Ακαδημαϊκό έτος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Transcript

1 Ακαδημαϊκό έτος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής ΛΥΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Εάν D(p) = 20 2p η καμπύλη ζήτησης, τότε η αντίστροφη καμπύλη είναι p = 20/2 ½ q ή p = q

2 Το (καθαρό) πλεόνασμα του καταναλωτή όταν η τιμή είναι 2 είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΑ Γ και όταν η τιμή είναι 3 είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΒΒ Γ. 1 ος τρόπος: Κάνουμε εμβ(αα Γ) εμβ(ββ Γ) = 8 * 16 7 * 14 = ος τρόπος: Α Β ΒΕ + ΒΕΑ = 14 *1 + 1 * 2 =15 2 Προσθέτουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου Α Β ΒΕ και το εμβαδόν του τριγώνου ΒΕΑ. Η απολεσθείσα κατανάλωση είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΒΕΑ. εμβ (ΒΕΑ) =1 εμβ (Α Β ΒΕ) = 14 * 1 = 14. Άρα το πλεόνασμα είναι εμβ(α Β ΒΕ) + εμβ(βεα) = 14+1 = 15 ΑΣΚΗΣΗ 2 1) Βρίσκουμε τον ΟΛΥ της συνάρτησης χρησιμότητας U = x + y : dy/dx = ΟΛΥ = -MUx/MUy = (1/2x -1/2 )/ (1/2y -1/2 )= - y/ x. Αυτός είναι αρνητικός άρα η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας είναι αρνητική. Βρίσκουμε και μερικά σημεία για να τη σχεδιάσουμε (επιλέγουμε τυχαίως να σχεδιάσουμε για Ū = 6,324555) x y

3 30 ΑΣΚΗΣΗ 2 Καμπύλη αδιαφορίας για U=6, Οριζόντιος αξ=x, κατακόρυφος αξ=y y Βλέπουμε από τον πίνακα και το διάγραμμα ότι κάθε φορά που το x αυξάνεται μια μονάδα η ζήτηση στο y μειώνεται (από το x=2 στο x=3 το Δy=21,1-24,11 = -3,01, από το x=3 στο x=4 το Δy= 18,7-21,1 = -2,4, από το x=4 στο x=5 το Δy= 16,72-18,7 = - 1,98). Η μαθηματική αιτιολόγηση επιτυγχάνεται εάν δείξουμε ότι καθώς το x αυξάνεται η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας γίνεται πιο «επίπεδη», δηλαδή η αρνητική κλίση γίνεται λιγότερο αρνητική και πάει προς το μηδέν ή αλλιώς μεγαλώνει. Αν βέβαια αγνοήσουμε το μείον του ΟΛΥ, δηλαδή αντί ΟΛΥ = - y/ x παραγωγίσουμε την έκφραση -ΟΛΥ = y/ x τότε θα πρέπει να δείξουμε ότι η παράγωγος της έκφρασης αυτής ως προς το x μειώνεται. Οπότε παίρνοντας τη 2 η περίπτωση: (-ΟΛΥ) / x = y 1/2 * (-1/2) * x -3/2 + x -1/2 * (1/2) y -1/2 * y / x Ο πρώτος όρος του αθροίσματος είναι αρνητικός γιατί οι δυνάμεις των x και y είναι θετικοί αριθμοί και ο δεύτερος όρος πάλι αρνητικός για τον ίδιο λόγο και επιπλέον επειδή y / x < 0 καθώς είναι η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας. Άρα (-ΟΛΥ)/ x <0 όπως θέλαμε να αποδείξουμε. 3

4 ΑΣΚΗΣΗ 3 (α) Συνάρτηση χρησιμότητας (ΣΧ) : u(x,y) = 2xy 2. Εισοδηματικός περιορισμός (ΕΠ): p x x + p y y = m. Λύνουμε το πρόβλημα max u(x,y) = 2xy 2 s.t. p x x + p y y = m φτιάχνοντας την Λαγκραντζιανή : max L(x,y,λ) = 2xy 2 + λ [m - p x x - p y y ] παίρνουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης ως προς (x,y,λ) και λύνοντας παίρνουμε τις (μαρσαλιανές) συναρτήσεις ζήτησης : x * = m/(3 p x ) και y * = 2m/(3 p y ). Αντικαθιστώντας τις x * και y * στην ΣΧ παίρνουμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας v : v(p x, p y, m) = u(x *,y * ) = 2 x * y *2 = (8 m 3 )/(27 p x p y 2 ). Λύνουμε ως προς m και αντικαθιστούμε το v με u και παίρνουμε : m = (3/2)*(u p x p y 2 ) 1/3. Αυτή είναι η συνάρτηση δαπανών δηλαδή αντί για m έχουμε δαπάνες : e(p x, p y, u) = (3/2)*(u p x p y 2 ) 1/3. Αντικαθιστούμε την τελευταία, δηλαδή το m, στα x * και y * παίρνουμε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης (χικσιανές) : x *C = ( u 1/3 p x (-2/3) p y 2/3 )/2 και y *C = u 1/3 p x 1/3 p y -1/3. (β) Συνάρτηση χρησιμότητας (ΣΧ) : u(x,y) = x 1/2 + y 1/2. Εισοδηματικός περιορισμός (ΕΠ): p x x + p y y = m. Λύνουμε το πρόβλημα max u(x,y) = x 1/2 + y 1/2 s.t. p x x + p y y = m φτιάχνοντας την Λαγκραντζιανή : max L(x,y,λ) = x 1/2 + y 1/2 + λ [m - p x x - p y y ] παίρνουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης ως προς (x,y,λ) και λύνοντας το σύστημα παίρνουμε τις (μαρσαλιανές) συναρτήσεις ζήτησης : x * = ( m p y )/( p x p y + p 2 x ) και y * = ( m p x )/(p x p y + p 2 y ). Για ευκολία στους περαιτέρω υπολογισμούς ορίζουμε p x = p y /( p x p y + p 2 x ) και p y = p x /(p x p y + p 2 y ) οπότε έχουμε x * = p x m και y * = p y m. Αντικαθιστώντας τις x * και y * στην ΣΧ παίρνουμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας v : v(p x, p y, m) = u(x *,y * ) = ( x * ) 1/2 + (y * ) 1/2 = m 1/2 ((p x ) 1/2 + (p y ) 1/2 ). Λύνουμε ως προς m και αντικαθιστούμε το v με u και παίρνουμε την συνάρτηση δαπανών : m = e(p x, p y, u) = u 2 / ((p x ) 1/2 + (p y ) 1/2 ) 2. Αντικαθιστούμε την τελευταία, δηλαδή το m, στα x * και y * παίρνουμε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης (χικσιανές) : x *C = p x u 2 / ((p x ) 1/2 + (p y ) 1/2 ) 2 και y *C = p y u 2 / ((p x ) 1/2 + (p y ) 1/2 ) 2. 4

5 (γ) Συνάρτηση χρησιμότητας (ΣΧ) : u(x,y) = x + xy. Εισοδηματικός περιορισμός (ΕΠ): p x x + p y y = m. Λύνουμε το πρόβλημα max s.t. u(x,y) = x + xy p x x + p y y = m φτιάχνοντας την Λαγκραντζιανή : max L(x,y,λ) = x + xy + λ [m - p x x - p y y ] παίρνουμε τις συνθήκες πρώτης τάξης ως προς (x,y,λ) και λύνοντας το σύστημα παίρνουμε τις (μαρσαλιανές) συναρτήσεις ζήτησης : x * = ( m + p y ) / (2 p x ) και y * = ( m - p y ) / (2 p y ). Αντικαθιστώντας τις x * και y * στην ΣΧ παίρνουμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας v : v(p x, p y, m) = u(x *,y * ) = x * (1+y * ) = (m + p y ) 2 / (4 p x p y ). Λύνουμε ως προς m και αντικαθιστούμε το v με u και παίρνουμε την συνάρτηση δαπανών : m = e(p x, p y, u) = 2 (p x p y u) 1/2 - p y. Αντικαθιστούμε την τελευταία, δηλαδή το m, στα x * και y * παίρνουμε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης (χικσιανές) : x *C = (u p y / p x ) 1/2 και y *C = (u p x / p y ) 1/2 1. ΑΣΚΗΣΗ 4 (α) 5

6 (β) Εάν αλλάξουν οι τιμές (στην περίπτωσή μας η μία μόνο τιμή, δηλαδή η τιμή των μήλων) θα αλλάξει και η σχετική τιμή, δηλαδή ο λόγος των τιμών P μ /P ρ, οπότε θα αλλάξει και ο εισοδηματικός περιορισμός (ΕΠ): θα περιστραφεί με σταθερό σημείο το σημείο τομής του αρχικού εισοδηματικού περιορισμού με τον κατακόρυφο άξονα και προς τα δεξιά, όπως φαίνεται στο διάγραμμα (Β). Και θα πάρει τη θέση ΕΠ 2. Αν προσπαθήσουμε λοιπόν στις καινούργιες τιμές να αλλάξουμε (στην περίπτωσή μας να «πάρουμε» ή να «αφαιρέσουμε» εισόδημα, γιατί με μειωμένη την τιμή ενός αγαθού η αγοραστική αξία είναι αυξημένη και θα μπορεί ο καταναλωτής να αγοράσει συνδυασμούς με περισσότερα αγαθά από ότι πριν) το εισόδημα ώστε ο καταναλωτής να είναι το ίδιο ευτυχής όσο ήταν και πριν την αλλαγή της τιμής, θα πρέπει το καινούργιο άριστο σημείο να βρίσκεται πάνω στην αρχική καμπύλη αδιαφορίας. Βλέπουμε λοιπόν ότι ο νέος εισοδηματικός περιορισμός τέμνει την αρχική (άριστη) καμπύλη αδιαφορίας οπότε στις νέες τιμές ο καταναλωτής μπορεί να πετύχει μεγαλύτερη ωφέλεια από αυτήν της αρχικής καμπύλης αδιαφορίας. Για να είναι το ίδιο ευτυχής όσο ήταν στις αρχικές τιμές πρέπει ο καταναλωτής να βρίσκεται με τις νέες τιμές πάνω στην αρχική καμπύλη αδιαφορίας. Άρα ο νέος εισοδηματικός περιορισμός θα συρθεί παράλληλα προς τα μέσα (δηλαδή προς την αρχή των αξόνων στην θέση ΕΠ3) μέχρι να εφάπτεται με την αρχική καμπύλη αδιαφορίας (σημείο Μ στο διάγραμμα). Στο σημείο αυτό βλέπουμε ότι αγοράζει λιγότερα ροδάκινα. Επιβεβαιώνεται, δηλαδή, όπως σε κάθε αποτέλεσμα υποκατάστασης, ότι ο καταναλωτής αγοράζει περισσότερο από το αγαθό που γίνεται σχετικά φθηνότερο και λιγότερο από αυτό που γίνεται σχετικά ακριβότερο. (γ) Αν μετά την πτώση της τιμής παρατηρούμε ότι ο Α καταναλώνει τις ίδιες μονάδες ροδάκινα τότε θα βρισκόμαστε στο σημείο Ν, στο διάγραμμα το οποίο βρίσκεται πάνω στον νέο εισοδηματικό περιορισμό, ΕΠ 2 με μεγαλύτερο εισόδημα σε σχέση με τον ΕΠ 3, και στο ίδιο «επίπεδο» με την κατανάλωση ροδάκινων του αρχικού άριστου σημείου, Λ. Εφόσον στο σημείο Μ έχουμε λιγότερα ροδάκινα απ ότι στο σημείο Ν γνωρίζουμε ότι η κατανάλωση ροδάκινων αυξάνεται όταν αυξάνεται το εισόδημα. Ως εκ τούτου μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα ροδάκινα είναι κανονικό αγαθό. (δ) Λύνουμε το πρόβλημα max u(x μ, x ρ ) = x μ α x ρ 1-α s.t. 4x μ + 3x ρ = 24 Συνθήκες πρώτης τάξης, ως προς x μ : α x μ α-1 * x ρ 1-α = 4λ και ως προς x ρ : x μ α (1-α) x ρ -α = 3λ Τις διαιρούμε κατά μέλη και παίρνουμε (α/1-α) * (x ρ / x μ ) = 4/3. Χρησιμοποιώντας αυτήν την εξίσωση και τον εισοδηματικό περιορισμό του προβλήματος (4x μ + 3x ρ = 24) λύνουμε ως προς x ρ και x μ και παίρνουμε: x μ = 6α και x ρ = 8(1-α). Εάν στις τιμές P μ = 4 και P ρ = 3 η κατανάλωση του Α είναι x μ = 3 και x ρ = 4 τότε x μ = 3 = 6α => α = 0.5 και x ρ = 4 = 8(1-α) => α = 0.5 (το α είναι ίσο με 0.5). 6

7 (ε) Η χρησιμότητα όταν η κατανάλωση είναι x ρ = 4 και x μ = 3 είναι u(x μ, x ρ ) = u (3,4) = * = Για να καθορίσουμε τι συνδυασμό θα κατανάλωνε όταν η τιμή των μήλων έπεσε στο P μ = 2 εάν του μειώναμε το εισόδημα έτσι ώστε να ήταν το ίδιο ευτυχής όσο και πριν την αλλαγή της τιμής δηλαδή στο (x μ, x ρ ) = (3,4) λύνουμε το πρόβλημα min {x μ, x ρ } 2x μ +3x ρ s.t. x μ 0.5 x ρ 0.5 = Φτιάχνουμε την Λαγκραντζιανή L = (x μ, x ρ, λ) = 2x μ + 3x ρ + λ ( x μ 0.5 x ρ 0.5 ) Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι: Ως προς x μ : θ L / θx μ = 0 => 2 0.5λx μ -0.5 x ρ 0.5 = 0 (1) Ως προς x ρ : θ L / θx ρ = 0 => 3 0.5λx μ 0.5 x ρ -0.5 = 0 (2) Ως προς λ : θ L / θλ = 0 => x μ 0.5 x ρ 0.5 = 0 (3) Διαιρώντας κατά μέλη τις δυο πρώτες παίρνουμε 2x μ = 3x ρ /2 (4) Και αντικαθιστώντας αυτή στην (3) παίρνουμε x ρ = Οπότε μετά παίρνουμε, χρησιμοποιώντας την (4), x μ = Οπότε στο διάγραμμα το σημείο Μ είναι το (4.243, 2.828). (ζ) Το εισόδημα που βρήκαμε στο προηγούμενο ερώτημα ισούται με 2 * * = Εφόσον ο Α άρχισε με εισόδημα 24 αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε = 7.03 από τον Α για να μπορεί να αγοράσει τον αρχικό του συνδυασμό με τις καινούργιες τιμές. (η) Για να δούμε τι θα καταναλώσει τώρα πρέπει να λύσουμε το πρόβλημα max u (x μ, x ρ ) = x μ x ρ s.t. 2 x μ + 3x ρ = 24 Φτιάχνουμε την λαγκραντζιανή L = (x μ, x ρ, λ) = x μ x ρ + λ (24-2x μ - 3x ρ ) Και παίρνουμε τις συνθήκες πρώτης τάξεως: Ως προς x μ : 0.5x μ -0.5 x ρ 0.5 2λ = 0 (1) Ως προς x ρ : 0.5x μ 0.5 x ρ λ = 0 (2) Ως προς λ : 24-2x μ - 3x ρ = 0 (3) 7

8 Από τις δυο πρώτες παίρνουμε (με διαίρεση κατά μέλη) 2x μ = 3x ρ οπότε με τον εισοδηματικό περιορισμό παίρνουμε τη λύση: x μ =6 και x ρ = 4. ΑΣΚΗΣΗ 5 Διάγραμμα άσκησης 5. (α) και (β) Το Κ είναι άριστη επιλογή για έναν καταναλωτή στην τοπική αγορά. Το Λ είναι η άριστη επιλογή για έναν καταναλωτή στην απομακρυσμένη αγορά. Με δεδομένο ότι στην απομακρυσμένη αγορά ο προμηθευτής αυξάνει την τιμή των μήλων κατά c (το κόστος μεταφοράς) ο λόγος των τιμών στην τοπική αγορά θα είναι P υ / P χ και στην απομακρυσμένη (P υ + c) / (P χ + c). Οπότε οι καταναλωτές στις δυο αγορές θα διαφέρουν (τουλάχιστον) ως προς τους εισοδηματικούς περιορισμούς τους και ειδικότερα την κλίση τους (ως προς τα υπόλοιπα, δηλαδή το ύψος του εισοδήματος και τις προτιμήσεις, μπορεί να διαφέρουν μπορεί και όχι). Επίσης έχουμε υποθέσει ότι P υ > P χ (κάτι που είναι, σχεδόν, σίγουρο στην πραγματικότητα), οπότε μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι (P υ + c) / (P χ + c) < Pu / Px (οι κλίσεις δηλαδή των εισοδηματικών περιορισμών είναι όπως τις βλέπουμε στο διάγραμμα). Το κόστος ευκαιρίας των «καλών» μήλων ως προς τα «κακά», μειώνεται όσο αυξάνεται το κόστος μεταφοράς. 8

9 (γ) Με δεδομένο ότι τα έξοδα για κατανάλωση μήλων είναι πολύ μικρό κομμάτι των συνολικών εξόδων των καταναλωτών, παραμένουμε στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας και απλώς αλλάζουμε τον εισοδηματικό περιορισμό (την κλίση του μόνο) οπότε όπως βλέπουμε στο διάγραμμα πάμε από το Κ στο Λ που είναι ένα καθαρό αποτέλεσμα υποκατάστασης. Οπότε στο άριστο σημείο του καταναλωτή της απομακρυσμένης αγοράς η κατανάλωση για μήλα υψηλής ποιότητας είναι μεγαλύτερη. ΑΣΚΗΣΗ 6 (α) Αντικαθιστούμε στις συναρτήσεις ζήτησης τα δεδομένα m A, m B, m Γ και P 2 και παίρνουμε: Q 1 A = P 1 Q 1 B = 73 P 1 και Q 1 Γ = 88 P 1 Οπότε οι αντίστροφες συναρτήσεις ζήτησης είναι: P 1 = 64-2Q 1 A, P 1 = 73 - Q 1 Β, P 1 = 88 - Q 1 Γ (β) ϵ p A = (dq A / Dp) * (P/Q A ) πρέπει να βρούμε την κλίση της ζήτησης του Α και το «σημείο» όπου P= 4, δηλαδή το Q A που αντιστοιχεί στο P= 4. Η κλίση ισούται με -2 και όταν P= 4 έχουμε: 4 = 64-2Q 1 A => Q 1 A = 30, οπότε με αντικατάσταση στον τύπο της ελαστικότητας έχουμε: ϵ p A = - (1/2) * (4/30) = -1/15 (γ) Γνωρίζουμε ότι οριακά έσοδα (ΟΕ) ισχύει ο τύπος ΟΕ = (1 + ϵ p ) * Q, οπότε αντικαθιστώντας από το ερώτημα (β) έχουμε ΟΕ = (1-(1/15)) * 30 = 28. Άρα εάν αυξήσουμε την τιμή κατά 1 θα αυξηθούν τα έσοδα κατά 28. Επίσης, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τα έσοδα όταν P=4 και όταν P=5 και να τα συγκρίνουμε πάλι θα βλέπαμε ότι όταν η τιμή αυξάνεται τα έσοδα αυξάνονται επίσης. 9

10 Διάγραμμα άσκησης 6. ΑΣΚΗΣΗ 7 (α) Η συνάρτηση χρησιμότητας είναι U (Γ, Τ) = Γ * Τ. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας υπό τον εισοδηματικό περιορισμό και παίρνουμε τις συναρτήσεις ζήτησης για Γ και Τ: max U (Γ, Τ) = Γ * Τ Γ, Τ s.t. P Γ * Γ +P Τ * Τ = m (όπου m εισόδημα) ή χρησιμοποιώντας την Λαγκραντζιανή max L (Γ, Τ, λ ) = Γ * Τ + λ [m - P Γ * Γ - P Τ * Τ] Γ,Τ Συνθήκες πρώτης τάξης: θ L / θγ = 0 => Τ λp Γ = 0 (1) θ L / θτ = 0 => Γ λp T = 0 (2) θ L / θλ = 0 => m P Γ * Γ P Τ * Τ = 0 (3) Από τις δυο πρώτες παίρνουμε (με κατά μέλη διαίρεση) : Τ/Γ = P Γ / P Τ οπότε συνδυάζοντας αυτή την εξίσωση με τον εισοδηματικό περιορισμό παίρνουμε τις δυο συναρτήσεις ζήτησης: 10

11 Γ = m / 2 P Γ και Τ = m / 2 P Τ Παίρνουμε λοιπόν την συνάρτηση ζήτησης του τσουρεκιού και την παραγωγίζουμε ως προς P Γ για να βρούμε την επίδραση της τιμής του γάλακτος στην ζητούμενη ποσότητα τσουρεκιού: θτ / θ P Γ = 0. Αρα αυξήσεις (και γενικότερα μεταβολές) στην τιμή του γάλακτος δεν επηρεάζουν την ποσότητα τσουρεκιού που ζητάει ο καταναλωτής. (β) Από την θεωρία έχουµε την εξίσωση Slutsky: Τ / P Γ = ( Τ / P Γ ) U const M ( Τ / m ) Υπολογίζουµε τώρα τους δύο όρους του δεξιού µέρους: (α) Αποτέλεσμα υποκατάστασης: ( θτ θp Γ ) U const Υπολογίζουµε την έµµεση χρησιµότητα αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις ζήτησης στην άµεση χρησιµότητα. Οι συναρτήσεις ζήτησης είναι Γ = m /(2P Γ ) και Τ = m / (2P Τ ). Υποκαθιστώντας τις στην συνάρτηση χρησιµότητας έχουµε την συνάρτηση έμμεσης χρησιμότητας: V= m /2P Γ * m/2p Τ = m 2 / 4P Γ P Τ Για να διατηρηθεί το V σταθερό πρέπει το εισόδημα να είναι m = 2 P Γ P Τ Ṽ. Υπολογίζουμε στη συνέχεια την χικσιανή συνάρτηση ζήτησης: Τ = m /2P Τ = P ΓP Τ V P Τ = P Γ V/P Τ = P Γ 0.5 P Τ -0.5 V 0.5 από την οποία προκύπτει ότι ( Τ / P Γ ) U const. = 0.5 P Γ -0.5 P Τ -0.5 V 0.5 (β) Aποτέλεσµα εισοδήματος Γ Τ/ m Τ = m / 2P Τ => Τ m = 1/2P Τ => Γ Τ m = Γ/2P Τ Άρα η εξίσωση Slutsky γίνεται 11

12 Τ = ( Τ PΓ PΓ ) U const M Τ m = 0.5 P Γ -0.5 P Τ -0.5 V 0.5 M 2P Τ = m 2 = 0.5P -0.5 Γ P P Τ ( Γ P Τ) - Γ/2PΤ = 0.5 P m Γ P Τ (P Γ P Τ ) -0.5 Γ 2 2P Τ = = 0.5 P Γ -1 P Τ -1 m 2 - Γ/2P Τ = 0.5 P Τ -1 m 2P Γ Γ 2P Τ = 0.5P Τ -1 Γ - Γ 2P Τ = Γ 2P Τ Γ 2P Τ = 0 12