Είναι σχεδόν καθολικά αποδεκτή η απαίτηση πώς η Επιστήμη της Φυσικής οφείλει να ασχολείται με παρατηρήσιμα και μετρήσιμα μεγέθη.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Είναι σχεδόν καθολικά αποδεκτή η απαίτηση πώς η Επιστήμη της Φυσικής οφείλει να ασχολείται με παρατηρήσιμα και μετρήσιμα μεγέθη."

Transcript

1 ΔΥΟ ΝΕΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΡΟΕΡΧΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Διονύσης Γ. Ρατόπολος Μ-Η Μηχανικός ΕΜΠ, Ανεξάρτητος Ερενητής, τηλ , κιν , ΠΕΡΙΛΗΨΗ Είναι σχεδόν καθολικά αποδεκτή η απαίτηση πώς η Επιστήμη της Φσικής οφείλει να ασχολείται με παρατηρήσιμα και μετρήσιμα μεγέθη. Εκκινώντας από την ανωτέρω θέση και αποδεχόμενοι τη δεύτερη θεμελιακή πόθεση το Albert Einstein τη διατπωμένη στο ιστορικό άρθρο το «Περί της Ηλεκτροδναμικής των κινομένων Σωμάτων», οδηγούμεθα στο σμπέρασμα ότι η Κινηματική το λικού σημείο, την οποία μετρά και περιγράφει ένας πραγματικός Παρατηρητής εντοπισμένος στο χώρο, αφορά όχι στη θέση πο βρίσκεται τώρα το λικό σημείο, αλλά σε θέση πο ατό κατείχε σε προγενέστερη χρονική στιγμή, την οποία ο- νομάζομε Σζγή Θέση (retarded position κατά Feynman). Από πειραματική/μετρητική άποψη μόνον η σζγής θέση έχει σημασία. Έτσι το κινούμενο ον φαίνεται και μετράται αλλού από εκεί πο βρίσκεται, σμπέρασμα σμβατό με το παράδειγμα των σκιών το σπηλαίο το Πλάτωνος. Ατή την κινηματική της σζγούς θέσεως περιγράφει η Θεωρία της Αρμονικότητος το Πεδίο το Φωτός. Έχοντας επιλέξει ως Γεωμετρικό Χώρο της τον Προβολικό, μια σημαντική σνέπεια ατής της θεωρίας είναι ότι, σε σχέση με εντοπισμένο Παρατηρητή, ένα εθγράμμως κινούμενο αντικείμενο είναι δνατόν να φαίνεται ότι βρίσκεται τατόχρονα σε δύο διαφορετικές θέσεις, επομένως και καταστάσεις, στον Αισθητό Χώρο ατού το Παρατηρητού. Ατή η διαπίστωση οδηγεί σε δύο τολάχιστον θεμελιώδη θεωρήματα καθώς και σε πλήθος πορισμάτων, τα οποία είναι σμβατά με τις κρίαρχες αντιλήψεις της σύγχρονης Κβαντομηχανικής. Λέξεις Κλειδιά: Γεωμετρικός Χώρος, Προβολικός Χώρος, Αισθητός Χώρος, Σζγής Θέση, Θεωρία της Αρμονικότητος το Πεδίο το Φωτός ( Theory of the Harmoniity of the Field of Light), Επαλληλία (Διαπλοκή) Καταστάσεων, Κατάρρεση της Κματοσνάρτησης. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Θεωρία της Αρμονικότητος το Πεδίο το Φωτός εμφανίσθηκε το έτος 1979 (Ρατόπολος Δ., 1979, 2004) σαν αποτέλεσμα της προσπάθειας να προσεγγισθεί η μετρήσιμη φσική πραγματικότητα μέσω πρώτων απλών αρχών και, κρίως, η περιγραφή της φσικής δομής και λειτοργίας το αισθητού κόσμο να μην οδηγείται σε αντιφάσεις. Η πρώτη περιγραφή της Φσικής Επιστήμης αφορά στην Κινηματική των λικών σωμάτων και, σε εξιδανίκεση, στην Κινηματική το λικού σημείο. Το αντικείμενο της Κινηματικής είναι η μεταβολή της θέσης το κινομένο λικού σημείο, στο Χώρο με την πάροδο το Χρόνο. Εθύς εξ αρχής λοιπόν, αντιμετωπίζομε δύο πρωταρχικές (a priori) έννοιες: Το Χώρο και το Χρόνο. Εξετάζοντας την έννοια το Χώρο, είμαι ποχρεωμένος να πογραμμίσω και να ιοθετήσω μια θεμελιώδη διάκριση, την οποία έχει διατπώσει, με εξαιρετική σαφήνεια, ο αείμνηστος καθηγητής μο στο Ε.Μ.Π. Παναγιώτης Λαδόπολος 1

2 «Ο Γεωμετρικός χώρος αποτελεί ιδιάζον και εντελώς διάφορον το αισθητού χώρο νοητικόν κατασκεύασμα, εις τα πραγματικά στοιχεία το οποίο δνάμεθα να προσεγγίσωμεν, εξ αντιστοίχων στοιχείων το αισθητού χώρο, δι αφαιρετικής διεργασίας αμιγώς νοητικής» (Λαδόπολος Π.,1966). Η εισαγομένη διάκριση είναι οσιαστική. Ο Αισθητός Χώρος, πο αποτελεί το αντικείμενο της Φσικής Επιστήμης οριζόμενος από τα λικά αντικείμενα, είναι «εντελώς διάφορος» το Γεωμετρικού ο οποίος, ως νοητικό κατασκεύασμα λοποιούμενο μόνον δι αφαιρέσεως, φίσταται, κατ ανάγκην, μόνον στη νόησή μας. Όσον αφορά δε στην έννοια το Χρόνο, η απαιτούμενη προεργασία έχει ήδη πραγματοποιηθεί. Ο Einstein στην ενότητα 1 το πρωτότπο άρθρο το, (Ορισμός το τατοχρόνο), έχει ορίσει με απόλτη σαφήνεια και αστηρότητα τις απαραίτητες έννοιες (Einstein A., 1905). Θα επισημάνω μόνον τρία καίρια σημεία από ατό το τμήμα το εν λόγω άρθρο: 1 η Επισήμανση: Για την φύση των χρονικών μας εκτιμήσεων. Γράφει ο Einstein: «Πρέπει να έχομε κατά νο ότι κάθε εκτίμησή μας πο περιέχει χρόνο είναι πάντα μια κρίση για τατόχρονα σμβάντα. Αν, π.χ. λέω ότι το τραίνο φτάνει εδώ στις 7, ατό σημαίνει οσιαστικά ότι το να βρεθεί ο μικρός δείκτης το ρολογιού μο στις 7 και η άφιξη το τραίνο είναι τατόχρονα σμβάντα». Βεβαίως ο Einstein σμπληρώνει σε ποσημείωση: «Δεν θα σζητήσομε εδώ την ενπάρχοσα ασάφεια στην έννοια το τατόχρονο δύο σμβάντων πο πραγματοποιούνται στην ίδια (προσεγγιστικά) θέση, ασάφεια πο α- παλείφεται μόνο με εξιδανίκεση». 2 η Επισήμανση: Για τον ορισμό το σγχρονισμού δύο σχετικά ακίνητων απομακρσμένων ρολογιών πο βρίσκονται στα σημεία Α και Β. Τα δύο ρολόγια είναι εξ ορισμού σύγχρονα, εάν tb -ta = tα -tβ (α). t Όπο η ένδειξη το ρολογιού στο Α όταν με μια φωτεινή ακτίνα φεύγει από εκεί κατεθνόμενη στο Β, A η ένδειξη το ρολογιού στο Β όταν η ακτίνα φτάνει εκεί και ανακλάται και η ένδειξη το ρολογιού στο Α όταν η ακτίνα επιστρέφει εκεί. 3 η Επισήμανση: Για τον ορισμό της ταχύτητος το φωτός ως: t' A 2AB - = (β). t t Σημειώνω με έμφαση ότι ο Einstein, αν και εξ ορισμού απαιτεί ότι ο «χρόνος» για να ταξιδέψει το φως από το Α στο Β, είναι ίσος με τον «χρόνο» πο απαιτείται για την αντίστροφη διαδρομή Β προς Α, εν τούτοις για την μέτρηση και τον ορισμό της ταχύτητος το φωτός χρησιμοποιεί την σχέση (β), η οποία όμως αναφέρεται σε δύο διαδοχικές ενδείξεις ενός μόνον ρολογιού: Το ρολογιού στο Α. Έτσι εδώ ο ορισμός και η μέτρηση της ταχύτητος το φωτός διαφοροποιείται από τον κλασικό ορισμό και την μέτρηση της ταχύτητος των λικών σημείων της Γαλιλαϊκής και Νετωνείο Κινηματικής. Εκεί η ταχύτητα ορίζεται βάσει των μετρήσεων δύο απομακρσμένων σγχρονισμένων ρολογιών: Το ρολογιού της αρχής και το ρολογιού το πέρατος της διαδρομής το λικού σημείο. Ατή η διαπίστωση μάς οδηγεί στον ορισμό μιας νέας έννοιας: Επί βαθμονομημένης εθείας Ε θεωρώ ρολόγια τοποθετημένα σε τχαίες θέσεις 1, 2... Μ, Μ+1... Τα ρολόγια ατά είναι ανά δύο σγχρονισμένα βάσει το ορισμού το Einstein (εξίσωση (α)). Σνεπώς θεωρούνται όλα μεταξύ τος σγχρονισμένα. Την διάταξη ατή την ονομάζω: Εθύγραμμο Επεκτεταμένο Ρολόι. Επειδή δε η σύγχρονη Επιστήμη εφαρμόζει σνήθως Αγγλική ορολογία και μάλιστα πό μορφήν ακρωνμίων, την ονομάζω: Linear Array of Synhronized Cloks (LASC). Τώρα πλέον μπορούμε να αναδιατπώσομε με απόλτη σαφήνεια τον ορισμό της ταχύτητος λικού σημείο κινομένο επί βαθμονομημένης Εθείας Ε, ορισμό πο μας έχει δώσει η Κλασσική Κινηματική και ο οποίος ισχύει μέχρι σήμερα. (Σχ. 1) Α A t Β 2

3 Σχ.1 Ονομάζομε μέτρο της μέσης ταχύτητος (ή απλά μέση ταχύτητα) το λικού σημείο στο τχόν διάστημα Μ έως Μ +1, (πό την προϋπόθεση ότι στα σημεία Μ και Μ+1 πάρχον ρολόγια το LASC) την παράσταση: x -x Δx t - t Δt Μ+1 Μ μεση = = (1) x Μ+1 Μ x όπο Μ+1 και Μ οι καρτεσιανές τετμημένες των σημείων Μ+1 και Μ αντίστοιχα, τις οποίες μετράμε δια μετροταινίας (με την οποία και βαθμονομήθηκε η εθεία) επάνω στην εθεία Ε, με το μηδέν της μετροταινίας τοποθετημένο σ ένα τχόν σημείο 0 της εθείας, το οποίο αθαίρετα θεωρούμε αρχή των μετρήσεων, και t t Μ+1, Μ οι ενδείξεις των ρολογιών στις θέσεις Μ+1 και Μ αντίστοιχα, τις οποίες κατέγραψαν τα εν λόγω ρολόγια τις στιγμές ακριβώς πο περνούσε από εκεί το κινούμενο λικό σημείο. 2. Ο ΠΡΟΒΟΛΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ Η θεμελιώδης διάκριση μεταξύ αισθητού και γεωμετρικού χώρο μάς δίδει το δικαίωμα, να επιλέξομε ελεύθερα τον γεωμετρικό χώρο, στον οποίο θα εργασθούμε ερενώντας το αντικείμενο της Φσικής, ενώ απεναντίας, ο αισθητός χώρος είναι επιβεβλημένος από την ίδια τη Φύση. Τα ανθρώπινο μαθηματικό πνεύμα, στη μακραίωνα ιστορία το, ίδρσε πολλούς γεωμετρικούς χώρος, των οποίων πολλά σμπεράσματα πολλάκις αντιφάσκον μεταξύ τος. Όμως όλοι οι γεωμετρικοί χώροι της Μαθηματικής Επιστήμης είναι αποδεκτοί, διότι είναι λογικά σνεπείς προς τα αξιώματα βάσει των οποίων ιδρύθηκαν. Εφ όσον λοιπόν η επιλογή το γεωμετρικού χώρο είναι απολύτως ελεύθερη, η πό θεμελίωση Θεωρία της Αρμονικότητος επέλεξε ως γεωμετρικό χώρο τον Προβολικό ( Ponelet J-V., 1822). Ο Προβολικός Χώρος ιδρύεται με οκτώ αξιώματα και η γεωμετρία το με εννέα. Τα αντιγράφω, (Λαδόπολος Π., 1966). [ Α. Τα αξιώματα θέσεως Ι. Δύο σημεία ορίζον μιαν εθείαν, εις την οποία κείνται. ΙΙ. Τρία σημεία, μη ανήκοντα εις την ατήν εθείαν, ορίζον εν επίπεδον εις το οποίον κείνται. ΙV. Δύο επίπεδα ορίζον μιαν εθείαν, η οποία κείται εις ατά. V. Τρία επίπεδα, μη διερχόμενα δια της ατής εθείας, ορίζον εν σημείον, το οποίον κείται εις ατά. ΙΙΙ. Εν σημείον και μια εθεία, μη διερχομένη δι ατού, ορίζον εν επίπεδον εις το οποίον κείνται. VI. Εν επίπεδον και μια εθεία μη κειμένη επ ατού, ορίζον εν σημείον το οποίο κείται εις ατά. 3

4 Β. Τα αξιώματα της διατάξεως και το προβολικού χαρακτήρος της φοράς διαγραφής VII. Εάν στοιχείον Ο ορισθή επί σχηματισμού α βαθμίδος, τα λοιπά στοιχεία ατού δύνανται να διαταχθούν εις τρόπον ώστε το στοιχείο Ο να προηγείται παντός άλλο στοιχείο. Εις ατήν την διάταξιν, εκάστο στοιχείο το σχηματισμού προηγείται πάντοτε έν άλλο και μεταξύ δύο στοιχείων Α και Β το σχηματισμού, τοιούτων ώστε το Α να προηγήται το Β, πάρχει πάντοτε εν στοιχείον επόμενον το Α και προηγούμενον το Β. VIII. Εις σχηματισμόν α βαθμίδος πάρχον δύο απολύτως ωρισμέναι φοραί διαγραφής, αντίθετοι αλλήλων. Εάν εις σχηματισμός α βαθμίδος προκύπτη εξ ενός άλλο δια πεπερασμένο αριθμού προβολών και τομών, εις την μιαν φοράν διαγραφής το ενός αντιστοιχεί μια ωρισμένη φορά διαγραφής το άλλο. Γ. Το αξίωμα της σνεχείας (το Dedekind) IX. Εάν ΑΒ είναι εν τμήμα σχηματισμού α βαθμίδος, επί το οποίο έχει καθοριστεί μία φορά διαγραφής και εάν διαιρεθή το τμήμα τούτο εις δύο μέρη τοιαύτα ώστε: α. Έκαστον στοιχείον το τμήματος ΑΒ να ανήκη εις εν των δύο μερών. β. Το Α να ανήκη εις το πρώτον μέρος, το δε Β εις το δεύτερον. γ. Εν τχόν στοιχείον το πρώτο μέρος να προηγήται ενός τχόντος στοιχείο το δετέρο. Υπάρχει έν στοιχείον Γ το τμήματος ΑΒ (το οποίον δνατόν να ανήκη εις εν των μερών) τοιούτον ώστε, έκαστον στοιχείον το ΑΒ προηγούμενον το Γ να ανήκη εις το πρώτο μέρος, έκαστον στοιχείον επόμενον το Γ να ανήκη εις το δεύτερον. ] Σημειώσεις: α. Γεωμετρικός σχηματισμός α βαθμίδος ονομάζεται ο σχηματισμός, το οποίο τα στοιχεία, εις την αναλτική γεωμετρία καθορίζονται με μία και μόνη παράμετρο. Π.χ. η εθύγραμμη σημειοσειρά θεωρούμενη ως το σύνολο των σημείων πο κείνται επ εθείας. β. Η επαναστατική ιδιότητα το χώρο πο εισάγεται με το VII αξίωμα της διατάξεως είναι ότι η Προβολική εθεία είναι γραμμή κλειστή, δια το επ άπειρον σημείο της, όπως και το Προβολικό επίπεδο είναι επιφάνεια κλειστή, δια της επ άπειρον εθείας το, εν αντιθέσει προς τις αντίστοιχες Εκλείδειες έννοιες πο αντιστοιχούν σε «αντικείμενα» ανοικτά. γ. Η διατύπωση των έξη αξιωμάτων θέσεως εισάγει ατόματα στον γεωμετρικό χώρο την Αρχή το Δασμού, η οποία έχει θεμελιώδεις σνέπειες στη σύγχρονη Φσική και εξηγεί λογικά πολλά από τα θεωρούμενα μστήριά της. δ. Το ΙΧ αξίωμα της σνεχείας, το Dedekind, δεν σμμετέχει εις την ίδρση το γεωμετρικού χώρο, αλλά α- πλά χρησιμεύει ως «γέφρα» μεταξύ γεωμετρίας και ανάλσης. Αποτελεί τη γεωμετρική διατύπωση το αξιώματος της σνεχείας των πραγματικών αριθμών. 3. Η ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Ως πρώτη πόθεση για την θεμελίωση της Θεωρίας μας θα χρησιμοποιήσομε την δεύτερη πόθεση της Θεωρίας της Ειδικής Σχετικότητας, την αφορώσα στην ανεξαρτησία της ταχύτητος το φωτός από την ταχύτητα της πηγής το, ελαφρώς όμως τροποποιημένη μετά την οσιαστική πλέον διάκριση το Αισθητού από τον Γεωμετρικό Χώρο. 1 η ΘΕΜΕΛΙΑΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ: Οι αλληλεπιδράσεις της ύλης κινούνται στον Γεωμετρικό Χώρο με ταχύτητα κατά μέτρο σταθερή και ανεξάρτητη της σχετικής ταχύτητος των αλληλεπιδρώντων στοιχείων της ύλης. Ειδικότερα, οι δια το φωτός αλληλεπιδράσεις της ύλης κινούνται στον Γεωμετρικό Χώρο με ταχύτητα κατά μέτρο σταθερή και 4

5 ανεξάρτητη της σχετικής ταχύτητος των αλληλεπιδρώντων στοιχείων της ύλης και ίση με την ταχύτητα το φωτός πο όμως μετρώ στον Αισθητό Χώρο στον τόπο πο βρίσκομαι. Σημειώνω ότι η ανωτέρω 1 η θεμελιακή πόθεσή μας διαφοροποιείται από την αξίωση το Einstein πο ετέθη στην ενότητα 1 το άρθρο το κατά την διατύπωση της εξίσωσης (β). Γράφει ο Einstein: «Στηριζόμενοι εμπειρικά, αξιώσαμε στην σνέχεια ότι το μέγεθος ταχύτητα το φωτός σε κενό χώρο).» 2AB = t - t Α A είναι μια παγκόσμια σταθερά (η Εμείς δεν κρίνομε αναγκαίο να αξιώσομε, ούτε καν να ποθέσομε κάποια χωρική παγκοσμιότητα, ή ακόμα και κάποια πονοούμενη διαχρονική αμεταβλητότητα της ταχύτητος το φωτός. Περιοριζόμεθα μόνον στην 1 η Θεμελιακή Υπόθεσή μας. Έχοντας διεκρινίσει τις πρωταρχικές έννοιες και έχοντας διατπώσει την 1 η Θεμελιακή Υπόθεση, τώρα πλέον μπορούμε να μελετήσομε την κινηματική το λικού σημείο στην απλούστερη περίπτωσή της, ατήν της εθύγραμμης κίνησης. Όμως, πριν ξεκινήσομε θα πρέπει να ληφθεί πρωτίστως π όψιν ότι η Φσική Επιστήμη είναι μια καθαρά ε- μπειρική Επιστήμη, διαφέροσα από την Μαθηματική, εξασκούμενη από ανθρώπινα όντα και όχι από πανταχού παρόντα άϋλα πνεύματα. Τα δε ανθρώπινα όντα πόκεινται αναγκαστικά στον περιορισμό της τοπικότητας πο επιβάλλει η λική πόσταση των ιδίων αλλά και των επιστημονικών οργάνων τος. Είμαστε λοιπόν ποχρεωμένοι να καθορίσομε πρωτίστως με σαφήνεια την θέση το Παρατηρητού, ο οποίος ενόργανα θα μετρήσει, (και όχι θα διανοηθεί ή θα προσεγγίσει δι ενοράσεως), τα φσικά μεγέθη και θα διατπώσει τις φσικές προτάσεις της Κινηματικής. Έστω λοιπόν Παρατηρητής (Σχ.2) σε τχόν σημείο Ο εκτός της βαθμονομημένης Εθείας Ε, εφοδιασμένης με το LASC, επί της οποίας κινείται το παρατηρούμενο λικό σημείο με σταθερή ταχύτητα ( < ), μετρημένη από το LASC, (εξίσωση (1) ). Έστω ότι ο Παρατηρητής είναι εφοδιασμένος με ένα ρολόι, εφεξής αποκαλούμενο τοπικό ρολόι, το οποίο είναι σγχρονισμένο, σύμφωνα με τον ορισμό το Einstein (εξίσωση (α)), με το τχόν ρολόι το LASC. Επομένως, εκ το ορισμού το LASC, το τοπικό ρολόι είναι σγχρονισμένο και με όλα τα ρολόγια ατού. Έστω ότι ο Παρατηρητής μετρά την ταχύτητα το φωτός με το τοπικό ρολόι, σύμφωνα με τον ορισμό το Einstein (εξίσωση (β)), χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε πρόσφορη μέθοδο (πχ. μετρήσεις όπως των Fizeau, Fouault, Mihelson κ.α.) και βρίσκει ότι η ταχύτητα το φωτός στο κενό είναι ίση με, έναν αριθμό πεπερασμένο. Έστω ότι τώρα το λικό σημείο βρίσκεται εις την θέση Α. Πού το βλέπει, πού το μετρά, και πού το καταγράφει τώρα ο Παρατηρητής; Τι εννοούμε όμως με τον όρο τώρα; Σχ.2 5

6 Τώρα είναι μόνον ατό πο δείχνον τα ρολόγια, μια θεμελιώδης διεκρίνιση πο οφείλομε αποκλειστικά στον Einstein (βλ. 1 η Επισήμανση). Τώρα λοιπόν το λικό σημείο βρίσκεται στην θέση Α στον Γεωμετρικό Χώρο. Όμως στον Αισθητό Χώρο το Παρατηρητού Ο δεν βρίσκεται τώρα στη θέση Α, αλλά σε προηγούμενη θέση Α τέτοια ώστε: Σε όσο χρόνο το λικό σημείο μετέβη από το Α στο Α, το φως μετέβη από το Α στο Ο. Έτσι ισχύει: Α A ΑΟ AA = = A'O Την θέση Α στην οποία βρίσκεται τώρα το λικό σημείο ας την ονομάσομε απλώς θέση. Την θέση Α στην οποία το βλέπει το μετρά (διαβάζοντας την βαθμονομημένη Εθεία Ε) και το καταγράφει τώρα ο Παρατηρητής, την ονομάζω: Σζγή Θέση (Conjugate Position). Η θέση ατή ονομάστηκε retarded position (Feynman R., 1964). Έτσι η 1 η Θεμελιακή Υπόθεσή μας και το πεπερασμένο της ταχύτητος το φωτός ιδρύον δύο περκείμενες σημειοσειρές, την σημειοσειρά των θέσεων Α και την σημειοσειρά των σζγών θέσεων Α, οι οποίες έχον κοινό φορέα την Εθεία Ε. Διαπιστώνομε λοιπόν ότι το αντικείμενο της Φσικής των Ανθρώπων, και όχι των πανταχού παρόντων πνεμάτων, δεν είναι οι θέσεις των κινομένων όντων ατές καθ εατές, αλλά οι σζγείς τος. Ο Παρατηρητής μας βλέπει και μετρά το αντικείμενο της Επιστήμης το στην εκάστοτε σζγή το θέση. Η διαπίστωση ατή, η οποία παραπέμπει στο Παράδειγμα των σκιών το σπηλαίο, το αναφερομένο στο έβδομο βιβλίο της Πολιτείας (Πλάτων, ~370 π.χ.), έχει σνέπειες κεφαλαιώδος σημασίας για την σύγχρονη Φσική. Θα αποδείξω ότι: Για δεδομένο μέτρο της ταχύτητος μετρημένης με το LASC, και δεδομένη φορά διαγραφής της εθείας Ε από το λικό σημείο, τα στοιχεία (σημεία) των δύο περκειμένων σημειοσειρών σνδέονται αμφιμονοσήμαντα στον Εκλείδειο Χώρο. Δηλαδή, στον Εκλείδειο Χώρο σε σγκεκριμένη θέση Α αντιστοιχεί μια και μόνη σζγής θέση Α και, αντίστροφα, σε σγκεκριμένη σζγή θέση Α αντιστοιχεί μια και μόνη θέση Α. Απόδειξη: Ξεκινώ από το αντίστροφο, (Σχ.3), διότι είναι πιο εύκολο. (2) Έστω ότι δίδεται η σζγής θέση Α, η φορά διαγραφής και η ταχύτητα μετρημένη με το LASC. Ζητείται η θέση Α. Εκ της σχέσεως (2) προκύπτει: = ΑΑ ΑΟ (3) Σχ.3 6

7 Όλα τα μεγέθη στο 2 ο μέλος της εξίσωσης (3) είναι γνωστά, οπότε είναι γνωστή η απόσταση Α Α. Έτσι με κέντρο το Α και ακτίνα ίση με Α Α πο δίδεται από την (3) γράφω περιφέρεια η οποία τέμνει την εθεία Ε σε δύο σημεία το Α 1 και το Α. Το Α είναι η θέση πο έχει σζγή την Α για ταχύτητα και την φορά διαγραφής το σχήματος, ενώ το Α 1 είναι η θέση πο έχει σζγή την Α για το ίδιο μέτρο ταχύτητος αλλά για την αντίθετη φορά διαγραφής. Παρατηρούμε ότι οι δύο θέσεις Α και Α 1 πο έχον σζγή την Α, για το ίδιο μέτρο ταχύτητος και για τις δύο αντίθετες φορές διαγραφής, είναι σμμετρικές ως προς την σζγή. Το ορθόν δεν είναι τόσο προφανές. Τώρα δίδεται η θέση Α, η φορά διαγραφής και το μέτρο της ταχύτητος μετρημένης με το LASC. Ζητείται η σζγής θέση Α (Σχ.4). Έστω ότι βρέθηκε η Α. Στο τρίγωνο ΟΑ Α φέρω την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας Α. Έστω ότι τέμνει την ΟΑ σ ένα σημείο Μ. Φέρω επίσης και την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας Α, έστω ότι τέμνει την προέκταση της ΟΑ σ ένα σημείο Η. Η γωνία ΜA Η είναι ορθή. Βάσει το θεωρήματος της διχοτόμο ισχύει: ΜΑ ΗΑ Α Α = = = ΜΟ ΗΟ Α Ο Έτσι, δοθείσης της θέσεως Α, φέρω την ΟΑ και την προεκτείνω. Διαιρώ την ΟΑ εσωτερικά σε λόγο Υπάρχει MA ένα και μόνο ένα σημείο Μ έτσι ώστε: = MO Σχ.4. Διαιρώ την ΟΑ εξωτερικά σε λόγο. Υπάρχει ένα και μό- HA νο ένα σημείο H έτσι ώστε =. Με διάμετρο την ΜΗ γράφω την Απολλώνειο περιφέρεια, η οποία τέμνει HO την εθεία Ε σε δύο σημεία το Α και το Α. Το Α είναι η σζγής θέση της Α για μέτρο ταχύτητος και φορά διαγραφής την το σχήματος, ενώ το Α είναι η σζγής θέση της Α για το ίδιο μέτρο της ταχύτητος και την αντίθετη φορά διαγραφής. Τούτο ισχύει διότι η Απολλώνειος περιφέρεια έτσι ορισμένη, δηλαδή με διάμετρο τη ΜΗ, είναι ο γεωμετρικός τόπος (στο επίπεδο) των σημείων των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα δοθέντα σημεία Α και Ο είναι ο δοθείς ( διάφορος της μονάδας). Παρατηρούμε ότι οι δύο σζγείς θέσεις Α και Α της θέσεως Α για το ίδιο μέτρο ταχύτητος και για τις δύο αντίθετες φορές διαγραφής δεν είναι σμμετρικές ως προς την θέση. Εδώ χάσαμε την σμμετρία. Βρήκαμε όμως κάτι άλλο. Βρήκαμε την Αρμονία. Τούτο διότι η τετράς των σημείων Η,Μ,Α,Ο, είναι Αρμονική. (ΗA) (HO) (HA) (AM) Ο διπλούς λόγος (προσημασμένος): (ΗΜΑΟ) = : = : = : - (ΑΜ) (OM) (HO) (OM) = -1 (4) 7

8 παρατηρούμε ότι ισούται με -1, γεγονός πο αποτελεί την ικανή και αναγκαία σνθήκη της αρμονικής τετράδας. Θεωρούμε την δέσμη των παραλλήλων προς την εθεία Ε την διερχόμενη από τα σημεία Η, Μ, Ο. Η δέσμη ατή και η εθεία Ε, αποτελούν αρμονική τετράδα, είναι δε ανεξάρτητη της θέσεως Α. Βάσει ατής της δέσμης μπορούμε να έχομε μια γρήγορη εύρεση της σζγούς. Διότι η τχούσα επιβατική ακτίνα ΟΑ i τέμνει τα δύο πόλοιπα στοιχεία της δέσμης στα σημεία Μ i και Η i και με διάμετρο την Μ i H i γράφομε την Απολλώνειο περιφέρεια της οποίας οι τομές με την εθεία Ε δίδον τις σζγείς Α i και Α i. Έτσι Ο Χώρος της Νόησης (Σνείδησης), το ΕΙΝΑΙ, το ΝΟΕΙΝ, το αρχαίο φιλοσόφο Παρμενίδο και αργότερα το Πλάτωνος, ο χώρος πο ερίσκεται μέσα στο κεφάλι μας (σημειοσειρά Α), σνδέεται με τον χώρο της Αίσθησης, (βλέπω ότι είναι, μετρώ ότι είναι, σημειοσειρά Α ), τον χώρο πο ερίσκεται έξω από το κεφάλι μας ΟΧΙ ΤΥΧΑΙΑ, αλλά μέσω ατής της ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΕΣΜΗΣ. Εξ αιτίας κρίως ατής της διαπίστωσης πήρε και η Θεωρία της Αρμονικότητος το Πεδίο το Φωτός το όνομά της. Βεβαίως η αποδειχθείσα αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία θέσης-σζγούς θέσης ισχύει μόνον στον Εκλείδειο χώρο. Στον Προβολικό τα πράγματα αλλάζον ριζικά, διότι η Προβολική εθεία είναι γραμμή κλειστή, εν αντιθέσει με την Εκλείδεια πο είναι γραμμή ανοικτή. Έτσι στον Προβολικό χώρο και οι δύο λύσεις, πο δίνει η Απολλώνειος περιφέρεια είναι αποδεκτές. Καταργείται δηλαδή η αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία θέσης-σζγούς θέσης πο ισχύει στον Εκλείδειο χώρο. Είναι δηλαδή δνατόν ένα κινούμενο λικό σημείο να φαίνεται ότι βρίσκεται τατόχρονα σε δύο διαφορετικές θέσεις. 4. ΤΑ ΔΥΟ ΝΕΑ ΘΕΜΕΛΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 4.1. ΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΥΠΟΦΩΤΟΝΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΜΕΤΡΗΜΕΝΗ ΑΠΟ ΤΟ LASC Έστω (Σχ.5) λικό σημείο Α κινούμενο επί της Προβολικής Εθείας Ε με ταχύτητα, μετρημένη με το επεκτεταμένο ρολόι, (LASC), μικρότερη της ταχύτητας το φωτός b = < 1. Για σγκεκριμένο Παρατηρητή στο Ο, σγκεκριμένη θέση Α, και δοθέν μέτρο της ταχύτητας, η Α- πολλώνειος Περιφέρεια πο δίνει ως λύσεις τις σζγείς θέσεις Α και Α είναι μια και μοναδική, μονοσήμαντα ορισμένη. Η ΑΠΟΛΛΩΝΕΙΟΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΓΙΑ ΥΠΟΦΩΤΟΝΙΚΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ Σχ.5 8

9 Επειδή δε <, έπεται ότι το ζεύγος Α, χωρίζει το ζεύγος των σζγών Α και Α. Η θέση Α δηλαδή, βρίσκεται πάντοτε «μεταξύ» των σημείων Α και Α. Έτσι λοιπόν, με δεδομένα τα σημεία Ο και Α και δεδομένο το μέτρο της ταχύτητας, προκύπτον οι δύο λύσεις Α και Α (σζγείς θέσεις), στις οποίες ο Παρατηρητής Ο βλέπει τατόχρονα το κινούμενο λικό σημείο, στον Προβολικό Χώρο. Αντιστρέφοντας τώρα τη παραπάνω πρόταση και θεωρώντας δεδομένες τις σζγείς θέσεις Α και Α και δεδομένο το μέτρο της ταχύτητας το λικού σημείο, (όπο < ), θέτω το εξής Ερώτημα: Ποίος είναι ο Γεωμετρικός Τόπος των θέσεων Παρατήρησης Ο, από τις οποίες ένα κινούμενο λικό σημείο επί της Προβολικής Εθείας Ε με δεδομένο μέτρο ταχύτητος ( < ), φαίνεται τατόχρονα σε δύο δεδομένα σημεία Α και Α της εν λόγω Προβολικής Εθείας; Απάντηση: Έστω Α η θέση. Ατή και το επ άπειρον σημείο της Προβολικής Εθείας Ε χωρίζον το ζεύγος των σζγών. Επί πλέον δε ισχύον οι σχέσεις: AA AO = = b (5) και AA AO = = b (6). Τα διαστήματα τα θεωρώ κατ απόλτο τιμή. Έτσι δεν έχει σημασία αν γράφω Α Α ή ΑΑ, κ.τ.λ. Τα διαστήματα θα θεωρούνται προσημασμένα μόνον όταν βρίσκονται εντός παρενθέσεως. Εκ των (5) και (6) προκύπτει: AA OA + 1 = + 1 = AA OA Θέτω AA A A = AO A O λ e AA + AA = AA = 2γ = της (6) καταλήγω: OA + OA = (7) Σνεπώς: AA OA = = AA OA λ e (8) οπότε: A A + AA OA + OA + 1 (9). Επομένως: = = λ e + 1 AA OA δοθέν και σταθερό, έτσι: 2γ b (11) OA OA + OA = 2γ AA (10) και δνάμει Επομένως, επειδή το άθροισμα των αποστάσεων των θέσεων Παρατήρησης από τα δοθέντα σημεία Α και Α είναι σταθερό, έπεται ότι: Η Θέση Παρατήρησης Ο, «γράφει» στο Επίπεδο Έ λ λ ε ι ψ η με εστίες τα σημεία Α και Α δηλαδή με εστιακή απόσταση Α Α = 2γ. Εύρεση των στοιχείων της έλλειψης. Σμβολίζοντας με α το μεγάλο ημιάξονα και με β το μικρό, ισχύει: α = β + γ (12) 2 Επίσης ισχύει: 2α= OA + OA σνεπώς, δνάμει της (11), 2α= γ γ γ, άρα b =. Αλλά ο λόγος είναι, b α α εξ ορισμού, η εκκεντρότητα ε της έλλειψης, επομένως: ε γ = = b = α (13) Ορμώμενος από τα παραπάνω διατπώνω το: 9

10 ΠΡΩΤΟ ΝΕΟ ΘΕΜΕΛΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ο Γεωμετρικός Τόπος των θέσεων Παρατήρησης από τις οποίες ένα λικό σημείο κινούμενο επί Προβολικής Εθείας Ε με ποφωτονική ταχύτητα, μετρημένη με το επεκτεταμένο ρολόι, φαίνεται να βρίσκεται τατόχρονα σε δύο δοθέντα σημεία Α και Α ατής, είναι, εις το Επίπεδο, Έλλειψη πο έχει εστίες τα σημεία Α και Α και εκκεντρότητα b ε = =. Επειδή δίνονται οι εστίες και η εκκεντρότητα, η έλλειψη είναι πλήρως καθορισμένη. Επίσης, επειδή το θεωρηθέν επίπεδο είναι τχόν, σνάγεται: ΠΡΩΤΟ ΠΟΡΙΣΜΑ Ο Γεωμετρικός Τόπος των θέσεων Παρατήρησης από τις οποίες ένα λικό σημείο κινούμενο επί Προβολικής Εθείας Ε με ποφωτονική ταχύτητα, μετρημένη με το επεκτεταμένο ρολόι, φαίνεται να βρίσκεται τατόχρονα σε δύο δοθέντα σημεία Α και Α ατής, είναι, εις το Χώρο, η επιφάνεια Ελλειψοειδούς εκ Περιστροφής, το οποίον παράγεται από την περί τον εστιακό άξονα περιστροφή της ανωτέρω Έλλειψης. Σχεδιάζοντας στην παρούσα σελίδα τη σγκεκριμένη Έλλειψη, (Σχ. 6), θέτω εντός παρενθέσεως, τις σντεταγμένες των κορφών της καθώς και των εστιών της Α και Α, ως προς ορθογώνιο Καρτεσιανό σύστημα με αρχή το κέντρο της Κ. Είναι εύκολο να αποδειχθούν και τα εξής πορίσματα, (Ρατόπολος Δ.,2004, σελ ): - Ο μικρός (δετερεύων) άξονας της έλλειψης, ισούται με το μεγάλο (πρωτεύοντα) άξονα ατής σνεσταλμένο κατά τη Σστολή Lorentz. Σχ.6 10

