Στοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου
|
|
- Ζήνων Δραγούμης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Στοχαστικές Ανελίξεις (3) Αγγελική Αλεξίου 1
2 Αλυσίδες Markov 2
3 Παράδειγμα 1: παιχνίδι τύχης Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3
4 Παράδειγμα 2: μηχανή Έστω μηχανή που παράγει ένα προϊόν με πιθανότητα p σε ένα κύκλο παραγωγής και μπορεί να χαλάσει με πιθανότητα q=1-p. Έστω 1 η κατάσταση καλής λειτουργίας και 0 η κατάσταση βλάβης. Τότε το διάγραμμα κατάστασης είναι: Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 4
5 Μαρκοβιανή Στοχαστική Ανέλιξη Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 5
6 Ιδιότητα Markov Έστω ένα φαινόμενο που εξελίσσεται, έτσι ώστε κάθε βήμα της εξέλιξης μπορεί να βρίσκεται σε συγκεκριμένη κατάσταση μέσα σε ένα χώρο καταστάσεων S όπου το φαινόμενο μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια μιας στοχαστικής ανέλιξης Χ n n=0,1,2, όπου η τ.μ. Χ n περιγράφει το φαινόμενο τη xρονική στιγμή n ήενγένεικατάτο βήμα ήτοστάδιοεξέλιξηςn. Αν η κατάσταση του φαινομένου κατά το βήμα n+1 εξαρτάται μόνο από την κατάσταση κατά το βήμα n και όχι από τις καταστάσεις στα προηγούμενα βήματα τότε λέμε ότι το φαινόμενο ικανοποιεί την ιδιότητα Markov. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 6
7 Στοχαστικές Ανελίξεις με την Ιδιότητα Markov Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 7
8 Αλυσίδες Markov Μία στοχαστική ανέλιξη που έχει τη Μαρκοβιανή Ιδιότητα και χώρο καταστάσεων διακριτό καλείται Αλυσίδα Markov Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 8
9 Αλυσίδες Markov πιθανότητα μετάβασης πρώτης τάξης Πιθανότητα μετάβασης πρώτης τάξης: Είναι η πιθανότητα να κάνει το σύστημα μία μετάβαση στην κατάσταση j τη χρονική στιγμή ν, αν ήταν τη χρονική στιγμή v-1 στην κατάσταση i. Αν Τότε η αλυσίδα Markov καλείται Ομογενής ή αλυσίδα Markov με στάσιμες πιθανότητες μετάβασης Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 9
10 Ομογενείς Αλυσίδες Markov Πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης πρώτης τάξης (ενός βήματος) είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης πρώτης τάξης Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 10
11 Ομογενείς Αλυσίδες Markov Πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης - ιδιότητες ΟπίνακαςP καλείται στοχαστικός ΟπίνακαςP καλείται διπλά στοχαστικός Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 11
12 Πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης - παράδειγμα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 12
13 Πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης παράδειγμα: 2 μηχανές Έστω 2 μηχανές με πιθανότητες καλής λειτουργίας p i και πιθανότητες επισκευής σε περίπτωση βλάβης w i (i=1,2). Υποθέτουμε ότι αν η δεύτερη μηχανή είναι σε επισκευή τότε η πρώτη δεν λειτουργεί (ακόμα και αν δεν υπάρχει βλάβη) γιατί δεν έχει που να διοχετεύσει το προϊόν (αποκλεισμένη). Αντίστοιχα αν η πρώτη μηχανή είναι υπό επισκευή, τότε η δεύτερη δεν λειτουργεί (ακόμα και αν δεν υπάρχει βλάβη) γιατί δεν έχει προϊόντα στην είσοδο (αποστερημένη). Υποθέτουμε επίσης ότι μία αποκλεισμένη ή αποστερημένη μηχανή δεν μπορεί να χαλάσει. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 13
14 Πιθανότητες ν-διάστατων κατανομών Αν γνωρίζουμε τις πιθανότητες μετάβασης πρώτης τάξης καθώς και την αρχική κατανομή Τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε την κατανομή της αλυσίδας, δηλαδή τις ν-διάστατες κατανομές Αν η αλυσίδα είναι ομογενής, τότε Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 14
