Πεγή:Boyer C., Fundamental steps in the development of numeration Isis, 35, p , 1944

Transcript

1 Η ανάπηςξη ηων απιθμηηικών ζςζηημάηων: Από ηο ιεπογλςθικό ηων Αιγςπηίων έωρ ηο Ιωνικό ηων Ελλήνων και ηοςρ εξαιπεηικούρ ςπολογιζμούρ ηος Απσιμήδη ζηο μνημειώδερ έπγο ηος Ψαμμίτης Σηηο αξραίεο θνηλσλίεο νη άλζξσπνη ζπλέιαβαλ ηελ έλλνηα ηνπ αξηζκνύ θαη αλέπηπμαλ αξηζκεηηθά ζπζηήκαηα όηαλ παξνπζηάζηεθε ε αλάγθε κεηαβίβαζεο θαη απνζήθεπζεο θαηαγξαθώλ, πηζαλόηαηα πνιύ αξγόηεξα από ηελ αλάπηπμε ηεο γιώζζαο. Έηζη ρξεζηκνπνηήζεθαλ θάπνηα ζύκβνια γηα λα απεηθνληζηεί ε κνλάδα- ην έλα: νη αξραίνη Αηγύπηηνη ρξεζηκνπνηνύζαλ κηα ιεπηή θάζεηε γξακκή, νη Σνπκέξηνη Βαβπιώληνη κηα θάζεηε γξακκή πνπ έκνηαδε κε ζθήλα, νη Μάγηαο ην θεθάιη ελόο όληνο. Γηα ηελ θαηακέηξεζε αληηθεηκέλσλ ρξεζηκνπνηνύζαλ όινη νη αξραίνη ιανί ηελ αξρή ηεο έλα πξνο έλα αληηζηνηρίαο : ζε θάζε έλα από ηα αληηθείκελα πνπ έπξεπε λα κεηξεζνύλ αληηζηνηρηδόηαλ έλα ζύκβνιν (ε θάζεηε γξακκή ή ε ζθήλα ή ην θεθάιη ηνπ όληνο) κηαο ζεηξάο γξαπηώλ ζπκβόισλ, πνπ ην αληηπξνζώπεπε κνλαδηθά. Όπσο είλαη θπζηθό ε ρξήζε θαη ε επαλάιεςε ελόο κόλν ζπκβόινπ, πξνθεηκέλνπ λα γίλεη θαηακέηξεζε, δεκηνύξγεζε κεγάια πξαθηηθά πξνβιήκαηα. Έηζη έγηλε αθόκα έλα βήκα κε ζθνπό λ αξηζκεζνύλ αληηθείκελα: κηα ζρεηηθά κηθξή νκάδα ζπκβόισλ πνπ παξίζηαλαλ ηε κνλάδα αληηθαηαζηάζεθε από έλα νιόηεια θαηλνύξην ζύκβνιν, ην νπνίν δελ θαηακεηξνύζε κόλν έλα αιιά κηα πνιιαπιόηεηα αληηθεηκέλσλ. Αληηιήθζεθαλ ινηπόλ ηελ έλλνηα ησλ ςεθίσλ ησλ αξηζκεηηθώλ ζπζηεκάησλ θαζώο θαη ησλ βάζεηο ησλ ζπζηεκάησλ, αθνύ θαηαλόεζαλ (πνηνο μέξεη κεηά από πόζεο εθαηνληάδεο ρξόληα αθνύ άξρηζαλ ηηο πξνζπάζεηεο αξίζκεζεο) όηη ην πιήζνο ησλ κνλάδσλ πνπ αληηθαζίζηαηαη από ην θαηλνύξην ζύκβνιν έπξεπε λα είλαη αθξηβώο ίδην κε ην πιήζνο ησλ θαηλνύξησλ ζπκβόισλ πνπ αληηθαζίζηαηαη από αθόκα έλα θαηλνύξην ζύκβνιν πξνθεηκέλνπ λα αξηζκεζνύλ αθόκα πεξηζζόηεξα αληηθείκελα θαη έηζη λα πεξηγξαθνύλ κεγαιύηεξνη αξηζκνί. Οη αξραίνη Αηγύπηηνη απνθάζηζαλ, ζε θάπνηα πνιύ παιηά πεξίνδν ηεο ηζηνξίαο ηνπο, λα αληηθαηαζηήζνπλ δέθα όκνηεο θάζεηεο γξακκέο (κνλάδεο) κε ην ζύκβνιν, πνπ παξίζηαλε ηε δεθάδα, θαη δέθα όκνηα κε ην ζύκβνιν ٯ πνπ ζπλεπώο αληηπξνζώπεπε ηελ εθαηνληάδα. Μόιηο, θαηά ηελ θαηακέηξεζε ζπκπιεξώλνληαλ αληηθείκελα πνπ αληηπξνζσπεπόηαλ από δέθα όκνηα ζύκβνια δεκηνπξγνύζαλ ην επόκελν θαηλνύξην ζύκβνιν, πνπ κε ηε

2 ζεκεξηλή νξνινγία αληηπξνζώπεπε κνλάδα κεγαιύηεξεο ηάμεο. Τν δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο πνπ αλαπηύρζεθε ζηελ αξραία Αίγππην - ην νλνκαδόκελν θαη ηεξνγιπθηθό έκνηαδε σο: Έηζη έλαο αξραίνο Αηγύπηηνο γηα λα γξάςεη ηνλ αξηζκό 116 ζα έγξαθε ٯ ή γηα ηνλ αξηζκό ζα έγξαθε επηά θνξέο ηε ζεόηεηα πνπ αληηπξνζώπεπε ηηο έλα εθαηνκκύξην κνλάδεο, ζα έγξαθε πέληε θνξέο ην ζρήκα ηνπ γπξίλνπ πνπ αληηπξνζώπεπε ηηο , ηξεηο θνξέο ην ζρήκα ηνπ δαρηύινπ πνπ αληηπξνζώπεπε ηηο , έμη θνξέο ην ζρήκα ηνπ ισηνύ πνπ αληηπξνζώπεπε ην 1000, θνθ Γίλεηαη ακέζσο θαηαλνεηό όηη ην ηεξνγιπθηθό ζύζηεκα δελ ήηαλ θαζόινπ εύρξεζην αθνύ γηα λα γξαθνύλ κεγάινη αξηζκνί έπξεπε λα ρξεζηκνπνηεζνύλ πνιιά θαη ζπρλά δηαθνξεηηθά ζύκβνια ηα νπνία ν αξραίνο όθεηιε λα έρεη απνκλεκνλεύζεη. Καζώο ην αλζξώπηλν κάηη δπζθνιεύεηαη λα δηαθξίλεη πνιιά όκνηα ζύκβνια πνπ ζπζζσξεύνληαη ζε έλα ζεκείν, ε αλάγλσζε ησλ αξηζκώλ ήηαλ επίζεο κηα δύζθνιε δηαδηθαζία. Καη ην κεγαιύηεξν κεηνλέθηεκα απηνύ ηνπ ζπζηήκαηνο ήηαλ όηη ε άπεηξε ζπλέρεηα ηεο δηαδηθαζίαο έκνηαδε αδύλαηε αθνύ απαηηνύζε λα εθεπξεζνύλ θαη λα απνκλεκνλεπζνύλ άπεηξα ζύκβνια. Γλώκε κνπ είλαη όηη ε αδπλακία απηή απνηέιεζε ηελ ηζρπξόηεξε ηξνρνπέδε ζηελ αλαθάιπςε-επηλόεζε ηεο έλλνηαο ηνπ απείξνπ. Γη απηό θαη ζε θάπνηα ζηηγκή θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ύπαξμεο ηεο αξραίαο Αηγππηηαθήο θνηλσλίαο νη ηεξείο ηξνπνπνίεζαλ πνιύ ην ηεξνγιπθηθό ζύζηεκα γξαθήο ησλ αξηζκώλ θαη δεκηνύξγεζαλ απηό πνπ ζήκεξα νλνκάδνπκε ηεξαηηθό θαζώο θαη κηα παξαιιαγή ηνπ ην δεκώδεο. Οη πάππξνη πνπ κειεηήζεθαλ από ηνπο ηζηνξηθνύο ησλ Μαζεκαηηθώλ θαη δηαθώηηζαλ ηνλ ηξόπν κε ηνλ νπνίν νη Αξραίνη Αηγύπηηνη πξνζέγγηδαλ ηνλ αξηζκό θαη ηα πξνβιήκαηα γεληθόηεξα ήηαλ: Ο πάππξνο ηνπ Rhind ν νπνίνο γξάθεθε γύξσ ζην 1650 π.χ., πεξηείρε πνιιά αξηζκεηηθά θαη γεσκεηξηθά πξνβιήκαηα πνπ αληηκεηώπηδαλ ζηελ θαζεκεξηλόηεηά ηνπο, αγνξάζηεθε από ηνλ Henry Rhind ζην Λνπμόξ θαη πνπιήζεθε ζην Βξεηαληθό κνπζείν.

3 Ο πάππξνο ηεο Μόζραο, κε όκνην ηύπν πξνβιεκάησλ, πνπ θπιάζζεηαη ζε κνπζείν ζηε Μόζρα. Ο πάππξνο ηνπ Καθνύλ, πνπ νλνκάζηεθε έηζη από ηελ πόιε ζηελ νπνία βξέζεθε. Όινη νη πάππξνη ήηαλ γξακκέλνη ζε ηεξαηηθή θαη δεκώδε κνξθή. Σηελ θάζε παξαιιαγή ρξεζηκνπνηνύληαλ 45 ζύκβνια (δηαθνξεηηθά γηα θάζε πεξίπησζε) γηα λα γξαθνύλ νη αξηζκνί από ην 1 έσο ην Γειαδή: ρξεζηκνπνηνύληαλ 9 δηαθνξεηηθά ζύκβνια γηα ηνπο αξηζκνύο από ην 1 έσο ην 9, θαηόπηλ 9 άιια δηαθνξεηηθά ζύκβνια γηα ηα αθέξαηα πνιιαπιάζηα ηνπ 10 έσο ην 90, θαηόπηλ 9 άιια δηαθνξεηηθά ζύκβνια γηα ηα αθέξαηα πνιιαπιάζηα ηνπ 100 έσο ην 900, θαη 9 θαηλνύξηα δηαθνξεηηθά ζύκβνια γηα ηα αθέξαηα πνιιαπιάζηα ηνπ 1000 έσο ην Οη ελδηάκεζα αξηζκνί γξαθόηαλ ρξεζηκνπνηώληαο ηελ πξνζζεηηθή αξρή. Οη δύν παξαιιαγέο ηνπ ηεξνγιπθηθνύ αξηζκεηηθνύ ζπζηήκαηνο κπνξνύλ αλ ζπλνςηζηνύλ ζηελ παξαθάησ εηθόλα: Πεγή:Boyer C., Fundamental steps in the development of numeration Isis, 35, p , 1944 Η δεκηνπξγία ηνπ ηεξαηηθνύ θαη ηνπ δεκώδνπο αξηζκεηηθνύ ζπζηήκαηνο ήηαλ κηα εμαηξεηηθά έμππλε θαη ώξηκε θίλεζε γηα ηελ αλάπηπμε ησλ αξηζκεηηθώλ ζπζηεκάησλ θαη βνήζεζε απνηειεζκαηηθά ζηε γξαθή ησλ αξηζκώλ: νη αξηζκνί νη κηθξόηεξνη ηνπ πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη πεξηζζόηεξν ζηελ θαζεκεξηλόηεηα- γξάθνληαλ εύθνια όινη, κε κνλαδηθνί πξνϋπόζεζε ηελ απνκλεκόλεπζε 45 ζπκβόισλ. Οπνηνζδήπνηε αξηζκόο έσο ην γξαθόηαλ κε ηε ρξήζε ην πνιύ 4 ζπκβόισλ, πνιύ πξαθηηθό αθνύ δε ρξεηάδεηαη ηδηαίηεξε πξνζπάζεηα γηα ηε δηάθξηζε ησλ ζπκβόισλ-ςεθίσλ. Δίλαη θξίκα όκσο δηόηη θαη απηό ην ζύζηεκα δε πξνζέθεξε ηελ πξνβιεπόκελε αλάπηπμε αθνύ ηα ζύκβνια πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ θαη ζηηο δύν παξαιιαγέο ήηαλ πνιύ δύζθνιν λα γξαθνύλ θαη λα ρξεζηκνπνηεζνύλ απαξάιιαθηα

4 από ηνλ θάζε γξαθέα. Ο θάζε γξαθέαο αλάινγα κε ηνλ ηξόπν πνπ είρε κάζεη λα γξάθεη ηξνπνπνηνύζε θάπσο ηα ζύκβνια θαη ήηαλ δύζθνιε ε ζηαζεξή θαη ακεηάβιεηε ρξεζηκνπνίεζε θαη κεηάδνζή ηνπο. Δπίζεο πνιύ ζπρλά ρξεζηκνπνηνύζαλ θαη ηνλ ηεξνγιπθηθό ηξόπν γξαθήο θαη ηνλ ηεξαηηθό (ζε όινπο ηνπο παπύξνπο από ηνπο νπνίνπο αληινύκε πιεξνθνξίεο γηα ηα Μαζεκαηηθά) Οη Σνπκέξηνη-Βαβπιώληνη αθνινύζεζαλ εληειώο δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο πξνζέγγηζεο, αξθεηά εύζηξνθνπο θαη πξνζαξκνζκέλνπο ζηα κέζα πνπ δηέζεηαλ, όκσο νύηε απηνί δελ κπόξεζαλ λα ζεκειηώζνπλ έλα εύρξεζην θαη θηιηθό πξνο ηνλ γξαθέα θαη ηνλ αλαγλώζηε ζύζηεκα. Τν ζύζηεκα ηνπο ήηαλ ζηελ πξαγκαηηθόηεηα εμεληαδηθό θαη δηέζεηε έλα ζεκείν «ζηάζεο» πνπ ήηαλ ην δέθα: ε κνλάδα ηνπο ζπκβνιηδόηαλ κε ηε ζθήλα ۱ θαη ην δέθα κε ηελ θακππισηή γσλία Έηζη όινη νη αξηζκνί θάησ ηνπ 60 γξάθνληαλ ρξεζηκνπνηώληαο απηά ηα δύν ζύκβνια θαη θπζηθά ηελ πξνζζεηηθή-επαλαιεπηηθή αξρή: Όηαλ έγξαθαλ ιόγνπ ράξε ۱۱۱۱ ۱۱۱۱۱ ελλννύζαλ ηνλ αξηζκόο 59. Οη Σνπκέξηνη-Βαβπιώληνη αθνινύζεζαλ κία πνιύ εύζηξνθε ηερληθή θαη αληίζεηα κε πνιινύο άιινπο αξραίνπο ιανύο όηαλ έθζαζαλ ζην 60, αληί λα ρξεζηκνπνηήζνπλ έλα θαηλνύξην ζύκβνιν γηα ηελ εμεληάδα ρξεζηκνπνίεζαλ ην ζύκβνιν ηεο κνλάδαο-ζθήλαο μαλά, όκσο ηώξα ην λόεκά ηνπ ήηαλ δηαθνξεηηθό. Καηά παξόκνην ηξόπν ζπκβόιηζαλ θαη ηηο εμεληάδεο αλώηεξεο ηάμεο: νη εμήληα εμεληάδεο, πνπ ηξόπν ηηλά απνηεινύζαλ ηελ εμεληάδα δεύηεξεο ηάμεο, (60*60=3600 κνλάδεο κε ην δηθό καο ζύζηεκα αξίζκεζεο) ζπκβνιηδόηαλ πάιη από ην ζύκβνιν ηεο κνλάδαο ζθήλαο, όπσο θαη νη εμεληάδεο ηξίηεο ηάμεο θνθ: Έηζη, ν ۱ (α) ήηαλ ν αξηζκόο 60+10=70. Καη ν ήηαλ ν αξηζκόο 7270 ( 2* ) ۱۱ ۱

5 Άξα πξνζπάζεζαλ λα γξάςνπλ όινπο ηνπο αξηζκνύο ρξεζηκνπνηώληαο δύν ζύκβνια πνπ ηα μερώξηδαλ κόλν παξαηεξώληαο ηε δηαθνξεηηθή ζέζε πνπ θαηείρε ην θάζε έλα κέζα ζηελ αθνινπζία ησλ ζπκβόισλ, έρνληαο σο θαλόλα όηη νη κνλάδεο αλώηεξεο ηάμεο γξάθνληαλ πξνο ηα αξηζηεξά. Απηή ε νηθνλνκία ζπκβόισλ ήηαλ πνιύ βνεζεηηθή ζε ζέκαηα απνκλεκόλεπζεο όκσο δεκηνπξγνύζε κεγάιε ζύγρπζε θαζώο δελ ππήξρε θάπνην ηδηαίηεξν ζεκάδη γηα λα δηαθξηζεί αλ ην ۱ ήηαλ κία κνλάδα ή κηα εμεληάδα ή κηα εμεληάδα δεύηεξεο ηάμεο ή κηα εμεληάδα ηξίηεο ηάμεο θνθ. Ο αξηζκόο (α) πνπ γξάθηεθε παξαπάλσ θαη ππνινγίζηεθε σο 70, ζα κπνξνύζε λα είλαη ν 3610 ή θνθ. Σε θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή, θνληά ζηε ρξηζηηαληθή επνρή, εηζήγαγαλ έλα ζύκβνιν πνπ ζεκαηνδνηνύζε ηελ θελή ζέζε αιιά απείρε πνιύ από ην είλαη ν αξηζκόο 0 ησλ Ιλδώλ. Όκσο νύηε απηό δηαθώηηζε πνιύ ηε γξαθή ησλ αξηζκώλ. Τν ζύζηεκα απηό ήηαλ θάηη ζαλ πξόδξνκνο ησλ ζεζηαθώλ ζπζηεκάησλ ησλ ζπζηεκάησλ δειαδή πνπ ε ζέζε ηνπ ίδηνπ ςεθίνπ κέζα ζηνλ αξηζκό ηνπ έδηλε δηαθνξεηηθή ηηκή. Οη αξραίνη Έιιελεο έιπζαλ ηα πεξηζζόηεξα πξνβιήκαηα ησλ αξηζκεηηθώλ ζπζηεκάησλ ρξεζηκνπνηώληαο ηα γξάκκαηα ηνπ ειιεληθνύ αιθαβήηνπ θαη σο ςεθία ελόο αξηζκεηηθνύ ηνπο ζπζηήκαηνο, ηνπ ιεγόκελνπ Ισληθνύ. Ήδε απηή ε επηινγή ήηαλ κηα πξσηνπόξα έμππλε ζύιιεςε, πνπ ππνδήισλε κεγάιε θξνληίδα γηα ηνπο πνιίηεο θαζώο ζα είραλ λα κάζνπλ κόλν έλα ζύλνιν ςεθίσλ θαη κε απηό ζα δηάβαδαλ-έγξαθαλ θαη ιέμεηο θαη αξηζκνύο. Μάιηζηα ρξεζηκνπνίεζαλ 3 επηπιένλ γξάκκαηα ην ζίγκα, ην θόππα θαη ην ζάκπη, ηα νπνία ππήξραλ ζε παιαηόηεξα αιθάβεηα, πξνθεηκέλνπ λα έρνπλ 24+3 ζύκβνια- ςεθία πνπ ηα ρώξηζαλ ζε 3 ηζνπιεζείο νκάδεο. Τα γξάκκαηα ηνπ αιθαβήηνπ ζηε θάζε ελλεακειή νκάδα ζπκβόιηδαλ ηνπ αξηζκνύο από ην 1 έσο ην 9, ηα πνιιαπιάζηα ηνπ 10 έσο ην 90 ηα πνιιαπιάζηα ηνπ εθαηό έσο ην 900, αληίζηνηρα. Οη αξηζκνί ινηπόλ από ην 1 έσο ην 9, ηα πνιιαπιάζηα ηνπ 10 έσο ην 90 θαη ηα πνιιαπιάζηα ηνπ 100 έσο ην 900 ήηαλ αξηζκνί αλεμάξηεηνη, αζύλδεηνη, αθεξεκέλνη, γξακκέλνη ρσξίο ηε ρξήζε αξηζκεηηθήο αξρήο. Οη ελδηάκεζα αξηζκνί γξάθνληαλ ζπλδπαζηηθά. Έηζη ην ζύζηεκα έκνηαδε σο:

6 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 q (θόππα) (ζάκπη) / Οη αξηζκνί πνπ είλαη αθέξαηα πνιιαπιάζηα ηνπ έσο ην 9.000, όπσο θαίλεηαη ζηνλ παξαπάλσ πίλαθα, γξάθνληαλ κε ην ίδην ζύκβνιν ησλ πξώησλ ελλέα αξηζκώλ κόλν πνπ ζηελ πεξίπησζε ησλ ρηιηάδσλ ππήξρε θαη κηα κηθξή πιάγηα θεξαία ζην θάησ αξηζηεξό κέξνο ηνπ ζπκβόινπ. Θα πεξίκελε ινηπόλ θαλείο όηη ζα αθνινπζνύζαλ ηελ ηδέα όισλ ησλ ιαώλ ηεο αξραηόηεηαο, δειαδή γηα ηνπο αξηζκνύο από έσο λα ρξεζηκνπνηήζνπλ ηα επόκελα ελλέα ζύκβνια από ηη η έσο ην θόππα κε κηα κηθξή πιάγηα θεξαία ζην θάησ αξηζηεξό κέξνο ή ην θάζε έλα από ηα πξνεγνύκελα ζύκβνια κε δύν κηθξέο πιάγηεο θεξαίεο ζην θάησ κέξνο αξηζηεξά θνθ Όκσο θαη ζε απηήλ ηελ πεξίπησζε δηαθνξνπνηήζεθαλ πιήξσο θαη ρξεζηκνπνίεζαλ ην ζύκβνιν Μ γηα ηνλ αξηζκό 10,0000 θαη γηα ηα αθέξαηα πνιιαπιάζηά ηνπ ηελ πνιιαπιαζηαζηηθή αξρή: ν αξηζκόο 20,000 γξαθόηαλ 2*10,000 = β * Μ =. Απηή ε αξρή κπνξνύζε λα ζπλερηζηεί πξνθεηκέλνπ λα δεκηνπξγεζνύλ πνιύ κεγάινη αξηζκνί:

7 Πνιύ ζεκαληηθό ζρεηηθά κε απηό ην ζύζηεκα είλαη όηη ΓΔΝ ΔΦΔΙ ΑΝΑΓΚΗ ΝΑ ΔΙΝΑΙ ζεζηαθό. Ο θάζε αξηζκόο, σο αλεμάξηεηε-κνλαδηθή νληόηεηα, κπνξνύζε λα γξαθεί ζε νπνηαδήπνηε ζέζε κέζα ζηελ αθνινπζία ησλ ςεθίσλ θαη ζπκβόιηδε πάληα ην ίδην ζύλνιν κνλάδσλ. Παξόια απηά νη αξραίνη Έιιελεο έγξαθαλ ηνπο αξηζκνύο από ηα αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά, κε ηνπο αξηζκνύο κεγαιύηεξεο ηάμεο αξηζηεξόηεξα. Ο Γηόθαληνο ιόγνπ ράξε έγξαςε ζε έλα πξόβιεκα ηνλ θομ ' πνπ ήηαλ ν Ο Αξρηκήδεο ζην έξγν ηνπ Φακκίηεο ρξεζηκνπνίεζε κε άθξσο αμηνζαύκαζην ηξόπν ηα νθέιε απηνύ ηνπ ζπζηήκαηνο θαη δεκηνύξγεζε ηεξάζηηνπο ζηελ θπξηνιεμίααξηζκνύο: Τν έξγν Χακκίηεο ην αθηέξσζε ζην βαζηιηά Γέισλα θαη είρε έλα πεξίεξγν ζηόρν: Να κεηξήζεη ηνλ αξηζκό ησλ θόθθσλ ηεο άκκνπ πνπ ρξεηάδνληαη γηα λα γεκίζεη ζύκπαλ (όπσο ην θαληαδόηαλ εθείλε ηελ επνρή)!! Καη εμήγεζε ηη ελλννύζε ιέγνληαο όηη ζα γεκίζεη ην ζύκπαλ κε θόθθνπο ηεο άκκνπ: «Ννκίδνπλ κεξηθνί Γέισλα, πσο ν αξηζκόο ησλ θόθθσλ ηεο άκκνπ είλαη απείξσο κεγάινο, θαη δελ ελλνώ κόλν ηελ άκκν πνπ ππάξρεη ζηελ πεξηνρή ησλ πξαθνπζώλ ή ζε νιόθιεξε ηε ηθειία, αιιά θαη ηελ άκκν πνπ ππάξρεη ζε θάζε πεξηνρή ηεο γεο, θαηνηθεκέλε θαη αθαηνίθεηε. Τπάξρνπλ όκσο θαη άιινη πνπ δελ δέρνληαη όηη ν αξηζκόο απηόο είλαη άπεηξνο, αιιά όηη δελ ππάξρεη θαηνλνκαζκέλνο έλαο αξηζκόο πνπ λα μεπεξλάεη ηνλ πιήζνο ησλ θόθθσλ ηεο άκκνπ. ΟΜΧ είλαη πξνθαλέο όηη όζνη ηα ιέλε απηά ζεσξνύλ ηνλ όγθν ηεο άκκνπ λα είλαη ηόζνο όζνο είλαη ν όγθνο ηεο γεο, εάλ κάιηζηα ήηαλ γεκάηεο κε άκκν όιεο ηηο ζάιαζζεο θαη ηα θνηιώκαηα ηεο γεο κέρξη ηα πην ςειά βνπλά ηεο, αθόκα πεξηζζόηεξνη δε ζα γλώξηδαλ ΠΧ ΘΑ ΜΠΟΡΟΤΕ ΝΑ ΕΚΦΡΑΣΕΙ ΡΗΣΑ ΚΑΠΟΙΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΟΤ ΣΟΝ ΞΕΠΕΡΝΑΕΙ (απηόλ ηνπ πιήζνπο ησλ θόθθσλ όιεο ηεο άκκνπ). ΟΜΧ ΕΓΧ ΘΑ ΠΡΟΠΑΘΗΧ ΝΑ ΟΤ ΑΠΟΔΕΙΞΧ ΜΕ ΓΕΧΜΕΣΡΙΚΕ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙ, ΣΙ ΟΠΟΙΕ ΘΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΤΘΗΕΙ, ΟΣΙ

8 ΜΕΣΑΞΤ ΣΧΝ ΑΡΙΘΜΧΝ ΠΟΤ ΘΑ ΚΑΣΟΝΟΜΑΧ ΤΠΑΡΥΟΤΝ ΜΕΡΙΚΟΙ ΟΙ ΟΠΟΙΟΙ ΔΕΝ ΞΕΠΕΡΝΑΝΕ ΜΟΝΟ ΣΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΠΟΤ ΔΙΝΕΙ ΣΟΤ ΚΟΚΚΟΤ ΣΗ ΑΜΜΟΤ ΜΕ ΣΗΝ ΟΠΟΙΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΕΜΙΕΙ Η ΓΗ, ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΑΤΣΟΝ ΠΟΤ ΔΙΝΕΙ ΣΟΤ ΚΟΚΚΟΤ ΣΗ ΑΜΜΟΤ ΠΟΤ ΕΥΕΙ ΟΓΚΟ ΟΟ ΕΙΝΑΙ Ο ΚΟΜΟ....Ο Αξίζηαξρνο ν άκνο εμέδσζε κεξηθέο απνθάζεηο από ηηο νπνίεο πξνθύπηεη γηα ηνλ θόζκν όηη είλαη πνιύ κεγαιύηεξνο από όηη θαίλεηαη από ηηο απνθάζεηο ησλ αζηξνλόκσλ. Δηόηη ππνζέηεη όηη νη απιαλείο αζηέξεο θαη ν ήιηνο κέλνπλ αθίλεηνη, όηη ε γή πεξηζηξέθεηαη ζε θπθιηθή ηξνρηά γύξσ από ηνλ ήιην, ν νπνίνο θείηαη ζην θέληξν απηήο ηεο ηξνρηάο θαη όηη ε ζθαίξα ησλ απιαλώλ αζηέξσλ, ε νπνία έρεη ην ίδην θέληξν κε ηνλ ήιην, έρεη ηέηνην κέγεζνο, ώζηε ν ιόγνο ηνπ θύθινπ επί ηνπ νπνίνπ έρεη ππνζέζεη όηη θηλείηαη ε γή, πξνο ηελ απόζηαζε ησλ απιαλώλ αζηέξσλ έρεη ηελ ίδηα αλαινγία πνπ έρεη ην θέληξν ηεο γεο πξνο ηελ επηθάλεηά ηεο» Μεηάθξαζε από ην αξραίν θείκελν εθδόζεηο ΚΑΚΣΟ (εθδόηεο: Ο. Υαηδόπνπινο) εηξά: «Οη Έιιελεο» αξ. 773 Να ζεκεησζεί, όηη από απηό ην έξγν, γλσξίδνπκε κε ζηγνπξηά όηη ν Αξίζηαξρνο ν Σάκνο είρε ζπιιάβεη έλα ειηνθεληξηθό ζύζηεκα. Γη απηό θαη ν Κέπιεξ πξέπεη λα νλνκάδεηαη Αξίζηαξρνο ησλ λεόηεξσλ ρξόλσλ θαη όρη ν Αξίζηαξρνο λα νλνκάδεηαη Κέπιεξ ηεο αξραηόηεηαο, θάηη πνπ κάιινλ κεξνιεπηηθά έρεη επηθξαηήζεη λα ιέγεηαη. Ο Αξρηκήδεο ρξεηάδεηαη λα θαηνλνκάζεη πνιύ κεγάινπο αξηζκνύο ινηπόλ πξνθεηκέλνπ λα κεηξήζεη ηνπο θόθθνπο ηεο άκκνπ πνπ ζέιεη. Ξεθηλά εμεγώληαο όηη ζηελ θαζεκεξηλόηεηα καο έρνπλ παξαδνζεί ηα νλόκαηα αξηζκώλ έσο ηε κπξηάδα (πνπ είλαη ν αξηζκόο 10000) θαη πνπ όπσο θαίλεηαη από ηνπο πίλαθέο καο ζπκβνιίδεηαη κε Μ. Έηζη ε ζπλέρεηα ηεο αξίζκεζεο γίλεηαη πνιύ εύθνια = Μ, = Μ, = Μ, = Μη, = Μq = Μξ = Μ = Μ qζ = Μ / Γηα ηηο δύν κπξηάδεο (δειαδή ηνλ αξηζκό 20000) ρξεζηκνπνηείηαη ε πνιιαπιαζηαζηηθή αξρή όπσο εμεγήζεθε θαη ζπκβνιίδεηαη σο Οκνίσο νη ηξεηο κπξηάδεο (δει ν αξηζκόο 30000) γξάθεηαη σο. Φζάλνπκε ινηπόλ σο ηηο ελλέα κπξηάδεο (ηνλ αξηζκό 90000).

9 Δδώ ν Αξρηκήδεο θάλεη κηα έμππλε παξαηήξεζε: Η κία κπξηάδα, νη δύν κπξηάδεο, νη ηξεηο κπξηάδεο,..έσο ηηο ελλέα κπξηάδεο κπνξνύλ λα ζεσξεζνύλ σο νη κνλάδεο ησλ κπξηάδσλ Καηόπηλ, νη δέθα κπξηάδεο ( ), είθνζη κπξηάδεο( ), ηξηάληα κπξηάδεο,... ελελήληα κπξηάδεο είλαη νη δεθάδεο ησλ κπξηάδσλ Δλ ζπλερεία νη εθαηό κπξηάδεο ( = ), δηαθόζηεο κπξηάδεο,...ελληαθόζηεο κπξηάδεο είλαη νη εθαηνληάδεο ησλ κπξηάδσλ. / Τέινο νη ρίιηεο κπξηάδεο ( M = ), δύν ρηιηάδεο κπξηάδεο,... ελλέα ρηιηάδεο κπξηάδεο είλαη νη ρηιηάδεο ησλ κπξηάδσλ. Πεξλώληαο ζε αξηζκνύο αλώηεξεο ηάμεο, νλνκάδεη ηηο κύξηεο κπξηάδεο πξώην αξηζκό ή αξηζκό πξώηεο ηάμεο (πνπ θπζηθά δε ζρεηίδεηαη απηόο ν νξηζκόο κε ηνλ γλσζηό νξηζκό ησλ πξώησλ αξηζκώλ ηεο Άιγεβξαο πνπ δόζεθε κεηέπεηηα). Έηζη είλαη ζα λα μεθηλά από ηελ αξρή ηελ αξίζκεζε, έρνληαο ζα «κνλάδα» ηώξα ηνλ πξώην αξηζκό (πνπ ηζνύηαη κε κύξηεο κπξηάδεο κνλάδεο δει κνλάδεο γηα ηε ζύγρξνλε αξίζκεζε). Υπάξρνπλ ινηπόλ, κνλάδεο, δεθάδεο, εθαηνληάδεο, ρηιηάδεο, πξώησλ ηέηνησλ αξηζκώλ. Έηζη κε ηελ ηξέρνπζα αξίζκεζε κπνξνύκε λα θζάζνπκε ηηο κύξηεο κπξηάδεο πξώησλ αξηζκώλ (πνηνο είλαη απηόο ν αξηζκόο κε ηε ζεκεξηλή δεθαδηθή καο αξίζκεζε;) Ολνκάδεη ηηο κύξηεο κπξηάδεο ησλ αξηζκώλ πξώηεο ηάμεο, κνλάδα ησλ αξηζκώλ δεύηεξεο ηάμεο. Καη αξρίδεη ηελ αξίζκεζε: κνλάδεο αξηζκώλ πξώηεο ηάμεο, δεθάδεο αξηζκώλ, πξώηεο ηάμεο, εθαηνληάδεο αξηζκώλ πξώηεο ηάμεο, ρηιηάδεο αξηζκώλ πξώηεο ηάμεο, κπξηάδεο αξηζκώλ πξώηεο ηάμεο, κέρξη πνπ θζάλεη ηηο κύξηεο κπξηάδεο αξηζκώλ δεύηεξεο ηάμεο. Ολνκάδεη ηηο κύξηεο κπξηάδεο ησλ αξηζκώλ δεύηεξεο ηάμεο, κνλάδα ησλ αξηζκώλ ηξίηεο ηάμεο. Καη αξρίδεη ηελ αξίζκεζε: κνλάδεο αξηζκώλ δεύηεξεο ηάμεο, δεθάδεο αξηζκώλ δεύηεξεο ηάμεο, εθαηνληάδεο αξηζκώλ δεύηεξεο ηάμεο, ρηιηάδεο αξηζκώλ δεύηεξεο ηάμεο, κπξηάδεο αξηζκώλ δεύηεξεο ηάμεο, κέρξη πνπ θζάλεη ηηο κύξηεο κπξηάδεο αξηζκώλ δεύηεξεο ηάμεο.

10 Καη ζπηόλ ηνλ ηξόπν, θζάλεη λα θαηνλνκάζεη αξηζκνύο ηάμεο κπξίσλ κπξηάδσλ (δειαδή θζάλεη ζηηο κύξηεο κπξηάδεο ησλ κπξηαθηζκπξηνζηώλ αξηζκώλ) Ολνκάδεη δε απηόλ ηνλ αξηζκό, κύξηεο κπξηάδεο κπξηαθηζκπξηνζηό, κνλάδα αξηζκώλ πξώηεο πεξηόδνπ. Ο ηειεπηαίνο αξηζκόο ηεο πξώηεο πεξηόδνπ νλνκάδεηαη κνλάδα ηεο δεύηεξεο πεξηόδνπ. Έηζη θζάλεη λα θαηνλνκάζεη αξηζκνύο πεξηόδνπ κπξίσλ κπξηάδσλ!! (Πνηνο είλαη ν ηειεπηαίνο αξηζκόο πνπ θαηνλνκάδεη ν Αξρηκήδεο γξακκέλνο κε ην ζύγρξνλν ζύζηεκα;) Ο Αξρηκήδεο ζε απηό κεγαιεηώδεο έξγν δε ζηακαηά κόλν ζε απηό ην ζεκείν ηεο νλνκαζίαο ησλ αξηζκώλ αιιά ηνπο πνιιαπιαζηάδεη θαη κεηαμύ ηνπο!!!