11 - Η εφαπτομένη της κωνικής σε τχούσα θέση Παρατήρησης είναι κάθετος επί την αντίστοιχη επιβατική ακτίνα. - Τα ζεύγη της θέσεως (Α) το κινομένο λικού σημείο και της τομής της εφαπτομένης της κωνικής, στην αντίστοιχη θέση Παρατήρησης, με την Προβολική Εθεία Ε (Α Η ), κείνται εν Ενελίξει. - Ενώ σε κάθε θέση Παρατήρησης Ο αντιστοιχεί μια και μόνη θέση Α, σε κάθε θέση Α αντιστοιχούν (εν γένει) δύο θέσεις Παρατήρησης Ο, σμμετρικές ως προς τον εστιακό άξονα. - Όταν το λικό σημείο βρεθεί εντός των (Εκλείδειων) διαστημάτων Α Α ls και Α l Α, δεν πάρχει δνατότητα τατόχρονης Παρατήρησής το στα δοθέντα σημεία Α και Α. Με άλλα λόγια, εντός των ανωτέρω διαστημάτων καταρρέει η κματοσνάρτηση ΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΥΠΕΡΦΩΤΟΝΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΜΕΤΡΗΜΕΝΗ ΑΠΟ ΤΟ LASC Με προηγούμενη εργασία μας αποδείξαμε ότι δεν πάρχει φσικός νόμος πο να απαγορεύει στην ύλη να κινηθεί με περφωτονική ταχύτητα ( Raftopoulos D., 2007). Το δήθεν σμπέρασμα της Θεωρίας της Ειδικής Σχετικότητας, ( Einstein A.,1905), είναι κρφή προϋπόθεση της αναλτικής παραγωγής το Μετασχηματισμού το Lorentz. Δίχως ατή την προϋπόθεση, σύμφωνα με την οποία η ταχύτης της κινούμενης ράβδο στο νοητικό πείραμα το Einstein είναι ποφωτονική, το εκπεμπόμενο φωτεινό σήμα από το πίσω άκρο της ράβδο, θεωρούμενο από το σύστημα ηρεμίας, δεν πρόκειται ποτέ να φθάσει στο εμπρός άκρο της ράβδο. Έτσι το νοητικό πείραμα το Einstein δεν θα είχε περατωθεί και το καταστατικό άρθρο της Θεωρίας της Ειδικής Σχετικότητας δεν θα είχε γραφεί. Β > 1 Έστω (Σχ.7), λικό σημείο Α κινούμενο επί της Προβολικής Εθείας Ε με ταχύτητα, μετρημένη με το επεκτεταμένο ρολόι, μεγαλύτερη της ταχύτητας το φωτός ( = ). Για σγκεκριμένο Παρατηρητή Ο, σγκεκριμένη θέση Α και δοθέν μέτρο της ταχύτητας, η Απολλώνειος Περιφέρεια πο δίδει ως λύσεις τις σζγείς θέσεις Α και Α είναι μια και μοναδική, μονοσήμαντα ορισμένη. Επειδή >, έπεται ότι το ζεύγος Α, δεν χωρίζει το ζεύγος των σζγών Α και Α, πό την προϋπόθεση ότι ατά πάρχον. Και τούτο διότι, εδώ ειδικά, κάθε Απολλώνειος δεν έχει πραγματικά σημεία τομής με την Προβολική Εθεία Ε, καθόσον μπορεί να βρίσκεται «στον αέρα». Προκειμένο λοιπόν να πάρχον πραγματικές λύσεις Α και Α πρέπει και αρκεί η γωνία θ πο σχηματίζεται μεταξύ της επιβατικής ακτίνας ΟΑ και της καθέτο ΟΡ να είναι κατά μέτρο μεγαλύτερη της οριακής γωνίας ω, όπο osω =. (Βλ. Ρατόπολος Δ.,2004, σελ ). Η ΑΠΟΛΛΩΝΕΙΟΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΥΠΕΡΦΩΤΟΝΙΚΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ Σχ.7 11

12 Έτσι λοιπόν με δεδομένα τα σημεία Ο και Α και δεδομένο το μέτρο της ταχύτητας και εφ όσον θ > ω, προκύπτον δύο λύσεις Α και Α (σζγείς θέσεις), στις οποίες ο Παρατηρητής στη θέση Ο βλέπει τατόχρονα το κινούμενο λικό σημείο στον Προβολικό Χώρο. Τώρα, αντιστρέφοντας το σλλογισμό μο και θεωρώντας δεδομένες τις σζγείς θέσεις Α και Α και δεδομένο το μέτρο της ταχύτητας το λικού σημείο, (όπο > ), θέτω το Ερώτημα: Ποίος είναι ο Γεωμετρικός Τόπος των θέσεων Παρατήρησης Ο, από τις οποίες ένα κινούμενο επί της Προβολικής Εθείας Ε λικό σημείο, με δεδομένο μέτρο ταχύτητας ( > ), φαίνεται τατόχρονα σε δύο δεδομένα σημεία Α και Α της εν λόγω Προβολικής Εθείας; Απάντηση: Έστω Α η θέση. ατή, καθώς και το επ άπειρον σημείο της Προβολικής Εθείας Ε δεν χωρίζον το ζεύγος των σζγών. Επί πλέον ισχύον οι σχέσεις: AA AO = = B (14) και AA AO = = B (15). Τα διαστήματα τα θεωρώ κατ απόλτο τιμή. Έτσι δεν έχει σημασία αν γράφω Α Α ή ΑΑ, κ.τ.λ. Τα διαστήματα θα θεωρούνται προσημασμένα μόνον όταν βρίσκονται εντός παρενθέσεως. Εκ των (14) και (15) προκύπτει: AA A A = AO A O (16) σνεπώς: AA AO = = AA AO λ h (17) και επομένως: AA AO -1= -1= λ -1 AA AO h (18) Οπότε: έτσι: AA-AA AO-AO = = AA AO AO OA - OA = 2γ AA λ h -1 (19). Θέτω AA-AA = AA = 2γ = δοθέν και σταθερό, και δνάμει της (14) καταλήγω: = 2γ B OA - OA (20). Επομένως, επειδή η διαφορά των αποστάσεων των θέσεων Παρατήρησης Ο από τα δοθέντα σημεία Α και Α είναι σταθερή, έπεται ότι: Η Θέση Παρατήρησης Ο, «γράφει» στο Επίπεδο Υπερβολή με εστίες τα σημεία Α και Α δηλαδή με εστιακή απόσταση Α Α = 2γ. Εύρεση των στοιχείων της περβολής: Σμβολίζοντας με α τον πρωτεύοντα ημιάξονα και με β το δετερεύοντα, ισχύει: γ=α + β και η εξίσωση της περβολής ως προς Καρτεσιανό σύστημα ορθογωνίων αξόνων με αρχή το κέντρο της Κ και άξονα των τετμημένων τον εστιακό, είναι: y 2 2 X α β = (21). Εφαρμόζοντας την εξίσωση (20) για τη μία κορφή της περβολής προκύπτει: 2γ γ γ α+ γ -( γ - α)= = B > 1. Αλλά ο λόγος είναι, εξ ορισμού, η εκκεντρότητα ε της περβολής, επομένως: B α α ε γ = = Β = α (22). Ορμώμενος από τα παραπάνω διατπώνω το: ΔΕΥΤΕΡΟ ΝΕΟ ΘΕΜΕΛΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ο Γεωμετρικός Τόπος των θέσεων Παρατήρησης από τις οποίες ένα λικό σημείο κινούμενο επί Προβολικής Εθείας Ε με περφωτονική ταχύτητα, μετρημένη με το επεκτεταμένο ρολόι, φαίνεται να βρίσκεται τατόχρονα σε δύο δοθέντα σημεία Α και Α ατής, είναι, εις το Επίπεδο, Υπερβολή πο έχει εστίες τα σημεία Α και Α και εκκεντρότητα B ε = =. Καθώς δίνονται οι εστίες και η εκκεντρότητα, η περβολή είναι πλήρως καθορισμένη. Επίσης, επειδή το θεωρηθέν επίπεδο είναι τχόν, σνάγεται: 12

13 ΔΕΥΤΕΡΟ ΠΟΡΙΣΜΑ Ο Γεωμετρικός Τόπος των θέσεων Παρατήρησης από τις οποίες ένα λικό σημείο κινούμενο επί Προβολικής Εθείας Ε με περφωτονική ταχύτητα, μετρημένη με το επεκτεταμένο ρολόι, φαίνεται να βρίσκεται τατόχρονα σε δύο δοθέντα σημεία Α και Α ατής, είναι, εις το Χώρο, η επιφάνεια Υπερβολοειδούς εκ Περιστροφής το οποίον παράγεται από την περί τον εστιακό άξονα περιστροφή της ανωτέρω Υπερβολής. Για τον δετερεύοντα ημιάξονα της περβολής ισχύει: β = γ 2 - α = α (Β -1). Σνεπώς: Οι εξισώσεις των ασμπτώτων της περβολής είναι: Για την οξεία γωνία των ασμπτώτων είναι: X y - 0 α β = και 2 2 β = α Β -1 = α -1. X y + = 0. α β β tanω = B -1 osω α = = B = Είναι εύκολο να αποδειχθούν και τα εξής πορίσματα, ( Ρατόπολος Δ., 2004,σελ ): - Η οξεία γωνία την οποία σχηματίζει εκατέρα των ασμπτώτων της περβολής με τον εστιακό άξονα ατής, ι- σούται με τη γωνία ω, την οποία σχηματίζει η οριακή επιβατική ακτίνα το σημείο Α Ο με την κάθετο, ακτίνα πο αντιστοιχεί στην Απολλώνειο Περιφέρεια την εφαπτομένη με την Προβολική Εθεία με άλλα λόγια = (Αρχή το Χώρο Κενού Πεδίο). osω Σχ.8 13

14 - Η εφαπτομένη της κωνικής σε τχούσα θέση Παρατήρησης είναι κάθετος επί την αντίστοιχη επιβατική ακτίνα. - Τα ζεύγη της θέσεως (Α) το κινομένο λικού σημείο και της τομής της εφαπτομένης της κωνικής, στην αντίστοιχη θέση Παρατήρησης, με την Προβολική Εθεία Ε (Α Η ), κείνται εν Ενελίξει. - Ενώ σε κάθε θέση Παρατήρησης Ο αντιστοιχεί μια και μόνη θέση Α, σε κάθε θέση Α αντιστοιχούν (εν γένει) δύο θέσεις Παρατήρησης Ο, σμμετρικές ως προς τον εστιακό άξονα. - Όταν το λικό σημείο βρεθεί εντός των (Εκλείδειων) διαστημάτων Α Α ls και Α l Α, δεν πάρχει δνατότητα τατόχρονης Παρατήρησής το στα δοθέντα σημεία Α και Α. Με άλλα λόγια, εντός των ανωτέρω διαστημάτων καταρρέει η κματοσνάρτηση. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Στον Προβολικό Χώρο της Θεωρίας της Αρμονικότητος το Πεδίο το Φωτός είναι δνατόν ένα εθγράμμως κινούμενο λικό σημείο να φαίνεται ότι βρίσκεται τατόχρονα σε δύο διαφορετικές θέσεις και, επομένως, καταστάσεις. Το γεγονός ατό εξηγεί απολύτως λογικά και με σνέπεια, χωρίς την επίκληση μεταφσικών ιδιοτήτων της ύλης, το Κβαντομηχανικό Μστήριο της διαπλοκής ή επαλληλίας (entanglement) των καταστάσεων το παρατηρομένο όντος. Η Θεωρία διατπώνει δύο θεμελιώδη θεωρήματα καθώς και πλήθος πορισμάτων, πο α- φορούν στην επαλληλία θέσεων- καταστάσεων στην ειδική περίπτωση πο το παρατηρούμενο κινείται εθγράμμως και ομαλώς. Επίσης από τη Θεωρία προκύπτει, εξ ίσο λογικά, και κάποια σνθήκη Αναγωγής (Redution) το καταστατικού διανύσματος, δηλαδή κατάρρεσης της κματοσνάρτησης. ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Λαδόπολος Π. (1966), Στοιχεία Προβολικής Γεωμετρίας, Τόμος Πρώτος, σελ. 2, Καραβία, Αθήνα 2. Πλάτωνος, Πολιτεία, βιβλίον έβδομον, 514A-518B, σελ , Πάπρος, Αθήνα 3. Ρατόπολος Δ. (1979), Περί της Αρμονικότητος το Πεδίο, ατοέκδοση, Αθήνα. 4. Ρατόπολος Δ., (2004), Η Θεωρία της Αρμονικότητος το Πεδίο το Φωτός, Τόμος Α, ατοέκδοση, Αθήνα, ISBN Ελεύθερη πρόσβαση στο Α.Π.Θ Einstein Α., (1905), Για την ηλεκτροδναμική των κινομένων σωμάτων, (Αϊνστάιν 1905 annus mirabilis), σελ , Γκοβόστης, Αθήνα 2000, ISBN Χ. 6. Feynman R., (1964), The Feynman Letures on Physis, Addison-Wesley, II Raftopoulos D., (2007), «On Synhronized Cloks at the Ends of a Moving Rod», Physis Essays, Vol.20, issue2, June2007, p.p Το άρθρο δημοσιεύεται στο: 13 ο Πανελλήνιο Σνέδριο της Ένωσης Ελλήνων Φσικών Πάτρα, Μαρτίο 2010 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΟΣ "Ερενητικά αποτελέσματα και τεχνολογίες για τη βελτίωση της ποιότητας ζωής" ISBN Αρ. εργασίας : 18 Αρ. σελίδων : 14 14

2-4 ΜΑΡΤΙΟΥ 2007, ΚΕΡΚΥΡΑ. Η θεμελίωση της Θεωρίας της Αρμονικότητος του Πεδίου του Φωτός. Μια νέα προσέγγιση της Σχετικιστικής Ορμής.

2-4 ΜΑΡΤΙΟΥ 2007, ΚΕΡΚΥΡΑ. Η θεμελίωση της Θεωρίας της Αρμονικότητος του Πεδίου του Φωτός. Μια νέα προσέγγιση της Σχετικιστικής Ορμής. ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΣΤΟ 10 ο ΚΟΙΝΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΤΩΝ ΕΝΩΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΙ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ -4 ΜΑΡΤΙΟΥ 007, ΚΕΡΚΥΡΑ ΤΙΤΛΟΣ: Η θεμελίωση της Θεωρίας της Αρμονικότητος το Πεδίο το Φωτός. Μια νέα προσέγγιση της

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΣΚΟΤΕΙΝΗΣ ΥΛΗΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Η ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΣΚΟΤΕΙΝΗΣ ΥΛΗΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Η ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΣΚΟΤΕΙΝΗΣ ΥΛΗΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Διονύσης Γ. Ρατόπολος Μ-Η Μηχανικός ΕΜΠ, Ανεξάρτητος Ερενητής, τηλ. 22910-79152, κιν. 6944-295405, e-mail: draft@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Μορφής των Κινουμένων Σωμάτων

Περί της Μορφής των Κινουμένων Σωμάτων ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΣΤΟ 1 ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΤΗΣ ΕΝΩΣΗΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΒΑΛΑ, 0-3 ΜΑΡΤΙΟΥ 008 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΥΠΟΚΑΤΗΓΟΡΙΑ : ΤΙΤΛΟΣ : ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ : 7. Φιλοσοφία, Τέχνη 7. Φιλοσοφική διάσταση

Διαβάστε περισσότερα

13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική του Υλικού Σημείου 15/9/2014

13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική του Υλικού Σημείου 15/9/2014 13 Γενική Μηχανική 1 Γενικότητες Κινηματική το Υλικού Σημείο 15/9/14 Η Φσική της Α Λκείο σε 8.1 sec 1. Γενικότητες Κινηματική το λικού σημείο Μεταβολή & Ρθμός μεταβολής Μεταβολή ενός μεγέθος ονομάζομε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ» Τι καλείται εμαδόν επίπεδης επιφάνειας; Το εμαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, πο εκφράζει την έκταση πο καταλαμάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Βασική θεωρία & μεθοδολογία

Βασική θεωρία & μεθοδολογία Ελεύθερη πτώση Σημειώσεις Φσικής Βασική θεωρία & μεθοδολογία Οριζόντια βολή Αν από κάποιο ύψος h εκτοξεύσομε ένα σώμα με οριζόντια ταχύτητα 0 και κατά τη διάρκεια της κίνησής το δέχεται μόνο το βάρος το,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Doppler Ακίνητη πηγή ομαλά κινούμενος παρατηρητής

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Doppler Ακίνητη πηγή ομαλά κινούμενος παρατηρητής A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Dopple Ακίνητη πηγή ομαλά κινούμενος παρατηρητής Η ακίνητη πηγή ταλαντώνεται με σχνότητα και παράγει εγκάρσια κύματα στην επιφάνεια γρού. Τα κύματα διαδίδονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ειδική Θεωρία Σχετικότητας

Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σύνολο διαφανειών 8/3/07 Γ. Βούλγαρης Πριν τον Αινστάιν. Νόμος το Νεύτωνα. Αδρανειακά Σστήματα. Σχετικότητα στη Μηχανική. Οι νόμοι της Μηχανικής αναλλοίωτοι στα αδρανειακά σστήματα.

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Θεωρίας και Τυπολόγιο

Επανάληψη Θεωρίας και Τυπολόγιο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Θεωρίας και Τπολόγιο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Γενικές έννοιες Περιοδική ονομάζεται η κίνηση πο επαναλαμβάνεται κατά τον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Physica by Chris Simopoulos

Physica by Chris Simopoulos ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ - ΘΜΚΕ Η μηχανική ενέργεια είναι το άθροισμα της κινητικής και της δναμικής ενέργειας το σώματος. Όπως είναι γνωστό οι σχέσεις πο δίνον τις ενέργειες ατές είναι: E = 1.m. (7) και Ε Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών. Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη

Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών. Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη Ιστορικά Η μεταφορά αντικειμένων του Χώρου των τριών διαστάσεων στο επίπεδο έχει τις ρίζες της στην προϊστορική

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Στα προβλήματα ατού το κεφαλαίο, το πρώτο πο πρέπει να διακρίνομε είναι αν έχομε ισορροπία, μόνο στροφική κίνηση (δηλαδή γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής)

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ 1. Βασικά Αξιώματα Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας - Μετασχηματισμοί Lorentz Σύμφωνα με την Κλασσική Μηχανική το Newton μια σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

9 Φαινόµενο Ντόµπλερ(Doppler)

9 Φαινόµενο Ντόµπλερ(Doppler) Φσική Γ Λκείο 9 Φαινόµενο Ντόµπλερ(Doppler) Στεκόµαστε ακίνητοι στην αποβάθρα ενός σταθµού. Ενα τραίνο µε ανοικτή τη σειρήνα το, κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα µας πλησιάζει και στη σνέχεια µας προσπερνά.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Πολλαπλής Επιλογής. Σωστού - Λάθους. Ερωτήσεις και Ασκήσεις στο φαινόµενο Doppler

ΘΕΜΑ Α. Πολλαπλής Επιλογής. Σωστού - Λάθους. Ερωτήσεις και Ασκήσεις στο φαινόµενο Doppler ΘΕΜΑ Α Ερωτήσεις και Ασκήσεις στο Φαινόµενο Doppler Πολλαπλής Επιλογής 1. Παρατηρητής πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα ακίνητη ηχητική πηγή και αντιλαμβάνεται ήχο σχνότητας f. Αν η ταχύτητα το ήχο στον αέρα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Μην χάσουμε τον σύνδεσμο ή τον κινηματικό περιορισμό!!!

Μην χάσουμε τον σύνδεσμο ή τον κινηματικό περιορισμό!!! Μην χάσομε τον σύνδεσμο ή τον κινηματικό περιορισμό!!! Σε πάρα πολλές περιπτώσεις κατά τη µελέτη το στερεού, το πρόβληµα επιλύεται µε εφαρµογή το ο νό- µο το Νεύτωνα, τόσο για την περιστροφική κίνηση κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο οµογενή και χρονοανεξάρτητα

Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο οµογενή και χρονοανεξάρτητα Κίνηση φορτισµένο σωµατιδίο σε χώρο, όπο σνπάρχον ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο οµογενή και χρονοανεξάρτητα Α. Τι βλέπει ένας αδρανειακός παρατηρητής Σε ένα αδρανειακό σύστηµα σνπάρχον δύο οµογενή και

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

υ = 21 s ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Εφαρμογές του φαινομένου Doppler)

υ = 21 s ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Εφαρμογές του φαινομένου Doppler) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Εφαρμογές το φαινομένο Doppler) Ένας παρατηρητής πλησιάζει με ταχύτητα ακίνητη πηγή ήχο, η οποία εκπέμπει ήχο σχνότητας f s. Ο παρατηρητής ακούει ήχο σχνότητας f η οποία είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων. ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική θεωρία (Θεωρία της Σχετικότητας) για τους υποψήφιους ΠΕ0401 του ΑΣΕΠ

Ενδεικτική θεωρία (Θεωρία της Σχετικότητας) για τους υποψήφιους ΠΕ0401 του ΑΣΕΠ Ενδεικτική θεωρία (Θεωρία της Σχετικότητας) για τος ποψήφιος ΠΕ41 το ΑΣΕΠ Α Το πείραμα Mihelson Morley. Κ Κ3 Κ1 Σύμφωνα με τις εξισώσεις το Mawell, η ταχύτητα το φωτός είναι ένα 1 σταθερό μέγεθος ίσο με

Διαβάστε περισσότερα

είναι τα διανύσματα θέσης της τελικής και της αρχικής του θέσης αντίστοιχα. Η αλγεβρική τιμή της μετατόπισης είναι Δx xτελ xαρχ

είναι τα διανύσματα θέσης της τελικής και της αρχικής του θέσης αντίστοιχα. Η αλγεβρική τιμή της μετατόπισης είναι Δx xτελ xαρχ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Ύλη και κίνηση Ένα σώμα λέμε ότι κινείται όταν αλλάζει σνεχώς θέσεις ως προς ένα άλλο σώμα το οποίο θεωρούμε ακίνητο Η κίνηση ή η ακινησία των σωμάτων είναι έννοιες σχετικές και εξαρτούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 3.

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 3. Το θέμα του 05, (επαναληπτικές) Εσωτερικές λληλεπιδράσεις Νο 3. Δύο ράβδοι είναι συνδεδεμένες στο άκρο τους και σχηματίζουν σταθερή γωνία 60 ο μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Οι ράβδοι είναι διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.oas.weebl.o ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ: ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ: ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ: Ταξιδεύοντας τα τρία τελευταία χρόνια στον πανέμορφο κόσμο των μαθηματικών ως φετινός υποψήφιος στις πανελλαδικές εξετάσεις, αποφάσισα λοιπόν να δημιουργήσω κι εγώ μία άσκηση. Όλα ξεκινούν από

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΕΥΘΥΝΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΑ Η διάδοση μιας διαταραχής μέσα σ' ένα μέσο ονομάζεται κύμα. Για τη δημιοργία ενός μηχανικού κύματος

Διαβάστε περισσότερα

όµως κινείται εκτρέπεται από την πορεία του, ένδειξη ότι το σωµατίδιο δέχονται δύναµη, από τα στατικά µαγνητικά πεδία. ανάλογη:

όµως κινείται εκτρέπεται από την πορεία του, ένδειξη ότι το σωµατίδιο δέχονται δύναµη, από τα στατικά µαγνητικά πεδία. ανάλογη: Φσικός ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ( Fields) 47 ΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΣΚΕΙ ΤΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΣΕ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΦΟΡΤΙΟ ύναµη Lorentz Ένα ακίνητο φορτισµένο σωµατίδιο (0) δεν αντιδρά µέσα σε ένα στατικό µαγνητικό πεδίο. ηλαδή δεν

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΙ ΤΠΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ ΣΥΝΤΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΥ Α( 1, y 1 ΑΠ ΤΗΝ ΑΡΧΗ (0, 0 των αξόνων: (A = + y 1 1 Αν έχουμε τον μιγαδικό αριθμό 1 = 1 + i y 1 με εικόνα στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Αναλυτική Γεωμετρία Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Αναλυτική Γεωμετρία 4.1 Εξίσωση Καμπύλης Έστω C μια καμπύλη στο R. H C αποτελείται από άπειρα σημεία Μ(x,y). Έξίσωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΓΥΜΝΑΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Στο άρθρο αυτό παρουσιάζουμε τη βασική θεωρία της γεωμετρίας της αντιστροφής, ή της συμμετρίας ως προς κύκλο όπως αποκαλείται συχνά. Το άρθρο είναι δομημένο σε τρία μέρη ως εξής: Α ΜΕΡΟΣ Παρουσίαση των

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα