ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ, ΑΤΡΙΒΗ (INVISCID) ΡΟΗ
|
|
- Αλκιππη Βιτάλη
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ, ΑΤΡΙΒΗ (INISCID) ΡΟΗ X Ολα τα παγµατικά ευστά έχουν ιξώδες. Οµως τα ευστά συχνά συµπειφέονται σαν ανιξώδη ή άτιβα (inviscid), π.χ. έχουν αµελητέο ιξώδες. Αυτή η πααδοχή απλοποιεί κατά πολύ τις εξισώσεις Navier Stokes. Σ αυτό το κεφάλαιο θα µελετήσουµε την δυναµική των ιδανικών ευστών (ασυµπίεστα ευστά µε µηδενικό ιξώδες). Η ανιξώδης οή δεν πειλαµβάνει διατµητικές τάσεις παά µόνον κάθετες τάσεις. ΕΞΙΣΩΣΗ ΟΡΜΗΣ ΓΙΑ ΑΤΡΙΒΗ ΡΟΗ Θεωούµε την εξίσωση NavierStokes, +. t και θέτουµε τους ιξώδεις όους ίσον µε το µηδέν +. τ + g +. t + g Αναλύοντας αυτή την εξίσωση στις συνιστώσες της για ένα κατεσιανό σύσηµα συντεταγµένων παίνουµε:
2 X x συνιστώσα g + x u + w y u + x u + u t u x υ y συνιστώσα g + y + w y + x + u t y υ υ υ υ υ συνιστώσα g + w + w y w + x w +u t w υ Αυτές είναι γνωστές σαν οι εξισώσεις του Euler, οι οποίες ανακαλύφθηκαν από τον Euler πιν οι NavierStokes ανακαλύψουν τις δικές τους εξισώσεις. Οι εξισώσεις Euler µποούν να εφαµοσθούν για άτιβες (frictionless) ή ανιξώδεις (inviscid) οές. Υπάχουν πολλές πειπτώσεις που οι επιδάσεις του ιξώδους είναι µικές. π.χ., οή πάνω από στεεές επιφάνειες (βλέπε σχήµα παακάτω).
3 X Το πεδίο οής µποεί να διαιεθεί σε ένα στώµα (γνωστό σαν οιακό στώµα) όπου οι ιξώδεις επιδάσεις είναι σηµαντικές και ένα στώµα µακιά από την στεεά επιφάνεια (ελεύθεο εύµαανιξώδης οή) όπου οι ιξώδεις επιδάσεις µποούν να αγνοηθούν. Οι εξισώσεις Euler µποούν να χησιµοποιηθούν στο ελεύθεο εύµα. Σε τέτοιες πειπτώσεις οι ιξώδεις επιδάσεις πειοίζονται σε µία µική επιφάνεια κοντά στην στεεά επιφάνεια (οιακό στώµα boundary layer). Εξω από αυτό το στώµα η οή είναι ανιξώδης ή άτιβη. Η πααδοχή της ανιξώδους οής σε αγωγό υποννοεί επίπεδη κατανοµή ταχύτητας. Μία τέτοια κατανοµή ποσεγγίζει την τυβώδη οή πεισσότεο απ ότι την γαµµική.
4 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EUER ΣΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΡΟΊ ΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ (STREAMINE COORDINATES) X 4 Οι εξισώσεις Euler γίνονται πολύ χήσιµες όταν εφαµοσθούν σε ένα σωµατίδιο ευστού ακολουθώντας µία οϊκή γαµµή. Θεωούµε ένα τέτοιο σωµατίδιο για ανιξώδη οή. Εφαµόζουµε το ισοζύγιο οµής στις s και n κατευθύνσεις {Accumulation of momentum} {Rate of momentum in} {rate of momentum out} +{body force} + {contact force} Εφαµόζουµε πώτα στην s κατεύθυνση: t ( d [ olume]) [( ) ] s dn. [ ( ) ] s + ds dn.+ + g dn ds.+ s dn. s + ds s dn.
5 X 5 Θέτοντας d[olume]dn.ds. και διαιώντας µε το dn και θέτοντας τα όια του dn, και ds πος το µηδέν, µποούµε να πάουµε gs + s t s sκατεύθυνση: Για µόνιµες οές /t Εάν αγνοήσουµε την σωµατική δύναµη (βαύτητα) για οή σε οιζόντιο επίπεδο g s, g s g /s, τότε s s η οποία δείχνει ότι µία µείωση της ταχύτητας συνοδεύεται από µία αύξηση της πίεσης. Εάν εφαµόσουµε την αχή διατήησης της οµής στην nκατεύθυνση, nκατεύθυνση: n g n R, g n g n όπου α n R είναι η κεντοµόλος (centrietal) επιτάχυνση και το ανητικό πόσηµο υπάχει επειδή α n δείχνει πος το κέντο καµπυλότητας της οϊκής γαµµής (στην n κατεύθυνση) και R είναι η απόσταση από το κέντο
6 X 6 καµπυλότητας. Πάλι σε οή σε οιζόντιο επίπεδο, η σωµατική δύναµη δεν παίζει κανένα όλο και η εξίσωση απλοποιείται στην: n R η οποία µας λέει ότι υπάχει αύξηση της πίεσης στην κατεύθυνση που δείχνει πος τα έξω από το κέντο καµπυλότητας, δηλαδή στην κατεύθυνση n.
7 X 7 Παάδειγµα: Θεωούµε άτιβη, ασυµπίεστη, µόνιµη οή γύω από σφαία ακτίνας " a " όπως φαίνεται στο σχήµα παακάτω. Από την δυναµική (otential) θεωία, η ταχύτητα του ευστού κατά µήκος της οϊκής γαµµής AB δίνεται από: a + x Καθοίστε την κατανοµή πίεσης κατά µήκος της οϊκής γαµµής από το σηµείο A (x A και A ) στο σηµείο B πάνω στηνσφαία (x B a and B ). Σχήµα: Ροή γύω από µία σφαία Επειδή η οή είναι µόνιµη και άτιβη, οι εξισώσεις Eulers κατά µήκος µιας οϊκής γαµµής ισχύουν: s s
8 X 8 Χησιµοποιώντας την κατανοµή ταχύτητας, x a x a + x s 4 x a x a + 4 Μποούµε να δούµε ότι / s < κατά µήκος της οϊκής γαµµής που δείχνει ότι το ευστό επιβαδύνεται από µακιά από τη σφαία στο µηδέν στην «µύτη» της σφαίας. Αντικαθιστώντας, x a x a + x 4 Αυτή η σχέση δείχνει ότι η πίεση µεγαλώνει στην κατεύθυνση οής και παίνει την µεγαλύτεη τιµή της στην «µύτη» της σφαίας. Εάν υποθέσουµε ότι στο x A και (gage), Ολοκληώνοντας παίνουµε την κατανοµή της πίεσης: ) x / (a + x a 6 Η πίεση στο B, το οποίο είναι ένα σηµείο στασιµότητας (stagnation oint) επειδή B, είναι η υψηλότεη κατά µήκος της οϊκής γαµµής ( B /). Παακάτω βλέπουµε τις κλίσεις και κατανοµή πίεσης κατά µήκος της οϊκής γαµµής.
9 X 9
10 X Παάδειγµα: Ροή σε καµπύλη αγωγού (bend) Η ογκοµετική παοχή αέα σε STP σε ένα επίπεδο αγωγό (flat duct) µποεί να µετηθεί µε την εγκατάσταση δύο κουνών πίεσης (ressure tas) κατά πλάτος της καµπύλης. Ο αγωγός είναι. m βαθύς (dee) και. m πλατύς (wide). Η εσωτεική ακτίνα της καµπύλης είναι.5 m. Εάν η διαφοά πιέσης που µετείται µεταξύ των δύο κουνών είναι 4 mm νεού, υπολογίστε ποσεγγιστικά την ογκοµετική παοχή υποθέτοντας ότι η ταχύτητα είναι οµοιόµοφη κατά πλάτος της καµπύλης. Υποθέτουµε: Ατιβη, ασυµπίεστη και οµοιόµοφη οή Υποθέτουµε ότι η rκατεύθυνση είναι κάθετη στη οή όπως φαίνεται στο σχήµα. Η βασική εξίσωση Euler γίνεται ή / n / R
11 X r dr d r dr d r lnr r dr d r r r r ) r / r ( or r r / ln ln ή τελικά (χησιµοποιώντας ότι το του αέα σε Standard T και P (STP) είναι.8 kg/m ).8m/s or ) r / r ( h g O H / ln Για οµοιόµοφη οή: Q A (r r )W.94 m /s. Λόγω αυτής της πίεσης, καµπύλες σε συστήµατα οής πέπει να στηίζονται µε χήση υποστηιγµάτων για να αποφεύγουµε ζηµιές.
12 XI Η ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOUI Ολοκλήωση τηε εξίσωσης Euler κατά µήκος µιας οϊκής γαµµής για µόνιµη οή Η Εξίσωση Euler για µόνιµη οή κατά µήκος µιας οϊκής γαµµής δίνεται από: s g s s Εάν ένα σωµατίδιο του ευστού κινείται κατά µία απόσταση, ds, κατά µήκος µίας οϊκής γαµµής τότε: Η αλλαγή της πίεσης κατά µήκος του s µποεί να εκφασθεί ως: s ds d Η υψοµετική αλλαγή κατά µήκος του s ως: s ds d
13 XI Η αλλαγή της ταχύτητας κατά µήκος του s ως: ds d s Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση του Euler µε ds, και χησιµοποιώντας τις πααπάνω εκφάσεις παίνουµε: d g d d (along s) ή d + g d + d (along s) Ολοκλήωση αυτής της εξίσωσης µεταξύ δύο σηµείων ("", and "") πάνω σε µία οϊκή γαµµή δίνει: d + g ( )+ ( ) ( along s) Για ασυµπίεστα ευστά, const, έτσι ( ) + g ( )+ ( ) (along s) ή + + g + + g
14 XI Γενικά µποούµε να γάψουµε: + g + constant (along s) Αυτή είναι η εξίσωση Bernoulli πού µποεί να χησιµοποιηθεί κάτω από τις εξής πααδοχές: () Μόνιµη οή () Ασυµπίεστη οή () Ατιβη ή ανιξώδη οή (inviscid) (4) Ροή κατά µήκος µίας οϊκής γαµµής. Υπογαµµίζεται ότι διαφοετικές οϊκές γαµµές έχουν διαφοετικές σταθεές. Bernoulli constants h o / + / + g (5) Κανένα έγο µεταξύ των σηµείων και : δεν παεµβάλλονται αντλίες ή τουµπίνες στην οϊκή γαµµή. (6) Καµµία µεταφοά θεµότητας µεταξύ των σηµείων και : είτε ποστιθέµενη είτε αφαιούµενη. Η εξίσωση Bernoulli είναι χήσιµη επειδή συσχετίζει αλλαγές πίεσης µε αλλαγές ταχύτητας και υψοµέτου κατα µήκος των οϊκών γαµµών. Οµως δίνει σωστά αποτελέσµατα µόνο όταν όλες οι πααδοχές είναι ικανοποιητικές.
15 XI 4 Το σχήµα παακάτω επεξηγεί µεικούς πακτικούς πειοισµούς της χήσης της εξίσωσησς Bernoulli: Για το wind tunnel η εξίσωση Bernoulli ισχύει στις πειοχές µακιά από τα τοιχώµατα. Γιατί? Στην οή της ποπέλλας, η εξίσωση Bernoulli ισχύει είτε πιν ή µετά την ποπέλλα, αλλά µε διαφοετική σταθεά λόγω της πόσθεσης του έγου. Για τη οή στην καµινάδα, η εξίσωση Bernoulli ισχύει πιν και µετά την φωτιά αλλά µε αλλαγή της σταθεάς που ποκαλείται από την πόσθεση της θεµότητας.
16 XI 5 EXAMPE: A U tube of diameter. m acts as a water sihon. The bend in the tube is m above the water surface; the tube outlet is 7 m below the water surface. If the flow is frictionless as a first aroximation, and the fluid issues from the bottom of the sihon as a free jet at atmosheric ressure, determine the velocity of the free jet and the absolute ressure of the fluid in the flow at the bend (oint A). Assumtions:. Neglect friction (inviscid flow). Steady flow. Incomressible flow 4. Flow along a streamline 5. Reservoir is large comared to the ie, so that level does not dro. Aly Bernoulli between "" and "". + g + + g + However, because (Area of Reservoir) >> (Area of ie),, (gage), and the above equation simlifies to: g g + or g ( )
17 XI 6 or g ( ).7 m/s and π D Q or Q.9 m 4 To determine the ressure at "A", aly Bernoulli between "" and "A". A A + g + A + g + / s Again and from conservation of mass A. Thus or g A ( A A + g + g ) A + g ( A ) substitute to get: 5 N kg m N s kg A ( m ) 999 (.7 m / m m s kg m m or A.8 kpa (Pa N / m ) s N s ) kg m
18 XI 7 EXAMPE: A stream of water of diameter d. m flows steadily from a tank of diameter D m as shown. Determine the flow rate, Q, needed from the inflow ie if the water deth remains constant at h. m. Assumtions:. Incomressible flow. Steady flow. Inviscid flow 4. Flow along a streamline Aly Bernoulli between oints "" and "", that is: + g + + g + However, (ambient gage ressure), h and (reference datuum level). Thus the Bernoulli equation simlifies to: + g h Although hconst, there is an average velocity across section () because of the flow from the tank. Alying conservation of mass requires for steadystate oeration: Q Q
19 XI 8 or π D 4 π d 4 or d D Combining with the Bernoulli equation we get: g h 4 (d/d ) or 9.8 m/s 4 (./ ) m 6.6 m/s Then follows that the volumetric flow rate Q : Q v A π d / 4.49 m / s In this examle we have not neglected the kinetic energy of the water ( ). If D>>d, the continuity indicates that << and the assumtion is reasonable. The error associated with this assumtion can be seen by calculating the ratio of the flowrate when denoted as Q to the flowrate when denoted as Q.
20 XI 9 This is: Q Q, g h / [ (d g h / D ) 4 ] (d / D ) 4 This is lotted below with < d/d <.4. It follows that < Q/Q <., so the error is less than %. Thus it is often reasonable to assume.
21 XI EXAMPE: Air flows steadily from a tank, through a hose of diameter D. m and exits to the atmoshere from a nole of diameter d. m as shown in the figure below. The ressure in the tank remains constant at. kpa (gage) and the atmosheric conditions are standard temerature and ressure. Determine the flow rate and the ressure in the hose. For flow steady, inviscid and incomressible aly Bernoulli's equation two times ("" to "" and "" to ""), that is: + g + + g + + g + + g + However, (large tank), (free jet). Using these:
22 XI The density of the air in the tank is: R T [ + ] kn / m x N / kn ( 86.8 Nm / kg K ) ( ) K.6 kg / m Thus, ( x.6 N / m kg / m ) 69 m / s Thus, QA.54 m /s (Because a uniform velocity rofile is assumed). Note that is determined from, indeendent of the "shae" of the nole. The ressure within the hose can be obtained as follows: first use continuity to determine, d A A or D 7.67 m/s
23 XI Thus from the above Bernoulli equation x N / m (.6 kg / m ) ( 7.67 m/s ) 96 N/ m In the absence of viscous effects the ressure throughout the hose is constant and equal to. Physically, this decrease in ressure from to to accelerates the air. The ressure change from () to () is not too great, that is ( )/ /... From erfect gas law, it follows that the density change is also not significant. Hence, the incomressibility assumtion is reasonable for this roblem.
24 XII ΣΤΑΤΙΚΗ (STATIC), ΣΤΑΣΙΜΗ (STAGNATION) ΚΑΙ ΥΝΑΜΙΚΗ (DYNAMIC) ΠΙΕΣΗ Η πίεση την οποία χησιµοποιήσαµε στην πααγωγή της εξίσωσης Bernoulli είναι η στατική πίεση (static ressure). Η στατική πίεση είναι η πίεση που θα µετούσε ένα όγανο εάν εκινείτο µαζί µε το ευστό. Οµως αυτό δεν είναι πολύ πακτικό. είναι: Η εξίσωση του Euler κάθετα στις οϊκές γαµµές για µόνιµη οή + g n n R Εάν οι οϊκές γαµµές είναι ευθύγαµµες (οή σε αγωγό) τότε R και αυτό δίνει: n + g n Εάν επίσης οι µετήσεις γίνονται σε οιζόντιο αγωγό µε µική διάµετο τότε οι υψοµετικές διαφοές µποούν να αγνοηθούν: n Το οποίο µας λέει ότι δεν υπάχει αλλαγή της πίεσης κάθετα στις οϊκές
25 XII ευθύγαµµες γαµµές. Χησιµοποιώντας αυτό, δύο πιθανές διευθετήσεις για µέτηση της στατικής πίεσης δείχνονται παακάτω: Η στάσιµη πίεση (stagnation ressure) είναι η τιµή που θα παίναµε όταν ένα ευστό επιβαδύνονταν σε µηδενική ταχύτητα µε µία άτιβη διεγασία (frictionless rocess). Σε ασυµπίεστη οή, η εξίσωση Bernoulli µποεί να χησιµοποιηθεί για το συσχετισµό αλλαγών στην ταχύτητα και πίεση κατά µήκος οϊκών γαµµών. Εάν αγνοήσουµε υψοµετικές διαφοές, µποούµε να γάψουµε : + constant Εάν η στατική πίεση είναι στο σηµείο όπου η ταχύτητα είναι, τότε η στάσιµη πίεση,, είναι στο σηµείο όπου η ταχύτητα είναι. Ετσι, + +
26 XII ή + όπου είναι η στάσιµη πίεση και ο όος / είναι η δυναµική πίεση. Ενα παάδειγµα είναι η οή γύω από σφαία όπου η στάσιµη πίεση είναι στη µύτη της σφαίας. Λύνοντας την πιο πάνω εξίσωση για την ταχύτητα παίνουµε ότι: ( ) Ετσι εάν ξέουµε και τις δύο πιέσεις, την στατική και την στάσιµη σε κάποιο σηµείο, τότε µποούµε να υπολογίσουµε την ταχύττηα σ αυτό το σηµείο. ύο τέτοια όγανα είναι ο σωλήνας Πιτό (itot tube) και ο στατικός σωλήνας Πιτό (itotstatic tube).
27 XII 4 Ο ΣΩΛΗΝΑΣ ΠΙΤΟ (PITOT TUBE) Είναι ένα όγανο που χησιµοποιείται για να µετήσουµε την ταχύτητα των κινούµενων οχηµάτων (βάκες, αεοπλάνα) δια µέσου ενός στάσιµου ευστού. Εφαµόζοντας την εξίσωση Bernoulli µεταξύ σηµείων "" και "", µποούµε να γάψουµε: + + g + + g Παίνοντας το υψόµετο σε αναφοά µε το τοίχωµα και θέτοντας : + g d + g h Οµως η πίεση στο σηµείο "" είναι η υδοστατική πίεση, ίδια µε αυτή µακιά από την κινούµενη διεπιφάνεια. Ετσι χησιµοποιώντας Συνδιάζοντας παίνουµε ότι atm+ g d g h
28 XII 5 ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΣΩΛΗΝΑΣ ΠΙΤΟ (PITOTSTATIC TUBE) Ενα σχήµα αυτού του ογάνου δείχνεται στο σχήµα. Χησιµοποιείται για να µετήσουµε κατανοµές ταχύτητας, ταχύτητες σε διαφοετικά σηµεία του αγωγού. Χησιµοποιώντας την εξίσωση Bernoulli στις θέσεις "" και "": + + g + + g Οµως,, (στάσιµο σηµείο), atm +gd και atm +g(d+h). Χησιµοποιώντας αυτές τις σχέσεις µποούµε να απλοποιήσουµε την εξίσωση Bernoulli: g h Ετσι χησιµοποιώντας ένα τέτοιο όγανο, η ταχύτητα σε διάφοα σηµεία του καναλιού µποούν να µετηθούν.
29 EXAMPE XII 6 Water flows through a ie reducer as is shown in the figure below. The static ressures at "" and "" are measured by the inverted Utube manometer containing oil of SG <. Determine the manometer reading h. Using the assumtions of steady, inviscid, incomressible flow and that of flow along a streamline, the Bernoulli equation can be written as: + + g + + g Using also the continuity Q A A Combining these two equation to eliminate, we get: g ( )+ A A
30 XII 7 To find, note that D E h g SG g l h g g l ) g ( or ) SG ( h g )+ g ( Now using this ressure difference we can obtain A A ) SG ( h g However, Q/A so that ( ) [ ] ) SG g ( A / A A Q h
31 XII 8 EXAMPE The flowing system of arallel disks shown contains water. The water flows from the container to the sace between the two arallel disks and then to the atmoshere. Assume that water is added continuously in the reservoir so that H is always constant. Consider frictionless, incomressible flow and state clearly all your assumtions. If R mm, and R C 5 mm, calculate the following quantities: a. The discharge volume flow rate. b. The velocity at oint C. c. The ressure at oint C. Assumtions: Incomressible flow Frictionless flow Flow along a streamline Uniform flow a. Aly Bernoulli between oints "" and "" + + g + + g However, atm, and (large reservoir), thus
32 XII 9 or g + g or g ( ) 4.4 m/s and Q A π R h.5 b. Aly continuity between oint "C" and "" m /s C π R C h π R h or C 8.86 m/s c. Finally aly Bernoulli between oints "" and "C" + C + g + C + g C Setting, and atm, then C atm g ( ) C or C atm 9.4 kpa Thus, the gage ressure at C is equal to 9.4 kpa, or the absolute ressure is: C atm 9. 4 kpa. kpa 9.4 kpa 7.6 kpa
33 XII EXAMPE Air flows steadily and at low seed through a horiontal nole, discharging to the atmoshere. At the nole inlet, the area is. m. At the nole exit the area is. m. The flow is essentially incomressible, and frictional effects are negligible. Determine the gage ressure required at the nole inlet to roduce an outlet seed of 5 m/s. Assumtions: Incomressible flow Frictionless flow Flow along a streamline Uniform flow at all sections Using the continuity for incomressible flow (density constant): Q Q or A A or A A m/s For air at standard conditions,. kg/m. Then, aly Bernoulli's equation between oints "" and "" to obtain: + + g + + g However,, and atm so that
34 XII atm + + or ( atm ) or kg m m. 5 atm m s s N s kg m or atm.48 kpa
35 XIII ΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (DIMENSIONA ANAYSIS) ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (SIMIITUDE) Μέχι τώα αναπτύξαµε τις βασικές εξισώσεις της ευστοδυναµικής και µεικές από τις αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων. υστυχώς τα παγµατικά ποβλήµατα που µποούν να λυθούν αναλυτικά είναι πολύ λίγα και πειοίζονται µόνο στη γαµµική οή. Οµως τα πεισσότεα ποβλήµατα πειλαµβάνουν πείπλοκες γεωµετίες και τυβώδη οή. Σε αυτές τις πειπτώσεις συχνά χτίζουµε µοντέλα τα οποία µας βοηθούν να καταλάβουµε τη ευστοδυναµική. Για παάδειγµα δεν χτίζουµε ένα αεοπλάνο που κοστίζει µεικά εκατοµµύια ΕΥΡΩ για να διαπιστώσουµε ότι δεν έχει ακετή άντωση. Μετάµε την άντωση σε ένα µικό µοντέλο και µετά χησιµοποιούµε ένα νόµο διακλίµακωσης (scaling law) για να ποβλέψουµε την άντωση στο πωτότυπο σε πλήη κλίµακα (fullscale rototye) (Re model Re rototye ). Για να χτίσουµε ένα τέτοιο µοντέλο, βασιζόµαστε σε µία τεχνική που λέγεται διαστατική ανάλυση (dimensional analysis).
36 XIII Μελετώντας µεταφοά πετελαίου (crude oil) από πολύ µακινές πειοχές χησιµοποιούµε µεγάλους σωλήνες. Πώτα µελετάµε την οή σε µικότεους σωλήνες και µετά χησιµοποιούµε το νόµο διακλιµάκωσης (scaling law) που ποκύπτει από την διαστατική ανάλυση για να ποβλέψουµε τη οή σε µεγαλύτεους σωλήνες. Η τεχνική της διαστατικής ανάλυσης είναι επίσης χήσιµη για τον σχεδιασµό ενός εφικτού αιθµού πειαµάτων τα οποία θα µα σ επιτέψουν να κατανοήσουµε πλήως ένα ποβληµα και να παάγουµε τον νόµο διακλιµάκωσης (scaling law). Ετσι η σηµασία της διαστατικής ανάλυσης είναι:. Σχεδιασµός και βλετιστοποίηση αιθµού πειαµάτων. Κατασκευή κλιµακωτών µοντέλων (scale u models) (από το εγαστήιο στην βιοµηχανία). Συσχετισµός πειαµατικών δεδοµένων για την πααγωγή του νόµου διακλιµάκωσης (scaling law).
37 Παάδειγµα XIII Θεωούµε την οπισθέλκουσα δύναµη (drag force) σε µία στάσιµη σφαία σε ένα οµοιόµοφ εύµα ευστού. Τι πειάµατα πέπει να κάνουµε για να καθοίσουµε την οπισθέλκουσα δύναµη πάνω στη σφαία? Πειµένουµε ότι η οπισθέλκουσα δύναµη θα εξατάται από το µέγεθος της σφαίας (διάµετο, D), την ταχύτητα του ευστού, το ιξώδες και την πυκνότητα του ευστού. Ετσι, F f ( D,,, µ ) Κατασκευάζουµε µία συσκευή και είµαστε έτοιµοι να κάνουµε πειάµατα. Για να βούµε πως το F εξατάται από το για ένα συγκεκιµένο ευστό χειαζόµαστε σηµεία. Για να βούµε την επίδαση του D, τα πειάµατα πέπει να επαναληφθούν φοές για σταθεά και µ, το οποίο σηµαίνει πειάµατα για να µελετήσουµε τις επιδάσεις των και D σε συνδιασµό. Για να µελετήσουµε τις επιδάσεις των και µ σε συνδιασµό µε τα ποηγούµενα πειάµατα πέπει να κάνουµε 4 µετήσεις. Κάθε µεταβλητή αυξάνει τον αιθµό πειαµάτων κατά µία τάξη µεγέθους. Αυτή η µέθοδος είναι: επίπονη και χονοβόα (timeconsuming). τα αποτελέσµατα είναι πολλά και δύσκολο να παουσιασθούν.
38 XIII 4 Ευτυχώς µποούµε να χησιµοποιήσουµε την µέθοδο της διαστατικής ανάλυσις και να βούµε ότι οι µεταβλητές µποούν να οµαδοποιηθούν σε δύο αδιάστατες οµάδες (dimensionless grous) στη µοφή: F D f µ D or C F f (Re) όπου C F είανι ο συντελεστής οπισθέλκουσας και Re είναι ο αιθµός Reynolds. Για να βούµε τη σχέση που διέπει τις δύο οµάδες κάνουµε µόνο πειάµατα αντί για 4. Σ αυτή την πείπτωση το θεώηµα ΠΙ του Buckingham (PI theorem) είναι χήσιµο για να βούµε τις αδιάστατα οµάδες.
39 XIII 5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BUCKINGHAM (PI THEOREM) ίνεται ένα φυσικό πόβληµα στο οποίο η εξατηµένεη µεταβλητή (deendent arameter) είναι συνάτηση των n αωεξάτητων µεταβλητών. Μποούµε να το εκφάσουµε ως: q f ( q, q,..., Στο ποηγούµενο πόβληµα η εξατηµένη µεταβλητή είναι το F, έτσι το q, ενώ οι ανεξάτητες µεταβλητές ή παάµετοι είναι D,, και µ, µε n5. q n ) Μποούµε να οίσουµε µία νέα συνάτηση: q f ( q, q,..., q n ) g ( q, q,..., q n ) Ετσι έχουµε µία συνάτηση µε n πααµέτους. Θεώηµα: Οι n παάµετοι µποούν να ταξινοµηθούν σε nm ανεξάτητες αδιάστατες οµάδες, όπου m είναι ίσος µε τον ελάχιστο αιθµό των βασικών διαστάσεων (fundamental dimensions) που απαιτούνται για να καθοίσουµε τις διαστάσεις (dimensions) όλων των πααµέτων q, q,..., q n. Με άλλα λόγια Π G ( Π, Π,..., nm Π Υποσηµείωση: Μία Π οµάδα δεν είναι ανεξάτητη εάν µποεί να σχηµατισθεί µε συνδιασµό των άλλων οµάδων Π. Για παάδειγµα, εάν: )
40 XIII 6 Π Π Π5 or Π6 Π Π Π 4 τότε Π 5, και Π 6 δεν είναι ανεξάτητες αδιάστατες οµάδες. 4/5 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Π ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Μόνιµη οή σε κυλινδικό αγωγό Θεωούµε µόνιµη ασυµπίεστη οή Νευτώνειου υγού σε κυλινδικό αγωγό διαµέτου D. Εφαµόστε διαστατική ανάλυση για την πτώση πίεσης (ressure dro) ανά µονάδα µήκους του αγωγού. ίνεται: f ( D,, µ, υ, ε ) όπου ε είναι η ταχύτητα (roughness) της επιφάνειας (είναι το µέσο µήκος των ποεξοχών της επιφάνειας στη οή). Μία εξατηµένη µεταβλητή: Τέσσεεις ανεξάτητες µεταβλητές: / D,, µ, υ, ε ΒΗΜΑ : Συντάξτε (list) ολες τις πααµέτους του ποβλήµατος /, D,, µ, υ, ε
41 XIII 7 ΒΗΜΑ : ιαλέξτε ένα σύστηµα βασικών διαστάσεων (fundamental dimensions) M,, t (Μάζα, Μήκος, χόνος) ή F,, t (δύναµη, Μήκος, Χόνος) ΒΗΜΑ : Συντάξτε όλες τις διαστάσεις των µεταβλητών M t, D, M,, M t ε µ υ, t Από αυτό βλέπουµε ότι r (τεις βασικές διαστάσεις) ΒΗΜΑ 4: ιαλέξτε από την λίστα των πααµέτων εναν αιθµό επαναλαµβανόµενων πααµέτων ίσο µε τον αιθµό των βασικών διαστάσεων, rm. Επειδή έχουµε 5 πααµέτους αυτό δεν µποεί να γίνει µε µοναδικότητα. Οµως ακολουθούµε οισµένους κανόνες. (i) εν διαλέγουµε την εξατηµένη µεταβλητή (ii) εν διαλέγουµε δύο µεταβλητές µε τις ίδιες µονάδες. Για παάδειγµα έαν έχουµε στη λίστα, µήκος, επιφάνεια και όγκο, διαλέγουµε µόνο µία από τις τείς επειδή και οι τεις έχουν τις ίδιες διαστάσεις (µήκος). (iii) εν δια λέγουµε µία «άσηµη» παάµετο επειδή αυτή η παάµετος πιθανά θα εµφανισθεί σε όλες τις οµάδες.. Στη πείπτςση µας διαλέγουµε:, υ, and D.
42 XIII 8 ΒΗΜΑ 5: ηµιουγήστε τις αδιάστατες οµάδες. Εχουµε να δηµιουγήσουµε nm6 οµάδες. t M D c b a υ ή t M M t t M c b a ή t M t M ) b ( ) c + a +b ( ) + c ( M : + c : + a + b c t : b Λύνοντας βίσκουµε: a, b, c. Ετσι η πώτη οµάδα είναι: ) number Euler ( u D ) / ( Π Παόµοια: t M D c b a υ µ Μποούµε να πάουµε: ) number Reynolds ( Re D u µ Π
43 XIII 9 Τελικά: ε D a υ b c M t Μποούµε να πάουµε: Π ε D Ετσι: Π f ( Π, Π ) ΒΗΜΑ 6: Επαληθεύουµε να δούµε εάν ολες οι οµάδες είναι αδιάστατες.
44 XIII ΜΟΝΑ ΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Π Σ αυτό το παάδειγµα διαλέξαµε D, υ, και σαν επαναλαµβανόµενες µεταβλητές. Αυτό µας οδήγησε στην φόµουλα: ( / υ ) D f u D µ, ε D Εάν κάποιος επαναλάµβανε την µέθοδο για λεία επιφάνεια (ε), τότε ( / ) D υ D f υ µ Τι θα γινόταν εάν διαλέγαµε D, u και µ σαν επαναλαµβανόµενες πααµέτους? Επαναλαµβάνοντας την µέθοδο θα παίναµε: / ) D µ υ ( υ D g µ Και τα δύο αποτελέσµατα είναι σωστά και χησιµοποιώντας πειαµατικά δεδοµένα ουσιαστικά θα παίναµε την ίδια φόµουλα για το /. Αυτό αποδεικνύεται µε ένα παάδειγµα παακάτω. Σε ένα εγαστήιο ευστοδυναµικής η πτώση πίεσης µετήθηκε σε ένα µήκος λείου σωλήνα ίσο µε 5ft και µε εσωτεική διάµετο.496 in. Το ευστό ήταν νεό στους 6 F (µ.4x 5 lbs/ft,.94 slug/ft ). Tα αποτελέσµατα συνοψίζονται στον παακάτω πίνακα:
45 XIII υ (ft/s) (lb/ft ) for ft length Παάγετε µία φόµουλα για την πτώση πίεσης ανά µονάδα µήκους. f ( D,, µ, υ, ε ) ιαστατική ανάλυση έδωσε ποηγουµένως: ( / ) D υ f υ D µ Ετσι απεικονίζουµε D( / )/ υ 4 (υ D/µ) Η σχέση µεταξύ των δύο οµάδων δεν είναι γαµµική, οπότε χησιµοποιούµε loglog lot, και βλέπουµε ότι η κλίση είναι ίση µε /4.
46 XIII (D( / )/υ )x 4. (υd/µ)x 4 Ετσι: ( / ) D υ.58 υ D µ /4 Υποθέστε ότι αχίζαµε µε: ( / ) D µ υ g υ D µ
47 XIII Τότε θα απεικονίζαµε την πώτη οµάδα µε την δεύτεη σε loglog. Θα βλέπαµε ότι η κλίση θα ήταν ίση µε ¾ οπότε η φόµουλα θα ήταν: ( / ) D µ υ.58 υ D µ /4 Συγκίνοντας τις δύο εξισώσεις βλέπουµε ότι είναι ακιβώς οι ίδιες. ( / ) D υ.58 υ D µ /4
48 XIX ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΟΜΑ ΩΝ Π Παάδειγµα: Η οπισθέλκουσα σε σφαία µέσα σε κινούµενο ευστό Η οπισθέλκουσα δύναµη εξατάται από το µέγεθος της σφαίας (διάµετο, D), την ταχύτητα του ευστού,, το ιξώδες και την πυκνότητα του ευστού. Βείτε τις αδιάστατες οµάδες που µποούν να χησιµοποιηθούν για να συσχετίσετε πειαµατικά δεδοµένα. ίνεται: F f (,, D, µ ) Μία εξατηµένη µεταβλητή: Τέσσεεις αναξάτητες µαταβλητές: F, µ,, D ΒΗΜΑ : Συντάξτε (list) ολες τις πααµέτους του ποβλήµατος F µ D ΒΗΜΑ : ιαλέξτε ένα σύστηµα βασικών διαστάσεων (fundamental dimensions) M,, t (Μάζα, Μήκος, χόνος) ΒΗΜΑ : Συντάξτε όλες τις διαστάσεις των µεταβλητών
49 XIX M M,, D,, µ t t F M t Ετσι r (τείς κύιες µεταβλητές) ΒΗΜΑ 4: ιαλέξτε από την λίστα των πααµέτων εναν αιθµό επαναλαµβανόµενων πααµέτων ίσο µε τον αιθµό των βασικών διαστάσεων, rm. Επειδή έχουµε 5 πααµέτους αυτό δεν µποεί να γίνει µε µοναδικότητα. Οµως ακολουθούµε οισµένους κανόνες. (i) εν διαλέγουµε την εξατηµένη µεταβλητή (ii) εν διαλέγουµε δύο µεταβλητές µε τις ίδιες µονάδες. Για παάδειγµα έαν έχουµε στη λίστα, µήκος, επιφάνεια και όγκο, διαλέγουµε µόνο µία από τις τείς επειδή και οι τεις έχουν τις ίδιες διαστάσεις (µήκος). (iii) εν δια λέγουµε µία «άσηµη» παάµετο επειδή αυτή η παάµετος πιθανά θα εµφανισθεί σε όλες τις οµάδες.. Στη πείπτωση µας διαλέγουµε,, and D. ΒΗΜΑ 5: ηµιουγήστε τις αδιάστατες οµάδες. Εχουµε να δηµιουγήσουµε nm6 οµάδες. a b D c F M t ή a b t M M c M t t
50 XIX M : a + : a + b + c + t : b Λύνοντας µποούµε να βούµε ότι: a, b, c. Ετσι η πώτη αδιάστατη οµάδα είναι: Π F D F D Παόµοια: Μποούµε να πάουµε: Ετσι καταλήγουµε: a Π b D c µ µ D M Re t F D f D µ ΒΗΜΑ 6: Επαληθεύουµε να δούµε εάν όλες οι οµάδες είναι αδιάστατες.
51 XIX 4 Παάδειγµα: Οπισθέλκουσα δύναµη σε µία οθογώνια πλάκα Μία λεπτή οθογώνια πλάκα µε πλάτος w και ύψος h τοποθετείται κάθετα σε ένα κινούµενο εύµα ευστού. Υποθέστε την οπισθέλκουσα, D, που το ευστό ασκεί στην πλάκα ότι είναι συνάτηση του W και h, το ιξώδες και πυκνότητα του ευστού και την ταχύτητα,, του ευστού. Βείτε τις αδιάστατες οµάδες που µποούν να χησιµοποιηθούν για να συσχετίσετε πειαµατικά δεδοµένα. ίνεται: D f ( w, h, Μία εξατηµένη µεταβλητή: Τέσσεεις ανεξάτητες µεταβλητές: µ,, ) D w, h, µ,, ΒΗΜΑ : Συντάξτε (list) ολες τις πααµέτους του ποβλήµατος D w h µ ΒΗΜΑ : ιαλέξτε ένα σύστηµα βασικών διαστάσεων (fundamental dimensions) M,, t (Μάζα, Μήκος, χόνος) ΒΗΜΑ : Συντάξτε όλες τις διαστάσεις των µεταβλητών
52 XIX 5 M M M, w, h, µ,, t t D t Από αυτό βλέπουµε ότι r (τεις βασικές διαστάσεις) ΒΗΜΑ 4: ιαλέγουµε τείς επαναλαµβανόµενες πααµέτους rm. Στη πείπτωση µας διαλέγουµε: w,, and. ΒΗΜΑ 5: ηµιουγήστε τις αδιάστατες οµάδες. Εχουµε να δηµιουγήσουµε nm6 οµάδες. w a b c D M t Χησιµοποιώντας τη γνωστή διαδικασία µποούµε να πάουµε: Παόµοια: Π w D w a b c h M t Μποούµε να πάουµε: Π h w Τελικά
53 XIX 6 t M w c b a µ Μποούµε να πάουµε: µ w Π Τελικά: w, w h f w D µ όπου w/h είναι το είναι το asect ratio της πλάκας και µ/(w)/re. Ετσι µποούµε να γάψουµε: Re, w h f w D ΒΗΜΑ 6: Επαληθεύουµε να δούµε εάν ολες οι οµάδες είναι αδιάστατες.
54 XIX 7 Α ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΟΜΑ ΕΣ ΣΤΗΝ ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Οι διάφοες αδιάστεταες οµάδες στη ευστοδυναµική έχουν πάει τα ονόµατα τους από διακεκιµένους επιστήµονες που πώτοι τις ανακάλυψαν. Στη ευστοδυναµική οι αδιάστατες οµάδες συνήθως δείχνουν την σχετική σηµασία διαφόων δυνάµεων. Ετσι, για να κατανοήσουµε τη σηµασία αυτών αδιάστατων οµάδςν, ας εκφάσουεµε τις δυνάµεις χησιµοποιώντας χαακτηιστικές διαστάσεις, ταχύτητες κλπ. Inertia Force Momentum Area U iscous Force τ. Area U µ y U µ µ U Pressure Force. Area. Gravity Force m. g g Surface Tension Force σ
55 XIX 8 Τώα οίζουµε τις ακόλουθες αδιάστατες οµάδες.ο αιθµός Reynolds (Reynolds number) Re Inertia iscous U µ U U µ. Ο αιθµός Froude (Froude number) Gravity Fr Inertia g U g U. Ο αιθµός Caillary (Caillary number) iscous µ U µ U Ca surface tension σ σ 4. Ο αιθµός Weber (Weber number) We Inertia surface tension U σ U σ 5. Ο αιθµός Euler (Euler number) Eu Pressure Inertia U U
56 XIX 9 6. Ο αιθµός Strouhal (Strouhal number) St oscillation mean seed ω U για πειπτώσεις όπου η δοµή της οής είναι ταλαντευόµενη (oscillating), 7. Ο αιθµός Mach number Flow seed U Ma Sound seed α, όπου α είναι η ταχύτητα ήχου. Ροές ευστών µε µεγάλα ιξώδη χαακτηίζονται από µικούς αιθµούς Re (creeing flows). Ο αιθµός Reynolds επίσης χησιµοποιείται για να δείξει την µετάβαση από γαµµική σε τυβώδη οή. Για παάδειγµα για Re <, παίνουµε γαµµική οή σε κυλινδικούς σωλήνες, ενώ για Re >, έχουµε µετάβαση σε τυβώδη οή. Πλήως ανεπτυγµένη τυβώδη οή παίνεται σε πολύ πιό µεγάλους αιθµούς Reynolds. Ο αιθµός Fr είναι µηδέν για οιζόντιες οές. Τελικά οι αιθµοί We και Caillary εµφανίζονται σε οές που πειλαµβάνουν ελεύθεες επιφάνειες και διεπιφάνειες.
57 Α ΙΑΣΤΑΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ NAIERSTOKES XX Θα µποούσαµε να χησιµοποιήσουµε το θεώηµα Π που συζητήσαµε πoηγουµένως για να αναλύσουµε όλα τα ποβλήµατα έτσι ώστε να βούµε τις αδιάστατες οµάδες που παίζουν σηµαντικό όλο σε κάθε πείπτωση. Μία διαφοετική και πιο δυναµική τεχνική είναι η ανάλυση των µικοσκοπικών εξισώσεων, δηλαδή της εξίσωσης συνεχείας και των NavierStokes. Ακόµα και άν είναι δύσκολο να τις λύσουµε µποούµε να τις αδιαστικοποιήσουµε για να βούµε τις αδιάστατες οµάδες, όπως τον αιθµό Reynolds, που παίζουν όλο στο πόβληµα κάτω από εξέταση. Οι εξισώσεις οής για ένα ασυµπίεστο Νευτώνειο υγό µε σταθεές φυσικές ιδιότητες είναι: Συνεχείας: NavierStokes: t + (. ) g + µ Αυτές οι εξισώσεις πειέχουν τεις βασικές διαστάσεις M,, και t. Ολες οι µεταβλητές µποούν να αδιαστατικοποιηθούν χησιµοποιώντας την πυκνότητα και δύο σταθεές αναφοάς που είναι χαακτηιστικά στην οή κάτω από εξέταση. Ταχύτητα αναφοάς (reference velocity)u Μήκος αναφοάς (reference length) Για παάδειγµα U µποεί να είναι η µέση ταχύτητα του ευστού σε
58 XX οή δια µέσου ενός κυλινδικού αγωγού και µήκος η διάµετος του αγωγού. Τώα οίζουµε όλες τις σχετικές αδιάστατες µεταβλητές. x t * * *, * U t x U,, y * * y, U * + g Τα διαφοικά µποούν επίσης να αδιαστατικοποιηθούν ως εξής: u ( * u U ) U * u x ( * ) * x x Αντικαθιστώντας: Συνεχείας : * * * µ NavierStokes: + ( *. *) * * * + * ( *) t U Αναγνωίζοντας ότι µ / U / Re τότε: * NavierStokes: + ( *. *) * * * + * ( *) t Re Για γαµµικές οές µακιά από στεεές επιφάνειες όπου η τοπικές ταχύτητες είναι υψηλές, ο αιθµός Re γίνεται πολύ υψηλός και ο τελευταίος όος µποεί να αγνοηθεί. Σ αυτή την πείπτωση παίνουµε την
59 XX εξίσωση Euler: * Euler equation: + ( *. *) * * * t Εάν η χαακτηιστική πίεση οισθεί (ξεχωίζοντας τον όλο της βαύτητας): t * t U, * U Τότε οι NavierStokes µποούν να γαφούν ως: t * + ( *. *) * * * + * Re ( *) + Fr όπου Fr είναι ο αιθµός που οίζεται ως: Fr U / g. Εώτηση: Ποιά είναι η σηµασία των αδιάστατων NavierStokes?. Θεωούµε σαν παάδειγµα την πλήως ανεπτυγµένη οή µεταξύ δύο παάλληλων πλακών στην x κατεύθυνση. Εάν γάψουµε τις NavierStokes στην xκατεύθυνση για µόνιµη, ασυµπίεστη, Νευτώνεια οή για ευστό µε σταθεές φυσικές ιδιότητες τότε:
60 XX 4 x * * + Re y u * * Με τις εξής οιακές συνθήκες: B.C. : Στο y *, u * /y *, και B.C. : Στο y *, u * (µηολίσθηση) όπου D είναι η απόσταση µεταξύ των δύο πλακών. Η λύση εξατάται µόνο από τον αιθµό Re. Ετσι εάν κατήσουµε ίδιο τον αιθµό Re, η λύση θα είναι η ίδια, ανεξάτητη απο τις απόλυτες τιµές των D,, και µ. Για παάδειγµα παίνουµε τη οή µεταξύ δύο παάλληλων πλακών που βίσκονται σε απόσταση D (µεγάλη κλίµακα) και D (µική κλίµακα) αντίστοιχα, όπου τα δύο ευστά έχουν διαφοετικές ιδιότητες οής. Εάν οι αιθµοί Reynolds είναι ίδιοι, τότε οι αδιάστατες κατανοµές ταχύτητες θα είναι επίσης ίδιες.
61 XX 5 Ετσι, εάν Re Re, Τότε, u ( D ) u ( D ) µ µ Αυτή η παaτήηση είναι πολύ σπουδαία για scale u, επειδή µποούµε να κάνουµε πειάµατα στο εγαστήιο σε µική κλίµακα και µετά να χησιµοποιήσουµε τα αποτελέσµατα για να καταλάβουµε την συµπειφοά της διεγασίας σε βιοµηχανική κλίµακα..
62 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΡΟΩΝ (FOW SIMIARITY) ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΕΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ (MODE STUDIES) XX 6 Η διαστατική ανάλυση είναι χήσιµη: στον συσχετισµό πειαµατικών δεδοµένων (correlate data) στο σχεδιασµό/βελτιστοποίηση αιθµό πειαµάτων στη διακλιµάκωση (scaleu) διεγασιών Tο τελευταίο ίσως είναι το πιο δύσκολο επειδή απαιτεί ακιβό καθοισµό των σπουδαίων µεταβλητών. Αφού οι µαταβλητές καθοισθούν, εφαµόζουµε την διαστατική ανάλυση και ο πειαµατικός επιστήµονας ποσπαθεί να επιτύχει οµοιότητα (similarity) µεταξύ του µοντέλου και του πωτότυπου (rototye). Χησιµοποιώντας πειαµατικά δεδοµένα η επιθυµητή αδιάστατη σχέση µεταξύ των µεταβλητών µποεί να πααχθεί: Π f ( Π, Π,... Π k Με τη βοήθεια αυτής της φόµουλας η οµοιότητα µποεί να επιτευχθεί. Οι συνθήκες οής σε ένα µοντέλο είναι παόµοιες µε αυτές στο πωτότυπο όταν όλες οι αδιάστατες οµάδες έχουν τις ίδιες αντίστοιχες τιµές. Αυτό σηµαίνει ότι: Εάν Π m Π, Π m Π τότε Π m Π Τις πεισσόοτεες φοές αυτό δεν είναι εύκολο να επιτευχθεί πλήως, )
63 XX 7 αλλά µόνο µεικώς. Οι πιό συνιθισµένοι τύποι οµοιοτήτων είναι η γεωµετική (geometric), η κινηµατική (kinematic), και η δυναµική (dynamic) οµοιότητα. Γεωµετική οµοιότητα (geometric similarity) Ενα µοντέλο και το πωτότυπο είναι γεωµετικά παόµοια εάν και µόνο εάν σε όλους τους άξονες συντεταγµένων έχουν τον ίδιο γαµµικό λόγο κλίµακα ς (linearscale ratio). Αυτό είναι το ίδιο µε το να πούµε ότι η αχική και οι οιακές συνθήκες στο µοντέλο και πωτότυπο είναι ίδιες. Ξέχωα από τους λόγους (ratios) των αντίστοιχων διαστάσεων, όλες οι γωνίες πέπει να είναι ίδιες όπως και οι ποσανατολισµοί του µοντέλου και του πωτότυπου (βλέπε το σχήµα παακάτω)
64 XX 8 Μοντέλα που εµφανίζονται παόµοια στο σχήµα αλλά δεν ικανοποιούν ακιβώς την γεωµετική οµοιότητα δεν πέπει να συγκίνονται. Το σχήµα παακάτω επεξηγεί αυτό το σηµείο. Οι σφαίες είναι γεωµετικά παόµοιες και εάν οι αιθµοί Re και Fr κατηθούν ίδιοι, τότε το scale u θα είναι επιτυχηµένο. Από την άλλη πλευά, τα ελλιψοειδή δεν είναι γεωµετικά όµοια, αν και σε µία πώτη µατιά φαίνονται παόµοια.. Ακόµα και εάν κτήσουµε του αιθµούς Re και Fr ίδιους, το scale u δεν θα είναι επιτυχηµένο.
65 XX 9 Κινηµατική οµοιότητα (kinematic similarity) Η κινηµατική οµοιότητα απαιτεί ότι το µοντέλο και το πωτότυπο να έχουν τούς ίδιους λόγους µήκους και χόνου. Αυτό σηµαίνει ότι οι λόγοι ταχύτητας να είναι ίδιοι. Αυτό σηµαίνει: Οι κινήσεις στα δύο συστήµατα είναι κινηµατικά όµοια εάν οµόλογα σωµατίδια βίσκονται σε οµόλογα σηµεία σε οµόλογους χόνους. Ισοδυναµία κλίµακας µήκους σηµαίνει απλά γεωµετική οµοιότητα, αλλά ισοδυναµία κλίµακας χόνου απαιτεί πόσθετη δυναµική τέτοια ώστε οι αιθµοί Reynolds και Mach να είναι ίδιοι. Μία ειδική πείπτωση είναι η ασυµπίεστη άτιβη οή γύω από σφαία (βλέπε σχήµα). Αυτές οι οές είναι όµοιες ανεξάτητα από κλίµακες χόνου και µήκους.
66 XX Ατιβες οές µε ελεύθεη επιφάνεια (tsunami) είναι κινηµατικά παόµοιες εάν οι αιθµοί Froude είναι ίσοι. m m Fr m g g Fr Ο αιθµός Froude πειέχει µόνο διαστάσεις µήκους και χόνου. Η κλίµακα µήκους είναι: α m όπου α είναι ένας αδιάστατος λόγος. Ο λόγος της κλίµακας ταχύτητων, m m / α και η κλίµακα χόνου είναι,
67 XX T T m m / / m α Αυτές οι κινηµατικές σχέσεις επεξηγούνται στο πααπάνω σχήµα για την πείπτωση της µοντελλοποίησης της κίνησης κυµάτων. Εάν τα κύµατα σχετίζονται µε κλίµακα µήκους, τότε η πείοδος κύµατος, η ταχύτητα µετάδοσης και οι ταχύτητες σωµατιδίων σχετίζονται µε το α. υναµική οµοιότητα (dynamic similarity) Υπάχει όταν το µοντέλο και το πωτότυπο έχουν τον ίδιο λόγο κλιµάκας µήκους, χόωου και δύναµης (ή µάζας). Πάλι η πώτη απαίτηση είναι γεωµετική οµοιότητα. Η δυναµική οµοιότητα υπάχει µαζί µε την κινηµατική οµοιότητα έαν οι συντελεστές δύναµης και πίεσης στο µοντέλο και στο πωτότυπο είναι όµοιες. i. Για συµπιεστή οή, το µοντέλο και το πωτότυπο να έχουν τους ίδιους αιθµούς Re και Mach. ii. Για ασυµίεστη οή χωίς ελεύθεη επιφάνεια, οι αιθµοί Re είναι ίδιοι. Με ελεύθεη επιφάνεια οι αντίστοιχοι αιθµοί Re, Fr, We και Ca να είναι ίδιοι. Μαθηµατικά, ο νόµος του Νεύτωνα για ένα σωµατίδιο απαιτεί ότι το άθοισµα της δύναµης πίεσης, βαύτητας και τιβής είναι ίσον µε την δύναµη αδάνειας (επιτάχυνση),
68 XX F + F + F g f F i Η δυναµική οµοιότητα απαιτεί ότι όλες αυτές οι δυνάµεις έχουν το ίδιο λόγο και αντίστοιχες διευθύνσεις στο µοντέλο και στο πωτότυπο. Το σχήµα παακάτω δείχνει ένα παάδειγµα. Tα πολύγωνα δύναµης σε οµόλογα σηµεία έχουν το ίδιο σχήµα εάν οι αιθµοί Re και Fr είναι ίσοι.
69 Παάδειγµα (Οµοιότητα: Οπισθέλκουσα (Drag) σε ένα ηχητικό εντοπιστή αντικειµένων sonar transducer) XX The drag of a sonar transducer is to be redicted, based on wind tunnel test data. The rototye, a ft diameter shere, is to be towed at 5 knots (nautical miles er hour) in seawater at 5 o C. The model is 6 in. in diameter. Determine the required test seed in air. If the drag of the model at test conditions is 5.58 lb f, estimate the drag of the rototye. Prototye Model Since the rototye oerates in water and the model test is to be erformed in air, useful results can be exected only if cavitation effects are absent in the rototye flow and comressibility effects are absent from the model test. Under these conditions,
70 XX 4 F D f µ and to satisfy dynamic similarity, the test should be run at D Re m o d e l Re r o t o t y e For seawater at 5 o C,.99 slug/ft, and v.68x 5 ft /s. At rototye conditions, 5 nmi hr x 68 ft nmi x hr s ft/s D Thus, Re 5. x v 5 So that Re m m D vm m 5. x For air at STP,.8 slug/ft, and v.56x 4 ft /s. The wind tunnel must be oerated at: 5 m Re m ν D m m 5. x 5 x.56 x 4 ft s x.5 56 ft This seed is low enough to neglect comressibility effects. ft/s
71 XX 5 At these conditions, the model and rototye flows are dynamically similar. Hence, F m m m D m F D or F F m m m D D m 54.6 lbf Note again that these calculations are only valid in the absence of cavitation henomena.
, όµως z ΚΑ =3.5 cm, αστάθεια
Άσκηση : Ένας ξύλινος κύος µε πλευά 0cm και ειδικό άος SG0.7 επιπλέει σε νεό. Να υπολογισθούν:. Το ύψος του τµήµατος του κύου που είναι υθισµένο στο νεό. Το µετακεντικό ύψος. Να µελετηθεί η ισοοπία του
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑ 10. Aεροδυναµική Στερεών Σωµάτων
ΠΕΙΡΑΜΑ 10 Aεοδυναµική Στεεών Σωµάτων Σκοπός του πειάµατος Σκοπός του πειάµατος αυτού είναι η µελέτη της αντίστασης που αναπτύσσεται κατά τη σχετική κίνηση ενός αντικειµένου µέσα σε ένα αέιο. Οι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΧειμερινό εξάμηνο 2007 1
ΜΜΚ 3 Μεταφοά Θεμότητας Φυσική Συναγωγή ΜΜΚ 3 Μεταφοά Θεμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Πααγωγής ΜΜK 3 Μεταφοά Θεμότητας Φυσική Συναγωγή (r convction) Στα ποηγούμενα ύο κεφάλαια ασχοληθήκαμε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός γεωστροφικών ρευμάτων με τη χρήση δεδομένων από CTD. Σύγκριση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ Υπολογισμός γεωστοφικών ευμάτων με τη χήση δεδομένων από CTD. Σύγκιση με αποτελέσματα από A.D.C.P. & Drifters. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Επιβλέπων:
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματι ά ατεύθυνσης
Β Λυκείου Μαθηματι ά ατεύθυνσης Ο Κύκλος Θεωία Μεθοδολογία -Ασκήσεις Σ υ ν ο π τ ι κ ή Θ ε ω ί α Ονομασία Διατύπωση Σχόλια Σχήμα Α. Κύκλος Οισμός: Ονομάζεται κύκλος με κέντο Ο και ακτίνα το σύνολο των
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση σε Πεπερασμένο Όγκο Αναφοράς. Τρόποι επίλυσης προβλημάτων Μηχανικής Ρευστών. Θεωρητική ανάλυση συστήματος
Ανάλυση σε Πεπεασμένο Όκο Αναφοάς Τόποι επίλυσης ποβλημάτων Μηχανικής Ρευστών Θεωητική ανάλυση συστήματος Πεπεασμένοόκοαναφοάς Διαφοική ανάλυση σε απειοστό όκο Πειαματική ανάλυση Συστήματα Οι νόμοι της
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραx όπου Ε είναι η ολική ενέργεια ανά µονάδα µάζας και Η είναι η ολική ενθαλπία για τις οποίες ισχύει
ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Αν. Καθηγητής, Τοµέας Ρευστών, Σχολή Μηχανολόγων Ε.Μ.Π. ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER ιαφοετικές Γαφές των Εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Η μέτηση της ταχύτητας οής ενός εστού μέσα σε ένα σωλήνα γίνεται με τη σσκεή Prandtl (σωλήνας Pitot) (βλέπε Σχήμα). Η σσκεή ατή αποτελείται από δο πολύ λεπτούς σωλήνες,
Διαβάστε περισσότεραJesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013
Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότερα1) Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων
1) Ηλεκτικό πεδίο φοτισμένου φύλλου απείων διαστάσεων Σε αυτό το εδάφιο θα υπολογιστεί το ηλεκτικό πεδίο παντού στο χώο ενός φοτισμένου λεπτού φύλλου απείων διαστάσεων και αμελητέου πάχους όπως αυτό που
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραΑπόδειξη. Θέτουµε τώρα δ= Απόδειξη. 1 συν. 4α + 4β. 3. Απόδειξη Σύµφωνα µε την 2 έχουµε. οπότε προκύπτει. και τελικά
1., β R ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ a ισχύει ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ ηµ ηµα ηµβ 1 συν ηµα ηµβ 1- συνα συνβ +ηµα ηµβ συν(α-β) 1 ηµα ηµβ 1- συν (α+β) + γ + δ. α, β, γ, δ (0, π ) ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραx D 350 C D Co x Cm m m
Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : Ν ΚΩΤΣΟΒΙΝΟΣ ΛΕΚΤΟΡΑΣ : Π. ΑΓΓΕΛΙ ΗΣ ΛΥΣΕΙΣ B ΣΕΙΡΑΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΚΟΡ ΟΠΟΥΛΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΜ 585 ΑΣΚΗΣΗ Θαλασσινό νεό από ένα εγοστάσιο, βεβαηµένο
Διαβάστε περισσότεραΑπόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.
Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότερα1 String with massive end-points
1 String with massive end-points Πρόβλημα 5.11:Θεωρείστε μια χορδή μήκους, τάσης T, με δύο σημειακά σωματίδια στα άκρα της, το ένα μάζας m, και το άλλο μάζας m. α) Μελετώντας την κίνηση των άκρων βρείτε
Διαβάστε περισσότεραH 2 + x 2 cos ϕ. cos ϕ dϕ =
. Άπειη γαμμική κατανομή ϕοτίου λ Θεωούμε την γαμμική κατανομή ϕοτίου στον άξονα των x και ζητάμε το ηλεκτικό πεδίο στο σημείο A που απέχει από την κατανομή. Το στοιχειώδες τμήμα dx της κατανομής στη θέση
Διαβάστε περισσότερα4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)
84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραΟδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: ΣΕΙΡ: (ΛΥΣΕΙΣ) ΘΕΜ Οδηγία: Να γάψετε στο τετάδιό σας τον αιθμό καθεμιάς από τις παακάτω εωτήσεις -4 και δίπλα το γάμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότερακατά το χειµερινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους ΕΜ-351 του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών της Σχολής Θετικών
Ύλη που διδάχτηκε κατά το χειµερινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους 2005-2006 στα πλαίσια του µαθήµατος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΛΙΚΩΝ Ι ΕΜ-351 του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών της Σχολής Θετικών Επιστηµών
Διαβάστε περισσότεραΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΡΓ Νο2 ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝ ΡΟ
ΑΕΡΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΡΓ Νο2 ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝ ΡΟ Η µελέτη της ροής µη συνεκτικού ρευστού γύρω από κύλινδρο γίνεται µε την µέθοδο της επαλληλίας (στην προκειµένη περίπτωση: παράλληλη ροή + ροή διπόλου).
Διαβάστε περισσότεραB ρ (0, 1) = {(x, y) : x 1, y 1}
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετικών χώων 3.1 Ανοικτά και κλειστά σύνολα 3.1.1 Ανοικτά σύνολα Οισμοί 3.1.1. Εστω (X, ) μετικός χώος και έστω x 0 X. (α) Η ανοικτή -μπάλα με κέντο το x 0 και ακτίνα ε > 0 είναι το
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότερα[1] P Q. Fig. 3.1
1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One
Διαβάστε περισσότερα3. Αρμονικά Κύματα Χώρου και Επιφανείας. P, S, Rayleigh και Love
3. Αμονικά Κύματα Χώου και Επιφανείας P, S, Rayleigh και Lve ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3. Κύματα (P & S) σε ομοιογενή χώο 3. Κύματα σε ανομοιογενή μέσα με δι-επιφάνεια 3.3. Επιφανειακά κύματα Πόσθετο ιάβασμα Steven
Διαβάστε περισσότεραthe total number of electrons passing through the lamp.
1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy
Διαβάστε περισσότεραTechnical Information T-9100 SI. Suva. refrigerants. Thermodynamic Properties of. Suva Refrigerant [R-410A (50/50)]
d Suva refrigerants Technical Information T-9100SI Thermodynamic Properties of Suva 9100 Refrigerant [R-410A (50/50)] Thermodynamic Properties of Suva 9100 Refrigerant SI Units New tables of the thermodynamic
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορική ανάλυση ροής
Διαφορική ανάλυση ροής Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών ΜΕ και ΔΕ ροής: Διαφορές Οριακές και αρχικές συνθήκες Οριακές συνθήκες: Φυσική σημασία αλληλεπίδραση του όγκου ελέγχου με το περιβάλλον
Διαβάστε περισσότερα1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Ερευνητικό ενδιαφέρον. 1.2 Επισηµάνσεις από τη βιβλιογραφία. 1.3 Προσέγγιση λύσης προβληµάτων:
. Εευνητικό ενδιαφέον. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Επισηµάνσεις από τη βιβλιογαφία α) Ελλιπείς γνώσεις των πολύπλοκων φυσικών διεγασιών β) Ελάχιστα εφαµόζονται οι νόµοι της Μηχανικής των Ρευστών γ)ελάχιστα βιβλία διεθνώς
Διαβάστε περισσότερα( ) 2 and compare to M.
Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8
Διαβάστε περισσότεραDuPont Suva 95 Refrigerant
Technical Information T-95 SI DuPont Suva refrigerants Thermodynamic Properties of DuPont Suva 95 Refrigerant (R-508B) The DuPont Oval Logo, The miracles of science, and Suva, are trademarks or registered
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότεραDuPont Suva 95 Refrigerant
Technical Information T-95 ENG DuPont Suva refrigerants Thermodynamic Properties of DuPont Suva 95 Refrigerant (R-508B) The DuPont Oval Logo, The miracles of science, and Suva, are trademarks or registered
Διαβάστε περισσότεραΡευστομηχανική. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης
Ρευστομηχανική Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΚινηματικήκαιΔυναμικήτων Ρευστών 5 ο Μάθημα van Gogh starry night ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική
Διαβάστε περισσότερα( y) Partial Differential Equations
Partial Dierential Equations Linear P.D.Es. contains no owers roducts o the deendent variables / an o its derivatives can occasionall be solved. Consider eamle ( ) a (sometimes written as a ) we can integrate
Διαβάστε περισσότεραΣυλλογή Ασκήσεων Υδροστατικής
Συλλογή Ασκήσεων Υδοστατικής Άσκηση. ℵ Να βεθεί η τιμή της πίεσης που δείχνει το πιεσόμετο, σε mmhg. Δίνονται οι πυκνότητες υδαγύου Hg 600kg/m, νεού Ν 000 kg/m και αέα Α,9 kg/m. 0 cm cm + 0 Επίλυση Αχικά
Διαβάστε περισσότεραΥπάρχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει..
Υπάχει σηµείο χ 0 τέτοιο ώστε να ισχύει.. ( ή διαφοετικά πεί ιζών εξίσωσης ) I. Για να δείξουµε ότι µια εξίσωση f(χ)=0 έχει µία τουλάχιστον ίζα στο διάστηµα (α, β) µποούµε να εγασθούµε ως εξής: 1 0ς τόπος:
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Υδραυλική. ΕΔΙΠ, Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ
Εφαρμοσμένη Υδραυλική Πατήστε για προσθήκη Γ. Παπαευαγγέλου κειμένου ΕΔΙΠ, Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, ΑΠΘ 1 Εισαγωγή Ρευστομηχανική = Μηχανικές ιδιότητες των ρευστών (υγρών και αερίων) Υδρομηχανική
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι:
ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Χρήσεις της διαστατικής ανάλυσης Η διαστατική ανάλυση είναι μία τεχνική που κάνει χρήση της μελέτης των διαστάσεων για τη λύση των προβλημάτων της Ρευστομηχανικής. Οι εφαρμογές της διαστατικής
Διαβάστε περισσότεραDuPont Suva. DuPont. Thermodynamic Properties of. Refrigerant (R-410A) Technical Information. refrigerants T-410A ENG
Technical Information T-410A ENG DuPont Suva refrigerants Thermodynamic Properties of DuPont Suva 410A Refrigerant (R-410A) The DuPont Oval Logo, The miracles of science, and Suva, are trademarks or registered
Διαβάστε περισσότεραb. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!
MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.
Διαβάστε περισσότεραMean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O
Q1. (a) Explain the meaning of the terms mean bond enthalpy and standard enthalpy of formation. Mean bond enthalpy... Standard enthalpy of formation... (5) (b) Some mean bond enthalpies are given below.
Διαβάστε περισσότερα6.3 Forecasting ARMA processes
122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear
Διαβάστε περισσότερα5.4 The Poisson Distribution.
The worst thing you can do about a situation is nothing. Sr. O Shea Jackson 5.4 The Poisson Distribution. Description of the Poisson Distribution Discrete probability distribution. The random variable
Διαβάστε περισσότεραStatistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότερα상대론적고에너지중이온충돌에서 제트입자와관련된제동복사 박가영 인하대학교 윤진희교수님, 권민정교수님
상대론적고에너지중이온충돌에서 제트입자와관련된제동복사 박가영 인하대학교 윤진희교수님, 권민정교수님 Motivation Bremsstrahlung is a major rocess losing energies while jet articles get through the medium. BUT it should be quite different from low energy
Διαβάστε περισσότεραv = 1 ρ. (2) website:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Βασικές έννοιες στη μηχανική των ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 17 Φεβρουαρίου 2019 1 Ιδιότητες των ρευστών 1.1 Πυκνότητα Πυκνότητα
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS
CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3
Διαβάστε περισσότεραAppendix to On the stability of a compressible axisymmetric rotating flow in a pipe. By Z. Rusak & J. H. Lee
Appendi to On the stability of a compressible aisymmetric rotating flow in a pipe By Z. Rusak & J. H. Lee Journal of Fluid Mechanics, vol. 5 4, pp. 5 4 This material has not been copy-edited or typeset
Διαβάστε περισσότερα(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)
Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού
Διαβάστε περισσότεραΣύνδεση µε µη αβαρή ράβδο
Σύνδεση µε µη αβαή άβδο Με τη βοήθεια µιας άβδου µάζας Μ kg και µήκους L συνδέουµε τα κέντα µάζας ενός δίσκου µάζας 4kg και ενός δακτυλίου µάζας m 6kg, όπως αίνεται στο σχήµα. Ο m δίσκος και η άβδος έχουν
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραBernoulli P ρ +gz Ω2 ϖ 2 2
Εθνικό και Καποιστιακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Δυναμική των Ρευστών, 6 Φεβουαίου 08 Απαντήστε σε 3 από τα 4 θέματα ιάκεια εξέτασης ώες Καλή επιτυχία = bonus εωτήματα) Θέμα ο :
Διαβάστε περισσότεραΡευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών
Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Περιεχόμενα μαθήματος Βασικές έννοιες, συνεχές μέσο, είδη, μονάδες διαστάσεις
Διαβάστε περισσότερα3. Μετρήσεις GPS Προβλήµατα
. Μετήσεις GPS Ποβλήµατα.. Μετήσεις G.P.S. και ποβλήµατα. Οι παατηήσεις που παγµατοποιούνται µε το σύστηµα GPS, όπως έχουµε άλλωστε ήδη αναφέει, διακίνονται σε δύο κατηγοίες: α) σε µετήσεις ψευδοαποστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Φύση και μορφή δυνάμεων/ ρυθμός παραμόρφωσης Σωματικές δυνάμεις: δυνάμεις σε όγκο ελέγχου που είναι πλήρης ρευστού
Διαβάστε περισσότεραΟρμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής
501 Ορμή και Δυνάμεις Θεώρημα Ώθησης Ορμής «Η μεταβολή της ορμής ενός σώματος είναι ίση με την ώθηση της δύναμης που ασκήθηκε στο σώμα» = ή Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται διανυσματικά. 502 Θεώρημα Ώθησης
Διαβάστε περισσότερα6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα
6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα 6.1 Εισαγωγή Όταν θέτουμε σε κίνηση κάποια μόρια ενός ρευστού μέσω μιας αντλίας ή ενός φυσητήρα, η κίνηση μεταδίδεται και στα υπόλοιπα μόρια του ρευστού μέσω των αλληλεπιδράσεων
Διαβάστε περισσότεραΡΕΥΜΑΤΑ, ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM
Q ΡΥΜΑΤΑ, ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM Ισοοπία σε αγωγό μόνον όταν στο εσωτεικό του αγωγού είναι =0 λεύθεο Ηλεκτόνιο Πείσεια ελευθέων ηλεκτονίων ξωτεικό ηλεκτικό πεδίο εσ εξ = εσ = 0 εξ σωτεικό ηλ. πεδίο Ποσθήκη εξωτεικού
Διαβάστε περισσότεραSolutions to Exercise Sheet 5
Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Α. Σακελλάριος 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Φύση και μορφή δυνάμεων/ ρυθμός παραμόρφωσης Σωματικές δυνάμεις: δυνάμεις σε όγκο ελέγχου που είναι πλήρης
Διαβάστε περισσότεραStrain gauge and rosettes
Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified
Διαβάστε περισσότεραΡοη αέρα σε Επίπεδη Πλάκα
Ροη αέρα σε Επίπεδη Πλάκα Η ροή του αέρα γύρω από ένα σώμα επηρεάζεται από παράγοντες όπως το σχήμα του σώματος, το μέγεθός του, ο προσανατολισμός του, η ταχύτητά του όπως επίσης και οι ιδιότητες του ρευστού.
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός της
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ
ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Απρίλιος 13 1. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος Το οριακό στρώμα επινοήθηκε για
Διαβάστε περισσότεραPotential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11
Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής
Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία
Διαβάστε περισσότερα- Ομοιότητα με βάση τις εξισώσεις Νavier-Stokes - 2- διάστατη ασυμπίεστη Ροή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΡΟΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΣΥΝΕΚΤΙΚΗ ΡΟΗ - Ιξώδες - Ομοιόηα με βάση ις εξισώσεις Νaier-Stkes - - διάσαη ασυμπίεση Ροή ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΜΗΣ t 1 μ 1 g μ t - Οιακές Συνθήκες B σο -
Διαβάστε περισσότεραDelhi Noida Bhopal Hyderabad Jaipur Lucknow Indore Pune Bhubaneswar Kolkata Patna Web: Ph:
Seria : 0. T_ME_(+B)_Strength of Materia_9078 Dehi Noida Bhopa Hyderabad Jaipur Luckno Indore une Bhubanesar Kokata atna Web: E-mai: info@madeeasy.in h: 0-56 CLSS TEST 08-9 MECHNICL ENGINEERING Subject
Διαβάστε περισσότεραΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ
ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ Η μελέτη της ροής μη συνεκτικού ρευστού γύρω από κύλινδρο γίνεται με την μέθοδο της επαλληλίας (στην προκειμένη περίπτωση: παράλληλη ροή + ροή διπόλου). Εδώ περιοριζόμαστε να
Διαβάστε περισσότεραΥδραυλική Εργαστήριο 4. Χρίστος Α. Καραβίτης Διαχείριση Υδατικών Πόρων Τμήμα ΑΦΠ & ΓΜ, Γ.Π.Α.
Υδραυλική Εργαστήριο 4 Χρίστος Α. Καραβίτης Διαχείριση Υδατικών Πόρων Τμήμα ΑΦΠ & ΓΜ, Γ.Π.Α. Πρόγραμμα Άνοιξη 2014 ΗΜ/ΝΙΑ ΔΕΥΤΕΡΑ ΤΕΤΑΡΤΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΜΕΛΕΤΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΘΕ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ Part I: ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ-ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη της Άνωσης. Α = ρ υγρού g V βυθ..
Μελέτη της Άνωσης F 1 h 1 h 2 Α) Η Άνωση οφείλεται στην βαύτητα. Αν ένα σώμα βίσκεται μέσα σε υγό με πυκνότητα υγού η επάνω επιφάνειά του με εμβαδό S δέχεται δύναμη F 1 = P 1 S και η ίσου εμβαδού κάτω
Διαβάστε περισσότεραSection 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
Διαβάστε περισσότεραΥποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη.
Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Η εργασία δημοσιεύτηκε στο 9ο τεύχος του περιοδικού Φυσικές Επιστήμες στην Εκπαίδευση,
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραHigher Derivative Gravity Theories
Higher Derivative Gravity Theories Black Holes in AdS space-times James Mashiyane Supervisor: Prof Kevin Goldstein University of the Witwatersrand Second Mandelstam, 20 January 2018 James Mashiyane WITS)
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας
1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανολογίας Πρόβλημα 1 Μηχανική Ρευστών Κεφάλαιο 1 Λυμένα Προβλήματα Μια αμελητέου πάχους επίπεδη πλάκα διαστάσεων (0 cm)x(0
Διαβάστε περισσότεραChapter 7 Transformations of Stress and Strain
Chapter 7 Transformations of Stress and Strain INTRODUCTION Transformation of Plane Stress Mohr s Circle for Plane Stress Application of Mohr s Circle to 3D Analsis 90 60 60 0 0 50 90 Introduction 7-1
Διαβάστε περισσότεραUDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example:
UDZ Swirl diffuser Swirl diffuser UDZ, which is intended for installation in a ventilation duct, can be used in premises with a large volume, for example factory premises, storage areas, superstores, halls,
Διαβάστε περισσότεραExercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.
Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given
Διαβάστε περισσότεραMath221: HW# 1 solutions
Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin
Διαβάστε περισσότεραVolume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is
Volume of a Cuboid The formula for the volume of a cuboid is Volume = length x breadth x height V = l x b x h Example Work out the volume of this cuboid 10 cm 15 cm V = l x b x h V = 15 x 6 x 10 V = 900cm³
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό.
Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημ/νία παράδοσης Εργασίας: Τετάρτη 24 Μαΐου 2 1 Θεωρητική Εισαγωγή:
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Εισαγωγή στα ροϊκά φαινόμενα
Κεφάλαιο Εισαγωγή στα οϊκά φαινόμενα Σύνοψη Η έννοια του ανοικτού συστήματος (όγκος ελέγχου) Ρυθμός μεταβολής των ιδιοτήτων του συστήματος Νόμος της συνέχειας Νόμος της ομής (δυνάμεις) Γενικευμένη εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα3.5 - Boundary Conditions for Potential Flow
13.021 Marine Hydrodynamics, Fall 2004 Lecture 10 Copyright c 2004 MIT - Department of Ocean Engineering, All rights reserved. 13.021 - Marine Hydrodynamics Lecture 10 3.5 - Boundary Conditions for Potential
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότερα1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΕΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ
η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΕΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού Οριακού
Διαβάστε περισσότεραw o = R 1 p. (1) R = p =. = 1
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. R y. R x. Επίλυση (2.1) (2.2) Q 1 1 = 1 1
Ασκήσεις εφαµογής ισοζυγίου οής γαµ. οµής Άσκηση Ακοφύσιο Α εκτοξεύει κυλινδική φλέβα νεού διαµέτου d c µε υθµό l/. H φλέβα του νεού εισέχεται σε ένα διαχύτη και χωίζεται σε κυλινδικές φλέβες µε διατοµές
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότερα