/(c 1 c 2 c 3 c 2 c 1 )], q=3, r=3, s=1, t=1. Επειδή τώρα s=1 τερματίζεται η διαδικασία. Η τελευταία πλήρης αντιστοίχιση χρωμάτων περιλαμβάνει τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων. Έχει αποδειχθεί ότι επίπεδοι γράφοι χρωματίζονται με το πολύ τέσσερα χρώματα, ενώ για μη επίπεδους γράφους μπορεί να χρησιμοποιηθούν περισσότερα χρώματα. Σχήμα Αλγόριθμος Welch-Powell για τον χρωματισμό γράφου G. Χαρακτηρίστε τις κορυφές του G κατά φθίνουσα τάξη δεικτών. (Η διάταξη δεν είναι κατ ανάγκη μονοσήμαντη δεδομένου ότι μερικές κορυφές μπορεί να έχουν τον ίδιο βαθμό.) Χρησιμοποιήστε ένα χρώμα για να χρωματίσετε την πρώτη κορυφή και στη συνέχεια χρωματίστε με το ίδιο χρώμα, σε διαδοχική σειρά, κάθε κορυφή στον κατάλογο που δεν είναι προσκείμενη σε μια κορυφή βαμμένη με αυτό το χρώμα. Ξεκινήστε πάλι στην κορυφή του καταλόγου και επαναλάβετε τη διαδικασία χρωματισμού σε κορυφές που δεν έχουν χρωματιστεί προηγουμένως χρησιμοποιώντας ένα δεύτερο χρώμα. Επαναλάβετε με επιπλέον χρώματα, ώσπου όλες οι κορυφές να χρωματιστούν. Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή του χρωματισμού γράφου είναι το πρόβλημα των κοινωνικών συναθροίσεων. Αρχικά το πρόβλημα διατυπώθηκε για μια κοινωνική συνάθροιση 6 ατόμων, τα οποία ανά δύο είτε γνωρίζονται είτε όχι, να αποδειχθεί ότι πάντα υπάρχουν τουλάχιστον τρία άτομα που είτε θα γνωρίζονται μεταξύ τους είτε θα είναι τελείως άγνωστοι μεταξύ τους, δηλαδή κανένας από τους τρεις δεν θα γνωρίζει κάποιον από τους άλλους δύο. Αργότερα, το ίδιο πρόβλημα, αλλά για μεγαλύτερα σύνολα απασχόλησε τους μαθηματικούς. 220

222 5.13. Δίκτυα Το 1955 ζητήθηκε από τους T.H.Harris και F.S.Ross να προσδιορίσουν πόσα εμπορεύματα θα μπορούσαν να μεταφερθούν με σιδηροδρομικούς συρμούς που διέτρεχαν το αρκετά δαιδαλώδες σιδηροδρομικό δίκτυο στις κεντρικές πολιτείες των ΗΠΑ. Σε κάθε επιμέρους τμήμα του δικτύου αυτού, υπήρχαν περιορισμοί ως προς τη δυναμικότητα μεταφοράς. Τέτοιοι περιορισμοί οφείλονταν σε παράγοντες όπως η γεωφυσική διαμόρφωση του εδάφους, οι συνθήκες χρήσης μιας γραμμής, η δυνατότητα ώσης των μηχανών κ.λπ. Τα αποτελέσματα της ενασχόλησης των επιστημόνων με το συγκεκριμένο πρόβλημα παρουσιάζονται στο βιβλίο των L.R. Ford και D.R. Fulkerson, Princeton University Press, Η μέθοδος χαρακτηρισμού Ford-Fulkerson είναι ο αλγόριθμος που θα μας απασχολήσει σε αυτή την ενότητα. Σε ό,τι ακολουθεί, ο όρος «δίκτυο» (network) θα σημαίνει ένας γράφος ή ένας ψευδογράφος στις ακμές του οποίου έχουν σημειωθεί βάρη. Πρόκειται λοιπόν για έναν σταθμισμένο γράφο, τα βάρη των ακμών του οποίου αντιστοιχούν στο δυναμικό μεταφοράς. Παράδειγμα Το δίκτυο μεταφοράς λιγνίτη από τα λιγνιτοφόρα πεδία προς τους ΑΗΣ περιοχής Πτολεμαΐδας, Καρδίας και Αγ. Δημητρίου υπόκειται σε περιορισμούς μεταφοράς. Το δίκυο μεταφοράς έχει τη μορφή του Σχήματος Σχήμα Όπως φαίνεται στο Σχήμα , οι κορυφές είναι λιγνιτοφόρα πεδία, κοιτάσματα τύρφης ή ατμοηλεκτρικοί σταθμοί παραγωγής. Οι ακμές παριστούν τις γραμμές μεταφοράς του άνθρακα προς τους ΑΗΣ. Μια συνηθισμένη ερώτηση αφορά την τροφοδότηση των ΑΗΣ με καύσιμο, αφορά τον μέγιστο αριθμό φορτίου που μπορεί να διακινηθεί από μια κορυφή ενός δικτύου σε μια άλλη χωρίς να αγνοηθούν οι περιορισμοί που υπάρχουν στις παρεμβαλλόμενες ακμές. Στο παράδειγμα φαίνεται ότι ο ΑΗΣ Πτολεμαΐδας χρειάζεται τη μεγαλύτερη δυνατή ποσότητα λιγνίτη από το βασικό κοίτασμα (ΒΚ) Πτολεμαΐδας. Η διαδρομή μήκους ένα μεταφέρει 48 βαγονέτα. Αν όμως χρησιμοποιηθεί και η γραμμή δια του ΚΤΑ3, μπορεί να μεταφερθούν 27 επιπλέον βαγονέτα. Είναι αυτή η βέλτιστη απάντηση; 221

223 Ορισμός Καλείται ροή σε ένα δίκτυο, η μετακίνηση ύλης, ενέργειας ή πληροφορίας από μια κορυφή του δικτύου σε μια άλλη. Τα πιο συνηθισμένα προβλήματα που αντιμετωπίζει κάποιος είναι εκείνα του προσδιορισμού της μέγιστης και της ελάχιστης ροής από μια κορυφή σε μια άλλη. Τα δίκτυα στα οποία αναπτύσσονται ροές μεταφοράς είναι τα δίκτυα που έχουν την ακόλουθη δομή. Κάθε ακμή στο δίκτυο φέρει ένδειξη του δυναμικού μεταφοράς. Το δυναμικό μιας ακμής μπορεί να είναι κλασματικός αριθμός, αλλά στα παραδείγματα που ακολουθούν θα παρουσιάζονται δυναμικά που είναι μόνο ακέραιοι αριθμοί. Κάθε ακμή πρέπει να είναι προσανατολισμένη (Σχήμα (α)). Έτσι δηλώνεται η διεύθυνση της ροής που μπορεί να διέρχεται από την ακμή αυτή. Σε καμιά περίπτωση η ροή δεν μπορεί να είναι αντίθετη της διεύθυνσης. Αν πρέπει να υπάρξει αμφίδρομη διαδρομή, τότε θα σημειώνεται με πολλαπλή σύνδεση (Σχήμα (β)). Ο προσανατολισμός των ακμών είναι προϋπόθεση για την εφαρμογή του αλγόριθμου των Ford και Fulkerson. To σύνολο του ποσού που ρέει σε ένα δίκτυο πρέπει να ξεκινά από μία μόνο κορυφή, που καλείται πηγή (source) και να καταλήγει σε μία μόνο κορυφή, που καλείται «καταληκτική κορυφή» (sink). Σχήμα Η πηγή θα συμβολίζεται με s και η καταληκτική κορυφή με το γράμμα t. Στο Σχήμα παρουσιάζεται ένα παράδειγμα προσανατολισμένου δικτύου με σημειωμένο το δυναμικό κάθε ακμής. Προκειμένου να μετακινηθεί από το s στο t το μέγιστο δυνατό φορτίο (χωρίς όμως να παρατηρηθούν υπερβάσεις του δυναμικού μεταφοράς και χωρίς να παρατηρηθούν κινήσεις αντίθετα στις σημειωμένες διευθύνσεις) απαιτείται η χρήση κατάλληλου αλγόριθμου. Για μικρά δίκτυα, θα ήταν ίσως εφικτό να προσδιοριστεί η μέγιστη ροή με τη μέθοδο δοκιμής και λάθους. Για μεγάλα δίκτυα είναι απαραίτητη η χρήση μιας συστηματικής διαδικασίας που να είναι προσαρμόσιμη στον υπολογιστή. Όταν προσδιοριστεί μια μέγιστη ροή, ανακύπτει το ερώτημα αν αυτή είναι μοναδική, ή αν θα μπορούσε να προσδιοριστεί και άλλη (ή άλλες) με αυτή την ιδιότητα. Ο αλγόριθμος των Ford και Fulkerson έχει αυτή την ιδιότητα. 222

224 Σχήμα Η μέθοδος των Ford και Fulkerson παρουσιάζεται στη συνέχεια με τη μορφή εφαρμογής του αλγόριθμου στο δίκτυο του Σχήματος Αλγόριθμος Προσδιορισμού μέγιστης ροής. Χαρακτηρίστε τις ακμές με μια πιθανή ροή. Χρησιμοποιήστε τους χαρακτηρισμούς των ακμών για να αποφασίσετε τον χαρακτηρισμό των κορυφών. Αρχίστε από την s. Αν η καταληκτική κορυφή έχει χαρακτηριστεί, πηγαίνετε στο βήμα 5. «Η ροή που προσδιορίστηκε είναι η μέγιστη». Χρησιμοποιήστε τους χαρακτηρισμούς των ακμών για να αποφασίσετε των επαναχαρακτηρισμό των ακμών. Μετά την αύξηση της ροής, σβήστε τους χαρακτηρισμούς των κορυφών. Ο έλεγχος στο βήμα 2. Η αναλυτικότερη περιγραφή του αλγόριθμου παρουσιάζεται αμέσως μετά: Βήμα 1. Υποδεικνύουμε μια πιθανή ροή, αναγράφοντας έναν αριθμό δίπλα στο δυναμικό των ακμών. Όταν υποδεικνύεται μια πιθανή ροή πρέπει να ακολουθούνται οι ακόλουθοι κανόνες: Α) Μη υπερβαίνετε το δυναμικό των ακμών. Β) Εκτός από την πηγή και την καταληκτική κορυφή, πρέπει το εισαγόμενο σε μια κορυφή φορτίο να είναι ακριβώς το ίδιο με το εξερχόμενο. Θα μπορούσε να δειχθεί ότι αν το δυναμικό σε όλες τις ακμές είναι ακέραιοι αριθμοί, τότε οι κλασματικοί αριθμοί δεν θα εμφανιστούν σε όλη τη διαδικασία, αλλά ούτε και στην τελική λύση. Έτσι, δεν είναι ποτέ απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν κλάσματα στις ροές. Η απλούστερη αρχική ροή για κάθε υπολογιστή είναι μια ροή με 0 σε κάθε ακμή. Αν όμως εργάζεται κάποιος με χαρτί και μολύβι, θα πάρει πολύ χρόνο για να μετατρέψει μια μηδενική αρχική ροή σε μεγίστη. Είναι λοιπόν καλύτερο να προσπαθεί κάποιος να περιγράψει διαισθητικά μια μέγιστη ροή. Αν είναι τυχερός, τότε τα βήματα 2 και 3 του αλγόριθμου θα επιβεβαιώσουν την επιτυχία του. Βήμα 2. Αρχίζουμε χαρακτηρίζοντας την πηγή. Προχωρώντας από εκεί, χαρακτηρίζουμε κορυφές παρακείμενες σε ήδη χαρακτηρισμένες κορυφές, σύμφωνα με τους κανόνες που παρουσιάζονται παρακάτω. Σκοπός είναι ο χαρακτηρισμός της καταληκτικής κορυφής. Αν η ροή είναι μέγιστη, οι κανόνες σταματούν τη διαδικασία. Βήμα 3. Αν η καταληκτική κορυφή έχει χαρακτηριστεί, ο χαρακτηρισμός της υποδεικνύει το ποσό κατά το οποίο η ροή μπορεί να αυξηθεί. Οι χαρακτηρισμοί των άλλων κορυφών δείχνουν πώς θα διοχετευτεί η αύξηση της ροής ώστε να απορροφηθεί το φορτίο από την τελευταία κορυφή που χαρακτηρίστηκε. Αυξάνουμε τη ροή, σβήνουμε όλους τους χαρακτηρισμούς κορυφών και επανερχόμαστε στο βήμα 2. Σε κάθε νέα επανάληψη αυτού του βήματος, θα σβήνονται οι χαρακτηρισμοί των κορυφών και θα 223

225 επαναχαρακτηρίζεται το δίκτυο. Μια λεπτομερής ερμηνεία των βημάτων δίνεται στην εφαρμογή του αλγόριθμου επί του γράφου στο Σχήμα Θα χρησιμοποιήσουμε διατεταγμένα ζεύγη για να περιγράψουμε τον χαρακτηρισμό των ακμών. Σε αυτά το πρώτο στοιχείο αντιστοιχεί στο δυναμικό της ακμής, ενώ το δεύτερο αντιστοιχεί στην παρούσα ροή. Σχήμα Προφανώς το πρώτο στοιχείο σε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη του γράφου παραμένει αναλοίωτο καθ όλη τη διάρκεια εφαρμογής του αλγόριθμου. Υπάρχουν πολλοί τρόποι εφαρμογής του βήματος 1. Στο Σχήμα φαίνεται μια αρχική ροή που επιλέχθηκε. Όπως φαίνεται, οι κανόνες Α και Β έχουν τηρηθεί. Για παράδειγμα, στην κορυφή 4: Σχήμα Έχουμε 20 εισερχόμενα και 15+5 εξερχόμενα. Βήμα 2. Χρησιμοποιούμε τώρα τους χαρακτηρισμούς των ακμών για να χαρακτηρίσουμε τις κορυφές με διατεταγμένα ζεύγη. Για τον σκοπό αυτόν χρησιμοποιείται ο ακόλουθος αλγόριθμος. Αλγόριθμος Χαρακτηρισμός κορυφών (Βήμα 2 του Αλγόριθμου ). Χαρακτηρίστε την πηγή με (-, ). Αν υπάρχει κορυφή χαρακτηρισμένη αλλά χωρίς σημειωμένο το ο έλεγχος στο 4. «Η διαδικασία χαρακτηρισμού ολοκληρώθηκε». STOP. Αν το η κορυφή t χαρακτηρίστηκε, πηγαίνετε στο 4. Επιλέξτε μια χαρακτηρισμένη κορυφή, που δεν έχει. Ονομάστε την v. Επιχειρήστε να χαρακτηρίσετε κάθε μη χαρακτηρισμένη κορυφή που είναι παρακείμενη της 224

226 v. (Αυτή η προσπάθεια μπορεί να είναι ανεπιτυχής, όπως εξηγείται παρακάτω). Σημειώστε ένα.πλάι στην v. Πηγαίνετε στο 3. Πριν προχωρήσουμε στην περιγραφή της διαδικασίας χαρακτηρισμού συγκεκριμένης κορυφής, είναι χρήσιμο να διευκρινιστούν δυο σημεία: Στο βήμα 1 χρησιμοποιείται το σύμβολο, για τον χαρακτηρισμό της πηγής. Με αυτόν τον τρόπο υποδηλώνεται ότι στην πηγή υπάρχει απεριόριστο διαθέσιμο φορτίο προς μεταφορά. Έτσι, καλύπτεται η απαίτηση το διαθέσιμο φορτίο να είναι μεγαλύτερο από το συνολικό δυναμικό των ακμών του γράφου. Στο βήμα 6 αναφέρεται η προτροπή «επιχειρήστε να χαρακτηρίσετε», επειδή οι ακόλουθοι περιορισμοί είναι πιθανό να μη επιτρέψουν τον χαρακτηρισμό μιας κορυφής. Διαπιστώνεται ότι όσο η ροή αυξάνει τόσο ο αριθμός των προς χαρακτηρισμό κορυφών ελαττώνεται. Στη συνέχεια περιγράφονται οι δυο δυνατές περιπτώσεις στη διαδικασία χαρακτηρισμού κορυφών. Περίπτωση 1η Η ακμή έχει διεύθυνση απομάκρυνσης από την κορυφή που θα χαρακτηριστεί. Σχήμα Αν β=γ η κορυφή δεν χαρακτηρίζεται. Αν β>γ, η κορυφή p χαρακτηρίζεται με (ν+,min{(β-γ),α}). Παράδειγμα Να χαρακτηριστεί η κορυφή 9 σε κάθε μια από τις ακόλουθες περιπτώσεις: 225

227 Σχήμα (Α) Σύμφωνα με τον χαρακτηρισμό της η ακμή έχει δυναμικό 5, από τα οποία γίνεται χρήση των 2. Ο δεύτερος αριθμός στον χαρακτηρισμό της κορυφής σημαίνει ότι 4 μονάδες μπορούν να μεταφερθούν από παρακείμενες κορυφές, πλην της (9), προς την κορυφή (8). Τελικά από την κορυφή (8) μπορούμε να μεταφέρουμε μόνο 5-2=3 περισσότερα από αυτά προήλθαν από την κορυφή (9). Για να δείξουμε το γεγονός ότι αυτά στην κορυφή (9). Για να δείξουμε το γεγονός ότι αυτά προήλθαν από την κορυφή (8), χαρακτηρίζουμε την κορυφή (9): (8+,3). Ο χαρακτηρισμός σημαίνει «μπορούμε να φέρουμε επιπλέον 3 από την κορυφή (8), στην κορυφή (9). (Β) Ο χαρακτηρισμός από την κορυφή (6) στην (9) δείχνει ότι έχει πληρωθεί. Δεν μπορεί να μεταφερθεί επιπλέον φορτίο από την (6) στην (9). Συνεπώς η κορυφή (9) δεν χαρακτηρίζεται. (Γ) Υπάρχει δυνατότητα μεταφοράς 4=5-1 φορτίου δια της ακμής από την (7) στην (9), αλλά ο χαρακτηρισμός στην κορυφή (7) μας λέει ότι έχουμε μόνο 2 φορτία διαθέσιμα για αποστολή. Σε αυτή την περίπτωση η κορυφή (9) χαρακτηρίζεται: (7+,2). Περίπτωση 2η Η ακμή έχει διεύθυνση προς τη χαρακτηρισμένη κορυφή. Σχήμα Αν γ=0, η κορυφή (p) δεν χαρακτηρίζεται. Αν δ=min{γ,α}>0 χαρακτηρίζεται η κορυφή (p) ως (v -,δ). 226

228 Παράδειγμα Χαρακτηρίζεται η κορυφή στις ακόλουθες περιπτώσεις: Σχήμα Η διαδικασία χαρακτηρισμού αρχίζει στην πηγή και συνεχίζεται μέχρι να φθάσουμε στην κορυφή (8). Προκειμένου να χαρακτηριστεί η κορυφή (9). Η διεύθυνση δείχνει ότι δεν μπορούμε να στείλουμε φορτία προς την κορυφή (9). Η ακμή έχει διεύθυνση απομάκρυνσης από την (9). Έτσι, το μόνο που μπορεί να γίνει είναι η αποστολή μικρότερου φορτίου από την (9) προς την (8). Α. Σε αυτή την περίπτωση αποστέλλεται μηδενικό φορτίο και η κορυφή (9) παραμένει άνευ χαρακτηρισμού. Β. Σε αυτή την περίπτωση ένα φορτίο αποστέλλεται προς τα πίσω. Χαρακτηρίζεται η κορυφή (9) με τον χαρακτηρισμό (7 -,1). Αυτός ο χαρακτηρισμός διαβάζεται ως εξής αποστολή 1 φορτίου λιγότερου (-) από την κορυφή (9) προς στην κορυφή (7). Γ. Σε αυτή την περίπτωση επιθυμούμε να επαναπροσδιορίσουμε την πορεία τριών φορτίων σε αυτή την ακμή. Πάντως, η δεύτερη καταγραφή στον χαρακτηρισμό της κορυφής (6) δείχνει ότι υπάρχουν μόνο δύο φορτία εκεί. Έτσι, μπορούμε να επανασχεδιάσουμε τη χρήση 2 από τα τρία φορτία. Η κορυφή (9) χαρακτηρίζεται: (6 -,2). Υπάρχουν περιπτώσεις δικτύων ψευδογράφων με περισσότερες από μία ακμές μεταξύ δυο κορυφών. Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις μη προσανατολισμένων δικτύων, όπου κάθε ακμή πρέπει να αντικατασταθεί με ζεύγος αντιθέτως προσανατολισμένων ακμών. Γι αυτόν τον λόγο, παρουσιάζουμε το ακόλουθο παράδειγμα που θα σας βοηθήσει να καταλάβετε πώς χαρακτηρίζεται μια κορυφή όταν μεταξύ αυτής και μιας παρακείμενής της υπάρχουν περισσότερες από μία ακμές. Παράδειγμα Χαρακτηρίστε την κορυφή (9) στο Σχήμα

229 Σχήμα Λύση Η κορυφή (9) είναι δυνατόν να χαρακτηριστεί με πολλούς τρόπους. Τέσσερις από τις έξι ακμές θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν. Αρχίζοντας από την κορυφή, οι χαρακτηρισμοί είναι: Ακμή Χαρακτηρισμός της (9) 1 (8+,4) 3 (8+,3) 5 (8-,2) 6 (8-,4) Αν και η επιλογή χαρακτηρισμού δεν επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα, για λόγους πρακτικότητας θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μία από τις (8+,4) ή (8-,4). Μια τέτοια επιλογή θα μειώσει το συνολικό αριθμό βημάτων που οδηγούν στη λύση. Αν μια κορυφή μπορεί να χαρακτηριστεί, αυτό πρέπει να γίνει. Το ότι η δεύτερη κορυφή στο Σχήμα δεν επιτρέπει τον χαρακτηρισμό της (9) δεν σημαίνει ότι η κορυφή δεν θα χαρακτηριστεί. Εφόσον μια κορυφή έχει χαρακτηριστεί, ο χαρακτηρισμός θα παραμείνει μέχρι οι χαρακτηρισμοί να σβηστούν με τη σταδιακή αύξηση της ροής. Στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε τον Αλγόριθμο στο δίκτυο του Σχήματος Σχήμα Ακολουθεί η περιγραφή των βημάτων: Χαρακτηρίστε την (s) με (-, ). Χαρακτηρίστε την (1) με (s +,12). Χαρακτηρίστε την (2) με (s +,10). H κορυφή (3) δεν μπορεί να χαρακτηριστεί. Σημειώστε με V την (s). 228

230 Επιλέξτε την (1). (θα μπορούσε να επιλεγεί η (2)). H κορυφή (4) δεν μπορεί να χαρακτηριστεί. Σημειώστε με V την (1). Επιλέξτε την (2). Χαρακτηρίστε την (3) με (2 +,5). Χαρακτηρίστε την (1) με (2 -,10). Σημειώστε με V την (2). Επιλέξτε την (3). Χαρακτηρίστε την (6) με (3 +,5). Σημειώστε με V την (3). Επιλέξτε την (6). Η (5) χαρακτηρίστηκε. Χαρακτηρίστε την (t) με (6 +,5). Σημειώστε με V την (6). Επιλέξτε την (t). Χαρακτηρίστε την (4) με (t -,5). Σημειώστε με V την (6). Επιλέξτε την (3). Η (5) χαρακτηρίστηκε. Σημειώστε με V την (4). Επιλέξτε την (5). Σημειώστε με V την (5). Επιλέξτε την (5). Βήμα 3. Αν η καταληκτική κορυφή δεν έχει χαρακτηριστεί με τη βοήθεια του Αλγόριθμου η ροή είναι μεγίστη. Επειδή είναι πιθανό η ίδια μέγιστη ποσότητα να διοχετευτεί και με διαφορετικούς τρόπους στο ίδιο δίκτυο, δεν ισχυριζόμαστε ότι ο σχεδιασμός που προέκυψε είναι μοναδικός. Ακόμα και όταν χαρακτηριστεί η καταληκτική κορυφή, είναι πιθανό να αυξηθεί η ροή κατά ποσό αντίστοιχο εκείνου που αναγράφεται ως δεύτερη συνιστώσα του χαρακτηρισμού της καταληκτικής κορυφής. Εφόσον η καταληκτική κορυφή έχει χαρακτηριστεί, δεν υπάρχει λόγος να συνεχιστεί η διαδικασία χαρακτηρισμού κορυφών. Έτσι, στον χαρακτηρισμό του δικτύου 1, μπορεί κάποιος να σταματήσει στο βήμα 18, όπου η καταληκτική κορυφή έχει χαρακτηριστεί με (6 +,5). Η ένδειξη 5 σημαίνει ότι μπορεί να αυξηθεί η ροή κατά 5 μονάδες. Έτσι αγνοούνται οι δεύτερες συντεταγμένες όλων των χαρακτηρισμών κορυφών του δικτύου. Αρχίζουμε τώρα εξετάζοντας το χαρακτηρισμό της καταληκτικής κορυφής και πηγαίνουμε προς τα πίσω, ακολουθώντας τις ακμές σύμφωνα με τις ενδείξεις που υπάρχουν στην πρώτη συντεταγμένη των χαρακτηρισμών. Υπάρχουν δυο περιπτώσεις: 1η περίπτωση: Όταν η κορυφή (α) χαρακτηρίζεται (β +,γ), αυξάνουμε τη ροή κατά μήκος της ακμής μεταξύ (β) και (α) κατά το ποσό, που υποδεικνύεται στον χαρακτηρισμό της καταληκτικής κορυφής. Εξετάστε τώρα την κορυφή (β). 2η περίπτωση: Όταν η κορυφή (α) χαρακτηρίζεται (β -,γ), μειώνουμε τη ροή κατά μήκος της ακμής μεταξύ (β) και (α) κατά το ποσό που υποδεικνύεται στον χαρακτηρισμό της καταληκτικής κορυφής. Εξετάστε τώρα την κορυφή (β). Και στις δυο περιπτώσεις ο αριθμός γ αγνοείται. Περιγράφονται στη συνέχεια τα βήματα που ακολουθήθηκαν στο παράδειγμα. Η καταληκτική κορυφή χαρακτηρίστηκε (6 +,5). Η ροή μπορεί να αυξηθεί κατά 5. Αυξάνουμε τη ροή από την κορυφή (6) στην κορυφή (t) από 33 σε 38. Εξετάζεται τώρα η κορυφή (6). Στην κορυφή (6) ο χαρακτηρισμός (3 +,5) δείχνει αύξηση ροής από την κορυφή (3) στην κορυφή (6) κατά 5 μονάδες. Αυξάνεται η ροή από 18 σε 23 και ο έλεγχος μεταφέρεται στην κορυφή (3). 229

231 Εντοπίζεται χαρακτηρισμός με 2+ ως πρώτη συντεταγμένη. Αυξάνεται η ροή από την κορυφή (2) στην κορυφή (3) κατά 5 και ο έλεγχος μεταφέρεται στην κορυφή (2). 4. Η κορυφή (2) είναι χαρακτηρισμένη με (s +,10). Αυξάνεται η ροή από την κορυφή (s) στην κορυφή (2) κατά 5 μονάδες αντί για 10. Επειδή ο έλεγχος έχει φθάσει στην πηγή διαγράφονται όλοι οι χαρακτηρισμοί και ο έλεγχος επιστρέφει στον Αλγόριθμο Σημειώστε ότι χρησιμοποιήθηκαν μόνο κορυφές σε μια διαδρομή από την κορυφή (s) στην κορυφή (t). Όταν εφαρμόζεται ο αλγόριθμος χωρίς τη χρήση υπολογιστή, καλό θα είναι να εφαρμόζεται η διαδικασία στην πλέον σύντομη διαδρομή. Όταν γίνουν όλες οι αλλαγές, προκύπτει το αποτέλεσμα που φαίνεται στο Σχήμα Σημειώνεται ότι όταν αυξηθεί η ροή σύμφωνα με τους κανόνες στο βήμα 5 του Αλγόριθμο , θα εξακολουθεί να ικανοποιεί τις συνθήκες του βήματος 1. Στη συνέχεια, οι κορυφές χαρακτηρίζονται και πάλι, αλλά αυτή τη φορά. Σχήμα Χαρακτηρίζουμε μόνο μία διαδρομή προς την καταληκτική κορυφή (και την κορυφή (1) που μετατρέπεται σε αδιέξοδο), όπως φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα Είμαστε πάλι έτοιμοι για το βήμα 5 του Αλγόριθμου Αύξηση της ροής από την κορυφή (6) στην κορυφή (t) κατά 5. Αύξηση της ροής από την κορυφή (5) στην κορυφή (6) κατά 5. Μείωση της ροής από την κορυφή (2) στην κορυφή (5) κατά 5. Αύξηση της ροής από την κορυφή (s) στην κορυφή (6) κατά

232 Στο δίκτυο του Σχήματος όχι μόνο σημειώνουμε τη νέα ροή, αλλά δίνουμε και τους νέους χαρακτηρισμούς. Σχήμα Επειδή οι κανόνες στο βήμα 2 δεν επιτρέπουν τον χαρακτηρισμό άλλων κορυφών εκτός από τις κορυφές (s) και (1), η ροή των 48 μονάδων είναι η μέγιστη δυνατή. Στη συνέχεια, ο έλεγχος επιστρέφει στον αρχικό χαρακτηρισμό. Να σημειωθεί ότι αν είχε χαρακτηριστεί η κορυφή (6) με (2 -,10) αντί με (3 +,5), θα είχαμε βρει τη μέγιστη ροή με μια μόνο διαδικασία χαρακτηρισμού. Είναι προφανής η χρησιμότητα τέτοιων συντομεύσεων. Ελάχιστη φραγή Ορισμός Φραγή (cut) σε ένα δίκτυο είναι μια ακμή η απουσία της οποίας διακόπτει τη ροή από την κορυφή (s) προς την κορυφή (t). Δυναμικό της φραγής (cut capacity) είναι το συνολικό δυναμικό όλων των ακμών που συμμετέχουν στη διαδικασία φραγής του δικτύου. Ακολουθούν τρία παραδείγματα στο δίκτυό του Σχήματος Σχήμα Δυναμικό φραγής 50+5=

233 Σχήμα Σε αυτή την περίπτωση αναστέλλουμε τη ροή =77. Σχήμα Στην τελευταία περίπτωση διακόπηκε πλήρως η ροή =48 μονάδων. Από τα παραδείγματα αυτά φαίνεται ότι μια φραγή ροής ορίζεται από το ελάχιστο αριθμό ακμών που η αδράνειά τους εμποδίζει την μεταφορά φορτίου από την πηγή στην καταληκτική κορυφή. Το άθροισμα του δυναμικού των ακμών αυτών κάθε φορά αποδίδει ένα διαφορετικό δυναμικό φραγής. Κάθε φορτίο που μεταφέρεται διά των ακμών ενός προσανατολισμένου γράφου περνά υποχρεωτικά από μια φραγή του δικτύου. Η παρατήρηση αυτή οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το δυναμικό μέγιστης φραγής αποτελεί και το όριο δυναμικού του συγκεκριμένου δικτύου. Στη συνέχεια εφαρμόζεται ο αλγόριθμος των Ford και Fulkerson για να υπολογιστεί η ελάχιστη φραγή: Χρησιμοποιείται το Βήμα 2 για τον χαρακτηρισμό του μεγαλύτερου δυνατού αριθμού κορυφών. Σχηματίζονται δυο σύνολα: το σύνολο L των χαρακτηρισμένων κορυφών και το σύνολο U των μη χαρακτηρισμένων κορυφών. Η ελάχιστη φραγή αποτελείται από όλες τις ακμές του γράφου G που οδηγούν από μια κορυφή του L σε μια κορυφή του U. Στην περίπτωση του Σχήματος , L={(s),(1)} και U={(2),(3),(4),(5),(6),(t)} ενώ η ελάχιστη φραγή CUT={(s-2),(s-3),(1-4)}, όπως φαίνεται στο τρίτο παράδειγμα που προηγήθηκε. Πολλαπλές Πηγές και Καταληκτικές Κορυφές Ένα δίκτυο με περισσότερες από μία πηγές, αλλά και με περισσότερες από μία καταληκτικές κορυφές, ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση δικτύου με μοναδική πηγή και μοναδική επίσης καταληκτική κορυφή. Η μέθοδος που εφαρμόζεται είναι απλή και στηρίζεται στη μεγέθυνση του δικτύου με πρόσθεση δυο κορυφών. Η πρώτη από αυτές που θα εκφράσει τη μοναδική πηγή του επεκταμένου δικτύου έχει βαθμό ίσο με 232

234 τον αριθμό των πηγών του αρχικού δικτύου. Η κορυφή αυτή θα συνδεθεί με μια ακμή με κάθε μία από τις πηγές, που υπήρχαν πριν την επέκταση. Σχήμα Σχετικά με το δυναμικό, όπως παρατηρείται στο Σχήμα , οι νέες ακμές σημαίνονται με το ίδιο δυναμικό εκείνου το οποίο έχουν οι αντίστοιχες ακμές που απάγουν φορτίο από κάθε μία από τις αρχικές πηγές. Αντίστοιχα, οι ακμές που απάγουν φορτίο από τις καταληκτικές κορυφές φέρουν το ίδιο δυναμικό με εκείνο των προσαγωγών ακμών Διάδοση Σφαλμάτων Στην παράγραφο αυτή θα παρασταθούν με τη βοήθεια γράφων οι διαδικασίες διάδοσης σφαλμάτων σε ακολουθίες αριθμητικών υπολογισμών. Στην καθημερινή πρακτική επίλυσης τεχνικών προβλημάτων, τα διαθέσιμα δεδομένα είναι προϊόντα προσεγγίσεων. Σχεδόν κάθε μέτρηση μιας οποιασδήποτε φυσικής οντότητας είναι περίπου προσεγγιστική όσο κοντά στην πραγματική τιμή και αν βρίσκεται. Το ζητούμενο λοιπόν είναι να αναπτυχθούν διαδικασίες υπολογισμού της αύξησης ή της ελάττωσης του σφάλματος, όπως αυτό εξελίσσεται σε μια μακρά σειρά υπολογισμών. Αν συμβεί να γνωρίσουμε τον τρόπο εξέλιξης του σφάλματος στη διαδικασία των υπολογισμών, τότε θα είναι δυνατή η διόρθωση του αποτελέσματος. Στους υπολογισμούς θα ληφθεί υπόψη και το γεγονός της περιορισμένης δυνατότητας της μηχανής να αποθηκεύσει το κατά μέτρο μικρότερο της μονάδα αριθμό, όταν αυτός έχει άπειρο πλήθος όρων στη δεκαδική (ή δυαδική ή δεκαεξαδική) του μορφή. Λίγοι σχετικά αριθμοί έχουν πεπερασμένο δεκαδικό μέρος. Κάθε υπολογισμός που γίνεται με αριθμούς αυτού του είδους επιδρά στο σφάλμα αυξάνοντας ή μειώνοντάς το. Οι γράφοι διαδικασίας viii αναφέρθηκαν και στην Παράγραφο 4.2 για να παραστήσουν αλγεβρικές παραστάσεις Για παράδειγμα, αναφέρεται ότι η ανάλυση της γενικής τετραγωνικής μορφής αx2+βx+γ, απαιτεί πρώτα τη σχεδίαση ενός διαγράμματος δένδρου όπως εκείνο του Σχήματος Η εν λόγω έκφραση έχει τη γνωστή μορφή αx2+βx+γ. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η παράσταση του αλγεβρικού αθροίσματος α+β+γ+δ. Υπάρχουν αρκετοί (πόσοι;) τρόποι για να παρασταθεί το συγκεκριμένο άθροισμα. Δύο από αυτούς είναι στα Σχήματα και στο Σχήμα viii Process graph. 233

235 Σχήμα Ο γράφος της διαδικασίας (αx+β)x+γ=αx 2 +βx+γ. Σχήμα Ο γράφος της διαδικασίας ((αx)x)+((βx)+γ)=αx 2 +βx+γ. Όπως φαίνεται στο Σχήμα σε κάθε τρόπο υπολογισμού μιας συνάρτησης, οι διαδοχικοί πολλαπλασιασμοί αριθμών, που δεν είναι ακέραιοι και στρογγυλεύονται σε κάποιο δεκαδικό σημείο τους, εισάγουν διόγκωση του σφάλματος που εισάγεται από τη στρογγυλοποίηση. Στην καθημερινή πρακτική τα δεδομένα που συλλέγονται αποτελούνται από προσεγγίσεις των πραγματικών τιμών. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι, εκτός από τα σφάλματα στρογγύλευσης, στους διαδοχικούς υπολογισμούς εισάγονται σφάλματα 234

236 παρατήρησης που συμμετέχουν στη διόγκωση σφάλματος από διάχυση. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τη διαδικασία διάχυσης των σφαλμάτων σε μια σειρά υπολογισμών με σκοπό όχι την αποφυγή τους, αλλά τη συγκράτησή τους εντός συγκεκριμένων φραγμών. Όταν καλείται να υπολογίσει την τιμή του 3 ο υπολογιστής αποδίδει την τιμή 2=1, Προκειμένου να αποδώσει περισσότερα δεκαδικά ψηφία, πρέπει να υπολογίσει την παράσταση 10 n 2-[10 n 2] για διάφορες τιμές του n. Αν το επιχειρήσετε θα διαπιστώσετε ότι για n=1, αποδίδει ως επόμενο δεκαδικό ψηφίο το 4. Για n=2, αποδίδει 61, ενώ για n=3 αποδίδει 965. Από αυτές τις δοκιμές προκύπτει ότι πραγματικά δεν είναι ικανός να γνωρίζει τα επόμενα δεκαδικά ψηφία. Όταν καλείται να υπολογίσει την 3 ο υπολογιστής αποδίδει την τιμή 3=1, , τιμή που απέχει πολύ από την πραγματική τιμή που είναι 1, (με ακρίβεια 12 δεκαδικών ψηφίων). Ας σημειωθεί στο σημείο αυτό ότι η αριθμητική ανάλυση είναι η περιοχή των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των διαφόρων μορφών σφαλμάτων που επεισέρχονται στους υπολογισμούς. Από τις παρατηρήσεις αυτές, γίνεται αντιληπτό ότι ο συγκεκριμένος υπολογιστής («κομπιουτεράκι») που χρησιμοποιήθηκε για τους υπολογισμούς αυτούς, αποδίδει δεκαδικούς αριθμούς, με ακρίβεια 7 δεκαδικών και στρογγυλεύει στο όγδοο δεκαδικό ψηφίο. Μεγαλύτεροι υπολογιστές έχουν μεγαλύτερη ακρίβεια. Η αδυναμία των υπολογιστικών μηχανών να εκτελέσουν αριθμητικές πράξεις μάς οδηγεί στην υποχρέωση να διακρίνουμε την «αριθμητική των μηχανών» από εκείνη της «ακριβούς αριθμητικής» ix. Για παράδειγμα, αναφέρεται ότι ο προσεταιριστικός νόμος (τόσο για την πρόσθεση όσο και για τον πολλαπλασιασμό) που ισχύει στην άλγεβρα των πραγματικών αριθμών δεν ισχύει πάντα στην αριθμητική των μηχανών. Παράδειγμα Να εκτελεστεί η πρόσθεση ( ). Ακριβής υπολογισμός: ( )= Υπολογιστικό αποτέλεσμα με μηχανή πέντε ψηφίων ( )= Παράδειγμα Να εκτελεστεί η πρόσθεση ( )+24. Ακριβής υπολογισμός: ( )+24= Υπολογιστικό αποτέλεσμα με μηχανή πέντε ψηφίων ( )+24= Το Παράδειγμα και το Παράδειγμα δείχνουν μια περίπτωση μη επιμεριστικότητας της πρόσθεσης στην αριθμητική των μηχανών. Παράδειγμα Να εκτελεστεί ο πολλαπλασιασμός (2,31 2,64) 3. Υπολογιστικό αποτέλεσμα με μηχανή πέντε ψηφίων (2,31 2,64) 3= =6,098 3= =18,294. Στην οθόνη εμφανίζεται το αποτέλεσμα 18,29. Παράδειγμα Να εκτελεστεί ο πολλαπλασιασμός 2,31 (2,64 3). Υπολογιστικό αποτέλεσμα με μηχανή πέντε ψηφίων 2,31 (2,64 3)= =2,31 7,92= =18,2952. Στην οθόνη εμφανίζεται το αποτέλεσμα 18,30 ix Exact arithmetic. 235

237 Στο Παράδειγμα τα σφάλματα είναι σχετικά μικρά. Όμως, σε μια αλληλουχία εκατομμυρίων αριθμητικών πράξεων η διόγκωση του σφάλματος μπορεί να φτάσει σε ανεπίτρεπτα μεγέθη. Ειδικά, οι διαιρέσεις εισάγουν πολύ μεγάλα σφάλματα, όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. 1673/18,29=91, /18,2952=91, /18,30=91,42. Παρατηρείται σφάλμα μεγέθους 0,03. Το σφάλμα ορίζεται ως «διαφορά της προσεγγιστικής τιμής» από την ακριβή τιμή. Για έναν δοσμένο αριθμό x δηλώνουμε με α(x) την προσεγγιστική τιμή και με e(x) το σφάλμα. Έτσι, e(x)=x α(x) οπότε, το σφάλμα που προκύπτει στο Παράδειγμα , είναι -6= Αν μια μηχανή έχει δυνατότητα αποθήκευσης τεσσάρων μόνο σημαντικών ψηφίων, στην καταχώρηση των αριθμών { ,2537 0, /3 2} αποθηκεύει τους αριθμούς { ,254 0, ,6667 1,414}. Η μηχανή αυτή αποθηκεύει τέσσερα ψηφία και χρησιμοποιεί μια ακόμα θέση για την υποδιαστολή. Χρησιμοποιεί την επιστημονική περιγραφή για να αποδώσει το και καταχωρεί αντί αυτού τον αριθμό Ο αριθμός 0, καταχωρείται ως Όταν κληθεί να εκτελέσει αριθμητικούς υπολογισμούς, η μηχανή αυτή εκτελεί ακριβείς αριθμητικές πράξεις και στη συνέχεια, στρογγυλεύει στα τέσσερα σημαντικά ψηφία πριν εκτελέσει την επόμενη αριθμητική πράξη. Ορισμός Στρογγύλευση σημαίνει: κράτα n ψηφία αν το n+1 ψηφίο είναι μικρότερο (ή ίσο) του 5 ή αν το n+1 ψηφίο είναι μεγαλύτερο το 5, πρόσθεσε μια μονάδα στο τέταρτο ψηφίο. Υπάρχουν άλλες μηχανές που αποκόπτουν όλα τα ψηφία μετά από ένα προκαθορισμένο πλήθος ψηφίων που χρησιμοποιεί στους υπολογισμούς. Αποδεικνύεται ότι το σφάλμα στρογγύλευσης δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το σφάλμα αποκοπής. Γι αυτόν τον λόγο, οι περισσότερες μηχανές είναι προγραμματισμένες να στρογγυλεύουν τους αριθμούς, παρά να αποκόπτουν μέρος αυτών. Τα σφάλματα μηχανής οφείλονται στη στρογγύλευση. Αυτή είναι η αιτία που καθιστά την αριθμητική της μηχανής, τόσο διαφορετική από εκείνη της ακριβούς αριθμητικής. Αρκεί να σκεφτεί κανείς ότι η βασική ιδιότητα της προσεταιριστικότητας, που ισχύει τόσο για την πρόσθεση όσο και τον πολλαπλασιασμό, δεν ισχύει στην περίπτωση της μηχανής μας. Παράδειγμα Να γίνει η πρόσθεση των αριθμών 54270, 3275 και 41. Με προσεταιρισμό των δυο τελευταίων αριθμών η ακριβής αριθμητική παράγει ως αποτέλεσμα Καθώς όμως η απάντηση είναι πενταψήφιος αριθμός, η μηχανή ακρίβειας τεσσάρων ψηφίων θα στρογγυλεύσει το αποτέλεσμα και θα εμφανίσει ( )= = Αν τώρα η μηχανή κάνει την ίδια πρόσθεση εφαρμόζοντας προσεταιρισμό του πρώτου και του δεύτερου αριθμού, η μηχανή μας θα δώσει ( )+41= =7580. Παράδειγμα Να πολλαπλασιαστούν οι αριθμοί 5,11 3,12 και 3. Με προσεταιρισμό των δυο τελευταίων αριθμών η ακριβής αριθμητική παράγει ως αποτέλεσμα 47,83. Το ίδιο αποτέλεσμα παράγει και η μηχανή τεσσάρων σημαντικών ψηφίων. Η ίδια μηχανή όμως, όταν προτάξει τον πολλαπλασιασμό του πρώτου με τον δεύτερο αριθμό, παράγει ως αποτέλεσμα 47,82. Αν τα αποτελέσματα αυτά χρησιμοποιηθούν ως όροι νέων αθροισμάτων ή παράγοντες άλλων πολλαπλασιασμών, είναι προφανές ότι το σφάλμα θα διαχυθεί αυξανόμενο ακόμα περισσότερο. Αλλά και η διαίρεση παράγει σφάλματα, εξαιτίας της στρογγυλοποίησης που εφαρμόστηκε πάνω στον διαιρέτη σε προηγούμενες φάσεις των υπολογισμών. Αν για παράδειγμα διαιρεθεί ο αριθμός 1821 με τα αποτέλέσματα του Παραδείγματος , θα προκύψουν 1821/47,83=38,07 ενώ 1821/47,82=38,08. Αφού εν συντομία διερευνήθηκαν οι πηγές του σφάλματος που παράγουν οι μηχανές, θα προχωρήσουμε στην ανάλυση της διάχυσης του αρχικού σφάλματος σε διαδικασίες που απαιτούν 236

238 εκτεταμένους υπολογισμούς. Για τον σκοπό αυτόν θα συμβολίσουμε με α(x) την προσέγγιση του αποτελέσματος αριθμητικών πράξεων, ενώ με e(x) το σφάλμα, έτσι ώστε να ισχύει x=α(x)+e(x) Έτσι, στο Παράδειγμα x=57586, α(x)=57580 και e(x)=-5. Ας σημειωθεί ότι τα σφάλματα μπορεί να είναι θετικοί, αρνητικοί αριθμοί, ή ακόμα και 0. Μια άλλη χρήσιμη έννοια είναι εκείνη του σχετικού σφάλματος. Ορισμός Ως σχετικό σφάλμα ορίζεται ο λόγος του σφάλματος προς την προσέγγιση. r(x)=e(x)/α(x). Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ως σχετικό σφάλμα και ο λόγος του σφάλματος προς την πραγματική τιμή. r(x)= e(x)/x. Ο ορισμός αυτός, αν και ορθότερος από φυσική άποψη, καθίσταται δύσχρηστος καθώς απαιτεί τη γνώση της πραγματικής τιμής [Dorn and McCraken). Τα δεδομένα που γνωρίζουμε συνήθως είναι η α(x) και τα όρια (ανώτερο και κατώτερο) του σφάλματος. Έτσι, ο πρώτος ορισμός είναι πλέον εύχρηστος και δίνει αρκετά καλές εκτιμήσεις του σχετικού σφάλματος. Για το Παράδειγμα θα είναι r(x)=-6/57580=- 1, ή -0,0104%. Η γνώση των πραγματικών τιμών του e(x) και της α(x) είναι σπάνια εφικτή. Αυτή ακριβώς η έλλειψη γνώσης οδηγεί στην ανάγκη μελέτης του σφάλματος. Μια σημαντική έννοια είναι εκείνη της συμμετρικής στρογγυλοποίησης. Για την κατανόησή της, αρχικά, θα αγνοηθεί το πρόσημο και θα θεωρηθούν μόνο θετικοί αριθμοί. Έστω Τ το πλήθος των σημαντικών ψηφίων που χρησιμοποιεί μια μηχανή για τις αριθμητικές πράξεις που εκτελεί.. Για πολλούς οικιακούς υπολογιστές Τ=8. Δοθέντος αριθμού x 0, ισχύει ότι x=α 10 e +β 10 e-t όπου το α έχει ακριβώς Τ ψηφία, 1 α<10 και 0 β<10. Ως παράδειγμα θα χρησιμοποιηθούν οι τρεις αριθμοί Α=42, Β=348982, και Γ=0, Αν Τ=4, οι δοσμένοι αριθμοί θα γραφούν: Α=42, =4, , ). Β=348982,310058=348982, , ). Γ=0, =0, ). Αν το Τ=8, τότε οι αριθμοί αυτοί γράφονται: Α=42, =4, , ). Β=348982,310058= , ). Γ=0, =0, , ). Η έκταση της στρογγύλευσης εξαρτάται από το μέγεθος του β. Αν το β<5, μπορεί να αγνοηθεί και να γίνει δεκτή η προσέγγιση του αριθμού x=α 10 e. Αν β 5 προστίθεται μια μονάδα στο τελευταίο ψηφίο του α. Αυτή η πράξη είναι ισοδύναμη με την πρόσθεση του 10-Τ+1 στο α. Με αυτό τον τρόπο προκύπτει η προσέγγιση α(x)=(α+10 -Τ+1 ) 10 e =(α 10 e )+10 - Τ+e+1. Η πραγματική τιμή του σφάλματος προσδιορίζεται για μεν την περίπτωση β<5 σε e(x)=α 10 e +β 10 e- T -α 10 e =β 10 e-t. Στην περίπτωση όπου β 5: e(x)=α 10 e+β 10 e-t -(α 10 e +10 (e-t+1) )=β 10 (e-t) -10 (e-t+1) )=(β-10) 10 e-t. Είναι τώρα εφικτό να μελετηθεί το φράγμα του σφάλματος και στις δύο περιπτώσεις. Στην περίπτωση β<5: r(x)=(β 10 e )/(α 10 e )=β/α 10 -Τ. Το ανώτερο φράγμα αυτής της έκφρασης υπολογίζεται στην μεγαλύτερη δυνατή τιμή του β και την μικρότερη του α. Επειδή β=5 και α=1 θα είναι r(x) Τ Στην περίπτωση όπου β 5: r(x) = (β-10) 10 e-τ )/((α+10 -Τ+1 ) 10 -Τ+1 ) = (β-10)/(α 10 -Τ+1 ) 10 -Τ. Η ποσότητα α+10 (-T+1) είναι σχεδόν 1όταν α είναι σχεδόν -1 και β Έτσι, και σε αυτή την περίπτωση r(x) Τ. Αν αντί για στρογγύλευση επιλέγεται η αποκοπή, προκύπτει σε κάθε περίπτωση ότι η προσέγγιση είναι a 10 e. Συνεπώς, το σχετικό σφάλμα αποκοπής ro(x), υπολογίζεται ro(x) = (β-10) 10 e- Τ )/(α 10 e ) =β/α 10 -Τ. Τα διαθέσιμα τώρα δεδομένα είναι ότι β<10 και α 1. Με αυτά τα δεδομένα προκύπτει ότι ro(x) = Τ. Για την επιπλέον διερεύνηση του σφάλματος θα γίνει χρήση της τριγωνικής ανισότητας: x_ 1 +x 2 +x 3 + +x n x 1 + x 2 + x x n. Με χρήση των γράφων διαδικασίας η μελέτη διάδοσης σφαλμάτων. Έστω δυο αριθμοί x και y, που λήφθηκαν μετά από σχετικές μετρήσεις και x=α(x)+e(x), y=α(y)+e(y) την ανάλυσή τους μετά την καταχώρηση σε υπολογιστικό σύστημα. Η πρόσθεση των δύο αριθμών δίνει x+y=α(x)+α(y)+e(x)+e(y)=α(x)+α(y)+e(x+y). Το σχετικό σφάλμα είναι: 237

239 r(x+y)=(e(x)+e(y))/(α(x)+α(y))=e(x)/(α(x)+α(y))+e(y)/(α(x)+α(y))=α(x)/(α(x)+α(y))e(x)/α(x)+α(y)/(α(x)+α(y) e(y)/α(y)=α(x)/(α(x)+α(y))r(x)+α(y)/(α(x)+α(y))r(y). Η αφαίρεση παράγει το ακόλουθο αποτέλεσμα x-y=α(x)-α(y)+e(x)-e(y)=α(x)-α(y)+e(x-y). Το σχετικό σφάλμα είναι: r(x-y)=(e(x)-e(y))/(α(x)-α(y))=e(x)/(α(x)-α(y)-e(y)/(α(x)-α(y))=α(x)/(α(x)-α(y)e(x)/α(x)- α(y)/(α(x)-α(y))e(y)/α(y)=α(x)/(α(x)-α(y))r(x)-α(y)/(α(x)-α(y))r(y). Ο πολλαπλασιασμός παράγει xy=[α(x)+e(x)][α(y)+e(y)]=α(x)α(y)+α(y)e(x)+α(x)e(y)+e(y)e(x). Το σχετικό σφάλμα υπολογίζεται ότι θα προκύψει μετά από υπολογισμούς στην ποσότητα e(xy)=α(y)e(x)+α(x)e(y)+e(y)e(x). Επειδή οι ποσότητες e(x) και e(y) είναι πολύ μικρές ποσότητες, το γινόμενό τους καθίσταται αμελητέα ποσότητα συγκρινόμενο με τα e(x) και e(y). Έτσι, στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί μόνο η ανάλυση σε e(xy)=α(y)e(x)+α(x)e(y). Ο υπολογισμός r(xy)=(α(y)e(x)+ α(x)e(y))/α(x)α(y)=e(x)/α(x)+e(y)/α(y)=r(x)+r(y). Τέλος, η διαίρεση x/y=(α(x)+e(y))/(α(y)+e(y))=α(x)/(α(y)+e(y))1/([1+e(x)/α(x)])=α(x)/(α(y)+e(y))[1-e(y)/α(y) +e(y)/(α(y)) 2. Μετά από τη διαίρεση των πολυωνύμων διαγράφονται οι όροι που περιέχουν δυνάμεις του σφάλματος. x/y (α(x)+e(y))/α(y)[1-(e(y))/α(y)] α(x)/α(y)+(e(x))/α(y)-[(α(x)e(y))/[α(y) 2 ]-(e(x)e(y))/[α(y)] 2 Ο τελευταίος όρος παραλείπεται επειδή το γινόμενο e(x)e(y) είναι πολύ μικρός αριθμός. Έτσι, το σχετικό σφάλμα θα γίνει r(x/y) (e(x))/(α(x))-(e(y))/(α(y))=r(x)-r(y). Για τη μελέτη της διάδοσης σφαλμάτων, θα γίνει παρακάτω χρήση γράφων διαδικασίας. Για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση θα χρησιμοποιούνται ως βάρη των ακμών οι αριθμοί 1 και -1. Οι αριθμοί αυτοί συμβολίζουν τον εκθέτη της ποσότητας που πρόκειται να αποτελέσει παράγοντα του πολλαπλασιασμού. Σχήμα

240 Σχήμα Για την πρόσθεση και την αφαίρεση χρησιμοποιούνται τα αντίστοιχα σύμβολα στις κορυφές. Για παράδειγμα, η αλγεβρική έκφραση (α+β)γ/δ(α+γ), θα παρασταθεί με τον γράφο διαδικασίας. Σχήμα Γράφος διαδικασίας για την αλγεβρική έκφραση (α+β)γ/δ(α+γ). Για τον υπολογισμό του σχετικού σφάλματος στην κορυφή v του γράφου διαδικασίας στο Σχήμα , όπου F1 και F2 είναι μεταβλητές που λαμβάνουν τιμές 1 ή -1. Το σχετικό σφάλμα θα είναι. 239

241 Σχήμα Υπολογισμός του σχετικού σφάλματος στην κορυφή v του γράφου διαδικασίας. Στη σχέση αυτή, λαμβάνονται υπόψη μόνο τα σχετικά σφάλματα στο Α και στο Β. Δεν έχει συνεκτιμηθεί το σχετικό σφάλμα στρογγύλευσης στο v. Έστω ότι το σχετικό σφάλμα στρογγύλευσης στο v θα είναι το r. Τότε, το συνολικό σχετικό σφάλμα της διαδικασίας θα είναι r(v)=f 1 r(a)+f 2 r(b)+r. Σε γράφους διαδικασίας με περισσότερα επίπεδα επεξεργασίας, θα ληφθούν τα δημιουργούμενα σφάλματα τόσο εκείνα της στρογγύλευσης, όσο και όσα προκύπτουν από τους υπολογισμούς, για να προκύψει το συνολικό σχετικό σφάλμα της διαδικασίας. Θα εφαρμόσουμε οι γράφοι διαδικασίας για να εκτιμήσουμε το σχετικό σφάλμα στρογγύλευσης στην παράσταση ((α+β)+γ)+δ και στη συνέχεια στην παράσταση (α+β)+(γ+δ). 240

242 Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Abramowitz, M. & Stegun, I. A. (eds.) (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. new York: Dover, p. 14. Althoen, Steven C., & Bumcrot, Robert J. (1988). Introduction to Discrete Mathematics. Boston: PWS-KEnT Publishing Company. Bevington, P. R. (1969). Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. new York: McGraw- Hill, pp Bollobás, B. (1979). Graph Theory: An Introductory Course. new York: Springer-Verlag. Bollobás, B. (1998). Modern Graph Theory. new York: Springer-Verlag. Bondy, J. A., & Murty, U. S. R., (1976). Graph Theory with applications, north Holland. Cayley, A. (1891) [1857]. On the Theory of Analytic Forms Called Trees. Philos. Mag. 13, Reprinted in Mathematical Papers, Vol. 3. Cambridge, pp Euler, L. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. Comment. Academiae Sci. I. Petropolitanae 8(1736), Finch, S. R. (2003). Binary Search Tree Constants, & Digital Search Tree Constants and 5.14 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp ,. Flajolet, P. & Richmond, B. (1992). Generalized Digital Trees and their Difference-Differential Equations. Random Structures and Algorithms 3, Flajolet, P. & Sedgewick, R. (1986). Digital Search Trees Revisited. SIAM Review 15, Fleury, Μ. (1883). Deux problemes de geometrie de situation. Journal de mathematiques elementaires, Harary, F. (1994). Graph Theory. Reading, MA: Addison-Wesley. Harary, F. & Manvel, B. (1970). Trees. Scripta Math. 28, Hartsfield, n., & Ringel, G., (2003). Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction, Dover Books on Mathematics. Hierholzer, Carl (1873). Ueber die Möglichkeit, einen Linienzug ohne Wiederholung und ohne Unterbrechung zu umfahren. Mathematische Annalen 6(1): 30 32, doi: /bf Holton, D. A. & Sheehan, J. (1993). The Petersen Graph. Cambridge, England: Cambridge University Press. Knuth, D. E. (1973). The Art of Computer Programming, Vol. 3: Sorting and Searching, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 21, 134, 156, , and 580. Ku, Harry (1966). notes on the Use of Propagation of Error Formulas. J Research of national Bureau of Standards-C. Engineering and Instrumentation, Vol. 70C, no.4, pp Lucas, E. (1921). Récréations Mathématiques IV, Paris. McKay, B. D. Trees Sorted by Diameter. neuhauser, C. (2011). Calculus for Biology and Medicine, 3rd Ed. Boston:Pearson. Saaty, T. L. & Kainen, P. C. (1986). The Four-Color Problem: Assaults and Conquest. new York: Dover. Simion, Rodica (1991). Trees with 1-factors and oriented trees. Discrete Mathematics 88 (1): , Skoog, D., Holler, J., Crouch, S. (2007). Principles of Instrumental Analysis, 6th Ed. Belmont: Thomson Brooks/Cole. Sloane, n. J. A. Sequences A048651, A065442, A065443, A086309, A086310, A086311, A086312, A086313, and A in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences." 241

243 Thorup, Mikkel (2000). near-optimal fully-dynamic graph connectivity. Proc. 32nd ACM Symposium on Theory of Computing, pp Trudeau, R. J. (1994). Introduction to Graph Theory. new York: Dover. Tutte W. T., Smith C.A.B. (1941). On Unicursal Paths in a network of Degree 4. American Mathematical Monthly 48: Young, V. (2009). Propagation of Error (accessed nov 20,). Van Aardenne-Ehrenfest T., De Bruijn n. G. (1951). Circuits and trees in oriented linear graphs. Simon Stevin 28: Γεωργίου, Δημήτριος Α. (1994). Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά για την Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Ξάνθη: Εταιρεία Αξιοποίησης Πανεπιστημιακής Περιουσίας του Δ.Π.Θ. Κυρούσης, Λ., Μπούρας, Χ., Σπυράκης, Π., Σταματίου, Γ. (1999). Εισαγωγή στους Γράφους. Αθήνα: CTI Press, ISBn %20Graph%20Theory.pdf 242

244 Κριτήρια Αξιολόγησης Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Να σχεδιάσετε το σύνολο των δένδρων 7 κορυφών. Να σχεδιάσετε το σύνολο των δένδρων 8 κορυφών. Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Σε μια σειρά έξι (6) αναμετρήσεων δυο ομάδων ανακηρύσσεται νικήτρια η ομάδα που θα σημειώσει πρώτη δυο διαδοχικές νίκες. Πόσες διαφορετικές περιπτώσεις νίκης υπάρχουν για κάθε ομάδα; Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Να σχεδιαστεί δένδρο που παριστά τα δυνατά αποτελέσματα μιας σειράς πέντε παιχνιδιών, όπου νικητής αναδεικνύεται όποιος φέρει τρεις νίκες. Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Σε μια κάλπη που περιέχει τέσσερις ερυθρές και πέντε γαλάζιες σφαίρες, εξάγονται σφαίρες (χωρίς επανατοποθέτηση) μέχρι την εξαγωγή τριών ερυθρών. Με πόσους τρόπους ολοκληρώνεται η σειρά των παιχνιδιών; Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Χρησιμοποιήστε ένα δένδρο για να μετρήσετε των αριθμό μεταθέσεων τριών γραμμάτων, στα οποία όμως δεν περιλαμβάνονται δυο φωνήεντα συγχρόνως. Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Στις ασκήσεις 1-4 σχεδιάστε γράφους για τις δοθείσες αλγεβρικές εκφράσεις (α+β)+(γ+δ) και ((α+β)+γ)+δ (α β)+(γ δ) και (α (β+γ)) δ α/β+γ-δ+ε φ {[(α+β)/(γδ)]-[ε+φ]}γ Κριτήριο Αξιολόγησης 7 Με ποια ανίχνευση το δυαδικό δένδρο της εικόνας αποδίδει αλγεβρική έκφραση; 243

245 Κριτήριο Αξιολόγησης 8 Με ποια ανίχνευση το δυαδικό δένδρο της εικόνας αποδίδει αλγεβρική έκφραση; Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Κωδικοποιήστε την πρώτη πρόταση από την «Αναφορά στον Γκρέκο» του Νίκου Καζαντζάκη: «Μαζεύω τα σύνεργά μου: όραση, ακοή, γέψη, όσφρηση, αφή, μυαλό, βράδιασε πια, τελεύει το μεροκάματο, γυρίζω σαν τον τυφλοπόντικα στο σπίτι μου, στο χώμα. Όχι γιατί κουράστηκα να δουλεύω, δεν κουράστηκα, μα ο ήλιος βασίλεψε.». Κριτήριο Αξιολόγησης 10 Κωδικοποιήστε τη δεύτερη πρόταση στο ίδιο κείμενο: «Ο ήλιος βασίλεψε, θάμπωσαν τα βουνά, οι οροσειρές του μυαλού μου κρατούν ακόμα λίγο φως στην κορφή τους, μα η άγια νύχτα πλακώνει, 244

246 ανεβαίνει από τη γης, κατεβαίνει από τον ουρανό, και το φως ορκίστηκε να μην παραδοθεί, μα το ξέρει, σωτηρία δεν υπάρχει δε θα παραδοθεί, μα θα σβήσει.». Κριτήριο αξιολόγησης 11 Στις ασκήσεις 1 και 2 κατασκευάστε τα δυαδικά δένδρα ελαχίστου βάρους για τα βάρη που δίνονται. 1, 2, 2, 5, 6, 7, 8 και 9 1, 4, 6, 9, 10, 13, 21 και 23. Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Στις επόμενες ασκήσεις 1 και 2 χρησιμοποιήστε τη συχνότητα των γραμμάτων για να κατασκευάσετε τον κατάλληλο κώδικα Huffman για τις δοσμένες λέξεις. Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τον κώδικα για την κωδικοποίηση των φράσεων. Σε γνωρίζω από την όψη. Διακριτές Δομές Μαθηματικών. Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Στις ασκήσεις 1-2 καταγράψτε τα αποτελέσματα πρώτων ανιχνεύσεων σε βάθος και σε πλάτος για τα δοσμένα δένδρα

247 Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Να αποδείξετε ότι το πλήθος των δένδρων σύνδεσης ενός Κ n γράφου είναι n n-2. Απάντηση/Λύση Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Να αποδείξετε ότι δεν μπορεί να υπάρξει απλό γράφο με 6 κορυφές με βαθμούς 2, 3, 3, 4, 4, και 5 αντίστοιχα. 5 κορυφές με βαθμούς 2, 3, 4, 4, και 5 αντίστοιχα. 4 κορυφές με βαθμούς 1, 3, 3, και 3 αντίστοιχα. 7 κορυφές με βαθμούς 1, 3, 3, 4, 5, 6 και 6 αντίστοιχα. Απάντηση/Λύση (1) Το άθροισμα των βαθμών =21 είναι περιττός αριθμός και όχι άρτιος (βλέπε λήμμα της χειραψίας). (2) Σε έναν απλό γράφο με 5 κορυφές, καμία κορυφή δεν μπορεί να έχει βαθμό μεγαλύτερο του 4. (3) Αφού ο γράφος είναι απλός και έχει μόνο τέσσερις κορυφές, και οι τρεις κορυφές με βαθμό 3 πρέπει να συνδέονται στην τέταρτη κορυφή. Τότε, όμως, αυτή θα έπρεπε να είχε επίσης βαθμό 3 και όχι 1. (4) Έστω ότι υπήρχε τέτοιος γράφος. Αφαιρώ την κορυφή βαθμού 1 και τη μοναδική ακμή που προσπίπτει σε αυτή. Το αποτέλεσμα είναι ένας γράφος με 6 κορυφές και τουλάχιστον μία κορυφή με βαθμό 6. Έχουμε εξηγήσει στο (2) ότι τέτοιος γράφος δεν μπορεί να υπάρξει. Συνεπώς, έχουμε καταλήξει σε άτοπο. Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Να δείξετε ότι το πλήθος το πλήθος των δένδρων σύνδεσης ενός Κ p,q είναι p q-1 q p-1. Απάντηση/Λύση Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Να αποδείξετε ότι το συμπληρωματικό κάθε μη συνεκτικού (Ορισμός ) γράφου είναι συνεκτικό. Απάντηση/Λύση Έστω μη συνεκτικός γράφος G(V,E) και έστω v 1,v 2 V 2. Θα δειχτεί ότι στο συμπληρωματικό γράφο G c του G, υπάρχει διαδρομή μεταξύ των v 1 και v 2. Αφού το G είναι μη συνεκτικό, θα αποτελείται από περισσότερα του ενός τμήματα. Διακρίνω τις ακόλουθες περιπτώσεις. Περίπτωση 1. Οι κορυφές v 1 και v 2 ανήκουν σε διαφορετικό τμήμα. Τότε η ακμή {v 1,v 2 } δεν υπάρχει στο γράφο G (αλλιώς οι δύο κορυφές δεν θα ήταν σε διαφορετικά, αλλά στο ίδιο τμήμα), και επομένως υπάρχει στο συμπληρωματικό του. Περίπτωση 2. Οι κορυφές v 1 και v 2 ανήκουν στο ίδιο τμήμα. Έστω κορυφή v που ανήκει σε διαφορετικό τμήμα από αυτό που ανήκουν οι v 1 και v 2. Παρατηρώ πάντα υπάρχει μια τέτοια κορυφή v διότι το G είναι μη συνεκτικό και αποτελείται από περισσότερα του ενός τμήματα. Όπως και στην Περίπτωση 1, οι ακμές.{v 1,v} και.{v,v 2 } δεν υπάρχουν στο G, και επομένως υπάρχουν στον συμπληρωματικό γράφο του G. Συνεπώς, στον συμπληρωματικό γράφο, οι κορυφές v 1 και v 2 συνδέονται μέσω της διαδρομής {v 1,v} {v,v 2 } Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Ο αριθμός των διακριτών δένδρων σύνδεσης ενός πλήρους διμερούς γράφου Κ 3,n είναι n 2 3 n

248 Κριτήριο Αξιολόγησης 19 Ο αριθμός των διακριτών δένδρων σύνδεσης ενός τροχού W n (τροχός τάξης n) είναι (3+ 5)/2) n-1 +(3-5)/2) n-1-2 Σημείωση: Ο τροχός τάξης n αποτελείται από έναν απλό κύκλο με n κορυφές και μία ακόμη κορυφή που συνδέεται με όλες τις κορυφές του κύκλου. Κριτήριο Αξιολόγησης 20 Μας δίνεται αρχείο με n διαφορετικούς χαρακτήρες. Να αντιστοιχίσετε τον κάθε χαρακτήρα σε ένα δυαδικό κωδικό, έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί ο συνολικός αριθμός των bits όλου του αρχείου. Κριτήριο Αξιολόγησης 21 Ζητείται να εξεταστεί αν οι ακόλουθοι κώδικες είναι μοναδικά αποκωδικοποιήσιμοι και άμεσοι και σε καταφατική περίπτωση αν είναι κώδικες Huffman. Για τους κώδικες Huffman, να προτείνετε κατάλληλες κατανομές πιθανοτήτων των συμβόλων της πηγής που κωδικοποιούν. 1. {00, 01, 10, 11}, 2. {1, 01, 010, 011}, 3. {01, 10, 11, 000, 111}, 4. {01, 10, 11, 000, 001}, 5. {010, 0001, 0110, 1100, 00011, 00110, 11110, }. Στο ερώτημα 5, αν η απάντησή σας είναι αρνητική, να προσπαθήσετε να τροποποιήσετε κατάλληλα τον κώδικα αυτόν, ώστε να πληρεί τις ως άνω ιδιότητες χωρίς όμως η καινούργια ή οι καινούργιες κωδικές λέξεις που θα αντικαταστήσει(ουν) την παλιά να έχει διαφορετικό μήκος. Τέλος, να εξετάσετε και να εξηγήσετε αν ο κώδικας που διορθώσατε είναι βέλτιστος και αν όχι να προτείνετε έναν βέλτιστο κώδικα για κάποια κατάλληλη κατανομή πιθανοτήτων. Κριτήριο Αξιολόγησης 22 Να αποδείξετε ότι κάθε απλός μης κατευθυνόμενος γράφος με 11 κορυφές και 53 ακμές δεν έχει κύκλο Euler, αλλά έχει κύκλο Hamilton. Απάντηση/Λύση Ο πλήρης γράφος με 11 κορυφές έχει 55 ακμές. Συνεπώς, κάθε απλός γράφος με 11 κορυφές και 53 ακμές προκύπτει από το Κ11 με την αφαίρεση δύο ακμών. Για να αποκλείσω την ύπαρξη κύκλου Euler, χρειάζεται να διακρίνω δύο περιπτώσεις: Περίπτωση 1. Οι δύο ακμές που αφαιρέθηκαν από το Κ11 προσπίπτουν στην ίδια κορυφή. Αφού ο γράφος είναι απλός, οι δύο ακμές μπορούν να έχουν μόνο το ένα άκρο τους κοινό. Συνεπώς, ο γράφος με 11 κορυφές και 53 ακμές έχει μία κορυφή βαθμού 8, δύο κορυφές βαθμού 9, και 8 κορυφές με βαθμό 10. Συνεπώς, δεν μπορεί να έχει κύκλο Euler, αφού περιέχει κάποιες κορυφές με περιττό βαθμό. Περίπτωση 2. Διαφορετικά, ο γράφος με 11 κορυφές και 53 ακμές πρέπει να έχει 4 κορυφές βαθμού 9 και 7 κορυφές βαθμού 10. Και σε αυτή την περίπτωση, ο γράφος δεν μπορεί να έχει κύκλο Euler. Η ύπαρξη κύκλου Hamilton προκύπτει από το Θεώρημα του Ore, (Θεώρημα 5.7.3) αφού σε κάθε περίπτωση, το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών είναι τουλάχιστον 17>11. Κριτήριο Αξιολόγησης 23 Να ελέγξετε την ύπαρξη Οϊλεριανών διαδρομών ή κυκλωμάτων στους γράφους που παρουσιάζονται στους επόμενους γράφους: 247

249 Κριτήριο Αξιολόγησης 24 nα δείξετε ότι ένας υπερκύβος διάστασης 4 δεν έχει ισόμορφο επίπεδο γράφο. Κριτήριο Αξιολόγησης 25 Να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα Kuratowski για να αποδείξετε ότι ο υπερκύβος διάστασης 4 δεν είναι επίπεδος γράφος. Κριτήριο Αξιολόγησης 26 Έστω γράφος G περιέχει διαδρομή με μη επαναλαμβανόμενες ακμές. Να δείξετε ότι από μία κορυφή v 1 σε μία κορυφή v 2(v 1 v 2), στο οποίο περιέχονται όλες οι ακμές και όλες οι κορυφές του γραφήματος, εάν και μόνο εάν ο γράφος είναι συνεκτικός και οι κορυφές v 1 και v 2 είναι οι μοναδικές κορυφές περιττού βαθμού. Κριτήριο Αξιολόγησης 27 Πόσες όψεις έχει ο γύρος του κόσμου; Κριτήριο Αξιολόγησης 28 Θεωρούμε τους γράφους K n (πλήρης γράφος n κορυφών), C n (απλός κύκλος με n κορυφές), C n c (συμπληρωματικός γράφος απλού κύκλου με n κορυφές), W n (τροχός τάξης n), W n c (συμπληρωματικός γράφος τροχού τάξης n). Σημείωση: Ο τροχός τάξης n αποτελείται από έναν απλό κύκλο με n κορυφές και μία ακόμη κορυφή που συνδέεται με όλες τις κορυφές του κύκλου. 248

250 (α) Για ποιες τιμές του nοι παραπάνω γράφοι έχουν κύκλο Euler; (β) Για ποιες τιμές του nοι παραπάνω γράφοι έχουν κύκλο Hamilton; Κριτήριο Αξιολόγησης 29 Θεωρούμε έναν πλήρη γράφο με nδιακεκριμένες κορυφές. (α) Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών κύκλων Hamilton στον πλήρη γράφο; Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών κύκλων Hamilton στον γράφο που προκύπτει αφαιρώντας μία ακμή από τον πλήρη γράφο; (β) Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών απλών κύκλων στον πλήρη γράφο; Σημείωση: Σε έναν απλό κύκλο δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενες κορυφές και δύο κύκλοι είναι διαφορετικοί αν διαφέρουν σε μία τουλάχιστον ακμή. Κριτήριο Αξιολόγησης 30 Πόσοι κύκλοι Hamilton υπάρχουν για τον σταθμισμένο γράφο K 4 ; Κριτήριο Αξιολόγησης 31 Υπολογίστε το πλήθος των δένδρων σύνδεσης για K 4. Βρείτε την ορίζουσα με τη χρήση των δύο βημάτων που υποδεικνύονται στο κείμενο για να επαληθεύσετε τον τύπο του Cayley. Κριτήριο Αξιολόγησης 32 Υπολογίστε το πλήθος των δένδρων σύνδεσης στο Κ 2,2. Σχεδιάστε τα όλα. Κριτήριο Αξιολόγησης 33 Υπολογίστε το πλήθος των δένδρων σύνδεσης στο Κ 3,3. Σχεδιάστε τα όλα. 249

251 Κριτήριο Αξιολόγησης 34 Υποθέστε ότι αναλάβατε τον σχεδιασμό όλων των δένδρων σύνδεσης ενός πλήρους γράφου 10 σημείων, Κ 10. Προγραμματίστε το computer να κάνει όλη αυτή την δουλειά με τη βοήθεια ενός plotter. Υποθέστε ότι χρειάζεται ένα δευτερόλεπτο για υπολογισμό και σχεδίαση κάθε δένδρου σύνδεσης. Υποθέστε ότι 50 δένδρα χωράνε σε μια σελίδα και ότι 400 φύλλα χαρτί υπολογιστή έχουν πάχος ένα εκατοστό. Πόσος είναι ο χρόνος υπολογισμού και σχεδίασης; Πόσο χαρτί θα χρειαστεί; Κριτήριο Αξιολόγησης 35 Πόσα δένδρα σύνδεσης υπάρχουν σε ένα υπερκύβο διάστασης n; Κριτήριο Αξιολόγησης 36 Να αποδείξετε ότι το πλήθος των δένδρων σύνδεσης ενός Κ n γράφου είναι n n-2. Κριτήριο Αξιολόγησης 37 Να δείξετε ότι το πλήθος των δένδρων σύνδεσης ενός Κ p,q είναι p q-1 q p-1. Κριτήριο Αξιολόγησης 38 Να σχεδιάσετε τον ισόμορφο επίπεδο γράφο του σχήματος, ή να δείξετε ότι δεν υπάρχει τέτοιος. Κριτήριο Αξιολόγησης 39 (λήμμα της χειραψίας) Να δείξετε ότι σε κάθε απλό γράφο ισχύει ότι deg ( v ) = 2 Ε. i v V i Το λήμμα δηλαδή εξασφαλίζει ότι σε κάθε απλό γράφο το πλήθος των κορυφών περιττού βαθμού είναι άρτιο. Η συνηθέστερη εφαρμογή του λήμματος είναι εκείνη της συνάθροισης ατόμων. Στο μοντέλο της συνάθροισης το λήμμα εξασφαλίζει ότι το πλήθος των ανθρώπων που γνωρίζουν ένα περιττό πλήθος άλλων ανθρώπων της συνάθροισης είναι άρτιο. 250

252 Κριτήριο Αξιολόγησης 40 Να δείξετε ότι ένας υπερκύβος διάστασης 4 δεν έχει ισόμορφο επίπεδο γράφο. Κριτήριο Αξιολόγησης 41 Να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα Kuratowski για να αποδείξετε ότι ο υπερκύβος διάστασης 4 δεν είναι επίπεδος γράφος. Κριτήριο Αξιολόγησης 42 Στους γράφους 1 έως 3 να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός φορτίων που μπορεί να μεταφερθούν από την κορυφή (1) στην κορυφή (8); Κριτήριο Αξιολόγησης 43 Στους γράφους 4 έως 7 να βρεθεί η μέγιστη ροή και ελάχιστη φραγή των απεικονιζόμενων δικτύων. Οι πηγές χαρακτηρίζονται με s ενώ οι καταληκτικές κορυφές με t. Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης 251

253 6. Κεφάλαιο: ΜΗΤΡΟΕΙΔΗ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΩΝ Σύνοψη Η έννοια του Μητροειδούς (Matroid) για πρώτη φορά ορίζεται από τον Whitney το 1935 ως μια αφηρημένη γενίκευση των γράφων και των πινάκων. Ο όρος αναπέμπει στον μαθηματικό όρο της μήτρας (δηλαδή πίνακα). Τόσο στη Θεωρία των Γράφων, στοιχεία της οποίας παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 6, όσο και στη γραμμική άλγεβρα, όπου παρουσιάζονται οι πίνακες και οι ιδιότητες αυτών, αναφέρονται σχέσεις εξάρτησης ανάμεσα σε γράφους ή σε πίνακες-διανύσματα. Ο Whitney πέτυχε με τη δομή αυτή αφενός να συνδέσει ειδικές κατηγορίες γράφων με πίνακες, αφετέρου να συλλάβει την ουσία της αφηρημένης έννοιας της εξάρτησης. Στις δύο δεκαετίες που ακολούθησαν την εισαγωγή της έννοιας του μητροειδούς, συγκριτικά λίγα αποτελέσματα δημοσιεύτηκαν. Μόνο από τα μέσα της δεκαετίας του 1950, σημειώθηκε πρόοδος και μάλιστα με συνεχώς αυξανόμενο ρυθμό. Δεδομένου ότι όταν αυτό το κεφάλαιο γράφηκε, υπήρχε δημοσιευμένο ένα εκτεταμένο έργο με πολλά σημαντικά θεωρήματα, επιλέχτηκε ένα μικρό μόνο μέρος από αυτά. Τα αποτελέσματα που πρόκειται να παρουσιαστούν χρησιμοποιούνται για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων σε διάφορους τομείς, όπως στην πολιτική, στην ενέργεια, στη μηχανολογία, στην επιστήμη των υπολογιστών και τα μαθηματικά. Τα μητροειδή (matroids) μπορούν να εξεταστούν ως γενικευμένες γεωμετρίες, και για αυτό συμπεριλαμβάνονται επίσης και στη Συνδυαστική. Για τη Συνδυαστική, ένα μητροειδές δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια δομή η οποία περικλείει αλλά και γενικεύει την έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας σε διανυσματικούς χώρους. Υπάρχουν πολλοί ισοδύναμοι τρόποι για να οριστεί ένα μητροειδές. Ο πλέον διαδεδομένος είναι εκείνος που εκφράζει το μητροειδές, ως προς ανεξάρτητα σύνολα, βάσεις, κυκλώματα, κλειστά σύνολα, τελεστές εγκλεισμού και διάταξης. Ας σημειωθεί ότι οι γράφοι είναι μορφές, όπως εκείνες που απασχολούν τις γεωμετρίες, αλλά όπως και εκείνες τις οποίες πραγματεύεται η Συνδυαστική. Σε ό,τι αφορά τη σχέση των μητροειδών με τους γράφους, στη θεωρία αυτή περιλαμβάνονται ειδικές μόνο κατηγορίες γράφων, όπως οι πλήρεις, οι γράφοι Kuratowski κ.λπ. Τα μητροειδή περιγράφουν αυτές τις μορφές, αλλά επίσης περιγράφουν και μια εκπληκτική ποικιλία συμπλεγμάτων. Κλασικό παράδειγμα σχέσης που έχει η συνδυαστική με τη θεωρία γράφων αποτελεί η σχέση των διατάξεων με τα δένδρα (α-κύκλους γράφους). Επιπλέον, τα μητροειδή επιτρέπουν την ανάπτυξη μεθόδων βελτιστοποιήσεων στη συνδυαστική ανάλυση, δεδομένου ότι είναι ακριβώς οι δομές για τις οποίες ο άπληστος αλγόριθμος λειτουργεί. Με τον όρο «Συνδυαστική Βελτιστοποίηση» στην Θεωρητική Επιστήμη των Υπολογιστών αντιλαμβανόμαστε το σύνολο των προτάσεων οι οποίες επιτρέπουν την ανάπτυξη αλγόριθμων για την επιλογή ενός βέλτιστου αντικειμένου από ένα πεπερασμένο σύνολο αντικειμένων. Από όσα ο συγγραφέας γνωρίζει, η μέχρι σήμερα εξέλιξη της θεωρίας των μητροειδών ασχολείται με προβλήματα για τα οποία το σύνολο των δυνατών λύσεων είναι διακριτό ή δύναται να παρασταθεί από διακριτά σύνολα λύσεων. Στόχος είναι ο εντοπισμός της καλύτερης λύσης. Από όσα αναπτύχθηκαν στο κεφάλαιο περί των Γράφων, αναφέρουμε ως πρόβλημα Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή και το πρόβλημα εντοπισμού δένδρου σύνδεσης ελάχιστου βάρους. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγεται η θεωρία των μητροειδών, παρουσιάζονται μερικά από τα βασικά θεωρήματα και προσδιορίζονται ορισμένα από τα σημαντικότερα προβλήματα που διατηρούν ισχυρό ενδιαφέρον για τις εφαρμογές τους. Παρά το γεγονός της εξαιρετικής βιβλιογραφικής ευρύτητας, στο ηλεκτρονικό αυτό σύγγραμμα έχει επιλεγεί προς παρουσίαση στοιχεία της θεωρίας που αφορούν: τους Βασικούς Ορισμούς και Σημαντικά Θεωρήματα, τα Μητροειδή και Γράφους και, τέλος, τους Λαίμαργους Αλγόριθμους και τα Μητροειδή. Προαπαιτούμενη Γνώση Βασικές αρχές Γραμμικής Άλγεβρας. Στοιχεία από τη Θεωρία Γράφων και τη Αλγεβρική Θεωρία Σωμάτων Βασικοί 0ρισμοί και Σημαντικά Θεωρήματα Τα μητροειδή είναι μαθηματικές δομές που σχετίζονται με πίνακες. Ως δομές, επιχειρούν να εκφράσουν με ομογενοποιημένο τρόπο την αφηρημένη έννοια της εξάρτησης στην γραμμική άλγεβρα και τη θεωρία γράφων. Μετά την εισαγωγή τους από τον Whitney το 1935, αναγνωρίστηκε η συνεισφορά τους στην ανάλυση και απαρίθμηση πολύπλοκων συμπλεγμάτων. Η ονομασία μητροειδές αμφισβητήθηκε πολλές φορές 252

254 στα πρώτα χρόνια ανάπτυξης της σχετικής θεωρίας. Ο Gian-Carlo Rota, ο οποίος έχει μεγάλη συνεισφορά στην ανάπτυξη της θεωρίας των μητροειδών, αμφισβήτησε σοβαρά τον όρο και προσπάθησε να εισαγάγει τον όρο «γεωμετρία» ως συντομογραφία της «Συνδυαστικής Γεωμετρίας». Οι προσπάθειές του απέτυχαν, αλλά δείχνουν τον ισχυρότατο δεσμό που έχει το μητροειδές με τη Συνδυαστική, καθώς και τη γενικότερη απόδοση της γεωμετρίας. Αποτέλεσμα της μεγάλης χρηστικότητας της θεωρίας των μητροειδών στις εφαρμογές ήταν να αναγνωριστεί αυτή ως η εξέλιξη της Συνδυαστικής. Ιδιαίτερη είναι η συμβολή της θεωρίας αυτής στην ανάπτυξη νέων μεθόδων της Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης. Αυτή ακριβώς η ισχυρή σχέση του μητροειδούς, που συνδέει την έννοια της ανεξαρτησίας σε Διανυσματικούς Χώρους πεπερασμένης διάστασης με τη Θεωρία Γράφων και τη Συνδυαστική, επιτρέπει και τη διατύπωση του ορισμού του μητροειδούς με διαφορετικούς τρόπους. Έστω S πεπερασμένο σύνολο και I μια μη κενή συλλογή υποσυνόλων του S, όπου I O(S) (O(S) το δυναμοσύνολο του S. Ορισμός Το διατεταγμένο ζεύγος (S,I) θα καλείται μητροειδές M εφόσον ικανοποιούνται τα ακόλουθα τρία αξιώματα. Μη κενότητα: Το κενό σύνολο ανήκει στο M τo M είναι μη κενό σύνολο). Κληρονομικότητα: Αν ένα σύνολο Λ M, τότε κάθε υποσύνολο του Λ ανήκει επίσης στο M. Αυξητικότητα: Αν Χ και Υ είναι δυο σύνολα στο M και ισχύει Χ = Υ +1, τότε υπάρχει ένα στοιχείο στο Χ\Υ τέτοιο ώστε Υ {x} M. Τα σύνολα που ανήκουν στο Μ καλούνται ανεξάρτητα σύνολα. Ισχύει προφανώς ότι κάθε υποσύνολο ενός ανεξάρτητου συνόλου στο Μ είναι ανεξάρτητο. Η ένωση όλων των ανεξάρτητων συνόλων του Μ καλείται σύνολο γείωσης (ground set). Προφανώς, το σύνολο γείωσης του Μ είναι το S. Στη Θεωρία Γράφων ένα σύνολο κορυφών καλείται ανεξάρτητο αν οποιαδήποτε δύο στοιχεία του συνόλου δεν είναι ανεξάρτητα. Στη Θεωρία Συνόλων, δυο σύνολα λέγονται ανεξάρτητα ή ξένα μεταξύ τους αν η τομή τους είναι το κενό σύνολο. Βασικό ρόλο στη Θεωρία των Μητροειδών έχει η έννοια του βαθμού (rank) του μητροειδούς. Η έννοια αυτή που είναι αντίστοιχη της έννοιας της βάσης διανυσματικού χώρου στη Γραμμική Άλγεβρα, εξασφαλίζει ότι δύο σύνολα γείωσης ενός μητροειδούς Μ έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων. Αν Μ είναι ένα μητροειδές στο σύνολο Ε και Ι είναι ένα υποσύνολο του Ε, τότε ένα μητροειδές στο Ι μπορεί να οριστεί αν θεωρήσουμε ότι ένα υποσύνολο του Ι είναι ανεξάρτητο αν και μόνο αν είναι ανεξάρτητο στο Μ. Με αυτόν τον τρόπο αντιλαμβανόμαστε και την έννοια του υπομητροειδούς, αλλά και την έννοια του βαθμού κάθε υποσυνόλου του Ε. Ο βαθμός κάθε υποσυνόλου Ι συμβολίζεται με r(i) που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες. Η τιμή της συνάρτησης /βαθμού είναι πάντα μη αρνητικός ακέραιος Ι I,r(I) ℵ(I). Για κάθε ζεύγος I 1 και I 2 του Ε, r(ι 1 I 2 )+r(ι 1 I 2 ) r(ι 1 )+r(ι 2 ). Για κάθε σύνολο I και στοιχείο x, r(i) r(i {x}) r(i)+1. Αν Ι 1 Ι 2 Ι 3, τότε r(ι 1 ) r(ι 2 ) r(ι 3 ) που σημαίνει ότι η συνάρτηση βαθμός είναι μονότονη συνάρτηση. Με τις ιδιότητες αυτές μπορεί κανείς να ορίσει ένα πεπερασμένο μητροειδές ως εξής. Αν (Ε,r) ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες, τότε τα ανεξάρτητα σύνολα Ι του μητροειδούς υπέρ του Ε μπορούν να οριστούν από τα σύνολα Ι του Ε με r(i)=ℵ(i). Η διαφορά r(i)-ℵ(i) καλείται συμπλήρωμα βαθμού του υποσυνόλου Ι. Είναι ο ελάχιστος αριθμός στοιχείων που πρέπει να απομακρυνθούν από το Ι για να προκύψει ένα ανεξάρτητο σύνολο. Παράδειγμα Έστω r και n μη αρνητικοί ακέραιοι, με r μικρότερο ή ίσο του n. Έστω S ένα σύνολο n στοιχείων και Ι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του S με μέγεθος r ή μικρότερο. Διαπιστώνουμε εύκολα ότι το Μ(S,I) είναι μητροειδές, ονομάζεται ομοιόμορφο μητροειδές r Βαθμού σε n στοιχεία και συμβολίζεται U(r,n). 253

255 Παράδειγμα Ομοιόμορφο μητροειδές U k,n συγκροτείται από τα υποσύνολα X {1,2,,n} τα οποία είναι ανεξάρτητα αν και μόνο αν Χ k. Στα ομοιόμορφα μητροειδή κάθε υποσύνολο του {1,2,,n} μεγέθους k είναι μια βάση. Κάθε υποσύνολο μεγέθους k+1 είναι κύκλωμα. Όλα τα ομοιόμορφα μητροειδή βαθμού 2 είναι απλά. Το ομοιόμορφο μητροειδές βαθμού 2 επί n σημείων καλείται γραμμή n σημείων. Ένα μητροειδές είναι ομοιόμορφο αν και μόνο αν δεν έχει κυκλώματα μεγέθους μικρότερου του βαθμού του αυξημένου κατά μια μονάδα. Το ευθύ άθροισμα ομοιόμορφων μητροειδών καλείται διαμελιζόμενο μητροειδές (partition matroid). Στο ομοιόμορφο μητροειδές U(0,n), κάθε στοιχείο είναι ένας βρόγχος (στοιχείο που δεν ανήκει σε ανεξάρτητο σύνολο). Στο ομοιόμορφο μητροειδές U(n,n), κάθε στοιχείο είναι ένα συμπλήρωμα-βρόγχου (στοιχείο, που ανήκει σε όλα τα σύνολα γείωσης). Το ευθύ άθροισμα μητροειδών των συγκεκριμένων δυο τύπων είναι ένα διαμελιζόμενο μητροειδές κάθε στοιχείο του οποίου είναι βρόγχος ή συμπλήρωμα βρόγχου και καλείται «διακριτό μητροειδές». Ισοδύναμος ορισμός του διακριτού μητροειδούς, είναι ο ακόλουθος: Ορισμός Ένα υποσύνολο Ε του S θα καλείται διαχωριστής του I αν κάθε κύκλωμα του I περιέχεται είτε στο Ε έιτε στο S-E. Ορισμός Διακριτό μητροειδές είναι εκείνο στο οποίο κάθε μη κενό υποσύνολο του συνόλου γείωσης Ε είναι ένας διαχωριστής Μητροειδή και Γραμμική Άλγεβρα Σε γενικές γραμμές μπορεί κανεις να θεωρήσει ότι τα μητροειδή εκφράζουν με γενικό τρόπο σχέσεις ανεξαρτησίας μεταξύ μαθηματικών οντοτήτων. Γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, που με μορφή στήλης πίνακα συμμετέχουν στη διαμόρφωση πινάκων, συνθέτουν ένα σύνολο γείωσης. Η ύπαρξη των γραμμικών ανεξάρτητων δεν είναι πάντως απαραίτητη. Έχουν βρεθεί περιπτώσεις όπου αυτή η βασική ιδιότητα απουσιάζει. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το μητροειδές του (ή και μκύβος του Vámos). Πρόκειται για ένα μητροειδές υπέρ ενός συνόλου οκτώ στοιχείων, το οποίο δεν μπορεί να παρασταθεί ως πίνακας υπέρ κάποιου σώματος. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει διανυσματικός χώρος που να διαθέτει οκτώ διανύσματα, τέτοια ώστε το μητροειδές έκφρασης της γραμμικής ανεξαρτησιάς αυτών να είναι ισόμορφο προς το μητροειδές του Vámos. Το μητροειδές αυτό αποτελεί ένα αντιπαράδειγμα που καταρίπτει την εικασία του Ingelton, σύμφωνα με την οποία κάθε μητροειδές με το πολύ οκτώ ψηφία είναι αναπαραστάσιμο. Σχήμα Το μητροειδές του Vámos είναι μη γραμμικό υπέρ οποιουδήποτε σώματος. Παράδειγμα (Διανύσματα). Θεωρήστε ότι S είναι το σύνολο των διανυσμάτων και I είναι το σύνολο των γραμμικά ανεξάρτητων υποσυνόλων των συνόλων του S. Για τα δυο αυτά σύνολα η δομή Μ=(S,I) είναι ένα μητροειδές, που καλείται Διανυσματικό Μητροειδές. 254

256 Είναι προφανές ότι ισχύουν τα τρία αξιώματα που παραθέσαμε προηγουμένως, όταν αναφερόμαστε σε ένα πεπερασμένο σύνολο ανυσμάτων ενός ανυσματικού χώρου και όταν ο όρος «ανεξάρτητα» ερμηνευτεί ως «γραμμικώς ανεξάρτητα». Το τρίτο αξίωμα δηλώνει ότι το υποσύνολο Υ δεν μπορεί να περιέχει όλα τα στοιχεία του Χ, καθώς είναι αυστηρά μικρότερο. Αξίζει να τονίσουμε ότι τα μητροειδή δεν είναι όλα διανυσματικά μητροειδή. Παράδειγμα (Πίνακες) Θεωρήστε τον πίνακα Α= Έστω το σύνολο E={1,2,3,4,5,6,7} και έστω επιπλέον το σύνολο I η συλλογή των υποσυνόλων I E για την οποία το σύνολο των στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Έτσι, το I αποτελείται από όλες τις στήλες του Ε\{7} που έχουν (το κάθε υποσύνολο) το πολύ τρεις στήλες εκτός από τα σύνολα {1,2,4}, {2,3,5}, {2,3,6}, και όσα υποσύνολα περιέχουν το σύνολο στηλών {5,6}. Το διατεταγμένο ζεύγος {Ε,I} είναι ένα παράδειγμα μητροειδούς, διότι ικανοποιεί τον Ορισμό Από τα παραδείγματα φαίνεται ότι στην περίπτωση των πινάκων (κάθε στήλη των οποίων είναι ένα διάνυσμα), αλλά και στην περίπτωση των διανυσμάτων, η έννοια του μητροειδούς εισάγει τη δυνατότητα γενίκευσης και παραπέρα ανάπτυξης της έννοιας της εξάρτησης. Η επιλογή των στοιχείων του. Παράδειγμα Έστω Ε=Ø. Τότε, υπάρχει ακριβώς ένα μητροειδές Μ 0 στο Ε, το οποίο είναι το Ι={Ø}. Έστω Ε={1}. Τότε υπάρχουν δυο ακριβώς μητροειδή Μ 1 και Μ 2 στο Ε, το ένα έχει Ι={Ø} και το άλλο Ι={Ø,{1}}. Έστω Ε={1,2}. Τότε υπάρχουν πέντε ακριβώς μητροειδή στο Ε, με συλλογές ανεξάρτητων συνόλων τις Ι={Ø}, Ι={Ø,{1}},, Ι={Ø,{2}}, Ι={Ø,{1},{2}}, Ι={Ø,{1},{2},{1,2}}. Τα μητροειδή Μ 1 και Μ 2 έχουν ακριβώς την ίδια δομή και γι αυτό καλούνται ισόμορφα. Ορισμός Δυο μητροειδή καλούνται ισόμορφα αν υπάρχει μια απεικόνιση ένα προς ένα μεταξύ των συνόλων γείωσης των Μ 1 και Μ 2 Προφανώς αν ένα σύνολο στο M 1 είναι ανεξάρτητο, ανεξάρτητο θα είναι και το σύνολο εικόνα στο Μ 2 Ορισμός Ένα ανεξάρτητο σύνολο θα ονομάζεται βάση αν δεν είναι υποσύνολο άλλου ανεξάρτητου συνόλου. Από την ιδιότητα της αυξητικότητας συνεπάγεται ότι όλα τα σύνολα γείωσης ενός μητροειδούς έχουν τον ίδιο πληθάριθμο (καλείται και ισχύς ή πληθικός αριθμός). Έτσι, μπορούμε να λέμε ότι σύνολα γείωσης είναι τα ανεξάρτητα υποσύνολα με τον μέγιστο αριθμό στοιχείων. Ορισμός Το κοινό μέγεθος των βάσεων ενός υποσυνόλου U του S καλείται η Βαθμός του U και ϑα την συµβολίζουµε µε rm(u), ή απλώς r(u). Ορισμός Ο βαθμός του μητροειδούς M είναι το κοινό μέγεθος όλων των βάσεών του και θα τον συµβολίζουµε µε r(m). Ο βαθμός είναι ίσος με το μέγεθος του μεγαλύτερου ανεξάρτητου υποσυνόλου του M. 255

257 Ορισμός Ο Βαθμός Μητροειδούς M είναι το κοινό μέγεθος όλων των βάσεών του και θα τον συµβολίζουµε µε r(m). Με άλλα λόγια, τα σύνολα γείωσης είναι τα ελαχιστοτικά ως προς τη σχέση του περιέχεσθαι σύνολα σύνδεσης ή ανεξάρτητα σύνολα σύνδεσης. Ένα σύνολο C καλείται «κύκλωμα» αν είναι ένα εξαρτηµένο σύνολο, ελαχιστοτικό ως προς τη σχέση του περιέχεσθαι, δηλαδή αν το C είναι εξαρτημένο, και αν I C S, τότε το I είναι ανεξάρτητο. Ενα στοιχείο c S καλείται ϐρόχος, αν το {c} είναι κύκλωμα. Δύο στοιχεία c, d καλούνται «παράλληλα» αν το {c,d} είναι κύκλωμα. Ορισμός Κύκλωμα καλείται ένα ελάχιστο εξαρτημένο σύνολο του M. Ορισμός Περίβλημα (closure) ενός υποσυνόλου Χ του συνόλου Ε συμβολίζεται cl(x) και είναι η ένωση του ιδίου του συνόλου Χ με όλα τα στοιχεία του συνόλου Ε που μπορούν να προστεθούν στο σύνολο Χ, χωρίς να αυξηθεί ο βαθμός του μητροειδούς. Ο Whitney περιέγραψε όλα τα παραπάνω με τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός Έστω Α ένας τυχαίος τετραγωνικός πίνακας n n. Ένα υποσύνολο I του συνόλου των στηλών του Α είναι ανεξάρτητο σύνολο αν και μόνο αν το αντίστοιχο σύνολο των στηλών του είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Ορισμός Βαθμός του υποσυνόλου Χ που ανήκει στο σύνολο γείωσης είναι ο αριθμός που εκφράζει τον πληθάριθμο του μεγαλύτερου ανεξάρτητου υποσυνόλου του Χ. Ισχύει ότι κάθε υποσύνολο του συνόλου γείωσης που δεν ανήκει στο Μ είναι εξαρτημένο. Θεώρημα Κάθε εξαρτημένο σύνολο καλείται κύκλωμα αν κάθε υποσύνολό του είναι ανεξάρτητο Μητροειδή και Γράφοι Κάθε πεπερασμένος γράφος ή πολυγράφος G παράγει ένα μητροειδές M(G) ως εξής: Θεωρήστε Ε είναι το σύνολο των ακμών στο G. Θεωρήστε επίσης ένα σύνολο ακμών ανεξάρτητο αν και μόνο αποτελούν ένα δάσος. Ως εκ τούτου, στο δάσος δεν περιέχεται κύκλος. Τα μητροειδή αυτού του είδους καλούνται μητροειδή κύκλοι. Τα μητροειδή αυτού του είδους καλούνται γραφικά μητροειδή. Όλα τα μητροειδή δεν είναι γραφικά, αλλά όλα τα μητροειδή τριών στοιχείων είναι γραφικά μητροειδή. Άλλα μητροειδή σχετιζόμενα με γράφους είναι τα δίκυκλα μητροειδή γράφου, τα οποία ορίζονται όταν ένα σύνολο ακμών είναι ανεξάρτητο από το αν κάθε συνεκτικό υποσύνολο περιέχει ένα κύκλο. Παράδειγμα Σε κάθε προσανατολισμένο γράφο G θεωρήστε E και F δυο διακεκριμένα σύνολα κορυφών. Στο σύνολο E, θα καλούμε ένα σύνολο U ανεξάρτητο, αν υπάρχουν U το πλήθος διαδρομές από το F εντός του συνόλου U. Με αυτόν τον τρόπο ορίζεται μητροειδές στο E που θα λέγεται γραμμοειδές. Αυστηρά γραμμοειδές είναι το μητροειδές για το οποίο το σύνολο Ε είναι ολόκληρο το σύνολο κορυφών του G. Παράδειγμα Σε διμερή γράφο G=(V 1,V 2,E) αντιστοιχείται μητροειδές του οποίου τα στοιχεία είναι οι κορυφές του συνόλου V 1 και τα ανεξάρτητα σύνολα είναι τα σύνολα των κορυφών του V 2 που συνδέονται με ακμές με κάθε στοιχείο του V 1. Τα μητροειδή αυτού του τύπου αποτελούν ειδική περίπτωση των γραμμοειδών, και καλούνται εγκάρσια μητροειδή. 256

258 Παράδειγμα Έστω ένας γράφος G, με ακμές Ε. Έστω I όλα τα υποσύνολα του Ε που δεν περιλαμβάνουν κύκλους (απλά κυκλώματα), δηλαδή το υποδάσος του G. Το Μ=(Ε,I) είναι ένα μητροειδές που καλείται γραφικό μητροειδές. Ορισμός Συμπλήρωμα βρόγχου είναι ένα στοιχείο μητροειδούς, που δεν ανήκει σε κύκλωμα (ή ισοδύναμα: ανήκει σε κάθε βάση). Παράδειγμα Δοσμένου ενός γράφου G, θεωρούμε ως S το σύνολο όλων των ακμών, και I τα υποσύνολα του S, στα οποία οι υπό-γράφοι δεν περιέχουν πολύγωνα. Το Μ(S,I) αποτελεί μητροειδές και ονομάζεται γραφικό μητροειδές Μ(G). Για να προσδιορίσουμε ένα μητροειδές από το σύνολο κυκλωμάτων χωρίς να κάνουμε κάποια αναφορά σε ανεξάρτητα σύνολα ή κάτι παρόμοιο επικαλούμαστε την ακόλουθη πρόταση: δοσμένου ενός συνόλου E και του συνόλου I των υποσυνόλων αυτού, θα ισχύει ότι σύνολο I είναι το σύνολο των κυκλωμάτων για ένα μητροειδές αν και μόνο αν το I είναι τέτοιο ώστε: το κενό σύνολο δεν ανήκει στο I. δοσμένου δύο στοιχείων C 1 και C 2 του I, και οποιουδήποτε x στο C 1 C 2, υπάρχει ένα σύνολο C 3 που να περιέχεται στο [C 1 C 2 ]\x, που ανήκει στο σύνολο I. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον χαρακτηρισμό κυκλωμάτων για να αποδείξουμε ότι δοσμένου ενός γράφου G, το σύνολο I όλων των πολυγώνων του G αποτελούν ένα σύνολο κυκλωμάτων του γραφικού μητροειδούς που αναφέραμε προηγουμένως Δυαδικότητα Το θέμα της δυαδικότητας είναι ιδιαίτερα σημαντικό για τα μητροειδή. Δοσμένου ενός μητροειδούς Μ, και Β το σύνολο από τα σύνολα γείωσης του Β. Έστω: Β*={E\B B στο Β}. Τότε το σύνολο Β* αποτελεί το σύνολο των βάσεων ενός μητροειδούς που έχει το ίδιο θεμελιώδες σύνολο Ε με το Μ. Το μητροειδές αυτό ονομάζεται δυαδικό μητροειδές του Μ και συμβολίζεται με Μ*. Ένα παράδειγμα δυαδικού μητροειδούς του U(r,n) είναι το U(n-r,n) Απόγονοι Μητροειδών (Minors) Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι για να εξάγουμε «υπο-μητροειδή». Δοσμένου ενός στοιχείου x και του θεμελιώδες συνόλου Ε, μπορούμε είτε να διαγράψουμε το x είτε να πραγματοποιήσουμε συστολή (contraction). Προκειμένου να διαγράψουμε το x, μπορούμε απλά να θεωρήσουμε το θεμελιώδες σύνολο Ε χωρίς το x. Τα καινούργια ανεξάρτητα σύνολα συμβολίζονται {Τ\x T στο I}και το καινούργιο μητροειδές Μ\x. Σε περίπτωση που συνεχίσουμε να διαγράφουμε στοιχεία, έτσι ώστε στο τέλος να έχουμε διαγράψει ένα ολόκληρο σύνολο Χ από το μητροειδές, συμβολίζουμε το καινούργιο μητροειδές ως Μ\X. Για να διαγράψουμε μια ακμή x από ένα γραφικό μητροειδές, απλά σβήνουμε την ακμή από τον γράφο και διατηρούμε τις κορυφές στις θέσεις τους. Η συστολή δεν είναι το ίδιο εύκολη. Η συστολή του Μ από το x, συμβολίζεται M/x και ορίζεται ως M/x=(M*\x)*. Αν το x αποτελεί έναν βρόγχο του Μ, απλά το διαγράφουμε. Για να πραγματοποιήσουμε συστολή σε ένα στοιχείο x του γράφου G που δεν είναι βρόγχος, μπορούμε να σκεφτούμε ότι μικραίνουμε 257

259 τόσο πολύ το μήκος της ακμής που αυτή εξαφανίζεται και ότι οι δυο κορυφές που αποτελούσαν τις άκρες της ακμής έχουν γίνει μια κορυφή. Το Μ/Χ ορίζεται με παρόμοιο τρόπο. Σχήμα Συστολή της ακμής (s,1). Απόγονος ενός μητροειδούς M είναι ένα μητροειδές που προέκυψε από το M συστέλλοντας κάποια στοιχεία (ή κανένα) και διαγράφοντας κάποια άλλα. Δεν έχει απολύτως καμία σημασία η σειρά με την οποία διαγράφονται στοιχεία ή συστέλλονται κάποια άλλα. Για τον λόγο αυτό συμβολίζουμε του απογόνους ως M\S/T όπου S το σύνολο των διαγραμμένων στοιχείων και T το σύνολο των στοιχείων που έχει πραγματοποιηθεί συστολή Αντιπροσωπευσιμότητα Λέμε ότι ένα μητροειδές μπορεί να αντιπροσωπευτεί (είναι representable) υπέρ ενός σώματος (field) F αν υπάρχει κάποιος διανυσματικός χώρος V υπέρ του F, με κάποιο πεπερασμένο σύνολο E των διανυσμάτων του V, έτσι ώστε το M να είναι ισομορφικό ως προς το διανυσματικό μητροειδές του συνόλου E (δηλαδή θεωρούμε το M ως ένα σύνολο ανυσμάτων σε κάποιον διανυσματικό χώρο ενός πεδίου F). Ονομάζουμε τα μητροειδή που είναι αντιπροσωπεύσιμα του GF(2) δυαδικά, και του GF(3) τριαδικά. Έχει πολύ μεγάλη σημασία να είμαστε σε θέση να εξετάσουμε αν ένα μητροειδές είναι αντιπροσωπεύσιμο και να μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τα μητροειδή που είναι αντιπροσωπεύσιμα υπέρ ενός σώματος F. Προκύπτουν τα εξής αποτελέσματα: 1. Ένα μητροειδές είναι GF(2) αντιπροσωπεύσιμο αν δεν έχει U(2,4) απόγονο. Ένα μητροειδές είναι GF(3) αντιπροσωπεύσιμο αν δεν έχει απόγονο ισομορφικό με το, U(2,5), U(3,5) ή την διάσταση Fano ή την δυαδική της. Το θεώρημα αυτό που παρουσιάζει μια λίστα όλων των απαγορευμένων απογόνων που σχετίζονται με ένα συγκεκριμένο πεδίο, ονομάζεται χαρακτηρισμός εξαιρούντων απογόνων. Το 1966 ο William Thomas Tutte αναφέρει: 2. Ένα μητροειδές είναι αντιπροσωπεύσιμο πάνω σε οποιοδήποτε πεδίο αν είναι αντιπροσωπεύσιμο πάνω στο GF(2) και πάνω σε κάποιο άλλο πεδίο με χαρακτηριστικό διάφορο του δύο. 258

260 Ένα μητροειδές του τρίτου θεωρήματος ονομάζεται κανονικό (regular) Συνεκτικότητα Στους συνεκτικούς γράφους διακρίνουμε τους συνεκτικούς γράφους 2-Βαθμού όπου η διαγραφή μιας οποιασδήποτε κορυφής δεν αναιρεί τη συνεκτικότητα του γράφου. Αντίστοιχα διακρίνουμε συνεκτικούς γράφους 3-Βαθμού αν η διαγραφή δυο οποιονδήποτε κορυφών δεν αναιρεί την ιδιότητα της συνεκτικότητας και ούτω καθεξής. Απαιτείται ότι ένας συνεκτικός γράφος k-βαθμού να έχει τουλάχιστον k+1 κορυφές. Ονομάζουμε σύνολο αποκοπής κορυφών ενός συνδεδεμένου γράφου το υποσύνολο εκείνων των κορυφών του, η αφαίρεση των οποίων (και η αφαίρεση των ακμών που έχουν ένα άκρο σε αυτές) αποδίδει μη συνεκτικό γράφο. Έστω Χ και Υ δύο υπογράφοι ενός δοσμένου γράφου που δεν έχουν κοινές ακμές, και έστω Ζ ένας υπογράφος, τέτοιος ώστε κάθε διαδρομή από τον Χ στον Υ περιέχει μια κορυφή του Ζ. Ο γράφος Ζ αποτελεί φραγή μεταξύ του Χ και του Υ. Αξίζει να σημειώσουμε ότι για ένα δεδομένο Ζ μπορεί να υπάρχουν πολλοί υπογράφοι Χ και Υ. Τα Χ και Υ με μέγιστο αριθμό κορυφών ονομάζονται γέφυρες του Ζ. Ο Ζ αποτελεί φραγή μεταξύ των γεφυρών του. Μια σημαντική γέφυρα του Ζ περιέχει τουλάχιστον μια κορυφή που δεν ανήκει στο Ζ. Τονίζουμε ότι ένας γράφος είναι k-συνεκτικός, αν δεν υπάρχει υποσύνολο κορυφών με μέγεθος k ή μεγαλύτερο που να περιέχει δύο ή περισσότερες σημαντικές γέφυρες. Εφαρμόζουμε τα ανωτέρω περί συνεκτικότητας στα μητροειδή με ελαφρές τροποποιήσεις: Ένα μητροειδές έχει k-διαμελισμούς αν μπορούμε να βρούμε μια κατάτμηση (Χ,Υ) του θεμελιώδους συνόλου Ε τέτοια ώστε: r(x) k και r(y) k. r(x)+r(y)-r(e) k-1, όπου E το σύνολο των ακμών του γράφου. Ορισμός Το μικρότερο k για το οποίο το Μ έχει k-διαμελισμούς ονομάζεται συνδεσιμότητα του μητροειδούς Μ. Αν το k είναι τουλάχιστον ίσο με 2, τότε το Μ είναι n-συνδεδεμένο για όλους τους ακέραιους n όχι μεγαλύτερους από το k. Αν k=1 τότε το Μ είναι αποσυνδεδεμένο. Αν το Μ δεν έχει k-διαμελισμούς για όλους τους ακεραίους k, τότε το Μ έχει άπειρη συνδεσιμότητα. Θεώρημα Ένα μητροειδές Μ είναι αποσυνδεδεμένο αν και μόνο αν υπάρχει κατάτμηση (X,Y) του θεμελιώδες συνόλου Ε τέτοια ώστε κάθε κύκλωμα C του Μ είναι είτε υποσύνολο το Χ είτε υποσύνολο του Υ. Όπως αναφέραμε προηγουμένως, ένας γράφος συσχετίζεται με ένα μητροειδές: είναι το μητροειδές για το οποίο το θεμελιώδες σύνολο Ε είναι το σύνολο των ακμών του γράφου, και τα κυκλώματα του μητροειδούς τα πολύγωνα του γράφου. Για κάθε προσημασμένο γράφο μπορούμε να συσχετίσουμε τρία διαφορετικά μητροειδή: το bias μητροειδές, lift μητροειδές και το complete lift μητροειδές. Θα αναφερθούμε μόνο στο πρώτο. Το πολωμένο (bias) μητροειδές ενός προσημασμένο γράφου έχει ως σύνολο βάσης Ε τις ακμές του προσημασμένου γράφου και ένα από τα εξής τρία κυκλώματα: Ισοζυγισμένα Πολύγωνα Ισοζυγισμένα πολύγωνα είναι: Ένα ζευγάρι μη ισοζυγισμένων πολυγώνων τα οποία μοιράζονται επακριβώς μια κορυφή μεταξύ τους (tight handcuff). Ένα ζευγάρι μη ισοζυγισμένων πολυγώνων που δεν μοιράζονται κάποια κοινή κορυφή, αλλά υπάρχει μια διαδρομή που τα ενώνει ανεξαρτήτως πρόσημου (loose handcuff). 259

261 6.6. Αντιπροσωπευσιμότητα Ενός Προσημασμένου Γράφου Σύμφωνα με τους Zaslavsky, Whittle και Tutte ισχύει ότι: Το πολωμένο μητροειδές ενός προσημασμένου γράφου είναι κανονικό (regular) αν και μόνο αν είναι GF(2) αντιπροσωπεύσιμο και σχεδόν-κανονικό αν και μόνο αν είναι GF(4) αντιπροσωπεύσιμο. Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις: Το πολωμένο μητροειδές είναι GF(2) αντιπροσωπεύσιμο (κανονικό). Το πολωμένο μητροειδές είναι GF(4) αντιπροσωπεύσιμο αλλά όχι GF(2) αντιπροσωπεύσιμο (σχεδόν κανονικό αλλά όχι κανονικό). Το πολωμένο μητροειδές δεν είναι ούτε GF(2) ούτε GF(4) αντιπροσωπεύσιμο (δυαδικό αλλά όχι κανονικό ή σχεδόν κανονικό). Ονομάζουμε μπλοκ (block) ενός γράφου τον υπογράφο B του G με τον μέγιστο αριθμό στοιχείων, για τον οποίο οποιεσδήποτε δύο κορυφές του Β περιέχονται σε ένα πολύγωνο. Δοσμένου ενός προσημασμένου γράφου G υποδηλώνουμε με G^ τον προσημασμένο γράφο που προκύπτει αν πραγματοποιήσουμε συστολή σε όλα τα ισοζυγισμένα μπλοκ του G. Θεώρημα Ένα πολωμένο μητροειδές ενός προσημασμένου γράφου G είναι δυαδικό αν και μόνο αν το G^ δεν περιέχει ζευγάρι από μη συνορεύοντα αρνητικά πολύγωνα. Πόρισμα Αν ο προσημασμένος γράφος G είναι 2-συνεκτικός και χωρίς βρόγχους, τότε το πολωμένο μητροειδές του είναι δυαδικό αν και μόνο αν το G δεν έχει ζευγάρι από μη συνορεύοντα αρνητικά πολύγωνα. Πόρισμα Αν το G^ έχει δύο ή περισσότερα μπλοκ, τότε το πολωμένο μητροειδές του G είναι δυαδικό αν και μόνο αν υπάρχει κορυφής v στο G^ τέτοιος ώστε: το σημείο ένωσης δύο οποιοδήποτε μπλοκ του G^ είναι το v και διαγράφοντας το v και τις ακμές αυτού από το G προκύπτει ισοζυγισμένος γράφος. Έστω Α, B και C υπογράφοι του G τέτοιοι ώστε ούτε το Α ούτε το C να περιορίζονται στο B. Δηλώνουμε το B ως φραγή μεταξύ Α και C όταν όλες οι διαδρομές από το A στο C περνάνε από το B. Για έναν υπογράφο B του G η σχέση ~ στο σύνολο ακμών G\B (x~y αν και μόνο αν το B δεν αποτελεί φραγή μεταξύ του x και του y) αποτελεί μια σχέση ισοδυναμίας και οι υπογράφοι του G που καθορίζονται από την ισοδυναμία του ~ ονομάζονται γέφυρες του B. Μια σημαντική γέφυρα του B ονομάζεται αυτή που δεν περιέχει γέφυρες στο B έτσι αν το B είναι ένα σύνολο από ακμές, τότε το B είναι σύνολο αποκοπής του G αν και μόνο αν το B έχει δυο ή περισσότερες σημαντικές γέφυρες. Το G ικανοποιεί τη συνθήκη μη φραγής αν υπάρχουν τρεις αρνητικοί κύκλοι στο G που να μην έχουν κοινές κορυφές, έτσι ώστε κανείς να μην αποτελεί φραγή για τους άλλους δύο. Αν το G έχει τουλάχιστον δύο αρνητικούς κύκλους χωρίς κοινές κορυφές αλλά δεν ικανοποιεί τη συνθήκη μη φραγής, τότε λέμε ότι ικανοποιεί τη συνθήκη φραγής. Έστω {a,b,c} το σύνολο αποκοπής κορυφών του G με ισορροπημένη σημαντική γέφυρα Χ. Υποθέτουμε ότι η Χ έχει μόνο θετικές ακμές. Διαγράφουμε τη Χ από το G και την αντικαθιστούμε με το τρίγωνο όλων των θετικών ακμών στο {a,b,c} (αλλά δεν μπορούμε να αντιγράψουμε μια θετική ακμή που ήδη υπάρχει). Η μέθοδος αυτή ονομάζεται 3-επένδυση (plating). Αποδεικνύεται ότι αν η 3-επένδυση του G είναι GF(4) 260

262 αντιπροσωπεύσιμη, τότε είναι και το G. Η μέθοδος 2-plating ορίζεται αντίστοιχα και διατηρεί την ανωτέρω ιδιότητα. Με τη μέθοδο αυτή μειώνουμε των αριθμό των κορυφών σε έναν προσημασμένο γράφο. Συνεπώς, μπορεί να εφαρμοστεί μέχρι να μην απομένουν άλλες 2 ή 3-επενδύσεις, ο γράφος που προκύπτει ονομάζεται πλήρως επενδυμένος και είναι GF(4) αντιπροσωπεύσιμος αν και μόνο αν το G είναι αντιπροσωπεύσιμο. Ο προσημασμένος γράφος Pr3 έχει τρεις κορυφές και δώδεκα ακμές: ακμές {v 1,v 2,v 3,w 1,w 2,w 3 }, ένα θετικό τρίγωνο {v 1,v 2,v 3 }, ένα θετικό τρίγωνο {w 1,w 2,w 3 } και αρνητικές διαγώνιους {v i,w j }. Ονομάζουμε κυλινδρικό προσημασμένο γράφο τον γράφο που μπορεί να ενσωματωθεί σε έναν κύλινδρο έτσι ώστε ο κύκλος C στο G να μπορεί να παραμορφωθεί σε ένα απλό σημείο αν και μόνο αν ο C είναι θετικός. Θεώρημα Έστω G ένας πλήρως επενδυμένος 3-συνεκτικός προσημασμένος γράφος. Τότε ο G είναι GF(4) αντιπροσωπεύσιμος αν και μόνο αν ισχύει ένα από τα παρακάτω: 1. Ο G ικανοποιεί τη συνθήκη μη φραγής και είναι Pr3. 2. Ο G ικανοποιεί τη συνθήκη μη φραγής και είναι κυλινδρικός. Θεώρημα Έστω G ένας συνεκτικός προσημασμένος γράφος. Έστω G^ ο προσημασμένος γράφος που προκύπτει συστέλλοντας όλα τα ισοζυγισμένα μπλοκ του G. 1. O G είναι δυαδικός (και συνεπώς κανονικός) αν και μόνο αν ο G^ δεν περιέχει αρνητικούς κύκλους χωρίς κοινά στοιχεία. 2. Ο G είναι τετραδικός (και συνεπώς αντιπροσωπεύσιμος σε όλα τα πεδία εκτός πιθανόν από το GF(2)) αν και μόνο αν είναι δυαδικός ή είναι μη δυαδικός αλλά κάθε μπλοκ χωρίς βρόγχους του G μπορεί να παραχθεί από έναν αρνητικό digon εφαρμόζοντας μια από τις ακόλουθες μεθόδους: Διπλασιασμός των άκρων. Αντιστροφή μιας 2- επένδυσης ή 3-επένδυσης. Για έναν αρνητικό digon D στις κορυφές v και w, επικολλάμε ένα από τους παρακάτω υπογράφους, πιθανότατα διαγράφοντας μια ή περισσότερες ακμές του D: Pr3, όπου {v,w} στηρίζουν ένα αρνητικό digon D στο Pr3.Μπορούμε να διαγράψουμε οποιαδήποτε ακμή του D. Έναν plate-κυλινδρικό προσημασμένο γράφο, όπου τα v και w ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Έναν δυαδικό προσημασμένο γράφο G 0 με ισορροπημένες κορυφές για τον οποίο υπάρχει συμβατός αρνητικός προσανατολισμός (compatible negative orientation CnO), ο οποίος είναι τέλειος από το v στο w. 3. Αν ο G δεν είναι ούτε δυαδικός ούτε τετραδικός, τότε ο G είναι αντιπροσωπεύσιμος σε όλα τα πεδία με χαρακτηριστικό διάφορο του δύο Είδη Πολωμένων Μητροειδών Προσημασμένων Γράφων Προκύπτει ότι το πολωμένο μητροειδές ενός προσημασμένου γράφου είναι σε όλα τα πεδία με χαρακτηριστικό διάφορο του δύο και πιο συγκεκριμένα είναι πάντα GF(3) αντιπροσωπεύσιμο. Υπάρχουν τρεις κατηγορίες τέτοιων μητροειδών: Κανονικά (regular), τα οποία είναι αντιπροσωπεύσιμα σε κάθε πεδίο. Σχεδόν κανονικά (near-regular), τα οποία είναι αντιπροσωπεύσιμα σε κάθε πεδίο εκτός πιθανόν του GF(2). 261

263 Δυαδικά (dyadic), τα οποία είναι αντιπροσωπεύσιμα σε κάθε πεδίο με χαρακτηριστικό διάφορο του 2. Ορισμός Εστω G=(V,E) ένα γράφηµα και έστω I η συλλογή όλων των υποσυνόλων του E τα οποία σχηµατίζουν δάσος. Τότε το M=M(G)=(E,I) είναι ένα µητροειδές και ονοµάζεται το µητροειδές κύκλου του G. Η ονοµασία δικαιολογείται από το γεγονός ότι κάθε ϐάση του M είναι ένα µεγιστοτικό ως προς τη σχέση του περιέχεσθαι δάσος του G, δηλαδή ένα σύνολο το οποίο σχηµατίζει ένα δέντρο σύνδεσης σε κάθε συνιστώσα του G. Εν ολίγοις είναι ένα µεγιστοτικό υποσύνολο του E που δεν περιέχει κύκλους. Ενα µητροειδές (ή ισόµορφο µε αυτό) το οποίο λαµβάνεται δι αυτού του τρόπου καλείται γραφικό µητροειδές. Τα γραφικά µητροειδή είναι κανονικά. Παράδειγμα Έστω G=(V,E) ένας μη κατευθυνόμενος γράφος. Κάθε υποσύνολο του Ε που ορίζει ένα άκυκλο υπογράφο (δένδρο) του G, είναι ανεξάρτητο. Γραφικό Μητροειδές M=M(G)=(E,I) είναι εκείνο του οποίου τα σύνολα γείωσης είναι τα δένδρα σύνδεσης του G. Παράδειγμα Έστω G=(V,E) ένας μη προσανατολισμένος γράφος. Κάθε υποσύνολο I E είναι ανεξάρτητο αν ο συμπληρωματικός υπογράφος (V,E\I) του G είναι συνεκτικός. Συγγραφικό μητροειδές M* (G) είναι ένα μητροειδές στο οποίο βάση είναι το συμπλήρωμα ενός δένδρου σύνδεσης του G. Παράδειγμα Έστω G=(V,E) ένας μη προσανατολισμένος γράφος. Ένα μητροειδές αντιστοίχισης (Matching Matroid) M=(V,I) για τον γράφο G=(V,E), έχει το U V ανεξάρτητο αν υπάρχει μια αντιστοίχιση στο G το οποίο είναι κάλυμμα του U. Ορισμός Σε έναν κατευθυνόμενο γράφο, για κάθε ζεύγος κορυφών του v 1 και v 2 υπάρχει ένας αριθμός διαδρομών που τις ενώνει και οι οποίες δεν έχουν κοινές ακμές. Οι διαδρομές αυτές καλούνται διαδρομές άνευ κοινών ακμών (edge disjoint paths). Ορισμός Έστω G=(V,E) ένας προσανατολισμένος γράφος και v 1 ένα στοιχείο του V. Ένα υποσύνολο Ι V είναι ανεξάρτητο αν και μόνο αν υπάρχουν διαδρομές άνευ κοινών ακμών από το v 1 σε κάθε κορυφή του Ι. Ας υποθέσουμε τώρα ότι σε κάθε στοιχείο το μητροειδούς Μ προσαρτάται ένα μη αρνητικό βάρος. Το πρόβλημα βελτιστοποίησης μητροειδούς αφορά τον υπολογισμό μιας βάσης με μέγιστο ολικό βάρος. Αν Μ είναι ένα γραφικό μητροειδές του γράφου G, το πρόβλημα βελτιστοποίησης αναζητά το συμπλήρωμα του γράφου σύνδεσης ελάχιστου βάρους Μητροειδή και Αλγόριθμοι Άπληστοι Αλγόριθμοι και Συμπλεκτική Βελτιστοποίηση Ένας άπληστος αλγόριθμος αποτελείται από μια ιεραρχημένη σειρά επι μέρους αλγόριθμων, που επιλύουν συνήθως με ευρηστικές μεθόδους μικρότερα προβλήματα, στα οποία έχει αναλυθεί το γενικότερο πρόβλημα. Ο άπληστος αλγόριθμος είναι ένας αλγόριθμος ο οποίος, όπως θα δούμε στη συνέχεια, χαρακτηρίζει τη δομή των μητροειδών. Αν Μ=(Ε,Ι) είναι ένα μητροειδές, τότε F E είναι μια βάση, αν F είναι ένα μέγιστο ανεξάρτητο σύνολο υπό την έννοια της φοράς του εγκλεισμού (το σύνολο που περιέχει το προηγούμενο και εκείνο με τη σειρά του το προηγούμενο από αυτό). Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα βελτιστοποίησης: 262

264 Το Πρόβλημα της Βάσης Μέγιστου Βάρους Δίνεται ένα μητροειδές Μ=(Ε,I) και μια συνάρτηση w:e R. Να βρεθεί μια βάση F τέτοια ώστε w[f] να είναι η κατά το δυνατόν μεγαλύτερη βάση. Αλγόριθμος (Της άπληστης βάσης). Διάταξε τις ακμές σύμφωνα με το βάρος, έτσι ώστε w(e 1 ) w(e 2 ) w(e n ). F 0; i 1 Εφόσον ισχύει ότι i< E : Αν F {e i } είναι ανεξάρτητο, θέσε F F {e i } i i+1 Αν i= E, ΤΕΛΟΣ, διαφορετικά ο έλεγχος στο 4. Έχει υπολογιστεί ότι ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης του αλγόριθμου φράσσεται και είναι Βαθμού Ο(nlogn+nF(n)), όπου F(n) είναι το κόστος εκτέλεσης μιας εντολής υπέρ της μειωτικής δυναμικής συνδεσιμότητας της δομής δεδομένων. Προκειμένου να παρουσιάσουμε την απόδειξη του επόμενου θεωρήματος, θα εξηγήσουμε τι είναι το επιχείρημα ανταλλαγής. Πρόκειται για τον πιο κοινό και πιο απλό τρόπο για να αποδειχθεί ότι ένας άπληστος αλγόριθμος αποτελεί τη βέλτιστη διαδικασία για κάποιο πρόβλημα βελτιστοποίησης. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου το επιχείρημα ανταλλαγής δεν λειτουργεί. Έστω Α ο άπληστος αλγόριθμος που προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι είναι ορθός και Α (Ι) είναι η έξοδος του Α για κάποια είσοδο I. Έστω O να είναι η βέλτιστη λύση για την είσοδο Ι, η οποία δεν είναι ίση με Α (Ι). Ο στόχος στο επιχείρημα ανταλλαγής είναι να δείξει πώς να τροποποιήσει την O για να δημιουργήσει μια νέα λύση Ο' με τις ακόλουθες ιδιότητες: O' είναι τουλάχιστον τόσο καλή λύση όσο και η O (ή ισοδύναμα O' είναι επίσης βέλτιστη) και O' μοιάζει «περισσότερο σαν» Α (Ι) από ότι η O. Σημειώστε ότι το δημιουργικό κομμάτι, το οποίο είναι διαφορετικό για κάθε αλγόριθμο / πρόβλημα, αποφασίζει πώς να τροποποιηθεί το O για να δημιουργηθεί το O'. Ένας καλός εμπειρικός κανόνας για να οδηγήσει στην κατασκευή του Α(Ι) από το Α με την πάροδο του χρόνου είναι να γίνει τροποποίηση στο πρώτο σημείο όπου Α κάνει μια επιλογή που είναι διαφορετική από την αντίστοιχη επιλογή στο O. Στο μεγαλύτερο μέρος του προβλήματος που εξετάζουμε, η τροποποίηση αυτή αφορά την αλλαγή μόνο σε μερικά στοιχεία του O. Επίσης, αυτό που αναφέρεται ως «μοιάζει περισσότερο με» μπορεί να έχει διαφορετική σημασία από το πρόβλημα στο πρόβλημα. Θεώρημα Για κάθε μητροειδές Μ=(Ε,Α), για το οποίο: Ø A, και αν J Α και I J, τότε I A. Τότε Μ είναι ένα μητροειδές αν και μόνο αν ο άπληστος αλγόριθμος βρίσκει μια βάση Β μέγιστου βάρους w[β], συνάρτηση βάρους w:e R + Απόδειξη 1ος Τρόπος Για να δείξουμε το ικανό της συνθήκης, υποθέτουμε ότι Μ=(Ε,Α) δεν είναι μητροειδές. Τότε υπάρχουν I,J A τέτοια ώστε Ι < J, αλλά e J\I τέτοια ώστε I {e} A. Έστω τώρα k= I. Ορίζουμε w:e R + με τη σχέση w(e)=k+2 αν e I, ή w(e)=k+1 αν e J\I ή τέλος w(e)=0 αν e J. Ο άπληστος αλγόριθμος αποδίδει B I με w[b]=w[i]=k(k+2)<(k+1)(k+1) w[j] εκ της οποίας συμπεραίνεται ότι το Β ψεν είναι το βέλτιστο. 263

265 Για να δείξουμε το αναγκαίο της συνθήκης, υποθέτουμε ότι ι Μ=(Ε,Α) είναι μητροειδές. Έστω η συνάρτηση βάρους w:e R +. Ένα ανεξάρτητο σύνολο I A είναι άπληστο αν υπάρχει μια βάση Β μέγιστου βάρους τέτοια ώστε I B. Αν Ι είναι άπληστο και το e συμπληρώνει το μέγιστο στο max{w(e)/i {e} A,e E\I}, τότε I {e} είναι άπληστο. Απόδειξη 2ος Τρόπος Για την απόδειξη θα γίνει χρήση της πρότασης ακριβούς ανταλλαγής. Έστω Β={g 1,g 2, g n } είναι το ανεξάρτητο σύνολο που αποδίδει ο αλγόριθμος της άπληστης βάσης (Μ,w). Αν κάθε άλλο στοιχείο, που θα μπορούσε να συμπεριληφθεί στο Β για να προκύψει ένα μεγαλύτερο ανεξάρτητο σύνολο, ο άπληστος αλγόριθμος, θα είχε γίνει κατά την εφαρμογή του αλγόριθμου. Συνεπώς Β είναι μια βάση. Για να φθάσουμε σε αντίφαση υποθέστε ότι υπάρχει ένα ανεξάρτητο σύνολο H={h 1,h 2,,h k } για τα στοιχεία του οποίου ισχύει ότι ( ) < i ( i) n wg w h. i= 1 i= 1 k Έστω ότι Η είναι μια βάση. Με χρήση της πρότασης της ανταλλαγής συνεπάγεται ότι n=k. Στη συνέχεια, γίνεται δεκτή η υπόθεση ότι τα στοιχεία των Β και H διατάσσονται ως προς τους δείκτες τους κατά την κατιούσα βαθμού του βάρους που τους αντιστοιχεί. Έστω i είναι ο μικρότερος δείκτης για τον οποίο ισχύει η w(g i )<w(h i ) και Β i-1 ={g 1,g 2,,g i-1 } ενώ Η i-1 ={h 1,h 2,,h( i-1 )}. Σύμφωνα με την ιδιότητα της ανταλλαγής υπάρχει κάποιο στοιχείο h j H i τέτοιο ώστε B i-1 {h j } είναι ένα ανεξάρτητο σύνολο. Θα ισχύει τότε, w(h j ) w(h i ) w(g i ). Άρα, ο άπληστος αλγόριθμος εξετάζει μεν απορρίπτει δε το βαρύτερο στοιχείο h j πριν ακόμη εξετάσει το ελαφρύτερο στοιχείο g i. Αυτό όμως είναι άτοπο, καθώς ο συγκεκριμένος αλγόριθμος κάνει δεκτά τα στοιχεία σε φθίνοντα ως προς το βάρος τους βαθμό Τομές Μητροειδών Ορισμός Ενα µητροειδές είναι συνεκτικό αν r M (U)+r M (S\U)>r M (S) για κάθε U S. Ορισμός Μία οποιαδήποτε συνάρτηση η οποία ορίζεται σε οικογένεια συνόλων και ικανοποιεί τη σχέση Χ,Υ S: r M (X)+r M (Y) r M (X Y)+r M (X Y), καλείται υποµετρική συνάρτηση. Εστω M 1 =(S,I 1 ), M 2 =(S,I 2 ) δύο µητροειδή. Προφανώς το (S,I 1 /I 2 ) δεν έχει τη δομή µητροειδούς. Αν όµως θεωρήσουµε το σύνολο I 1 I 2 των κοινών ανεξάρτητων συνόλων, τότε ισχύει το Θεώρημα Θεώρημα (Τομής των μητροειδών του Edmonds ). Αν r 1, r 2 είναι οι συναρτήσεις Βαθμού των Μ 1, Μ 2 αντίστοιχα, τότε το µέγιστο µέγεθος ενός συνόλου στο I 1 I 2 ισούται µε min( U S )(r 1 (U)+r 2 S\U), όπου η συνάρτηση ρ(u)=r 1 (U)+r 2 (S\U) είναι υποµετρική. Απόδειξη είχνουµε µόνο την υποµετρικότητα της ρ. Η υπόλοιπη απόδειξη µπορεί να ϐρεθεί στο [Sch03]. Εχουµε ότι r 1 (T)+r 1 (U) r 1 (U T)+r 1 (U T), αφού η r 1 είναι υποµετρική, r 1 (S\T)+r 2 (S\U) r_ 2 ((S\T) (S\U))+r 2 ((S\T) (S\U)), αφού η r 2 είναι υποµετρική, =r 2 (S\(T U))+r 2 (S\(T U)), που συνεπάγεται ότι και η ρ είναι υποµετρική. Q.E.D. Το θεώρηµα τοµών µητροειδών έχει πολλές εφαρµογές στη συνδυαστική ϑεωρία. Μπορούµε ε- πίσης να βρούµε κοινό ανεξάρτητο σύνολο (δύο µητροειδών) μέγιστου µεγέθους, ή μέγιστου βάρους, σε πολυωνυµικό χρόνο. Το ίδιο πρόβληµα για τρία µητροειδή είναι ΝΡ-πλήρες. Στοχαστικά Μοντέλα στη Θεωρία Γραφημάτων. 264

266 Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Michel, A. n., & Herget, Charles J. (1993). Applied Algebra and Functional Analysis. new York: Dover Publications, ISBn Oxley, J. (2014). What is a matroid, Skiena, S. (1990). Maximum Independent Set in Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory withmathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp Tutte, W. T. (1966). Connectivity in graphs, Mathematical expositions 15. Toronto, Ontario: University of Toronto Press. Whitney, H. (1933). 2-isomorphic graphs. Amer. J. Math. 55, pp Whitney, H. (1935). On the Abstract Properties of linear Dependance. Amer. J. Math. 57, pp

267 Κριτήρια Αξιολόγησης Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Να δείξετε ότι το ομοιόμορφο μητροειδές U k,n είναι πράγματι μητροειδές. Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Να δείξετε ότι αν M είναι μια διάφορη του κενού κληρονομική συλλογή υποσυνόλων πεπερασμένου συνόλου Ε, τότε το (Ε,Ι) είναι μητροειδές αν και μόνο αν για όλα τα X E, όλα τα μέγιστα μέλη του {I:I M και I X} έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς οκτώ μη ισόμορφα μητροειδή στο Ε={1,2,3}. Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Πόσα μη ισόμορφα μητροειδή υπάρχουν σε ένα σύνολο τεσσάρων στοιχείων; Κριτήριο Αξιολόγησης 5 (αναφέρεται σε γραμμικό μητροειδές) Δοσμένου πίνακα Α, να προσδιοριστεί υποσύνολο των διανυσμάτων μέγιστου συνολικού βάρους που καλύπτει τον χώρο στηλών του Α. Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Δοσμένου ενός συνόλου σταθμισμένων στοιχείων, να υπολογιστούν τα k μεγαλύτερα από αυτά. Κριτήριο Αξιολόγησης 7 (αναφέρεται σε γραφικό μητροειδές) Δοσμένου σταθμισμένου γράφου να υπολογιστεί το δένδρο σύνδεσης του μεγαλύτερου βάρους. Κριτήριο Αξιολόγησης 8 (αναφέρεται σε συνγραφικό μητροειδές) Δοσμένου σταθμισμένου γράφου, να υπολογιστεί το δένδρο σύνδεσης του ελάχιστου βάρους. Κριτήριο Αξιολόγησης 9 (αναφέρεται σε μητροειδές αντιστοίχισης) Δοσμένου γράφου, να εξετάσετε αν έχει μια απόλυτη αντιστοίχιση. Κριτήριο Αξιολόγησης 10 (αναφέρεται σε μητροειδές με διαδρομές άνευ κοινής ακμής) Δοσμένου σταθμισμένου γράφου και μιας συγκεκριμένης κορυφής v αυτού, να βρείτε τον μέγιστο αριθμό διαδρομών άνευ κοινής ακμής από την κορυφή v προς τις λοιπές κορυφές. 266

268 Κριτήριο Αξιολόγησης 11 (αναφέρεται σε μητροειδές με διαδρομές άνευ κοινής ακμής) Να κατασκευάσετε το αυστηρά γραμμοειδές μητροειδές που αντιστοιχεί σε γράφο 12 κορυφών. Να προσδιορίσετε το σύνολο Ε και το σύνολο των υποσυνόλων Α. Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Να δείξετε ότι για κάθε γράφο G, το σύνολο I όλων των πολυγώνων του G αποτελούν ένα σύνολο κυκλωμάτων γραφικού μητροειδούς. Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Να εντοπίσετε τα σύνολα γείωσης του πίνακα στο Παράδειγμα Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης 267

269 7. Κεφάλαιο: ΜΗΧΑΝΕΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΕΙΔΗ Σύνοψη Τρία είναι τα βασικά είδη σχέσεων που εξετάζονται στα διακριτά μαθηματικά: Οι σχέσεις ισοδυναμίας, οι σχέσεις μερικής διάταξης και οι συναρτήσεις. Μια ειδική μορφή συναρτήσεων είναι ο δυαδικός τελεστής που θα χρησιμοποιηθεί σε αυτό το κεφάλαιο, καθώς αποτελεί ένα εξαιρετικό εργαλείο συνδυασμού συναρτήσεων. Οι συνδυασμοί συναρτήσεων καλούνται συνθέσεις. Συγκεκριμένες αλγεβρικές δομές, τα μονοειδή και οι ομάδες, περιγράφονται εν συντομία στην επόμενο μέρος του κεφαλαίου. Η επιλογή του θέματος αυτού έγινε με κριτήριο τη χρησιμότητα των δομών αυτών στη χρήση των υπολογιστών ή ακόμα και σε εφαρμογές της επιστήμης των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ποικίλα φυσικά συστήματα, όπως οι κρύσταλλοι και τα άτομα υδρογόνου, μπορούν να μοντελοποιηθούν από συμμετρικές ομάδες. Επομένως, η θεωρία ομάδων και η στενά σχετιζόμενη θεωρία αναπαράστασης έχουν πολλές σημαντικές εφαρμογές στη φυσική, τη χημεία, και την επιστήμη υλικών. Η θεωρία ομάδων είναι επίσης θεμελιώδης στη θεωρία κρυπτογράφησης δημοσίου κλειδιού. Ειδικότερα, όμως, τον χρήστη αυτού του ηλεκτρονικού βιβλίου τον ενδιαφέρει η μελέτη των ομάδων συμμετρίας, καθώς οι συγκεκριμένες ομάδες παρουσιάζουν ιδιαίτερα μεγάλο ενδιαφέρον στην επιστήμη των υπολογιστών. Τέλος, στοιχεία των συναρτήσεων, των ροών δεδομένων και των κατευθυνόμενων γράφων θα συνδυαστούν για να παρουσιαστούν τα μαθηματικά μοντέλα που καλούνται Μηχανές. Προαπαιτούμενη Γνώση Σε αυτό το κεφάλαιο ο αναγνώστης θα διαπιστώσει ότι είναι εξαιρετικά χρήσιμη η κατανόηση λειτουργίας των κατευθυνόμενων γράφων του Κεφαλαίου Σχέσεις, Εγκλεισμοί και Σχέσεις Ισοδυναμίας Οι Σχέσεις είναι λογικές διαδικασίες που αφορούν συνήθως διαφορετικά στοιχεία που ανήκουν σε ένα ή περισσότερα σύνολα. Για να οριστεί λοιπόν μια σχέση, θα πρέπει να θεωρήσουμε δυο σύνολα έστω τα Α και Β. Τα στοιχεία του Α συνδέονται δια της σχέσης με ορισμένα μόνο στοιχεία της σχέσης Β. Έτσι η σχέση ορίζεται ως ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Α Β. Η πρόταση (α,β) Α Β παρίσταται συχνά και ως αrβ, όπου R η δοσμένη σχέση. Γενίκευση του ορισμού της σχέσης, όταν πρόκειται για περισσότερα των δυο συνόλων, είναι η n μελής σχέση. Μια n μελής σχέση R μεταξύ των συνόλων Χ 1,Χ 2,...,Χ n ορίζεται ως υποσύνολο του καρτεσιανού γινόμενου Χ 1,Χ 2,...,Χ n. H σχέση R έχει ως στοιχεία διατεταγμένες n άδες, η i οστή συντεταγμένη των οποίων, 1 i n, είναι στοιχείο του συνόλου Χ i. Έστω δυο μη κενά πεπερασμένα σύνολα Α={α 1,α 2,...,α n } και Β={β 1,β 2,...,β m }. Μια σχέση R είναι δυνατό να παρασταθεί με τον χαρακτηριστικό της πίνακα. Ο χαρακτηριστικός πίνακας είναι ένας πίνακας n m του οποίου τα στοιχεία r i,j είναι ίσα με 1, όταν α i Rβ j και 0 σε άλλη περίπτωση. Παράδειγμα Δίνεται η σχέση R=«μικρότερο από» και τα σύνολα {1,2,4} και {1,2,3,5}. Τότε ο χαρακτηριστικός πίνακας της R θα είναι:

270 Παράδειγμα Δίνεται η σχέση R=«τέλεια διαίρεση β/α» και τα σύνολα Α={1,2,3} και {1,2,4,6}. Τότε ο χαρακτηριστικός πίνακας της R θα είναι: Μια σχέση επί του συνόλου Α είναι μια σχέση από το Α στο Α. Μια σχέση R καλείται ανακλαστική (reflexive) αν (x,x) R, για κάθε x στο A. Παράδειγμα Σε κάθε σύνολο A η σχέση «ισότητας» είναι ανακλαστική σχέση. Ανακλαστική επίσης είναι και η σχέση «διαιρετότητας» στα σύνολα ακεραίων αριθμών. Αντίθετα, η σχέσεις ανισοτήτων είναι μη ανακλαστικές σχέσεις. Κάθε σχέση που ορίζεται επί ενός μη κενού πεπερασμένου συνόλου A με n στοιχεία μπορεί να περιγραφεί από έναν τετραγωνικό πίνακα n n. Αν η σχέση είναι ανακλαστική, τότε τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του πίνακα είναι ίσα με 1. Αν μια σχέση δεν είναι ανακλαστική στο σύνολο που ορίζεται, είναι πάντα δυνατό να την επεκτείνουμε, αν συμπληρώσουμε με τα διατεταγμένα ζεύγη που λείπουν. Αν δηλαδή το διατεταγμένο ζεύγος (α ι,α j ) δεν συμπεριλαμβάνεται στην ανακλαστική σχέση, τότε μπορεί να προσαρτηθεί σε αυτήν. Όταν προσαρτηθούν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη που λείπουν, τότε η σχέση καθίσταται ανακλαστική. r Η σχέση που προέκυψε καλείται επεκταμένο περίβλημα του A και θα συμβολίζεται με R. Για παράδειγμα, αναφέρεται ότι η σχέση «μικρότερο ή ίσο από» είναι το επεκταμένο περίβλημα της σχέσης «μικρότερο από». r Η σχέση R είναι το ελάχιστο επεκταμένο περίβλημα από κάθε άλλη ανακλαστική σχέση που είναι ανακλαστική και περιέχει τη σχέση ARA. Αλγόριθμος i 1; c 0; Αν r ii =0 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 6. i i+1. Αν i n+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 7. O έλεγχος μεταφέρεται στο 2. r i 1; c c+1, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 3. Αν c=0, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 9. r «Η A δεν είναι ανακλαστική σχέση. Ο χαρακτηριστικός πίνακας της R είναι [r ij ]. ΤΕΛΟΣ «Η A είναι ανακλαστική». ΤΕΛΟΣ. Ορισμός Μια σχέση R καλείται συμμετρική (symmetric) αν για κάθε x,y στο X, αν (x,y) R, τότε και (y,x) R. Παράδειγμα Σε κάθε σύνολο, οι σχέσεις «ισότητας» και «ανισότητας» είναι συμμετρικές σχέσεις. Σε κάθε σύνολο αριθμών, που περιέχει περισσότερα από ένα στοιχεία, οι σχέσεις «μικρότερο από» και «διαιρεί» είναι μη συμμετρική. Αν A είναι πεπερασμένο, μη κενό σύνολο, τότε η σχέση R είναι συμμετρική αν και μόνο εάν ο s χαρακτηριστικός της πίνακας είναι συμμετρικός. Το συμμετρικό περίβλημα R του R είναι η συμμετρική επέκταση του R που περιέχεται σε κάθε άλλη συμμετρική επέκταση του R. Το συμμετρικό περίβλημα προκύπτει για κάθε σχέση R στο Α={α 1,α 2,α 3,,α n } αν για κάθε i<j με α i Rα j προσαρτηθεί στη σχέση και το α j Rα i (εφόσον δεν υπάρχει ήδη στη σχέση). 269

271 Αλγόριθμος i 1; c 0; j j+1. Αν j n+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 7. Αν r ij =r ji ο έλεγχος μεταφέρεται στο 6. r ji 1; r ji 1; c c+1. j j+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 3. i i+1. Αν i=n, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 10. Ο έλεγχος μεταφέρεται στο 2. Αν c 0, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 12. «Η Α είναι συμμετρική». ΤΕΛΟΣ. «Η Α δεν είναι συμμετρική σχέση. Ο χαρακτηριστικός πίνακας της s R είναι [r ij ]». ΤΕΛΟΣ. Παράδειγμα Έστω R η σχέση «είναι τετριμμένος διαιρέτης του» και Α={2,3,4,6}. Τότε, ο χαρακτηριστικός πίνακας της R r είναι η και ο χαρακτηριστικός πίνακας του R είναι: Τέλος, ο αντίστοιχος του r R θα είναι: Αποδεικνύεται ότι για κάθε σχέση, το συμμετρικό του ανακλαστικού περιβλήματος και το ανακλαστικό του συμμετρικού περιβλήματος ταυτίζονται. Ο χαρακτηριστικός τους πίνακας θα είναι: Ο χαρακτηριστικός αυτός πίνακας αντιστοιχεί στη σχέση «είναι διαιρέτης ή πολλαπλασιαστής του». Ορισμός Μια σχέση R καλείται αντισυμμετρική (antisymmetric) αν για κάθε x,y στο Χ, αν (χ,ψ) R και x y, τότε (y,χ) R. Ορισμός Μια σχέση R καλείται μεταβατική (transitive) αν για κάθε x,y,z στο Α, αν (x,y) R και (y,z) R, τότε (x,z) R. Παράδειγμα Σε όλα τα σύνολα, η σχέση «είναι ίσο με» είναι μεταβατική. Αντιπαράδειγμα αποτελεί η σχέση «δεν είναι ίσο με». Για το τελευταίο, να σημειωθεί ότι για κατάλληλα επιλεγμένα στοιχεία του A, η μεταβατική σχέση λειτουργεί, αλλά αυτό δεν ισχύει για κάθε επιλογή των τριών στοιχείων. Άλλο παράδειγμα είναι η σχέση διαιρετότητας «διαιρείται με», η οποία είναι μεταβατική σχέση σε κάθε από το σύνολο των ακεραίων στο οποίο θα εφαρμοστεί. Γενικά ισχύει, ότι αν A είναι μη κενό και πεπερασμένο σύνολο, τότε η Ρ είναι μεταβατική αν και μόνο αν για όλα τα i,j,k, η συνθήκη r ij =1 και r jk =1 συνεπάγει ότι r ik =1. Όπως και στις προηγούμενες 270

272 περιπτώσεις, είναι και στην περίπτωση της μεταβατικής σχέσης δυνατό, να αναπτυχθεί το μεταβατικό περίβλημα της R. Αν δηλαδή για κάποια επιλογή των i,j,k η συνθήκη r ij =1 και r jk =1 συνεπάγει ότι r ik =0, τότε επεκτείνεται η σχέση με τη μετατροπή σε r ik =1. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να συμπληρωθεί η r ιδιότητα της σχέσης για κάθε επιλογή στοιχείων του A. Το μεταβατικό περίβλημα της R συμβολίζεται ως R. Πρόκειται για το μεταβατικό περίβλημα της R περιέχεται σε κάθε μεταβατική επέκταση της R. Για την επέκταση μιας σχέσης R στο μεταβατικό της περίβλημα, θα χρησιμοποιηθεί ένας αλγόριθμος που οφείλεται στον S. Warshall (1962). Ο Αλγόριθμος περιλαμβάνει σειρά από βρόγχους, στους οποίους ελέγχεται η ιδιότητα. Ο εξωτερικός βρόγχος θέτει k=1 (που δεν ισχύει) και θέτει στη συνέχεια r ij =1 όπου αυτό απαιτείται. Στη συνέχεια θέτει k=2 και συνεχίζει μέχρι να εξαντληθεί η αρίθμηση και το k. Αλγόριθμος Του Warshall για το μεταβατικό περίβλημα. k 1; c 0; i 1 j 1 Αν r ij =1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 8. Αν r kj =1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 8. Αν r ik =1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 8. r ij 1; c c+1. Αν j=n ο έλεγχος μεταφέρεται στο 10. j j+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 4. Αν i=n, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 12. i i+1, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 3. Αν k=n ο έλεγχος μεταφέρεται στο 14. k k+1 ο έλεγχος μεταφέρεται στο 2. Αν c=0, ο έλεγχος μεταφέρεται στο 16. t «Η Α δεν είναι μεταβατική σχέση. Ο χαρακτηριστικός πίνακας της R είναι [r ij ]». ΤΕΛΟΣ. «Η Α είναι μεταβατική». ΤΕΛΟΣ. Παράδειγμα Θεωρείται το σύνολο Α={α 1,α 2,α 3,α 4 } και R={(α 1,α 2 ),(α 2,α 3 ),(α 3,α 4 )}. Η σχέση αυτή δεν είναι μεταβατικό περίβλημα, καθώς για παράδειγμα αν i=1, j=3 και k=2 οι, (α 1,α 3 ) και (α 3,α 2 ) δεν περιλαμβάνονται στην R. H εφαρμογή του αλγόριθμου εμπλουτίζει τη σχέση με τα διατεταγμένα ζεύγη: k=1: κανένα k=2: (α 1,α 3 ) k=3: (α 1,α 4 ),(α 2,α 4 ) k=4: κανένα t Τελικά, το R ={(α 1,α 2 ),(α 1,α 3 ),(α 1,α 4 ),(α 2,α 4 ),(α 2,α 3 ),(α 3,α 4 )}. Στη συνέχεια, θα αποδειχθεί ότι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του αλγόριθμου. Παρατηρούμε πρώτα ότι το αποτέλεσμα είναι επέκταση της δοσμένης σχέσης, επειδή στον χαρακτηριστικό πίνακα αντικαταστάθηκαν τα 0 με 1 και δεν έγινε το αντίθετο. Αυτό σημαίνει ότι η σχέση εμπλουτίστηκεκάθε φορά που μία μονάδα t αντικατέστησε ένα μηδενικό. Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι ο R είναι μεταβατική σχέση. Έστω l ο t t μικρότερος ακέραιος για τον οποίο, α i R α i και α i R α j. Αυτό σημαίνει ότι για όλους τους μικρότερους του l t t t ακέραιους το στοιχείο r ij =1. Άρα α i R α j και συνεπώς η R είναι μεταβατική. Τέλος, θα δείξουμε ότι η R είναι η ελάχιστη επέκταση της μεταβατικής σχέσης R. Υποθέτουμε ότι Φ είναι μια μεταβατική σχέσηεπέκταση της R και α i R α j. Για 1 m n, έστω R m είναι η σχέση R εμπλουτισμένη με όλα τα διατεταγμένα t t ζεύγη που πρόσθεσε ο αλγόριθμος για 1 k m. Τότε, R είναι R n. Αν α i R 1 α j τότε ή α i Rα j (οπότε α i Φα j ), ή διαφορετικά α i Rα i και α i Rα j (οπότε α i Φα 1 και α i Φα j από όπου συνεπάγεται ότι α i Φα j. Προκύπτει έτσι, ότι R 1 Φ. Αν α i R 2 α j τότε ή α i R 1 α j (οπότε α i Φα j ) ή διαφορετικά α_i R 1 α 2 και α 2 R 1 α j, (οπότε α i Φα 2 και α 2 Φα j ), από όπου συνεπάγεται ότι α i Φα j. Προκύπτει έτσι, ότι R 2 Φ. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο θα t προκύψει τέλος ότι R n Φ. Αυτό σημαίνει ότι η Φ είναι επέκταση της R. 271

273 Αν R σχέση από σύνολο Χ σε σύνολο Υ, η αντίστροφη (inverse) της R, συμβολίζεται R 1, είναι η εξής σχέση από το Υ στο Χ: R 1 ={(y,x) (x,y) R}. Αν R 1 σχέση από σύνολο Χ σε σύνολο Υ και R 2 σχέση από το σύνολο Υ σε σύνολο Ζ, η σύνθεση (composition) των R 1 και R 2, συμβολίζεται R 1 R 2, είναι σχέση από το Χ στο Ζ που ορίζεται ως εξής: R 1 R 2 ={(x,z) (x,y) R 1 και (y,z) R 2,για κάποιο y στο Υ}. Μια σχέση ισοδυναμίας επί του συνόλου A είναι μια σχέση ανακλαστική και συμμετρική και μεταβατική. Παράδειγμα Σε κάθε σύνολο, η σχέση «ισούται» είναι σχέση ισοδυναμίας. Σε κάθε σύνολο λογικών προτάσεων, η σχέση «είναι ισοδύναμη με» είναι σχέση ισοδυναμίας. Στο σύνολο Ζ των ακεραίων αριθμών, μια σχέση ισοδυναμίας ορίζεται αν δοθέντος ακεραίου n, δυο ακέραιοι α και β έχουν διαφορά διαιρετή δια του n. Αυτό σημαίνει ότι οι δύο αριθμοί είναι ισότιμα διαιρετοί (congruent modulo) με έναν συγκεκριμένο αριθμό, εάν δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρείται με τον αριθμό αυτό. Έτσι, οι ακέραιοι 19 και 64 είναι ισότιμα διαιρετοί με τον ακέραιο αριθμό 5. Ή αλλιώς, 19-64=-25=5(-5). Η μαθηματική διατύπωση είναι 19 64mod5 ή γενικά αναφερόμενοι στους αριθμούς α και β, για τους οποίους ισχύει ότι α και β είναι ισότιμα διαιρετοί με τον n, γράφουμε α β mod n. Προκειμένου για δυο αριθμούς Δ και δ, γνωστός αλγόριθμος της διαίρεσης είναι Δ=δ π+υ, όπου 0 υ<δ. Ο Δ καλείται διαιρετέος ενώ ο δ καλείται διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης. Προφανώς, Δ-υ=δ π, άρα Δ υ mod δ. Από αυτό συνεπάγεται ότι κάθε ακέραιος είναι ισότιμα διαιρετός δ με κάποιο από τους ακεραίους 0,1,,(n-1). Η σχέση ισότιμης διαιρετότητας για δυο ακέραιους αριθμούς οδηγεί σε μοναδικό αποτέλεσμα, δηλαδή σε κάθε ακέραιος αριθμός ισότιμα διαιρετό του n αντιστοιχεί ένας και μόνο ένας αριθμός από το σύνολο {0,1,,n-1}. Πράγματι, αν υποτεθεί ότι x r 1 mod n και συγχρόνως x r 2 mod n, όπου 0 r 1,r 2 <n. Για τους δύο αυτούς ακέραιους r 1 και r 2 θα ισχύει ότι r 1 r 2 mod n, και έτσι η διαφορά r 1 -r 2 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του n. Αυτό σημαίνει ότι -n<r 1 -r 2 <n, ενώ συγχρόνως πρέπει να είναι και ακέραιο πολλαπλάσιο του n. Εξ αυτού συνεπάγεται ότι r 1 -r 2 =0. Το σύνολο Z n ={0,1,,n-1} θα καλείται σύνολο των ακεραίων mod n. Η ισότιμη διαιρετότητα n διατηρεί τόσο την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Για τα στοιχεία x,x 1,y,y 1 Z. Αν x=x 1 mod n και y=y 1 mod n, τότε, x+y=x 1 +y 1 mod n και xy=(x 1 y 1 )mod n. Για την απόδειξη υποθέτουμε ότι x-x 1 =nq 1 και y-y 1 =nq 2 για κάποια q 1,q 2 Z. Τότε x+y-(x 1 +y 1 )=xx 1 +y-y 1 =nq 1 +nq 1 =nq 1 +q 2 ). Επειδή, q 1 +q 2 Z συνεπάγεται x+y=(x 1 +y 1 )mod n. Επιπλέον, xy-x 1 y 1 =xy-(xnq 1 )(y-nq 2 )=xy-(xy-xnq 2 +ynq 1 +n 2 q 1 q 2 )=n(xq 2 +yq 1 +nq 1 q 2 ). Τότε, xq 2 +yq 1 +nq 1 q 2 είναι και αυτός ένας ακέραιος αριθμός Έτσι αποδείχτηκε ότι xy=(x 1 y 1 )mod n. Επειδή κάθε ακέραιος αριθμός είναι ισότιμα διαιρετός με έναν μόνο αριθμό του συνόλου Z n. Παράδειγμα Έστω n=5. Τότε Z 5 ={0,1,2,3,4}. Επειδή 3+4=7 και 7 2(mod5). Άρα, αν x=3mod 5 και y=4mod 5, τότε x+y=2mod 5. Για τον πολλαπλασιασμό έχουμε αντίστοιχα, 2 4=8 3mod 5 για τις ειδικές αυτές πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ισότιμα διαιρετών αριθμών, οι πίνακες είναι:

274 όπου + 5, 5, + 6 και 6 συμβολίζουν τις πράξεις, όπως αυτές ορίστηκαν σε σύνολα 5 ή 6 στοιχείων. Ορισμός Διαμέλιση συνόλου Α είναι δημιουργία ενός αριθμού μη κενών υποσυνόλων που αποτελούνται από το σύνολο των στοιχείων του Α και κάθε στοιχείο του Α ανήκει σε ένα μόνο υποσύνολο της διαμέλισης. Είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια διαμέλιση του συνόλου Α με χρήση μια σχέσης ισοδυναμίας R. Η κλάση ισοδυναμίας του α υπό την R, [α]={x A:xRa}. Παράδειγμα Έστω, Α={1,2,3,4,5} και η R είναι η σχέση ισότιμης ισοδυναμίας mod3. Τότε, [1]={1,4}, [2]={2,5}, [3]={3}, [4]=[1] και [5]=[2]. Θεώρημα Έστω A ένα μη κενό σύνολο και R μια σχέση ισοδυναμίας στο Α. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας του Α υπό τη σχέση R είναι μια διαμέλιση του Α. Αν P είναι μια διαμέλιση του Α τότε υπάρχει μοναδική σχέση ισοδυναμίας υπό την οποία προκύπτει η συγκεκριμένη διαμέλιση του Α. Απόδειξη " " Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας R και έστω xry={[α]:α Α} η οικογένεια όλων των κλάσεων ισοδυναμίας στοιχείων του Α. Σύμφωνα με τον Ορισμό 7.1.4, κάθε μέλος του Ρ είναι ένα υποσύνολο του Α. Αν α Α, τότε α [α], επειδή αrα και εξ αυτού συμπεραίνεται ότι δεν υπάρχουν κενά σύνολα στο Ρ. Στη συνέχεια θα δειχτεί ότι αν δυο στοιχεία [α] και [β] περιέχουν το στοιχείο γ, τότε ισχύει ότι [α]=[β]. Πράγματι, γ [α] γrα και λόγω της συμμετρικής ιδιότητας γrα. Σύμφωνα με τη μεταβατική ιδιότητα, xrα and αrγ xrγ. Ομοίως επειδή γ [β] γrβ και λόγω της συμμετρικής ιδιότητας γrβ. Σύμφωνα με τη μεταβατική ιδιότητα, xrγ and γrβ xrβ. Έτσι, x [α] και x [β]. Έτσι αποδείχτηκε ότι κάθε στοιχείο του Α βρίσκεται σε ένα και μόνο του P και κατά συνέπεια ότι P αποτελεί διαμέλιση του Α. Στη συνέχεια, υποθέτουμε ότι Ρ είναι μια διαμέλιση του Α. Ορίζουμε μια σχέση R στο Α με τον ακόλουθο τρόπο: xry αν και μόνο αν x και y ανήκουν στο ίδιο μέλος της Ρ. Θα δείξουμε ότι η R είναι σχέση ισοδυναμίας. Για τον σκοπό αυτό και επειδή η σχέση είναι ανακλαστική και συμμετρική, αρκεί να δείξουμε ότι είναι και μεταβατική. Υποθέτουμε ότι για τα στοιχεία x, y και z, ισχύει ότι xry και yrz. Αυτό σημαίνει ότι x και y βρίσκονται στο ίδιο μέλος της διαμέλισης, ενώ τα στοιχεία y και z βρίσκονται σε ένα άλλο μέλος της διαμέλισης Ρ του Α. Έστω ότι αυτά τα μέλη είναι τα Β και Γ αντίστοιχα. Το στοιχείο y θα βρίσκεται 273

275 συγχρόνως στο Β και στο Γ και από αυτό συμπεραίνεται ότι Β=Γ και ότι x και y ανήκουν στο ίδιο μέλος της P επειδή xrz. Αποδείχτηκε λοιπόν ότι η R είναι σχέση ισοδυναμίας στο Α. " " Τέλος, θα δειχτεί ότι Ρ είναι η οικογένεια όλων των κλάσεων ισοδυναμίας της R. Υποθέτουμε ότι α [α] και α είναι μέλος του Δ του Ρ. Τότε, [α]={x Α:x και α ανήκουν στο ίδιο μέλος της Ρ}={x Α:x Δ}=Δ. Άρα, κάθε κλάση ισοδυναμίας ανήκει στο Ρ. Αλλά και αντίστροφα, κάθε μέλος της Ρ είναι κλάση ισοδυναμίας. Όπως δείχτηκε η οικογένεια όλων των κλάσεων ισοδυναμίας της R είναι η Ρ. Μένει να δείξουμε τη μοναδικότητα της σχέσης R. Υποθέτουμε ότι R' είναι μια κλάση ισοδυναμίας στο Α και Ρ η οικογένεια των κλάσεων ισοδυναμίας. Θα δείξουμε ότι R'=R. Θεωρούμε το αr'β από το οποίο προκύπτει ότι η κλάση ισοδυναμίας του α υπό τη σχέση R' είναι το μέλος Β του Ρ. Το Β περιέχει τα α και β. Κατά συνέπεια θα είναι αrβ. Αλλά Β είναι και κλάση ισοδυναμίας υπό την R' διότι α Β. Έτσι, επειδή β Β έχουμε ότι βr'α και αr'β. Έτσι, προκύπτει ότι το ζητούμενο Μερικώς Διατεταγμένα Σύνολα, Πλέγματα και Άλγεβρες Boole Ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο είναι ένα σύνολο Α εφοδιασμένο με μια σχέση R. Η R καλείται μερική διάταξη για την οποία ισχύουν τα παρακάτω: Αν x, y και z είναι στοιχεία του Α: 1. Ανακλαστική: xrx 2. Αντισυμμετρική: Αν xry και yrx, τότε x=x 3. Μεταβατική: Αν xry και yrz, τότε xrz Η συζήτηση περί ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου Α, με τη σχέση διάταξης. Σε αυτό το κεφάλαιο η σχέση δεν θα αναγνωστεί υποχρεωτικά ως «μικρότερο ή ίσο» αλλά ως «είναι μέρος του». Ορισμός Δυο στοιχεία x, y του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ) θα λέγονται συγκρίσιμα αν x y ή y x και θα λέγονται μη συγκρίσιμα σε κάθε άλλη περίπτωση. Τα μερικώς διατεταγμένα σύνολα (Α, ) θα λέγονται γραμμικώς διατεταγμένα αν ισχύουν οι επόμενοι νόμοι. 4. Νόμος της Συγκρισιμότητας: Αν κάθε δυο στοιχεία του Α είναι μεταξύ τους συγκρίσιμα. Το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ), όπου Α οποιοδήποτε σύνολο αριθμών, καθώς και το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Β,"λεξικογραφική διάταξη"), όπου Β σύνολο λέξεων, είναι γραμμικώς διατεταγμένα. Για άλλα μερικώς διατεταγμένο σύνολα δεν ισχύει πάντα η ιδιότητα αυτή. Για παράδειγμα, αν Α={1,2,4,8}, τότε το (Α,/) είναι γραμμικώς διατεταγμένο αλλά για το Β={1,2,3,4} το (Β,/) δεν είναι γραμμικώς διατεταγμένο. Άλλο παράδειγμα είναι το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Γ, ), όπου Γ={Ø,{1},{1,2},{1,2,3}}, η σχέση είναι γραμμική, ενώ για (Δ, ) με Δ={Ø,{1},{1,2},{2,3}} η σχέση δεν είναι γραμμική. Για το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ) ορίζεται η x y είναι ισοδύναμη με την y x. Αντίστοιχα η x<y είναι ισοδύναμη με την y>x. Κάθε γραμμικώς διατεταγμένο (Α, ) έχει και την ιδιότητα (5). Νόμος της τριχοτομίας: Για κάθε x και y στο Α μια ακριβώς από τις σχέσεις ισχύει: x<y ή y=x ή y>x. Ορισμός Ένα στοιχείο θ Α και Β Α, θα καλείται άνω φράγμα του Β, αν β Β,β θ. Ορισμός Ένα στοιχείο λ Α και Β Α, θα καλείται κάτω φράγμα του Β, αν β Β,β λ. 274

276 Υποθέστε ότι δίνεται το (Α,/), όπου Α είναι το σύνολο όλων των θετικών αριθμών. Αν Β={6,8} τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών (24) και όλα τα πολλαπλάσιά του αποτελούν ανώτερα φράγματα του Β. Επίσης, οι αριθμοί 1 και 2 είναι τα μόνα κατώτερα φράγματα του Β. Αν στο ίδιο παράδειγμα θεωρήσουμε αντί του Α, το σύνολο P των πρώτων αριθμών, τότε δεν υπάρχει ανώτερο φράγμα, ενώ κατώτερο φράγμα θα είναι μόνο ο αριθμός 1. Υποθέστε τώρα ότι στο μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ) το σύνολο Α έχει ένα ανώτερο φράγμα κ. Αν και το λ είναι ανώτερο φράγμα του Α, τότε κ λ, αλλά και λ κ. Έτσι, προκύπτει ότι κ=λ. Συμπεραίνεται λοιπόν ότι το ανώτερο φράγμα του ίδιου του συνόλου Α είναι μοναδικό, εφόσον βέβαια αυτό υπάρχει. Αντίστοιχα, ισχύει ότι και το κατώτερο φράγμα του ίδιου του συνόλου Α είναι μοναδικό, εφόσον βέβαια αυτό υπάρχει. Ορισμός Το κατώτερο και ανώτερο φράγμα του Α (εφόσον υπάρχουν) καλούνται μέγιστο κατώτερο στοιχείο και ελάχιστο ανώτερο στοιχείο του Α. Ορισμός Έστω Β υποσύνολο του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ). Ένα στοιχείο θ του Α καλείται ανώτερο πέρας του Β, αν είναι το ελάχιστο από όλα τα ανώτερα φράγματα του Β. Αντίστοιχα, κατώτερο πέρας του Β θα καλείται το μέγιστο από τα κατώτερα φράγματα του Β. Με αντίστοιχο τρόπο ορίζεται το ανώτερο πέρας του υποσυνόλου Β του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ). Το άνω πέρας του Β, συμβολίζεται με supβ (supremum του Β) ενώ το κάτω πέρας με infb (infinum του Β). Παράδειγμα Στο σύνολο R εφοδιασμένο με τη σχέση θεωρούμε το Β={x:x 2 <3}. Αν x 2 τότε x 2 4 και για αυτό όταν x 2 <3 τότε x<2. To 2 είναι ανώτερο φράγμα για το Β. Επίσης, για όλα τα στοιχεία x του Β x<1,8 άρα το x=2 είναι δεν είναι ελάχιστο ανώτερο φράγμα. Είναι γνωστό άλλωστε ότι το ελάχιστο ανώτερο φράγμα του Β είναι το x= 3,όπου 1,8< 3<2. Παράδειγμα Το σύνολο όλων των άρτιων ακεραίων Ε εφοδιασμένο με τη σχέση, δεν διαθέτει άνω φράγματα και κατά συνέπεια δεν έχει και ελάχιστο ανώτερο φράγμα. Έχει όμως μέγιστο κατώτερο φράγμα τον αριθμό 2. Έστω ότι x και y είναι στοιχεία του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ). Το υποσύνολο {x,y} του Α έχει δυο στοιχεία, εφόσον x y ή έχει ένα μόνο στοιχείο αν x=y. Το ελάχιστο ανώτερο φράγμα και το μέγιστο κατώτερο φράγμα ενός συνόλου σαν και αυτό (όταν υπάρχουν) συμβολίζονται ως sup{x,y}=x y και inf{x,y}=x y αντίστοιχα. Θα δειχτεί στη συνέχεια, ότι ο συμβολισμός αυτός αντιστοιχεί σε μια γενίκευση των προηγούμενων. Για το σκοπό αυτό θεωρήστε το σύνολο των προτάσεων με τη σχέση διάταξης του συμπερασμού, όπου ισοδύναμες προτάσεις θεωρούνται ίσες. Έστω ότι το σύνολο Α περιέχει τις τέσσερεις προτάσεις α,β,{α β},{α β}. Επειδή α α ή β και β α ή β παρατηρεί κανείς ότι α α ή β και β α ή β, που σημαίνει ότι το α ή το β είναι ένα άνω φράγμα του {α,β}. Αν τώρα θεωρήσουμε ότι γ είναι ένα άλλο άνω φράγμα του {α,β}. Τότε, α γ και β γ αλλά τότε α ή β γ δηλαδή α ή β γ. Άρα α ή β είναι το ελάχιστο ανώτερο φράγμα του {α,β}, που σημαίνει ότι α β=α ή β. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι α β=α ή β. Παράδειγμα Έστω Ω ένα σύνολο και Α το μερικώς διατεταγμένο σύνολο όλων των υποσυνόλων του Ω με σχέση εγκλεισμού την. Αν Β Α και Γ Α (που σημαίνει ότι Β Α και Γ Α). Τότε Β Γ=Β Γ και Β Γ=Β Γ. Παράδειγμα Έστω Α το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων με σχέση διάταξης την /. Αν ξ Α και τ Α, τότε ξ τ=μ.κ.δ.(ξ,τ) (όπου Μ.Κ.Δ. είναι ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης) και ξ τ=ε.κ.π.(ξ,τ) (όπου Ε.Κ.Π. το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των ξ και τ. 275

277 Έστω x και y στοιχεία του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ). Αν x y, τότε μαζί με την y y, θα είναι x y y. Επειδή όμως ισχύει ότι y x y, συνεπάγεται ότι x=x y. Αλλά και αντιστρόφως, όταν y=x y τότε x x y=y και συνεπώς x y. Από τη διαδικασία αυτή συμπεραίνεται ότι x y τότε και μόνο τότε όταν x y=y. Ομοίως αποδεικνύεται ότι x y μόνο όταν x y=y. Αποδείχτηκε έτσι ότι οι προτάσεις x y, x=x y και x y=y είναι ισοδύναμες. Ορισμός Ένα πλέγμα (lattice) είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο στο οποίο κάθε ζεύγος στοιχείων {x,y} έχει τουλάχιστον ένα ελάχιστο ανώτερο φράγμα x y και ένα μέγιστο κατώτερο φράγμα x y Ο όρος πλέγμα συναντάται στην ελληνική βιβλιογραφία και ως κάνναβος ή και δικτυωτό. Ορισμός Ένα στοιχείο λ Α και Β Α, θα καλείται κάτω φράγμα του Β, αν β Β,β λ. Παράδειγμα Στο πλέγμα όλων των υποσυνόλων του {x,y,z}, που διατάσσεται με τη σχέση του περιέχεσθαι, το στοιχείο {x} καλύπτεται από το {x,y}. Παράδειγμα Στο πλέγμα {2,4,8,16}, που διατάσσεται με τη σχέση /, το στοιχείο 2 δεν καλύπτεται από το 8 διότι 2/4 και 4/8. Το 4 όμως καλύπτεται από το 8. Κάθε πεπερασμένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ) μπορεί να παρασταθεί με ένα διάγραμμα κατά Hasse. Στα διαγράμματα Hasse κάθε στοιχείο αναπαρίσταται με ενώ για τα καλύμματα όπως κ λ με μια γραμμή κατακόρυφη ή με κλίση προς τα άνω. Παράδειγμα Το διάγραμμα Hasse του μερικώς διατεταγμένου συνόλου (Α, ), όπου Α={x,y,z,v,w} και y<z<w, x<z και v<w, παρουσιάζεται στο Σχήμα Σχήμα Δάγραμμα Hasse του μερικώς διατεταγμένου συνόλου στο Παράδειγμα Προφανώς, το μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ) δεν είναι πλέγμα διότι δεν υπάρχουν τα x y και z v. 276

278 Παράδειγμα Να κατασκευαστεί το πλέγμα όλων των υποσυνόλων του Β={1,2,3} διατάσσεται με τη σχέση του περιέχεσθαι. Απάντηση Το Ελάχιστο Στοιχείο του Β Είναι το Ø, ενώ Μέγιστο Είναι το Σύνολο Β. Σχήμα Διάγραμμα Hasse του μερικώς διατεταγμένου συνόλου στο Παράδειγμα Ορισμός Ένα πλέγμα (Δ, ) είναι επιμεριστικό, αν για κάθε τρία στοιχεία του, κ, λ, μ ισχύει ότι κ (λ μ)=(κ λ) (κ μ) και κ (λ μ)=(κ λ) (κ μ). Παράδειγμα μη επιμεριστικού πλέγματος μπορεί να είναι και το πλέγμα του Σχήματος

279 Σχήμα Μη επιμεριστικό πλέγμα : διακρίνεται ότι κ (λ μ)=κ 1=κ ενώ (κ λ) (κ μ)=0 0=0. Παράδειγμα επιμεριστικού πλέγματος είναι και το σύνολο των θετικών ακεραίων εφοδιασμένο με τη σχέση /. Επιλέξτε τρεις οποιουσδήποτε θετικούς ακέραιους, όπως λόγου χάρη τους 4, 5 και 12. Θα ισχύει ότι 6 (8 15)=6 120=6. Επίσης ισχύει ότι (6 8) (6 15)=2 3=6. Υπενθυμίζεται ότιτο παράδειγμα δεν αποτελεί απόδειξη της πρότασης. Η απόδειξη μένει να γίνει από τον αναγνώστη. Και ενώ όπως προηγούμενα παρουσιάστηκε, ο νόμος της επιμεριστικότητας δεν ισχύει σε κάθε πλέγμα, πολλές από τις ιδιότητες της άλγεβρας Boole αποδεικνύεται ότι ισχύουν για κάθε πλέγμα. Ορισμός Σε ένα πλέγμα (Α, ) με 0 και 1, ορίζεται ως συμπλήρωμα του στοιχείου α, κάθε στοιχείο x για το οποίο ισχύει ότι α x=1 και α x=0. Είναι γνωστό ότι στα κυκλώματα διακοπτών, κάθε στοιχείο α έχει μοναδικό συμπλήρωμα α. Αυτό όμως δεν είναι αληθές για πλέγματα με 0 και 1. Ορισμός Ένα πλέγμα θα λέγεται συμπληρωμένο αν έχει μεταξύ των στοιχείων του τα στοιχεία 0 και 1 και επιπλέον κάθε στοιχείο του διαθέτει συμπλήρωμα (ή συμπληρώματα). Μια άλγεβρα Boole είναι ένα επιμεριστικό συμπληρωμένο δικτυωτό πλέγμα. Ως άλγεβρα Boole, το πλέγμα διαθέτει όλες τις ιδιότητες που την χαρακτηρίζουν. Μένει λοιπόν να δειχτεί ότι κάθε στοιχείο α στην άλγεβρα Boole (B, ). Έστω, x=x 1=x (α y)=(x α) (x y)=0 (x y)=(y α) (x y)=y (α x)=y 1=y. Συνεπώς, x=y. Παράδειγμα Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Παραδείγματος τα οποία διατάσσονται με τη σχέση του εγκλεισμού είναι μια άλγεβρα Boole. 278

280 7.3. Μονοειδή και Ομάδες Έστω τα μη κενά σύνολα Α και Β. Το καρτεσιανό γινόμενο Α Β των πεπερασμένων συνόλων Α και Β, είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα ζεύγη (x,y), όπου το x είναι στοιχείο του Α και το y είναι στοιχείο του Β. Παράδειγμα Δίνονται τα σύνολα Α={α,β} και Β={1,2,3}. Το καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β είναι το σύνολο: Α Β={ (α,1),(α,2),(α,3),(β,1),(β,2),(β,3)}. Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, για να σχηματίσουμε το καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β, παίρνουμε το πρώτο στοιχείο του συνόλου Α και σχηματίζουμε όλα τα δυνατά ζεύγη με όλα τα στοιχεία του Β. Στη συνέχεια παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο του Α και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία κ.ο.κ. Αν Α=Β=S, τότε, σε κάθε μη κενό σύνολο S, είναι δυνατό να οριστεί ένας τρόπος σύνθεσης δύο στοιχείων αυτού, για να προκύψει είτε ένα στοιχείο αυτού είτε ένα στοιχείο που δεν ανήκει στο σύνολο S, είτε τέλος μια σύγκριση ή ένας εγκλεισμός. Αυτός ο τρόπος σύνθεσης αποτελεί μια σχέση μεταξύ των δυο στοιχείων και για αυτό καλείται διμελής σχέση ή πράξη, ανάλογα με τη μορφή της. Έτσι, διμελής σχέση f σε ένα σύνολο S είναι μια συνάρτηση από το καρτεσιανό γινόμενο S S στο S. Αν f:s S S είναι μια διμελής σχέση και (x,y) S S είναι δυνατό να υιοθετήσουμε μια από τις ακόλουθες τρεις συμβολικούς τρόπους γραφής: Συμβολισμός προθέματος (profix notation) f((x,y))=fxy, ή πολωνικός συμβολισμός. Συμβολισμός μεταθέματος (postfix notation) f((x,y))=xyf, ή αντίστροφος πολωνικός συμβολισμός. Συμβολισμός διαθέματος (infix notation) f((x,y))=xfy. Συνήθως, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός διαθέματος, όπου το σύμβολο της σχέσης ή της πράξης τοποθετείται μεταξύ των στοιχείων του συνόλου, που συμμετέχουν σε αυτή. Ο συμβολισμός αυτός αναγνωρίζεται ως εξής: Το στοιχείο x σχετίζεται με y (στην f): (x, y) f. Στις διμελείς σχέσεις ή πράξεις αναγνωρίζουμε τα σύνολα, τα κατηγορήματα και τη συσχέτιση. Κατηγόρημα είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σχετιζόμενων στοιχείων, ενώ συσχέτιση είναι πίνακες Boole που περιγράφουν τον προσανατολισμένο γράφο. Παράδειγμα Έστω τα σύνολα Α={α,β,γ}, Β={1,2,3,4} και η σχέση f:α Β, που δίνεται με την f={(α,1),(α,4),(β,2),(β,4),(γ,1),(γ,3)}. Η αναπαράσταση δίνεται στο Σχήμα Σχήμα Αναπαράσταση της διμελούς σχέσης που συνδέει τα στοιχεία των συνόλων Α και Β. 279