ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο. Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα Ορίζουμε τις συναρτήσεις: ftgtdt,,, G gtdt,, F, για την οποία ισχύει f, για την οποία ισχύει g για κάθε,. α. Να δειχθεί ότι F για κάθε στο διάστημα,. β. Να αποδειχθεί ότι: fg F για κάθε στο διάστημα,. γ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: δ. Να βρεθεί το όριο: (Πανελλαδικές 7) Λύση: για κάθε στο διάστημα F F G G f t g t dt ημt dt lim 5 g t dt.,. α. Η F ft gtdt είναι παραγωγίσιμη στο, αφού οι f,g είναι συνεχείς στο F f t g t dt F f g Η f είναι γνησίως αύξουσα στο g δηλαδή για κάθε, αύξουσα στο, με F,, με, άρα για κάθε, θα ισχύει θα έχουμε f g. Οπότε και f. Έτσι αν, τότε: F F F... f f και δηλαδή F γνησίως β. Έστω: fgffgf f g t dt f t g t dt f f t g t dt Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι f ft g t όταν t, f g t dt f t g t dt Η f αύξουσα στο, άρα για κάθε t θα έχουμε f ft fft και g t άρα f ftgt οπότε f ftg t dt. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

2 F γ. Έστω συνάρτηση h με h. Η h είναι παραγωγίσιμη στο G FG FG g fg F συναρτήσεων με G G διότι g και fgf από το ερώτημα (β) και G h Άρα h γνησίως αύξουσα στο, και αν δ. Έχουμε ότι τότε: h h, σαν πηλίκο παραγωγίσιμων στο (,] F F G G f t g t dt ημt dt f t g t dt ημt dt lim lim lim 5 5 g t dt g t dt f t g t dt 5 g t dt ημt dt f g ημ lim lim lim lim 5 g DLH f g ημ lim lim g 5 ημ f lim lim f 5 5 διότι lim f f γιατί f συνεχής στο, και ημ u ημu lim lim u u Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

3 Θέμα ο. α. Αν f,g δύο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα α,β με f g για κάθε α,β β β ότι : f d g d α. α β. Δίνεται η συνάρτηση f:, με f lne i. Να βρείτε τη μονοτονία της f και να δείξετε ότι η f είναι θετική για κάθε,. ii. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: y iii. Να δείξετε ότι για κάθε, είναι ασύμπτωτη της C f. e ln e e ισχύει iv. Αν Ε είναι το εμβαδό που περικλείεται από την, να δείξετε ότι: ln E e e Λύση: Α. Είναι f gfg Άρα e C f, την ασύμπτωτη ε:y β β β β β α α α α α., να δείξετε και τις ευθείες, f g d f d g d f d g d - Β.i. Η f είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων, ln e e e e e f e e e Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο f Άρα για f f ln f f e. Άρα, με f ln ln με για κάθε. ii. Αρκεί να δείξουμε ότι lim f Είναι f ln e ln e οπότε:, lim e Άρα e u lim ln e lim ln u ln u u lim f και επομένως η y είναι ασύμπτωτη της C f. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

4 iii. Θέτουμε όπου - e t Θα δείξουμε ότι t t ln t ln t ln ln t t t t t t t Θεωρούμε gu lnu, u,t, t Για την g ισχύει το Θ.Μ.Τ. στο, t, άρα υπάρχει ξ, t τέτοιο ώστε να ισχύει lnt ln lnt ln : gξ. Επομένως η () ισοδύναμα γίνεται: t ξ t tξ t ξ ή t ξ που ισχύει, αφού ξ,t () iv. Το εμβαδό θα ισούται με Από το ερώτημα (γ) έχουμε ότι e e Ε f d ln e d ln e d e ln e e e d ln e d e d () Είναι: e e d d ln e e e lne lne ln lne ln e Επίσης: άρα e d e e e e και Άρα () ln E e e ln e d E Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

5 Θέμα ο. Δίνεται η συνάρτηση Συλλογή Λυμένων Θεμάτων Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου f ln dt t. α. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία της. β. Να δείξετε ότι dt ln. t φ γ. Να δείξετε ότι dt,. t δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον και τις ευθείες και. (Θέμα Συλλογής Mathematica ) Λύση: f ln dt t α. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Πρέπει που ισχύει για κάθε, διότι. Η t συνεχής στο, οπότε το πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με dt παραγωγίσιμο στο, άρα η f παραγωγίσιμη στο ως t f ( ) Οπότε λύνουμε : f Επομένως f για κάθε, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. f. β. Έχουμε f και 5 f ln dt ln dt ln dt t t t. Ακόμα για κάθε t,έχουμε dt t t. Έχουμε Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε: f ln dt. t Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 5 of

6 ff ln dt dt ln t t. Επομένως dt ln t. γ. Θεωρώ h t φ dt, η άρα η h παραγωγίσιμη στο με Συνεπώς hh c. Όμως h dt t φ. t συνεχής στο, οπότε το dt παραγωγίσιμο στο, t ε ε συν ε συν h ε. h dt t, οπότε για έχουμε c,άρα π δ. Έχουμε για ότι Έχουμε f() π dt. t, για κάθε,, οπότε : E f d f d f f d f d f d f ln f ln ln dt ln t π ln ln τ.μ. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 6 of

7 Θέμα ο. Έστω η συνάρτηση f: α,β, παραγωγίσιμη στο α,β με f' α f' β και f α f β α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση β. Να δείξετε ότι η f f α, α β g α είναι συνεχής στο α,β., α g είναι παραγωγίσιμη στο α,β με gβ.. γ.i. Αν g gβ, να δείξετε ότι η διαστήματος α,β. ii. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο ώστε να ισχύει: fξ δ. Αν f α μ, να δείξετε ότι υπάρχει ξ α,β f β β α f ξf αμξ α g παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα εσωτερικό σημείο του f ξ f α ξ α τέτοιο ώστε να ισχύει. f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα α,β να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο α,β. ε. Αν η συνάρτηση συνάρτηση Λύση: α. Η g είναι συνεχής στο α,β ως πηλίκο των συνεχών : f Στο α εξετάζουμε τη συνέχεια με τον ορισμό. f f α lim g lim fα g α α α α Επομένως η g είναι συνεχής στο α,β. f α και α.. Άρα g συνεχής στο α. β. Η g είναι παραγωγίσιμη στο α,β ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με g Στο α f α f f α β : β g g β lim β. fα f β f α f α βα lim β β DLH β f f α α lim β Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 7 of

8 Συλλογή Λυμένων Θεμάτων Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου f α f f α f β βα f β f β f β f α lim β α βα βα Άρα g παραγωγίσιμη στο β με gβ. γ. Επειδή g συνεχής στο κλειστό α,β από θεώρημα Μέγιστης Ελάχιστης τιμής, θα παίρνει μέγιστο. Όμως g g β και g α Άρα g gβ g α Επομένως η g παίρνει μέγιστο σε εσωτερικό σημείο ξ α,β. Επειδή g παραγωγίσιμη στο α,β από το θεώρημα Fermat έχουμε ότι g ξ ξ α ξ α f ξ ξα f ξ f α f ξ f ξ f α f ξ f α f ξ ξ α ξ α δ. Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο α,β οπότε θα υπάρχει α,β f β f α f β α Από την () έχουμε fα μ f( ) οπότε g α μ g f ξ f α θα υπάρχει ξ α, τέτοιο ώστε g ξ μ τέτοιο ώστε οπότε από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, ξ α μ ε. Θα δείξουμε ότι αν α α τότε g g α f f α α f f α (5). f f α f f α α α Θεωρώ hf fα. Τότε (5) αh αh h αh h αh. Προσθέτουμε και αφαιρούμε το h h h αh αh h h αh αh h α h h πολλαπλασιάζουμε με α και επειδή h h α h h α (6) hα έχω: h και έχουμε: Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 8 of

9 Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. για την h στα διαστήματα Στο α, Υπάρχει ξ α, τέτοιο ώστε hξ Στο, Υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε: h ξ hα h, α h Έτσι, η (6) ισοδύναμα δίνει: hξ hξ γνησίως αύξουσα στο h α, και, που ισχύει διότι ξ ξ α,β αφού f κυρτή στο α,β. η οποία είναι και h f Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 9 of

10 Θέμα 5ο. α. i. Να αποδείξετε ότι o αριθμός u είναι πραγματικός, αν και μόνο αν u u ii. Αν z w, τοτε να αποδείξετε ο αριθμός z w είναι πραγματικός. z w β. Μεταξύ όλων των μιγαδικών Ζ που ικανοποιούν τη σχέση z i, να βρείτε: i. ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο. ii. για ποιον από όλους η παράσταση z i παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή. Λύση: α.i. α) Ευθύ: Έστω ότι u yi Τότε u uiu iuu β) Αντίστροφο Έστω u u yi yi yi y u ii. Έστω z w u. Επειδή z w, έχουμε: z z zz z z w z και w w ww w w Αρκεί να αποδείξουμε ότι u u w z z w zw zw z w z w z w z w zw u u zw zw zw zw zw z w z w z w z w β.i. Οι μιγαδικοί z που ικανοποιούν τη σχέση z i K, και ακτίνα ρ. Οπότε η διάκεντρος (που είναι και φορέας και των ζητούμενων μιγαδικών) είναι ο άξονας yy, και τα σημεία τομής με τους άξονες είναι τα A, και B,. Οπότε οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι z i με μέτρο και ο z i με μέτρο., ανήκουν σε κυκλικό δίσκο με κέντρο ii. Η εξίσωση zi zi επαληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς z που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από την εικόνα του μιγαδικού i, δηλαδή από το σημείο K,, απόσταση μονάδα. Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο K, και ακτίνα ρ. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

11 Το z είναι η απόσταση της εικόνας Mz από την αρχή O,, δηλαδή το μήκος OM. Από τη Γεωμετρία, όμως, γνωρίζουμε ότι αν η ευθεία Κ τέμνει τον κύκλο στα A και B, τότε OAOM OB, που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του z είναι το μήκος OB και η ελάχιστη το μήκος OA. B y K, y Η εξίσωση, όμως, της ευθείας O Κ είναι η y. Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων A και Β θα είναι οι λύσεις του y συστήματος που είναι τα ζεύγη, y και,. Άρα, η μέγιστη τιμή του z είναι ίση με Μ z A Ο OB και η ελάχιστη ίση με OA. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

12 Θέμα 6ο. Έστω η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει f 5f, για κάθε α. Να προσδιορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης f β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ. Με δεδομένη την γραφική παράσταση της συνάρτησης g 5, να δείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση δ. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ε. Να αποδείξετε ότι η f για κάθε στ. Να λύσετε την εξίσωση f9 f ζ. Να βρείτε το lim ημ Λύση: α. Ισχύει ότι f f 5 f f 5, () από όπου για f ισχύει lim f f άρα επειδή έχουμε f 5 θα είναι και f και για έχουμε f., ισχύει ότι f =f τότε θα ισχύουν και f f, με πρόσθεση ότι β. Αν για 5f =5f και f 5f f 5f άρα και άρα η f είναι -. γ. Αν g 5, ισχύουν ότι είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα αφού για ότι άρα και g <g και έχει επίσης 5 5 άρα και lim g lim 5 lim και lim g lim 5 lim άρα έχει σύνολο τιμών g και αφού ισχύει g : θα ισχύει f g, είναι f : και για το f από την αρχική θα ισχύει f f 5ff f άρα ισχύουν gf, και g αντιστρέψιμη με επομένως η f θα έχει σύνολο τιμών το οπότε θα f 5,. Β Τρόπος: (Για την μονοτονία της g) Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

13 Η κάθε, οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της g 5 είναι παραγωγίσιμη στο σαν πολυωνυμική με g 5 5 για δ. Από g f, για η g γνήσια αύξουσα θα ισχύει ότι ε. Για ισχύει άρα και στην αρχική προκύπτει ότι ότι f f άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο. g f g f και επειδή f 5f οπότε με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε f f 5 f f ή ακόμη f f f f f f 5 οπότε και f f f f f 5 και επειδή ff άρα θα ισχύει 5 f f f 5 ff και επειδή lim από κριτήριο παρεμβολής lim f f άρα lim f f lim f f στ. Είναι f 9 9 f ισοδύναμα λόγω (γ.) και με Horner προκύπτει ισοδύναμα ότι ή που είναι αδύνατο. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

14 ζ. Είναι f 5 5 h() ημ ημ ημ Θέμα 7ο. Δίνεται η συνάρτηση f με f συνεχής στο, τέτοια ώστε να ισχύουν t f t dt tf t dt tf dt, για κάθε α. Να δείξετε ότι f, για κάθε. β. Έστω Eα το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την 5 lim 5 5 οπότε limh lim 5 ημ ημ lim, με f και f C f, τον και τις ευθείες και α, α. Αν το α μεταβάλλεται με ρυθμό cm sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Eα, τη στιγμή κατά την οποία α cm. γ. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση g με g f, για κάθε. i. Να δείξετε ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C g στο. ii. Αν Ε το εμβαδόν που περικλείεται από τη και, να δείξετε ότι E ln5 C, g τη πλάγια ασύμπτωτη της στο και τις ευθείες Λύση: α. t f t dt tf t dt tf dt t f t dt tf t dt f tdt t t f t dt tf t dt f t f t dt tf t dt f t f t dt tf t dt f. Παραγωγίζω τη σχέση και έχω: f f ff f f f f f f ff f f f f c Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

15 Για Συλλογή Λυμένων Θεμάτων Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου έχουμε f f c c. Άρα ff f f fc. Για έχουμε f c β. Έχουμε ότι Eα f d. Όμως α c. Άρα f f. Οπότε f f f f όταν, και για, f. Οπότε α α α α Eα fdeα d Eα d E α ln E α ln α. Όμως το α μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο, συνεπώς είναι συνάρτηση του t, οπότε το εμβαδό γράφεται E α t ln α t. Έτσι E α t ln α t α t α t. α t Τη στιγμή t, έχουμε αt cm και αt cm sec. Άρα E t cm 6cm sec sec. γ.i. Έχουμε ότι g f g f Όμως lim f lim lim, οπότε από κριτήριο παρεμβολής, f g f. lim g. Άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C g στο. E g f d d d ln ln5 ln ln5. ii. Άρα E ln5 Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 5 of

16 Θέμα 8ο. Έστω z z z και η συνάρτηση f,, υπάρχει και να είναι πραγματικός.,τέτοια ώστε το όριο lim f να Να αποδείξετε ότι: α. i. z z. ii. ο μιγαδικός z, που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι ο. β. i. η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο,. ii. η συνάρτηση f παίρνει την τιμή z. γ. Αν επιπλέον η συνάρτηση f(), g(), ημ(), i. το πεδίο ορισμού της f είναι το διάστημα,. είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι: 5 ii. z i 5 ή z i Λύση: lim f και lim αν α.i. Επειδή lim z z lim f ή (που απορρίπτεται, αφού το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός), οπότε lim z z z z ii. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ z πάνω στο μιγαδικό επίπεδο είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όπου A,, B,. Άρα η εξίσωση είναι όπου z μέτρο, είναι το σημείο Γ, yi, y, άρα η εικόνα του μιγαδικού z που έχει ελάχιστο που αντιστοιχεί στο μιγαδικό z. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 6 of

17 Οπότε η συνάρτηση γίνεται όπου όπου z yi, y. z z z f z,,, β.i. Για κάθε αύξουσα στο,. f z z z άρα η f είναι γνησίως έχουμε, ii. Αναζητούμε ένα, τέτοιο ώστε f z, οπότε έχουμε διαδοχικά: f z z z με Δ και επειδή P, άρα οι λύσεις είναι ετερόσημες, οπότε η αρνητική λύση απορρίπτεται λόγω πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (και η άλλη είναι δεκτή αφού είναι μεγαλύτερη της μονάδας -, τέτοιο ώστε f z προκύπτει με πολλούς τρόπους), άρα υπάρχει μοναδικό Β τρόπος: Προκύπτει εύκολα και από την εύρεση του συνόλου τιμών της f όπως θα δούμε στο παρακάτω ερώτημα. γ. Για να είναι συνεχής η g στο σημείο πρέπει: lim g g lim f lim z z z z (δεν χρειάζεται να πάρουμε τον κλάδο για, αν και το όριο βγαίνει πάλι, από συνέχεια - οπότε είναι περιττό) f,,. Άρα η συνάρτηση f γίνεται: Εύρεση συνόλου τιμών της f. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, και lim f, lim f lim Σημείωση: Από εδώ φαίνεται ότι το ανήκει στο σύνολο τιμών της f και επειδή είναι γνησίως μονότονη, το σημείο αυτό είναι μοναδικό. Άρα, με D,. f f Δ, και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, είναι -, άρα αντιστρέφεται ii. Έχουμε: z yi y y y ή y 5 οπότε οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι: z i 5 ή or z i. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 7 of

18 Θέμα 9ο. α. Aν οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το είναι -, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f g είναι -. β. Αν η συνάρτηση f, ορισμένη στο, είναι -, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση h f f είναι -. γ. Έστω η συνάρτηση g g γραφική παράσταση της gδιέρχεται από την αρχή των αξόνων και g h e e, όπου g συνάρτηση - ορισμένη στο. Αν η ln, τότε: i. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της h και ότι h και ii. Να λύσετε την εξίσωση h h 8. h 9. Λύση:, D με α. Έστω fg g"" f g f g. Τότε, αφού η f είναι "" θα έχουμε g g. Άρα και η συνάρτηση f g είναι -. β. Θεωρώ τη συνάρτηση g με g. Αν αποδείξω ότι η g είναι "", τότε και αφού η f είναι gf θα είναι "". Έστω " ", από το (α) ερώτημα, και η σύνθεση τους g, D με. Τότε, οπότε αν προσθέσω κατά μέλη έχουμε gg. Οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και h gf, τότε η συνάρτηση h f f είναι -. " ". Αν θεωρήσω σαν γ. Η συνάρτηση g g h e e είναι σύνθεση των συναρτήσεων g, e f, που κάθε μία είναι "", οπότε από προηγούμενο ερώτημα, και η σύνθεση τους g g h e e είναι - στο. Άρα η g g h e e αντιστρέφεται, δηλαδή υπάρχει η η αντίστροφη συνάρτηση της h. Αφού η γραφική παράσταση της gδιέρχεται από την αρχή των αξόνων και g g g ln ln ln ln h e e e e e e 9 Οπότε h 9h h h 9 h 9 ln, τότε: Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 8 of

19 Ακόμα η γραφική παράσταση της g διέρχεται από την αρχή των αξόνων οπότε g g h e e e e. Άρα h h h h h g και h"" ii. h h 8 h h 8 h h 8 h " h 8 h 8 h Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 9 of

20 Θέμα ο. Δίνεται η συνάρτηση f f z i f α. fff8 β. Rez z γ. ff δ. f z f: η οποία είναι γνησίως αύξουσα με f και ο μιγαδικός αριθμός z, για τον οποίο ισχύει z i.να αποδείξετε ότι ισχύουν: Λύση: α. Έστω zyi,με, y z yi z i i z iyi y z yi y Δηλαδή z y () και y y Από υπόθεση έχουμε ότι αντικατάσταση στη σχέση προκύπτει f f z i, δηλαδή f () (διότι z πραγματικός αριθμός) f f και f f 8f f f f y f,με β. Η () με βάση () γίνεται z z zrez γ. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο και fff f οπότε για θα έχουμε Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της ανίσωσης με ff (θετικοί αριθμοί) και έχουμε: f f f f f f f f f 8 f f () Όμως f ), οπότε ο αριθμός f f f f f f (πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον θετικό αριθμό είναι ένα κάτω φράγμα. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

21 Όμοια f ),οπότε ο αριθμός f Συλλογή Λυμένων Θεμάτων Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου f f f f f (πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με τον θετικό αριθμό είναι ένα άνω φράγμα. Επομένως έχουμε f f f 8 f f f δηλαδή f 8 f ff δ. f z f z ff z f Όμως z Re z ή z f f ή z ff Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι: f f f f, το οποίο ισχύει, διότι fff ff και f f ff f Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

22 Θέμα ο. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει zi και Im(z). α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αυτών.. β. Να δείξετε ότι οι εικόνες των παραπάνω μιγαδικών ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() 8 και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής. γ. Να βρεθεί ο μιγαδικός του παραπάνω γεωμετρικού τόπου με το μέγιστο μέτρο. δ. Να γράψετε την εξίσωση εφαπτομένης της παραπάνω συνάρτησης στο σημείο το οποίο είναι η εικόνα του μιγαδικού που βρήκατε στο τρίτο ερώτημα. Λύση: α. Η σχέση zi περιγράφει κύκλο κέντρου K, και ακτίνας ρ, με εξίσωση y. Όμως η σχέση Im(z) περιγράφει τα σημεία του κύκλου με τεταγμένη y. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το ημικύκλιο που βρίσκεται πάνω από την ευθεία y, καθώς και τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία αυτή. (Βλέπε σχήμα ) β. Αφού ισχύει ότι y και y, θα έχουμε: y y y y Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

23 Άρα y y 8 6 y 8. y 86 y 8 y Όμως, άρα θα πρέπει να ισχύει y 8, οπότε αν θέσουμε σαν y f, θα έχουμε f 8. Είναι εύκολο να δούμε, είτε αλγεβρικά, είτε από το σχήμα, ότι η f ορίζεται όταν,, δηλαδή όταν ρ, ρ, όπου κέντρου του κύκλου, και ρ η ακτίνα του.,y οι συντεταγμένες του y, διότι διέρχεται από το O, και γ. Φέρνουμε την διάκεντρο (θα είναι η ευθεία ο ζητούμενος μιγαδικός θα είναι το σημείο τομής Μ του ημικυκλίου με την ευθεία αυτή. Λύνουμε λοιπόν το σύστημα της ευθείας και του ημικυκλίου: y 8 y y 8y y y 8y y y y y y 8y y 8y 6 y 8y y 6y y y y y 5 y y 5 y. Οπότε ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι ο M 5 5i 5 y K,, οπότε δ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Η εξίσωση yf 5 f 5 5. εφαπτομένης στο σημείο M5,5 θα έχει τύπο Όμως f f Οπότε Οπότε η (ε) θα έχει τύπο y 55y 8 8 Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

24 Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

25 Θέμα ο. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο,. Να αποδείξετε ότι: α. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές,,e, e, με, με f ξ β. Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ, e, τέτοιο ώστε f, f e e και σύνολο τιμών το, τέτοια ώστε γ. Υπάρχει τουλάχιστον ένα,e, τέτοιο ώστε f f f f f δ. Η ευθεία y e τέμνει την C f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη να ανήκει στο διάστημα, e ε. Υπάρχουν ξ,ξ, e, με ξ ξ, τέτοια ώστε να ισχύει f ξ f ξ Λύση: α. Η f είναι συνεχής στο, e, από θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν,,e τέτοια ώστε f m και f M όπου m και M η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή αντίστοιχα. Η f έχει σύνολο τιμών το, και f, fe e οπότε f f fe f, επομένως, δεν είναι άκρα του διαστήματος, e. Άρα,,e και επειδή η f λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη f' f' τιμή σε αυτά, από θεώρημα Fermat έχουμε ότι β. Η f είναι συνεχής στο,,e και παραγωγίσιμη στο f f. Από Θ.Rolle θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ, e, τέτοιο ώστε f ξ.,,e και από α. γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση gf f f συνεχή στο συνεχών συναρτήσεων, άρα και στο,,e. Επίσης, 6 g f f f g f f f Από Θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα,e, τέτοιο ώστε g f f f f f f, e ως πράξεις και σύνθεση δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση hfe f e συνεχή στο και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Επίσης, h f e e e και, e ως πράξεις h e f e eeee Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 5 of

26 Από Θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα Συλλογή Λυμένων Θεμάτων Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου,e, τέτοιο ώστε h f ef e, δηλαδή η ευθεία y e τέμνει την C f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη να ανήκει στο διάστημα, e ε. Αφού η f είναι συνεχής στο, e (όπως στο α.) και παραγωγίσιμη στο προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο, e, συνεπώς και στα υποδιαστήματα αυτού δ. Από το πρώτο διάστημα συμπεραίνουμε ότι θα υπάρχει ξ,, e με f f e e fξ και από το δεύτερο ότι θα υπάρχει ξ,e,e με f e f e e fξ e e e. Άρα e f ξ f ξ e με ξ,ξ, e και ξ ξ, e. Άρα θα ικανοποιεί τις,,, e, όπου από το (αφού,, e ) Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 6 of

27 Θέμα ο. Δίνεται η συνάρτηση A. f:a και ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύουν: α. Να δείξετε ότι A, και β. Αν A, ή γ. Αν A f(a),. A, να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι. z, και ο αριθμός είναι μη αρνητικός πραγματικός τότε: iz i. Να βρείτε τη συνάρτηση f. ii. Να ορίσετε την αντίστροφη της συνάρτησης f. z και z i f, Λύση: α. Αν, με g( ) g( ), τότε υπόθεση f g f g 9 9 Άρα η g είναι. β. Για να αποδείξουμε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το, αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε y υπάρχει, ώστε f( ) y () Έστω y. Τότε από την υπόθεση f g 9, έχουμε y 9 οπότε: fg y () Από τη σχέση (), θεωρούμε σαν το y 9 g και έτσι η σχέση () μας δίνει την (). 9 y y 9, γ) Έστω, με (). Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα, αρκεί να αποδείξουμε ότι g g Υποθέτουμε ότι αυτό δεν συμβαίνει. Τότε έχουμε διαδοχικά: f υπόθεση g g f g f g 9 9 άτοπο από την () Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα. δ. Επειδή οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες, τότε η υπόθεση γράφεται: Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 7 of

28 ff9 για κάθε () Συλλογή Λυμένων Θεμάτων Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επειδή όμως η συνάρτηση f: είναι (ερώτημα (α), αφού f = g) και έχει σύνολο τιμών το (ερώτημα (β)), η f έχει αντίστροφη, την f :. Έτσι, αν, θέτοντας στην () όπου το f f f f 9 f f 9 (αφού f f 9 f f ) f () βρίσκουμε διαδοχικά: Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 8 of

29 Θέμα ο. Έστω οι μιγαδικοί z,z και η συνάρτηση ισχύει f Να αποδείξετε ότι: για κάθε α. f z tz dt β. z γ. Η εξίσωση f έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα δ. Για κάθε ισχύει: z zt dt f: με f z tz dt και για την οποία,. Λύση: α. Έχουμε ότι f z tz dt. Θέτουμε t u dt du dt du και τα άκρα γίνονται: t u t u και έτσι du ut f zuz zuz du zuz du ztz dt β. Για έχουμε ότι f z tz dt Θεωρώ h f, οπότε Άρα από θεώρημα Fermat, το Όμως h για κάθε, συνεπώς h h διότι h, δηλαδή f. f z tz dt z z z z, οπότε f z z z. Άρα f z z γ. Έχουμε f zz, άρα η σύνολο τιμών της θα είναι το διάστημα Έχουμε ότι : f, οπότε: h f. f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, οπότε το lim f, lim f. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 9 of

30 f lim f lim lim f f f για κάθε D.H, οπότε: f f lim lim lim z z z, άρα f lim lim f lim lim f οπότε το σύνολο τιμών της θα είναι το διάστημα,, που περιέχει το, οπότε αφού η f είναι συνεχής, από θεώρημα Eνδιαμέσων Tιμών, θα υπάρχει ένα, τέτοιο ώστε f. Όμως στο διάστημα αυτό η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και "", οπότε το αυτό είναι μοναδικό. δ. Έχουμε ότι : f z tz dt t Θέτουμε udt du και έτσι t u και τα άκρα γίνονται: t u z ztz dt zuz du zu du z ut z zu du zt dt Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

31 Θέμα 5ο. ln i. Να αποδείξετε την ανισότητα: Πότε ισχύουν οι ισότητες; για κάθε. ii. Δίνεται η συνάρτηση f ln. Αν E το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 7 τότε να δείξετε ότι E (Stydyeams) C f, τον άξονα και τις ευθείες και, Λύση: i. Θεωρούμε τη συνάρτηση hln με. h ln Έχουμε οπότε σχηματίζουμε τον εξής πίνακα προσήμου: Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο,, οπότε για έπεται hln h ln. Άρα ln για κάθε και η ισότητα ισχύει για. Ομοίως θεωρούμε τη συνάρτηση g ln,. Η παράγωγός της είναι: g ln,, οπότε Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε για έπεται gln g. Άρα ln για κάθε και η ισότητα ισχύει για. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

32 ii. Με βάση το προηγούμενο ερώτημα ισχύει: ln ln, για κάθε, (αφού ) άρα f, για κάθε. Επίσης f ln ln, οπότε το εμβαδόν του χωρίου E που περικλείεται από τη άρα C f, τον άξονα και τις ευθείες Ολοκληρώνουμε τη σχέση και f και παίρνουμε:, ισούται με E f d. fd f d d E E Η ανισότητα είναι γνήσια, γιατί η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν. Ομοίως ολοκληρώνοντας την ανισότητα f παίρνουμε: 5 7 f d f d d E E Η ανισότητα και πάλι είναι γνήσια, γιατί η συνεχής συνάρτηση f Άρα 7 E. δεν είναι παντού μηδέν. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

33 Θέμα 6ο. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει α. Να δείξετε ότι: i. f ii. f. λ f β. Να βρείτε το λ έτσι, ώστε: lim. f f lim 5. γ. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο και f f για κάθε, να δείξετε ότι: i. f για κάθε.. ii. fd f (Επαναληπτικές 5) Λύση: α.i. : Επειδή η f είναι συνεχής στο, αρκεί να δείξουμε ότι Θέτουμε g (), οπότε f lim g 5. Λύνοντας τη σχέση ως προς f, έχουμε f g. Το όριο στο δεύτερο μέλος υπάρχει, άρα limf. limf lim f 5. ii. Από τη σχέση () για προκύπτει Επομένως f g.. Άρα f f f lim lim lim g f. β. Εκμεταλλευόμαστε το προηγούμενο όριο, έχουμε: f λ λf λ lim lim λ 8 f f Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

34 γ.i. Η σχέση που μας δίνεται γράφεται ισοδύναμα: f f f f e f e f e f. Επομένως η συνάρτηση h e f είναι γνησίως αύξουσα στο. Άρα για hh e f f. Επομένως Ομοίως για he ff, άρα f. f. ii. Έχουμε διαδοχικά: f f f f f f d f d f d f d f d f f d f f f d f d f Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

35 Θέμα 7ο. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο, και ισχύει : g f e () f g e () f g f g για κάθε. α. Να δείξετε ότι f g β. Να βρείτε τη συνάρτηση για κάθε. f h e,. γ. Αν α και για κάθε ισχύει : h α (*), να δείξετε ότι α e. Λύση: α. Η g είναι παραγωγίσιμη και η g άθροισμα των παραγωγίσιμων g e παραγωγίσιμη επομένως και η f e και της σταθερής συνάρτησης, με είναι παραγωγίσιμη ως g f e g (). Ομοίως g () είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα των παραγωγίσιμων e f() και της σταθερής συνάρτησης f με g e f () f f g f g g () f g f g () g g f f g f (5) () fg g f (6) Από τις (5) και (6) έχουμε : fg g f f g g f c. Για f g g f c c προκύπτει f g g f Άρα fg gf f g f g fg f g Άρα f g c e. Για = προκύπτει f g ce c. Επομένως f g f g για κάθε. β. f h e. Η h είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων με f f f f g h e f e f e f e e fg e f f f f e e e h Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 5 of

36 Άρα h h h h e h e h e e h e e h d e d (7) Αν θεωρήσω σαν (7) I e d e e d e e c e h e e c f Για έχουμε h e e και Άρα e h e ec c e e h e e e h e e h e,. γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση Τότε λόγω της (*) έχουμε ότι Είναι φα e Άρα φ φ φ α h α e. α e για κάθε ή για κάθε οπότε η φ παρουσιάζει στο ελάχιστο. Επειδή η φ είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό σημείο Επειδή φ α lnα e θα έχουμε ότι φα ln α e lnα φ για κάθε. φ από το θεώρημα Fermat θα ισχύει ln α α e Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 6 of

37 Θέμα 8ο. Έστω συνάρτηση f : α. Να αποδείξετε ότι f για κάθε η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο με f και f β. Να αποδείξετε ότι lim f t dt ημ Αν επιπλέον δίνεται ότι,, τότε: f f γ. Να αποδείξετε ότι f e -, δ. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση h ftdt, την ανίσωση (Επαναληπτικές ) f t dt f t dt 6 + και να λύσετε στο Λύση α. Εφόσον η f είναι κυρτή στο, η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα για f f f και για f f f. Επειδή η f είναι και συνεχής, θα είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. Συνεπώς για fff και για fff. Επιπλέον ισχύει f, άρα f, για κάθε. β. Έστω g f t dt. Θέτουμε t u, οπότε du dt du dt και για Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 7 of

38 t έχουμε u, ενώ για t έχουμε u. Έτσι η συνάρτηση g γράφεται: g γίνεται Συλλογή Λυμένων Θεμάτων Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου fudu f udu lim lim ημ Επειδή η συνάρτηση p fudu και το ζητούμενο όριο ημ fuduείναι παραγωγίσιμη, θα είναι και συνεχής, άρα lim p p. Έτσι το ζητούμενο όριο είναι απροσδιόριστη μορφή. Επειδή και lim f u du lim f f lim ημ lim ημ συν, με ημ συν κοντά στο, οπότε lim lim lim f lim DLH f u du f ημ ημ συν ημ συν γ. Έχουμε f f f f f f Για άρα βρίσκουμε ln f ln f c ln f c ln c c, ln f f e f e δ. Έχουμε h f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt Επειδή η f είναι συνεχής, η h είναι παραγωγίσιμη με h f ff f. f e, για κάθε και fσυνεχής, άρα η fείναι γνησίως αύξουσα στο Όμως,. Συνεπώς για ff, άρα,. Η ανίσωση τώρα γράφεται: στο h και hσυνεχής, άρα γνησίως αύξουσα 6 f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt h h. Επειδή όμως η h ορίζεται για, έχουμε τελικά. Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 8 of

39 Θέμα 9ο. α. Δίνεται η συνάρτηση f: α,β, παραγωγίσιμη στο α,β με f α i. Υπάρχει ξ α,β τέτοιο ώστε f ξ ii. Υπάρχουν ξ,ξ α,β τέτοια ώστε β. Δίνεται συνάρτηση f:, με f. Λύση i. Να δείξετε ότι ii. Για α μία στο, e α. f α f β f β. Να δείξετε ότι : β α f ξ f ξ f β f α e α ln, α, η οποία έχει τοπικό ακρότατο το να δείξετε ότι η εξίσωση f έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα, e. και μία στο διάστημα α.i. Αφού f παραγωγίσιμη στο γενικότητας f α f β υπάρχει ξ α,β τέτοιο ώστε f ξ α,β άρα και συνεχής σε αυτό και f α f β f α f β. Επίσης fα fβ,, και χωρίς βλάβη της. Σύμφωνα με το θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών f α f β ii. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής στα διαστήματα α,ξ και ξ,β αντίστοιχα, για την f. ξ ξ Στο διάστημα α,ξ ισχύουν προφανώς οι προϋποθέσεις του θεωρήματος άρα υπάρχει ένα α,ξ τέτοιο ώστε f ξ f α f β f ξ f α f α ξα ξα ξα Όμοια, στο διάστημα ξ,β υπάρχει ένα ξ,β τέτοιο ώστε f (ξ )= fξ Επομένως f β f α f α f β f βf ξ f β f β f. βξ βξ βξ ξ α β ξ β α f ξ f ξ f β f α f β f α f β f α α Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page 9 of

40 β.i. Η f e α ln, α είναι ορισμένη στο διάστημα, και παραγωγίσιμη σ αυτό με e e e e e f ln ln ln e,. e Αφού η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο υπάρχει ένα θεώρημα Fermat θα έχουμε f και f. εσωτερικό του e e ln "' e f ln ln lne e f f α lne α, που σύμφωνα με ii. Εξετάζοντας την μονοτονία της f βρίσκουμε (Ολικό) μέγιστο το f, e, έχουμε:. Εφαρμόζοντας θεώρημα Bolzano για την συνεχή f στα διαστήματα, e, f e 6 e f ln lne e e e e e e Δηλ f f άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, e e γνησίως αύξουσα στο, (άρα και στο, e ) η ρίζα είναι μοναδική στο,. e Επίσης fe e ln e e και f Άρα fe f, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον,e γνησίως φθίνουσα στο,, (άρα και στο Τελικά η f έχει ακριβώς ρίζες στο διάστημα,. τέτοιο ώστε f και αφού f τέτοιο ώστε f και αφού η f, e ) οπότε η ρίζα είναι μοναδική στο, Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

41 Θέμα ο. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z i z i () α α w zi ziα (), όπου α και α α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. γ. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός z w v z w με w z, είναι φανταστικός δ. Αν z,z είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες αντίστοιχα στο επίπεδο τα σημεία Α,Β, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση () και w είναι ένας μιγαδικός αριθμός με εικόνα στο επίπεδο το σημείο Γ, ο ΓΑ οποίος ικανοποιεί τη σχέση (), τότε να αποδείξετε ότι: ΓΒ (ΕΜΕ ) Λύση α. Είναι: z i zi zα i α zi zα i α zi α α z α iz α i α z iz i z α i z α i α z iz i zz α zi α zi α i α zz α zi α zi α i z α i α z α i α z α z α α α z α α z α z α () Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο, και ακτίνα ρ α. β. Έχουμε: z i zi α w zi ziα w zi ziα w z i zi z zi zz z z i w w w zi zi zi Είναι z i, γιατί αν z i από τη σχέση () προκύπτει Από τη σχέση () έχουμε: () α άτοπο. i zz i z z i z zi z z w w w w zi zi zi zi Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of

42 z zi w w z w α z i Συλλογή Λυμένων Θεμάτων Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου (5) Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν στον κύκλο, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Ο, και ακτίνα ρ α γ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι v v. Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: α z α zz α z z α w α w α ww α w Είναι α α α z w z w z w z w z w v z w z w z w α α α z w z w w z z w zw wz zw z w v. Άρα ο αριθμός v w z wz zw z w z w zw w είναι φανταστικός δ. Είναι ΓΑ w z και ΓΒ w z Για τους μιγαδικούς αριθμούς w,z από τριγωνική ανισότητα έχουμε: w z wz w z (6) Αν στη σχέση (6) θέσουμε, όπου z το z έχουμε: z z w z w z w z w z wz w z αα wz ααα ΓΑ α (7) Ομοίως για τους μιγαδικούς αριθμούς w,z έχουμε: α wz αα ΓΒ α, οπότε (8) α ΓΒ α Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (7) και (8) έχουμε: α ΓΑ α ΓΑ α ΓΒ α ΓΒ Νίκος Ε. Καντιδάκης Μαθηματικός Page of