15 Παράδειγμα Ροή επιτυχιών Έστω μία ακολουθία δοκιμών Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας p και πιθανότητα αποτυχίας q=1-p σημαίνει ότι με τη ν δοκιμή συμπληρώνεται ροή κ επιτυχιών. Ο πίνακας μετάβασης πρώτης τάξης είναι αφού Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 15
16 Παράδειγμα Τυχαίος περίπατος Έστω η στοχαστική διαδικασία του τυχαίου περιπάτου, όπου ένα σωματίδιο ξεκινά να κινείται από το σημείο 0 του άξονα και μετακινείται κατά ένα θετικό βήμα, ένα αρνητικό βήμα ή παραμένει ακίνητο με πιθανότητες p i, q i και r i αντίστοιχα. Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης πρώτης τάξης είναι όπου Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 16
17 Πιθανότητες μετάβασης ανώτερης τάξης Πιθανότητα μετάβασης ν-οστής τάξης Αν η αλυσίδα είναι ομογενής Πίνακας μετάβασης ν-οστής τάξης Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 17
18 Εξισώσεις Chapman-Kolmogorov Θεώρημα Chapman-Kolmogorov: Για ομογενείς αλυσίδες: Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 18
19 Πίνακας μετάβασης ν-οστής τάξης σύμφωνα με τις εξισώσεις Chapman-Kolmogorov Πίνακας μετάβασης ν-οστής τάξης: Ισχύει: Συνεπώς: Εξ ορισμού Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 19
20 Απόλυτη πιθανότητα Απόλυτη πιθανότητα Αν γνωρίζουνε την αρχική κατανομή και τις πιθανότητες μετάβασης Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να βρισκόμαστε σε μία κατάστασητηχρονικήστιγμήn, αρκεί να γνωρίζουμε την αρχική κατανομή και τον πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης πρώτης τάξης Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 20
21 Παράδειγμα Ροή επιτυχιών Θέλουμε να υπολογίσουμε τον πίνακα Γνωρίζουμε ότι Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Chapman-Kolmogorov Βρίσκουμε Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 21
22 Δικατάστατες Αλυσίδες Πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης πρώτης τάξης: Πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ν-οστής τάξης: Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 22
23 Δικατάστατες Αλυσίδες (2) Απόλυτες πιθανότητες Εργοδική κατανομή Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 23
24 Δικατάστατες Αλυσίδες (3) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 24
25 Παράδειγμα 1 Αττικός ουρανός Η κατάσταση του Αττικού ουρανού κατά τη ν-οστή ημέρα Με (i) Ξεκινώντας από μία συννεφιασμένη μέρα, ποια η πιθανότητα να είναι συννεφιασμένος ο Αττικός ουρανός 5 μέρες μετά? (ii) Ποια η πιθανότητα να είναι συννεφιασμένος ο Αττικός ουρανός 5 μέρες μετά από μία μέρα για την οποία δεν έχουμε πληροφορίες για τον καιρό? Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 25
26 Παράδειγμα 1 Αττικός ουρανός (2) (i) Αρχική κατανομή (ii) Αρχική κατανομή Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 26
27 Παράδειγμα 2 Αυτοκίνητο ή τρένο Κάποιος πηγαίνει στη δουλειά του ή με αυτοκίνητο ή με τρένο. Ποτέ δεν παίρνει το τρένο δύο μέρες συνεχόμενα. Εάν μία μέρα πάει στη δουλειά του με αυτοκίνητο τότε την επόμενη είναι το ίδιο πιθανό να πάρει τρένο ή το αυτοκίνητο. Υπολογίστε (i) την πιθανότητα να πάει στη δουλειά του με το αυτοκίνητο μετά από δύο μέρες (ii) την πιθανότητα να πάει στη δουλειά του με το αυτοκίνητο μετά από δύο μέρες αν την πρώτη μέρα πηγαίνει με το αυτοκίνητο με πιθανότητα 1/6. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 27
28 Παράδειγμα 3 καινούργιο αυτοκίνητο Κάποιος πουλάει το αυτοκίνητό του κάθε χρόνο και αγοράζει ένα καινούργιο. Εάν έχει Citroen το πουλάει και αγοράζει VW. Εάν έχει VW το πουλάει και αγοράζει Ford. Εάν έχει Ford του είναι εξ ίσου αρεστό να το πουλήσει και να αγοράσει είτε Citroen είτε VW. Το 2007 αγόρασε ένα Ford. Υπολογίστε τη πιθανότητα να έχει το 2009 (i) Ford (ii) Citroen Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 28
29 Παράδειγμα 4-κίνηση ποντικιού σε i διαμερίσματα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 29
30 Παράδειγμα 5-τυχαίος περίπατος σε κύκλο Ναπροσδιοριστείοπίνακαςπιθανοτήτωνμετάβασηςπρώτηςτάξηςκαιη απόλυτη πιθανότητα p 3 (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 30
31 Ταξινόμηση Αλυσίδων Markov - Επικοινωνικότητα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 31
32 Ταξινόμηση Αλυσίδων Markov Επικοινωνικότητα(2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 32
33 Κλάσεις ισοδυναμίας Το σύνολο των καταστάσεων της αλυσίδας Ω διαμερίζεται σε κλάσεις ισοδυναμίας Μία αλυσίδα Markov καλείται απλή ή ανάγωγη αν Μία κλάση ισοδυναμίας καλείται κλειστή ή κλειστό σύνολο καταστάσεων αν Αν K={i} και K κλειστό τότε η κατάσταση i καλείται κατάσταση απορρόφησης. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 33
34 Παράδειγμα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 34
35 Παράδειγμα (2) 0 Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 35
36 Παράδειγμα (3) Όλες οι καταστάσεις επικοινωνούν, δηλαδή η αλυσίδα είναι απλή. Το ίδιο ισχύει και για την παρακάτω αλυσίδα: Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 36
37 Παράδειγμα (4) Η Ροή Επιτυχιών είναι μία απλή αλυσίδα Markov, λόγω της μεταβατικής ιδιότητας. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 37
38 Παράδειγμα (5) Τυχαίος Περίπατος με χώρο καταστάσεων Οι καταστάσεις 0 και Ν είναι καταστάσεις απορρόφησης. Οι υπόλοιπες ανήκουν σε μία κλάση ισοδυναμίας αλλά όχι κλειστή. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 38
39 Ταξινόμηση Αλυσίδων Markov - Επαναληπτικότητα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 39
40 Ταξινόμηση Αλυσίδων Markov Επαναληπτικότητα (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 40
41 Ταξινόμηση Αλυσίδων Markov Επαναληπτικότητα (3) (ή θετικά επανερχόμενη) (ή μηδενικά επανερχόμενη) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 41
42 Ταξινόμηση Αλυσίδων Markov Περιοδικότητα Μία κατάσταση που είναι έμμονη, θετική και απεριοδική καλείται εργοδική Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 42
43 Περιοδικότητα - παράδειγμα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 43
44 Περιοδικότητα παράδειγμα (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 44
45 Περιοδικότητα παράδειγμα (3) T Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 45
46 Περιοδικότητα παράδειγμα (4) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 46
47 Ταξινόμηση Αλυσίδων Markov Επαναληπτικότητα (4) Η πιθανότητα το σύστημα ξεκινώντας από την κατάσταση i να επισκεφτεί για πρώτη φορά την κατάσταση j κάποτε. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 47
48 Ταξινόμηση Αλυσίδων Markov Επαναληπτικότητα (5) Αν τότε Αν τότε Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 48
49 Κριτήρια επαναληπτικότητας Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 49
50 Κριτήρια επαναληπτικότητας (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 50
51 Κριτήρια επαναληπτικότητας (3) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 51
52 Κριτήρια επαναληπτικότητας (4) Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης πρώτης τάξης μπορεί να γραφεί όπου Μ 1 ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μεταβατικών καταστάσεων στις έμμονες. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 52
53 Κριτήρια επαναληπτικότητας - παράδειγμα Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 53
54 Ασυμπτωτική συμπεριφορά πιθανοτήτων μετάβασης Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 54
55 Ασυμπτωτική συμπεριφορά πιθανοτήτων μετάβασης (2) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 55
56 Στάσιμες Αλυσίδες Markov Σε μορφή πινάκων, αν Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη με τον πίνακα P μπορούμε να αποδείξουμε επαγωγικά ότι Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 56
57 Στάσιμες Αλυσίδες Markov (2) Απόλυτες πιθανότητες Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 57
58 Στάσιμες Αλυσίδες Markov (3) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 58
59 Στάσιμες Αλυσίδες Markov (4) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 59
60 Στάσιμες Αλυσίδες Markov (5) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 60
61 Στάσιμες Αλυσίδες Markov μεθοδολογία υπολογισμού στάσιμης κατανομής Για πεπερασμένο πλήθος καταστάσεων, λύνουμε το γραμμικό σύστημα εξισώσεων ήυπολογίσουμεταόρια Για άπειρο πλήθος καταστάσεων δεν μπορούμε να λύσουμε με απευθείας αντικατάσταση το σύστημα γραμμικών εξισώσεων αλλά προσπαθούμε να βρούμε μία λύση του προβλήματος Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 61
62 Στάσιμες Αλυσίδες Markov παράδειγμα P= Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 62
63 Στάσιμες Αλυσίδες Markov παράδειγμα (2) π 3 π 3 π 3 Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 63
64 Στάσιμες Αλυσίδες Markov παράδειγμα (3) Ισχύει και κατά συνέπεια Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 64
65 Στάσιμες Αλυσίδες Markov παράδειγμα (3b) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 65
66 Στάσιμες Αλυσίδες Markov παράδειγμα (4) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 66
67 Στάσιμες Αλυσίδες Markov παράδειγμα (5) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 67
68 Στάσιμες Αλυσίδες Markov παράδειγμα (6) Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 68
69 Πιθανότητες Απορρόφησης Πιθανότητα απορρόφησης: Είναι η πιθανότητα δεδομένου ότι η αλυσίδα ξεκινά από την κατάσταση x να επισκεφθεί το κλειστό ανάγωγο σύνολο C σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 69
70 Πιθανότητες Απορρόφησης - παράδειγμα Να υπολογιστούν οι πιθανότητες απορρόφησης από την κατάσταση 0 των καταστάσεων 1 και 2 Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 70
Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015
Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία είναι
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΦ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν. ΔΕΡΒΑΚΟΥ Σημειώσεις Παραδόσεων Αθήνα 23 ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΦ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Ορισμός : Στοχαστική διαδικασία ή ανέλιξη είναι η διατεταγμένη
Διαβάστε περισσότεραΜαρκοβιανές Αλυσίδες
Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις
Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Νοέμβριος - Δεκέμβριος 205 Ερώτημα (α). Η νοσοκόμα ακολουθεί μια Ομογενή Μαρκοβιανή Αλυσίδα Διακριτού Χρόνου με χώρο καταστάσεων το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραMarkov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov
Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015
Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π.
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Χρησιµοποιούµε µια αλυσίδα
Διαβάστε περισσότερα0 1 0 0 0 1 p q 0 P =
Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Μοντέλα Στατιστικής Μηχανικής, Κινητικότητα & Ισορροπία Αλυσίδες Markov: Καταστάσεις, Εξισώσεις Μεταβάσεων καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραDEPARTMENT OF STATISTICS
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCES & TECHNOLOGY DEPARTMENT OF STATISTICS POSTGRADUATE PROGRAM Elements of Markovian Processes and Queueing Processes with Numerical Applications By Erold Ajdini A THESIS Submitted
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ Τομέας Οργάνωσης Παραγωγής & Βιομηχανικής Διοίκησης Σημειώσεις του μαθήματος: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Γιώργος Λυμπερόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΝικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου
Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Λημμα Εστω A ένα σύνολο άπειρου πλήθους θετικών ακέραιων αριθμών των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασίες Markov Υπενθύμιση
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής
Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Κατά τη διάρκεια των καθημερινών μας
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα
Διαβάστε περισσότερα1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0
Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1 Μία Μαρκοβιανή
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΑΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Ασκήσεις Κεφαλαίου 2. Κοκολάκης Γεώργιος
Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου
Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Στοχαστικές Διαδικασίες 2 Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Στοχαστική Διαδικασία ως συλλογή από συναρτήσεις χρόνου
Διαβάστε περισσότερα«ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ»
ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΑΛΥΣΙΔΕΣ» Του σπουδαστή ΣΤΑΜΟΥΛΗ ΓΕΩΡΓΙΟΥ Επιβλέπων Δρ ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 006 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις 3 ου Κεφαλαίου
Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Ασκήσεις 3 ου Κεφαλαίου Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΝικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου
Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Θεωρημα 1 Εστω s S μια οποιαδήποτε κατάσταση μιας αδιαχώριστης Μαρκοβιανής αλυσίδας.
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Εικ. Καθηγητής v.kouras@fme.aegea.gr
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣτην Ξένια και στην Μαίρη
Στην Ξένια και στην Μαίρη Περιεχόμενα 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Πολλές φορές θέλουμε να μελετήσουμε φαινόμενα ή συστήματα τα οποία εξελλίσονται, κυρίως αναφορικά με τον χρόνο, και των οποίων η μελλοντική συμπεριφορά
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss
.4 Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss Σχέση ισοδυναμίας. Έστω το σύνολο των ρητών αριθμών Q και η σχέση της ισότητας σε αυτό που ορίζεται ως εξής: Δύο στοιχεία α, γ Q είναι ίσα αν
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αναμονής. Ενότητα 4: Αλυσίδες Markov. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 4: Αλυσίδες Markov Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότερα/ / 38
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 205-6 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 0 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Ο Κώστας πηγαίνει
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΣυλλογή ασκήσεων στην διδαχθείσα ύλη του μαθήματος. 532 Στοχαστικές Διαδικασίες. Επιμέλεια Ασκήσεων: Απόστολος Μπατσίδης
Συλλογή ασκήσεων στην διδαχθείσα ύλη του μαθήματος 532 Στοχαστικές Διαδικασίες Επιμέλεια Ασκήσεων: Απόστολος Μπατσίδης Κύρια Βιβλιογραφία 1. Στοχαστικές μέθοδοι στις επιχειρησιακές έρευνες, Βασιλείου Παναγιώτης
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΟΦΙΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΙΔΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 05 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ.... Στοχαστικές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Μαρκοβιανές Αλυσίδες
Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Κεφάλαιο 3: Μαρκοβιανές Αλυσίδες Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων. Κεφάλαιο 3. Κοκολάκης Γεώργιος
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων Κεφάλαιο 3 Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΟνοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:
ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:
Διαβάστε περισσότεραIV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Markov Ένα σύστημα Markov διαγράμματος μετάβασης καταστάσεων
Ένα σύστημα Markov (ή διαδικασία Markov ή αλυσίδα Markov) είναι: ένα σύστημα που μπορεί να αποτελείται από πολλές (αριθμημένες) καταστάσεις (states). Στο σύστημα αυτό υπάρχει δυνατότητα μετάβασης από την
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Κατανομή Poisson & Εκθετική Κατανομή Διαδικασία Markov Γεννήσεων Θανάτων (Birth Death Markov Processes) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 15/3/2017 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές
Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότερα1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0
Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Εκτιμητική
Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα
Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων (I) 1. Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 21/3/2018 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Ανελίξεις- Σεπτέμβριος 2016
Στοχαστικές Ανελίξεις- Σεπτέμβριος 2016 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία
Διαβάστε περισσότεραΣύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις
Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ακαδημαϊκό έτος Λύσεις για την Προαιρετική Εργασία
Τεχνικές Εκτίμησης Υποογιστικών Συστημάτων Ακαδημαϊκό έτος 2016-17 Λύσεις για την Προαιρετική Εργασία Φεβρουάριος 2017 Πρόβημα 1 Δίνεται το παρακάτω μητρώο με τις πιθανότητες μετάβασης μιας Μαρκοβιανής
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Η Ουρά Μ/Μ/1/N Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 22/3/2017 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (1/4) Birth Death Processes
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ 1 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 009 Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των πράξεων που μπορεί να εκτελέσει ο υπολογιστής σε μια ώρα,
Διαβάστε περισσότεραΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ
ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης
Διαβάστε περισσότεραΙσορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων
Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων: 1. Σφαιρικές & Λεπτομερείς Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 27/3/2019 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότερασ.π.π. Γεωμετρικής Κατανομής με p=0, Αριθμός επιτυχιών μέχρι την πρώτη επιτυχία
Ν(n) 2.11 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν αντί της ερώτησης "πόσες επιτυχίες σημειώνονται σε n δοκιμές Bernoulli;" ενδιαφέρει η ερώτηση "πόσες δοκιμές απαιτούνται μέχρι να σημειωθεί η πρώτη επιτυχία;", οδηγούμαστε
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της κάθε εντολής if ξεχωριστά: if (c mod 0) for (k ; k
Διαβάστε περισσότεραP = 0 1/2 1/ /2 1/
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 206 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 7ο Φροντιστήριο Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Μια Μαρκοβιανή
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος
Περιεχόμενα Πρόλογος ix 1 Στοιχεία Απειροστικού Λογισμού 1 1.1 ΠραγματικοίΑριθμοί... 1 1.1.1 ΑξιωματικήθεμελίωσητωνΠραγματικώνΑριθμών.... 1 1.1.2 Θετικοίακέραιοι,ακέραιοικαιρητοίαριθμοί... 5 1.1.3 Τοπολογικήδομήτου
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΜΣ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΤΟ ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΣΕ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΙσοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α.
Ισοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α. Δύο Π.Α. Μ 1 και Μ 2 είναι ισοδύναμα ανν L(M 1 ) = L(M 2 ). Έστω Μ = (Q, Σ, q 0, Δ, F) μη Αιτ. Π.Α. Για κάθε κατάσταση q Q, ορίζουμε ως Ε(q) Q το σύνολο των καταστάσεων
Διαβάστε περισσότεραP (A) + P (B), [Α,Β: ξένα µεταξύ τους] P (C A B) [P (A) + P (B)] P (C A) P (A) P (B) 3 4 ( ) 1 7 = 3 7 =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217 - Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Προόδου- 22 Νοεµβρίου 2014 Θέµα 1 - (15 µονάδες) Εχουµε ότι : P (C A B) P (C (A B)) P (CA CB)
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
Διαβάστε περισσότεραΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης
Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότερα1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.kouras@fm.aga.gr Τηλ: 7035468 Κίνηση
Διαβάστε περισσότεραε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.
1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης
Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.
Διαβάστε περισσότεραd k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραz 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 17 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανάλυση Ουράς Αναμονής M/G/1 Αρχές Ανάλυσης Ουράς M/G/1 Ενσωματωμένη Αλυσίδα Markov (Embedded Markov Chain) Τύποι Pollaczeck - Khinchin (P-K) για Ουρές M/G/1 Μέσες Τιμές
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη12)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη) Για διακριτή τυχαία μεταβλητή ισχύει μία συνάρτηση πιθανότητας ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: (α) ( ) 0, για κάθε i,, i (β) ( i ) i S Παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008
Διαβάστε περισσότερα