Anatomija. Definicija temporomandibularnih poremećaja

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Anatomija. Definicija temporomandibularnih poremećaja"

Transcript

1 [1] studentica 5. godine Anatomija Temporomandibularni zglobovi (TMZ) su jedini zglobovi u glavi i ujedno jedni od najkompliciranijih zglobova u ljudskom tijelu. Svaki zglob omogućava pokrete rotacije mandibule i klizne kretnje u praktički svim smjerovima, stoga se naziva ginglimo-artrodijalni zglob (gynglimus njihanje, klizni pokreti su uvjet za artrodijalne zglobove) (1). TMZ se sastoji od kondilarnog nastavka mandibule koji pristaje u mandibularnu udubinu temporalne kosti. Između njih se nalazi disk vezivnog hrskavičnog tkiva, zvan meniskus. Zglobna površina diska je građena od fibroznog prstena koji nije vaskulariziran ni inerviran, dok je njegov stražnji dio, retrodiskalno tkivo, bogato inervirano i vaskularizirano (2). Kao što samo ime govori, prsten je građen od fibrozne hrskavice koja ima puno veću reparativnu sposobnost za razliku od hijaline hrskavice u ostalim zglobovima (3). Prilikom ranog otvaranja usta dolazi do rotacijske kretnje između kondila i donje površine diska, dok se translacijska kretnja događa između gornje površine diska i udubine temporalne kosti tijekom završnog dijela otvaranja usta (1). Cjelokupne kretnje zgloba su cijelo vrijeme podmazane velikim količinama sinovijalne tekućine koja služi kao lubrikans (3). Žvačni mišići se dijele teoretski na prave mišiće žvakače (maseter, medijalni pterigoidni mišić, temporalni mišić podizanje mandibule; digastrični mišić otvaranje usta; donji lateralni pterigoidni mišić protruzija; gornji lateralni pterigoidni mišić stabilizacija čeljusti tijekom funkcije) i mišiće koji podupiru oralne strukture (3). Definicija temporomandibularnih poremećaja Temporomandibularni poremećaj (TMP) je skupni naziv koji obuhvaća niz kliničkih problema koji uključuju žvačne mišiće, TMZ i pridružene strukture. Sinonim za TMP je i kraniomandibularni poremećaj. Kao jedan od glavnih uzroka boli kraniofacijalnog područja koja nije uzrokovana dentalnim podrijetlom, navode se upravo TMP-i (4). Najčešći simptom je bol u mišićima i preaurikularnom području, ograničene ili asimetrične kretnje čeljusti, preska-

2 kanje i iskakanje zgloba, te škljocanje i krepitacije. Također, nerijetko dolazi i do bolova u čeljusti, hipertrofije mišića i abnormalnog okluzalnog odnosa. TMP često dolaze povezani i uz druge kraniofacijalne i orofacijalne poremećaje (3). Epidemiologija Bol u temporomandibularnoj regiji nađena je u 10% populacije starije od 18 godina, primarno kod mlađe i srednje populacije i češće kod žena od 3:1 do čak 9:1, u usporedbi s muškom populacijom (3). TMP-i mogu biti rekurenti, samoograničavajući ili mogu trajati (5). Čak 40-75% pacijenta ima barem jedan znak (objektivne tegobe), dok 33% njih ima simptom TMP-a (subjektivne tegobe), a 50% ima devijacije čeljusti i zvukove prilikom otvaranja (6). Unatoč velikoj prevalenciji samo 3.6-7% ispitanika zaista treba liječenje (3, 6). Etiologija Trauma Faktori koji utječu na nastanak TMP-a se mogu podijeliti u tri skupine. Predisponirajući faktori povećavaju rizik za nastanak TMP-a, inicirajući faktori su zaslužni za početak TMP-a i prolongirajući faktori koji sprečavaju zacjeljivanje i potiču progresiju TMP-a (3). Trauma je opisana kao svaka sila aplicirana na žvačne strukture koja prelazi granice podnošljivosti organizma ne samo po jačini nego i po trajanju. Traume se stoga dijele na direktne, indirektne i mikrotraume (3). Direktna trauma posljedično uzrokuje ozljedu mandibule, tvrdih i mekih tkiva kraniomandibularnog prostora, s pridruženom upalom i manjkom funkcije (3, 7, 8). Pacijenti koji imaju simptome TMP-a češće imaju direktne traume, međutim ukoliko je od traume do pojavljivanja TMP-a prošlo puno vremena, teško je povezati postoji li direktna veza između navedenog (3, 8, 9). Stručnjaci se slažu da direktna ozljeda može prouzročiti manje štete nego indirektna trauma. Trzajna ozljeda bi se mogla klasificirati kao indirektna ozljeda, budući da simptomi odgovaraju simptomima TMP-a i postoje istraživanja koja pokazuju da su simptomi TMP-a češći kod ljudi koji u svojoj povijesti imaju trzajnu ozljedu (3). Također, pokazalo se da udarac u bradu često rezultira prijelomom kondila koji naknadno dovodi do TMP-a (3, 10). Mikrotraume nastaju posljedično od kontinuiranog i ponavljajućeg nepravilnog opterećenja žvačnog sustava ili zbog parafunkcija čije pojavljivanje i intenzitet rastu usred stresa, poremećaja spavanja i uzimanja nekih lijekova (3). Anatomski faktori i okluzalne varijacije Skeletne malformacije mogu biti genetskog, razvojnog ili jatrogenog uzroka i kao takve mogu imati važnu ulogu u nastanku TMP-a (3). Premda je struka nekada smatrala kako su okluzalne varijacije primarni uzrok nastanka TMP-a, današnja istraživanja ne podupiru ulogu okluzije u njihovom nastanku (3, 11, 12). Oseoartritičke promjene i gubitak zuba adekvatno se povećavaju s godinama starosti i istraživanja pokazuju kako nema značajne povezanosti između gubitka molara i razvoja TMP-a, kao ni činjenica da promjena visine zagriza od 4-6 mm također ne utječe značajno na razvoj mišićnih poremećaja kao ni TMP-a (3). Premda se nagađalo kako bi vertikalni i horizontalni prijeklop mogli uzrokovati TMP, istraživanja pokazuju da isključivo skeletalni otvoreni zagriz može dovesti do nastanka promjena u kondilima i reumatoidnog artritisa. Također, križni i škarasti zagriz ne pokazuju povezanost sa nastankom TMPa (3). Shodno svemu što smo do sad vidjeli, možemo zaključiti kako je vjerojatnije da su gore navedeni poremećaju posljedica TMP-a, a ne njen uzrok (3, 13). Patofiziološki faktori Degenerativne, endokrine, infektivne, metaboličke, neoplastične, neurološke, reumatološke i krvožilne bolesti utječu na nastanak TMP-a. Sustavna labavost zglobova se navodi kao faktor koji pridonosi nastanku TMP-a, kao i bolesti koje uključuju metabolizam i stvaranje kolagena (3). Lokalni faktori koji utječu na razvoj TMP-a su: jačina i količina žvačnih sila, tonus žvačnih mišića, osteoartritis, neadekvatna lubrikacija i promjene u sastavu sinovijalne tekućine, intrakapsularni tlak (posebno se spominje kod žena zbog utjecaja hormona). Poremećaji u reparativnoj sposobnosti hondrocita mogu nastati zbog metaboličke disfunkcije ili zbog prevelikog opterećenja hrskavice, što na kraju može dovesti do osteoartritisa. Remodeliranje hrskavice je fiziološki proces i ukoliko ne funkcionira adekvatno može doći do perforacije diska i posljedično tome razvoja osteoartritisa. Oksidativni stres je termin koji označava povećano nakupljanje slobodnih radikala uslijed mehaničkog stresa (3, 14, 15, 16, 17, 18). Genetski faktori se navode kao mogući uzroci, međutim još je premalo istraživanja koja daju pouzdane rezultate (3). Psihosocijalni faktori Kada govorimo o psihosocijalnim faktorima, bitno je reći da svi sindromi koji utječu na normalno socijalno ponašanje pojedinca mogu dovesti do povećanog razvoja stresa, a time dodatno i do razvoja TMP-a. To mogu biti emocionalna nestabilnost, poremećaji povezani sa stresom, depresija, anksioznost, upotreba droge i alkohola (3, 19, 20, 21).

3 Dijagnostička klasifikacija TMP-a TMP-i su podijeljeni u dvije velike skupine, poremećaje temporomandibularnog zgloba i poremećaje žvačnih mišića (3). Poremećaji temporomandibularnog zgloba 1. Kongenitalni i razvojni poremećaji A) Aplazija je nedostatak ili neadekvatan razvoj kranijalnih kostiju ili mandibule. Gotovo sve aplazije mandibule pripadaju u skupinu bolesti znanu pod nazivom hemifacijalne atrofije ili sindromi prvog i drugog škržnog luka. Najčešći defekt je unilateralni defekt razvoja kondila i zglobne jamice, s nerazvijenim slušnim aparatom. Defekt je vidljiv kao asimetrija, malokluzija (otvoreni zagriz), hipoplazija kože uha, tortikolis, poremećaji govora i hranjenja. Liječenje: ortodontsko, sagitalna osteotomija, distrakcijska osteogeneza i liječenje koštanim graftom (3, 22). B) Hipoplazija je nezavršen ili nedostatan razvoj kranijalnih struktura ili mandibule. Rast je normalan, premda usporen, ali defekt je manji nego kod aplazije. Može biti prirođena ili se može ispoljiti tijekom razvoja. Simptomi su apneja prilikom spavanja, malokluzija i mikrognatija. Terapija: sagitalna osteotomija i ortodoncija, headgear, terapija graftom i distrakcijska osteogeneza (3). C) Hiperplazija je prekomjeran rast kranijalnih kostiju ili mandibule nastao kao rezultat povećanog broja normalnih stanica, a može biti prirođena i stečena. Može biti lokalizirani poremećaj kao npr. kondilarna hiperplazija ili generalizirana hiperplazija cijele mandibule ili strane lica. Pretjeran rast mandibule nazvan je mandibularna prognatija (3) (Slika 1). D) Fibrozna displazija je vrsta hiperplazije nastala uslijed benigne spororastuće otekline mandibule ili maksile karakterizirane prisutnošću fibroznog vezivnog tikva s vrtložnim uzorkom trabekula nezrele nelamelirane kosti. Radiografski može izgledati kao opaktno mliječno staklo ili translucentno, ovisno o količini fibroznog tkiva i kosti. Obično nema poremećaja zubi, kortikalne kosti i okluzija je adekvatna. Terapija je kirurška (3). E) Neoplazme su novotvorine, nastale zbog nekontroliranog i abnormalnog rasta tkiva u ovom slučaju uključujući i TMZ. Mogu biti benigne, maligne ili metastatske. Otprlike 3% malignih neoplazmi metastazira u mandibulu, a najčešće su potekle iz karcinoma skvamoznih stanica maksilofacijalne regije i primarnih nazofaringealnih tumora. Neoplazme parotide također mogu uzrokovati TM bol i disfunkciju. Najčešći znakovi i simptomi su ograničeno otvaranje usta, krepitacije, okluzalne promjene, bol i oteklina. Ako je uključen kondil, razvit će se asimetrija lica. Terapija je kirurška (3, 4, 23) (Slika 2a, 2b, 3, 4, 5). 2. Poremećaji koji uključuju dislokacije diska Pomak diska je najčešći oblik artropatije TMZ-a. Karakteriziran je abnormalnim odnosom artikularnog diska i kondila. Najčešći su anteriorni i anteromedijalni pomaci diska. Uzroci pomaka diska nisu utvrđeni, ali najčešće su posljedica istegnuća ligamenata koji vežu disk za kondil. Povećan horizontalni kut kondila povezan je s većim patološkim pomakom zgloba. U deskriptivne svrhe koristi se Stegengov radiografski sistem. Termin moderate označava lokalizirano zaravnanje ili resorpciju bez jasnog trabekularnog uzorka ili kad postoji malo skraćenje kondila (manje od 4 mm). Extensive označava mali ili smanjen kondil (više od 4 mm) sa značajnim zaravnanjem i resorpcijom, marginalnom hipertrofijom, očitom sklerozom ili subkortikalnom cističnom translucencijom (3, 24). A) Pomak diska s redukcijom karakterizira nagle promjene diska i kondila koje nastaju tijekom otvaranja i zatvaranja usta. Iz pozicije zatvorenih usta privremeni krivi položaj diska (kondil se naslanja na retrodiskalno tkivo koje ne podnosi opterećenje) smanjuje ili povećava svoj strukturalni odnos s kondilom (disk se vraća u fiziološki položaj) za vrijeme translacije mandibule prilikom otvaranja usta, proizvodeći zvukove poput škljocanja. Zvuk se pojavljuje i prilikom otvaranja i zatvaranja usta, uz veći intenzitet prilikom otvaranja. Trenutačni krivi položaj diska može biti posljedica nepravilne površine zgloba, adherencije površine diska, poremećaja sinovijalne tekućine, nekoordiniranosti diska i kondila kao rezultat abnormalne mišićne funkcije, povećane mišićne aktivnosti ili deformacije diska. S obzirom na učestalost poremećaja može predstavljati fiziološku prilagodbu bez kliničkih znakova. Poremećaj može i ne mora biti popraćen boli. Dijagnostički kriterij: ponavljajući zvuk, pomaknuti disk na radiografskim slikama, degenerativne koštane promjene ( 3, 18). B) Pomak diska bez redukcije označava termin poremećenog odnosa diska i kondila tijekom translacije mandibule i taj odnos se tijekom kretnje ne poboljšava. Disk trajno ostaje u anteriornom položaju i pri tome nema škljocanja. Ponekad se naziva i zaključana brava. Ukoliko je akutan, karakteriziran je naglim i ograničenim otvaranjem usta praćenog bolnim podražajem. Manifestira se skretanjem mandibule prema zahvaćenoj strani, ograničenom laterotruzijom prema kontralateralnoj strani i manjkom zvukova u zahvaćenom zglobu. Najčešće je uzrokovan traumom i bol se pojačava tijekom funkcije. Ukoliko akutno stanje prijeđe u kronično, smanjuje se bol i otvaranje usta se približava normalnim vrijednostima. Ukoliko je bolest kroničnog karaktera, prethodna anamneza postojanja zvuka i ograničenog otvaranja usta može dovesti do osteoartritičnih promjena. Dijagnostički kriterij za akutni poremećaj: trajno ograničeno otvaranje usta, skretanje na zahvaćenu stranu, ograničena laterotruzija na kontralateralnu stranu, poremećaj položaja diska, bol prilikom otvaranja, prijašnje škljocanje, bol na palpaciju, ipsilateralna hiperokluzija i osteoartritičke promjene. Dijagnostički kriterij za kronični poremećaj: nekadašnje naglo ograničeno otvaranje usta, disk bez redukcije (3, 5, 25). 3. Poremećaji koji uključuju dislokacije TMZ-a Također poznat i kao otključana brava ili subluksacija, ovaj poremećaj je stanje u kojem je kondil pozicioniran anteriorno u zglobnoj jamici i ne može se vratiti u zatvoreni položaj. Klinički se manifestira kao nemogućnost zatvaranja usta. Dislokacija može biti posljedica fizičkog ometanja kompleksa diskkondil ili hiperekstenzijom disk-kondil kompleksa izvan njegovog maksimalnog translacijskog položaja. Dijagnostički kriterij: nemogućnost zatvaranja usta, radiografski evidentiran kondil izvan zglobne jamice (3). 4. Upalni poremećaji Primarno upalna stanja TMZ-a su kapsulitis, sinovitis i poliartritis. Poliartritisi su rijetki, a povezani su s reumatološkim bolestima. Sinovitis i kapsulitis se javljaju često sekundarno, prate traumu, iritaciju,

4 infekciju ili druge TMP-e. Sinovitis se opisuje kao upala sinovijalnih ovojnica i najčešće se veže uz infekcije i imunološke poremećaje. Karakteriziran je lokaliziranom boli koja se povećava pri funkciji. Ono što definira sinovitis su sinovijalna hiperplazija i prisutnost limfnih i krvnih kapilara. Kapsulitis je upala zglobne kapsule i klinički ga je gotovo nemoguće razlikovati od sinovitisa. Dijagnostički kriterij sinovitisa i kapsulitisa: lokalizirana bol koja se povećava pri zglobnoj funkciji, nema velikih osteoartritičkih promjena prilikom prikazivanja tvrdih zubnih tkiva. Poliartritis je karakteriziran upalom zgloba i strukturalnim promjenama uzrokovan generaliziranim sistemski poliartritisom. Poliartritis TMZ-a uključuje reumatoidni artritis, juvenilni reumatoidni artritis, spondiloartropatije, bolesti u kojima se talože kristali. Druge reumatološke bolesti koje su povezane su autoimune bolesti i druge bolesti vezivnog tkiva. Bolest je karakterizirana s boli za vrijeme akutnih i subakutnih faza, krepitacijama, ograničenim kretnjama te obostrano radiološki vidljivim koštanim promjenama. Najbolje se dijagnosticira serološkim testom. Bilateralna resorpcija kondilarnih struktura dovodi do prednjeg otvorenog zagriza. Dijagnostički kriterij poliartritisa: bol prilikom mandibularne funkcije, dijagnoza sistemskih poremećaja, radiološki vidljive veće promjene TMZ-a (3). 5. Neupalni poremećaji Osteoartritis je neupalno stanje koje često zahvaća različite sinovijalne zglobove (3). Primarni osteoartritis je degenerativni proces koji je karakteriziran pogoršanjem i abrazijom zglobnog tkiva i pratećom remodelacijom podležeće subhondralne kosti. Progresivni gubitak zglobne hrskavice vodi do neuravnoteženih regenerativnih i degenerativnih procesa hrskavice. Osteoartritis se definira kao primarni ako nije uočen nikakav lokalni ili generalizirani uzrok. Dijagnostički kriteriji: izostanak etiološkog faktora, bol pri funkciji, triger pri palpaciji, radiološki evidentirane promjene na kosti (subhondralna skleroza, egzostoze, ravna glava kondila, erozije) i sužavanje zglobnog prostora (3). Sekundarni osteoartritis uzrokovan je etiološkim faktorima među kojima se navode izravna trauma, lokalna infekcija TMZ-a i sistemski artritis. Osteoartritis povezan s rastrojstvom diska se također svrstava u sekundarne. Rijetko idiopatsko degenerativno stanje, nazvano kondilitis, javlja se spontano, a klinički se očituje prednjim otvorenim zagrizom. Dijagnostički kriterij: bol pri funkciji, triger pri palpaciji, radiološki vidljive promjene kosti (3). 6. Ankiloza kosti Ankiloza je karakterizirana kao ograničena mandibularna funkcija s otklonom na zahvaćenu stranu pri otvaranju usta što je često dugoročna posljedica traume, uključujući i frakture mandibule. To dovodi do nepopustljivog ograničenja koje nastaje zbog fibrozne adhezije, fibroznih promjena unutar kapsularnog ligamenta ili formiranjem koštane mase koja vodi do srastanja zglobnih dijelova. Ovo stanje najčešće nije praćeno boli. Najčešći uzrok je mikrotrauma, infekcije unutarnjeg i srednjeg uha, sistemske bolesti i neadekvatan kirurški tretman. Fibrozna adhezija se susreće uglavnom u gornjem odjeljku TMZ-a gdje uzrokuje smanjenu funkciju disk-kondil kompleksa. Koštana ankiloza rezultira sjedinjenjem kostiju TMZ-a proliferacijom koštanih stanica što može uzrokovati potpunu nepokretnost zgloba. Fibrozna ankiloza karakterizirana je odsutnošću ipsilateralne kondilarne translacije pri otvaranju usta, a koštana radiografskim promjenama koštane proliferacije s pomakom na zahvaćenu stranu i ograničenom laterotruzijom na kontralateralnu stranu. Dijagnostički kriterij za fibroznu ankilozu: ograničeno otvaranje usta, otklon na zahvaćenu stranu, izrazito ograničena laterotruzija na kontralateralnu stranu, radiografski vidljiva odsutnost ipsilateralne kondilarne translacije. Dijagnostički kriterij za koštanu ankilozu: izrazito

5 ili grč. Bol se može javiti uz ishemiju, bruksizam, zamor mišića, metaboličke promjene, autonomne promjene i odgođenu bol mišića (3). Odgođena bol mišića je stanje uzrokovano prekomjernim radom mišića koji uzrokuje intersticijsku upalu i posljedičnu bol koja nastupa nakon 8 do 24 sata. Može se smatrati oblikom miozitisa, ali nema tipične simptome upale (oticanje, trigeri itd.). Simptomi su gubitak snage, smanjen opseg pokreta i bol pri funkciji. Dijagnostički kriteriji: lokalizirana jaka bol tijekom funkcije, mala ili gotovo nikakva bol tijekom odmora mišića, lokalizirana bol pri palpaciji, izostanak trigera (3). ograničeno otvaranje usta, otklon na zahvaćenu stranu kad je otvaranje unilateralno, ograničena laterotruzija na kontralateralnu stranu, radiografski vidljiva proliferacija kosti s obliteracijom zglobnog prostora i odsutnost translacije kondila (3, 26). 7. Frakture Trauma može uzrokovati frakturu, dislokaciju, kontuziju i laceraciju artikularne površine, ligamenata i diska s ili bez intraartikularne hemartroze. Posljedice su adhezija, ankiloza, poremećaj okluzije ili degeneracija zgloba. Frakture kondilarnog nastavka mogu rezultirati asimetrijom lica (3, 16). Poremećaj žvačnih mišića Uzroci mišićne boli su prekomjerno korištenje normalno prokrvljenih mišića ili ishemija mišića koji su u normalnoj funkciji, simpatički i fuzimotorni impulsi koji uzrokuju promjene u opskrbi krvlju i mišićnom tonusu te psihološka i emocionalna stanja. Endogene supstance (bradikinin, prostaglandini, serotonin, neuropeptidi, supstanca P) mogu vrlo lako sintetizirati podražaje. Bolna stanja ne rezultiraju samo povećanom osjetljivošću perifernih nociceptora nego i povećanom aktivnosti SŽS-a i lokalnom hiperalgezijom. Većina pacijenata ima osjetljivost mišića elevatora prilikom palpacije i žali se na bol pri žvakanju. Mišićni poremećaji mogu se podijeliti na one koji obuhvaćaju pojedinačni mišić ili skupinu mišića i na one koji obuhvaćaju sve mišiće. Neka sistemska stanja koja uzrokuju bol u mišićima su reumatska polimijalgija, polimiozitis, dermatomiozitis, lupus eritematozus i fibromijalgija. Fibromijalgija je generalizirano bolno stanje karakterizirano stalnom boli i bolnim točkama u različitim dijelovima tijela (3, 6, 27, 28). 1. Lokalna mijalgija Karakterizirana je bolnim mastikatornim mišićima s boli u obrazima i/ ili boli pri žvakanju, naglom otvaranju usta i buđenju. Uglavnom je bilateralna i opisana kao izrazito jaka bol 2. Miofascijalni bolni sindrom Ovo je stanje karakterizirano tupom, mukotrpnom boli s prisutnošću trigera u mišićima, fascijama i tetivama. Pri palpaciji ovi trigeri mogu proizvesti tipični lokalizirani bolni podražaj i/ili autonomne simptome. Također, palpacijom trigera nastaje bol u puno širem području nego što je sama triger točka. Inaktivacijom triger točaka lokalnim anestetikom, ledom, sprejem za hlađenje, transkutanom električnom živčanom stimulacijom (TENS) oslobađa se veće područje od boli. Dijagnostički kriterij: tupa bol pri opuštenim mišićima, bol se pogoršava funkcijom zahvaćenih mišića, provokacija triger točaka uzrokuje tipični bolni podražaj, inaktivacija triger točaka uzrokuje smanjenje boli (3, 29). 3. Centralno uzrokovane mijalgije Poremećaj je karakteriziran kroničnom, kontinuiranom boli, ali bez tipičnih znakova upale. Postoje znakovi neurološke upale što rezultira usporenim nociceptivnim impulsima u SŽS. Antidromalna stimulacija perifernih živaca može rezultirati oslobađanjem bolnih supstanci kao što su bradikinin i supstanca P koje uzrokuju bol. Neki centralni mehanizmi mogu imati znatnu ulogu u uzrokovanju boli, kao npr. povećana osjetljivost autonomnog živčanog sustava ili kronični emocionalni stres. S obzirom da je bol uzrokovana centralno, neće reagirati na lokalnu terapiju. Dijagnostički kriterij: kontinuirana, kronična bol, lokalizirana tupa bol pri opuštenim mišićima, bol se pogoršava funkcijom zahvaćenih mišića i pri palpaciji (1, 3, 4).!

6 t t 4. Miospazam Miospazam je akutni mišićni poremećaj koji je praćen iznenadnim, nesvjesnim, toničkim kontrakcijama mišića. Karakteriziran je kontinuiranim mišićnim kontrakcijama (fascikulacijama). Mišići zahvaćeni spazmom su skraćeni, ograničenih funkcija i bolni. Miospazam zahvaća čitav mišić i EMG pokazuje snagu kontrakcije koje je jednaka ili veća maksimalnoj voljnoj kontrakciji mišića. Dijagnostički kriterij: akutna bol mišića u funkciji ili izvan nje, značajno reduciran opseg pokreta, bol se povećava pri aktivnosti mišića, EMG pokazuje veću aktivnost nego kod opuštenih mišića, mišićni grčevi (3, 30). 5. Miozitis Karakteriziran je kliničkim znakovima upale (oticanje, crvenilo, povišena temperatura). Ovo stanje posljedica je direktne traume ili širenja infekcije i predstavlja konstantnu, akutnu bol mišića. Markerima upale smatraju se serumski enzimi. Posljedica upale može biti osifikacija mišića što rezultira ograničenim pokretima. Upala može zahvatiti i tetive i tad se naziva tendinitis. Dijagnostički kriterij: kontinuirana bol koja prati infekciju, difuzna osjetljivost cijelog mišića, bol se povećava pri mišićnoj aktivnosti, ograničena pokretljivost, bol i oticanje (3, 4, 31). 6. Miofibrotička kontrakcija Ovo stanje predstavlja bezbolno skraćivanje mišića. Karakterizira ga kronični otpor mišića pasivnom rastezanju kao posljedica fibroze tetiva, ligamenata ili mišićnih vlakana. Ovo stanje često prati prethodno dug period ograničene funkcije. Dijagnostički kriterij: ograničeni pokreti mandibule, nepopustljivost na pasivno rastezanje, mala ili nikakva bol sve dok se mišić prisilno ne rasteže (3). 7. Neoplazija žvačnih mišića Neoplazija može biti benigna i maligna koja može biti praćena boli. Neoplazije mogu biti unutar mišića, drugih žvačnih prostora, mogu se širiti iz susjednih područja ili se javljaju kao metastaze. Praćene su oteklinom, trizmusom, parestezijama i boli koja se odražava na zube (3). ƒ ˆ Š ƒ Œ Ž Œ LITERATURA " # $ % & ' ( ) * +, -. ). / 0 & ) 1 ( 2 3 & 0 4 ( 5 ( 6 0. ) : ;. 5 < 8 ' ( 5 7 & 5 '. ) 7 $ = ; : ' 8 ( ), >? L? e? A B C D A E F G H I J K M N A O P Q R S K M E P T U V C U W X U C Q Y D Z C [ A W C Q A O T P E U O O A O O \ A Q ] ^ [ C U D Q P O C O U Q [ \ A _ Q U D A \ A Q ] K A [ ` K a b C V U D P Y c Z C Q ] A O _ O A Q V A F G H H d K M N A O P Q R S K f A W W g O M E P T U V C U W S U C Q K A [ h K a b C V U D P Y c Z C Q ] A O O A Q V A F i J J h K V P Z E O A P T P O ] A P U E ] b E P O C O U O C ] E A W U ] A O ] P C Q ] A E Q U W [ A E U Q D A \ A Q ] P T ] b A ] A \ _ X P E P \ U Q [ C B Z W U E k P C Q ] K M E U W l U m C W W P T U V n Z E D a W C Q o P E ] b p \ K G H I H F G Y G _ G H K U Q [ O q \ X ] P \ O C Q ] A \ X P E P \ U Q _ [ C B Z W U E [ C O P E [ A E O Y a W C Q C V U W O C D Q O C Q V U O A O U Q [ V P Q ] E P W O K R p \ r A Q ] p O O P V K G H H J F G i J Yi s ` _ I G K U E N C Q O n R K u m ] E C Q O C V ] E U Z \ U U Q [ ] A \ _ X P E P \ U Q [ C B Z W U E [ q O T Z Q V ] C P Q K a E U Q C P K G H I d F v Y G _ i K ] E U Z \ U Y p O C D Q C T C V U Q ] X E A V C X C ] U ] C Q D T U V ] P E C Q ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E [ q O T Z Q V _ ] C P Q K R S E P O ] b A ] r A Q ] K G H I h F h v Yi s G _ i K S Z W W C Q D A E p ^ n A W C D \ U Q r p K w E U Z \ U b C O _ ] P E q C Q [ C U D Q P O ] C V D E P Z X O P T ] A \ X P E P _ \ U Q [ C B Z W U E [ C O P E [ A E K M E U W n Z E D M E U W l A [ M E U W S U ] b P W K G H H G F s G Yh i H _ ` v K x y? C \ X E P B U B W A U Q ] A E C P E [ C O X W U V A \ A Q ] K R a E U Q C P \ U Q [ C B r C O P E U V C U W M E U W S U C Q K G H H J F v Y G ` G _ ` v K x x? n A W C D \ U Q r p ^ S Z W W C Q D A E p K w b A E P W A P T C Q ] A E V Z O X U W P V V W Z O U W E A W U ] C P Q O b C X O P Q ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E [ C O P E [ A E O Y p E A z C A { K R a E U Q C P \ U Q [ C B r C O P E U V C U W M E U W S U C Q K G H H G F h YH d _ G J d K x >? l V o U \ U E U R p R E ^ n A W C D \ U Q r p ^ M N A O P Q R S K M V V W Z O C P Q ^ M E ] b P [ P Q ] C V ] E A U ] \ A Q ] ^ U Q [ ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E [ C O P E [ A E Y p E A z C A { K R M E P T U V S U C Q K G H H h F H Ys ` _ H J K x L? R Z Q C X A E S K w b A O b U X A P T ] b A V P Q [ q W A U Q [ X P O C ] C P Q P T ] b A \ A Q C O V Z O C Q ] b A ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E k P C Q ] [ q O T Z Q V _ ] C P Q K f E R M E U W l U m O C W W P T U V n Z E D K G H H v F ` i } i ~ Ys G _ d K x e? _ ] P E q A T T A V C A Q V q C Q C Q [ C z C [ Z U W O { C ] b Q U ] Z E U W [ A Q ] C ] C P Q O K n { A [ r A Q ] R K G H H ` F G s Y G H G _ H I K x j? C \ X U C E \ A Q ] U Q [ C ] O C Q z P W z A \ A Q ] C Q ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E k P C Q ] [ C O V [ C O X W U V _ \ A Q ] Y p ] b A P E A ] C V U W V P Q V A X ] K R M E U W l U m O C W W P T U V n Z E D K i J J G F h H Y` h _ v h K _ [ A E O Y a W U O O C T C V U ] C P Q ^ r C U D Q P O C O ^ l U Q _ U D A \ A Q ] K a b C V U D P Y A U E f P P N G H H J K _ ] P E O C Q ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E k P C Q ] [ C O V O P T O q \ X ] P \ U ] C V U Q [ U O q \ X ] P \ U ] C V X A E O P Q O Y p X E A W C \ C Q U E O ] Z [ q K R M E U W l U m O C W W P T U V n Z E D K G H H ` F h G Y G J H d _ G J J K n ] A D A Q D U f K M O ] A P U E ] b E P O C O P T ] b A ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E k P C Q ] P E D U Q U Q [ C ] O E A W U ] C P Q O b C X ] P [ C O V [ C O X W U V A \ A Q ] K R M E P T U V S U C Q K i J J G F G h Y G H ` _ i J h K C D D O ^ f Z O V b U Q D S ^ u W W C O u K f C P X O q V b P _ O P V C U W [ C T T A E A Q V A O B A ] { A A Q b C D b _ E C O N U Q [ W P { _ E C O N X U ] C A Q ] O { C ] b U V Z ] A w l r _ E A W U ] A [ X U C Q K R p \ r A Q ] p O O P V K i J J v F G ` h Yv s v _ I ` K > y? l U Q T E A [ C Q C r ^ f U Q [ A ] ] C Q C [ C S P D D C P > x? > >? > L? > e? > j? l P P [ U Q [ U Q m C A ] q X O q V b P X U ] b P W P D q U Q [ ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E [ C O P E [ A E K p O X A V ] E Z \ U X X E P U V b K R M E U W A b U B C W K i J J v F ` G YH ` ` _ v J K a U E W O P Q a K S E A z U W A Q V A P T X P O ] _ ] E U Z \ U ] C V O ] E A O O [ C O P E [ A E O q \ X ] P \ O C Q P E P T U V C U W X U C Q X U ] C A Q ] O K M E U W n Z E D M E U W l A [ M E U W S U ] b P W K i J J h F H H Yh h I _ d I K P T ] b A ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E k P C Q ] K Q Y M E U W U Q [ l U m C W W P T U V C U W n Z E D A E q K S b C W U _ [ A W X b C U Y n U Z Q [ A E O F i J J v Y` J i _ ` H K w A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E k P C Q ] Q A P X W U O \ O U Q [ X O A Z [ P ] Z \ P E O K p [ z p Q U ] S U ] b P W K i J J J F s Y` d h _ I G K E U [ C P W P D C V U W T C Q [ C Q D O E A W U ] A [ ] P ] E A U ] \ A Q ] U Z ] V P \ A X U ] C A Q ] O { C ] b ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E [ C O P E [ A E O K R r A Q _ ] P \ U m C W W P T U V U [ C P W K G H H h F i v Y G i I _ ` G K _ ] C P Q P T Q P Q _ O Z E D C V U W ] E A U ] \ A Q ] O T P E ] A \ X P E P \ U Q [ C B Z W U E k P C Q ] U Q ] A E C P E [ C O V [ C O X W U V A \ A Q ] { C ] b P Z ] E A [ Z V ] C P Q K R r A Q ] A O K i J J G F I J YH i v _ I K _ X P E P \ U Q [ C B Z W U E k P C Q ] U Q N q W P O C O K p Z E C O _ O P Q P T X O q V b P W P D C V U Q [ X b q O C P W P D C V T Z Q V ] C P Q C Q D B A ] { A A Q X U ] C A Q ] O { C ] b \ U O ] C V U ] P E q \ Z O V W A X U C Q U Q [ \ U ] V b A [ V P Q ] E P W O K R M E P T U V S U C Q K G H H ` F s Y G h _ i i K L y? L x? X U C Q U Q [ T C B E P \ q U W D C U V ] P E O ] b U ] X E P \ P ] A ] b A C E X A E O C O ] U Q V A K p V Z X Z Q V ] l A [ K i J J h F i ` Y G i G _ ` v K _ P D q ^ U Q [ Q U ] Z E U W b C O ] P E q P T \ q P T U O V C U W X U C Q O q Q [ E P \ A K a Z E E S U C Q U [ U V b A A X K i J J G F h Yv G i _ i J K _ C O \ Y p E A z C A { P T ] b A W C ] A E U ] Z E A K R S E P O ] b A ] r A Q ] K G H s s F ` I Y G v H _ h s K R K l q P O C ] C O P O O C T C V U Q O ] E U Z \ U ] C V U P T \ U O ] C V U ] P E q \ Z O V Z W U ] Z E A Y p V U O A E A X P E ] U Q [ W C ] A E U ] Z E A E A z C A { K R M E U W l U m C W W P T U V n Z E D K i J J i F d J Y G J s i _ d K

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM

Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Implementacija HE4 i ROMA indeksa u Klinici za tumore Centru za maligne bolesti KBCSM Dr.sc. Ljiljana Mayer, spec.med.biokemije Zagreb, 18. ožujka 2017. Klinika za tumore Centar za maligne bolesti, KBCSM

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

FIZIOLOŠKE OSNOVE SILE I SNAGE. Prof. dr Dušan Perić

FIZIOLOŠKE OSNOVE SILE I SNAGE. Prof. dr Dušan Perić FIZIOLOŠKE OSNOVE ISPOLJAVANJA SILE I SNAGE Prof. dr Dušan Perić Mehanizam mišićne kontrakcije Struktura mišića i mišićnih ovojnica MOTORNA JEDINICA } TELO (SOMA) NERVNE ĆELIJE AKSON TELODENDRON MIŠIĆNA

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα