ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ"

Transcript

1 Πληκτρολογόςτε την εξύςωςη εδώ. ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Θα λϋμε ότι : Η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ό ςτρϋφει τα κούλα ϊνω αν η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο εςωτερικό του Δ Η ςυνϊρτηςη f εύναι κούλη ό ςτρϋφει τα κούλα κϊτω αν η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο εςωτερικό του Δ ΘΕΩΡΗΜΑ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και δυο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Αν η f (χ)>0 για κϊθε εςωτερικό ςημεύο του Δ, τότε η f εύναι κυρτό ςτο Δ Αν η f (χ)<0 για κϊθε εςωτερικό ςημεύο του Δ, τότε η f εύναι κούλη ςτο Δ ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Σο αντύςτροφο του θεωρόματοσ δεν ιςχύει: π.χ f(χ) = χ 4 η οπούα εύναι κυςτό ςτο πεδύο οριςμού τησ αλλϊ f (χ)=1χ Αλλϊ όταν εύναι κυρτό ιςχύει9 ότι f (χ) 0 και όταν εύναι κούλη f (χ) 0 τον οριςμό ιςχύει (κυρτό f γνηςύωσ αύξουςα) και ( κούλη f γνηςύωσ φθύνουςα) ΗΜΕΙΟ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΜΟ Έςτω ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα (α,β) εκτόσ ύςωσ του ςημεύου χ 0. Σο ςημεύο (χ 0, f(χ 0 )) ονομϊζεται ςημεύο καμπόσ τησ γραγικόσ παρϊςταςησ τησ f αν: η f εύναι κυρτό ςτο (α, χ 0 ) και κούλη ςτο (χ 0, β) και αντιςτρόφωσ η C f ϋχει εφαπτομϋνη ςτο ςημεύο (χ 0, f(χ 0 )) ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Για την εξεταςτϋα ύλη θα πρϋπει και ςτο χ 0 να εύναι παραγωγύςιμη για να υπϊρχει η εφαπτομϋνη ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το Α(χ 0, f(χ 0 )) εύναι ςημεύο καμπόσ τησ C f και η f εύναι δυο φορϋσ παραγωγύςιμη τότε f (χ 0 ) = 0 ΠΙΘΑΝΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ 1. Σα εςωτερικϊ ςημεύα μηδενιςμού τησ δεύτερησ παραγώγου και. Σα εςωτερικϊ ςημεύα ςτα οπούα δεν υπϊρχει η δεύτερη παρϊγωγοσ (αλλϊ υπϊρχει η πρώτη παρϊγωγοσ) 3. Ιςοδύναμο του οριςμού εύναι το παρακϊτω Μια ςυνϊρτηςη f που εύναι οριςμϋνη ςε ϋνα διϊςτημα (α,β) και χ 0 ϵ(α, β) θα ϋχει ςημεύο καμπόσ το Α χ 0, f(χ 0 ) αν: 1. Η f αλλϊζει πρόςημο εκατϋρωθεν του χ 0 και. Ορύζεται η εφαπτομϋνη ςτο ςημεύο Α 1

2 ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Έςτω ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςε ϋνα διϊςτημα Δ. Σότε ιςχύουν 1. f (χ) = 0 f (χ)αλλϊζει πρόσημο εκατϋρωθεν του χ το χ 0 εύναι θϋση σημεύου καμπός 0. Αν η f παρουςιϊζει καμπό ςτο χ 0 τότε f (χ 0 ) = 0 3. Αν το f (χ 0 ) 0, τότε η f δεν παρουσιϊζει καμπό στο χ 0 4. Αν το f (χ 0 ) 0, στο εσωτερικό του Δ τότε δεν παρουσιϊζει καμπό στο Δ 5. Πιθανϋσ θϋςεισ ςημεύων καμπόσ εύναι οι ρύζεσ τησ f ςτο εςωτερικό του Δ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ 1. Δύνεται η συνϊρτηση f(χ) = χ (χ 3) 4. Αν χ 1, χ εύναι οι θϋσεις των τοπικών ακροτϊτων και χ 3 εύναι η θϋση του σημεύου καμπός, να αποδειχθεύ ότι τα σημεύα Α χ 1, f(χ 1 ), Β χ, f(χ ), Γ χ 3, f(χ 3 ) εύναι σημεύα συνευθειακϊ. Λύςη f (χ) = 3χ 6χ και f (χ) = 0 3χ(χ ) = 0 χ = 0 ό χ = 3 χ f (χ) = 6χ 6 και f (χ) = 0 χ = 1 Επομϋνωσ από το διπλανό πύνακα φαύνεται ότι f (χ) η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτα διαςτόματα f (χ) (-,0- και,, ) f Γνηςύωσ φθύνουςα ςτο,0,- Παρουςιϊζει τοπικό μϋγιςτο για χ=0 το f(0)=4 και τοπικό ελϊχιςτο για χ= και εύναι το f()=0 Εύναι κούλη ςτο (-,0- και κυρτό ςτο,1, ) αφού ςτο 1 εύναι ςυνεχόσ Παρουςιϊζει ςημεύο καμπόσ για χ=1 και εύναι το f(1)= Επομϋνωσ τα ςημεύα εύναι: Α(0,4), Β(,0) και Γ(1,) και ϋχω: λ ΑΒ = 4 = και λ ΒΓ = =. Αρα τα ςημεύα Α, Β, Γ εύναι ςυνευθειακϊ 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δύνεται η ςυνϊρτηςη με τύπο f(χ) = α 3 χ3 α 1 χ 10χ 7

3 Να βρεύτε το α R, ώστε η f να παρουσιϊζει καμπό για χ = 3. Μετϊ για την τιμό του α=1 να φτιϊξετε πύνακα μεταβολών Λύςη Για να παρουςιϊζει ςημεύο καμπόσ για χ = 3 θα πρϋπει η f 3 = 0 f (χ) = 3 α 3 χ α 1 χ 10 και f (χ) = 6 α χ α 1 και επειδό 3 f 3 = 0 6 α 3 α 1 = 0 9α 6 α 1 = 0 7α = 7 α = 1 3 Για α = 1 ϋχω: f(χ) = 1 3 χ3 3 χ 10χ 7 και f (χ) = χ 3χ 10 και f (χ) = χ 3. Επομϋνωσ f (χ) = 0 χ 3 = 0 χ = 3 και f (χ) = 0 χ 3χ 10 = 0 χ = ό χ = 5 και ϋχω τον παρακϊτω πύνακα μεταβολών χ - - 3/ 5 f (χ) f (χ) f(χ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Δύνεται ςυνϊρτηςη f: R R δύο φορϋς παραγωγύσιμη, για την οπούα ισχύει f (χ) χf(χ) χ 3χ = 0 για κϊθε χ R Να αποδεύξετε ότι η f δεν ϋχει ςημεύο καμπόσ Λύςη f(χ) f (χ) f(χ) χf (χ) χ 3 = 0και παραγωγύζοντα ξανϊ ϋχω f (χ) f (χ) f(χ) f (χ) f (χ) χf (χ) f (χ) = 0 για κϊθε χ R. Έςτω ότι υπϊρχει ςημεύο καμπόσ ςτη θϋςη χ = χ 0 τότε f (χ 0 ) = 0 και ϋχω f (χ 0 ) f (χ 0 ) f(χ 0 ) f (χ 0 ) f (χ 0 ) χ 0 f (χ 0 ) f (χ 0 ) = 0 f (χ 0 ) f (χ 0 ) f (χ 0 ) = 0 (f (χ 0 ) f (χ 0 ) 1 = 0. Σο οπούο αν θεωρηθεύ ςαν δευτεροβϊθμιο τριώνυμο ωσ προσ f (χ 0 ) ϋχει διακρύνουςα Δ = 3 0 και επομϋνωσ δεν υπϊρχει τιμό που να τομηδενύζει. Αρα δεν μπορεύ η f να ϋχει ςημεύο καμπόσ. 3

4 ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΚΑΙ ΕΥΑΠΣΟΜΕΝΗ Έςτω ςυνϊρτηςη f η οπούα εύναι κυρτό ςε ϋνα διϊςτημα Δ. Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομϋνη ςτη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ςε οποιοδόποτε ςημεύο τησ βρύςκεται κϊτω από τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ Η εξύσωση της εφαπτομϋνης στο σημεύο χ 0, f(χ 0 ) εύναι: ψ f(χ 0 ) = f (χ 0 )(χ χ 0 ) ψ = f(χ 0 ) f (χ 0 )(χ χ 0 ) Αλλϊ f(χ) ψ f(χ) f(χ 0 ) f (χ 0 )(χ χ 0 ) ΗΜΕΊΩΗ Σο «=» ςτη παραπϊνω ςχϋςη ιςχύει για χ=χ 0 που εύναι Η τετμημϋνη του ςημεύου επαφόσ. χ 0 Έςτω ότι η ςυνϊρτηςη εύναι κούλη ςε ϋνα διϊςτημα Δ. Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομϋνη τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ςε οποιοδόποτε ςημεύο τησ βρύςκεται πϊνω βρύςκεται πϊνω από τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ. Η εξύσωση της εφαπτομϋνης στο σημεύο χ 0, f(χ 0 ) εύναι: ψ f(χ 0 ) = f (χ 0 )(χ χ 0 ) ψ = f(χ 0 ) f (χ 0 )(χ χ 0 ) ΗΜΕΊΩΗ Σο «=» ςτη παραπϊνω ςχϋςη ιςχύει για χ=χ 0 που εύναι Η τετμημϋνη του ςημεύου επαφόσ. Αλλϊ f(χ) ψ f(χ) f(χ 0 ) f (χ 0 )(χ χ 0 ) χ 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f με τύπο f(χ) = αχ χlnχ με χ 0 και α 0. Α) Να μελετόςετε την f ωσ προσ τη κυρτότητα Β) Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f ςτο ςημεύο Α(1,f(1)) και να προςδιορύςετε το α ώςτε να διϋρχεται η εφαπτομϋνη από την αρχό των αξόνων Γ) Αν α= να δεύξετε ότι: Λύςη χ χ lnχ χ για χ 1 f (χ) = αχ lnχ χ 1 χ = αχ lnχ και f (χ) = α χ = αχ χ f (χ) 0 αχ 0 αχ 0 αφού χ 0 αχ 1 0 χ 1 χ α Και 4

5 f (χ) 0 χ 1. Επομϋνωσ ϋχουμε τον παρακϊτω πύνακα κυρτότητασ α χ 0 1/α f (χ) - 0 f(χ) κούλη ς.κ κυρτό Η f εύναι κούλη ςτο 0, 1 α και 1 Η f εύναι κυρτό ςτο α, Η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο Α(1,f(1))=Α(1,α) εύναι ψ f(1) = f (1)(χ 1) ψ α = (α )(χ 1) ψ = (α )χ α α ψ = (α )χ α. Για να διϋρχεται από την αρχό των αξόνων Πρϋπει να διϋρχεται από το ςημεύο (0,0). Επομϋνωσ 0 = α α = και η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ εύναι ψ = χ Γ. 1 Αφού α = η f εύναι κυρτό ςτο διϊςτημα, και επομϋνωσ η εφαπτομϋνη ψ = χ Βρύςκεται κϊτω από τη γραφικό τησ παρϊςταςη. Επομϋνωσ θα ιςχύει: χ χlnχ χ χ χlnχ χ H εφαπτομϋνη ςτα ςημεύα καμπόσ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f φαύνεται ότι κόβει (διαπερνϊ) τη γραφικό τη γραφικό παρϊςταςη τησ f ΠΑΡΆΔΕΙΓΜΑ 1 Δύνεται η συνϊρτηση f με τύπο f(χ) = χ 3. Να μελετηθεύ ωσ προσ τη μονοτονύα και τα ακρότατα Να βρεθούν τα ςημεύα καμπόσ Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο καμπόσ Λύςη Πεδύο οριςμού τησ f εύναι το R f (χ) = 3χ με f (χ) = 0 3χ = 0 χ = 0 χ - 0 f (χ) = 6χ και f (χ) = 0 6χ = 0 χ = 0 Η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςε όλο το πεδύο οριςμού τησ R Εύναι κούλη ςτο (-,0- και κυρτό ςτο,0, ) Παρουςιϊζει ςημεύο καμπόσ το (0,0) f (χ) f (χ) Η εξύςωςη τηε εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο καμπόσ (0,0) εύναι ψ f(0) = f (0)(χ 0) ψ = 0. Δηλαδό ο ϊξονασ χ χ. Η γραφικό παρϊςταςη τησ f φαύνεται δύπλα και παρατηρούμε ότι η εφαπτομϋνη τϋμνει την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ f ς.κ 5

6 ΑΚΗΕΙ ΛΤΜΕΝΕ ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η συνϊρτηση με τύπο f(χ) = ln(lnχ). α) Να δεύξετε ότι η γραφικό παρϊςταςη τησ f ςτρϋφει τα κούλα προσ τα κϊτω β) Αν α 1 και β 1, να δεύξετε ότι α β ln lnα lnβ. ΘΕΜΑ BAC Λύςη α. Για να βρούμε το πεδύο οριςμού πρϋπει χ 0 lnχ 0 χ 0 lnχ ln1 χ 0 χ 1 χ 1. Αρα το πεδύο οριςμού Α f = (1, ) με χ (1, ) ϋχω f (χ) = 1 lnχ (lnχ) = 1 χlnχ και f (χ) = 1 (χlnχ) (χlnχ) = 1 lnχ 1 (lnχ 1) = (χlnχ) (χlnχ) με χ>1 ϋχω ότι lnχ>0 lnχ1>0 και επομϋνωσ η f (χ)<0. Άρα η f ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο διϊςτημα (1, ) β. ln α β ln ln α β lnα lnβ ln ln α β ln(lnα) ln(lnβ) ln ln α β α β και, β και ϋχω: ln(lnα) ln ln α β ςτα διαςτόματα α, α β ln ln α β f (χ 1 ) = f (χ ) = = α β α ln(lnβ) ln ln α β β α β = ln,lnα lnβ- ln ln α β β α 6 ln(lnα) ln(lnβ). Εφαρμόζω Θ. Μ. Σ για την f διαδοχικϊ ln(lnα) ln(lnβ) ln ln α β β α με χ 1 α, α β με χ α β, β Επειδό η ςτρϋφει τα κούλα κϊτω τότε η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και επειδό χ 1 χ f (χ 1 ) f (χ ) ln ln α β ln α β ln(lnα) ln(lnβ) ln ln α β lnα lnβ ΑΚΗΗ Δύνεται η συνϊρτηση f: R R. Αν στο σημεύο χ 0, f(χ 0 ) ϋχει σημεύο καμπός τότε να αποδεύξετε ότι το χ 0 δεν μπορεύ να εύναι θϋση τοπικού ακροτϊτου Λύςη Έςτω ότι το χ 0 εύναι θϋςη τοπικού ακροτϊτου. Σότε από Θ. Fermat f (χ 0 ) = 0. Καύ αφού εύναι και θϋςη ςημεύου καμπόσ τότε θα πρϋπει επιπλϋον αριςτερϊ και δεξιϊ του χ 0 να αλλϊζει η κυρτότητα. Εςτω ότι με χ χ 0 εύναι κυρτό και με χ χ 0 εύναι κούλη. Σότε θα ιςχύουν: κυρτό με χ χ 0 η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0 ) επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα. f (χ 0 )=0 f (χ) 0 και

7 κούλη 7 f (χ 0 )=0 f (χ) 0 με χ χ 0 η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0 ) επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα. Επομϋνωσ η f αριςτερϊ και δεξιϊ του χ 0 εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και επομϋνωσ δεν μπορεύ να παρουςιϊζει ακρότατο. Σο οπούο εύναι ϊτοπο αφού δεχθόκαμε ότι ςτο χ 0 ϋχει ακρότατο. ΑΚΗΗ 3 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f:r R με f(χ) 0 η οπούα εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη. Θεωρούμε τη συνϊρτηση g(χ) = lnf(χ) α) Να βρεύτε την g (χ) β) Αν η g εύναι κυρτό, να αποδεύξετε ότι f(χ)f (χ) (f (χ)) Λύςη α. g (χ) = f (χ) f(χ) f (χ)f(χ) f (χ)f (χ) f (χ)f(χ) f (χ) και g (χ) = f = (χ) f (χ) β. Αφού η g εύναι κυρτό τότε η g (χ) 0 για κϊθε χ R διότι αν g (χ) 0 για κϊθε χ R θϊ εύχαμε ότι η g εύναι κούλη. Επομϋνωσ f (χ)f(χ) f (χ) g (χ) 0 f 0 f (χ)f(χ) f (χ) 0 f (χ)f(χ) f (χ) (χ) ΑΚΗΗ 4 A) Αν μια συνϊρτηση f εύναι δύο φορϋς παραγωγύσιμη, κυρτό και f (χ) 0 και f (χ) 0 διϊστημα Δ, τότε να αποδεύξετε ότι η f 1 εύναι κούλη στο f(δ). B) Έστω συνϊρτηση f για την οπούα ισχύει f 3 (χ) f(χ) = χ για κϊθε χ R Αν η f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη τότε I. Να αποδεύξετε ότι υπϊρχει η αντύςτροφη τησ f και να την βρεύτε και II. Να αποδεύξετε ότι η f εύναι κούλη ςτο,0, ) Α Από την γνωςτό ςχϋςη f f 1 (χ) = χ.f f 1 (χ) / = 1 f f 1 (χ) f 1 (χ) = 1 f 1 (χ) 1 = f f 1 (χ) και f 1 (χ) = f f 1 (χ) f 1 (χ) f f 1 (χ) 0 Ο παρονομαςτόσ εύναι θετικόσ αφού f (χ) 0. Σο ύδιο ςυμβαύνει και με την αντύςτροφη διότι: f 1 (χ) 1 = f f 1 (χ) 0 και ακόμη αφού η f εύναι κυρτό f (χ) 0 τότε f (χ) 0 Β Ι Πρϋπει να αποδεύξουμε ότι εύναι «1-1» Για κϊθε χ 1, χ R με f(χ 1 ) = f(χ ) f 3 (χ 1 ) = f 3 (χ ) f 3 (χ 1 ) f(χ 1 ) = f 3 (χ ) f(χ ) χ 1 = χ. Αρα εύναι 1-1 και επομϋνωσ υπϊρχει η αντύςτροφό τησ Για να τη βρώ θϋτω ςτη δοθεύςα ςχϋςη όπου χ το f 1 (χ) και ϋχω. f 3 f 1 (χ) f f 1 (χ) = f 1 (χ) χ 3 χ = f 1 (χ) Για το πεδύο οριςμού τησ θα βρώ το ςύνολο τιμών τησ f. f(χ) = ψ f 3 (χ) = ψ 3. Επομϋνωσ f 3 (χ) f(χ) = ψ 3 ψ χ = ψ 3 ψ. Επομϋνωσ το πεδύο

8 τιμών τησ f εύναι το R και επομϋνωσ το πεδύο οριςμού τησ f 1 εύναι το R. Β ΙΙ (f 1 (χ)) = 3χ 6χ 0, αφού χ 0 και (f 1 (χ)) = 6χ 0, αφού χ 0. Επομϋνωσ για την f 1 ιςχύουν οι προώποθϋςεισ του πρώτου ερωτόματοσ. Και αφού η f 1 εύναι κυρτό η αντύςτροφό τησ που εύναι η f εύναι κούλη ΑΚΗΗ 5 ημχ Δύνεται η f(χ) = χ, 0 χ π 1, αν χ = 0 Να αποδεύξετε ότι: α) η f εύναι γνησύως φθύνουσα στο 00, π 1 και β) η f εύναι κούλη στο 00, π 1 Η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεχόσ ςτο χ 0 = 1 διότι lim f(χ) = lim χ 0 χ 0. ημχ χ = 1 = f(0) Ακόμη για χ.0, π / ϋχω: ςυνχ χ ημχ f (χ) = χ. Θεωρώ τη ςυνϊρτηςη g(χ) = ςυνχ χ ημχ και ϋχω g (χ) = ημχ χ ςυνχ ςυνχ = χημχ 0 όταν το χ.0, π /. Επομϋνωσ η g εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο 00, π ςυνχ χ ημχ 1 και με χ 0 g(χ) g(0) ςυνχ χ ημχ 0 χ 0. Άρα και η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο 00, π 1 Αν χ 1, χ 00, π 1 με χ 1 χ g(χ 1 ) g(χ ) και χ 1 χ 1 χ 1 1 χ g(χ 1) χ 1 g(χ ) χ και επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα και ϊρα f εύναι κούλη ςτο 00, π 1 ΑΚΗΗ 6 Έςτω f ςυνϊρτηςη με f γνηςύωσ αύξουςα ςτο R. Αν α εύναι θϋςη τοπικού ελαχύςτου τησ f και β θϋςη τοπικού μϋγιςτου τησ f με α β και ςτο διϊςτημα (α,β) εύναι f (χ) 0, να αποδειχθεύ ότι υπϊρχει χ 0 τϋτοιο ώστε το σημεύο Π(χ 0, f(χ 0 ) να εύναι σημεύο καμπός της f και μϊλιστα μοναδικό Αφού το α εύναι θϋςη τοπικού ελϊχιςτου f (α)=0 και επειδό το β εύναι θϋςη τοπικού μϋγιςτου f (β)=0. Άρα αν εφαρμόςω Θ. Rolle για την f ςτο (α,β) τότε θα ϋχω ότι υπϊρχει χ 0 (α, β)τϋτοιο, ώςτε f (χ 0 ) = 0. Και με χ χ 0 με χ χ 0 f γν. φθύνουςα f γν. φθύνουςα f (χ) f (χ 0 ) = 0 f (χ) f (χ 0 ) = 0 8

9 αφού η f αλλϊζει πρόςημο αριςτερϊ και δεξιϊ του του χ 0 τότε το Π(χ 0, f(χ 0 ) εύναι ςημεύο καμπόσ τησ f ΑΚΗΗ 7 Έςτω ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςε ϋνα ανοικτό διϊςτημα (α,β) και ςτο ςημεύο χ 0 (α, β) υπϊρχει η τρύτη παρϊγωγος f (χ 0 ). Εύναι δε f (χ 0 ) = 0 και f (χ 0 ) 0. Να δεύξετε ότι η f παρουσιϊζει καμπό για χ = χ 0 Αφού f (χ 0 ) 0 τότε f (χ 0 ) 0 ό f (χ 0 ) 0. Εςτω f (χ 0 ) 0, τότε κοντϊ ςτο χ 0 η f (χ) f (χ 0 ) f (χ 0 ) = lim 0 και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0) 0 κοντϊ ςτο χ χ χ0 χ χ 0 χ χ 0 0 Διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ αν χ χ 0 χ χ 0 0 και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0 ) 0 f (χ) f (χ 0 ) = 0 αν χ χ 0 χ χ 0 0 και επομϋνωσ f (χ) f (χ 0 ) 0 f (χ) f (χ 0 ) = 0 Άρα τελικϊ η f αλλϊζει πρόςημο αριςτερϊ και δεξιϊ του χ 0 και επομϋνωσ εύναι θϋςη ςημεύου καμπόσ. ΑΚΗΗ 7 Δύνεται ςυνϊρτηςη f:r R για την οπούα ιςχύει: Ι. f (0) = 3 και ΙΙ. f(χ ψ) = f(χ)f(ψ) για κϊθε χ, ψ R Να αποδεύξετε ότι: α) f(χ) = 3e 3χ β) η f εύναι κυρτό ςτο R α. Παραγωγύζοντασ ωσ προσ χ ϋχω: f (χ ψ)(χ ψ) = f (χ)f(ψ) f (χ ψ) = f (χ)f(ψ) για κϊθε χ, ψ R. Αν θϋςω όπου χ = 0 ϋχω f (ψ) = f (0)f(ψ) f (ψ) = 3f(ψ) για κϊθε ψ R Επομϋνωσ ϋχουμε f (χ)=3f(χ) με χ R πολλαπλαςιϊζω με e 3χ και ϋχω: f (χ)e 3χ = 3f(χ)e 3χ f (χ)e 3χ 3f(χ)e 3χ = 0 f (χ)e 3χ (e 3χ ) f(χ) = 0 (f(χ)e 3χ ) = 0. Επομϋνωσ f(χ)e 3χ = c f(χ) = ce 3χ Αλλϊ από την f (χ) = 3f(χ) για χ = 0 ϋχω f (0) = 3f(0) 3 = 3f(0) f(0) = 1 και αν ςτην f(χ) = ce 3χ θϋςω χ = 0 ϋχω f (0) = cf(0) c = 3. Σελικϊ ϋχω f(χ)= 3e 3χ β. f (χ) = 9e 3χ και f (χ) = 7e 3χ 0. Άρα η f εύναι κυρτό. ΑΚΗΗ 8 Έςτω f ςυνεχόσ ςτο,α,β- και δυο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο (α,β) με f(α)=f(β)=0.έςτω ότι υπϊρχει γ (α,β) τϋτοιο ώςτε f(γ) 0. Να αποδεύξετε ότι: α) υπϊρχει ξ (α,β) τϋτοιο ώςτε f (ξ) 0 β) αν η f εύναι κυρτό ςτο,α,β- τότε 9

10 Ι. υπϊρχει μοναδικό χ 0 (α, β)τϋτοιο, ώστε f (χ 0 ) = 0 και ΙΙ. εύναι f(χ) 0 για κϊθε χ (α, β) α. Αφού η f εύναι και ςυνεχόσ ςτο,α,β- και παραγωγύςιμη ςτο (α,β) θα εύναι και ςυνεχόσ ςτο,α,γ- και παραγωγύςιμη ςτο (α,γ). Άρα ιςχύει το Θ.Μ.Σ και ϋχω: f (ξ 1 ) = f(γ) f(α) γ α = f(γ) γ α 0 και ξ 1 (α, γ) Παρόμοια για το διϊςτημα (γ,α) f(β) f(γ) f (ξ ) = = f(γ) β γ β γ 0 και ξ (γ, β) Εφαρμόζω Θ. Μ. Σ ςτο,ξ 1, ξ - για την f και ϋχω: f (ξ) = f (ξ ) f (ξ 1 ) 0 ξ ξ 1 β Ι Εφαρμόζω θεώρημα Bolzano για την f ςτο [ξ 1, ξ ] και αφού f (ξ 1 ) f (ξ ) 0 τότε υπϊρχει χ 0 (ξ 1, ξ ) τϋτοιο, ώςτε f (χ 0 ) = 0. Ακόμη η f εύναι ςυνεχόσ ςτο,ξ 1, ξ - αφού η f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη. βιι Αφού η f εύναι κυρτό τότε η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα. Επομϋνωσ με α χ χ 0 f (χ) f (χ 0 ) = 0 και επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ γθύνουςα. Αρα f(α) f(χ) f(χ) 0 με χ 0 χ β f (χ 0 ) f (χ) 0 f (χ) και επομϋνωσ η f γνηςύωσ αύξουςα. Αρα f(χ) f(β) = 0 Σελικϊ με χ (α,β) f(χ) 0 ΑΚΗΗ 9 Έστω συνϊρτηση f: R R για την οπούα ισχύει f(χ) = e χ f(χ), για κϊθε χ R. α) Να δειχθεύ ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα β) Να δειχθεύ ότι το ςύνολο τιμών τησ εύναι το (0, ) γ) Έςτω ότι η f εύναι παραγωγύςιμη Ι. Να δειχθεύ ότι ισχύει: f(χ) f(ψ) χ ψ για κϊθε χ, ψ R ΙΙ. Να δειχθεύ ότι f (χ) = eχ f(χ) 1 f (χ) (1 e χ f(χ) ) ΙΙ. Η f ςτρϋφει τα κούλα ϊνω ςτο R α. Από τη δοθεύςα ϋχω: f(χ) = e χ f(χ) f(χ) = e χ e f(χ) f(χ)e f(χ) = e χ και f(χ) 0 για κϊθε χ R 10

11 Θα πρϋπει να δεύξω ότι: με χ 1 χ ότι f(χ 1 ) f(χ ) Εςτω ότι f(χ 1 ) f(χ ) 0 e f(χ 1 ) e f(χ ) 0 f χ 1 e f(χ 1 ) χ 1 χ. Άτοπο. Άρα η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα. β. ψ 0 11 f(χ )e f(χ ) e χ 1 e χ ψ = f(χ) lnψ = χ f(χ) lnψ ψ = χ με ψ (0, ). Άρα το ςύνολο τιμών εύναι (0, ) γ1. Από τη δοθεύςα ϋχουμε lnf(χ) = χ f(χ) f(χ) = χ lnf(χ) και f(ψ) = ψ lnf(ψ) και επομϋνωσ f(χ) f(ψ) = χ ψ,lnf(ψ) lnf(χ)- Έχουμε ακόμη από το α. ότι η f εύναι γν. αύξουςα. Επομϋνωσ διακρύνουμε τισ περιπτώςεισ. με χ ψ f(χ) f(ψ) lnf(ψ) lnf(χ) Επομϋνωσ f(χ) f(ψ) χ ψ με χ > ψ θα ϋχουμε ότι f(ψ) f(χ) ψ χ Επομϋνωσ f(χ) f(ψ) χ ψ τό "=" ιςχύει για χ=ψ γ. f (χ) = e χ f(χ) = e χ f(χ) 1 f (χ) = e χ f(χ) e χ f(χ) f (χ). Επομϋνωσ ϋχω f (χ) e χ f(χ) f (χ) = e χ f(χ) f (χ) 1 e χ f(χ) = e χ f(χ) e χ f(χ) f (χ) = (1 e χ f(χ) 0. Καύ ) f (χ) = eχ f(χ) 1 f (χ) 1 e χ f(χ) e χ f(χ) e χ f(χ) 1 f (χ) (1 e χ f(χ) ) = = eχ f(χ) 1 f (χ) (1 e χ f(χ) ) γ3. Από τι γ1. ϋχω: f(χ) f(ψ) χ ψ f(χ) f(ψ) χ ψ και επομϋνωσ και 1 f(χ) f(χ 0) χ χ f(χ) f(ψ) χ ψ 1 για κϊθε χ, ψ R f(χ) f(χ 0 ) 1 1 lim 1 χ χ0 χ χ 0 e χ f(χ) (1 e χ f(χ) ) 1 f (χ 0 ) 1και αφού f (χ) 0 τότε 0 f (χ) 1. Επειδό f (χ) = για να e χ f(χ) εύναι f (χ) = 1 θα πρϋπει (1 e χ f(χ) ) = 1 eχ f(χ) = 1 e χ f(χ) 0 = 1. Ατοπο. Αρα 0 f (χ 0 ) 1 και επομϋνωσ 1 f (χ) 0 eχ f(χ) 1 f (χ) (1 e χ f(χ) ) 0. Αρα η f ςτρϋφει τα κούλα ϊνω ΗΜΕΙΩΗ Ότι εύναι κυρτό θα μπορούςε να αποδειχθεύ πιο εύκολα αν ϋπαιρνα από τη δοθεύςα lnf(χ) = χ f(χ) f (χ) f(χ) 1 = 1 f (χ) f (χ) f(χ) 1 = 1 f (χ) = f(χ) 1 f(χ) 0 αφού f(χ) 0. Από εδώ φαύνεται ότι επειδό η παρϊςταςη f(χ) εύναι παραγωγύςιμη 1 f(χ)

12 υπϊρχει η δεύτερη παρϊγωγοσ τησ f και εύναι: f (χ) 1 f(χ) f (χ) f(χ) f (χ) = 1 f(χ) = 1 f(χ) 0. ΑΚΗΗ 9 Έςτω f παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη ςτο R και τησ οπούασ το ςύνολο τιμών εύναι το (0, ). Αν για κϊθε χ R ιςχύει f (χ)f(-χ)=1. Να αποδεύξετε ότι : α) η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα β) η ςυνϊρτηςη g(χ)=f(-χ) εύναι γνηςύωσ φθύνουςα ςτο R γ) η f εύναι κυρτό ςτο R α. f (χ) = 1 0, αφού η f ϋχει ςύνολο τιμών το (0, ). Άρα η f εύναι γν. αύξουςα ςτο R. f( χ) β. g (χ) = f( χ) = f ( χ)( χ) = f ( χ). Άρα η g εύναι γν. φθύνουςα. γ. 1 Αφού η f εύναι παραγωγύςιμη και η f( χ)εύναι παραγωγύςιμη και η εύναι παραγωγύςιμη f( χ) Άρα: f (χ) = 1 f ( χ) f( χ) = f ( χ) f 0. Αρα η f εύναι κυρτό ( χ) ΑΚΗΗ 10 Δύνεται η συνϊρτηση f(χ) = 1 α (χ α)eα χ, χ R και α 0 α) Να μελετόςετε την f ωσ προσ τη μονοτονύα, τα ακρότατα και τα ςημεύα καμπόσ β) Να δεύξετε ότι για κϊθε α>0 οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ των f και f ϋχουν ϋνα μόνο κοινό ςημεύο. γ) Η ευθεύα χ=1 ορύζει με τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ των f και f ϋνα ευθύγραμμο τμόμα. Να βρεύτε την τιμό του α, ώςτε το τμόμα αυτό να ϋχει το μικρότερο δυνατό μόκοσ. α) f (χ) = 1 α eα χ 1 α (χ α)eα χ ( 1) = 1 α eα χ (1 χ α) f (χ) = 0 χ = 1 α f (χ) = 1 α eα χ 1 α eα χ (1 χ α) f (χ) = 0 1 α eα χ ( χ α) = 0 χ = α. Σοπικό μϋγιςτο ϋχει ςτη θϋςη χ=1-α f(1 α) = 1 α eα 1 και ςημεύο καμπόσ ςτη θϋςη χ=-α χ - 1-α -α f (χ) f (χ) 0 - f τ.μ ς.κ 1

13 β. f( α) = α eα γ. f(χ) = f (χ) 1 α (χ α)eα χ = 1 α eα χ (1 χ α) 1 α eα χ (χ α 1 χ α) = 0 χ = 1 α που εύναι και μοναδικό Η απόςταςη εύναι d(α) = f(1) f (1) = α 1 α eα 1 1 α eα 1 ( α) = 1 α eα 1 (α 1) = 1 α eα 1 (α 1) Για να βρώ την ελϊχιςτη απόςταςη πρϋπει: d (α) = e α 1 1 α = e α 1 1 α eα 1 1 α = eα 1 1 α 1 και d (α) = 0 α 1 α 1 α = 0 α α 1 = 0 α = 1 αφού α > 0 ΑΚΗΗ 10 Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f:,0, ) R με f(0)=1, η οπούα ικανοποιεύ τισ ςχϋςεισ f 4 (χ) 3f (χ) = 0 και f(χ) 0 για κϊθε χ : [0, ) α) Να δεύξετε ότι η f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη β) Να μελετόςετε την f ωσ προσ τη μονοτονύα και τη κυρτότητα χωρύσ τη χρόςη του τύπου τησ ςτο ερώτημα γ. 1 γ) Να αποδεύξετε ότι f(χ) =, χ 0 3 χ 1 δ) Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ ςυνϊρτηςησ τησ f ςτο ςημεύο Α(0,f(0)). ε) Να αποδεύξετε ότι f(συν α) f(1) f(συνα) με α.0, π / α) Από τη δοθεύςα ςχϋςη ϋχω f (χ) = 1 3 f 4 (χ) και αφού η f εύναι παραγωγύςιμη και η 1 3 f 4 (χ) εύναι παραγωγύςιμη και επομϋνωσ η f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη και μϊλιςτα f (χ) = 4 3 f 3 (χ) f (χ) = 4 3 f 3 (χ) 1 3 f 4 (χ) = 4 9 f 7 (χ) β. Αφού f (χ) = 1 3 f 4 (χ) 0 η f εύναι γνηςύωσ φθύνουςα. f (χ) = 4 9 f 7 (χ) 0. Διότι αφού η f εύναι ςυνεχόσ ςτο,0, )θα διατηρεύ ςταθερό πρόςημο εφόςον f(χ) 0. Επομϋνωσ αφού f(0) = 1 και f(χ) 0 13

14 Σελικϊ η f εύναι κυρτό γ. ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ Από την f 4 (χ) 3f (χ) = 0 3f (χ) f 4 (χ) = 1 1 f(0) = 1 ϋχω = χ 1 f 3 = χ c και επειδό (χ) f 3 (χ) 1 f(0) = 0 c c = 1. Επομϋνωσ 1 f 3 (χ) = χ 1 f 3 (χ) = 1 χ 1 f(χ) = 1, αφού f(χ) 0 για κϊθε χ,0, ) 3 χ 1 δ. Η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο Α εύναι: ε. Από τον τύπο f (χ) = 1 3 f 4 (χ) f (0) = 1 3 f(0) = 1 3 ψ f(0) = f (0) χ ψ 1 = 1 3 χ ψ = 1 3 χ 1 ςυνα ςυν α = ςυν α 1 ςυν α = ςυν α 1 0 αφού α.0, π / και τελικϊ ϋχουμε ςυνα ςυν α 1 Από τη ςχϋςη f(ςυν α) f(1) f(ςυνα) f(ςυν α) f(1) f(ςυν α) f(ςυνα) 0 f(1) f(ςυν α),f(ςυν α) f(ςυνα)- 0 f(1) f(ςυν α) 1 ςυν f(ςυν α) f(ςυνα) α 1 ςυν 0 f (χ α 1 ) f (χ ) 0 με χ 1 (ςυν α, 1) και χ (ςυνα, ςυν α) Επειδό η f εύναι κυρτό η f εύναι γν. αύξουςα και επομϋνωσ αφού χ χ 1 f (χ ) f (χ 1 ) f (χ 1 ) f (χ ) 0 ΑΚΗΗ 11 Έςτω ςυνϊρτηςη f:(0, ) R δυο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο (0, ) με f(1)=0. Αν η ςυνϊρτηςη fοf ορύζεται ςτο (0, ) και για κϊθε χ (0, ) ιςχύει : (fοf )(χ) = f(χ) να αποδεύξετε ότι: α) το πεδύο ορισμού της f εύναι το Α f = (0, ) β) η ςυνϊρτηςη f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο (0, ) γ) f (1)=1 δ) (f οf )(χ)=χ για κϊθε χ (0, ) ε) χf (χ)f (χ)=0 για κϊθε χ (0, ) ςτ) η ςυνϊρτηςη f εύναι κούλη ςτο (0, ) α. Πϊντοτε ιςχύει Α f Α f = (0, ) Επομϋνωσ ό Α f = Α f = (0, ) ό υπϊρχει ςτοιχεύο του (0, ) που δεν ανόκει ςτο Α f και ϋςτω ξ ϋνα τϋτοιο. Σότε: 14

15 Επειδό Α fοf = *χ Α f f (χ) (0, ) = (0, ) το ξ (0, )που εύναι ϊτοπο. β. Αφού Α fοf = *χ Α f f (χ) (0, ) η f (χ) (0, ) και επομϋνωσ f (χ) 0. Αρα η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο (0, ) γ. f(1)=0 τη ςχϋςη (fοf )(χ) = f(χ) θϋτω όπου χ = 1 και ϋχω: f f (1) = f(1) f f (1) = 0 = f(1) και αφού η f εύναι γν. αύξουςα θα εύναι και 1 1 και επομϋνωσ f (1) = 1 δ. τη ςχϋςη (fοf )(χ) = f(χ) θϋτω όπου χ = f (χ) 0 και ϋχω f.f f (χ) / = f f (χ) f f (χ) = f(χ) f.f f (χ) / = f(χ) f εύναι "1 1" (fοf )(χ) = χ για κϊθε χ (0, ) ε. Παραγωγύζοντασ τη ςχϋςη (fοf )(χ) = f(χ) ϋχω f f (χ) =χ.f f (χ) / = f (χ) f f (χ) f (χ) = f (χ) χf (χ) f (χ) = 0 για κϊθε χ (0, ) ςτ. Από το προηγούμενο ερώτημα ϋχω: f (χ) = f (χ) 0 για κϊθε χ (0, ) χ Επομϋνωσ η f εύναι κυρτό ςτο (0, ) f f (χ) = χ χf (χ) = f (χ) ΑΚΗΗ 11 Έςτω f μια ςυνϊρτηςη ςυνεχόσ ςτο,α,β- που ϋχει ςυνεχό δεύτερη παρϊγωγο ςτο (α,β). Αν ιςχύει f(α)=f(β)=0 και υπϊρχει γ (α,β), δ (α,β) ϋτςι, ώςτε f(γ) f(δ)<0, να αποδεύξετε ότι: α) υπϊρχει μύα τουλϊχιςτον ρύζα τησ εξύςωςησ f(χ)=0 ςτο (α,β) β) υπϊρχουν σημεύα ξ 1, ξ τϋτοια ώστε f (ξ 1 ) 0 και f (ξ ) 0 γ) υπϊρχει τουλϊχιςτον μύα θϋςη πιθανού ςημεύου καμπόσ ΙΟΤΝΙΟ -003 α. Εφαρμόζω Θ.Βolzano ςτο,γ,δ-,α,β-. Η f εύναι ςυνεχόσ ςτο,γ,δ- Η f εύναι παραγωγύςιμη ςτο (γ,δ) (α,β) f(γ) f(δ)<0 Άρα υπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνα ξ (γ,δ) (α,β) τϋτοιο, ώςτε f(ξ)=0 β. 15

16 Έςτω α<γ<δ<β και αφού f(γ) f(δ)<0 τα f(γ) και f(δ) εύναι ετερόςημοι αριθμού. Έςτω λοιπόν ότι f(γ)<0 και f(δ)>0 Εφαρμόζω τρύα θεωρόματα μϋςησ τιμόσ ςτα διαςτόματα,α,γ-,,γ,δ-,,δ,β- Και ςτα τρύα η f εύναι ςυνεχόσ, αγού και τα τρύα εύναι υποςύνολα του,α,β- Η f εύναι παραγωγύςιμη ςτα διαςτόματα (α,γ), (γ,δ), (δ,β) αφού και τα τρύα εύναι υποςύνολα του (α,β) ςτο οπούο η f εύναι παραγωγύςιμη Επομϋνωσ: f (ξ 3 ) = f (ξ 5 ) = f(γ) f(α) γ α = f(γ) γ α 0 με ξ 3 (α, γ) f (ξ 4 ) = f(δ) f(γ) 0 με ξ δ γ 4 (γ, δ) f(β) f(δ) β δ = f(δ) β δ 0 με ξ 5 (δ, β) Επομϋνωσ ξ 3 ξ 4 ξ 5 Εφαρμόζω θεώρημα μϋςησ τιμόσ για την f ςτο,ξ 3, ξ 4 - και ϋχω η f εύναι ςυνεχόσ από δεδομϋνα ςτο,ξ 3, ξ 4 - (α, β) η f εύναι παραγωγύςιμη αφού υπϊρχει από δεδομϋνα η δεύτερη παρϊγωγοσ f (ξ ) = f (ξ 4) f (ξ 3 ) 0 με ξ (ξ 3, ξ 4 ) (α, β) ξ 4 ξ 3 Παρόμοια εφαρμόζω θεώρημα μϋςησ τιμόσ ςτο,ξ 4, ξ 5 - και ϋχω: f (ξ 1 ) = f (ξ 5) f (ξ 4 ) 0 με ξ 1 (ξ 4, ξ 5 ) (α, β) ξ 5 ξ 4 γ. Εφαρμόζοντασ Θ.Βolzano για την f ςτο,ξ, ξ 1 ] ϋχω ότι: Τπϊρχει ϋνα τουλϊχιςτον ξ (ξ, ξ 1 ) τϋτοιο, ώςτε f (ξ) = 0. Άρα ϋχουμε τουλϊχιςτον ϋνα πιθανό ςημεύο καμπόσ ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνϊρτηςη f τρεύσ φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R με f (χ) 0 για κϊθε χ R και η f εύναι ςυνεχόσ ςτο R. Αν f () 0, f () 0 και για κϊθε χ R ισχύει f(χ) f(4 χ) = 3, τότε: α) Να αποδεύξετε ότι η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα β) Να μελετόςετε την f ωσ προσ τα κούλα και τα ςημεύα καμπόσ γ) Να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(χ)=3 ϋχει ακριβώσ μύα ρύζα ςτο R 16

17 δ) Αν η γραφικό παρϊσταση g της συνϊρτησης g(χ) = f(χ) τϋμνει τον f (χ) ϊξονα χ χ ςτο ςημεύο Μ, να αποδεύξετε ότι η εφαπτομϋνη τησ g ςτο ςημεύο Μ ςχηματύζει με τον ϊξονα χ χ γωνύα 45 ο μοιρών. ε) Για χ να αποδεύξετε ότι η εξύσωση f(χ 1) = f(χ) f(χ ) εύναι αδύνατη. α. Αφού η f (χ) 0 και εύναι ςυνεχόσ τότε διατηρεύ ςταθερό πρόςημο και επειδό f () 0 τότε f (χ)>0 και επομϋνωσ η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα. β. Από τη δοθεύςα ςχϋςη f(χ) f(χ 4) = 3 ϋχω: f (χ) f (4 χ) = 0 f (χ) f (4 χ) = 0 που ιςχύει για κϊθε χ R. Αρα θα ιςχύει και για χ=, οπότε f ()f ()=0 f ()=0. Άρα μύα ρύζα τησ f (χ)=0 εύναι η χ= που εύναι και μοναδικό αφού η f εύναι και γν. αύξουςα. Αν χ> και f (χ)>f ()=0. Άρα η f εύναι κυρτό ςτο,, ) αφού εύναι και ςυνεχόσ ςτο,, ) Αν χ< και f (χ)<f ()=0. Άρα η f εύναι κούλη ςτο (-,- αφού εύναι και ςυνεχόσ ςτο διϊςτημα (-,- Και η f ϋχει ςημεύο καμπόσ ςτη θϋςη χ = και εύναι το ςημεύο (, f()) =, 3 γ. Από τη δοθεύςα f(χ) f(χ 4) = 3 για χ = ϋχω: f() f() = 3 f() = 3. Επομϋνωσ η χ= εύναι μύα ρύζα τησ εξύςωςησ f(χ)=3 Όμωσ η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ αφού υπϊρχει η f. Επομϋνωσ η f διατηρεύ ςταθερό το πρόςημο και επειδό f ()>0 και η f (χ)>0 για κϊθε χ R. Άρα η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα και επομϋνωσ η ρύζα εύναι μοναδικό. δ. Έςτω Μ(α,0) το ςημεύο ςτο οπούο η γραφικό παρϊςταςη τησ g τϋμνει τον ϊξονα χ χ. f (χ)f (χ) f (χ)f(χ) f (α)f (α) f (α)f(α) (f (α)) g (χ) = (f (χ)) καιg (α) = (f (α)) = (f (α)) = 1 Επομϋνωσ ο ςυντελεςτόσ διεύθυνςησ τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο Μ(α,0) εύναι: f (α) = εφω = 1 ω = 45 0 ε. Για χ να αποδεύξετε ότι η εξύςωςη f(χ 1) = f(χ) f(χ ) f(χ 1) f(χ) f(χ ) f(χ 1) f(χ 1) f(χ) = f(χ ) f(χ 1) = χ 1 χ χ (χ 1) f (χ 1 ) = f (χ ), με χ 1 (χ, χ 1) και χ (χ 1, χ ). Επειδό η f εύναι γν. αύξουςα εύναι και «1-1» και επομϋνωσ από την f (χ 1 ) = f (χ ) χ 1 = χ που εύναι ϊτοπο αφού τα χ 1, χ ανόκουν ςε διαφορετικϊ διαςτόματα 17

18 ΑΚΗΕΙ ΑΚΗΗ 1 Θεωρούμε τη ςυνϊρτηςη f με πεδύο οριςμού το ανοιχτό διϊςτημα Δ, και δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο Δ, τϋτοια ώςτε να ιςχύει χ f (χ) 4χ = 0 για κϊθε χϵδ Να αποδεύξετε ότι η f δεν ϋχει ςημεύο καμπόσ ΑΚΗΗ Εςτω ότι f (χ) > 0 για κϊθε χϵ,0,α- και f(α)>0 και f(0)=0. Να δεύξετε ότι για κϊθε χϵ(ο,α) ιςχύει f(χ) χ < f(α) α ΑΚΗΗ 3 Έςτω f ςυνϊρτηςη δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο διϊςτημα R με :f(χ)>0 και f(χ)f (χ) >,f (χ)- για κϊθε χϵr.να δεύξετε ότι: α) η ςυνϊρτηςη g με τύπο g(χ)=lnf(x) εύναι κυρτό ςτο R β) για κϊθε χ 1, χ ϵr ιςχύει f. χ 1 χ / f(χ 1)f(χ ) ΑΚΗΗ 4 Έςτω ότι η ςυνϊρτηςη f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο ανοικτό διϊςτημα Δ =(α,β) και ςτο ςημεύο χ 0 ϵ(α, β) υπϊρχει η τρύτη παρϊγωγοσ και ιςχύουν f (χ 0 ) = 0 και f (χ 0 ) 0. Να δεύξετε ότι η f παρουςιϊζει καμπό για χ=χ 0. ΑΚΗΗ 5 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεχόσ ςτο,0, ) και κυρτό, εύναι δε f(0)=0 να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g(χ)= f(χ) χ εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο(0, ) ΑΚΗΗ 6 Έςτω μύα ςυνϊρτηςη δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R για την οπούα ιςχύουν 1. f (χ) 0 για κϊθε χϵr. f (χ) 0 για κϊθε χϵr 3. f( R )=R Να αποδεύξετε ότι 1. Τπϊρχει η f 1 και διατηρεύ το ύδιο εύδοσ μονοτονύασ. Τπϊρχει η (f 1 ) και να βρεθεύ 3. Η f 1 ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο R ΗΜΕΙΩΗ. Απαραύτητη προώπόθεςη για να υπϊρχει η παρϊγωγοσ τησ αντύςτροφησ εύναι ϋνα από τα παρακϊτω 18

19 1. Η f παραγωγύςιμη και γνηςύωσ μονότονη. Η f παραγωγύςιμη και f (χ 0 ) 0 με χ 0 εςωτερικό του Δ ΑΚΗΗ 7 Να δειχθεύ ότι η ςυνϊρτηςη f με τύπο f(χ)=3χ lnχ χ 3 χ ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο (0, ) ΑΚΗΗ 8 Έςτω μύα ςυνϊρτηςη f δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R και ιςχύει f(χ)=e χ f (χ) χ e χ με το χϵr 1. Αν χ 0 εύναι θϋςη του ςημεύου καμπόσ τότε υπϊρχει περιοχό κοντϊ ςτο χ 0 ςτην οπούα η f εύναι γνηςύωσ αύξουςα. Αν το ςημεύο χ 0 εύναι κρύςιμο ςημεύο τησ f τότε εύναι τοπικό μϋγιςτο ΑΚΗΗ 9 Έςτω ςυνϊρτηςη f παραγωγύςιμη ςτο Δ και κυρτό ςτο Δ 1. Αν α,βϵδ με α<β να δειχθεύ ότι f(α) f(β) > f( αβ ) (ανύσωση Jensen). Να δειχθεύ ότι 1. Η g(χ)=χlnx εύναι κυρτό ςτο (0, ). α α β β >. αβ /αβ ΑΚΗΗ 10 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(χ)=(χ κ) 3 (χ λ) 5, κ,λϵr με κ<λ. Να αποδεύξετε ότι f (χ) 1. f(χ) = 3 χ κ 5 χ λ. Η ςυνϊρτηςη g(χ) = ln f(x) ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο διϊςτημα (κ, λ) ΑΚΗΗ 11 Έςτω f μύα ςυνϊρτηςη η οπούα εύναι τρεύσ φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R. Αν για κϊθε χϵr ιςχύει f (χ),f (χ)- 009 = ημ χ 3χ e χ να δειχθεύ ότι η f δεν ϋχει ςημεύο καμπόσ. ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f με τύπο f(χ)=χ lnχ αχ, όπου αϵr 1. Να βρεθούν τα τοπικϊ ακρότατα και τα ςημεύα καμπόσ 19

20 . Αν χ 0 εύναι θϋςη του ςημεύου καμπόσ να βρεύτε το γεωμετρικό τόπο του Μ(χ 0, f(χ 0 )) όταν το α διατρϋχει το R ΑΚΗΗ 13 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο διϊςτημα Δ και ςτο χ 0 εςωτερικό του Δ ϋχει τοπικό μϋγιςτο να αποδειχθεύ ότι το χ 0 δεν εύναι θϋςη ςημεύου καμπόσ ΑΚΗΗ 14 Έςτω μύα ςυνϊρτηςη με την δεύτερη παρϊγωγο γνηςύωσ αύξουςα ςτο R. Αν α εύναι θϋςη τοπικού ελαχύςτου τησ f και β θϋςη τοπικού μεγύςτου τησ f με α<β και ςτο διϊςτημα (α,β) εύναι f (χ) 0 να δειχθεύ ότι υπϊρχει χ 0 ϵ(α, β) τϋτοιο ώςτε το ςημεύο Μ(χ 0, f(χ 0 )) να εύναι ςημεύο καμπόσ τησ f και μϊλιςτα μοναδικό ΑΚΗΗ 15 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςτο R με f()=0 και ςτρϋφει τα κούλα κϊτω ςτο,-,5- να δειχθεύ ότι 4f(5)3f(-)<0 ΑΚΗΗ 16 Δύνεται η παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f για την οπούα ιςχύουν Ι. f (1) = και ΙΙ. f(χψ) = f(χ) f(ψ) για κϊθε χ, ψ > 0 Να αποδεύξετε ότι η f εύναι κούλη ςτο (0, ) ΑΚΗΗ 17 Έςτω οι δύο φορϋσ παραγωγύςιμη ςυνϊρτηςη f:r R για την οπούα ιςχύει f (χ) f (ψ) χ ψ για κϊθε χ, ψ R Να αποδεύξετε ότι : α) f (χ) 1, για κϊθε χ R β) Η ςυνϊρτηςη g(χ) = f(χ) αχ, με α 1 εύναι κούλη γ) Με α 1 ιςχύει: f() f(1) f(0) 0

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΘΕΩΡΙΑ Έζηω ζσλάρηεζε θαη ποσ αλήθεη ζηο πεδίο ορηζκού ηες. Θα ιέκε όηη ε είλαη ζσλετής ζηο αλ θαη κόλο αλ Αςυνεόσ θα εύναι μύα ςυνϊρτηςη αν δεν υπϊρει το Αν υπϊρει το όριο αλλϊ δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ)

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) : 1. ΤΝΑΡΣΗΕΙ Ορύζουν και να αναγνωρύζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη 2 1.1 Επανϊληψη Εκφρϊζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη ωσ ςύνθεςη ϊλλων ςυναρτόςεων Ορύζουν και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Έζηω Έζηω ζπλάξηεζε ζπλάξηεζε f ζπλερήο f γηα γηα ηελ ηελ νπνία νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: ςυνεόσ είλαη ζπλερήο ςτο [α,β] ζην [α,β] f(α)=f(β) παξαγωγίζηκε ζην (α,β) f(α)=f(β) Σόηε ππάξρεη έλα

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 1 Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 03/07/2013 ΘΕΜΑ Η δοκόσ του ςχόματοσ α ϋχει τη διατομό του ςχόματοσ β. Ζητούνται: a) Σα διαγρϊμματα Q και M. b) Σο απαιτούμενο πϊχοσ t του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Μαθηματικϊ Β' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών Κοινού Κορμού επιδιώκει να δώςει ςτο μαθητό τα εφόδια για την αντιμετώπιςη καθημερινών αναγκών ςε αριθμητικϋσ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΘΕΜΑ 1 0 : (25μονάδεσ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ τισ ερωτόςεισ 1-4, να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη:

Διαβάστε περισσότερα

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Ποιοσ εύναι ο οριςμόσ του ςυνόλου; Γιατύ μαθαύνουμε οριςμούσ; Αν ςκεφτεύ κανεύσ ότι τα μαθηματικϊ εύναι μια γλώςςα, όπωσ τα ελληνικϊ ό τα αγγλικϊ, και ο ςκοπόσ τησ εύναι να διευκολύνει

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ. Παρϊδειγμα 1. Το κόςτοσ παραγωγόσ Κ(χ) και η τιμό πώληςησ Π(χ), χ μονϊδων ενόσ προώόντοσ δύνεται από τη ςυνϊρτηςη:

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ. Παρϊδειγμα 1. Το κόςτοσ παραγωγόσ Κ(χ) και η τιμό πώληςησ Π(χ), χ μονϊδων ενόσ προώόντοσ δύνεται από τη ςυνϊρτηςη: ΟΡΙΜΟ Έςτω ότι ϋχουμε δύο μεγϋθη χ,ψ τα οπούα ςυνδϋονται με τη ςχϋςη ψ=f(χ) και η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο χ 0. Ονομϊζουμε ρυθμό μεταβολόσ του ψ ωσ προσ χ ςτο ςημεύο χ 0 την παρϊγωγο f (χ 0 )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΟ ΔΗΜΟΣΙΚΟ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών που ϋρχονται από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει..

Υπάρχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει.. Υπάχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει.. ( ή διαφοετικά πεί ιζών εξίσωσης ) I. Για να δείξουµε ότι µια εξίσωση f(χ)=0 έχει µία τουλάχιστον ίζα στο διάστηµα (α, β) µποούµε να εγασθούµε ως εξής: 1 0ς τόπος:

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι.

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. 1 Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ - ΣΑΣΙΚΗ Ι - ΠΡΟΟΔΟ 06/05/2011 ΘΕΜΑ 1 ο τον παρακϊτω φορϋα ζητούνται να ςχεδιαςτούν τα διαγρϊμματα M,Q,N. Λύςη: Ο φορϋασ αποτελεύται από ϋνα δευτερεύων τριαρθρωτό τόξο που

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ

ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ 1 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ -04-03-2009 Θϋμα 1 ο Να γύνει πλόρησ επύλυςη του μικτού φορϋα του ςχόματοσ και ακολούθωσ να καταςκευαςτούν

Διαβάστε περισσότερα

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2 Θεωρία Γράφων 1 Οριςμόσ προβλήματοσ Οποιοδόποτε επιφϊνεια που χωρύζεται ςε περιοχϋσ, όπωσ ϋνασ πολιτικόσ χϊρτησ των νομών ενόσ κρϊτουσ, μπορούν να χρωματιςτούν χρηςιμοποιώντασ λιγότερα από τϋςςερα χρώματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Στισ παρακϊτω ερωτήςεισ -4 να γρϊψετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δίπλα το γρϊμμα που αντιςτοιχεί ςτην ςωςτή απϊντηςη..

Διαβάστε περισσότερα

Θϋμα: Άνιςη μεταχεύριςη των ανθρώπων με τετραπληγύα, απώλεια ακοόσ ό ϐραςησ ςτο νϋο νομοςχϋδιο ΕΑΕ.

Θϋμα: Άνιςη μεταχεύριςη των ανθρώπων με τετραπληγύα, απώλεια ακοόσ ό ϐραςησ ςτο νϋο νομοςχϋδιο ΕΑΕ. Αθόνα, 15 Μαύου 2014 Η παρακάτω επιςτολή, εςτάλη μέςω φαξ και μέςω email ςτον Προΰςτάμενο τησ Διεύθυνςησ Ειδικήσ Αγωγήσ κο Λολίτςα, την Τρίτη 14 Μααου 2014. Παρακαλούμε να ςτηρίξετε με την υπογραφή ςασ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο 1 Οριςμοί Ζννοια τησ Λογιςτικήσ Εύναι μϋςο παροχόσ οικονομικών πληροφοριών προσ διϊφορεσ ομϊδεσ ενδιαφερομϋνων για την πορεύα μιασ επιχεύρηςησ που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση ƒ(χ)=χ-ημχ είναι γνησίως αύξουσα στο R 2. Εστω η συνάρτηση ƒ με ƒ 0 0,11,2 και ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [0,2]. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη.

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 0 : (25 μονϊδεσ) ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΗΝ ΤΛΗ ΣΗ Α' ΣΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών με ςκοπό τη ςυμπλόρωςη κενών. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

Σα Επτϊνηςα! Κϋρκυρα Έχει ςχόμα μακρόςτενο, πλατύτερο ςτο βόρειο τμόμα τησ, ενώ ςτενεύει προσ το νότο. Σα παρϊλιϊ τησ ϋχουν ςυνολικό μόκοσ 217 χιλιόμετρα και ςχηματύζουν αρκετούσ όρμουσ και ακρωτόρια.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου

Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου ΑΝΑΛΤΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΑΡΙΜΑΣΙΚΩΝ ΜΑΘΗΣΩΝ ΕΙΑΓΩΓΗ το πλαύςιο του ερευνητικού προγρϊμματοσ, ϋγινε ςυγγραφό αναλυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΤΗΜΑ ο Α. α Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι, αν > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6-6

Διαβάστε περισσότερα

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ;

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Dr. jennifer Dennis, Ιατρική Σύμβουλοσ του Συλλόγου για το Σύνδρομο Down (1993) Ο αδϋνασ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Άνοιξε το λογιςμικό «Βιολογία Α & Γ Γυμναςίου» ςτην αρχική οθόνη επέλεξε για να εμφανιςτούν τα περιεχόμενα, και ςτη ςυνέχεια επέλεξε «ΚΤΣΣΑΡΟ».

Άνοιξε το λογιςμικό «Βιολογία Α & Γ Γυμναςίου» ςτην αρχική οθόνη επέλεξε για να εμφανιςτούν τα περιεχόμενα, και ςτη ςυνέχεια επέλεξε «ΚΤΣΣΑΡΟ». 1Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΤΟ ΚΥΤΤΑΡΟ Από τι είναι φτιαγμένο το ςώμα των μικροοργανιςμών, των φυτών, των ζώων και του ανθρώπου; υζήτηςε με τουσ ςυμμαθητέσ ςου και ςημείωςε την απάντηςή ςου. 21. ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ 1η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων

Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων υςτόματα Αρύθμηςησ Γκϊμασ Βαςύλειοσ, Οικονομϊκοσ Μιχϊλησ Συςτήματα Αρίθμηςησ (I) Δεκαδικό ςύςτημα: Έχει βϊςη το 10 και χρηςιμοποιεύ 10 ψηφύα (0-9) για την αναπαρϊςταςη

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ

Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ Τουσ τελευταύουσ μόνεσ κυοφορούνται εξελύξεισ προσ την κατεύθυνςη επύλυςησ διαφόρων ζητημϊτων που ταλανύζουν την ανατολικό Μεςόγειο και τη Μϋςη Ανατολό. Η παρατεταμϋνη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων Ενημερωτικό ημείωμα Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων -Σι προβλέπει η νομοθετική ρύθμιςη για την προ-πτωχευτική διαδικαςία εξυγίανςησ επιχειρήςεων; Με την προτεινόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Φ Ρ Ο Ν Σ Ι Σ Η Ρ Ι Α Π Ρ Ο Ο Π Σ Ι Κ Η - Κ. Μ Π Α Κ Α Λ Α Κ Ο - Κ. Φ Ι Ρ Φ Ι Ρ Η ελίδα 80

Φ Ρ Ο Ν Σ Ι Σ Η Ρ Ι Α Π Ρ Ο Ο Π Σ Ι Κ Η - Κ. Μ Π Α Κ Α Λ Α Κ Ο - Κ. Φ Ι Ρ Φ Ι Ρ Η ελίδα 80 80 ΥΤΙΚΗ-ΦΗΜΕΙΑ Γ Γυμναςύου-Φ.Κ.Υιρφιρόσ εςτύασ τοποθετοϑμε ϋνα φωτεινϐ αντικεύμενο, τοποθετώντασ μπροςτϊ απϐ τον καθρϋπτη ςε κατϊλληλη απϐςταςη μύα οθϐνη. προςδιοριςμοϑ ενϐσ ειδώλου ςε ςφαιρικϐ καθρϋπτη.

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτικές μεταβλητές με δύο κατηγορίες- Διχοτομικές (dichotomies): Ποιοτικϋσ μεταβλητϋσ με δύο κατηγορύεσ-διχοτομικϋσ (dichotomies):

Ποιοτικές μεταβλητές με δύο κατηγορίες- Διχοτομικές (dichotomies): Ποιοτικϋσ μεταβλητϋσ με δύο κατηγορύεσ-διχοτομικϋσ (dichotomies): ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Κατηγορικϋσ Κατηγορικές ό ή ποιοτικϋσ ποιοτικές μεταβλητές μεταβλητϋσ (nominal): Η απλούςτερη απλούστερη μορφή μορφό κωδικοποίησης κωδικοπούηςησ τιμών τιμών χωρίς χωρύσ τις τισ έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου

Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου Σχολή Εφαρμοςμζνων Μαθηματικών και Φυςικών Επιςτημών Εθνικό Μετςόβιο Πολυτεχνείο Τμήμα Μαθηματικών Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου Εκπόνηςη πτυχιακήσ εργαςίασ Κάρδαρησ Δημήτρησ Α.Μ 09104188

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού f() f ( ) της, αν υπάρχει το lim και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Α Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b. (a ± b ) = a ± a b + ab ± b 4. (a+β+γ)

Διαβάστε περισσότερα

Το παζάρι των λοιμώξεων ςτον 'κατεχόμενο' κόςμο των χρηςτών

Το παζάρι των λοιμώξεων ςτον 'κατεχόμενο' κόςμο των χρηςτών Το παζάρι των λοιμώξεων ςτον 'κατεχόμενο' κόςμο των χρηςτών "Η κρυμϋνη και ξεχαςμϋνη μϊςτιγα". Αυτόσ όταν ο τύτλοσ του εξαιρετικού ντοκυμαντϋρ που φτιϊχτηκε από το ουηδικό ωματεύο χρηςτών για να φϋρει

Διαβάστε περισσότερα

Επιςκόπηςη Τεχνολογιών Διαδικτύου

Επιςκόπηςη Τεχνολογιών Διαδικτύου Πανεπιςτήμιο Πελοποννήςου Τμήμα Επιςτήμησ και Τεχνολογίασ Τηλεπικοινωνιών Διαχείριςη και Αςφάλεια Δικτύων Επιςκόπηςη Τεχνολογιών Διαδικτύου Αρχιτεκτονικέσ δικτύωςησ: OSI & TCP/IP Επύπεδο Εφαρμόγόσ Επύπεδο

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά ΕΓΦΕΙΡΙΔΙΟ ΦΡΗΗ ΕΡΓΑΛΕΙΨΝ ΑΝΑΓΝΨΡΙΗ ΕΙΑΓΨΓΗ Η ύπαρξη ϋγκυρων και αξιόπιςτων εργαλεύων αναγνώριςησ χαριςματικών μαθητών κρύνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑo ΑAν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση Μία διδακτική προσέγγιση ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (4-2ωρα) Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1 ο 2ωρο Μπέρναρντ Μπολζάνο (1781-1848) (Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/bernard_bolzano ) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

EETT Δημόςια Διαβούλευςη ςχετικά με την εκχώρηςη δικαιώματων χρήςησ ραδιοςυχνοτήτων ςτη Ζώνη 27,5 29,5 GHz

EETT Δημόςια Διαβούλευςη ςχετικά με την εκχώρηςη δικαιώματων χρήςησ ραδιοςυχνοτήτων ςτη Ζώνη 27,5 29,5 GHz EETT Δημόςια Διαβούλευςη ςχετικά με την εκχώρηςη δικαιώματων χρήςησ ραδιοςυχνοτήτων ςτη Ζώνη 27,5 29,5 GHz 1. Περί των Τύπων των Υπηρεςιών και των Δικτύων Η οικονομικώσ αποτελεςματικό χρόςη του φϊςματοσ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

τηλεπικοινωνύεσ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ www.texnologia.org Αντρϋασ Ζαντόσ Τειεπνηθνηλσλίεο Β Λπθείνπ, Αληξεαο Ζαληεο 1 www.texnologia.

τηλεπικοινωνύεσ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ www.texnologia.org Αντρϋασ Ζαντόσ Τειεπνηθνηλσλίεο Β Λπθείνπ, Αληξεαο Ζαληεο 1 www.texnologia. τηλεπικοινωνύεσ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Αντρϋασ Ζαντόσ Ζαληεο 1 τηλεπικοινωνύεσ O όροσ τηλεπικοινωνύεσ αναφϋρεται ςτην ανταλλαγό πληροφοριών και μηνυμϊτων μεταξύ δύο τόπων που βρύςκονται ςε απόςταςη, με τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2) - 4 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ () ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας ενός σώµατος που κινείται πάνω σε άξονα είναι η επιτάχυνσή του.. Η συνάρτηση f()= 006 έχει διαφορετική

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα