DODIR ZEMALJSKIH GEOSFERA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DODIR ZEMALJSKIH GEOSFERA"

Transcript

1 8 DODIR ZEMALJSKIH GEOSFERA

2 Uvod Ud benik Fizi ka geografija prva je knjiga serije koja se sastoji od etiri sveska. Ostali dijelovi serije: Zemljopis Maœarske, Drußtvena geografija i Regionalna geografija. Tko je u osnovnoj ßkoli veù viße godina u io zemljopis, sigurno bi i sam znao odgovoriti na pitanje: ime se bavi zemljopis ili geografija? Ako ka emo da je tema povijesti vrijeme, onda zemljopis ispituje tajne prostora. Zanima se svim pojavama koje imaju prostornu rasprostranjenost na Zemlji. A to ini tako da zemljovid ne opisuje samo rije ima, tj. ne ka e samo gdje se ßto nalazi na Zemlji, veù otkriva i to zaßto je neßto baß na danome mjestu, te kakve utjecaje i posljedice nosi sa sobom. Ovaj se svezak bavi pitanjima i problemima iji je cilj utemeljenje zemljopisne spoznaje o naßoj Zemlji i okolißu. Pri tome se koristi znanjem mnogih samostalnih znanosti koje su se odvojile od geografije. Tako veùa poglavlja ud benika prenose znanja iz astronomije, geologije, klimatologije itd. U poglavlju Naße mjesto u svemiru priopùeno je znanje iz astronomske geografije koje se odnosi na naßu Zemlju. U geomorfoloßkom poglavlju prikazano je nastajanje reljefnih oblika koji nas okru uju. U poglavlju Utjecaj fizi kogeografske zonalnosti na ivot drußtva mo emo se upoznati s povijesnim razvojem te povezanosti, s porastom svjetskoga stanovnißtva i njegovom rasprostranjenoßùu na Zemlji. U nekim se poglavljima nalaze i uokvireni dijelovi teksta. Ti tekstovi tuma e pojmove i tijekove (procese) ije je znanje bezuvjetno potrebno da bismo razumjeli itavo gradivo poglavlja. Opseg nekih poglavlja koli inski je veùi nego ßto se na jednom satu mo e svladati. Razgraœivanje tih poglavlja prepußtamo nastavnicima koji upotrebljavaju ovaj ud benik, buduùi da smo nastojali sa uvati logi ko jedinstvo gradiva. Na osnovi naslova ud benik se bavi fizi kom geografijom, ali se viße puta osvrùe na iskorißtavanje prirodnih okolnosti i prirodne sredine, te njihovim utjecajem na ivot drußtva. U prvom desetljeùu XXI. stoljeùa jedna od najva nijih tema zemljopisa upravo je vezana uz tzv. ekologiju. Veùina ekoloßkih problema, naime, mo e se svesti na narußavanje ravnote e prirodne sredine putem gospodarske djelatnosti. To su takvi tijekovi koji su vrsto povezani s fizi kom, odnosno drußtvenom geografijom. Tim ekoloßkim pitanjima bave se uglavnom ßtiva koja se nalaze iza pojedinih poglavlja. Meœu ßtivima, meœutim, nalazimo i druk ije tekstove. U njima mo ete itati imena maœarskih znanstvenika i istra iva a. Ulomci iz njihovih djela odaju po ast istra iva ima koji su radili na raznim poljima geoznanosti. Neki navodi (citati) govore o istra iva kim putovanjima, ekspedicijama u daleke krajeve. Mnoge znanstvene uspjehe opisane u ud beniku mo emo zahvaliti upravo takvim ekspedicijama. Ako je ud benik uspio u nekima pobuditi zanimanje za geoznanosti, mo ebitno elju da, onaj tko danas prelistava ovaj ud benik, u buduùnosti bude sljedbenik tih istra iva a, onda autorov, urednikov i izdava ev rad nije bio uzaludan. 9

3 NAfiE MJESTO U SVEMIRU Zemlja u svemiru Zvjezdoznance i obi ne ljude, filozofe i pisce fantasti nih romana veù tisuùljeùima zanima pitanje gdje se naßa Zemlja nalazi u beskrajnome svemiru, u univerzumu. Od geocentri ne slike svijeta do otkriùa zvjezdanih sustava Zemlju su u starom vijeku, meœu ostalim na temelju Ptolemejeve ( nakon Krista) djelatnosti, zamißljali kao sredißte svemira (geocentri na slika svijeta). Ta je teorija bila na snazi sve do XVI. stoljeùa. Kopernik ( ) prvi je spoznao da Zemlja s ostalim planetima zajedno kru i oko Sunca (heliocentri na slika svijeta). Kopernikovu je zamisao dalje unaprijedio Galilei ( ), a Kepler ( ) izradio je zakone o kretanju planeta koji su na snazi sve do danas. Astronomska istra ivanja u proßlom stoljeùu dokazala su da je Sunce sredißte samo Sun eva sustava, a ne cijeloga svemira. Sun ev je sustav dio Mlije ne staze (Galaksije) koja se sastoji od stotinjak milijardi zvijezda. Osim Galaksije viße od milijardu sli nih zvjezdanih sustava (ekstragalaksija) ini metagalaksiju ßto je joß uvijek samo djeliù itavog univerzuma. Mlije na staza Mlije na staza (Kumovska slama, Galaksija) sastoji se od viße milijardi zvijezda. Gledana odozgo, Mlije na staza sli i spirali. Ako je pak gledamo sa strane, podsjeùa nas na dva duboka tanjura okrenuta jedan prema drugomu (1. slika). Moramo zamisliti zamaßne tanjure, jer promjer Mlije ne staze iznosi svjetlosnih godina (svjetlosna godina = udaljenost koju svjetlo u zrakopraznome prostoru prevali za godinu dana kreùuùi se brzinom od km/s, tj. oko deset bilijuna [10 13 ] km). U sredißtu prostora, koji obuhvaùaju tanjuri, nalazi se jezgra Mlije ne staze, ija je masa jednaka otprilike s masom 100 milijuna Sunaca. Mlije na se staza sastoji od stotinjak milijardi (10 11 ) zvijezda. Zvijezde su plinske kugle koje imaju vlastito svjetlo. Jedna od tih zvijezda je i Sunce, sredißte naßeg Sun eva sustava. Sunce se od sredißta Mlije ne staze nalazi na udaljenosti od svjetlosnih godina. 11

4 svjetlosnih godina svjetlosnih godina Sunce Ravnina simetrije Mlije ne staze 1. MLIJE<NA STAZA IZ PROFILA Sun ev sustav Sun ev sustav je ona zona Mlije ne staze unutar koje dolazi do izra aja gravitacijski utjecaj Sunca. Radijus toga kuglastog prostora iznosi oko dvije svjetlosne godine. Sunce je zvijezda plinovitog agregatnog stanja, a nalazi se u sredißtu Sun eva sustava. Sun ev je promjer 110 puta veùi od Zemljina promjera (1,4 milijuna km), a prema kemijskom sastavu sastoji se od 80% vodika i 20% helija. atomski reaktor za cijepanje atomske jezgre radijsko infracrveno vidljivo svjetlo ultraljubi asto rentgensko zra enje estica neutronsko zra enje sun ane pjege 2. SUN<EVA SE RADIJACIJA SASTOJI OD ELEKTROMAGNETSKOGA ZRA<ENJA I ZRA<ENJA <ESTICA Sun evu proizvodnju energije osigurava pretvaranje vodika u helij, ßto se zbiva kao reakcija u atomskoj jezgri. Taj ùe tijek osigurati proizvodnju energije joß 10- ak milijardi godina. Na Sun evoj povrßini temperatura iznosi 6100 K. (Temperaturna skala u Kelvinovim stupnjevima [K] za ishodißte smatra dosada postignutu najni u temperaturu. To je apsolutna nula [ 273 C]. Dakle 0 C jednako je sa 273 K.) 12

5 PODACI O VELIKIM PLANETIMA SUN<EVA SUSTAVA Prosje na Srednja Vrijeme Promjer Broj Masa Obujam Gustoùa brzina kru enja ekvatora udaljenost mjeseci kru enja od Sunca Zemlja = 1 Zemlja = 1 g/cm 3 km/s Zemlja = 1 g km mill. km MERKUR 0,05 0,05 5,62 47,8 0, VENERA 0,81 0,83 5,09 35,0 0, ZEMLJA 1,00 1,00 5,51 29,8 1, MARS 0,10 0,15 3,97 24,1 1, JUPITER 317, ,0 1,30 13,0 11, SATURN 95,11 770,5 0,68 9,6 29, URAN 14,51 50,6 1,58 6,8 84, NEPTUN 17,21 42,8 2,22 5,4 164, PLUTON 0,18 0,01 1,10 4,7 248, Devet velikih planeta mo emo svrstati u dvije karakteristi ne skupine (1. tablica): Sun evom sustavu pripada devet velikih i oko malih planeta. Planeti su nebeska tijela koja kru e oko neke zvijezde (u naßem slu aju oko Sunca). Nemaju vlastito svjetlo, samo odbijaju svjetlo zvijezde matice. a)unutraßnjim planetima tipa Zemlje pripadaju Merkur, Venera, Zemlja i Mars koji se nalaze razmjerno blizu Sunca. Osim sli ne mase ti su planeti sli ni i po razmjerno velikoj gustoùi (viße od 3 g/cm 3 ), odnosno po tome ßto imaju vrstu litosferu. b) Vanjski planeti tipa Jupitera (Jupiter, Saturn, Uran, Neptun) znatno su veùi od planeta tipa Zemlje. Gustoùa planeta prete ito plinovitog agregatnog stanja veoma je mala (0,7 2,2 g/cm 3 ). Druga zna ajka vanjskih planeta jest bogatstvo u mjesecima (ukupno viße od 60 mjeseci). Mjesecom nazivamo pratioce planeta koji kru e oko planeta. U taj sustav od dvije skupine samo se Pluton ne mo e jednosmisleno uvrstiti. On je najudaljeniji planet Sun eva sustava. Na temelju dimenzija i svojstava sli i unutraßnjim, a na osnovi udaljenosti od Sunca vanjskim planetima. Pluton Neptun Uran Saturn Jupiter Mars Zemlja Venera Merkur 3. PLANETI SUN<EVA SUSTAVA Sunce 13

6 IMENIK VELIKIH PLANETA MERKUR Taj se veliki planet nalazi najbli e Suncu. Njegovu povrßinu pokrivaju prstenaste planine sli ne Mjese evim kraterima. Ti su krateri vjerojatno o iljci udara meteorita. Merkur prakti no nema atmosferu. VENERA Na nebeskome svodu mo emo je uo iti uglavnom u zoru, odnosno u sumrak. Zbog toga ju je narod nazvao Ve ernja om ili Zornja om. Dimenzije su joj veoma sli ne dimenzijama Zemlje. Atmosfera joj se sastoji od debeloga, neprobojnoga sloja oblaka. MARS Reljefni oblici sli ni su onima na Zemlji: reljef planeta ispresijecan je dolinama nekadaßnjih rijeka i ledenja kim dolinama, a mogu se prepoznati i golemi vulkani (meœu njima i najvißa planina cijelog Sun eva sustava, 27 km visok Mount Olympus). Na polovima se nalazi ledeni pokriva. JUPITER Masa mu je dva i pol puta veùa od ukupne mase svih ostalih planeta. U debeloj atmosferi prepoznajemo oblake rasporeœene u obliku pruga, odnosno goleme atmosferne vrtloge (npr. tzv. Velika crvena mrlja). SATURN Po dimenzijama nalazi se na drugome mjestu iza Jupitera. Poznat je prije svega po prstenastom sustavu koji je sastoji od siùußnih kamen iùa i komadiùa leda. URAN Isti e se prije svega veoma brzim okretanjem oko osi. Rotacijska os i ekliptika pribli no su iste. Glavni sastojci atmosfere jesu vodik i helij. NEPTUN Po sastavu atmosfere sli an je Uranu, a po veoma brzim vjetrovima i vrtlozima njegove atmosfere Saturnu. PLUTON Najudaljeniji planet Sun eva sustava ne pripada ni sustavu planeta tipa Zemlje ni sustavu planeta tipa Jupitera. Prosje na gustoùa mu je sli na vanjskim planetima, a dimenzije unutraßnjim planetima. Astronomi pri ispitivanju Sun eva sustava za jedinicu udaljenosti upotrebljavaju astronomsku jedinicu (AJ). Vrijednost 1 AJ iznosi 150 milijuna km, ßto je jednako sa srednjom udaljenoßùu Sunce Zemlja. Na temelju toga Pluton kru i oko Sunca na 40 AJ. (Te goleme dimenzije nemoguùe je zamisliti. Za predo avanje se koriste raznim usporedbama. Ako npr. Sunce zamißljamo tolikom kuglom kao nogometna lopta, onda oko te nogometne lopte-sunca Zemlja veli ine svega paprova zrna kru i na udaljenosti od 30 m, Jupiter veli ine teniske lopte na 150 m, a Pluton veli ine svega gorußi ina zrna na 1,5 km.) Daljnji sastavni dijelovi Sun eva sustava jesu kometi, meteori i meœuplanetarna tvar. Kometi su nebeska tijela koja se sastoje od stijena i leda. Karakteristi an rep kometa je oblak njihova ishlapljenog dijela koji se u blizini Sunca rastopi. Meteori su komadi stijena ili metala koji se za are kada stignu u Zemljinu atmosferu. Dio im u atmosferi izgori, a dijelove koji padnu na Zemlju nazivamo meteoritima. Meœuplanetarna tvar sastoji se od praha i plinova, a podrijetlom je djelomi no od otpadaka kometa i meteora, djelomi no pak potje e od Sunca (4. slika). 14

7 4. KOMET Kako je mogao nastati Sun ev sustav? Postanak Sun eva sustava veù stoljeùima pokußavaju pojasniti raznim teorijama. Danas se veùina znanstvenika zala e za sljedeùu teoriju koja joß nije kona no izraœena i dokazana: Sun ev je sustav postao od meœuplanetarnog oblaka plina i praha koji se vrtlo io kao dio Mlije ne staze. Taj se oblak br e vrtio zbog stezanja vlastitoga gravitacijskog prostora. Pri vrtnji je du sredine oblaka krenulo strujanje tvari prema vani. Izdvajanje tvari preina ilo je magnetsko polje oblaka i brzinu vrtnje. Od plinovitog oblaka koji se nalazio u sredißtu vrtnje, postao je predak Sunca, a od izdvojene tvari postali su planeti. Neprekinut sudar i slijepljenje zrnaca praßine koja su se nalazila u plinu ßto je strujio prema vani, po eli su se oblikovati u blizini Sunca planeti tipa Zemlje, a od lakßih elemenata koji su dospjeli dalje od Sunca postali su planeti tipa Jupitera. Kao dokaz zajedni kog podrijetla i udaljavanja pri vrtnji mo emo smatrati injenicu da svi veliki i mali planeti kru e oko Sunca u istome smjeru sa Sun evom vrtnjom, da osim nekih iznimaka i mjeseci u istome smjeru kru e oko planeta i da se osim Venere i Urana u tome smjeru vrte planeti oko svoje osi. Jedan od jedne milijarde zvjezdanih sustava u svemiru jest Mlije na staza (Galaksija). Jedna od prosje nih zvijezda Mlije ne staze jest Sunce iji je gravitacijski prostor Sun ev sustav. Dijelovi Sun eva sustava: Sunce, devet velikih planeta i njihovi mjeseci (viße od 60), oko malih planeta, kometi, meteori i meœuplanetarna tvar (plin i prah). Po etak astronomije Hod Sunca na nebu (danas veù znamo da je to prividno), smjenjivanje dana i noùi, slijed godißnjih doba, zvijezde koje se noùu pojavljuju na nebu, prizor ponekoga blistavog kometa rano su probudili ovjekovo zanimanje za tajne nebeskoga svoda. Znanja iz astronomije, meœutim, bila su potrebna i za orijentiranje na moru, i za poljoprivredne radove. Potrebe zemljoradnika zadovoljavale su i kamene graœevine na Britanskom otoku koje su dugo smatrali tajanstvenima. To je stonehenßki kameni krug (5. slika). Na ravnici bez drveùa podignuti kameni blokovi visoki su 6 8 m, a te ina im dosti e tona. U srednjem vijeku smatrali su ih graœevinama velikog arobnjaka Merlina, a u XX. stoljeùu velikom maßtom nadareni istra iva i na kamenju su mislili prepoznati figure u svemirskoj odjeùi. Kameni krug u Stonehengeu zapravo je kameni kalendar koji su 15

8 5. STONEHENGE podigli ljudi prije godina. Na osnovi rasporeœenosti kamenja mogli su se izmjeriti mnogi va ni astronomski smjerovi, npr. najdulji dan u godini, smjer izlazeùeg Sunca u zoru ljetne ravnodnevice. Kameni je krug zemljoradnicima slu io za utvrœivanje astronomskih podataka koji su za njih bili va ni, kao npr. podaci vezani za hod Sunca i Mjeseca. Danas, u vrijeme astronomskih godißnjaka punih brojeva i tablica, doista je udan kameni kalendar u Stonehengeu, ali je za ondaßnjeg ovjeka to moglo biti najprirodnije i ujedno trajno pohranjivanje podataka. * Zlatno doba astronomije staroga vijeka bilo je u Gr koj. Aristark (oko prije Krista) veù prije 1800 godina prije Kopernika na otoku Samosu pou avao je o heliocentri noj slici svijeta. Naime, na temelju njegovih ra unanja Sunce je mnogo veùe od Zemlje, zbog toga Zemlja mora kru iti oko Sunca. Aristarkovi rezultati trebaju imponirati i onda ako je poslije pobijedio ptolemejski nazor. Potkraj III. stoljeùa prije Krista ivio je Eratosten koji je obavljao mjerenja i ra unanja u svezi s odreœivanjem opsega i promjera Zemlje koju je smatrao okruglom. U poznavanju razli ite kulminacijske visine Sunca iznad dva egipatska grada i udaljenosti izmeœu ta dva grada izra unao je Zemljin opseg. Eratostenov rezultat, premda je prera unavanje ondaßnje jedinice mjere u kilometre donekle nesigurno, jedva odstupa od danaßnje prihvaùene vrijednosti od oko km. Zemlja kao nebesko tijelo Oblik Zemlje Zemlja je kuglastog oblika naglaßavali su veù i starovjekovni gr ki astronomi. Otkako su ameri ki astronauti potkraj 1960-ih godina na inili snimku o cijeloj Zemlji s prozora svemirskoga broda koji je letio prema Mjesecu, o tome viße ni za koga nema dvojbe. Meœutim, za to no odreœivanje Zemljinog oblika nije dosta kazati da je Zemlja okrugla. Zemlja kako je to veù poznato vrti se oko svoje osi. Pod utjecajem centrifugalne sile koja nastupa pri vrtnji, naß se planet du ekvatora izduljio, ispup io. Zbog toga je Zemljin ekvatorski radijus (6378 km) veùi od polarnog radijusa (6357 km). (Radijus kugle s istim oploßjem kao Zemlja bio bi 6371 km.) Taj neßto sploßteni oblik, dakle, meœu geometrijskim tijelima ne mo emo opisati kao kuglu, veù kao rotacijski elipsoid. 16

9 Na kraju krajeva to an oblik Zemlje odreœuje rasporeœenost mase u unutraßnjosti planeta. O tom ovisi, naime, to an smjer sile te e koji se mo e odrediti na pojedinim to kama oploßja, a taj je smjer upravo okomit na povrßinu Zemlje. Buduùi da je rasporeœenost mase naßega planeta neujedna ena, stvarni Zemljin oblik ocrtava ona nivelirana povrßina koja je u svakoj to ki okomita na smjer sile te e. Tu niveliranu povrßinu nazivamo geoidom (6. slika). elipsoid geoid povrßina zemlje okomiti smjer ravnina okomita na elipsoid 6. PRAVI ZEMLJIN OBLIK JE GEOID Zemljina kretanja Zemlja se vrti oko svoje osi i kru i oko Sunca. a) Vrtnja Zemlje oko osi (rotacija Zemlje) Povrßinska to ka uboda zamißljene Zemljine rotacijske osi jest Sjeverni i Ju ni pol. Oko te osi Zemlja za 24 sata prijeœe potpuni krug. Gledajuùi sa Sjevernog pola, Zemlja se vrti od zapada prema istoku, tj. u suprotnome smjeru nego kazaljke na satu. Brzinu Zemljine vrtnje oko osi mo emo karakterizirati vrijednostima kutne brzine, odnosno periferne brzine (7. slika). Pojedine to ke oploßja, gledajuùi iz smjera rotacijske osi, za jedini no se vrijeme okrenu za isti kut, dakle, kutna im je brzina ista. Periferna brzina, meœutim, ovisi o udaljenosti od rotacijske osi. <im se viße udaljavamo od rotacijske osi, tj. im se viße pribli avamo ekvatoru, periferna brzina pri istoj kutnoj brzini postaje sve veùa. Lako mo emo uvidjeti da je periferna brzina najveùa kod ekvatora. (Vrijednost periferne brzine kod ekvatora iznosi 461 m/s, ali npr. kod 50 ßirine veù samo 300 m/s.) α Posljedica Zemljine vrtnje je A A smjenjivanje dana i noùi. B B 7. TUMA<ENJE KUTNE I PERIFERNE BRZINE. DUŸ POJEDINIH USPOREDNICA POMAKU POD ISTIM KUTOM PRIPADAJU RAZLI<ITE UDALJENOSTI 17

10 Promjena kojeg elementa vremena ovisi o tom procesu? b) Kru enje Zemlje oko Sunca (Zemljina revolucija) Zemlja oko Sunca kru i po elipsastoj stazi u ijem se jednom arißtu nalazi Sunce prou ava Keplerov prvi zakon. Vrijeme kru enja zaokru eno traje 365 i 1/4 dana. Ekliptika kru enja se ne poklapa s ravninom Zemljina ekvatora (8. slika). Veli ina kuta koji zatvaraju dvije ravnine iznosi 23,5. To odstupanje ravnina ekliptika proljeùe 21. III. zima ekliptika nebeski ekvator 22. VI. nebeski ekvator S 22. XII. ljeto jesen ekliptika 23. IX. ekliptika 8. RAVNINA EKVATORA I EKLIPTIKE. NEBESKI JE EKVATOR EKVATORSKA RAVNINA PROJICIRANA NA NEBESKU KUGLU uzevßi za osnovu ekvator nazivamo nagibom ekliptike. Njegova je vrijednost jednaka s kutom koji zatvaraju na ekliptiku okomita ravnina i Zemljina rotacijska os, tj. s kutom nagiba rotacijske osi (9. slika). (Kut koji zatvaraju Zemljina rotacijska os i ekliptika jednak je s dopunskim kutom prijaßnjega kuta, tj. sa 66,5.) Zbog kru enja oko Sunca i nagiba rotacijske osi, du iste usporednice, tijekom jedne godine mijenja se upadni kut sun anih zraka. Posljedica toga je smjenjivanje godißnjih doba. 18

11 9. NAGIB EKLIPTIKE I ROTACIJSKE OSI 23,5 Sjeverni pol ekvator rotacijska os ekliptika Ju ni pol Zemlja je raß lanjena na geosfere Zbog vrtnje oko osi i kru enja oko Sunca, te pod utjecajem sile te e, na Zemlji su se tvari plinovitog, tekuùeg i krutog agregatnog stanja prema specifi noj te ini svrstale u geosfere. Te geosfere su atmosfera, hidrosfera i litosfera. Pojedine geosfere putem bezbroj tijekova stoje u slo enomu meœusobnom odnosu jedna s drugom. Zemljin Mjesec Mjesec s promjerom od 3476 km kru i oko Zemlje po elipsastoj stazi, to nije kru i oko zajedni koga sredißta mase Zemlje i Mjeseca. To sredißte mase nalazi se u unutraßnjosti Zemlje, jer je Zemljina masa oko 80 puta veùa od Mjese eve mase. Srednja udaljenost izmeœu Zemlje i Mjeseca iznosi km. Vrijeme Mjese eva kru enja jednako je s vremenom njegove vrtnje oko osi (27,3 dana). Zbog toga sa Zemlje vidimo uvijek istu stranu Mjeseca. Mjesec nema vlastito svjetlo, svijetli samo pomoùu odbijenoga svjetla sa Sunca. Njegov se sjaj mijenja prema Mjese evim mijenama. Mjese evim mijenama nazivamo svjetlosne promjene koje su vezane uz 10. MJESEC 19

12 kru enje oko Zemlje i koje traju 29 i 1/3 dana. Za vrijeme mladoga Mjeseca mo emo ra unati na tamnu noù, jer se tada Mjesec ne vidi. U prvoj etvrti vidljiv Mjese ev srp sve se viße poveùava, a za vrijeme punoga Mjeseca vidimo itav Mjese ev krug. Za vrijeme posljednje etvrti etvrta Mjese eva mijena Mjesec opet smrßavi u tanak srp. prijelazno vrijeme oko ßest minuta SUNCE Zemljina staza MJESEC sjena potpuna pomr ina Sunca ZEMLJA djelomi na pomr ina Sunca Mjese eva staza 11. POMR<INA SUNCA 11. A) POMR<INA SUNCA 12. A) POMR<INA MJESECA prijelazno vrijeme sto minuta Zemljina staza SUNCE ZEMLJA Mjesec Mjese eva staza 12. POMR<INA MJESECA 20

13 Pomr ina Sunca pomr ina Mjeseca Po emu je poznat 11. kolovoza 1999.? (Vidi 11. sliku!) Zemlju i Mjesec osvjetljuje Sunce. Ako tri nebeska tijela dospiju u istu crtu, i tako Zemlja ili Mjesec budu u sjeni jedno drugoga, dolazi do pomr ine. Vrijeme pomr ina, koje su nekada uzrokovale praznovjeran strah, to no mo emo izra unati. Pri mladomu Mjesecu mo e se dogoditi da Mjesec zakloni Sunce, a sjena mu se projicira na Zemlju. Tada dolazi do pomr ine Sunca. Na jednom dijelu Zemlje u potpunoj Mjese evoj sjeni pomr ina Sunca je potpuna, a oko tog podru ja u Mjese evoj polusjeni pomr ina Sunca je djelomi na (11. slika). Za vrijeme punoga Mjeseca Zemlja mo e projicirati sjenu na Mjesec. To je pomr ina Mjeseca koja takoœer mo e biti potpuna ili djelomi na (12. slika). Zemlju kao geometrijsko tijelo mo emo opisati kao rotacijski elipsoid, a stvarni oblik kao geoid. Geoid je nivelirana povrßina koja je u svakoj to ki okomita na silu te e. Najva nija kretanja Zemlje: vrtnja oko zamißljene osi, odnosno kru enje oko Sunca. Posljedica vrtnje oko osi je smjenjivanje dana i noùi, a posljedica kru enja je smjenjivanje godißnjih doba. Mjesec kru i oko zajedni koga sredißta mase sustava Zemlja Mjesec koje se nalazi u Zemljinoj unutraßnjosti. Mjese eve mijene uzrokuju promjene meœusobnog polo aja Sunca, Zemlje i Mjeseca. Meteorski krateri Zemljini o iljci Dan 30. lipnja godine svanuo je kao prosje an ljetni dan u srednjosibirskom podru ju rijeke Kamene Tunguske. Oko podneva, meœutim, na nebu je zablistala vatrena kugla, rasprsnula se uz golemu detonaciju, a nakon toga je uza zaglußni prasak udarila o zemlju. Nakon udara podigao se viße kilometara visok oblak praßine i dima, a u krugu od 40 km od mjesta udara opustoßene su sve ßume. Atmosferski impulsni val je joß i na 200 km udaljenosti porußio ljude na zemlju. Meteorit je eksplodirao joß u zraku, a njegovi dijelovi koji su udarili o zemlju udubili su na povrßini na tuce kratera. Promjer najveùega kratera bio je veùi od 50 m. Prema istra ivanjima koja su obavljena od toga vremena, u zraku se rasprsnuo meteor s promjerom od 100-ak m. Krateri Tunguskog meteora, meœutim, mali su u odnosu na dimenzije Barringerova meteoritnoga kratera koji se nalazi u Arizoni u SAD-u. U okolici okrugloga kratera s promjerom od 1200 m izbrojili su 30- ak tona meteoritske tvari. Masu meteorita koji je udario o zemlju procjenjuju na 10 milijuna tona, a vrijeme udara na godina. Najveùi meteoritski krater u Europi nalazi se u jugozapadnom dijelu Njema ke, u blizini gradiùa Nördlingena. Starost bazena Ries s promjerom od 20 km procjenjuju na 15 milijuna godina. U dubini bazena Ries skrivaju se nakon udara meteora opr ene, pregorjele stijene kao ßto je npr. coezit nastao preobrazbom bjelutka. Buduùi da te skrivene stijene umnogome sli e Mjese evim stijenama, potkraj 1960-ih godina u bazenu Ries organizirali su petroloßku pripremu ameri kih astronauta koji su se spremali na Mjesec. U ranom razdoblju Zemljina razvoja bile su etape kada su na naß planet padale prave meteoritske kiße. U naße vrijeme bilje i se 4-5 manjih udara meteorita godißnje. 21

14 Orijentacija u zemaljskome prostoru i u vremenu Za orijentaciju na Zemljinoj povrßini ljudi su se po evßi od starog vijeka koristili kretanjem zvijezda, prije svega (djelomi no prividnim) kretanjima Sunca i Mjeseca. Geografsko odreœivanje mjesta na obzoru Pogledamo li unaokolo na ravnome prostoru ili moru, vidimo kao da se nebeski svod i povrßina Zemlje dodiruju du kru ne crte. Ta je crta obzor (horizont). Polo imo li na tu crtu ravninu, sredißte te ravnine obzora jest naße stajalißte ili drugim rije ima mjesto promatranja (13. slika). Za orijentaciju na ravnini obzora dostatno je poznavanje pojedinih strana svijeta. S polovljenjem smjera etiriju glavnih strana svijeta (sjever [S], istok [I], jug [J] i zapad [Z]) dobijemo sporedne strane svijeta (SI, JI, SZ, JZ), daljnjim polovljenjem ovih pak drugorazredne sporedne strane svijeta (SSI, ISI itd.). Sjeverni se smjer danju mogao odrediti na osnovi sjene okomitoga ßtapa koja se ocrtava pri kulminaciji Sunca (najkraùa sjena toga dana), a noùu pomoùu Sjevernja e. Sjevernja a se na nebeskome svodu SZ S SI nalazi u sjevernome produ etku Zemljine rotacijske osi. Z I JZ J JI 13. NA RAVNINI OBZORA MOŸEMO SE ORI- JENTIRATI PREMA STRANAMA SVIJETA Geografsko odreœivanje mjesta na globusu Na Zemlji (pribli no) loptastog oblika, meœutim, veù nije dostatna orijentacija samo pomoùu strana svijeta. Na umanjenoj slici Zemlje, na globusu (i na zemljovidima) mo emo se orijentirati pomoùu zemljopisnoga koordinatnog sustava. Na oploßju kugle mre a se mo e konstruirati odreœivanjem najveùega kruga i dvije to ke koje su na istoj udaljenosti od bilo koje to ke danoga kruga. Na globusu najveùemu krugu odgovara ekvator, a dvjema to kama Sjeverni i Ju ni pol. Zemljopisni koordinatni sustav sastoji se od usporednica ili paralela i od meridijana ili podnevnika. Usporednice koordinatnog sustava su ekvator i s njim usporedni (paralelni) krugovi. Meridijani koordinatnog sustava su krugovi povu eni preko polova. Meridijane nazivaju i podnevnicima jer na svakome mjestu koje le i na danomu meridijanu Sunce kulminira u isto vrijeme. (Zbog veù upoznate sploßtenosti Zemlje ekvator je dulji [ km] od meridijana [ km]). Za osnovnu ravninu pri mjerenju zemljopisne ßirine, sam od sebe nudi se ekvator koji Zemlju dijeli na sjevernu i ju nu polutku. Vrijednost kuta usporednica daje onaj kut koji zatvara ekvatorska ravnina i radijus povu en od sredißta 22

15 Zemlje do danoga mjesta. Zbog toga vrijednosti zemljopisne ßirine i na sjevernoj i na ju noj polutki variraju od 0 do 90 (sjeverne i ju ne ßirine). fiirine bli e ekvatoru nazivamo niskim, a od njega postupno udaljenije visokim zemljopisnim ßirinama. Udaljenost izmeœu pojedinih usporednica iznosi 111 km. Meœu usporednicama na temelju nagiba ekliptike i nagiba Zemljine osi du 23,5 sjeverne i ju ne ßirine mo emo odrediti obratnice (Sjevernu [Rakovu] i Ju nu [Jar evu]), a du 66,5 sjeverne i ju ne ßirine polarnice (Sjevernu i Ju nu). Razli no od usporednica, meœu meridijanima ne mo e se jednosmisleno odrediti po etni krug. Za po etni meridijan na temelju sporazuma iz godine prihvaùen je meridijan koji prolazi kroza zvjezdarnicu u Greenwichu (grini ), a koja se nalazi u jednome londonskom predgraœu. (Vidi ßtivo iza poglavlja!) Greenwi ki meridijan dijeli Zemlju na zapadnu i isto nu polutku. Vrijednost kuta meridijana daje kutna udaljenost izmjerena na ekvatorskome krugu, a ra unata od po etnog meridijana. Vrijednosti zemljopisne du ine mogu se dakle mijenjati izmeœu 0 i 180 i na isto noj i na zapadnoj polutki (isto na i zapadna du ina). (Vrijednosti ßirine i du ine mjerene u stupnjevima sastoje se od tzv. kutnih minuta [ ], [1 = 60 ]. Obratnice i polarnice nalaze se dakle na 23 30, odnosno na ) Pomoùu stupnjeva ßirine i du ine mo emo odrediti mjesto bilo koje to ke na Zemljinoj povrßini. Ra unanje vremena, mjerenje vremena Meœu jedinicama mjerenja vremena godina i dan ravnaju se prema prividnim kretanjima Sunca, zapravo se ravnaju prema vrtnji i kru enju Zemlje. Sustav dana i godina koji se ravna prema hodu Sunca, meœutim, mnogo je slo eniji nego ßto bismo na prvi pogled pomislili. Dnevno ra unanje vremena Dan je proteklo vrijeme izmeœu dvije uzastopne kulminacije Sunca. Iz drugoga Keplerova zakona, meœutim, znamo da se Zemlja br e vrti kada je bli e Suncu, a sporije kada je dalje od njega. Zbog toga ni prividni hod Sunca nije to an, tj. ne kulminira uvijek nakon 24 sata. Zbog te neto nosti stvarnog vremena dana uveli su teoretski, zamißljeni prosje ni dan ija je duljina uvijek 24 sata (prosje no vrijeme dana ili kraùe prosje no vrijeme). Za godinu dana stvarno vrijeme dana mo e kasniti ili uriti 15-ak minuta u odnosu na prosje no vrijeme dana. (Samo jedna vrsta sata pokazuje stvarno vrijeme dana, a to je sun ani sat.) Meœutim, ni prosje no vrijeme dana nije rijeßilo sve probleme. Kulminacija Sunca, naime, ovisi o zemljopisnoj du ini mjesta promatra a. Znamo da na svakoj to ki istog meridijana (podnevnika) Sunce kulminira u isto vrijeme. Tako, meœutim, doznamo tzv. mjesno vrijeme. Na drugome meridijanu Sunce kulminira u drugo vrijeme, tj. svaki meridijan ima svoje mjesno vrijeme. (Ako bi nam satovi 23

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

ORIJENTACIJA NEBESKE SFERE (SVODA)

ORIJENTACIJA NEBESKE SFERE (SVODA) OSNOVE ORIJENTACIJE ORIJENTACIJA NEBESKE SFERE (SVODA) ODREĐIVANJE OSNOVNIH TOČAKA, PRAVACA, KRUŽNICA I RAVNINA NEBESKE SFERE ORIJENTACIJA NA NEBESKOM SVODU ASTROGNOZIJA POZNAVANJE OBJEKATA NA NEBESKOM

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

ZEMLJINA SKUPINA PLANETA ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI

ZEMLJINA SKUPINA PLANETA ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI PLANETI ZEMLJINA SKUPINA PLANETA ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI ASTEROIDI Građa terestričkih planeta stjenovito središte, tanka atmosfera km ρ 4880 5,43 12104 5,24 12756 5,52

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 2

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 2 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 2 Ivica Gusić Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Lekcije iz Matematike 2. 7. Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 5 Skalarni, vektorski i mješoviti produkt vektora Lekcije iz Matematike 1. 5. Skalarni, vektorski i mje²oviti produkt vektora I. Naslov i obja²njenje naslova

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα