ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: Λέκτορας (υ ό διορισµό) Τηλ:

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακδ. Έτος ιδάσκων: Βσίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορς υ ό διορισµό Τηλ:

2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Εισγωγή στη Σττιστική, Τ. Π ϊωάννου, Σ.Β. Λουκάς, Εκδόσεις Στµούλη Α.Ε., Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 745. Πιθνότητες κι Σττιστική γι Μηχνικούς, Γ. Ζιούτς,, Εκδόσεις"σοφί" Ανώνυµη Εκδοτική & Εµ ορική Ετιρεί, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: Προτεινόµενη Βιβλιογρφί 1. Εισγωγή στις ιθνότητες κι τη σττιστική, µινού Χ., Χρλµ ίδης Χ., Π δάκης Ν., Εκδόσεις Συµµετρί, 010. Πιθνότητες κι Σττιστική,Schaum's Outline of PROBABILITY AND STATISTICS, Murray R. Spiegel, Μετάφρση: Σωτήριος Κ. Περσίδης 3. Σττιστική, Υ. Κολυβά-Μχίρ, Ε. Μ όρ-σέντ, Ζήτη 4. Ανάλυση εδοµένων µε τη Βοήθει Σττιστικών Πκέτων, Ν.. Σσάντς, Φρ. Θ. Μωϋσιάδης, Ντ. Μ γιάτης, Θ. Φτζη ντελής,

3 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισγωγή-Ε νάληψη Θεωρίς Πιθνοτήτων Περιγρφική Σττιστική Κτνοµές Συχνοτήτων Μέτρ θέσης κι όκλισης Συντελεστές συµµετρίς κι κύρτωσης Εκτιµητική Αµεροληψί, Συνέ ει, Ε άρκει, Πληρότητ, Εκτιµήτριες Μεγίστης Πιθνοφάνεις Αµερόλη τη Εκτιµήτρι Ελχίστης ισ οράς Μέθοδος των Ρο ών-μέθοδος των Ελχίστων Τετργώνων ιστήµτ Εµ ιστοσύνης Έλεγχος Υ οθέσεων Ανάλυση Πλινδρόµησης Ανάλυση ικύµνσης

4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισγωγή

5 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ είνι η ε ιστήµη η ο οί σχολείτι µε τον σχεδισµό, τη συλλογή κι την νάλυση ριθµητικών δεδοµένων κι την εξγωγή συµ ερσµάτων Τ συµ εράσµτ νφέροντι σε άγνωστ χρκτηριστικά ή ιδιότητες ληθυσµών κι εξάγοντι µε την βοήθει ληροφοριών ου εριέχοντι σε δείγµτ ό υτούς τους ληθυσµούς Θεωρητικό υ όβθρο της Σττιστικής οτελεί η ΘΕΩΡΙΑ ΠΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισγωγή Η Σττιστική µζί µε την Θεωρί Πιθνοτήτων χρησιµο οιούντι: Ε ιχειρήσεις ιοίκηση Βιολογί Γενετική Εκ ίδευση Οικονοµικά Ψυχολογί Ιδιίτεροι κλάδοι ου έχουν δηµιουργηθεί ό την χρησιµο οίηση σττιστικών µεθόδων είνι: Οικονοµετρί Βιοµετρί Βιοσττιστική Ψυχοµετρί

7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισγωγή Η σττιστική σχολείτι µε τη συλλογή, οργάνωση, ρουσίση κι νάλυση ληροφοριών Οι ληροφορίες υτές, ολύ συχνά ριθµητικές, ονοµάζοντι ρτηρήσεις ή µετρήσεις ή δεδοµέν. Συλλογή ε ιλογή ενός δείγµτος ό τον ληθυσµόέν οµοιογενές σύνολο τόµων των ο οίων εξετάζουµε κά οιο χρκτηριστικό Οργάνωση σήµερ σχεδόν άντ µε τη βοήθει υ ολογιστή Προυσίση µε τη µορφή.χ. κά οιου ίνκ, ή κά οιου διγράµµτος, χρησιµο οιώντς είτε το σύνολο των µετρήσεων ό το δείγµ είτε κά οιο εριγρφικό µέτρο.χ. τον ριθµητικό µέσο Ανάλυση σττιστική συµ ερσµτολογί µε τη χρήση κά οιου µοντέλου.χ. ότι ο ληθυσµός τον ο οίο µελετάµε κολουθεί κά οι κτνοµή

8 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισγωγή

9 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισγωγή Η ε ιλογή ενός δείγµτος ό κά οιο ληθυσµό οτελεί ντικείµενο της δειγµτοληψίς Γι την οργάνωση των δεδοµένων χρησιµο οιούµε κά οιο λογιστικό φύλλο.χ. Excel ή κά οιο σττιστικό κέτο.χ. Minitab, SPSS, Splus, Με την ρουσίση εριγρφή των δεδοµένων σχολείτι η Περιγρφική Σττιστική Βσικό µθηµτικό εργλείο της Σττιστικής Συµ ερσµτολογίς είνι η θεωρί ιθνοτήτων κι ειδικότερ οι διάφορες κτνοµές ιθνότητς Στη σττιστική, ένς ληθυσµός ου εξετάζουµε µ ορεί ν είνι Πε ερσµένος ή ά ειρος Υ ρκτός ή ιδετός Είδη σττιστικών στοιχείων Χρονοσειρές ή χρονικές σειρές.χ. οι διάφοροι οικονοµικοί δείκτες ιστρωµτικά στοιχεί.χ. ογρφές, έρευνες γοράς κλ Μεικτά δεδοµέν ου συνδυάζουν τ δύο ρ άνω στοιχεί

10 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισγωγή Βσικός σκο ός της Περιγρφικής Σττιστικής είνι η ρουσίση των τιµών του δείγµτος µε τέτοιο τρό ο ώστε ν µ ορεί ν γίνει µι ρώτη ερµηνεί των οτελεσµάτων Περιγρφική Σττιστική εριλµβάνει: Πινκο οίησηδεδοµένων Πρστάσεις δεδοµένων µε γρφήµτ ή εικόνες Υ ολογισµό εριγρφικών µέτρων Περιλµβάνει έννοιες ό ως ιστήµτεµ ιστοσύνης Τεστσηµντικότητς Πλινδρόµηση Προβλέψεις Συντελεστέςσυσχέτισης Στοχστικά µοντέλ κλ

11 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισγωγή Η σύγχρονη σττιστική σχολείτι κυρίως µε την Σττιστική Συµ ερσµτολογί Χρησιµο οιούµε µέτρ ου υ ολογίζουµε γι ν κάνουµε γενικεύσεις γεγονός ου οδηγεί στην εξγωγή συµ ερσµάτων ε γωγικά συµ ερσµτολογί ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Ένς δηµοσιογράφος κάνει µι σφυγµοµέτρηση της κοινής γνώµης κι ρωτά 100 νθρώ ους γι το ν υ οστηρίζουν την λλγή ενός νόµου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 75 ό τους 100 ΝΑΙ Ποι η διφορά στις ντήσεις? Αντι ροσω ευτικό δείγµ É 75 % ΝΑΙ

12 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισγωγή Η Σττιστική Συµ ερσµτολογί εριλµβάνει: Εκτιµητική ΣττιστικάΤέστ Πλινδρόµηση Ανάλυση ικύµνσης Πολυµετβλητή Ανάλυση

13 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Θεωρί Πιθνοτήτων

14 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Βσικές έννοιες Πιθνοτήτων ΤυχίΜετβλητή ικριτές κι συνεχείς τ.µ. κι κτνοµές Χρκτηριστικά τ.µ. κι κτνοµών Μέσητιµή ικύµνση Ρο ές κι ρο ογεννήτριες Πρµετρικές οικογένειες κτνοµών Α ό κοινού κτνοµή εµευµένηκτνοµή Κτνοµές κι χρκτηριστικά θροισµάτων τ.µ. Κτνοµή min κι max Κεντρικό Ορικό Θεώρηµ

15 ικριτές τυχίες µετβλητές Μί τυχί µετβλητή τ.µ. ορίζετι µε βάση έν τυχίο είρµ ως µί συνάρτηση Χ, η τιµής της ο οίς εξρτάτι ό το οτέλεσµ ω υτού του συγκεκριµένου ειράµτος. Πράδειγµ: στο είρµ µε τ ζάρι, το άθροισµ, το γινόµενο κι η διφορά των οτελεσµάτων ορίζουν διφορετικές τ.µ. : Χω xy, Yω xy, Zω x-y, ό ου ω x,y. Μιγδική τ.µ. : Ζ ΧiYό ου Χ,Υ είνι.τ.µ. είκτριτ.µ. : Α F, ορίζουµε την δείκτριτ.µ., ου συµβολίζετι µε 1 Α, ως 1 ν ω Α 1 Α ω 0 ν όχι

16 ικριτές τυχίες µετβλητές Ιδιότητες: 1. 1 Ω 1 κι Α Β 1 Α. 1 Β 3. 1 Α Β Β 1 Α 1 Β -1 Α. 1 Β 4. 1 Α c 1-1 Α 5. Α B 1 Α 1 B κι Α Β 1 Α 1 B Μί λή τ.µ. µ ορεί ν ν ρστθεί µε την βηµτικήσυνάρτηση : Χ Σ 1 i n x i.1 Α i ό ου τ γεγονότ Α i είνι µί διµέρισητου δειγµτοχώρουω.

17 Κτνοµή µίς δικριτής τυχίς µετβλητής Έστωµίτ.µ.Χ:ΩΕ ΙR.Γιx E,ορίζετιτογεγονός{ω: Χω x}η ιο λά{χ x},γιτοο οίοσυµβολίζουµε µε p xτην ιθνότηττου,δηλδή p x PrΧ x. Ορισµόςκτνοµή µίς δικριτής τ.µ. : Το σύνολο ριθµών p x, x E έτσι ώστε p x PrΧ xλέγετι κτνοµήτης τ.µ. Χ. Ιδιότητες: 1. p x 0. Σ x E p x 1 Το λεονέκτηµ στην χρήση µίς κτνοµής µίς τ.µ. είνι ότι ε ιτρέ ει κτευθείν, χωρίς την χρήση του δειγµτοχώρου, ν υ ολογισθούν οι ιθνότητες των γεγονότων ουορίζοντι ότηντ.µ.χ.

18 Κτνοµή µίς δικριτής τυχίς µετβλητής Πρδείγµτ: Έν ζάρι : η κτνοµή της τ.µ. Χω ω είνι p ω 1/6 γι ο οιοδή οτε ω Ω, κι λέγετι οµοιόµορφη κτνοµή δικριτή ερί τωση. ύο ζάρι : η κτνοµή της τ.µ. Χω ω 1 ω κι δίνετι ό τον κόλουθο ίνκ: x px 1/36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 1/36 Αν υ οτεθεί ότι τ.µ. Χ κι Υ ορίζοντι άνω στο ίδιο ιθνοθεωρητικόχώρο µε τιµές στο Ε 1 κι Ε : Ορισµός: Ανεξρτησί τ.µ. Οι τ.µ. Χ κι Υ λέγοντι νεξάρτητες εάν γι ο οιδή οτε x Ε 1 κι y Ε, ισχύει: Pr x, Y y Pr x PrY y

19 Μέση τιµή κι ρο ές Ορισµός: Η µέση τιµή µίς τ.µ., συµβολίζετι µε ΕΧ η Ε[Χ]. Αν η τ.µ. Χ είνι δικριτή µε τιµές στο Ε κι µε κτνοµή p p x,x Ε, η µέση τιµή της δίνετι µε Ιδιότητες: 1. Ε[Χ] Ε[Χ].. Ε[Χ Υ] Ε[Χ] Ε[Υ]. ΕΧ Σ x E x px 3. Εάν Χ 0 τότε Ε[Χ] 0, η εάν Χ Υ, τότε ΕΧ ΕΥ. Πρδείγµτ: Η µέση τιµή της δείκτριςτ.µ. : Ε 1 Α 1. Pr1 Α 1 0. Pr1 Α 0 PrA. Η µέση τιµή της λής τ.µ. Χ Σ 1 i n x i.1 Α i : ΕΧ Σ 1 i n x i PrΑ i.

20 Μέση τιµή κι ρο ές Ορισµοί : 1. Η k-οστήρο ή k IN*,ορίζετι µε : µ k E[Χ k ] Σ x E x k px εάν η σειρά συγκλίνει όλυτ.. Η k-οστήκεντρική ρο ή k IN*,ορίζετι µε : m k E[ - EΧ k ] Σ x E x - E k px Η δεύτερη κεντρική ρο ή, m, συµβολίζετι ε ίσης σ Χ ή Var κι λέγετι δισ ορά Variance της τ.µ. Χ. Μετράει την δισ ορά ή την δισ ρµένη µάζ γύρω ό την µέση τιµή της τ.µ.. Η τετργωνική ρίζ της δισ οράς λέγετι ε ίσης τυ ική όκλιση. Πρότση: Εάν Χ είνι µί τ.µ. µε τιµές στο IN, τότε ΕΧ Σ n 1 Pr n.

21 Μερικές κλσσικές δικριτές κτνοµές Κτνοµή του Bernoulli 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Κτνοµή Bernoulli πρµέτρου p 0,8 Η τ.µ. Χ κολουθεί µί κτνοµή Bernoulli ρµέτρου p 0 < p < 1, κι συµβολίζετι : Χ ~ Βp, εάν ίρνει τις τιµές τις µέσ στο {0,1} µε Pr 1 p κι Pr 0 1 p. Το γεγονός {Χ 1}, λέγετι ε ιτυχί κι το γεγονός {Χ 0} λέγετι οτυχί. Η µέση τιµή δίνετι : κι η δισ ορά ΕΧ p Var σ p1 p.

22 Μερικές κλσσικές δικριτές κτνοµές ιωνυµική κτνοµή Ότν ενδιφερόµστε γι τον ριθµό ε ιτυχιών σε µί ε ερσµένη σειρά ειρµάτων του Bernoulli, τότε υτό µ ορεί ν εριγρφεί ό µί διωνυµική τ.µ.. Ο ριθµός ε ιτυχιών σε µί σειρά n ειρµάτων Bernoulli µ ορεί ν είνι : 0, 1, n. Μί τ.µ. Υέχει µί διωνυµική κτνοµή ρµέτρου n,p n>0 κι 0 < p < 1, κι συµβολίζετι : Υ ~ Βn,p. H κτνοµή της δίνετι ό : pk PrY k C nk p k 1-p n-k,k 0, 1,, n 0,5 0, 0,15 0,1 ιωνυµική κτνοµή Αν Υ ~ bn,p, τότε µ ορεί ν ν ρστθεί µε το άθροισµ nτ.µ. του Bernoulli ρµέτρου p κι νεξάρτητες : Y 1 n Η µέση τιµή δίνετι : ΕY np κι η δισ ορά VarY σ np1 p. 0,

23 Μερικές κλσσικές δικριτές κτνοµές Γεωµετρική κτνοµή 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, Γεω µετρική κτνοµή Η γεωµετρική κτνοµή έχει άµεση σχέση µε µί ά ειρη σειρά νεξάρτητων ειρµάτων Bernoulli. Η ργµτο οίηση µίς γεωµετρικής τ.µ., δείχνει την ρώτη στιγµή ργµτο οίησης µίς ε ιτυχίς. Η τ.µ. Υ κολουθεί µί γεωµετρική κτνοµή ρµέτρου p 0 < p < 1, κι συµβολίζετι : Υ ~ Gp, ότν η κτνοµή της δίνετι ό pk PrY k p 1-p k-1, k > 0 Εάν υ οτεθεί µί ά ειρη σειρά τ.µ. Bernoulli : 1,, ~ Bp, τότε η γεωµετρική τ.µ. Υµ ορεί ν ν ρστθεί ως κολούθως : {Y n} { 1 0,, n-1 0, n 1} Η µέση τιµή δίνετι : ΕY 1 / p κι η δισ ορά : VarY σ 1 p / p.

24 Μερικές κλσσικές δικριτές κτνοµές Κτνοµή Poisson 0,5 0, 0,15 0,1 Kτνοµή POISSON 0, Μί τ.µ. Χ κολουθεί µί κτνοµή Poisson ρµέτρου λ IR*, κι συµβολίζετι : Χ ~ Pλ, ότν ηκτνοµή της δίνετι ό : pk PrΧ k e -λ λ k / k! k IN Η µέση τιµή δίνετι: ΕΧ λ κι η δισ ορά : VarΧ σ λ.

25 Συνεχής τυχί µετβλητή Ορισµός :Τυχί µετβλητή όλυτ συνεχής Μί ργµτική τ.µ. Χείνι όλυτ συνεχής εάν υ άρχει µί συνάρτηση f :IRIR, έτσι ώστε η κτνοµή ν δίνετι ως κολούθως : P Β Β f x dx γι ο οιοδή οτε διάστηµ Β του IR. Η συνάρτηση f λέγετι υκνότητ ιθνότητς του P ή της τ.µ. Χ. Έχει τις κόλουθες ιδιότητες : 1. x IR, f x 0.. IR f x dx 1. Πρτηρήσεις: 1. Μί ερµηνεί της υκνότητς ιθνότητς είνι η κόλουθη : Prx < x x f x x ο x ή f x lim x0 Prx < x x / x. Εκτός ό τις δικριτές τ.µ., υ άρχουν κι άλλες τ.µ. ου δεν είνι όλυτ συνεχείς.

26 Συνεχής τυχί µετβλητή Ορισµός: Αθροιστική συνάρτηση κτνοµής Η θροιστική συνάρτηση κτνοµής ορίζετι γι ο οιοδή οτε x IR, ως κολούθως : F Β P ] -, x] Pr x Συνε ώς, γι ο οιοδή οτε διάστηµ [a, b] του IR, έχουµε : Pr x ]a, b] F b - F a Έχει τις κόλουθες ιδιότητες : 1. Η F είνι ύξουσ στο IR.. F - lim x- F x 0, κι F lim x F x F. είνι συνεχής δεξιά. Πρτηρήσεις : 1. Εάν η τ.µ. Χ είνι όλυτ συνεχής, τότε F x ] -, x] f u du. Εάν x είνι έν σηµείο συνέχεις της f, τότε έχουµε : f x d/dx [F x]

27 Συνεχής τυχί µετβλητή Πράδειγµ: η οµοιόµορφη κτνοµή στο διάστηµ [0, 1] f 1 1 F Η υκνότητ υτής της κτνοµής είνι : fx 1 [0, 1] x. Κι η θροιστική συνάρτηση κτνοµής µετά ό υ ολογισµό δίνει : 0 εάν x < 0 F x x εάν 0 x 1 1 εάν x > 1

28 Συνεχής τυχί µετβλητή Ορισµός: Μέση τιµή µίς ργµτικής τ.µ. µε υκνότητ Η µέση τιµήµίς ργµτικής τ.µ. µε υκνότητ ορίζετι : κι στην ερί τωση µίς δικριτής τ.µ. έχουµε : ό ου pxείνι η κτνοµή της Χ. E IR x fx dx E x x px Ορισµοί : ισ ορά κι ρο ές µίς ργµτικής τ.µ. µε υκνότητ Η δισ ορά µίς ργµτικής τ.µ. µε υκνότητ ορίζετι ό ως κι στη δικριτή ερί τωση : Var E[ - E ] IR x - ΕΧ fx dx κι η ρο ή βθµού k: µ k E[ k ] IR x k fx dx Μί ιο ρκτική σχέση : Var E[ ] E Μερικές ιδιότητες της δισ οράς : 1. Vara b a Var, a,b IR. Αν Χ κι Υ είνι νεξάρτητες τότε VarY Var VarY

29 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Οµοιόµορφη κτνοµή 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 a1 b Μί τ.µ. κολουθεί µί οµοιόµορφη κτνοµή σε έν διάστηµ [a, b], ουσυµβολίζετι Χ U[a, b], εάν η υκνότητ ιθνότητς δίνετι µε : fx 1 / b-a εάν x [a, b] κι 0 λλιώς, Κι η θροιστική συνάρτηση ιθνότητς δίνετι µε : Fx x-a / b-a εάν x [a, b], 0 εάν x a, 1 εάν x b. E ab/ Var b-a / 1

30 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Γενική κνονική κτνοµή Έστω Ζ Ν0, 1,µ,σ IRxIR, κι Χ σζ µ. Τότε EΧ µ κι VarΧ σ. Α οδεικνύουµε ότι η τ.µ. Χκολουθεί µί γενική κνονική κτνοµή, ου συµβολίζετι : Χ Νµ, σ Η υκνότητ ιθνότητς δίνετι µε : Κι η θροιστική συνάρτηση κτνοµής : f x 1 e πσ x µ σ F x 1 πσ z e u µ σ du

31 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Τυ ική κνονική κτνοµή

32 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Τυ ική κνονική κτνοµή

33 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Εκθετική κτνοµή 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0, Η τ.µ. Χκολουθεί µί εκθετική κτνοµή ρµέτρου λ IR *, ουσυµβολίζετι Χ Ελ, εάν η υκνότητ ιθνότητς δίνετι : Κι η θροιστική συνάρτηση ιθνότητς δίνετι : fx λ exp-λx 1 IR x Fx 1 - exp-λx. E 1/λ Var 1/λ

34 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Κτνοµή γάµµ Η τ.µ. Χκολουθεί µί κτνοµή γάµµ ρµέτρων,β IR *x IR *, ουσυµβολίζετι Χ γ,β, εάν η υκνότητ ιθνότητς δίνετι : x 1 1 β f x x e 1 IR β Γ x 0,03 0,0 0,01 Ό ου Γ. είνι η συνάρτηση γάµµ, ου δίνετι µε : a Γ a 1 t e Εάν ΙΝ*, Γ -1! Εάν ΙΝ*, τότε γ,β είνι µί κτνοµή Erlang. Γι 1, έχουµε Χ Ε1/λ Εάν Χ γ 1,βκι Υ γ,βτότε ΧΥ γ 1,β dt E β Var β 0 t a C

35 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Κτνοµή χι τετράγωνο χn : 0,04 Η τ.µ. Χ κολουθεί µί κτνοµή χι τετράγωνο µε n βθµούς ελευθερίςn IN* ουσυµβολίζετι Χ χ n, εάν Χ γn/,. Μί τ.µ. Χ χ nείνι το άθροισµ των τετράγωνων nτυ ικών κνονικών κι νεξάρτητων τ.µ., δηλδή εάν Χ χ n, έχουµε : Χ Ζ 1 Ζ n κι Ζ i N0,1. 0,03 0,0 0, E n Var n

36 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Λογάριθµοκνονική κτνοµή Η τ.µ. Χκολουθεί µί λογάριθµοκνονική κτνοµή ρµέτρου µ, σ 0,35 IR x IR, εάν Χ e Y κι Υ Νµ, σ 0,3 κι η υκνότητ ιθνότητς δίνετι µε : 0,5 0,4 log x µ 1 f x e σ 1 πσx IR x 0, 0,15 0,1 0, E e µσ / Var e µσ e µσ

37 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Κτνοµή Weibull 0,07 Η τ.µ. Χκολουθεί µί κτνοµή Weibull ρµέτρου β,η IR *xir *, ου συµβολίζετι Χ Wβ,η, εάν η υκνότητ ιθνότητς δίνετι µε : 0,06 0,05 0,04 0,03 f x β 1 x β x η e 1 η η β IR x 0,0 0, κι η θροιστική συνάρτηση ιθνότητς στο IR, είνι : Fx 1 exp[-x/η β ]. E η Γ11/β Var η [Γ1/β Γ1/β ]

38 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Κτνοµή t Έστω Χ ~ Ν0,1, Υ ~ χ νκι Χ,Υ νεξάρτητες τ.µ. Η κτνοµή της τ.µ. : Z Y ν λέγετι t ν κτνοµήµε ν βθµούς ελευθερίς : t ν N 0,1 χ ν ν Είνι γνωστή κι ως κτνοµή Student Όσο µεγλώνουν οι βθµοί ελευθέρις τόσο ερισσότερο η κτνοµή ροσεγγίζει την τυ ική κνονική

39 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Κτνοµή t Συνάρτηση Πιθνότητς ν 1 ν 1 Γ t f t 1, ν ν ν Γ πν < t < Συνάρτηση Κτνοµής x, ; ; ν Γ πν ν ν xγ F1 Ft ν F 1 είνι η υ εργεωµετρική συνάρτηση

40 Μερικές κλσσικές συνεχείς κτνοµές Κτνοµή t

41 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΓΝΩΣΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

42 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Α 1. Μθηµτική Ελ ίδ τ.µ. Χ Η έννοι της Μθηµτικής Ελ ίδς ή νµενόµενης τιµής συνδέετι µε την µέση τιµή µίς σειράς µετρήσεων κι ό µί ά οψη είνι η ε ικρτέστερη τιµή τηςτ.µ. Χ Ε χ x x f f x, x, av av δικριτή συνεχής

43 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Α. Μθηµτική Ελ ίδ συνάρτησης hχ Ε[ h ] χ h x f x, av h x f x, av δικριτή συνεχής

44 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Ιδιότητες Μθηµτικής Ελ ίδς ] [,. 1. k k b h ae b ah E b ae b a E c c E 1, 1,, η κι υπάρχει τότε η υπάρχει Αν 6. ] [ 5. ] [ ] [ τότε 0, κι τότε 0 Αν 4. ] [ ], [ ] [ ] [ k 1 i k 1 i 1 1 Χ Ε Χ Ε Χ Ε Χ n m E h h E h E h E h h h E c h c E h E h E h h E m n i i i i K ν

45 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Β 1. ικύµνση δισ ορά τ.µ. Χ Η µέση τιµή µίς τυχίς µετβλητής µς δίνει την θέση ή το «κέντρο βάρους» της κτνοµής κι έτσι είνι γνωστή ως µέτρο θέσης. 1/100 f 1 τ.µ. Χ 1 f τ.µ. Χ x Ό ως ροκύ τει ό την ρ άνω µελέτη χρειζόµστε έν µέτρο µετβλητότητς ή δισ οράς των τιµών της τ.µ. γύρω ό την µέση τιµή. Ε ειδή οι οκλίσεις ό την µέση τιµή µ ορεί ν είνι είτε θετικές είτε ρνητικές, χρησιµο οιούµε τ τετράγων των οκλίσεων. Το µέτρο υτό ονοµάζετι δικύµνση ή δισ ορά

46 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Var E E όπου µ ΕΧ E µ Β. Τυ ική Α όκλιση τ.µ. Χ x x µ x µ f f x, x, νχδικριτή νχσυνεχής σ Var Β 3. ισ ορά κι Τυ ική Α όκλιση συνάρτησης hχ Var [ h ] E[ h Eh ] σ h Var h

47 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Τ.Μ. ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Ιδιότητες ικύµνσης 1. Var E E, Var[ h ] E h [ Eh ]. Var c 0 3. Var[ h b] Var[ h ] Πρτηρήσεις: Εάν η δικύµνση ή η δισ ορά είνι 0 τότε η τ.µ. είνι στθερή. Όσο ιο µικρή είνι η δικύµνση τόσο ιο µικρή είνι κι η µετβλητότητ της Χ. Συνήθως γι ν υ ολογίσουµε την ιθνότητ ενός ενδεχοµένου ου εριγράφετι ό µί τ.µ. Χ χρειζόµστε την κτνοµή της.. Εάν όµως η κτνοµή της δεν είνι γνωστή λλά γνωρίζουµε την µέση τιµή κι την τυ ική όκλιση, η ρκάτω νισότητ ου είνι γνωστή ως νισότητ Chebychev µς ε ιτρέ ει ν υ ολογίζουµε φράγµτ ου δεν εξρτώντι ό τη κτνοµή της Χ, γι τις ιθνότητες των ενδεχοµένων της Χ της µορφής µ kσ,µkσ Pr{ µ ε } Var ε

48 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ Η µέση τιµή κι η δικύµνση µίς τυχίς µετβλητής δεν είνι τ µόν µέτρ ου εριγράφουν τ χρκτηριστικά γνωρίσµτ των κτνοµών. Υ άρχουν κι άλλ ό ως οι ρο ές, τ µέτρ λοξότητς κι κύρτωσης, µίς κτνοµής, η διάµεσος, η κορυφή, τ οσοστιί σηµεί κλ. Α. Α λές Ρο ές ή Ρο ές ερί το 0 µ k E k x - x x k k f x, f x, δικριτή συνεχής Λέγετιρο ή k-τάξης ερί το µηδέν.ανµ 1 µτότεέχουµετηνµέσητιµήτηςτ.µ.kθετικόςκέριος

49 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ Β. Κεντρικές Ρο ές ή Ρο ές ερί το µ λ k E µ k x - x µ x µ k k f x, x, δικριτή συνεχής Λέγετι κεντρική ρο ή k-τάξης ερί το µ. Πρτηρούµε ότι λ 1 0 γι κάθε κτνοµή. Ε ίσης λ σ δηλδή είνι η δικύµνση. Οι κεντρικές ρο ές συνδέοντι µε τις λές ρο ές σύµφων µε τον γενικό τύ ο: k k k λ k µ k µ µ µ µ µ 1 k f k k k 1 1 k

50 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ Γ. Τυ ικές ή Τυ ο οιηµένες Ρο ές k µ E, k σ k 1,,3,K Ό ου µ η µέση τιµή κι σ η τυ ική όκλιση. Λέγετι τυ ική ή τυ ο οιηµένη ρο ή k-τάξης.. Πρτηρούµεότι 1 0κι 1.Ιδιίτεροενδιφέρον ρουσιάζουνοιρο ές 3 κι 4 3 : Μέτρο ή συντελεστής λοξότητςσυµµετρίς Ανηκτνοµήείνισυµµετρικήτότε 3 0. Αν 3 >0τότεηκµ ύληείνιλοξή ροςτδεξιάενών 3 <0 ροςτριστερά 4 : Μέτρο ή συντελεστής κύρτωσης Μεγάλεςτιµέςτου 4 σηµίνουν ολύκυρτήκµ ύλη.. Πργοντικές Ρο ές µ [ k] E 1... k 1, kθετικόςκέριος

51 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Τυ ικές ή Τυ ο οιηµένες Ρο ές > 0 3 < 0 4 > < 3

52 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 1. Bn,p. HgN,n,p 1 n N N p q n N npq npq p q npq np 6pq 1 3,,, 4 3 σ µ 3. Geop 4. NBk,p q q p q p 4 3 p 9, 9 1,, 1 σ µ 4 3, 1, 1, σ µ n N Npq N n N N p q N n N npq np kq q kq q p kq p k 6 p 9, 1,, 4 3 σ µ

53 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 5. Pλ 6.U,β λ λ λ σ λ µ 1 3, 1,, β β 7. Expλ 8. G,β 5 9 0,, 1, 4 3 β σ β µ β σ β µ 6 3,,, 4 3 9,, 1, λ σ λ µ

54 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 9. Be,β 3 ] 1[ 3, 1, 1, 4 3 β β β β β β β β β β β β β β β σ β µ 10.N0,1 3 0, 1,, σ µ

55 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΘΕΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 1. Κορυφή Έστω Χµί τ.µ.. Κάθε σηµείο kγι το ο οίο ισχύει η σχέση f ή f k max f x, x δικριτή συνεχής λέγετι κορυφή ή ε ικρτούσ τιµή της τ.µ.. Ποσοστιί Σηµεί Έστω Χ µί τ.µ. µε.σ.κ. Fx. Κάθε σηµείο x p 0 x p 1, γι το ο οίο ισχύει Pr k max f x, x ή Pr x p p x λέγετι p- οσοστιίο σηµείο της Χ ή της κτνοµής της Αν p 0.5,,το σηµείο λέγετι διάµεσος κι συνήθως συµβολίζετι µε m p κι F x p Pr x 1 p, συνεχής p p, δικριτή

56 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισµός Έστω Χµί τ.µ. Η ρο ογεννήτρι συνάρτησητης Χσυµβολίζετι µε m x t ή mtκι ορίζετι ως κολούθως : m t E e t x e e tx f x, f x, δικριτή συνεχής Ό ου fη σ.. της Χ κι tείνι ράµετρος µετβλλόµενη στ διστήµτ γι τ ο οί το άθροισµ ή το ολοκλήρωµ συγκλίνουν όλυτ. tx Η ρο ογεννήτρι υ άρχει άντ στο σηµείο t 0. Υ άρχουν ερι τώσεις ό ου υ άρχειµόνογιτο0κιγικµίάλλητιµήτου t. Ανηρο ογεννήτριυ άρχειγιµί εριοχήτου t 0τότεέχει ργώγους κάθε τάξης στην εριοχή υτή.

57 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ισχύει r 1 m t 1 µ r r t r!, t c, c Ισχύει m bt t e m at a b Η ιο σηµντική ιδιότητ των ρο ογεννητριών είνι το Θεώρηµ του µονοσήµντου : ν οι ρο ογεννήτριες συνρτήσεις δύο τ.µ. είνι ίσες τότε οι τ.µ. έχουν την ίδι κτνοµή. Το θεώρηµ υτό µς ε ιτρέ ει τον ροσδιορισµό των κτνοµών τ.µ. µε την βοήθει των ρο ογεννητριών συνρτήσεων.

58 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Κτνοµή ιωνυµική-βn,p Γεωµετρική-Geop Pascal-NBk,p Poisson-Pλ Οµοιόµορφη-U,β Εκθετική-Expλ Γάµµ-G,β Κνονική-Νµ,σ Ρο ογεννήτρι m t pe q m t 1 m t p 1 m t e β t t pe k t qe e qe tk λ e t t t k 1 t e e m t t β m t λ λ m t 1 t m t e t β σ t µ t n